192

CAPITULO 6 CAPACITANCIA ELCTRICA

1. CONDENSADOR O CAPACITOR

Consideremos dos conductores inmersos en un dielctrico

homogneo. El conductor M2 lleva una carga positiva, y M1 una carga

de igual magnitud pero negativa. No existen otras cargas presentes y

la carga total del sistema es cero.

Se sabe ahora que la carga llega a la superficie como una

densidad de carga superficial y tambin que el campo elctrico es

normal a la superficie equipotencial. Dado que M2 lleva la carga

positiva, el flujo elctrico se dirige de M2 a M1, y M2 tiene el

potencial ms positivo. Dicho de otra manera, debe realizarse

trabajo para llevar una carga positiva desde M1 hasta M2.

- ++

+

+ +++++

+++++++++

+++

++

---

----------- -----

-- - ----------

M1M

2

Q Q

Dielctrico

E

Figura (61) Dos conductores cargados con cargas opuestas M1 y M2 rodeado por un dielctrico uniforme.

A una contribucin de este tipo se le llama CAPACITOR o

CONDENSADOR.

193

Es un sistema formado por dos conductores, colocados uno cerca

de otro y que tienen cargas de igual magnitud pero de signo

contrario. Los conductores que contienen la carga positiva +Q y Q

respectivamente se denominan armaduras o placas. La armadura o

potencial ms alta es la armadura positiva y la que est a potencial

menor en la armadura negativa.

2. CAPACITANCIA (C).

Es la razn entre la magnitud de la carga en cualquiera de los

conductores, la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos.

1

11

CC Faradio

V

6 1210 ; 10F F pF F

Si V es la diferencia de potencial entre M2 y M1, entonces

definiremos la capacitancia de este sistema de conductores como

el cociente de las magnitudes de la carga total de los conductores,

y la diferencia de potencial que existe entre ellos.

.......... 63Q

CV

C = capacitancia elctrica.

Q = se determina por medio de una integral de superficie sobre

el conductor positivo.

. . . ..... 64S S

QE dS Q E dS

194

V = se determina llevando una carga unitaria positiva de la

superficie negativa a la positiva

. ....... 65V E d

reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

. .

.

SE dS

CE d

: permitividad del medio homogneo.

La capacidad del capacitor no depende de la carga, pero si

depende de dos factores fundamentales:

1) La diferencia geomtrica de las armaduras, donde se incluye

el tamao, la forma y la separacin.

2) Las propiedades del medio que contienen a las armaduras o

el medio que lo rodea (aire, dielctrico, vaco, etc).

CLASES DE CAPACITORES

1. Capacitores de placas paralelas

Supongamos que tenemos dos placas

paralelas de igual rea A y queremos

calcular la capacidad.

Sea: Figura (62)

A : rea de cada placa.

+

++

+++

+

++

++

-

--

---

-

--

--1801 2

E

d

q

d

Superficie

gaussiana

S

195

d : distancia entre las dos placas

Q : carga de cada placa.

Q

A : densidad superficial de carga.

Clculo del campo elctrico. Consideremos una superficie

gaussiana S en forma de un pequeo cilindro, cuyas bases

tienen un rea a y una de las cuales se halla dentro de la placa.

Aplicando la ley de Gauss a S.

0

. ...... 66 .S

QE dS q a cargaque encierra S

El flujo a travs del rea lateral es nulo, por ser el campo

paralelo a dicha superficie. El flujo a travs de la base del

cilindro que se halla dentro de la placa tambin es nulo, por ser

nulo el campo dentro de un conductor. Por lo tanto, el flujo a

travs de la superficie cerrada S se reduce al flujo a travs de la

base entre las placas y como el campo elctrico es normal y

constante en esta base tenemos:

0 0 0

cos0. . .a a a

q q qE dS E dS E dS E a

0

. .q

E a E a

.a

0 0

0

Pero ....... 67.

E

Q QE

A A

196

Clculo de la diferencial de potencial

Tomemos dos puntos en las placas. La diferencia entre los

puntos (1) y (2) est dado por:

1 1 1 1

1 22 2 2 2

1 2

. . cos180 .

. ........ 68

V V E d E d E d E d Ed

V V E d

Ahora bien, considerando (4) en (5), se tiene:

01 2

0 0

0

.. .

. .

.

AQ d Q d QV V V C

A A d V

AC

d

2. Capacitor esfrico

Consta de un cascarn esfrico de radio b y carga (-Q)

concntrico con una esfera conductora ms pequea de radio a

y carga Q. Encontrar su capacitancia.

-Q

Qa

b

Va

Vb

dS E

E

dr

Figura (63)

Como el campo fuera de una distribucin de carga simtrica

esfrica es radial y est dado por

197

2.

r

K QE campo entre las esferas a r b

r

la diferencia de potencial entre las esferas ser:

2

. 1 1 1

a a

rb b

bb

a ba

a

a b

dV E dr

K Q b aV V dr KQ KQ KQ

r a b abr

b aV V V KQ

ab

abC

K b a

3. Capacitor cilndrico

Un condensador cilndrico de radio a y carga Q es coaxial con un

cascarn cilndrico ms grande de radio b y carga (-Q). Encontrar la

capacitancia de este capacitor si su longitud es .

Qa

b

Var

b

bQ

a

-Q

Va

Vb

Figura (64)

Como a y b , se desprecia los efectos de borde. En este

caso el campo es perpendicular a los ejes de los cilindros.

