1

Estadística Administrativa II2014-3

Métodos no paramétricos – Prueba de wilcoxon

2

Prueba de rangos con signos de Wilcoxon Muestras dependientes

3

Características

› No requiere que las muestras estén distribuidas normalmente.

› Aplica para distribuciones nominales

› Desarrollada por Frank Wilcoxon en 1945

› Se basa en el concepto de una muestra tomada en dos momentos diferentes.

4

Procedimiento› Definir el estado de las observaciones (2 columnas)

› Calcular la diferencia entre cada uno de los datos de la misma instancia.

› Calcular la diferencia absoluta entre cada línea de la tabla.

› Ordenar la tabla de menor a mayor de acuerdo a la columna de la “diferencia absoluta”.

› Eliminar las diferencias nulas

› A valor menor asignar el rango 1 y completar hasta el dato mayor con el rango igual al tamaño de la muestra.

› Si los datos de la diferencia absoluta se repiten, el rango es el promedio de los datos iguales (Rango = 6, 7, 8, convertir a (6+7+8)/3 = 7)

5

Procedimiento› Adicionar columna R+ y R-

› En la columna R+ se colocan los rangos de los valores que obtuvieron una diferencia positiva.

› En la columna R- se colocan los rangos de los valores que obtuvieron una diferencia negativa.

› Sumar los resultados de R+ y los resultados de R-.

› Asignar a W el valor menor entre R+ y R-

› Comparar con el valor definido como punto crítico para aceptar o rechazar la hipótesis.

6

Ejemplo . . .Se quiere lanzar un nuevo producto de pollo con especies y el gerente general hará una prueba piloto para evaluar si los clientes prefieren el sabor del pollo normal o el pollo con especies. La prueba piloto se hizo a 15 clientes que calificaron ambos sabores con datos del 1 al 20; en donde el gusto por un sabor esta representado por los valores más altos.

Revisando los datos de la tabla, ¿es razonable concluir que el sabor a especies es el preferido con un nivel de confianza de 0.05?

7

. . . Ejemplo

1. Calcular la diferencia entre el sabor a especies y el sabor actual (14–12=2, 8-16=-8).

2. Muestra: 15

3. Valores neutros: 1

4. Muestra útil: 14

ParticipanteSabor a especies

Sabor actual

Diferencias

1 14 12 22 8 16 -83 6 2 44 18 4 145 20 12 86 16 16 07 14 5 98 6 16 -109 19 10 910 18 10 811 16 13 312 18 2 1613 4 13 -914 7 14 -715 16 4 12

8

. . . Ejemplo

› Calcular la diferencia absoluta.

Se aplica el valor absoluto.

|𝑎|={ 𝑎(𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 )−𝑎(𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)

9

. . . Ejemplo

› Ordenar la tabla de menor a mayor por la columna de diferencia absoluta.

› Eliminar los resultados neutros.

› Agregar la columna “Rango”.

Participante Normal Especies DiferenciaDiferencia Absoluta

1 14 12 2 211 16 13 3 3

3 6 2 4 414 7 14 -7 7

2 8 16 -8 85 20 12 8 8

10 18 10 8 87 14 5 9 99 19 10 9 9

13 4 13 -9 98 6 16 -10 10

15 16 4 12 124 18 4 14 14

12 18 2 16 16

10

. . . Ejemplo

› Enumerar la columna rango desde el valor más pequeño.

› Culmina en el rango igual que el tamaño de la muestra.

› Ubicar los valores repetidos (8 y 9)

Participante DiferenciaDiferencia Absoluta Rango

1 2 2 111 3 3 2

3 4 4 314 -7 7 4

2 -8 8 55 8 8 6

10 8 8 77 9 9 89 9 9 9

13 -9 9 108 -10 10 11

15 12 12 124 14 14 13

12 16 16 14

11

. . . Ejemplo

› Calcular el promedio de la columna rango solo para los valores repetidos.

› El promedio resultante se coloca en lugar de los rangos que se habían definido.

› Crear las columnas R+ y R-

Participante DiferenciaDiferencia Absoluta Rango Rango

1 2 2 1 111 3 3 2 2

3 4 4 3 314 -7 7 4 4

2 -8 8 5 65 8 8 6 6

10 8 8 7 67 9 9 8 99 9 9 9 9

13 -9 9 10 98 -10 10 11 11

15 12 12 12 124 14 14 13 13

12 16 16 14 14

12

. . . Ejemplo

› Colocar en R+ los rangos cuyas diferencias hayan sido positivas.

