Funciones -Actividad 47

Funciones -Actividad 47.

En esta actividad se trabajará fundamentalmente función cuadrática.

Previamente deberán repasar la sección 1.5.4 del capítulo de funciones.

47- Para cada una de las siguientes funciones se pide:

i) Dominio, gráfico e imagen.

ii) Determinar propiedades: ceros, intervalos de monotonía, simetrías, signo.

iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�

iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�

Ítems seleccionados:

a) �(�) = �� − �� + �

b) �(�) = �� + �� + �

c) �(�) = �� − ��

d) �(�) = −�� − �

e) �(�) = −�� + � + �

f) �(�) = −�� + �� − �

Generalidades

Las funciones cuya ley es de la forma �(�) = �� + �� + � con �, �, � ∈ ℝ ; � ≠ � se denominan

funciones cuadráticas. Si su dominio de definición es el conjunto de los números reales, su gráfica es una

parábola. El signo del coeficiente a determinará si las ramas de la parábola van hacia arriba (� > 0) o

hacia abajo (� < 0).

Podemos efectuar la gráfica de la parábola por corrimientos o por elementos sobresalientes, según la

conveniencia del caso.

Si graficamos la parábola por elementos sobresalientes debemos determinar:

vértice: la abscisa del vértice viene dada por �� = −�

�� y su ordenada será �� = �(��)

Entonces el vértice será �(�� ; ��).

eje de simetría: la recta vertical de ecuación � = �� que pasa por el vértice.

intersección con el eje x

Si algún punto de la gráfica de la función pertenece también al eje x, su ordenada será 0.

Entonces las abscisas de los puntos de intersección de una función cuadrática con el eje x se

obtienen resolviendo la ecuación cuadrática que se genera al igualar la ley a 0.

�(�) = 0

�� + �� + � = � Ecuación cuadrática

Las soluciones de la ecuación cuadrática vienen dadas por la fórmula:

�� =−� ± √�� − 4��

2�

El discriminante es ∆= �� − 4�� y nos permite evaluar el número de soluciones en los reales de

la ecuación. Se presentan las siguientes alternativas:

Si ∆> 0 existen dos raíces reales distintas ( �� ), entonces la parábola corta al eje x en

dos puntos diferentes: ��(��; 0) y ��(��; 0)

Si ∆= 0 existe una raíz real doble (�� = �� ), la parábola interseca al eje x en un punto:

��(��; 0)

Si ∆< 0 no hay raíces reales, la parábola no corta al eje x.

Sumado al signo del coeficiente a señalado anteriormente podemos resumir la información en la

siguiente tabla (pág. 70 del libro):

intersección con el eje y

La parábola corta al eje y en el punto ��(0; �(0)).

El procedimiento concluye al unir con un trazo continuo los puntos sobresalientes describiendo la

parábola correspondiente a la gráfica de la función.

Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática �(�) = �� + �� + � por corrimientos o

transformaciones seguiremos los siguientes pasos:

1°) Reconocemos el tipo de función y su gráfica.

2°) Elegimos la función prototipo. En este caso: �(�) = ��.

3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice: V( h; k)

�(�) = �� + �� + � → �(�) = �(� − ℎ)� + �

4°) Trasladamos al punto V( h; k) la parábola correspondiente a �(�) = ��.

Para un mejor gráfico pueden calcularse otros puntos además del vértice.

a) �(�) = �� − �� + �


Dada la ley reconocemos que se trata de una función cuadrática.

A continuación analizamos el dominio de la función. Dado que no presenta restricciones algebraicas y no se halla

en el contexto de un problema, su dominio estará integrado por los todos números reales.

�� = ℝ

Entonces su gráfica será una parábola.

Dado que � = 1 y por lo tanto � > 0, la parábola tendrá sus ramas hacia arriba.

El conjunto correspondiente a las imágenes de la función lo determinaremos con posterioridad a su gráfica.

Para graficar la parábola determinamos sus elementos sobresalientes:

Vértice

�� = −�

2�

�� = −��

�.�= 3

�� = �(3) = 3� − 6.3 + 5 = −4

Luego: V(3;-4)

Intersección con el eje x

0 = �� − 6� + 5

Resolviendo la ecuación cuadrática:

�� =−� ± √�� − 4��

2�

�� =6 ± �(−6)� − 4.1.5

2.1

�� = 1 � �� = 5

Luego los puntos de intersección con el eje x serán

��(1; 0) y ��(5; 0)

Intersección con el eje y

�(0) = 5

Por lo tanto

��(0; 5)

Eje de simetría

El eje de simetría corresponderá a la recta vertical que pasa por el vértice.