198

La diferencial de potencial entre los dos cilindros ser:

. . ........ 69

2; campo debido al cilindro interior

b b

rb a ra a

r

V V E dr E dr

KE a r b

r

Reemplazando en (69):

2. 2 2 ln

2 ln 2 ln ;

b b b

b a r aa a a

b a b a

K drV V E dr dr K K r

r r

b b QV V K V V V K

a a

2ln

2 ln

2 ln

KQ b QV C

ba VK

a

Cb

Ka

4. COMBINACIN DE CAPACITORES

a) COMBINACIN EN SERIE

+++++++

--------

+++++++

--------

a bc

c2c1

+Q -Q +Q -Q

v

v2

c2

+Q -Q

v1

c1

+Q -Q

Figura (65)

Supongamos que tenemos dos capacitores con capacidades C1

y C2 que inicialmente estn descargados y que luego se

conectan a una batera. Cuando se conectan a la batera se

199

produce una transferencia de electrones de la placa izquierda

de C1 a la placa derecha de C2, una cantidad equivalente de

carga negativa es obligada a salir de la placa izquierda de C2, y

deja en sta un exceso de carga positiva. La carga negativa que

sale de la placa izquierda de C2, se acumula en la placa de la

derecha de C1, donde otra vez una cantidad de carga

equivalente de carga negativa sale de la placa izquierda. El

resultado de todo esto es que todas las placas derechas ganen

una carga de Q mientras que todas las izquierdas tienen una

carga de +Q.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

1 2

;

1 1 1

1 1

2

n

i i

V V V

Q QQQ Q Q

C C C

Q Q Q

C C C

C C C

C C

C CVU

C C

200

b) COMBINACIN EN PARALELO

+

v

+Q2 -Q2

-

+

v

+Q2

-Q2

-

v

Figura (66)

Las placas de la izquierda de los capacitores se conectan por

un alambre conductor al terminal positivo de la batera y estn,

por lo tanto, al mismo potencial que el terminal positivo. De igual

manera, las placas de la derecha estn conectadas al terminal

negativo de la batera, y por ello, se conectan al mismo

potencial que el terminal negativo.

Cuando los capacitores se conectan primero en el circuito, los

electrones se transfieren a travs de la batera de las placas de

la izquierda a las placas de la derecha dejando a las primeras

cargadas positivamente y a las segundas negativamente. La

fuente de energa para la transferencia de electrones es la

energa qumica interna almacenada en la batera, la cual se

convierte en energa elctrica. El flujo de carga cesa cuando el

voltaje a travs de los capacitores es igual a la batera. Los

201

capacitores alcanzan su carga mxima cuando se interrumpe el

flujo de carga.

Si Q1 y Q2 son las cargas mximas de los capacitores, la carga

total Q, almacenada por los dos capacitores ser:

2

1 2 1 2

1 2 1 2

2

VQ Q Q U C C

CV CV C V C C C

5. ENERGA ALMACENADA EN LOS CAPACITORES

En un circuito, los condensadores son dispositivos que almacenan

energa. Supongamos que tenemos un condensador conectado a

los bornes de una fuente.

+Q -Qc

v v '

+q -qS

v '

Figura (67)

Al cerrar el interruptor S, se inicia el proceso de carga del

condensador, es decir se transfiere carga de una placa a la otra

hasta que la diferencia de potencial de una placa a la otra sea

igual, pero de polaridad opuesta a la que produce en la fuente.

Cuando se ha alcanzado esta etapa cesa el flujo de carga total Q

en cada placa y voltaje Vf, que es numricamente igual al voltaje de

la fuente.

202

Analicemos una etapa intermedia en este proceso, cuando la carga

en cada placa es q (q < Q) y el voltaje V (V < Vf). En este

instante t, se cumple:

....... 70q

VC

U qV

Despus de un tiempo dt, la carga en la placa se incrementa en dq,

producindose un cambio en la energa potencial almacenada dada

por la ecuacin:

.......... 71q

dU d qV dq dWC

2

0 0

1..... 72

2

U q QdU qdq U

C C

El incremento de la energa potencial se debe esencialmente al

trabajo que realiza la fuente sobre el sistema de cargas. La fuente

original de energa (caso de una batera) es la energa qumica que

se transforma en energa elctrica.

QC Q CV

V

Luego en (72), se tiene:

22

21 ..... 732 2 2

CVQU U CV

C C

Para el caso de un condensador de placas paralelas se tiene:

1

1 22

. .V V E d V E d

203

0

0

0

0

.

QPero E

A

AQ QV d C

A d V

AC

d

ahora, reemplazando en (73):

22 0

20

1 1

2 2

2

AU CV Ed

d

A dU E

Como Ad es el volumen de la regin entre las placas del

condensador que est ocupada por el campo elctrico.

Luego:

2

0

2

0

1haciendo

2

1....... 74

2

densidad de energa del campo

U UE u

Ad Ad

u E

u

20 ; volumen2 V

U E dV V

U = es la energa por unidad de volumen almacenada en la

regin del campo.

3J

um

La ecuacin (74) tiene validez general y es aplicable a

cualquier configuracin del campo.

