FUNCIONES ACTIVIDAD 54

FUNCIONES ACTIVIDAD 54

Considerando en todos los casos Codominio f = Im f hallar, si existe, la función inversa de cada

una de las funciones que se indican a continuación. Si no existe restringir convenientemente el

dominio y hallar la función inversa de la función restringida “f r ”. Graficar ambas.

a) f(x) = x 2

- 4

b) f(x) = x2 + 4

c) f(x) = x3 – 8

d) f(x) = (x – 1)2 no trabajaremos con estos casos

e) f(x) = (x – 1)2 + 2

f) f(x) = 4x

g) f(x) = x + 4

(*) Verificar en cada caso que f o f –1

= id

Observación: No vamos a usar el símbolo f -1

para función inversa de f, para no confundir

con potencia (-1).

Para que exista la inversa de una función, la condición necesaria y suficiente es que la función sea

biyectiva, es decir que sea suryectiva e inyectiva.

Al considerar en todos los caso Codom f = Im f , todas las funciones serán suryectivas.

Para asegurar la existencia de inversa debemos analizar la inyectividad.

Presentaremos resueltos solo algunos ítems.

a) f (x) = x 2

- 4

Reconocemos el tipo de función f función cuadrática (polinomio de grado 2)

Dom f =

Graf f Parábola

Graficamos ¿Qué método conviene? Podemos hacer la gráfica por “transformaciones”

Debemos identificar la función prototipo de las funciones cuadráticas. C(x) = x 2

Reconocemos que graf f = graf C 4 u (traslación vertical 4 unidades hacia abajo)

h) f(x) = - (x –8)1/ 3

i) f(x) = - +2

j) y =

k) y = + 2

C(x) = x2

Dom f =

Im f = - 4 ; +)

f(x) = x2 - 4

inversa de f f es biyectiva f es suryectiva e inyectiva

Tomamos Codom f = Im f = -4 ; +) f suryectiva

¿f inyectiva? Hacemos la prueba de la recta horizontal

Para que f sea inyectiva, toda recta paralela al eje x deberá cortar al graf f como máximo en un solo

punto.

Si trazamos algunas rectas paralelas al eje x,

vemos que algunas no cortan a la graf f (por

ejemplo la recta y = -5)

La recta y = -4 corta a la graf f en un solo

punto.

Pero hay rectas cortan a la graf f en dos puntos.

Entonces f no es inyectiva no tiene inversa

C

C

4 u

f

Debemos restringir convenientemente el dominio para obtener una función inyectiva.

Tenemos distintas posibilidades, siempre trataremos de tomar el mayor dominio posible.

Para que la función restringida resultante (fr) sea inyectiva tomamos de la gráfica una sola rama de

la parábola, para asegurarnos que no se repitan las imágenes.

Tenemos entonces dos opciones (I) Dom fr = 0 ; + ) o (II) Dom fr = (- ; 0

Haremos las dos opciones para ver cómo resolver las dos. (para lo que pide el enunciado basta con

una)

1° caso (I)

Dom fr = 0 ; + )

Codom fr = Im fr = - 4 ; +)

Ley de fr : fr (x) = x 2

- 4

fr suryectiva ( Codom fr = Im fr)

fr inyectiva (por ser fr estrictamente

creciente)

fr biyectiva

Entonces existe g , función inversa de fr

Dom g = Im fr = - 4 ; +)

Im g = Dom fr = 0 ; + )

Ley de g g(y) = x y = f(x)

g(y) = x y = x2

– 4 ( despejamos x)

g(y) = x y + 4 = x2

g(y) = x √ = |x|

g(y) = x √ = x o √ = x

Para cada valor de y obtenemos dos valores de x, esto no representa función.

Debemos decidir cuál de los dos leyes es la que corresponde tomar.

fr

Para este caso, como el conjunto Im g = 0 ; + ) , los valores de x deben ser positivos o cero.

Debemos tomar, entonces la primera ley.

Resulta entonces que la ley de g es

g(y) = x = √ con y : variable independiente; x : variable dependiente

¿Podemos graficar la función g en el mismo sistema donde graficamos fr?

Sí. Porque las variables x e y son abstractas.

Para hacer esto, primero debemos intercambiar, en la ley de g , las variables x e y .

¿Por qué? Porque en eje x (eje de las abscisas) marcamos valores del dominio (variable

independiente)

Y en eje y (eje de las ordenadas) marcamos valores de imágenes. (variable dependiente)

Resulta

Dom g = - 4 ; +)

Im g = 0 ; + )

g(x) = y = √

¿Cómo graficamos?

