Introduccion a la Investigacion de Operaciones

Francisco Ismael Pinillos Nieto

Santos Santiago Javez Valladares

1

Investigación de Operaciones

FACULTAD DE INGENIERÍA

SESIÓN 01.

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

SESIÓN 01.1

1.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................. 2

1.2 UN POCO DE HISTORIA ................................................................................................................................... 5

1.3 DEFINICIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO). .............................................................. 6

1.4 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. .......................................................... 7

1.5 ESTRUCTURA Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE OPTIMIZACIÓN. ......................................... 9

1.6 MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL .............................................................................................. 11

1.4 MODELOS FÁCILES ................................................................................................................................... 15

1.5 MODELOS CON POCO GRADO DE DIFICULTAD ........................................................................ 24

1.6 MODELOS CON RAZONABLE GRADO DE DIFICULTAD ............................................................. 39

1.7 MODELOS DIFÍCILES ................................................................................................................................ 46

1.7 SOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES CON SOLVER........................................................................... 53

1.8 HOJA DE TRABAJO 01 ................................................................................................................................... 65

Contenidos:



2



1.1 INTRODUCCIÓN

Una decisión puede ser clasificada en estructurada si envuelve una serie de factores que

puedan ser cuantificados y luego formulados en términos matemáticos. La Investigación de

Operaciones es una herramienta de apoyo a la decisión estructurada, y durante el presente

curso vamos ver que algunos problemas pueden ser formulados matemáticamente.

Para mostrar los factores que intervienen en la formulación de un problema de

programación lineal, utilizaremos una situación problemática basada en el juego a doble

mano. A este problema denominaremos El planeamiento de un jugador.

Resulta que Paquito está saliendo con dos de sus vecinas, llamadas Katy y Fiorella. Por tal

motivo debe tomar la decisión con quien de las vecinas debe salir. Obviamente, lo primero

que pasa por su cabeza, es salir con las dos al mismo tiempo, cierto?, pero salir con las dos

al mismo tiempo puede causar problemas dado que ellas no aceptarían salir juntas sobre

todo porque se sabe que son muy celosas.

Por otro lado, salir todo el día con una vecina no es muy bueno económicamente dado que

Paquito no dispone del dinero suficiente, pero por encima de esta limitación Paquito está

decidido disfrutar de su buena suerte al haber conquistado a sus dos vecinas; así que está

pensando en alguna estrategia que le permita decidir cuantas veces al mes debe salir con

cada una de sus vecinas. ¿Cuál es la decisión?.

Paquito recordando las sabias enseñanzas de su profesor del curso de Investigación de

Operaciones, curso que a propósito llevó por segunda matricula, decide elaborar un modelo

matemático que le permita determinar cuántas veces al mes salir con cada una de sus

vecinas.

El primer paso que realiza es representar con letras y subíndices el número de salidas al

mes con cada una de sus vecinas, de la siguiente forma:

1x : Representa la cantidad de veces al mes, que debe salir con Katy.

2x : Representa la cantidad de veces al mes, que debe salir con Fiorella.

Estas expresiones son denominadas variables de decisión 1x y 2x , las cuales son la parte

más importante para la representación matemática de un problema, estás son escogidas

libremente.



3



Podemos pensar que Paquito puede salir con sus vecinas cuantas veces quisiera, pero uno

de sus principales problemas es la falta de dinero (problemas financieros), puesto que

Paquito sabe que a Katy le gusta de frecuentar lugares caros y una salida le genera un gasto

de 180 soles, sin embargo Fiorella es más sencilla y gusta frecuentar lugares más baratos,

así ella le genera un gasto de 100 soles.

Se sabe que Paquito recibe una mensualidad 800 soles por mes, dinero que a propósito le

envían sus padres para sus estudios. Conociendo los gastos que generan sus vecinas,

Paquito se pregunta cómo hacer para no terminar endeudado. Por tanto comienza hacer

sus cuentas del siguiente modo:

Como una salida con Katy le cuesta 180 soles y como 1x representa el número de veces al

mes que sale con Katy, entonces al mes terminaría gastando 180 1x soles. Del mismo modo

salir con Fiorella le cuesta 100 soles y como sale 2x veces al mes con ella, entonces al mes

terminaría gastando 100 2x soles.

Paquito sabe que no puede gastar más de 800 soles mensuales, por tanto representa este

inconveniente del siguiente modo:

Pero los inconvenientes para salir con ellas no quedan allí, porque la diferencia entre las dos

no son sólo los gastos por salida, sino que también tiene problemas con el tiempo. Es

decir, salir con Katy requiere en promedio 4 horas de su tiempo, mientras que una salida

con Fiorella requiere en promedio 2 horas.

El problema con el tiempo es porque Paquito tiene que estudiar, porque de no ser así sus

calificaciones bajarían y sus padres dejarían de asignarles los 800 soles mensuales.

Consideremos que Paquito sólo dispone de 20 horas libres por mes. Como podemos

garantizar que él no empleará más tiempo del que dispone, así usando la notación anterior,

tenemos:

Gasto total del

mes

800100180 21 xx

Total disponible por mes

Total de horas

2024 21 xx

Tiempo libre



4



Paquito debe comenzar a unir todo lo pensado anteriormente

800100180 21 xx

2024 21 xx

Para poder planear y decidir cuantas veces tendrá que salir con Katy ( 1x ) y cuantas con

Fiorella ( 2x ), tomando en cuenta el dinero y tiempo disponible. A la vez podrá saber cuántas

horas y cuanto de dinero consumirá, así como cuánto dinero y tiempo le sobrará.

1° Caso

¿Cuánto consume si sale con Katy 3 veces y con Fiorella 2 veces?, es decir 31 x y 22 x ,

verificamos cuánto dinero y cuánto tiempo consume.

740)2(100)3(180 (dinero gastado)

16)2(2)3(4 (tiempo gastado)

¿Cuánto le sobra?

Como podemos ver al salir tres veces con Katy y dos veces con Fiorella, Paquito consume

740 soles y 16 horas, sobrando al final del mes 60 soles y 4 horas.

2° Caso

¿Cuánto consume si sale con Katy 3 veces y con Fiorella 4 veces?, es decir 31 x y 42 x ,

verificamos cuánto dinero y cuánto tiempo consume.

940)4(100)3(180 (dinero gastado)

20)4(2)3(4 (tiempo gastado)

¿Cuánto le sobra?

Como podemos ver al salir tres veces con Katy y cuatro veces con Fiorella, Paquito consume

940 soles y 20 horas, generándole una deuda de 140 soles dado que él dispone sólo de 800

soles, por otro lado consume todo el tiempo disponible del mes que son las 20 horas.

Por lo tanto, Paquito no puede salir tres veces con Katy y cuatro veces con Fiorella, dado

que está situación es imposible, dentro de las condiciones que fueron propuestas.

Pero nos falta un objetivo

Podemos notar que nos falta un objetivo, es decir debemos pensar que es lo quiere Paquito

para obtener el mayor beneficio al salir con sus vecinas. Una opción puede ser, salir la

mayor cantidad de veces con las dos sin importar la preferencia por ellas; está situación

queda expresada del siguiente modo:



5



Maximizar 21 xx

Otro posible objetivo puede ser construido del siguiente hecho; a Paquito le gusta dos veces

más Katy que Fiorella, entonces podemos crear un coeficiente que represente su

preferencia; es decir un valor unitario para Fiorella y el doble para Katy. Obteniendo el

siguiente objetivo

Maximizar 212 xx

De esta forma se logra formalizar dos modelos diferentes:

0,

2024

800100180

:.

21

21

21

21

xx

xx

xx

as

xxMax

0,

2024

800100180

:.

2

21

21

21

21

xx

xx

xx

as

xxMax

OBJETIVO DEL CURSO:

En el curso de Investigación de Operaciones trabajaremos con problemas de optimización

lineal, veremos que en problemas reales de optimización siempre se busca maximizar o

minimizar una cantidad específica, llamada objetivo, que depende de un número finito de

variables de entrada, estas variables pueden ser independientes unas de las otras o

relacionadas unas con las otras por medio de una o más restricciones.

Para introducirnos a este inmenso campo de la optimización; en primer lugar hacemos un

repaso de la historia de la Investigación de Operaciones.

1.2 UN POCO DE HISTORIA

Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a principios de 1937, cuando se

hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una

empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi

siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra

mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos

escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación,

en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa

hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico

a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran

investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros

equipos de IO.

El inicio formal de la investigación de operaciones tuvo lugar en Inglaterra a finales de 1939,

cuando la estación de investigación de Bawdsey, bajo la dirección de A. Rowe, fue encargada

del desarrollo de políticas óptimas para el nuevo sistema de detección militar llamado radar.



6



Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos

contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés, a través de sus investigaciones para

mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un

papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte.

Tabla 1.1. Antecedentes de la Investigación de operaciones.

AÑO AUTOR TÉCNICA DESARROLLADA

1759 Quesnay Modelos primarios de programación

matemática.

1905 G.Jordan. Modelos lineales.

1874 Warlas. Modelos primarios de programación

matemática.

1891 Minkousky. Modelos lineales.

1903 Farkas. Modelos lineales.

1897 Markov. Modelos dinámicos probabilísticos.

1905 Erlang. Líneas de espera.

1920-30 Konig Egervary Asignación.

1937 Morgerstern. Lógica estadística.

1937 Von Newman. Teoría de juegos.

1939 Kantorovich. Distribución.

1947 G.Dantzig. Método SIMPLEX.

1950’s

Bellman. Programación dinámica.

Kun-Tucker. Programación no lineal.

Gomory. Programación entera.

Ford-Fulkerson. Redes de flujo.

Markowitz. Simulación.

Raifa. Análisis de decisiones.

Arrow-Karli. Inventarios.

1.3 DEFINICIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).

No existe una definición exacta para La Investigación de Operaciones, de manera muy

general decimos que la Investigación de Operaciones trata sobre la búsqueda de la mejor

utilización (técnica, económica, social, política) de recursos (escasos) y procesos (diversos), a



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través de la aplicación de métodos científicos, buscando la mejor satisfacción (utilidad,

placer) del cliente (usuario, público) definidos en un contexto (conjunto, totalidad).

El desarrollo de un trabajo de IO envuelve equipos multidisciplinarios para la aplicación de

los métodos científicos a problemas reales encontrados en los sistemas de producción de

bienes y servicios, como herramienta auxiliar para la toma de decisiones en cualquier sector

y nivel de economía.

Según Churchman, Ackoff y Arnoff: “la investigación de operaciones es la aplicación, por

grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de

las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan soluciones que

mejor sirvan a los objetivos de la organización”.

Por tal motivo, decimos que la investigación de operaciones utiliza los resultados de muchas

áreas científicas aunque fundamentalmente se encuentra en la matemática, la economía, el

cálculo de probabilidades y la estadística.

1.4 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

Es posible de una forma bastante general resumir el proceso de modelado o de construcción

de modelos bajo el punto de vista operacional, por los pasos sugeridos en el siguiente

flujograma.

Figura 1.1. Metodología de la Investigación de Operaciones

Definición del problema

Formulación construcción del modelo matemático

Validación el modelo

Reformulación del modelo

Aplicación del modelo

Simulación del modelo



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Donde:

1. La definición del problema es una de las fases más importantes del proceso y

comprende la clara percepción del desafío colocado. El problema debe ser traducido en

elementos palpables englobando:

Descripción exacta de los objetivos del estudio.

Identificación de las variables de decisión o control existentes.

Nivel de detalle (reconocimiento de las limitaciones, restricciones y exigencias del

sistema).

