Unidad 7Estimacin de medias, proporciones y varianzas393I
ntroduccinEnlas
unidadesanterioressehavenidodesarrollandoelsignificado ylauti
lidadde las medidas de tendenciacentral;stas sonmedidas
descriptivas quesealanhacia dnde
tiendenaconcentrarselosvalorescontenidosenunconjuntodedatos.Sedijoque
elresultadodelasmedidasdetendenciacentralproporcionaunvalorquedebesertpicoo
representativo de la muestra o de la poblacin que se est
examinando, el cual es utili zado para describir o analizar un
fenmeno. El propsito de esta unidad consiste en presentar las
tcnicas de la estadstica inferencial que son utilizadas para
estimar los parmetros de una poblacin. Especficamente se expondrn
las tcnicas para inferir el valor de la media poblacional, el valor
de una proporcin poblacional, la diferencia entre las proporciones
de dos poblaciones distintas, as como el valor de la varianza
poblacional uti lizando tanto estimadores puntuales como intervalos
de confianza.Para esto se har uso de los conceptos del teorema
central del lmite y de la distribucin muestral que, junto con los
intervalos de confianza, hacen posible la inferencia de estos
parmetros poblacionales con cierto nivel de confianza.7.1. Esti
macin puntual y estimacin por i ntervalosLa estimacin es un
procedimiento que forma parte de la vida cotidiana en un sinnmero
de lugares yenlos di stintoscampos del conocimiento,porejemplo, en
laadministracindelas empresas, en las finanzas, en la economa, en
las ciencias de la comunicacin, en la contabilidad, en la
mercadotecnia o en la administracin de la informacin.Laestimacin es
un procedimientode la estadsticainferencial mediante el cual se
realizan clculos con los datos de unamuestra para obtener valores o
resultados que describan las caractersticasdela poblacin.La
estimacin tiene el objetivo de obtener estadsticos, es decir,
frmulas matemticas que permitan conocer, a partir de ellos y de
manera resumida, las caractersticas ms relevantes de 394 ESTADSTICA
PARA NEGOCIOSunapoblacin,utili
zandolainformacincontenidaenunamuestra.Alestadsticotambinsele
conoce con el nombre de estimador.Recuerda que la inferencia
estadstica es el proceso mediante el cual una muestra es analizada
y, con base en su informacin, se infiere, se deduce o se concluye
sobre lo que est sucediendo en una poblacin. El propsito de la
estimacin es proveer los estimadores o expresiones matemticas que
proporcionen un valor o un conjunto de valores que reflejen el
valor del parmetro poblacional. Una buena estimacin proporcionar
tcnicas correctas paraencontrar los verdaderos parmetros
poblacionales.Los siguientesson algunos ejemplos donde seutili zaen
forma frecuentela estimacin de la media poblacional:de produccin en
un periodo de tiempo para establecer planes y mtodos que provean de
mayor seguridad a los trabajadores.promedio de las familias de una
ciudad para determinar qu tan factible resultar abrir una nueva
sucursal, ya que dependiendo del nivel de ingreso ser el nivel de
consumo en artculos diversos.en una ciudad determinada, esto le
sirve de indicador para establecer qu tan conveniente le resultar
introducir al mercado un nuevo seguro, as como estimar el costo de
la pliza.que son inducidos cada mes a comprar un producto debido al
impacto producido por la presencia de un nuevo comercial.que son
producidos diariamente, con el fin de proporcionar un mejor
servicio al
cliente.Entodosycadaunodeloscasosanterioresloqueinteresaesconocerlamedidapromedio
poblacional que facilite la toma de decisiones, por lo que la
estimacin es una herramienta importante que proporciona una serie
de mtodos y procedimientos para lograr esta finalidad. Es necesario
denotar que existe una diferencia significativa entre un estimador
y un estimado. El estimador es una frmula o representacin matemtica
que conduce a obtener un resultado y el estimado es el resultado
que se obtiene al emplear datos de una muestra en la frmula o
expresin matemtica definida por el estimador que se
emplea.Frecuentementeelproblemadelaestimacinsueleabordarseatravsdedosenfoques:la
estimacin puntual y la estimacin por intervalos.7.1.1. Estimacin
puntualLa estimacin puntual es un procedimiento de la estadstica
inferencial mediante el cual se realizan clculos con los datos de
una muestra cuyo resultado es un valor numrico nico empleado para
estimar el valor de un parmetro poblacional.En las unidades
precedentes se han tratado algunos estimadores puntuales, como es
el caso de la media muestral, la varianza muestral y la desviacin
estndar muestral para datos no agrupados, dichos estimadores
representan la columna vertebral de la inferencia estadstica.395
UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIASEstimador puntual Parmetro poblacional
que se desea estimarXXin XiN(media poblacional)Sn221( ) X X 22( )
XN (varianza poblacional)Sn( ) X X21 ( ) X2N (desviacin estndar
poblacional)Recuerda que el resultado que se obtiene en estos tres
tipos de estimadores es un valor numrico nico que es utili zado
para describir la informacin contenida en una muestra, pero que
tambin puede ser utilizado para inferir sobre la informacin
contenida en una poblacin.Los estimadores puntuales se utilizan con
frecuencia en muchos casos prcticos, por ejemplo: se desea conocer
la talla estndar exacta de los pantalones para los estudiantes de
una secundaria; una empresa que produce detergente desea saber el
peso promedio preci so que deben contener las bolsas de detergente;
la Secretara de Salud de una entidad federativa necesita conocer la
estatura promedio exacta de los habitantes de una regin para
realizar un balance sobre nutricin; una empresa productora de
cerveza necesita determinar el promedio exacto de botes de cerveza
que la poblacin consume en su presentacin de 355 ml.No obstante su
utilidad, losestimadorespuntualestienen algunas desventajaso
limitaciones; por ejemplo, cuando la informacin utilizada en el
estimador fue colectada de una muestra que no es representativa, el
resultado de la estimacin ser equivocado o sesgado del verdadero
parmetro
poblacional.Sinembargo,laprincipallimitacindeunestimadorpuntualesquesuresultadovarade
muestra en muestra, a pesar de que stas s sean representativas de
la poblacin. Recuerda que de una poblacin es posible obtener varias
muestras y cada una de stas tiene una media determinada que no
necesariamente tiene que ser de la misma magnitud que las dems y a
la poblacional.Adems, los estimadores puntualesno proporcionan una
medida de referencia o un nivel de confianza que permita conocer
cunto le podemos creer o tener confianza al resultado obtenido de
la estimacin. En otras palabras, la limitante ms importante que
presenta la estimacin puntual es que el resultado obtenido slo
representar un punto y no se puede apreciar si existe un posible
rango de valores que pueda tomar el parmetro poblacional con un
determinado nivel de confianza.7.1.2. Estimacin por
intervalosAntelaslimitacionesquepresentalaestimacinpuntualsepuedehacerusodeotromtodode
estimacin,laestimacinporintervalos,steesunprocedimientoalternativocuandolaestimacin
puntual no es capaz de proporcionar informacin eficiente para
describir el comportamiento de una caracterstica de la poblacin.La
estimacin por intervalos es un procedimientode la estadstica
inferencial mediante el cual se realizan intervalo o conjunto
numrico que servir para estimar el parmetro poblacional.396
ESTADSTICA PARA NEGOCIOSExiste una gama de fenmenos donde la
estimacin puntual cuenta con ciertos inconvenientes, por lo que es
preferible uti lizar intervalos para realizar una estimacin
apropiada de los parmetros. En el caso de la estimacin por
intervalos de la media poblacional se utiliza la informacin
contenida en una muestra de la que se obtienen dos valores numricos
que definen un rango donde se encuentra la media
poblacional.Porejemplo,sisedeseaestimarelpromediodeedaddelapoblacinestudiantildeuna
universidad y para ello elegimos una muestra, utilizando la
estimacin por intervalos se obtienen dos valores, por ejemplo 22.5
y 24.5, lo que quiere decir que el verdadero valor del promedio de
edad de esa poblacin estudiantil se encontrar dentro del rango de
22.5 a 24.5 aos de edad, aunque nunca se sabr con exactitud su
verdadero valor. Una manera de expresar formalmente este resultado
es utilizando corchetes: [22.5, 24.5].La estimacin por intervalos
tiene varias ventajas; una es que no ofrece un valor nico, sino un
rango donde es muy posible o muy probable que el parmetro
poblacional se encuentre incluido. De esta manera se supera la
limitacin de los estimadores puntuales de que su resultado nico
vara de muestra en muestra; es decir, con la estimacin por
intervalos tenemos ms probabi lidad de acertar al verdadero valor
poblacional.Laprincipalventajadelaestimacinporintervalosesquesuresultadoofreceunnivelde
confianza que permite conocer en cunto le podemos creer o tenerle
confianza al resultado obtenido de la estimacin.Por esta razn, la
estimacin por intervalos tambin es conocida como estimacin por
intervalosdeconfianza, pues su nivel de confianza seala qu tan
posible o qu tan probable es que el parmetro poblacional se
encuentre incluido dentro del rango definido.El concepto de nivel
de confianza se encuentra muy relacionado con el de probabilidad,
pero en lugar de estimar la posibilidad de que un evento suceda, el
nivel de confianza seala qu tanta confianza le podemos tener o le
podemos creer a un resultado obtenido de un intervalo. Un nivel de
confianza generalmente se mide en porcentajes y tiene un rango
entre 0% y 100% de confianza. Un nivel alto de confianza, por
ejemplo, 95% implica que se tiene mucha confianza en el resultado
del intervalo; mientras que un nivel bajo de confianza, por ejemplo
40%, implica que se tiene poca confianza en el resultado
proporcionado por el intervalo.Los siguientes son algunosejemplos
donde la estimacin por intervalossuele ser de mucha
utilidad:ejemplo:elvalorpromedioqueeltipodecambiotendrparaelsiguientemesconel
propsito de estimar el nivel de exportaciones de una empresa; el
precio promedio del barril de petrleo o mezcla mexicana que tendr
el siguiente ao para as estimar el presupuesto del gobierno
federal; el promedio de las tasas de inters durante los siguientes
cinco aos con la finalidad de medir el gasto por endeudamiento de
un sector o de un
pas.enundeterminadodadelaodeunagranciudadopas;elnivelmximoymnimo
que adquirir el ndice burstil de una bolsa; el nivel mximo y mnimo
de la inflacin esperada para el siguiente ao con el fin de prever
adecuadamente los planes de inversin de una empresa.dependencia
gubernamental desea conocer qu porcentaje de la poblacin gana entre
3 y 5 salarios mnimos, o cuando el departamento de mercadotecnia de
una empresa de juguetes desea saber cul es el rango de edad de los
nios que se interesan por un nuevo diseo de carro de control
remoto.397 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIAS1. Es un procedimiento de la
estadstica inferencial con el cual se realizan clculos con los
datos de una muestra cuyo resultado son dos valores numricos que
definen un rango para estimar el parmetro poblacional:a)
Estimacin.b) Estimacin puntual.c) Estimacin por intervalos.d) Nivel
de confianza.2. Es un procedimiento de la estadstica inferencial
mediante el cual se realizan clculos con los datos de una muestra
para obtener valores o resultados que describan las caractersticas
de la poblacin:a) Estimacin.b) Estimacin puntual.c) Estimacin por
intervalos.d) Nivel de confianza.3. Es un procedimiento de la
estadstica inferencial mediante el cual se realizan clculos con los
datos de una muestra cuyo resultadoesun valornumrico
nico,empleadopara estimar el valor de un parmetro poblacional:a)
Estimacin.b) Estimacin puntual.c) Estimacin por intervalos.d) Nivel
de confianza.4. Es un estimador de la media poblacional:a)
XXinb)XiNc) Sn221( ) X Xd) Sn( ) X X215.
Eselresultadoqueseobtienealempleardatosdeunamuestraenlafrmulaoexpresin
matemtica para inferir sobre una poblacin:a) Estimacin.b)
Estimador.c) Estimado.d) Nivel de confianza.398 ESTADSTICA PARA
NEGOCIOS6. Es una representacin matemtica que emplea datos de una
muestra para estimar un parmetro poblacional:a) Estimacin.b)
Estimador.c) Estimado.d) Nivel de confianza.7. Son algunas
desventajas de realizar estimacin puntual:a) Su resultado es
expresado en niveles de confianza, aunque esto no implica que
siempre se tendr un 100% de confiabilidad.b) Su resultado vara
demuestra enmuestra ynoofreceun nivelde confianza para saber cunto
creerle al resultado.c) Siempre son estimadores insesgados y su uso
no es muy frecuente en los negocios y en las ciencias sociales.d)
No se puede utili zar para realizar pronsticos, ni para inferir
sobre un verdadero parmetro de la poblacin.8. Son algunas ventajas
de realizar estimacin por intervalos de confianza:a) Su resultado
vara de muestra en muestra.b) Su intervalo se puede utili zar con
mucha sabidura.c) Siempre ofrece un 100% de nivel de confianza.d)
Su resultado ofrece un nivel de confianza.9. Si le has prestado
dinero a un familiar en 10 ocasiones y nicamente te ha devuelto el
dinero en 9, el nivel de confianza que le tienes es de:a) 9%b)
100%c) 90%d) 95%10. Si se tiene un intervalo de 95% de confianza
para estimar la media poblacional de [300, 320], entonces:a) La
media poblacional se encontrar entre 300 y 320.b) La media muestral
se encontrar fuera de este intervalo.c) La media muestral estar
entre 300 y 320 con un 95% de confianza.d) La media poblacional
estar entre 300 y 320 con un 95% de confianza.399 UNIDAD
7.ESTIMACIN DE MEDIAS7.2. Estimacin de la media de una poblacin
mediante intervalos de confianzaComo se ha sealado unodelos mtodos
para estimarla mediadeunapoblacinesatravs de intervalos de
confianza.Existen dos frmulas para poder estimar la media de una
poblacin a travs de intervalos de confianza y el uso de cada una de
ellas depende del caso que se examine. En primer lugar se mostrar
un mtodo generalmente utilizado cuando se dispone de muestras
grandes, es decir, para aquellas muestras compuestas de 30 o ms
datos. Este mtodo tambin puede ser utilizado para muestras menores
a 30 datos, siempre y cuando se tenga pleno conocimiento que ladi
stribucindelosdatosdelapoblacinseanormalyqueseconozcaelvalordelavarianza
poblacional o de la desviacin estndar poblacional.En segundo lugar
se mostrar un mtodo empleado para el caso de muestras pequeas
cuando se desconoce el valor de la varianza poblacional o de la
desvi acin estndar poblacional, siempre y cuando tambin se tenga
pleno conocimiento de que la di stribucin de los datos de l a
poblacin sea
normal.Porltimosepresentarunmtodoparaestimarladiferenciaqueexisteentrelasmedias
poblacionales de dos conjuntos de datos distintos. Este mtodo
ofrece grandes ventajas cuando se desea conocer si existen
diferencias significativas en la forma en que se concentran los
datos de dos poblaciones distintas.7.2.1. Muestras grandesEl mtodo
de estimacin de la media para muestras iguales o mayores a 30 datos
se fundamenta en el teorema del lmitecentral en la unidad anterior,
el cual seala que conforme se incremente el tamao n de cada muestra
posible que se extrae de una poblacin de tamao N, la distribucin
muestral de la media ir adquiriendo la forma de una distribucin
normal. Cuando se conoce la desviacin estndar poblacional, la
frmula para estimar la media de una poblacin a travsde intervalos
de confianza, con la informacin contenida en una muestra con 30 o
ms datos es:X Z X Z2 2 n n Frmula 7.1Cuando no se conoce la
desviacin estndar poblacional, la frmula para estimar la media de
unapoblacinatravs deintervalosdeconfianza, con la
informacincontenidaenunamuestra grande es:X Z X Z2 2SnSnFrmula
7.2Esdecir,lanicadiferenciaradicaenquela primera
frmulautilizaladesviacinestndar poblacional, mientras que en la
segunda frmula se utiliza la desviacin estndar que se obtiene de la
muestra.Observa que ambas frmulas proporcionan dos valores que
definen un intervalo en el que se encuentra contenida la verdadera
media poblacional, con un nivel de confianza que se traduce en la
probabi lidad de que la media poblacional se encuentre dentro de
nuestro intervalo de confianza. El intervalo de confianza tambin
puede expresarse como:X Z X Z2 2 n n,400 ESTADSTICA PARA
NEGOCIOSObserva que el intervalo se encuentra acotado por los dos
valores resultantes. Al valor que se encuentra en la parte
izquierda del intervalo se le conoce como la cota inferior, la cual
seala el valor mnimo que puede adquirir la media poblacional. Al
valor que se encuentra en la parte derecha de la frmula se le
conoce como la cota superior, la cual seala el valor mximo que
puede adquirir la media de la poblacin.Los elementos que conforman
el intervalo de confianza son: X= Media de la muestra. Z2 = Es el
valor de Z situado bajo la curva normal estandari zada.n = Es el
error estndar de la media muestral.El primer componente es el
estadstico puntual X para la media poblacional, el cual sirve como
referencia para establecer el intervalo de confianza. El segundo
componente Z/ 2 es un valor que se encuentra estrechamente
relacionado con el nivel de confianza del intervalo y se obtiene de
la tabla de la di stribucin normal estandarizada. El ltimo
componente,noS n , es el error estndar de la media muestral o la
desviacin estndar de la di stribucin de X.El nivel de confi anza
sirve para determinar el valor de Z/ 2. Para esto, uno determina un
nivel de confianza considerable, por ejemplo, 90%, 95%, 98% o 99%.
Este nivel de confianza se define como (1 )% y seala el porcentaje
de todos los intervalos que se pueden construir con todas las
medias muestrales posibles que contendrn al verdadero valor de la
media poblacional. Cabe sealar que se define como el nivel de signi
ficanci a y representa la probabilidad de que el parmetro no se
encuentre considerado dentro del intervalo estimado. Los niveles de
confianza ms comunes y sus respectivos valores de Z/ 2 son:1Z/ 290%
1.64595% 1.9698% 2.32699% 2.576Tabla 7.1.Ni veles de confi anza ms
uti li zados.Esto quiere decir que, si se est trabajando con un
nivel de confianza de (1 )% = 90%, el valor de Z/ 2 que se debe
utili zar en la frmula del intervalo de confianza es 1.645. Lo
mismo sucede para los niveles de confianza de 95%, 98% y de 99%,
cuyos valores de Z/ 2 son 1.96, 2.326 y 2.576,
respectivamente.Recuerda que este mtodo de estimacin est basado en
el teorema central del lmite, el cual permite asegurar que al
extraer una muestra grande para realizar inferencias sobre el
comportamiento de la poblacin, la media muestral tiene una
distribucin normal, sin importar cmo sea la distribucin original de
los datos de la poblacin. En ese sentido, el error que se puede
cometer al utilizar a X como estimador de ser de una magnitud
aproximada al valor deE n/ 2, al que se le conoce como el error
mximo dela estimacin.De una manera ms formal, a continuacin se
expondr el procedimiento para obtener la frmula de intervalos de
confianza para muestras grandes utilizando el teorema del lmite
central. Para ello se utilizar el estadstico Z de la distribucin
muestral estandarizada de la media estudiado en la unidad 8.Si se
sabe que, en general,X es la media de una muestra de tamao n 30,
tomada de una poblacin con media y desviacin estndar, la
distribucin de la media muestral estandari zada es aproximadamente
una normal con media uno y varianza cero, cuyo estadstico se
representa por:401 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIASZX =Ahora bien,
recordemos de la unidad 4 que el valor Z seala a qu di stancia se
encuentra alejado un valor especfico de la media de una di
stribucin. La relacin que exi ste entre dos valores de Z y el
porcentaje de datos de la poblacin que se encuentra i ncluido entre
esos dos valores de Z, (1 )%, viene dado por:[ ] Z Z Z2 2( )% 1La
frmula anterior establece que la variable aleatoria Z puede
adquirir un valor comprendido en el intervalo que va de Z/ 2 a Z/
2, con una probabilidad de 1 , o un porcentaje de (1 )% de los
valores de una poblacin (vase la figura 7.1). Z/ 20Z/ 2(1 )Fi gura
7.1. Ni vel de confi anza.Sustituyendo el valor de la normal
estandari zada en Z se tiene que:ZXZ2 2n1 ( )%Alreali
zarlasoperacionesalgebraicascorrespondientesseobtieneelintervalodeconfianza
para la media poblacional:X Z X Z2 2 n n1 ( )%Observa que conforme
se exija un mayor nivel de confianza, el valor de Z/ 2y el error
mximo de la estimacin (E) tambin se incrementarn, por lo que el
intervalo se har ms ancho y se perder preci sinenla
estimacindelamediapoblacional. Porel contrario, si se exigemenos
nivelde confianza, el valor de Z/ 2 y el error mximo de la
estimacin (E) tambin se reducirn, por lo que el intervalo se har ms
estrecho y se ganar preci sin en la estimacin de la media
poblacional . Esto se convierte en un dilema para la persona que
desea estimar la media poblacional . Por un lado se desea un nivel
alto de confianza en el resultado del intervalo, pero tambin se
requiere ganar precisin en la estimacin de , es decir, intervalos
de confianza que sean de preferencia muy estrechos.Cabe sealar que
este mtodo tambin puede ser utilizado para estimar intervalos de
confianza para muestras pequeas menores a 30 datos, siempre y
cuando se tenga pleno conocimiento de que ladi
stribucindelosdatosdelapoblacinseanormalyqueseconozcaelvalordelavarianza
poblacional o de la desviacin estndar poblacional.402 ESTADSTICA
PARA NEGOCIOSEjemplo
1Unamquinaderefrescosestajustadadetalmaneraquelacantidaddelquidodespachadase
di stribuye aproxi madamente en forma normal con una desvi acin
estndar i gual a 0.15 litros. Si se toma una muestra de 25
refrescos cuya media fue de 2.25 litros, cul sera el intervalo de
confianza de 95% para la media de todos los refrescos que sirva
esta mquina?En este caso se tiene una muestra pequea. No obstante,
se sabe que la distribucin de refrescos
esnormalyseconoceladesviacinestndarpoblacional=0.15litros,porloqueseutilizala
siguiente frmula del intervalo de confianza:X Z X Z2 2 n nSi
tenemos un nivel de confianza de 95%, el valor que tomar Z/ 2, de
acuerdo con la tabla 7.1, es de 1.96, por lo que los datos que
utilicemos en la frmula del intervalo de confianza son:n =25 X=
2.25Z/ 2 =1.96=0.15Sustituyendo los datos en la frmula se obtiene:2
25 1 960 15252 25 1 960 1525. ( . ).. ( . ).2 25 0 0588 2 25 0 0588
. . . .2 1912 2 3088 . .En conclusin, con un nivel de confianza de
95%, la media del contenido neto de los refrescos que esta mquina
envasa se encuentra entre 2.1912 y 2.3088 litros.Ejemplo 2 Al
asumir la nueva administracin de un banco, los nuevos directivos
encontraron un problema: no disponen de informacin detallada sobre
los prstamos otorgados a travs de una tarjeta de crdito. Conseguir
esta informacin les tomar varias semanas y el nuevo director
general desea conocer, en menos de 24 horas, cul es el promedio
aproximado de endeudamiento de los tarjetahabientes?Por lo
anterior, el departamento de crdito revis de manera aleatoria los
expedientes de 36 clientes y observ que su promedio de
endeudamiento ascenda a 8 168 pesos con una desviacin estndar de 1
200 pesos. Cul es el intervalo para estimar el promedio de
endeudamiento de toda la poblacin de tarjetahabientes que se le
informara al nuevo director general si se utili za un nivel de
confianza de90% y de
99%?Noseconoceladistribucinpoblacionaldeloscrditosotorgadosmedianteestatarjeta.Sin
embargo, al seleccionar un tamao de la muestra de n = 36, se cumple
con el teorema del lmite central, por lo que la media poblacional
se puede estimar mediante un intervalo de confianza para muestras
grandes.403 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIASLos datos recolectados de
la muestra son:
n=36 X= 8 168 S = 1 200Si se desea un intervalo de 90% de
confianza, el valor de Z/ 2 = 1.645. Sustituyendo los datos en la
frmula se obtiene:8168 1 6451200368168 1 645120036( . ) ( . )8168
329 8168 3297 839 8 497Si se desea un intervalo de 99% de
confianza, el valor de Z/ 2 = 2.576. Sustituyendo los datos en la
frmula se obtiene:8168 2 5761200368168 2 576120036( . ) ( . )8168
515 2 8168 515 2 . .7 652 8 8 683 2 . .Con un 90% de confianza, se
prev que el promedio de endeudamiento estar comprendido en un
intervalo de 7 839 a 8 497 pesos por cliente. En cambio, con un 99%
de confianza, el promedio de endeudamiento se encuentra entre 7
652.8 a 8 683.2 pesos por cliente. Observa cmo al incrementarse el
nivel de confianza de 90% a 99%, el intervalo se hace ms ancho, por
lo que se pierde preci sin en la estimacin de la media
poblacional.7.2.2. Muestras pequeasEn los apartados anteriores se
utiliz la distribucin normal pues resulta ser un buen instrumento
para realizar inferencias cuando se trabaja con muestras grandes
(nsiempre y cuando la distribucin de la poblacin sea normal y se
conozca la desviacin
estndar.Sinembargo,existensituacionesdondesedeseaestimarlamediadeunapoblacinenque
nicamente se dispone de muestras pequeas (n < 30) y la desviacin
estndar de la poblacinno se conoce, este desconocimiento se debe en
parte a situaciones en que el nmero de observaciones no es lo
suficientemente representativo de una poblacin.Para estimar la
media poblacional con muestras pequeas se puede acudir al uso de la
distribucin t, tambin conocida como la di stribucin t student, la
cual es til cuando se trabaja con muestras pequeas y se sabe que la
distribucin de los datos es normal, pero se desconoce la desviacin
estndar
poblacional.Cuandosetrabajaconmuestraspequeasqueseextraendeunapoblacinendondesu
distribucin es normal y la desviacin estndar se desconoce, el
estimador por intervalos de confianza para la media poblacional
puede obtenerse a partir de la siguiente frmula:X X tSntSn 2 2404
ESTADSTICA PARA NEGOCIOSSi se compara con la frmul a para muestras
grandes, se observa que el estadstico Z/ 2 de la di
stribucinnormalfuereemplazado por el estadsticot/ 2 de ladi
stribucint student y,puesto
quesedesconoceladesviacinestndarpoblacional
,selesustituyeporelestimadordela desviacin estndar de la muestra S.
Esta frmula fue derivada de la mi sma manera que la que se uti liza
en muestras grandes, pero utili zando el estadstico de la di
stribucin t cuya di stribucin estandarizada es:tSnXDonde:X =Media
muestral. =Media poblacional.S=Desviacin estndar de la muestra como
una aproximacin a la desviacin estndar.n =Nmero de observaciones.El
nuevo componente, t/ 2, se obtiene de una tabla de probabilidades.
La distribucin t student
tieneuncomportamientomuysimilaraladistribucinnormal,puesesacampanadaysimtrica
con respecto al valor de la media, con lasalvedad de que es
platicrticao ms achatadaque la distribucin normal. El grado de
apuntamiento de la distribucin t depende de los grados de libertad,
los cuales estn estrechamente ligados al tamao de la muestra.Los
gradosdelibertad representan el tamao de la muestra menos uno (n
1). Por ejemplo, si se tiene una muestra de tamao 25, los grados de
libertad sern (25 1) = 24; es decir, se tiene 24 grados de
libertad. A mayor tamao de la muestra, los grados de libertad sern
mayores y mayor el grado de apuntamiento de la distribucin t
student, es decir, es menos achatada. Si el tamao de la muestra es
muy grande, por ejemplo 120, la distribucin t student ya no es
achatada, sino mesocrtica, por lo cual se transforma en la
distribucin normal.Una diferencia de la di stribucin t con respecto
de la di stribucin normal estandarizada (Z) es que la primera tiene
mayores variaciones que la segunda. La mayor variabilidad de la
distribucin t se debe a que depende tanto de la media muestral como
de la aproximacin a la desviacin estndar S. Sin embargo, cuando el
tamao de la muestra es demasiado grande, no existe ninguna
diferencia entre la distribucin t student y la normal.Ejemplo 3En
sei s procesos de produccin di stintos con una duracin de dos horas
cada uno se observaron lossi guientesartculosdefect
uosos:9,14,7,8,11y5.Si sesabequeladi stribucindelos artculos
defectuosos es normal, cul ser el i ntervalo donde se encuentra el
nmero promedio de artculos defectuosos si se tiene un nivel de
confianza de 95%?Enestecasosetieneunamuestrapequea,sesabequeladi
stribucindelapoblacines normal y se desconoce la desviacin estndar
de la poblacin. En primer lugar se debe obtener el valor de la
media muestral:X =X=546=9n405 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE
MEDIASPuestoquesedesconoceelvalordeladesviacinestndarseprocedeacalcularenprimer
trmino el valor de la varianza para despus obtener el valor de la
desviacin estndar. La frmula de la varianza para una muestra est
dada por:SnXX X22 2 2 2 2 2 219 9 14 9 7 9 8 9 11 9 5 9 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )5510Una vez que se estima el valor de la varianza es
posible obtener el valor de la desviacin estndar de la muestra a
partir de:S SX X210 3 1622 .SX3 1622 .Ya que se tienen los valores
de la media muestral y de la desviacin estndar muestral se procede
a resolver el problema. El valor que obtenemos en la tabla de la
distribucin t es t/ 2 = 2.571, teniendo en consideracin que los
grados de libertad son: n 1 = 5 y el nivel de confianza es de 95%
(en la tabla se debe buscar el rengln que seala 5 grados de
libertad y la columna con/ 2 = 0.025, pues si se tiene un nivel de
confianza de 95%; entonces, el nivel de significancia es= 1 0.95 =
0.05, este valor se divide entre 2 y se obtiene/ 2 = 0.025).Datos:n
=6X =9t/ 2 = 2. 571S =3.1622Si se sustituyen estos valores en la
frmula de intervalo para muestras pequeas tenemos:X X tSntSn 2 29
25713 162269 2 5713 16226( . ).( . ).9 3 32 9 3 32 . .5 68 12 32 .
.En conclusin, con un 95% de confianza el intervalo queda
comprendido entre 5.68 y 12.32 artculos defectuosos, o sea, se
tienen aproximadamente en promedio 6 artculos defectuosos como
mnimo y 12 artculos defectuosos como mximo.Ejemplo 4Un almacn de
autotransportes de carga tiene registros de las diversas
transacciones que realiza con sus clientes normalmente
distribuidos. Si elige una muestra al azar de 15 de estos registros
cuya media es de 63.9 toneladas y una desviacin estndar de la
muestra de 2.8 toneladas, cul es el intervalo de confianza del
servicio de carga promedio si se tiene un nivel de confianza de
90%?406 ESTADSTICA PARA NEGOCIOSEn este caso, se desconoce la
desviacin estndar de la poblacin, pero se conoce la desviacin
estndardelamuestra,porloquenicamentesetienequesustituir.Elvalordet/
2 esde1.761, teniendoen consideracinque losgrados delibertad para
este caso son:n1=14y elnivelde confianza es de 90% (en la tabla se
tiene que buscar el rengln que seala 14 grados de libertad y la
columna con/ 2 = 0.05, pues si se tiene un nivel de confianza de
90%, entoncesel nivel de significancia es= 1 0.90 = 0.1, este valor
se divide entre dos, por lo que se obtiene/ 2 = 0.05).Datos:n =15
X=63.9t/ 2 =1.761SX =2.8Sustituyendo estos valores en la frmula del
intervalo para muestras pequeas tenemos:X X tSntSn2 263 9 1 7612
81563 9 17612 815. ( . ).. ( . ).63 9 1 2731 63 9 1 2731 . . . .62
6269 65 1731 . .Al tener un 95% de confianza, el promedio de carga
se encuentra en un intervalo comprendido entre 62.6269 y 65.1731
toneladas.7.2.3. Esti macin de la diferenci a entre dos medias
poblacionalesAli gualque enlosapartados anteriores, stelodividi
remos endospartes: unapara anali zar situaciones que presentan
muestras grandes y otra para casos en los que se presentan muestras
pequeas. Como se mencion previamente, cuando se trabaja con muest
ras grandes la desviacin estndardelapoblacinesmuysimi laral adesvi
acinestndardelamuestrayelteorema central del lmite garanti za que
la di stribucin muest ral de la medi a sea normal. En cambio, si se
tienen muestras pequeas y se desconoce la desvi acin estndar
poblacional se puede acudi r al auxi lio de la di stribucin t
student, siempre y cuando se conozca que l a pobl acin tiene una di
stribucin normal .Existen casos en los que es necesario estimar la
diferencia entre dos medias, con la finalidad de comparar dos
poblaciones, por ejemplo:bancarias.dos empresas.instrumentos de
inversin.407 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIASratingo nivel de audiencia
de dos programas de televisin transmitidos a la mi sma hora en
diferentes canales.haciendo publicidad en dos ciudades
diferentes.Elestimadorpuntualdeladi ferenci aentre1y2,lodaelesti
madorX1X2.Porlo
tanto,paraobtenerunaestimacinpuntualde1y2seseleccionarndosmuestrasaleatori
as independientes, una para cada poblacin, de tamaos n1 y n2, y se
calcular la diferencia entre sus medias muestrales.En el caso de
trabajar con muestrasgrandesde cualquier tipo o que se conozca que
la poblacin tieneunadi
stribucinnormalyladesviacinestndarpoblacionalseaconocida,lanormal
estandari zada estara dada por:ZX X ( ) ( ) 1 21 2121222n nEl
intervalo de confianza correspondiente estar comprendido entre Z/ 2
y Z/ 2, sustituyendo en la frmula de la normal estandarizada se
tiene:ZX XZ21 21 21212222( ) ( )n nEsta frmula conduce al siguiente
intervalo de confianza para 1 2, el cual tambin puede ser utilizado
para muestras pequeas siempre y cuando se conozca que la di
stribucin de la poblacin sea normal y su desviacin
estndarpoblacional tambin sea conocida:( ) ( ) X X Z X X Z 1
221212221 21 22121222n n n nEn el caso de muestras grandes en las
que no se conozca la desviacin estndar poblacional se puede
utilizar la desviacin estndar muestral, por lo que la frmula del
intervalo de confianza quedara de la siguiente manera:( ) ( ) X X Z
X X Z 1 221212221 21 22121222SnSnSnSn408 ESTADSTICA PARA
NEGOCIOSEjemplo 5Una empresa de alimentos reali z un experimento
para comparar dos dietas para adelgazar: 1 y 2. Se seleccionan al
azar dos grupos de 36 personas con sobrepeso, el primer grupo se
somete a la dieta 1 y el otro a la dieta 2. Se observa que durante
un determinado nmero de das el promedio de prdida de peso y las
desviaciones estndar de ambos grupos son las siguientes:X X 112221
3 26 13 4 1 9 . . . . S S . Cul es el intervalo de 95% de confianza
para la diferencia entre las prdidas de peso promedio de las dos
dietas?Al tratarse de una muestra grande y un nivel de confianza de
95%, de acuerdo con la tabla 7.1, el valor para Z/ 2 es Z/ 2 =
1.96.Datos:n1=36n2=36X1 = 21.3X2 = 13.4S1=2.6S2=1.9Z/ 2 = 1.96Al
sustituir los datos en la frmula se obtiene:( . . ) .( . ) ( . )( .
. ) .(21 3 13 4 1 962 6361 93621 3 13 4 1 9622 21 2.. ) ( . ) 6361
9362 27 9 1 052 7 9 1 0521 2. . . .6 848 8 9521 2. .Por tanto, la
diferencia entre las prdidas de peso promedio de las dos dietas se
encuentra en un intervalo comprendido de 6.848 a 8.952. En este
caso, tanto la cota inferior como la cota superior son positivas,
lo que ref leja que el promedio de prdida de peso de la dieta 1
siempre es mayor que el de la dieta 2. Por esta razn se puede
aseverar que la dieta 1 tiene mayor efectividad que la dieta
2.Cuando la diferencia entre dos medias est dada por un intervalo
de confianza con ambas cotas negativas, se dice que el promedio de
la poblacin 2 es mayor que el de la poblacin 1. Cuando el intervalo
de confianza est compuesto por dos cotas positivas, entonces se
dice que la poblacin 1 es mayor a la poblacin 2. En el caso de que
la cota inferior sea negativa y la cota superior del intervalo sea
positiva no se puede decir cul de los promedios de las dos
poblaciones es
mayor.Ahorabien,cuandosetieneunapoblacincuyadistribucinesnormalynoseconocela
desvi acin estndar de la pobl acin, y si se selecciona una muest ra
muy pequea se hace uso de la di stribucin t. En el caso de la
estimacin de un intervalo de confianza para la diferencia de dos
medias, los gradosdelibertad estn representados por n1 + n2 2.La
frmula estandari zada para t es dada por:tSn n( ) ( ) X X 1 21 21
21 1409 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIASEl intervalo para la di
stribucin t queda comprendido por:t t t2 2Si se sustituye la frmula
estandari zada de t se obtiene:tSn nt21 21 21 221 1( ) ( ) X XPor
lo tanto, el intervalo de confianza para la diferencia de medias de
una poblacin es dada por:( ) ( ) X X X X 1 221 21 21 221 21 1 1 1t
Sn nt Sn nComo se desconoce la desviacin estndar poblacional, se
tiene que calcular la varianza muestral de ambas poblaciones S2
mediante la siguiente frmula:Sn S n Sn n2 1 122 221 21 12( ) (
)Para obtener la desviacin estndar muestral de ambas poblaciones se
le saca la raz cuadrada a la varianza y su resultado Sse sustituye
en la frmula del intervalo de confianza para la diferencia de dos
poblaciones.Ejemplo 6Se reali z un comparativo entre dos tipos de
automviles para ver cul resultaba ms econmico, se utili zaron 12
Volkswagen y 10 Toyota en pruebas con velocidades de 90 km por
hora. Los VW obtuvieron un rendimiento promedio de 16 km por litro
con una desviacin estndar de 1 km por litro, mientras que los
Toyota obtuvieron un rendimiento de 11 km por litro, con una
desviacin estndar de 1.8 km por litro. Calcula un intervalo de
confianza de 90% para la diferencia entre el rendimiento promedio
por litro de ambos automviles.En este caso los grados de libertad
son n1 + n2 2 = 20. Al solicitarse un intervalo de 90% de
confianza, el nivel de significancia es = 1 0.90 = 0.1; este valor
se divide entre dos, por lo que se obtiene/ 2 = 0.05. El valor del
estadstico t que se encuentra en tablas con 20 grados de libertad y
/ 2 = 0.05 es t/ 2 = 1.725.Datos:n1=12n2=10X1 =16X2 =11S1=1S2=1.8t/
2 = 1.725410 ESTADSTICA PARA NEGOCIOSPrimero se encuentra el valor
de la varianza y posteriormente el valor del intervalo;
sustituyendo en la frmula de la varianza se obtiene:Sn S n Sn n2 1
122 221 21 12( ) ( )S22 212 1 1 10 1 1 812 10 211 1 9 3 242011 ( )(
) ( )( . ) ( )( ) ( )( . )29 162040 16202 008. ..La desviacin
estndar es la raz cuadrada de la varianza, por lo tanto:S S22 008 1
417 . .( ) ( . )( . ) ( ) ( . )( . ) 16 11 1 725 1 41711211016 11 1
725 1 4171 21 1121105 1 046 5 1 0461 2. .3 954 6 0461 2.
.Ladiferenciaentrelosrendimientospromediospoblacionalesdeestosdosvehculosse
encuentra entre 3.954 y 6.046. Al ser ambos resultados en nmeros
positivos, se puede aseverar que los vehculos de la poblacin 1 (VW)
tienen mayor rendimiento promedio en ki lometraje por litro que los
vehculos de la poblacin 2 (Toyota). Este diferencial puede incluso
l legar por encima de los 6 kilmetros por litro de gasoli na
(observa la cota superior del i ntervalo).Cabe destacar que los
mtodos uti lizados para estimar los intervalos de confianza con
muestras pequeas cuando no se conoce la desviacin estndar de la
poblacin, se parte del supuesto de que la di stribucin de la
poblacin es normal. Si bien es cierto que las muestras pequeas
generalmente sonutili zadasparaexperi
mentosdondehacerunamuestragrandepuederesultarmuycostoso, cuando no
se tiene plena seguridad de que la distribucin de la poblacin es
normal es aconsejable incrementar el tamao de la muestra a un nmero
superior a los 30 datos; de esta manera se da cumpli miento al
teorema del lmite central y las esti maciones de la media se pueden
l levar a cabo mediante i ntervalos con alto grado de confiabi
lidad.411 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIAS1. Si se incrementa el nivel
de confianza para la estimacin de un intervalo, el error mximo de
la estimacin E presentar el siguiente comportamiento:a) Se
incrementar.b) Se reducir.c) Quedar sin cambios.d) No se puede
determinar qu pasar.2. El nivel de significancia se puede
interpretar como:a) El porcentaje de los intervalos que se pueden
construir con todas las medias muestrales posibles que contendrn al
verdadero valor de .b) El porcentaje o probabilidad de que se
estime correctamente la media muestral dentro del intervalo.c)
Elniveldeprobabilidaddequeladistribucinmuestraldelamedianotengauna
distribucin normal.d) La probabilidad de que el parmetro no se
encuentre considerado dentro del intervalo estimado.3. El nivel de
confianza se puede interpretar como:a) El porcentaje de los
intervalos que se pueden construir con todas las medias muestrales
posibles que contendrn al verdadero valor de .b) El porcentaje o
probabilidad de que se esti me correctamente la medi a muestral
dentro del intervalo.c) Elniveldeprobabilidaddequeladi
stribucinmuestraldel amedianotengauna di stribucin normal.d)
Laprobabi li daddequeelparmet ronoseencuentreconsideradodent rodel
i ntervalo esti mado.4. Si se tiene un nivel de confianza de 90%,
el nivel de significancia ser de:a) 0.001b) 0.25c) 0.05d) 0.105. Si
se reduce el nivel de confianza para la estimacin de un intervalo,
el intervalo de confianza ser:a) Ms ancho.b) Ms estrecho.c) Quedar
sin cambios.d) No se puede determinar qu pasar.6. Si se tiene un
nivel de confianza de 98%, el estadstico Z/ 2 ser igual a:a)
1.645b) 1.96412 ESTADSTICA PARA NEGOCIOSc) 2.326d) 2.5767. Las
frmulas de intervalos de confianza para muestras grandes tambin
pueden ser uti lizadas para muestras pequeas, siempre y cuando:a)
Se tengaseguridad quela di stribucindela poblacin seanormal, aunque
no setenga conocimiento de la varianza poblacional.b)
Setengaseguridadqueladistribucindelapoblacinseanormalyqueseconozcala
desviacin estndar muestral.c) Se tengaseguridad quela di
stribucindela poblacin seanormal, aunque no setenga conocimiento de
la varianza muestral.d)
Setengaseguridadqueladistribucindelapoblacinseanormalyqueseconozcala
desviacin estndar poblacional.8. Si se incrementa el nivel de
confianza para la estimacin de un intervalo, la estimacin de la
media poblacional presentar el siguiente comportamiento:a) Ganar
precisin.b) Perder precisin.c) Quedar sin cambios.d) Se reducir el
nivel de confianza.9. Si se tiene una muestra de tamao 23 y se
desea estimar mediante intervalos de confianza la media de una
poblacin, los grados de libertad son:a) 21b) 22c) 23d) 2410. La
diferencia de la distribucin t con la distribucin normal es que la
primera:a) Es platicrtica.b) Es mesocrtica.c) Tiene sesgo
positivo.d) Es asimtrica.11. Si sei ncrementanl osgradosdel ibert
adoeltamaodeunamuestrapequea,l a di st ri bucin t student:a) Ser
menos platicrtica.b) Ser ms platicrtica.c) Ser menos simtrica.d)
Ser ms simtrica.12. Si las dos cotas de un intervalo de confianza
para estimar la diferencia de dos poblaciones, 1 y 2, son
negativas, entonces se puede decir que:a) La media de la poblacin 1
es mayor que la media de la poblacin 2.b) La media de la poblacin 2
es mayor que la media de la poblacin 1.413 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE
MEDIASc) La media de la poblacin 1 es igual a la media de la
poblacin 2.d) No se puede saber qu poblacin tiene una mayor
media.13. Si se tienen dos muestras n1 = 13 y n2 = 8, y se desea
estimar la diferencia de las medias de dos poblaciones mediante
intervalos de confianza, los grados de libertad para este intervalo
son:a) 7b) 12c) 19d) 2014. Si la cota inferior es negativa y la
cota superior es positiva en un intervalo de confianza para estimar
la diferencia de dos poblaciones, 1 y 2, entonces:a) La media de la
poblacin 1 es mayor que la media de la poblacin 2.b) La media de la
poblacin 2 es mayor que la media de la poblacin 1.c) La media de la
poblacin 1 es igual a la media de la poblacin 2.d) No se puede
saber qu poblacin tiene una mayor media.15. Sisedeseaestimarla
mediade unapoblacin mediante un intervalode 99%deconfianza
utilizando una muestra de tamao 25, entonces:a) t/ 2= 1.711b) t/ 2=
2.064c) t/ 2= 2.492d) t/ 2= 2.79716. Si se estima la media de una
poblacin con distribucin normal y desviacin estndar 3, a travs de
un intervalo de 95% de confianza, y para ello se extrae una muestra
de tamao 25, el error mximo de la estimacin es:a) 0.2352b) 1.0266c)
2.064d) 1.17617. Si la muestra es demasiado grande, la di stribucin
t studentrespecto a la distribucin normal es:a) Igual.b) Ms
aplanada.c) Ms puntiaguda.d) Ms simtrica.18. Si las dos cotas de un
intervalo de confianza para estimar la diferencia de dos
poblaciones, 1 y 2, son positivas, entonces se puede decir que:a)
La media de la poblacin 1 es mayor que la media de la poblacin 2.b)
La media de la poblacin 2 es mayor que la media de la poblacin 1.c)
La media de la poblacin 1 es igual a la media de la poblacin 2.d)
No se puede saber qu poblacin tiene una mayor media.414 ESTADSTICA
PARA NEGOCIOS19. Si sedesea un intervalode 98% de confianza
paraestimar la diferencia de la media de dos poblaciones y para
ello se tiene que n1 =16 yn2 =10, entonces:a) t/ 2 = 2.064b) t/ 2 =
2.056c) t/ 2 = 2.492d) t/ 2 = 2.47920. Si se tiene un nivel de
confianza de 98%, el nivel de significancia ser de:a) 0.001b) 0.1c)
0.01d) 0.0221. Un anali sta de un departamento de personal
selecciona aleatoriamente los expedientes de 16 empleados y
determina que el ndice salarial medio muestral por hora es de $9.5.
Se supone quelosndicessalarialesdelacompaasiguenunadi
stribucinnormal.Sisesabequela desviacin estndar poblacional de los
ndices salariales es de $1, estima el ndice salarial medio en la
empresa con un intervalo de confianza de 90%.22. Un estudio
realizado por una empresa de qumicos dio como resultado que una
muestra de 25 obreros se enferma en promedio 6.8 veces por ao, con
una desviacin estndar muestral de 2.4. Si se sabe que la
distribucin poblacional del nmero de enfermos es normal, construye
un intervalo de confianza de 99% en relacin con el nmero promedio
de veces que un obrero se enferma anualmente.23.
Unaempresaqueproducetelevisoreshadetectadoqueelciclodevidadeunamuestrade
100 televisores es de 48 meses con una desviacin estndar muestral
de 2.4 meses. Teniendo un nivel de confianza de 95%, cul ser el
intervalo de confianza del promedio de vida de la poblacin de
televi sores?24. Deacuerdoconunaencuestai ndustri
alsondoslossectorescuyopersonaltienealta
productividad,enelprimersectorsetomunamuestrade50empresas,elpromediode
empleadosaltamenteproductivosesdeX1=420.4,conS1=55.7.Enelsegundosector,el
promedio de empleados altamente productivos que se observ en una
muestra de 50 empresas es X2=492.5, con S2=87.5. Con un intervalo
de confianza de 90%, cul es la diferenci a de los promedios de
empleados altamente productivos por empresa entre los dos
sectores?25. De una muestra aleatori a de 16 trabajadores que beben
cantidades considerables de alcohol, elnmeromediodedasdeausenti
smolaboralalmesfuede2.15dasyladesviacin estndar de 1.1 das. De una
segunda muestra de 12 trabajadores que beben espordicamente, el
nmero medio de das de ausenti smo fue de 1.69 das y la desviacin
estndar de 1 da. Calcula un i ntervalo de confianza de 99% de la di
ferencia de las dos medias.415 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIAS7.3.
Estimacin de una proporcin
poblacionalExisteunagrancantidaddesituacionesdondeloquei
nteresaesconocerlaproporcinoel porcentaje de una poblacin, pues
este concepto se encuentra estrechamente relacionado con las
probabilidades de ciertos eventos. Por ejemplo, si se tiene la
proporcin de las personas que tienen
Internetensucasa,statambinpuedeserutili
zadaparacalcularlaprobabilidaddequeuna persona cuente con Internet
al ser seleccionada aleatori amente de una poblacin.Por esta razn,
la estimacin de las proporciones poblacionales constituye una parte
esencial en muchos estudios donde se busca calcular la probabilidad
de xito o de fracaso con que puede ocurrir un evento.
Unaproporcinesunaparte, fraccinoporcentajede loselementosque
constituyenaunapoblacin o
unamuestra.Elconceptodeproporcinpoblacionalseutilizaenmuchoscamposrelacionadosconlos
negocios y las ciencias sociales. Algunos ejemplos donde
frecuentemente tiene aplicacin son:sus recursos en un cierto tipo
de acciones.que prefieren los autos de dos puertas.empleados que
pudieran faltar al trabajo a causa de problemas
familiares.proporcin de artculos que saldrn defectuosos en cada
proceso de produccin.est interesada en determinar la proporcin de
contribuyentes que evadirn impuestos los prximos
aos.Losejemplosanterioresrepresentanunapartedelagrancantidaddecasosdondetiene
aplicacinelmanejodelasproporciones.Porestaraznserequiererealizarestimacionesdelas
proporciones poblacionales con la informacin recolectada a travs de
muestras.Cabe sealar que la proporcin puede ser considerada como
una medida descriptiva que seala la manera en que se encuentra
compuesta una muestra o una poblacin; este indicador es calculado
en valores que van de cero a uno.La estimacin deuna proporcin tiene
como objetivo identificar, a partir de una muestra, aquellos
elementos que posean alguna caracterstica similar a la de una
poblacin. Existen dos maneras de estimar la proporcin de una
poblacin: mediante estimacin puntual y a travs de estimacin por
intervalos de confianza.7.3.1. Estimacin puntual de una
proporcinLaproporcindeelementosdelamuestraquepresentanlacaractersticaenestudiosepuede
considerar como xitos p, mientras que la proporcin de elementos de
la muestra que no presenten la caracterstica en estudio pueden ser
considerados como fracasosq. La frmula para obtener una proporcin
de los xitos o elementos que se observan en una muestra es la
siguiente:416 ESTADSTICA PARA NEGOCIOSpnXDonde:p: proporcin de los
xitos observados en la muestra.X: representa el nmero de xitos que
se puede obtener en una muestra.n: es el tamao de la muestra.Si se
conoce el valor de p, es decir, la proporcin de xitos en una
muestra, automticamente se sabe el porcentaje de fracasos q de la
muestra. La frmula para obtener una proporcin de los fracasos q que
se observa en una muestra es la siguiente: qnq p 1 1XoSi bien es
cierto quep y q sealan la proporcin de xitos y fracasos que se
observan en una muest ra,t ambi n puedenseruti l i zadoscomoest i
madorespuntualesdel as proporcionesde una poblacin, pues son
procedimientos mediante los cuales se reali zan clculos con los
datos de una muestra cuyo resultado es un valor numrico nico que
puede ser empleado para estimar el valor de un parmetro
poblacional.Ejemplo
7Unaempresadeseadeterminarlaproporcindeempleadosquetomacursosdecapacitacinlos
sbados. La empresa elige en forma aleatoria una muestra de 80
empleados, de los cuales 62 toman cursos de capacitacin los
sbados.Datos:n = 80X = 62Al sustituir en la frmula de proporciones
se obtiene:. pnX 62800 775Por lo tanto, a partir de la muestra
tomada, la empresa puede concluir que, 77.5% de la poblacin
deempleadostomacursosdecapacitacinlossbados.Elporcentajedeempleadosquenotoma
cursos de capacitacin se puede obtener a partir de: . . q p 1 1 0
775 0 225Por lo que, 22.5% de la poblacin no toma cursos de
capacitacin los
sbados.Sinembargo,estemtododeestimacinnoresultamuyatractivoantelaslimitacionesque
se observan en todo tipo de estimadores puntuales; por ejemplo, su
resultado vara de muestra en muestra y no proporciona una medida de
referencia que permita conocer cunto le podemos tener confianza al
resultado obtenido de la estimacin puntual.417 UNIDAD 7.ESTIMACIN
DE MEDIAS7.3.2. Esti macin por intervalo de confianza de una
proporcinEl concepto de la proporcin poblacional est ntimamente
ligado con la distribucin binomial, pues en un experimento binomial
el estimador puntual de la proporcin poblacional p es:pnXSi se
utiliza el muestreo aleatorio, entonces la variable X, que
representa el nmero de xitos que se pueden obtener en una muestra,
es una variablebinomial, pues permite definir la probabilidad de
obtener cierto nmero de xitos al estudiar una muestra en
experimentos
independientes.Loanteriorresultadegrantrascendenciayaque,cuandosebuscaestimarunaproporcin
poblacional a partir de una muestra, en la que se conoce el nmero
de xitos y fracasos, se debe hacer uso de variables binomiales; de
stas, al igual que en apartados anteriores, el teorema del lmite
central permite hacer inferencias de las proporciones poblacionales
mediante intervalos de confianza. El teorema cent ral del lmite
seal a que, si se tiene una vari able con di stribucin binomial X
que representa el nmero de xitos que se pueden obtener en una
muestra, con una di stri bucin muestral del estadstico p,en las que
cada una delas posi bles muest ras tiene un tamaon lo
suficientemente grande de tal manera que n multiplicada por el
estadstico p sea mayor o igual a 5, n p 5, y multiplicada por el
estadstico q tambin sea mayor o igual a 5, nq 5, entonces la di
stribucin muestral del estadstico p tendr una di stribucin
normal.Como se sabe que una distribucin binomial X tiene una media
p y una varianza pq, la media y la varianza de la distribucin
muestral del estadstico cuando se tienen muestras independientes
son:E p En nEnEnnp pE p Vii ii( ) { ( )} ( ) ( )( ) XX XX1 1 1nn
nVnVnpqnpqni i1 12 2{ ( )} ( ) X XPor lo tanto, cuando el tamao de
la muestra es suficientemente grande, la distribucin muestral
deunaproporcin
psigueunadistribucinenformanormal,conmediaigualapydesviacin estndar
pqn.Lo anterior permite obtener una frmula para estimar el parmetro
p mediante intervalos de confianza, pues se puede utilizar el
estadstico de la normal estandarizada, es decir, el estadstico de
Z, el cual se puede representar por:Zp ppqnEl estadstico expuesto
anteriormente se aproxima a la distribucin normal estndar.
Entonces, la probabilidad de que la proporcin de una poblacin se
localice dentro del intervalo es:P( ) Z Z Z2 21Si se sustituye el
valor del estadstico Z se tiene:Z Z2 2p ppqn418 ESTADSTICA PARA
NEGOCIOSAplicando un poco de lgebra se obtiene el intervalo de p,
el cual se puede establecer como:pp qnp pp qn 2 2Dentrodeeste
intervalose encuentrael verdaderoparmetro de laproporcin
poblacional. Sin embargo, como la proporcin real de una poblacin se
desconoce, en su lugar se emplean los estimadores muestrales p y q.
Con esta modificacin, el intervalo anterior queda transformado de
la siguiente manera:pp qnp ppqn 2 2Donde:pqnEs la desviacin estndar
del estadstico p, tambin conocido como el error estndar dela
proporcin.Epqn/ 2 Es el error mximo dela estimacin deuna
proporcin.Ejemplo
8Eldepartamentoderecursoshumanosdeunaempresatieneintersenconocerelporcentajede
trabajadoresque tienen estudios de bachillerato, para esto
seleccion una muestra de 200 trabajadores y detect que 114 tienen
al menos estudios de bachillerato. Con un nivel de confianza de
90%, cul es el intervalo para la proporcin de trabajadores que
tienen estudios de bachillerato?Enprimera instancia se debe buscar
el valor de p, que representa la proporcin de trabajadores que
tienen estudios de bachillerato en la muestra seleccionada.pnX
1142000 57 . Que representa la proporcin de xitos.Para obtener la
proporcin de fracasos tenemos que:p p 1 1 0 57 0 43 . .Tenemos que
el porcentaje de xitos representa 57% de la muestra y el porcentaje
de fracasos representa 43%.Antes de estimar el intervalo de
confianza, se debe indagar si la muestra es lo suficientemente
grande para garantizar el cumplimiento del teorema del lmite
central para una di stribucin muestral de una proporcin. np= (200)
(0.57) = 114 5, nq= (200) (0.43) = 86 5,419 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE
MEDIASTanto np como nq son mayores a 5, por lo que la distribucin
muestral del estimador p tiene una distribucin normal. Por lo
tanto, cuando el nivel de confianza es de 90%, el valor de Z/ 2 =
1.645.Datos:p =0.57
q =0.43X =114n =200Z/ 2 =1.645Sustituyendo estos valores en la
frmula se tiene:pp qnp ppqn 2 20 57 1 6450 57 0 432000 57 1 6450 57
0 43. .( . )( . ). .( . )( . )p22000 57 1 645 0 035 0 57 1 645 0
035 . . ( . ) . . ( . ) p0 513 0 627 . . pEn conclusin, la
proporcin de trabajadores que tienen estudios de bachillerato se
encuentra en un intervalo comprendido entre 51.3% y 62.7%.Ejemplo
9De una muestra de 300 artculos de cermica se detect que 75 no
tienen la calidad requerida para poder colocarse en el mercado.
Construye un intervalo de confianza de 95% para estimar la
proporcin poblacional de los artculos que no tienen la calidad
requerida para colocarse en el mercado.Aplicando las frmulas de
proporcin, el nmero de xitos es:pnX 753000 25 .Mientras que el
nmero de fracasos es:q p 1 1 0 25 0 75 . .Antes de estimar el
intervalo de confianza, se debe indagar si la muestra es lo
suficientemente grande para garantizar el cumplimiento del teorema
del lmite central para una di stribucin muestral de una proporcin.
np = (300) (0.25) =75 5, nq = (300) (0.75) = 225 5,420 ESTADSTICA
PARA NEGOCIOSTanto np como nq son mayores a 5, por lo que la
distribucin muestral del estimador p tiene una distribucin normal.
Por lo tanto, cuando el nivel de confianza es de 95%, el valor de
Z/ 2 = 1.96.Datos:n =300p =0.25q =0.75Z/ 2 =1.96Sustituyendo estos
valores en la frmula se tiene:pp qnp ppqn 2 20 25 1 960 25 0 753000
25 1 960 25 0 7530. .( . )( . ). .( . )( . )p000 25 0 049 0 25 0
049 . . . . p0 201 0 299 . . pPor lo tanto, con un nivel de
confianza de 95% se puede decir que la proporcin poblacional de los
artculos que no tienen la calidad requerida para colocarse en el
mercado se encuentra en un intervalo comprendido entre 20.1% y
29.9%.421 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIAS1. Una proporcin se puede
definir como:a) Una medida descriptiva que seala hacia dnde tienden
a concentrarse los valores de una muestra o poblacin.b) Una medida
descriptiva que seala la manera en que los datos de una muestra o
poblacin se dispersan entre s.c) Un nivel de significancia para
medir parmetros poblacionales.d) Una parte, f raccin o porcentaje
de los elementos que constit uyen una pobl acin o una muest ra.2.
El estadstico puntual de una proporcin se define como:a)pnXb)
pnXc)Xpnd) pqn3. El teorema del lmite central seala que una
distribucin muestral del estadstico p, con muestras lo
suficientemente grandes, tendr:a) Una distribucin normal.b) Una
distribucin binomial.c) Una distribucin t student.d) Una
distribucin sesgada.4. La distribucin de la variable X que
representa el nmero de xitos que se pueden obtener en una muestra,
tiene una:a) Distribucin normal.b) Distribucin binomial.c)
Distribucin t student.d) Distribucin sesgada.5.
Paraqueunamuestraseaconsideradalosuficientementegrandeenlaestimacindeuna
proporcin poblacional:a) n30b) np5 y nq5c) nq5 y nX 5d) nq5 y
pX25422 ESTADSTICA PARA NEGOCIOS6.
Sisedeseaestimarunintervalodeconfianzaparalaproporcindeunapoblacincon
caractersticas X, y para ello se selecciona una muestra de tamao n
= 250 en la que existen 30 elementos con las caractersticas X:a) No
se cumple el teorema del lmite central puesnp = 30 y nq = 220.b) No
se cumple el teorema del lmite central puesnp = 220 y nq = 30.c) S
se cumple el teorema del lmite central pues np = 30 y nq = 220.d) S
se cumple el teorema del lmite central pues np = 220 y nq = 30.7.
La frmula del error mximo de la estimacin de una proporcin es:a)
nb)/ 2nc)pqnd)/ 2pqn8. La frmula del error estndar de una proporcin
es:a) nb)/ 2nc)pqnd)/ 2pqn9. Si se desea estimar un intervalo de
confianza de 90% para la proporcin de una poblacin con
caractersticas X, y para ello se selecciona una muestra de tamao n
= 500 en la que existen 200 elementos con las caractersticas X, el
error estndar de la proporcin sera:a) 0.1564b) 0.0429c) 0.0219d)
0.0360423 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIAS10.
Sisedeseaestimarunintervalodeconfianzade95%paraestimarlaproporcindeuna
poblacin con caractersticas X, y para ello se selecciona una
muestra de tamao n = 1 200 en la que existen 300 elementos con las
caractersticas X, el error mximo de la estimacin sera:a)
0.00005625b) 0.0205c) 0.0125d) 0.024511.
Unatiendadeautoserviciodeartculoselectrodomsticosreali
zunaevaluacinsobrelas ventas que hubo en la semana. De una muestra
de 500 artculos se observ que 425 se vendie-ron a crdito. Construye
un intervalo de confianza de 99% para la proporcin de ventas reales
que se hacen a crdito.12. El departamento de mercadotecnia de una
empresa de cigarros llev a cabo una encuesta para saber qu
porcentaje de los fumadores prefieren la marca que sta vende. De
una muestra de 190 fumadores, 171 aceptaron su preferenciapor los
cigarros que produce la empresa, y el resto asegura que prefiere
otra marca. Si existe un nivel de confianza de 99%, cul es el
intervalo para la proporcin correspondiente a la poblacin que se
muestrea?13.
Unconocidonoticiero,queestransmitidoportelevisinanivelnacionalenunanoche
determinada, pregunt a su pblico televidente si considera que sea
posible que exista vida en otro planeta. Se recibieron un total de
1 000 llamadas telefnicas, de las cuales 630 consideran que s es
posible la exi stencia de vida en otro planeta, mientras que 370
consideraron que no es posible. Si se hace el supuesto de que la
encuesta realizada por el noticiero es representativa de la
poblacin, encuentra un intervalo de 90% de confianza para estimar
la proporcin poblacional de la gente que s cree en la existencia de
vida en otros planetas.14. A una muestra aleatoria de 344
mayoristas industriales se les pregunt: Estn sati sfechos con las
ventas en el presente ao?83 de estos mayoristas respondieron que s.
Calcula un intervalo de confianza de 90% para la proporcin
poblacional de los mayoristas industriales que s estn satisfechos
con sus ventas en el presente ao.15.
Aunamuestraaleatoriade147directoresderecursoshumanosqueofertantrabajosa
universitarios titulados se les pregunt cul era el papel que jugaba
el expediente acadmico en la evaluacin de los candidatos. 87 de
estos directores contestaron definitivo, extremadamente importante
o muy importante. Calcula un intervalo de confianza de 95% para la
proporcin poblacional de directores de recursos humanos que
compartan esta opinin.424 ESTADSTICA PARA NEGOCIOS7.4. Estimacin de
l a di ferenci a entre dos proporciones
poblacionalesFrecuentementesepresentancasosdondeesnecesariotomardecisionesapartirdelaestimacin
dedosproporciones. En este caso, la finalidad de la estimacin consi
ste en calcular las diferencias o similitudes que exi sten entre
dos proporciones de poblaciones diferentes.Esta situacin se
presenta en muchos casos relacionados con los negocios o las
ciencias sociales, por ejemplo:una proporcin de habitantes de la
delegacin Iztacalco es mayor que el consumo de una proporcin de
habitantes de la delegacin Venustiano
Carranza.enlademandadeunadeterminadamarcadecigarros,tomandocomoreferenciados
proporciones de fumadores de dos ciudades
distintas.deunamuestra,siuntipodepublicidadporradioproducemayoresefectosqueotro
medio publicitario.En este tipo de casoses importante contar con un
medio que permita estimar la diferencia que existe entre las
proporciones de dos poblaciones y decidir de qu manera hemos de
llevar a cabo el anlisise interpretacin de sus resultados. Un
procedimiento que facilita esta labor es la estimacin de la
diferencia entre proporciones a travs de intervalos de confianza.
Este procedimiento se puede aplicar a partir de elegir dos muestras
independientes n1 y n2 de dos poblaciones binomiales, si X1 y X2
son los nmeros de aciertos o xitosque se obtienen al muestrear n1 y
n2, entonces se pueden formar las proporciones.pnpn111222X
XyElestimador puntual dela diferencia de proporciones de
dospoblacionesp1 p2 es p1 p2. Considerando la di stribucin muestral
de p1 q2, puede construirse un intervalo de confianza para estimar
p1
p2.Sisetienenmuestraslosuficientementegrandesdetalmaneraquen1p1,n1q1,n2p2,n2q2
son mayores a 5, la di stribucin muestral dep1 p2 tiene una
distribucin normal. La media y la desviacin estndar del estadstico
p1 p2 son: Media: p1 p2Desviacin estndar: p qnp qn1 112
22Cuandoseutilizanmuestrasgrandes,ladistribucinmuestraldeladiferenciaentredos
proporcionessepuedecalcularenformaaproximadaapartirdelautili
zacindeladistribucin normal, mediante el estadstico Z, el cual se
puede establecer a partir de:Z( ) ( ) p p p pp qnp qn1 2 1 21 112
22425 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIASEl estadstico Z est distribuido
en un intervalo que va de Z/ 2Z/ 2, es decir, la probabilidad que
se tiene de que la diferencia de proporciones se encuentre en dicho
intervalo est comprendida en:Z Z Z2 2Sustituyendo el valor de Z se
tiene:Z Z21 2 1 21 211 222( ) ( ) p p p pp qnp qnDespejando p1 p2 y
resolviendo algebraicamente se obtiene:( ) ( ) p pp qnp qnp p p p1
221 112 221 2 1 22Z Zpp qnp qn1 112 22Que es el intervalo de
confianza para la diferencia entre dos proporciones
poblacionales.Ejemplo 10Una empresa que produce cartn est evaluando
si modifica el procedimiento de produccin con la finalidad de
incrementar la calidad del producto. Para llevar a cabo la
evaluacin, la empresa elige una muestra del procedimiento actual y
otra muestra del procedimiento que piensa poner en prctica. Si 150
de 1 000 artculos del procedimiento actual salieron defectuosos y
lo mismo sucedi con 120 de 1 000 artculos del nuevo procedimiento,
con un 90% de confianza, cul es el intervalo de confianza para la
diferencia de proporciones de partes defectuosas entre los dos
procesos?Contando con un nivel de confianza de 90% el valor de Z/ 2
= 1.645Datos: X1 =150 X2 =120n1 = 1 000n2 = 1 000Z/ 2= 1.645En
primer lugar, se procede a calcular el valor de las proporciones o
nmero de xitos p1 y p2:pn1111501 0000 15X.pn2221201 0000 12X.
Mientras que el nmero de fracasos en ambas poblaciones es:q p1 11 1
0 15 085 . .q p2 21 1 0 12 0 88 . .426 ESTADSTICA PARA
NEGOCIOSSustituyendo los valores anteriores en la frmula de
intervalo para la diferencia de proporciones se obtiene:( ) ( ) p
pp qnp qnp p p p1 221 112 221 2 1 22Z Zpp qnp qn1 112 22( . . ) .(
. )( . ) ( . )( . )015 012 1645015 0851 000012 0881 000p p1 2015
012 1645015 0851 000012 0881 000( . . ) .( . )( . ) ( . )( . )0 03
0 025 0 03 0 0251 2. . . . p p0 005 0 0551 2. . p pPor lo tanto, la
diferencia de proporciones de partes defectuosas de dos poblaciones
se encuentra enun intervalocomprendido entre 0.005 y0.055, es
decir, queal considerardosprocedimientos distintos, la diferencia
que exi ste entre las proporciones de defectos que ambos producen
est entre 0.5%y 5.5% de defectos, o de otra manera, se produce
entre ellos una diferencia mnima de defectos de 0.5% y como mximo
una diferencia de 5.5% de defectos. Observa que ambas cotas son
positivas, lo que seala que el procedimiento 1 tiene una mayor
proporcin de artculos defectuosos que el procedimiento 2. En este
sentido, de acuerdo con el proceso de inferencia mediante
intervalos de confianza, se puede decir que el procedimiento 2 es
mejor que el procedimiento 1.Ejemplo 11El gerente de ventas de una
gran industria est interesado en conocer la proporcin de
devoluciones que existe en dos ciudades del pas. En la ciudad 1
detect que de cada 900 artculos 100 son devueltos, mientras que en
la ciudad 2 se devuelven 80 artculos de cada 1 000. Calculemos un
intervalo de confianza de 95% para la diferencia de la proporcin de
devoluciones entre las dos ciudades.Contando con un nivel de
confianza de 95%, el valor de Z/ 2 = 1.96Datos: X1 =100 X2 =80n1
=900n2 = 1 000Z/ 2 =1.96En primer lugar, se procede a calcular el
valor de las proporciones o nmero de xitos p1 y p2.pn1111009000
11X.pn222801 0000 08X.427 UNIDAD 7.ESTIMACIN DE MEDIASMientras que
el nmero de fracasos es:q p1 11 1 0 11 0 89 . .q p2 21 1 0 08 0 92
. .Sustituyendo los valores en la frmula del intervalo para la
diferencia de proporciones se obtiene:( ) ( ) p pp qnp qnp p p p1
221 112 221 2 1 22Z Zpp qnp qn1 112 22( . . ) .( . )( . ) ( . )( .
)011 008 196011 089900008 0921 000p11 2011 008 196011 089900008
0921 000p ( . . ) .( . )( . ) ( . )( . )0 03 0 026 0 03 0 0261 2. .
. . p p0 004 0 0561 2. . p pPor lo tanto, la diferencia de
proporciones poblacionales de las dos ciudades se encuentra en un
intervalo comprendido entre 0.004 y 0.056.428 ESTADSTICA PARA
NEGOCIOS1.
Unaempresadedicadaarealizarencuestastomdosmuestrasaleatoriasindependientes
para saber la proporcin de votantes que estn a favor de que se
graven con un impuesto los productos de la canasta bsica. En una
primera muestra de 1 500 personas, 350 estuvieron a favor;mientras
queen una segunda muestra de 1 400 personas, 400 dieron el visto
bueno. Cul es el intervalo de confianza de 95% para estimar la
diferencia entre proporciones de las dos poblaciones que apoyan que
se graven con un impuesto los artculos de la canasta bsica?2. En un
proceso de produccin se observ que 30 focos resultaron fundidos de
una muestra de 350 focos, mientras que con otro proceso se
produjeron 25 focos fundidos de una muestra de 420. Si se trabaja
con un nivel de confianza de 99%, determina el intervalo para
estimar la diferencia entre las proporciones de focos fundidos para
las dos poblaciones.3. En un estudio de los proyectos patrocinados
por empresas (PPE) en cursos universitarios de marketing, se pidi a
los profesores encargados de dicha asignatura que evaluasen la
frase: Los PPE exigen demasiado tiempo de trabajo al departamento.
De una muestra de 92 profesores de escuelas acreditadas por la SEP
que empleaban los PPE, 49 estaban de acuerdo con esta opinin. De
otra muestra independiente de 82 profesores que tambin hacan uso de
los PPE, pero que pertenecan a escuelas no acreditadas, 36
compartan dicha visin. Calcula un intervalo de 90% de confianza
para estimar la diferencia entre las proporciones poblacionales de
los profesores que estn de acuerdo con el empleo de los PPE.4. En
un estudio sobre el comportamiento de compra en los supermercados,
se pidi a los clientes que respondiesen un pequeo cuestionario
justo despus de hacer una compra. De una muestra aleatori a de 570
que eligieron algn producto que no estaba de ofert a, 308 afi
rmaron que haban comprobado el precio en el momento de elegirlo. De
otra muestra aleatoria de 232 que escogieron un artculo en oferta,
157 dijeron haber hecho dicha comprobacin. Calcula un intervalo de
confianza de 90% para estimar diferencia entre las proporciones de
la poblacin que comprueban precios.5. De una muestra aleatoria de
112 grandes empresas minoristas, 70 emplean tcnicas estadsticas
comounmtododeprediccindesusventas.Deotramuestraaleatoriaindependientede
135 pequeos minoristas, 65 utilizan tcnicas estadsticas como mtodo
de prediccin de sus ventas. Calcula un intervalo de confianza de
95% para estimar la diferencia de proporciones de las empresas que
emplean mtodos estadsticos para la prediccin.429 UNIDAD 7.ESTIMACIN
DE MEDIAS7.5. Esti macin de la varianza de una
poblacinEnlassecciones anterioressehan venidodesarrollandodiversas
tcnicas deestimacin mediante intervalos de confianza para la media
de una poblacin, para la diferencia entre las medias de dos
poblaciones,laproporcindeunapoblacinyladiferenciadeproporcionesdedospoblaciones.
Sin embargo, en muchas ocasiones necesitamos estimar medidas de
dispersin para analizar ciertos fenmenos que se presentan en los
negocios y en las ciencias sociales.En la unidad 3 se expusieron
distintas medidas de di spersin. Se dijo que este tipo de medidas
proporcionan una idea mental con la cual se conoce qu tanto varan o
qu tanto se dispersan los valores de un conjunto de datos. Una de
ellas es la varianza, la cual resulta muy importante en el anlisis
de datos, pues de ella se deriva otra medida de di spersin, la
desviacin estndar, la cual es utilizada con mucha frecuencia por la
interpretacin que se le puede dar a su resultado.En esta seccin se
expondr un mtodo de esti macin para la vari anza de una poblacin 2
a travs de intervalos de confianza, pues a menudo se presentan
casos donde se desconoce esta medida de dispersin, por lo que se
tiene que buscar un mecanismo que permita hacer inferencias sobre
2. El hecho de que se desconozca el valor de 2 crea problemas en el
momento de querer tomar deci siones a partir de la inferencia de
una muestra, esto se debe a que se desconoce la variacin que
existeentrelosdistintoselementosquecomponenlamuestra.Siseeligeunamuestraenforma
aleatoria de una poblacin, se puede utili zarcomo estimador puntual
de 2.Sni 221 ( ) X XEstimador puntual de la varianza
poblacional.Nuevamente, una forma de facilitar la estimacin de la
varianza de una poblacin es a travs de la construccin de intervalos
de confianza. La estimacin del intervalo de 2 se puede realizar
haciendousodelestadsticoconocidocomo
2queseleecomojicuadradaconn1gradosde libertad. Este estadstico se
puede presentar como: 2221 ( ) n SLa di stribucin 2 muestra ciertas
peculiaridades que la hacen ser di sti nta a las di stribuciones Z
y t student; por ejemplo, la distribucin ji cuadrada se distribuye
nicamente en un intervalo compuesto por valores positivos
incluyendo al cero, adems, su forma es asimtrica (vase la figura
7.2). / 2 1 21 2Fi gura 7.2. I ntervalo de confi anza para l a
varianza de una pobl acin uti l i zando l a di stribucin ji
cuadrada.430 ESTADSTICA PARA NEGOCIOSEn la figura 7.2 se tiene una
distribucin 2, con n 1 grados de libertad cuando se seleccionan
muestras a partir de una poblacin normal. Por tanto, el intervalo
para 2 queda comprendido dentro de los lmites 21 2y 22, con un
nivel de confianza o probabilidad igual a 1 , esto se puede
representar a travs de: 21 < 2