204

6. FUERZAS ENTRE LAS PLACAS DE UN CONDENSADOR

Para calcular la fuerza elctrica F

que se ejerce sobre un

conductor se debe efectuar una traslacin infinitesimal d del

conductor, es decir se debe realizar un trabajo .dW F d

ya que el

operador debe ejercer una fuerza opuesta a la fuerza F

entre los

conductores (ejemplo en un condensador de placas paralelas).

Con el objeto de relacionar el trabajo dW a la variacin de la

energa del sistema, se debe saber si slo el operador realiza

trabajo o si existe otros agentes externos de otro tipo que

intervienen (ejemplo mquinas que mantienen eventualmente a los

conductores a un potencial constante).

De acuerdo a esto se presentan dos casos:

a) Desplazamiento realizado cuando los conductores estn

aislados (a carga constante).

En este caso tenemos:

......... 75QdW dU

QU = energa almacenada en el sistema manteniendo la carga

constante.

. ......... 76dW F d

si hacemos d d x

. ......... 77dW F dx

205

Teniendo en cuenta que (75) = (77)

. ........ 78QQdU

F dx dU Fdx

como 2

2Q

QU

C

2 2 22

2

2

1

2 2 2

2

Q

d d Q Q d Q dCF U C

dx dx C dx C dx

Q dCF

C dx

b) Desplazamiento realizado cuando los conductores estn

puestos a un potencial constante por intermedio de una

mquina (fuentes de poder)

En este caso se observa que a lo largo del desplazamiento d ,

no solamente el operador realiza trabajo, sino tambin las

mquinas que deben mantener los potenciales de los

conductores constantes.

Si llamamos 'dW al trabajo de las mquinas, entonces debe

cumplirse que:

' ......... 79VdU dW dW

VU = energa almacenada en el sistema manteniendo el

potencial de los conductores constantes.

206

Como la energa: 1

1.......... 80

2

n

V i i

i

U Q V

1

1.......... 81

2

n

V i i

i

dU V dQ

como idQ del conductor vara, la mquina debe suministrar el

trabajo i iV dQ para mantener iV constante, luego para realizar la

misma operacin con todos los conductores, el trabajo realizado

por la mquina ser:

1

' .......... 82n

i i

i

dW V dQ

Reemplazando (82) en (81),

1

' ' 2 ......... 832

V VdU dW dW dU

Ahora haciendo (83) en (79):

2 .... 84V V VdU dW dU dW dU

Pero: . ......... 85dW F d

Luego: . VF d dU

Ahora bien, si d d x

22 2 2

2 2 2

. ......... 86

;2

2 2

V

V

Q

V V

dUF dx dU F

dx

QU Q CV Q C V

C

C V VU U C

C

207

Operando con (86):

2 2

2

2 2

2

VV

dU d d V V dCF U C

dx dx dx dx

V dCF

dx

6. FUERZAS Y MOMENTOS DE ROTACIN

Mostraremos ahora como puede determinarse la fuerza sobre uno

de los elementos del sistema de cargas a partir de la energa

electrosttica. Supongamos que tenemos un sistema aislado

formado por varias partes (conductores, cargas puntuales,

dielctricos) y que una de estas partes tenga un pequeo

desplazamiento, dr

, debido a la influencia de las fuerzas elctricas

F

que actan sobre ella. El trabajo realizado por la fuerza elctrica

sobre el sistema bajo estas circunstancias es:

. .

............ 87

x y z x y z

x y z

dW F dr F i F j F k d i d j d k

dW F dx F dy F dz

Debido a que el sistema est aislado, el trabajo se hace a costa de

la energa electrosttica U; esto es:

............ 88dW dU

Haciendo (87) = (88)

208

x y z

x y z

dU F dx F dy F dz

U U UdU dx dy dz

x y z

U U UF F F

x y z

En este caso F

es una fuerza conservativa, y F U

si el elemento considerado est restringido a moverse de tal forma

que gire alrededor de un eje, entonces la ecuacin (24) puede ser

reemplazada por la siguiente:

. .......... 89dW d

donde : es el momento elctrico, d es el desplazamiento

angular.

Expresando a

y d

en funcin de sus componentes se tiene:

1 2 3 1 2 3, , ; , ,d d d d

Haciendo (88) = (89):

.dU d

De donde se obtiene que:

1

1

1

1

x

Q

Q

U

UF

x

U

El sub ndice Q indica que la carga total permanece constante (el

sistema est aislado) durante el desplazamiento dr

d .

209

Cuando todas las cargas se encuentran en las superficies de los

conductores, y estos se mantienen a potenciales fijos por medio de

fuentes de energa externa (por medio de bateras). Supongamos

que una de las partes del sistema se mueva bajo la influencia de

las fuerzas elctricas que actan sobre ella y el trabajo realizado

(por el sistema y las bateras) estar an relacionado con la fuerza.

El trabajo en este caso ser:

............ 90bdW dW dU

donde: bdW = trabajo suministrado por las bateras.

La energa electrosttica U de un sistema de conductores cargados

est dado por:

1

1; potencial

2

n

j j j

j

U Q

si parte del sistema es desplazado mientras el potencial de todos

los conductores permanece fijo:

1

1

2

n

j j

j

dU dQ

Adems, el trabajo proporcionado por las bateras, bdW es el

trabajo necesario para mover cada uno de los incrementos de

cargas jdQ desde el potencial cero hasta el potencial del conductor

apropiado, esto es:

1

n

b j j

j

dW dQ

210

Por lo tanto: 2 ......... 91bdW dU

Hacemos (90) = (91)

2dW dU dU dU

dW dU

x y z

x y z

U U UF F F

x y z

dW dU F dx F dy F dz

En forma semejante al caso anterior, se encuentra que:

1

1

1

1

x

U

UF

x

U

El sub ndice indica que el potencial es constante.