La descripción de los objetivos es una de las actividades más importantes en todo el

proceso de estudio pues a partir de ella es que el modelo es creado. De la misma forma es

esencial que las alternativas de decisión y las limitaciones sean explicitadas, para que las

soluciones obtenidas al final del proceso sean válidas y aceptables.

2. El secreto para construir un modelo de optimización depende de una adecuada

traducción, también denominada “formulación”. El propio término formular largamente

empleada para explicar el proceso de construcción de modelos de optimización, trae

consigo una enorme carga cuantitativa y matemática.

Por otro lado, una adecuada formulación depende también de elementos que escapan al

contenido estrictamente técnico, envolviendo la percepción del elaborador del modelo (o

equipo de elaboración) y una facultad cognitiva de alto nivel.

Las fórmulas o ecuaciones del modelo no se encuentran listas y acabadas de la

naturaleza, ellas tienen que ser identificadas o creadas. Extrañamente, el rigor de la

traducción es obtenido a través de procesos poco rigurosos o conocidos, envolviendo:

La intuición.

La experiencia.

La creatividad.

El poder de síntesis, etc.

Esto nos trae dos consecuencias inmediatas para formulación de modelos:

Existe una enorme dificultad en el proceso de formulación.

Existe una fuerte tendencia a considerar la actividad de formulación de un modelo

como un arte.

En esta fase de formulación del modelo de optimización son definidos los tipos de

variables a utilizar en la representación, así como el nivel apropiado de agregación de las

variables. También deben ser representadas las restricciones del problema, tanto las

cuantitativas como las de naturaleza lógica.



9



El modelo deberá ser adecuado a la naturaleza de los datos de entrada y de salida, así

como ser capaz de expresar las funciones de desempeño que posiblemente serán exigidos

en el proceso de optimización. (Función objetivo)

3. Validación del modelo, es necesario verificar la validez del modelo. Un modelo es válido

si tomando en cuenta su inexactitud en representar el sistema, él es capaz de dar una

predicción aceptable del comportamiento del sistema. Un método común para verificar la

validez del modelo es analizar su desempeño con datos pasados del sistema y verificar si

él logra reproducir el comportamiento que el sistema presentó. Es importante observar

que este proceso de validación no se aplica a sistemas inexistentes, es decir en proyectos.

En este caso la validación es hecha por la verificación de la correspondencia entre los

resultados obtenidos y algún comportamiento esperado del nuevo sistema.

4. Una vez evaluadas las ventajas y la validación de la solución obtenida, esta debe ser

convertida en reglas operacionales. La implementación, por ser una actividad que altera

una situación existente, es una de las etapas críticas del estudio. Es conveniente que sea

controlada por el equipo responsable, pues eventualmente los valores de la nueva

solución, cuando llevados a la práctica pueden demostrar la necesidad de corregir las

relaciones funcionales del modelo conjunto de posibles cursos de acción exigiendo la

reformulación del modelo en alguna de sus partes.

1.5 ESTRUCTURA Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE OPTIMIZACIÓN.

Un modelo representa o describe los elementos relevantes de una situación y sus

interacciones existentes entre ellos. La concepción de un modelo tiene por finalidad facilitar

el entendimiento y la manipulación de las relaciones que ocurren entre los diversos

parámetros que integran un sistema o proceso, abstraídas de una realidad.

Como el proceso de modelado depende del espíritu creativo del hombre, tal vez no podemos

definir claramente los límites de los modelos de Programación Matemática y sus

aplicaciones. Generalmente podemos decir que su empleo clásico seria:

“Utilizar de forma eficiente recursos limitados y que pueden ser disputados por

actividades alternativas”

En los modelos matemáticos, la representación de determinado sistema es generalmente

realizada por tres conjuntos principales de elementos:

1. Variables de decisión y parámetros: las variables de decisión son las incógnitas a

ser determinadas por la solución del modelo. Los parámetros son los valores fijos en el



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Formulación del problema.

Construcción del modelo.

Ejecución de los análisis

Implementación y actualización.

problema. Simbólicamente, las variables de decisión son representadas por letras

minúsculas con subíndices como: ix , ni ,...,3,2,1

2. Restricciones: de modo a llevar en cuenta las limitaciones físicas del sistema, el

modelo debe incluir restricciones que limitan las variables de decisión a sus valores

posibles (o viables). Estas restricciones pueden ser expresadas matemáticamente por

medio de ecuaciones e inecuaciones.

3. Función objetivo: es una función matemática que define la calidad de la solución en

función de las variables de decisión. En forma general es representada como una

función de varias variables ),...,,( 21 nxxxfz .

Podemos resumir de forma sucinta los pasos del proceso de análisis cuantitativo conforme

se expresa en el siguiente flujo:

Figura 1.2. Proceso de análisis cuantitativo

La etapa de formulación comprende:

La definición de las variables controlables (de decisión o control) y las no controlables

(externas o de estado).

La elaboración de la función objetivo y del criterio de optimización.

La formalización de las restricciones del modelo.

La etapa de construcción del modelo engloba:

La elaboración de la estructura de entrada y salida de información.

Las formulas de interrelación.

Los horizontes de tiempo.

La etapa de ejecución de los análisis comprende:

Análisis de sensibilidad de la solución.

Levantamiento de la precisión de los datos.

Estudio de la estabilidad computacional.

Levantamiento de las demás especificaciones del modelo.

La etapa de implementación de los resultados y la actualización del modelo comprende:



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Modelos de optimización

Estocástico Determinístico

Lineal

Entero

Binario

Continuo

No lineal

Convexo

Restricto

Irrestricto

No convexo

Un gran proceso de feedback repasando las etapas anteriores, haciendo uso del

modelo en el sistema de producción o prestación de servicios.

Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Deterministicos (MD) y

Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los parámetros

asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos

Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una

distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación

Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Deterministas.

Figura 1.3. Clasificación de los modelos de optimización

1.6 MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la

situación siguiente:

Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias

variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

Así un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un

comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este

sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la

Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general

permite una buena aproximación de la realidad.



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La formulación del problema a ser solucionado por programación lineal sigue algunos pasos

básicos:

Debe ser definido el objetivo básico del problema, es decir la optimización a ser

alcanzada. Por ejemplo maximizar ganancias, desempeños o bienestar social;

minimizar costos, perdidas, tiempo. Tal objetivo será representado por una función

objetivo, a ser maximizada o minimizada.

Para que esta función objetivo sea matemáticamente especificada, deben ser definidas

las variables de decisión involucradas. Por ejemplo, número de máquinas, área a ser

explorada, etc. Normalmente se asume que todas estas variables poseen solamente

valores positivos.

Estas variables están sujetas a una serie de restricciones, normalmente representadas

por inecuaciones. Por ejemplo, cantidad de equipos disponibles, tamaño del área a ser

explorada, etc.

Todas las expresiones, deben estar de acuerdo con la hipótesis principal de la programación

lineal, es decir todas las relaciones entre las variables deben ser lineales. Esto implica

proporcionalidad de las cantidades envueltas.

A continuación desarrollamos algunos ejemplos que nos permitirá conocer un poco más

acerca de los problemas de programación lineal.

Problema 1.1. Yemito es un aficionado de los juguetes electrónicos y planea construir dos

tipos de juguetes electrónicos (Ben10 y DinoRey). Él sabe que para construir un juguete

Ben10 debe necesitan 9 sensores electrónicos y 3 horas de trabajo. Mientras que para

construir un DinoRey se necesitan 1 sensor electrónico y 1 hora de trabajo. Yemito pidió a su

papá comprar los sensores electrónicos, pero éste sólo compro 18 sensores electrónicos. Por

otro lado, Yemito tiene planeado trabajar en sus juguetes el día sábado de 8:00 am hasta las

8:00 pm, por tal motivo dispone de 12 horas para trabajar en la construcción de los juguetes.

Yemito tiene planeado vender estos juguetes en su escuela, obteniendo una utilidad de 4

dólares por cada juguete Ben10 y un dólar por cada juguete DinoRey. Sabiendo que logra

vender todos los juguetes construidos, se pide elaborar un modelo de programación lineal

para optimizar sus utilidades.

Solución:

Para elaborar el modelo de programación lineal seguimos los siguientes pasos:

1. Definición de las variables de decisión:

En este caso estamos interesados en saber cuántos juguetes Ben10 y DinoRey debe

construir, por tal motivo declaramos las variables de decisión de la siguiente forma:

1x : Cantidad de juguetes Ben10 construidos

2x : Cantidad de juguetes DinoRey construidos



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Una vez declaradas las variables de decisión, debemos expresar la función objetivo

utilizando dichas variables.

2. Elaboración de la función objetivo:

Dado que nuestro propósito es maximizar la utilidad total y sabemos que por la fabricación

de un Ben10 tenemos una utilidad de 4 dólares, entonces la utilidad total generada por el

modelo ben10 es de $ 14x , de igual forma el modelo DinoRey genera una utilidad de $1 2x .

Por tanto si queremos obtener la utilidad total generada por la fabricación de los dos

juguetes tendremos 214 xxz .

Como nuestro objetivo es maximizar la utilidad, tenemos la siguiente función objetivo:

Max 214 xxz .

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

Antes de construir las restricciones del problema, debemos tener presente las siguientes

observaciones:

No se puede utilizar lo que no se tiene.

La cantidad utilizada debe ser menor o igual a la cantidad disponible

Restricción de sensores electrónicos

Sabemos que disponemos de 18 sensores electrónicos y que para fabricar un Ben10, se

necesita de 9 sensores electrónicos y para un DinoRey se necesita 1 sensor electrónico. Por

tanto podemos decir que 189 21 xx .

Restricción de horas de trabajo

De igual modo, se dispone de 12 horas de trabajo, pero para fabricar un Ben10 se

necesita 3 horas de trabajo y para un DinoRey se necesita 1 hora de trabajo. Por tanto

podemos decir que 123 21 xx .

Restricciones de no negatividad

Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, es decir,

mayores o iguales a cero tenemos que 01 x y 02 x .

4. Modelo final:

Finalmente podemos expresar el modelo de programación lineal de la forma siguiente

0,

123

189

:

4

21

21

21

21

xx

xx

xx

asujeto

xxzMax



14



Observaciones:

Para determinar la función objetivo debe tomarse en cuenta lo siguiente:

a. Si tenemos como datos solo costos ya sean de materia prima, mano de obra, uso de

máquina, transporte, depreciación, etc. Nos indica indudablemente que la Función

Objetivo (F.O.) será de MINIMIZACIÓN.

b. Si el enunciado solo tiene datos económicos de ganancia, precio de venta o dinero a

recibir por unidad producida la F.O. será de MAXIMIZACIÓN.

c. Si el enunciado tiene datos de costos y ganancias, entonces construimos la F.O. de la

siguiente manera:

GANANCIAS - COSTOS =UTILIDAD, la que tendrá como F.O. MAXIMIZAR.

d. Si no se tiene ningún dato económico y solo se tienen tiempos, el tiempo se

minimiza, si nos da solo producción, la producción se ha de maximizar, si el modelo

corresponde a contratar personal, la función objetivo se debe minimizar.

Las restricciones o limitaciones en los modelos lineales se representan por

desigualdades o igualdades: ,,

Muchos problemas tienen expresiones características que nos pueden anunciar que

tipo de restricción debemos usar, por ejemplo:

Las restricciones deben tener las mismas unidades en tanto en su lado izquierdo como

derecho.

La no negatividad de algunas variables es muy importante para definir la solución de

algunos modelos, por lo tanto se dice que todas las variables son 0 .

A partir de ahora mostraremos una gran variedad de aplicaciones de modelos lineales con la

finalidad de que se familiarice con los modelos de programación lineal. Para este fin se ha

etiquetado a los problemas según su nivel de dificultad, por tal motivo al lado derecho de

cada problema colocamos un icono que identificará el nivel de dificultad

En la siguiente tabla se muestran los niveles de los problemas y sus respectivos iconos de

identificación.

