IES INCA GARCILASODepartamento de MatemticasMatemticas 4 ESO La funcin exponencialy logartmicaLa funcin exponencial El crecimiento exponencial. Actividades de introduccin. La curva exponencial: diversos ejemplos.- Grfica y propiedades. Ecuaciones exponenciales.La funcin logartmica Definicin de logaritmo. Propiedades. La funcin logartmica. Grfica. Ecuaciones sencillas logartmicas.Las propiedades de las potencias son: LLLLLLL,La funcin exponencial Funciones exponenciales y logartmicasIntroduccinEL PRECIO DE UN CABALLOEn una de las pocas situaciones de acercamiento entre el guerrero indio Toro Sentado y el General Trust se dio la siguiente circunstancia:El General Trust admiraba el caballo de Toro Sentado y le propuso que se lo vendiera.Toro Sentado acepta con esta condicin: Me ha de pagar un cntimo de euro por el primer clavo de la herradura del caballo, dos cntimos por el segundo, cuatro por el tercer clavo y as duplicando sucesivamente hasta elltimo de los 32 clavos de las herraduras.En principio al General Trust le pareci justa la propuesta, pero cuando hubo de efectuar el pago... Tena que pagar por el caballo (ms las cantidades anteriores) la nada despreciable cantidad de:312cntimos, o sea: 21.474.836 euros (Ms de 21 millones de euros)ms las cantidades anterioresConclusiones:- No era tan valioso el caballo de Toro Sentado.-Con ese dinero poda haber comprado todos los caballos de la tribu india.-El General Trust no era tan rico.- Toro Sentado se revel como un muy buen matemtico.- No consta que el General Trust y Toro Sentado ultimaran el trato.- A partir de esta circunstancia no volvieron a fumar la pipa de la paz.LA VUELTA CICLISTAEn una vuelta ciclista con un recorrido de 100 km. El premio asignado al campen es de doce mil euros, pero el favorito consciente de su categora de lder, propone a los organizadores que como cada kilmetro pedaleado va siendo cada vez ms duro de superar, el premio consista en un cntimo por el primer kilmetro, dos cntimos por el segundo, cuatro cntimos por el tercero, y as sucesivamente, doblando la cantidad por cada nuevo kilmetro conseguido.Pgina2Las propiedades de las potencias son: LLLLLLL,La funcin exponencial Losorganizadoresacceden alapeticin, peroal acabarlapruebayentregar el premioal campen se llevan la gran sorpresa. Por qu?RECORDANDO : Potencia de exponente natural. Si tiramos una moneda al aire tres veces, cuntos resultados distintos podemos obtener?Como en cada lanzamiento hay dos resultados posibles, al efectuar tres lanzamientos, obtenemos:832 2 2 2 , resultados posibles. Potencias de exponente entero. Si en una calculadora pulsas 5 y a continuacin la tecla x -1 obtienes 02, ya que0'25115 . Delmismo modo33515 . Potencias de exponente fraccionario. Si en una calculadora hallas 3 25y por otro lado hallas 325obtendrs el mismo resultado; luego 3 25325 . Potencias de exponente real.Si quieres calcular 5 no tienes ms procedimiento que utilizar una calculadora cientfica. La secuencia de teclas ser:5 xy y obtienes 1569925... En resumen: Si n y m son nmeros naturales y a 0, se tiene:) ( , ...... veces n a a a a ana Pgina3Las propiedades de las potencias son: LLLLLLL,La funcin exponencial Distintas formas de crecer Crecimiento lineal1. El precio de las naranjas en el mercado es de 120 por kilo. Naturalmente, si se compran doskilos el precio se duplica, y as sucesivamente.Las magnitudes peso y precio son directamente proporcionales. Si el peso lo representamos por x y el precio por y, se verifica que y = 12 x.Si representamos en una grfica la funcin anterior obtenemos una recta que pasa por el origen.1. Por el alquiler de un coche cobran 90 diarios ms 10 cntimos por kilmetro. Kms Precio por da0 901 90+ 1.010 = 90102 90 + 2.010 = 90203 90 + 3.010 = 9030... ...100 90 + 100 . 010 = 100... ...200 90 + 200 . 010 = 110... ....x 90 +x . 010La representacin grfica de la funcin anterior es una recta queno pasa por el origen. Represntala.2. Sesabequeal excavarhaciael interiordelatierra, latemperaturaaumenta0'01Cpor metro. Si la temperatura en el exterior es de 26, y representamos por x los metros descendidos y poryla temperatura, se verifica la relacin y =El aumento es 001C por cada metro que descendemos. Representa grficamente la funcin anterior.3. La relacin entre los lados de un rectngulo de permetro fijo viene dada por: P = 2.x + 2.yde donde y=(P-2.x)/2y simplificando: y=P/2 - x . Si el valor del permetro fuese de 10 unidades, por ejemplo, la relacin entre los lados sera: y=5-x Siempre que el ladoxaumente 1 unidad, el ladoydisminuye 1 unidadTodos los ejemplos estudiados anteriormente son ejemplos de crecimiento lineal; a una misma variacinde la variable independiente x le corresponde siempre la misma variacin de la variable dependiente yPgina4Tabla de crecimientoN de das N Superficie ocupada (m2)0112222 = 4323 = 8424 = 16525 = 32626 = 64727 = 128......10210 = 1024......x2xxc) Representacin::Aumento constante: 10 cntimos por kilmetro.Si representamos por x los kilmetros recorridos y el precio por y, se verifica:y = 90 + 010.xLa funcin exponencial Crecimiento exponencialEl crecimiento o decrecimiento exponencial se suele utilizar en el lenguaje ordinario, sin tener, en muchos casos, una idea clara de su significado matemtico, para describir situaciones como las siguientes: Si la poblacin mundial aumenta de forma exponencial, en unos aos las grandes ciudades sern incapaces de absorber el crecimiento demogrfico! Si las reservas de agua decrecen de forma exponencial, en un breve lapso de tiempo no podremos disponer de agua potable para el consumo humano! Existe la opinin generalizada de que mientras la poblacin aumenta de forma exponencial (en progresin geomtrica), los alimentos lo hacen de forma lineal (en progresin aritmtica)! Qu ocurrir en el futuro si esto es cierto?Aunque son muchas las situaciones que describen un crecimiento exponencial, est ntimamente ligado al crecimiento de las poblaciones (ya sean de personas, animales, bacterias, rboles, ...) en las que el crecimiento de la poblacin depende del nmero de individuos que la componen.El crecimiento exponencial tambin est ligado problemas relacionados con el inters producido por un capital y con situaciones de desintegracin radiactiva. Estos casos los estudiaremos ms adelante. Ejemplo 1: Una poblacin crece a un ritmo del 2% anual. Estudia la expresin que relaciona el nmero habitantes con el tiempo transcurrido. Supongamos una poblacin de N habitantes: Inicialmente hay N habitantes. Al cabo de un ao habr N +2% de N = N + 002 . N = N. (1 + 002) = 102 . N Al cabo de dos aos habr: 102N + 2% de 102N = 102.N + 002.102.N = 102.N(1+002) = 102.N.102 = N x 1022Para los aos sucesivos formamos la siguiente tabla: Tiempo transcurridoPoblacin0 N 1 N + 2%N = N + 002.N = (1+002)N = 102.N 2 102.N +2%(102N) = 102.N + 002.102.N = (1+002).102.N = 1022.N3 1022.N +2%(1022N) = 1022.N + 002.1022.N = (1+002).1022.N = 1023.N... ...10 1'0210 .N... ...x 1'02x.NAs, la expresin buscada es:Poblacin = 1'02x . N Los valores de la poblacin correspondientes a cada uno de los aos se obtienen multiplicando por un factor constante (102 en este caso) los valores de la poblacin correspondientes a cada uno de los aos anteriores.Pgina5Tabla de crecimientoN de das N Superficie ocupada (m2)0112222 = 4323 = 8424 = 16525 = 32626 = 64727 = 128......10210 = 1024......x2xxc) Representacin::xy = 2xxx...... . -41/16 - -31/8 - -21/4 2 -11/2 1 01 0 12 1 24 2 38 3 416 4 ...... .La funcin exponencial Ejemplo 2: Se sabe que la superficie cubierta por un nenfar en un lago se duplica cada da,creciendo gradualmente durante todo el da. Si en el momento de empezar el estudio el nenfar ocupa una superficie de 1 m2, qu superficie ocupar dentro de 10 das?a) Haz una tabla que exprese este crecimientob) Halla la funcin que relaciona las variables nmero de das y superficie ocupada.c) Representa dicha funcin.b) La funcin viene dada por la ecuacin: y = 2x.Este tipo de crecimiento se llama exponencialLas funciones del tipo y = ax se llaman funciones exponenciales.Pgina6Tabla de crecimientoN de das N Superficie ocupada (m2)0112222 = 4323 = 8424 = 16525 = 32626 = 64727 = 128......10210 = 1024......x2xxc) Representacin::xy = 2xxx...... . -41/16 - -31/8 - -21/4 2 -11/2 1 01 0 12 1 24 2 38 3 416 4 ...... .La funcin exponencial Estudio general de la Funcin Exponencial1.La funcin exponencialy = ax con a>1La siguiente tabla muestra las potencias de 2 tomando como exponentes nmeros negativos y positivos. Representamos los pares de puntos obtenidosCon una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, por ejemplo 20,75 = 1,681..., por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos.La grfica obtenida es la de la funcin exponencial de ecuacin y = 2x .Procediendo de igual forma, representamos las siguientes funciones:y = 3xy = 5xy = 10x En las funciones exponenciales de ecuacin:y=ax se verifica que a cada nmero real x (exponente) le corresponde un nico nmero y (potencia).Leyendo las grficas de estas funciones se observa que, funciones de la forma y = ax, con a > 1, tienen las siguientes propiedades: Su dominio es toda la recta real. Su recorrido son los nmeros reales positivos. Son crecientes y continuas en todo su dominio. Cuando x tiende a- , se verifica que y tiende a cero. Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a +.Pgina7xy = 2xxx...... . -41/16 - -31/8 - -21/4 2 -11/2 1 01 0 12 1 24 2 38 3 416 4 ...... .y = 3xy = 5xy = 10xLa funcin exponencial 2.La funcin exponencialy = ax(0 < a < 1). La tabla siguiente muestra las potencias de 21 tomando como exponentes nmeros negativos y positivos. Con una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, como por ejemplo .... 594 , 075 , 021