Ejemplo. Un capacitor de placas paralelas separados una distancia

d tiene la regin entre las placas llena de un bloque slido

dielctrico con permitividad . Las placas tienen un largo y un

ancho a . Las placas se mantienen a una diferencia de potencial

constante V , si el bloque de dielctrico se saca a lo largo de la

dimensin hasta que solo la longitud x permanece entre las

placas. Calcule la fuerza que tiende a arrastrar el bloque a su

posicin inicial.

Solucin

211

El campo elctrico ser igual a V

Ed

en todas partes entre las

placas.

2

2

1

2

1

2

VU E dV

U E dV

2 2

0

2

0 0

2 2

0 0

2 2

2

2 2

V VU dax a d x

d d

da VU x x

d

ad V ad VU x

d d

x

0

xdx

a

d

Luego:

2

0 0 2

0

2

0

2 2

1

2

U VF ad E A

x d

K

KF E A

7. CONSECUENCIAS FSICAS

Supongamos que tenemos un sistema de conductores todos

aislados o todos a potencial constante y que liberemos uno de los

x

V

d 0 E

+

-

212

conductores del sistema, el se va a desplazar, el trabajo

.dW F d

ser positivo.

Como: . Q VF d dU dU

Se concluye que 0 0Q VdU dU a lo largo del

desplazamiento realizado. Se ve entonces que si todos los

conductores del sistema son aislados, sus desplazamientos bajo la

accin de fuerzas electrostticas tienden a disminuir la energa del

sistema; mientras que si todos los conductores se mantienen a

potenciales constantes; estos desplazamientos tienden a aumentar

la energa al sistema.

Si se realiza: QW disminuye U sistema.

VW aumenta U sistema.

8. CAPACITORES CON DIELCTRICOS

DIELCTRICO. Es un material no conductor, como el caucho, el

vidrio, el papel encerrado.

Cuando un material dielctrico se inserta entre las placas de un

capacitor aumenta la capacitancia. Si el dielctrico llena por

completo el espacio entre las placas, la capacitancia aumenta en

un factor adimensional K, al cual se le llama constante dielctrica.

213

dielctrico

00

0

QV

C

0VVK

0Q

C

K0Q

0C

Figura (68)

Consideremos un capacitor de placas paralelas de carga Q0 y

capacitancia C0 en ausencia de un dielctrico. La diferencia de

potencial en el capacitor a medida que se mide por medio mediante

un voltmetro ser

0

0

0

QV

C

Se observa que el circuito del capacitor est abierto, es decir, las

placas del capacitor no estn conectadas a una batera y no puede

fluir carga a travs de un voltmetro ideal. Por lo tanto, no hay

trayectoria por la cual pueda fluir la carga y se altere la carga del

capacitor.

Si despus se inserta un dielctrico entre las placas, se observa

que la lectura del voltmetro disminuye en un factor K hasta un

valor V, dado por:

0 .......... 92V

VK

214

como 0V V , entonces 1K

Puesto que la carga 0Q en el capacitor no cambia se concluye que

la capacitancia debe cambiar al valor dado por:

0 0 0

0

0 0

0 ...... 93

Q Q QC K C K

VV V

K

C KC

C0 = capacitancia en ausencia del dielctrico.

De (93) se observa que la capacitancia aumenta en el factor K

cuando el dielctrico llena por completo la regin entre las placas.

Para un capacitor de placas paralelas se tiene que 00

AC

d

,

entonces:

0

0

.......... 94

.......... 95

K AC

d

AC

d

AC

d

De las ecuaciones (94) y (95) se observa que c se hace muy

grande al disminuir d, sin embargo en la prctica, el valor mas bajo

de d est limitado por la descarga elctrica que puede ocurrir a

travs del medio dielctrico que separa las placas. Para cualquier

separacin dada d, el mximo voltaje que puede aplicarse a un

capacitor sin producir una descarga depende de la resistencia

dielctrica (intensidad de campo elctrico mximo) del dielctrico,

215

la cual para el aire es igual a 3 x 106 V/m. Si la intensidad de

campo en el medio supera a la resistencia dielctrica, las

propiedades aislantes del medio se deterioran y el medio empieza

a conducir. La mayor parte de los materiales aislantes tienen

resistencias dielctricas y constantes dielctricos mayores que las

del aire.

Ventajas que brinda un dielctrico

Aumenta la capacitancia de un capacitor.

Aumenta el voltaje de operacin mximo de un capacitor.

Puede proporcionar soporte mecnico entre las placas

conductoras.