Usar Para expresiones como:

Cómo máximo, a lo más, disponibilidad, demanda máxima.

Cómo mínimo, por lo menos, al menos, demanda mínima.

Total, proporción



15



1.4 MODELOS FÁCILES

Problema 1.2.

Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre

menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de

la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre

menor o igual a 18 unidades.

Hallar el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un

beneficio máximo, sabiendo que cada litro de vino deja un beneficio de 8 soles y cada litro de

vinagre de 2 soles. Suponiendo que todo lo que se produce se vende.

Solución:

En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla


1x : Cantidad de litros de vino a producir.

2x : Cantidad de litros de vinagre a producir.


El beneficio total que nos da el vino, lo obtenemos multiplicando el total de vino producido

por su respectivo beneficio obteniendo litroxlitro

soles18 , de la misma forma determinamos el

beneficio total de la producción del vinagre litroxlitro

soles22 . Obteniendo un beneficio total

de 21 28 xx soles. Finalmente tenemos la siguiente función objetivo:

Maximizar 21 28 xxz


El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de

vinagre más cuatro unidades

Tipo de problema Icono de identificación

FÁCIL

POCO GRADO DE DIFICULTAD RAZONABLE GRADO DE DIFICULTAD DIFÍCIL

DESAFIO

Vino Vinagre

Beneficio (S/)

8 2



16



42 21 xx

El triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se

mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.

1843 21 xx


Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos

que 01 x , 02 x .

4. Modelo Lineal:

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:

0,0

1843

42

:

28

21

21

21

21

xx

xx

xx

asujeto

xxzMax

Problema 1.3. PRODUCCIÓN

Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos departamentos. En el

departamento A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para

fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En el departamento B se invierten tres

días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de

obra y maquinaria, el departamento A dispone de 300 días operario, y el departamento B de

270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de $6000 y por cada

automóvil $2000 ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las

ganancias? (Considere que para la producción se debe utilizar ambos departamentos).

Solución:



ix : Número de vehículos del tipo )(2,)(1 automóvilcamióni a producir.


Camión

Automóvil

Disponibilidad

Departamento A (Días-operario)

7 2 300

Departamento B (Días-operario) 3 3 270

Beneficios ($) 6000 2000



17



El beneficio total se obtiene multiplicando el beneficio por el número de vehículos

producidos. Obteniendo así, un beneficio total de 21 20006000 xx soles. Finalmente

tenemos la siguiente función objetivo:

Maximizar 21 20006000 xxz


Restricción de días-operario en el departamento A.

Podemos ver que, sólo disponemos de 300 días-operario en el departamento A; pero

para producir cada camión se necesita de 7 días-operario y para producir cada

automóvil se necesita de 2 días-operario. Por tanto la restricción de días-operario en el

departamento A, queda expresado como: 30027 21 xx .

Restricción de días-operario en el departamento B.

Podemos ver que, sólo disponemos de 270 días-operario en el departamento B; pero

para producir cada camión se necesita de 3 días-operario y para producir cada

automóvil se necesita de 3 días-operario. Por tanto la restricción de días-operario en el

departamento A, queda expresado como: 27033 21 xx .



que 01 x , 02 x .

4. Modelo Lineal:


0,0

27033

30027

:

20006000

21

21

21

21

xx

xx

xx

asujeto

xxzMax

Problema 1.4. INVERSIÓN

Una entidad financiera capta depósitos y presta dinero. La captación de depósitos lleva una

hora para convencer al cliente y otra de trabajo burocrático. El préstamo de dinero lleva una

hora para convencer al cliente y dos horas de trabajo burocrático. El máximo número de

horas de trabajo disponibles es de 40 horas para convencer a los clientes y 60 horas para el

trabajo burocrático. El beneficio obtenido por prestar dinero es 1/3 mayor que el de captar



18



depósitos. ¿Cuántas operaciones de cada tipo le convienen realizar para obtener el máximo

beneficio?.

Solución:



ix : Número de operaciones del tipo )(2,)(1 préstamosdepósitosi a realizar.


El beneficio total se obtiene multiplicando el beneficio por el número de depósitos y

préstamos respectivamente. Obteniendo así, un beneficio total de 213

4xx soles.

Finalmente tenemos la siguiente función objetivo:

Maximizar 213

4xxz


Restricción de horas para convencer al cliente.

Podemos ver que, sólo disponemos de 40 horas, para convencer al cliente, de los

cuales se necesita de una hora para convencer al cliente de realizar un depósito y un

préstamo respectivamente. Por tanto la restricción queda expresado como: 4021 xx .

Restricción de horas de trabajo burocrático.

Podemos ver que, sólo disponemos de 60 horas, para realizar el trabajo burocrático, de

los cuales se necesita de 1 y 2 horas para realizar un depósito y un préstamo

respectivamente. Por tanto la restricción queda expresado como: 602 21 xx .



que 01 x , 02 x .

4. Modelo Lineal:


Depósitos Préstamos Disponibilidad

Trabajo para convencer al cliente (hora/operación)

1 1 40

Trabajo burocrático (hora/operación) 1 2 60

Beneficios ($/operación) 1 1+1/3



19



0,0

602

40

:

3

4

21

21

21

21

xx

xx

xx

asujeto

xxzMax

Problema 1.5. MEZCLAS

Pearce Dears, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido en avicultor.

Desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a

un costo mínimo. Pearce está estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa. En la Tabla 1.2

se muestra la información dietética importante por libra de grano (por ejemplo, 1 libra de

maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Elabore un modelo de PL para determinar la

mezcla dietética que satisfaga los requisitos diarios a un costo mínimo.

Tabla 1.2. Nutrientes por libra de grano

Nutriente

(mg)

Maíz Soya Avena Alfalfa Necesidades (mg)

Proteína 15 30 15 7 Mínimo 50

Calcio 40 10 40 45 Mínimo 150

Grasas 20 50 8 25 Máximo 120 y Mínimo 25

Calorías 850 1500 1200 4000 Mínimo 5000

Costo por

libra

70 45 40 90

Solución:


ix : Número de libras de 4,3,2,1i (maíz, soya, avena y alfalfa respectivamente) a comprar.


El costo total se obtiene multiplicando el costo de cada libra con la cantidad de libras

compradas. Obteniendo así, un costo total de 4321 90404570 xxxx . Finalmente tenemos

la siguiente función objetivo:

Minimizar 4321 90404570 xxxxz


Restricción de proteínas.

507153015 4321 xxxx .

Restricción de calcio.

15045401040 4321 xxxx .

Restricción de grasas.

252585020 4321 xxxx .



20



1202585020 4321 xxxx .

Restricción de calorías.

5000400012001500850 4321 xxxx .



que 0,,, 4321 xxxx .

4. Modelo Lineal:


0,,,

5000400012001500850

1202585020

252585020

15045401040

507153015

:

90404570

4321

4321

4321

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

asujeto

xxxxzMin

Problema 1.6. ENCUESTA

Para realizar una encuesta por teléfono, un grupo de investigación de mercado necesita

comunicar por lo menos a 150 esposas, 120 maridos, 100 varones adultos solteros y 110

mujeres adultas solteras. Cuesta $2 realizar una llamada telefónica durante el día, y $5

realizar una llamada telefónica durante la noche (debido a mayores costos laborales). Estos

datos se muestran en la Tabla 1.3. Se pueden realizar a lo más la mitad de estas llamadas en

la noche, por disponer de un número limitado de empleados. Formule un PL que minimice los

costos para completar la encuesta.

Tabla 1.3. Porcentaje de personas que contestan las llamadas

Persona que contesta % de llamadas diurnas % de llamadas nocturnas

Esposa 30 30

Marido 10 30

Soltero 10 15

Soltera 10 20

No contestan 40 5

Solución:


ix : Número de llamadas realizadas en horario 2,1i (diurno y noche respectivamente).



21




El costo total por las llamadas realizadas se obtiene multiplicando el costo de cada

llamada según el horario por la cantidad de llamadas realizadas. Obteniendo así, un costo

total de 21 52 xx . Finalmente tenemos la siguiente función objetivo:

Minimizar 21 52 xxz


Restricción de esposas encuestadas.

1503.03.0 21 xx .

Restricción de maridos encuestados.

1203.01.0 21 xx .

Restricción de varones solteros encuestados.

10015.01.0 21 xx .

Restricción de mujeres solteras encuestadas.

1102.01.0 21 xx .

Restricción realizar a lo más la mitad de estas llamadas en la noche.

2

212

xxx

.



que 0, 21 xx .

4. Modelo Lineal:


0,

0

1102.01.0

10015.01.0

1203.01.0

1503.03.0

:

52

21

12

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xx

xx

asujeto

xxzMin

Problema 1.7. PESCA

Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como

máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape, además, en total, las capturas

de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza es de



22



10 soles el kilo y el precio del rape es de 15 soles el kilo, ¿qué cantidades debe pescar para

obtener el máximo beneficio?

Solución:


ix : Número de toneladas de peces del tipo 2,1i (merluza y rape respectivamente) a

pescar.


Para obtener el beneficio total multiplicamos el valor de un kilo de merluza y rape por la

cantidad vendida de cada uno de ellos, para esto, debemos transformar la unidad de

medida de nuestra variable dado que está en toneladas. Obteniendo así, un beneficio total

de 21 100015100010 xtn

kg

kg

solesx

tn

kg

kg

soles .

Finalmente tenemos la siguiente función objetivo:

Minimizar 21 1500010000 xxz


Restricción de pesca de merluza.

20001 x .

Restricción de pesca de rape.

20002 x .

Restricción de pesca máxima.

300021 xx .



que 0, 21 xx .

4. Modelo Lineal:


0,

3000

2000

2000

:

1500010000

21

21

2

1

21

xx

xx

x

x

asujeto

xxzMin

Problema 1.8.

Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro

requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como se especifica en la Tabla

1.4.

Tabla 1.4. Materia prima y mano de obra



23



Materia Prima Mano de obra

Compacto 200 18

Subcompacto 150 20

Costo unitario ($) 10 70

Total disponible 80 000 9 000

La división de comercialización ha estimado que a los más 1500 compactos pueden venderse

a $10 000 cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a $8000 cada uno.

Como vicepresidente de programación, formule un modelo para determinar la cantidad a

fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos).

Solución:


ix : Cantidad de unidades de carros 2,1i (compactos y subcompactos, respectivamente) a

producir.


Dado que se desea maximizar la ganancia, debemos saber que:

Ganancia=Precio de venta-Costos de producción

Como la materia prima tiene un costo de $10 y para la elaboración de un compacto se

utiliza 200 unidades de materia prima, se tiene un costo de total de $2000 por cada

compacto producido y $ 1500 por cada subcompacto.

Del mismo modo, la mano de obra tiene un costo de $70 y para la elaboración de un

compacto se utiliza 18 unidades de mano de obra, se tiene un costo total de $1260 por

cada compacto producido y $1400 por cada subcompacto.

Finalmente obtenemos la siguiente función objetivo:

Maximizar 212121 1400126015002000800010000 xxxxxxz


Restricción de materia prima.

80000150200 21 xx .

Restricción de mano de obra.

90002018 21 xx .

Restricción de número máximo de compactos.

15001 x .

Restricción de número máximo de subcompactos.

2002 x .



que 0, 21 xx .



24



4. Modelo Lineal:


0,

200

1500

90002018

800001509200

:

51006740

21

2

1

21

21

21

xx

x

x

xx

xx

asujeto

xxzMax

1.5 MODELOS CON POCO GRADO DE DIFICULTAD

Problema 1.9. MEZCLA

Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de

dulces: Easy Out Candy y Slugger Candy, que se componen solamente de azúcar, nueces y

chocolate. Actualmente, tiene en bodega 100 onzas de azúcar, 20 oz de nueces y 30 oz de

chocolate. La mezcla para producir Easy Out Candy tiene que contener por lo menos 20% de

nueces.