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, por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos.La grfica obtenida es la de la funcin xy

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21. Esta funcin se puede asociar, por ejemplo, a un fenmeno qumico como la desintegracin de una sustancia radiactiva. El radio es un compuesto qumico radiactivo que, aproximadamente cada 1600 aos, se reduce a la mitad. Este nmero de aos se llama periodo de semidesintegracin del radio. El valor de y podra representar, entonces, los gramos residuales que provienen de 1 gr. inicial de radio, cuando han transcurrido x perodos, es decir, 1600.x aos.Procediendo de forma anloga, representamos en el mismo grfico las siguientes funciones:xyxyxy

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1015131Leyendo las grficas se observa que, funciones de la forma y = ax, con 0 < a < 1, tienen las siguientes propiedades: Su dominio es toda la recta real. Su recorrido son los nmeros reales positivos. Son decrecientes y continuas en todo su dominio. Cuando x tiende a- , se verifica que y tiende a +. Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a 0.Observa que xaxaxa

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1 1. Por tanto, la funcin y = a-xes igual que la funcin xay

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1.Pgina8X y = (1/2)x... ...-4 16-3 8-2 4-1 20 11 1/22 1/43 1/84 1/16... ...y = (1/3)xy = (1/5)xy = (1/10)xLa funcin exponencial 3.Estudio de algunas situaciones en las que se produce un crecimiento exponenciala) Inters compuestoAl nacer Juan, su padre deposit 3.000 al 12%. Si no retira el dinero ni los intereses, qu capital tendr al ao, a los dos aos, etc.? Qu capital tendr cuando cumpla 18 aos?Al ao tendr: ( ) 3360 12 ' 1 3000 12 ' 0 1 3000 12 ' 0 3000 3000100123000 3000 + + +Para los aos sucesivos formamos la siguiente tabla: Aos transcurridos Capital formado0 30001 3000(112)=33602 3360(112)=3000(112)2=376323 37632(112)=3000(112)3=4214844 421484(112)=3000(112)4=472055...18 3000(112)18=2306989...x 3000(112)xSi colocamos un capital de Cptas. alr%, qu capital se habr formado al cabo de taos? Si 100ri , entonces se verifica que: Al final del primer ao : F1 = C + C i = C(1+i)Al final del segundo ao : F2 = F1 + F1 i = C(1+i)2Al final del tercer ao: F3 = F2 + F2 i = C(1+i)3...Al final del ao-ensimo : Fn= C(1+i)n.Inters compuesto es una ley de capitalizacin tal que los intereses obtenidos al final de cada perodo se acumulan al capital para producir nuevos intereses en el perodo siguiente.Un capital de C ptas. al r% al cabo de t aos se convierte en Ft= C(1+i)t.Observa que la funcin que da el capital final es una funcin exponencial de base (1+i).Pgina9La funcin exponencial b) Crecimiento de una poblacinUna poblacin crece a un ritmo del 2% anual. Estudia la situacin y determina el tiempo que tardar en duplicarse la poblacin manteniendo la misma tasa de crecimiento. Esta situacin ha sido estudiada anteriormente y la funcin que relaciona el nmero de individuos de la poblacin con el tiempo transcurrido es:Poblacin = N . 1'02xQu tiempo tardar en duplicarse la poblacin?Si la poblacinse duplica, la expresin queda:2N = N . 1'02x ; de donde, 2 = 1'02x ; por lo que se trata de buscar el nmero al que hay que elevar 1'02 para obtener 2. Procedemos con la calculadora:1'0230=1'81; 1'0233=1'92; 1'0234=1'96; 1'0235=1'9999; 1'0236=2'03Por lo que la poblacin se duplicara a los 35 aos.Si el nmero de habitantes de una ciudad que tiene una tasa de crecimiento anual del 2% es de 10.000, cuntos habitantes tendr dentro de 20 aos?En esta caso, la relacin existente entre el nmero de habitantes y el de aos transcurridos es:Poblacin = 10.000 x 102xcuya representacin grfica esPgina10Al cabo de 20 aos, habr:P=10.000 x 10220=14.859La funcin exponencial Desplazamientos de la exponencialAnlogamente a lo estudiado anteriormente, podemos desplazar la funcin exponencial horizontalmente p unidades poniendo x-pen lugar dex en su expresin analtica, es decir:

p xa yes un desplazamiento horizontal de la funcinxa y dep unidades donde' < >: 0: 0izquierda la a desplaza se pderecha la a desplaza se pEjemplos:Tambin podemos desplazar la funcin exponencial verticalmente q de la siguiente forma:

q a yx+ es un desplazamiento vertical de q unidades donde ' < >: 0: 0abajo hacia despaza se qarriba hacia desplaza se qEjemplosPgina11y = 2xy = 2x - 6y = 2x + 5y = 2xy = 2x - 2y = 2x + 3 vale !La funcin exponencial Finalmente los desplazamientos horizontales y verticales: q a yp x+ es un desplazamiento de la funcin xa y de la siguiente forma:

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000 .0q si abajo haciaq si arriba haciavericalp si izda la haciap si derecha la haciahorizontalEjemplo:Ejercicios para entrenarse.1. Calcula los valores que toman las siguientes funciones para x = -2, -1, 0, 1, 2a) f(x) = 3x b) g(x) = 3-x c) h(x) = (1/3)x d) k(x) = (1/3)-x 2. Calcula los valores que toman las siguientes funciones para x = -2, -1, 0, 1, 23. A partir de la grfica de la funcin f(x) = 2x, dibuja las grficas de las siguientes funciones:Pgina12' 923 ) 2 (313 ) 1 (103 ) 0 (3113 ) 1 (9123123 ) 2 (fffffa)xx f dxx f bxx f cxx f a