Podemos reconocer el tipo de

función, en este caso función raíz

cuadrada, y hacer la gráfica de g por

transformaciones gráficas de la

función prototipo R(x) = √

Reconocemos entonces

g(x) = R(x +4) = √

O sea que graf g se obtiene con una

traslación horizontal de la graf R, 4

unidades hacia la izquierda.

g R

Graficamos las dos funciones un mismo sistema

Dom fr = 0 ; + )

Im fr = - 4 ; +)

fr ( x) = x2 - 4

Dom g = - 4 ; +)

Im g = 0 ; + )

g(x) = √

Podemos verificar que estas gráficas cumplen la condición de ser simétricas respecto a la recta y=x

Esto también puede ayudarnos a hacer la gráfica de la función inversa.

Podemos comprobar que fr es estrictamente creciente, y g , su inversa, también lo es.

Calculamos la composición entre las dos funciones:

Ley ( ) ( ( )) ( √ ) (√ ) ( )

Dom ( ) = Dom (ley) Dom g = - 4 ; +) = - 4 ; +)

( ) Dom ( ) - 4 ; +)

Ley ( ) ( ( )) ( ) √( ) √ = | x| = x

Como x debe pertenecer al Dom fr = 0 ; + ) | x | = x

Dom ( ) = Dom (ley) Dom fr = 0 ; + ) = 0 ; + )

( ) Dom ( )= 0 ; + )

fr

y = x

g

2° caso (II)

Dom fr = (- ; 0

Codom fr = Im fr = - 4 ; +)

Ley de fr : fr (x) = x 2

- 4



decreciente)

fr biyectiva

Entonces existe g función inversa de fr

Dom g = Im fr = - 4 ; +)

Im g = Dom fr = (- ; 0


Despejamos x con los mismos pasos algebraicos que en el caso anterior

g(y) = x √ = x o √ = x

Para cada valor de y obtenemos dos valores de x, vimos que esto no representa función.

Debemos decidir cuál de los dos es el que corresponde tomar.

Para este caso, el conjunto Im g = (- ; 0 , entonces los valores de x deben ser negativos o cero.

Resulta entonces que la ley de g es la que descartamos en el caso anterior:


Con las mismas aclaraciones que en el caso anterior, intercambiamos las variables.

g(x) = y = √

fr

Resulta

Dom g = - 4 ; +)

Im g = (- ; 0

g(x) = y = √

¿Cómo graficamos?

Podemos reconocer el tipo de función,

en este caso función raíz cuadrada, y

hacer la gráfica de g por

transformaciones gráficas de la función

prototipo R(x) = √


g(x) = - R (x + 4) = √



unidades hacia la izquierda, y luego una

reflexión respecto al eje x (opuesta)

Graficamos las dos funciones en el mismo sistema

Dom fr = ( - ; 0

Im fr = - 4 ; +)

f(x) = x2 – 4

Dom g = - 4 ; +)

Im g = ( - ; 0

g(x) = √

fr

y = x

g

R

g

g



Podemos comprobar que fr es estrictamente decreciente, y g , su inversa, también lo es.

Calculamos la composición entre las dos funciones

Ley ( ) ( ( )) ( √ ) ( √ ) ( )

Dom ( ) = Dom (ley) Dom g = - 4 ; +) = - 4 ; +)

( ) Dom ( ) = - 4 ; +)

Ley ( ) ( ( )) ( ) √( ) √ = - | x| = - (- x) = x

Como x debe pertenecer al Dom fr = ( - ; 0 | x | = - x

Dom ( ) = Dom (ley) Dom fr = ( - ; 0 = ( - ; 0

( ) Dom ( ) = ( - ; 0

En los dos casos (I) y (II) verificamos que al componer una función y su inversa, obtenemos la ley

de la función identidad (cada una en el dominio que corresponde)

c) f(x) = x3 – 8

Reconocemos el tipo de función f función cúbica (polinomio de grado 3)

Dom f =

Graf f Parábola cúbica


Debemos identificar la función prototipo de las funciones cúbicas . T(x) = x 3

Reconocemos que graf f = graf T 8 u (traslación vertical 8 unidades hacia abajo)

T(x) = x3

Dom f =

Im f =

f(x) = x3 - 8


Tomamos Codom f = Im f = f suryectiva

¿f inyectiva? Podemos la prueba de la recta horizontal, o usar la propiedad:

“f estrictamente monótona en un intervalo I f inyectiva en I” (ver act. 29 b i)

f(x) = x3 es estrictamente creciente en f inyectiva en

f biyectiva

Entonces existe g función inversa de f

Dom g = Im f =

Im g = Dom f =


g(y) = x y = x3 - 8 despejamos x

g(y) = x y + 8 = x3

g(y) = x √

= x

T

8 u

f

¿Podemos graficar la función g en el mismo sistema donde graficamos f?




independiente)


Resulta

Dom g =

Im g =

g(x) = y = √

¿Cómo graficamos?