Su ecuación será: � = �

A continuación graficamos primero en el p

unimos con un

Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de

Si optamos por


unimos con un


Si optamos por


unimos con un


Si optamos por


unimos con un


Si optamos por


Me

��

2°) Elegimos la función prototipo. En este caso:

3°) Completamos cuadrados para obtener el nuevo vértice:

�(

�(

�(

�(

�(

La gráfica de p cuya ley es

origen a la gráfica

4°) Trasladamos al punto V(



unimos con un


Si optamos por


Mencionamos anteriormente que

��



(�)

(�)

(�)

(�)

(�)






unimos con un trazo continuo


Si optamos por


ncionamos anteriormente que

��: ℝ



( ) =

( ) =

( ) =

( ) =

( ) =






trazo continuo


Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática



ℝ



) ��

) ��

) (�

) (�

) �(�






trazo continuo


realizar la gráfica de la función cuadrática



y su grá



− 6

− 6

( − 3

− 3

� −






trazo continuo





su grá



6� +

6� +

3)�

3)�

− 3)






trazo continuo





su gráfica será una



+ 5

+ 9

) − 9

− 4

) −


origen a la gráfica de f.




trazo continuo





fica será una



5

9 −

9 +

4 entonces

4


de f.




trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.





fica será una



→

− 9 +

+ 5

entonces


de f.




describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.





fica será una



→

+ 5

entonces

La gráfica de p cuya ley es �









fica será una



→ �(�

5

entonces

�(�)

4°) Trasladamos al punto V( 3;








fica será una parábola



(�) =

entonces ℎ =

( ) =

; -4) la parábola correspondiente a


A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los





ncionamos anteriormente que dada la

parábola



( ) = (

= 3

) = ��

) la parábola correspondiente a


lano los elementos sobresalientes calculados anteriormente y los





ada la

parábola



(� −

3 y

� se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar








ada la ley

parábola



− ℎ)

� =

se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar








ley

que



)� +

= −









reconocemos que se trata de una función cuadrática

que tendrá sus



+ �

−4 es decir:






Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de �




tendrá sus

2°) Elegimos la función prototipo. En este caso: �(�


�

es decir:






�: ��

realizar la gráfica de la función cuadrática �(�


tendrá sus

(�) =


es decir:






��

(�) =


tendrá sus

( ) = �


es decir:






�� =

( ) = �


tendrá sus ramas hacia arriba

��.







= [−

�� −


ramas hacia arriba

V(h ; k)






−4;

− 6�


ramas hacia arriba

V(h ; k)






;∞)

� +


ramas hacia arriba

V(h ; k)


) la parábola correspondiente a �(�




)

+ 5


ramas hacia arriba


(�) =




por


ramas hacia arriba


( ) = �


(

Entonces

de donde

Luego



por corrimientos:


ramas hacia arriba


��.

(� −

Entonces

de donde

Luego



corrimientos:


ramas hacia arriba dado que a>0


− ℎ)�

Entonces

de donde

Luego (�



corrimientos:


dado que a>0


� =

Entonces −

de donde ℎ

(� −



corrimientos:


dado que a>0


�� −

−6�

= 3

( 3)�



corrimientos:


dado que a>0


− 2�

= −

3

)� = �



corrimientos:


dado que a>0


�ℎ +

−2�

�� −




dado que a>0.


+ ℎ�

�ℎ

− 6�




�

� +


reconocemos que se trata de una función cuadrática con


9


con


con

se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar se corre 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para dar


Ceros

Los ceros o raíces de una función son los valores de x donde f(x)=0

Son los valores hallados anteriormente a partir de la ecuación cuadrática: �� = 1 � �� = 5

Crecimiento

La función f no es monótona en su domino.

f es estrictamente creciente en (3;∞).

f es estrictamente decreciente en (−∞; 3).

Simetría

f no es simétrica respecto del eje y ,por lo tanto f no es par.

f no es simétrica respecto del origen de coordenadas, por lo tanto f no es impar.

Signo

La función f no tiene signo definido en su dominio.

iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�

Los elementos del conjunto �� son valores de x, o sea debemos

marcarlos en el eje x en caso de determinar el conjunto gráficamente.

Con este fin debemos seleccionar los puntos de la gráfica que

tienen imágenes positivas (�(�) > 0). Serían los puntos de la

gráfica por encima del eje x.

Y determinamos cuale

Luego

iv)

Los elementos del conjunto

Para determinar el conjunto

los puntos de la gr

(�

debajo


La función f es negativa en:


Luego

v) Hallar



los puntos de la gr

�(�

debajo




Luego

Hallar



los puntos de la gr

(�) <

debajo




Luego la función f es positiva en

Hallar



los puntos de la gr

( ) < 0

debajo del eje x.




a función f es positiva en

Hallar ��



los puntos de la gr

0). Serían

del eje x.





�� =



los puntos de la gr

Serían

del eje x.





= �



los puntos de la gr

Serían

del eje x.





�� ∈



los puntos de la gráfica que tienen

Serían los punto



Y determinamos cuales son los x correspondientes a dichos puntos:


∈ �



áfica que tienen

los punto

Y determinamos cuales son los x correspondientes a dichos puntos:


s son los x correspondientes a dichos puntos:


�� /



áfica que tienen

los punto





/ �

Los elementos del conjunto ��

Para determinar el conjunto gráficamente

áfica que tienen

los puntos de la gráfica por





�(�

�� también

gráficamente

áfica que tienen

s de la gráfica por


La función f es negativa en: ��


a función f es positiva en:

(�) <

también

gráficamente

áfica que tienen imágenes negativas



�� =


: ��

( ) < 0

también

gráficamente

imágenes negativas



= (1


�� =

0�

también son valores de x

gráficamente

imágenes negativas



(1; 5


= (

son valores de x

gráficamente debemos seleccionar

imágenes negativas



( 5)


(−∞

son valores de x

debemos seleccionar

imágenes negativas



)


( ∞;

son valores de x

debemos seleccionar

imágenes negativas



1)

son valores de x

debemos seleccionar

imágenes negativas



) ∪ (

son valores de x

debemos seleccionar

imágenes negativas



) (5;

son valores de x

debemos seleccionar

imágenes negativas



; ∞)

debemos seleccionar



)

debemos seleccionar






b) �(�) = �� + �� + �


Dada la ley reconocemos que se trata de una función cuadrática.

A continuación analizamos el dominio de la función: �� = ℝ

Entonces su gráfica será una parábola. Dado que � > 0, la parábola tendrá sus ramas hacia arriba.

El conjunto correspondiente a las imágenes de la función lo determinaremos con posterioridad a su gráfica.

Para graficar la parábola determinamos sus elementos sobresalientes:

Vértice

�� = −�

2�

�� = −�

�.�= −1

�� = �(−1) = (−1)� + 2. (−1) + 1 = 0

Luego: V(-1;0)


Del ítem anterior sabemos que la intersección con el

eje x será el vértice de la parábola y lo corroboramos:

0 = �� + 2� + 1

�� =−� ± √�� − 4��

2�

�� =−2 ± √2� − 4.1.1

2.1

�� = �� = −1

El punto de intersección con el eje x será el vértice de la parábola

�(−1; 0)


�(0) = 1

Por lo tanto

��(0; 1)

Eje de simetría


Su ecuación será: � = −�

A continuación graficamos primero en el plano los eleme

unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la gráfica de la función.


��

Si optamos por realizar la grá




��





�� =





[0;




��


3°) Analizamos la expr

�(

�(

�(






;∞




��



(�)

(�)

(�)






∞)




��: ℝ



( ) =

( ) =

( ) =









ℝ



) ��

) (�

) �(�









y su gráfica será una



+ 2

( + 1

� +












2� +

1)�

+ 1)












+ 1

) entonces

)












1 y siendo

entonces











3°) Analizamos la expresión para obtener el nuevo vértice:

y siendo

entonces






fica de la función cuadrática





sión para obtener el nuevo vértice:

y siendo

entonces ℎ

La gráfica de p cuya ley es �











y siendo

=

�(�)

4°) Trasladamos al punto V( -1







y su gráfica será una pa



y siendo ��

−1

( ) =

1; 0) la parábola correspondiente a






Mencionamos anteriormente que dada la

parábola



+ 2

1 y

) = ��







dada la

rábola



2� +

y � =

� se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.







dada la ley

rábola



+ 1

= 0

se corre 1 unidad hacia la izquierda para dar origen a la gráfica de f.







ley

que tendrá sus



1 =

0 es decir:









que tendrá sus



= (�

es decir:









que tendrá sus



(� +

es decir:



ntos sobresalientes calculados anteriormente y los


�.

fica de la función cuadrática �(�


que tendrá sus

(�) =


( 1)�

es decir:





(�) =


que tendrá sus

( ) = �


)�





( ) = �


que tendrá sus ramas hacia arriba

��.






�� +


ramas hacia arriba

�(�





+ 2�


ramas hacia arriba

(�) =





� +


ramas hacia arriba

( ) = (


) la parábola correspondiente a �(�



+ 1


ramas hacia arriba

(� −


(�) =



por


ramas hacia arriba

− ℎ


( ) = �



por corrimientos:


ramas hacia arriba

ℎ)� +


��.



corrimientos:


ramas hacia arriba dado que a>0.

+ �




corrimientos:


dado que a>0.

�.




corrimientos:


dado que a>0.




corrimientos:


dado que a>0.




corrimientos:


dado que a>0.




dado que a>0.













ii) Determinar propiedades: ceros; intervalos de monotonía, simetrías, signo.

Ceros

Los ceros o raíces de una función son los valores de x donde f(x)=0. En este caso esto se da para: � = −1.

Crecimiento


f es estrictamente creciente en (−1;∞).

f es estrictamente decreciente en (−∞; −1).

Simetría

f no es simétrica respecto del eje y , por lo tanto f no es par.


Signo

La función f es no negativa en su dominio.

Haciendo un análisis similar al realizado para la función del ítem a) determinamos:

iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�

La función f es positiva en: �� = (−∞; −1) ∪ (−1; ∞)

iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�

La función f no toma valores negativos: �� = ∅

c) �(�) = �� − ��


f es una función cuadrática con �� = ℝ y su gráfica es una parábola.

Dado que � > 0, la parábola tendrá sus ramas hacia arriba.

Para graficar la parábola determinaremos primero sus elementos sobresalientes:

Vértice

�� = −�

2�

�� = −(��)

�.�=

�

�

�� = � �3

2� = �

3

2�

�

− 33

2= −

9

4

Luego: V��

�; −

�

��


0 = �� − 3�

�� =−� ± √�� − 4��

2�

�� =3 ± √3� − 4.1.0

2.1

�� = 0 � �� = 3

Los puntos de intersección con el eje x:

��(0; 0) y ��(3; 0)

Otra alternativa para resolver la ecuación cuadrática en este caso es sacar factor común �:

0 = �� − 3�

0 = � . (� − 3) para que el producto sea 0 debe ocurrir que � = 0 o bien (� − 3) = 0. Entonces:

�� = 0 � �� = 3


�(0) = 0

Por lo tanto

��(0; 0)

Eje de simetría


Su ecuación será: � =�

�


unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente a la


��





��





�� =





[−



Menc

��



�(

�(

�(

�(

La gráfic


4°) Trasladamos al punto V

Para un mejor gráfico pueden ca




−9

4;



Menc

��



(�)

(�)

(�)

(�)

La gráfic







;∞)




��: ℝ



( ) =

( ) =

( ) =

( ) =

La gráfic







)



ionamos anteriormente que

ℝ



) ��

) ��

) ��

) � �














− 3

− 3

� −�

�

�� −

a de p cuya ley es













3�

3� +

�

��

�

� −�

��

a de p cuya ley es













+�

�

� −�

�

� −

a de p cuya ley es













→

�

�−

�

� entonces

� −�

�

a de p cuya ley es













→ �

�

�

entonces

a de p cuya ley es













�(�)

entonces

a de p cuya ley es �

4°) Trasladamos al punto V�











( ) =

entonces ℎ

�(�)

��

�;








y su gráfica será una parábola



) = (�

ℎ =

( ) =

� −�

�







ionamos anteriormente que dada la

parábola



� −

=�

�

) = ��

�

�� la parábola correspondiente a

lcularse otros puntos además del vértice.






dada la

parábola



ℎ)�

y

� se corre

� la parábola correspondiente a







dada la ley

parábola



� +

y � =

se corre

la parábola correspondiente a







ley

que tendrá sus



+ �

= −

se corre









que tendrá sus



−�

� es decir:

se corre �

� unidades hacia la derecha y









que tendrá sus



es decir:

unidades hacia la derecha y





�.

Si optamos por realizar la gráfica de la función cuadrática �(�


que tendrá sus

(�) =


es decir:






(�) =


que tendrá sus

( ) = �


es decir:






( ) = �


que tendrá sus ramas hacia arriba

��.







�� −


ramas hacia arriba

V(h ; k)






− 3�


ramas hacia arriba

V(h ; k)






� por


ramas hacia arriba

V(h ; k)


la parábola correspondiente a �(




por


ramas hacia arriba


(�)



gráfica de la función.

corrimientos:


ramas hacia arriba


( ) =


(

Entonces

de donde

Luego



corrimientos:


ramas hacia arriba

unidades hacia la derecha y �

�

) ��.

(� −

Entonces

de donde

Luego



corrimientos:


ramas hacia arriba dado que a>0.

unidades hacia abajo para dar

.

− ℎ)�

Entonces

de donde

Luego �



corrimientos:


dado que a>0.


� =

Entonces −

de donde ℎ

�� −



corrimientos:


dado que a>0.


�� −

−3�

=�

�

� −�

��

�



corrimientos:


dado que a>0.


− 2�

= −

�

�

��

=




dado que a>0.


�ℎ +

−2�

�� −



dado que a>0.


+ ℎ�

�ℎ

− 3�




�

� +




�

�





unidades hacia abajo para dar unidades hacia abajo para dar

ii) Determinar propiedades: ceros; intervalos de monotonía, simetrías, signo.

Ceros

Los ceros o raíces de una función son los valores de x donde f(x)=0. En este caso: �� = 0 � �� = 3

Crecimiento

f no es monótona en su domino.

f es estrictamente creciente en ��

�;∞�

f es estrictamente decreciente en �−∞;�

��

Simetría

f no es simétrica respecto del eje y, por lo tanto f no es par.


Signo


iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�

La función f es positiva en: �� = (−∞; 0) ∪ (3; ∞)

iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�

La función f es negativa en: �� = (0; 3)

d) �(�) = −�� − �



Dado que � < 0, la parábola tendrá sus ramas hacia abajo.

Para graficar la parábola intentamos hacerlo determinando sus elementos sobresalientes:

Vértice

�� = −�

2�

�� = −�

�.(��)= 0

�� = �(0) = −0� − 2 = −2

Luego: V(0;-2)


0 = −�� − 2

�� =−� ± √�� − 4��

2�

�� =0 ± �0� − 4. (−1). (−2)

2. (−1)

0� − 4. (−1). (−2) < 0

∆< 0 ⇒ la ecuación NO tiene soluciones reales.

La gráfica de f no corta al eje x.


La intersección con el eje y será el vértice como se vio anteriormente.

��(0; −2)

Eje de simetría


Su ecuación será: � = �

Luego de obtener los elementos sobresalientes nos encontramos con la información del vértice y el eje de simetría

para describir la parábola. Por lo tanto debemos hallar otros puntos para contribuir a la realización de la gráfica de

la función:

� �(�) = −�� − �

1 -3

2 -6

3 -11

Dado el eje de simetría x = 0 también conocemos las imágenes

correspondientes a los opuestos de los elementos del dominio de la

función indicados en la tabla.

A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes y los puntos de la gráfica hallados y

los unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente.

Finalmente determinamos el conjunto de las imágenes de �.

�� = (−∞; −2]

¿Será más sencillo realizar la gráfica de la función por corrimientos/transformaciones en este caso? ¿ cómo lo

harías?


Ceros

La función no presenta valores de x donde f(x)=0.

Crecimiento


f es estrictamente creciente en (−∞; 0).

f es estrictamente decreciente en (0;∞).

Simetría

La función f es simétrica respecto del eje y , por lo tanto f es par.

Signo

La función f es negativa en su dominio.

iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�

La función f no toma valores positivos: �� = ∅

iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�

La función f es negativa en su dominio: �� = ℝ

-1 -3

-2 -6

-3 -11

e) �(�) = −�� + � + �




Para graficar la parábola podemos hacerlo determinando sus elementos sobresalientes:

Vértice

�� = −�

2�

�� = −�

�.(��)=

�

�

�� = � �1

4� = −2. �

1

4�

�

+ �1

4� + 1 =

9

8

Luego: V��

�;

�

��


0 = −2�� + � + 1

�� =−� ± √�� − 4��

2�

�� =−1 ± �1� − 4. (−2). 1

2. (−2)

�� = −�

� � �� = 1

Los puntos de intersección con el eje x:

��(−�

�; 0) y ��(1; 0)


�(0) = 1

Por lo tanto

��(0; 1)

Eje de simetría



�




�� = �−∞;9

8�


Ceros

Los ceros o raíces de la función son: �� = −�

� � �� = 1

Crecimiento


f es estrictamente creciente en �−∞;�

��

f es estrictamente decreciente en ��

�;∞�

Simetría

f no es simétrica respecto del eje y , f no es par.

f no es simétrica respecto del origen de coordenadas, f no es impar.

Signo


iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�

La función f es positiva en: �� = �−�

�; 1�

iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�

La función f es negativa en: �� = �−∞; −�

�� ∪ (1;∞)

f) �(�) = −�� + �� − �




Para graficar la parábola podemos hacerlo determinando sus elementos sobresalientes:

Vértice

�� = −�

��

�� = −�

�.(��)=

�

�

�� = � �3

2� = − �

3

2�

�

+ 3 �3

2� − 4 = −

7

4

Luego: V��

�; −

�

��


0 = −�� + 3� − 4

�� =−� ± √�� − 4��

2�

�� =−3 ± �3� − 4. (−1). (−4)

2. (−1)

∆< 0⇒la ecuación NO tiene soluciones reales.

La gráfica de f no corta al eje x.


�(0) = −4

Por lo tanto

��(0; −4)

Eje de simetría



�

Luego de obtener los elementos sobresalientes nos encontramos con la información del vértice; el eje de simetría y

la intersección de la parábola con el eje y. Para contribuir a la realización de la gráfica de la función obtenemos

algunos puntos adicionales.

Para ello armamos la siguiente tabla.

También incluimos f(0)= -4 obtenido previamente

Dado el eje de simetría � =�

� ; a su vez conocemos las imágenes

correspondientes a 2; 3 y 4.

A continuación graficamos primero en el plano los elementos sobresalientes y los puntos de la gráfica hallados y

los unimos con un trazo continuo describiendo la parábola correspondiente.


�� = �−∞; −7

4 �


Ceros

La función no presenta valores de x donde f(x)=0.

Crecimiento


f es estrictamente creciente en �−∞;�

��.

f es estrictamente decreciente en ��

�;∞�.

Simetría

f no es simétrica respecto del eje y ,por lo tanto f no es par.


Signo

f es negativa en su dominio.

iii) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) > 0�

La función f no toma valores positivos: �� = ∅

iv) Hallar �� = �� ∈ �� / �(�) < 0�

La función f es negativa en su dominio: �� = ℝ

� �(�) = −�� + �� − �

-1 -8

0 -4

1 -2

2 -2

3 -4

4 -8

Algunas observaciones y sugerencias derivadas de la resolución de la presente actividad:

Respecto del crecimiento:

Dada una función cuadrática con ley �(�) = �� + �� + � y dominio ℝ, su gráfica es una parábola. El

signo del coeficiente a determinará si las ramas de la parábola van hacia arriba (� > 0) o hacia abajo

(� < 0). Si las ramas de la parábola van hacia arriba, la función cuadrática será estrictamente creciente en

(��;∞) y estrictamente decreciente en (−∞; ��). ¿En qué intervalos será estrictamente creciente o

estrictamente decreciente si a<0?

Respecto de la simetría:

Para que la gráfica de una función cuadrática con dominio ℝ sea simétrica respecto del eje y , el eje de

simetría de la parábola ( recta de ecuación � = �� )deberá coincidir con el eje y.

¿Cuál deberá ser el valor de �� para que esto ocurra? Si x� = −�

�� : ¿cuál será el valor de b en estos casos?

Entonces podemos concluir que "todas las funciones cuadráticas con dominio ℝ y ley : �(�) = �� + �

son funciones pares". ¿Tiene esto sentido desde la perspectiva de los corrimientos?

La gráfica de la parábola podrá realizarse por corrimientos o por elementos sobresalientes según lo que

resulte más conveniente en cada caso. Se sugiere evaluar la posibilidad de efectuar la gráfica de la parábola

por corrimientos para los ítems d; e y f. Reflexionar en qué casos resulta conveniente graficar la función

por corrimientos o por elementos sobresalientes.

Verificar también que la abscisa del vértice de la parábola puede calcularse como el punto medio de las

raíces: �� =��

�

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Funciones -Actividad 47