9. ENERGA ALMACENADA EN UN CAPACITOR CON DIELCTRICO

Supongamos que tenemos un capacitor de placas paralelas que se

carga con una batera hasta una carga Q0. Despus se quita la

batera y una placa de material que tiene una cantidad dielctrica K

se inserta entre las placas. Se quiere hallar la energa almacenada

en el capacitor antes y despus de insertar el dielctrico

Q0

+

C0

-

V0

Q0

+

C0

-E

K

dielctrico

Figura (69)

216

Puesto que 00

0

QV

C , la energa almacenada ser:

2

00

0

1

2

QU

C

Despus que se quita la batera y se inserta el dielctrico entre las

placas, la carga en el capacitor permanece igual. Por consiguiente,

la energa almacenada en presencia del dielctrico ser:

2

0

0

2 2

0 0 0

0 0

0

1

2

1 1

2 2

QU C KC

C

Q Q UU

KC K C K

UU

K

Puesto que K > 1, la energa final es menor que la energa inicial

en un factor 1/K. Esta energa faltante puede explicarse

observando de que cuando se inserta el dielctrico dentro del

capacitor, ste es atrado hacia el interior del dispositivo. Un agente

externo debe efectuar trabajo negativo para evitar que la placa

acelere.

Este trabajo es simplemente la diferencia 0U U . Alternativamente

el trabajo positivo hecho por el sistema sobre el agente externo es

0U U .

0W U U U

217

PROBLEMAS RESUELTOS DE CAPACITANCIA ELCTRICA

1) Una nube tormentosa tiene una carga de 900 C y un

potencial de 90 Mv con respecto al terreno, a 1 km mas

abajo. a) cul es la capacitancia del sistema?, b) cuntas

energa se almacena en esa tormenta?

Solucin:

6

900

90 90 10

Q C

V MV x V

6

6

6

10

900a)

90 10

10 10

10

900 90 10b)

2 2

4.1 10

V

QC

V x

C x F

C F

Q x xU

U x J

2) Cunta energa se almacena en una esfera metlica de 12

cm de radio cuando se coloca en ella una carga de 4.0x10 -5

C?

Solucin

512 10R cm Q C

Para una esfera se cumple:

9 5

2

0

9 10 10750000

4 12 10

x xQV V

R x

218

5

4

5

252

11

10

750000

1.33 10

1.33 10

10

2 2 1.33 10

3.76

QC

V

C x F

C x F

QU

C x x

U J

3) Un cable coaxial con conductor interno de 3 mm de

dimetro y blindaje exterior de 8 mm de dimetro tiene un

potencial de 1 kv entre los conductores; a) cual es la

capacitancia de 10 m de cable?, b) cunta energa se

almacena en un tramo de 10 m del cable?, c) cunta

energa se almacena en un tramo de 1 km?

Solucin

Se sabe para un cable coaxial:

02

ln /b a

Ec

longitud V V b a

Datos: a = 3 mm

b = 8 mm

Vb Va = 1 Kv = 1000 V

a) C = ? Para L = 10 m

12

10

10

2 8.85 105.67 10

10 ln 8 / 3

5.67 10

xCc x F

C x F

219

b) U = ? Para L = 10 m

2102

4

5.67 10 1000

2 2

2.83 10

xcVU

U x J

Para L = 1 km = 1000 m

12

8

8

2 8.85 105.67 10

1000 ln 8 / 3

5.67 10

xCc x F

C x F

282 5.67 10 10002 2

0.0283

xcVU

U J

4) Dos esferas conductoras concntricas de 7.0 y 18 cm de

radio respectivamente, adquieren cargas iguales, pero

opuestas, de 4.2 x 10-8 C, cunta energa se almacena en

el sistema?

Solucin

R1 = 7 cm R2 = 18 cm Q = 4.2 x 10-8 C

Hallando la diferencia de potencial

Se sabe que para una esfera:

2

2 2

1 11

2

2 1 2

2 1

1

1 1

rr r

r rr

kQEr

r

kQV V Er dr dr kQ

rr

V kQr r

220

0 1 2

9 8

2 2

1 1

4

1 19 10 4.2 10

7 10 18 10

3300

QV V

E r r

V x xx x

V V

Luego, entonces:

8

5

4.2 10 3300

2 2

6.93 10

xQVU

U x J

5) Aproximadamente cunta energa se almacena en un cubo

de 5 cm de lado que est a 1.0 m de distancia de una carga

puntual de 5 x 10-4 C de magnitud?

Solucin

4 4

9 4

6

2 2

0

2

0

212 6

4 3

2

1.25 10 5 10

9 10 5 101. 4.5 10

4 1

2

8.85 10 4.5 10

21.25 10

0.011 1.1 10

cuboV x q x C

x xq NE x

cr

EU

Volumen

x xU

x m

U Joules x Joules

6) Una esfera metlica aislada de 15 cm de radio est a un

potencial de 5000 V, cul es la carga de la esfera?, cul

es la densidad de energa del campo elctrico fuera de la

esfera?

Solucin

221

a. Para una esfera

9

0

8

5000 9 104 0.15

8.33 10

Q QV x

R

Q x C

b. Para r > R

0 2

0 2

22

2 420

22

2 4

0

2 2 2

2 2 2 2

0 0 0

1.

4 2

4

324

432

1 1 1

8 8 8

R R

RR

EQE U

r

dUu dv r drQ

U dvr

dU udv u r dr

QU U dv r dr

r

Q dr Q QU

r Rr

2

2

08

QU

R

Reemplazando datos:

28

4

12

4

8.33 102.08 10

8 8.85 10 0.15

2.08 10

xU x J

x

U x J

7) Las placas de un capacitor de placas paralelas tienen 600

cm de rea y estn a 0.2 cm de distancia, la diferencia de

potencial entre ellos es de 800 V, a) cul es el campo entre

las placas?, b) cul es la carga en cada placa?, c) cul es

la fuerza que ejerce el campo sobre una de las placas?. d)

Suponga que se tira de dos placas para separarlas de

modo que la distancia entre ellas aumenta 10%, cul es el

222

cambio de energa almacenada?, es esto consistente con

la respuesta c?

