Integrantes:

Caparachn Condori Junior

Cruz Ortega Omar

Jacinto Alexander Rodrguez

Lpez Snchez Lsaly

Dimensiones:

Es una medida de una cantidad fsica (sin valores numricos), mientras que una unidad es una manera de asignar un nmero a dicha dimensin.

Existen 7 dimensiones fundamentales las cuales mencionaremos en un cuadro, las dems dimensiones se forman en base de estas.

Figura 01: No se puede sumar

manzanas con

naranjas!

Dimensiones primarias y sus unidades (SI e inglesas )

Dimensin Smbolos Unidad SI Unidad Inglesa

Masa m Kg(kilogramo) lbm(libra-masa)

Longitud L m(metro) ft(pie)

Tiempo t s(segundo) s(segundo)

Temperatura T K(kelvin) R(rankine)

Corriente

elctrica I A(ampere) A(ampere)

Cantidad de luz C cd(candela) cd(candela)

Cantidad de

materia N mol(mole) mol(moles)

Ejemplo: Quiz usted este familiarizado con la Ley de Ohm para

circuitos elctricos, donde E es la diferencia de voltaje o potencial a travs del resistor, I es la corriente elctrica que pasa

a travs del resistor y R es la resistencia elctrica. Cules son las

dimensiones primarias de resistencia elctrica?

R =E

I=

masa longitud2

tiempo2 corriente

corriente

=mL2

t2I2= mL2t2I2

Homogeneidad:

Nos referimos a un principio de buena formacin de

las expresiones que relacionan magnitudes fsicas de manera

algebraica. Es decir, es un principio fsico que nos dice que slo

es posible sumar o restar entre s magnitudes fsicas de la misma

naturaleza.

En consecuencia, no podemos sumar longitud con tiempo, o masa

con longitud, etc.

Ejemplo: Cambio de energa total de un sistema:

E = U + EC + EP

Verificando que tanto el lado izquierdo y derecho cumplen con

las mismas dimensiones

U = m(u2 u1) EC =1

2m(V2

2 V12) EP = mg(z2 z1)

Usando las dimensiones fundamentales del cuadro de anterior:

E = Energia = Fuerza. Longitud E =mL2

t2

U = MasaEnergia

Masa= Energia U =

mL2

t2

EC = MasaLongitud2

Tiempo2 EC =

mL2

t2

EP = MasaLongitud

Tiempo2Longitud EP =

mL2

t2

Si en alguna etapa de algn anlisis de dimensin se encuentra

con una situacin en las que las dimensiones no concuerdan, es

posible que haya cometido algn error en el proceso.

Conceptos:

En muchos casos en la ingeniera de la vida real, las ecuaciones

que describen fenmenos o procesos o no se conocen o son

demasiado difciles de resolver.

La mayora de las veces la experimentacin es el nico mtodo

de obtener informacin confiable (anlisis dimensional).

En la mayora de los experimentos, para ahorrar tiempo y

dinero, las pruebas se realizan en un modelo a escala

geomtrica, en lugar de en un prototipo de tamao real

(similitud o semejanza).

Condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo

y un prototipo.

Similitud geomtrica: Prototipo y modelo deben tener la misma

forma y se le puede escalar por algn factor de escala constante

Figura 02: La similitud

cinemtica se logra cuando,

la velocidad en el flujo del

modelo es proporcional a la

velocidad en el flujo del

prototipo, y apunta en la

misma direccin.

Similitud cinemtica: la velocidad en cualquier punto en el flujo

del modelo debe ser proporcional (por un factor de escala

constante) a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo

del prototipo y apuntar en la misma direccin (Ver figura 02).

Similitud dinmica: todas las fuerzas en el flujo del modelo se

escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el

flujo del prototipo (Ver figura 02).

Para garantizar similitud completa deben existir las tres condiciones

de similitud.

Parmetro adimensional :

En problemas que implican anlisis dimensional existen dependientes (denotados por 1) y independientes (denotados por 2, 3, , k)

Para garantizar similitud completa:

Modelo y prototipo deben ser geomtricamente similares.

Todos sus grupos independientes deben coincidir entre modelo y prototipo.

Nombre Definicin

Nmero de Froude =

Nmero de Euler =

2

Nmero de Weber = 2

Nmero de Mach =

Numero de Prandtl =

Nmero de Reynolds =

Parmetro adimensional mas conocidos:

Ejemplo: Se debe predecir la fuerza aerodinmica de arrastre

de un auto deportivo nuevo a una velocidad de 50.0 min/h a una

temperatura de aire de 25C.

Los ingenieros automotrices construyen un modelo a un quinto de

escala del auto para probarlo en un tnel de viento. Es invierno y

el tnel de viento se localiza en un edificio sin calefaccin; la

temperatura del aire del tnel de viento es de slo 5C. La

fuerza aerodinmica de arrastre sobre el auto modelo se mide

con una balanza de arrastre. Se registran varias lecturas de

fuerza de arrastre y resulta que la fuerza de arrastre promedio

sobre el modelo es 21.2 lbf

Determine qu tan rpido deben correr los ingenieros el aire

en el tnel de viento con la finalidad de lograr similitud entre el

modelo y el prototipo.

