Historia de la Matemática Volumen 1 [REY PASTOR, J. BABINI, J] [Ed. GEDISA, Barcelona] 1985 (106s-d) {SPSE}

. "

•

••

HISTORIA DE LAMATEMÁTICA

(vol. 1)

por

J. Rey Pastor y J. Babini

COMPRA

gedisa

R.soGD

DisClio de c;ubit:l"ta: Sergio Manela

III reimpresión,agosto de 1985,Barcelona, España

@ by Ced¡,a. S.A.Muntaner, 460, entlo., 11ITe!. 201-000008006 • Bar<:clona, Espai\u

1. S. B.N. 84-7432-206-5 (obra comple..)1. S. B. N. 84-7432·207-3 (volumen 1)

Depó'ito Legal, B. 30.566· 1985

ÍNDICE

PREFACIO 9

l. LA MATEMÁTICA EMPíRlCA : :.. 131. La prehistoria 13

2. Letras y números .. 14

Notas complementarias 173. Formas y problemas :..~. 18

Il. LA MATEMÁTICA PREHELÉNICA 211. Los babilonios 21

Notas complementarias 262. Los egipcios :....... 30Notas complementarias :................. 31

Impreso en EspañaPrillted itl $paill

La reproducción total o p;;lrcial de este libro en forma idéntica o modifi·C'.1da, escrita a m:1quina o con el sistema rnultigrof, nümeógraf'o, impreso.etc.. no autorizada por los editores. viola los dereehos reselVados. Cual·quier utilización debe ser previamente solicitada. \

III. LA MATEMÁTICA HELÉNICA .1. Los griegos .

Notas complementarias , , , :.. , .2. Tales .

Notas complementarias ..3. Los pitagóricos ..

Notas complementa':ias .4. Los elealas ..

Notas complementarias ..5. La matemática del siglo v .

Notas complementarias ..

35353739

41

4246

50

51

5255

6. La Academia y el Liceo 59

Notas complementarias 61

7. La matemática del siglo IV


rv. LA MATEMÁTICA HELE iSTlCA 69

J. Alejandría 69

2. Euclides y sus Eleljlentos . 71


3. Arquímedes............................................... 89


4. Apolonio de Perga 112

Notas com¡llementarias 115

5. Los epígonos del siglo de oro 120

Notas complementarias .. 121

6. La matemática griega 124

V. EL PERIODO GRECORROMANO..... 127

J. Epígonos y comentaristas 127

Notas complementarias . 130

2. Plolomeo y Pappus 133


3. Herón y Diofanlo 140

VI. LA ÉPOCA MEDIEVAL 151

1. La temprana Edad Media ~.'........... 151

Notas complementarias 1632. La alta Edad Media 170


3. La baja Edad Media 189


TABLA CRONOLÓGICA 205

íNDICE DE AUTORES 211

PREFACIO

Al/d por los años cuarenta. cuando me debatfa en una serie devacilaciones sobré si la carrera que yo debía seguir sería la r1eflSicas v bien la de letras. empecé a ofr hablar r1e un manualampliamente concebido y claramente erpuesto. titulado Curso Cíclico de Matemáticas. de don Julio Rey Pastor. Tenninadas misdudos y embarcado ya en elestudía de la Filosojla Semdntica parapoder leer. en su original. los cUJcurnentoMe Historia de la Ciencia que a mf me interesaba trabajar-ter/os astronómicos y lIduticos principalmente-. tuve ocasión de conocer a don Julio. llevadode la mano de mi Maestro. José M. Mi/lds. que era buen amigo deaquél. Desde ese momento se estableció entre las dos una corrientede afecto que se transformó en verdodera amistad con el correr delos años y con el intercambio de ideas acerca de la historia de la cartografla. que a ambas nos interesaba aunque fuese en dreas culturoles distintas. Cuando charldba,nos acerca de sus problemas leentendfa rdpilÚJmente; todo lo contrario ocurría si tenfa que hacenne con el contenido de una carta manuscrita suya escrita, confrecuencia. con Idpiz y letra enmarañado y pequeña: la tJjficultadno estribaba en las ideas, sino en la letra. Para evitar estol inconvenientes de su caligrafla. que él era el primero en reconocer. procuraba utilizar la ,lIdquina de escribir siempre que podfa y pergeñar en pocas Uneas lo que m~ atrevería a llamar su pensamientoanalltico-sintético.

Tenninados mis estudios de letras. yen espera de unas oposiciones que nunca acobaban de llegar, lne enfrasqué. para aprovechar el tiempo. en el Análisis matemático. el Curso CIcUco y . .. laHistoria de la Matemática que hoy. COlno consecuencia de aquellas

9

•l'

qtle~el.Jcias. tengo ocasión de prologar por deferencia llel Prof.}.Bab"" y del Sr. Rey Paslor, hijo.

Era imposible. por mi parte. neganne al enClIrj!,O: a los r.;jejo~lazos de muistad con don Julio se Iwbíil unido, eDil el curso {Ieltiempo. un viaje ala ArJ!.entina que me hi:.o conocer de cerca /adura batalla que sostenía /Ja!Jil1i ]Jara consolidar los e...tut!io.'l deHistoria de la Cieucia ell la Iwción hernuma. e.'itudio.f nacidm'grllcias al empuje inicial de Rey Pastor, Bubín; y Miel; ya los que .fj(!

debe que lIun "oy 111 Arge"linll figure 11 111 elll>e:ll de ladas IlIsnaciones lle lengua hispalia. tan refractarias (1 e!.;le J!.énero llematerias. Vale la pell(J recordar aquí que no sólo se lJUblicó, IJahora se reedita en Buenos Aires, esta Historia de 10.\ Matemática.sino quefue en Buenos Aires tambitn enllonde Q!Joreció la serie (ledoce vo/rimenes titulada Panorama general de Historia de la Ciencia que. hoy por hoy. constituye la mds seria ap0r/oció" de conjunto a estos estudios reali:(J(lfl en nuestra lel1{!.uo. y se ¡Jlletle parang011ar, sin duda, con las mejores del extranjero. Yes IIn (lrgelltino,Babini, t¡uien ha escrito al~IHlas de las más t;tlliosm; tl/onografiassobre el tema -lle las que al/uf recuerdo. a (jltela pluma, las tituladas Arquímedes, La matemática y la astronomía renacentistasy ha ver/ido ti nuestra lengua varias obrtls de Sartoll lJlU' así hasido ampliamente conOO(lo en nuestros circulas.

La Historia de la Matemática, de RerJ Paslor y BIIlJini,/lentlbll,en el momento de su aparición, un hueco IIotOriO de /t, bibliop.raflahispanoamericana; y muy pronto fi4e la obm que se utili:.ó de basepara los escasos cursos de Historia de la Matemática que se profe.saban en nuestras universidades. El libro no pretendía, y tampocolo intenta ahora, ser tHla suma de conocimientos enciclopédica,como las Vorlesungen de Cantor, sino dar a conócer tallo aquelloque es funeltlmentlll pelrll seguir el e/esllrrol/o di !IIS ie/etls /xISicllSde la male7lláticll desde 111 IIntigüedad haslll hoy. Este prurilo por laconcisión explica que en ella no se trate en detalle, ya veces ni seciten, detenninados autores hispanoamericanos que. si tuoierontrascendencia en el desarrollo de la raquftica cultura matemáticalocal. no alcanzaron el nivel suficiente !Jora integrarse en unavisión panorámica tle tOlla la matemática. Especialmente intere.santes resultan las "notas complementarias" en que los autoresdesarrollan, con toda libertad. algl,nos de los temas aludiclos en el

10

eorreS¡JOlldiellte ellpílulo. Es el viejo sislema diddeliea de las "ilust raciones

uO "Iecturos" (en sentido figurado, ya que no recto) (!ue

tan útiles son como ejemplificación de la materia tratada 1). aveces, para cOllOcer incluso el estilo llel autor comentado del cualse insertan b,-eves enunciados y demostraciones.

El texto. que desde hace varios años estaba agotado, se reeditaahora sin apenas haber enr;ejecido. Para envejecer hubiera sidopreciso que en los veintitatltos mios transcurridos desde su uparición se hubieran publicado muchas nuevas monografias .'Wbre lahislorill de 111 I/Ullerlldliea y e/lo 110 ha sido llSí, 11 pes", de losbellemüilos esf..er..os de los "Archives of'''e H istory ofIhe ExaelSciences", lJue 1)(' ha sacado a luz bastantes volúmenes, y lle larecién fun¿¡¡da "Hisloria MCllhematiea". Baslll ojellr 111 c1dsieClrevisla bibliogrdfiea "Mlllllematielll Review", ,)lIrll el",se etlelltade lo poco que rel'resenlllllll'roducción hislóriell del/tra de la illmensa masa bibliogrdfica del tema uwtemdtico; aunque a lo tI,iS7Jl('se sumen las producciones de caUlpos afines como son los de laIIslrallomía o de la Josiell.

Tal vez las innovaciones mds interesantes se han prollucido elllos dos exlremos ele la "istOrill: ell el de 111 IInligulI ciencia blllJilónica yen el de la maternática contempordnea 1) es en tonJO de estostemas donde se ha reestructurado este texto ya clásico lresde su

primera edición. Si espero -.aunl/ue sin excesiva confianza. dadala anern;a congénita que sufren estos estudios en nuestra patria Ij

en los países iberoamericanos- que sirva para despertar nuevasvocaciones jóvenes para estos temlls. en cambio estoy convencidode que es un eslabón más de la eaclena de ol>rllS que conceden lilaArgentina la supremacia en este campo científico al que sena eledesear que fuera reforuulo pronto mediante unas estructuras¡nsliluciollllles que,forzosamente, IlIlbrá que crear IIlgún dfa.

¡UAN VEIlNET

11

,.

1. LA MATEMÁTICA EMPíRICA

1. La prehistoria

La expresión: el mundo está impregnado de matemática, convertida en lugar común en una era tecnológica como la actual, es unaexpresión válida para todas las épocas humanas, tan consustanciados están el contar y el comparar con las especificas actividades delhombre: pensar, hablar y fabricar instrumentos.

En la mente y en la acción del hombre prehistórico no estánausentes los números más simples, las formas más elementales y la ~

ordenación más visible de las cosas. En el hombre que da nombrea las cosas y a los actos; que conserva el fuego e imagina trampaspara cazar animales; que construye viviendas y tumbas; que obser·va el movimiento de los astros y destaca direcciones especiales;que computa distancias con su cuerPO Ysus pasos; que graba escenas de un impresionante realismo; en ese hombre y en esas actividades están prefigurados los conceptos básicos de la matemática:número, medida, orden.

A! pasar de la etapa paleolitica a la neolrtica el proceso se afina:las nuevas técnicaS agrlcolas y pastoriles, la cerámica y la carpinterra; la industria textil; la minería y la metalurgia, el trueque debienes y objetos, la navegación y el transporte, las normas querigen la naciente organización familiar, social y económica exigenuna precisión cada vez mayor en el contar, en el medir y en elordenar. El hallazgo del proceso deductivo y de la relación causaefecto y los inagotables recursos de la imaginación humana haránel resto.

y cuando asoma la escritura, como subproducto de la culturaurbana, ese saber matemático, aún vago y nebuloso. comienza aadquirir consistencia.

Una hipótesis verosfmü acerca del origen de la escritura vinculaesteorigen con prácticas aritméticas. En efecto, según tal hipótesis,

13

la ~scritura na~ a mediados del IV milenio antes de Cristo en laBaja Mesopotanlla, en el seno de la cultura urbana de los sumerioscuyas ciudades e~t;:,ban construidas alrededor del templo, edifica:do sobre una cohna artificial, como una torre escalonada, que nosólo representaba Ja unidad espiritual de la comunidad, sino que~ncerraba además su riqueza económica. Los bienes del templo,acumulados en sus t~lIeres y graneros, eran administrados por lossacerdotes. y es expllC"J.ble que a medida que esos bienes aumenta.ban con el crecimiento de fa población, se tomaba más difícilretel~er de memoria las "cuentas del templo", es decir, los datosrelativos a los tributos que se debían al dios y la cantidad desemll!as y de ganado que se entregaba a los campesinos y pastores:de afula neceSidad d.e fijar signos convencionales que permitieranretener es~s datos SIIl confiar en la memoria individual. Que talfuera el ongen de los primeros signos grabados, lo comprobarla elhecho de que las tablIllas pictográfl~as de Erech del 3.500 a. C.,que son las más antiguas que se conOcen, contienen signos querepresentan una cabeza de vaC'cl, una espiga de trigo, un pez,acompañad.os de signos especiales que sin duda representan sig.nos numéncos. Por lo demás, cabe recordar que entre los sume.rios existía la costumbre de marcar con sellos individuales los~bjetos de propiedad personal, y que por ser el dios de la ciudad elumco ~ropletar~o de la tierra y de todos sus frutos, los sellos quemarcanan Jos bienes del templo adquiririan un sentido más con.venclOnal y una mayor difusión.

2. Letras y núllleros

Esta notación Ilumérica de las '·cuentas del templo" pone de relie.ve Ciertas coneXIones entre la escritura y los sist~mas de numeraciónque puedendar pábulo a la ten tadora hipótesis de admitir quelos sistemas escntos de numeración fueron anteriores a la escrituramisma.~ Observemos en primer lugar que todos los pueblos sin excel)-

CJón, sean o no primitivos, tengan o no escritura, disponen depalabras especiales para designar los números y fracciones senci!Ius: así c,?mo disponen de gestos y signos convencionales paraIndicar numeros o unidades.

.Igualmente se ~n~uentra en los pueblos primitivos una wanvariedad de procedllnaentos de cómputos. que se presentan siem-

14

pre como una relación cualitativa de un signo a la cosa significada,y siempre también bajo el imperio de una imagen concreta(l)

Tal presencia constante de lo concreto en la numeración primitiva se puede presentar bajo diversos aspectos. Así, un primitivodirá que ha tomado tantos peces como dedos tiene la mano, y sidesigna este hecho con una palabra que deriva de la palabra"mano", esa palabra no quiere significar el número 5, sino solamente que los objetos en cuestión son tantos como los dedos de lamano. Por otra parte, el ejemplo abstracto no cabe en la mentalidad primitiva. Así, un indio norteamericano, a quien se tratabade familiarizar con el inglés, no pudo traducir: "Ayer el hombreblanco mató seis qsos'·, pues ese hecho significaba una imposibilidad material.

En otros casos los números 1, 2, 3 se designan con vOC'J,blosdiferentes según se refieran a personas, días u objetos, y en esteúltimo caso según sean ellos esféricos o alargados. Quizá puedaverse un residuo en nuestro léxico actual cuando al referimos azapatos decimos" un par". mientras que para los bueyes, por ej<;JJl'1'10, decimos "una yunta". -

También se han facilitado los cálculos mediante el uso de obje·tos materiales, como hojas secas o piedrecillas, que actúan a lamanera de uñidades en la forma como aún se acostumbra para elpuntaje en los juegos de naipes. Nuestra palabra "cálculo" provie·ne dellaún ca/culi (guijarros), y los ábacos par~ contar y sumar quese perfeccionaron en los tiempos históricos, hasta construir rudimentarias máquinas de calcular, no son sino dispositivos mecánicos fundados en el agrupamiento de objetos materiales.

\ En este campo como en. tantos otros la variedad preside la actividad humana: as! nativos de la isla Fidji indican el número devíctimas logrado en la caza mediante entalladuras en sus mazas.con la caractensticade que después de nueve entalladuras iguales,la siguiente es algo más larga, de ahí que con un sistema limitadode numeración hablada pueden llegar a contar números relativa·mente grandes. Por ejemplo, al observar cinco entalladuras largasy cuatro últimas cortas, el nativo tendrá idea del número 54 para elcual seguramente en su lenguaje no dispone de la palabra adecua·da. Si este sistema de entalladuras se toma convencional. entre ély un sistema de numeración escrita de tipo decimal aditivo s610existiría una diferencia de grado, no esencial.(2)

Al pasar a los sistemas escritos de numeración. se advierh.-'igual variedad; ya en la base, es decir en el número simple <tUl'

15

17

I

sirve de jalón para expresar los nlllneros mayores; ya en la lectura.que puede ser de tipo aditivo, con variantes distintas. o posicional.En los sistemas aditivos el valor del número se obtiene sumando(en ocasiones restando) los valores correspondientes a cada signoindividual, independientemente de la posición del signo en elcontexto; mientras que en los sistemas posicionales el valor decada signo depende de la posición de éste en el contexto. Por labase 10 y el tipo de lectura, nuestro sistema actual es decimal yposicional.

En cuanto a la base de los sistemas escritos antih1'UOS, que probablemente provienen de bases ya existentes en los sistemas ora4les, se advierte igual variedad: puede ser 2, comd lo comprueba elhecho de que seguimos hablando de pares y de yuntas, puede ser3, 4 ó 5 aunque la base más difundida es lO, que ya Aristótelesjustificaba en vista del número de dedos de la mano. En el idiomafrancés actual quedan rastros de una base 20 de los celtas, base quefue adoptada también por pueblos primitivos descalzos; nuestrasdocenas son también residuos de una base 12, utilizada ya por elnúmero (aproximado) de lunaciones del año, ya por su comodidaden las medidas. en vista de la facilidad que ofrece el mayor númerode sus divisores. frente por ejemplo a los de la base 10.

Casi todos los sistemas antiguos de escrituradisponen de signos.especiales para representar los números. Constituyen excepciónel griego. el árabe, el hebreo y otros que utilizan para ese. fin lasletras del alfabeto respectivo. El caso griego tiene un interés especial, ya que se conocen dos sistemas de numeración escrita, amoosaditivos. Un sistema. cuyos signos se llaman herodiánicos (por Herodiano. gramático griego del siglo n que estudió. y expuso estossignos). en el cual la unidad y las primeras cuatro potencias de 10se indican con las iniciales de las palabras respedivas. agregán-.dose un signo especial para el 5; y un segundo sistema en elcual los nueve digitos. las nueve decenas y las nueve centenas serepresentan por las 24 letras del alfabeto griego en su orden. intercalando tres letras de un alfabeto arcaico para e16. el 90 y el 900; yen el cual se indican con ápices y otros signos especiales las fraccil>nes unitarias y los números superiores al millar. Por el empleo delas letras del alfabeto arcaico se supuso que el segundo sistemafuera anterior al primero, pero el hecho es que el primer sistemacayó en desuso hacia el s. IV a. C.• quedando en vigencia el segundo.

16

al noS casos el sistema deEs interesante destacar 1ue en ~scritu~a, cierta prelación.

numeración escrita presenta, rente ,asentido de la sencillez y de lal . por lo menos en e d lassi no crono 6g1ca, . 1 1 ~ cen las escrituras cretenses e

abstracción. Un e¡emp o oo~: ictográfico y dos lineales A YB.que se reconocen trleSb¡~s. ~ti:"deellas: 'a lineal B. que reschult~Sontodasdelllm,enlO yau ..00 fue descifrada por MI epertenecer a un idiO~ gne~~::~lse'habían identificado n~ ~loVentris en 1952. De escn . ,tes a un sistema decimal aditivo.

. é ·c:os perteneclel . l '. mas Ylos signos num n . ritméticas slmp es. su .sino también a1brunas operaciones: ·es y sin duda tal desclfra-

Probablemente cálculos de ~rcednsac¡,·rT';miento de la escritura. (3)

. dó al postenor e "miento prevIO ayu

Notas complementarias

Ih I re Il·lr·, (:ouh\r v1 :' Es nutural (lue e Olll l ., .~(l) Los" nl¡lIlefM c(J"JO~(' e." 1· . e tenía más cerca.: su propio (.1,crpn:

hasta para sumaredhayada(.~ld:.i~o: (~Ue"cntuallllente de los pies. Aun .~oy.en especial los d os e ,. ,: -dedo) . a referimos a la.~ el n~~

hablamos de dígitos (~e1 latín dl~~~'~~)tal)<\I\ ~'nllmerare per di)!.ito~ :.la 9 inclusive. Los anti~OS ~mal~ .mitivo v el niño ··cuenhin con os

contar por los dedos: ta~~'é'\e E~~ "cálcuio díJtitlll" se ha. exteodid\~ y.dedos" (no "cuentan los os. al" mo ocurre entre ciertos pu~.) )S

(:onvertido en un "cál~ulo '%~~><lo~ : las manos y de los ~it:S utl~I~~~primitivos. que adem.\s de lar v SUnlar.lllientra.~ que el c;llcu'o.d~~ .

d Icuerpo para con. . d l· . po';IClonesotras partes e .' r dc<:uados relaciona os con as .. d 1mismo. media.nte sllYlbo CimoS a I >O se perfeccionó penllltlen o ede los dedos frente a otras partes d~ ~U~11 ;no se presenta. en sistema.~ dI:"recuento de números b.'\Stant~ ~:;a;~:ta en tiempoS medievales. "1

hist6nC'.lS: ya en la antl~u • . 1épocas d. JOsitivo semejante para contar es e

(2) Los "quipoS" peroa nof. Und

IsI de los cuales el más conocido es el

f dado en las cuerdcclUas con no os. el cual mediante un sist~un k· do) peruanocon. . ·0.. .po" (del quechua Clpu=nu d nu'mero V dl5llOSlC1 nqut I con IlU os en .ma de cuerdas de distintos ro ore~ dis ner de escntura. realrtahan undiferentes. los antiguos peruanos,.:," eks permitió rc(t;istrM cuanto dato

ba! s,·stema de numeracI6n esen a qu . . claro es también a laca tad .-ll. re'"'t:rar>C gracIa>, •d tilidad par. el Es 0.-- o-- 'p~~igiosa memoria de sus ~culadores.

(3) Lll ('IwlO/of!.ía ¡¡/tIlJfl (Hro ('. Iescritura jeroglítk'a ~. ti: ,'¡',. Jt llIp 11 lo IIln't:t'll Il~ 111.1\ .1' di' 1'11\.1I . ó.· t '4:1 1.'rUII ultllllalllt'lll' I\.,lhl

e ('elr flIeas. alg:ullns tl'xhw r,.I" .' ti.'. tll~1 ('aklllac!lJ"l', t d 1¡'::IO'O'i' Il1lt'lItn.. ••

SIS cmas (' lluIIll'raci(¡n El' 1 .. '11It \.1 "'('OIllIl.'l.l11 '11' clll'• • 11 11110 ((' (,In .

nlllllcroscindic;J('()llllll'l'''II~.' 1 1 .. 1o11l1 "1,:1111\ wrut..dllltu.. (,:ul,• ,,,-l.ICI·(IO'lt/t'¡ l, I .

que en el olro d(. índoll"m' 1 10111 IU'UI 1',llI11ll.d IlIlt'utf ...I 20 .l!'l .1 htr;¡d I '>(' Illdiz .>¡lse' (aunque no (.'ulU:rt'lIll" " J .. IHll \ ... lt'IIl.1 Illl\'('IIIII.11 el"

• ('11 (' t'llól 1111 r.un punto )J<lrn la IIni<hd . /. . . 1t,:lIrall \11111 In'" 'l~ll'"

h' •. 1111.1 l.Ilra llolr.II'1l1 '1 I

rolle lila u ojo ~emkerrad), l' ('O 1l1llt .IC l" \ 1I1t.II'''Pl·I·11" d.,• • f (101m 1Il( I(.-Ir t~1 (. I

"'Istema('¡¡d:l"cifr¡¡" u"'I'II' 'I·"t nt. ( l' 111:11 .....:1 '111t' 1'11 1"'"..... l'pn"wuhe'l . 1puntos y barras. El núm c: ' ,pUl tlll( H(·nlllll,ul'l!.!nllllllll·I"I('"

, 'b ero se ,orma ordenand I 'ro.lTn a. Este sistema, utiliZ:lCllI (l1"i1lC'i ');.Im . o as. Clras de abajo haciaes coherenle en el ~el)tl'd I I ...nlt· ('111 11111" (·nllloll·'I.:II' .... 11"

., tl111lt' ., (('1'<' ' . J. I .discrepanciJ que St.' t''(pl' ~ '.' .'t ni 1I111(,,;1( 11111" -4IU=:!ll .. IIIU ;¡,'ill

1, . I 1(.lrM t'll \ l~t'l el ~ , 11 •o ICIa mava de O",) d' .. t .tqlll· '" 1I11l" 1lil 11' ..t''' ,,1 11\

, .JIU'. las. • 11

~lientms que t:'ste J.blt~tll.1 pc'nllilt' ' 'los códices maV<lS :tl1ó.trfX't'll ,,' , t"plt·...lr 1I111111'n .... lIl1l\ cr:tllll.,.. 1'11

, ' Ullh'IO.. Ijllt' '111' 1 1slntornáti(.'o destacar en .... , " I ' . II r.1lI 11" Uf'l' 1I111lulIl,,1 1"

.... III llll (111t' 'Il''>('nletapa pictnudnC'J. E' "hl " 1If:l IIla\ ,. IIn !l .• '111)4'1";1(111 I• uf't ' ,>; ptlSl t' (lllt' l'l al.h I ~ H'. .1

\'lIlculadas ('On los diose . 1 I I (f ).Ir ('011 pll ... ·"lllll 1.1' li"l·h.l'. . .. (hl nlllm (t' ("uh C'i I I 1

t.'stimul<lra en los lllaV:L'i h 1,' . I I " II( ,l( 11. l' l'ad,l IlItll\ lduo'ó' .' llSqllt'< a e t· 1111 lek ' . 1CI n escnta que resultó do,.J d ' "lll,lt 11 "'''''11''''1' 11111111'''.1'

~o eungr~ode~~~(lue revela su incipil'lllt' c~s(.'rittlra n muy superior al

3. ,Formas y problemas

El contar y el numerar. con ser actividad ' .no agotan el campo del' es COJllunes y frecuentt's,. as nOCIOnes malem'lr . d 11

tivo y conjeturalmente del prehistórico, ' I("as e....1omhre primi-

Por su nombre: geometrí, , .,los conocimientos geOmétriC:s~n ~nego alud~ a medir la tit.'fn"',menos, así Jo atestigua ',1 od uVlcron un on~en pr;\etico, Por lo

H' ,.. . er oto en un conoc'd 'dIslona: El rey de Egipto d' 'd'ó I I o pasaje e su

habitantes, asignando lotes cu~~lr I e sll~lo del p.ús entre susuno de ellos y Oble' d' .dos de Igual extensión a cada

men O sus principal dque cada poseedor pagaba anual ~s re:ursos e las rentasdellole de un habitante é t mente. S. el no arrasaba una'parte

• S e se presentalx1. al rey y le exponía lo

18

ocurrido, a lo cual el rey t"ll\'iaha per~Ollas a examinar y llledir laextensión exacta de la pérdida ~' m;ís adelante la renta e\:iJ!idJ. eraproporcional al lalmu)o reducido del tole, Es en virtud dI.' estapn\ctil'a que. pienso. ('0I11l'nZÓ a ('Onoc'erst' la ~t"flnletria en E)!iptn,

de donde pasó a Grecia".Mas no sólo el hombre midió la tiernl: otras mt:.>di(:iones t.'xi)(ió

la construcción de sus viviendas y tllmhas. de sus W'Ult'«)S y e~Ul;.tlt"s,Por lo d('ln¡ls lluevas llo(:iones J!;COInétric.ls surJ!:ieron de las 1()rl11'L~y fig-ur.ls con qllt' el hombre decoró y ornamentó sus viviendas Y,u~ ohjetos, 'l"¡ tomo de la observación de fonnas que at-rJ.jeron suatt"ndón por ~u st>ncillez o su simetría: la línea CHnea" viene delino). el círculo, los pulí~Ollos y poliedros reJ,!ulares, El ladrillo, UtAantiJ.{ua dala. aporté> prohahlemente la noción dt' ¡'illflulo rrtto.mientras que rrl.leva.'i ti)nmL'i J,!cométrkus na('Í.\ll dI:" los llH)\'illlit'utos: ya de las danz:.L\ humanas, ya <Id andar dI: los .L'itrO'i t'1l la

bóveda celeste.Por último. cabe mencionar olras nociones matemáticas de ori-

gen completumentt' distinto; t~" t'll'Olljunto de prohlemas. enigmas y adivinanzas que componen el folklore matemático quepractican todos los put'hlos. mostrando'l veces curiosas coincidentias de temas en puehlos totalmente alejados explic.\ndost' tal("tlincidencia solamente por trasmisión oral a la manera de st'1l1illasque lleva el viento. tiwOTt"Cida por el c'lfácter reert.'ativo. eni)l;rn:\

tieo y. a veces. sorprendente del problema.Sin embar~o. no obstante tal finalidad exlralllalem<Ítil.l. las

cuestiones del folklore matem:\tico enciermn interesantes llucio

nes de orden aritmético y. a veces. hasta aI~ehr;.lico,

19

---

••

11. LA MATEMÁTICA PREHELÉ lCA

1. Los babilonios

Hasta el primer tercio de este siglo. los conocimientos que seposelan acerca de la matemática de los pueblos que habitaron laMesopotamia: sumenos. acadios. babilonios. asirios ... eran escasos y no revelaban mayor contenido científico.

Sin duda. ya se habia advertido la característica fundamenbd.entonces más bien sorprendente. que ofrecÚlU los sistemas denumeración utilizados en los textos cuneiformes. En efecto. haciael año 3.000 a. C. los sumenos introdujeron un sistema de numeración posicional de base 60, que en definitiva es el sistema sexagesimal que aún utilizamos nosotros para las medidas de tiempo y

angulares.En ese sistema las cifras de 1 a 59 se escnbian de acuerdo cop

un arcaico sistema decimal aditivo. sobre la base de dos signos cuneiformes: uno vertical para la unidad y otro horizontal para ellO.Pero a partir de 60 y para las fracciones el sistema se toma posicional. las potencias sucesivas de 50, en orden creciente o decreciente, se representan por la unidad, y cada conjunto numéricohasta 59 debe computarse 60 veces menor que el anterior.

La ineustencia de un signo para el cero, que no aparecerá hastalos tiempos helenísticos. asl como de un signo que separe la parteentera de la fraccionaria, hace que el sistema no sea coherentepara nosotros. aunque el contexto del problema, y a veces ocasionalmente ciertos signos especiales. impedían al calculista sume

rio caer en equ{vocos.21

Ya desde comienzo~ de esle siglo (1906) se habra revelado elcarácter posicional del sistema sumerio aJ descifrarse textos cunei.formes con tablas de multiplicación, de recíprocos, de cuadra.dos, ... y algunos cálculos; pero fue recientemenle con la labor dedesciframiento que hicieron conocer Neugebauer (1935) vThureau.Dangin (1938) que esta matemática sexagesimaJ muestr; su venia.dera filZ.

Los textos últimamente descifrados pertenecen al período habilónico ~I milenio a. C.) aUllquc registran conocimientos de lossumerios del milenio anterior; la rndole y la solución de las colec.ciones de problemas que aportan esos textos no sólo justific-dll lanecesidad de un sistema de numeración flexible como el posicional, sin el cual aquella solución hubiera sido imposible, sino quea~roJan nueva luz sobre las relaciones entre la matem¡itica prehelénica y la matemática griega. de rnanera que actualmente nocionesy figuras de la matemática antigua adquieren nuevas interpretaciones en la historia de la matemática.

Aunque en algún caso se ha querido ver la expresión de resdasgenerales, los problemas de los lexlos babilónicos son problemasnuméricos particulares, con datos escogidos al efecto. en especialpara que los divisores no contengan sino factores 2, 3 v 5; en mu.chos casos no tienen otra finalidad que el cálculo nu'mérico, enotros se trata de aplicaciones de distinta rndole.

Desde el punto de vista matemático, las novedades m¡ls importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la soluciónaJgebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas. y el conocimientodel llamado "teorema de Pit~goras" y de sus consecuencias nu-méricas. .

En los problemas de primer grado con un\~ola incó¡¡nita l"'itablas de multiplicación o de recíprocos ofrecen de inmediato lasolución; en los sistemas IineaJes. en cambio. a veces con variasincógnitas, ya entra en juego la habilidad algebraica del calcu-lista. (1) _

Tal habilidad se pone de relieve más claramente en los problemas, a veces agrupados en colecciones. que exigen la resolución deecuaciones cuadráticas o reducibles a cuadráticas; resolución queel calculista babilónico lleva a cabo utilizando la actual resolventea veces mediante el recurso de reducir el problema a la determi~

22

nación de dos números de los cuales se conoce el producto y la

suma (o la diferencia). (2)Otros problemas, de inlerés aritmético o al¡¡ebraico. traen la

sum3 de términos en progresión aritmétic-J o en progresión Acométrica de base 2; la suma de los cuadrados de los diez primerosnúmeros mediante una expresión correcta y hasta una ecuaciónexponencial resuelta en fonna aproximada. (3) .

Los problemas que se refieren a aplicaciones geométnc".LS re·velan el conocimiento de la proporcionalidad entre los lados detriángulos semejantes, de las áreas de trián¡¡ulos y trapecios asrcomo de volúmenes de prismas y cilindros; en cambio, para la lon¡(itud de la circunferencia Yel área del círculo se adoptan los valores poco aproximados de dar para la circunferencia el valor de tresdi~metros (valores que se conservan en la Biblia) y para el circuloel triple del cuadrado del radio. También son erróne,,:, las ex~ ________siones del volumen del tronco de cono y de la ptnlm,d e'15asecuadrada y del cono.

Pero, sin duda, el conocimie!!!l'-geométrico más intere~te

que revelan las tablillas e ·del1lamaclo "teorema de Pit~g?ras ,yen especial, o-consecuencia, la ley de formaCIón de los tnple.tes-pitagóricos', es decir, de las temas de núme~os enteros, que. ala par de representar medidas de los lados de tnángulos rec~ngulos, expresan la posibilidad aritmética de descomponer un numerocuadrado en suma de dos cuadrados.

El conocimiento del "teorema de Pitágoras", un milenio lar~o

antes de la existencia de su pretendido autor, se pone de mani·fiesto en distintos problemas cuya solución correcta no podra lograrse sin ese teorema (4) y. en especial, mediante un lexto: elPlimpton 322 (del nombre de la colección que se conserva en laColumbia University) que se hizo conocer en 1945 y q~e presupone el conocimiento de la ley de fonnación de los Inpletespitagóricos-, que aparecerá por primera vez en Occldenle en losElementos de Euclides hacia el 300 a. C. (5)

No es ésta la única conexión entre los datos que aportan lastablillas de los babilonios 'i la clásica matemática griega. Desde elpunto de vista técnico, es más importante señalar la atmósferacomún de álgebra no lineal, de álgebra cuadrática, que preSIdeambos campos; atmósfera que en las tal,liJlas de los bab,lolllos se

23

(a + b)' = i\E; (11 - b)' = FC; ab = U = 1M = "ID = DL.

24

Fig. I

Supongamos ahora que en pos de conJ'eturas" I ald d" 1 fi b e evamos cua-ra o a 19ura y o tenemos el cuadrado de lado AC d

to en cuadrados y rectánf,,\.¡Jos. Así: escompues-

(1 J" (1 JO.2 (ll+b) . - 2 (a-b) -= ab

que los babiloniOS utilizaron en la resolución de sus ecuacionescuadráticas.

Hagamos un paso más y tracemos las diagonales U, 1M, MD,DL de los rectángulos que bordean la figura que no serán sino lashipotenusa c de los triángulos rectángulos de catetos a y b, y portanto el cuadrado LM = DI es el cuadrado construido sobre esahipotenusa. De la figura se deduce una propiedad geométrica que

_ os babilonios parece que no utilizaron, como lo hará en cambiomás tarde iofanto; esa propiedad dice que si al cuadrado de lahipotenusa se le-sum.... se le resta cuatro veces el triángulo seobtiene, en ambos casos, un cuadra<!o, o en símbolos c' :!: 2<Jb == (a ± b)', propiedad que implícitamente ntiene el llamado"teorema de Pitágoras", aunque el teorema pue<ie-obtltnerse directamente utilizando una de sus numerosas "demostracion'es"por descomposición de figuras; as[, por ejemplo, una demostraciónmuy simple, que aparecerá en escritos árabes del s.IX, consiste ensuprimir del cuadrado DI los triángulos LGI e IHM, desplazándolos respectivamente a DCM y LAD; el cuadrado DI se convierte en la figura equivalente LGHMCAL, suma de los cuadradosAG y BM de los catetos.

Como curiosidad agreguemos que el matemático Hamilton delsiglo pasado al reproducir esa demostración sombreó en la figuraUMCAL esos cuatro triángulos, inscribiendo en el pentágonocóncavo LGHMDL una leyenda que parafraseamos: "Como se ve;soya' + b' - llb; si me adoso los dos triángulos compongo el

(a + b) (a - b) = a' - b';

(a+b)' - (a-b)' = 411b

ó

25

y distintas composiciones de esas fib'Uras llevan a las identidades:

(11 + b)' = a' + b' + 2<Jb ; (a - b)' + 2<Jb = a' + ¡r ;

e8oo

L

revela en las ecuaciones al, b .obra, en especial el Libro~~ "leas, y.en los E/ementos en toda la

Ze~them bautizó profétic-a~e~,~: ~eh~~~on~d~r de la m~te~~áticaCasI 90 ailos, cuando ni por asomo '.. ge ra geomét:lca haceque hoy se vi I b pod,a pensarse en la vlllculación

s um ra entre la geornet . . Igebra de los babilonios".· na gnega y a milenaria "ál·

Es posible que mediante esta "ál b . "hacer alguna conjetura ace ,se ra geométrica podamoslos babilonios Sean do .rmldel Origen dl~ los conocimientos de

. s numeros a y b rel'· t d Imentos AB AD (fi 1) . r.sen a os por os sep;·se lleva BC ::. AD I,g· . ,respectivamente; si a continuación de AB

os segmentos AC y DB rán11 + by 11 - b. Introduciendo el ce se .. respectivamente,resulta fácilmente AO = OC = 1;' (ll'~r~)O ;~:~'etrr~ ~e la figura.por tanto, de AB = AO + OB y AD = A6 _ .08 - l' (a - b) y,relaciones entre dos n' . OC se desprenden las

umeros, su semisuma y s 'd"que los babilonios til' u senu uerencia,

U Izaron en sus problemas.

/ f

por supuesto que el calculista nO advirtiÓ l...isteu,·.' de una se~"utlasolución x = 13; U= 14. por euantoeslOS problemas. po"u p<ohahlc "mit-·ter didáctico SOI1 problemas artifiCIales con soIuclooes p"'I"...ad.., d,' ,u,""

mallO y son estas soluciones 1<15 que se buscan YnO ntra.~.

t2l l/u pnJhlt'JlW dt. ,t'l!ljlu/CI j!.rtultl, IIe aquí .'t t'lllllll'hltlll

d,' 1111 \,¡t'1l1

pln típico tnmadu de u"a lahlilla de los hahilo"i,," "Lar~u ~ ;ult'ho t ¡..lllultiplie,K1n lar¡('~ Y,,,,dlll Yhe oh.e"ido el ;\rea. U,, a~n,,,,,,lo al "n'" ,·1,.,cesa dellar~nsohre ~I,llleho: 1ll3, ademá.< 11<' "unado la"'u " aud... ~~Se pide I...¡(o. a"eho y ;ire"". Este prohleuu•. al "1m." ,..~'" y lou~i1",I.·,ahsurdu desde el puulu de vi,'a p"icti«>. revda darau$'ut~'I

ueSI' iu"· ...·'

es exclusivamente "S':I,i'" " ,,,unérico. Con nuestr'" sll"I.,I"s ,,1 prublo-u'.'lleva al sistema do: sc¡(undn ~",do; xy + x - y = 11.1: x + !I = 1~. Yal"" 1''''pueda parecer anacró"".... couviene ,c¡(uir con nuestru, ,¡ml",lu" 1" loa':eha de los ",\\culo

squcsc"ala la tahlilla. I......a 1'0110" d., nu"u¡;~,to 'u (.""",,

ter algehraico. El e,clcolist.. comienza por sumar 1.., ti", <1.llos n,,,n""i''''\83 + 27 = 210; [x(y + 1) = 11llly awelC'1; Ix + y + 1 =:!!JI. L"'Iur<i~''''es el método actual de nuest.... ,esalven.e pa.... ohtener los valures ti" tlu,oúmeros (eo este C'aso xe U+ 11. ' ....nocieudo su sull1a:!!J Ysu pmdu('l" ~ IUEo efecto. toma la mitad de 29: 14 '/. de cuvo euad....

dorcsta 110. uh"··

nie"do '/., cuya raízcoadnlda '/iSU'"' Yresta-a 14 ViOhteniel1d"lob' ~Ion"15 y 14, de este últill10 resta 2, Ije¡!ilndo a la solución d~\ prnhl

rn, ... 1;

12,180. .

A"n'l"e '" ,nareh.. 'I"e ,i~u. ~I ",,"uli,'a n" '" d."" ~ ,Ip,,,·,·,,"·""·""·PIe'U$l"lC un l11ét"d" de lal~I\."ici6n.cn realid...\. 1<<><.,',1<-"1,,, ,.",.".,.,,,,,,," procc>o (orr('('to cn el cm" il11plíei.amente se ha", i""'" ,·"i' ..•11",1", ¡..la sum,l conocida dc hL< inCÓl(nit:15. su diferene.' d,·"",,"·i(\.' , - '1 = ~:En efecto, el calculista comienzaadnlitiendoque las dos parcelas son iguales(a la semisuma 9(0) y con esa hipótcsis falsa llega al valo, errÓneo de la difcrencia de producido: 150 (es decir lIt. = ~3 - ~t de 900). Para cOInpensar e\ error de 350 = 500 - ISO recono':e. sin decirlo. que est error eslos 'l. (suma de ~, y V.) del valor que, sUll1ado Y restado al dato inici.>!erróneo, dará la exteosión de las parcelas. Para obte"er aquel valor debe·rá dividir 350 por '1'_ operaci6n que, por la presencia del factor 7, las Iahlas 00 f:lci\itan; el calculista obvia la cuestión pregunt:lndose simplemen·le por eu:l"to dehe ll1ultiplicar 'l. para obte"er 350: su respuesta es obvia;300, y este dato. sumado y restado a 900, d. los valores de las inc6gnita<.Es fácil ver que, aun CO" uO lenguaje de valores erróneos. la marcha delproceso es la que hoy se se~ióa si se introducen los valores x = 900 +;;U = 900 _ ;, y se C'aleula Z de acueroo con la segunda ecu.ció".

cuadrad d I 1o e a lipotenusa si me su'compongo la suma de los ~lI'ldr' d sldentol sobre los dos tri;lnglll()~.

'1 . • a o~ e os C"ll t "na u tllna conJ"ctu 11' • e os .l. . d ra nos cvana a lo' I . 1a prol"e ad (a + b)' = (ti _ 1»' + 4(/1 s nI' eles pila¡(óricos. D~

pos'clón de un cuadrado en' . d >se puede lIe¡(ar a la desl'Ome~uaci6n pitagórica (;0 h"ls,u~.l e diOS t'uadrados. es decir. ti laX- + .,. .... n.' que hnl' I d. y_ = Z-, sin m;ís que lomar . ' ar a seu Ollila¡(óriea?111I_ y n'. llegándose a las e para a y 1, números cuadrad",.: = m:: + n~ con las 1 xpreslpnes;r = m': - 11':· 1" - ."• eua es h . 'J - ~1II11'ton 322. se a construido la tahla d I PI' .e lmp-

Conjeturas de otra índol .'ca de la finalidad que persi~::;:~enan la~ consideraciones ;lC'e'r·

sorprendente álgebra. Sin duda en s sumenos y I",hilonins con su

baJO los signos que SpranJ\er selialóu~al~;,es la malenHltiC'a nadósem,rreligiosidad", pero en el.\I I C'a , .C'arla de "semijue~ovra t cnica que envuelve • gCh'lrade los bahilonios la ·\tmósl·.,·

á.s . . a sus pro en'" I ' -~n, POSItiVOS, menos místicos Un' ~1S reve a tamhién aspe"lnsIOdole de los problemas co b' ,a II>óteSls verosimil. 'Iue hde I b b'] rrO orana fija a I - ',os a, onios una finalidad ro . os textos malem;ltieossenan considerados indispensabl~~"atlva:su esludio y pr.íctiCi'miento de escribas y funcionarios deen el aprendizaje y adiestr.t-arrollo romerc,'a1 puehlos de 1111 '\\"l"",d I, •• • o ( t's- I

No/as complementaria ----- -

11 ----U" 1Jrobh'lIlfl de IJriula J!rtuJo ' " 'blema de mezcl'15 ,,1 ' l-h aqtll un t'Jl;'mplo d ·11' I. ... n t' qlle acle ás l .po ( .' pro-agrarias de la éJlOC'd. Se ('()I ,lll' ' "it" ~'tili1.an llnid"d~ tlt· IIlt"Cli 'compuesto de dos I luce 1.\ (''(lensI6n lotal 1u;ouf ~ tI.\.'\'ra . paree as. en cada una de las ,~ "" "111'1"

g,,, ) no por umdad de ¡\reJ t'sl'\ ,.1'0,." 01 cuales el rendimiento dcl12 S d ' ..•u...... ;1 o por cot'f '. . .. ' cesta saher la eslcnsi6n dc c da ,CIt nlcs dll,'rcnle, 1~.1 ,.

ela~)del producido de la «>secha ~.'. pal'<",la conociendn la dilú",;.pro lema exi~e la resoluci6n ckl "iiS~Crn~,a~uedrdo.con ntlt'stros 'iímholns t'1• e o.."i m~nilas:

de solución x = 1200: y = 600

26

(3) U" I)roblellUl dI! itltt.'rf.' COIIlII/lest.}. Se lntla cid c:l.i,¡<.'o Prultlt'lll.I11 1= 1" 1111= ,/. ".de la determinación del tiempo en que se dupliC"olllll (,¡t(lit•• 1. ;lUlla d(;"II'r.

11.59.0.115 1.5~ :2....»minada tasa de interés compuesto. En el caso dl' la tahlill:t t's..t ta.....' l"~11.56.56.158.1~.50.6.15 ,'>0.7 :1.12.1 2

del 20 '.f.. dalo que <lla par qu~ pUi"<le interesar a la hi~luriu t"C111l6mi<..t el,'11.55.7.141.15.:l3.~ 1.16.41 I.¡;O.~~ :]

esos pueblos. facilita haslante)¡, solución aritmt"tiC':l. El pmhlt'lll:.l t'~ lr.l'i-11. l5{3. 1~.29.32.,52. 16 :].:II.·I~ .')5).1 ~

cendcn le y exige la solución de la ecuación exponencial J. 2.1e = 2. para lo11.148..54.1.40 l.;') 1.:17 .';

cual el calculista después de comprobar que x está entre 3 y 4 Yml1s pro-11.147.6.4UO .=>. HJ ~.I 6xima a 4 que a 3, determina el incremento 4 - x mediante la proporci~11.143.ll.56.2Jj.2fi.~O :JH.II ¡;~. 1naJidad de Jos incrementos olrc;'CiE.'ndo <Iuiz¡lo¡ el primer t:'jt'lllpln dI' la11.fll.33.59.3.~5 13.19 21JA~ ~

aplicación del Ill¡ts tnrdt, llamado "I1lé'todo de falsa PU!\iC'iÓI1··. Ot' ill'llt~f(ICI11. 138.33.36.36 ~.1 12.~~ ~

('On esa hipótesis. aClu(,1 increlllelll'O t.'stá dado por 1.,1 mdl'lIh~

1.3S.10.2.2Jj.27.~.2Ii.~" 1.22.~ 1 2. 16.1 1111.33.45~ 1.105 11(1.2 1

- 2): 0.2'- 1.2 ;11.29.21 ..54.2.1,5 27 ..5!l ~.~~ 1211. )27.0.3.4.5 7.12.1 ~A~ 1:]que da e1lielllpo de dohl(' c-dpihtlizildón con un ermr 1pCI"III~tt"('lnl inl¡"ricll"1.2.5.48.,5 1.3S.6,.lO ~.:1I "U~ I~

a seis días.11.123.13.46.40 .';6 ,~l I,~

(4) El teoremll de PitÓI!.Urtl.t. \'¡trius problemas dt~ lit'.. tahlill;l..'i: \UIl \:1

nantes de un probl ma frecuenle en el folklore matt'llI.itil'U: el pruhlt'lll;lde la c-.lila, cuya solución exi~e el mnocimiento del tt'nn~lll:l (It, Pil;¡~Ur:LO¡:.Veamos un caso simple: una{';uiaque se apoya en una llilrt-·d df' i~ll:ll ahumque ella se desliza sin caer. CaI('Ular su altunlxronocit'lld'l c'l <1c.'.;liZdlllit'll.to 1I de su lope ':' la distanchl b en que se ha aparl;.tdo t'1 pit' dt' la (,lIiarespecto de la pared. Este problema. que equivaJe a lit ddc'rtninat'ic)ll (11~1radio de un círculo del cual se ronoce una semicuerd.1 y li t1ech.. rt'';I)t-'('tiva, exige la aplicación del teorema de Pitágoras que da por solución x == ~. (a' + b'): a; y son estos cálculos. efectivamente, los que efectúa elcalculista babilonio partiendo de a = 3; b = 9, obteniendo x = 15.

(5) El texto "PlimpIOIl322", (Se reproduce a continuación el texto de 141tablilla en signos modernos, tornada de O. NeugEftllUer, The ExaetSciences in Antiquity. Nueva York, D<wer, 1969, pág. 37.) Se trata de laparte derecha de una tablilla mutilada (Iue comprende cuatro CO)UIlllll:L';: laprimera, 3 partir de la derecha, no contiene sino los nlimeros 1 a 15 par¡¡ordenar las filas; la St.'gUuda y terct:r.t. encabezada.o¡: respectivamenltc" COI1

las palabras "diagonal" (d) y "ancho" (b), contienen números enteros apa.rentemente sin orden alguno. mientras que lacuartacolurnna. enc-.dle'zadupor un ténnillo ininteligible, contiene expresiones fraccionarias. a veceshasta ron siete fr.K:Ciones sexagesunaJes. Descifrada la lablilla. el restlltadofue que las columnas (el) y (b) comprenden los romponentes de tripletes

28

pitagóricos rorrespondientes a la hipotenusa y a un cateto, es decir,d = mi + nI y b = mi - n l , y cuyo otro caleto b:a 2mn, del cual susvalores, que figurarían probablemente en la parte que falla, deben cumplir la condición de no contener sino divisores de 2, 3, S, circunstanciaque explicarla el aparente desorden de las columnas d y b, pues la cuartacolumna contiene los valores numéricos de (dla)!, es decir, con nuestroléxico los valores de sec 2

Q siendo a 1'1 ángulo opuesto a o. Agreguemosque los valores de la cuarta columna decrecen de manera casi lineal, así

como los valores de Q' decrecen bastante uniformemente entre 4SO y 310,)0 que hace suponer que otras tablillas oontendrían los valores correspondientes a Jos otros sectores de 150,

Por ejemplo. en la fila sexta loo v.dures de I~.; tres culumna..; sun t'1l ,,1sistema sexageslmaJ,

ti = 8.1: " = 5.19: (eI/"I' = 1: 47.6.4I.~U.

Es fácil ver que en este c-olSO m = 20, 11 = 9: d - 4H 1; b = 319 r~sult~llldua = 360, que no figura, pero que cumple con la condición de no contenersino factores 2, 3, 5 Y(l"e {l/laF = (481/360)': expresado en el sislemJ .;eX;&

gesimal es precisamente el valor que aparece en la CUlIrta columna. P;mlestos valores O' es aproximadamente 4(}".

29

2. Los egipcios

Comparada con el contenido de las tahlillas de los babilonio,. IJmatem¡\tica de los egipcios result~1 de un nivel muy inferior. llnade las ,causas reside en el sistema de numcrJción adoptadl) por lo'iegipcios: aditivo decimal compuesto de ocho si,:{nos jt"ro).{lllk.o\para indicar la unidad y las primeras siete potencias dt' JO Y <jUt' ('11

el contexto numérico se es~ribíande derecha a izquierda ~~gtíl1 ha)potencias decrecientes.

Con ese sistema. el escriba o calculador e~jr)(:i() rt"alizab.... hi)operaciones aritméticas elementales, con Illhnerm t"nteros n fra(:c~onarios. utilÍ7..1ndo una técnica operatoria. no t'~t'nta de ingellio..sldad. de la cual cabe destacar dos notas camc.:tt'ríslit'as: la multi.plicación por duplicación y el uso casi exclusivo de fnlC'<:iunt"" lIui.tarias. es decir, de numerador la unidad.

El conocimiento de los rnétodos de c\lculo cit· 10:-. t'gip(:iO\ y di'su aplicación en distintos prohlemas proviene cll' alglltllls papife)).no muy numerosos, entre los cuales si~ue siendn m:í.s impnrlilllh'el papiro Rhind (del nombre de su propietario 'Itlt.' lo It'gó al ~lllSt'UBritánico) que data de la época de los hiesos (s. XI IJ a. (:. l. ""nq"~.

como nos lo asegura su autor o compilador, el e~ilx'io Ahl1ws. ""contenido proviene de épocas anteriores. aproximadilmentt~ n,'comienzos del U milenio.

Aunque el papiro declare que contiene '·las reglas para loW-arun conocimiento de todo lo oscuro y de todos los misterios que re.siden en las cosas . .. " es en realidad un manual de artimética.probablemente destinado a la formación de los escribas oficialesque tenlan a su cargo el conocimiento y la práctica de los cálculosque exigfa la típica organización económica de ¡;;"'iedad egipcia. (1)

El interés mayor que ofrece la aritmétiC'd de los egipcios resideen su característico uso y manejo de las fracciones. Si se exceptúa'/3 (y ocasionalmente3/-l). fracción para la cual existía un signoespecial y de la cual, por lo demás, conocían la descomposiciónen 1/2 + 1/6, el calculista egipcio utiliza exclusivamente frdccionesunitarias Y. por tanto, todo cociente o parte de un cociente menorque la unidad debía expresarse como suma de fracciones unitarias,problema indeterminado desde el punto de vista teórico y que los

30

egipcios resolvieron empíricamente, aunque tratando de dar. y iL

veces en forma ingeniosa. la descomposición Illi.\s simple.M uchas de esas descomposiciones eran conocidas de memoria

por el escriba, pero para denominadores no pequeños la cuestiÓnse tornaba dificil, de ahí que sea explicable que el papiro Rhind seabriera con una tabla que facilitaba esa descomposición dandn lamisma para todos los cocientes de dividendo 2 y divisor impardesde 5 hasta 10 l. (2)

El conocimiento aritmético de los egipcios no se limita a lasoperaciones elementales con enteros y fracciones: en los papirosmatemáticos aparecen progresiones aritméticas y ReométriC'.:lS yhasta algún ejemplo de rafz cuadrada. En cuanto a las apliC"dCionesse trata en general de problemas de repartición proporcional O demedidas de capacidad, de superficie o de volumen, así como cuestiones de distinta índole que conducen a problemas de primergrado con una o más incógnitas. (3)

Los conocimientos geométricos de los egipcios son m.ti bienextensos: disponen de reglas exactas para el área de triángulos,rectángulos y trapecios, así como para el volumen de prismas ypirámides. En un ejemplo aparece la determinación de la inclinación del plano oblicuo de una pirámide, aunque entendida máscomo factor de proporcionalidad que medida angular, mientrasque el máximo logro de la geometrla egipcia debe verse en .ladeterminación correcta del volumen del tronco de pirámide debase cuadrada, mediante un cálculo de difícil interpretación. Además se debe al calculista egipcio \lna excelente aproximación parala cuadratura del círculo. (4)


(1) La multiplicación y división e~ipcia.s. P~ulbpliC',lr por du(>IiC'.l~

ción el egipcio escribía en columna «:!Jactor 'mayor y sucesivamente susdobles. mientras que en otra cp1umna a la izquierda ser1aJaba la unid.td ysus dobles. La operación se*s~s(>endía aJllcgar el mayor doble inferior alsegundo factor; el calculista marcaba entonces con un si~'l1o especial losdobles cuya suma componían este segundo faclor y sumaba los t nllino~

31

/

/1 3412 684 136

18 272/16 54427 918

co~respondientes de I;¡ primero) columna. Esa SUIl1¡t c) el resultado. A la izqUierda puede verse el produclo,34 x Xl = 918.

Para abrev.iar la operación en al1{unos casos se Illultiplico!b.. pur lO \' a~:ece~ este ll1uhiplo se dividía por 2 (,'011 Jo cuajo en la columna de' laIzquierda, además de dobles. dparccían los números JI) v.5. (11It' había '¡lit'tomar en cuenta en el cülculo el I sef!undo factor. .

Para dividir procedhn COIllO en l· n 11· 1··6 ·d d• • < .11 U IJ> lcael II CUUSI cran o la di\'i.slón c:omo una multiplicación dt." producto y un factor conociclos. Di\'idirpor ejemplo 1. 120 por 80 es UII<I multiplicación "comenzando con 00", Al..

1 80/10 800

2 160/4 320

14 U20

izquierda esh.\ incliC'dClo el c.Uculo que se ha facilitado comenzando purtomar el décuplo del divisor. Como en este caso, de )a columllll de laderecha se obtiene la suma 1.120. el resultado es de una división exaCt''''1.120 : SO = 14.

¿Pero qué hubiera ocurrido si en lugar de 1. 120 el divi<lendo huhier...sido 1. ISO? Con nuestro léxico. de los cálculos anteriores huhiéramn~d~u~idoqueel cociente entero t:S 14 yel resto es 30, ¡>ero en las divisionesegll>clas no hay resto: el cociente es siempre exacto.~~l lo cual en estec~o se hubiera acudido a las fracciones y Proscbruido la operación in trodu.clendo en la columna de la izquierda las frnccianes 1/1. 1/... 1/,.. V con loscorrespondientes vaJares 'lO, 20. 10. se habrfa llegado a la sUII~a exacta1.150 y ale..'OCiente eX¡lcto 14 1/4 l/H.

(2) Las fracciones wlitarias. El ejemplo anterior, donde los valores~modos 80 y 30, del divisory el resto. facilitaron sobremancnllas operaciones. no es un ejemplo adecutido ¡>ara mostrar los cálculos CWpcios confracciones unitarias. ya para oonstruir la tabla de los cocientes 2 : n. ya parautiJizar sus datos. _

32

Así seilala Van der \Vaerdcn la marcha del proceso en l., lIhtl'neiólI dt:1cocit:nte 2/31 = I/'!/) 1/1204 I/lM. El ealculbta ha utilizado la fr.K.'Ci6n auxiliar I/'MI

reconociendo que 31/'111 = 1 1/2 I/fIJ, Conociendo adem.ls la de)COlllpo~ici(1I1

1/4 = 11r. 1/'IfJ y que evidentemente 2 = 1 1/2 11. y... medi.tntc un proct.'SO de..'"completar la unidad" lIe~.u a la descomposición 2 = I 1/1 1/00 I/~ '/~ Yeurno 1/4 lIs = 31 (11t~ l/ lM) se IICflP a la descomposición de la tahla.

Supon~mosque haya que dividir 11 por 23. El calculista proc't.-dcriaase: 11/'1:3 = l/U 10,23 = 1/'l1S-'llrn: acudiría a L-t. tabla que descompone 7t23

= IlIt 1/276. Y)~uiria"/t:J = 1h.15f1! !Sf'l1tl = 1/1.3 1/12 11Z16 1/:'1 1/81

sin necesidad de vulver a la tabla. y el resultado serfa1~23 = I/J I/I! I/'&.) I/r» 11m.