La mezcla para producir Slugger Candy tiene que contener por lo menos 10% de nueces y por

lo menos 10% de chocolate. Cada onza de Easy Out Candy se vende a 25 centavos (de dólar),

y una onza de Slugger Candy a 20 centavos. Formule un PL que le permita maximizar sus

ingresos por la venta de dulces.

Solución:

En primer lugar ordenamos un poco la información dada en la siguiente tabla

Easy Out Candy Slugger Candy Disponible

Azúcar 100 onzas

Nueces Por lo menos 20% Por lo menos 10% 20 onzas

Chocolate Por lo menos 10% 30 onzas

Precio de Venta $0,25 $0.20


ijx : Cantidad de onzas usadas del ingrediente 3,2,1i (azúcar, nueces y chocolate

respectivamente) para elaborar el tipo de dulce 2,1j (Easy Out Candy y Slugger

Candy respectivamente).


Maximizar )(2.0)(25.0 322212312111 xxxxxxz


Restricción de la disponibilidad del azúcar.



25



1001211 xx .

Restricción de la disponibilidad de las nueces.

202221 xx .

Restricción de la disponibilidad de chocolates.

303231 xx .

Porcentaje de nueces en Easy Out Candy:

)(2.0 31211121 xxxx

Porcentaje de nueces en Slugger Candy:

)(1.0 32221222 xxxx

Porcentaje de chocolate en Slugger Candy:

)(1.0 32221232 xxxx



que 2,1,3,2,1;0 jixij .

4. Modelo Lineal:


2,1,3,2,1;0

)(1.0

)(1.0

)(2.0

30

20

100

:

)(2.0)(25.0

32221232

32221222

31211121

3231

2221

1211

322212312111

jix

xxxx

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

asujeto

xxxxxxzMax

ij


Sunco produce dos tipos de acero en tres diferentes acerías. Durante un mes dado, cada

acería dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y costo de producción de una tonelada

(ton) de acero, difiere de una fábrica a otra, debido a las diferencias en los hornos de cada

fábrica En la Tabla 1.5, se muestran el tiempo y costo de producción para cada fábrica. Cada

mes. Sunco tiene que producir por lo menos 500 ton de acero 1 y 600 ton de acero 2.

Formule un PL para minimizar los costos para producir el acero deseado.

Tabla 1.5. Producir una tonelada de acero

Acero 1 Acero 2

Costo tiempo Costo Tiempo

Acería 1 $10 20 min $11 22 min



26





Solución:


ijx : Toneladas que la acería 3,2,1i produce del acero 2,1j .


Minimizar 323122211211 10149121110 xxxxxxz


Restricción de tiempo de producción acería 1:

hhtonx

tontonx

ton

min60200

min22

min20 1211 .

602002220 1211 xx


602001824 2221 xx .


602003028 3231 xx .

Producción de acero1:

500312111 xxx

Producción de acero2:

600322212 xxx



que 2,1,3,2,1;0 jixij .

4. Modelo Lineal:


2,1,3,2,1;0

600

500

120003028

120001824

120002220

:

10149121110

322212

312111

3231

2221

1211

323122211211

jix

xxx

xxx

xx

xx

xx

asujeto

xxxxxxzMin

ij




27



Funco fabrica mesas y sillas. Hay que fabricar cada mesa y cada silla completamente de

roble o de pino. Se dispone de un total de 150 pies de tabla de roble y de 210 pies de tabla de

pino. Una mesa requiere 17 pie de roble, o bien 30 pies de pino y una silla necesita 5 pies de

roble, o bien, 13 pies de pino. Se puede vender cada mesa a 40 dólares y cada silla a 15

dólares. Formule un PL que se puede usar para maximizar los ingresos.

Solución:

En primer lugar ordenamos la información dada en la siguiente tabla

Mesa Silla Disponible

Roble 17 5 150

Pino 30 13 210

Precio de Venta $40 $15


ijx : Número de unidades de tipo 2,1i (mesa y silla respectivamente), elaborado a base de

2,1j (roble y pino, respectivamente)


Maximizar )(15)(40 22211211 xxxxz


Restricción de disponibilidad de roble:

150517 2111 xx

Restricción de disponibilidad de pino:

2101330 2212 xx



que 2,1,2,1;0 jixij .

4. Modelo Lineal:


2,1,2,1;0

2101330

150517

:

)(15)(40

2212

2111

22211211

jix

xx

xx

asujeto

xxxxzMax

ij




28



Se va a elaborar un producto a base de tres componentes que se producen en tres diferentes

departamentos, disponiendo de los datos mostrados en la Tabla 1.6. El objetivo es determinar

el número de horas de cada departamento a ser asignadas a cada parte, para maximizar el

número de unidades completas del producto final. Formule como un modelo de Programación

lineal.

Tabla 1.6. Capacidad y tasa de producción de las componentes

Departamento Capacidad

(horas)

Tasa de Producción (unid/h)

C1 C2 C3

1 250 12 10 18

2 300 9 12 11

3 360 10 5 12

Solución:


ijx : Número de horas a laborar para la producción del componente 3,2,1i en el

departamento 3,2,1j .


Maximizar Pz


Restricción de número de unidades del componente 1:

Pxxx 131211 10912


Pxxx 232221 51210


Pxxx 333231 121118

Capacidad de horas del departamento 1:

250312111 xxx


300322212 xxx


360332313 xxx



que 3,2,1,3,2,1;0 jixij .

4. Modelo Lineal:




29



2,1,2,1;0

360

300

250

121118

51210

10912

:

332313

322212

312111

333231

232221

131211

jix

xxx

xxx

xxx

Pxxx

Pxxx

Pxxx

asujeto

PzMax

ij

Problema 1.13. PERSONAL

Un cierto restaurante opera 7 días a la semana. A las camareras se les contrata para trabajar

6 horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5

días consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso. Cada camarera recibe el

mismo sueldo semanal. En la Tabla 1.7 se presentan las necesidades de contratación.

Supóngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el

hecho de que el número de camareras contratadas tiene que ser un número entero. El

gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas necesidades a un costo

mínimo. Formule este problema como un programa lineal.

Tabla 1.7. Necesidades de contratación de camareras

Día Camareras

necesarias

Lunes 150

Martes 200

Miércoles 400

Jueves 300

Viernes 700

Sábado 800

Domingo 300

Solución:


ix : Camareras que ingresan a trabajar el día DSVJMiMLi ,,,;,, (lunes, martes, miércoles,

jueves, viernes, sábado y domingo)


Minimizar DSVJMiML xxxxxxxz




30



Para construir las restricciones del problema, utilizamos la siguiente tabla, en la cual se

muestra los días en las que están presentes los trabajadores según el día que comienzan a

trabajar. (Por ejemplo; los trabajadores que inician sus labores el día viernes trabajan

hasta el martes)

LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO

Lx Lx Lx Lx Lx

Mx Mx Mx Mx Mx

Mix Mix Mix Mix Mix

Jx Jx Jx Jx Jx

Vx Vx Vx Vx Vx

Sx Sx Sx Sx Sx

Dx Dx Dx Dx Dx

Restricción del día lunes:

1506 DSVJL xxxxx

Restricción del día martes:

2006 DSVML xxxxx

Restricción del día miércoles:

4006 DSMiML xxxxx

Restricción del día jueves:

3006 DJMiML xxxxx

Restricción del día viernes:

7006 VJMiML xxxxx

Restricción del día sábado:

8006 SVJMiM xxxxx

Restricción del día domingo:

3006 DSVJMi xxxxx



que DSVJMiMLixi ,,,,,,;0 .

4. Modelo Lineal:




31



DSVJMiMLix

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

asujeto

xxxxxxxzMin

i

DSVJMi

SVJMiM

VJMiML

DJMiML

DSMiML

DSVML

DSVJL

DSVJMiML

,,,,,,;0

3006

8006

7006

3006

4006

2006

1506

:

Problema 1.14. MEZCLA

Un viñedo desea mezclar cuatro cosechas diferentes para producir tres tipos de vino

mezclado. Se establecen restricciones al porcentaje de la composición de las mezclas.

Se puede vender cualquier cantidad de la mezcla B y de la mezcla C pero a la mezcla A se le

considera una mezcla de alta calidad y por consiguiente no se venden más de 50 galones.

Elabore un modelo de PL que hará el mejor uso de las cosechas con que se cuenta.

Tabla 1.8. Composición de las mezclas

Mezcla Vendimia

Precio de

venta (gal)

1 2 3 4

A Por lo menos 75% de 1 y 2 * Cuando más 50% 70

B Por lo menos 35% de 1 y 2 * * 40

C * * * Cuando más 40% 30

Oferta (gal) 180 250 200 400

(*) Señala que no existe restricción.

Solución:

Vendimia 1 Vendimia 2 Vendimia 3 Vendimia 4

Mezcla A Ax1 Ax2 Ax3 Ax4

Mezcla B Bx1 Bx2 Bx3 Bx4

Mezcla C Cx1 Cx2 Cx3 Cx4


ijx : Número de galones a utilizar de la vendimia 4,3,2,1i para la elaboración de la mezcla

CBAj ,,




32



galxxxxgal

galxxxxgal

galxxxxgal

zMaximizar CCCCBBBBAAAA 43214321432130$40$70$


Mezcla A: en la expresión por lo menos 75% de 1 y 2, se tiene que ver quiénes son la

que componen la mezcla A para ubicarlas como denominador, en el numerador se

tiene a las vendimias 1 y 2 , obteniéndose la siguiente expresión:

75.04321

21

galxxxx

galxx

AAAA

AA

Por otro lado, en la expresión cuando más 50%, el denominador es igual a la restricción

anterior por que se refiere a la misma mezcla pero el numerador es solo con respecto a

la vendimia 4, la expresión queda:

50.0

4321

4 galxxxx

galx

AAAA

A

Mezcla B: En la expresión por lo menos 35% , el denominador esta formado por todas la

vendimias pero el numerador se refiere sólo a las vendimias 1 y 2, la expresión es:

35.04321

21

galxxxx

galxx

BBBB

BB

Mezcla C: En la expresión cuando más 40%, el denominador esta formado por todas la

vendimias pero el numerador se refiere sólo a la vendimia 4, la expresión es:

40.0

4321

4 galxxxx

galx

CCCC

C

Oferta de la vendimia 1: se tiene en oferta 180 galones, como esto es lo máximo que se

dispone entonces la restricción queda:

galgalxxx CBA 180111












33





que CBAjixij ,,,4,3,2,1;0 .

4. Modelo Lineal:


CBAjix

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

asujeto

xxxxxxxxxxxxzMax

ij

CBA

CBA

CBA

CBA

CCCC

BBBB

AAAA

AAAA

CCCCBBBBAAAA

,,,4,3,2,1;0

400

200

250

180

06.04.04.04.0

035.035.065.065.0

05.05.05.05.0

075.075.025.025.0

:

304070

444

333

222

111

4321

4321

4321

4321

432143214321


Química S.A. diluye cada litro de ácido sulfúrico concentrado con 20 litros de agua destilada

para producir H2SO4. De manera similar, cada litro de ácido clorhídrico concentrado se

diluye con 30 litros de agua destilada para producir HCL. Estos dos productos son vendidos a

escuelas de segunda enseñanza a $0.10 por botella de 100 mililitros (esto es, 0.1 litros). La

compañía actualmente tiene 50000 botellas vacías en inventario. Suponga que existe una

cantidad virtualmente ilimitada de agua destilada que cuesta $0.15 por litro.