Podemos reconocer el tipo

de función, en este caso

función raíz cúbica, y


transformaciones gráficas

de la función prototipo

S(x) = √


g(x) = S (x + 8) = √

O sea que graf g se

obtiene con una traslación

horizontal de la graf S, 8

unidades hacia la

izquierda.

g S


Dom f =

Im f =

f(x) = x3 – 8

Dom g =

Im g =

g(x) = √

Las dos funciones, f y g, son estrictamente crecientes.


Ley ( ) ( ( )) (√

) (√

) ( )

Dom ( ) = Dom (ley) Dom g = =

( ) Dom ( ) =

Ley ( ) ( ( )) ( ) √( )

= √

= x

Dom ( ) = Dom (ley) Dom f = =

( ) Dom ( ) =

En este caso, al ser todos los dominios , verificamos que al componer la función y su inversa,

obtenemos la función identidad.

f

g

y = x

e) f(x) = (x – 1)2 + 2

Reconocemos el tipo de función f función cuadrática (polinomio de grado 2)

Dom f =

Graf f Parábola


Debemos identificar la función prototipo de las funciones cuadráticas. C(x) = x 2

Reconocemos que graf f = graf C 1 u , luego 2 u (traslación horizontal 1 u hacia la derecha,

luego traslación vertical 2 unidades hacia arriba)

f(x) = (x – 1)2 + 2

Dom f =

Im f = 2 ; + )

Esta ley de una función cuadrática esta expresada en la forma canónica, en la que podemos

reconocer las coordenadas del vértice V ( 1 ; 2 ). Vemos que esto coincide con lo graficado.


Tomamos Codom f = Im f = 2 ; +) f suryectiva

¿f inyectiva? Hacemos la prueba de la recta horizontal

Para que f sea inyectiva, toda recta paralela al eje x deberá cortar al graf f como máximo en un solo

punto.

Si trazamos algunas rectas paralelas al

eje x, vemos que algunas no cortan a la

graf f (por ejemplo la recta y = 1)

La recta y = 2 corta a la graf f en un solo

punto.

Pero hay rectas cortan a la graf f en dos

puntos.

Entonces f no es inyectiva no tiene

inversa

Debemos restringir convenientemente el dominio para obtener una función inyectiva.

Tenemos distintas posibilidades, siempre trataremos de tomar el mayor dominio posible.

Para que la función restringida resultante (fr) sea inyectiva tomamos de la gráfica una sola rama de

la parábola, para asegurarnos que no se repitan las imágenes.

Tenemos entonces dos opciones (I) Dom fr = 1 ; + ) o (II) Dom fr = (- ; 1

Haremos las dos opciones para ver cómo resolver las dos. (para lo que pide el enunciado basta con

una)

1° caso (I)

Dom fr = 1 ; + )

Codom fr = Im fr = 2 ; +)

Ley de fr : fr (x) = ( x - 1) 2

+ 2



creciente)

fr biyectiva

Entonces existe g función inversa

de fr

fr

Dom g = Im fr = 2 ; +)

Im g = Dom fr = 1 ; + )


g(y) = x y = (x – 1)2

+ 2 ( despejamos x)

g(y) = x y - 2 = (x – 1)2

g(y) = x √ = |x - 1|

g(y) = x √ = x - 1 o √ = x -1

g(y) = x √ + 1= x o √ + 1 = x

Para cada valor de y obtenemos dos valores de x, esto no representa función.


Para este caso, conjunto Im g = 1 ; + ), entonces los valores de x deben ser mayores o iguales a

1. Debemos tomar, entonces la primera ley.

Resulta entonces que la ley de g es


¿Podemos graficar la función g en el mismo sistema donde graficamos fr?




independiente)


Resulta

Dom g = 2 ; +)

Im g = 1 ; + )

g(x) = y = √ + 1

¿Cómo graficamos?