› Colocar en R- los rangos cuyas diferencias hayan sido negativas.

› Sumar ambas columnas

Participante Especies Normal Diferencia Rango R+ R-1 14 12 2 1 111 16 13 3 2 23 6 2 4 3 314 7 14 -7 4 42 8 16 -8 6 65 20 12 8 6 610 18 10 8 6 67 14 5 9 9 99 19 10 9 9 913 4 13 -9 9 98 6 16 -10 11 1115 16 4 12 12 124 18 4 14 13 1312 18 2 16 14 14

75 30Total……..

13

. . . Ejemplo › Hipótesis:

› Nivel de significancia:

› Estadístico de prueba:

› Regla de decisión:

› Si el menor de ambas columnas es 25 o menos, se rechaza la hipótesis nula..

𝛼=0.05

𝑊=𝑚𝑖𝑛¿

W=25

14

. . . Ejemplo

Toma de decisión

› Los rangos definidos son:

› Tomar el resultado más pequeño.

› El valor crítico es 25 y ambos resultados caen

W=25

𝑇=30

15

Prueba de rangos con signos de Wilcoxon Muestras independientes

16

Muestras independientes

› La prueba de rangos con signos de Wilcoxon en muestras independientes.

› Determinan si las muestras provienen de una misma población.

› Los datos se clasifican como si los datos de ambas muestras forman parte de una misma muestra.

› Alternativa para el estadístico de prueba t

› Las poblaciones no se distribuyen normalmente

› No se conocen las varianzas poblacionales

17

Prueba de rangos con signos de Wilcoxon para muestras independientes.

› Si la hipótesis alternativa es verdadera, una de las muestras tendrá mayor cantidad de rangos bajos y, por tanto, una suma de rangos menor.

› Estadístico de pruebas:

𝑧=𝑊 −

𝑛1 (𝑛1+𝑛2+1 )2

√𝑛1𝑛2 (𝑛1+𝑛2+1 )12

18

Ejemplo . . .

El CEO de Airlines, hace poco observo un aumento en el numero de personas que no llegan a tomar los vuelos que salen de Atlanta. Su interés principal es determinar si hay mas personas que no se presentan a tomar los vuelos que salen de Atlanta en comparación con vuelos que salen de Chicago. Una muestra de nueve vuelos de Atlanta y ocho de Chicago aparece en la tabla siguiente. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿es posible concluir que hay más personas que no se presentan a tomar los vuelos que salen de Atlanta?

No se conocen las varianzas poblacionales; por lo que no puede utilizarse la distribución t.

19

. . . Ejemplo

› Hipótesis

› Nivel de significancia

› Estadístico de prueba

Atlanta Chicago11 1315 1410 1018 811 1620 924 1722 2125 𝑧=

𝑊 −𝑛1 (𝑛1+𝑛2+1 )

2

√𝑛1𝑛2 (𝑛1+𝑛2+1 )12

𝛼=0.05

20

. . . Ejemplo

› Regla de decisión

› Toma de decisión– Hacer una sola muestra– Determinar el ordenamiento

de rangos como una sola muestra

– Calcular el promedio a los resultados iguales

– Dividir las muestras

AeropuertoNo

abordaron Rango RangoChicago 8 1 1Chicago 9 2 2Atlanta 10 3 3.5Chicago 10 4 3.5Atlanta 11 5 5.5Atlanta 11 6 5.5Chicago 13 7 7Chicago 14 8 8Atlanta 15 9 9Chicago 16 10 10Chicago 17 11 11Atlanta 18 12 12Atlanta 20 13 13Chicago 21 14 14Atlanta 22 15 15Atlanta 24 16 16Atlanta 25 17 17

21

. . . EjemploChicago Rango

8 19 2

10 3.513 714 816 1017 1121 148 56.5

Atlanta Rango10 3.511 5.511 5.515 918 1220 1322 1524 1625 179 96.5

22

. . . Ejemplo

› Parece que el número de pasajeros que se pierden en el aeropuerto de Atlanta es similar al de Chicago. La hipótesis nula se acepta.

› Calcular la probabilidad para z=1.49.

› Solo existe un 7% de que la hipótesis nula pueda ser rechazada.

› La hipótesis nula se acepta.

𝑃 (𝑧=1.49 )=0.4319

23

Fin de lapresentación

Muchas gracias

Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill