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GUA N1 DE CLCULO III
1) Analizar el movimiento dado por las ecuaciones tsenytx pipi
2,2cos == . Determinar el mdulo y la direccin de los vectores
velocidad y aceleracin cuando t = 1/6
Sol: 259,74,120,32 2pipi
2) Para el cable AB mostrado determine: a) la longitud del cable
b) el ngulo que forma el cable con el eje X c) la longitud de la
sombra que proyecta el cable en el plano XY.
3) En el punto (1,1,1) de la curva espacial 32 ,, tztytx === ,
determinar: a) Las ecuaciones de la recta tangente y del plano
normal. b) La tangente unitaria, la normal principal y la binormal.
c) Las ecuaciones de la normal principal y de la binormal.
Sol: a) 0632;3
12
11
1=++
=
=
zyxzyx
b) 19
33;
266
9811;
1419
71 kjiBkjiNT +=+== rrr
c) 1
131
31
;9
181
111
=
=
=
=
zyxzyx
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4) Encuentre la proyeccin escalar y el vector proyeccin de
)2,2,1(=Br
sobre )1,2,3(=A
r.
5) Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal
a la superficie uvzvuyvux ==+= ,)(3,)(2 en el punto )1,2( == vuP
.
Sol: 0241229;12
223
96
=
=
=
zyxzyx
6) Se mueve una partcula con una fuerza determinada por el
vector kjiF 352 +=r desde el punto A(-3,7,9) al punto B(8,-5,4).
Encuentre el trabajo realizado.
7) Si ar y br
son vectores distintos de cero, demuestre que el vector ar - c
br
es ortogonal
a br
si c =b
bar
rr
.
8) Calcule el rea del paralelogramo formado por los puntos
A(1,4,6), B(-2,5,-1) y C(1,-1,1).Cul sera el rea si dichos puntos
fueran los vrtices de un tringulo?
9) La aceleracin de una partcula en cualquier instante 0t ,
viene dada por kjeiea tt 2 ++=r , si en 0=t su posicin es 0=r y la
velocidad es jiv += . Determinar
r y v en un instante t arbitrario.
Sol: ktjeievktjteier tttt )1(21
;2
)41
241()1( 2
22 +++=+++=
10) Determine el vector tangente unitario )( tT a cada una de
las curvas dadas:
i. kt
tjt
tit
ttr
11
1
1)(
2
+
++
++
=
r
ii. ktjtitsentr 3))(cos())(()( 4++=r
iii. )()( tsenetx t= , )cos()( 2 tety t= , tetz =)(
11) Pruebe que la ecuacin del plano oscilador de una curva
espacial en P viene dada por
( ) 022
=
dtrd
dtdr
rR
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12) En cada uno de los problemas siguientes, determine, para el
valor de t dado, los vectores T , N y B ; la curvatura ; las
ecuaciones de la recta tangente; y la ecuacin del plano osculador a
las curvas dadas.
iv. ttx += 1)( , tty = 3)( , 42)( += ttz , 3=t v. ktjtittr
31
)( 32 ++=r , 0=t
vi. kejtseneitetr ttt ))(())cos(()( ++=r , 0=t
13) Determinar las ecuaciones de los planos osculador, normal y
rectificante de 222 2;;2 ttztyttx +=== en 1=t .
Sol: 0625,072,02 =+=+=+ zyxzyzyx
14) En los problemas siguientes, una partcula se mueve segn la
ley dada. Halle, en cada caso, los vectores velocidad y aceleracin,
el radio de curvatura de su trayectoria, los vectores unitarios T y
N , y las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el
tiempo dado.
vii. ttx += 1)( , tty = 3)( , 42)( += ttz , 3=t viii. ttx =)( ,
))()ln(sec()( ttgtty += , ))ln(sec()( ttz = ,
3pi
=t
ix. 331)( ttx = , tty 2)( = ,
ttz
2)( = , 1=t
15) Sea kttjttittF )3()2()( 322 +++= , determinar 1
0
)( dttF .
Sol: kji 45
32
21
+
16) Sea C: )t(Rr
, t R, una curva en R3.
Si )t('Rr
es perpendicular a )t(''Rr
para todo valor de t, demuestre que )t('R
r
es constante.