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51) ( )51) ( )5 ) ( ) 5 ) ( )y = 2xy = 2x - 1 - 2y = 2x + 4 + 3La funcin exponencial 22 ) ( ) 1 2 ) ( )312 ) ( )42 ) ( ) 3 2 ) ( )+ + + xx f dxx f bxx f exx f cxx f a4. A partir de la grfica de la funcin f(x) = 3x, dibuja las grficas de las funciones siguientes:123 ) ( )43 ) ( )343 ) ( ) 1 3 ) ( )23 ) ( ) 3 3 ) ( )++ + + xx f fxx f cxx f exx f bxx f dxx f a5. Representa las siguientes funciones:xx f dxx f bxx f cxx f a10 ) ( ) 3 ) ( )5 ) ( ) 2 ) ( ) 6. Representa las siguientes funciones:xx f dxx f bxx f cxx f a

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101) ( )31) ( )51) ( )21) ( )7. Cuntos aos tardar un capital de C ptas. en duplicarse al 10% anual? Depender del capital inicial?Aos Capital final0 C1 C.112 C.112 = C.1213 C.113 = C.13314 C.114 = C.146415 C.115 = C.161056 C.116 = C.177157 C.117 = C.19487... ...Y en general, si el inters es pequeo, se cumple aproximadamente la ley:Aos para que se duplique por inters = 70Es decir:t . r = 701. Una poblacin tiene una tasa de crecimiento anual del 2%. Se pide:a) La funcin exponencial del crecimiento.b) Si se mantiene ese ritmo de crecimiento, cunto tiempo tardar en duplicarse la poblacin?Pgina13Observa que el doble no depende del capital inicial C; se duplicar aproximadamente a los 7 aos. Si el inters es menor, por ejemplo 5%, se puede formar una tabla anloga y ver que se duplica aproximadamente a los 14 aos.La funcin exponencial 2. Se coloca un 6.000 euros al 12% de inters.a) Cunto dinero se tendr al cabo de 10 aos?b) En cunto tiempo se duplicar?3. Se calcula que un bosque tiene 24000 m3 de madera y que aumenta un 35 % al ao. Cunto tiempo tardar en duplicarse la cantidad de madera si sigue creciendo en estas condiciones? Otro bosque tiene 50000 m3 y la misma tasa de crecimiento. Tardar el mismo tiempo en duplicarse? Depende el tiempo de duplicacin de la cantidad de madera inicial?4. Se cuenta que en 1626 Peter Minuit compr la isla de Manhattan a los indios por 24 dlares. Imagnate que Minuit hubiera puesto en el Banco los 24 dlares al 6% de inters compuesto Cunto dinero tendra en 1998? Sera interesante comparar este resultado con el precio actual de la isla de Manhattan.5. Pedro y Luis se han inventado una mentira a las diez de la maana. Al cuarto de hora,cada uno de ellos se la ha contado a tres amigos. Al cabo de otro cuarto de hora, cada uno de cuales comunica la mentira a otros tres amigos, los cuales continan extendindola de igual modo. Cuntas personas conocern la mentira a las dos de la tarde?6. Tres pases, A, B y C, tienen cada uno una poblacin de un milln de personas.La poblacin del pas A crece uniformemente un milln cada perodo de 10 aos. La poblacin del pas B crece uniformemente dos millones cada perodo de 10 aos. La poblacin del pas C se multiplica por 1,5 a lo largo de cada perodo de 10 aos.a) Dibuja en unos mismos ejes las grficas de las tres poblaciones.b) En qu perodo alcanza la poblacin C a la poblacin A? Y a la poblacin B?7. La presin atmosfrica disminuye a medida que se asciende. Aproximadamente, al ascender 1 km la presin atmosfrica es 09 veces la existente 1 km ms abajo. Al nivel del mar la presin atmosfrica es de una atmsfera. Si un montaero desciende de 1000 m al nivel del mar y otro desciende desde una latitud de 5000 m a 4000 m aumentar su presin lo mismo? Sus organismos lo sentirn de la misma forma?8. Parece ser que los piojos del cabello se reproducen duplicando su nmero cada 4 das. Si un nio tiene un piojo en su cabeza, y considerando que todos viven:a) Cuntos piojos tendr dentro de 12 das Y de 20 das?b) Escribe la funcin y represntala.c) Tiene sentido unir los puntos.d) Si en el momento inicial el nio tena 10 piojos, contesta nuevamente a los apartados a y b.9. Se administran 50 mg de anestesia a un paciente al principio de la operacin. Sabiendo que la concentracin en la sangre humana disminuye exponencialmente con arreglo a la funcin f(x) = k.095x , donde k es la cantidad inicial y x el tiempo en minutos que ha transcurrido desde su administracin. Haz un estudio de dicha funcin. Pgina14calculaAunque piqueLa funcin exponencial Cuntos miligramos de anestesia quedan en la sangre del paciente a la hora y media de su administracin?10. Tienen las grficas de las funcionesf(x) = 2x,g(x) = 3x,h(x) = 10x, algn punto en comn?11. Se calcula que la poblacin mundial del ao 2033 ser el doble que la poblacin de 1993. Cul es la tasa de crecimiento anual?12. Un fabricante de cubitos de hielo aumenta el precio de sus productos segn el IPC, que en los ltimos aos ha tenido un creci-miento anual medio del 6%. Cul es el precio actual de un producto que hace 10 aos costaba 150 ?13. Qu relacin existe entre las grficas de las funciones f(x) = 3xyg(x) = 3-x. Dibuja la grfica de esta ltima sabiendo que la grfica de f(x) es la siguiente: 14. Si el precio de un producto puede crecer con arreglo a las siguientes funciones: y = 3xoy = 3x, cul de las dos funciones prefieres si eres comprador?15. Si el precio de un producto puede crecer con arreglo a las siguientes funciones: xy o x y