Determinamos las propiedades del aire: A Patm y a T=25C,

= 1.184 Kg/m3 y u = 1.849 105 Kg/(m s).

A Patm y a T=5C, = 1.269 Kg/m3 y u = 1.754 105 Kg/(m s).

Nos piden calcular la velocidad del viento con la finalidad de

lograr similitud completa entre modelo y prototipo. Para ello

debe cumplir una ultima condicin: grupos independientes deben coincidir entre modelo y prototipo,

Figura 03

Es decir:

2,m = 2,P m Vm Lm

um =P VP LP

uP

Para el caso de fuerza de arrastre sobre un automvil solo existen

dos parmetros

1 = FD V2 L2 (dependiente)

2 = VL

u (independiente)

Despejando para la velocidad desconocida del aire en el tnel de

viento para las pruebas del modelo (Vmodelo) tenemos:

Vm = VP um

up pm (

LpLm )

Vm = (50min

h )(1.754 105

1.849 105 )(1.184 1.269 )(5)

Vm = 221min

h

Ahora pasamos a determinar la fuerza de arrastre. Si

2,m = 2,P

Entonces:

1,m = 1,P FD,m

m Vm2 Lm

2 =

FD,PP VP

2 LP2

Que se puede resolver para la fuerza incgnita de arrastre sobre

el auto prototipo, FD,m

FD,p = FD,m Pm

VP2

Vm2

LP2

Lm2

FD,p = (21.2Lbf) (1.184/1.269) (50minh/221minh)2 (5)2

FD,p = 25.3 Lbf

EL teorema PI de Buckingham Prueba un problema fsico que

incluye n cantidades en las cuales a-m dimensiones, las

cantidades pueden reordenarse en n-m parmetros

adimensionales independientes.

Sean A1, A2, A 3, A 4. An , las cantidades involucradas , tales como presin , viscosidad , velocidad.

F (A1, A2, A 3, A 4. An) = 0

Si 1 , 2.. representan agrupaciones adimensionales de las cantidades A1, A2, A 3, A 4.

f ( 1 , 2n) = 0

Por ejemplo sean A1, A2, A 3 , que contienen M,L,T , no

necesariamente cada una de ellas , sino en forma colectiva.

Entonces el primer y segundo parmetro se define como:

El primero 1 y el segundo 2

Ejemplo: El caudal a travs de un tubo capilar horizontal

depende de la cada de presin por unidad de longitud, del

dimetro y de la viscosidad .Encontrar la forma de la ecuacin.

Las cantidades y sus dimensiones se enumeran a continuacin:

CANTIDAD SIMBOLO DIMENSIONES

Caudal Q L3T1

Cada de presin por

longitud p/l ML2T2

Dimetro D L

Viscosidad ML1T1

Entonces

Se utilizan tres dimensiones , y con cuatro cantidades solamente

existe un parmetro ;

Sustituyendo las dimensiones se llega a

Los exponentes de cada dimensin deben ser los mismos en ambos

lados de la ecuacin . con L primero

Y similarmente para M y T

Donde :

. Despus de resolver para Q ,

Deteccin de errores de clculo.

Resolucin de problemas cuya solucin directa conlleva

dificultades matemticas insalvables.

Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los

modelos, etc.

Creacin y estudio de modelos reducidos.

Una interesante aplicacin del anlisis dimensional se encuentra en el

estudio del vuelo de los insectos. El pequeo tamao y el movimiento rpido

de las alas de un insecto, como el de las diminutas moscas de la fruta,

hacen difcil medir las fuerzas o visualizar directamente el movimiento del

aire que crean sus alas. Sin embargo, con el uso de los principios de anlisis

dimensional, es posible estudiar la aerodinmica del insecto en un modelo

lento movimiento y una escala mayor: un robot mecnico. Las fuerzas que

crean una mosca que flota y el batir de las aletas de un robot

dinmicamente similares si el nmero de Reynolds es el mismo para cada

caso.

Figura 04:

Para un ala que bate Re, se calcula como 2RLC donde es la amplitud angular del golpe de ala, R es la longitud del ala, LC es el ancho promedio

del ala (longitud de la cuerda), es la frecuencia angular del golpe y V es la viscosidad cinemtica del flujo circundante. Una mosca de la fruta bate 200

veces por segundo sus alas de 2.5mm de largo y 0.7mm de ancho a lo largo

de un golpe de 2.8 rad en aire con una viscosidad cinemtica de 1.5x10-5

m2/s. el nmero de Reynolds resultante es casi 130. Cuando se elige aceite

mineral con una viscosidad cinemtica de 1.15x10-4m2/s, es posible igualar

este nmero de Reynolds en una mosca robtica que sea 100 veces ms

grande, que bata sus alas casi 1000 veces ms lentamente! Si la mosca no

est estacionaria, sino ms bien en movimiento a travs del aire, es

necesario equiparar otro parmetro adimensional para asegurar similitud

dinmica, la frecuencia reducida = 2 que mida la razn de la velocidad de batimiento de la punta del ala (2)con la velocidad hacia adelante del cuerpo (V).

GRACIAS