Podemos reconocer el tipo de función, en este caso función raíz cuadrada, y hacer la gráfica de g

por transformaciones gráficas de la función prototipo R(x) = √


g(x) = R(x -2) + 1 = √ + 1



unidades hacia la derecha, luego una

traslación vertical 1 unidad hacia arriba.

Graficamos las dos funciones un mismo sistema

Dom fr = 1 ; + )

Im fr = 2 ; +)

fr (x) = ( x - 1) 2

+ 2

Dom g = 2 ; +)

Im g = 1 ; + )

g(x) = √ + 1



g

R

fr

y = x

g

Podemos comprobar que fr es estrictamente creciente, y g , su inversa, también lo es.

Calculamos la composición entre las dos funciones:

Ley ( ) ( ( )) ( √ ) ((√ ) )

(√ )

=

Dom ( ) = Dom (ley) Dom g = 2 ; +) = 2 ; +)

( ) Dom ( ) 2 ; +)

Ley ( ) ( ( )) (( ) ) √(( ) ) √( ) =

= | x-1| +1 = (x -1) + 1

Como x debe pertenecer al Dom fr = 1 ; + ) x 1 x -1 0 | x -1| = x-1

Dom ( ) = Dom (ley) Dom fr = 1 ; + ) = 1 ; + )

( ) Dom ( )= 1 ; + )

2° caso (II)

Dom fr = (- ; 1

Codom fr = Im fr = 2 ; +)

Ley de fr : fr (x) = (x - 1) 2

+ 2



decreciente)

fr biyectiva

Entonces existe g función inversa de

fr

fr

Dom g = Im fr = 2 ; +)

Im g = Dom fr = (- ; 1


Despejamos x con los mismos pasos algebraicos que en el caso anterior

g(y) = x √ + 1= x o √ + 1 = x

Para cada valor de y obtenemos dos valores de x, vimos que esto no representa función.


Para este caso, el conjunto Im g = (- ; 1 ) , entonces los valores de x deben ser menores o

iguales a 1. Resulta entonces que la ley de g es la que descartamos en el caso anterior


Con las mismas aclaraciones que en el caso anterior, intercambiamos las variables.

g(x) = y = √

Resulta

Dom g = 2 ; +)

Im g = (- ; 1

g(x) = y = √ + 1

¿Cómo graficamos?

Podemos reconocer el tipo de función,

en este caso función raíz cuadrada, y


transformaciones gráficas de la función

prototipo R(x) = √


g(x) = - R (x +4) = √ + 1



unidades hacia l derecha, luego una

reflexión respecto al eje x (opuesta) y

luego una traslación vertical 1 unidad

hacia arriba

R

g

g


Dom fr = ( - ; 1

Im fr = 2 ; +)

f(x) = (x - 1)2 +2

Dom g = 2 ; +)

Im g = ( - ; 1

g(x) = √ + 1



Podemos comprobar que fr es estrictamente decreciente, y g , su inversa, también lo es.


Ley ( ) ( ( )) (– √ ) (( √ ) )

( √ ) =

Dom ( ) = Dom (ley) Dom g = 2 ; +) = 2 ; +)

( ) Dom ( ) 2 ; +)

fr

y = x

g

Ley ( ) ( ( )) (( ) ) √(( ) ) √( ) =

= - | x-1| +1 = - (- (x -1) ) + 1 = - ( - x +1) +1= x – 1 + 1 = x

Como x debe pertenecer al Dom fr = (- ; 1 x 1 x -1 0 | x -1| = - ( x – 1)

Dom ( ) = Dom (ley) Dom fr = (- ; 1 = (- ; 1

( ) Dom ( )= (- ; 1

En los dos casos (I) y (II) verificamos que al componer una función y su inversa, obtenemos la ley

de la función identidad (cada una en el dominio que corresponde)

f) f(x) = √

Reconocemos el tipo de función f función raíz cuadrada

En este caso hay restricciones algebraicas, ya que para que el resultado del cálculo de la raíz

cuadrada sea un número real, su argumento debe ser mayor o igual a cero.

Dom f = x / x + 4 0 = x / x - 4 = - 4 ; +)


Debemos identificar la función prototipo de las funciones cuadráticas. R(x) = √

Reconocemos que graf f = graf R 4 u (traslación horizontal, 4 unidades hacia la izquierda)

C C

4 u

R(x) = = √

Dom f = - 4 ; +)

Im f = 0 ; + ) =

f(x) = √

inversa de f f es

biyectiva f es suryectiva e inyectiva


¿f inyectiva? Si, por ser una función estrictamente creciente.

f biyectiva


Dom g = Im f = 0 ; + )

Im g = Dom f = - 4 ; +)


g(y) = x y = √ despejamos x

g(y) = x

g(y) = x

g(y) = x =




f R


independiente)


Resulta

Dom g = 0 ; + )

Im g = - 4 ; +)

g(x) = y =

¿Cómo graficamos?

