Teora de Colas / Investigacion Operativa 1

PROBLEMAS DE INVESTIGACION OPERATIVA. Hoja 5

1. Al supercomputador de un centro de calculo llegan usuarios segun un proceso de Poisson de tasa5 usuarios cada hora. Sabiendo que estos consumen un tiempo de computo aleatorio cuya distribu-cion puede suponerse exponencial de media 1

6de hora y que la disciplina de atencion es FIFO. Se

pide:

a) El numero medio de clientes en el sistema y el numero medio de usuarios que estan usandoel supercomputador.

b) Si en la sala de espera hay 4 sillas, cual es la probabilidad de que un usuario que llega a lasala tenga que esperar de pie?

c) Calcula el tiempo medio total de respuesta de un usuario.

2. Considera una cola con tasa de llegadas , y 5 servidores identicos en paralelo, cada uno de loscuales tiene tasa de servicio . Sabemos que la proporcion media de servidores ocupados es 0.6,que el numero medio de clientes en espera (en cola) es 0.354 y que el tiempo medio de respuesta(espera en cola + servicio) es de 0.559. Se pide:

a) El numero medio de servidores ocupados y el factor de utilizacion del sistema.

b) La tasa de llegada y la tasa de servicio.

c) El tiempo medio que un cliente permanece en espera y el numero medio de clientes en elsistema.

d) En el caso de que los tiempos entre llegadas de clientes y los tiempos de servicio fuesen vari-ables aleatorias exponenciales, representa el diagrama de tasas de transicion entre estados, yformula las ecuaciones de balance de flujo correspondientes.

3. En una fabrica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durantelas horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla,ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a unespecialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duracionmedia de la conversacion que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analistallega a la conclusion de que durante la primera y la ultima media hora de la jornada la afluencia esmuy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fenomeno se puede considerarestacionario. Del analisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la faseestacionaria, se dedujo que el numero medio de obreros que acudan a la ventanilla era de 1.25 por

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periodo y que el tiempo entre llegadas segua una distribucion exponencial. Un estudio similar so-bre la duracion de las conversaciones, llevo a la conclusion de que se distribuan exponencialmentecon duracion media de 3.33 minutos. Determina:

a) Numero medio de obreros en cola.

b) Tiempo medio de espera en la cola.

c) Compara el tiempo perdido por los obreros con el tiempo perdido por el oficinista. Calculael coste para la empresa, sin una hora de inactividad del oficinista vale 250 euros y una horadel obrero 400 euros. Sera rentable poner otra ventanilla?

4. En un centro de salud con tres medicos, los pacientes llegan de forma aleatoria (tiempos de llegadaexponenciales) a razon de 12 por hora. Estos son atendidos en orden de llegada por el primermedico que este libre. Cada medico tarda una media de 13 minutos en atender a cada paciente(tiempos de atencion exponenciales).

a) Calcula la proporcion de tiempo que esta cada medico atendiendo a pacientes.

b) Calcula el numero medio de pacientes que estan en la sala de espera. Calcula el tiempo mediototal de espera de un paciente.

c) Que ocurrira en el centro si uno de los 3 medicos se ausenta?

5. Un centro de atencion primaria tiene que administrar la vacuna de poliomelitis a los ninos de unbarrio. El centro esta organizado de forma que los padres van llegando con los ninos, forman unacola, y se atienden 40 por hora, con una distribucion exponencial, por cualquiera de las enfermerasque estan de servicio. Este servicio de vacunacion se ofrece una vez a la semana, y en este dalas llegadas se realizan con una tasa igual a 40 ninos por hora. El director del centro sabe quela mayora de los padres vienen durante sus horas de trabajo y por ello quiere limitar el tiempototal de administracion de la vacuna a 15 minutos (incluyendo la espera) Cuantas enfermerastendra que usar el gerente?