Tabla 1.9. Costos y suministros

Acido

Sulfúrico

Acido

Clorhídrico

Costo ($/litro) 12 18

Suministro(litros) 200 150

Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ácido concentrado por diluir para

maximizar las ganancias totales.

Solución:


1x : Número de litros de H2SO4 concentrado

2x : Número de litros de HCL concentrado

1y : Número de litros de agua para concentrado de H2SO4



34



2y : Número de litros de agua para concentrado de HCL

1p : Número de litros de H2SO4 para venta

2p : Número de litros de HCL para venta


Maximizar litrosxlitros

litrosxlitros

litrosyylitros

litrosplitros

litrosplitros

z 21212118$12$15.0$

10.0

10.0$

10.0

10.0$


Cantidad de H2SO4:

2001 x

Cantidad de HCL:

1502 x

Cantidad de botellas:

botellaslitroyxlitro

botellalitroyx

litro

botella50000

1.0

1

1.0

12211

Proporción:

20

1

1

1 y

x

30

1

2

2 y

x

Producción:

111 yxp

222 yxp



que 0,,,,, 212121 ppyyxx .

4. Modelo Lineal:


0,,,,,

030

020

500001010

150

200

:

181215.01.01.0

212121

222

111

22

11

2211

2

1

212121

ppyyxx

yxp

yxp

yx

yx

yxyx

x

x

asujeto

xxyyppzMax



35



Problema 1.16. JUEGOS

Un matemático desea distribuir fichas de valor entre 1 y 6 en un tablero de 3 filas y 3

columnas, con tal que la suma de este de 6, ¿Cuál debe ser el valor de cada ficha a colocar

con tal que se cumpla el objetivo propuesto?

Solución:


ijx : Valor de la ficha de la fila 3,2,1i y la columna 3,2,1j .


Minimizar 333231232221131211 xxxxxxxxxz


Filas:

6

6

6

333231

232221

131211

xxx

xxx

xxx

Columnas:

6

6

6

332313

322212

312111

xxx

xxx

xxx

Valores:

61

61

61

61

61

61

61

61

61

33

32

31

23

22

21

13

12

11

x

x

x

x

x

x

x

x

x

No negatividad:

0ijx

4. Modelo Lineal:




36



3,2,1,3,2,1;0

61

61

61

61

61

61

61

61

61

6

6

6

6

6

6

:

33

32

31

23

22

21

13

12

11

332313

322212

312111

333231

232221

131211

333231232221131211

jix

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

asujeto

xxxxxxxxxzMin

ij

Problema 1.17. AGRICULTURA

Una cooperativa agrícola grande del suroeste de los Estados Unidos de Norteamérica opera

cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua

disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la

Tabla 1.10 describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos,

aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación

en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres

de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la Tabla 1.11 reflejan el

máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se

requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 6,

5 y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500,

$350 y $200, respectivamente.

Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha

adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno

disponible. Plantee un modelo de PL para el problema que permita la cooperativa a

determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que

se maximice la utilidad total esperada para la cooperativa.

Tabla 1.10. Disponibilidad de agua y tierras

Granja Disponibilidad de agua

(pies cúbicos)

Disponibilidad de tierra

(acres)

1 480000 450



37



2 1320000 650

3 370000 350

4 890000 500

Tabla 1.11. Cantidades máximas de acres

Cultivo Granja 1 Granja 2 Granja 3 Granja 4

A 200 300 100 250

B 150 200 150 100

C 200 350 200 300

Solución:


ijx : Número de acres a sembrar en la granja 4,3,2,1i con el cultivo 3,2,1j .


Maximizar 433323134232221241312111200$350$500$

xxxxacres

acresxxxxacres

acresxxxxacre

z


Cantidad máxima de acre en cada granja para cada cultivo:

acresacresx

acresacresx

acresacresx

acresacresx

acresacresx

acresacresx

acresacresx

acresacresx

acresacresx

acresacresx

acresacresx

acresacresx

300

100

250

200

150

100

350

200

300

200

150

200

43

42

41

33

32

31

23

22

21

13

12

11

Agua Disponible para la granja 1:

cos480000cos4000cos5000cos6000

131211 cúbipiesacresxacre

cúbipiesacresx

acre

cúbipiesacresx

acre

cúbipies


cos1320000cos4000cos5000cos6000


cúbipiesacresx

acre

cúbipiesacresx

acre

cúbipies



38






cúbipiesacresx

acre

cúbipiesacresx

acre

cúbipies




cúbipiesacresx

acre

cúbipiesacresx

acre

cúbipies

Cantidad de Acres por Granja 1:

acresacresxxx 450131211







Proporción de acres a cultivar

acres

acresxxx

acres

acresxxx

650450

232221131211

acres

acresxxx

acres

acresxxx

350650

333231232221

acres

acresxxx

acres

acresxxx

500350

434241333231

No negatividad:

0ijx

4. Modelo Lineal:




39



3,2,1,4,3,2,1;0

0350500

0650350

0450650

500

350

650

450

890000400050006000

370000400050006000

1320000400050006000

480000400050006000

300

100

250

200

150

100

350

200

300

200

150

200

:

200350500

434241333231

333231232221

232221131211

434241

333231

232221

131211

434241

333231

232221

131211

43

42

41

33

32

31

23

22

21

13

12

11

433323134232221241312111

jix

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

asujeto

xxxxxxxxxxxxzMax

ij

1.6 MODELOS CON RAZONABLE GRADO DE DIFICULTAD

Problema 1.18.

Se está diseñando un vehículo espacial para llevar astronautas a Marte y traerlos de regreso.

Este vehículo tendrá tres compartimentos, cada uno con su propio sistema de mantenimiento

de la vida independiente. El elemento clave en cada uno de estos sistemas es una pequeña

unidad oxidante que provoca un proceso químico para producir oxigeno. Sin embargo, no

pueden probarse con anticipación y solo se logra algo en provocar este proceso químico. Por

lo tanto, es importante tener unidades de apoyo para cada sistema. En virtud de la diferencia

en los requerimientos para los tres compartimentos, las unidades que se necesitan para cada

uno tienen características un tanto diferentes. Ahora debe tomarse una decisión sobre

cuantas unidades proporcionar a cada compartimento, tomando en cuenta las limitaciones

de diseño sobre la cantidad total de espacio, peso y costo que pueden ser asignadas a estas

unidades en relación con la nave completa. La Tabla 1.12 se resume estas limitaciones así

como las características de las unidades individuales por cada compartimento.



40



Tabla 1.12. Espacio, peso y probabilidades de fallas en los compartimientos

Compartimento Espacio

(pulg3)

Peso (lb) Costo ($) Probabilidad de

falla

1 40 15 30000 0.3

2 50 20 35000 0.4

3 30 10 25000 0.2

Disponibilidad 500 200 400000

Si todas las unidades fallan en solo uno o dos de los compartimentos, los astronautas pueden

ocupar el compartimento, o los compartimentos restantes y continuar su viaje espacial pero

con cierta perdida en la cantidad de información científica que puede ser obtenida. Sin

embargo, si todas las unidades fallan en los tres compartimentos, entonces los astronautas

todavía pueden regresar la nave con seguridad, pero el viaje en conjunto debe ser

completamente abortado a gran costo. Por lo tanto, el objetivo es minimizar la probabilidad de

que esto ocurra, sujeto a las limitaciones antes mencionadas y a la restricción adicional de

que cada compartimento tenga una probabilidad de no más del 0.05 de que todas sus

unidades fallen. Plantéese el modelo de programación lineal para este problema. (Sugerencia:

úsense logaritmos)

Solución:


ix : Número de unidades de apoyo en el compartimento 3,2,1i .


Prob (compart. 1) Prob (compart. 2) Prob (compart. 3)

Minimizar 321 2.04.03.0xxx

z

Dado que dicho objetivo no es lineal, debemos linealizar dicha función objetivo, para esto

utilizamos las propiedades de los logaritmos, tomando zZ ln , obtenemos

Minimizar )2.0ln()4.0ln()3.0ln( 321 xxxZ


Espacio:

500305040 321 xxx

Peso:

200102015 321 xxx

Costo:

400000250003500030000 321 xxx

Probabilidad de falla en el compartimiento 1:



41



)3.0ln(

)05.0ln(05.03.0 1

1 xx

Si existe una unidad en el compartimiento 1, la probabilidad de falla seria de 0.3, si

hubieran dos unidades, la probabilidad seria (0.3) (0.3) = (0.09), y de modo general, si

hubieran 1x unidades, la probabilidad seria 13.0x


)4.0ln(

)05.0ln(05.04.0 2

2 xx


)2.0ln(

)05.0ln(05.02.0 3

3 xx

No negatividad:

0,, 321 xxx

4. Modelo Lineal:

0,,

)2.0ln(

)05.0ln(

)4.0ln(

)05.0ln(

)3.0ln(

)05.0ln(

400000250003500030000

200102015

500305040

:

)2.0ln()4.0ln()3.0ln(

321

3

2

1

321

321

321

321

xxx

x

x

x

xxx

xxx

xxx

asujeto

xxxZMin

Problema 1.19.

Una familia de granjeros posee 100 acres de tierra y tiene $30000 en fondos disponibles para

inversión. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra

durante los meses de invierno (de mediados de septiembre a mediados de mayo), 4000

horas-hombre durante el verano. Si no se necesitan cualesquiera de estas horas-hombre, los

miembros más jóvenes de la familia usarán para trabajar en una granja vecina por

$4.00/hora, durante los meses de invierno, y $4.50/hora, durante el verano.

El ingreso de efectivo puede obtenerse a partir de tres cultivos y dos tipos de animales: vacas

lecheras y gallinas ponedoras. No se necesita invertir en los cultivos. Sin embargo, cada vaca

requerirá un desembolso de $900 y cada gallina requerirá de $7. Cada vaca requerirá 1.5

acres de tierra, 100 horas-hombre de trabajo durante los meses de invierno, y otras 50

horas-hombre durante el verano. Cada vaca producirá un ingreso anual neto en efectivo de



42



$800 para la familia. Los valores correspondientes para las gallinas son: nada de tierra, 0,6

horas hombre durante el verano y un ingreso anual neto en efectivo de $5. El gallinero puede

acomodar un máximo de 300 gallinas y el tamaño del granero limita el rebaño a un máximo

de 32 vacas. Las horas hombres y los ingresos estimados por acre plantado en cada uno de

los tres cultivos se muestran en Tabla 1.13

Tabla 1.13. Distribución de horas hombre e ingresos estimados

Frijol de soya Maíz Avena

Horas hombre en invierno 20 35 10

Horas hombre en verano 50 75 40

Horas anual neto en efectivo($) 375 550 250

La familia desea saber cuántos acres deben plantarse en cada uno de cultivos y cuántas

vacas y gallinas deben tener para maximizar su ingreso neto de efectivo.

Plantéese el modelo de programación lineal para este problema.

Solución:


1x : Número de acres de tierra asignados para el frijol de soya.

2x : Número de acres de tierra asignados para el maíz.

3x : Número de acres de tierra asignados para la avena.

4x : Número de vacas.

5x : Número de gallinas.

6x : Horas-hombre ociosas en invierno.

7x : Horas-hombre ociosas en verano.


Minimizar 7654321 5.445800250550375 xxxxxxxz


Acres:

acresacresxxxx 1005.1 4321

Tamaño del gallinero:

gallinasgallinasx 3005

Tamaño del rebaño:

vacasvacasx 324

Horas-hombre en invierno:

brehorasbrehorasxxxxx hom/3500hom/100103520 64321



43



Horas-hombre en verano:

brehorasbrehorasxxxxxx hom/4000hom/6.050407550 754321

Fondos:

30000$7$900$

54 gallinasxgallinas

vacasxvaca

No negatividad:

0ix

4. Modelo Lineal:

0,,,,,,

300007900

40006.050407550

3500100103520

32

300

1005.1

:

5.445800250550375

7654321

54

754321

64321

4

5

4321

7654321

xxxxxxx

xx

xxxxxx

xxxxx

x

x

xxxx

asujeto

xxxxxxxzMin

Problema 1.20.

La corporación Brady produce armarios. Necesitan semanalmente 90 000 pies cúbicos de

madera procesada. Puede conseguir madera procesada de dos maneras.

Primero, puede comprar madera de un proveedor eterno, y después secarla en su propio

horno. Segundo, puede cortar troncos en sus propios terrenos, convertidos en madera en su

propio aserradero y, finalmente, secar la madera en su propio horno. Brady puede comprar

madera clase 1 o clase 2. La madera clase 1 cuesta 3 dólares/pie cúbico y produce 0.7 pie

cúbico de manera útil luego de secarla. La madera clase 2 cuesta 7 dólares/pie cúbico y

produce 0.9 pie cúbico de madera útil ya seca. Le cuesta 3 dólares a la compañía cortar un

tronco. Después de cortarlo y secarlo, un tronco produce 0.8 pie cúbico de madera. Brady

incurre en un costo de 4 dólares/pie cúbico de madera seca. Cuesta 2.50 dólares/pie cúbico

procesar troncos en el aserradero. El aserradero puede procesar semanalmente hasta 35 000

pie cúbico de madera. Se puede comprar cada semana hasta 40 000 pies cúbicos de madera

de clase 1, y hasta 60 000 pies cúbicos de madera de clase 2. Semanalmente, se disponen de

40 horas para secar madera de clase 1, madera clase 2, o troncos, es el siguiente. Clase 1, 2

segundos, clase 2, 8 segundos, troncos, 1.3 segundos. Formule un PL para ayudar a Brady a

minimizar los costos semanales para satisfacer las demandas de madera procesada.

Solución:


T : Número de acres de tierra asignados para el frijol de soya.

1PCL : Número de pies cúbicos de madera comprada de clase 1 semanalmente.



44



2PCL : Número de pies cúbicos de madera comprada de clase 2 semanalmente.


Minimizar

semana

troncoT

tronco

pie

piesemana

piePCL

pie

utilpie

utilpie

semana

piePCL

pie

utilpie

utilpiesemana

troncoT

semana

pie

pie

semana

piePCL

piesemana

piePCL

piesemana

troncoT

tronco

piePCL

piesemana

piePCL

piez

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

8.05.22

19.05.2

17.05.2

8.04

24

14

27

13


Compra:

semana

pie

semana

piePCL

33

400001

semana

pie

semana

piePCL

33

600002

Tiempo de secado:

h

seg

semana

h

tronco

segtroncoT

semana

piePCL

pie

seg

semana

piePCL

pie

seg3600403.128.01

2 3

3

3

3

Capacidad de aserradero:

semana

pietroncoT

tronco

utilpiepiePCL

pie

utilpiepiePCL

pie

utilpie 333

3

33

3

3

35008.029.017.0

Pedido:

semana

utilpietroncoT

tronco

utilpie

semana

piePCL

pie

utilpie

semana

piePCL

pie

utilpie 333

3

33

3

3

900008.029.017.0

No negatividad:

02,1, PCLPCLT

4. Modelo Lineal:

02,1,

900008.029.017.0

35008.029.017.0

3600403.128.012

600002

400001

:

8.05.2219.05.217.05.28.0424142713

PCLPCLT

TPCLPCL

TPCLPCL

TPCLPCL

PCL

PCL

asujeto

TPCLPCLTPCLPCLTPCLPCLzMin



45



Problema 1.21.

Un consumidor requiere, durante los próximos cuatro meses, 50, 65, 100 y 70 unidades,

respectivamente, de cierto artículo (no se permiten demandas pendientes). Los costos de

producción son 5 dólares, 8 dólares, 4 dólares y 7 dólares por unidad, durante estos meses.

El costo de almacenaje de un mes al siguiente, es de 2 dólares por unidad (aplicado al

terminar el inventario). Se estima que cada unidad sobrante al final del cuarto mes, tendrá

que venderse a 6 dólares. Formule un PL que minimice los costos netos para cumplir con las

demandas durante los próximos cuatro meses.

Solución:

Mes

1 2 3 4

Demanda 50 65 100 70

Costo de

producción $5/unid $8/unid $4/unid $7/unid


iI : Número de unidades en el mes 4,3,2,1i .

iP : Número de unidades producidas en el mes 2,1i .

iD : Número de unidades demandadas en el mes 4,3,2,1i .


Minimizar unidIunid

unidIIIunid

unidPunid

unidPunid

unidPunid

unidPunid

z 432143216$427$4$8$5$


Inventario y demanda en el mes 1:

501

1101

D

DPII


65

.

2

2212

D

DPII


1003

3323

D

DPII

Inventario y demanda del mes 4:

704

4434

D

DPII

No hay nada guardado

00 I

No negatividad:



46



0,,,,,,,,,, 43213214321 PPPPDDDIIII

4. Modelo Lineal:

0,,,,,,,,,,

70

100

65

.

50

:

6427485

43213214321

4

4434

3

3323

2

2212

1

1101

43214321

PPPPDDDIIII

D

DPII

D

DPII

D

DPII

D

DPII

asujeto

IIIIPPPPzMin

1.7 MODELOS DIFÍCILES

Problema 1.22.

Gracias a una adecuada estrategia de marketing y a la calidad del producto, cierta pequeña

fábrica de canastos de mimbre ha recibido pedidos que superan su actual capacidad de

producción. Durante las próximas cuatro semanas debe entregar 52, 65, 70 y 85 canastos,

respectivamente. Actualmente cuenta con seis artesanos.

La gerencia general de la fábrica ha decidido contratar personal nuevo para poder cumplir

sus compromisos comerciales. Dada la escasez de artesanos, se deberá contratar personal sin

experiencia. Un novato puede ser entrenado para llegar a ser aprendiz durante una semana.

La segunda semana trabaja como aprendiz para ganar experiencia. Comenzando la tercera

semana (después de dos semanas de trabajo) se transforma en artesano.

La producción estimada y sueldos de los empleados es la siguiente:

PRODUCCIÖN SALARIOS

Canastos/semana $/semana

Artesano dedicado sólo a la

producción

10 30

Artesano dedicado a

producción y entrenamiento

5 40

Aprendiz 5 15

Novato 1 5

Cada artesano puede entrenar hasta dos novatos por semana (el entrenamiento de un novato

sólo dura una semana). Todo excedente de producción semanal puede ser guardado para

cumplir los siguientes compromisos comerciales.



47



Los analistas de la empresa estiman que la demanda semanal de canastos difícilmente

superará los noventa canastos, por lo que han decidido terminar el período sin novatos y

aprendices, pero con al menos nueve artesanos. Los reglamentos sindicales de la empresa

prohíben los despidos por reducción de personal.

Formule un modelo de programación lineal que permita definir las contrataciones a realizar,

de modo de cumplir los compromisos comerciales a costo mínimo.

Solución.

Para resolver el problema se utilizarán las siguientes variables de decisión:

1. Variables de decisión:

ijx : Personal de tipo 4,3,2,1i (artesano productor, artesano instructor, aprendiz y novato

respectivamente) trabajando en semana 4,3,2,1j .

jz : Sobreproducción de semana 4,3,2,1j .

Variable secundaria:

i : Salario del empleado del tipo 4,3,2,1i .

2. Función Objetivo:

Se debe de cumplir con los compromisos a costo mínimo.

Min

4

1

4

1j iiji xZ

3. Restricciones:

Semana 1:

52510

2

52510

6

4121111

2141

412111

2111

xxxz

xx

xxx

xx

Semana 2:

655510

2

655510

1324222122

2242

132422212

21112212

4132

zxxxxz

xx

zxxxx

xxxx

xx

Semana 3:



48



705510

2

705510

2334323133

2343

233432313

3222122313

4233

zxxxxz

xx

zxxxx

xxxxx

xx

Semana 4:

9

85510

14

33414

33231314

4334

x

zxx

xxxx

xx

Naturaleza de las variables:

0, Zzx jij

Problema 1.23.

La ciudad 1 produce 500 toneladas de basura por día y la ciudad 2 produce 400 toneladas

por día. La basura debe ser incinerada en los incineradores 1 ó 2, y cada incinerador puede

procesar hasta 500 toneladas de basura por día. El costo de incinerar la basura es US$

40/ton en el incinerador 1 y US$ 30/ton en el incinerador 2. La incineración reduce cada

tonelada de basura a 0.2 toneladas de cenizas, las cuales deben ser llevadas a uno de dos

depósitos. Cada depósito puede recibir a lo más 200 toneladas de cenizas por día. El costo es

de US$ 3/milla para transportar una tonelada de material (ya sea ceniza o basura). Las

distancias en millas se muestran en la tabla.

Formule el problema de programación lineal que se puede usar para minimizar los costos.

Incinerador 1 Incinerador

2

Ciudad 1 30 5

Ciudad 2 36 42

Botadero 1 Botadero 2

Incinerador 1 5 8

Incinerador 2 9 6

Solución.

El objetivo del problema es minimizar los costos involucrados en el traslado e incineración de

la basura. Este costo está asociado al costo de transporte (función de la distancia) y al costo

de incinerar (función del incinerador y la cantidad). Para conseguir este objetivo se debe

considerar las posibles decisiones que admite el problema:

La cantidad de basura a trasladar desde cada ciudad (1 y 2) a cada uno de los incineradores

(1 y 2).

La cantidad de ceniza a trasladar desde cada incinerador (1 y 2) a cada uno de los botaderos

(1 y 2).



49



Para esto, asumimos algunos supuestos y características:

Toda la basura producida en un día debe ser incinerada durante ese mismo día.

Los botaderos no cobran por recibir las cenizas.

Existe indiferencia en escoger el incinerador 1 ó 2 con relación a cualquier variable

que no sea el costo por tonelada incinerada.

El costo de transporte es una función exclusiva de la distancia recorrida, dejando de

lado cualquier otro factor.

La decisión se tomará exclusivamente desde el punto de vista de los costos.

El análisis se realizará en el período de un día, dado los datos entregados.

Formulación:


De acuerdo al objetivo y los supuestos planteados, determinamos las siguientes variables de

decisión:

ijX : Cantidad de basura en toneladas transportada desde la ciudad 2,1i hasta el

incinerador 2,1j .

ijY : Cantidad de ceniza en toneladas transportada desde el incinerador 2,1i hasta el

botadero 2,1j .

2. Función objetivo: Con la tabla de distancias dadas y los costos de incineración, se

plantea la función objetivo:

221221112221121122211211 3040698542365303 XXXXYYYYXXXXZ

3. Restricciones:

Con la información de la producción de basura, capacidad de incineración y la capacidad

máxima de recepción de ceniza de los botaderos, se construyen las restricciones del

problema

Capacidad máxima del incinerador 1:

5002111 XX

Capacidad máxima del incinerador 2:

5002212 XX

Producción de basura de la ciudad 1:

5001211 XX

Producción de basura de la ciudad 2:

4002221 XX

Recepción máxima del botadero 1:



50



2002111 YY

Recepción máxima del botadero 2:

2002212 YY

No negatividad de las variables:

0,Xij ijY

Cabe destacar que todas las variables deben ser positivas y no necesariamente enteras dado

que representan peso de basura o de ceniza. Es importante agregar también dos condiciones

relativas a que cada tonelada de basura que entra al incinerador es transformada en 0.2

toneladas de ceniza, luego:

Relativo al incinerador 1:

121121112.0 YYXX

Relativo al incinerador 2:

222122122.0 YYXX

Las condiciones anteriores pueden ser agregadas al problema como dos restricciones más, o

bien despejar dos de ellas en función de otras tres, de modo de reducir el problema a un total

de seis variables.

Problema 1.24. PLANEACION DE PRODUCCION DE CASSINELLI E HIJOS S.A.C

La empresa de bebidas gaseosas Enrique Cassinelli e Hijos S.A. es de origen trujillano, se

dedica a la producción y comercialización de bebidas gaseosas Cassinelli, en diferentes

presentaciones y sabores.

Su comercialización se realiza tanto en la ciudad de Trujillo como en la zona norte (Chiclayo,

Piura, Talara) y nor Oriente (Bagua, Jaen, Tarapoto).

Actualmente Cassinelli tiene una participación en el mercado de Trujillo de 10%, Concordia

14%, Kola Real 11%, Triple Kola 13.4%, Inka Kola 13.8%, Coca Cola 14.2%, y el 23.6%

corresponde a otras marcas.

Gaseosas Cassinelli posee un potencial para tener una importante participación en el

mercado , ya que posee características que se ajustan a una bebida agradable y es percibida

como una bebida regional ,sin embargo presenta una baja recordación por alojamiento de la

marca del mercado, por lo que le hace perder preferencia ante otras marcas de gaseosas.

Por lo tanto la Gerencia General ha encomendado al Departamento de Producción realizar un

plan de Producción para maximizar sus ganancias mensuales.



51



Como se menciono, la empresa Enrique Cassinelli e hijos se dedica a la fabricación de

bebidas gaseosas, siendo las presentaciones comercializadas las que se demuestran a

continuación:

Tabla 1.14. Presentación de las bebidas gaseosas

TIPO DE BEBIDA PRESENTACION

Gaseosa NR de 2.65 Lt. Caja x 12 unidades



Gaseosa NR de 0.296Lt. Caja x 24 unidades

La empresa en estudio cuenta con una planta de producción que opera las 48 horas a la

semana. Esta planta tiene una capacidad de producción de 160,000 caja/mes.

El proceso de fabricación de estos productos se lleva a cabo en dos etapas (Áreas de trabajo)

1. En el Dpto. de Elaboración se realiza la preparación de jarabes el mismo que cuenta

con 4 trabajadores permanentes.

2. En el Dpto. de Envasado se realiza trabajos inherentes al proceso de envasado y

presentación final del producto. Este Dpto. cuenta con 15 trabajadores

Las horas requeridas en ambos departamentos para producir 1000 cajas de cada uno de los

productos mencionados en la Tabla 1.14, se muestran en la Tabla 1.15.

Tabla 1.15. Requerimientos horas/1000 cajas

2.65 lt. 1.75lt 0.60 lt 0.296 lt

Dpto. Elaboración 2.65 1.75 1.75 1.07

Dpto. Envasado 4.41 2.91 1.29 1.78

La demanda proyectada máxima para el mes de octubre 2002 se muestra en la siguiente

Tabla 1.16

Tabla 1.16. Demanda proyectada máxima para el mes de octubre 2002

TIPO DE BEBIDA DEMANDA

Gaseosa NR de 2.65 Lt. 10,552 cajas/mes



Gaseosa NR de 0.296 Lt. 56,880cajas/mes

TOTAL OCTUBRE 2002 164,700 cajas/mes

El Dpto. de Contabilidad de la empresa estima un margen de ganancia para cada producto,

de:



52



Tabla 1.17. Margen de ganancia por producto

TIPO DE BEBIDA MARGEN DE GANANCIA

(soles/caja)

Gaseosa NR de 2.65 Lt. 1.38




La Gerencia ha solicitado determinar el Plan de Producción semanal óptimo para el mes de

octubre 2002.

Para determinar el plan de producción óptimo, el objetivo general es elaborar un modelo

lineal que permita hallar el plan de producción óptimo y como objetivos específicos tenemos

que determinar la cantidad de cada tipo de gaseosa que se debe elaborar semanalmente y

obtener la máxima utilidad en la producción de gaseosas Cassinelli.


ijX : Número de cajas a producir de gaseosa del tipo 4,3,2,1i (NR de 2.65 lt, NR de 1.75 lt,

NR de 0.60 lt, VR de 0.296 lt) en la semana 4,3,2,1j .

2. Función objetivo:

Maximizar el precio de venta*producción

cajasXXXXcaja

ScajasXXXX

caja

S

cajasXXXXcaja

ScajasXXXX

caja

SZMax

4443424134333231

2423222114131211

05.1/02.1/

22.1/38.1/

3. Restricciones:

Con la información de la producción de basura, capacidad de incineración y la capacidad

máxima de recepción de ceniza de los botaderos, se construyen las restricciones del

problema

Demanda de gaseosas:

cajascajasXXXX 1055214131211 Gaseosas NR de 2.65 Lt.




Producción de gaseosas:

cajastcajasXXXX 114131211 Gaseosas NR de 2.65 Lt.




53





Capacidad de producción:

cajascajastttt 1600004321

Tiempo de producción en el departamento de elaboración:

10004807.117.175.165.2

41312111 cajaXcaja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

h (Semana 1)

10004807.117.175.165.2

42322212 cajaXcaja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

h

(Semana 2)

10004807.117.175.165.2

43332313 cajaXcaja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

h

(Semana 3)

10004807.117.175.165.2

44342414 cajaXcaja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

h

(Semana 4)

Tiempo de producción en el departamento de envasado:

10004878.129.191.241.4

41312111 cajaXcaja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

h (Semana 1)

10004878.129.191.241.4

42322212 cajaXcaja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

h

(Semana 2)

10004878.129.191.241.4

43332313 cajaXcaja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

h

(Semana 3)

10004878.129.191.241.4

44342414 cajaXcaja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

hcajaX

caja

h

(Semana 4)

No negatividad de las variables:

0Xij

1.7 SOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES CON SOLVER

Solver es una herramienta para resolver problemas de programación lineal y no lineal,

utilizando para este fin métodos numéricos. Solver se puede utilizar para optimizar funciones

de una o más variables, sin o con restricciones. Microsoft Excel Solver utiliza diversos

métodos de solución, dependiendo de las opciones que se seleccionen. Para los problemas de

programación lineal utiliza el método Simples, para problemas lineales enteros utiliza

“Branch and Bound y para problemas no lineales utiliza el código de optimización no lineal

(GRG2).

Solver, busca el valor óptimo para una celda, llamada celda objetivo, en esta celda escribimos

la fórmula de la función objetivo ),...,,( 21 nxxxf .



54



Solver cambia los valores de un grupo de celdas, llamadas celdas variables o cambiantes. En

estas celdas se localizan los valores de las variables de decisión nxxx ,...,, 21 , que deben estar

relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo.

Para agregar las restricciones a Solver, escribimos en la celda seleccionada la fórmula

),...,,( 21 ni xxxg correspondiente a cada restricción del problema a resolver, y tenemos que

especificar si la celda deberá ser mayor o igual, igual, o menor o igual que otra celda que

contiene la constante ib (disponibilidad de los recursos). También, si fuese el caso, se puede

especificar que los valores sean enteros, para evitar resultados absurdos en algunos

problemas de optimización.

Solver es un complemento de Excel y como tal debemos instalar esta herramienta, para esto,

primero hay que fijarse si en la barra de herramientas- Datos aparece el icono de Solver, si

no se encuentra entonces tendremos que instalarlo.

Figura 1.4. Ubicación del icono Solver

Para instalar este complemento vamos al botón oficce y selecionamos opciones de Excel

Figura 1.5. Opciones en botón office

Al hacer click en opciones de Excel, se muestra el siguiente cuadro de dialogo. Activamos

complementos, seleccionamos Solver, y hacemos clik en ir



55



Figura 1.6. Opciones de Excel

Aparecerá el siguiente cuadro de dialogo, del cual debemos activar la casilla Solver y

finalmente damos aceptar.

Figura 1.7. Complementos disponibles

Utilizaremos el Problema 1.1 como modelo para explicar de una manera clara el uso de

Solver.

0,

123

189

:

4

21

21

21

21

xx

xx

xx

asujeto

xxzMax



56



Escribiremos la función objetivo en una celda (celda objetivo) cambiando el valor de otras

celdas (celdas variables). La celda donde se encuentra la función objetivo debe contener la

formula que dependa de las celdas variables. Porque de no ser así, al cambiar el valor de una

celda no cambiará el valor de la celda objetivo.

En primer lugar escribimos la formula de la función objetivo =4*C7+D7 en la celda D4,

utilizando como celdas variables la celda C7 y D7, para las variables 1x y 2x respectivamente.

Figura 1.8. Declaración de celda objetivo

A continuación ingresamos las restricciones del problema. Para la restricción correspondiente

a los sensores electrónicos, escribimos en la celda B12 la siguiente expresión =9*C7+D7 y

para la restricción de mano de obra escribimos en la celda B13 la siguiente expresión

=3*C7+D7.

La disponibilidad de sensores electrónicos la escribimos en la celda D12 y la disponibilidad

de mano de obra es ingresada en la celda D13.

Figura 1.9. Declaración de restricciones

Una vez ingresado los datos del problema enseguida utilizamos el complemento Solver

ubicado en la barra de herramientas -> Datos

Al hacer click en la opción Solver aparecerá el siguiente cuadro de dialogo,



57



Figura 1.10. Ejecución de Solver

Ahora explicaremos cada una de las opciones que aparecen en este cuadro de dialogo

Figura 1.11. Parámetros de Solver

Parámetros de Solver

1. Celda objetivo. Específica la celda objetivo que se desea maximizar o minimizar. Esta

celda debe contener la fórmula que representa a la función objetivo.

2. Valor de la celda objetivo. Especificamos si se desea maximizar o minimizar la celda

objetivo, o bien definirla con un valor específico. Si desea un valor específico, introdúzcalo

en el cuadro.

3. Cambiando las celdas. Se especifican las celdas correspondientes a las variables del

problema, estas pueden ajustarse hasta que se satisfagan las restricciones en el problema

1

2

3

4

8

7

5

6



58



y la celda objetivo alcance su valor. Las celdas variables deben estar directa o

indirectamente relacionadas con las celdas objetivo.

Estimar Estima todas las celdas que no contienen ninguna fórmula a las que se hace

referencia en la fórmula la celda objetivo y coloca sus referencias en el cuadro

Cambiando las celdas.

4. Sujeto a las siguientes restricciones. Muestra una lista de las restricciones actuales en

el problema.

Agregar Muestra el cuadro de diálogo Agregar restricción.

Figura 1.12. Agregar las restricciones

4.1 Referencia de celda. Especifica las celdas que serán consideradas como las

restricciones del problema. Las celdas variables deben estar directa o indirectamente

relacionadas con estas celdas.

4.2 Referencia de la desigualdad. Especifica el tipo de desigualdad correspondiente a la

restricción.

4.3 Restricción. Especifica las celdas que serán consideradas como la disponibilidad de

los recursos del problema.

Cambiar Muestra el cuadro de diálogo Cambiar restricción.

Eliminar Elimina la restricción seleccionada.

5. Resolver Inicia el proceso de solución del problema definido.

6. Cerrar Cierra el cuadro de diálogo sin resolver el problema. Retiene todos los cambios que

se hayan realizado mediante los botones Opciones, Agregar, Cambiar o Borrar.

7. Restablecer todo Borra los valores actuales del problema y restablece todos los valores a

sus valores originales.

8. Opciones Muestra el cuadro de diálogo Opciones de Solver, donde pueden cargarse y

guardarse los modelos de problema y las características de control avanzado del proceso

de solución.