1 ~, Y3lJ12 1 y, YI>4 2 ~, V,o V3lJ

18 5 y, y, y"10 6 ~, y, ~" - 7

Consideremos por llhimo el problema de dividir 7 panes entre 10 personas. Sin explicación alguna el papiro da el resultado: "IJ II:JO Yse dispone ...comprobarlo mediante la multiplicación de ese dato por 10 tal como se veen la izquierda. Al multiplicar por 4 aparece el cociente 2, 15que lambladacomo l/lO 1/30. En este caso no hubo que acudir más a la bbla.

(3) Problemas de primer grtulo. He aqu( un 1)31" de problemas deprimer grado resueltos por los egipcios. Una cantidad y su séptima partedan 19. Para resolverlo, el calculista toma sucesivamente 7 más l. esdecir. 8. Divide 19 por 8 obteniendo 2 I/~ 1/8 Y este resultado lo multiplicoJ.por 7, obteniendo 16 1/t I/I!. que es la C'J.ntidad buscada. comprob:1ndolo al

agregarle 2 V, 'lo y obtener 19. .Menos simple es el problema de dividir 100 panes entre CIOCO personas

siguiendo una progresión aritmética (serian de distintas ciases sociales~. demanera que la parte de las dos últimas sea 1/7 de las partes de las tres pnmerJ.$, Aquí escuetamente el lXlpiro dice: 'Toma como diferencia 5 '/1, dedonde 23. 17 1/2 • L2, 6 1/2, l. Aumenta esos números en la proporción 1"fa yobtendrás las partes que corresponden a cada persona". Y la solución es

correcta.En efecto. el número 5 lIt es la raz611 entre la diferencia de 1a pffi$,.rre-

sión )' la parte de la última persona, que puede deducirse de los dato:. del

33

/

34

prol1lema, pues las dos ,i!timas . .un¡} diJerencía mientras u I per~on~ reciben dos de c.\as p.lrtes m.l,más 9 diferencias <llIC ha,q, dee .'\S tres .!IIa1~ujentes r('("i!len .1 de t..'''l\ p.trtt.sd • ser equlv' entes '1 14 . I 7 1"'"e ahí la razÓn 11/2 es doc,"," 5" "'d "" d .. par es lo' (1 crt'n('I;L-;.

• . ¡i.n. Il1lhen oquela 'Itisuma, de acuerdo COll la diferencia 5'12 daña 60 . tl. mil p.lrh~ 1',' I p.lIllael problema; de ahí Ll lihirna arl i l. . p:mes y /lO J()()C'OIllOC'(I){t'

anteriores en la proporción de~ I~ e ~ ~.lucI6n al ele,,;., 10-; \,;¡Inrt'\

a . es t."('lf. en 1:, propor(.'i~u dl':1 a.:;.

4) La Clwl/ralllra del drt:lI/n. l.a rew' d 1 J ". .ner el área del cír ulo co 1" t d a e C;,l eu Ista l',..... 'X·IU Il'tnl oIHt~lente al círculo el d','· t' SIS cena optarcol1loladodelcUlldrddof'(lllh.t_

'.une ro menos un nOve 10di' Ipara nuestro 1T el valor 256/81 = 3 lro I e IllI!onlU. u (¡lit" "IiJ,!nilk;1

errar relativo por exceso d 06% E l ... bastante ~prn'(im<ld() con unobservemos que si hoy dese

e¡ .' . n ('U<lnto aJ on~ell dl' est<l rt·"d,¡

. • mrnos conocer cIU~ fi 'ó lid"la forma 1 _ 1/ d be mCCl n ( t' "hnl>lm. dt>ti e lom.lrse para obtener ell d d I d

lente encontraríamos p.ml IJ el valor 87 ,.~. o e (,tl:1 , ..do ("(fui, ...que cabe sos har ti .,.. •. " laS.ante pm'(ll1ln aY. dt' ahitanteos con r'::· q e .'OS.~II)CIOS ohtuvienm Sil rl'1!la opl~r.lIIdu pUf

Iones tlllItanas y oomplCIllt'ntos a la unidad.

111. LA MATEMÁTICA HELÉNICA

1. Los griegos

Un largo milenio transcurre entre la época pe las tablillas cuneiformes y de los papiros egipcios que hemos reseñado, y la época de larevolución intelectual que tendrá por teatro el mundo griego delMediterráneo oriental; revolución que significó el advenimientodel sabio y de un saber cada vez más consciente de su propiamisión y de la responsabilidad que le impone la exigencia d~ W

comprobación o de su verif'iC'dCión.Al hacerse referencia al nacimiento de este nuevo tipo de sa·

ber: la ciencia, suele aún hablarse de "milagro griego", expresiónque encierra la idea de un surgimiento de la ciencia, del arte yde lafilosoffa como de la nada, por generación espontánea.

Mas hoy, al respecto, y en especial para la matemMica, cabeser cauteloso. Por lo pronto, la ciencia prehistórica ha puesto derelieve el largo camino recorrido por el hombre en la senda delsaber hasta llegar a los umbrales de la ciencia. Por su parte, ya noes posible dejar de considerar que el "milagro griego" tuvo comoantecedente el saber que desarrollaron los países orientales, enespecial Egipto y la Mesopotamia" La misma tradición griega atestigua la importancia que los primeros griegos atribuían a ese saber I

y es significativo que, según tal tradición, grandes sabios y filósofosdel período helénico habían estado en Oriente, en especial enEgipto, frecuentando los sacerdotes de esa región"

Otro factor Que ha contribuido a mantener la creencia en el"milagro griego" proviene de las características del período inmediato anterior al advenimiento de la ciencia griega, allá hacia el

35

/

siglo VI a. C. En efecto. el medio milenio anterior a este si~lo esuna de las épocas m,is oscuras e inciertas de la historia del Mediterráneo, aunque tal oscuridad no proviene de causas intrínsecas.sino del hecho de tratarse de una época de movimientos de pueblos y de la aparición de las armas de hierro que aportaron unpoder destructor desconocido hasta entonces; movimiento y del!!.trucción que han contribuido a silenciar ecos y documentos quepodrían informarnos acerca de los orígenes de la ciencia en Grecia.

Por lo demás. en este período, Crecia mantuvo relacionescomerciales y bélicas con los pueblos del Cercano y MediO-Oriente, y si bien es cierto que los griegos no supieron leer las jero~lí.

ncos egipcios ni los signos cuneiformes, el hecho de desconocer elidioma no significa ignorar totalmente sus bienes culturales V lasconexiones que actualmente se advierten entre la matel~¡iticagriega y la antigua matemática de los babilonios. como consecuencia de las tablillas descifradas en este siglo, comprobarran tal afirmación.

Una última observación, de carácter más bien paradójico.reafirma la cautela con la cual deben tomarse las informacionesrelativas a la antigua matemática griega. En efecto. mientras hoya 30 ó 40 siglos de distancia. COnservamos en las tablillas cuneiformes y en los papiros egipcios documentos originales o copii.ls fielesde las contribuciones matemáticas de los antib'\los pueblos orientales, nada de eso ocurre con los griegos; a pesar de ser mucho m¡Úirecientes, pues de las no muy numerosas producciones matem.Uicas que han sobrevivido hasta hoy, sólo disponemos de <'Opias ycompilaciones tardías a veces posteriores en varios siglos, cuandono meras traducciones.

Esto es particularmente cierto para la matem1tica del perrodohelénico (siglos VI a IV a. C. l, ya que de los escritores anteriores aEuclides no se conoce sino el fragmento, relativo a las "lúnulas" deHip6crates, de la "historia de la matemática" de Eudemo de Rodas. que, a su vez, se conoce mediante una reproducción no muyfiel, aparecida en un comentario aristotélico de Simplicio del s_ VI,

es decir, de un milenio después.De alir que la historia de la matemática del perrodo helénico

haya sido reconstruida sobre la base de fuentes indirectas, informaciones dispersas en autores de la época posteriores )', en espe·

36

cial, en los escritos de comentaristas del último perío~o d~ 10.,. . . ga entre los <Iue cabe destacar el resumen hlStónco.CienCia gne , ..

que apart.'ce en Los comentarios ullibro 1 (le l~ Eleme'~~o~, (/1'Euclides de Proclo; probablemente fundado tamb,én en la histo-ria" de Eudemo. (1) ~ ,

En este resumen, aliado de fib'llras conocidas de la filnsoha yde la dencia griegas, ap..U"ecen nombres de los cuales .se tienenescasas o ninguna noticia, Faltan. en cambio. nombres un~rlall

tes como el de Demócrito de Abdera, omisión que s~ expllC"d envista de )a tendencia neoplatónica de Proclo. contrana a la..'\ concepciones fil0SÓflC'olS de oemócrito_ Pero, salvadas esta y otms lagunas, ese resumen histórico señala en líneas generales el p~oce"lnseguido por la matem,\tica ~riega durante el periodo helélllco.


( 1) El reSUIlU'Il Ili...,,'wkt. tI(· Pr"du. Cuen~ Pml.'lo t'l~ h~ 't'1t11Iltl,1 ll<ut·del Pról~o ¡L sus COlIIl'lItfll"if},t: •• , •. lllUch~s autnre"l ,lIIlnn~l:lll 4111l', \I~~Kipcios fueron los inn.'lltort;'lI de.' la ~('O.nctna. (IUf:" ll:.\CIÓ dt' la llu""t;;(,I.1 ~ t

los call1~s. net'esaria dehidl) 11 hL' crecidas del Nilu 'Iue hornll);,IIl~, IImlt·

I 'ed' des Por lo dt'I1l'ls no ha de ;lSOmhroU" (111t' haya suIn 1111,1~ntre aspropl a, ' • _ " ,e:tic'encia pr.\ctiC'd h, deleOllinanle de la invención de t"Si.I ~lt·nt'I:l. pllt·"I

. ,.. 'ó oced" d' lo illlpcrlrt·tn '1 In lwrlodo lo que está. sujeto a 1" ~em:r.lC1 n pr ~ l:' • .• Itecta. v que es nalural que se produzco.l una tr,UlsiciólI de .la st"Il-':'U.:~4~1: ;~

razon¡miento y de éste a la illtt'li~ellcia. De maner:' (llIt'~" rollln lu)'; ~t II:~. d b'd ,.1 interC'oUllhio v transacciones COIUt"rclalt,s. hlt'n)11 11), pnlll\

CIOS. e I oal, I . , ~

ros en tener un conocimiento C'dhal de los números. pur a nt7.J)1l lIIt'uc.:n

nada los egipcms inventaron la J!t.'Ol1letrla. . '_. E ripto fue el primero qlle introduJu t.. It"iJrlil t'lITaJes. que estuvo en)t . _., •

G " él mismo realizó varios des<.,'ubrimienlos y enC'd.I1lIllÓ a !1m MK"t"tC;

re:e:::'ia sus principios; ll1Kuna.'\ cuestiones las resolvió de um' mUller~ In;l'

~eneral' Otn.lS de una manerJ. nuls intuitiva. Despué-s de é'1 se lllem:lllm~ ¡¡

MaJller~, he~nano del poeta Estesicoro,q~ese inl~resó por la j.tffillletna,

a la cual debió su fama. SeJ.,.'Ún cuenta l-hptaS de Elts, .Los siguió Pit.\J{oms quien transfomlÓ el estudiodt' la ~eolllt'trl:t~~I u~a

enseñanza liberal, remOnhi!,dose a los principios ~enemles.y ~I\I ;: l:;los teoremas abstract¡unente y con la intellKencla punA; St' le ue . '

-, la t ·Ó) de las fi·,ur.l.'l CÓSlll'-descub.'imiento de los irr.lciomues y . consruCCI I ...

3'1

O.' "

caso ~. I.is tarde Aua:dgoms de lazomene se ocupó d . d· ,. .ét . e I~ lIlt'.b cuesllullt"S¡(CObonl ncas ~sí como Enópides de Quíos.•d",o fllll__ jo\,en que Anax;¡Aor'l\'am s mencionados por PI tó 11· l" ..M'is . el r. J n en IViI es C0ll10 lamosos rnatem.iticus.

• tar e. IUcron célebres en J.{eomctrla H ip6crates de r) '. db '6 l· . d el el . 'o: litas que CS('u·~ n ~ cU,a ra ura e las lunula... y Tl,'odoro de Cirene: 1-1 ipócrat(~s adt'Ill,l\ue e pnmero <luC compuso Ehmumtos.

. Platón, que I~s si~e. dioa 1aJ.{t.'Ometría. colnoa 100.1 la matt'm.itic.'l. 1111

II11 P¡udlso erxtraordmano mediante el wan interés (1 II E." c1t'mostm l'Xlr ell', el·'

eu" an le su . '1 Id'·'" s esen, os rep cto~ e consideraciones malcm;i!ic:'.'s. que t'1I

~odo II~omentodespiertan ht admirJción h.\cia esol ciencia de ;Ulllt'llos (IUt'se oonsagr.ln a la filosofía.

T Almisrno período pertellt.--et.~n Leodamas de T~L'ro. Anlllit.L'l de Tan~nt;.y o eet~to de Atenas. que ;UllnClIl;tron el nlllnero dt, It'on'm;l__ clt' j.tffimt'tna, IIl1entms le daban unJ forl1lJ m.is cientíllca A I •.._~I""las ·uI"d' I d- , I . ......AJ. ~1,..1It.' t'OC I es y e ISClpU o de éste: u."Ón. que acrecieron l'I ~aher ~eomtttrico cIt'manera que León 1> do . ". -(vaJ I I o. u esen )Ir unos f. enU.'IItos. lIluy superiores por d. o.r) e nUIll~ro.de sus dcmostm('ioll~. León .tdenú.. d('scuhrió 1.1.... di~~

tmClones que lne!lcan si un prohlemót puede resolverst' ti no,E ¡lgO~n:is j~vel1 ql~e u..'Ón. y comp:ulero de los dis<'Íplllns d(· Plat6ll. lOS

u oxo e nido. qUIt"1I aUlnentó el Illlmerode los teorel1l~L'l tlt.'Ol11tttri 'agregó tres nuc . . l. ,.. cus.I . Va.) proporciones a "tS tres .1Ilt'lKuas. r Ilwdiomle l'I an.\lishliZO, progresar lo que Platón h;thía emprendido rt.'sllC(.'to d~ la st"C'Ción~mtlclas de J-Ie~aclea. discípulo de Platón. y Menet·ll1o. di"{'ípulo d~Eudoxo. como '11I.embro del círculo de Plalón. y su hermano Dinostr.ttor:erfccclonaron aun más la ~eometria en su conjunlo. Teudio dt.' ~1aJ.{llt.'Siagozó de gran renombre tanto en mat~rm\tica cuanto cn otn¡ doctri 1" 1'1 •~ófi~a, pues coordinó Ele".mlO.' y ~eneraJiz6 muchas "'"., P."tic~,i,;;.~ mel~te Ateneo de Claro. de la misma é(>OC'd. se hiw célehre coml)

matem. ~Iro Y, en ~speci:.J como ~eómetnt. Todos ellos se cons..rre~<Ihall en laAcademia e IIlslttuyeron en collllin sus investi~ciones. I-Iennotirno deColofón des~lI.ó lo que habían encontrado EudoxoyTeeteto. de"ClIhriómuchas prolX>Slclones relativas a los Eleme,uos y se t'lI"upó de lo' Lfil" d M d d' . ~-- s uf.!lIrt'Jf.

l~.e CI~ e., Iscfpl,llode PIalón e iniciado por éste en la matem;\tica.realiZÓ In~'estlg."lCI,Ones slS{Uicndo las indicaciones de su Illaestro. aunquese I~ropuso t~n~lén todas aquellas cuestiones que seJ.{ún su entenderpodlan contnbUlr al desarrollo de la filosofía de Plató,) E· h· t· .,'1" . !iasaesc~

111 Ilinos (Iue s~ han ocupado los historiadores que tralaron el dcs;\Trolloda geometría. 4.'

Este últi.mo párr~fo se refiere evidentemenle a Eudcmo. IlUf<S el A{-'Ómetra que sigue es Euclides, que cs posterior a ElIderno.

38

2. Tales

L.'\ matemática griega comienza con el mismo nombre con que seinicia la filosofía griega: Tales de ~lilelo. uno de los "siete sabios deGrecia", primero a quien se dio ese nombre, no ya por su ~énero

de vida y sus preceptos con referencia a la conducta moral. sino porel hecho de estudiar los secrelos de la naturale"" y hacer conocer

sus investigaciones.En efecto, Tales, como sus conciudadanos más jóvenes: Anaxi

mandro y Anaxímenes, fue un fiJósofo de la naturaleza, un "fisiólogo" que por sus observaciones empíricas sobre los seres, sobre lascosas y sobre los fenómenos. en especial meteorológicos, lIe¡(ó a IIconcepción de estar todo el Universo sometido a un proceso, a unatransformación continua. como si algo viviente lo habitase ("Iodoestá lleno de dioses"), proceso y transformación cuyo orillen. causay devenir busca ("el agua es el principio de todas las cosas. puestodo proviene del agua y todo se reduce a ella").

Como en todos los casos de los pensadores antiguos, no sedispone de Tales sino de escasas referencias debidas a comentaristas muy posteriores, pero cabe destacar que es el único entre losfilósofos de Mileto a quien se atribuyen conocimientos científicosen sentido estriclo: ya astronómicos, ya matemáticos.

Asf. se le atribuye la predicción de un eclipse de sol que. segúnlos astrónomos modernos. fue el del 28 de mayo de 585 a. C. (f""haesta última que, aun convencional, puede servir para fijar el nacimiento de la ciencia griega), eclipse que reviste un singular interéshistórico. pues ocurrió cuando medas y lidios estaban por entraren batalla. que el fenómeno celeste detuvo, y facilitó gestiones de

paz.Actualmente se duda de tal predicción por parte de Tales. en

vista de la propia concepción cosmológica que se le atribuye. Ydelos conocimientos teóricos que exige, salvo que estuviera en pose·sión de reglas de los antigups babilonios, lo que no es muy verosfmil. Más verosimil resulta suponer que la predicción del eclipseno fue sino una atribución gratuita, consecuencia de la fama y dela popularidad a1can""das por Tales en su condición de sabio.

Algo semejante podrfa decirse coo respecto·a las contribuciones malemáticas, o mejor geométricas. que se atribuyen a Tales y

39

/

que consisten en aJ~'tlOas propiedades teóricas y en un par deproblemas prácticos, (1) cuyo interés reside esencialmente enque tanto unas cuanto otros se refieren a propiedades generaJes derectas, i¡,'ualdadesentreángulos, ysemejanzas de figuras. es decir,propiedades cuya índole las distingue del conocimiento empíricode los egipcios, con el cual directa o indirectamente Tales pudoentrar en contacto.

También aquí, como en el caso de la prcdit'Ción del eclipse. laatribución de conocimientos geométricos teóricos puede fundarseen la fama de laque Tales gozó en vida yque. sin duda. se trasmitiódeformada a las generaciones posteriores. Mas también puededársele un sentido distinto. vinculado con la revolución intelectualque se estaba produciendo en el mundo gri~o en tiempos deTaJes: el nacimiento de un nuevo saber.

La nola esencial de ese nuevo saber fue su acentuado cadcterdiscursivo, su tónic-a racional, que en sus comienzos se manifestómeramente en los intentos de explicación de los fenómenos natu.rales sin acudir a causas extranaturales, pero que pronto adquirióuna sólida consistencia y logró conquistas perdurables en la ramamás fecunda y más dócil a los dictados de la razón: en la matemática, mediante la demostración rigurosa de sus propiedades, tra.duc'Ción en su campo de la explicación de los fenómenos naturales.y si Tales, el "primero entre los siete sabios", había sido también elprimero. cronológicamente. en poner de manifiesto las exigenciasde la razón en el C'dm¡", de la naturaleza mediante la "explicaciónracional de sus fenómenos", ¿por qué no dotarlo de igual C'apacidad en el campo matemático, atribuyéndole el invento de la "demostración", en vista de la similitud de los fundamentos de ambosprocesos? Sean o no exagerados Jos méritos qU2,las generacionesfuturas asignaron a Tales. es indudable que termina con él unaetapa en la marcha del saber: la etapa precientifica, para iniciarseel período del saber crítico, objetivo, científico.

Varios factores contribuyeron al advenimiento de esta especialconcienciacienUfica que ante todo significó una liberación, aún nototal, de la maraña de elementos extracientíficos que envolvían alsaber oriental. Por un lado, el carácter del pueblo griego, pueblode legisladores y de coloniz.,dores que, en contacto con pueblosorientales de larga tradición cultural, heredaron de ellos lo que

40

ofrecían más objetivo: el saber. Ese pueblo disponía ademi-. de unidioma que una estupenda tradición literaria, casi familiar. h~Lhíi.l

tornado bastante flexible como para permitirle lanzarse a nuevasaventuras. Si en esa tm.dición fi~urJba un poeta épic:o como Homero, también incluía un poeta m•.\s did.íctioo como Hesíodo y.por tanto. m¡\s afín con el saber.

También pudo haber contribuido al movimiento de libemciónla índole especial de la relil':ión ¡(riel':". con su antropomorfismo y lavinculación de sus mitos. dioses y cultos con fenómenos naturales.así como los jue~os olímpicos, que se inician en el si~loVIII il. C..en los que lo colectivo, representado por sus facetas reli~iosa.s ynacionaJes, se combina con lo individual, encamado en el reconocimiento de los propios méritos y en la libertad y valores personales.

Por último, C'dbe acentuar el C',IJ'¡\cter especial de la cuna delnuevo saber: la ciudad de Mileto, nudo de rutas comerciales y floreciente mercado, ubicada en las costas de una región como el AsiaMenor, rica en razas y culturas diferentes; factores todos que per·mitieron a los milesios Ixmerse en contacto con pueblos y prohlemas diversos que estimularon su actividad intelectual.


(l) Ltu colltribuciones J.!.eol1l~'ricaf de Tr,le$. St>J(IIIl conshuK'i'L" llf~.

teriores, se atribuyó a Tales la demostn.ción de los sif(uientes I~rt.'ma.":

Todo diámetro biseca a la circUlúerencia. Los án~ulos en la I~ dt" 1111

triángulo isósceles son iguales. ÁnKulos opuestos por el v~rtice son i","uaJt~".

Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos; y la rt'soluci 1\

de los problemas: Detemlinar ladistancia de una nave al puerto. Determinar la altura de una pirámide conociendo la somlml que proyectil: problemas cuya solución exigió a su vez el conocimiento de la i~lIa1dad de duJotriángulos que tienen dos lados yel ánf(ulo comprendido respectivamenteiguales, y la proporcionalidad de los lados hOl1lól~os de dos triánKulo,semejantes.

Hespecto de esta última propiedad C'J.l>e rerordar que en papiros eJ.!ip·cios y en tablillas euneifonnes se encuentran aplicaciones numéricas de laspropiedades de los triángulos semejantes, pero tales aplicaciones JlrüctiC'.&S

41

/

r

110 presuponen el conocimienlo previo de la dt'I1loslraci6n 11.'Óric.¡ d~ ... 11.L....De ahí que de atribuir .tll!:lma contribución oriJ,tinal de T.¡)t:'!'I al n:s(Xx'to.debería referir~e a la deducción racional de e~as propie<l;lde~.pero mld'l cI...eso apilrt.:ce en las referencias disponibles. donde ¡¡ lo sumo se in.dk'l t.1ln~todo utili.zado. por ejemplo. midiendo IUMlmhr.1 proYl.X'lada pM la pidoITIlde en el lIlstante en que la propia sornhm del operador er•• i}.tu .•1 ¡¡ l.."hura de su cuerpo. Pero aun t'n t.'stl' caso. fundado ..uhrt' un método d.,colnprobación inluiti,·a. nada prueha que Tales hay•• dt'rnostrado d t(-"()n"ma que, con frecuenciJ.. Ilevil su IlQlllhre en los tt'xto.. elemenhlle<; de ~t't).

metTía. pero cuya primera demostración. nada fikil. ap'lrt'<''t· t'n t'11.ihrn VIde los EIt".lIenlos de Euclides.

Al respecto de esta inconsi...tenci:a histórira C.lht.· eH..r la fdiz "hnuladt>"del rnatem:itioo Félix Klein. quien recordaba (Iue si un tt:.t)remalle\.a t'Inombre de un matem¡Hico. es se}.turo flue este matel1l;itiro ll() t.'S 'in in"t'Il.toro Tall.'Osa· ocurre prccisanH'nte con el ~tffirema dt' Tales" y. pm'CIt'aSQ"cgarsc, con el "teorema de Pit:\~Or:.lS": el "hinolllio <It.' Nrwtnn". t'1..tTj¡\n~ulo de Pasc-..J" ...

3. Los pitagóricos

Eljuegode la razón y la rndole del ente primordial capaz de en~en

drar todas las cosas, son los fundamentos que caracteri7.an a lascorrientes filosóficas que alimentan el pensamiento helénico.

En cierto sentido diríase que la geografía influyó en esas corrientes. Mientras que de las colonias de Asia Menor provienenlos "fisiólogos" con su acentuada tendencia hacia "la naturalezade las cosas", fincada en entes de consistencia natural: agua, aire,fuego ... ; de las colonias itálicas provendrá u~ corriente m,lsmística con un ente primordial de naturaleza ambivalente, comohabitante de dos mundos: del mundo de la razón y del mundo dO'las cosas. Ese nuevo ente fue el número y sus artífices fueron lospitagóricos o i~1Iicos.

Si las figuras de los fisiólogos son legendarias, también lo es yquizá con mayor razÓn la de Pitágoras, filósofo que habrra vivido alo largo de gran parte del siglo VI a. C. y cuya vida y doctrinas hansido deformadas por la atmósfera mística que las envolvió, contri·buyendo sin duda a esa deformación la imposición del secreto y del

42

silencio místicos que regían en Ja escuela que había fundado Pit.í·goras, en especial, en lo referente a los conocimientos.

Pití1goras y su escuela pertenecen por ig:uaJ a la ciencia y a 1..filosofía, a la mfstica y a la polítjca: pues Pitágoras no fue sólo unfilósofo, sino tambi~n un sacerdote de ritos ar<."J.ic.'Os y h'L\la un po.lítico. pues fueron las luchas polítiC'.lS de mediado, dd ,i~l" \' a. C.las que provocaron la destrucción de la escuela fundada por Pit,i~oras en Crotona (Italia) y la emigración de los pitagóricos y de susdoctrinas a la metrópoli, donde hada esa é¡>OC"J. comenzaron ¡t

difundirse. .o es fí1cil reconstruir el camino que delll1ist!~ismopihlJ'óricl)

condujo a las verdades matemátiC'dS. Se ha querido ver una influencia del orfismo y del poder especial que ese mito otorj(aha a lamúsica, así como a la vinculación existente entre la armonía musical y la armonfa reflejada en los números, vinculación fortalecidapor el descubrimiepto que se atribuye a Pit¡lgoras de la relaciónsimple entre las longitudes de las cuerdas de la lira y los acordes delos sonidos emitidos por sus vibraciones. En efecto, cuando la longitud de la cuerda se reducía a la mitad, es decir, en la relación 1:2.se obtenía la octava; si en cambio las relaciones eran 3:4 Ó 2:3 seobtenían, respectivamente. la cuarta y la quinta. Si se aA:reAa queen estas relaciones simples aparecen los cuatro primeros díJ'itos1, 2, 3, 4, que a su vez dispuestos en forma de pila dibujaban eltriángulo equilátero; y que su suma era la, número místico conpropiedades geométricas (por ejemplo, el número de caras yaristas del tetraedro), etcétera. se explica CÓmo esta combinación desonidos, números y figuras convirtió al número en "esencia detodas las cosas oo.

Aristóteles, que prefiere hablar de pitagóricos, no de Pitá~n

ras, expone de esta manera esa conclusión: "Los así llamados pitagóricos. habiéndose aplic..do a la matemática fueron los primerosen hacerla progresar, y nutridos de ella creyeron que su principiofuera el de todas las cosas. Ya que los números por su naturalezason los primeros que se presentan en ella. les p;ueció observar enlos números semejanzas con los seres ycon los fenómenos, muchomás que en el fuego, o en la tierra o en el agua (por ejemplo. taldeterminación de los números les parecía que era la justicia, talotra el alma O la razón, aquella otra la oportunidad y, por así decir,

43

anáJogamente toda otra cosa), y como también veían en los nlllneros las determinaciones y las pro(>orciones de las armonías y como.por otra parte. les parecfa que toda la naturaleza estaba por lodemás hecha a imagen de los números, y que los números son losprimeros en la naturale"L.a. supusieron que los elementos de losnllmeros fuesen los elementos de todos los seres y que el universoentero fuese armonía y número, Y todas las concordancias qUl'podían demostrar en los números y en las armonías con las condiciones y partes del universo y con su ordenación total. lasrecogieron y coordinaron",

Es posible que un primer resultado de tal coordinación y ordenación, fuera el advenimiento de la matemátic-J. como ciencia. a lasombra de tal concepción metaffsica y aliado de tal mistica de losnúmeros. Por lo menos esto es lo que se deduciría de la frase deProclo al afirmar que Pitágoras "transfonnó el estudio de la ¡>;eometría en una enseñanza liberal remontándose a los principiosgenerales y estudiando los teoremas abstractamente y con la inteligencia pura ... " De ser asl. seria mérito de Pitá¡>;oras o de los pitagóricos el de haber convertido el conjunto de los conocimientosmatemáticos en una estructura racional deductiva. con la introducción de la demost.ración como recurso característico de la matemática como ciencia,

En cuanto al trJ,tamiento de esla disciplina en la escuela pitagórica, se dispone de algunos datos, aunque por comentaristas tar·dIos como San Hipólito del siglo 111. quien refiere que en la sectapitagórica los adeptos se distinguían en novicios y en iniciados, Losprimeros sólo podlan escuchar y callar (exotéricos o acústicos),mientras que los segundos (esotéricos o matemáticos) ,xxllan hablar y expresar lo que pensaban acerca de las cuestiones cientfficasde las que se ocupaba la escuela. De ahl que sea Mobable que sedeba a los pitagóricos el nombre de la nueva ciencia: matemática(de rnathemata =ciencias) que significa algo que puede aprenderse. Tambi n informa San Hipólito acerca de su contenido al decirque los pitagóricos mezclaban astronomía y geometría, aritméticay música. Proclo. un par de siglos después. es más explfcito alexpresar que los pitagóricos distinguían en la matemática cuatroramas: la aritmética (de aritmein = contar) que consideraba alnúmero en sí, debiéndose entender por nlllnero. entre los grie·

44

gas. ~uestros nú~eros enteros y &accionarios positivos; (1) la geometna, que conSideraba la cantidad ya no discreta sino continuapero ~t~lbién ~n sí, perdiendo así en consecuencia la palabra "geo~m~trla su anllguo sentido etimológico de "medir la tierra"; (2) lamuslca, ~'Omo estudio de la cantidad discreta. pero no en sr sino ensus relaCIOnes mutuas; y la astronomía, como estudio de la cantidad continua, no en sí sino en movimiento,

Ya hicimos referencia al llamado "teorema de Pitágoras" quelos babtlolllos conocían, así como su consecuencia numérica: la leygeneral deformación de los "tripletes pitagóricos". Es posible quelos pItagÓriCOS demostmran el teorema. probablemente por descomposición de figuras. aunque en el estudio de los "triplete,' nolograron la generalidad de los babilonios. (3)

Fue el conoci~iento de un caso particular del teorema de Pitl!gOTas, qUien aportó una consecuencia importante para el destinode k sec.ta cuan,?o no de la matemática toda: el "descubrimiento delos .rraclonales • es decir. el descubrimiento de pares de cantida- _de~ dIferentes. taJes que la mayor no es múltiplo de la menor nimulllplo de una parte de la menor; y por tanto cuya razón noresu~ta expresable mediante un número entero ni fi-Jccionario, Sise piensa que I~s gri,egos no conocieron otra clase de números yque la matemática pItagórica exigía que el número era la esencia~e ta<!~s. las cosas. se explica que para los pitagóricos aquellascosas SImplemente no existfan; el hecho de presentarse en figu-

ras consideradas perfectas. como el cuadrado o muy simples. comoel triángulo rectángulo isósceles. asr COmo el carácter tajante ycategónco de la demostración que probablemente se desarrolló enel ,ser,lo de la escuela, tornaron aun más desconcertante el descubrlmlento;.e' hecho es que varias leyendas rodean al suceso. y elsecreto se Impuso al descubrimiento. (4)

U~a visión de conjunto de las conbibuciones matemáticas quese atnbuyen a los pitagóricos produce una impresión más bienextraña, en vista de que Jas contribuciones más importantes ynumerosas son geométricas, mientras que las contribuciones arit,,:,éticas son pobres y escasas. hecho de visos más bien paradójicosSI se pIensa en la concepción pitagórica de la omnipotencia delnúmero, esencia de todas las cosas.

45

También se atribu)'e a los pitagÓricos el coneximiento de las tres me·dias: aribnéLica, geométrica y annónica. Esta última designación, restofósil de las contribuciones de los pitagóricos que aún se emplea en matemática, proviene de que las razones que caracterizan la octava, la quinta y lacuarta musicales pueden fonnarse con la tema 6, 8, 12 que constituye unatema en progresión armónica. Con nuestros símbolos.Ji, cy h son, respee-tivamente, las med.ias aritmética Yannórrkade los nÚJnerosayb, serác- a== b - e; (h - a) : a = (b - h) : b o sea e = 'l. (a + b) y h - 2ab : (a + b),

Por otra parte, se atribuye a los pitagóricos la llamada proporciónmusical (que según una referencia Pitágoms habría traído de Babilonia),que expresa a:c = h:b, o con nuestro léxico: la media geométrica de dosnúmeros es la media geométrica de sus medias aritmética y armónica.

descompone en escuadras de carpintero, en lafonna indicada por lafigurJ.,cada escuadra, o gnomon según la nomenclatura griega, contiene UA número par, de ahí la propiedad: la suma de los primeros 11 números paressucesivos es el producto de este número por el sucesivo. Si se suponeeliminada la fila inferior, el rectángulo se (.'Onvierte en un cuadrado y cadagnomon contiene ahora un número impar, de ahí la (>ropiedad: la suma delos primeros n números impares es el cuadrado nt de ese número. Porúltimo, si se supone bifurcado el número rectangular por la Irnea de puntos, cada mitad se1:Onvierte en un número triangular y de ahí la propiedad:la suma de los primeros '1 números sucesivos es el semiproducto de esenúmero por el sucesivo. En la figura n "'" 6, de ahJ que la suma de losprimeros seis ¡xues es n (n + l}::o: 42; la suma de los primeros seis impareses ni "'" 36; Yla suma de los primeros seis sucesh'os es lIt n (n + 1)'= 21.

• '/"/

./ •"• •• •

• •

• •

• ••

••

•

•

•

Fil'. 2

•

•

•

•

••

•

•

••

••

•.,.

."-----;/

~---'"•

Notas complemeutarias

(1) ÚJ aritmélica pitagórica. Dejando de lado todos los fantásticosatributos que los pitagóri<:os concedían a ciertos números, consideremosalgunos resultados positivos que se atribuyen a los pitagóricos en el campode la aritmética. Por lo pronto, se les debe la distinción entre la arihuéticacomo ciencia o teorla de los números y la logística como arte o práctica decálculo, separando netamente los números abstmctos, esencia de las cosas,de las cantidades concretas, que el hombre maneja en sus transaccionescomerciales y en los menesteres ordinarios de la vida. También se les debela clasificación de los números en vista de sus pro¡~edades arihnéticas:pares e impares, perfectos, amigos. , .

uestro léxico actual conserva reminiscencias pitagóricas; las palabrascuadrado y cubo mantienen su doble acepción de número y de fi,b'Um; eninglés figure es también cifra. En cambio erpresiones de indudable origenpitagórico como las de los "números figurados": triangulares, pentagona·les, poligonales, . , . no conservan sino un interés histórico, aunque ha sidoesta aritmogeometría de los números figur.ldos el origen de las primeraspropiedades de la teoría de números.

Véase en la figura siguiente un número de puntos n.'ctangular taJ queelnúmero de un lado (la altura) supera en una unidad al otro (la base). Si se

Una solución de esta aparente contradicción h'l sido dadu últimamente como consecuencia del desciframiento de las lablillascuneiformes de este siglo, En efecto, según eugebauer "lo quese llama l>itagóril'O en la tradición griega debería probablementeser llamado babilonio", pues los pitagóricos hab,ran bebido susconocimienlos matem:1.ticos en la aritmética y en el ¡ilgebra de losbabilonios, pero es natural que imprimieran a esos conocimientossu propio estilo, es decir "el carácter específicamente grie~o",

como se expresa Van der Waerden, anteponiendo al 11leroC'adcteroperativo e instrumental de los babilonios el rigor lógico y la demostración 11late11látiC'J. Y fue en esa tarea, que el comienzo noencontraría contradicción con la propia metafísiC'J.. cuando chocaron con el "escándaJo de los irracionales", que los obli~6 a torcer elrumbo de sus investigaciones abandonando el campo de la aritmé·tica donde los irracionales cerraban el paso a todo pro~reso, ytransfonnando las consideraciones aritméticas y al~ebraiC'.ls encuestiones de índole geométrica.

"

.~. :'1...<~,<\,

l'

46 47

(2) LA geometria de los pitagóricos. Dos tendencias presiden la geometría de los pitagóricos: por un lado, el sentido de annonfa universal quecampea en su mctafísicay, por el otro, la preocupación casi exclusivaporelestudio de las propiedades de figuras concretas, planas o sólidas, probableherencia de conocimientos orientales pero ahora, clames. amasados con elmétodo deductivo.

De tal colnbinación surge la preferencia que se advicrte en la geometria pitagórica por los polígonos y poliedros reb'Ubres. Asf es de origenpitagórico el teorema que enumera las escasas posibilidades (triángulos,cuadrados, hexdgonos) de llenar un área con polIgonos regulares. En cambio, la construcción geométrica de esos polígonos exige mayores conoci·mientos. Si bien tal construcción es muy sencilla cuando se trota delcuadrado y del hexágono: y de los infinitos polígonos que derivan de ellos,la cosa no es tan simple cuando se trata del pentágono. Se sabe, porcomentaristas muy posteriores, que los pitagóricos utilizaban, como sún·bolo de reconocimiento de la secta, un pentágono cóncavo: la estrella decinco puntas que es un pentágono regular, cuya construcción por tantoconocían. Esa construcción es un caso particular de un grupo de problemas, característicos de la geometría griega, llamados de "aplicación deáreas" y precisamente se sabe por referencias de Proclo que el aristotélicoEudemo de Rodas atribuía a los pitagóricos el descubrimiento y conocimiento de ese tipo de problemas. Pero hoy sabemos algo más pues, envirtud de los conocimientos matemáticos revelados por las tablillas cuneiformes dcscifradas en este siglo, se comprueba (Iue muchos problemasnuméricos resueltos por los matemáticos babilonios no son sino la contraparte algebraica de los problemas de "aplicación de áreas", circunstanciaque ponede relieve una vinculación, sobre La base efectiva de la naturalezade los problemas, entre la matemática de los babilonios '1 la de los pitagóricos.

Un ejemplo tfpk:o es el problema de dividir un segmento en media yextrema razón, que encierra la posibilidad de la construcción del pen~gc;no regular. Se trata de divKlir Wl segmento dado en"dos partes de maneratal que el cuadrado construido sobre la parte mayor sea equivalente al rectángulo cuyos lados son el segmento dado y la parte menor. Una simpletransfonnación de fibruras permite reducir el problema a la determinaciónde un rectánb'Ulo conociendo su área y la diferencia entre sus lados, problema que traducido aribnéticamente consiste en detenninar dos númerosconociendo su producto y su diferencia, típico problema del ··álgebr." delos babilonios.

En cuanto al conocimiento y construcción de los poli<..odros regularesparece natural que los pitagóricos se interesaran por estos cuerpos siméa

48

tricos y "annoniosos"; interés que se trasmitió a Platón proporciom1.ndolelas bases materiales de su cosmogonía, como lo revela la denominación de··cuerpos platónicos'· que se ha dndo a los poliedros regulares, aunque enun "escolio" del último libro de los Elenumt03 de Euclides se agrega queestos ··cuerpos" no se deben a Platón, pues tres de ellos: el cubo, eltetrJ.edro y el dodecaedro se deben a los pitagóricos, mientnu que eloctaedro y el icosaedro se deben aTeeteto. De todas maneras los poliedrosregulares, todos o no, constituyeron uno de los temas de la geometríapitagórica.

(3) El teore11ln de Pitdgorw y la ecuación pitagórica. Después del des·ciCramiento de las tablillas de los babilonios de este siglo, es sabido que losbabiJonios no sólo conocieron el "teorema de Pit4goras", que aplicaron enla resolución de problemas, sino que tuvieron también un conocimientocompleto de los ··tripletes pitagóricos", es decir, de La solución en númerosenteros de la Uamada "ecuación pitagórica·'; %:1 + IJ:I ., ::1. No obstante,puede aún mantenerse la opinión del historiador de la matemática ZeuLhen,quien sostuvo que ese teorema constituyó el origen de la geometría racional en la escuela pitagórica y Que las deducciones que paulatinamente fuerealizando la escuela tuvieron por objeto lograr una demostración generaldel teorema. advertida su verdad en casos particulares.

En cuanto a la ecuación pitagórica se abibuye a la escuela la soluciónparticular

r = O/. (n' - 1); Y = n; r = Y. (n' + 1);

con ,. impar, solución que probablemente dedujeron de la propiedadconocida de ser todo número impar diferencia de dos cuadrados, de manera que si, a su vez, ese impar es un cuadrado, quedasatisfec.ha la ecuación.

(4) El descubrimiento de los Irracionales. La demostración 'Iue traeAristóteles en uno de sus escritos alude al descubrimiento de la ilT'.1Cionalidad del número que hoy expresamos como~ En efecto, un caso particuJar del teorema de Pitágoras muy fácil de demostrar independientemente del caso general, comprobada que el cuadrado construtdo sobre la hipolenusa de un triángulo rectángulo isósceles era el doble del cuadrndo cons·truido sobre cualquiera de los dos catetos. Era claro que la hipotenusa nopodía ser múltiplo del cateto, pues era mayor que él, pero menor que sudoble, de ahf (Iue la razón entre la hipotenusa y el cateto debía scr unmúltiplo rn de la parte 11

1 del cateto, siendo m y n números primos entre síy, por tanto, no podían ser ambo, paru. Ahora bicn, de la propiedad quehoy expresarlarnos m:t = 2n:t es fácil deducir que m, por contener el factor 2, debe ser par I también lo ha de ser entonces su cuadrado y por

49

I

:ntener este el faclor 4, n~ ha de contener cl factor 2 y. por tanto, tam. én. n, ha d~ se~ par. luego In y 11 SOIl limbos pares. contradicción queIInphcaba la mexlstencia de ", y n.

4. Los e/catas

El siglo v a. C. fue el grJn siglo griego. el "siglo de Periele'·. elsIglo del auge de las artes plásticas y literarias. de la música y delteatro, el SIglo en el cual la filosoRa, superado el empirismo de Insfisiólogos y el misticismo de los pitagóricos, se dirige hacia losp.roblemas que han de constituir sus futuros temas de investi~clón: los problemas lógicos, la metafísica, la teoría del conoci.miento. la ética; temas que en buena mc<l.ida se vinculan con lamatemáti.ca. primer esfuerw científico' concreto de los ~rie~os.

. La pnmera figura, cronológicamente, de la filosofía griega delslglov es Parménides de Elea, que se habría formado en la escuela

.de esa ~Ionia i~liat1a: aunque una antigua leyenda ase~ura queParménides fue instrUIdo por un pitagórico.

<:on Parmél~ides se presenta un nuevo protagonista en el pensamiento refleXIVO: es eljuego de la razón con el proceso dialécticod~1 .pe~1sar, surgiendo (:omo primer producto de ese proceso ladlshncl~n entre la apariencia y la esencia de las cosas. SegúnPannémdes, frente a la realidad sensible que percibimos, cam.b,ante y efímera, existe la realidad eterna, inmutable e inmóvil delser. La ciencia ha de buscar esa realidad detrás de las aparienciasdel mundo de los sentidos y distinguir la verdad (el sel') de laopinión (el no ser). Sin duda que en su poema Sobr'i,V'lllltllraleul.esento en tono profético y alegórico, Parménides no señala elcamino para llegar a la verdad, pero no es menos indudable '1uecon él se inicia la crítica del conocimiento y se introduce en laconstrucción científica un rigor lógico que busca y trata de encon.traro en el poder l'"acional del hombre, el carácter de permanenciaque otorga al conocimiento su esencia, su objetividad.

y en su discípulo Zenón de Elea puede advertirse con quéeficacia se esgrime ese poder mediante sus clásicos argumentos (1)en contra de la pluralidad y del movimiento, argumentos de tinte

50

paradójico que se han interpretado como criti as diri~idas a la:">concepciones pitagóricas, al denunciar los absurdos que implic-Jb¡\la concepción de los cuel'"pos como suma de puntos, del tiempncomo suma de instantes, del movimiento como suma de pasajes deun lugar a otro.

Las críticas de Zcnón no dejaron de tener influencia en el desarrollo ulterior de la matem;.\tica. Por lo pronto, introduce la continuidad, como una de las notas del ser, y elimina así la discontinuidad que había procumdo a los pitagóricos "el esc,\ndalo de los irracionales". Por lo demás, la dicotomía del ser v no ser sienta lJ.sbases del principio lógico de -no contradicció;" de perdurablesconsecuencias en el proceso discursivo, en especial en la matem¡\·tica donde dará lugar a un recurso de demostración: el método dereducción al apsurdo.

Notas comple'mentarias

(1) Los argumentos de Zenón. La im¡xJrtancia matemática dc los arb'Umentas de Zenón no reside sólo en el concreto significado matemático quealgunos de cUas poseen, sino en el hecho de que, al tomar como blanco desus ataques la concepción pitagórica y en espec.iallos conceptos matemáticos en ella implicados, ha contribuido a forjar la concepc~n racional delos entcs geométriros fundamentales, tal como se presentari más adelante.

Así, en sus argumentos en contra de la pluralidad refuta la hipótesis deestar compuestas las magnitudes geomébicas de elementos indivisibles yextensos. En efecto, tal hipótesis conduce a un absurdo pues Sl algo estácompucsto de elementos indivlsibles, éstos no tienen extensión y un conjunto de elementos inextensos, por grande que sea su número, no puededar sino una cantidad inextcnsa, es decir, nula. Por otra parte, las unidadesque componen loda pluralidad deben estar separadas enlre sí por algo,entre este algo y la unidad anterior debe haber asu vez otro algo (el vadono existe), y así sucesivamente, de manera que un conjunto de infinitoselementos na puede dar sino una cantidad infinita. Luego toda pluralidades nula e infinita al mismo ticmpo. .

También los cuatro argumentos en contra del movimiento: la dicotomía, el Aquiles, la flecha en el aire y el estadio, van dirigidos a combatir latesis de los pitagóricos. Veamos el Aquiles, que es el argumcnto de con·tomos más dramáticos. Aquiles, "cl de los pics ligeros", no alca.n.zar' a la

51

•

lenta tortuga. por escasa que sea la distancia con la (I"e la tortuga precedeal corredor. Pues. cuando Aquiles ha recorrido esa distancia y llega dondeestaba la tortuga, ésta estará en un lugar algo más adelante; cuando AquilesU~'Ue a ese lugar la tortuga habrá avanzado otro poco y así sucesivamente.De ahí que la conclusión es evidentemente absurda: de suponer Gnito elnúmero de lugares, Aquiles no alcanzará jam:is a la tortuga, de suponerloinfinito, el lugar del encuentro existe. pero más allá de esos infinitoslugares.

Los dos argumentos anteriores, ~f como algún otro. aluden a la divisib¡lidad infinita de las cantidades y ponen por tanto en evidencia el peligroque entrañaba el manejo poco cuidadoso de un concepto tan vago y riesgoso como el infinilo, de ahí que sea probable que otra de las consecuenciasindirectas de las críticas de Zenón fuera esa característica de los matemáticos griegos posteriores de tratar de eliminara de reprimir el infinito de suciencia.

5. La matemática del siglo v

En el siglov a. C. la matemática aún nose habfasistematizado. Noobstante, la labor de los pitagóricos había dejado dos saldos impor·tantes, uno de carácter general: la exigencia de la demostración, yotro de carácter circunstancial: la consagración casi exclusiva de losmatemáticos a las investigaciones geométricas.

De ahi que los matemáticos del siglo v se dedicaron a la búsqueda de nuevas propiedades de las figuras, ya de car.\cler general:nuestros teoremas, ya de carácter particular: nuestras construcciones, que deben considerarse como "teoremas de existencia" puespara los antiguos construiT una figura. partiendo de elel1'lentosdados y ·con propiedades prefijadas, era demostrar que tal figuraexiste o, lo que es lo mismo, deducir su existencia'~e propiedades

conocidas.Como las primeras figuras de las que partieron los griegos

fueron la recta y la ci.rcunferencia, todas las proposiciones geomé·trieas fueran teoremas O construcciones, debían fundarse sobreesas dos figuras y sus relaciones y conexiones mutuas.

Por su parte, y ésta es otra de las características de la matemá·tica del siglo, muchas de esas nuevas propiedades fueron logradasmediante la búsqueda y la persecución de algunos problemas par.

52

ticulares que, a manera de polos atrajeron la atención de los matemáticos. Esos problemas, hoy llamados "los problemas clásicosde la geometría", fueron tres: la trísección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del drculo.

La división de un ángulo cualquiera en tres partes igualesmediante construcciones con rectas y circunferencias o, como suele también decirse, con regla y compás, es un problema que ha dehaber nacido naturalmente y si llamó la atenciÓn fue seguramentepor la desconcertante discrepancia entre la sencillez de sus términos y la imposibilidad de resolverlo con regla ycompás; imposibilidad tanto más llamativa cuanto con esos medios podía dividirse unánb'Ulo cualquiera en 2, 4, 8, ... partes, mientras que podian trisectarse ángulos especiales, como el recto y sus múltiplos. Esposible, además, que la construcción de los polígonos regularescontribuyeraaaumentar el interés por el problema, pues así comola bisección de un ángulo permitía construir un polígono de doblenúmero de lados de otro dado, la trisección hubiera permitido lade un polfgono de triple número de lados.

Sin embargo, todos los intentos de los matemáticos griegospara resolver el problema, en general, resultaron infructuososcuando se pretendía utilizar las propiedades de una geometríafundada exclusivamente en las rectas y circunferencias y sus intersecciones, mientras que la cosa resultaba factible cuando a esa geometría se agregaban nuevas líneas O se admitían nuevas posibilidades entre las líneas conocidas. (1)

El problema de la duplicación del cubo: determinar geométricamente el lado de un cubo de volumen doble del de un cubo delado dado, ofrece otro cariz. Por lo pronto, varias leyendas le atribuyen un origen extramatemático. Una de eUas refiere que con·sultado el oráculo de Delfos a fin de aplacar una peste, habríaaconsejado dup~car el ara de Apolo que era cúbica, de ahí el nombre de "problema de Delos" con que a veces se lo designa. Pero esposible que también en este caso su origen fuera geométrico,como natural generalización del problema de la duplicación delcuadrado, d!, f.lcil solución, sin más que tomar la diagonal comolado del cuadrado doble. Pero al trasladar el problema del plano alespacio, todos los intentos de resolver el problema con los mediosordinarios de la geometría resultaron vanos.

53

'.


..

de geometrfa plana que, generalizado, tomó el nombre de "problema del mesolabio",(2) mientras que, sin lograr cuadrar elcírculo, logró cuadrar recintos limitados por arcos de círculos,aparentemente más complicados que el círculo, que Ix>r su formade luna creciente se los llamó "lúnulas de Hipó<:rates". (3)

Agreguemos que algunas curvas o recursos especiales que permitían resolver uno de los problemas clásicos también a vecesresolvfa otro de ellos, hecho que revelaba alguna relación entreesos problemas que permaneció siempre oculta a los matemáticosgriegos. Un caso interesante lo ofrece una curva inventada por elsonsta Hipias, que permitía resolver la trisección o, mejor, lamultisección del ángulo y que más tarde se comprobó que permitfa resolver también el problema de la cuadratura del circulo,razón por la cual se la conoció desde entonces como la "cuadratrizde Hipias". (4) ,

Por último. mencionemos a otro matemático del siglo V. elmaestro de Platón: Teodoro de Cirene, a quien se atribuye la demostración de la inconmensurabilidad de una serie de segmentos,cuyas medidas son las raíces cuadradas de los primeros númerosno cuadrados hasta el 17 inclusive.

~"ig. 3

p

(1) Una trisección por "inserción", Los griegos denominaban "inser~

ci6n" a una relación entre figuras queconsistJa en admitir que dadas dostransversales en general, y un punlo

4 lijas, siempre existe una recta que pasapor el punto fijo y tal que sus intersec

,ciones con las transversales detcnni~

nan un ",¡,'mento de longitud prefijada.e Con la inserción, postulada como una

A~_--..,~S:-::::::=-_O construcción posible más, el campo dela resolubilidad de loo problemas geométrms se amplía (la inserción presu

8 (x>ne la resolución de una ecuación decuarto grado) si las transversales sonrectas.

y

En cuanto al problema de la cuadratura del círculo, surgió sinduda de la exigencia práctica de determinar el área de un círculoconociendo su radio o su diámetro, y traduciéndose geométrica·mente en un problema de equivalencia: dado un segmento comoradio de un círculo, detenninar otro segmento como lado del cuadrado equivalente.

Los pitagóricos habían resuelto el problema de la "cuadraturade los polígonos", pero al pasar de los polígonos al círculo, elproceso resultaba inaplícable'y, al igual que en los otros dos problemas clásicos, los intentos de "cuadrar el círculo", sin acudir arecursos especiales, resultaron infructuosos.

Son interesantes los intentos que en este sentido realizaron lossonstas Antifón y Brisón. El primero parte de la propiedad: essiempre posible, dado un polígono inscrito en un círculo, construirotro de doble número de lados, agregando que si el número delados aumenta, el polígono se aproxima cada Ve-L más al círculo;llegando a la conclusión de que, al ser todos los polígonos cuadrabies lo será en dennitiva también el círculo, couclusión nnal falsa,pue~, como ya observó Aristóteles. por grande que sea el númerode lados, el polígono jamás llenará el círculo. Brisón, por su parte,agregó a estas consideraciones las an:ílogas referentes a los polígonos circunscritos, mostrando cómo las dos series de polrgonosestrechan cada vez más al círculo. cuya área estará siempre com·prendida entre la de dos polígonos: uno inscrito y otro circunscrito.Si Brisón llegó hasta aquf, aún sin resolver el problema, habríaseñalado la senda por la cual más tarde Arquímedes logrará notables resultados, pero si, como se dice, agregó que el área delcírculo es media proporcional entre la de los cuadrados inscrito ycircunscrito, habría entonces cometido un error,,~astante grosero,aproximadamente del 10 %.

Con los problemas de Ocios y de la cuadratura del circulo sevincula la figura de Hip6crates de Quíos, el primer matemático"profesional", quien habiendo llegado a Atenas en la primera mitad del siglo por razones nada científlcas, se interesó por la mat:mática y, siguiendo una probable tradición de mercader, ensenóesa ciencia por dinero a la manera de los sofistas.

Las contribuciones de Hip6crates son importantes; en el problema de la duplicación del cubo redujo la cuestión a un problema

54 55

\

\

Por ejemplo, añadida la insen:ión, la tii.sección del ángulo es posiblecon regla y compás, SeaAVB el ángulo a bisecar, Por un punto M deAV setrazan MP y MQ perpendicular y paraJela respectivamente a VB; la rectave que por inserción detennina entre MP y MQ un segmento RS dobledel VM, biseca el ángulo dado, pues el ángulo GVB es mitad del AVC.Basta para comprobarlo unir el punto medio O de R5 con M y considerarlos ángulos de los biángulos isósceles MOS y VOM.

(2) El prohlema del meso/ahio. 'La historia de este problema aparecebrevemente expuesta en una carta que Eratóstenes (s. 111 a. C.) envió aPtolomeo 111 con una solución propia y un instrumento con el cual sellevaba a cabo prácticamente esa solución. La primera parte de esa cartaexpresa: "Se cuenta que uno de los antiguos poetas trágicos"hiciese aparecer en escena al rey Minos en el acto de ordenar la construcción de unatumba para su hijo Glauco, y advirtiendo que la tumba tenta en cada unode sus lados una longitud de cien pies, exclamó: "Escasoespacio en verdadconcedéis a un sepulcro real, duplicadlo, Conservando siempre la fonnacúbica, duplicad de inmediato a cada uno de sus lados". Es evidente queen esto se engañaba, puesto que duplicando los lados de una figura plana,ésta se cuadruplica mientras que si es sólidaseoctuplica. Se agitó entoncesentre los geómetras la cuestión de cómo podía duplicarse una figura sólidacualquiera, manteniendo su e5pt:cie. Y este problema se llamó de la dupli.=ión del cubo. Después de muchos titubeos, fue Ilipócrates de Quíos elprimero que encontró que si entre dos rectas una doble de la otra seinsertan dos medias proporcionales se duplicará el cubo, con lo queconvir.tió una dificultad en otra no menor. En efecto, aun reducido a un probJe...ma de geometría plana, no pudo resolverse por medio de recursos elementales. Mas, es posible que más adelante esa reducción no agrnclara a P1alón,que criticaba a los geómetras griegos por su escasa dedicación a la gl:ometrta del espacio.

El razonamiento que condujo a Hipócrates a esa red~~ón pudo ser elsiguiente: si los volúmenes de cuatro cubos están en progresión geomébi·ca de razón 2, el cuarto cubo tiene el lado doble del lado del primero,mientras que el segundo cubo es de volumen doble del primero; y como alestar una serie de cubos en progresión geométrica, también lo estanin suslados, resulta en definitiva que si se intercalan dos medias proporcionalesentre dos segmentos, uno doble del otro, la primera de esas medias resolvía el problema de Delos. Más tarde se eliminó tal limitación y con elnombre de "problema del mesolabio" se conoció el problema de intercalardos segrnentos medios ¡>rOllOrciona.les entre dos segmentos dados; es decir, dados a y b, detemlinar geométricamente dos segmentos l' e y tales

56

que a;x::xoy"y:h de donde x' =a' h; y' =oh'. Cuando h ~ 20, x" =20". secae en el problema de Delos.

(3) Las lúnulos de Hipócrale,. La conbibución de Hipócrates aJ problema de la cuadratura del cfrculo es más importante, no sólo porque lacuadratura de las lúnulas es un aporte positivo, sino también por el cúmulode propiedades geométricas que tal aporte entrañaba que, por lo demás.proporciona una medida de los col1<rimientos de la época.