6. (septiembre, 2007) Consideremos un sistema informatico que se representa como un sistema decolas con 10 procesadores identicos en paralelo, cada uno de los cuales procesa una cierta tarea en3 segundos. Los usuarios del sistema le envan ordenes para realizar esa tarea cada cierto tiempo.Se observa que el tiempo medio de respuesta, desde que se enva una orden para realizar la tareahasta que esta se completa es de 10 segundos. Ademas, se observa que la utilizacion del sistemaes de un 90 %.

(a, 5 puntos) Cual es el numero medio de procesadores ocupados? Puedes afirmar que el sis-tema es estable?

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(b, 5 puntos) Cual es la tasa media a la que se envan ordenes al sistema para realizar la tarea?

(c, 5 puntos) Cual es el numero medio de tareas en espera o en proceso en el sistema? Y elnumero medio de tareas en espera? Y el tiempo medio en espera por tarea?

(d, 10 puntos) Supongamos que los tiempos entre envos de tareas son variables aleatorias (v.a.)con funcion de distribucion

F (x) =

0 si x 0x2

2si 0 < x 1

1 (2 x)2

2si 1 < x 2

1 si x > 2.

Nos proponemos realizar una simulacion del sistema, para lo cual necesitamos generar v.a.X con la distribucion dada. Indica como generar una v.a. X con tal distribucion a partir deuna v.a. U Uniforme[0, 1], aplicando el metodo de la transformada inversa.

7. (enero 2009) Considera un sistema de multiproceso en el que cada trabajo requiere una media de100 milisegundos de ejecucion, con una tasa de llegadas de 60 trabajos por segundo. Responde alas siguientes preguntas:

a, 5 puntos Cual es el mnimo numero de procesadores que se requieren para atender la demandasin que el sistema se sature? Si se instalan precisamente ese numero de procesadores, cuales el factor de utilizacion del sistema y que indica su valor es este sistema?

b,10 puntos Sabiendo que para ese sistema se ha obtenido que el numero medio de trabajos encola es 3683, calcula: (1) el numero medio de procesadores ocupados, (2) el numero mediode trabajos en el sistema, (3) el tiempo medio de espera, y (4) el tiempo medio de respuesta.

c,10 puntos En el caso de que los tiempos entre llegadas de trabajos y los tiempos de ejecucionfuesen variables aleatorias (v.a.) exponenciales, representa el diagrama de tasas de transicionentre estados.

Sabiendo que la probabilidad de que el sistema este vaco es de 000158, calcula la probabil-idad de que haya mas de 4 procesadores ociosos. Pare ello formula y resuelve las ecuacionesde balance de flujo que necesites.

8. (febrero 2007) Una compana aerea ha montando un sistema de reservas por telefono, atendido por4 agentes, en el que las llamadas que llegan cuando los agentes estan ocupados, quedan en espera yson despues atendidas en estricto orden de llegada. Se sabe que las llamadas son aleatorias y que,

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en promedio, reciben 20 llamadas por hora. Tambien se sabe que el tiempo medio de respuesta(que una llamada permanece en el sistema) es de 6.51 minutos y que el numero medio de llamadasen espera es de 0.17. Con esta informacion, contesta a las siguientes preguntas que se plantea laempresa:

(a, 5 puntos) Cual es el tiempo medio que una llamada ha de esperar hasta ser atendida por unode los agentes?

(b, 5 puntos) Cual es el nivel de uso del sistema?, que ocurrira si despidieran a 2 agentes?

(c, 5 puntos) Si la compana ha valorado la hora de inactividad de cada agente en 300 euros, aque cantidad asciende la perdida media por hora debida a la inactividad de los agentes?

(d, 10 puntos) En el caso de que los tiempos entre llamadas y los tiempos de atencion fuesenvariables aleatorias (v.a.) exponenciales, representa el diagrama de tasas de transicion entreestados.

Sabiendo que la probabilidad de que el sistema este vaco es de 323

, calcula la probabilidad deque una llamada quede en espera. Pare ello formula y resuelve las ecuaciones de balance deflujo que necesites.