Upload
oscar-puentes
View
212
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Solucion alternativa
Citation preview
1. Categoras
1
: G, H, K
2. Valores numricos asignados a cada una de las categoras
2
:
VG = 5, VH = 3, 3VK = 1
3. Variables: nmero de elementos por categora.
A cada una de las categoras se asigna un nmero de elementos as:
x: cantidad de elementos de Gy: cantidad de elementos de Hz: cantidad de elementos de K,de modo que se cumpla la siguiente
4. Condicin: xVG + yVH + zVK = 100, que se puede reescribir como
5x+ 3y + 13z = 100 piezas de dinero (1)
y tambin que
5. Condicin: x+ y + z = 100 elementos (2)
6. Anlisis. Dados variables y condiciones, lo nico que de momento se tiene
es un sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) en funcin de las
variables x, y, z. Tal sistema no tiene solucin, pero si se asume una delas variables como valor jo, el sistema resultante es uno de dos ecuaciones
con dos incgnitas.
Ahora bien, qu variable asumir y qu valor ha tener, es un problema
cuya solucin podra buscarse por un mtodo exhaustivo que combina
sustitucin e iteracines es decir, prueba y error.
Por otra parte, asumiendo que existe, veamos una aproximacin
geomtrica al espacio solucin:
En primer lugar, de la ecuacin (2), considerando la solucin trivial
se tiene el espacio R descrito por:
x = 100y = 100z = 100
que inmediatamente se descata puesto que no cumple con las condiciones
del problema. Luego los posibles valores solucin se hallan en alguna
regin r dentro del espacio R , como se muestra en la Figura 1.
1G: Gockel (GER. gallo). H: Henne (GER. gallina). K: Kcken (GER. pollito)2
En unidades de piezas de dinero ($)
1
Figura 1. Espacio solucin
El cual es un espacio contnuo en comparacin con el conjunto solucin
que es de un carcter discreto, puesto que x, y, z deben ser enteros.Es decir, dentro del espacio solucin r existe al menos un punto p (x, y, z)tal que x Z+, y Z+, z Z+.
Del sistema de ecuaciones
5x+ 3y + 13z = 100x+ y + z = 100
se puede asegurar, de la ecuacin(1) que al menos
x 20y 34z 300
pero ninguno de estos valores cumplen con la ecuacin (2).
2
Se plantea entonces el siguiente
7. Algoritmo. Suponiendo que el valor de z controla la solucin del sistema,se podra empezar por dar un valor z 100 y utilizarlo en las ecuaciones(1) y (2). De este modo el sistema sera uno de dos ecuaciones con dos
incgnitas que se puede resolver iterativamente hasta encontrar la
convergencia en la solucin por mtodos como del de eliminacin.
8. Aplicacin.
Sea z = 90 (Primera iteracin)
El sistema de ecuaciones se puede escribir como
5x+ 3y = 70x+ y = 10
Eliminando y y resolviendo para x se obtiene
5x+ 3y = 703x 3y = 30
x = 20y = 10
soluciones que no tienen sentido fsico, al menos en lo que respecta a y.
En la siguiente tabla se muestran las soluciones al sistema de ecuaciones
para varios valores de z
It z y x1 90 -10 20
2 60 60 -20
3 75 25 0
4 84 4 12
5 78 18 4
6 81 11 8
de las cuales solo las correspondientes a las iteraciones 6,5,4, incluso 3,
tienen sentido prctico en el contexto del problema planteado.
3