Solucin

5

2

) ?

800. 4 10

0.2 10

a E

V VV E d E x

d x m

12 4100

2

10 7

2

7

10 2

2

8.85 10 600 10) 2.655 10

0.2 10

2.655 10 800 2.124 10

) ;

2

2.124 10

2 2.655 10 0.2 10

4.25 10

Q

A x x xb C x F

d x

Q CV x F x C

qc E dF E dq

Cd

q QF dq

Cd Cd

x CF

x F x

F x N

21220

5

0

2.655 10 800)

2 2

8.496 10

xCVd Al inicio U

U x J

cuando se suman d = 10% d = 0.1 x 0.2 cm = 0.02 x 10-2 m

2

12 4

100

2

7

10

21025

5 5

0

' 0.2 0.02 0.22 0.22 10

8.85 10 600 10' 2.44 10

' 0.22 10

2.124 10' ' ' 880

' 2.44 10

2.44 10 880' '' 9.347 10

2 2

' 9.347 10 8.496 10

8.5 10

d d d cm x m

x xAC x F

d x

Q xQ C V V V

C x

x VC VU x J

U U U x J x J

U x

6 ... 1J

223

De la parte (c) se tiene que:

24.25 10F x N

Entonces:

2 2

6

4.25 10 0.22 10

8.5 10 ... 2

W U F d x N x m

W x J

Entonces: como (1) = (2) , entonces (1) es consistente con

la parte C.

8) Suponga que un electrn es una esfera de radio R con su

carga distribuida uniformemente en su superficie, cul es

el campo elctrico fuerza del radio R?, cul es la energa

electrosttica total almacenada en el campo? Suponga que

toda la superficie electrosttica b es la nica energa

responsable de la energa en reposo del electrn, cul

debe ser el radio R del electrn?

Solucin

2

0

) ;4

Qa E para r R

r

2 2 2 20

2 4 2 4

0 0

2 2 2

2

0 0 0

4) ;

2 324 32

1

8 8 8

R

RR

E Q Q rb u U udv dr

r r

Q Q QU dr

r r R

2 30 8

22 19

0

) 0.9 10 ; 3 10

1.6 108

c U mc m x Kg C x

Qmc Q x C cargadel electron

R

224

2192

2 212 30 8

0

15

1.6 10

8 8 8.82 10 0.9 10 3 10

1.421 10

xQR

mc x x x

R x

9) Calcule la capacitancia del sistema de placas en paralelo,

puede representarse este sistema con dos pares paralelos

de placas de la mitad del rea total conectados en serie o

en paralelo?

Solucin

a. En serie

0 0

1 2

1 2

0 0

1 2 1 2

1 20

1 2

2 2

2 .

A AC C

A A

C CC

AC

b. En paralelo

1

2

A/2

A/2

C1

1

2

A/2

A/2

C1

1 2 1 20 01 2

1 2 1 24 . 4 .

A AC C

1

2

A

A

225

1 2 1 20 0

1 2 1 2 1 2

1 20

1 2

4 . 4 .

2 2

2 .

A A

C CC

AC

10) Dos placas grandes y delgadas de metal de rea A y

espesor d que tienen cargas Q y Q respectivamente, se

colocan paralelamente a una distancia D entre s, suponga

que una placa sin carga delgada de la misma superficie y

espesor se coloca entre ellas de tal manera que la distancia

entre ellas y la placa con +Q es x, cul es la

capacitancia del sistema combinado como funcin de x?

Solucin

0

1

0

2

1 2

1 2

0 0

0 0

0

:

( )

( )

( )

e

e

e

AC

xSe sabeque

AC

D x d

C CC

C C

A A

x D x dC

A A

x D x d

AC

D d

11) Un capacitor de placas paralelas de 10 mm y 5 mm de

separacin tiene un voltaje entre las placas de 300v y se

introducen los siguientes materiales: aire, papel, neopreno,

A

-Q

d

C1

A

Q

d

A

-Q

d

C2

D

x

D-(x+d)

226

baquelita y titanato de estroncio, cul es la carga del

capacitor en cada caso?

Solucin

12 4120

3

: 1.005

1.005 8.82 10 10 101.776 10

5 10

Aire k

k A x x x xC x F

d x

12 10. 1.776 10 300 0.3 10Q CV x F Q x J

12 4120

3

12 9

: 3.7

3.7 8.82 10 10 106.54 10

5 10

. 6.54 10 300 2 10

Papel k

k A x x x xC x F

d x

Q CV x F Q x J

12 440

3

4 9

: 6.7

6.7 8.82 10 10 101.1859 10

5 10

. 1.1859 10 300 3.6 10

Neopreno k

k A x x x xC x F

d x

Q CV x F Q x J

12 4120

3

12 9

: 4.9

4.9 8.82 10 10 108.673 10

5 10

. 8.673 10 300 2.6 10

Baquelita k

k A x x x xC x F

d x

Q CV x F Q x J

12 4100

3

10 7

: 3.32

3.32 8.82 10 10 105.876 10

5 10

. 5.876 10 300 1.8 10

Titanio k

k A x x x xC x F

d x

Q CV x F Q x J

12) Un capilar consiste en 2 cascarones esfricos

concntricos de radios r1 y r2. Calcule la capacitancia si el

espacio entre los cascarones se llena con un dielctrico

227

cuya constante es K, si el primer capacitor tiene aire entre

los cascarones y tiene una carga Q y si el espacio se llena

con el dilctrico cul es el cambio de energa?