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2121, cul de las dos funciones prefieres si eres comprador?Pgina15La funcin exponencial Actividades ComplementariasLa matemtica y la arqueologa. El mtodo del carbono-14 de datacin de fsiles Datacin con carbono 14En el dixido de carbono presente en el aire, existen dos istopos del carbono: el C12, mucho ms abundante, y el C14, tambin llamado radiocarbono. Ambos son absorbidos por los seres vivos en la misma proporcin con la que aparecen en el aire. Cuando un ser vivo muere, el C12 permanece inalterable, mientras que el C14 se desintegra lentamente a causa de su radiactividad. Es decir, la proporcin de C14 respecto del carbono total presente en el ser vivo, que es un dato conocido, va disminuyendo cuando ste muere de manera progresiva y de forma proporcionala la masa de C14 que an reste. Desde el punto de vista matemtico, esto significa que la expresin que da la cantidad de C14 en funcin del tiempo es una funcin exponencial de exponente negativo, es decir, con grfica decreciente. Se sabe que, cada 5 700 aos, la proporcin de radiocarbono en los restos de materia orgnica, por ejemplo, en un fsil, se reduce a la mitad; a los 11 400 aos se reduce a la cuarta parte, y as sucesivamente. Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fsil, los cientficos incineran un fragmento pequeo para convertirlo en gas de dixido de carbono. Se utilizan contadores de radiacin (contadores Geiger) para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrgeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y as datar el fsil. Este mtodo, desarrollado por el qumico norteamericano Willard Frank Libby, ha permitido datar restos orgnicos con una antigedad inferior a 50000 aos. La funcin matemtica que permite calcular a partir de la antigedad (expresada en aos) la proporcin de C14, considerando que 1000 es la inicial, es decir la que corresponde a un ser vivo, es la siguiente: Pgina16La funcin exponencial Proporcin=e-00001216.t(e es un nmero irracional cuyo valor es 2718281...)Se trata de una funcin exponencial decreciente, cuya grfica aparece dibujada. Los valores para tiempos comprendidos entre 0 y 50000 aos (de 1000 en 1000 aos) se muestran en la tabla.Aos (miles)ProporcinAos (miles)Proporcin0 1,0001 0,886 26 0,0422 0,784 27 0,0383 0,694 28 0,0334 0,615 29 0,0295 0,544 30 0,0266 0,482 31 0,0237 0,427 32 0,0208 0,378 33 0,0189 0,335 34 0,01610 0,296 35 0,01411 0,262 36 0,01312 0,232 37 0,01113 0,206 38 0,01014 0,182 39 0,00915 0,161 40 0,00816 0,143 41 0,00717 0,127 42 0,00618 0,112 43 0,00519 0,099 44 0,00520 0,088 45 0,00421 0,078 46 0,00422 0,069 47 0,00323 0,061 48 0,00324 0,054 49 0,00325 0,048 50 0,002Averigua Cuntos aos tiene un fsil cuya proporcin de C14, respecto de la inicial, es 03?Y cuntos si la proporcin es 003? Se sabe que un fsil tiene, aproximadamente, 32000 aos. Qu proporcin de C14 cabe esperar que presente respecto a la que tiene un ser vivo? Dos restos humanos tienen una proporcin de C14 cifrada en 003 y 0013, respectivamente. Cul de los dos restos es mas antiguo? En cuntos aos? En una excavacin se encuentran unos huesos de un animal que contienen la octava parte de C14 que contenan cuando el animal estaba vivo. Determina la antigedad de dichos huesos, sabiendo que el periodo de semidesintegracin del C14 es de 5700 aos.Pgina170,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9001,0000 2 4 6 8 101214161820222426283032343638404244464850aos (en miles)ProporcinLa funcin exponencial Nota: Estas tres primeras cuestiones pueden se contestadas partiendo de la frmula, la tabla o la grfica. Usa los tres mtodos y comprueba que conducen al mismo resultadoPgina18La funcin exponencial Ecuaciones exponenciales Ecuaciones exponenciales Son aquellas en las que la incgnita aparece en el exponente de una potencia. Para resolverlas, primeramente se transforman en otras equivalentes, ms sencillas, y luego se comprueba la validez de las soluciones obtenidas en la ecuacin inicial.Veamos algunos de los casos que pueden presentarse: Caso Procedimiento Ejemplo1 Si la ecuacin se puede reducir a una igualdad de potencias de la misma base, se igualan los exponentes y se resuelve la ecuacin resultante94343 2 2 16 2 )233 24 1 2 3 3 81 3 )343 3 34 1 2 1 2 + + +xx bx xx ax xx x2 A veces, la ecuacin se puede transformar en otra cuya solucin se ajusta a un procedimiento ya conocido( )2 1 5, 0 125 300 125 5 . 30 50 125 5 . 30 522 + + + x xxx xx xx5 25 z yx5 zson soluciones cuyas2zecuacin la en transforma se z, por x5 sustituir al y, : 1)Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: 343 7 0 4 27 3 1 7313212 00001 ' 0 10 0625 ' 0 2 4 3211 121 2 8 4 164917 3 904 ' 0 58113212913812125 5 16 4 27 3 32 2 x x x x xx x x xx x x x xx x x x xx x x xPgina19La funcin exponencial 2)Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:( ) 0 3 9 3 2 1114 414340 3 5 215 18 3130 3203214 413 3 2 2 414 2 2 222412251 25 12214 + + + + + ++++ + ++x x x x xx x x xx x x x x xx xxxxxxPgina 641000) 4 ' 0 ( xSol=-302 2121 3 + xSol=5/69 3 . 352xSol=81 31 5 42 + x xSol= no existe1 61 4 42+ + x xSol=-1/29 . 81 274 1 3 + +x xSol=31 3 13 9+ x xSol=-31 32 ) 2 (+x xSol=235 7 . 5 xSol = -1431321

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+xxSol = 2 ; 1xx11 111110 +Sol = 112121 xxSol = 00 10 4 . 3 41 2 + x xSol = 1/20 12 9 32 2 +x xSol = 1/228 . 16 ) 2 (x x xSol = no existe3 4 16 41 2 x x xSol = 1/20 8 2 24 6 1 3 + x xSol = 116 42 2 xSol = 32315255 5 532 1 + +++ +xx x xSol = 12198216 81+ + xxSol = 2/3( )25 253 xxSol = 0 ; 67 3 . 2 33 2 + x xSol = 24 2 3 3.x xa a aSol = -12/7x2 4 2 2 2 Sol = 11282421+xxSol = 119283131 ++ xxSol = -2 ; 13355 255xSol=5/620Altura sobre el nivel del mar (km)Presin atmosfrica (atmsferas) a 8098 = 0430479099 = 038742 = 100910 = 034868110911 = 031381 0 120912 = 028243La funcin exponencial Introduccin del logaritmoClculo aproximado de la solucin de la ecuacin de 2 x= 5 Al contrariodelas ecuacionesde laactividad anterior, en estecasonoesposibleponer 5 como potencia entera de2, por este motivo no es posiblecalcular directamenteel valor dex. A continuacin, se calcula el valor de x de una manera, pero no es la nica forma de hacerlo.En primer lugar, se sita la potencia 2x = 5 dentro de las potencias enteras de 2, es decir: ... 2-22-12021222x2324...... 025 05 1 2 4 5 8 16 ...Esta tabla proporciona una primera aproximacin a la respuesta:x tiene que estar entre 2 y 3 puesto que 5 lo est entre 4 y 8. Por lo tanto, se tendr que buscar las cifras decimales a, b, c, etc del nmero x = 2abcdef.....Paraencontrarlascifrasdecimales, unaopcinesirprobandodistintascifrashastadarconla buscada. Para obtener la cifra a; se puede, por ejemplo, comenzar a probar a partir de 25:225 = 5656854... ; 224 = 5278031... ; 223 = 4924577...Ya est, la cifra atiene que ser 3. Claro, si 223es menor que 5 pero 224es mayor que 5 habr que deducir que x vale 23bcdef...Ahora para calcular la cifra b, se procede de modo anlogo:2231 = 4958830...; 2232 =4993322...; 2233 = 5,028053...por lo tanto, la cifra b es 2.A continuacin, se busca la cifra c: 22321 = 4,998784...; 22322 = 5000249...de donde deducimos que la cifra c es 1.Ya se tiene que x = 2321...; el procedimiento anterior se puede reiterar las veces que se necesite para lograr la precisin que se desee alcanzar.Pgina21Altura sobre el nivel del mar (km)Presin atmosfrica (atmsferas) a 8098 = 0430479099 = 038742 = 100910 = 034868110911 = 031381 0 120912 = 028243,La funcin exponencial 1. Logaritmo de un nmero La presin atmosfrica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Al nivel del mar es de 1 atmsfera, pero, aproximadamente, por cada kilmetro que se asciende su valor es 09 veces la existente un kilmetro ms abajo.Forma una tabla de valores que exprese esta situacin.Altura sobre el nivel del mar (km)Presin atmosfrica (atmsferas)Al nivel del mar 11 0,92 092 = 0,813 093 = 0,7294 094 = 0,6565 095 = 0,5906 096 = 0,531... ...x 09x Veamos ahora el problema inverso: A qu altura se encontrar un globo sonda que marca en un barmetro 0325 atmsferas? Si representamos por x la altura, tendremos que resolver la ecuacin: 0325 = 09x.Para obtener una solucin aproximada podemos prolongar la tabla y vemos que el globo se encontrar entre 10 y 11 km sobre el nivel del mar. El valor exacto de x se define como el logaritmo en base 09 de 0325, lo que escribimos del siguiente modo: 325 ' 0 log x9 ' 0De lo anterior se deduce que:x9 ' 09 ' 0 325 ' 0 325 ' 0 log x La extraa palabra logaritmo fue introducida a finales del siglo XVI por el matemtico ingls John Naiper (1550-1617).Logaritmo en base a de un nmero Nes el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho nmero:xaa N x N logPgina22Altura sobre el nivel del mar (km)Presin atmosfrica (atmsferas) a 8098 = 0430479099 = 038742 = 100910 = 034868110911 = 031381 0 120912 = 028243La funcin exponencial Cuan dolabasea =10, sellamanlogaritmos decimales y se expresan simplemente por log en vez de log10Cuando la base a = nmero e , se llaman logaritmos neperianos y se expresan simplemente por ln en vez de loge2. Propiedades de los logaritmos De la definicin de logaritmo se deduce que : El logaritmo de 1 es 0: loga1 = 0, ya que ao = 1. El logaritmo de la base es 1: loga a = 1, ya que a1 = a. Logaritmo de un productoCon la calculadora cientfica, sigue este esquema:2 log 0301...por mas7 log 0845... 14 log 1146...El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Logaritmo de un cocientePgina23De una forma general se tiene:N = ax x = loga NM= ay y = loga MN.M = ax+y x + y = loga (N.M)Loga N + loga M = loga (N.M)xlogx x -1error - 0error 0 01-1110 1 2030103 2 101 1 1002 1

La funcin exponencial Con la calculadora cientfica, sigue este esquema:75 log 1875...entre Menos25 Log 1398... 3 Log 0477...El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor. Logaritmo de una potenciaCon la calculadora cientfica, sigue este esquema:2 Log 0301...elevado Por5 Exponente 5 32 Log 1,505...El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.Pgina24De una forma general se tiene:N = ax x = loga NM= ay y = loga MN/M = ax-y x - y = loga (N/M)Loga N loga M = loga (N/M)De una forma general se tiene:N = ax x = loga NNm = axm = amx mx = loga Nmm Loga N= loga Nmxlogx x -1error - 0error 0 01-1110 1 2030103 2 101 1 1002 1

La funcin exponencial Cambio de base de un logaritmoComo enlas calculadoras cientficas las teclas que hay para calcular logaritmos son de base 10 o base el nmero e , vamos a dar una frmula que nos permita calcular cualquierlogaritmo con la calculadora :axxbbalogloglog En nuestro caso cambiaremos a base 10 e :As por ejemplo321928 ' 230103 ' 069897 ' 02 log5 log52log 321928 ' 26931471 ' 06094379 ' 12 ln5 ln52log 3.La funcin logartmicay = log xPara calcular logaritmos en base 10, o logaritmos decimales con la calculadora cientfica, pulsa la tecla log .Formamos la tabla de valores y representamos la grfica de la funcin y = log x. Leyendo la grfica, se tiene que la funcin logartmicay = log x tiene las siguientes propiedades: Su dominio es el conjunto de los nmeros reales positivos. Su recorrido son todos los nmeros reales. Es creciente y continua en todo su dominio. Cuando x tiente a 0+, se verifica que y tiende a : (x 0+y ) Cuando x tiente a +, se verifica que y tiende a +: (x +y ) Qu relacin existe entre la funcin exponencial y la funcin logartmica?Si introduces un nmero cualquiera en tu calculadora y pulsas la tecla 10x y a continuacin la tecla log , qu obtienes?Por ejemplo: 2310x19952623log23Esto quiere decir que la composicin de las funciones y = 10x e y = log xes igual a la funcin identidad [i(x) = x]. Entonces las funcionesy = 10xey = log x son inversas o recprocas y sus grficas son simtricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.Por ello se puede obtener la grfica de una funcin logartmica de cualquier base por simetra con la bisectriz del 1ercuadrante con la exponencial de la misma base. Pgina25xlogx x -1error - 0error 0 01-1110 1 2030103 2 101 1 1002 1y = 2xy = log2 xy = (1/2)xy = log1/2 x

loga x =log aln xln a=log xLa funcin exponencial 4.Funcin logartmica de base a > 1Como la funcin x x falog ) ( es inversa de la funcin xa x g ) (. Cuando la base es1 > a:5.Funcin logartmica de base 0 < a < 1Analogamente cuando la base0 < a 1: Dominio : ) , 0 ( + Recorrido : Creciente en su dominio Continua en su dominio Asntota vertical x = 0 a la derecha de 0 +x limaxlog0+ + x limaxlogPropiedadesde y = loga xcon 0 < a < 1: Dominio : ) , 0 ( + Recorrido : Decreciente en su dominio Continua en su dominio Asntota vertical x = 0 a la derecha de 0+ +x limaxlog0 + x limaxlogy = logaxy = axa>111y=logaxy=ax0 < a < 111La funcin exponencial 5. Halla con la calculadora los valores de x en las siguientes ecuaciones:a) 324 = 10xc) 137 = 3xb) 026 = 2xd) 428 = 12x.6.Verdadero o falso? Por qu?a) log 2 + log 3 = log 5b) log 2 + log 3 =log 6c) log 15 log 5 = log 10d) log 15 log 5 = log 3e) log 23 = (log 2)3f) log 23 = 3 log 27. Reemplaza la interrogacin por el valor que proceda :? 24log ; 0 ? log ; 3 ? log ; 2 ?31log; ? log ;23?36log ;31?128log?; 2564log ?; 12966log ;215 ' 0?log?;3255log ; 32161?log ; 4 625?log; 2 ?3log ; 2251?log ; 3271?log?; 1255log ; 2 4?log ?;3616log

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na8. Calcula la base de cada uno de los logaritmos siguientes de forma que sea vlida la igualdad :217 log ; 2 7 log ; 2 3 log ;41491log

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x x x x9. Comprueba las igualdades siguientes :3 log log 232loglog 2100log ; 100 log210 log log21333log ; 24121log ; 2 421log + +

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xxxxx xPgina27( )532log ;325432log a a a

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La funcin exponencial 10.Expresa en funcin delog2 alas expresiones siguientes:11. Sabiendo que log 5 = 06990, calcula :( )808325 ' 0log ; 125 ' 0 125 log ;32625 ' 0log12. Calcula :( )749log7 ; 42log2log ;37log7 ;7 log1013. Calcula el valor de A sabiendo que :27log7log +

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BBA14. Sabiendo que log 2 = 030103, calcula los logaritmos decimales de cada uno de los nmeros siguientes :( ) ( )420564 ' 032 ' 0;84005 ' 0;302 ' 0 ;3161; 25 ' 015.Representa grficamente la funcin logartmica dada por la frmula Halla las imgenes de los nmeros: 8/27; 4/9; 2/3; 9/4; 27/8.16. Dada la funcin x3log f(x) . Se pide :a) Halla la imagen de 1/9; 1/3; 1; 3 y 9.b) Representa grficamente la funcin f(x)c) A partir de la grfica del apartado anterior dibuja la grfica de la funcin g(x)=3x17. Recordando que logaritmo de un nmero en cualquier base no est definido a no ser que el nmero sea positivo, calcula el dominio de cada una de las siguientes funciones:( ) ( )( ) ( )21 log ) ( ;11log ) ( ; 1 2 log ) (log ) ( ; 4 log ) ( ;2log ) ( ; log ) (x x rxx t x x qx x p x x hxx g x x f+ + +

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Pgina28x f23log (x) La funcin exponencial Ecuaciones logartmicasSon aquellas en las que la incgnita aparece en la base o argumento de un logaritmo. En general, se intentar sustituir la ecuacin dada por otra equivalente, cuyas soluciones se comprobarn con la ecuacin inicial.Procedimiento EjemplosSi la incgnita aparece en el argumento, la ecuacin se reduce a una igualdad de la misma base, se igualan los argumentos y se resuelve la ecuacin resultanteEs sumamente importante comprobar que las soluciones halladas hacen positivos los argumentos de la ecuacin inicial, ya que, en caso contrario, no seran soluciones de estas.aritmo del dentrode sitivo lo al hace po cin inici en la ecuair al sustitu a, ya quen es vlid La solucix xx xxlog 5 6 12312 log31log1 3 log ) 1 ( log2 22 2 + + + +Pgina29La funcin exponencial Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) x xx x xx xxxx xx xx x2 log 3 log 2 log0 5 log 5 log 1 log3 log 2 log 1 2 log472log log 2log 2 6 log3log3 log 1 log 4 log log2 log 3 log 2 log 3 log + + + + + + + ++

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AL TERMINAR EL TEMA SOBRE LA FUNCIN EXPONENCIAL Y LA FUNCIN LOGARTMICA DEBERS SABER1. Representar grficamente las funciones exponenciales del tipo: y = axey = a-x.2. Conocer las propiedades ms importantes de la funcin exponencial.3. Reconocer funciones exponenciales en tablas, grficas y enunciados.4. Comprender la definicin de logaritmo y saber calcular cualquiera de los elementos que intervienen en ella.5. Conocer y aplicar las propiedades de los logaritmos.6. Manejar adecuadamente la calculadora cientfica en las operaciones y clculos con potencias de base y exponente real y con logaritmos. 7. Representar la funcin logartmica y conocer sus propiedades ms importantes.8. Resolver ecuaciones exponenciales y logartmicas.Pgina30La funcin exponencial Texto:El logaritmo en la literaturaLa novela Nubosidad variable, de Carmen Martn Gaite, narra el encuentro de dos mujeres adultas que fueron muy amigas en su poca de estudiantes y que han dejado de verse. Una de ellas recuerda asu amiga, al encontrar una foto suya de la poca, y sus actitudes ante las palabras y las matemticas. Este es el relato.Seguro que esa nia de trenzas rubias y cara de interrogacin en algn momento supo resolver problemas de Matemticas; si no, no la habran aprobado. Pero ella no entenda de nmeros. Los nmeros eran un mero dibujo inalterable y los nombres que los designaban no daban pie a la fantasa. (...) A ella le gustaba inventar palabras y desmontar las que oa por primera vez, hacer combinaciones con las piezas resultantes, separar y poner juntas las que se repetan. (...) Algunos corpios como 'filo', que quera decir amistad, y 'logos', que quera decir palabra, abrigaban mucho y permitan variaciones muy interesantes. Ella un da los puso juntos y result un personaje francamente seductor: el fillogo o amigo de las palabras. Lo dibuj en el cuaderno tal y como se lo imaginaba, con gafas color malva, un sombrero puntiagudo y en la mano un cazamariposas grande por donde entraban frases en espiral a las que pint alas. Luego vino a saber que la palabra fillogo ya exista, que no la haba inventado ella. Pero da igual, lo que ha hecho usted es entenderla y aplicrsela le dijo don Pedro Larroque, el profesor de Literatura . No deje nunca el cazamariposas. Es uno de los entretenimientos ms sanos: atrapar palabras y jugar con ellas. (...) Al profesor de Matemticas, en cambio, no le divertan nada estos juegos de palabras, le parecan una desatencin a los problemas mas serios, una manipulacin peligrosa del dos y dos son cuatro, una prdida de tiempo. Cuando un buen da, sin ms prembulo, empez a hablar de logaritmos, hubo en clase una interrupcin inesperada y un tanto escandalosa. La nia del cazamariposas se habla puesto de pie para preguntar si aquello, que oa por primera vez, poda significar una mezcla de palabra y ritmo. Las dems alumnas se quedaron con la boca abierta y el profesor se enfad. No hace al caso, seorita Montalvo. Est usted siempre en las nubes dijo con gesto severo . Le traera ms cuenta atender. La nia rubia, que ya estaba empezando a pactar con la realidad y a enterarse de que las cosas que traen cuenta para unos no la traen para otros, se sent sin decir nada y apunt en su cuaderno: "Logaritmo: palabra sin ritmo y sin alas. No trae cuenta". (...) Pero cmo se imaginaba los logaritmos? Cmo se las arregl para lidiar con ellos sin saber lo que eran. No queda el menor rastro. Yo ahora, si digo logaritmo, guarismo, raz cuadrada o ecuacin, veo bastoncitos grises y articulados que reptan por la alfombra como una procesin de gusanosPgina31