En la cuadratura de las lúnulas, Hipócrates utiliza la proporcionalidadentre los círculos y los cuadrados de sus diámetros, que probablementeadmitió intuitivamente como exlenSlón de la propiedad, sin duda conoci·da, de la proporcionalidad eotre pollgonos semejantes y los cuadrados delos lados homólogos. En efecto, la demostración rigurosa. por parte de losgriegos, de aquella propiedad exigió la introducción de un nuevo método,el de emaución, que no aparecerá hasta el siglo siguiente.

e

Fig.4

Ya dijimos que el fragmento relativo a las lúnulas es el fragmentomatemá.tico nús antiguo que se conoce, de ahí que probablemente estemos en condiciones de conocer el proceso que originariamente siguióHipócrates en su investigación. Resumiendo el fragmento, digamos queHip6crates logra cuadrar tres lúnulas, la más simple de las cuaJes se obtiene considerando en el semicÚ"CUlo ACBA los segmentos circulares semejantes S y' de cuerdas AB y AG.

Si indicamos con LIa lúnula ACBDA y con Tel triánguloABG se comprueba que L + S = T + 21, pero, en virtud de la proporcionalidadaludida, S = 21, dedoode L = T: la lúnula es equivaJente al biánguloy, portanto, al cuadrado de lado 'l. AB.

Mientras que en esta primera lúnula la razón de los cuadrados de lascuerdas bomólogas es 2, en las otras dos lúnulas de Hipócrates, algo más

57

En el siglo IV a. C. las dos escuelas filosóficas más importantes deAtenas: la Academi;¡ fundada por Platón en 387 a. C.• y el Liceo deAristóteles que éste funda en 335. ejercerán en distinta medida suinfluencia en el desarrollo de la matemática del siglo.

La influencia de Platón y de la Academia fue singularmentenotable. Esa influencia, favorecida por la rndole especial de lateoría de las ideas y la teoría del conocimiento de Platón, sc ejercióya por el papel asignado a la matemática en la propia concepciónfilosófica y en la construcción del mundo, ya por las contribucionestécnicas aportadas por Platón o que se le atribuyen y por los matemáticos del círculo platónico o vinculados con él.

El valor de la matemática como propedéutica en la formacióndel filósofo y la concepción de los entes matemáticos como intermediarios entre el mundo de las ideas y el mundo de las cosas.justificarían la clásica frase que Platón habría estampado en el pórtico de la Academia, impidiendo su ingreso a los ignorantes engeometría.

Por su parte. en el Timeo. Platón. influido por el pitagorismo.mostrará el papel que asigna a la matemática en la construcción delmundo, en la que el Demiurgo hace intervenir de manera especiallos antiguos cuatro elementos: fuego, aire, agua, tierra, vinculadosa su vez con los poliedros regulares. al hacerlos corresponder,respectivamente. con el tetraedro. octaedro. icosaedro y cubo.Como. con excepción del cubo. las caras de los otros tres poliedrosson triángulos equiláteros y, por tanto, semejantes, los elementosrespectivos: fuego, aire, agua, podrán transformarse enlTe sí, noasí en tierro. pues las caras del cubo son cuadrados que no pueden

to AB es medio proporcional entre AN y la longitud del arco de cuadrante BED, de mancm que mediante este segmento AN era posiblerectificar la circunferencia a. El último paso lo dará Arquímedes al demostrar cómo se podía pasar. con regla y compás, de la circunferencia rect:i6·cada a la cuadratura del círculo de manera que desde entonces quedójustificado el nombre de la curva inventada dos siglos antes por J-lipias.

6. La Academia y el Liceo

59

oN

Fig.5

f'<:"C=-------, e

A

Como el ángulo BAE es proporcional al segmento 8F, es f:1cil comprender cómo esta curva pemlite dividir UI1 ángulo en UI1 número cualquiera deparles iguales. sin más que dividir el segmento proporcional en ese número de partes; y es así cómo Hipias resolvió con esta curva el problema de la. . 'ttnsecc.ón del ángulo.

Sin embargo, esta curva ha llegado a nosotros con el nombre de"cuadratriz de Hipias" porque resuelve el problema de la cuadratura delcírculo. Aunque esto no se advirtió sino un par de siglos después queHipias imaginara la curva, puede tener interés desde ya exponer la jus·tificación del nombre. La clave está en el punto N donde la curva cortaa AD, y que no puede obtenerse como los dcm:1s punlos de la curva,pues en esta posición final ambos segmentos móviles coinciden y, portanto. no tienen punto de intersección. Pero en el siglo V el rnatenl:1tiro Dinostrato por el método de exhaución demostró que el segmen·

58

(4) La cuadratri:. (le Hipias. Esta curva que fue la primer" definidacinem:1tic3mcntc, puede, por esa misma definición, construirse por puntos. Sea un segmento AB que gira alrededor de A con un movimientounifornle de rotación, mientras que al mismo tiempo el segmento igual Bese traslada paralelamente a sí mismo con un movimiento uniforme de traslación de manera que ambos segmentos coinciden en AD. La intersecciónen cada instante de las posiciones ÁE y Fe de los dos segmentos móv'iles,detenninan un punto M de la cuadmtiz BMN (los griegos no consideraronsino la parte de la curva comprendida en el cuad..rante BAD).

complicadas, esa razón es 3/2 y 3. (Modernamente se ha comprobado queexisten otras dos lúnulas cuadrables en las cuales esa razón es ~/3)' 5.)

·" .

descomponerse en triángulos equiláteros sino en triángulos rectángulos isósceles. Estos triángulos y la mitad de los equiláterosson triángulos rectángulos, de ahí que sean estos triángulos lasfiguras fundamentales con las que el Demiurgo construyó el mundo, según la fantasía del Timeo. Quedaba, sín embargo, un quintopoliedro re¡,'Ular: el dodecaedro, de caras pentagonales no descomponibles en los triángulos anteriores. En el 'finteo se aludefugazmente a este poliedro diciendo que el Demiurgo lo utilizópara decorar el universo, aunque en un diálogo (apócrifo) se hacecorresponder el dodecaedro a un quinto elemento: el éter, queluego será la "quíntaesencia" de Aristóteles.

Es natural que Platón estimulara en la Academia el estudio dela matemática, de ahí que puedan señalarse contribuciones matemáticas surgidas del seno de la institución, cuando no de Platónmismo.

Así se atribuye a Teeteto de Atenas, inmortalizado en el diálogo de ese nombre, el estudio de los inconmensurables, con lo cualhabría sentado las bases de las propiedades que más tarde se reunirán en el Libro X de los Elementos de Euclides.

En cuanto a las contribuciones de Platón, algunas son, sinduda, apócrifus, como la atribución de un método y de un dispositivo mecánico respectivo, para resolver el problema de la duplicación del cubo en vista de las concepciones platónicas opuestas atoda manipulación. Quizá sea también dudosa la solución que se leatribuye de los "tripletes pitagóricos", muy semejante, por lo demás, a la que se atribuye a los pitagóricos (la solución de Platónsería x = 1/2 m2 - 1; Ij = m; z = 1/2 m2 + 1para 111 par). En cambio, sele ha atribuido con mayor verosimilitud, una contribución metodológica: la distinción entre "método analítico" y "método sintético" en las demostraciones de los teoremas y contlrucciones geométricas, distinción que los matemáticos griegos utilizaron en susinvestigaciones. (1)

En cambio. ni Aristóteles ni su escuela parecen haberse ocupado especialmente de matemática. Además de las frecuentes re·ferencias a la matemática que aparecen en las obras de Aristóteles,se le debe un par de contribuciones indirectas. Por un lado, con susistematización de la lógica, Aristóteles fijó las bases sobre lascuales se ordena y se erige una ciencia deductiva tal cual es la

matemática; por el otro, fue Aristóteles quíen encomendó a su discípulo Eudemo de Rodas la redacción de "historias" de la matemática, de la geometría y de la astronomía, habiéndose conservadocomo dijimos, un fragmento de la historia de la geometría. '

rNotas complementarias

. (1). El n~todD anaJftiro. La distinción enlre los métodos analltico ysmtético explica un hecho que llama la atención cuando se examinan laspr.oporciones, en especial las construcciones, de los tratados geométricosgnegos. En efecto, se advierte en esos tratados que para demostrar un t~Te~a O construir una figura se parte, a veces. de propiedades totalmenteaJ~J~ del tema en cuestión, para luego, en .ocasiones por caminos algoffiutenosos, Uegar a la demostración o construcción deseadas.

Parece natural pensar que no pudo haber sido ése el camino por el cualse descubrió la propiedad, y que en verdad lo que se nos muestra es eledilicio libre de todD el andamiaje que sirvió para elevarlo. Asf fue, engeneral, como se deduce de la distinción entre los métodos analItico ysintético.

El método ana1ltico, que es también el método euristico yactualmenteempleado en la enseñanza, consiste en suponer cierto el teorema ademostrar o resuelto el problema acmstruir, y mediante verdades ya demostradasdeducir un teorema o un problema conocidos, de manera que si el procesopuede invertirse, el teorema queda demostrado y el problema resuelto.Este proceso inverso es el método sintético que consiste en lonces en partirde una verdad conocida para deducir, poI"' pasos sucesivos. la verdad aprobar. Es este método sintético, deductivo por excelencia, el que utilizaron con preferencia los griegos después de haber obtenido por el métodoanalítico, que silencian el resultado buscado.

Veamos, por ejemplo, la construcción de un triángulo isósceles cuyosángulos en la base sean dobles del ángulo en el vértice, problema importante en la construcción del pentágollO regular. Supongamos el problemaresuelto, según las normas del método analltico, y seaABC de vértice A eltriángulo buscado. Sise traza la bisectriz interior del ángulo B, que cortaráal lado opuesto en D, es lilcil comprobar, por igualdad de ángulos, queAD = DB = BC, yque ellri.111gulo isósceles DBC es semejante a1lriánguloABC. Se deduce en consecuenciaAB ,BC - BC, OC = AD, DC ypor unapropiedad de las proporciones (AH + BC): AB = (AV + De) : AD - AB , BCy por tantoAB1 = (AB + BC) BC, es decir, (Iue en el segmentosumade los

61

lados desib",ales deltriánguloABC; AB y BC. el punto de separación B lodivide en media y extrema razón: "análisis" que explica por qué Euclides,en sus EleTnentos. panl. construir el pentágono comienza por dividir unsegmento en media y extrema razón, sin justificación aparente alguna de lavinculación entre ambas construcciones, y es evidente que sin la apHcacióndel método analítico hubiera sido difícil prever tal vinculación.

7. La matemática del siglo IV

La matemática griega de la primera mitad del siglo IV orrece elespectáculo de una aritmético. estancada y de un cúmulo de pre>piedades geométricas a(1O no sistematizadas, obtenidas en granparte mediante la búsqueda de la solución de problemas particulares. como los "problemas clásicos" y otros. Quedaban. en efecto.aún en pie dos obstáculos importantes: el de las cantidades inconmensurables que en número cada vez mayor aparecían invadiendola geomerria, y un grupo de problemas de equivalencia, entreellos. la cuadratura del círculo. y la cubatura de la pirámide y de laesfera. para los que no se habían dado aún demostraciones ribruTosas que facilitaran su solución.

Entre los matemáticos de la primera mitad del siglo cabe mencionar a una figura que, sin pertenecer a la Academia, estabavinculada con Platón por lazos de amistad: Arquitas de Taras (Tarento). estadista y científico que se ocupó de mecánica teórica ypráctica (autómatas). de aritmética (progresiones y proporciones) yde geometría. dejando en este campo una ing~niosa solución delproblema del mesolabio. mediante la inters""'ii¡\n de tres supemcies: un cilindro, un cono y una superficie tórica, es decir, la superficie engendrada por un circunferencia que gira alrededor de unarecta de su plano, que no sea un diámetro, y que en este casoparticular es una tangenle. (1)

También es probablemente de esta época un Timaridas de ,Paros, matemático enigmático hasta hace p<x:o, pues se le atribuyela resolución de un problema algebr.uco. que implica un sislemade ecuaciones lineales, pero que actualmente se lo vincula con losbabilonios y su matemática. Ese problema que se resuelve con una

62

regla que más tarde se llamó ··superl1oraciones (epantema) de Timaridas", consiste en detenninar un número, conociendo sus su·mas, con cada uno de n números desconocidos y con la suma detodos ellos. ;'

Pero el más grande de los matemáticos del siglo y uno de losmás grandes matemáticos griegos es Eudoxo de Cnido. médico.matemático y astrónomo que estuvo en Atenas frecuentando laAcademia como discípulo de Platón. viajó luego a Egipto donderesidió un año y medio, regresando luego a Atenas muriendo relativamente joven en su ciudad natal.

Como astrónomo se debe a Eudoxo la primera explicacióncientífica del sistema planetario. mientras que reveló su talentomatemático al cortar el nudo gordiano que impedía el progreso dela geometria. pues resolvió al mismo tiempo las dos máximas dificultades que entonces se oponían a ese progreso: los irracionales ylas equivalencias. Eudoxo los resolvió mediante un proceso únicoque comporta un principio. una definición y un método (2) y queaun en forma oculta. abarcaba las nociones de indole infinitesimalque precisamente sibrnificaban los elementos indispensables pararesolver aquellos problemas.

Por su parte el acontecimiento matemático más notable de lasegunda mitad del siglo es la aparición de unas curvas nuevas;nuestras cónicas, cuyo estudio adquiriro un gran desarrollo enmanos de Arquimedes y de Apolonio.

Se ha atribuido ese descubrimienlo a Menecmo: hennano delmatemático Dinostrato que mencionamos con motivo de la cuadratriz de Hipias. aunque se ha conjeturado (Neugebauer) que esedescubrimiento se debió al empleo de los relojes de sol. ya que lasombra del extremo de la barra vertical que servia de reloj (elgnomon) dibuja arcos de cónicas en el suelo durante la marcha delsol. Sea lo que fuere. su nombre actual. abreviatura de "seccionescónicas" alu.de a su origen, pues se obtienen como interseccionesde las generatrices de un cono circular recto con un plano que nopase por el vértice del cono. Esas curvas son distintas según laposición del plano secante. pero en los comienzos tal distinción sevio en la naturaleza del ángulo formado en el vértice del cono. pordos generatrices coplanares con el eje del cono. manteniendosiempre el plano secante normal a una generatriz. Según fuera

63

~~o, recto u obtudso aquel ángulo, se obtenían Ires curvas distinlue a veces se eSlgnaron como "lrfada de Menecmo". (3)


(J) La ~olución eh Arquitas. En síntesis la construcción de Ar "tuQU~en reahelad opera con propiedades de geometría plana, puederes~~~así. Sea en el plano base una circunferencia de diámetro AB :z::: buna recia tal que del . b la . ' y ¡>Ol" "J. al enmne so re circunferencia una cuerda AC m ar:~~~embas°s I lO~ lasr tres ~perficies siguientes: 1) el cilindro circul~

e e a ClrCtlfilerenaade diwnetro b (de ecuación en coord nadaspolares Rcos 1" = bcosa)' 2) el oono circular recto ede la generatriz tiC alrededor de AB (de aeu 'óengendrabdo por la rolaciórro . oc. n a = cos 1" oos aJ· 3) lasupe) lele engendrada por una semicircunferencia de dilimetroABsi~en e pano perpendicnlar al Jan bas .enA(deec '6 R • P o e,queg>.raalrededordesutangenle

uaCl n ros I{J = a).Sea ahora M el punto de intersección de las tres superficies Ese t ¡"

per~enecer.1a la semicircunferencia móvü de diámetroAB' =b lapun orJ.triz MN del ~1indro siendo N un punto de AB', y a lagenCra~A:;~~cono que conbene ,el punto C· tal que AC' = a. Se demuestra fácilmentequ~ el ánb'Ulo AC,N es recto, por !anto, de los triángulos rectángulosAC N; AMN;AMB se deduce la proporcionalidad AC' ,J\N ="N' NM-

= ~~ : A: IQue demuestra que los segmentos AN y AM resu~lveD elp~ . croa e .mesolabio. (Analíticamente, si de las tres ecuaciones seelllnUla a y se Ulb'oduce r = ros VJ se obtiene ig a1m t= r: R = R : b.) , u en ecos rp -= Q: r-

(2J La obra matemático de Eu<Ú>xo. La posibU'dad' d Udeflni ión de la razón entre dos cantidades é I e (.'gar a lJ,.D3

I fi' E d ,sean stas conmensurables on.o, a Ja u oxo partiendo ante todo de un recurso de lipo' IÓoiCiando un" . .... 0"00, enun·.. . . pnnclplO.. q~e expresa la condición para que dos cantidades

tengan razón mutua. Este principio a.6rma que "dos cantidad tirazón m tua d 'l· es enen. u cuan o un mu tiplo de Ja menor Supera a la ma or" o entémunos actuales: dadas dos cantidades A > 8 . t. . y,tal ,eXJs CSICmprCUJl cnteron

que. B > A o~bién que ~..A < B. Euclides en sus Flemento,fotorgóa esteenunCiado el mismo carácter lógico de "principio" pero ArquCmed dolfato matemático m:ls fino verá en él un postulado' . ~ loe'd .'. y en sus escn tos asícon" era. Hoy mantiene tal carácler confinnado brill t lastrías " ,. an emcnte porgeome no arquunedianas de este siglo, y se le conoce ya como "pos_

64

tulado de la continuidad", ya como "postulado de Arquímedes" y a veces"de Eudoxo o Arquímedes".

La segunda elapa del proceso de Eudoxo es la definición de ruón entredos cantidades, sean conmensurables o no. Es la siguiente "definición porabstracción": Dos razones a : b, e : d son iguales si dados dos númerosenteros cualesquiera ni y n y ma~ nb, se verifica respectivamente me~ nd.Con esta definición que tiene cierto aire de Camilla con la actual definiciónde los números reales mediante la teorla de las cortaduras de Dedekind,Eudoxo logra conceder carla de ciudadanía geométrica a las cantidadesinconmensurables, con )0 que acentúa el proceso iniciado por los pitagóricos de sacrificar, en aras de la geometría, la aritmética y el :ilgehra, cuyasnociones seguirán presentándose en la matemática griega bajo ropajegeométrico. '

En conexión con el postulado anterior Eudoxo introduce un método dedemostración que una discutible traducción renacentista bautizó como"método de exhaución", nombre con que se le conoce yque swtituye en lamatemática griega la noción de [(mite del actual análisis infinitesimal. Esemétodo consiste en una doble reducción al absurdo y según él, para demostrar que una cantidad A es igual a una cantidad Baque una 6guraAelequivalente a una figura B, basta probar que A no puede ser ni mayor nimenor que B.

Una de las primeras demostraciones que habría logrado Eudoxo es laproporcionalidad entre dos circulos C y C' y los cuadrados D y D' construidos sobre sus diámeb'os, es decir, e :C· - D : O'. Para eUo suponeque X sea el cuarto proporcional entre C, D YD' Yadmile X < C'. Inscribeun C' unpoUgonoP'tal que en virtud de) "principio", resulteC' - P' <C' - Xo,loquees lo mismo,1Y < X. SiPesel polígono semejante inscrito en C, envirtud de la proporcionalidad conocida entre los polígonos semejantes y loscuadradosde los lados homólogos C : X =D, D' - p, P' Ypor tanto P> C,evidentemente absurdo pues P es un polígono insaito en C. Como consecuencia de este teorema, o siguiendo un camino semejante, se llega también a un absurdo si se partedeX > C', por tanto X =e'yel teorema quedaprobado.

También por este método habria demostrado Eudoxo la equivalenciaentre prismas y pirámides según referencias de Arquímedes, quien a esterespecto agrega la siguiente observación de interés histórico: " ... no debedejar de atribuirse un mérito no pequeño a Demócrito que fue el primeroque dio esas proposiciones sin las demostraciones",

Cabe señalar que el método de exhaución no es un método de descubrimiento como el método analítico, pues el resullado al que debe Ueg¡¡rsese da por admitido; ni es un método constructivo como el método sintético,en el que partiendo de propiedades conocidas se llega por vía deducti-

65

·-..'1', "

va a nuevas verdades. El método de cxhaución es puramente un método de demostración que no pretende descubrir una nueva verdad.sino demostrarla, circunstancia que pone de relieve una característi·ca de la matemática griega. A diferencia de matemáticos de otras épocas, Jos matemáticos griegos pusieron el acento en la demostración vno en el resultado, en el camino y no en la mela. Y esa demostració~no pocHa ser cualquiera, sino ribrurosamente deductiva a partir de lospostulados y propiedades ya demostradas, pues cualquier otro camino. porevidente o convincente que fuera, "no comJX>rtauna verdadera demostración", como dirá alb'Una vez ArquJmedes.

(3) Las triadas de Menecmo. Sea un cono circular rceto de vértice V.por un puntode una generatriz un pL'U10 perpendicular ala misma y por V unplano paralelo al anterior. Si el ángulo en el vértice del cono es agudo, elplano paralelo no contendrá ninguna generatriz y el plano secante cortará atodas las generatrices (alargadas si es necesario); la sección cónica será unacurva cerrada que se bautizó entonces, según se dice, por el matemáticoAristeo, contemporáneo de Euclides aunque más joven, como sección delcono acutángulo (es nuestra elipse). Si el ángulo en el vértice es recto, elplano paralelo contendrá la generatriz paralela al plano secante, yen estecaso la sección cónica será una curva abierta que se extiende indefinidamente: es la sección del cono rectángulo (nuestra parábola). Si el ángulo enel vértice es obtuso el plano paralelo contendrá dos generatrices paralelasal plano secante de manera que ahora éste sólo cortará a las generatrices deun lado de aquel plano, mientras que no cortará a las generatrices de eseplano y las que estén más allá, aunque más tarde se advirtió que cortarlatambién a estas generatrices si se las prolongaba más allá del vértice.

La sección cónica en este caso es también una rama abierta, pero que semantiene dentro de un ángulo a cuyos lados, nuestras asíntotas, se acercaindefinidamente. Esta sección es entonces la sección delcona abtusángulo(una rama de nuestra hipérbola). Cuando el ángulo que contiene esa ramaes recto (nuestra hipérbola equilátera) la curva adqutet-e propiedadesespeciales,

Desde el comienzo esas curvas pusieron de manwesto sus elementosde simetría (centro, ejes, vértices) y sus propiedades más elementales, asíla parábola permitía transfonnar en cuadrado equivalente los rectángulosde un lado fijo, la hipérbola equilátera pemlitía obtener todos Jos rectángulos equivalentes, propiedades que según referencias posteriores, habrían permitido a Menecmo dar dos soluciones distintas del problema dell11esolabio con esas curvas, En efecto, de la proporcionalidad a :x :: X : Ij :: y: bse obtiene x:.! = ay ; y:'! = b:c ; XI) = ab, de ahí que los dos medios proporcio-

66

nates x e y podían obtenerse o bien m~ianle la inter¡,eecb,ión d~~:;t~~, • 'es perpendIculares entre s o len In

rábolas d~ vértice codmu~ yeJ, ábolas con la hipérbola equilátera de centrointersección de una e esas par ,aquel vértice y de asíntotas aquellos ejes,

/

67

..

IV. LA MATEMÁTICA HELENtsncA

I. Alejandría'

Al iniciarse el siglo 111 a. C. las condiciones políticas y culturales delmundo mediterrá.neo han cambiado radicalmente. En la penrnsulaibliana un pequeño pueblo se babIa convertido en la mayor poten.cia de Iblia e iniciaba una expansión que lo convertirla en un granimperio, mientras-que en el mundo griego las expediciones, conquistas y muerte de Alejandro habían modificado por completo sufisonomia.

Si bien el incipiente imperio que fundó Alejandro desapar~iócon él, la idea de imperio universal que encamó y que habra inlentado realizar arraigó en el campo de la cultura; y la cultura griega, afavor del rápido derrumbe del imperio persa se extendió heleni·zando todo el Oriente.

P9r otra parle, las campañas de Alejandro, a la par que ampliaron el horizonte geográfico de los griegos, dilataron sus conocimientos. Un intercambio fecundo se establece entre Oriente yOccidente y los centros intelectuales se extienden y desplazan.Atenas, perdida su importancia política, pierde ahora su supremaclacultural, yen el mundogriegode Oriente surgen nuevos focosdeirradiación de la cultura griega, entre los cuales sobresale Alejandría, fundada en 332 y pronlo convertida en el gran emporio delcomercio mediterráneo.

El idioma griego, al universalizarse, contribuyó al intercambioy a l~ difusión de la cultura, sirviendo de vehieulo a todos losin telectuales del mundo helenizadp y favoreciendo el progreso dela ciencia a la sazón en una etapa de franca especialización y ramificación. Además, los príncipes helenrsticos dispensaron una am-

69

I

plia protección a las ciencias (U . ,

científicos las condiciones die ~e~mltló no sólo ofrecer a losSu dedicación exclusiva a I,e .segur~ a .y bienestar que facilitaran

• a IIlvestlgaclón y al·que permitió la adquisición de los . a ~nsenanza. sinoveces costosos necesarios para los e ;~~e~l~es ~ IIlstrumentaJ, aesta corte de mecenas ~ 1 d 1s U lOS clentlficos. Modelo de

. . • uea e os Ptolomeos de E .~nvlrtJeron el gran puerto comercial di' . gtpto, quecJentí.flco más il1l1>ortante del mund e ~ cJanclna e~l el centroduradero. ,o griego y también el más

En AJejandria es donde nacen . d .instituciones científicas q y ~e es.lfrol!an las dos grandes

ue caractenzan al pe 'od .• . dM useo y la Biblioteca. n o aJeJan rino: el

Aunquelosdatosdequesedis neaM useo son escasos puede d . po cercade la organización del

, eclrse que e 1e . . .expensas del rey y de d' d I sa IIlstltuclón residían a

pen lentcs e él c' tífitodas partes, con la única obliga '6 d' d'::J

1. lCOS provenientes de

tigación o docentes en las q cll

nboe b .carse a tareas de in ves·uecoa ra anest d' d'

tes provenienles también de tod l' U laSOs yestu 'an·co o helenizado Contaba ~~ os rincones de/mundo heléni·instrumental n~esario' i~~~:~e ~ con el material científico y elpodría calificarse de observator~~nt astronómicos y un local quesioJógic-.lS y sajas de d'" ' ocales para mvestigaciones 6·

IseCClOnes' quizá co t I ed .un J'ardín botá ' ,nara a su a redor COnmco y un parque zoológ' S . 'd

arrollaron a1rededo d . ICO. us activ, ades se des·r e cuatro secciones o d

pajes: matemática Ir • , , epartamentos princi-

I' . as onomIa. medICina letras

a Biblioteca, aunque es sible u : y, por supuesto,que tomó la Biblioteca é~ á ~ ~ en VISta del gran incrementolución en cierto modo'. da m sd~ e ante se convirtió en una insti4

~ In epen lente,AS! corno el Museo resulló el ce d .

campo de las ciencias exactas ntro e las m'iflstigaciones deldría lo fue de las humanidad y naturales: la Biblioteca de Alejan.málica ,su dir" es, en especIal de la filología y la grao

fi. da y ecclón, en especIal en el periodo inicial fi

la a verdaderos sabios, . ue con-

. Con este ambientc cientffico de Alejandrfa se' 1 d'o IIlduectamente las tres fi ' ~ VII\CU an, Irecta

los "tres grandes:'. E I'd guras m,IJ"mas de la matemática griega,. IIC I es Arquímedes Al'

justifica por sí sólo que se;""d 1 Y po 011I0, cuyo brillo"edad de oro de la matemátican~~i:;;". a época alejandrina corno

70

2. Euclides y sus Elementos

Muy poco se sabe de Euclides, fuera de las noticias que mencionaProclo en su resumen histórico ya citado,(I) según el cual Euclidesfue un sabio que {Joreció hacia el 300 a. C., autor de numerosasobras científicas, enlre ellas sus célebres E/ementos de geometría,cuya importancia científica se mantuvo indiscutida hasta el advenimienlo de las geomelrias no euclidianas en la primera milad delsiglo pasado y cuyo valor didáctico se mantuvo hasta comienzos deesle siglo, cuando aJÍn algunas escuelas utilizaban los Elementoscomo texto escolar. Por lo demás, Euclides y sus Elementos fueronsiempre considerados como sinónimo de Geometría.

Los Elementos no contíenen toda la geometría griega de laépoca, ni constituyen un resumen de toda ella; sin duda contieneuna buena parte de la matemática elaborada por los matemáticosgriegos anteriores a Euclides y por Euclides mismo, pero esa parteno fue tomada al azar, sino seleccionada de acuerdo con un criterioprefijado que convirtió a ese conjunto de conocimientos en un ...sistema estructurado según un método.

Ese sislema y este método resultaron tan fecundos que no sólola obra de Euclides eclipsó olros Elementos redactados anterior·mente sino que no se poseen datos de obras an~logas posteriores

a la de Euclides.V,arios factores favorecieron la labor de Euclides. En primer

lugar la posibilidad de disponer del tiempo y de los elementosnecesarios para su labor científica, mediante el régimen "full-time"implantado en el Muse<>. Por aira parte, Euclides tuvo a su disposición una gran cantidad d~ propiedades matemáticas acumuladasen especial por obra de los pitagóricos, de Arquitas, de Teeteto yde Eudoxo, que le permitió seleccionar el material adecuado paraorganizar. con añadidos propios y por primera vez.. un sistema deconocimientos matemáticos sujeto a una estructura unitaria.

Además, Euclides dispuso de la palanca que le permiJió levantar esa estructura: la lÓgica aristotélica que le sirvió de argamasapara construir, con el material seleccionado un edificio de tal soliodez que resistió casi sin deterioros los embates cdticos de siglos.Con esa construeción Euclides instaura un método hoy llamado

71

[

axiomático, que resultó el método científico por excelencia. Métl>do preconizado por Aristóteles como único a seguirse en todaciencia deductiva y que fue adoptado por otros científicos griegos yluego por científicos modernos para convertirse hoy en el métodogeneral empleado en la matemática y en otras ciencias. Consisteen la denuncia previa de las propiedades que han de admitirse sindemostración para deducir de ellas, sin otro recurso que la lógica,todo el conjunto de proposiciones del sistema. Esas propiedadesbásicas sOlllas que se llaman "axiomas" y que Euclides designó conJos nombres de "postuJados" y de "nociones comunes".

Por último, Euclides pudo imprimir un sello y conferir unsentido a su obra: el seUo y el destino del platonismo. doctrina de lacual era adepto y de la cual distintos rasgos se advierten en losElementos. Así, en sus proposiciones, cerca de quinientas, nofigura una sola aplicación práctic..'\, ni figura un solo ejemplo numé.rico. No obstante que tres libros de los Elementos se ocupan dearitmética, en ellos los números aparecen disfrazados de segmen.tos y las propiedades numéricas se demuestran operando con esossegmentos. Tampoco hay en los Elementos mención algunaa ins.trumentos geométricos y si bien suele decirse que la geometría deEuclides no admite sino construcciones con regla y compás hayque agregar que estas palabras no figuran en el tratado y que deatenerse al mismo, habría que decir que s610 admite construccio-nes con rectas y circunferencias. y siempre que tajes construccio-nes obedezcan al sistema.

Otro rasgo platónico de los Elementos se ha querido ver en laimportancia que asib'Tlan a los l>olicclros regulares, a los que sededica íntegramente el último libro considerándose que la construcción de esos "cuerpos platónicos" pudo constih¿i{ precisamente la finalidad de toda la obra. En cualquier caso, es indudable laatmósfera platónica o, mejor, platónico-pitagórico. que envuelve eltratado, que por igual satisfuee a la pretensión platónica de no veren la geometría otro objeto que el conocimiento, ya la pretensiónpitagórica de convertir su estudio en una enseñanza liberal, remontándose a los principios generales y estudiando los teoremasabstractamente y con la inteligencia pura. Es en vista de esaatmósfera que debe juzgarse la obra de Euclides, en especial alconsiderarse el sistema de axiomas básicos que, al sentir de la

72

crítica moderna, no aparece revestido de las precauciones necesarias, olvidahdo por un lado que tales observaciones son el resulta·do de más de veinte siglos de critica y. por otro lado, que el métodoaxiomático no es de fáca realización, ya por la elección de los su·puestos básicos, ya por el desarrollo deductivo en el que puedendeslizarse admisiones implrcitas de supuestos no denunciadosexplícitamente.

Cabe una última advertencia: lo que hoy llamamos Elementosde Euclides es un texto que ha llegado hasta hoy mediante unaredacción de TOOn de Alejandría del siglo IV y que pudo ser completado posteriormente con la ayuda de papiros y manuscritosantiguos, algunos anteriores a TOOn, y aunque la redacción de éstees bastante completa y revisada, no debe olvidarse que es posterior en seis siglos a la redacción original, a la cual pudo haberseintroducido durante ese lapso buen número de modificaciones einterpolaciones.

Los Elementos se componen de trece libros con un total de 465proposiciones: 93 problemas y 372 teoremas. eran ~e de lo~ libros se abre con un grupo de definiciones o, mejor térmmossegún el vocablo utilizado por Euclides, a las que en el primerlibro se agregan las proposiciones básicas, nuestros axiomas, queEuclides distingue en postulados y nociones comunes.

Las definiciones de Euclides no deben entenderse en un sentido lógico estricto. Algunas son meramente nominales; otras re- .nejan el sentido de la realidad eristente en el mundo griego, admitiendo con esas definiciones la eristencia de objetos de esa realidad;otras parecen tener sentido sólo en vista del desarrollo históricoanterior y hasta queda entre ellas algún resto fósil, como la defi·nición de á,ngulo curvilíneo que en ningún momento se aplica ~~

los Elementos. Lo importante es que tales definiciones no se utalzan como argumento deductivo en la construcción euclidiana,manteniendo solamente el papel de mención o descripción delente definido, a quien en la construcción geométrica no se aplicarán sino los postulados, las nociones comunes o las proposicion~s

deducidas de esos principios. Cabe citar, por ejemplo, las defilllciones de punto y de recta (nuestro segmento), típicas definicionesdiscutibles y bastante se ha discutido sobre ellas. Dice Euchdes:"Puñto es lo que no tiene partes. Unea recta es la que yace .gual-

73

mente respecto de todos los puntos". Estas definiciones no 'esostienen desde el punto de vi'ta lógico, pero tal deficiencia noafecta a la construcción geom tTica. pues en ésta nunca aparecen ycuando se habla de puntos o de rectas no se alude a su pret~ndida

definición, sino a las propiedades de eso, elementos que ,e deducen de los axiomas o de proposiciones demostradas, de maneraque en definitiva se procede como en la geometría actual, considerando que el punto y la recta no son aquello, entes tan deficientemente definidos sino los entes abstractos defmidos implícitamentepor sus propiedades enunciadas en los axiomas.

Si alguna conclusión puede extraerse de las dehniciones deEuclides es más de tipo histórico que lógico. Hoy sabemos que lageometría de los Elementos no es la geometría sino una geometría,de ahí que las definiciones configuran el ámbito y la rndole de lo,entes que caracterizan a esa geometría. Así, son características lasdefiniciones de "término", como extremo de algo, y de "figura"como lo que está comprendido entre uno O más término" definicione, que revelan el espíritu de la geometría euclidiana puesto demanifiesto en la predik-eción hacia lo vi,ual, lo limitado, lo hnito,que entraría en crisis con la introducción de las paralelas, cuyadefinición: "Son paralelas aquellas rectas de un plano que prolongadas por ambas partes en ninguna de éstas se encuentran", evidentemente implica un comportamiento de las figuras que excedetodo término.

El número de ax.ioll-ms sobre los que funda Euclides su sistemaes reducido: trece en 101:..1.1, cinco postulados y ocho nociones comunes. (2)

Los po,tulados se reheren a los entes básicos e,pecfficamentegeométricos y su función, de acuerdo con una plaui¡ble interpretación, consiste en fijar la posibilidad constructiva de las figurasformadas por rectas y circunferencias determinando así su existencia y unicidad. En efecto, los tre, primeros postulados aseguran laexistencia y unicidad de Wla recta. es decir, de un segmento prolongado indefinidamente cuando se dan dos punto, de ella; mientras que un cuarto postulado fija la existencia de una circunferenciacuando se da un punto (su centro) y un ,egmento ('u radio).

Esos cuatro postulados hjan la existencia de rectas y circunfe·rencias concebidas en forma indcl>endiente; quedaba por fijar sus

74

/

vinculaciones mutuas. Por razones intuitivas, o quizá llevado parlaconcepción que entrai\aba la definición de figura, Euclide,admitela naturaleza de las posibles intersecciones de rectas con circunferencias. con rectas y de circunferencias, sin acudir al "postuladode la continuidad", hoy con,iderado indispensable y que. segllll

dijimos, Euclides reemplazó por el "principio" de Eudoxo.Quedaba pue, a Euclides únicamente por demostrar o postular

las posibilidades de la intersección entre dos rectas, que por supropiedad de prolongarse indehnidamente conhguraban una estructura, no una "figura", a la cual la intuición no podía acoplar nijustificar comportamiento alguno.

El reconocimiento de este hecho pone de manihesto uno de losrasgos geniales de Euclides, pues éste hja aquel comportamientopor medio de un po,tulado: el último de la ,eriey que más tarde sedestacó como el "Quinto postulado", por la celebridad y notoriedad que alcanzó en vista de las discusione, a que dio lugar; noobstante la buena dosi' de evidencia intuitiva que comporta 'uenunciado. Y las geometrías no euclidianas que nacerán cerca--deveintidós siglos más tarde no harán sino corroborar el acertadosentido matemático y lógico que llevó a Euclides a adoptar tan ge-nial decisión. .

En cuanto a las nociones comunes, que Euclides acepta sindemostración no son sino las operaciones fundamentales entremagnitudes ,ean geométrícas o no.

Los primeros cuatro libros de los Elemento. de probable origen pitagórico,(3) comprenden las proposiciones más importante,de geometría plana elemental, referentes a tTiángulos, paralelogramos, equivalencias. teorema de Pitágoras, con quien se cierrael primer libro, circunferencias e inscripción y cincunscripción depolígonos regulares.

Los dos libro, ,iguiente, ,e refieren a la proporcionalidad (4)sobre la base de la teona de Eudoxo y sus aplicaciones: ,emejanzade polígonos y generalización de lo, problemas de aplicación deáreas de los pitagóricos.

Los tres libros siguientes son aritméticos o, mejor, en ellos setrata de teoría de números (5): divi,ibilidad, números primo,.progresione' geométricas cerrándo,e con la proposición en la queEuclides enuncia la expre'ión de lo, números perfectos pare,.

75

El siguiente libro, el décimo, es el más extenso y el más dificil:se ocupa de los irracionales (6) clasificando, mas no calculando, unaserie de combinaciones de expresiones racionales e irracionales.tales como las que se presentarían como rafces de una ecuaciónbicuadrada.

Algunas de estas combinaciones se aplican más tarde en lateoría de los poliedros regulares, aunque ha de reconocerse queexiste una verdadera desproporción entre el material acumuladoen el libro décimo y el reducido uso que después se hace de él.

Los tres últimos libros de los Elementos son de un contenidomás bien heterogéneo: podrían calificarse de geometrla superior,no por su factura sino por tratar cuestiones ya de geometrfa delespacio, ya que implican nociones del actual análisis infinitesimal.En efecto, el libro Xl expone algunos teoremas de geometria delespacio, necesarios para los dos libros siguientes: el XII comprendeen cambio teoremas del plano o del espacio que exigen para sudemostración la aplicación del método de exhaución, mientras queel Xlii se ocupa exclusivamente de los cinco poliedro; regulares yde su inscripción y circunscripción en la esfera. (7)

Tal es en s[ntesis la obra más importante de Euclides. Porgrande que haya sido el aporte de los matemáticos anteriores,queda siempre para Euclides el mérito de haber aplicado porprimera vez un método que resultó fecundo para la matemática yla ciencia en general, y el de haber estructurado sistemáticamentemediante ese método, en forma orgánica y ordenada, una grancantidad de conocimientos matemáticos, en especial de geometriaplana, sin olvidar que Euclides con sus Elementos acenlúa unanota característica y permanente de la matemática: su carácterabstracto y su finalidad fincada exclusivamente en el Conocimiento.Ya Platón en la República lo había afirmado:" ...au~·aqueUo;quetengan escasos conocimientos de geometría no pondrán en dudaque esta ciencia es todo lo contrario de lo que supondr!a la terminología de los geómetras ... Es una terminología demasiado ridlcula y pobre, pues como si se tratara de alguna finalidad práctica,ellos hablan siempre de cuadrar, de prolongar, de agregar, cuandoen verdad la ciencia se cultiva con el único objeto de conocer."

Pero en matemática conocer es demostrar y los Elementos nosofrecen el primer ejemplo en gran escala de ese fecundo juego de

76

la razón. creador de nuevos conocimientos que se presentanatraídos por la irresistible fuerza del raciocinio y cuya úniC'a finalidad es el conocimiento mismo. Sin duda que para los gustos de hoylas demostraciones de Euclides son áridas, encuadradas en moldesformales demasiado rlgidos, algo pedantes pero con todo ha deverse en el orden lógico, en los recursos deductivos y en los métodos de demostración otro de los méritos de los Elementos deEuclides.

Los editores antiguos agregaron a los trece libros de los Elementos un par de libros más (apócrifos) relacionados con los poIiedros regulares. El llamado LibroXIV de los Elementos se debe aun matemático importante de la primera mitad del siglo U a. c.:Hipsicles de Alejandría; en verdad es una continuación natura! delúltimo libro de Euclides, pues se ocupa de los poliedros regularesanotando, entre otras, esta interesante propiedad: Si en una esferase inscriben un cubo, un dodecaedro y un icosaedro, los lados delcubo y del icosaedro son proporcionales a las áreas y a los volúmenes del dodecaedro y del icosaedro, dependiendo el factor deproporcionalidad de la razón entre los segmentos que divide unarecta en media y extrema razón.

Además Hipsicles se habr!a ocupado de aritmética, abord'l"doun viejo tema de origen pitagórico, pues según Diofanto se ledebería la definición de número poligonal P de p lados y n términos de una manera que traducida a1gebraicamente ~rla

P = n + 'l. n (n - 1) (p - 2).

En cuantoallibroxv, n)JJY inferior al anterior y que también seocupa de poliedros re¡,,'ulares se atribuye a un disclpulo de Isidorode Mileto, matemático que Ooreció en el siglo VI.

Los Elementos constituyen un conjunto si.stemático y sistematizado de conocimientos matemáticos griegos, pero no es el conjunto de todos esos conocimientos que poseían los griegos de laépoca de Euclides, de manera que para conocer el estado de lamatemática griega a principios del siglo 111 a. C. debemos agregarlos conocimientos matemáticos que aquéllos no contenían.

Por lo pronto, los Elementos no podían contener sino aquellaparte de la matemática griega compatible en el sistema euclideo,es decir, aquella que podía deducirse de los postulados que, explí-

77

cita o implícitamente, le servían de fundamento. Pero es claro quetampoco podean contener todas las propiedades susceptibles dededucirsede estos postulados. Ya Proclo nos informa que Euclidesno dio sino aquellas propiedades que podian servir de "elementos",pero fuera de estas omisiones deJiberadas hay que agregar omisiones forzosas, representadas por Jas propiedades desconocidas entiempos de Euclides y las que éste no estudió o no pudo deducir,En este sentido hay que señ~ar que tales omisiones son singularmente importantes en el campo de la geometria de la medida. Aseno figura en los Elementos intento alguno para rectificar la circunferencia o arcos de circunferencia, como tanlJX>CO para "cuadrar"el círculo o sus p.:'l.rtes o las extensiones superficiales totaJes o par_ciales de las figuras que limitaban los cuerpos redondos: cilindro.cono y esfera. En este sentido, la llOica propiedad que trae los Ele.mentas es L, proporcionalidad entre los círculos y Jos cuadrados desus diámetros respectivos. Igual co·sa ocurre en el espacio: pue.den compararse los poliedros entre se y algunos cuerpos redondosentre si (la esfera con la esfera, el cono con el cilindro). pero faltltoda comparación entre Jos poliedros y los cuerpos redondos.

Además de esas omisiones deliberadas o forzadas los Elementos no podían contener aquellos conocimientos que no encuadraban en el sistema de Jos postulados euclideos tuvieran o no con.ciencia de ello los griegos, conocimientos a los que pertenecían,por ejemplo. todo lo concerniente a los tres problemas clásicos:trisección del ángulo, duplicación del cubo y cuadratura del círculo.

Otro grupo de conocimientos matemáticos griegos de comien.zas del siglo 111 no podio estar incluido en los Elementos. Nosreferimos ante todo a los elementos de aritmética práctica, la lla·lOada "logistica" (8) por los griegos, que abarcaba el sistema d.numeración y las reglas operatorias elementales con enteros yfracciones, necesarias en las aplicaciones de la vida práctica O de laastronomía, topografía, mecánica, y, por otra parte, a ciertas ramasde la ciencia natural que, por su fácil geometrización, se constru·yeron en íntima conexión con la matemática: astronomía, óptica,cinemática.

Esa íntima conexión se pone en evidencia considerando queramas de la geometria del espacio, como la geometria esférica, (9)integraban la astronomía, mientras que ciertas nociones elementa·

78

les relativas al movimiento: congruencia por superposición, generación de los cuerpos redondos, integraban la geometrfa.

Además de los E/ementos indudablemente su obra máxima, sedeben a Euclides otros escritos matemáticos algunos existentes,otros perdidos. Entre los escritos de rndole geométrica (10) figumnlos Datas, obra que parece haber sido escrita para aquellos <¡uehabiendo completado el estudio de los Elementos deseaban ejercitarse en la resolución de problemas que exigfan el conocim ientodelas propiedades del tratado de Euclides. En efecto, Datos se compone de un centenar de proposiciones en las qu se demuestracómo partiendo de ciertos datos -de ahe el nombre- quedabadeterminada una figura ya en posición, ya en magnitud o ya en su

forma.De las restantes obras geométricas de Euclides, o que se le

.tribuyen se han perdido los originales griegos. De la obra Sobreia división ele las figuras se dispone de versiones árabes; de losPoriSlI'UJs de función probablemente semejante. Datos no se tiene _sino noticias; menos aun se conoce acerca de 5US ParalogisnlDs Ó

Sofi.,nas probablemente una obr. didáctica escrila par' ~dieSlraralos discípulos en el razonamiento correcto; de sus Comeos, encuatro libros que serfa un tratado sobre este tema comprendidoentre los de Aristeo y de Apolonio; y de sus Lugares superficiales,respecto del cual no hay toclavea formada opinión sobre el significa- .do del !ftuJo. ' . .

Además de estas obras, estrictamente geométricas, se deben oatribuyen a Euclides otras obr.s sobre temas de la matemáticagriega en sentido lato. Asi, se le atribuye un fragmento sobre lateoría matemática del sonido, un tratado elemental de astronomíatitulado Fenómenos; un fragmento de Sobre /0 palanca, conocido alr~vés de fuentes árabes ydos escritos sobre óptica: Una 6pica quecontiene las proposiciones fundamentales de óptica geométricafundadas sobre la hipótesis: "Los rayos que parten del ojo sonrectilfneos": y una Catóptrica que estudia los fenómenos de larefleKión en espejos planos.

79

--

\

\


(1) Euclides y $U obra según Proclo. La continuación del fragmento deProclo ya mencionado en el Cap. lJ1, reza así: "Euclides, el autor de losElcruentos, no es mucho más joven que Hermotamo de Colofón y queFilipo de Mende; ordenó varios trabajos de Eudoxo, mejoró los de Teetetoy dio además demostraciones indiscutibles de todo aquello que sus predecesores no habían demostrado con el rigor necesario. Euclides Roreciódurante el reinado de Ptolomeo 1, pues es citado por Arquímedes quenació hacia fines del reinado de esé soberano. Además se cuenta que un draPtolornco preguntó a Euclides si para aprender geomebia no emtía uncamino más breve que el de los Elementos, obteniendo la respuesta: en lageometría no existe ningún camino especial para los reyes . .. Euclides es,pues, posterior a los disdpulos de Platón, pero anterior a Eratóstenes y aArquímedes, que eran conternJX)ráneos, según lo afirma Eratóstenes enalguna parte. Euclides era de opiniones platónicas y estaba familiarizadocon la filosoaa del Maestro, tanto que se P(opusocomoohjetivo final de susElem.entos la construcción de las fi&rur3S platónicas.

Se poseen de él muchas otras obras matemáticas escritas con singularprecisión y de un elevado car.1cter teórico. Tales son la Óptica, la Catóptrica, los Erem.entos ck música, y también los libros Sobre la3 dioisionel.Pero son de admirar especialmente sus Elementos de geometría, JX)r elorden que reina en ellos, JX)r la elección de los teoremas y de los problemasconsiderados como fundamentales, puesto que no ha incluido todos aquellos que estaban en condiciones de dar, sino únicamente aquellos capacesde funcionar COIllO elementos y también por la \"ariooad de los raciociniosque son conducidos de todas las maneras posibles, ya partiendo d.e lascausas, ya remontando los hechos, pero siempre son convincentes e irrefutables, exactos y dotados del tono más científico. Agréguese que utili:Latodos los procedimientos de la dialéctica: el método de división para determinar las especies, el de la definición para detenninar los razonamientos esenciales; el apodíctico en la marcha de los prin&ij>ios a las cosas yel analítico en la marcha inversa de lo desconocido a los principios. Esetratado también nos presenta en forma bien separada los distintos tipos deproposiciones recíprocas, ya muy simples, ya más complicadas, pudiendola reciprocidad cumplirse entre el todo y el todo, entre el todo y un. parte,entre una parte y el todo o entre una parte y una parte. ¿Y qué diremos delmétodo de investigación, de la economía y del orden entre las distintaspartes, del rigor con que cadapunto queda fijado? Si pretendierasagregaroquitar algo, reconocerías de inmediato que te alejas de la ciencia y teacercas hacia el error y la ignorancia. Pues en verdad muchas cosas poseenla apariencia de ser verdaderas y de surgir de los principios de la ciencia,

80

mientras en cambio se alejan de estos principios y engañan a los esp(ritussuperficiales. Por eso Euclides expuso también los métodos que utiliza la.mente que ve claro y con los que deben familiarizarse todos aquellos quequieren aoometer el estudio de la geometría, advirtiendo los paralogism.osy evitando 105 errores. Este trabajo lo ha realizado Euclides ~n .su ~ntoSofJSTOO.S, en el que enumera ordenada y separadamente los disbntos ~posde raciocinios erróneos, ejercitando sobre cada uno de ellos nuestra IIlteligencia mediante teoremas de toda clase en los que opone la verdad ~ lafalsedad y pone en evidencia la demostración de la verdad con la refutacióndel error. Este libro tiene entonces por objeto purificar y ejerQtar la inteligencia, mientras los Elementos oonstituyen la gula más.~~ y completapara la contemplación científica de las figuras geométncas.

(2) Los an01nas tU Euclides. Euclides enuncia sus cinco postulados dela siguiente manera:

PoStúlese: 1) que por cualquier punto se pueda t:razar una recta que~a por otro punto cualquiera; 2) que toda recta limitada pueda prolongarse indefinidamente en la misma dirección; 3) que con un centro dado yun radio dado se pueda trazar un cfrculo; 4) que todos los Il.ngulos recto~

sean iguales entre sí, y 5) que si una recta, al cortar a otras dos, fonna losángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectasprolongadas indefinidamente se cortan ddlado en que est,3n los ángulosmenores que dos rectos.

La primera impresión que produce la lectura de estos postulados esque enuncian proposiciones de índole distinta.: los primeros tres aluden ~

construcciones; el cuarto a unapropiedad, y el quinto tiene todo el aspectodel enunciado de un teorema. Pero si se encaran como juicios que afinnanla existencia y unicidad de 105 elementos: punto, recta y circunferencia.,con los que se construirá la geometrla, su función se aclara. En efecto. losdos primeros postulados fijan la existencia de la recta detenninada pardospuntos. A su vez, la unicidad de esa recta queda detenninada por el cuartopostulado al fijar la igualdad de los Il.ngulos rectos 0,10 que es lo mismo, quelas prolongaciones son únicas. Por otra parte, un sedo postulado quegeneralmente se incluye (erróneamente) entre las nociones comunes, afirma que entre dos rectas no existe espacio alguno.

Por su parte, el tercer postulado afinna la existencia y u~~cidad de. unacircunferencia dado su centro y su rddio, de ab( que en definitiva los pnmeros cuatro postulados admitan la existencia de rectas y circunferen:w o,en otros términos, pennilan el uso de la regla y del compás como mstru~

mentos geométricos. Aunque y.. advertimos, que en ningún momentoEuclides alude a estos u otros instrumentos geométricos.

81

/,

\

Por último, el quinto postulado fija las condiciones para que dos rectasdeterminen un punto cuya unicidad quedaría asegur.ada por el postuladoya citado, que se incluye generalmente en las nociones comunes.

Es claro que, encarados desde este punto de vista, faltarían en lageometría euclidea los postulados acerca de las intersecciones de las circunferencias con rectas o con circunferencias que Euclides admite implícitamente. Y no deja de ser curioso señaJar que los Elementos se abren con elproblema: Construir un triángulo equiMlero de lado dado, donde tal construcción queda dctcnninada mediantF la intersección de dos circunferencias.

En cuanto a las nociones comunes, he aquí los ocho enunciados deEuclides: l)cosas iguales a una misma cosa, son iguales entre sf; 2) si acosasiguales se agregan cosas iguales las sumas (Euclides dice: el tot.a.l o la reunión) son iguaJes; 3) si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos sonib'Uales; 4) si a cosas desiguales se agregan cosas iguales, los resultados sondesiguales; 5) las cosas dobles de una misma cosa son iguales entre sí; 6) las:mitades de una misma cosa son ib'Uaies entre sí; 1) las cosas que se puedensuperponer una a la otra son iguales entre sí; 8) el todo es mayor que laparte. Ya dijimos que generalmente se agrega una novena noción común:dos rectas nooomprenden un espacio, enunciado que tendría su lugarm~apecuado entre los postulados.

Se advierten fácilmente las funciones de las nociones comunes de Euclides: ellas postulan la ib"Ualdad, desigualdad, suma, resta, duplicación ydivisión por mitades, de las "cosas", es decir, de nuestras magnitudes, Esinteresante destacar la séptima noción común que introduce la noción demovimiento en la construcción geométrica.

Al observar en su conjunto los axiomas de Euclides, la primera observación a señalar es la ausencia de postulados relativos a la geometría de)espacio; en efecto, Euclides no ha construido la geometría sólida en laforma tan completa y rigurosa que aparece en la geometría plana.

Pero si se limita el a.n:ilisis a la geometría plana y se compard el sistemade axiomas de Euclides con un sistema moderno, por ejer¡Qlo el de .... iIbert, se ad"erte que los postulados de Euc~des desempeñan el papel delos axiomas de enlace y de las paralelas de Hilbert; y que las nocionescomunes de Euclides sustituyen los axiomas de congruencia de Hilbert; deahí que faltari'an en los Elementos los axiomas del orden y el de la continuidad, admitidos implícitamente por Euclides, el último como "principio", Tales omisiones, como el de algün otro axioma necesario desde elpunto de vista lógico y técnico, no perjudican sin embargo a la conslruc·ción euclidea que en momento alguno peca contra cUas.

Dado el carácter de la geometría griega, tales omisiones se explican nosólo por el carácter fuertemente intuitivo de los axiomas omitidos, sino

82

también porque se veía en esos enunciados algo .s~perfluo, el\ v.isla de quepara los griegos no eran imaginables las proposlClones contran3S.

(3) Los libros pitagórU;os de /()$ Elementos. Considerando COIOO taleslos primeros cuatro libros de los Elementos digamos que el pnmer h~ro,de48 proposiciones, puede considerarse dividido en dos p:u1es: las pnn~eras32 proposiciones se re6eren a las propiedades de los tri~~gul~, tennmando con el teorema característico de la geometria euclidiana. e ~r constante e1 igual a dos rectos la suma de los ángulos de cualqUier triángulo.

I "Q . to postulado" el de las paralelas. por cuanto seCabe agregar que e UIIl ,deduce de él la existencia de la paralela única a una recta desde un punt?exterior no se introduce hasta la proposición 19, lo que prueba que Eud~d tratÓ evidentemente de evitarlo en las L8 anteriores, ~podepro~1-

es . tria "ndenendlente del qUll1tociones que constituye de por Sl una geome l. cr

postulado. . 6 bi a paralelo-Las últimas 16 proposiciones del libro se re e~el\ en cam .0. e

amos y triángulos y sus equivalencias para tenmnar, como u~timo par dgrproposiciones, con los teoremas, directo y recíproco de p,tágoras. Lan. laS liguos pertenece ademostración de ese teorema, según comenlanS an ,

al mismo Euclides. 60· ió dEl libro segundo de 14 proposiciones se abr~ con la de _K: n .e ~oa.

6 tili·zada en las demostrdciones euclideas de equlvalenC\3S. esgura muy u . . d·1" on" palabra que parece tener un origen astronómiCO pues 111 lea

e gnom , 1 h· ._. r.. d barr ti·cal descansando sobre un p ano onzonuu,la llOSlclón e una aver , I

til"zada para medidas aStronómicas o de tiempo. En la matemática e gm>-

~o~ es en general todoaqueUo que agregado a un núm~ro~fi~a:::i:le a estos en un número o 6gura semejante. Asícualqwe~ e . e di'de carpintero que utilizamos en las demostraciones antmét:1eaS, e os

pitagóricos, en un gnomon. . .. ladaEn esle segundo libro aparece el ":1lgebra geomébic~ ',represen .

por 10 proposiciones que traducen geométricamente las SI~lentes propiedades, expresadas algebraicamente con los sfmbolos actu es;

m (o + b + e + ,..) = rna + mb + me +(a + b) a + (a + b) b = (a + b)'(a + b) a = a' + ab(a + b)' = a' + b' + 2abab + [1/. (a + b) - bl' = ['l. (a + b)]'(2a + b) b + a' = (a + b)' .(a + b)' + a' = 2 (a + b) a + b'4 (a + b) a + b' = [(a + b) + al'a' + b' = 2([1/. (a + b)]' + ['/2 (a + b) - bl'](2a + b)' + b' = 2 [a' + (a + b)'l

83

Las cuatro úJtimas proposiciones comprenden los problemas; divisióoen media y extrema razón; "cuadrar" cualquier figura poligonal, y lasgeneralizaciones del teorema de Pitágoras a los triángulos acutángulos yobtusán¡,'Ulos.

El übro tercero, de TI proposiciones, estudia las propiedades de lacircunferencia, terminando por el teorema de la constancia del productode los segmentos detenninado por las secantes trazadas desde un puntointerior o exterior. El libro cuarto, de 16 proposiciones, se refiere íl lainscripción y circunscripción de polígonos regulares a una circunferenciaenseñando Euclides a construir efectivamente los polígonos regularesde 4.5.6 Y15 lados, la construcción de polígonos regulares porduplicaei6nde lados era conocida; en cambio no hace alusión a los polígonos cuyonúmero de lados es 7, 9, 11 Y 13 que no pueden construirse con regla ycompás.

(4) 1....tJ p,-apo,-ciona/idad en los Elementos. Los libros quinto y sextotratan de la proporcionalidad y la semejanza de acuerdo con los fundamentos sentados por Eudoxo. El libro quinto, de 25 proposiciones, expone la teoría geoernJ de la proporcionalidad, independiente de la naturaleza de las cantidades proporcionales: entre las definiciones aparece el"principio" de Eudoxo (nuestro axioma de la continuidad) y la definición.también de Eudoxo de b proporcionalidad mediante desigualdades.