Solucin

0

2

0

2

0

4

4

QKE dA

QKE r

QE

K r

Adems: 12 1 2V V V V

2 10 1 0 2 0 1 2

0 1 2

2 1

4 4 4 .

4

r rQ Q QV

K r K r K r r

K r rQC C

V r r

Al inicio: la energa:

2

0 ; , '2

QU con dielectrico Q constante C Ck

C

Despus

2

2 2

0 0

2 '

1

2 2

F

F

QU

C

Q QU

kC k C

2 2 2

0

2

1 11

2 2 2

1 1 0

1

2

0

F

Q Q QU U U

k C C C k

Como k k

k QU

k C

U disminuye

1r

2r

228

13) Un capacitor de placas paralelas L x L de rea y

separacin entre las placas D

229

1 00

K K xK K

L

. Considere que las placas del capacitor

se dividen en un conjunto de capacitares conectados en

paralelo y que las placas son bandas con una anchura dx y

calcule la capacitancia.

K=K1

X

D

K=K0

L0

Solucin

1 0

0

0 1 0

0

0

0

0

0 1 00

;

L

L

K K xK K

L

xK K K K

L

E dAdC E K

D

dA Ldx

KC Ldx

D

L xC K K K dx

D L

2 2

0 0

0 1 0 0 1 0

0

20 10 0

0 12 2

L

L Lx LC K x K K K L K K

D L D L

K KL LLC K K C

D D

15) Un capacitor de placas paralelas tiene rea L x L y

separacin entre placas D

230

de una placa a la otra (ver figura). En la placa inferior, la

constan te dielctrica es K0 mientras que en la superior es

K1. Si Y es la distancia medida hacia arriba, a partir de la

placa inferior, entonces 1 0

0

K K yK K

D

. Considere que

el capacitor es una serie de capacitares conectados en

serie y calcule la capacitancia.

Solucin

L

D

dy

D

K=K1

K=K0

Y

1 0

0 0 1 0

2

0 0

2 20 00 0

0 1 0

0

2

1 00 1 0 0

0 0

2

1 0 1 00 1 0

1 1 1

1ln

1ln ln

D D

e

D

e

e

K K y yK K K K K K

D D

K dA K LC

dy dy

dy dy

yC dC K L LK K K K

D

K DDy

C K KL K K

K D K DDD

C K K K KL K K

1

2

00 1 0

2

0 1 0

1

0

1ln

ln

e

e

KD

C KL K K

L K KC

KD

K

231

PROBLEMAS PROPUESTOS DE CAPACITANCIA

1) En la figura, cada condensador C3 = 3 F y cada condensador C2

= 2 F Calcular:

a. La capacidad equivalente entre A y B.

b. La carga de los condensadores C3 y C2 prximos a los puntos

A y B; si VAB = 900 voltios.

c. Calcular la diferencia de potencial V12 si VAB = 900 voltios.

Respuestas:

4

2

4

3

12

) 1

) 6 10

9 10

) 100

ABa C F

b Q x C

Q x C

c V voltios

2) Considere el agrupamiento de cuatro condensadores C1 = 3 C;

C2 = C; C3 = 2C; C4 = 3C.

1

C2

C3

C4

C1

2

a. Calcular en funcin de C la capacidad equivalente entre los

puntos 1 y 2. Calcular dicha capacidad si C = 2 F.

AC

3C

3C

3

C3

C3

C3

C2

C2

C3

1

2B

232

b. Si se mantiene una diferencia de potencial V12 = 2000 voltios.

Calcular las cargas Q1, Q2, Q3 , Q4 y las tensiones V1, V2, V3,

V4 de cada uno de los condensadores en funcin de C y V12.

c. Reemplace el tramo de C2 y C3 por un condensador de

capacidad X, para qu valor de x la capacidad equivalente

entre 1 y 2 es igual a x?. Calcular las cargas de los

condensadores de capacidad C1 x y C4.

3) Un condensador de 1 F y otro de 2 F se conectan en paralelo

a una lnea de 1200 V.

a. Hllese la carga y el voltaje de cada condensador.

b. Los condensadores cargados se desconectan de la red y ellos

entre s, y se vuelven a conectar con las lminas de distinto

signo juntas. Calclese la carga final de cada uno y su voltaje.

4) Suponga que se mantienen una diferencia de potencial de 100

voltios entre las placas de un condensador de placas paralelas

de 1.0 F, qu fuerza exterior se requiere para mantener las

placas a la distancia fija de 10-3 m?

R: 21

52

F CV Nd

5) Cuatro cargas puntuales iguales q = 2 nC, deben ser colocadas

en los vrtices de un cuadrado de (1/3)m de lado, una por una.

Halle la energa en el sistema despus que cada carga ha sido

colocada.

R: 108 nJ, 292 nJ, 585 nJ.

233

6) Se mantiene una distribucin de cargas positivas colocadas en

un medio de constante dielctrica K entre

dos planos paralelos infinitos separados

una distancia 2a. Considere que el plano

x=0 est a un potencial cero.

a. Calcular el campo elctrico E(x) en

todo punto M. Considere los casos en que el punto M est en

el interior y exterior de la distribucin.

b. Calcular el potencial elctrico V(x) para todo punto M.

c. Grafique E(x) y V(x).