Podemos reconocer el tipo de función, en este caso función cuadrática, la graficamos por

transformaciones de C(x) = x 2.

.Reconocemos entonces g(x) = C (x) - 4 = x 2 – 4

O sea que graf g se obtiene con una traslación vertical de la graf C, 4 unidades hacia abajo.

Pero en este caso su

dominio es el intervalo

0 ; + ), por lo que su

gráfic no es la parábola

completa.

Es la rama de la

parábola que

corresponde a los x

mayores o iguales a

cero.

g S C

g


Dom f = -4 ; + )

Im f =

f(x) = √

Dom g =

Im g = -4 ; + )

g(x) = x 2 – 4

Las dos funciones, f y g , son estrictamente crecientes.


Ley ( ) ( ( )) ( ) √( ) √ = x

Como x debe pertenecer a Dom g =

resulta | x | = x

Dom ( ) = Dom (ley) Dom g =

=

( ) Dom ( ) =

Ley ( ) ( ( )) (√ ) (√ )

Dom ( ) = Dom (ley) Dom f = -4 ; + ) = -4 ; + )

( ) Dom ( ) = -4 ; + )

f

y = x

g

En este caso, verificamos que al componer la función y su inversa, obtenemos la ley de la función

identidad, cada una en su dominio.

g) f(x) = √ + 4

Reconocemos el tipo de función f función raíz cuadrada

En este caso hay restricciones algebraicas, ya que para que el resultado del cálculo de la raíz

cuadrada sea un número real, su argumento debe ser mayor o igual a cero.

Dom f = x / x 0 = 0 ; +) =


Debemos identificar la función prototipo de las funciones cuadráticas. R(x) = √

Reconocemos que graf f = graf R 4 u (traslación vertical, 4 unidades hacia arriba)

R(x) = = √

Dom f =

Im f = 4 ; + )

f(x) = √ + 4

C C

4 u

f

f

R



¿f inyectiva? Si, por ser una función estrictamente creciente.

f biyectiva


Dom g = Im f = 4 ; + )

Im g = Dom f = 0 ; +)


g(y) = x y = √ despejamos x

g(y) = x √

g(y) = x ( )

g(y) = x = ( )





independiente)


Resulta

Dom g = 4 ; + )

Im g = 0 ; +)

g(x) = y = ( )

¿Cómo graficamos?

Podemos reconocer el tipo de función, en este caso función cuadrática, la graficamos por

transformaciones de C(x) = x 2.

.Reconocemos entonces g(x) = C (x - 4) = (x – 4) 2

O sea que graf g se obtiene con una traslación horizontal de la graf C, 4 unidades hacia la derecha.

g S

Pero en este caso su dominio

es el intervalo 4 ; + ), por

lo que su gráfica no es la

parábola completa.

Es la rama de la parábola que

corresponde a los x mayores

o iguales a 4.


Dom f = 0 ; + )

Im f = 4 ; + )

f(x) = √ + 4

Dom g = 4 ; + )

Im g =

g(x) = (x – 4 ) 2

C g

f

y = x

g

Las dos funciones, f y g , son estrictamente crecientes.


Ley ( ) ( ( )) (( ) ) √( ) = x – 4 + 4 = x

Como x debe pertenecer a Dom g = 4 ; + ) , x 4 resulta | x – 4 | = x – 4

Dom ( ) = Dom (ley) Dom g = 4 ; + ) = 4 ; + )

( ) Dom ( ) = )

Ley ( ) ( ( )) (√ ) ((√ ) ) (√ )

Dom ( ) = Dom (ley) Dom f =

=

( ) Dom ( ) =

En este caso verificamos que al componer la función y su inversa, obtenemos la ley de la función

identidad, cada una en su dominio

Algunas observaciones generales:

Si una función es estrictamente monótona, su inversa mantiene la misma propiedad

La composición de una función con su inversa siempre da la ley de la función identidad.

La gráfica de una función y su inversa, si pueden graficarse en el mismo sistema, resultan

simétricas respecto a la gráfica de la función identidad. ( y = x )

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