El sexto übro aplica de 33 proposiciones, esa teoría general a Jas magnitudes geométricas dando nacimiento a la teoría de los polígonos semejantes; y como aplicación la generalización de los problemas de aplicaciónde ::ireas de origen pitagórico y que involuaan la resolución de la ecuación algebraica de segundo gr.ulo en forma genernJ, pero con ropaje geométrico.

El primero de esos problemas, llamado de aplicación simple, consisteen construir un polIgono equivalente a un polígono dado P y semejante aotros polígonos. El problema se reduce a construir una media proporcional. pues si x y • son bdos homólogos del poUgODO que se busca y S,será x2

: a2 = P: S que, por otra parte, es la expresión dJbna ecuación desegundo grado en % incompleta.

El segundo problema, llamado de aplicación por defecto, consiste enconstruir sobre una parte de un segmento dado a un paralelogr.uno eqwvalen te a un polfgono dado P de tal manera que el paralelogramo "filIlante", de igual altura que el anterior construido sobre la otra parte del segmento dado, sea semejante a un paralelogramo dado S. Pero al enuncia·do de este problema Euclides agrega. Es necesario que P no exceda alpar,¡Jelogramo semejante a S construido sobre la mitad del segmento ..En efecto, un teorema anterior demostraba que tal condición es indis.

84

pensable para que el problema de aplicación de áreas por defecto tengasolución.

Si So es este paralelogramo máximo Euclides lleva el problema alcaso anterior detenninooo un paralelogramo semejante a S y equivalente So - p. pero en verdad la incógnita % (la parte faltante) no es sinouna cualqujera de las dos raíces positivas de la ecuación de segundo grado % (. - %) = .'P : 4S•.

El tercer caso semejante al anterior, de aplicación de áreas por exceso, consiste en construir sobre el segmento prolongado el paralelogramoequivalente a Pde manera que el paralelogramo construido sobre la prolongación sea semejante a S. En este caso el problema siempre posible,se lleva al primer caso donde el paralelogramo que se busca es equivalente a S. + P, y la ine6gnila x {el segmento excedent~la raIz positiva deb ecuación % (. + %) ~ .'P : 4S•.

(5) La .rit",éti€. de los Elementos. No existe en los EleJnentos elmenor intento de fundar la aritmética sobr~ un sistema de postulados.Los tres libros que se dedican a la aritmética. con un tolal de 102 proposiciones, se abre con un conjunto de 12 definiciones donde se dice que"Unidad es aquello por lo cual eada cosa singubr se dice uno"; "Númer<¡..es una pluralidad compuesta de unidades", para Juego seguir oon lasdefiniciones de números mayor y menor, múltiplo y submúltiplo, par eimpar, primo y compuesto, etcétera; también se habla de números planos(de dos factores). números sólidos (de tres factores), de los cuales el cuadrado y el cubo son casos particulares, pan. teoninar con la definición denúmeros perfectos como aquellos números suma de sw divisores, excep-to sí mismo. "

En eJ übro séptimo se expone la teona del máximo común divisor,por el método de las divisiones sucesivas. y del mínimo común múltiploque define así: Dados dos números a, b, se expresa la fracción a : b en laforma irreducible a' : b', su mínimo común múltiplo es ab' - a'h, lo <Iueequivale a tomar como mínimo común múltiplo el producto de los núme·ros dividido por su máximo común divisor.

Los otros dos libros contienen varios teoremas importantes: a) la seriede los números primos es ilimitada; b) la suma de los ténnil105 de unaprogresión geométrica, expresada en la fonna con nuestros símbolos,

(a2 - al): 01 = (UD - al): S. donde al> 0\1:. 0n

son los ténninos primero. segundo y último de b progresión. y S es lasuma de los precedentes a a n; expresión cOmo es fácil comprobar, queequivale a la actual; e) b aplicación de la expresión anterior a b progresión de razón duplicada. es decir 2. Y primer término la unidad como

85

I

diferencia entre el lénnino . al '1 .'ó dI' que sigue u timo menos el primero' y d) la

expresl n e os numeros l>erfect El'la contn'b'ó '. os pares. sIc ú timo teorema sin duda

UCI n anbnéllca más ori" al d E c1'd 'su~na de una. progresión geométri~l~e ::u,nudl"P~~~:P;:~nq~~I~~~pn:;o. ese numero por el último término de la progresión es un númerope ecto. Con nuestros súnbolos: si S = 2RtI - 1 . J'N = 2 11 S es un n' ro es pnmo, e numerol 2 22 2" S umero2 pe ceto. _En efecto. Jos divisores de N son:S· • •... • i 25, 2 S, ... 21t 'S, Ysu Suma es

+ S (1 + 2 + 2 + ... 2"-1) = S (1 + 2" - 1) = 2"5 = NY N es perfecto. 4

ca A~n?ue ~uclides no trae ningún ejemplo numérico es indudable quenoc a os numeros pertectos más pequeños dados por su ex resión

~o demás se sabe que ya Nicomaco (s. 1) da los cuatro perfecios me~o~:, 28, 496, Y8128 'Iue colTesponden a " = 1 2 4 6'--- .

exce '6 d J S • • , U'd-Ia ti Impar cont pel n ~ , no es primo). Actualmente la lista de números ~rfecos pares se la extendido, todos pertenecientes a la expresión euclidea

aunque se conoce la fonna que tendrfan lo, perfectos im ynoce ninguno de ellos. pares no se co-

(6) Los irracionales .,lios Elemenlos. Ellibro décimo d I Eltos es el más extenso d e os emen-

. d' . ,pues compren e 115 proposteiones y en él seestu. 13J1 e~ fo~a geométrica las propiedades de un cierto ~upo de expreSIones UTaClonales, boy llamadas C\Jadráticas b' adrá'gunas apl'cae' P l Y IC\J ticas con al-

• J Iones. or ejemp o, demuestra que en el problema de apli-cacIón de :lieas por defecto de «presión algebraica x (a - x) = ~,b' lossegmentos ~ ~ (a -. x) son conmensur...bles si los son a y Va 2 -'h"

~n definItiva el libro ~ntiene una clasificación de irracionaJes bicua:clráticos que pueden ==1"" a1gebraicamente considerando la identidad

V vp± vq= V ~. (VP+~ ± V 'it (vp_v'P=qjy. conslderan~o los l2 casos posibles que se obtienen combinando· a) dosslgn~~upenores o inferior; b) que p o q o ninguno de los dos ~ uneua o perfecto y c) que p y p - q sean o no conmClI~urables. Aparece~ en el libro .numerosos teoremas de "álgebra geométrica",aJgunos ya VI~tos en los labros anteriores, otros nuevos; entre estos últimos la expresión general de los "bipletes pitagóricos" que Euclides da en bforma x = mn; y = Y'l (m! - n')' - = 1/. (".' + n') dd be ' ... agregan o que m y n

.c n ser ~mbos pares o ambos impares (aunque para obtener las soluCiones mínimas deben tomarse m y tl impares y primos entre sQ,

(7) Los tres últimos libros ,le los Elementos Estos tr I'btotal d 75 . . ... es I ros con UD

e pr?IX>Slclones están dedicados en su mayor parte de latría deJ esJXlClo. En el primero de esos libros se anteponen las de~~::

86

nes de ángulos diedios y poliedros y de poliedios y C\Jerpos redondos,utilizándose par... las definiciones de estos últimos elmovimicnto pues laesfera, el cilindro y el cono se definen mediante la rotación de un semi·círculo alrededor de su diámetro, de un rectángulo alrededor dc uno dcsus lados y de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catelos,respectivamen te.

Euclides no establece postulado alguno par1l1a geometrla del espacio,omisión lógica cuyas consecuencias se advierten en los primeros teoremas de estos Ubros en los que se pretende vanamente demostrar la existencia del plano, del cual por lo demás se da una defutición defectuosa.

La geometría del espacio en los Elementos sigue en la fonna actualaunque cabe destacar que Euclides no proce<le en este cam~ en la brma ordenada y completa como habia procedido en geometifa plana; seadvierten ademlis ciertas omisiones: por ejemplo, se habla de paralelismoentre rectas o entre planos, pero no entre rectas y planos; como si Euclides no se hubiera propuesto sino reunir el material indispensable para lademosb"ación de los teoremas de los libros siguientes, en especial delúltimo.

El segundo de estos tres libros se caracteriza por el hecho de ser susteoremas aquellos que exigen el método de exhaución introducido por _Eudoxo, método que Euclides aplica únicamente en estos cuatro casos:proporcionalidad entre los círculos y los cuadrados construidos sobre losdiámetros respectivos e igualmente entre las esferas y los cubos construidos sobre esos diámetros; equivalencia entre la piclmide y la tercera par-te del prisma de igual base y altura e igualmente esa equivaJencia entrecono y cilindro. /

El último libro de los Elementos está totalmente dedicado a los cincopoliedros regulares con un teorema final que expresa las relaciones entrelas aristas de esos poliedros y el di1metro de la esfera circunscrita

Aparece por último, como lema probablemente añadido posterior.mente el teorema~ que se atribuye a los pitagóricos, según el cual fuerade los cinco poliedros regulares conocidos no exisle ningún otro poljedroregular, demoslr.lción que se funda en la oaturaka especial de los "'gulos poliedros que se foman en los vértices de los poliedros regulares.

(8) La logística griega. Ya aludimos a los sistemas de numeración delos griegos. El sistema utilizando L'lS letras del alfabeto pennitfa escribirlos números hasta el millar; anteponiendo una coma a las letras que indicaban las unidades se tenfan las unidades correspondientes de los mUlares, Uegándose asHwta la mirlada (10'), a veces simbolizada por una M.Para números superiores a las miríadas se utilizaron reglas diferentes,mientras que para las fracciones de numerador unitario se señalaba el

87

,

denominador con un signo especial, aunque también parece que usaronfracciones con numerador y denominador. En astronomía se utilizó conpreferencia el sistema sexagesimaJ.

En cuanto a las reglas operatorias, poco se sabe, fuera de algunosejemplos diseminados en los textos cient[f¡cos; es probable que para lasuma, la resta y, quizá, para la multiplicación se utilizara el ábaco; paraoperaciones mois oomplejas operaban con los números escritos con let:rasen una fonna semejante a la 3Iqtual.

CT ~ • 265 265265 265

CT ~ •

• • 40000 l2000 HXXl 1325

M M .fJ ,a 12000 3600 300 1590« 1000 300 15 530M ,fJ 'Y )( T

7021',570225

,a T K e

eM CT K •

He aquí un ejemplo de multiplicación "griega". donde las letras superpuestas a las Al indican las unidades de mirladas y las rayas superpuestas a las letras es una manera de evitar la confusión entre letras ynúmeros. A la derecha de la multiplicación griega está la traducción ensCmbolos numéricos actuales y la multiplicación tal como la efectuaríamos hoy.

(9) La "Esférica" antes de Euclides. Es sistemática en los Elem.eJltOlla ausencia de las propiedades relativas a las figuras trazadas sobre laesfera. Si se exceptúa la definición y la proporcionalidad entre las esferasy los cubos construidos sobre sus diámetros, la esfera só'!Ve presenta ensu relación con los poliedros inscritos y circunscritos. Este significativosilencio hiz.o pensar en la existencia de tratados que se refirieran especial4mente a esa rama ck la geometrla del espacio '1 que, por su aplicación a laastTonomía se consideraran más pertenecientes a esta última ciepcia quea la geomeirla.

En efecto, se tienen noticias acerca de una Esférica del periodo helénico aunque de autor no bien individualizado, atribuyéndose el tratado aEudoxo en vista de que éste en su teoría del sistema planetario utilizaesferas concéntricas; amén de sus méritos como matemático. En cambáo,se conoce el autor: Autolico de Pitana del siglo IV, de una EsfiriclJ aun4

88

que de carácter más astronómico que geométrico, a la cual se asemejarlala obra Fenómenos de Euclides.

(10) Las abras geométricas de Euclides. Da/os, que además de los Elementos es la obra geométrica de Euclides aún existente, contiene problemas de este tipo: si se conoce un ángulo de un triángulo y la razón entreel rectángulo fonnado por los lados adyacentes al ángulo y el cuadradodel lado opuesto, el triángulo está dado en su fonna (E uelides dice en"especie') es decir, queda detenninado un conjunto de tlÜngulos semejantes. Otros problemas son aplicaciones de "1ilgebra geométrica) oonreminiscencias del álgebra de los bab~onios.

Respecto de la obra sobre la división de las figuras que cita Proclo,sólo se tienen noticias mediante un par de versiones mbes sobre la basede las cuales se ha reconstruido. comprendiendo un conjunto de proposiciones en las que se plantea el problema de dividir figuras planas, poUgonos, círculo y hasta una figura mixtilínea, mediante rectas que eum·plan ciertas condiciones, en figuras parciales que deben cumplir tambiéncondiciooes prefijadas.

Otra obl'1l geomébica (pérdida) sobre la cual se han tejido numerosasconjeturas es Porism4S de la cual, sobre la base de las noticias que trae...

Pappus, se han hecho varias reoonslrucciones. Pappus dice que esta obraen tres libros compuesta de 38 lemas '1 171 teoremas era "una coleccióningeniosa de una cantidad de cosas útiles para resolver los problemas múdill'ciJes". El mismo significado del titulo no es claro, pues "porisma"puede significar "corolario", pero también tiene otro sentido al cual sereGere Pappus al decir que "los diversos tipos de pansmas no son ni.teoremas ni problemas, representando en cierto sentido una forma intermedia". De ahí que Chasles, que es uno de los matem6.ticos que reconstruyó la obra dice que los porismas son teoremas incompletos que expresan ciertas relaciones entre elementos que varían de acuerdo con una leydeterminada, y que tendrian por objeto no sólo demostrar esas re1ackr,nes, sino completarlas detennin.ando la magnitud y posición de las figurasque satisfarán aquellas relaciones.

3, Arquímedes

Si Euclides es un maestro y un sislematizador, no muy original,la figura que le sigue cronológicamente, Arquimedes de Siracusa

89

es el arquetipo de malem~lieooriginal, que al igual que los científicos de hoy. no escribe sino monografías o memorias originales,relativas a los más variados campos de la matem:ilica antigua ensentido lato: aritmética, geometría, astronomía, est6.tica e hidrostática, Fue, en particular, la incorporación al saber científico deestas dos ramas de la física la circunstancia que explica la extraordinaria influencia que ejercieron los escritos de Arquímedes sobre los hombres del Benacimiento y de la Edad Moderna, convir.tiéndoselo en una de las grandes figuras de la historia de la ciencia,

En verdad, su figura ya fue célebre y famosa para sus conciudadanos de Siracus", Quizá lo fuera por sus méritos científicos opor las excentricidades y grandes inventos que le atribuyeron o porsu vinculación, quizá parentesco, con la familia real. Hasta se citauna Vida de Arquím-edes escrita por uno de sus contemporáneos.

Sin embargo. hoy esa vida s610 puede reconstruirse sobre losdatos, no muy abundantes, de diversos historiadores. en especialde los que se ocuparon de las guerras Pllllicas, El hecho indudable de haber muerto Arquimedes en el saqueo que siguió a lacaída de Siracu.iu en manos de los romanos en 212. combinadocon otro dato. segllO el cual Arquímedes habría vivido 75 Mios.ubica la fecha de su nacimiento en el allO 287 a, C.

Las actividades de su padre, astrónomo, influyeron sin dudaen la vOC<1eión y formación científica de Arquímedes que, desdejoven, estuvo en Alejandría donde, sin pertenecer al Museo, tra.

bó amistad con varios maestros alejandrinos con quienes mantu...vo luego correspondencia científica: fueron los sucesores deEuclides: Conón de Samos y, a la muerte de éste Desiteo dePelusa, y Eratóstenes, Begresado a Siracusa de<lic6 toda su vida ala investigaci6n científica. ".

Esa vida, como la de otros grandes sabios, fue embellecida odeformada por la imaginación popular que la revistió de anécdotas m;1s o menos verosímiles o la exaltó con elogios que a vecescontribuyeron a rodear su existencia de una atmósfera sobrenatural.

Plutarco, al referirse a la vida del general romano Marceloque conquistó Siracusa, describe la vida de Arquímedes y le confiere grandes dotes de mecánico práctico y de ingeniero militaraunque en ninguno de los escritos del siracusano aparecen men-

90

¡

..

ciones a investigaciones e i1wel:tos en esto~d~:;:l: I::;~:. t 'b e este siJencio a que Arqmmooes conSl e ..1 n uy 1 todo arte tendiente a satisfacer nuestras necesld:'l·y, en genera, ". no dejó nada escri.des como artes "innobles y oscuras, y por eso

lo sobre ellas,, ~ e rodeada de cierta atmósfera novelescaSu muerte misma u Id d mano

y narrada de diferentes maneras; y el acto del so a o ro datraviesa con su espada al viejo sabio absorto ~nte, una e

que é' o dejó de excit'ar la imaglllaclón, Conmostración geom tnc~ n te de Arquímedes fuera lamentada

todo;..t' =l~ba;l~~~::S~I~:rfue respetada la voluntad del sabiopor 1 ar fd~ de grabar en su tumba uno de sus más hermososen e sen. ~l relativo a la esfera inscrita en un cilindro. y e.sa l~U.teorem~,. . medio después que Cicerón descubnera, yara permltlÓ, SIglo y al' la ha del célebre siraeu-perdida y olvéipocadada :~l~eq~";U::;'ciu~:';anos ya habían olvidasano en unado su figura y su fama, ,

Esa fama hoy sobrevive. no p.or su vida, sino por s~ds eStcodptoslo', , al I 'e da por conOCI o ocabales trabajos ongm' es en os que s . . lentos.

roducido antes sobre el tellla y se aportan nuevos e ecn

p En esOs escritos siguió rigurosamente¡ebl métod¡o euc"S'degeoUí~~las 1'pó' e postu a a a as que

fijar previamentedadosal~e~~~se~~rados y te;minados; en gene·los teoremas CUI . 1 ' seal tilizando el método sintético sin mencionar e camlllo

r ,:; llegar a la tesis de la proposición que demuestra degu; oU~a:~, 'eneral no es de lectura f~i1, aunque para demosah q ~ ás la amplitud de su talento matem~tico, protrar una vez m I 'toporciona una notable excepción a esta regla genera en su escn

Método, 'bí y, ' os de A1ejandria los trabajos que esen a,

Solía envIar a amlg, d de los resultados sin la demostración,a veces s610 los enunCia os 'ó l permitió formular cierta

b e 1 alguna ocasl 1'1 ecostum re que ,1 d I ofesores alejandrinos. En

daz b ervacI6n acerca e os pr , .mor o s. 'ó q e algunos enunciados rcuull-

r t al advertlr en una ocasl n u , d'CJec o, 'el los profesores alejan rlllosdos eran f~sos, sin que nlll~n~e:irArquímedes: .. , , ,aquelloshubiem senalado el error, ~u ood los problemas, pero sin darque pretenden haber resue to t os

91

I

la demostración quedan refutados por el hecho mismo de haberdeclarado que demostraron algo imposible".

o es fácil establecer un nexo lógi<'o o cronológico entre losescritos de Arquímedes. En parle por la rndole monográfiC<l delos mismos. en parte por el distinto contenido que se refiere amatemática, a astronomía y a fisica, sin olvidar que probablemente aJgunos de sus escritos se han perdido.

Se conocen de Arquímedes, en versión original, cuatro escritos de geometría: dos de geometría plana: De las espirales; De tamedida det cln"to, y dos de geometría del espacio: De ta esfera ydel citindro (dos libros) y De los conoides y ele los esferoides.

Siguiendo la norma euclidea, hay definiciones en todos esosescritos, excepto De ta medie/a del clrcuto, y postulados en De laesfera y del citine/ro. (1)

El primer libro de este escrito puede considerarse un complemento de los Elemelltos de Euclides, al demostrar una seriede teoremas, relativos a las áreas y volúmenes de los cuerposredondos, omitidos en los Elemelltos.

En esas demostraciones, por ejemplo en el caso del área de laesfera o del segmento esférico, pero también en otros libros geométricos, Arquímedes expone propiedades que traducidas a1gebraicamente, representan igualdades o desigualdades entre sumatorias que en conexión con el postulado de Arquímedes y elmétodo de exhaución, permiten llegar geoméltieamenle a aquellas áreas y volúmenes que hoy se obtienen analíticamente mediante los recursos del análisis infinitesimal. (2)

Algunos de los teoremas del primer libro del escrito De liJesfera y det ciline/ro; área lateral del cono y lIel cilindro, área dela esfera se han incorporado a nuestra geometría elemental mientras que otros ofrecen tal sencillez y simetría qu:~xplican el deseo de Arquímedes de quedar sus resultados eternamente grabados en su tumba.

El segundo libro del escrito comporta una serie de.problemas, algunos de los cuales, nada fáciles, conducen a problemasdel tipo de la duplicación del cubo y de la triseoción del ángulo. (3)

En cierto sentido el único libro de De tos conoie/es y de ./osesferoídes es una continuación del anterior, pues en él se estudian las propiedades mélticas de los sólidos que Arquímedes

92

------------

,

designa con el nombre de conoides (nuestro paraboloide y nunadel hiperboloide de dos hojas, de revolución) y esferoides (nues-tro elipsoide de revolución). (4) ,

Una última contribución conocida de Arquímedes a la geometría del espacio, de indole diferente de las anteriores, la proporciona Pappus cuando al hablar de las figuras inscritas en la esfera.cita los poliedros regulares y 13 poliedros semirregulares que,según Pappus, habría descubierto Arquímedes, pero sin señalarcómo llegó a ellos. (5)

E':l geometfia plana la contribución más original de Arqulmedes es el escrito De los espirales. uno de los más diflelles por suslargas demostraciones, la concisión de su texto, que subenti~nd«:muchas relaciones intermediarias, la aplicación de expresIonesen forma geométrica de la suma de términos en progresión aritmética o de sus cuadrados; todo hace su lectura nada fácil, circunstanela que explica que en los siglos x"vu y XVIU hubo matemáticos que desistieron de eotender este escrito y hasta quien,freote a sus dificultades. prefirió considerar erróneos sus resulta:dos. También en este escrito aparecen problemas no resolublescon regla y com'¡,ás que Arquímedes da por resueltos por ioserción, pero sin señalar la construcción correspoodíente. (6)

. El escrito De la ,nediCÚJ del circulo, muy breve, es uno de losmás importantes de Arquímedes, pues en él no sólo demuestra laequivalencia de los problemas de la rectificación de la circunferencia y el de la cuadr..tura del círculo, sino que al dar una solución aproximada de esos problemas, con un valor bastante cóm~do para nuestro número 1T, aporta interesantes ~uestiones ant

méticas. (7) _.'.' .Queda aún un tema de goometria plaM que Arquimedes trata

en un escrito que, desde el punto de vista de hoy, no es exduS!'vamente geoméltico. Es Cuadratura de la pardbola, pnme.'ejemplo de cuadratura de una figura mixtillnea Oas lúnulas de HIpócrates habían sido las primeras figuras cuadrables curvilíneas) yque Arquímedes logra por un doble camioo: uno exclusivamentegeométrico y otro empleando los recursos de la estática, medumte la ley de la p,uanca que él mismo había demostrad~. (8)

Por último se atribuye a Arquímedes un llamado Libro de loslernas. conocido en su versión árabe. que contiene una serie de

93

proposiciones de geometría plana, algunas muy elementales, pero otras con interesantes equivalencias entre figuras circulares,que es muy posible que sean originales del geómetra de Siracusa. (9)

A estos escritos puramente geométricos, cabe agrt:gar c.n 1,producción de Arquímedes, los escritos sobre tem;:¡s de ciencianatural: astronomía y física, (Iue los griegos incluían, por su índole, en la matem.\tica. El escrito que, sin tener finalidad astronómica, se ocupa incidentalmente de astronomía, es un trabajo dedicado al hijo del tirano de Siracusa y de quien era preceptor, con el objeto de probarle que el número de granos dearena del mar no era infinito, haciendo alusión al verso de Pinda·ro "numerosas como las arenas del mar". Con tal fin se proponecontar o, mejor, dar nombre al nlllnero de granos de arena quellenaría no sólo a tooos los mares, sino a todo el universo, adoptando para éste sus máximas dünerisiones posibles o imaginables.

El interés de este escrito, conocido como ArelJlJrio o El con·tador de arenas, es múltiple. Por un lado, justifica la fama que,según testimonios antiguos, poseía Arquímedes como astrónomo,en vista de los conocimientos astronómicos que el escrito revela,figurando hasta un procedimiento experimental para detenninaraproximadamente el d~'Únetro aparente del Sol. Por otra parte,en el Arenario figura un párrafo importante desde el punto devista histórico, pues constituye la única alusión conocida al sistema heliocéntrico de Aristarco de Samas, concepción del universo •que Arquímedes no comparte, pero que adopta por cuanto susdimensiones eran mayores de las del universo que ordinariamcn·te concebían los astrónomos de la época. A esl;ls notas de índoleextramatemático cabe agregar que en el Aren~¡io figura un siste·ma especial de numeración: las "octadas",(lO) que Arquímedescrea ante la necesidad de manejar números muy grandes, sistemaque le facilitará contar o. mejor, nombrar esos números.

Por último, se deben a Arquímedes dos escritos que puedencalificarse de física matemática que proporcionaron los primerosresultados perdurables de estática: la ley de la palanca y el llama·do "principio de Arquimedes'.

fuera de las reflexiones sobre mecánica práctica vinculadascon las máquinas simples, muy poco había progresado la mecáni·

94

ca como rama de la matemática; será Arquímedes quien concederá jerarquía científica a esta rama, mediante sus escritos: Sobre elequilibrio de los /,laTlos (en dos libros) y De los cuerpos flotantes(también en dos libros), que se ocupan, respectivamente, de estática y de hidrostática.

Del equilibrio de los plauos, donde la palabra "planos" se refiere a figuras planas limitadas, es un estudio acerca de la determinación de los centros de gravedad y de las condiciones de equi.Iibrio de cuerpos geométricos, cuando en cada uno de sus puntosse considera, además de su posición, el peso; aunque ArquÍlnedes no estudia sino cuerpos homogéneos. El escrito está construido a la manera euclidea con definiciones, postulados y teoremas, comprendiendo el primer libro las condiciones de equilibriode la palanca ,y la determinación de los centros de gravedad deal~,'unos polígonos, mientras que en el segundo libro llega a determinar el centro de gravedad de un trapecio parabólico, es decir: la porción de parábola comprendida entre dos cuerdas para-lelas. (11) . _

Si respecto de la estática, subsiste aún alguna duda acerca dela posibilidad de existencia de escritos antiguos sobre esa rama dela mecánica anteriores a Arquímedes no hay duda alguna respecto de la hidrostática, cuyo creador indiscutible es Arquímedescon su escrito De loscuerposflotanles, con el cual se dan cientificamente las condiciones de equilibrio de los cuerpos sumergidosparcialmente, se enuncia el hoy llamado "principio de Arquímedes" y se estudian las aplicaciones del principio al caso de uncasquete e férico y de un segmento de paraboloide de revolución. En realidad, en la forma dada por Arquímedes, los problemas de hidrostática se reducen a problemas de estática sólo algomás complicados, al hacer intervenir la razón entre los pesos específicos del cuerpo y del fluido. (12)

Terminemos con los escritos de Arquúnedes reseñando qu¡"j,sel más original de todos ellos: Delmitodo relativo a los teoremasmecdnicos, que se conoce abreviadamente como Método, en elque explota hábilmente las propiedades de la palanca y de loscentros de gravedad.

Recordemos que muchos de los resultados 10b'rados por Arquímedes: áreas, volúmenes, centros de gravedad, se obtienen

95

hoy mediante los recursos del cálculo integral, recursos que losmatemáticos gnegos sustituyeron por el "método de exhaucjón"de Eudoxo. Pero, como dijimos, este método es un método dedemostración, no de descubrimiento y por tanto exige conocer deantemano el resultado a demostrar.. En algunos casos em fácil prever ese resultado, ya por induc.

c~6n. ya por intuición, pero en otros casos tal previsión era imposIble. ¿Cómo podía, por ejell)plo, preverse la complicada posi.clón que ocupa el centro de gravedad de un trapecio parabólico?Este hecho no dejó de intrigar a los matemáticos occidentalescuando en el siglo XVI comenzaron a difundirse los escritos d~Arquímedes, y no faItó el matemático que afirmara que segum.mente Arquímedes disponía de un método especial para lograresos resultados. método que habría mantenido en secreto.

Tal afin:nación resultó una verdad a medias; en efecto, Arquí.medes hab,a Ideado un método con ese objeto, pero no lo mantu.VD en secreto, sino que lo expuso en una larga carta destinada aEratóstenes, que estaba en Alejandría, carta que lamentable.mente quedó desconocida para Occidente hasta 1906 cuando elhistoriador de la ciencia Heiberg descubrió una copi~ en un pa.hmpsesto de Constantinopla. Esa carta es hoy el Método de Ar.químedes.

En ese escrito figuran varias determinaciones "mecánicas" deequivalencias y centros de gravedad, aunque su finalidad fue lade hacer conocer dos cubaturas especiales, de la uña cilíndrica yde la doble bóveda cjlíndrica.(l3)

Por último, cabe citar como de Arquímedes un par de escritosque se c1asincarlan hoy entre los problemas de ·.matemática re.creativa. Uno de eUos, conocido como SlonUlcJ¡iQI~ es geomébicoy conSIste en llenar una cavidad rectangular con 14 figuras polig<>nales, cada una de las cuales era conmensurable con el total. Elotro problema es aritmético y consiste en un dificilísimo proble.ma de análisis indeterminado de segundo grado, dCI.ominado."Problema de los bueyes', que probablemente Arquímedesenunció. pero no resolvió, pues sebl1Jll algunas" versiones su so)ución transporta. a números de un centenar de miles de cifras.

Además de los escritos anteriores, se atribuyen a Arquímedesobras actualmente perdidas, de las que se tienen noticias ya por

!l6

el mismo autor, ya mediante fuentes árabes o griegas. Así, en elArenario Arquímedes se refiere a un escrito aritmético dirigido aZeusipo acerca de la denominación de los números; además deuna obra Sobre la palanca que le atribuyen autores antiguos y suestudio de los poliedros semirregulares ya citados, otros autoreslo dan como autor de una 6ptica, así como de obras astronómicas:...-construcción de una esfera planetaria, longitud del año ...

Con Arquímedes la matemática griega llega a su apogeo. Sinduda que él encontró una ciencia ya madura, a la que agregónuevos capítulos o mejoró lo~ existentes. Pero en esa obra decomplemento y de penecdonamiento, demuestra una mayor fle·xibilidad que toma más maleable' el rígido molde euélideo y leconfiere mayor riqueza y au tonomía, qesvin,culando casi total·mente los lazos que habían mantenido ligada la matemática con lafUosofía. Esa mayor libertad y autonomía, sin descuido del rigor,se refleja en la elección de los postulados, en las aplicaciones a laciencia natural. en sus incursiones por el campo de los números yde la matemática aproximada, y convierten a Arquímedes en U!!matemático, y un gran matemático, en el sentido actual y perma·nente del vocablo.


(1) Definiciones y postulados geornélri<:(J$ <k Arqufmeda. En el es·crito De la ..fera y tkl cilindro, hay seis definiciones, de las cuales lascuatro primeras son: 1) Existen en el plano ciertos arcos de curva totalmente situados de un mismo lado de las rectas que unen los extremos delarco; 2) llamo cóncava en la misma dirección una Unea tal que la recta queune dos puntos cualesquiera de ella, o bien está toda del mismo lado dela línea, o bien está parte del mismo lado y parte sobre la línea misma;3) de igual modo hay ciertas porciones de superfieíe, no situadas en unplano, pero cuya línea extrema está en un plano situado totalmente delmismo lado respecto de la superficie; 4) Uamo CÓncavas en la misma dirección superficies taJes que las rectas que uneo dos puntos cualesquierade ellas, o bien están todas del mismo lado de la superficie, o bien partedel mismo lado y parte sobre la superficie misma.

99

\

Con estas definiciones no sólo se introdmébico: el de concavidad, que Euclides nou~~;~ ~=~:ce~to g~aparece un concepto de curva de ro . I SIIlO quelas escasas líneas y superfl . Yd ,SU,pe¡ICIC más generJ.!, no limitado a

leles e os E ernentos' r la' f¡

P ano, cono, cilindro y esferol' sino uc i lel . ce • clrcun crenda,lesquiera que comprenden PC;ligonal~s ;, u)'~.líneas y superficies cua·y curvas así ce 1, ....J:l • Y lasta meas formadas por rectas

• ma as superUCles correlativas.

Las definiciones 5 y 6 . o ald .. se reneren sector esférico y al "ro nbo 56llo • cuerpo que Arquúnedes utiliza e h di.

constituido por dos d bas't ~ mue as e sus demostraciones.. conos e e y eje comunes é' .

P;:ICIOS distintos resl"VY'to de I bE' Yv rtices en semles·. . 1.-- a ase. s IIlteresante por' I 1poSIción que en forma ingeniosa detcrmin I dÚi' . cJcmp 0, a prados rombos sólido d " al' a a erenC13 en volumen de

. s e Igu es ejes y vértices y de bases diferentes. .

lad~o~lc:a::~;~.erasJ) Lacuatro de~nliciones se relacionan los cinco postu~, recta es a más corta tr odas I

iguales extremos; 2) En cuanto a las demás líne: p~a~as con~ ~ne~ deextremos son desigual d' '. os mismosuna de eilas está tota1;:~~;cooslendd°c\acóncavas en la misma dirección

. mpren I entre otra y la recta Inllsmos extremos o en parte está comprendida . con ~línea comprendida es menor' 3) Del mis J en par~e es ~mún. y la

~: tie~en 'os 7ismos extr:mos y esos ~:tr~m:; ~:~: ~nV:'~:~:extr:~\\~ ana es a menor; 4) Entre las otras superficies con los mismossiendo s, ~~~s :trcmos están e.n un plano, serán desiguales cuando

con as ncav3S en la misma dirección una de ellas está totalmente comprendida entre tr· I fi I o está en l __1,0 a y a gura pana con los mismos extremos

par e comprenulda yen parte en común' la' rfi' 'prendida es menor; 5) Por otra parte entre I lí ,y su~,cae co~dos desiguales la mayor excede l' d as ncas, supe leles y sób, d ,. a a menor e una cantidad tal ue a ega a a SI misma puede superar a cualquier cantidad d d h q gr ~las dos anteriores. a a omogénea con

cier~s I::st~la~os ~) a 4) esta.blccen las condicio'nes de desigualdad de. . eas y e Ciertas ()OrClones de superficies así Urna fija un ri

ClplO dde mínimo, que si pien son intuitivos y los' Elementos hab(anP

dn

:mostrJ o en casos n . I el d I uy particu ares, su demostración en el caso general~ an~eada ~o era ni fácil ni posible con los recursos geométricos de la'

poca, e lf que darlos por admitidos en farola de postulados repre

dsenta dpor, parte de Arquímedes, tanto una genial intuición como un rasg~

e au acm.

El postulado 1) tuvo mucha suerte. El hecho de postular luna pro¡liedad a t • ti ' . para a recta. car ~ ens ca. mtultiva y de interpretación sim le ,.~

ca, unida a la neceSidad instintitiva (no lógic.:a) de definir ese e::te ~:~-

98

mental y a la circunstancia de que la definición de Euclides no era niclara ni intuitiva, hizo que bien pronto este postulado de .vquímedes seadoptara como definición de la recta. El primer intento en este sentidoaparece en Te6n de Esmima, comentarista del siglo U.

Por su parte. el postulado 5) es el postulado que hoy se designa porantonomasia con el nombré de "postulado de Arquímedes", que Euclides había incluido e"ntre las definiciones del Libro V de sus Elementos. Aladmitirlo por primera vez entre los postulados, Arquhnedes puso en evidencia que tal enunciado no era un principio, ni una definición, ni unteorema que podía deducirse de los demás postulados; de ahí que loenuncie como un postulado independiente Yhaga uSO de él en todos losnumerosos teoremas de carácter infinitesimal que demuestra. Las actuales geomebias no arquimedianas, para las cuales son válidos los postulados ordinarios de las magnitudes con excepción del postulado de Arqul·medes, constituyen una brillante confinnación del modo de ver de Ar·

químedes.En el escrito De lm conoides y lle los esferoides se dan las definiciones

de estos cuerpos engendrados por un movimiento de rotación de las tressecciones cónicas, que en tiempos de Arquímedes aún lenían los anti

guos nombres dados por Menecmo Y Aristeo.Tales definiciones son: 1) Una sección del cono rectángulo da una

vuelta completa alrededor de su eje; la figura engendrada por esa secciónse llama conoide rectángulo (es nuestro paraboloide de revolución); 2) sise tiene cn un plano una sección del cono obtusángulo así como sus rectasmás aproximadas y el plano da una vuelta completa alrededor del eje, lasrectas más aproximadas describen un cono isósceles mientras que la figura engendrada por la secdón se llama conoide obtusángulo (las rectas másaproximadas son nuestras asíntotas y el conoide obtusángulo es el hiperboloide de revolución de dos hojas. En Arquímedes no hay alusión alhiperboloide de revolución de una hoja); 3) si una sección del cono acutángulo da una vuelta completa alrededor de su eje mayor, la figura engendrada por esa sección se llama esferoide alargado, mientras que si giraalrededor de su eje menor, se llama esferoide aplanado (son nuestros

elipsoides de revolución).También mediante el movimiento se engcndran las espirales, cuyas

propiedades estudia en el escrito que lleva ese nombre. Así define ArcfUÍmed.es sus espirales: Si en un plano se considem una recta que mantieneuno de sus extremos fijo y gira un número cualquiera de veces con movimiento uniforme, retomando sucesivamente la posición de donde hapartido, mientras que sobre la recta que gira se mueve unifonnementeun punto a partir del extremo fijo, el punto describirá una espiral en el

plano.

3 ¿ r' = 11' (11 + 1) + ¿ r ;,.-1 ,_1

En De las eS¡Jirllles, así como en De ios COrlOjlleS y de los esferoides,expresa Arquímedes la suma de los primeros n cuadrados en la formaespecial,

.-,2 L sen ra + en na = (1 - cos na) cotf,t 1/2 a,

,.-) .'

.-,•IIA., LA, < (a + 111.) , ('¡'a + '/3nh) < IIA. '

~, /

(3) El escrito De la "sfem y del cWndro. Además de las definiciolles ypostulados ya citados, en el primer libro de este escrilo figura una seriede leoremas relativos a las áreas ya los volúmenes de los cuerpos redondos, de los cuales los más importantes son:

J) La superficie laleral de un cilindro circular recto es equivalenle aun circulo cuyo nidio es medio proporcional entre la generatriz del cilindro y el diámetro de la base; 2) la superficie lateral de un <Olla circularrecto es equivalente a un círculo cuyo raWo es medío proporcional entrela genemtriz del cono y el radio de la base; 3) la superficie lateral de untronco de cono circular recio, de bases paralelas, es equivalente a uncírculo cuyo radio es medio proporcional entre la generabiz del tronco decono y la suma de 1", radios de las bases; 4) la superfi ie de la esfem esequivalenle a cuatro veces su círculo máximo; 5) toda esfera es equivalen.te a cuatro veces el cono cuya base es un círculo máximo y cuya altura esel radio de la es/em.

En un corolario poslerior Arquímedes demuestra Que si se consideraun cilindro de altura igual al diámetro de la base y en él se inscribe unaesfera, las áreas y los volúmenes de esos dos sólidos están en la mismaproporción simple 3: 2. La sencillez de estos ténninos, que definen unarazón igual, entre pares de magnitudes de distillta natural.,.... en <OlItrastequizá con el esfueno realizado para obtenerla (área y volumen de la esfem) fue quizás el motivo que indujo a Arquímedes a expresar el deseo. quese cumplió, de grabar en su tumba una esfern con un cilindro circunscri·to; 6) la superficie de un casquete esférico, exceptuada la base, es equivalenle a un círculo cuyo radio es el segmento trazado desde el vértice delcasquete a un punlo cuaJquiera de la base; 1) el sector esférico es equivalente a un cono cuya base es equivalenle ala superficie del casquete delsector y cuya altura es el radio de la esfera.

De los problem3S, que con una serie de olras proposiciones compren-de el libro 11, sólo citamos aquellos que conducen a cuestiones no resolu·bies con regla y compás: 1) Detenninar una esfera equivalenle a un cilin-dro o a un cono dado. Este problema se reduce a algún problema del mesolabio; en efeclo, para resolverlo Arquúnooes detennina dos medias proporcionales entre dos segmentos dados, pero sin indicar el procedimien-to seguido en esa detenniuación, lo que hace suponer que Arquímedesdaba ese problema por conocido y resuelto; 2) cortar una esfera por u UB

V LIC'(~l -f:f!"AllOOnnA r:,<> (roruel) :-'~ ",/ó>./ ,>

11 '\'

*

y si A, = arh + !rh)', ento""",

•¿r',-,

•

" ,,-1

¿r;3¿r'<n3 <3r-I ,..1

•

.-,2 L r < ni < 2,-,

MientrolS que en las definiciones de los conoides y esferoides el tiem.po no interviene para nada, pues el movimiento sólo se utiliza para ladefinición de los sólidos, en el caso de las espirales se hacen necesariasdos proposiciones iniciales para fijar la proporcionalidad entre los seg-mentOs recorridos y los tiempos empleados en recorrerlos. •

.-,¿ ('/.)' + '/3 ('/.).-' = '/3~.

(2) Las sumMorias de Arquímede,. Las igualdades y desigualdadesentre sumatorias que se presentan en los escritos de Arquímedes expresadas con lenguaje geométrico, son las sib'Uientes, que por comodidadtraducimos en lenguaje algebraicO:

En Cuadratura de la pardbola se da la suma de una progresión geométrica en la sib'Uiente fonna:

mientras que en el escrito De la esfera y del cilindro, en los teoremas quepenniten determinar el área de la esfera y del segmento esférico, Arquímedes demuestra un teorema de una sencillez extraordinaria que, expre.sado en forma algebraica, es:

expresión que al convertirse en integral definida medianle el paso allfmile, pennite hoy calcular esas áreas.

Además en De las espirales y en De los conoitks y de los esferoide"Arquímedes utiliza las siguientes desigualdades:

100

plano de manera que los dos segmentos teng;lI\ sus volúmenes en unaraz6n dada. El problema, como dice Arquímedes, se reduce a dividir eltriple del radio de la esfera en dos partes tales que una de ellas sea a unsegmento conocido como el cuadrado del diámetro de la esfera es el cuadrado de la otra parte. Arquimedes agrega que al final del libro cbrá laSolución, que en este caso corresponde a un problema de trisección delángulo, pero en ningún manuscrito se encuentra esa solución; 3) determinar un segmento esférico de volumcn dado y semejante a otro segmento también dado. Este problema se reduce al del mesolahio; en efecto,Arquímedes lo reduce a la búsqueda de dos medias proporcionales entredos segmentos dados.

Temlinemos agregando que en la penúltima proposición de este libro.se habla de una razón "sesquiJátera". es decir, multiplicada una vez ymedia para indicar nuestra potencia de exponente 'J¡2; mientras que en laúltima proposición se demuestra que entre todos los segmentos esféricosde ib'1.lal superficie, el hemisferio es el de volumen máximo. (Estas dosúltimas proposiciones del escrito son precisamente aquéllas, cuyo enunciado, que resultó erróneo, había enviad'o a los maestros alejandrin.os sinque éstos advirtieran el error.)

(4) Los conoides y esferoides de A"qufm~des. En el escrito De losconoides y de los esferoides Arquímedes, después de un largo preirllbulodirigido a Oositeo, donde figuran las definiciones de los térnlinos queutilizará en el escrito, introduce algunos lemas aritméticos y propiedadesde las cónicas que en algún caso enuncia sin demostrar agregando queesas demostra iones "se encuentran en los elementos sobre las cónicas",aludiendo indudablemente a escritos sobre ese tema existentes en Suépoca, probablemente los de Euclides o de Aristeo.

Pasa luego a enunciar propiedades de los conoides y esreroides, paraterminar con el objeto del escrito, que es expresar la equivalencia desegmentos de estos sólidos con sólidos conocidos. Así demuestra: 1) Todosegmento de conoide rectáJlb"Ulo es equivalente a Jrl'J vez y media elcono de igual base que el segmento y cuyo vértice es el punto dcl conoidede donde el plano tangente es paralelo ala base; 2) la razón entre un segmento de conoide obtusángulo y el cono dclinido como en el caso ante·fiar no es ahora constante, sino que es igual a la razón entre los dossegmentos de recia que se obtienen agregando al eje del segmento elbiple y el doble, respectivamente, de la porción de recta "agregada",que según la tennino!ogía actual es la longit'ud del semidiámetro conjugado a la dirección determinada por la base del segmento de conoide;3) si un plano detcrmina ell un esreroide dos segmentos la ruón entre

102

uno de ellos y el cono, definido como siempre, es igual a la razón entre eleje correspondiente al otro segmento, agregándole la semirrecta que unelos vértices, es decir, el semidiámetro conjugado a la dirección de labase, y ese eje,

Basta exponer estos enunciados para advertir la importancia de losresultados logrados por ~quíll1edesy la pericia técnica que en ellos despliega, si se considera que tales resultados se obtienen actualmente mediante los recursos del cálculo integral.

(5) Los piJliedros semirregulares de Arlluímetiu. En el cuadro 51·guiente se enumeran los 13 poliedros semirregulares que se atribuyena Arquímedes, con sus características: ángulos poliedros y aristas iguaJesentre sí; y caras polfgonos regulares no todos semejantes.

Según un antiguo comentarista anónimo parece que estos poliedrospueden obtenerse partiendo de los regulares o de los mismos semirreguiares seccionando los vértices con planos a la manera de los cristales.Por ejemplo, seccionando los vértices de un cubo de manera tal que susaristas se bisequen, se obtiene el segundo de los 5Cmirregularcs delcuadro.

(6) La espiral tk Arqulrnetk•. Eounciamos las propiedades más inportantes de esta CUNa que J\rquímedes demuestra en su escrito de 1mes¡,jralu,

,"I.u.. ,..Jn. " .,.¡_ ""ti_ro, ...,..,..ln.N__ d.r

fÚ Lu "Ir"" cW lo. M1KwI ..........4 triáng. y 4 hexág. - 8 12 áng. triedros 18

8 triáng. y 6 cuadr, - 14 12 "tetraedros 24

6 cuadro y 8 he,",s· - 14 24 "triedros :J6

8 triáng. Y 8 octóS· - 14 24 .. triedros :J6

8 triáng. y 18 cuadro -26 24"

tetrolC'dros <lB

12 cuadr.. 8 he,",s.. 6 oct6g. -26 48 "triedros 72

20 Irüng. y 12 pentlg. -32 30 " tetraedros 60

12 penlJg. y 20 hex4g. - 32 60 " triedros 90

20 trüng. y 12 declg. - 32 60 "tnedros 90

32 triáng. Y 6 cuadr. -38 24 "pentaedros 60

20 tri:ing., 30 cuadr., 12 pent4g. - 62 60 "tetraedros 120

30 cuadr.• 20 he,",g. 12 deciS· - 62 l20 .. I triedros 180

80 triáng. Y 12 pent;s· - 92 60 "pentaedros 150

103

\

1) Mediante el trazado de la tangente a la espiral en uno de sus pun·tos puede obtenerse un segmeoto igual a la longitud de UI1 arco de cir·cunferencia de r.mio y ángulo central dado, es decir, que mediante estacurva se puede rectificar la circunferencia o uno de sus arcos; 2) elárea barrida por el radio vector en la prirnera revolución es la terceraparte del círculo, cuyo radio es la posición final del radio vector. Esa áreabarrida en la segunda revolución está en la razón 7 : 12 con el circulo cuyoradio es la posición final del radio vector. En un corolario Arquímedes dala expresión general, en fonna geométrica, de esta razón para una revo.lución cualquiera. Es f:1ci1 comprobar que esa razón es (w3 - (n-l)3];3) también en fanua bastante genernl expresa Arquímedes la razón de lasáreas comprendidas entre las espirales engendradas en las revolucionessucesivas con la porción de recta perteneciente a la posición inicial delradio vector; así como la razón en que queda dividido por el arco deespiral, el trapecio circular situado en el sector circular CU)·os extremoscorresponden a las posiciones inicial y final del arco de espiral y cuyosarcos de circUlúcrencia bases son los qu~ tienen por radios esos radiosvectores.

(7) El número 'TT de Arquí"u,'i!es. Además del teorema que expresa laequivalencia del círculo con el triángulo de altura el radio y.de base lacircunferencia rectificada, el escrito De la medida del círculo contienedos proposiciones, cuyo orden debería invertirse pues la primera es con·secuencia de la siguiente. En precto, la última proposición demuestraque la razón de la circunferencia al diámetro est:1 comprendida entTe3 IOhl Y 3 1/7 mientras que la anterior dice simplemente que la razón delcírculo al cuadrado del diámetro es 11 : 14, que por supuesto es la cuartaparte del3 Ih. En cambio, no menciona que es un vaJor aproximado porexceso, ni da el "alor aproximado por defccto 'l2:1fzs.. que habría obtenidodel 3 10/7..

La extensa última proposición del escrito es UI)O de los teoremas másnotables de Arquímedes, pues con los números 3 1°/71 Y3117 proporcionados valores aproximados, por defecto y por exceso, de ..tu~stro número 'TT,

que logra utilizando el método de inscribir y circunscribir polígonos duplicando el número de lados, partiendo del he.clgono para llegar hasla elde 96 lados, y calcula.ndo aproximadamente sus perímetros, pero mante·niendo el sentido del error.

Si se recuerda que, exceptuando el hexágono, tocios esos polígonostienen sus lados inconmensurables con el diámetro, tales perímetros es·tán expresados mediante raíces cuadradas que Arquímedes calcula aproximadamente, por defccto o por exceso según el caso, mediante reglaspara obtener raíces aproximadas, seguramente conocidas en su época,

\04

d 1 uaI da dice • ~u¡medes habiendo avanzado los historia-pero e as c es na ~"'1. El h h uedores de )a matemá.tica distintas conjetu~ al respect~~ entr~o;~~

ed 11 robar que nuestro numero 1T es14Arquim es ega a p . 1:Is có odos 3 '0'71 Y3 ",, sien-

:::::V~l~i:~:~r~:;U:~=::m~ ~7 en ~ antigüedad y más ade-

lante también. . da na idea de la notable aproKimación de losEl cuadro que sigue u barse ediante las expresio·

valores de Arquímedes como puede compro mnes decimales q\1e agTCg;:u:(!os al respecto

Valof't, aproximadoa ck A".,uimede.

Valores nactos por defecto por exceso

V3~ 1.732050 ... ""'t,,,, - 1.73202 ... ""'lllO - 1.732051 ...

-/349450 - 591,IL 591 ',. = 591,125

-/1373943 33í.. - \172, 15 ... 1172 ',. = 1172,125

';5472132 "1& - 2339.26 ... 2339 'l. - 2339,253013 'l. - 3013.75

-/9082321 - 3013.68

-/3380929 = 1838.74 ...1838 .," - 1838,818 ...

-/1018405 - 1009,168 ..1009 ',. - 1009,168 ...

2017 'l. _ 2017.25';4069284",. - 2017,24 ...

3 ,.,,, - 3.1408 ... 3 '" - 3,1428 ....Tt - 3,14159 ••.

bola" ninglJno de mis predecesores,(8) La cuadratura de ~ P:~ralu;' ci~ 'un segmento limilado por una

que yo sepa, ha buscado a e 1 cosa que ahora noSOtros hemosrecta Y una sección de cono rectingul o, <. bulo diriuido a Dosileo que

d .. d' '~ulmedes en e pre~n ~ Iencontra o. Ice 0'''1 de la dbola donde demuestra que eprecede a su escrito cuad::;::-aen ", ';,;'r;"':1n~o de igual base que elsegmento de parábola ex decir la intersección con elsegmento y por vértice~~~e:;'';,r el ~unto medio de la base.arCO del di:1nletro de la

nel escri:~eumerosas propiedades de l.~

Además de exponer .eal

. dos caminos distintos: uno "meclmcola, demuestra la equlV encla por .y el otro exclusivamente geomébico. I t d - ......bola de base AB

has métodos Sea e segmen o e 1---Resumamos am . A 1diámetro en B, se obtiene el

y vértice V. Si se traza la tangente en y e\05

-

(9) El libro de los lem4S. De las proposiciones de este libro entre lasq,ue figura la trisección por inserción en la fonna de u a . 'circunferencia, son interesantes algunas aplicacio"e'nd PálroPblcdad de la.e ge ro gcomé·

triángulo ABe que, en virtud de la propiedad de la parábol OV - .será cuádruple del tri. ngulo T = AVB Si s. t a - VO.cualquiera NM que corta a AH en P i ,raza ahora un diámetrotendrá AB : N B = NP' NM o lo u' POr' aspropledades de la parábola seesla'" a1d dd' q ees omlSmoAB·MN=NB·Np·

Igu a e momentos" 1 q 11 6 . d • y escar la "ley de la palanca" que h~,ue ev slO

duda a Arquímedes a apli·

ca Parafrase' d I la encontra o en sus estudios de estáti·. an o e proceso de Arquímedes ¿ir{

de brazos iguaJes AH _ BH amos que en una palancagravedad en H. e<lu¡;bra ~I~n peso propo~onal a MN con su centro dezando dos escaJoides inscritos ~::c~~o==;s a PN en su sitio. Utili·

to, polr el método de exhaución, en deGnitiv3 ~~:r::j' ~r supucsque e segmento, con su centro de gravedad en H ... es en.luestraABe )' como éste tiene su centro de gravedad al ; eq.U1~bra el triánguloque el segmento es un tercio de ABe y por lo tanerlClol e ..~Ad' resultan.

La d'ó • o, os ,3 e Tcmostracl n geométrica consiste en 11 1 "

triángulo T, repetir la operac"ó 1 enar e segmento con elAV y VB, luego en los de baslcl~yO~ísegmSUe~ltos reslanctcs de basesmu tr ceslvamente. omo se de

lcs. a qaluc cada operación llena 1/.. del área llenada ¡x>r la o.~-"·ó

an erlor cabo de . ....-. -.1 npoligon~ de área T;; 0;:C~0('I~):I:egment:s(~1 h)~~~ Ilenad~ de unalema aritmético 1 . . " • . . . .. ) y en virtud del

l. que e l>enJlItlÓ obtener ~sta suma y con el élod d

ex laUClón llega Are uí:d d In o ele a "/3 ¿c'T. I me es a emostrar que el segmento es e<luivalen.

Fig, 6

trica a los círculos. Sea un scmicírculo de diámetro AC y en éste unpunto interior B; si se trazan los semicírculos de diámetros AB YBC, elrecinto bordeado por los tres semicírculos que Arquhnedes designa conel nombre de arbelos (lezna de zapatero) es equivalente al círculo dediámetro la semicuerda BD, perteneciente a la tangente común a los dossemicírculos anteriores. Arquúnedes agrega algunas propiedades, en es·pecial relativas a los círculos del interior del arbelos y tangentes a susbordes, figuras que serán est~ladas más adelante por Pappus.

Otro recinto de contomos semicirculares es el salinan (pa1abra de dis·cutible significado). obtenido partiendo de cuatro puntos A, B, C. D,tales que AB = CD y dibujando en un scmiplano los semicírculos dediámetros AD, AB. CD y en el otro de di:lmetro BC. Mqurmedes. bm

bién muy f:.\cilmente, demuestra que el recinto ABCDA es equivalente alcirculo de diámetro el segmento de eje de simetría de la figura compren·

dido entre los semiclrculos de diámetros AD Y BC.La demostración no es sino una ingeniosa extensión a los círculos de

la última identidad algebraica del segundo libro de los Elemento.- .Cabe por lo demás observar que las equivalencias dadas por el .rbe·

tos y el salino» son casos muy particulares de la equivalencia entre re·cintos bordeados por cuatro semicircunferencias, dispuestas en fonnaespecial. y un círculo cuyo diámetro es el segmento de eje radical de unpar de esas circunferencias, comprendido entre los arcos de las otras dos.Puede observarse en los casos de Arquhnedes cómo se verifica tal pro--

piedad.

(10) Las "oetallas" de Arqufmedes. Parol describir el sistema queadopta, a fin de dar nombre a númerOS muy grandes, Arquímedes re·cuerda que tradicionalmente los griegos lenfan esos nombres para losnúmeros hasta la miríada, es decir 10", de manera que podían "nombrar"números hasta la miríada de la minada (L08

). Arqu(mooes adopta cotan·(:es este número como nueva unidad (Uaménlosla u) de primer orden delprimer periodo, definiendo sucesivamente órdenes sucesivos hasta completar el orden ú.simo y (,'0)\ el primer período P ~ «". A continuacióndefine los perlodos sucesivos, en cada uno de los cuales hay u órdenes,hasta llegar al periodo ú-simo, es decir P", cuyo último número nombra:es "u unidades del orden ú·simo del período (I-simo", es decir, U

lllique

con nuestras cifras seria la unidad seguida de ochenta billones de cerOS.Da luego Arquímedes la regla par.! operar con los números de su sistema.regla que equivale a nuestra propiedad del producto de potencias deigual base (COl1 la diferencia que Arquhl100es opera con númeroS ordina·les, no cardinales), par'J. luego pasar a la detenninación efectiva del nú

mero de granos de arena del Universo.

l07

A

salinoo

o

arbelos

lOO

A '-------.::::,--!8,.......¿.:......J

'.

,

Partiendo del hecho de que una semilla de amapola no contiene más deuna mirlada de granos de arena y que la semilla de amapola es una esferade dimetro la 40-ava parte del dedo (10-' parte del estadio), va calcu·landa sucesivamente el número de granos de arena que contienen lasesferas de los siguientes diámetros: 100 dedos, 10'" dedos. es decir, el es·tadio; 100 estadios, lO' estatlios, 100 mirladas de estadios (que es el dUl·metro de la Tierra que adopta Arquímedes); u estadios; lOO u estadios(diámetro del Universo. según los astrónomos ortodoxos) y 106 u (di:imetro del universo d~ Aristarco); lIcsando finalmente a que el número degranos de arena que Ilenarlan este universo no superarla a un númeroque con nuestra notación es 1()63. o sea mil deca1lones.

(tI) La "ley de lo polonco", El escrito Del equilibrio de los planoscrea la teorla general de la palancia. fundada sobre la base de 7 postulados, con los que se abre su primer )jbro. No trae definiciones no obstantefigurar en los postulados conceptos como el centro de gravedad, cuyadefinición no aparece en ninguno de los cS<.."¡tos conocidos de ArquJme-.des. circunstancia que hace pensar que esa definición ya era conocida entiempos de Arquímedes o más verosímilmente, figuraba en otro escrl"bde Arquímedes hoy perdido,

En de6nitiva los siete postulados afirman: 1) la unicidad del centro degmvedad; 2) que el L"Quilibrio se mantiene sustituyendo cuerpos equivalentes, 3) que el equilibrio sólo depende de los pesos y de las distancias alas que los cuerpos est:in oolocados respecto del centro de rotación; y4) que existe equilibrio en el caso particular de simetria completa depesos y distancias, mientrolS que existe desequilibrio cuando no existe talsimetria.

De esos postulados deduce Arquímedes la conocida ley gencr.d de lapalanca: "Dos pesos, conmensurables o no, se equilibran a distanciasinversamente proporcionales a esos pesos".

Se ha objetado. en especial por Mach, que en realidad esta ley est4implícita en las demostr.lciones de Arquímedes, pues 2~ sus postuladosque no traducen sino las experiencias e intuiciones que establecen lascondiciones cualitativas del equilibrio, no es posible deducir una ley,como la de la palanca, que es CIUlntitatioo.

De todos modos, obtenida la ley Arquímedes, en las restantes proposiciones del primer libro, determina el centro de gravedad de los paralelogramos, triángulos y trapecios. En cambio. en el segundo libro, combinando los resultados anteriores con la cuadratura de la parábola lJega adetenninar el centro de gravedad de un segmento de parábola y de untrapecio parabólico, determinación esta última c¡ue constituye una de lasaplicaciones más brillantes del "álgebra geométrica",

lOS

(12) El "principio de Arqu&nedes". En fomla semejante ~ ante.riorestá construido el escrito De los cuerpos flotantes. En el pomer hbrodespués de postular la naturaleza del nuido en la forma, postulamos quela naturaleza de) Ouido es tal que estando sus partes dispuestas en fonnaunifonne y continua, las partes menos comprimidas son despl~ poraquellas que lo están más, mientras que cada parte está compnmlda porel Ouido situado encima de ella según la dirección de la verbca1, salvoque ese Ouido esté encerrado en alguna parte o esté comprimido por aI-...guna otra cosa.

En virtud de este postulado y de las propiedades de la esfera Arquí.medes demuestra que la fonna de equilibrio q~e ~,opta un fluido es ull.aesfera "cuyo centro es el mismo que el de la Tierra, y deduce l~ c:ondlciones de equilibrio de los cuerp:>s sumergidos enunciando las sigUientesproposiciones: 1) Un cuerpo tan pesado como el Ouid? y abandonado ~nél, se sumerge hasta que ninguna parte de él emerja de la SUper6CI~,pero sin descender mayonnente; 2) un cuerpo menos pesado que el flUI

do no se sumergirá totalmente y abandonado en él, sino hasta que el YO

lumen de nuido desalojado por la parte sumergida tenga igual peso que elde hxlo el cuerpo. Si ese cuerpo es sumergido forzadamente ~eclbtr.i unempuje hacia arriba igual a la diferencia entre el peso del nUldo desalojado y su propio peso; y 3) un cuerpo más pesado que el nu.do y abandonado en él se sumergirá hasta el fondo. y en el nuido el peso del cue~disminuirá de un peso igual al del nuido desalojado,

Estas proposiciones demuesb"an que en el equ~librio .de los cuerposDotantes interviene una fuerza --el empuje--cuya mtensldad está deter~minada mediante esas mismas proposiciones. pero de. la cual se desconoce su punto de aplicación, de ahf que Arquímedes Ul~uzca, al fi·naHzar el primer libro, un segundo postulado que se enunc13 as': e~l unfluido todos los cuerpos que se dirigen hacia arriba 10 hacen segun lavertical trazada por su centro de gravedad. . .

Con estos postulados y demostraciones Arqu'medes, en el s~gun~.h.bro del escrito, reaJiza una verdadera proeza científica al e~tudlar dlSun·t'as condiciones de equilibrio de un segmento de par.tbolOlde de revolución sumergido parcialmente en un fluido más pesado que él.

Es fácil advertir cómo la índole de este escrito contrasta con el~ter elemental del problema de la corona de Hiel'Ón y la bañera. q,ue~la creencia popular habria dado origen aJ "principio ~e ~qulmedes .Según la conocida anécdota, tal como la reproduce VItn!VIO, Arquime·des. para comprobar que la corona no era de oro puro sino mettla de oro yplata habóa hecho confeccionar dos masas de orO y de plata de .gualpeso'que la corona y habrla medido d volumen de agua desalojado porcada uno de esos tres cuerpos: la corona y las dos masas. Bastaba verificar

109

I

que el volumen desalojado por la corona estaba comprendido entre losotr?S dos v?lúmenes para comprobar el fraude. Por otra parle, tambiénfácil le hubiera sido a Arquímedes calcular la proporción de oro y plata enla corona, pues se trata de un elemental problema de mezcla.

(13) El "lLlodo de Arquf",,,des. Ul marcha del pensamiento de Arqufmedes, en este original escrito, puede seguirse tomando una cualquiera de sus proposiciones, por ejemplo la determinación del volumende un segmento esférico. La primera etapa es puramente geomébica:comparar secciones del cuerpo cuyo volumen se busC'.I con secciones decuerpos conocidos. En este caso, sea la circunferencia de diámetroAB = 2r la sección di"'~etraJ de la esfera y a la altura del scgmenlo.SUI>erpongamos a la esfera un cono rectángulo de vértice A y eje AH yun cilindro de base el área de la esfera y de altura la del segmento. Si i05tres sólidos se cortan con un plano nannal a AH a la distancia AM' = rlos radios ro = M'M; '2 = Af'M2; r:l = M'M:I son taJes que ,~ = .r (2r - r)¡'2 = ~ '3 = 2" Ypor tanto las secciones S, ~2 YS:I de la csfer'd, del cono ydel cllllldro estarán vinculadas por la relación % S3 = 2r (S + S2)' Obteni.da en gene~ una relación de este tipo se entra en la segunda etapa: es laetapa mecáOlca en ,!a cual la relac.ión anterior se concibe como una "igual-

. dad de momentos de una palanca introducida al efecto. En este C'olSQ

basta tomar HA = AH para esb-blecer el equilibrio entre la sección delcilindro, en su sitio, y las secciones del cono y de la esfera con su centrode gravedad en H. Hasta aquí el proceso Que sigue Arquímedes es riguroso y el resultado se fimda en postulados y demostraciones conocidas.Es en la etapa que sigue, y fm.'tI, donde aparece la particularidad delmétodo "según el cual--como se expresa Arquímedes en la carta a Era.tóslenes- será posible captar ciertas cuestiones matemáticas por mediosmecánicos, lo cual, estoy convencido, será útil también para demostrarlos mismos teoremas. Yo mismo, albrunas de las cosas que descubri pri~ero !>or .vía mecánica, las demostré luego geométricamente, ya que lal~vesbgaci6n hecha ~r este método no implica verd24era demostración. Pero es más fácil, una vez adquirido por este método un cierto~nocimiento de los problemas, dar luego la demostración, que buscarlaSIO ningún conocimiento previo...

En esta tercera etapa, en el caso considemdo, Arquímedes trasladal~as las ~iones de la esferol y del cono en H y apoyándose en la expreSión, más bien vaga. de que esas secciones "llenan los sólidos" admiteque esas secciones recomlxmen los sólidos en JI, de ahí que ahor.. son laesfera y el cono, con su centro de gravedad en JI, los sólidos que equilibran el cilindro en su sitio, de manera que entre los volúmenes V, ViY V3 del segmento, del cono y del cilindro, se verificará la relación

110

x

o

Fig. 1

'/2 aV3 = 2r (V -t V,), recordandoque el centro de gravedad del cilindroes el centro de simetría, expresión que le permitir~ deducir V puestoque los volúmenes V¡ y V3 son conocidos. En realidad, en este caso,Arquímedes hace intervenir el cono de volumen VI de igual base y alturaque el segmento, d<irnootrando en definitiva que V , V, = (3r - al ' (2r - aj.

Es evidente que la idea subyacente en la tercera etapa del proceso:los sólidos se componen de sus secciones, como en otras demostraciones:las figuras planas se componen de sus cuerdas, no tiene asidero alguno: nimatemático pues no se apoya en postulados, ni material pues viola la leyde la homogeneidad, ni intuitivo ya que el procedimiento es inexperimentable. Y no obstante tantas incongruencias, el resultado es correcto.

La explicación de esta aparente paradoja debe verse en el procesoreal, se trata de una integral definida y el resultado de bies integrales nodepende sino de las funciones integrando, que son precisamente las secciones con las cuales opera ArquÚlledes en su absurdo proceso.

Cuando se trata, con su Método de detenninar cent:os de gravedadse dispone la palanca de manera que sea la 6gura cuya l1rea o volumen seconoce y de la cual se busca el centro de gravedad, la que queda en su

sitio.

111

.E~ Método, Arquímedes demuestra, entre otras, las siguientes proposIciones: 1) Cuadratura de la par.ibola; 2) e<luivalencia entre la esferael esferoide de revolución, el segmento esférico y de un paraboloide d~revolución con conos;.3) centro de gravedad del segmento esférico y delsegmento de parabolOIde de revolución. Es interesante agregar qlJC, después de dcmos~ la e<luivalencia entre el volumen de la esfera y el deun ~no de base Ibrual al drculo máximo de la esfera y de altura el radio~qullnedes confiesa que llegó a la superficie de la esfera por analogía:

, . : pues así ~mo todo círculo equivale al biángulo cuya. base es igual ala circunferencia y cuya altura eS4::1 radio, supuse que toda esfera equivale ~ ~.n cono cuya base es la superficie de la csfer.l y cuya altura es elradio,

Al final considera las "cubaturas", que en realidad constituían el obje.to .de la carta a Eratóstenes, que define de la siguiente manera: 1) Si a un~nsn~a recto de base cuadrada se le inscribe un cilindro cuyas bases estánIOscntas en los cuadrados opuestos y se traza un plwlo por el centro deuna base y uno de los lados del cuadrado de la base opuesta, quedaseparado del cilindro un segmento (uña cillndrica), limitado por ese pla.no, por una de las bases y por la superficie del cilindro, que equivale a lasexta parte del prisma; 2) si en un cubo se inscribe un cilindro con susbases en dos caras opuestas, y en el mismo cubo otro cilindro COn susbases en otro par de car.u opuesw, el sólido comprendido entre amboscilin,dros y común a ambos: la doble bóveda cilíndrica, equivale a los dosterCIOS del cubo. De la uiia cilíndrica ArquÚTIedes aporta demostracionesgeométricas y mecánicas, mientras que la parte relativa a la doble bóvedacilíndrica no aparece en el único ejemplar, mutilado y deteriorado, delAlilado que se conoce; aunque no fue dificil reconstruir las demostraciones pertinentes.

Además, en el transcurso del escrito, Arquímedes señala CÓmo pod.rfan demostrarse de la misma maner.l otras proposidones semejantesque enumera, agregando todavía que deja muchas proposiciones expresamente de lado y otras que, como expresa en la carta "a mI no se me hanocurrido todavía, pero supongo que a1b>"\1nos de mis'Olntemporáneos osucesores podrán encontrar".

4. Apolonio de Perga

El tercero, cronológicamente, de los grandes matem licos griegos de la edad de oro, es Apolonio de Perga de cuya vida se

112

tienen escasas noticias y no siempre de f:leil identificación, dadala gran cantidad de Apolonios que figuran en la historia griega.

Se sabe que estudió en Alejandrla, donde probablementetambién enseñó y que residió en Éfeso y "\' Pérgamo, ciudad esmúltima que constituyó otro de los centros cuhumles del mundogriego, De todos modos debe considerarse posterior a Arquímedes ubicándose su florecimiento a fines del siglo 11 a. C. o comienzos del JII.

Así como el nombre de Euclides está indisolublemente ligadoa sus Elementos, el nombre de Apolonio lo está con el de Cónicas, su escrito más famoso y de cuyos ocho libros se poseen: loscuatro primeros en su texto original. Jos tres siguientes mediantetraducciones :\rabes y el último, totalmente perdido, por noticiasde Pappus y una reconstrucción parcial del astrónomo Halley.

En el libro primero Apolonio define en genemllas superficiescónicas de directriz circular y vértice un punto no pertenecienteal plano de la directriz, y demuestra algunas propiedades de estassuperficies, entre las cuales la existencia de dos series de secciones circulares en los conos oblicuos. Estudia luego los tres tiposde secciones que se obtienen cortando el cono con un plano queno pase por el vértice e introduce los actuales nombres: parábola,elipse e hipérbola,(I) Apolonio sib'Ue denominando hipérbola auna de las dos ramas de esta curva, denominando seccionesopuestas a esas dos ramas. En cambio, introduce el concepto depares de hipérbolas conjugadas para nuestro par de hipérbolas deiguales asíntolas y ejes.

De los ocho libros, cuyo contenido resume Apolonio en laintroducción al libro primero dedicado a un Eudemo de Pérgamo (2), los primeros cuatro abarcan la tcorla geneml de las cónicas y sus propiedades más importantes, completando en estecampo la obra de Arquímedes, Tal carácter de esos libros explica quizá que sean los únicos sobrevivientes en su texto original.En cambio, los libros siguientes se refieren a propiedades especiales y deben considerarse más bien como monograffas, (3)

Los tres primeros libros de Cónicas están dedicados a Eudemo, los restantes, pues Eudemo habia muerto, a un Atalo, también de Pérgamo.

113

A1b'unas indicaciones que aparecen en las introducciones a losdos primeros libros, pueden dar alguna idea de cómo se trasmitían los conocimientos en su época. Así dice Apolonio a Eudemoen la introducción al libro segundo: "He puesto en manos de mihijo Apolonio el libro JI de Cónicas que he escrito para que te loentregue. Léelo con cuidado y comunicáselo a quien se interesepor él. Hazlo conocer también al geómetm Filónides que te hepresentado en Éfeso, si por casualidad llega a Pérgamo".

Además de Cónicas, su 'obra máxima y a la que debe su fumade gran matemático, se conoce de Apolonio en versión árabe unproblema de seb'Undo grado con su solución: Sobre las seccionesde razón. que consiste en detenninar por un punto fijo una rectaque al cortar dos transversales determina sobre éstas segmentos,a partir de puntos dados, de razón también dada.

Además, por comentaristas posteriores en especial Pappus, seatribuyen a Apolonio otros escritos matemáticos: 1) un grupo deproblemas semejante al anterior: Sobre las secciones detenninadas; Sobre las secciones de dreas; 2) un segundo grupo de problemas, vinculados en generaJ con los lugares geométricos. Caberecordar que los griegos clasificaban los lugares geométricos entres tipos: lugares planos, que se resolvfan con rectas y circunfe.rencias; lugares sólidos, que se resolvfan mediante cónicas; y lugares lineales, que exigían otras Irneas para su solución. Entre losescritos atribuidos a Apolonio y vinculados con los lugares, figuran: uno Sobre los lugares planos con distintos problemas; otrodenominado De las inclinaciones, con problemas de inserción yun tercero Sobre los contactos, donde se estudian muchos casosparticulares de un problema que, generalizado, toma el nombrede "problema de Apolonio" y que consiste ~p determinar unacircunferencia tangente a tres circunferencias dadas; 3) se atribu.yen también a Apolonio escritos sobre los temas: Elementos deEuclides, sobre los poliedros regulares, la cuadrotura del círculo,sobre el problema de Oelos (4) y sobre sistemas de numeración.

Ab'Teguemos, por último, que de atenerse al testimonio delastrónomo Ptolomeo, Apolonio no sólo fue un gran matemáticosino también un gran astrónomo, ya que le atribuye proposiciones de índole astronómica en las que Apolonio utiliza la teoría delos epiciclos y de las excéntricas, de la cual sería cI inventor, que

114

/'

en manos de Hiparco y de Ptolomeo mismo se convertirían en lasbases de la astronomía antib'lJa.


(1) Generación y nombre de Úl.J cónicas. según Apoionio. Dejando delado el caso particular en el cual el plano sccante cs paralelo al plano dc ladirectriz y, por tanto, la sección CÓnica es una circunferencia seme~nte ala direcbiz; en todos los demás casos Apolonio oonsidera un plano d~etral constituido por el eje de la superficie cónica: recta que une el vérticecon el centro de la directriz, y la recta AB del plano de la directriz nanuala la intersección PQ de este plano con el plano secante. Si VN es la intersección del plano secante con el diametral, Apolonio demuestra que lassecciones cónicas serán diferentes según que la recta VN' 11 ":N, delplano diametral. sea interior, exterior o pertenezca a la superfiCIe.

Para eso seaA'B' el cLWnetro de una sección circular cualquiera de unplano paralelo al plano de la direcbiz y sea ¡Y'la intersección de A'B' conel plano secante. Si se indica con Ij la ordenada común de I~ cir~nfe~en,:

cia y de la sección cónica ¡Y'Y y N"Q', Y con x = VN la abscIsacorrespondiente de la sección cónica tendremos, en todos los casos, llamando por comodidad

'N" N"B' AN' - no VN' - m· y' - X.X2 ::::;: n x X2 : m.A = XI; = xt.; -, -.

Consideremos como primer caso que la paralela VN' coincida con lagenerJ.triz VB; x, es constante y si se indica con 2 p - VR el segmentocuarto proporcional entre n. m y X2, que Apolonio designa como la~

recto, se tendrá ,,2 = 2px, expresión analrtica que en fon:na geométr.tcaApolonio designa como "srntoma" de la curva y que no es SIIlO la ~aclónde la misma en coordenadas cartesianas oblicuas. tomando como ejes undiámetro y la tangente paralela a su dirección conjugada. Por otro lado,es claro que el cuadrado del lado Ij es equivalente al rectánb'UJo de lado xapücado al segmcnto 6jo 2p, dc ahr que los puntos dc la cónica puedcnobtenerse, sin salirse de su plano, resolviendo para cada punto uo problema de aplicación simplc (parábola) de áreas, de ahl el nombrc con clcual Apolonio bautiza la curva y nombre con el cual hoy se la conoce.

Si en cambio VN' es interior a la superficie, Apolonio da al segmento6· VV' = 2a el nombre de lado transverso e introduciendo un segmen

JO , 'U 1" r t ma"to p tal que la razón p: a sea igual a la razón m" : rn ,y ega a s n ode la nueva curva

y' = E. x (20 + x) o lo que es lo mismo y' = 2px + : r.a

lI5

\

En este caso el cuadrado construido sobre el lado IJ es equivaJente aun rectángulo de altura x aplicado al segmento fijo 2p. aJ cual hay queagregarle otro rectángulo de igual altura y semejante a un rectángulod~do. de lados proporcionales a p y a a. Es decir, que x se obtiene resol~viendo un problema de aplicación de áreas por ex(.'eso, por hilJérbole. deahf el nombre de hipérbola con "' cual desde Apolonio se ha bautizado bcurva.

Por 'Ir ' VN' ,u lino, SI es extenor a la superficie las mismas notacionesdan COmo "síntoma" de la curva .

y'!. = l!- x (2u - x) = 2px - .!!.. .ru a

y en este caso el problema de aplicación de .ueas es por dcft.'"Cto porelipse. de ahí el nombre de la curva. '

Por supuesto que Apolonio reconoce que si el plano diametr.tl IJ se.can~e son nonnaJes entre sí, los ejes de referencia son los ejes de lacómca.

JI

Ar--t-*;---48..N'

oFig. 8

116

JI

Fi~ 10

(2) Resumen del contenido de los ocho librot de Cónictu, He aquf laintroducción al Ubro primero de Cónictu, •Apolonio a Eudemo. salud,Si gozas de buena salud y en lo dem4s las cosas saleo a la medida de tusdeseos, muy bien está; para mí las cosas también marchan pasablementebien. Durante el tiempo que estuve contigo en Pérgamo advertí tu anhelo para conocer mi obra sobre las cónicas; te remito. por lo tanto, elprimer libro corregido y te remitiré los restantes libros cuando Jos tennioe según mis deseos. Me atrevo a decir que no habrás olvidado, según teconté, que emprendí la investigación de ese lema a requerimiento deNaucrates, el geómetra, quien así me lo pidió cuando vino a Alejandría yse detuvo conmigo. Compuse la obra en ocho Ubros y se los entregué enseguida y con toda premura pues estaba a punto de embarcarse, portanto, no los habCa revisado bien; y en verdad habea puesto por escritotodo cuanto se me ocuma, dejando para más adelante su revisión. Enconsecuencia ahora publico. en la medida en que se me presente la ocasión, las partes corregidas de la obra. Como ha ocurrido que en el intervalo algunas otras personas con quienes me he encontTado han visto también el primero y segundo libros antes de ser corregidos, no haz de sorprenderte si los encuentras en distinta fonna de los que conoces.

Ahora bien, de los ocho libros, los cuatro primeros ronnan una introducción elementaJ. El primero contiene la generación de las tres seccio-

117

nes y de las ramas opuestas, exponiéndose las propiedades fundamentales en una fonna más completa y gener.ll que en los escritos de los demás.El seb'tmdo libro se refiere a las propiedades de los di:irnetros y de losejes de las secciones, así rolDO de las asíntotas, con otras cosas necesarias,y generalmente empleadas en la determinación de los límites y condiciónde posibilidad de los problemas; lo que entiendo por di:imetros y ejes loaprenderás en este libro. El tercer libro contiene muchos teoremas notables, útiles para la síntesis de los lugares sólidos y para las condiciones deposibilidad; la mayoría y los m:is hemlosos de estos teoremas son nuevosy por su descubrimiento advertí"que Euclides no había expuesto la síntesis del lugar relativo a las tres o cuatro lincas, sino por casuaHdad unaparte de ella y tampoco con mucho éxito, pues no es posible completaresa síntesis sin los teoremas que he descubierto. El cuarto libro demuestra de cuántas maneras pueden cortarse entre sf las secciones de conos o<.'on la circunferencia del círculo; contiene, además, otras cosas, ningunade las cuajes habfu sido discutida l>or los escritores anteriores, en pamcu.lar las cuestiones que se refieren aJ número de puntos en que una doblerama de hipérbolas pueda cortar una sección de un cono, o una circunferencia de un circulo pueden cortar a una doble r.una de hipérbolas o dosramas de hipérbolas, entre si.

Los restantes libros son más elevados; uno de eUos trata aJgo extensamente de máximos y mínimos; otro, de secciones de cono iguaJes o semejantes; otro. de teoremas de la naturale'L.a de la detcnninación de limites'y el últirno("de detenninados problemas de cónicas. Pero, por supuesto:cuando todos se publiquen, <Iuienes los lean, podrán fomlarse su propiojuicio acerca de ellos, de acuerdo con su gusto individuaJ. Adiós."

(3) Propieda,les de úu cónicas, segúII tipo/alijo. EII el ~bro primerolas propiedades de las cónicas que Apolonio demuestra se refieren a laposición relativa de una recta respecto de ellas y de ahí la construcción dela tangente en un punto Jllediante la propiedad que en lenguaje actualexpre~ que la tangente y la seca~lte que pasan por..ljn punto separanannóllIcamente los extremos del dlámetro conjugndo a la dirección de lasecante. El libro se cierra con teoremas en cierto modo recíprocos de losteoremas iniciales, es decir: dada una cónica, existe siempre un cono desección circular del cual esa cónica es una sección plana.

El libro seb'UIIdo está dedicado en geneml a la hipérbola y sus asr~t'"tas Y. por tanto, a Jas secciones opuestas y a las opuestas conjugadas.Aparece la propiedad del segmento de tangente comprendido entre lasasíntotas bisecado por el punto de tangencia, y la constancia del paralelogramo de lados las asfntotas y vértices opuestos el centro y un puntocualquiera de la hipérbola.

118

En el libro tercero se estudian propiedades relativas a los biángulos ycuadriláteros inscritos y circunscritos, y es probable que sean éstas laspropiedad~s que Apolonio utilizó para estudiar, como Jo aflnnl1 en laintroducción al libro primero, los "problemas de las tres recw y de lascuatro rectas" clue más tarde aparecerán en PapP4.!s y desernpeñarin unpapel histórico en el advenimiento de la geometría analitica. En estetercer libro aparecen los polos y polares de las cónicas, asr como los focosde la elipse y de la hipérbola y las conocidas propiedades focales de estascurvas. No menciona el foco de la parábola que sin duda conoció, aunqueno habrá deducido de él propiedades interesantes. En cambio, 00 dejade llamar la alcnción que Apolooio no aluda para nada a las directrices delas cónicas. Finaliza el libro con aJgunas propiedades métricas que hoy seestudian con los recursos de la geometría proyectiva

El cuarto libro está dedicado a las intersecciones y contactos de lascónicas con circunferencias o de las cónicas entre si, demostrando quedos cónicas no pueden más de cuatro puntos comunes....

El libro quinto es uno de los libros que más han contribuido a elevarla fama de tlpo!!>nio como geómetra. Se estudian en él las distancias máximas y mfnimas de un punto a los puntos de una cónica en su plajlo,estudio 'que involucra la teoría de las nonnales a una cónica que pasanpor un punto dado, teoría vinculada con la determinación de las actuaJesevolutas. Apolonio resuelve el problema demostrando que los pies de lasnonnales que pasan por un punto fijo están sobre una hipérbola, hoy llamada "hipérbola de Apolonio", cuya intersección con la cónica resuelveel problema. En realidad, cuando la cónica es una parábola esos puntosse encuentran también sobre una circunferenda, cir~unstancia que no·advirtió Apolonio y que le reprochará más tarde Pappus por haber resuelto oomo lugar sólido un problema que pocIIa haberse resuello comolugar plano.

El libro siguiente, menos importante, se reGere a la congruencia ysemejanza de las cónicas y, como lo manifiesta el mismo Apolonio. suobjeto era aclarar y completar trabajos de sus antecesores, refiriéndoseprobablemente a estudios de Arquímedes en el tratado sobre los conoides y esferoides.

El libro séptimo vuelve a tratar asuntos originales, al estudiar los miximos y mínimos de ciertas funciones de los diámetros de las cónicas. Esen este libro donde aparecen los hoy llamados "dos teoremas de Apolonio", relativos a la constancia de la suma (para la elipse) o la diferencia(para la hipérbola) de los cuadrados construidos sobre un par de diáme- ,,tras conjugados y a la constancia del paralelogramo construido sobre unpar de diámetros conjugados.

119

(4) La solución de Apo/onio del problema de DeÚ>s. Esta solución esmuy simple. Sea un rectángulo OADB de centro e de lados DA z:: a'

08 = b; si por D se dctcnnina una recta tal que sw intersecciones X e Y'r~s!>eclivamente, con las prolongaciones de A OA Y 08 cumplen la con~~lcl6n ex = cr, las distan ¡as AX = x yBY = Y resuelven el probJema.En efecto, por semejanza de triángulos b , • = y , o = (b+y) , (0+');por la condicIón de equidistancia x (r+a) = y (Y+b), expresión que, combinada con las igualdades anteriores, da b : x =.r : y = y; b, por tanto r e '1son medias proporcionales entre b y a.

5, Los epígonos del siglo de oro

Además de los "tres grandes" de Hipsicles, ya mencionado, pueden citarse algunos otros matemáticos del perlodo helenistico.Contempodneo de Arqurmedes, aunqne algo más joven, es Eratóstenes de Cirene, sabio de actividad múltiple que fue bibliotecario de Alejandría y cuya hazaña cientillca más notable es laprimera medida de la circunferencia terrestre. En matemática,donde no descolló tanto como en geografia, se le conocen tres contribuciones: una resolución del problema de Delos, interesanteporque con ella dio la historia del problema y los intentos realizados por sus predecesores;(l) un escrlto Sobre las proporcionesdonde se ocupa de las distintas "medias"; y su conocida "criba",que ofrece un procedimiento para construir una tabla de números primos.

Entre Arquímedes y Apolonio se sitúa Nicomedes, a quien sedebe una CUlVa: la "concoide" de Nicomedes y'un instrumentopara trazarla, con la cual se pueden resolver los problemas de latrisección del ángulo y de la duplicación del cubo.(2)

Otra solución al problema de Delos la ofreció un matemáticoposíblemente contemporáneo del anterío" Diocles, quien deter.minó las dos medias proporcionales mediante una curva que tomó el nombre de "cisoide" (de kissos=hiedra) por la forma semejante a una hoja de hiedra que adopta la figura limitada por unarco de esa curva y una semicircunferencia. (3) A Diocles se atri-

120

buye también una solución del problema de Arquímedes, dividiruna esfera en dos segmentos cuyos volúmenes están en una razóndada, mediante cónicas (elipse e hipérbola), mientras que unasolución análoga, mediante parábola e hipérbola, se atribuye aDionisiadoro de Amiso, probablemente del s. 1 a. C.

De otros matem:iticos de este período se dispone de escasosdatos acerca de las personas, y sólo algunas referencias de susescritos proporcionadas por comentaristas posteriores.

El más original es Zenodoro, algo posterior a Arquímedes aquien cita, que introduce en la geometría antigua un nuevo problema: el de los isoperímetros, que resuelve en casos particulares, el elrculo es de mayor área que cualquier polrgono regular deigual perlmetrO que la circunferencia del círculo; que la esfera esde mayor volumen que cualquier $ólido de igual superficie ...

Cabe citar a Perseo, que habría estudiado las curvas llamadas"espirieas", por ser secciones con planos paralelos al eje de rotación de superficies tóricas. que los antiguos denominaban espirasO anillos. ,

Citemos. por último. algunas fi&I'lJra5. no exclusivamente geó·metras: el astrónomo Hiparco de Nicea, predecesor de Ptolomeo,a qu.ien se atribuyen contribuciones matemáticas que más tardedesarrollará Ptolomeo; Teodosio de Bitinia, también astrónomo,autor de una Esférica, más bien elemental, que es el tratado másantiguo sobre el tema que ha sobrevivido; Cemino de Rodas,quien se ocupó de astronomía, aunque de mayor interés es unaintroducción a la matemática, de la cual se conservan fragmentos,donde trata cuestiones vinculadas con los ,fundamentos y la clasificación de la_ matemática.


(1) El mesolabio. Es con este nombre que Pappus designó al instrumento que Eratóstenes acompañó a la solución del problema de intercalar dos medias proporcionales entre dos segmentos daclos. Se componíade tres marcos rectangulares iguales. provisto cada uno de Wla de sus

121

•

a : b = a : ¡, = x : ¡" = y: 11"; x : ¡, = y : 11' = b : ¡'''

Fig. 13Fig, 12

p

de donde los segmentos r y e y son mt..><!ios proporcionales entre 2 a y b.

(3) La cisoide de Diocles. Sea una circunferencia de centro O, diámetros perpendiculares AB y 0'0" y dos semicuerdas MM' y NN' simétricasrespecto de 0'0" y nonnales a AB. La intersección Pde AM' con NN' esun punto de la cisoide que se obtiene haciendo variar la pareja de semi·cuerdas. La rama de la curva O"AO', situada dentro del drculo, con lasemicircunferencia-O"BO' dibuja la hoja de hiedra. La proporcionaJidadAM : MM' = AN : NP puede escribirse AN : NP ~ BN : NN', razón estaúltima iguaJ a NN' : An. de manera que combinando esas razones resultaBN : NN' = NN' ; AN = AN : NP y por tanto NN' y AN son medias pro-

,1a : x = y : b = (a + y) : (x + b) = x : y

Q

el biángulo rectánbrulo OPA. cuya hipotenusa PA y cateto OA seari, ;es.pectivamente las mitades de los segmentos b y a entre los que debenintercalarse dos medias proporcionaJes. Si se toma AA' = 2a Yse traenpor A la paralela AR a A'P, la concoide de polo P, base AR y distancia APresuelve el problema, pues si M C:S la intersección de esa concoide conAA' tendremos que uniendo P con M y llamando PR = r; AM = !I, lostriángulos semejantes AtA 'p YMAR dan a : r = y : b. Comparando luegoel valor del cateto OP, deducido de los triingolos OPA y OMP, se llega ax (x + b) = y (y + a), se tendri por tanto

óQ

(2) lA concoide lle Nicomelies. Dado un punto fijo P(polo) y una reclafija b (base) que no le pertenece, la concoide es la curva, en fonna deconcha (de aJlí su nombre), lugar de los puntos de ·las rectas que pasanpor P, tales que sus distancias a la intersecci6n con la base es un seg·mento constante dado. La curva comprende dos rmhas. situ~ldas en am·00.'1 semiplanos separados por la recta, aunque Nicornedes no oonsider.sino la nuna situada en el semiplano que no contiene P.

Para trisecar, por ejemplo, el ángulo (agudo) en P del trhingulo rectángulo OPR bastará constnlir la con<.'Oide de polo P. base on y distanciaconstante el doble de PRo El punto M de la L'OlIcoide situado sobre RAI,normal a OR, unido <''011 P, determina el ángulo MIJO tercio del dado.Para cornprobarlo basta tomar MS = SR = fll.

La solución del problema de la duplk:ación del cubo, mediante laconcoide es menos simple. AJgo simplificada consiste en lo siguiente. Sea

de donde (l : :r = X : y = lJ : b.

diagonales. Esos mart'Os podían deslizarse: el primero sobre el segundo,el tercero debajo del segundo; si se realizaba ese desplazamiento de ma·nera taJ que los extremos visibles de las diagonales aparecieran alineados,los montantes de los marcos cst:lban en proporción <.'Ontinua y por tantoresolvían el problema del mesolabio. En efecto si a, x, y, b son )05 mon·tantes y h, },', }¡"Ias bases d~ los marcos; de las dos ternas de tritingulossemejantes se deduce

122 123

-------

Fig. 14

6. La matemática griega

vio nacer, por el platonismo en cuyo seno se desarrolló, sin olvidar los factores técnicos (piénsese en el "escándalo de los irracionales") que influyeron en el curso de ese desarrollo. La abstracción de la matemática griega es una especie de abstracción deprimer grado. semejante a la abstracción de las ciencias naturales. muy distinta de la abstracción que introducirá el álgebra o dela abstracción quintaesenciada de la matemática de hoy. Las flguras de la matemática griega no son entes abstractos muy distintos de los elementos químicos. de los gases perfectos. de las especies biológicas. de las formas cristalográfocas ...

Este tipo de abstracción explica el imperialismo d}' la geometría que se advierte en la matemática griega. apegada a los cuerpos naturales. una matemática de flguras. visual, táctil.

Esta abstracción explica también por qué la matemática griega no logra grandes generalizaciones: es una matemática que nova a la caza de métodos generales, sino de problemas singulares,aunque a veces las nociones previas que la solución de tales problemas singulares son tantas y tan complejas que de poníesasnociones pueden llegar a constituir un sistema, como ocurre conlos Elementos.

Esta predilección por el problema. despreocupándose por lageneralización, impidió ver el proceso y la continuidad, con lanoción anexa de variabilidad. Los problemas de máximo y minimo que estudian los griegos no son momentos especiales de unproceso continuo, sino casos part.iculares. fijos. que revelan unapropiedad también particular. foja, que revela otra característicaespedfoca de la matemática griega: su estatismo. su carácter másestático que dinámico. más cinemática que cinético. En los contados momentos que en ella aparece el movimiento, es un movimiento pobre. diríase sin fuerza: es el movimiento uniforme rec·tilíneo O circular.

Otra característica que distingue claramente la matemáticagriega de la moderna y actual, proviene de la influencia del platonismo que arrojó los objetos matemáticos en un transmundo, lejos de todo contacto y vinculación posibles con este mundo sublunar de los hombres y de las cosas.

De ahí el destierro al que se condenó la loglstica y toda aplicación práctica; de ahr la naturaleza especial de la vinculación dc

porcionales entre BN y NP. Como a su vez BN : NP = BO : OQ bastarátomar 80 y OQ como segmentos dados. construír la cisoide en la circunferencia de radio 08 y buscar su intersección P con la recta BQ I paratener en AN y NN' segmentos proporcionales a las dos medias buscadas.

O'

8 I-::::::::-----;-'----t=------r-------=~ A

Ya dijimos que el primer siglo helenístico fue la edad de oro de lamatemática griega; es con los "tres grandes" qlie esa ciencia culmina, mostrando así más claramente sus caract~sticas: unas permanentes, otras más vinculadas con el propio mundo griego.

La primera nota permanente que los griegos aportaron a lamatemática fue distinguir un determinado conjunto de conocimientos, conforiéndole, mediante el método axiomático y la demostración, los caracteres de una ciencia deductiva o, mejor, haciendo de él el modelo de toda ciencia deductiva.

La segunda nota matemática permanente que aportan losgriegos es la abstracción, aunque la abstracción de la matemáticagriega tiene rasgos propios, conferidos por el pitagorismo que la

124 125

\

~~ mate~nática.griega con ciertos campos de la ciencia natural: as-onamla, 6p~lca, estática, campos que los griegos consideraron

~ue pertenecJall a la matem&tica con igual derecho que la aritmétIca y a geometría; de alú que de ellas no estudiaron sino s~esqueleto geométrIco y de ninguna manera su estructura física.Baste pensar en la astronomía griega, de la cual nada ha quedado en la palanca de Arquímedes de la que sólo cuelgan polígonoso;segmentos de. parábola, o en s~ fluido ideal, donde no flotan embarcacIOnes SIllO segmentos de parabolo'd dI'I es e revo uClón.

••

126

V. EL PEIÚODO GRECORROMANO

l. Epígonos y comentaristas

En el mundo grecorromano de los primeros siglos cristianos, lamatemática conserva las características de los dos siglos anteriores, siendo, en general. sus representantes epígonos y comentaristas de los grandes matemáticos griegos. Hacen excepción Pappus de A1ejandria, matemático original; Claudia Ptolomeo,~más

astrónomo que matemático, y Diofanto que, con Herón alejandrino, forma una pareja de matemáticos algo heterodoxos, quehoy se vinculan preferentemente con la matemática de los babilonios.

La serie de los matemáticos de este período se abre con icómaco de Cerasa, de fines del siglo 1 o comienzos delll, sin dudaun neopitagórico. pues Pappus lo designa "el pitagórico". Desus obras. la más conocida es una Introducción aritmética de es·caso valor científico, pues en ella las demostraciones se sustitu·yen por el examen de casos particulares. pero interesante pueshace conocer el no muy exteoso saber arlbnético de los griegosanteriores. Por otra parte, esta obra se convirtió en el texto dearibnética durante la Edad Media, gracias a la versión latina quede ella compuso Boocio. La Introducción de Nicómaco se compone de dos libros que se ocupan de progresiones aritméticas, números figurados. proporciones, etcétera.(l)

Contemporáneo del anterior es Menelao de Alejandria. matemático y astrónomo, que hizo observaciones en Roma en 98 yautor de una Esférica en tres libros, que ha llegado hasta nosotros

127

I

en versiones árabes y hebreas y que representa la culminación deesta rama de la geometría. Con la Esférica de Menelao hace suaparición el triángulo esférico, del cual Menelao da las propieda·des más importantes, siguiendo un camino semejante al recorrido por Euclides al estudiar los triángulos planos, pero mostrandotanto las analogías como las diferencias entre ambas clases detriángulos. Entre las primeras figuras el hoy llamado "teorema deMenelao" que es válido tanto para los triángulos planos comopara los esféricos, sin más que c~lmbiar en estos últimos la expresión "semicuerdas del arco doble" (nuestros senos actuales) porlos segmentos de los triángulos planos.(2)

Del siglo lJ es Teón de Esmirna que, adem¡is de ocuparse deastronomía y de gCOInetría, en un escrito Sobre los conocimientosmatemáticos (W/es para la lectura de Platón trata cuestiones aritméticas a la manera de Nic6maco, sin demostraciones y enunciando las proposiciones con .ejemplos numéricos. Algunas deesas cuestiones, no tratadas por Nic6maco, conservan cierto inte·rés aritmético.(3)

Hay que dejar transcurrir un par de siglos para dar con ot:oTeón matemático, ahora de Alejandría, importante por habereditado y comentado los Elementos de Euclides, asl como por suscomentarios al Almagesto de Ptolomeo y por sus noticias sobre lalogística griega. Con Teón de Alejandría se vincula su hija Hipa·tía, también matemática, que habr(a colaborado con el padre enlos comentarios del Almagesto y ocupado además de las Cónicasde Apolonio. Pero el nombre de Hipatia tiene una connotaciónhistórica trágica: su muerte en manos de la turba durante las luchas entre paganos y cristianos.

Con Hipatia puede decirse que la matemática deja de culti·varse en Alejandría. Aun, por un pequeilo lapso, encuentra albergue en el seno del neoplatonismo, uno de cuyos primerosadeptos: Jámblico de Calcis, de la prímera mitad del siglo IV,

compone una Colección de las doctrinas pitagóricas, de la cual seconservan algunas partes matemáticas en las que se ocupa de aritmética pitagórica en forma semejante a Nic6maco, a quien enbuena medida comenta y completa. (4)

En contra de la tendencia de Nic6maco y de Jámblico, reac·cionó Domnino de larisa del siglo V, quien, en un manual de

128

introducción a la aritmética, sostiene la necesidad de volver alrígido sistema euclideo de demostración, insistiendo que en lugar de enunciar propiedades sobre la base de algunos casos particulares se debía volver a la representación de los números mediante segmentos rectilíneos y demostrar sus propiedades geométricamente. Pero no parece que su crítica haya tenido éxito.

Domnino fue condiscipulo de Proclo de Bizancio, uno de losmás importantes miembros del neoplatonismo, que se establecióen Atenas como jefe de la escuela y autor de un importante Comentario a IQs Elementos de Euclides, cuya parte filosófica le pertenece, pero en cuya parte matemática utiliza escritores anteriores, desde Eudemo de Rodas hasta Pappus. Sólo se conserva deese escrito el Comentario al Libro 1 de los Elementos en cuatrolibros. que citamos un par de veces, y cuyo mayor interés se basaen los datos de interés histórico que trasmite. Como aporte geométrico mencionemos que en él aparece la primera mención a laconstrucción de la elipse mediante el recorrido de un punto fijode un segmento que se mueve manteniendo ¡sus exh:emos sobredos ejes fijos.

Algo posterior a Proclo es otro comentarista: Eutocio de Asealona a quien se deben comentarios a los escritos de Arquímedes:De la esfera y del cilindro; De la medic/a del circulo; Del eCluilibrío de los planos y a los cuatro primeros libros de las Cónicas deApolonio. Al comentar el primer escrito de Arqu(medes aportanoticias interesantes sobre la resolución geométrica de los problemas de tercer grado.

Más dificil de ubicar en el tiempo y en el espacio es un geómetra griego: Sereno de Antisa o de Antinópolis, posiblementeposterior a Pappus, Proclo y Eutocio que no lo cilan. Se le debendos escritos geométricos: uno Sobre la sección del cilindro que sepropone probar, en contra de la creencia de algunos geómetras,que las secciones el(pticas de un cilindro no difieren de las secciones e¡¡pticas de un cono; y otro Sobre las secciones del cono,en el que estudia los triángulos obtenidos cortando un cono porplanos que pasan por el vértice, abundando en ambos escritos deinteresantes cuestiones geométricas.

Mientras tanto, en Atenas, a Proclo siguió en la jefatura de laescuela su discípulo Marino de Neapolis a quien, además de una

129

prolija biografía de su maestro, se le debe un comentario a losDatos de Euclides con un extenso prefacio. A Marino siguió Isidoro de Mileto. quien tuvo por discípulos a Eulocio ya mencio·nado, y a Oamascio de Damasco, de fines del siglo V, uno de losautores a quien se atribuye parte del apócriro Libro XV de losElementos. Damascio proresó en Atenas y rue el último jere de laAcademia, cuando también profesaba en ella Simplicio, comentarista de las obras de Aristóteles, pero también de los Elementosde Euclides. Fue durante la jeratura de Damascio que en 529Jusliniano clausuró la Academia como último reducto del paganismo; y Damascio, Simplicio y olros cinco filósofos encontraronrefugio en la corte persa.

dad de la cual se deduce que la suma de los primeros n cubos es el cuadrado de la suma de los primeros n números consecutivos, y que iromaco oQ demuestra. pero que er.l conocida. pues figura en el llamadoCódigo Arceriono (del nombre de uno de sus propietarios; Joannes Ar·cerius de Croninga, del siglo XVI) compilación de conocimientos griegos.para agrimensores y adminb1:radores romanos, del siglo V o VI.

Por lo demás. puede deducirse fácilmente de las propic.."<lades (lllC

figuran en Nicómaco. En efecto: si en la sucesión de impares COIlS(.'CU·

tivos. comenzando por la unidad, se agrupan en la sibruiente fomla: elprimero, los dos siguientes, los tres siguientes. etcélera. se demuestraque esas diferencias de cuadrados no son sino los rubos sucesivos 1, 8.27 ... ; de manera que la suma de los primeros n rubos será la suma detantos impares consecutivos como suma de tos n enleros consecutivos. esdecir [lit (n) (n+ 1)]2; que expresado con números figurados, la suma decubos es el cuadrado de un número triangular.

AB' , CB' = AC' , CD; CD , C'B - A'C , A'B

Fig. 16Fig. 15

8O

88"

eA

A"O

A

(2) El teorema de Meuewo. En realidad Menelao no considera, comoactualmente, un triángulo ABe cuyos lados son cortados por una transversaJ A'B'C'. sino los segmentos AH y AB', por cuyos extremps traza lastransversales BC y B'C' que se cortan en A'. Y demuestra la iguaJdadentre la razón de un par de segmentos y el producto de las razones deotros dos pares. Por ejemplo. trazando CD/lAB se tiene


(1) lA aritmética de NicfmUlco. En el libro I las únicas novedadesrespecto de los Elementos de Eucljdcs se refieren a las progresiones aritméticas, que Euclides no trata y a la mención de ios cuatro primerosnúmeros perfectos. agregando que deben terminar en 6 o en 8, propie·dad que demostró Jámblico y a la que Boecio agregó la fulsa inducción deaparecer esas tcnninaciones en forma altemada (el sexto nú.mero tcnninaen 6 y no en 8). Agreguemos que el quinto número peneclo aparece enun manuscrito del siglo XV; que en 1592 se conocian 12 números penec.tos y que más tarde, con las oompuwdoras electrónicas, se pudo calcularotros tres, el último de los cuajes 2 1278 (2 1279 - 1) tiene aproxjmadamente170 cirras.

Más interesante es el libro segundo de Nicómaco que se refiere a losnúmeros "figurados" señalando algunas propiedades, por ejemplo: lodocuadrado es suma de dos triangulares consecutivos o. más general, lodonlllllero poligonal es suma de un poligonal de un lado menos y de unIriangular. Habla de números piramidales como suma de poligonales se·mejantes; de números truncados. suprimiendo los primeros ténninos alos piramidales, de números heteromecos: producto de dos enteros con·secutivos o dobles de los triangulares; de números paralelepípedos: cuadrado de un número por el consecutivo. etcétera. dando algunas relaciones entre ellos. L..'l más importante de esas relaciones es la que expresaque todo cubo es la Sllma de una serie de impares consecutivos. propie·

130 131

j

y eliminando CO se llega a la siguiente relación entre los segmentosrectilíneos

AB'/CB' = AC'/C'B 'A'B/A'C,

Un teorema muy simple le pernlite pasar a la esfera. En un círculo decentro O considera una cuerda AB, yen ella un puntor interior e (igualresultado se obtiene cuando el punto es exterior), que unido con O di.vide el arco AH en dos segmentos de arco AD y DH; las perpenIDcuiaresAA' Y BB', respectivamente semicueroas de Jos arcos dobles (nuestrossenos), son proporcionales a los segmentos AC y CH. De ahí que si en lafigura anterior en lugar de segmentos se consideran arcos de círculosmáximos de una esfera, se llega a la expresión, con nuestro simbolismo

sen AB'/sen CB' = sen AC'/sen C'B ' sen A'B/sen A'C,

(3) L.a aritmética de 1"eón ele ~sminl(J. Entre las propiedades de número, que Tcón enuncia, sin demostrar, sólo citamos la siguiente: todocuadrado es múltiplo de 3 o de 4, o múltiplo de esos números más l.Como consecuencia: ningún cuadrado es múltiplo de 3 o de 4 menos 1, omúltiplo de 4 más o menos 2.

Más interesante es la correspondencia que Tcón expone entre dosseries de números que obtiene geométricamente partiendo de una suce.sión de cuadrados, en cada uno de kls cuales el lado es la suma del ladomás la diagonal del anterior. Toon llama a estos números wter-altJ y diametrales, según midan los lados o las diagonales, enunciando algunasrelaciones simples entre los mismos. Estos números '" y d" desempeñarán más tarde su papel en teorla de números: cumplen la relación fundamental {/~ - 2cJ; = (_l)n, se presentan en las reducidas de ciertas &acciones continuas infinitas, en la solución de la llamada "ecuación de Pell",etcétera.

(4) La aritm.étictJ e/eJdmblico. Entre las propiedades de números queJ:1mblico "demuestra", ya con casos particulares o mediante los númerosfibrurados todas de fácil comprobación, figuran: el óctuplo de un númerotriangular más 1 es un cuadrado; un número rectangular. cuyos factoresdifieren en dos unidades, más 1 es un cuadrado; la suma de dos númerostriangulares, de orden alternado, menos 1 es un heteromeco, .. Ya dijimos que demostró que los números perfectos tenninan en 6 o en 8; además afirmó que exjste un número perfecto en cada mirlada, lo que ya noes cierto. Una propiedad más interesante, por estar vinculada con las"cifras"; es decir. los números representativos de las unidades, d(,"(.'Cnas,

132

centenas ... es la siguiente: i re titmen tres números consecutivos, elúlQmo de los cuales es múltiplo de 3, y se suman sus cifras, de esteresultado vuelven a sumarse sus cifras y así sucesivamente. el resultadofinal es siempre el número 6.

Por último, es el escrito de Jámblico donde aparece la contribución"algebraica" de Timaridas, ya mencionada, consistente en un sistema lineal de varias incógnitas: detenninar un número conociendo sus sumascon cada uno de n números desconocidos y con la suma de todos ellos. SiaJ, a2. "', + a" y a son tales sumas, es ca1ro que la incógnita r se obtieQemediante la upresión ;r(a, + a2 + ... 0" - (1): (n-l) que es la regla queJ1mblico abibuye a Timaridas y que denomina "epantema",

Además J1mblico reduce al "epanlema" a un par de sistemas indeterminados, de los cuales da la solución mínima en números enteros.

2, Ptolomeo y Pappus

Claudio Ptolomeo forma, con su contemporáneo el médico CaJeno de Pérgamo, la pareja de figuras cienUficas sobresalientes deeste período. Poco se sabe de Ptolomeo: nació en Egipto y residióen Alejandría, donde realizó observaciones y trabajos astronómicos entre los años 127 y 151. Sabio enciclopédico, se ocupó dematemática, astrooomía y astrología, geograRa, óptica y acústica,cronología, aunque su fama científica se funda sobre el AI,naguto, tratado que sistematizó la astronomía antigua y que constituyó, con su autor, las autoridades máximas e indiscutidas en materia de astronomía durante catorce siglos,

o Su verdadero título. que acentúa su carácter matemático esSintaxis matemática, en 13 libros, que más tarde llegó a conocerse como "la gran sintaxis de astronomía". para distinguirla de una"pequeña sintaxis" colección de algunas obras astronómicas menores; pero la admiración que la obra despertó hízo que se leaplicara el superlativo, gríego megiste (la más grande) con lo cual,al anteponérsele el articulo en su versión árabe, el utulo se con·virtió en el anacrónico Almagesto con que se le cita generalmente.

Si se excluye una obra probablemente juvenil, que se le atri·buye, sobre la teoría de las paralelas y el conocimiento de las

133

J~J

proyecciones ortogrMica y estereogdfica, toda la contribuciónmatemática de Ptolomeo cst;\ diseminada en sus escritos as tronó¡nicos, en especial, en las partes de Sintaxis uwtemática que tratan las cuestiones matem¡iticas necesarias para el estudio racionalde los fenómenos celestes.

En este sentido una exigencia fundamental fue la construcción de una "tabla de cuerdas" para los distintos arcos, partesalfcuotas de la circunferencia. Tal construcción, iniciada por Hiparco, fue continuada y perfeccionada por Ptolomeo,(l) quienutilizó los resultados de Menelao para el análisis de los triángulosesféricos, de manera que el Almagesto constituye la primera sistematización de la hoy llamada "trigonometrfa plana y esférica".En muchas de las expresiones que figuran en el Almagesto si secambia la palabra "cuerda" por la locución "doble del seno delarco mitad", se obtienen expresiones de nuestra trigónometría.(2)

Más matemático "profesional" es Pappus, también de A1ejandrfa, de quien se sabe que hizo observaciones astronómicas en320. Además de obras desaparecidas y de un comentario al librodécimo de los Elementos, que se conoce mediante un arregloárabe, se le debe una obra importante en ocho libros: la Colección matemática, resumen de conocimientos anteriores con agregados originales, correcciones y crfticas. que resultó de un valorinestimable por las informaciones históricas y bibliográficas quecontiene acerca de la matemática griega.

De sus ocho libros, el primero y parte del segundo se hanperdido, pero del contenido de la parte sobreviviente del segundo se desprende que probablemente esos dos libros se ocupabande cuestiones artiméticas. El libro tercero se 'ocupa de asuntosvariados: proporciones, poliedros regulares, lugares geométricos,mientras que el cuarto revela mayor unidad. pues se ocupa de lascurvas ideadas para la resolución de los tres problemas clásicos, alas que Pappus agrega alguna nueva. El libro Y se dedica a losisqperímetros. mientras que el sexto y el octavo se ocupan deastronomfa y de mecánica, respectivamente. El libro séptimo esel más interesante desde el punto tle vista histórico. Dedicado asu hijo, comprende una serie de obras de autores anteriores. eu·yo objeto era adiestrar en la resolución de los problemas geométricos a aquellas personas que ya habfan adquirido cierto dominio

134

de la geometría, mediante el estudio de sus elementos. Entreesas obras, algunas debidas a Euclides, ApoIonio y Erastótenesestán hoy perdidas, de ahe el valor documental de la Colección dePappus que nos las conservan. Mas a este valor extrínseco debeagregarse el valor intrínseco de los comentarios y agregados delmismo Pappus, para facüitar y completar esas obras. Baste citarentre esos agregados una proposición. cuyo enunciado se conociódurante mucho tiempo como "teorema de Culdin", del nombredel matemático s~izo del siglo XVII que lo redescubrió.(3)


(1) La "tabla de cuerd<u" de Ptolomeo. He aqullo que dice al respecto Ptolomeo en el primer libro del Almagesto: "Para facilitar la tarea

práctica. consbuiremos una tabla de estos segmentos dividiendo la cit.cunferencia en 360 partes, to~ando los arcos de medio gTado en mediogrado, y dando para cada arco el valor de la cuerda respectiva, suponiendo dividido el diámetro en l20 partes. El uso demostrará que estos números son los más cómodos. Ante todo, demostraremos que con un ciertonúmero de teoremas, el menor posible y siempre los mismos, se podn1obtener un método general y rápido para hal1ar aquellos valores. No noslimitaremos a presentar la tabla oon esos valores, sino que haremos conocer la teoría para facilitar la manera de enoontrarlos y verificarlos, exponiendo su método de construcción, Para evitar las &acciones utilizaremosla división sexagesimal y en las multiplicaciones y divisiones tomaremossiempre los valores más aproximados de' manera que, no obstante lo quedespreciaTemos, los resultados serán sensiblemente exactos".

Para construir su tabla. Ptolomeo comienza por considerar los pol.fgonos regulares de 3, 4, 5, 6, 10 lados, que dan las cuerdas de 36", 60",72", 90", l2O". De eUas, mediante el teorema de Pitigoras, obtiene lascuerdas del lOSO y 144°, mientras que del teorema de los cuadri.láteros lnscriptibles obtiene las cuerdas de arcos diferencia; ase el de J.2O, partiendode los de 60" y 7'lf', pasando luego de la cuerda de J.2O • las de 6", 3°,1030' Y 45', utilizando un teorema de los arcos mitad.

Ahora Ptolomeo demuestra el siguiente teorema: dados dos arcos desiguales. ambos menores que un recto, la razón entre el arco mayor y elarco menor. es mayor que la ra:l..Ón entre las cuerdas respectivas, que

135

Fig. 17

. Otro teorema, que aporta Ptolomeo, equivale a la relación de las fun·clOnes de un arco y de su mitad. Sean AB YBC dos arcos iguales' si desdeel extremo D del diámetro que pasa por A se trazan [)C Y DB: y desde

I137

En el caso particular de ser AB un dWnetro y llamando a y b los arcosAC y AB. respectivamente, el teorema del cuadriJt1tero en este caso puede escribirse: cuerda b. cuerda (lSOO - a) + AV. cuerda (a - b) = cuerda a. cuerda (lSO" - b), que no es sino el "teorema de sustracción" denuesb'as funciones circu.Iares. -

Ptolomco. demu~~. también el "teorema de adición". Toma paraeUo el cuadriLitero mscnto BCDF, siendo F el simétrico de B respectodel centro O de la circunferencia en el cual vale BC . DF + CD , BF= BD . CF o, lo 'lue es lo mismo, BC . AoB + AV . CD - BD . CFque puede escribirse, llamando b = d y a - e + d: cuerda e. cuenbd + AV, cuerda [lSOO - (c + d)] = cuerda (ISO" - el, cuerda (lSO" - d),que es una forma del teorema de adición.

F N A

e

Fig. 18

IJ

A

equivale a demostrar con nuestro simbolismo que la función sen % : % esdecreciente.

Este teorema era conocido por Aristarco y por Arquímedes, pero laprimera demostración conocida es la de Ptolomeo. (Véase lag. 20.)

Sean a < b los dos arcos y sus cuerdas AB y BC. Si el punto O, mediodel arco Ae que no contiene a B, se une con A. B.e y el punto !ti mediode AC, el teorema de las bisectrices daNC : AN = BC : BA = (2 MN + AN) : AN.Si, por otro lado, el arco UK de centro O y radio ON detennina el sectorNOU, menor que el triángulo NOA, y el sector KON, mayor que el triángulo MON, tendremosMN : NA = MON: NOA < ONK: ONU = fJ: a, siendo a y /llos ángulosde los sectores. Y en definitiva .BC : BA = (2 MN + AN) : AN, (2{3 + al : a = b : a,y la razón de los arcos es mayor que la razón de las cuerdas res~tivas.

Ptolomeo aplica el teorema para obtener aproximadamente la cuerdade 1°, conociendo las cuerdas de 45' Yde 1"30'. En efecto, la razón entre las cuerdas de 10 y de 45' es menor que la de sus arcos respectivos:60' y 45'. es decir 4 : 3; de la misma manera la razón entre las cuerdas de10:30' Y de l° es menor que 3 : 2; obteniendo para su cuerda incógnitavalores por exceso y por defecto que permite dar pnra ella el valor: cuerda l° = 377 : 300, que da para el sen 30' un valor exacto hasta la sextadecimal,

Partiendo del valor de cuerda 1°, y mediante una adecuada utilización de las fónnulas que expresan los teoremas de adición: Ptolomeoconstruye su "tabla de cuerdas". sirviéndole de control los yalores ya calculados de cuerdas de arcos notables. Para las fracciones menores que 30'utiliza la interpolación bneal.

De paso observemos que el valor de cuerda 10 permite obtener parael valor aproximado 377 : 120 = 3,141006 ... que en alguna ocasión Pto-,lomeo utiliza sin mencionar su origen, limitándose a observar que es~ I

comprendido entre los valores de Arqufmedes: 3 1/7 Y3 1Oj7l.

(2) La "trigorwmetria" del Almagesto. Uno de los teoremas que emplea Ptolomeo en la construcción de la tabla, y que hoy Ueva su nombre,es el que expresa la conocida relación entre los lados y las diagonales deun cuadrilátero inscriptible. Su demostración es muy simple: si ABCD esel cuadrilátero y se lr2Za BE tal que los ángulos AED y BCD sean iguales,las parejas de triángulos AEB YBCD; BEC y BDA, son semejantes, dedonde AE . BD = AB . CD; EC . BD = AD . BC, igualdades que su·madas expresan el teorema de 1'tDIomeo: AH . CD + AV . BC - AC . BD.

13610

este último punto la normal BM a AO y BE simétrica de BA respecto deesa nonnal, se tendrá IIB' = 11M . 110 = ,¡, 110 (110 - DE) = '/2 AD(110 - De) Ypor tanto (cuerda a)' = '¡,liD. [AD - cuerda (lllO" - 2a)]que no difiere, sino en la escritura, de la relación entre las funciones deun arco y de su arco doble. .

Así como "el teorema de Ptolomco" permile a éste demostrar relaciones "trigonométricas" planas, el "teorema de Menelao" cumple esa función en lo que atañe a la esfera esbbleciendo relaciones entre los elementos de los triángulos esféricos rectángulos (Ptolomeo los considera triángulos oblicuoingulos). Por ejemplo, para detenninar la ascensión recta y ladeclinación de un punto de la eclíptica, considera los cuatro círculos máximos siguientes: ecuador, eclíptica y los círculos que pasan por los poloscelestes y el punto considerado y los polos de la eclíptica. Eligiendo oonvenientemente entre esoS círculos los que actúan de transversales el leorema de Menelao pennite dar expresiones que resuelven el problema yque hoy no son sino aplicaciones de las fórmulas que resuelven los trián

gulos esféricos rectángulos.

(3) La Colección ele Pappus. Entre las cuestiones de interés matemático o histórico que aparecen en Pappus, mencionemos las siguientes: Enel libro segundo Pappus se ocupa de un sistema de numeración, atribuido a Apolonio, semejante al que Arquímedes expone en el Arenario,de base la mirlada, y no la miríada de mirlada. En conexión con eses¡stema, Pappus expone algunos procedimientos, que ~lbién atribuye aApolomo, para facilitar las operadones aritméticas con numeros.grandes,que en definitiva e<luiva)en 3 reducir esas operaciones a operaciones condígitos, como ocurre con nuestro sistema decimal.

En el libro tercero se ocupa de una solución aproximada del problemadel mesolabio, que Pappus reconoce que no es exacta. Es a raíz ~e esteproblema que Pappus recuerda la definición de lu~es geo'~ébi~.

También en este libro aparece un problema de mterés hls16nco. Setrata de determinar, mediante tres números en progresión geométrica,los elementos de las diC".l proporciones o medias, que aún estaban en usoen la época de Pappus, )' que probablemente eran de origen pitagórico.No interesa mayonnente la solución particular que Pappus da de esteproblema indetenninado; puede en cambio tener interés reeo~ la definición y nombre de las diez proporciones O medias de la antigua mate·mátiC'.l griega. Dados tres núlneros a, b, c. se dice que.forma~ una proporción aritmética, geométrica, armónica, contraannómca, qumt'.l y sex

ta, seb'Ún que la razón(a _ b) , (b - e) sea igual, respectivamente, a a , a; a . b; a . e; e , a;

e:byb,e.

138

Se dice que están en proporción séptima. octava y novena, según qué larazón (a - e) : (a - b) sea igual a b : e; a , b; a , e, respectivamente. Yfmalmente están en proporción décima si (a - e) : (b - e) = b . e. U>sejemplos numéricos que obtiene Pappus son los sibruientes: (6,4,2);(4,2,1); (6,3,2); (6,5,2); (5,4,2); (6,4,1); (3,2,1); (6,4,3); (4,3,2); (3,2,1); ensu orden.

En el libro cuarto, Pappus trata cuestiones variadas. En la primerasección, demuestra una muy simple generalización del teorema de Pi ti·goras, Si a los lados AB y AC de un triángulo IIBC se adosan dos para.lelogramos P, y P,; y A' es la intersección de los lados paralelos a IIB yAC, el segmento AA', en magnitud y dirección, forma con el tercer ladoBC un paralelogramo P = PI + Pi' La demostración por equivalencias esinmediata.

Otra cuestión que trata Pappus en esta primera sección trae a cola·ción una familia de curvas, rosa poco &ecuente en la geometría griega.Pappus considera el arbelos de Arquímedes y en la zona comprendidaentre dos de los tres semicírculos inscribe una serie de círculos tangentesentre sr, dando la ley que relaciona la altura del centro de cada circulocon su radio. En forma algo más general esa relación expresa que en lasucesión numerable de esos círculos aquella razón, al pasar de un círculoal sucesivo, disminuye en dos unidades (Pappus considera los casos parti_

culares en los cuales la primera razón es Oy 1). Esta demostrJ,ción. queen Pappus exige una larga y engorrosa serie de teoremas y que mediantela geometría ana1Itica se resuelve con relativa facilidad es de solucióninmediab utilizando la "transfonnación por inversiÓn", l~ que no deja deconstituir un buen ejemplo de comparación de métodos antiguos y modemos.

En la segunda sección de este libro, Pappus se ocupa de la espiral deArqurmedes, de la concoide de Nicomedes y de la euadratriz de Hipiasestudiando sus propiedades ya para resolver el problema, más generalque el de la trisección, de dividir un 1ngulo en dos parles que estén enuna raz6n dada; ya para extender la definición de la espiral al espaciomediante el movimiento de Wl punto sobre la esfera.; ya dando nuevasmaneras de engendrar la cuadratriz mediante superncies helicoidalesque Pappw denomina pleetoiJa.

El libro quinto se ocupa de los isoperímetros. En el prefacio, al observar que las abejas construyen sus celdas en forma de prismas de basehexagonal y recordar que entre los tres polígonos que pueden llenar elplano: triángulo, cuadrado y heXJlgono, es este último el que, a igualdadde área, su perímetro es el mayor, trae a colación comparaciones entre lainteligencia humana y la de los animales. Es en este libro donde se mencionan los poliedros semirregulares de Arqulmedes y donde se demues-

139

tran propiedades geométricas que hoy se traducen en igualdades y desib'Ualdades entre las funciones circulares.

Pero sin duda es más importante el Ubro séptimo. donde Pappus, alcomentar los escritos que reproduce. agrega y completa teoremas. Enese libro aparece el "teorema de Culdin" que Pappus enuncia como: lasfiguras engendradas por rotación completa se obtienen como producto delo que gira por el camino recorrido por el centro de gravedad móvil.También en este Ubro figura "el problema de las tres o más rectas" queDescartes llamará "problema de Pappus". ase como una serie de teoremas y proposiciones de á1gehra geométrica. algunos de car.icter más ¡¡nIGeo O proyectivo que métrico.

Así estudia: el problema de determinar sobre unn recla, que contienelos puntos A, B. C, D. un punto X tal que la razón AX . BX : CX . DXsea máxima o mínima; demuestra casos particulares de la identidad

AD' . BC + BD' . CA + CD' . AH + BC . CA . AB = O,

asr como la constancia de la razón doble de cuatro puntos determinadossobre una transversal por un haz de rayos. y la propiedad que en uncuadrilátero completo cada diagonal es dividida annónicamente por lasotras dos, un caso particular de beua! no es sino el teorema del hexágonode Pascal en el caso en que la cónica degenera en dos rectas.

Respecto de las cónicas se debe a Pappus la primera mención del focode la parábola y de las directrices de las cónicas. asl como la de6nición deéstas mediante la razón constante entre las distancias a UD punto 6jo(foco) y una recta fija (directriz).

Por último, en el libro octavo, dedicado a la mecánica, mencionamosque en él aparece la definición de centro de gravedad. que no figurabaen los escritos de ArquJmedes.

3. Herón y Diofanto

Herón de Alejandría es, o fue. una de las llguras más discutidasen la historia de la matemática. Hoy se lo ve con más claridad;con toda verosimilitud se lo ubica en la segunda mitad del siglo 1 yse considera su obra más como la de un técnico, un mecánicopráctico. que de un matemático. También boy sabemos. por

140

fuentes árabes. que la llamada no muy correctamente "fórmula"de Herón. procede de Arquímedes. Es la conocida expresión delárea de un triángulo en función de sus lados.(l) Como teoremageométrico. probablemente interpolado. aparece en un escritode Herón denominado Dioptra. donde describe un apamto quelleva este nombre. Jejano precursor sin lentes del teodolito actual.y cabal manual para agrimensores, mientras que bajo la forma deun ejemplo numérico de la aplicación de la "fórmula" aparece enotro escrito denominado Métrica, más matemático, pero no mu)'"griego". donde utiliza otras contribuciones de Arqurmedes. Esun escrito en tres Iibros.(2) que se refiere a áreas y volúmenes defiguras planas y sólidas asr como a la división de figuras. pero en laque. en contra de la tendencia euclidea, no sólo aparecen ejem.plos numéricos con fracciones unitarias sino también resultadosaproximados en aquellos casos en que la geometría euclidiana nopermite dar exactamente el área o el volumen de la figura considerada, estudiándose hasta figuras de contornos cualesquiera; deahí que se viera en esta obra y en Her6n reminiscencias de lamatemática de los antiguos pueblos orientales. en especial de losbabilonios.

Aun menos "griego" y más vinculado por su producx:ión a lamatemática de los babilonios. es el matemático más original deeste periodo: Diofanto de Alejandría, probablemente del s: 111.De atenemos a un epigrama de la llamada Antología griega (3)estaríamos mejor informados en Jo que se rellere a la edad en laque habría fallecido Diofanto. auoque es poco probable que eseepigrama tenga alguna finalidad informativa.

De Diofanto se conoce un fragmento de un escrito Sobre losnúmeros poligonales. y seis libros de su Aritmética que. según elprefacio debla tener trece. aunque parece que en verdad no secompusiera sino de los seis aún existentes.

Sobre los números poligonales es un estudio de teona de números cuyo resulbdo importante es la generalización de la propiedad de los números impares de ser su octuplo más uno uncuadrado. En efecto. Diofanto demueslra en forma retórica lapropiedad que hoy expresarlamos: [211 (P-2) - (p-4)]' == 8P (P-2) + {p-41. siendo P un número poligonal de Jada p y 11

términos.

141

Pero más novedosa y original es su Aritmética, que no contiene teoremas o proposiciones, sino problemas entre números abstractos, COI1 excepción de un problema entre cantidades, aunquepoco real, que figura también en la Antología y la colección deproblemas del últiino libro en el cual los datos y las incógnitas sonelementos de triángulos rectángulos que han de satisfacer portanto a la ecuación pitagórica.

Las características de los problemas de la Arihnética son:al Se trata de problemas, a veces determinados, pero en más

de los C'JSOS indeterminados, en los cuales la solución que hallaDiofanto comporta exclusivamente números racionales positivos(y no necesariamente enteros como harra pensar la denominaciónde análisis diofántico con que a veces se designa este estudio);

b) en la resolución de tales problemas se aplica cierto simbolismo semejante al actual, por lo menos en el tratamiento de lospolinomios con una letra; (4)

cl en los problemas de Diofanto no aparece orden al¡,'uno, nien lo referente a la naturaleza de los problemas, ni en cuanto almétodo de resolución, aunque pueden agruparse siguiendo ciertos criterios de analogía. Los métodos de resolución aparecen distintos en cada caso particular, pero la elección del método y losrecursos auxiliares de los que echa mano Diofanto, confieren a suescrito la fisonomía algebraica que los caracteriza y distingue delos demás escritos griegos.

La habilidad e ingeniosi,bd que Diofanto revela en especial ensus problemas de análisis indetermi.nado de sistemas no lineales noson, sin embargo, casuales: se fundan sobre el conocimiento deuna gran cantidad de propied:lllé"S aritméticas, que no demuestra, pero que aplica, por eje",pl... el producto de dos números,cada uno de los cuales es suma de dos cuadrados y puede expresarse de dos maneras distintas como suma de dos cuadrados; todocubo es suma de tres cubos, etcétera. (5)

142


(1) La "jOnnuúJ ck fleron. Ordinariamente se da este nombre a laexpresión S = Vp (p a)(p-b)(p-c).iendo a, b. c. los lados de un triingul0 YP su semiperímetro, que implica un doble anacronismo: hablar de"fónnula" y utilizar una notación algebraica actual para referirse a unteorema griego, amén de ese producto de cuatro segmentos que aparf..'Ceen la expresión que carece de oontenido intuitivo y de interpretacióngeomébica.

A

HFig. 19

Por supuesto que el teorema de Heron o de Arquímedes no ineurnen taJes anacronismos. Se trata de un típico teorema de la geometrúgriega que puede considerarse un modelo del método sintético, pues elél se parte de ciertas propiedades conocidas para deducir de ellas el resultado, pero sin señalar por qué se partió de aquellas propiedades conociclas que. por lo demás, en este caso no tienen nada que ver aparentemente con la equivalencia de figuras pues se trata de las propiedades d.los segmentos determinados en los lados del triángulo por los puntos d,tangencia del círculo inscrito. Es posible que el inventor del teorem:h~ya partido más directamente de la equivalencia del triángulo con erectángulo de ib'UaI base y mitad de la altura para luego. mediante lorecursos del "áJgebra geomébica" comprobar que en el resultado aparecen aqueUos segmentos y de ahí haya buscado y encontrado una demostraeión más directa partiendo de ellos.

He aquí resumida la marcha de la demostración del teorema, utilizando por comodidad el simbolismo actual. Sea el triángulo ABe de lade

14.

a, b, e, semiperimetro p y radio r del círculo inscrito de centro O. ypuntos de tangencia A', B', C', tales que AC' = p-o; BA' = p-b,CA' = p-c.

De los extremos de los segmentos OB y Be se trazan las nonnaJes alos mismos que se cortan en H y configuran el cuadrilátero inscriptibleBOCH, de ahlla igualdad de los 4ngulos HBC y HOC. Por otra parteeste 4ngulo HOC es igual al 4ngulo OAC' (ambos son complementariosde la suma de los lingulos en B y en C.), de manera que se tienen dospares de triángulos semejantes:HBC, OAC' y OA'K, KCH, siendo K la intersección de BC con Ofl.Si CH = h; A'K = k, de la primera pareja de triángulos semejantes sededuce (P-o) ; a = r; h o sea (P-o) ; p = r; (r + 11)razón esta última que es igual en la segunda. pareja a le : (p-e) == k (P-b) ; (P-b) (P-c). En definitiva puede escribirse p (P-o) ;.". == k (P-b) ; (p-b) (P-c). Si del triángulo rectángulo BOK se deduce quek (P-b) = r' y se recuerda que pr - S siendo S el :irea del triánguloal introducir las medias proporcionales m' = p(P-o) y n' = (P-b)(P-c)resulta S = mn, y el teorema está demostrado. Como vemos la raíz delproducto de cuatro segmentos que aparece en la expresión algebraica noes sino el disfraz del producto de dos segmentos cada una de los cuales esmedio proporcional entre dos segmentos que se obtiene de Jos ladosdel tri4ngulo.

l'

Fig.OO

(2) La Mttric6 de Hero•. El primer libra de la Métrica está dedicadoa las superncies de las figur~ planas y sólidas. Después de una in!raduc-

144

,

ción histórica se ocupa de triángulos, aplicando la f6nnula del :irea conociendo los lados; luego de cuadriláteros especiales. aunque no del jnscriptible limit4ndose a señalar que en el caso general además de los ladosdebe darse una diagonal.

Para los polrgonos regulares da f6nnulas aproximadas mediante coeficientes que expresan la razón entre el lado y el :irea y el radio y su cuadrado respectivamente. Algunas de estas fónnu.las las atribuye Herón aHiparco. Para el heptágono por ejemplo esos coeBcientes son 7/8 y.(J/12.

Para el área de Gb'Uras circulares, o de la elipse o de las superficies decuerpos redondos utiliza los resultados de Arquímedes, tomando para 1T

en general el valor Uf7. aunque en algún caso admite ~.-: 3.La finalidad puramente práctica del libro se refleja en las reglas para

el área de figuras de contornos cualesquiera, que aconseja swtituir porun polígono lo más aproximado posible y hasta de superficie de objetosen el espacio como estatuas aconsejando ahora revestir la superficie conhojuelas de papiro o de tela muy 6na, que luego se extienden en un planomidiendo su área como en el caso anterior.

También Arqurmedes es la guía en el segundo libro, que trato devolúmenes; agrega el volumen del toro con su fónnula exacta pero deducida intuitivamente; para los Poliedros regulares da expresionés apro.rimadas y para euerpos de fonnas cualesquiera aconseja o bien el método deArquimedes; midiendo el volumen del agua desalojada por el cuerpo, alsumergirlo en un recipiente con ese líquido; o bien, de manera más ing~

niosa. recubriendo el cuerpo con arcilla hasta dar al cuerpo y su revestimiento la fonna de un paralelepípedo: la diferencia entre los volúmenesdel prisma y el de la arcilla utilizada es el volumen del cuerpo.

El libro tercero está dedicado a la divisi6n de figuras planas o sólidasen partes que estén en un; razón dada o en determinadas condicionesprefijadas dando en algunos casos soluciones interesantes.

En la Métrica de Hecón existen ejemplos de extracción aproximadade raíces cuadradas y hasta un ejemplo de raíz cúbica. Par... la raíz cuadrada emplea una regla, sin duda conocida por Mqwmedes. según lacual si a es un valor aprox.imado de N un valor m:b aproximado es

1/. (a + L), que coincide con el valor de los d"" pri¡neros ténnínos del-a '

desarrollo en serie de

VN= ....r;;t+b = a (1 + ~I + ...) =

N - al \ N )=0+ +_ .. =/2(0+--+2a a

145

hecho que explica la buena convergencia del procedimiento, ya que elnuevo error es del orden del cuoorJ.do del error anterior.

En cuanto a la raíz cúbica. el único ejemplo que trae tiernn (la núzcúbica de lOO, de la cual da el valor aproximado 4 '/1<) no hace fácil advertir" la regla empleada. Con todo, de ese ejemplo parecería deducirseque Heron siguió un "mét09o de falsa posición", no lineal sino cuadráti.~. La expresión algebraica que se deduce del ejemplo utilizado diría queSI N = (0+ 1)3 - Ci = 0 3 + CI el valor aproximado de su raíz cúbica seobtiene como r.uón entre (a+ 1)! CI + a!c! y (a+ 1) Cl + aCto (En elejemplo numérico N = lOO, a = 4; Y la raíz cúbica aproximada es 4 i/ 14

(,'00 un error menor que 0,02.)

(3), ÚJ An/ologla griega. Con este nombre o de Antolo~'Úl pololina,abihUlda a un Metrodoro de fines del siglo V o comienzos, del VI, se~noce una colección de 48 epigramas con problemas de rodole muy vanada, que hoy se incluirían en la matemática recreativa. En generou, sonproblemas curiosos con enunciados pintorescos que se resuelven consimples raciocinios o, a lo sumo: con ecuaciones lineales, con excepcióndel "problema de los vinos" que aparece en la Aritmética de Diofanto.Además, uno de los epigramas revelaria la edad de este matemático.Según ese epigrama Diofanto transcurrió en la niñez el sexto de su vida,un d<YL3vO en la adolescencia y que, después de otro séptimo de su exis.tencia, se desposó naciéndole un hijo a los cinco años de casado. MIlS elhijo vivió la mitad de la vida del padre y éste, afligido, buscó consuelo enla cie.ncia de los números y cuatro años después de la muerte del hijo,falleció. Un cálculo simple da para la vida de DioCanto 84 años, aunqueotra interpretación del epigrama, admitiendo que el hijo hubiera muertocuando tenIa la mitad de la edad del padre, abrevia la vida de Diofantoa 65 años y un tercio.

(4) El .illlbo/~lIlO de DioJan/o. En ~J primer libro de su Ari/';ullicaDiofanto expone los signos que utilizará y sus reglas operatorias. Lossignos son: signos literales para indicar las tres primeras potencias de laincógnita, que reitera para indicar las tres siguientes; un signo especialagregado a las anteriores servía para indicar las potencias recíprocas;a¡,'regando un par de signos más para la igualdad y la sustracción, encambio no hay signo para la suma; ésta se indica escribiendo los suman·dos uno tras otro. Como esos signos (defonnados, sin duda, por copistasposteriores) parecen ser las iniciales de las palabras griegas correspon·dientes podría decirse con algílO abuso de lenguaje (Iue el "álgebra" deDiofanto es "sincopada", es decir, está en esa etapa que recorrerá másadelante entre el álgebra retórica, sin símbolos, y la simbólica actual

146

Aún limitada, pues no dispone sino de una incógnita que le obliga aciertos recursos y art:ificios cuando se trata de problemas de varias incógnitas y sus potencias no van sino desde la sexta negativa a la sexta positiva, su álgebra le pennite operar con potencias y polinomios, agregandotambién la operación de pasar de WIlUiembro a otro de sus igualdades. Yagrega Diofanto: -Considerando la suma, la diferencia, el producto y larazón de estos números combinados con sus lados, se llega a enunciaruna cantidad de problemas, cuya solución se logra por el camino queenseñaré".

(5) Los problema.. de VioJanto. En todos sus problema.<, Viofantoadopta para las constantes, valores numéricos particulares, pero el mé·todo que emplea es en general independiente de esos vaJores que, fK)rsupuesto, están elegidos de antemano para que el problema tenga solución. Veamos algunos ejemplos de los distintos tipos de problema.< de laAritmética de Diofanto.

a) Problemas de primer grado con una incógnita.El primer problema de la Aritmética oonsiste en detenninar dos nú·

meros conociendo su suma y su diferencia. Dice Diofanto: Si x es elmenor de esos números el mayor será .x + d (la diferencia coDOCida) demanera que 2.r + d ser.11a suma también conocida, de ahí que el menorserá la semidiferencia de los datos y el mayor la semisuma (Diofanto diceel menor más la sem idiferencia).

Un problema interesante (que geométricamente equivaldría a buscarel cuarto annón..ico de una tema dada) es el (Iue Diofanto enuncia diciendo: Dados dos números, buscar un tercero tal que los productos de cadauno de ellos por la suma de los otros dos estén en progresión aritmética.Diofanto distingue y resuelve los tres casos posibles. En todos los casosel problema se resuelve mediante una simple ecuación que exprese queuno de los productos sea media aribnética de los otros dos. Por supuestoque Jos datos de Diofanto están elegidos de manera que la solución seapositiva.

b) Sistemas llneales.En general, cuando aparecen varias incógnitas, Diofanto mediante la

introducción de variables auxiliares reduce el problema al caso anterior.Por ejemplo en un sistema que con nuestros srmbolos sería

(r+a) , (y-a) = m; (y+b) , (r-b) = "

toma como incógnita auxiliar (y-a) que determina mediante eliminación de:r.

En otros problemas esa elección es menos evidente, pero más feliz.Por ejemplo, sea calcular cuatro números conociendo las cuatro diferen-

147

'.---

cias entre la suma de tres de eUos y el restante. Para eUo, Diofanto introduce una quinta incógnita auxiliar, como semisuma de las cuatro inoogni.las del problema; y deduce fácilmente mediante una ecuación de primerb"rJ.do esta quinta incógnita, y de ahí los números buscados. (En efecto,cada una de las incógnitas del problema es la quinta incógnita mellOS lamitad de uno de los datos.)

e) Ecuaciones de segundo grado.Diofanto conoce la resolvente de la ecuación cuadrática aunque no

considera sino una sola raíz; la positiva, aun en el caso en que la ecuacióncontenga dos raíces positivas. Veamos el "problema de los vinos", en elcual Diofanto despliega singular habilidad. Se trata de detenninar lascan tidades de dos clases de vino de precios proporcionales a 8 y S, demanera que el costo sea un cuadrado, que sumado alnúmcro 50, reproduzca el cuadrado de la suma de las dos cantidades. Si éstas son.t e y, elproblema se reduce a resolver el sistema, con nuestros s(mbolos:

8x + 5y = z', .' + 60 = (x + y)'.

Dioranto comiema por tomar como incógnita auxiliar u = % + y quelo lleva al sistema ui

- 60 = 3% + 5u = 8u - 3y y, por tanto, a lasdesigualdades 8u > u' - 60 > Su. Considerando las resolventes de lasecuaciones cuadráticas correspondientes (tr.rnsrormando las desigualdades en igualdades), que en ambos casos no tienen sino una sola raíz positiva, encuentra que u está entre 11 y 12. Como u 2 - 60 debe ser uncuadrcldo Dioranto, para reducir la ecuación a lineaJ, introduce una nueva incógnita v tal que u2 - 60 = (u - V)l y utilizando los valores extremosde u llega a un nuevo par de inecuaciones en v : 220 < 60 + Vi < 24v.En este caso, las ecuaciones correspondientes tienen ambas dos rafcespositivas, pero por el resultado se advierte que Diofanto no considerasino la mayor. Uega asl a la desib'Ualdad 19 < v < 21. Toma v = OO, deahi u = "'Iz y de ah!

También en el caso de sistemas de grado superior al primero la solución depende de la adecuada elección de variables auxiliares. Por ejemplo, en el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que nosotrosescribiríamos;x (y+x) = a, y (z+x) = h, • (x+y) = c toma como nuevas incógnitas:X% = u; yz = v, pasando al sistema lineal u + v = e; u - v = 6 - b;de ah( los valores de u y v y con ellos los de %2; y2; Z2.

d) Sistemas indeterminados.Es en estos sistemas donde Dioranto pone de relieve su habilidad "alge.

braica". Es claro que los problemas indetenninados de primer ·grado no

148

tienen para nosotros mayor interés, pues siendo los coeficientes racionales existe una infinidad de soluciones racionales. En estos casos Diofantoadopta una sola de ellas como solución o detennina la que corresponde aun valor prefijado de una de las incógnitas. Pero en los sistemas de graposuperior esto no puede hacerse, y es necesario acudir a recursos especiales.

En algún caso Diofunto habla de "expresión general", por ejemplocuando enuncia las reglas para encontrar dos números tales que su producto más (o menos) su suma es un valor dado, regla que equivale aescribir xy + (x+y) = a en la fonna (r+ 1) (y+ 1) ~ a + 1, de ah! queconocido uno de los números se obtiene el otro.

En general, Diofanto resuelve estos problemas mediante adecuadaselecciones de variables auxiliares. Ad, si la ecuación esXl + ,,2 = a2 hace y = x:z; - a y la ecuación se toma lineal en Xi

igualmente la ecuación~ + 'J2 - al + bl se hace lineal en z mediante lassustituciones r = zu - »la;

Y = zv - b; o la ecuación :tI - 'JI = 0 2 se hace lineal en !I con % D: Y + z.En otros aJSOS la solución es más rebuscada, pero no por eso menos

ingeniosa Sea, por ejemplo, detenninar cuatro números tales" que sumando a cada uno de cUos el cuadrado de su suma se obtenga en todos loscasos un cuadrado, Para resolverlo, DioCanto acude a una propiedad delos triángulos rectángulos: el cuadrado de la hipotenusa ml1s cuatro vecesel área es un cuadrado (de la suma de los catetos), de ahl que el problemase reduzca ante todo a buscar cuatro triángulos rectángulos de igual hipotenusa, que logra partiendo de dos triángulos rectángulos cualesquierade catetos b, c; b' e' e hipotenusas respectivamente. 6, a' utilizando factores de proporcionalidad y las identidades entre sumas de dos cuadmdos.En efecto, los triángulos de catetos ha', ca'; h'a, c'a; hh' + ce', be' - h'c,bb' - cc', be' + b'c respectivamente, tienen todos la misma hipotenusa 00', De esta manera se obtienen cuatro números (los cuádruplos del;icea) que, sumados al mismo cuadrado, se obtienen cuadrados. Paraque ese cuadrado común sea a su vez suma de esos números bastaráenconp-ar un factor de proporcionalidad que haga cumplir esa oondición.

El sexto Ubro de Aritmética, con excepción del último problema quees de "los vinos·', está dedicado íntegramente a problemas de trilingulosrectángulos de lados racionales, de manera que se trata siempre de unsistema de ecuaciones una de las cuales es la pitagórica. La solución depende en cada caso del problema. Veamos un par de ejemplos; Delenni·nar un triángulo tal que el área más un cateto sea un cuadrado y el perlmetro, un cubo. En este problema, oomo en otros, no hay respeto algunopor la bomogeneidad caracterlstica que señalamos también en algún pro-

149

blema de los babilonios. Oiofanlo parte de la solución general de la ecuación pitagórica atribui& a los pitagóricos que por comodidad afecta JXK'un factor de proporcionalidad, con lo cual llega a las condiciones que UD

cierto número u debe ser, tal que 2u + 1 debe ser un cuadrado y sudoble un cubo, lo que exige que 2u + 1 debe ser el cuádruplo de unaseda potencia. Toma como base de esta potencia la unidad que da para u

el valor '/2 y de ahr obtiene para los lados del triángulo '/'; 3 Y"/. cuyaárea 12/5 más el cateto 6/5 es cuadrado de 2 y cuyo perimetro 8 es un cubo.

Otro problema, también de reminiscencias babilónicas, pide determinar un tTiárlb'Ulo rectánbrulo tal que el área m:is un cateto sea una constante dada, que Diofanto toma ib"UaJ a 7. Si la indicamos con a, el sistema:1 resolver es ~2 ry + 'l. = a; Xl + y2 =zl. El proceso que sigue Diofantopuede resumirse así: si se considera un trián&rulo semejante al buscado defactor de proporcionalidad h, la primera ecuación se convierte en unaecuación de segundo grado en h que exige para que sus raíces sean racionales que la expresión 1/2 axy + 1/. x2 sea un cuadmdo perfecto; como10 debe ser, por la St."'gUnda ecuación %2 + yl. Uega así un sistema de"doble ecuación" que se le presenta también en otros problemas. Siy = kx el sistema es 1/1 ak + 1/. = ull:; 1 + kll: = v2. Restando la diferenciade cuadrados es ib"Ua! a un producto, de aIú f.icilmente la solución parti.cular u = '" o (!/2) y k = (0'-1) : 2a ("'/7) de ah! que el triállb'Ulo essemejante a uno de los lados 7, 24 Y 25. De acuerdo con la primera ecuación el factor de proporcionalidad es 1/. y el triángulo buscado es de catetos 7/-4 y 6 Yde hilx>tenusa z:s¡•. Habría que decir que ésta es una solución,pues el análisis del problema revela una segunda solución racional;x = '1A/7; Y = 'M/ 12 ; Z >:: J:n/s., pero es claro que Diofanlo no buscaba sino lasolución que había pensado de antemano al proponer el problema.

ISO

VI. LA ÉPOCA MEDIEVAL

1. La temprana Edad Media

En el capllulo anterior reseñamos el desarrollo de la matemáticagriega, O elaborada por griegos, durante el período grecorromano, periodo en el cual la matemática en ese sentido no Iuvo cabida en el mundo romano.

En las enciclopedias a las que eran afectos los polrgrafos romanos, no figuraban sino las nociones matemáticas destinadas a lasaplicaciones, ya fueran los conocimientos aritméticos útiles parasatisfacer las necesidades de la vida diaria, las exigencias de lastransacciones comerciales o, a lo sumo, alguna cuestión tribunalicia; ya fueran los conocimientos geométricos que requería la agrimensura y la agricultura.

Es conocido por las contadas ocasiones en que aún se utiliza,. el sistema de numeración de los romanos, de base 10 y no posi

cional y en el cual en la numeración hablada el 20 ocupa un lugarespecial, mientras que en la numeración escrita se intercalan lasunidades intennedias 5, 50, 500. Una caracterí.tica del .istemaes el procedimiento sustractivo para abreviar la escritura de ciertos números:IX = 9, XL = 40 (el IV = 4 parece ser algo posterior), aunque noes original, pues se han encontrado ejemplos entre los babilonios. Los romanos utilizaron frncciones de numerador unitario ydenominadores 12 o múltiplos de 12, en conexión con el sistemade medidas y de monedas.

Para operar, utilizaban ya el cálculo digital, ya pronluarios otablas de cuentas hechas o el ábaco, insbumento del cual se po-

151

seen ejemplares que pennitían calcular con números grandes yfracciones.

En cuanto a los conocimientos geométricos que aparecen enalgunas enciclopedias de los romanos se limitan a unas cuantasreglas empfricas.(l)

Cierta reacción en favor de los antiguos textos griegos se advierte en los escritores latinos después de la caída del Imperio deOccidente. Asf en Marciano Capella, de mediados del siglo v,autor de una obra en prosa y en verso: De las nupcias de FilologÚJy Mercurio y de las siete artes liberales, en nueve libros, precursora de las enciclopedias medievales en la que se ocupa de esasartes, es decir, el trioi",": gramática, dialéctica y retórica, y elquadrivium: geometría. aritmética, astronomía y música. En esteescrito que, como otros de esta época, gozaron de estima y difusión durante la Edad Media, la geometrla se reduce a las definiciones de los Elementos con eI.enunciado de su primer problema,y la aritmética a unas cuantas nociones de carácter neopitagórico.

Algo posteriores a Capella, y de comienzos y mediados del siglo VI, son contemporáneos Boecio y Casiodoro. Severino Boecio,más conocido como filósofo, dedicó parte de su producción a latraducción, recopilación o composición de manuales relacionadoscon el quadrioium (ya aludimos a su compilación de la Aritméticade Nic6maco), obras que sirvieron para mantener vivas ciertasnociones del saber antiguo durante los tiempos medievales, porla difusión que alcanzaron esos escritos.

También se ocupó de las artes liberales Casiodoro en un escrito, muy citado en la Edad Media, donde aparece una exposicióndel saber pagano necesario para la comprensión de la Biblia; aunque el mérito mayor de Casiodoro fue el de haber sido el iniciador de la costumbre de incitar a los monjes de su convento al estudio, imponiéndoles la obligación de copiar antiguos textos,costumbre que, al mantenerse en los tiempos posteriores. permitió conservar buena parte de la literatura antigua.

Ya mencionamos el Código arceriano de estos tiempos, consu interesante aporte aritmético, aunque a su lado figura un errorgrosero, que aparece también en escritos ulteriores, provenientede confundir el área de un polfgono con el número poligonalcorrespondiente.

152

Otro autor enciclopédico, cuya obra ftrm%glos sirvió demodelo de las futuras enciclopedias medievales San Isidnro.obispo de Sevilla desde 601, en la que considera todas las disciplinas de su época, desde astronomía a medicina con definicionesy clasificaciones.

El próximo nombre ya no pertenece a la cuenca del Mediterráneo, es el del benedictino inglés Beda el Venerob/e, que ensu obra enciclopédica De nat1lra rerum mejora los conocimientosde Isidoro con las aportaciones de Plinio, que Isidoro no conoce.En especial, cabe mencionar a Beda por un escrito sobre elcálculo digital, aunque más importante ha sido su influencia que,a la larga, ejerció sobre Alcuino de York, uno de los maestros a losque acudió Carlomagno para mejorar el nivel cultural de su administración y de su clero. Aunque la labor más importante y valiosade Beda fue el esfuerzo educativo, se le deben varios escritos.entre ellos una colección de problemas aritméticos y geométricos, "para desarrollar el ingenio de los jóvenes". En esa colecciónfiguran los clásicos problemas de matemática recreativa: el de los100 pájaros, de los móviles, de !.as canil!.as que llenan un tanque,etcétera; además cuestiones de números, por ejemplo, hablaacerca de los números perfectos, y da fónnulas aproximadas paralas áreas. Entre esos problemas figura el de aqueltestador romano que al morir, cuando su esposa está por dar a luz, disponiendola distinta manera en que debe repartirse la herencia sew'" elselO del hijo a nacer. Nace un par de mellizos de distinto sexo¿cómo ha de repartirse la herencia?

El escaso valor científico de estos problemas muestra el bajonivel que habla alcanzado la matemática en el "renacimiento carolingio'~ que se habla iniciado con Mcuino. Sin embargo, con lamuerte de Carlomagno murió también aquel "renacimiento" y elnivel matemático descendió aún más, tal como lo revela unacorrespondencia entre dos "matemáticos" de comienzos del siglo XI, en la que vanamente se trata de probar que la suma de losángulos de un triángulo es igual a dos rectos, sugiriendo finalmente una demostración experimental recortando ángulos depergamino.

Pero ya asomaba un nuevo despertar favorecido por los vientos que venfan del Oriente. El aporte oriental a la matemática,

153

11

durante el primer milenio de nuestra era, proviene de tres centTOS culturales distintos: chino, hindú y árabe, y distintos fuerontambién su valor y su influencia.

Aunque actualmente se está conociendo cada vez más y mejor la antigua ciencia china puede decirse que la matemáticachina es la que ejerció Inenor influencia sobre la futura matemática occidental.(2) En cambio, se deben a la matemática hindúaportaciones originales importantes. así como una notable influencia sobre la ciencia árabe y, por intermedio de ésta, sobre laoccidental. .1

Una característica de la ciencia hindú es la dificultad que ofre·ce la ubicación de sus obras en el tiempo, en vista de la carenciade una cronología precisa, de la escasez de la documentación y lasdiscrepancias que esos factores provocan en los historiadores. Hade agregarse que por el hecho de haber sido en la India siempremuy vigorosa la tradición oral, la escritura se adoptó en formaamplia en recha tardía, digamos hacia el primer milenio a. C., d~ahi que sólo desde esta época se tengan datos concretos acercadel saber hindú.

Aunque la influencia de la matemática hindú se ejercerá enespecial en los campos de la aritmética, del álgebra y de la trigonometría, sus primeras manifestaciones son de índole geométrica, y han de verse en los rituales brahmánicos, donde aparecennociones destinadas a la ubicación y rorma de los altares de lossacrificios. Pertenecen a una época comprendida entre los siglos VIII y IJ a. C. y en ellos figuran reglas para la construcción delos altares y en un complemento: el Sulvasutra, se dan las reglaspara la construcción de cnadrados y rectángulos, relaciones entrela diagonal y el lado de un cuadrado, y equivalencias entre elrectángulo, el cuadrado y el circnlo.(3)

Estas construcciones geométricas ya no figuran en las obrasque aparecen en el segundo período hindú de producción matemática: es el periodo astronómico, que transcurre entre los siglos IV y XlI de nuestra era. Las obras más antiguas de este período son las Siddhanta, obras de carácter astronómico, en las quese advierte la influencia griega. Se conocen, por lo menos denombre, cinco Sidd/wnta, de las cuales se posee el texto de una ycomentarios de arra. La importancia matemática, además de su

154

influencia en el mundo islámico. estriba en el hecho de que enlas SiddJwnta aparecen por primera vez las funciones circulares.por lo menos el seno y el coseno (bajo la rorma de seno verso),mediante una tabla en la que se advierte la ventaja de medir losarcos no por sus cuerdas, como lo hace Ptolomeo en su Almagesto, sino por la semicuerda del arco doble (seno) y por l. flecha delarco doble (seno verso).

Un mayor desarrollo de estos conceptos aparece en algunosmatemáticos posteriores, ya en el primero, en orden cronológico.de los grandes matemáticos: Aryabhata, nacido probablementeen 476 y en Varahamihira, del siglo VI, que en una de sus obrasresume una de las antiguas Siddlianta. Aryabhata es autor de untratado astronómico-matemático en versos: A.ryabhatiyam, dividi4

do en cuatro capítulos, de los cuales el más importante, desde elpunto de vista matemático, es el segundo que comprende, ademásde otras cuestiones, una tabla de senos y ejemplos de análisis indeterminado de primer grado, tema este último que constituye sucontribución más original. Mientras que en Diofanto el objeto desu análisis indeterminado de primer grado era hallar solucionesracionales positivas, en los hindúes ese análisis adquiere el signi4

ficado actual, pues se propone buscar soluciones enteras de ecuaciones lineales de la rorma a x + b y = e, con a, b, e númerosenteros.(4)

Un se¡,'Undo matemático hindú de este periodo es Brahma¡,'Upta, del siglo VII, cuyo tratado astronómico Siddhanta dedicaunos capítulos a la matemática con algunas contribuciones nuevas: valor aproximado de 7T', ecuaciones indetenninadas de segundo grado, y en especial propiedades de los cuadriláteros inscriptibles. en la que se advierte la influencia griega, pero queconstituyen sin duda la contribución más interesante de Brahmagupta. (5)

Empero, el aporte oriental más notable de estos primerostiempos medievales provino del mundo árabe del Islam, movimiento que se inicia con la hégira de Mahoma de 622 y que hadesempeñado un papel singular en el desarrollo de la ciencia deeste periodo.

Ese movimiento comprende un primer período de conquistasbélicas y de expansión política que culmina a mediados del si-

155

. .

g10 VIU, cuando los árabes están en posesión de una extensiónterritorial mayor que la del imperio romano en sus mejores tiempos, que abarca desde Asia Central hasta los Pirineos a través deÁfrica del Norte y gran parte de Asia occidental.

A partir del siglo VIII la fisonomfa del Islam cambia. Por unlado, el levantamiento del sitio de Constantinopla, la batalla dePoitiers, que frena la expansión árabe en Europa, y la batalla deTalas que no obstante ser una victoria para los árabes, éstos noprosiguen su avance, detienen las conquistas bélicas; por el otro,la creación del califuto de Córdoba y la división del califato orien.tal en los de Bagdad y del Cairo, acentúan las disensiones polftiros y religiosas internas. A estas circunstancias, en cierto modoextrínsecas, se agregan factores intrínsecos:

a) el hecho de que el islamismo puso a los árabes en contactocon pueblos y regiones que habran sido ceotros de antiguas culturas, como Mesopotamia, o que lo eran en la época de la conquista árabe, como Persia, Siria, India, O que conservaban restos.de la cultura helénica o romana, como España, Cirenaica, Egipto;

b) la tolerancia que en general los conquistadores mostraronhacia los habitantes de las regiones sometidas, en especial haciaaquellos que tenfan "libros": cristianos, judíos, persas;

c) la atmósfera de libre discusión y libertad de opinión quehabfa nacido con las polémicas religiosas y teológicas surgidas enel seno del Islam, que indirectamente venfan a favorecer el intercambio y desarrollo cientifico; y

d) la existencia de cortes árabes que, a la manera de las persas, protegían y fomentaban el arte y las ciencias.

Se comprenderá asf cómo a fines del siglo VIII el mundo árabeestá en posesión de todos los elementos necesarios para un d....arrollo cientf6co que proseguirá durante varios siglos y que, desde el punto de vista de la matemática, reseñaremos a continuación.

La primera manifestación de la actividad cieotifica de los árabes se pone de relieve en las traducciones al árabe de obrashindúes y griegas. La traducción de obras griegas habia sido precedida por las versiones al sinaco, realizadas en Siria y Mesopotamia. Entre los escritores sirios cabe mencionar al obispo SeveroSeboth, de fines del siglo VII, que tradujo las Analíticas de Aristóteles y escribió sobre temas astronómicos, siendo el primer es·

156

critor que, fuera de la India, menciona las cifras hindúes. Estehecho nos lleva a hablar de esas cifras y por tanto del sistema denumeración decimal y posicionaJ actualmente en uso en Occidente.

Su historia es bastante complicada y aún no muy clara, aun.que el origen hindú parece indudable. Esa fantasfa exuberanteque revelan las construcciones y relieves hindúes y que en losproblemas aritméticos se pone d~ manifiesto en la presencia degrandes números, pudo ser una causa, consciente o no, que condujo a buscar un sistema de numeración que hiciera factible sumanipulación. Siguiendo a Van der Waerden, su historia puederesumirse asf: Hacia la época del rey Asoka (siglo 1Il a. C.) estabaen uso un sistema llamado Brahmi, no posicional y por tanto sinel cero, con nueve signos, que mostraban cierta semejanza conlas futuras "cifras arábigas", junto con signos especiales para lasdecenas, centenas y millares. Mientras el nombre de estas cifrasse mantiene en el lenguaje escrito sus slmbolos se modifican en laescritura numérica, yen las más antiguas tablas de senos (~,~) yen las inscripciones epigráficas ya aparece el sistema posicionaldecimal con el cero. Hay que agregar que al principio este sistema fue adoptado dentro del tono poético de la matemática hindú,utilizando palabras en lugar de signos, y escribiendo el númeroen orden inverso del actual. La posible influencia aportada por elconocimiento del sistema sexagesirnal de Jos astrónomos griegos,que ya habfan introducido el cero y escribiendo los números demayor a menor, facilitó probablemente esta modificación lambién en el sistema hindú. y hacia el 500 el sistema es el actual.

El sislema hindú penetró en Occidente por caminos distintosyen diferentes épocas, con el cero y sin el cero, pero será por in·termedio de los árabes que se conocerá en Occidente en la formaactual, de ah! el nombre de cifras arábigas que se ha dado a los

. signos hindúes.Es probable que los árabes se pusieran en contacto con estas

cifras en el siglo VIII cuando tradujeron las Siddhanta, que figuran entre las' primeras obras vinculadas con la matemática que setradujeron al árabe. Cabe advertir que antes de Mahoma los árabes no tenfan cifras. Más tarde, adoptaron los sistemas de numeración de algunos de los pueblos conquistados, mientras gradual.

157

mente fundaban un sistema propio a la manera griega y hebreafundado sobre el uso de las letras del alfabeto.

Este sistema, a su vez, fue reemplazado por el de las cifrashindúes. que mostraron su superioridad. tanto en las transacciones comerciaJes cuanto en las operaciones aritméticas. Sólo enobras astronómicas, en especial en las traducidas del griego, secontinuó usando el sistema alfabéticp, al traducir también los números en griego, hecho caso en el cual la desventaja del sistemaalfabético no era muy pronunciada.

A partir del siglo IX comienzan a aparecer las traducciones alárabe de las obras griegas y poco después con comentarios. Lasprimeras versiones árabes de obras matemáticas griegas fueronlas de Al-Haggag, que vivió en Bagdad entre 786 y 813, a quiense debe la traducción de los primeros seis libros de los Elementosy una retraducción del Almllgesto dcl siTiaco. Las traducciones delos Elementos por Al-Haggag, pues hizo dos, fueron comentadasen fonna interesante por AI- ayrizi (el Anaritius de los latinos),que murió en 922.

Más importante. aunque menos difundida. fue la versión delos Elementos de Ishaq b. Hunayn (muerto en 910/11) , miembrode una importante escuela de traductores que floreció en el siglo IX y de la cual el jefe fue su padre Hunayn b. Ishaq (el Johannitius de los latinos), a su vez prolífico escritor y traductor delgriego y del siriaco. Ishaq b. Hunayn tradujo además escritos deArqufmedes, Menelao, Ptolomeo, Hipsic1es y Autolico.

Su versión de los Elementos fue a su vez revisada por Tabit b.Qurra (827-901), que además de ser uno de los grandes traductores, fue también un investigador original. Se le deben traducciones de Apolonio, Arqufmedes, Eutacio, Teodosio y otros. Esimportante su versión de los libros quinto a séptimo de Cónicasde Apolonio, pues sólo por medio de esa versión se conocen esoslibros. Los cuatro primeros habfan sido traducidos por HilalAI-Himsi (muerto en 883) y la traducción de los siete libros fuerevisada por Abu-al-Fath de fines del siglo x.

Cabe agregar que tanto lohannitius como Tabit b.Qurra estaban al servicio de una de esas fiunilias que, a la par de los califas,protegían a la ciencia y a los sabios: la familia de los tres hennanos

158

Banu Musa, dos de los cuales se dedicaron a la matemálica y eltercero a la mecánica.

Otro traductor de este periodo es Qusta b. Luqa (muerto hacia912), que tradujo a Oiofunto, Teodosio, Autolico y Herón, deéste la Mecánica. Al sigloX pertenecen Abu Uthman, a quien sedebe la traducción del libro décimo de los Elementos y de loscomentarios de Pappus a este libro, comentarios éstos de los cuales se posee esta versión :\sabe; y Abu Al-Waffu, astrónomo ymatemático a quien, además de traducciones, se deben comentarios de Euclides, Oiofanto y Ptolomeo.

Con sus traducciones los árabes entraron en posesión de unagran parte de la matemática griega e hindú, que a comienzos delsiglo IX comenzó a dar sus frutos.

La primera figura cronológicamente, pero muy importante,de la matemática árabe es el geógrafo, astrónomo y matemátieoAl-Khuwarizmi, de cuya vida poco se sabe, si se exceptúa que fuebibliotecario del califa Al-Mamun, que reinó entre 813 a 833. Ensu obra matemática hay inJIuencias griegas e hindúes y tanto enel sentido de Euclides como en el de Oiofanto habiéndose advertido últimamente también inOuencias de la matemática de losbabilonios. A s~ vez, la obra de Al-Khuwarizmi ha ejercido unanotable inOuencia no sólo en la ciencia del Islam, sino también ymuy importante, en la ciencia cristiana occidental.

Se le debe una Arihnética. que no se ha conservado en sutexto árabe pero sí en su versión latina Algoritmi de numero indorom reelaborada como Liber algorismi de prdctica arithmeticapor Juan de Sevilla en el siglo XlI. También es probable que seade AJ-K.huwarizmi un escrito en cinco libros sobre cuestiones dearitmética y de matemática aplicada a la astronomfa, cuya versiónlatina es Uber ysagogarum Alchorismi in artem astrOlIOtnicam amogis/ro A. (¿Adelardo de Bath?) compositus. .

En todos estos titulas aparece traducido y deformado el nombre del autor; deformación de la que más tarde surgió el ténnino"algoritmo" con la acepción técnica actual. La Aritm¿tiCll de AlKhuwarizmi, contribuyó a la difusión en el mundo árabe de lascifras hindúes y del uso del cero; como en textos posteriores contiene las reglas de las cuatro operaciones con enteros y fraccionesy una serie de problemas resueltos con la regla de falsa posición.

159

Pero. sin duda. el libro más importante de A1-Khuwarizmi. yque ha dado el nombre a una mma de la matemática es Hisabal-jab", wa-al-I1I",/abala de traducción no fácil. pero cuyo término al-jabar dio luego nacimiento a nuestro vocablo dlgebra.

Para comprender el si!.nificado de los términos que aparecenen el título de esa obra hay que tener presente que los árabesoperaron siempre con ecuaciones de coeficientes enteros y positivos de manera que. después de planteada la ecuación de acuerdocon los datos del problema. la primera transformación era "restablecer o restaurar el orden" llamamos: pasaje de un miembroa otro mediante la opemción que actualmente corresponderlaal al-jabar árabe (en castellano antib'UO. por ejemplo. en el Quijale se llama "algebrista" a quien recompone los huesos descoyuntados). También aquella restauración significa suprimir losdenomilladores en el caso de aparecer coeficientes fraccionarios.Pero aun la ecuación puede necesitar otras operaciones: eliminación de factores comunes en los coeficientes (operación que llamaban al-liatl O eliminación en ambos miembros de términosiguales. nuestra reducción de términos semejantes). que serla lawa-al-muqabala.

La exigencia de los coeficientes positivos aumenta el númerode casos de ecuaciones de segundo grado. Asi AI-Khuwarizmiconsidera seis casos posibles de ecuaciones cuadráticas completaso incompletas. apareciendo como ejemplos de las ecuacionescompletas

" + 10 x = 39; :i' + 21 = 10 x; :i' = 3 x + 4.

ejemplos que aparecerán durante siglos en la literatura algebraica posterior. A la resolución algebraica. según la regla actualA1-Khuwarizmi agrega comprobaciones geométricas.(6) El librocontiene además una parte puramente geométrica bastante floja(teorema de Pitágoras en el caso partícular del triángulo isósceles. valores aproximados de tr ya conocidos) y finalmente unacolección de problemas que. según el prefacio constituian el objeto del libro, relativos en general a problemas de herencia, legados. particiones. problemas de aritmética comercial y de geometría práctica. etcétera.

160

El álgebra de AJ-Khuwarizmi es retórica. designa a la incógnita con la palabra "cosa". nombre que más tarde pasó a Occidente.Se debe por último a A1-JChuwarizmi una geometría y tablas astronómicas, donde aparece por primera vez en árabe la funciónseno. Esas tablas fueron publicadas y corregidas por Maslama.hispanoárabe muerto en 1007. Es posible que las restantes funciones circulares que en eUas aparecen fueran introducidas porMaslarna. _

Contemporáneo de A1-Khuwarizmi fue Tabit B. Qurra. ya citado como traductor aunque fue también un investigador cuyostrabajos se relacionan especialmente con la matemática de losgriegos: se ocupó del escrito de Arquimedes De los esferoides yde los conoides. de los teoremas de Menelao que pasaron poresta vla a la latinidad con el nombre de "regula sex quantitatum".aunque sin duda su contribución más original es en teorla denúmeros, pues se debe a Tabit un método para hallar númerosamigos, es decir, pares de números cada uno de los cuales essuma de los divisores del otro; método que hasta ahora es_elúnicoque se conoce para tal determinación.(7)

Algo posterior a los dos matemáticos anteriores es Abu Kamilde los siglos lX y X algebrista que perfeccionó la obra de AlKhuwarizmi y ejerció influencia en matemáticos árabes y latinos.en especial en Leonardo Pisano. Se le debe. además, de su Álgebra: un escrito sobre problemas de análisis indeterminado; unescrito donde trata a1gebraicamente problemas geométricos deinscripción y circunscripción de pentágonos y decágonos; y finalmente se le atribuye una obra. que más tarde habría sido vertidaa! hebreo por el juc1lo español Aben Ezra del siglo XII y luego allatín como Sobre los aumenlos y disminuciones que trata del procedimiento de fulsa posición para resolver las ecuaciones linealescon una inCÓb'llita mediante uno o dos ensayos. De ahi los nombres de regula fa/si o de regula duo",m falsorom con que lasdesignaron los escritores latinos, reglas que no son sino la solución de la ecuación lineal por el método de interpolación lineal,exacto en este caso. (8)

En el Islam los astrónomos contribuyeron en gran medidaal progreso de la matemática. En cierto sentido puede decirse que entre los árabes no hay matemáticos puros, ante todo

161

son astrónomos. Ya desde la época de la expansión árabe las prescripciones religiosas plantearon una serie de cuestiones astronómicas: problemas de orientación y de determinación de fechas yde horas que exigieron la instalación de observatorios y el perfeccionamiento de tablas e instrumentos, así como el estudio einvestigación de las cuestiones astronómicas y matemáticasconexas.

Entre los astrónomos árabes que influyeron en el progreso dela matemática citemos a AI-Mabani muerto hacia 874, que además de traducir obras de Euclides y de Arquímedes, fue el primero en poner en ecuación (de tercer grado) el problema arquimediano de dividir una esfera en dos segmentos de razón dada.

Pero la contribución más importante de los astrónomos fue laintroducción y ampliación de las funciones circulares, ase como elperfeccionamiento de sus tablas; entre los astrónomos que seocuparon del tema cabe recordar a Habash contemporáneo delanterior, AI-Baltani, el A1bategnius de los latinos, de los siglos IXy X YAbu-al-Wafa del siglo X . Es a estos astrónomos a quienes sedebe la ampliación de lWl funciones circulares a las seis actual·mente en uso y el conocimiento de sus primeras relaciones.

uestra palabra seno, del latín sinus, proviene de una curiosatraducción: los hindúes designaban a ese segmento con la palabraexacta "semicuerda" o abreviadamente "cuerda", que en sánscrito, en la forma de grupo de consonantes sin vocales, no teníanningún sentido para los árabes, quienes por razones fonéticas lasustituyeron por la palabra que en su propio idioma significabaseno (pecho) o en forma figurada golfo o ensenada. Las funciones"tangente" y "cotangente" surgieron al tabularse las sombras(umbra versa y IImbra recta en latín), proyectadas por el sol ensus distíntas alturas, de un gnomon horizontal o vertical, respectivamente. En cuanto a la "secante" y "cosecantc", medidas delas distancias entre el extremo de) gnomon y su sombra, fueronllamadas transversales de la sombm.

En particular se debe a A1-Ballani el teorema del co eno paralos triángulos esféricos que no figuraba en el Almagesto; por suparte, se deL" a Abu AI-Wafa un perfeccionamiento del métodnde Ptolomeo para la construcción de su tabla de cuerdas, ahorade senos, llegando a dar sen 30' con 9 decimales extactos. (9) Se

162

debe además a Abu AI-Wafa un libro sobre construcciones geométricas con una serie de problemas resueltos con una sola abertura de ~mp~s, tipo de cuestiones que estarán de moda en Europa varios siglos después.

Las contribuciones matemáticas de los sabios árabes másrenombrados: AI-Biruni, Avicena y Alhazen. pertenecen al siguiente período medieval.


(1) La geometrfa de 1m romorJO$. En las enciclopedias romanas, además de las reglas para la determinación exacla del área del cuadrado, delrectá.ngulo y del triánb'Ulo rectángulo se encuentra una fónnula aproximada para el 4rea del biánguJo equilátero que supone tomar para V3elvaJor bastante aproximado !l6j¡S; otra para Jos cuadriláteros no (CCtángulos, que no es sino la antigua f6nnula egipcia que adopta como :uea elproducto de las dos semisumas de los lados opuestos; y una para el áreadel drculo tomando paTa7T el valor de Arqurmedes!2/7. Agreguemos quelos agrimensores romanos admitían romo bastante exacta la detenninaci6n del4rea de una ciudad de fonna irregular, sin más que medir su perímetro.

(2) Lo moterndtica china. En verdad, la historia de China oomienza afines del siglo 111 a. C., cuando se unifica y nace el imperio ch.ino, euyoprimer emperador ordena la "quema de los libros", con excepción delos de agricultura, de medicina y de adivinación. Aunque tal destrucción DO fue completa hace de todos modos muy dificil la investigacióndel saber chino a.nterior aesa época. Por lo demás, China no estuvo totalmente aislada de otros pueblos orientales y hasta de Occidente. El romercio de la seda con paises occidentales es muy antiguo y las relacionesoon la India, y más tarde con los árabes, fueron continuas: el budismo esintroducido por lo menos oficialmente, en China' en el siglo J y las relaciones econ6micas y poUticas con los árabes datan del siglo VU.

Por otra parte, los más antiguos documentos existentes revelan que lamatemática china no difiere esencialmente en lo que se reflere al nivel delos conocimientos de la matemática de los pueblos orientales: un sistemade numeración aditivo mediante rayas horizontales y verticales, proveniente de un antiguo cllculo con varillas de bambú; y el empico del

163

· .

ábaco. cuya mención más antigua aparece en un tratado aritmético defines del siglo 11; fónnulas empíricas y aproximadas para áreas y volúmenes de figuras simples; y oolección de problemas, algunos típicos, y comodato interesante la presencia, que parece de origen inmemorial de cuadrados mágicos.

A partir de los primeros siglos cristianos se tienen aJbrunoS dalos másconcretos: en el siglo JlI Liu Hui compone un escrito aritmético con problemas, algunos de los cuales implican cierta noción algebraica; se ledebe además un comentario al tratado clásico Las reglas tú cálculo ennueve partes, compuesto según es tradicional, en el siglo 11 a. C. sobre labase de escritos más antiguos. .

Debemos llegar a fines de la alta Edad Media para encontrar el nombre de un matemático chino, importante: eh 'in Chiu-Shao, aulor de l..aIm~eve secciones de nwtemática. que contiene 81 problemas de análisisindetenninado y ecuaciones algebraicas de grado superior. Dos características algebraicas distinguen este tratado: por un lado la notación dlstinbruiendo con el color rojo y negro Jos coeficientes positivos y negativosrespectivamente y el cero con un cirCulito (otro matemático independientede eh 'in, en lugar de colores diferenció Jos coeficientes cruzando con unadiagonal los coeficientes negativos); y por el otro, el método numérioo deresolución de ecuaciones que en esencia coincide con el método hoyllamado de Ruffini-Homer.

También del siglo XJlI es Yang Hui, quien en un An4lisis de laJ regla.raritméticas hace conocer, por primera vez en la literatura matemática, laexpresión de la suma de los primeros n números que los pitagóricos llamaron triangulares, es decir. con nuestros símbolos:

1+ 3 + 6 + oO, + '12 n (n+l) = n(n+~("+2);

mientras que del siglo siguiente es Chu Shih-Chieh. considerado uno delos grandes matemáticos chinos, en cuy~ tratado El precioso espejode los cuatro elernentos expone, como algo no original. un diagramanumérico, que no es sino nuestro "triánb'Ulo aritmético", hasta la novenalínea. Agreb~lemos que mediante el tratado de Chu Shih-Chieh se introdujo el álgebra china en Japón.

Para tenninar con la matemática en China, recordemos que en elsiglo X'Vl los misioneros jesuitas introducen la matemática occidental en

Extremo Oriente.

(3) Las construcciones del Sulvasutra. Además de algunas apll=iones del teorema de Pitágoras para transfonnar un rectángulo en un cuadrado equivalente. aparece en el Sulvasutra ulla expresión racional de la

164

diagonal del cuadrado en función del lado que equivale a l. igualdad

aproximada V2= 1 +1.. + __1_ l, que proporciona un3 3'4 3·4·34

valor exacto hasta la quinta decimal.Se utiliza luego este valor para resolver aproximadamente el proble

ma inverso de la cuadratura del círculo: obtener el diámetro de uncírculo equivalente a un cuadrado dado. La solución hindú consiste entomar como düimetro el lado del cuadrado más el tercio de la diferenciaentre la diagonal y el lado. solución que darla para 1T el valor poco aproximado de 3,0888. Más aproximado es el valor 3 1/8 que aparece en otroproblema (valor que por lo demás era conocido por los babilonios), allomar como diámetro del c!reulo los '1' de la diagonal del cuadrado equivalente. Menos aproximadas aún son las reglas que dan. para el lado delcuadrado, fracciones como ~8 o u/~. del diámetro del círculo equivalente.

(4) LtJ.! contribuciones eh Aryabhata. En cuanto al análisis indeter·minado de Aryabhata, he aquí la reconstrucción. de acuerdo con uncomentarista hindú, del proceso seguido para resolver el sistema de dosecuaciones lineales con tres incógnitas; 8t - 29y = 4; 17x - 45. - 7 connúmeros enteros. El método que llamaban de "pulverización", no es sinonuestro método de cambios de variable, a 6n de lograr ecuaciones concoeficientes cómodos como para que una primera solución "salte a lavista"; tal es el camino que revelan las operaciones que se van efec·tuando. Mediante ese proceso se llega a una primera solución (mínima) x = 15, Y = 4 para la primera ecuación y x = 11, Y = 4 para la se·gunda. De acuerdo con nuestro simbolismo. esas soluciones señalancomo solución, general de cada ecuación, tomada aisladamente. para lavariable (.'Omún :r ; :r = 15 + 29u; :r = 11 + 450 de donde por igualaciónresulta una nueva ecuación lineal 450 - 29u 1:1: 4 que, vuelta a "pulverizar", da como nueva solución mínima u = 34; v = 22 Yde ah¡ en definitiva la solución mínima del sistema: l' = 1001; !I == 276; % = 378, queaparece en el comentario citado.

Respecto de la construcción de la tabla de senos. Aryabhata adoptapara 7T el valor 3 177/1f9J (= 3,1416), conocido por Ptolomeo, y como unidad de longitud el minuto de arco. de manera que resulta para su circunferencia un radio de 3438 unidades (el número de minutos de la vueltadividido por 7T). Divide ahora el cuadrante en 2A arcos. cada uno de los.cuales será entonces de 225 unidades y supone que este arco mínimo esigual a su seno. suposición que implica un errar menor que una unidad.Partiendo del seno de este arco mJnimo, que llamaremos a, los siguientesse calculan por recurrencia mediante una fónnula aproximada que me

diante nuestros. súobolos sería

165

sen ('1+ 1) a = 2 sen na - sen (n-l) a _ sen na ,r sen a

siendo r el radio, expresión que presupone 1 - cos a = 1/<fSJ expresiónexacta hasta la cuarta decimal, hecho que explica que redondeando lasunidades y utilizando los valores conocidos de senos de arcos notables,Aryabhata Uebrue a encontrar para el sen 9()0 un valor igual al radio,

(5) Las contribucumes de Brahmagupta. Una contribución geomébi.ca de la matemática hindú es la generalización de la llamada "fónnula deBerón", aplicable a los cuadriláteros inscriptibles, que aparece en losescritos de Brahmagupta y que expresada con nuestros sfmbolos de comoárea S de un cuadrilátero inscriptible de lados a, b, e, d y semiperúnetro'

p , s = V(1' a) (p b) (p e) (p cl).

Brahmagupta reconoce además que esa fónnula puede aplicarse a lostriángulos anulando uno de los lados del cuadrilátero. Aunque el texto noes muy claro, parece que Bmhmagu'pta no ignoraba que esta fórmula eraaplicable sólo a los cuadriláteros inscriptibles; Basi<hara cinco siglos después no advierte esta limitación,

También revela Brahmagupta el oonocimiento de las expresiones quepermiten obtener las diagonales de un cuadrilátero inscriptibles cona-..ciendo los lados y que hoy escribiríamos si esas diagonales son x e y :

(ae+bc/) (ati+be) . y' = (ae+hd) (ah+ed) .ab + al ati + he

Más interesante, aunque menos original, es la construcción de uncuadrilátero inscriptible de lados, diagonales y área conmensur.lbles yademás de diagonales perpendiculares entre sr. Para ello acude a Oiofanto, con el mismo ejemplo numérico, en el problema que hemos men·donado (de los cuatro números, cada uno de los cuales, sumado alcuadrado de su suma, dan cuadrados): obtiene así cuatro triángu~os rectángulos de lados enteros, semejantes dos a dos y con catetos iguales tam·bién dos a dos, que al reunirlos haciendo coincidir el vértice del ángulorecto y los catetos iguales, configuran un cuadril6.tero inscriptible en lasc;ondiciones dada<i. (Si se adoptaran los triánbrulos de lados 3, 4, 5 Y5, 12, 13, los lados del cuadrilátero serían 25, 52, 50, 39 las diagonalesperpendiculares entre sr 63 y 56 Yel área 1764.)

(6) La ecuación de segundo grado en AI-KJiuwarizmi. En su escritodice AI-Khuwarizmi: "Los números que se presentan en el cálculo me-

166

<liante la restauración y la reducción son de tres clases, a decir: raíces,cuadrados y números simples, que no se reGeren ni a las raíces ni a loscuadTados,., Un número que pertenece a una de esas tres clases puedeser igual a uno de los números de las otras dos, por ejemplo, cuadradosigual a rafees; cuadrados igual a números, raíces igual a números". Sehace así referencia a los tres casos de ecuaciones incompletas ax2 = bx;a.x2 = c; bx = e casos que se reducen simplemente a la extracción de unaraíz o a una ecuación de primer grado.

Pasa luego a los tres casos posi.bles de ecuaciones oompletas de segun- ,do grado de coeficientes positivos, agregando: "Encuentro que esas tresespecies de números pueden combinarse entre sí y dar lugar a tres tiposcompuestos que son: cuadrados y raíces igual a números; cuadrados ynúmeros igual a raíces; cuadrados igual a raíces y números", o lo que es lomismo, distingue los tres casos de ecuaciones

Para resolver el primer caso, ateniéndose al éjemplo numérico: ¿CuáJes el cuadrado que sumado a diez ralces da el número 39? Dice, ::Debestomaz- la mitad del número de las raíces, en este caso 5, y multiplicarlopor sr mismo y obtienes 25 al que le sumas el número 39, con' el resul·tuda 64, Tomas la raiz cuadrada de este número que es 8 y le restas lamitad de las rafees 5 y obtienes 3, que es el valor buscado", Se advierteque la regla no es sino nuestra resolvente expuesta en fonna retórica.Cabe agregar que en un segundo ej'emplo de este caso, donde el coc6·ciente de los cuadrados no es la unidad, señala que para aplicar la reglaanterior debe hacerse ese coeficiente la unidad, dividiendo por él todolos coeficientes,

El segundo caso es interesante, pues la ecuación tiene dos rafces posi.tivas, Con el ejemplo x2 + 21 = 10 x, dice Al-Khuwarizmi: "Debes tomarla mitad del número de las raíces, en este caso 5, multipHcarlo por símismo, obtienes 25 al que debes restar los números, en este caso 21,obteniendo 4. Extraes la raíz cuadrada que es 2 y lo restas del número dela mitad de las raíces que era 5 y obtienes 3 que es la solución. Si deseas,puedes también sumaz- ese valor 2' a la mitad de las rafees que es 5 yobtienes 7, que también es solución. Cuando un problem~ esti dado enesta forma, puedes ensayar con la adición. Si no resulta, es indudableque resultará con la sustracción. Éste es el único caso, en que bay quetomar la mitad de las rafces, y que puede ofrecer solución por adición opor sustracción. Además hay que observar que si en este caso el cuadradode la mitad de las rafees es menor que los números, no hay solución. Si es

167

.!

igual a esos números, la solución es la mitad de las raíces sin aumentos odisminuciones",

Fig. 22

Fig.21

'l. px x'

mLas contribuciones de Tabit b.Qurra. Podemos mencionar en este sentido que es en los escritos de Tabit, donde aparece la demostracióndel teorema de Pítigoras mediante despla2amíentos de triÚlgulos quecitamos al referimos a los babUonios. Pero, sin duda. es más original laregla que o&ece para la determinación de números amigos. Esa regla,expuesta, con símbolos actuales es la siguiente: Si para n > 1los númerosa = 3.2"-1_1; b = 3.2"-1; e :::t: 31 .2"'-1-1 son primos los númerosA = 2 2 a b y B = 2" e son amigos. Basta comprobar que si S Á YS 8

representan las sumas de los divisores de Ay B respectivamente se cumple S. + A = S. + B = A + B de donde S. - B YS. = A. Para 11-2 setiene a=5; b= 11; c=71 y. por tanto, A=4.5.11 - 220; B = 4.71 - 284que ofrecen la pareja más antigua de números amigos. Para ,,=-3, e no esprimo; para n=4 se obtiene como nueva pareja A. - 17296, B - 18416.

pone un cuadrado de lado r y. JX>r tanto, de valor x2 a cada uno de cuyoslados adosa un rectángulo de base x y altura 'l. p f/s); el dodecágono asífonnado tendrá por área x2 + 4, 1/.. p:c = x2 + P,f = q (39); de ahí que si aesa figura se le agregan los cuatro cuadro1dos de los vértices de área tolal4· ('/. p)S = 25 se obtiene un cuadrado de área 'l. pS + q (25 + 39 =64)Y de lado su ralz.(B) Como ese lado es x + 2('/. p) = x + ,/s l' (x+5)se obtiene finalmente el valor de x ::z vl/4 pe q - '/2 p expresión quejustifica la regla aribnética y que en este caso da la solución:r = 3. Cuyocuadrado 9 mlis 10 veces su valor, 30 da el valor de los números: 39.

La segunda comprobación geométrica de este caso es más euclidiana.Ahora adosa a dos lados contiguos del cuadrado de lado x rectángulos debase % y altu.ra I11 p con lo cual el "Wlomon" de vértice e será Xl ++ ~ '/s px) =XS + px = q. Al agregarle el cuadrado de lado ,/s p, es decir.1/4 pi se obtiene un cuadrado de lado x t I11 p, Yde ahí r. Si a continuación de uno de los rectángulos adosados se agrega (punteado en la figura)ese mismo rectángulo se ve claramente la reducción del problema a unaaplicación de áreas por exceso:.sobre el segmento p prolongado construirun rectángulo de valor q tal que la figura, sobrante sea un cuadrado.

La comprobación geométrica de los otros casos es algo más rebuscada, presentándose también problemas de aplicación de áreas: .,.

B

1/. p2

G \'/2 px '-- Jx>

op

¡------- -----II1 ------

A

A c. El tercer caso de ecuación completa no agrega ninguna novedad.A continllllCión da las comprobaciones geométricas de las reglas aríbnéticas, pero sólo de los casos "en los que es necesario tomar la mitad de lasrafees", es decir. de las ecuaciones completas.

Para el primer caso, de forma general x2 + p:c - 9 Yen el ejemplox2 + lOx = 39 da dos comprobaciones geométricas. En la primera, su·

(B) Lo.t mttodM de falsa posición. El métDdo de simple 6llsa posiciónse apUcaba a los problemas cuya ecuación lineal se escribUia con nuestranotación en la forma O%=b obteniendo su solución partiendo de un valorarbitrario %1 para la incógnita que llevaría a un valor falso tul-=bl =#: b,pero que una simple regla de tres r:%l=b:b l pennite obtener el valorexacto .:r. Tomemos un ejempJo de un texto lirabe: ¿cuál es el númerocuyos 2/3 es S? Se parte de un valor arbitrario para ese número, en gene-

168 169

"

J1

.

ral cómodo para los cálculos, en este caso 3, cuyos '1./3 es 2 diferente de 6.pero la regla de tres x:3=5:2 da para x el valor exacto 7 1/'1..

El caso de doble fulsa posición se aplicaba en cambio a las ecuaciooesde la forma ax=b; ax+b=c; tu+bx=e; ax+bx+c=d. Para resolver 1&ecuación se parte de dos valores arbitrarios de la incógnita: 1'1 y 1'1 ca1aI.lando los errores respectivos y 1 e Y2 como las diferencias de los valores deambos miembros de las ecuaciones anteriores; operando cOn esos cuatronúmeros de acuerdo con esquelna5 empíricos diferentes según el sentidode los errores se llega al vabr exudo r = (XIYt - XtYI) : (Y2 - yJ.

Por ejemplo: cuál es el número que, sumado a sus 'l¡3y agreg40dole bunidad, el resultado es lO? El aritmético árJ.be p.1.rte de los valores xl-9;1'2=6 obteniendo Y¡ =6; '12= 1, Yaplicando la regla correspondiente a estecaso (los errores de igu:l1 signo) obtiene r = 5 ,~, que es la solución.

(9) La tabla de Abu A/-lVaJJa. Simplemente par.¡ mostrar la periciade este astrónomo, digamos que para la construcciÓn de su tabla procedea la manera de Ptolomeo, partiendo de los lados del pentágono y triángulo regulares para obtener sen J60 y sen 6()0, de donde por sucesivas bi~ciones llega a sen 28' 7 1/2" Ysen 33'45", valores (,'On los cuales obtiene elsen 22'30" sen 22'30", ángulo que es cuádruplo de la diferencia de los~anteriores. Mediante un engorroso juego de desigualdad.es llega a lail,'ualdad aproximada paro ángulos pequeños

sen (a+b) = sen a + "o [sen (a+3b) - sen (a-3b)]

evidente sin más que sustituir los senos por los arcos.Con esa igualdad, y dando los yalores a = 28'7"."; b = 1'52',." obtie

ne el seno de 30', valor mínimo de su tabla. mediante la expresión

sen 30' = sen 28'7"." + 'l. (sen 33'45" - sen 22'30')

2. La alta Edad Media

Ya aludimos al carácter enciclopédico de los científicos árabes, demanera que en todos ellos, en medida mayor O menor, tiene cabida la matemática. En tal sentido cabe mencionar las cuatrograndes figuras de la ciencia árabe, que florecen entre los siglos X

y Xl; AI-Hazi (el Rhazes de los latinos), m dico y alquimista aquien se atribuyen escritos matemáticos sin mayor relevanc.ia;lbn Sina (el Av.i.cena de los latinos), considerado el sabio más fa-

170

moso del Islam, que se ocupó de alguna cuestión aritmética, como nuestra "regla del 9" que enuncia "según el método hindú"como "la expulsión de los 9", con algunos ejemplos y consecuen·cias, dice asr: Todo número que, dividido por 9 da por resto 1,4 ó 7, su cubo, dividido por 9, da siempre por resto 1; AI-Biruni(no tiene nombre latinizado, pues no rue traducido) en cuya obraastronómica se incluyen cuestiones matemáticas: construcción depoliedros regulares y tratamiento algebraico de los problemas detercero y cuarto grado, novedad que aparece con los árabes: (1) yel último de los "cuatro grandes". Ibn Al.Hayt/lam (el AUlazen delos latinos), importante por su obra en el campo de la óptica aquien se debe. entre otras cuestiones, la determinación del volumeo del sólido engendrado por la rotación de un arco de parábolaalrededor de un diámetro o de una de sus cuerdas perpendicula.res, a la manera griega, lo que lo Uevó a utilizar la fórmula de lasuma de las cuartas potencias de los números naturales, que nofigura en ningún texto griego; además se conoce con el nombrede "problema de A1hazen", una cuestión de óptica, (2) que-lIeva auna ecuación de cuarto grado que Aihazen resuelve geométri

camente.Entre los matemáticos árabes de Oriente que florecen entre

los siglos X a XlI cabe mencionar a Ibn Al-Husayn que se ocupódel problema de la duplicación del cubo y de los "tripletes pita·góricos". por ejemplo. demuestra que el número ma)'or es siempre supuesto primo con los otros dos (múltiplo de 12) más 1 omás 5; aunque más importantes son las contribuciones de AlKarhi y Ornar lChayyam. Al·Karhi es un algebrista en quien no seadvierte la influencia hindú, si se exceptúa "la regla del 9", puesse funda en Euclides y en especial en Diofunto, hecho que aparece también en otros matemáticos árabes y que se h. atribuido arivalidades de escuela.

Con Al·((arhi hace su aparición en la matemática árabe el aná·lisis indeterminado a la manera de Diofunto, algo mejorado; además se le debe la demostración, al estilo pitagórico, de la suma delos cubos. (3)

Con amar lChayyam, el celebrado poeta de los Rubaiyat.puede decirse que el álgebra árabe llega a su culminación. Como algebrista se le debe una clasificación completa de las ecua-

171

ciones de primero, segundo y tercer gmdo, en la que especilica 25 casos distintos, según el tipo de ecuación completa o incompleta de coeficientes positivos. Mientras resuelve aritmética·mente las ecuaciones de primero y de segundo grado. resuelvegeométricamente, por medio de intersección de cónicas, las detercer grado, y es probable que él, o algún discípulo, haya extendido el procedimiento a las ecuaciones de cuarto gmdo, por lomenos en algún caso particular. Al referirse a los casos de las cúbicas no reducibles a cuadráticas dice: " ... excepto uno de ellos(el ejemplo dado por Al-Mahani) ninguno ha sido tratado por losalgebristas, mas yo los discutiré y los demostraré geométricamente, no numéricamente", Esta conexión de los problemas detercero y de cuarto grado, que los árdbes no supieron resolveraritméticamente con los problemas geométricos, es un progresoimportante de la matemática árabe. Así como algunos matemáticos árabes "pusieron en ecuación", mediante su traducción al·gebraica, ciertos problemas de rndole geométrica, otros comoOrnar, trataron el caso inverso: la tmducción y solución geomé'trica de ecuaciones algebraicas.(4)

El sigloXJI ve el principio de la decadencia de la ciencia árabedel Oriente, pero en cambio es el siglo en que esta ciencia alcanza su apogeo en la España musulmana. No abundaron en ella losmatemáticos; entre los más notables mencionemos al judlo Abraham Bar Hiyya, apodado Sarrasorda, traductor sistemático deobras, en especial astronómicas, del árdbe al hebreo, y de ahí unode los creadores del lenguaje científico hebreo. Se le debe unaobra original en hebreo traducida allatin por el autor en colabomción con Platón de Tivoli, con el titulo de Libar embadorurn,tratado de agrimensUrd yde geometría prácticas; obm que ejercióinOuencia tanto entre los hebreos como entre los cristianos. Suversión latina es una de las primeras ohras que aporla la resolución de la ecuación de segundo gmdo en este idioma. Otro matem,ltico importante hispanoárdbe es el astrónomo Jaber b. Afiah,el Ceber de los latinos, a veces confundido con el célehre Ceberde los alquimistas cuando no se utilizó la semejanza de su nombre('on la palabra "álgebra" para atribuirle el invento y denomina·ción de esa rama de la matemática. La contribución de Ceber a lamatemática corresponde al campo de la trigonometría esférica

172

en la que demostró una propiedad de los triángulos rect,ingulosa veces llamada "teorema de Ceber".(5)

En este período, siglos Xl a XlII la ciencia oriental, hindú yárabe, deja de tener inOuencia directa O indirecta sobre el saberoccidentaJ Y. éste inicia un despertar que adquirirá impulso enlos tiempos renacentistas para empalmar con los albores de laciencia moderna.

No obstante, tal declinación de la ínOuencia de la cienciaoriental en Occidente, conviene para tenninar con esa ciencia,resumir en líneas generales esa influencia. así como recordaralgunas de sus manifestaciones tardías que revelen interés.

El último. cronológicamente de los matemáticos hindúes deimportancia es Baskhara del siglo XlI, en cuya obra astronómicadedica dos capftnlos: ülavati (la hermosa o la noble ciencia) yVija-Ganita a la aritmética y al álgebra. Es probablemente la ohmmás importante de la matemática hindú, en la que se adviertenjnOuencías de la matemática griega, como de las árabe y china;por lo demás, el autor reconoce haber utilizado obras dI' autoresanteriores, entre ellos de Brahmagupta.

Como contribuciones originales pueden mencionarse cuestiones de análisis indeterminado de segundo gmdo;(S) algunas fórmulas aproximadas, por ejemplo para V2da el valor "1" (que seobtendría restando los numemdores y denominadores de las reducidas """, y "/u del desarrollo en &acción continua de '1!2; yunas lacónicas demostraciones de teoremas, como el de Piúgoras yde equivalencias, mediante figuras con ciertas descomposicionesy recomposiciones, y como única explicación un imperat'ivo: ¡MiralPor ejemplo. descompone un círculo en doce sectores y un rectángulo de base la semicircunferencia rectilicada y altura el radioen ocho triángulos rectángulos iguales. para "demostrar" la equivalencia entre el circulo y el rectángulo.

Ya hablarnos de las contribucíones originales de la matemáticahindú: la introducción de las funciones circulares y el sistema denumeración. Podemos agregar que más adelante aparece ciertosimbolismo precursor del álgebm sincopada, así como del uso delcero como símbolo, vieron además los hindúes claramente la diferencia entre números positivos y negativos que interpretabancomo créditos y débitos que distinguían simbólicamente, hecho

173

que les permitió unificar las ecuaciones de segundo grado en unsolo tipo, cualesquiera fueran los coeficientes y hasta de admitirlas soluciones negativas, aunque sin tomarlas en consideración,pues, como dice Baskham, "la gente no apnleba las raíces neogativas".

Otro rasgo caracteriza el perfodo histórico de la matemática,que tiene por escenario la India de los siglos v a XII: es la épocaque el historiador Smith caliScó de "época de la poesfa", pues esaciencia se muestra revestida de un ropaje poético; todas las obrasse escribieron en verso, y en ellas se utilizó un lenguaje metafórico que en especial se pone de relieve en el folklore matemático,donde se eligieron con preferencia aquellos ternas que más seprestaban a ser expresados en forma poética.

Veamos algunos ejemplos: "l-iennosa niña de ojos radiantes,dime, si has comprendido el método de inversión: ¿cuál es elnúmero que multiplicado por 3, agregándole 10s'A del producto,dividiendo por 7 y disminuyendo en '¡' el cociente multiplicándolo por sf mismo, disminuyéndolo de 52, extrayendo la raíz cua·drada, sumándole 8 y dividiéndolo por JO, da el número a?" Elresultado es 28, que se obtiene recorriendo todas las operacionesen orden inverso: 2, 20, 12, 144. 196, 14, 21, 147, 84, 28.

He aquí un par de problemas hindúes que exigen el conocimiento del teorema de Pitágoras. El primero que también podrfaser chino, es una variante del "problema de la caña": ¿cuál es lalongitud de la rama más alta de un árbol de bambú que el vientoha quebrado, conociendo la altura del árbol y la dislancia en elsuelo desde la cima hasm la rafz?

El sel,'lmdo es más hindú; dos ascetas. viven en la cima de unamontaña de altura conocida, cuya base está a una distancia conocida de la aldea próxima. Para ir a esa aldea uno de ellos descien·de y se dirige a ella caminando; el otro, que es mago, preSerevolar; asciende una cierta altura, y luego se dirige directamente,siempre en vuelo, a la aldea. ¿Cuál debe ser esa altura para queambos ascetas recorran la misma distancia?

Veamos por último un problema tipico que aparece en Baskhara: ..La raíz cuadrada de la mitad de un enjambre de abejas seesconde en la espesu!".! de un jardfn. Una abeja hembra con unmacho quedan encerrados en una flor de loto, que los sedujo por

174

su dulce perfume. Los'I; del enjambre quedaron atrás. Dime elnúmero de abejas". El problema exige la resolución de una ecuación de segundo grado, que tiene dos raíces positivas; pero de lascuales: sólo la entem 72 (la otm es·M satisface las poéticas exigencias del problema.

En cuanto a la matemática árabe, tanto en Oriente como enOccidente, continuó progresando con ritmo decreciente, (7) mientras declinaba su influencia en el mundo cristiano. Esa influenciahabfa sido nomble no ll\Oto en el sentido de aportar contribuciones originales pues en realidad la ciencia árabe bebió en fuentesgriegas, hindúes quizá chinas y hasta en algún resto de la antiguaciencia de los babilonios, sino por haber sido esa ciencia árabe elconducto mediante el ~ual el antiguo saber griego conservado yreelaborado se lr'.lSvasó a Occidente.

Sin duda, ese antiguo saber griego se había conservado en elmundo bizantino, pero en ese mundo aquel saber quedó comofosilizado, petrificado; lo prueba el escaso aporte cientifico de losbizantinos, aun a partir del año 1000, época del llamado "renacimiento bizantino", en el cual, desde el punto de vism matemático, sólo podemos mencionar a un ~1áximo Planude del siglo XIII

que es el primer griego que conoce las cifras "árabes" y a unManuel Manscopulo, de comienzos del siglo XIV, que introduce,probablemente por primera vez en griego, las reglas para la construcción de cuadrados mágicos.

En cambio, el contacto entre árabes y cristianos, ya en formaesporádica, ya en forma más permanente produjo su fruto que,en el campo matemático, si!,'nificó una adquisición más complemdel saber griego con el agregado del saber hindú y árabe, logradaa través de las traducciones al latin de los principales escritos deautores griegos y árabes.

Los primeros signos de la influencia árabe en Occidente sehan visto en Cerberto de Aurillac, papa Silvestre 11 en 999, quehacia 970 residió en el condado de Barcelona y que, por las obrasmatemáticas que se le atribuyen, fue el primer cientifico que divulgó en Occidente las cifras árabes sin el cero. En efecto, Cerberta babrfa introducido en Occidente el "ábaco" de los árabes,diferente del ábaco con bolillas, pues con él se opera con Schasque llevaban grabadas las nueve cifras o letras equivalentes (la

175

"

'O'

ficha del cero no era necesaria), de una manera tal que condujonaturalmente a nuestra manera habitual de operar (el "algoritmo"de los medievales), cuando en lugar del instrumento y de las fi·chas se comenzó a operar escribiendo las cifras en cuadros conarenillas, de a1,í el nombre de "cifras gubar" (de gubar = polvo,en árabe), que se dio a las nueve cifras sin el cero. Pero la mayorinfluencia de la matemática árabe se debió a los contactos másdirectos: el comercio mediterráneo, las contiendas bélicas y, enespecial, las Cruzadas y sobre todo la permanencia de árabes entierras cristianas: Sicilia y España.

A mediados del siglo XII se inicia una era de traducciones, engran parte del árabe al latín, aunque también del hebreo a1latln,como del árabe al hebreo y más adelante también directamentedel griego al latín.

De los traductores que estuvieron en Oriente citemos a Acle·lardo de Bath, que tradujo del árabe los Elementos de Euclides yescritos de AI-Khnwarizmi: las tablas astronómicas y probable

mente la Aritmética.En Sicilia, donde bajo el impulso de los reyes normandos,

hubo un intenso intercambio entre las culturas griega, árabe ylatina, también se realizaron traducciones del árabe al laUn,y hasta del griego al laUn. En este último caso, están Datos y laÓptica de Euclides, y el Almagesto de Ptolomeo, y no deja de serinteresante destacar que esta traducción directa de la obra dePtolomeo no tuvo mayor difusión, pues fue desplazada por la traducción indirecta del árabe, que poco después realizó Cerardo

de Cremona.Pero el centro más activo de traducciones fue España. Entre

los traductores más antiguos figura la pareja de mediados delsiglo XII: Domingo Cundisalvo y Juan de Sevilla, que traducíanen colaboración: Juan, del árabe al castellano, y Cundisalvo delcastellano al laUn. Entre sus traducciones figura una aritméticadonde ya se mencionan las cifras hindúes con el cero, no se babiadel ábaco, y aparece el término "a1goribno".

Contemporáneo de los anteriores es Roberto de Chester queresidió en España a mediados de siglo y a quien se debe la importante traducción latina del álgebra de Al-Khuwarizmi.

176

Pero los más fecundos traductores de obras cientlficas fueronPlatón de Tívoli y Cerardo de Cremona. Ya mencionamos a Platón, quien, entre otras obras, tradujo la Esférica de Teodosio, conmotivo de su colaboración con Bar Hiyya. En cuanto a Cerardode Cremona que residió y murió en Toledo, y a quien se debe latraducción de más de 80 obras, figurando entre los autores matemáticos que tradujo, los griegos Euclides, Arquímedes, Apolonio, Autolico, Hipsicles, Tendosio, Cemino y Ptolomeo, y losárabes AI-Khuwarizmi, AI- ayrizi, Tabit b. QUITa, Abu Kamil,Jabir b.Aflah y A1-Zarqali. De este último, el Arzachel de los latiDOS, conocido astrónomo y constructor de instrumentos del siglo XI tradujo las Tablas tolecknos, compilación de las observaciones realizadas por A1-Zarqali y sus colegas que más tarde sirvieron de base para la preparación de las Tablas alfonsinas queordenó compilar Alfonso el Sabio.

Entre las traducciones directamente del griego al latln citemos la versión del escrito de Arquímedes De los cuerpos flotantes, realizada por el dominico flamenco Guillermo de Moerbeckedel siglo XIII versión importante, pues es la que hizo conocer e";obra al mundo cristiano que no entró en posesión de un manuscrito original en griego basta comienzos de este siglo.

La obra de los traductores puso a disposición de los científicosoccidentales gran parte del saber griego y del saber árabe, circunstancia que, unida a la atmósfera cultural de la época escolástica. universidades.. .. explica el renacimiento que en el siglox.lllexperimentara la matemática en Occidente.

Ese renacimiento inicia con una figura notable: Leonardo Pisano, Uamado Fibonacci (contracción de la expresión "hijo de Banaecio", apellido del padre), sin duda el más grande de los matemáticos medievales.

Con motivo de una misión oficial encomendada al padre, Leonardo estuvo en África del Norte y recorrió más tarde varios paises musulmanes, donde se puso en contacto con los árabes y adquirió su saber matemático. Al regresar a Pisa publicó en 1202 yreeditó en 1228 un Liber abaci o Libro de las ábacos que, noobstante el titulo, combate el uso de los ábacos, para mostrar encambio las ventajas del sistelOa decimal y de las cifras hindúessobre el sistema romano y los números romanos. En realidac;l. no

177

fue Leonardo quien introdujo en la Europa cristiana las curashindúes, pero sí fue quien divulgó su uso mostrando sus ventajas(por ejemplo, el número 4321 exige en números romanos diezletras), aunque no por eso quedaron desterradas los antiguos números romanos y el :ibaco que continuaron en uso en especial enla vida comercial durante mucho tiempo. mientras en el campomás científico se entablaba una lucha entre abacistas yalgoritmit'OS que e prolongaria hasta comienzos del siglo XVI.

Además del Liber abaci se deben a Leonardo una Practicageometriae de 1220, donde introduce en Occidente la resoluciónde problemas geométricos mediante el álgebra, uno de estos problemas, que muestra además su pericia de calculista aparece enuna Epístola al maestro Teodoro (un matemátíco del emperadorno mejor especificado); además en Practica gcometriae aparecenprocedimientos para medir alturas y depresiones con un cuadran·le. Pero los escritos más originales de Fibonacci son: el de títuloabreviado ... super solutionibus '1uaestionuon . .. y Liber quadratonml ambos de 1225, que tratan distintas cuestiones de aritmética y de álgebra entre Jas cuales tres problemas que a modode desafío le lanzó Juan de Palenno de la corte de Federico U yque Leonardo resolvió.(8)

Algo posterior a Leonardo es Ciovanni Campano de ovara,que tradujo los Elementos de Euclides, incluyendo los llamadosUbros XIV y JN, para lo cual utiüz61a versión de Adelardo, perorecurrió también directamente a las fuentes árabes. Con esa traduceión, que por lo demás constituyó el primer texto impreso delos Elementos (Venezia, 1482), Campano demostró ser algo másque un traductor. Por ejemplo, se le debe el intento, sin duda elprimero, de fundar la aritmética de los números naturales sobreun sistema de cuatro ax.iomas postulados. Los tres pnrneros afirman que la sucesión de los números naturales es üimitada. mientras que el cuarto establece la existencia de un mínim0.en todogrupo de números al fijar "que un número no puede dis.mUl~indefinidamente'. tiliza estos postulados en la detenmnaclóndel máximo común divisor, así como en la demostración· de lainconmensurabilidad de un segmento con los segmentos que lodividen en media y extrema razón. Agreguemos que en sus comentarios Campano señala el carácter especial del ánb'Ulo forma-

178

do por dos circunferencias tangentes, reabriendo la cuestión del"ángulo de contingencia" que ocupó y preocupó a los matemjtieas hasta el sígloxvlU. El nombre de "ángulo de contingencia",para referirse al ángulo fonnado por la circunferencia con su rectatangente en su punto de tangencia, aparece en una obra de estesiglo, perteneciente a un autor (o autores) de identidad discutida:Jordanus Nemomrius, a quien (o a quienes) se deben varios escritos mecánicos y matemáticos. (9). También al siglo XlU pertenece Jobo de Holywood, más cono

CIdo por su nombre latinizado Sacrobosea, que en 1230 era maestro en Paris. Por la fama que gO-afon y la inDuencia que ejercieron, más que por su valor intrínseco, cabe recordar su Spheramundi, compilación de las partes más elementales del Almagesto,que sirvió de texto en toda Europa hasta después de Copérnico, y .su Algoritmus vulgaris o Tractatus d. arte numerandi tratadoelemental de aribnética que trata de la numeración, adición, sustracción, división por 2, dupücación, multiplicación, división, suma de números naturales y de impares, y extracción de ralees.Con lodo. este texto elemental contribuyó a la difusión de lascifras arábigas y de la numeración decimal.


(1) Los problem& de tercer grado. Ya vimos cómo los goomelrasgriegos resolvían Jos problemas, que hoy llamamos de tercero o de cuartogrado por la índole de la ecuación algebraica que los resuelve, medianteconstrucciones que trascendían el uso de rectas y circunferencias, enespecial u~do cónicas. Los matemáticos árabes conocían, por supuesto, tales construcciones, pero sus conocimientos de 4Jgebra les permitieron "poner en ecuación" esos problemas. aunque no podían resolver aritméticamente la ecuación, sino en fonna aproximada. Un ejemplolo ofrecen las ecuaciones a las que conduciría la construcción del eneágono regular. Para ello un disclpuJo de Al-Birul\i parte de1lado del pnlrgonoregular de 18 lados: , ~ 2 sen 10" y lleva la ecuación, " + 1 ~ 3x queresuelve el problema. Por su parte, Al-Biruni había llegado a una ecuación semejante: .él = 1 + 3x para x = 2 cos 2QO, que resolvió aproxima-

179

damente sin indicar el procedimiento dando el vaJa de % en el sistemasexagesimal hasta las unidades de cuarto orden, que corresponde a unvalor exacto hasta nuestra sexta decimal.

o

r,

A

8

Fig. 23

(2) El problema de AUUJUin. Este problema consiste en determinaren un espejo convexo la ubicación de la imagen conociendo 1a5 posicionesdel objeto y del observador. Si Oes el centro de la sooción circular delespejo, de radio r, en el plano que contiene los puntos A (objeto) y 8 (observador), y por tanto, la imagen Al; siendo DA =- ,.,; 08 = ,.., al ya. lasángulos que OA! forma con 0,01 y 08, respectivamente, se tendrá, deacuerdo con la ley de la reflexión (proyectando A y 8 $Ob,. OM),

180

(rl cos al - r); "1 sen Cl'2 = ("t ros a, - e): rt sen, con a, + at - aconocido; sistema de ecuaciones que resuelve el problema. Es un problema de cuarto grado. comprobándose que el punto !ti está sobre unahipérbola equilátera de asintotas paralelas a las bisectrices del ángulo a.y, por tanto, comparando con la ecuación de la circunferencia. ese punto Al está también en dos parábolas de ejes paralelos a los ejes de lahipérbola, respectivamente. Y es mediante la intersección de la circunferencia con una de esas hipérbolas que Alhaz.en da la solución geomé·trica del problema.

(3) La ""rila de los cubos de Al-KJJrhi. La "demostracióo" de Al-lCJlrhi,utilizando al gnomon a la manera pitagórica, es notable. Considera elcuadrado pitagórico fonnado por la sucesión <le los números impares,pero ahora )os gnomones agrupan 1, 2, 3, ... números impares sucesivos. Comprueba que cada gnomon es UD cubo:

J = 13; 3 + S = 8 = 23; 7 + 9 + 11 = 27 = 3'

(en general el p. gnomon es suma de dos rectángulos de lados p y'/.p(p-l) Y '/'p(p+ J), respectivamente, cuya suma de puntos esp'), demanera que si el cuadrado contiene n de esos gnomones, el lado delcuadrado contiene un número de puntos igual a la suma d~ los n primeros números, mienb'as que el número total de puntos del cuadrado es lasuma de los primeros n cubos, demostnndo asi la propiedad.

(4) El dlgebra de ODiar Khawarn. He aqullos 2S casos en que OrnarKhayyam distingue y clasifica sus ecuaciones,

simples (binomias): 0=1'; 0-' Xl; 0=%3; bx:z%l; 0:_1'3; bri _cr3;

compuestas-trinomias (cuadráticas), x'+bx=a; x'+a=M' M+a=x';compuestas trinomias (cúbicas reducibles a cuadráticas),

compuestas cuabinomias (un ténnino igual a la swna de tres términos):

181

compuestas cuatrinomias (suma de dos términos igual a suma de dos tér

minos):

Veamos la solución geométrica de Omar en el caso de la cuatrinomia:r3=c:r2+b:r+a. Considera un prisma de base cuadrada de área b y devolumen a y dibuja dos hipérbolas equiliteras de ecuación en ry V;; = a

factor a+bx. Eliminando ese factor, que es en realidad una raíz extraña ala ecuación cúbica, queda esta ecuación como resultante.

Es probable que se advirtiera que el procedimiento podía extendersea ecuaciones de cuarto grado, pues en un escrito posterior aparece resuelto, mediante la intersección de una circunferencia oon una hipérbola, el problema de detenninar la base menor de UD trapecio de área oonocicla y cuyos Dtros tres lados son iguaJes a un valor también conocido. Si SYa son Jos datos y con % e y se indican la proyección del lado del trapeciosobre la base mayor y la altura, se tiene S=(a-%)y; xt.+y'=a' ecuacionesde una hipérbola y una circunferencia Que resuelven, en este caso, unaecuación de cuarto grado en :l o en y.

H

(5) El teorema cU Ceber, Una de las primeras modificaciones queintroduce Ceber es sustituir la "regia de las seis cantidades" por una"regla de las cuatro cantidades" propia, Para elJo parte de los trilIngulos

8

A8eN

);.L-+---iZ

L

k

Fig.24Fig. 25

y (y+b)2 = (r-el (r+alb), De acuerdo con las propiedades de esas ro,nieas Omar logra comprobar que cierto segmento cumple ~ condiciónde la incógnita % de la ecuación. Por wpuesto que no adVierte que. el

t T donde también se cortan las dos hipérbolas, es otnl solUCIón~~:s°o~ra únicamente con los valores positivos de la incógnita. En.er~to al eliminar y entre las dos ecuaciones en coordenadas ~te~UUlasia~areee una ccuación de cuarto grado que tiene en ambos amem ros e

esféricos AA'B' YCC'B' rectángulos en A' y C'; aplica a estos triángulos elteorema del seno y eUminando el sen B' obtiene la "regla de las cuatrocantidades",

sen AA' : sen CC' = sen ,lB' : sen CB', Si B es el polo de A'B'C',supuesto que también ellingulo A es recto, se tiene otro triingulo re<:·tángulo ABe de hipotenusa a, Si la regla de las cuatro cantidades se

183182

aplica a los triángulos ABC y A'BC' se ob~ene,n fónnulas sen b,= sen asen B, ya conocida, pero que, aplicada a B CC rect:lngulo en C se Degaa sen B'C' = cos A'C' = sen e sen B'C. o sea ros B .. sen e cos b.fórmula de los biángulos esféricos aún no conocida entonces.

ro ÚJ ma/emárioo árabe a partir MI siglo XII/. En la España musulmana, fuera de algunos autores de compendios de aribnétíca Yde álgebracomo Ibn Badr (el Abenheder de los latinos), probablemente de los SI

glos XII o XJIl sólo cabe mencionar al marroquí lbn Al-Ba.n~.que Doreció entre los siglos Xlll Y XlV y, autor de numerosos escntos, algun.osmuy difundidos y comentados, en especial un Resumen de ltu operaao-

(6) El anillisis inM/enninado no lineal M loo hindúes. He aqur algunos C"..lSOS de ecuaciones indetenninadas de segundo grado qu~ los hmdúes resolvieron mediante ejemplos numéricos. Asi, la ecuación ry :a

= ax + by + e la resolvían buscando dos números ~I Y n tales quemn = ah + e, de donde es fOCil comprobar que las soluaones % = m + b;lJ = n + a satisfacen a la ecuación. .

Más interesantes son las investigaciones acerca de la ecuacl6n cuadrática de la foona 11%2 + m = ,,2. de la cual. conociendo una. solución"deducían otras para la misma ecuación o semejantes. Por eJemplo" SI

X V Y X Veran dos soluciones (que podran coiocidir) de la ecU3Clón

lo t 2. 2anterior en virtud de la propiedad ,'n=yt-n.r~ = !I~-nxl se Uega a m~ .. (n.ttt+lJJlJi)22- n(XI!I2+:t¡!ll)y por tanto a una saludÓn de la ecuación ru + m = y . De ~( que en

caso de m= 1 conocida una solución se obtiene otra y así suceslvamente., . '1 ,. 1 1

También se obtenía una solución de la ecuaetón nx + - 'J Sl a so u-ción anterior era un par de números múltiplos de m.

Otro roceso "ciclico" se aplicaba panl reducir el ooe6ciente m de laecuación~ Si Xl> 'JI es una solución con XI primo con ~' buscaban losvalores z y u que satisfadan la ecuación indetenninada lineal XlZ + 'JI ..

= mu y de esas soluciones eleglan aqueDa que bacla lo más pequeñoposibl~ Zl - n = (mu2-2uYI+1): xi =- mm' oon~' e~te~ y peq~ei\o.Además se comprueba que la nueva ecuación nx +m -~ se sa~para X=U; y = (Ylu-l) : Xl pudiendo aplic:ar a la ecuación con m el

mismo proceso, Yreducir aun más ese ténmno. .' .Por último, señalemos la solución de reminiscenCia dlofántica que

Brahmagupta dio a la ecuación

2zru' + 1 = V'; x =--.F--; V =zi n

%2 + n%' - n

nes aritméticas en el que usa constantemente las cifras hindúes, mejorael tratamiento con &acciones, da reglas de raíz cuadrada abreviada, expone con esquemas ~cosW reglas de "doble falsa posición" para la resolución de las ecuaciones lineales, explica las pruebas de las operacionesmediante los restos por 9, 8 y 7, etcétera.

Más importantes son los científicos orientales. Durante la época de lainvasión y dominio de los mongoles florece un científico persa NasirAl-Din, escritor fecundo yenciclopédioo, pero espt.'Cialmente matemático y astrónomo. Se le atribuyen más de 60 obras en árabe y en persa,entre las que se cuentan traducciones y elaboraciones de autores griegos.En matemática 6S autor de un estudio original sobre el "cuadriláterocomPleto". en el que analiza todos los casos posibles que se distinguentanto desde el punto de vista gráBco como métrico; de un tratado en elque desarrolla las funciones circulares independientemente de su aplicación a la astronomía 000 sus aplicaciones a la trigonometria plana y esférica; y también de una interesante "demostr.lción" del postulado deEuclides, único intento ubicado entre los que bab!an realizado los antiguos griegos y los que realizaran los matemáticos del Renacimiento.

Esa demostración consiste en admitir como evidente una hipótesisdistinta, pero-equivalente. En efecto, Nasir da como evidente qU&"sl setiene el segmento AB, por A una recta CD perpendicular y por B otrarecta EF obUcua. los segmentos A'B', A"B-, ... perpendiculares a CD ycomprendidos entre CD y EF son menores que AH, si están en el semiplano en el que EF forma con AB un lIngulo agudo, y mayores que AB enel otro semiplano. Con esta proposición deduce que dos segmentos MN yPQ iguales y perpendiculares a MP, situados en el mismo semiplano respecto de esa recta fonnarin un rectángulo MNPQ, de donde deducef.Icilmente el teorema de la suma de los lIngu\os de un triángulo y de al,!el postulado de Euclides.

En el mundo mongol cabe aun recordar la 6gura del prlncipe UlugBeg, del siglo XV. astrónomo que realOO una importante labor cientlficareflejada en las mejores tablas astronómicas dellslam, que completan lasde Nasir AJ-Oin que comprenden una serie de cuestiones de orden matemático.

Terminemos esta resena mencionando una obra algebraica de BabaAl-Din. ya en pleno Renacimiento europeo, que enb'e otros asuntos 0011

tiene una nómina de siete problemas que ñan pennanecido insolublesdesde los tiempos antiguos, resistiéndose a todos los genios basta estaépoca", como se expresa el autor. Damos a continuación, con algunasconsideraciones, los enunciados de esos problemas, que pueden dar unaidea del progreso realizado por el álgebra árabe desde la época de suadvenimiento oon Al-Khuwarizmi cerca de siete siglos antes.

185

184 "

l. Dividir el número 10 en dos partes tales que si a cada parte se leagrega su raíz cuadrada el producto de las dos sumas es un número dado(ecuación de cuarto grado que puede tener soluciones enteras para deter

minados valores del producto dado).2. Buscar un número de cuyo cuadrado sumá.ndole o restándole 10.

se obtienen cuadrados (imposible).3. Hallar un número tal que el primero es 10 menos la raíz cuadrada

del segundo y éste 5 menos la raíz cuadr.K1a del primero (ecuación de

cuarto grado sin raíces racionales enteras). . '4. Descomponer un cubo en suma de dos cubos (Imposible).5. Dividir 10 en dos putes tales que su cociente má.s su recíproco de

éste dé por resultado a uno de los números (ecuación de tercer grado sin

ralees rocionales).6. Hallar tres cuadrados en progresión geométrica. cuya suma sea un

cuadrado (imposible). .7. Hallar un número cuyo cuadrado sumándole o restándole ese.Du

mero má.s 2 dé siempre un cuadrado (éste es el único problema que tienesolución racional, pues el número 'J4/ 15 más 2 que es&4/ IS, sumado o r~tado del cuadrado 1I~225 da los cuadrados, respectivamente de 46fls y 4f~.

(8) La obra ele Fioonacci. Reseñemos brevemente el ~nte.nidode los15 capitulos del Ubar Abaci de Leonardo, obra que ha eJerCIdo notablein11uencia entre sus contemporáneos y sucesores inmediatos. En el pomer capitulo habla de las nueve cifras ".~indúes" a l:s. q~e. di~, d~beagregarse el cero que llama "zephirum del árabe sifr que s~gnificavacio, palabra con que los árabes designaban el cero y que luego dio """'.miento a Duesb'o vocablo ··cifra·'. En el mismo capítulo, agrega algunasreglas de cálculo digital y tablas de suma y de multiplicación. En loscuatro capítulos siguientes, se ocupa de las operaclones.ooo enteros en elorden: multiplicación, suma, resta, división, se dan vanas reglas operal~rias para la multiplicación y las pruebas del7, del9.y del ll.y s~ enuncia.la descomposición de fracciones en suma de fracciones UOlt.an.as.

Los capítulos VI YVII se ocupan de las operaciones CO~l ~Ion.esconla descomposición de frncciones en suma de fracciones Ulll~; Il)Ientra5'1ue los capitulos VIU a XI tratan de las aplicaciones, enunClODdo y resol·viendo problemas de toda lndole: de tres simple y de tres compuesta; desociedad, de cambio de monedas, etcétera. Aparecen problemas de aJálisis iodetenninado del tipo de los" 100 pájaro..·. (Problemas de este tipo,modificando el número de animales, se presentan también en la mencio-

nada Eplstola al maestro Tcodoro.) . . .'De índole más variada son los problemas de los dos capltulos slgUlen-

tes entre los cuales cabe mencionar: a) problemas de progresiones, entre

186

ellos el del ajedrez. Aparece la suma de los cuadrados que Leonardoestudia también en su Liber qtuUlratorum.

b) Sistemas lineales del tipo siguiente: hallar n números sabiendoque cada uno de eUos sumado a determinadas &acciones de los demás dael misrf'!o resuJtado, conocido o indetenninado. Para estcn sistemas, aveces hasb de seis incógniw Leonardo da reglas bastante generales.

c) El problema que dio lugar a una sucesión recurrente (1, 1, 2, 3, 5.8, 13•... ) hoy llamada de Fibonacc.i, que mereció muchos estudios desde el siglo pasado y cuyo enunciado es el siguiente: Calcular el númerode parejas de conejos que se tendrán al cabo de un alio. sabiendo que seha partido de una sola pareja y que cada pareja a partir de su segundomes pnxluce mensualmente una pareja.

Mientras el penúltimo capftulo se ocupa de la extracción de ralees elúltimo trata de cuestiones relativas a la geometría y al álgebra. Aparecen:la solución ¡je la ecuación pilllgórica y al 6natla resolución de la ecuaciónde segundo grado a la manera árabe hasta con los ejemplos numéricos deAI-Khuwarizmi.

En este sentido, es importante el problema que plantea en la mencionada Epístola, probablemente la primera "puesta en ecuación': en Occidente de un problema geométrico. Se trata de suprimir de un tridoguloisósceles, de base 12 y lado igual lO, dos triángulos simébicos en losvértices de la base de manera que lo que queda sea un pentágono equilátero. Es una ecuación de segundo grado de expresión 7.' + 2.S6>: = 1280,cuya ra.íz positiva no es entera; sin embargo, Leonardo da su valor aproximado y en una fonoa curiosa, pues la parte fraccionaria la expresa mediante &acciones sexagesimales, costumbre que se mantendrá hasta laaparición de las fracciones dec"nates en el siglo XVI. Leonardo cIa el re·sultado hasta la cuarta &acción scxagesimal con todas sus cifras exactas,pero sin indicar cómo llegó a él. Es posible que LeonllCdo haya sidoinducido a buscar la solución algebraica de este problema ante la dificultad de resolverlo geométricamente. Sin embargo, hoy tal solución es inmediata: se trata de detenninar las direcciones desconocidas de dos vectores de un pentágono cerrado conociendo las direcciones de !:res de ellosy las intensidades de todos los vectores.

Leonardo no admile números negativos, aunque en un problema indele.nninado que 6gura en FIo8 referente a intercambio de dinero que notiene solución positiva rccoooce "que es necesario conceder que algunapenana tenga un cr-édito".

Otra serie de cuestiones suscitan los problemas propuestos por Juande Palenno. El primero de Jos tres problemas es: Hallar un número cuyocuadr'.ldo aumentado o disminuido de 5, siga siendo un cuadrado.

Este problema llevó, sin duda. a Leonardo a estudiar una serie decuestiones y problemas vinculados con los cuadrados, que dieron lugar asu Liber quadratorum. En este libro estudia las propiedades de los nú'meros de la forola 4,"n (rn!-n!) con rn y u naturales, que interviene en laidentidad a veces que lleva su nombre:

(,"2+ n2)2 :!: 4mn (m2-n!) = (m!-u! :!: 2mn)2

y que le sirvió para resolver el problema propuesto por Juan de Palenno,pues bastaría hacer 4mn (m 2 - ni) = 5; como esto no es posible para my nenteros admite una solución fraccionaria, de 'manera que deberá ser5 q' = 4mn (m'-n') siendo q el denominador de la fracción. La igualdadanterior se satisface para rn = 5; n = 4; q = 12yen defmitivael nümeroqueresuelve la cuestión es 41/ 12, (UYo cuadrado aumentado o disminuido de Sda los cuadrados de 49/ a y 31/ rl respectivamente. y ésta fue la solución deFibonacci. Agreguemos que en Uber quadratorum hay problemas menos fáciles como, por ejempk>: hallar tres números cuya sum3 agregadaal cuadrado del primer número sea un cuadrado que, agregado al cuadn·do del segundo número, vuelva a dar un cuadrado, que a su vez sumadoal cuadrado del tercer número aparezca nuevamente un cuadrado. Lasolución de Fibonacci es: los números son 35, 144 Y360 Ylos cuadradosque se van obteniendo son los de los números 42, 150 Y 390.

El segundo problema propuesto por Juan era: hallar con los métodosdel libro décimo de los Elementos una Hnea cuya longitud satisfaga a lacondición (expresada con simbolos modernos), .'+2<'+ lO. - 20.

Este problema condujo a Leonardo a uno de los primeros análisis deuna ecuación algebraica demostrando que la raíz no es un número entero, pues está comprendida entre 1 y 2, ni pertenece a ninguno de lostipos de irracionales del Libro X y finalmente y sin decir cómo logró lasolución, da el valor de la raíz en fonna aproximada hasta con seis fracciones sexagesimales. valor exacto hasta nuestra novena decimal.

El tercer problema es un problema indetenninado de primer gradoque se enuncia: Tres hombres tienen en común un capital repartido en laproporción 1/1; 1/3; 1/6• Cada uno de ellos toma al~ una~ del ca.Pi•tal, apartan de esas partes respectivamente 1/2; 1/3; /6 que reunen y divi·den en tres partes iguales. Cada una de estas partes, agregada al sobrantede la cantidad tomada al azar, reproduce para eada persona el capitalinicial propio. ¿Qué parte tomó cada uno al azar?

Es Leonardo que elige adecuadamente como nueva incógnita las Pll':.les iguales en que se ha dividido la reunión de las fracciones de las canbdades tomadas al azar. Si esa incógnita es u y el capital total es s, la partesobrante de cada uno es respectivamente

188

1/2 S - U; 1/3 S - u; 1/6 oS - U que son respectivamente 1/2; 1/3 y l/e. '}3 y5/6 de las cantidades tomadas 111 azar, que a su vez suman, de donde

I = 2 (1/, s - u) + '/' ('/, s - lO u) + 6/, ('/. , - ul

yen definitiva 7 oS = 47 u y haciendo u = 7 (solución mínima) encuentras = 47, Y lar partes tomadas al azar resultan 33, 13. 1.

(9) Los escritos atribuidos a jordLJnus Nemorarius. A este autor (o.autores) se han atribuido: varios escritos importantes sobre mecánica yuna obra oosJJlográfica donde se expone la propiedad de la proyecciónestereográfica que Ptolomoo sólo habla verillcado en caso particulares.

Una Aritmitic<J y una Denu»tratio de algoritmo, que fuera del problema de determinar b"es cuadrados en progresión aritmética no revelanmayor originalidad, pues están calcados sobre Nicómaco y Boecio.

Un Tractatw de numeris CÚJtu, oon ecuaciones de primero y de segundo grados. Por ejemplo. determinar los ténninos de una p'roporciónconociendo la suma de los exb"emos, de los medios, y la razón entre losantecedentes.

Una geometría plana De Triangulis. que no obstante el título, se ocu·pa de polígonos y circunferencias. Está escrita con rigor y en ella aparecen algu... relaciones notables entre lar áreas y los perímetros de lospolígonos regulares inscrit05 y circunscritos a una circunferencia. Se advierten influencias griegas al hacerse referencia a los problemas clásicosde la dupUcación del cubo y la trisección del ángulo. as! como tambiénresonancias árabes al darse una fónnula general para el lado de un poHgono regular inscrito en una circunferencia. fórmula exacta para los polígonos de 3, 4 Y 6 lados, aprorimada en otros casos reproduciendo para elcaso del heptágono a un valor aproximado conocido por Abu AJ·Wafa, queJordanu. llama "regla hindú",

3. La baja Edad Media

Al finalizar el siglo XIII Occidente penetra ~n una enl de transi·ción hacia el Renacimiento, ya que ese siglo fue la culminacióncultural de los tiempos medievales, siglo en el que se destacan lasfiguras de Alberto Magno y Santo Tomás, de Bacon, el frajJe, deRamón LuU y Dante; figuras que, desde el punto de vista mate·

189

mático, de esas figuras sobresalen Bacon por la importancia queasigl16 a esa ciencia, aun sin ocuparse de ella, y Ilam6n Lull,cuyas investigaciones. o mejor lucubraciones lógicas. no dejaronde ser un primer esbozo. por grosero que fueJe. de la futural6gica matemática y un anticipo de la característica universalleibniziana.

A la primera mitad del siglo XIV pertenece el te610go inglésThomas Bradwardine, que se ocupó de mecánica y de matemáti·ca. El más original de sus escritos matemáticos es una Geometrfllespeculaliva, donde considera los poligonos estrellados que nofiguran en los Elementos. pero que hicieron su presencia en loscomentarios de Boecio y en las versiones de Adelardo de Bath yde Campano. Bradwardine los engendra sistemáticamente, me·diante prolongaci6n de los lados de los polígonos regulares deorden inferior (los poligonos de primer orden son los convexos) yda correctamente la f6rmula para la suma de los ángulos internosde los poligonos estrellados de orden inferior (Campano la habradado para el pentágono estrellado.) En otro tratado de Bradwardi·ne (inédito): Traclalus ele cOlllinuo aparecen algunas considera·ciones acerca del ángulo de contingencia, del continuo y del in·finito.

Durante el siglo XIV aparece en Inglaterra el primer tratadooccidental. escrito en latín, en el que se exponen los principalesteoremas de trigonometría a la manera cudidea: Quadripartittlmde siniblls demonslralis del benedictino Richard de Wallingfordde Oxford. aunque unos años antes de su muerte aparece enFrancia una obra semejante, pero en hebreo, del judío pro~

venzal Levi hen Cerson, matemático y astrónomo, entre cuyosescritos matem:iticos fib'Ul1l una Arihnética; una memoria sobrelos nllmeros de la forma 2'" y 3", demostrando que, con pocasexcepciones, su diferencia es siempre mayor que uno; comen·trlfios a los Elementos en los que intenta reducir el número de postulados y demostTar el postulado de las paralelas; y, como labormás original, un tratado de trigonometrla donde considera al mismo tiempo la manera griega de medir los ángulos por medio delas cuerdas y las flechas, y la manera hindú mediante los senos ycosenos, dando las relaciones mutuas entre los cuatro elementos.Entre sus aportes a la trlgonometrfa figura el actual '·teorema del

190

seno" para triángulos rectilfneos y una tabla de senos, construidaa la manera de Ptolomeo.

Pero la novedad más interesante del siglo es la aparición decuestiones de índole infinitesimal, diferentes de aquéllas de esaíndole enlarvadas en la geometrla griega Se oc d. . uparon e estascuestiones··en Inglaterra los maestros del colegio de Merton deOxford: Richard (o Roger) Swineshead o Syisset y William Hey.tesbuey. El primero fue un toologo, matemático y m~.'-.. d d 1 ",,,... 'co que,en Vlrtu e título de su Liber ca/culationllln (publicaci6n pós.turna de 1477), se le apodó "Calculator". En ese tratado, como enotro semejante de Heytesbury, se demuestra en forma retóricaco~~"lIldo movimientos uniformes y uniformemente variados,la Slgul~nte regla que al~~nos autores ingleses denominan actual.m~nte regla de Merton : el espacio recorrido en un movimientouniformemente variado es igual al espacio recorrido en el mismotiempo por un movimiento uniforme, cuya velocidad es la velocidad media entre las velocidades inicial y final del movimientovanado.

" A este ,~mportante resultado de (ndole cinemática agregaCalculator un resultado no menos interesante de índole infini

tesimal, al considerar movimientos arbitrarios de ley artificial ytales que el cilculo de los espacios recorridos presupone la deter.nunaclón de la suma de una serie convergente.

Un paso más adelante en el tratamiento de estas cuestiones loda el maestro de París Nicolas Oresme, en cuyos trabajos mate~áticos. aparece como novedad la representación gráfica de las

lO tenSldades de las cualidades". Por supuesto que las represenlaclOnes gráficas en sí no significaban una novedad pues las figu.ras geométricas y los mapas son ejemplos antiguos de representa.clones grá.ficas, pero la novedad que introduce Oresme, con suTraclalus de laliludinibus, es que ahora desaparece la homogeneidad entre la representación, que es un segmento, y la magnitud representada que es: tiempo o intensidad. Tomando como/ongiludo (nuestra abscisa) el tiempo, y como IiJlilucio (nuestraordenada) una intensidad: velocidad, calor u otr~ intensidades,que. no S1empr~ significan magnitudes, Oresme representa lacual,dad o propIedad de acuerdo con la variaci6n de la intensidadrespecto del tiempo, aunque tal variaci6n no se refleja, como en

191

'..

las coordenadas cartesianas, por la curva dibujada por los puntosde coordenadas dadas, sino por la figura total, por el área encerrada entre aquella curva, el eje de los tiempos y las intensida·des inicial y 6nal.

Cuando esa intensidad es la velocidad, dando por sabido queesa drea (mensura) representa el espacio recorrido, la gráfica re·velad, en efecto, la naturaleza del movimiento. Si el movimientoes uniforme (latitudo unifonnu) la gráfica es una paralela al eje; siel movimiento es uniformemente variado (latitudo unifonníterdiffonnis). La gráfica es una recta inclinada de pendiente distinta, según sea el movimiento acelerado o retardado; de Igual manera otras gráficas representarán movimientos no uniformementevariados (iatiludo cliffonniter diffo"nu).

En el caso del movimiento uniformemente variado, Oresmedemuestra geométricamente, por comparación de figuras equivalentes, la regla que los maestrQS de Merton hablan..encontrad?,retóricamente. También Oresme considera, como Calculatormovimientos aparentemente aún más complicados que implicanel cálculo de sumas de series convergentes como valor de losespacios recorridos.(I) .

o menos original es Oresme en otra de sus obras: Algo"..·mus proportionum, donde con el nombre de "propo~ciones"dobles mitad una vez y media indica nuestras potencias de exponen;e 2, 1/,', '/2, ... ; en una palabra expone una teoña de lasoperaciones con exponentes fraccionarios para los que adopta un

simbolismo especial. .También algunos atisbos del concepto inflnitesimal de lIm.te

pueden advertirse en la figura cientlfica de Nicolás de Cusa o elCusano del sigloXV que en sus escritos matemáticos se .ocupó unpar de veces de la cuadratura del circulo aunque partió del supuesto erróneo de ser en los polrgonos isoperimétJ?cos proporcio.na1la diferencia entre el área del círculo y la del pohgono con.1a diferencia entre el radio y la apotema del polrgono. En otras mvesligaciones el Cusano se ocupó de la recti6cación de la circunferenaadando expresiones bastante aproximadas.(2) ..

Desde el punto de vista técnico una obra matemátIca unpor·tante del siglo xv se debe a los astrónomos Georg Peurbach y sudisdpulo y colaborador Johannes Müller llamado el ReglOmon·

192

tano por su ciudad de origen Konigsberg. Peurbach había iniciado una versión directa del Almagesto que conti ó R .. nu eglOmon-tano sustituyendo la tabla de cuerdas por tabl d

d . as e senos to-man o el radIO de 600.000 partes y los arcos diO' 10' R. e en.e.gl~montano mejoro esas tablas tomando los arcos de minuto enmmuto.y el radio de 10' partes, y agregó una tabla de tangentesque llama "números" para arcos de grado en grado con un radi~de 100.000 partes.

Se debe a Regiomontano el primer tratado de trigonometrla~e influencia duradera. Es el De lriangulis omuimQdis en cincohbros compuesto hacia 1464 e impreso en 1533. En ellos apareceuna nueva demostrac.ión del teorema del seno de la trigonometrlarectilfnea, el teorema del coseno para los triángulos esféricos' unatabla ~~o apéndice junto con la tabla de tangentes, de "dobleentrada para el cálculo de los valores de una fórmula de triángulos esféncos rectángulos, y una serie de problemas relativos atriángulos planos con la innovación de resolverse mediante el álgebra retórica, aún en los casos en que la solución geométricapodña hal?er sido más simple. También introduce la innovaciónde dar métodos generales, prescindiendo de los vaJores numéricos que no elige previamente COmo sus antecesores.

Se debe además a Regiomontano un A,Mndice a los Elementos, donde considera los pollgonos estrellados con el estudio relativo a los ángulos exteriores. En su correspondencia aparecenproblemas de análisis indeterminado semejantes a los de Leonardo ~o; un problema de máximo, el primero después de Apolomo; y un problema geométrico. que cuyo planteo lleva a unaecuación cúbica que Regiomontano no resuelve, aunque reconoce en ella un problema de trisección.

Un acontecimiento cultural del siglo XV que tendi-á notablerepercusión cientlfica esel invento de la imprenta con tipos móviles de mediados de SIglO que 13cilitó extraordinariamente latrasmisión.y difusión de los escritos cienlificos. Ya dijimos que laversión latina de Campano fue la primer,¡ edición impresa de losElementos de Euclides en 1484, aunque fue especialmente durante el siglo XVI cuando se dieron a la imprenta las obras matemáticas clásicas de manera que a fines de ese siglo ya en idiomaongmal, ya en versión latina los estudiosos estaban en posesión

193

•;

l J

de los escritos más importantes de Arquímedes, Apolonio, Diofanto, ...

Con lodo conviene recordar algunos incunables, es decir, impresos del siglo XV ,de interés matemático. Fuera de algunas aritméticas prácticas publicadas desde 1478 en Italia y Alemania, (3)el íncunable más importante es probablemente la aritmética deJohann Widmann, aparecida en Leipzig en 1489. Comprendetres parles, la primera de las cuajes, sin mayores novedades, sededica a las operaciones aritméticas con números enteros y a lasprogresiones arihnéticas y geométricas; la segunda parte trata delas fraccíones, de las proporciones y problemas de tres y comercia.les; mientras que la tercera parte es geométrica.

La novedad que aporta la segunda parte es que en eUa aparecen por primera vez los signos"+" y .. -". aunque no en la fonnapuramente simbólica con que hoy se utiüzan. El signo"+" no essólo signo de la suma, sino más bien sustituye a la cópula "y",mientras que el signo"-" no es usado exclusivamente en la sus·tmcción, pues en ocasiones aparece la acostumbrada palabra "miI1US". De todos modos. el autor no indica el origen de estos signos.de manera que accrca de lal origen pueden tejerse y se han tejídotoda clase de conjeturas.

La parte geométrica del libro de Widmann es irregular: allado de reglas, erróneas para las áreas de figuras rectilíneas, aparece el cálculo correcto del radio del drculo circunscrito a untriángulo del cual se conoce un lado, su altum y la proyección deotro lado sobre él. Pero estos problemas geométricos, como enRegiomontano, no son sino pretextos para apücar las reglas aritméticas.

Otro acontecimiento cultural del siglo XV • que tuvo influenciaen el desarrollo de la geometría fue la feliz conjunción que serealizó entonces entre la ciencia, el arte y la técnica. Asi es comoespecialmente por obra de artistas las antiguas consideracionesgriegas y árabes sobre la óptica geométrica dieron origen a unarama de la geometría: la perspectiva. Las primeras obras europeas con ese titulo: la Perspectiva co",,,,unis, de Jobn Peckam, yla De perspectiva, de Witelo, ambos del siglo XJII, no eran smoreelaboraciones de la óptica de Alhazen que, sobre la de Euclides, tenía entre otras la ventaja de considerar los rayos visuales

194

partiendo de los objetos y no del ojo como lo hacía el geómetragriego.

Pero durante los siglos XIV y XV la perspectiva va perdiendosu antiguo significado para convertirse en una rama de la geometría, cuyo problema capital es la intersección con un plano (elcuadro) de las rectas que, partiendo de los distintos puntos del espacio, llegan hasta el ojo o en términos más geométricos, la intersección de un plano con un haz de rayos. Es explicable que esteproblema geométrico haya surgido en el seno del arte pictórico yen una época en que muchos pintores trataban de investigar losfundamentos cienti6cos de su propio arte. A esos pintores y a taltendencia pertenecen Filippo BruneUeschi, Lorenzo Cbiberti y,en especial, Leon Battista A1berti a quien se debe, entre otrasobras, una De pictura que escribió en latín y en vulgar, en la queresume las consideraciones de la época sobre la geometría aplicada al dibujo y a la pintura.

Estas consideraciones dieron lugar, algo más tarde, a un tratado especial: el primero en su género, que escribió en latín,pero también en vulgar el pintor Piero della Franeesca a fines (IelsigloXV: De perspectiva pingendi "proyección central", donde aunen forma embrionaria aparecen las primeras nociones de la ramade la actual geometría descriptiva. En ese tratado, que no se publicó hasta fines del siglo pasado, se exponen: en la primera partelos principios generales, en la segunda la proyección de cuerposregulares y en la tercera de cuerpos irregulares. Otra obra defiero deUa Francesca en latín sobre los poliedros regulares, quePacioli hizo conocer más tarde en vulgar.

Dos artistas egregios se ocuparon de perspectiva: Leonardo yDürer, quienes, por lo demás, también contribuyeron en otrasramas de la matemática.(4) Las consideraciones sobre perspectiva de Leonardo figuran en la compilación que, en 1651, apareciócon el nombre de Tratado de la pintura. Es posible que talesconsideraciones fueran tratadas por Leonardo en forma especialpues se tiene noticias de que a mediados del sigloXVI, un par dedecenios después de su muerte, circu.laban manuscritos con talesconsideraciones.

En cuanto a Dürer es interesante destacar que en sus escritosintrodujo el uso de las proyecciones horizontal y vertical, que

195


A'---;---f;----:....---1Dt N

F

v

e

v

E

B

(1) La "regla tk Merto,," y Ores...e. Li "regla de Merlon", tal oomola eX.PD~e grá6camente Oresme, es la siguiente: Si Be es la gñ6ca de unmov~lIento unifonnemente acelerado, el trapecio ABCD representa elespacio recorrido durante el tiempo t=A.D. Como ese trapecio equivaleal rectángulo de base AD y altura MN base medía del tra· I. . ,. pecto, aqueespaao ~rá el recorrido por el movimiento uniforme, cuya gñ6ca es EF,de velocidad o.=MN media entre las velocidades o=AS iJticiaI V-Definal del mo~imiento unifonnemenle acelerado. Li justfficaeiÓ/a1gebrai:ca es mmediata. En efecto, el espacio recorrido por ambos movimientoses e = 0_/ = V. (o+ \1) /, pero, poda ley del movimiento variado V _ ¡; + gt

SIendo g.~ constante, yen deñnitiva e • vt + '/igtl, que es la ley deese movumento respecto deJ tiempo.

i~c6gnitas se indican mediante el exponente aplicado al coefiCiente, aparecIendo en algún caso el exponente cero y el - 1; lasuma y la resta se md,can con las síncopas p y m, '" (6)

Flg.26

En~to a Jos movimientos a.rti6ciaJes de "CaJcuJator" y de Oresme,son los slgwentes. El primero oonsidera Wla serie de movimientos uniformes, taJes, que los intervalos sucesivos de tiempo foOllan una progresión

tres siglos después sistematizaría Monge; sin embargo, no encontraron entonces igual apoyo que los métodos de proyección central de la perspectiva.

Oiscípulo de Piero della Francesca y vinculado con el mundode artistas y técnicos del Renacimiento italiano, fue Luca Pacioli,a quien se debe. entre otras obras. una Summa de Arithrnetica,Geometría, Proportioni et Proportionalitd, impresa en 1494, decarácter enciclopédico y resumen de todo el saber matemático dela época, cuyo objeto fue poner ese conocimiento a disposición delos técnicos, artistas y comerciantes. por lo cual la escribió enlengua vulgar. aunque con más precisión habría que decir en unamezcla de latín, de italiano y de todos los dialectos de las numerosas regiones que Pacioli visitó o en las que enseñó. Sin contar elentusiasmo que Pacioli muestra por la matemática en todos susescritos(5) su mérito principal consiste en haber ofrecido en especial en su Summa un arqueo del saber matemático de su tiempo, que sirve muy bien de jalón para apreciar los progresos realizados desde Leonardo Pisano y para medir también los avancesque se harán en los siglos sucesivos.

Aunque en la obra de Pacioli ya hay importantes atisbos enmateria de simbolismo algebraico. en este campo son más originales las aportaciones de un francés, Nicolás Chuquet, que porhaber permanecido inéditas. ejercieron menor influencia. Aparecen en una obra compuesta en 1484, en tres partes, de ahJ sunombre Le Triparty en la science tÚs nombres. Ul primera partecomprende las operaciones con enteros y fracciones, dando explícitamente la regla de los signos para la multiplicación y división,en la segunda parte se estudian las raíces y sus operaciones quemaneja con gran desenvoltura, utilizando la multiplicación por laexpresión conjugada para racionalizar denominadores. mientrasque la tercera parte se ocupa de la resolución de ecuaciones queChuquet denomina "equipolencia entre números" cuadráticas oreducibles a cuadráticas. Como apéndice, el manuscrito del TriI'arty trae una colección de 166 problemas, probablemente delmismo autor.

Es posible que la mayor originalidad de Chuquet resida en elsimbolismo: aparece como signo de raíz la letra R con un exponente 2 ó 3 según sea cuadrada o cúbica; todas las potencias de las

196 197

geométrica de primer ténnino y razón 1/2, mienb'as que las velocidadesson los ténninos de una progresión aritmética de primer término y ra

zón 1; y Uega a '" conclusión de que el espacio toml es el cuádruplo delespacio recorrido por el priJrer movimiento, es decir, 4. 1/2=2. En efecto,la suma de los rectángulos de área 1/2; 2/4 ; 3/8; ... C<luivale a la suma de)osrectángulos de altura unitaria y bases 1; 1/2; 1/4; .•• , que es 2.

El "movimiento" de Oresme es aparentemente más complicado pueslas áreas parciales son alternativamente de rectángulos y de trapecios. Enefecto Oresme considera, con igual división del tiemJD en intervalos comoen el caso anterior, una suma de movinlientos alternativamente uniformes y unifonnement'e acelerados, tales que sin discontinuidad en cadamovimiento variado la velocidad fioal es doble de la inicial, de maneraque al partir de un movimiento uniforme de velocidad 1, los distintosespacios recorridos serán Y2; ~8; J/4; 3J 16; ... Como en definitiva se trata dedos progresiones geométricas de ra:LÓn 1/2, cuya suma respectiva es eldoble del primer ténnino y como el primer término el de la segundaserie es 3/.. el siendo el el primer término de la primera serie, el espaciototal recorrido será 3/ 7/4 el que es el resultado que da Oresme, es decir,en la fonna de los 'l. de e,.

(2) I.m rectificaciones aproximada. de Nica/as de CIl..a. Según el Gusano la circunferencia es ibruai al perímetro del triáJlb"Ulo equil:itcro ins·crito en un círculo cuyo di3netro es el radio de la circunferencia a rectificar más el lado de su cuadrado inscrito, regla que equivale t'omar para1T el valor 'l. V3(l + v'2) = 3.136 ...

Como solución del problema inverso de la rectificación da la reglasiguiente: Sea ABe un tri:ingulo equilátero de centro de gravedad e y Nun punto sobre AB tal que AN = J/4 AB. Un segmento igual a los 5/4

de GN es el radio de la circunferencia de igual perímetro que el deltriánb'Ul0. En esle caso el valor aproximado de 11' es "'135 v'2f = 3,142. , .

Por último, figura en los escritos del Cusano la siguiente recl:ificaciónbastante aproximada para álgulos menores de ~; Si AH es el arco deuna circunferencia de radio r y D un punto de la tangente en A. aline-..docon ny un con un punto e situado sobre la prolongación del diámetro deA a la distancia 3r de éste, el segmento AV es aproximadamente igualarco :\8. Se comprueba que para arcos menores que 3()0 el error relativoes menor que 3.10-4

,

(3) Las primeras aritméticas impresas. El primer escrito matemáticoque apareció impreso es una Aritmético llamada "de Treviso", pues fuepublicada en esta ciudad en 1478. Es una obrita anónima de 62 páginasde h-.dole práctica que trata de las cuatro operaciones y de la detenninación de la fecha de Pascua.

198

Cuatro años después apar·ó .cual no se conservan sino Era ecl

enuo.e~to semejante en Bamberg del

",lente un ejemplar de esta '~tn:;l~ntras que se con~erva actuaJSIguiente. Es una obra algo más Iar¡p. Iae Bamberg publtcada el añomente a los cá.I J que antenor, dedicada especial·

cu os que se presentan en las tran .no se ocupa de las fechas d p , . saoclones comerciales;d I . e ascua, en cambiO trae reglas n" ..... 1,

e os numeros naturales y d té . Y-" a sornaE 1484 e nmnos en progresión geométrica

n aparece en ItLlia otra aribnética ,(_ . .conocido' Pierro Bo.....l..· . pr...,;tica, ahora de autor

. '&d, sm mayor valor respect d las .que contó, hasta fines del siglo XV! 15 edi' o e aJltenores, pero

• canes.

d(4). La matemdtica en Leonardo lJ en Dürer. Las libretas d

e Leonardo muestran b e apuntes,como las 'd ' que poseía uenos conocimientos matemáticoscomprue,:ns:.s7::nOto'eso¿,~eCOapartrieceb~ en el Tratado de la pintura I~

al ' u <U n UClones de caráct .tot mente desvinculadas de su di'6 d er geométrico noque hasta pueden calill d .con CI n e artista; entre cUas aJgunaslas lúnulas de Hip6crat~ e J.uegos. como ,sus variadas aplicaciones de

equivalencia del semicirc~lo';;::;;:::::Ic;;:;::en~ode la propiedad de laángulo central el semirrecto es e ye sector CIrCUlar OAB demixtilJneo ABOB'A'A ' . claro que duphcando la figura el recintocuadrable. es equIvalente al triángulo AOA' y, por tanto,

"Fj¡. 27

}s probable que este tipo de juego lo Uevara a investigar el problemaan..ogo, pero referente al espacio sob I aluatado· Sob-e la t,r, .L re e cu se propuso escribir un

. " ransJo"naCionel Uf: • d·· .mento de materia. WI ClUrpo Sin umUlucion O au-

199

'Ji

Las 6gurolS regulares atrajeron a Leonardo, pues en sus manuscritosapan."CCo numerosos dibujos y propiedades de esas figuras: construcciónaproximada de polígonos regulares, no construibles exactamente con regia y compás, Yes casi seguro que le pertenecen las figuras nada filci1es dedibujar, de los poliedros r~lares y semirregulares llenos o huecos cuyascopias iluslran el manuscrik> códice de la Divina proportione que, en

1498, Pacioli ofreció a Ludovico ü Moro.Agreguemos que también se le deben dibujos y proyectos de instru-

mentos matemá.ticos como compases de proporción Y un parabo16grafoque probablemente construyó Y utilUó en la construcción de espejos

parabólicos.En cuanto a Dürer adem:1s de utilizar las proyecciones horizontal y

vertical en su escrito sobre las proporciones del cuerpo humano, se ledebe un tr.ltado geométriCO que en versión latina es InsWutionem geornelriGarurn, donde se ocupa de curvas, de superficies y de sólidos, asfcomo de ob'aS cuestiones, cuyo objeto era poner a disposición de losartistas construceiones geanétricas que porllan serles útiles. Se le debe lainvención de una curva de cuarto grado Y del aparato para construirla as!comO construcciones aprorimadas para trisecaf ángulos, Yconstruir polígonos regulares, Por la foMa "artística" que comporta puede ser de interés seilolar la construceión del eneágono. Con radio 3r dibuja la °llor detres pétalos" mediante los arcos de ese radio con centros en los vérticesde un triángulo equilitero; luego, corta la figura con la circunferencia deradio r considerando como lado del eneágono inscrito en este segundocirculo la cuerda que une los puntos de su circunferencia situados en los"bordes de cada pétalo". El método comporta un error relativo del 2 %.

Recordemos, por último, qQe en su grabado Melancholia aparece uncuadrado má.giCO de 16 casillas; sin ser una novedad es uno de los prime

ros que hacen su presencia en Europa occidental,

(5) La obra de pacWli. Ul Summa de Pacioli se compone de cinCOpartes, de las cuales la primera se ocupa de aritmética Y de 41gebra. lastres siguientes de aplicaciones al comercio. mientras que la última esti

dedicada a la geoinetrla-La parte aritmética se inK:ia con una serie de consideraciones místicaS

sobre los números par'" luego pasar a las operaciones con números "sanos" (enleros). Para la multiplicaciÓn da ocho procedimientos y dos parala división agregando en cada caso la prueba del 9 y del 7, pues la del 9"no es muy segura", Siguen luego operaciones especiales: progresionesaritméticas y geométricas, suma de los números naturales, sus cuadradosy sus cubos, extracción aprolimada de la ralz cuadrada. A continuación sedan una serie de problemas: del ajedrC'Z, de los móVUes de malem'tlca

200

recreativa, ... después de lo cual 1-que escribe en la forma actual pasa a OS numeros "rotos" (fracciones)"denominator" enseñand :parando con una raya el"numerator" delascendentes.' .. o a escomponerla según &acciDnes continuas

Siguen una serie de problemas de ari .les se destacan algunos del ti h U tmébca comercial, entre los cua-Pacioli da soluciones bastan: aY, amados trascendentes de los cualesma concreto que llevarla a apro~. Por ejemplo, en un proble-

pónuestra ecuaCIón 1: 2' ... 30 P 'ti

rtanteosque3<x<4'hacid '. aClO encuentrasustitución tomando ap:c,. ~~_~portanto%=3+yyenelresultadodela

UXlfflaualnente por ser ñ 2'

ega a una ecuación de segundo • y peque o, - IJ + 1¡valor exacto es 3,22 ... ). grado queda para xel valor 3,179 ... (el

Otra 'ó, , ecuacJ n trascendente, de reminiscencia babiJ' ,mcógruta el tiempo en que se du lica un . , óruca, tiene comola tasa " del cual Pac.ioli da 00:0 sol ,caPital a mterés compuesto contérmino del desarrollo en sen d la ,ución ":t,. Actualmente el primer

Dese e mCÓl9Úta seria 69 3 /t

pués de una serie de conside ' • '" ,tema al cual P'''oli d.~'.< raciones acerta de las proporciones

-.... ewuJ en sus estudios refl . I

considerar problemas resuelt l p erente atención pasa anombre árabe recuerda, y 6nalmos por e ~étndo de falsa posición, cuyo

libenle eslima haber 11_.... al b' d

su ro que es el álgebra que inicia las" u...-~ o JClO efraseamos: "Hemos llegado con sJg\uentes palabras que para-decir, a la madre de todos;:n ayuda del Dios a la meta deseada; valeArte mayor o Parte especulati casos que e vulgo llama regla de la cosa ocabala en lengua "abe o caI;a, pero:llmbién llamada Algebra y Almuequivale a restauración y opo .a

ó• se~b°tros y que en Duestra lengua

b.•. SlCl n. "",e ra id ut r'~ oo" I

ca aw id esl oppositionu", ~.aura nu. A mu-

Si en la parte puramente técnica Pacioliantecesores es en cambío ínter t la no, va mucho más alI1 de susutilizarlas que car1lClerizan es esan e .ternunologla y las abreviaturos

entre el 41gebra retórica y e~.;ta::,.de. Algebra sincopada" intermediapalabras pI... y mi.... con ge sunbólica. As! PacioIi abrevia lasDUesb'os sígnos + " _, ' dicaP YIasm• letras que funcionan entonces como

cruzada' ,m ralees cuadradas •b'

por una raya oblicua 'da d Ycu 1ca5 con una Rte. A la incógnita la llama .,::.~~ d número 2 y 3, respectivamenincógnibl ésta es denominada ~ti~v" ro (cuand? bay una segundapalabras especiales y abreviaturas ), y a sus distintas potencias consignar las potencias de respecbvas. Claro es que bastaba de-

3 exponentes primos' asl 'ce, x es cubo, abreviado 5 ,x es censo, abreviadodo relato, abreviado .zoro~'~( ~ Pn;no relato ~breviado pOr'a, Xl .secon·es muy consecuente pues~ queU=I~a:;ent~ astalax~ (en r~dad nor pnmo re t10 de pnmo"9-S'I'f'..'l......

~~l 04~ it. %>

;:: ....""<;;<)1 ~...... .~ <>,..- I"\~ ~~ '- .....

I Q

lo designa attuoo relato). Otra abreviatura empleada es De por la palabraaequal" (igual).

En sus ecuaciones no aparece ninguna novedad. o admite númerosnegativos, pues "es claro --dice-- m 4 es menos que n¡¡da". Sin mayoresespecificaciones considero! imposible la ecuación de tercer grado, y alresolver las ecuaciones se deja Uevar a veces por el algoritmo algebraicodando soluciones no enteras para problemas que sólo admiten ralees deesa naturaleza.

Las tres partes siguientes de la Summa tienen menor interés matemático: se refieren a la contabilidad y teneduña de libros, con una extensaaplicación a la llamada "partida doble", innovación técnica medieval probablemente italiana del siglo XUL Un problema que figura en estas pactes, no resuelto en fonna satisfactoria por Pacioli, sobre el reparto de lapuesta entre dos jugadores antes de tenninar el juego, tiene interés histórico, pues reaparecerá un par de siglos después con el advenimientodel cl1culo de probabilidades.

L..'l quinta parte de la Summa se dedica a la geometría y en ella seexponen las propiedades, sin demostraciones. relativas a figuras planas ydel espacio con sus áreas y volúmenes. Más original es el final del libroque comprende 100 problemas geométricos: gráficos y métricos. Estosúltimos se resuelven algebraicamente y en algunos casos complicándolosinnecesariamente; como en el caso de detenninar los lados de un triángu.lo conociendo el radio del drculo inscrito y los segmentos en que el pun·to de tangencia del circulo divide a uoo de los lados. Eu lugar de apUcarel teorema de BefÓn, que conoce, y que resolvería el problema medianteuna ecuación de primer grado hace un largo rodeo que lo obliga a calcular10 segmentos intermediarios y resolver una ecuación de segundo grado.

Una segunda obra de Pacioli, que publicó en 1509, es DiuiFUl proportione, de escaso valor matemático en tres partes. La primera es un estudio, más místico que geométrico de la "divina proporción", es decir, ladivisión en media y extrema razón con algunas propiedades sin demostración; la segunda se ocupa de arquitectura, y la tercera no es sino laIraducción en vulgar del escrito de Piero deUa Francesca UbeU.. in 1,.,purtiales tractatus divisus quinque corporum regularum; en verdad laparte más matemática de la obra, donde se tratan problemas g'eométricosacerca de triángulos, polfgonos y poliedros, cuyo objeto es detenninarcon ejemplos numéricos, longitudes, áreas y volúmenes de figuras planasy sólidas.

Una tercera obra de Pacioli, inédita, es una colección de problemasaritméticos y geométricos del tipo de la matemática recreativa, con agre-.garla de refranes, anécdotas, etcétera. En general son problemas ya co-nocidos, como novedad pueden citarse los cuadrados mágicos. de los que

202

Pacio/i les da e' 1

vincula COn los ~~:~:e~u;;::~:t~' 16: ~, '" BI casillas, que(6) El Tripart anüguedad.

este libro E . Y de ChUquel. Mencionemtid d b n Ciertos sistemas lineales os un par de ejemplos de4 o e . generalización, resolviendo muestra Chuquel un claro sen-

, 5 ~oes del mismo tipo U . ordenadamente sistemas de 3Hallar ClDCO números tales qU~ c::aeJem~'o de interés es el Siguiente:~ente, a la suma de los r~stantes uro e eUos sumados, respectiva~SIempre 40 Chuquet Uega al esuJtadpor l., '1" 'l.; '/" 'l. el resultadorente del actual r o media.nt es

y en que aplica en . e un método no muy dúe~pIe, ~ro el interés del resultado e

CJertomomento la falsa posición sim_

negabvo, PUes los números . s que en él aparecen valores nuloque Chuquet llama "menos ~;30. 20, 10; O, -10 (número este últim:

En las ecuaciones _."L< •nula (la . ' ........ücas no reconoce

ecuación 5x2=o: 9:t-I no tiene .' en cambio, la SOlución

rr~tamente, COmo imPOSible una rab.~Ju~~~, mientras interpreta ro-. e aque una ecuación .;. ...'L< . cu_aaa de radicando negati

ClÓO algeb . ' ........üca resuelta Ch vo.nuca y. a la derecha su b'ad . por uquet COn su nota-R;,,: p 41P21 P1iguaJ a JOO' UCC1ón COn el simbolismóactualR 4 1141 de una V4x§ + "42 P 4J • uaJ parte y 99 m 21de la olrol V~ x +. 2.r + J - 1004()()1 Ig a 9601 /ti 396' P 42 4.r2 + 4x - 99 - 2.t .

de una part ~n 4I' +..., ~nDe do d e y "",,1 de la o.,. ~ _1 .. J96z + ...,.Il e se deduce fo1cilmenle el valor d L. 400x!. 980J

e liI lIlCógnita.

203

TABLA CRONOLóclCA

Milenio lIJ a. C. Estin en vigencia dos sistemas de numencl6n C$Crita: el sistema sexagesimal (POSicional) de los sumerio¡ y el siS"lema decimal(aditivo) de los egjpcl<». Probable época de la fijación del ca·lendario solar egipcio de 365 días.

Milenio U a. C. tpoca de las tabuUas matem4ticas con t~cos cuneifonnes descifradas en este siglo (ecuaciones de segundo grado, método de&lsa posición. teorema de Pi~oras. tripletes pitagóricos, ...).

s. XVU a. C. Epoca del mú importante documenlo matem'tico egipcio: elpapiro ~UNO.

c. 1000 a. C. Los babilonios cl.tienden a 101 drcuJos celestes la división deldía en 360 putes.

s. VI a. C. Epoca del legendario PrrÁCOMS y de la fundación en CJOtonade la escuela O secta de los pitagóricos, a quienes se atribuye elnacimiento de la matemjtica como ciencia deductiva. Se les debe: propiedades de los números (números Ggurados. amigos.perfectos); el teorema de Pitjgoras y los tripletes pitagóricos;los problemas de aplicación de lÚcas y el descubrimiento de los-irracionales", aunque la primera nolícia de tal descubrimientoaparece en Wl Escolio de ARlSTOTEJ...Es.

529 a. C. Se produce un eclipse de Sol que habría predicho TALES deMUeto, a quien por lo dernis se le atribuyen conocimientosgeométricos,

s, y a. C. "Siglo de Pericles", en el que nacen y se estudian kliS ~proble

mas clisicos" de la geometría griega: la trisección del ~ngulo.

la dupHcaclón del cubo y la cuadratura del circulo. F10rccenen él H1POc:Jl..\TES de Quio, que se ocupó de la duplicación delcubo el inventó. en conexión con el problema de la cuadratura.las "lúnulas" que Uevan su nombre: Fll.oUO de Crotona. pitagórico que habrla divulgado los conocimientos secretos de lasecta: fiODORa de Cirene que demostró la irracionalidad devarios números; ZENON de Elea, autor de ~mentos, algunos

.. de (ndole matem'tica, contrarios a las ooocepdones de los pitagóricos; HJpw de EUs que, al ocuparse de la trisección. inventóuna curva llamada mlis tarde "euadrabiz" por su aplicación alproblema de la cuadratura; y AJ\QUrTAS de Tuento que se ocupóde la duplicación. - En este siglo el sistema de numeración griego con letras comienza a desplaz.a.r un sistema m:is antiguo llamado mis tarde ñerod..Wlioo",

205

S. IV a.C.

c. 300 a.C.

S, IIJ a. C.

S. IJ a. C.

46 a. C.

S. I d.C.

206

Siglo de la Academia de PLATON y del UC(,.'O de ARlS1'OTEl.Es.Con la Academia se vinculan EUDOXO de Cnido, a quien se debe el método mlis tarde Llamado de Mewuci6n" y una teoriageneral de la proporcionalidad; 1):1:.11:.70 de Atenas que seocupó de irracionales; MENECMO a quien se all'"ibuye el inventode las cónicas; y su hermano OINOSTRATO que se ocupó del problema de la cuadratura. . Con AfuSTOTELES, que se ocupó de losprincipios de la mateml1tica, se vincula EUDEMO de Rosas aquien AIUSTOTELJ:':S encomendó una compilaci6n de los conocimientos geométricos de la época. - También pertenece a eslesiglo OEMOCM'O de Abdera, el fundador del atomismo griego,a quien ARQUIMEOES mendona con motivo del volwnen de lapirámide.Florece Eucuot:S de Alejandría, aulor de Elementol de ge()fM'ria, sistematizaci6n de gran parte de la geometría griega.• Probable fecha del sistema vigesimal (posicional) de numeradóade los mayas.Pertenecen a este siglo AHQutMEDES de Siracusa que dejó vinculado su nombre con la hidroslática, con la teoría de la palancay (.'On una espiral. Se ocupó adem4s de la medida de la circtln·ferencia y de divenas cuestiones de aritmética y de geomebiaplana y sólida, llegando mediante un origina.! método de suinvención a resultados que luego demostraba rigurosamente porexhaución; y AJ'OLONIO de Perga II quien se debe el tratadogriego mlis completo acerca de las CÓnicas. - También florecenen el siglo ERATÓSTENES de Cu-ene que, adem4s de reallzar laprimera medictón cienUfica de la Tierra, se ocupó del problemade la duplicación; NICOMEOES que se ocupó de la trisección; yARISTARCO de Samas. autor de un sislema planetario heli~n.

trico que aplicó la matem4Uca a la astronomía.Florecen en este siglo HtPSICLES de A1ejandria. autor de unsupuesto "Ubro XIV" de los Ekmentos de EUCUDES, que seocupó de poliedros regulares; T'EODOSIO de Bitinia que publicóel primer tratado de E,/érica, HIPARCO de Nicea. astrónomoque sentó los fundamentos del sjltema geocéntrico que luegodesarrollari ProLOMEO¡ y OIOCLES. que se ocupó del problemade la duplicación.• Edad de oro de la astronomCa caldea. • Probable época del tratado clásico chino: Ltu regúu de c4lculo ennueve parte, de CHANC TS·ANC.

Julio CtsAR introduce el año bis~lito en el calendario (reformajuliana).Florecen en este siglo NICOMACO de Censa, autor de un tratado elemental de aritmética; MENEUO de Alejandría que seocupó de geometría plana y esférica; y HE RON de Alejandrla,autor de filiaci6n discutida que se ocupó de matem4tica y detécnica, a quien se atribuye un teorema de geometría plana quelleva su nombre.

s. 11.

s. fU.

s. IV.

s. v.

,

S. VI.

S. VIJ.

s. VIU.

s. IX.

s. x.

Pertenece a este siglo el astrónomoa quien se debe una '"Tabla de rdas~LOMEO de Alejandríautilizó teoremas que 11-... eue

b' en cuya COllsb'ua::ión

.... su nom ~.

Aparece la Colección matemdtica d Ptematización de la matemáti . e APPUS de Alejandría, sis·Probablemente de este siglo"" gnoega con mucho de original.obra se es IOFANTO de Alejandría eu a

COnecta hoy COn la matemliUca de los bab'loo' ' )'se ocupó de teoría de números . I lOS Y queindeterminado en su Arltm¿,ico.' pero en especial de an4lísis

Pertenecen a este siglo: 1);ON de AJejandrfa, cu a ..Jos Elemi!"'o.r de EUCUOES . 'ó de base y revu:ión demodernas de la obra.; y su h.i~rvl ~ las edicionesque coment6 autores anti :,la liu'AT1A, también matemáticaen los tumultos entre ¡uos, rec:ord4ndosela por su muerte

. paganos y cnstianos.Pnmeras manifestaciones .L 1_

S',UL ~ ~ malem'tica hind' E 1OUUI"Wln'G obras de 1 dol u. n os, D e astronómica, .

arcos mediante las C\Ie-.L~ ya no se miden losla . IWU, como en ProLOMlO' odian

semlcuerda yla a h ( , SinO m . te. ce a nuestros seno la .),1' •radio y el coseno) La con!' y Wlcreoc¡a entre elsedala en la obra' del hind~Y~:: una labia de senos" seocupó también de an4Jisis ind . TA de este siglo, que seros). _ También pert eterminado (con números éntc-

coecen a este siglo nrroclO d~mentarista de autores griegos; y el fdósofo Aloc e ~Olla,CIa. autor de un importan. . LO de BlUUl·

e comentario a.! "Ub •Eler1lCltOl de .ElICUDES. ro 1 de 105

Desde comienzos de siglo esb1 establ id lnumeraciÓn decimal de origen hindú &:Et e actual sistema depone tratadOS' elementaJes de aritmé~ romano 8ot:clocom.tituyeron textos durant 1" y.geometría, que cons·a e os empos medievales.

RAHMACUPrA se OCU..... de ••", .. in<!- iI,Il4US eterminado

En las escuelas del reino franco se ¡m la'quadrivfum: aritmética ~e enseí\atua delQCu rd ' geomeb'!a, muslea y utronornta de

e o con el plan 6jado por AJ..cUlNO de York. '..Comienza el aporte 4rabe a la matc:rn4 .ducciones y obras o 'ni~~1 tica, en matena de tra·

n.........cs: AL·Iú'lM'AJUZMI comArl~tica que contribuyó a difundir el ,lstem d . pone unameración y un tratad -1,~.. a eamal de nu·

o, que lUO nacimiento a.! 41 b .,resolución numérica d la' ge ra. con III

e ecuacl6n de segundo .-...1comprobación geométrica'furr b QJ 6' ....0 Y sual árabe y da la mlb anti' r . llJ!A traduce obras griegasgos"; AL-MAllANl tradu ~ egla.para obtener Mnúmeros ami·tricos no red 'bl ce gebnucamente problemas geomé-

, UCI es a ecuaciones cuadnliticasEl lIrabe Aau AL,W"'F .CfRBERTO de Aun ~ se ocupa de las: funciones circulares.hjndúes (sin el cer~ divulga en Occidente el uso de las cifras

207

S. XI.

s. XII.

S. XIII.

S. XIV.

c. 1340.s. xv.

1482.

1484.

208

Apogeo de la matemática árabe en Orimte: Auu.uN .. acv,.de matemática y de óptica; Al. KARIII da una dc.....tnd6a ...métrica de la suma de los cubos; OWAI' ~rYAW c::I.ua6ca, ,..suel,,'e las ecuaciones hasta las cuútic::as. en bma~o geométrica.En la Iberia musulmana CEBER Oabir b.A1bb) ¡e ocupe. ele .....gonometrla esf~rica. - El hindú 8ASIIl:ltAM ~ ocupe de~Comienza el periodo de la trasmisiÓn a Oc::cid.cDc. del ....irabe (en gran parte de origen griego): ADEL4&DO di: )RoBERTO de Chester traducen a A!.-~UWA.Aa.WJ; n ~JUAN de Sevil~ y Domingo CUNOISALVO tndIK'CDca~ciÓn pasando por el castellano; ili,'Ualmente tndYOaO ea~raciÓn del hebreo al latín ÁBRA.IIAW bar Kiyya '1 PLAl'OfiI de nvolí; culminando la era de los traductof'e:S coo la~ •Toledo '1 Q:RA.RDO de Cremoa; a quien se debe b~de una quincena de autores griegO$ y iraba..En Oriente florece al trabe NASI" AL-DlN. mieatnl .. Sic:6.CUIl~.ERMO de Moerbecke traduce direetamcotc dc.I ..latín. - Comienza el despertar matem.4.tic:o en <">.:rk'= ,..NACCI propugna el iÍstema de numel'lOÓO c:Lcd.m.a1 d _ Lar.wabad de l202 '1 se ocupa de teoría de nÚl:llel'OS. Q.p:ln,..meb1a; un JOROANUS Nemorarius se ocu~ de 41&ebra:: c..I'ANO traduce el Euclides; y el astrónomo SAaloI())(X) ....de arilm~tica. Fuera del aunpo estrictamente me! .'''m elescol4.stico Ramón LuLL tnlta CUestiooCi de l6p:a.Florecen el chino CflU SU1.cIU~. ea cuya obra~ ti¡HbÜnguJO aritrnético

H; y el ingl~¡ BI\A.DW.w>Ul&, ..... de..

Ceometrlo especulotitlO. • La trigonometrla 100 dcarroI. ,.obra del judío LEvl b. Cerson y el inglés WA.l.UJriCI'OtA .. "estudia el movimiento unUonnementc variado ea b-....por el francés ORES~E y en i>rma retórica por bn.TrESBURr y -CAlCULATOR- (Regla de M..-j.

Se menciona el método de contabiJidad por putida cIaWa.El filósofo Nicol1s de CUSA se ocupa de dbtintu e_,,'__matemáticas.• En la segunda mitad del sido Jo. awc-m.PEufUlACH y RECIO~O"'TANO compUan lablas de~culares. - Aparecen 101 primeros b'atacb de uil:l:Mtka .....sos; Treviso (1478); de Pietro BoJ\C1II (l~) Y de~(1489); en este último. $e introducen 101 lÍgPOII + '1 - •• A'"de siglo. PlEItO della Francacacompooc un tnuadodt .......tiva que circula manuscrito.Se imprime el Euclides de CutPAHO (mejondo). • 1 5 M'"eda Vinci inicia su carrera de ingeniero. durante la CtMI ..de variadas cuestiones matem4t:i<:as.u tripa,.,!! en lo sclence de nombrrl de CUUQUET qu. tna"aritmética. álgebra, simbolismo. raciona1.i.ucióD de f bdores ...

149<1.

c. 1506.

1509.

1525.

lS3J.

PAClqU. Surumo ck Aritllmetica Ceomet-'- pProponwnoJitd 'na, roporlioni etÉ • resumen de la matemá.tica medieval

poca en la que DEL FERRO LL _ca trinomJa. . lUiD resuelto una ecuación cúb¡"

PACIOU. La divin<J P n:iónTratado ck 11» ropo que tTae como Apéndice unPJERO delta Fran eutrpo.r regulare.J (sin nombre de autor) de

Al cesca, compuesto en 1487. - En libri de tri lid~::::'R varo TOMÁS suma series convergentes. P

. se ocupa de cuestiones geon:wHricas de .mtroducíendo las proYecciones horl.wntaJ Y . perspectiva.CO$.J &sOOLFP ino-.·I l' y vertical.• En DieA . uuultce e SignO de raíz.

par"""h póstuma DtJ trkmguli.r de RECIOIotO/'(J'ANO bpuesta QC' 1464 ' o ra como

la. • que constituye el primer tTatado de trinometrla de unportancia en latín. gc>

209

íNDICE DE AUTORES

·AL·RAz, (865-925), 170.At.-ZARQAU: In.

AJ.rrIClAS de HcracJea (s. IV a. C.): 38.AN"x.(CORAS de Clazomeñe (s. va. C.):

38.

ANAXJMANDRO de MiJelo (s. VI a. C.):39.

ANAXfwI:.Nu de MiJero(s. VI a. C.}. 39.ANTlroN (s. v a. C.): 54.APOLOHIO de Perga Ce. 190 a. C.): 63,

70. 79, 112, 113, 114, 115. 116. 117,lIB. 119, lOO, 121, 135, 138, 158,177. 193, 194,

ARISTARCO de Samos (s. 111 a. C.): 94,IOB, 136,

AalSTEo el Viejo (s. IV a. C.): 66, 79,99. 102,

ARJSTÓTE...S de Estag;nl (384.J22),16, 49, 54, 59, 50, 61, 72, 130, 156.

ARQufMEDLS de Siracusa (287-212), lO,54.62,63,M,85,66,79,60,89,OO,91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99,100, 101, 102, 103, 104, JOS, lOO,107, 108, 109, 110, 111, 112, lI3,119, 1.20, 121, 126, 129, 136, 138,139, 140, 141, 143, 145. 158, 161,162, 163, 177, 194.

ARQUITAS de Taras (s. IV a. C.): 38, 62.M,71.

A

AUN EZIlA (C. 109().1I67), 161.

AJlIWiAM BAR H'VYA (m.e. 1136), 172.AJlu AJ.·j'ATH (s. x), 158.ABUL,WAtTA (940- e. 997), 159, 162,

163, 170, 189.ABu !:AJo/IL (c. 900), 161, In.ABU UTHMAN (s. x): 159.AD<ulUX> de &th (s. XII)' 159, 176,

178, 190.MMU (s. XVII a. C.): JO.AL BATTAN' (c. 858-929), 162.ALBuT', León Baltis.. (1404.1472),

195,

ALBuTO MAGNO (San) (c. 1200-1280),189.

AL-BIRUN' (973-10481), 163, 171, 179.ALcU'HO de yo,k (e. 735-804), 153,AuONSO X el Sabio (1221,1284), In.AJ..·fuCCAC (s. VIII): 158.AL-HAUN (e, 965-1(39), 163, 171.

180, 194.

AL-KA..., (m.e. 1024), J71, 181.At.-KtIUWARIZWI Ce. 780-846): 159,

180. 161, 166, 187, 176, 177, 185,IB7.

AL-MAllAN' (m,e. B74), 162. 172.AL·NAY"Z' (m.e. 922), 158, In.

•

211

E

ENÓPIDES de Quíos (s. v a. C.): 38.ERATósTENES de Cirelle (s. 111 L C.);

56. 80. 90, 96. 110. 112. 120. 121.135.

ESTESICORO (s. VI a. C.): 37.EUCUOES de A1ejandria (e. 300 L C,),

23.37.42.49.60.62.66,70.71.72.73.74.75.76.77.78.79.80.81.82.83.ll-l.BS.56.~,56.89.90.~.98.

99. 102. 113, 118. 128. lJO. 135.159. 162. 171. 176. 177. 178. lBS.193. 194.

EUDEMO de Pérgamo (s. 11 a. C.): 61,113. 114. 117.

EUOEMO de Rodas (s. ,va. C,), 36. :n.38, 48. 129.

Euooxo de C..ido (300-337 Ó 4OS-J55),38, 63. 64. BS. 71, 75. 80. ll-l. ~,56.96.

DAMASCIO de Damasco (s. VI): JJO.DANTE Alighieri (1265-1321), 189.DEOU..IND, Julius Wilhelm Richard

(1831-1916), BS.OEMÓCRITO de Abdera (s. V a.C.): 37,

BS.DESCARTES. Res>é (1596-1850), 140.DINOSTaATO (s. IV a. C.): 38. 58, 63.D,ocLt:S (s. 11 s. C,), 120. 123.DIOFANTa de A1ejandria (s. 111): 25,

77, 127. 140. 141. 142. 146. 147.148. 149. ISO. 155. 159. 166. 171.194.

OIONISIOOORO de Amiso (s. I a. C. 1):121.

OoMNINO de Larisa (s. v): 129.Dosrn:o de Pelusa (s. 111 a. C.): 90,

lOS.Dü..... Albrech. (1471-1528), 195.

199.200.

- -]

l'

L

lhPÓCJtAn:s de Qulos (s. Va. q, 38.38. 54. 55. 56, 57. 199.

H,PSICLES (s. 11 a. C.): 77, 120, 1.58,177.

HOMtRO (s. IX/VIII): 41.HORNER, WiJliam Coorge (17B6-1&17):

164.

18N AL-BANNA (e. 1256-1321), Ill-l.leN AL-HAYnIAM:: v~ase AutAzEN.leN AL·HUSAYN (s. XI): 171.l8N !M.OR (s. x.u Ó XJu): J84.IsKAQ b. HUHAYH (m. 910), 158lS'OORO de MUelo (5. VI)' 77. lJO.ls'OORO (San) de Sevilla (e. :!00-638),

153.

JABIR be.. Aflah (5. XII)' 172. 177.].u4BUCO de Calcis (s. IIlllv): 130,

132. 133.]OANNlS A.rcerius de Croninga (s. XVI):

131.

]ORDANUS Nemorarius (m. 1237): 179,189.

JUAN de Palermo (s. XIII): 178, 187,186.

JUAN de Sevilla (s. XII)' 159. 176.

I'LEJN. F61ix (lll-l9-I925), 42.

U:OOAIoCAS de Taso (s. IV a. e): 38.LEÓN (a ,v a. C,), 38.

LEoNARDO da VinO (l452-15J9), 195.199. 200.

l.I:ONARDO Pisano (c. 1I7O-despuésde 1240), 161. 177, 178. 156. 1~.186. 193. 195. 196

H

EUTOCIO de Escalona (s. VI): 129, 130158. .

F

C

FIUI"O de Mende (s. IV a. C.): 38, 80.FlLÓNIOt:S de Éfeso (s. " a.C.): JI4.

CAUNOde Pérgamo(l3().e. 200), 133.CEa" (s. VIII)' 172, 173. 183.CEM'NO de Rodas (s. , a. C,), 121. 177.CUAIU>O de Cremona (1114-1187);

176. In.-CElUIEllTO de AuriUac (e. 930-1003),

175.

CHlBERTI, Lorenzo (1378-1455); 195.CUIULIlM'O de Moerbeeke (e. 1215

e. 1286), 177.

CULO'N. Pa.1 (1577-1645), 135. l-ro.CUNOISALVO, Domingo (s. XJI): J76.

HABAS" AlAIA.S18 (s. IX): 162.HAU-I:Y. Edn,uod (1656-1742}. J 13.IiAMU.TON. William -... (1805-1865),

25.HEJ8"C. Johao Ludvig (1851-1928),

96.

Ht:.RMOTAMO de Colof6n (s. IV a. C.):38.80.

HERODIANO (s. 11); 16.HUOOOTO de Halicamaso (5. va. C,),

18. .

II"ÓN de Alejandria (s. ,), 127. l-ro.141. 143. )44. 145. 146. 159. 202. .

HESlooo de :\scra (s. VII/VIII): 41.HEYTf.S8URY, William (s. XIV): 191.fflUJ. AL-Huesf (s. IX): 158.H'LBEllT. David (1862-1943),82.HIPARCO de Nicea (s. Ir a.C.): U5,

121. 134. 14.5.

HIP'AS de EIix (s. v a.C,), 37. 55.58.63.139.

196.CIIUQUET. Nkholas (e. 1484),203.

CHU SltlU·CIIIEl-I (s. XIU): 164.

o

CALCUUTOR . Richard Swines . head(s. XlV)' 191.

CAMPANO, CiovaIlni (s. XIII): 178, 190,193.

CANTOR. Ceorg (1ll-l5-1918), 10.CAPELI.Jr" Marciano (s. v): 152.CASIODOIl.O (c. 490-<:. 565): 152.C'CERÓN (10643), 91.COSÓN de Samos (s. 111 a. C.): 90.

COPtMNI o. Nicolás (1473-1543): 179.

CUSANO, El '"" Nicolás de Cusa (1401·1564), 192. 198.

CIIASLES. Michel (1793·1880): 89.tI'IN CIIII.:·SUAO (s. XIII): 164.

ARVA81-lATA (n. 476); 155, 165. 166.ARZACIIEL (c. 1029-1087): 177.ÁTALOde Pérgamo(s. II a.C.): 113.ATENEO de Cicico (s. IV a.C.): 38.AUTOUCO de Pitana (c. 330 a. C.): 88.

158. 159. 177.AV'CENA (980-1037), 163. 170.

8

11

C

8AO'N'. José (1897- ), 10.8ACON. lloger (e. 1214- c. 1292), 189.

190.8AIIA AL-D'N (1547-1621), lBS.BANU MUSA (s. IX): 159.BAR HIVVA (s. XII): 177.BASKJIARA (s. XII): 166, 173, 174.BEDA "e1 Vencr...ble" (c. 673-735): 153.BoEelo, Severino (48().5Z4): 127, 130,

152. 189.6ollCIU, Pielro (c. 1484): 199.URADWARDINE, nlOmas (c. 1290(1349):

lOO.BRAIIMACU""A (c. 588-660): ISS, 166,

173.BlUSÓN (s. IV a. C.): 54.BRUNEULSCHI, Filippo (I377·1446):

195.

212213

v

IV

y

Z

VAN OER WAERDEN, Darte! Leinder(1003- ), 33, 46, 157.

VARMIAMIlIlRA (s. VI): 155.VENlltIS, Michel 0922-1956): 17.VITRUVIO (s. I a. C.): 109.

WAI.LINCFORO, Richard (J292-133S):190.

WIDMANN, johíUln (s. xv): 194.IVITELO (1225?-I280?), 194.

YANC HUI (s" XIII): J64.

Zf.NOOORO (s. 11 a. C.): 121.ZLNÓN de El.. (s. v •. c.¡, SO, 51. 52.ZEUSIPO (s. 111 a. C.): 97.

. ZEunIEM, Hyeronimus Georg (18391920), 24, 49.

T

u

SMITU, Hcnry johl) StcpJHm (18261883), 174.

Sr"Ncu, Edouaro (l882-1963j, 26.

TAlIlT b. Qurm (827-901): 158, 161.169, 177,

TAUS de Milelo (s. VI lL C.): 39, 40.41.42.

TEt:rITO de Atenas (s. IV a, C): 38, 49,60, n. 80.

TEOOORO de Circne (s. va. C): 38, SS.1\:OOOSIQ de Bitinia (s, I a. C,): J21.

158. 159, 177,Tr.ÓN de Alejandría (s. IV): 73.TEÓN de Esmima (s. 11): 99, 128. 132.TEUOIO de Magnesia (s. IV a. C.): 38.TIIUREAU-DANCIN. Frantois (1872-

1944), 22.

TIMARIDAS de Paros (s. IV a. C.): 62,63,133.

TOMÁS (Santo) de Aquino (122&.1274):189.

ULUC SLC (1392-1449), 185.

s

Q

SACK080SCO (s. XIII): 179.SERENO de Antinópolis (s. VI?): 129.SEVERO Seboth (s. VII): lS6.SIMI'UCIO (s. VI): 36, 130.

Rr.CIONONTANO (1436-1476): 192.REv PASTOO, Julio (1888-11162}. 9, 10.RHAZf.S: véase AL-HAnRHIND, A. Henry (1833-1863), 30, 31.ROBUTO de Chester (s. XII): 176.RUFINI, Enrico (1890-1924): 164.

QuST' b. Luq. (s. Ix/x), 159.

R

195,

o

N

P

PACIOLI. Luea (c. 1445-1514):196, 200, 201, 202.

OMAR KlIA\'YAM (c. J04O-c. 1131): 171,181, 182.

OOES"", Nioole (1313-1382), 191. 192,197, 198.

N...o AL-DIN (1201-1274), 185NAUCMATES (s. 111 a. C.): 117.NEOCLlOES (s. IV a. C.): 38.NEUCEISA EIl. Otto (1899- ): 22,

28,46,63.EWTON, Isaac (1642 jul.; 1&&3 greg.1727) 42.

NICOMACO de Cer.LSa (s. 1): 86. 127,128, 130, 131, 152, 189.

NICOMEOES (c. lBO a. C.): 120. 122,

139.

PAI'PUS de AJejandrla (s. lIl/lv): 89, 93,107. ll3. 114, 119, 127, 129. 133,134, 135, 138, 139, 159.

PARMtNlDES de Elea (s. v a.C.): SO.P'SCAL. Slais. (1623-1662), 42, 140.PECKAM, john (1229-1291): 194.

MACH, Enlst (1838·1916): lOS. PERSEO (s. 11 a.C.): 1.21.MAMERCO (s. VI a.C.): 37. PEURSACH. Ceorg (1423-1461): 192.MANSCOPULO, M:lximo (s. XIV): 175. PIEIlO della Francesca (1416-1492):MARINO de Neápolis (s. V a. C.): 129, 195, 196, 202.

130. PITÁCOMAS de Samos (s. VI a. C.): 22,MASLA.... (s. x), 161. 23, 25, 28, 37, '12, 43, 44. 45, 47,MENoc"'o (s. IV'. el 38, 63, &1, 66, 49, 75. 83, 84. 135, 160. 164. 169,

99. 173, 174.MENELAO de Alejandría (S. 1); 127, PUNUDE, Miximo(1242--c. 1310): 175.

128, 131, 134. 138, 158, 161. PLATÓN (428-348), 38. 49. 55, 56,59.METKOOORO Gnes del V como del VI): 60. 62, 63, 76.

146. PLATÓN de TIvoli (s. XII): 172, 177.MILU, Aldo (1879-1950), 10. PUNJO (23-79), 153.MULAs VAUJCROSA, José Marla(1897-. PLUTARCO de Queronea (s. 1/11): 90.

1970), 9. 91.MONGE, CasllaJ'd (174&-1818): 196. PaOCLO de Bi7.lloeio (410-485): 37, 44,MUI.Lt:K, johanncs (s. xv): 192. 48,71, 78, BO, 89, 129.

P'rOLOMEO, Claudio (s. 11): 56,80, 114,ll5, 121, 127. 128. 133. 134, 135,136, 137, 138. 155. 158. 159, 162,165, 170. 176, 177, 189. 191.

LEVI bcn Ccrson (1288-1344): 100.LIU Hui (s. XII): 164.LULL. Ramón (e. 1235-1315), 189. 190.

214 215

Documents

Historia de la Matemática Volumen 1 [REY PASTOR, J. BABINI, J] [Ed. GEDISA, Barcelona] 1985 (106s-d) {SPSE}