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Modelos de regresin para observaciones censuradas
Proyecto e-Math 1 Financiado por la Secretara de Estado de
Educacin y Universidades (MECD)
FIABILIDAD (VII): MODELOS DE REGRESIN PARA OBSERVACIONES
CENSURADAS
Autores: ngel A. Juan Prez ([email protected]), Rafael Garca Martn
([email protected]).
RELACIN CON OTROS
MATH-BLOCS__________________________________
Este math-block forma parte de una serie de 8 documentos
relacionados todos ellos con la Fiabilidad de componentes desde un
punto de vista estadstico:
Conceptos Bsicos (I). Identificacin y descripcin grfica de los
datos (II). Anlisis paramtrico de los tiempos de fallo (III).
Anlisis no paramtrico de los tiempos de fallo (IV). Comparacin no
paramtrica de muestras (V). Tests de vida acelerada (VI). Modelos
de regresin para observaciones censuradas (VII). Anlisis Probit
(xito / fracaso) (VIII).
ESQUEMA DE
CONTENIDOS___________________________________________
Fiabilidad (VII): Modelos de regresin para obs.
censuradas
Ejemplo reg. mltiple con obs. cens. (Minitab)
Regresin mltiple con obs. censuradas
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Modelos de regresin para observaciones censuradas
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INTRODUCCIN_____________________________________________________
En cualquier investigacin sobre anlisis de fiabilidad puede
resultar de sumo inters identificar aquellas variables que estn
correlacionadas con los tiempos de fallo. Bsicamente, hay dos
razones por las cuales este proceso de identificacin no se puede
realizar utilizando las tcnicas comunes de regresin mltiple:
1) La variable dependiente (tiempos de fallo) no suele
distribuirse de forma normal (condicin necesaria para aplicar
regresin por mnimos cuadrados).
2) La existencia de observaciones censuradas
El objetivo de la regresin con observaciones censuradas ser
encontrar una expresin matemtica que nos describa el tiempo de
fallo de una determinada proporcin de unidades (percentil de T Tp)
en funcin de una o varias v.a. independientes (temperatura, horas
de trabajo al da, grupo a que pertenecen los datos, etc.).
Para llevar a cabo de forma efectiva estos tests de vida
acelerada, ser conveniente recurrir a software especializado. En
este captulo se har uso del programa MINITAB a fin de ejemplificar
con casos prcticos los conceptos involucrados en este tipo de
estudios.
REGRESIN MLTIPLE CON OBS.
CENSURADAS_________________________
Por defecto, MINITAB usar un modelo de regresin lineal a la hora
de explicar la relacin existente entre las variables independientes
X1, X2, ..., Xn y la variable dependiente Tp (percentil de orden p
de T). Sin embargo, es posible construir modelos no lineales sin ms
que transformar las variables explicativas del modelo.
Adems, segn la distribucin que sigan los tiempos de fallo T
(exponencial, Weibull, etc.), puede resultar conveniente (ver
tabla) realizar alguna de las siguientes transformaciones del
percentil Tp: ( ) ( )pppppp TLogYTLnYTY 10;; === El modelo de
regresin lineal mltiple tendr pues la forma:
pnnp XbXbbY ++++= ...110 donde:
b0, b1, ..., bn son el trmino independiente y los coeficientes
de regresin = parmetro de escala (escala = 1 / forma) p = percentil
de orden p de la distribucin de los residuos (), la cual vendr
determinada por la distribucin de T (ver tabla).
En la tabla siguiente se relaciona la distribucin de los tiempos
de fallo T con:
1) Las transformaciones idneas para Tp , y 2) Las distribuciones
que siguen los residuos
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Yp Distrib. de tiempos de fallo (T) Distrib. de
Weibull exponencial
valores extremos (0,1)
log-normal base e normal (0,1) Ln Tp
log-logstica logstica (0,1) Log10 Tp log-normal base 10
normal normal (0,1)
valores extremos valores extremos (0,1) Tp logstica logstica
(0,1)
EJEMPLO REGRESIN MLTIPLE CON OBS. CENSURADAS________________
Continuando con el ejemplo de las capas aislantes para motores
(ver el math-block Fiabilidad VI), supngase ahora que se desean
estimar los tiempos en que una determinada proporcin de
protecciones aislantes fallan, en funcin no slo de las
temperaturas, sino tambin de la planta donde fueron construidas
(planta 1 o planta 2), i.e., se buscar una expresin de la
forma:
pp cXbXaY +++= 21
Entrada de datos (input): se debe indicar la variable donde se
han registrado los tiempos de fallo T, la distribucin que siguen
dichas observaciones, y las variables independientes del modelo (en
este caso ArrTemp X1 y Planta X2). Indicaremos tambin la columna de
censura y aquellas columnas donde se guardan los valores de las
variables independientes para los cuales se desean hacer
predicciones (ArrNuevaT y NuevaPlant).