7) Se mantiene un condensador

de placas paralelas de rea S,

llenado parcialmente con un

material dielctrico de

permitividad E. Si V es la

diferencia de potencial entre las placas. Calcular:

a. La carga Q del condensador.

b. La capacidad del condensador.

c. La energa almacenada en el condensador.

d. Los campos elctricos en la regin dielctrica y en el vaco E1

y E2 respectivamente.

e. La densidad de carga superficial en la regin con vaco y en

la regin con dielctrico 1 y 2.

-C C

K P

0

X

0

b

d

234

8) Se mantiene un condensador plano, formado por dos placas de

10 x 15 cm separadas por una capa de mica de 1 mm de

espesor, constante dielctrica 6 y rigidez dielctrica de 120

kV/cm. Calcular la mxima carga que admite dicho condensador.

R : 9.55 C

9) Se mantienen dos condensadores de 3 y 5 F que se cargan

respectivamente a 1.5 y 3.2 kV. Despus de cargados se

montan en paralelo. Calcular las cargas y tensiones de cada uno

del sistema.

R . 3 31 27.7 10 12.8 10Q x C Q x C

10) Entre las placas de un condensador

de rea A y separacin d se ubican

tres dielctricos de iguales

dimensiones como se muestra en la

figura:

a. Usando las condiciones de

contorno apropiadas, determinar el

potencial elctrico, campo elctrico y vector desplazamiento

de los dielctricos.

b. Determinar la polarizacin y las densidades de carga de

polarizacin en el dielctrico de permeabilidad E1.

c. Calcular la capacidad del sistema.

1

2

Q

-Q

235

11) Cul es la capacidad del siguiente condensador mostrado en la

figura?

K1

K2

K3

2d

dd

12) Se coloca un dielctrico de constante K que vara linealmente

entre las placas de un condensador de placas paralelas cargadas

con + y -. La constante K vale K1 y K2 en los puntos de

contacto con las placas del condensador. Demuestre que la

capacidad del condensador es igual a:

0 2 1

2 1ln /

A K KC

d K K

Donde: A = rea de las placas

d = separacin entre placas

Sugerencia:

Considere que K (x) = ax+b (ecuacin de una recta).

Calcular a y b aplicando las condiciones de contorno para K(x).

Teniendo en cuenta que el campo elctrico dentro del

condensador vale: 0

EK

, calcule luego la capacidad.

236

13) Se forma un condensador de dos placas paralelas metlicas de

lados a y b separadas por una distancia d; entre ellas existe el

vaco, ellas se mantienen a una diferencial de potencial V,

mediante una batera. Enseguida se introduce una placa de

material dielctrico de constante K = 2, espesor 4

d entre las

placas del condensador y paralela a ellas.

Calcular despreciando los efectos de borde, la fuerza que ejerce

sobre el dielctrico.

x

a

b

Sugerencia:

Para una distancia x del sistema puede ponerse as.

C3

C1

C2

x

C1

C2

C3

01

K b x aC

237

Calcule la capacidad C equivalente y aplique la expresin

21

2x

dU dCF V

dx dx

dada en la seccin V.4 de este captulo.

R: 2

01

14x

aVF

d

14) Dos condensadores de capacidades iguales a C0 estn

conectadas en paralelo a una tensin V0, enseguida se introduce

un dielctrico de constante K a uno de ellos de modo que llene

completamente el espacio entre sus placas. Calcular:

a. La tensin final V en los condensadores en funcin de V y K.

b. La diferencia de energa que existe entre la situacin final y la

inicial.

R : 20 0 02 1

) )1 1

V Ka V b U C V

K K

15) Dos esferas conductoras, idnticas, de radio R son tangentes en

0. Ellas estn cargadas y en equilibrio electrosttico. Admita que

la carga superficial est dad por 20 cos . Calcular:

a. El potencial de las dos esferas.

b. La capacidad del conjunto.

c. La fuerza de repulsin de las dos esferas.

238

R:

0

0

0

2 2

0

0

2)

3

3) 4

2

)3

x

Ra V

Rb C

Rc f

16) Las dimensiones de un condensador plano son: longitud ,

ancho a; cargado con Q coulombios y est lleno de un material

dielctrico de constante K. Encontrar la expresin de la fuerza

que tiende a colocar al bloque nuevamente en su lugar cuando

solo queda de ste dentro del condensador una distancia x.

R :

2

2

0

1

2 1

d K Q iF

a K x

17) Un cable coaxial de radio interior a y exterior b se introduce

verticalmente en un bao de dielctrico lquido. Se aplica un

voltaje V al cable. Demostrar que el lquido entre los conductores

interno y externo se eleva a una altura h definida por:

2

0

2 2

1

ln

K Vh

bg b a

a

. Por encima de la superficie del lquido K y

son la constante dielctrica y la densidad del lquido

respectivamente.

X0

Q

X

d

-Q

239

18) Un condensador plano se sita horizontalmente de modo que

una de sus placas se encuentra sobre y la otra por debajo de la

superficie de un lquido, como se muestra en la figura. Su

constante dielctrica es K y la densidad . A qu altura

asciende el lquido en el condensador despus de comunicar a

sus placas una carga cuya densidad superficies es ?

R: 2

0

1

2

Kh

k g

U