Finalmente, se pedir un grfico de probabilidad para los
residuos, a fin de estimar si la distribucin escogida es o no
adecuada:
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Salida de datos (output):
Regression with Life Data: T versus ArrTemp; Planta Response
Variable: T Censoring Information Count Uncensored value 66 Right
censored value 14 Censoring value: Censura = C Estimation Method:
Maximum Likelihood Distribution: Weibull Regression Table Standard
95,0% Normal CI Predictor Coef Error Z P Lower Upper Intercept
-15,1603 0,9468 -16,01 0,000 -17,0160 -13,3047 ArrTemp 0,83925
0,03397 24,71 0,000 0,77267 0,90584 Planta -0,18077 0,08457 -2,14
0,033 -0,34652 -0,01501 Shape 2,9431 0,2707 2,4577 3,5244
Log-Likelihood = -562,525 Anderson-Darling (adjusted)
Goodness-of-Fit Standardized Residuals = 0,5078 Table of
Percentiles Predictor Standard 95,0% Normal CI Percent Row Number
Percentile Error Lower Upper 50 1 182093,6 32466,16 128389,8
258260,9 50 2 151980,8 25286,65 109689,6 210577,6 50 3 41530,38
5163,756 32548,44 52990,94 50 4 34662,51 3913,866 27781,00
43248,61
Informacin sobre la distribucin elegida
Valores estimados de a, b1, b2, y 1/ (shape=1/scale), as como
los p-valores asociados al test con H0: el coeficiente es 0 (i.e.,
no tiene razn de existir en el modelo)
Predicciones (basadas en el modelo creado) para los tiempos de
fallo del 50% de dispositivos bajo los valores de temperatura y
planta indicados: (80,1), (80,2),(100,1),y (100,2)
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La tabla de regresin proporciona los coeficientes del modelo. En
este caso, dado que se ha usado una Weibull, la ecuacin del modelo
sera:
pp PlantaArrTempTLn ++= 9431,21
18077,083925,01603,15
donde la variable Planta puede tomar los valores 1 2, y sigue
una distrib. de valores extremos (0,1).
A partir de los p-valores asociados a cada coeficiente (0,000
para ArrTemp, y 0,033 para Planta), los cuales son significativos
para = 0,05, se puede afirmar que: (1) la temperatura influye de
forma decisiva sobre los tiempos de fallo (ms altas temperaturas
significan menor tiempo hasta el fallo), y (2) la calidad de la
capa aislante depender de la planta de produccin en la que fue
construida (las capas aislantes fabricadas en la planta 1 duran
ms).
La tabla de percentiles muestra el percentil de orden 50
asociado a cada combinacin de temperatura y planta de produccin.
Dado que este percentil es una buena aproximacin a la esperanza de
vida de una unidad, es posible pronosticar lo siguiente: a 80 C,
las protecciones fabricadas en la planta 1 durarn unas 182.093,6
horas (o 20,77 aos), mientras que la duracin esperada de las de la
planta 2 ser de tan slo 151.980,8 horas (17,34 aos). Anlogas
conclusiones se pueden extraer para una temperatura de 100 C.
Aunque MINITAB hace todos los clculos de forma automtica,
resulta interesante entender cmo el programa obtiene sus
predicciones a partir del modelo. Por ejemplo, para una proteccin
fabricada en la planta 1 (Planta = 1), y sometida una temperatura
de 80 C (ArrTemp = 32,85998), el modelo anterior sera:
ppTLn ++= 33978,0118077,085998,3283925,01603,15
Se sabe que los residuos siguen en este caso una distribucin de
valores extremos (0,1), cuya f.d. viene dada por:
{ }xexXPxF == exp1)()( Por tanto, el percentil de orden 50 de
esta distribucin ser:
0,50 = P(X
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Por lo que respecta a la bondad del ajuste, en el grfico
siguiente se aprecia que las observaciones estn suficientemente
cerca de la recta de probabilidad, por lo que se puede dar por
bueno el ajuste mediante la Weibull:
BIBLIOGRAFA______________________________________________________
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thegeneralized gamma distribution J.
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Methods for Lifetime Data.John Wiley. pp: 298-321.
-8 -4 0
0,1
1
2 3
5
10
20 30 40 50 60 70 80 90 95 99 99,9
Standardized Residuals
Perc
ent
Probability Plot for SResids of TExtreme value Distribution - ML
Estimates - 95,0% CI
Censoring Column in Censura
FailureCensor
AD*
66 14
0,5078
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Educacin y Universidades (MECD)
ENLACES___________________________________________________________
Los siguientes artculos son un excelente material para quien desee
profundizar ms sobre este tema:
[W1]
http://www.colpos.mx/agrocien/Bimestral/2000/jul-ago/art-9.pdf [W2]
http://bear.fhcrc.org/~clk/papers/weipan.pdf