4.1

4.2

4.3



59



Figura 1.13. Opciones de Solver

Aquí pueden controlarse las características avanzadas del proceso de solución, cargarse o

guardarse definiciones de problemas y definirse parámetros para los problemas lineales y no

lineales. Cada opción tiene una configuración predeterminada adecuada a la mayoría de los

problemas.

8.1 Tiempo máximo Limita el tiempo que tarda el proceso de solución. Puede especificarse

un valor tan grande como 32.367, pero el valor predeterminado 100 (segundos) es

adecuado para la mayor parte de los pequeños problemas.

8.2 Iteraciones Limita el tiempo que tarda el proceso de solución mediante la limitación

del número de cálculos provisionales. Aunque puede especificarse un valor tan grande

como 32.767, el valor predeterminado 100 es adecuado para la mayor parte de los

pequeños problemas.

8.3 Precisión Controla la precisión de las soluciones mediante el número que se especifica

para determinar si el valor de una restricción cumple un objetivo o satisface un límite

inferior o superior. Debe indicarse la precisión mediante una fracción entre 0 (cero) y 1.

Cuantas más posiciones decimales tenga el número que se escriba, mayor será la

precisión; por ejemplo, 0,0001 indica una precisión mayor que 0,01.

8.4 Tolerancia El porcentaje mediante el cual la celda objetivo de una solución satisface

las restricciones externas puede diferir del valor óptimo verdadero y seguir

considerándose aceptable. Esta opción sólo se aplica a los problemas que tienen

restricciones enteras. Una tolerancia mayor tiende a acelerar el proceso de solución.

8.5 Convergencia Si el valor del cambio relativo en la celda objetivo es menor que el

número del cuadro Convergencia para las últimas cinco iteraciones, Solver se

detendrá. La convergencia se aplica únicamente a los problemas no lineales y debe

indicarse mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantas más posiciones decimales



60



tenga el número que se escriba, menor será la convergencia; por ejemplo, 0,0001 indica

un cambio relativo menor que 0,01. Cuanto menor sea el valor de convergencia, más

tiempo se tardará en encontrar una solución.

8.6 Adoptar un modelo lineal Seleccione esta opción para acelerar el proceso de solución

cuando todas las relaciones del modelo sean lineales y desee resolver un problema de

optimización lineal.

8.7 Adoptar no-negativo Hace que Solver presuponga un límite de 0 (cero) para todas las

celdas ajustables en las que no se haya establecido un límite inferior en el cuadro

Restricción del cuadro de diálogo Agregar restricción.

8.8 Usar escala automática Seleccione esta opción para utilizar la escala automática

cuando haya grandes diferencias de magnitud entre las entradas y los resultados; por

ejemplo, cuando se maximiza el porcentaje de beneficios basándose en inversiones de

millones de dólares.

8.9 Mostrar resultado de iteraciones Seleccione esta opción para hacer que Solver deje

de mostrar temporalmente los resultados de cada iteración.

8.10 Estimación Especifica el enfoque que se utiliza para obtener los cálculos iniciales de

las variables básicas en cada una de las búsquedas dimensionales.

Tangente Utiliza la extrapolación lineal de un vector tangente.

Cuadrática Utiliza la extrapolación cuadrática, que puede mejorar en gran medida los

resultados de problemas no lineales.

8.11 Derivadas Especifica la diferencia que se utiliza para calcular las derivadas parciales

del objetivo y las funciones de la restricción.

Progresiva Se utilizan para la mayor parte de los problemas, en los que los valores de

restricción cambian relativamente poco.

Central Se utiliza en los problemas en que las restricciones cambian rápidamente, en

especial cerca de los límites. Aunque esta opción necesita más cálculos, puede ser útil

cuando Solver devuelve un mensaje que indica que no puede mejorarse la solución.

8.12 Buscar Especifica el algoritmo que se utiliza en cada iteración para determinar la

dirección en que se hace la búsqueda.

Newton Utiliza un método quasi-Newton que normalmente necesita más memoria

pero menos iteraciones que el método de gradiente conjugada.



61



Gradiente Conjugado Necesita menos memoria que el método Newton, pero

normalmente necesita más iteraciones para alcanzar un nivel de exactitud concreto.

Use esta opción cuando se trate de un problema grande y la utilización de memoria

deba tenerse en cuenta, o cuando al hacer un recorrido a través de iteraciones se

descubra un progreso lento.

8.13 Cargar modelo Muestra el cuadro de diálogo Cargar modelo, donde puede

especificar la referencia del modelo que desee cargar.

8.14 Guardar modelo Muestra el cuadro de diálogo Guardar modelo, donde puede

especificar la ubicación en la que desee guardar el modelo. Haga clic únicamente

cuando desee guardar más de un modelo con una hoja de cálculo; el primer modelo

se guardará de forma automática.

Una vez que todos estos parámetros fueron ingresados, finalmente hacemos click en resolver

Figura 1.14. Resolver con Solver

Y aparecerá el siguiente cuadro de dialogo que muestra un mensaje de finalización y los

valores resultantes más próximos a la solución que se desee.

Figura 1.15. Resultados de Solver



62



Utilizar solución de Solver Haga clic para aceptar la solución y colocar los valores

resultantes en las celdas ajustables.

Restaurar valores originales Haga clic para restaurar los valores originales en las

celdas ajustables.

Informes Genera el tipo de informe que especifique y lo coloca en una hoja

independiente del libro. Elija un tipo de informe y, a continuación, haga clic en Aceptar.

Respuesta Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables con sus

valores originales y sus valores finales, las restricciones y la información acerca de éstas.

Sensibilidad Proporciona información acerca de la sensibilidad de la solución a que se

realicen pequeños cambios en la fórmula definida en el cuadro Definir celda objetivo del

cuadro de diálogo Parámetros de Solver o de las restricciones. No se genera este informe

para los modelos que tengan restricciones enteras. En modelos no lineales, el informe

facilita los valores para las gradientes y los multiplicadores de Lagrange. En los modelos

lineales, el informe incluye costos reducidos, otros precios, coeficiente de objetivos (con

aumentos y disminuciones permitidos) y rangos de restricciones hacia la derecha.

Límites Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables con sus valores

correspondientes, los límites inferior y superior, así como los valores del objetivo. No se

genera este informe para los modelos que tengan restricciones enteras. El límite inferior

es el valor mínimo que puede tomar la celda ajustable mientras se mantienen todas las

demás celdas ajustables fijas y se continúa satisfaciendo las restricciones. El límite

superior es el valor máximo.

Guardar escenario Abre el cuadro de diálogo Guardar escenario, donde puede guardar

los valores de celda para su uso con el Administrador de escenarios de Microsoft Office

Excel.

Al seleccionar las opciones indicadas y haciendo click en resolver, obtenemos tres hojas en

las cuales se muestran los resultados obtenidos. Empezaremos por analizar el informe de

respuestas



63



Figura 1.16. Informe de respuestas de Solver

En la celda D8 se ubica el valor original de la función objetivo, en este caso inicialmente los

valores ubicados en las celdas C7 y D7 correspondientes a la variables de decisión eran cero,

generando inicialmente el valor de cero en la celda objetivo.

En la celda E8 aparece el valor óptimo final obtenido por Solver y en las celdas E13 y E14

aparecen los valores óptimos para las variables de decisión.

Con respecto a la saturación de las restricciones o limitaciones la celda D19 indica que se

utilizaron 18 sensores electrónicos y la celda D20 indica que se utilizaron 12 horas de mano

de obra. Esto quiere decir que todos los recursos fueron utilizados. La celda correspondiente

al estado F19 y F20 indican este hecho.

Las siguientes figuras serán analizadas en la Sesión 03 cuando se trate del tema de

sensibilidad de los modelos lineales

Figura 1.17. Informe de sensibilidad de Solver



64



Figura 1.18. Informe de límites de Solver



65



1.8 HOJA DE TRABAJO 01

Formular y resolver con Solver cada uno de los problemas enunciados.

Ejercicio 1.1.

Una persona tiene S/500 para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante

riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo S/300 en A y como mínimo S/100 en B, e invertir en A

por lo menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus S/500 para maximizar sus

intereses anuales?

Ejercicio 1.2.

Alice, gerente de la Food Fast, proporciona albergues para cachorros. El alimento para perros

Kennel se hace mezclando dos productos de soya para obtener una "dieta para perros bien

balanceada". En la Tabla 1.18 se dan los datos para los dos productos. Si Alice quiere

asegurarse de que sus perros reciban al menos 8 onzas de proteínas y 1 onza de grasa

diariamente, ¿cuál sería la mezcla del costo mínimo de los dos alimentos para perro?

Tabla 1.18. Costo y porcentaje de proteínas y grasas por producto

Producto

de soya

Costo por

onza

Proteína

(%)

Grasas

(%)

1 $0,60 50 10

2 $0,15 20 20

Ejercicio 1.3.

Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de

percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades,

pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada

contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en

cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta

S/210, mientras que los del mayorista B cuestan S/300 cada uno. ¿Cuántos contenedores

deben pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con

el menor coste posible?

Ejercicio 1.4.

Una planta produce dos tipos de productos, en la misma línea de ensamble. La línea de

ensamble consta de tres departamentos. Los tiempos de ensamblaje en los departamentos

son dados en la Tabla 1.19.

Tabla 1.19. Tiempos de ensamblaje

Departamento Producto 1

(unidades/minuto)

Producto 2

(unidades/minuto)

1 8 9

2 5 6

HO

JA

D

E T

RA

BA

JO

0

1



66



3 5 3

Cada departamento tiene disponible las 8 horas de trabajo diario. Sin embargo los

departamentos requieren mantenimiento diario, que utilizan el 5%, 8% y 6% del tiempo

disponible para cada departamento diariamente.

La planta desea saber las unidades semanales (se trabaja 6 días a la semana) que se

ensamblaran a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (ociosos) en los tres

departamentos.

Ejercicio 1.5.

Una empresa manufacturera ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no

provechosa. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. El gerente está

considerando dedicar esta capacidad en exceso a uno o más de tres productos, llamémoslos

los productos1, 2 y 3. La capacidad disponible de la máquina que podría limitar la

producción se resume en la Tabla 1.20

Tabla 1.20. Tiempos disponibles de por tipo de máquina

TIPO DE MAQUINA TIEMPO DISPONIBLE (horas/semana)

FRESADORA 500

TORNO 350

RECTIFICADORA 150

El número de horas de máquina requerida por cada unidad de los productos respectivos

es muestran en la Tabla 1.21.

Tabla 1.21. Coeficiente de Productividad (en horas máquina por unidad)

TIPO DE MAQUINA PRODUCTO 1 PRODUCTO 2 PRODUCTO 3

FRESADORA 9 3 5

TORNO 5 4 0

RECTIFICADORA 3 0 2

El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos 1 y 2 es

mayor que la tasa de producción máxima y que el potencial de ventas para el producto 3 es

de 20 unidades por semana.

La utilidad unitaria será de $30, $12 y $15, para los productos 1, 2 y 3, respectivamente.

Formúlese un modelo PL para determinar cuánto debe producir la empresa de cada producto

para maximizar la utilidad.

HO

JA

D

E T

RA

BA

JO

0

1



67



Ejercicio 1.6.

La empresa Elit elabora yogurt y jugos a base de mango y durazno, esta empresa compra su

materia prima al precio de $0,50 por kilogramo de mango y $0,30 por kilogramo de durazno,

las cantidades máximas que puede comprar es de 1600 kilogramos de mango y 2100

kilogramos de durazno.

El mercado de venta de yogurt es de 9000 botellas como máximo y para jugo no hay límite, el

precio de venta del yogurt y de jugo es de $5 y $3 por cada botella respectivamente; estos

datos y otros se dan en la Tabla 1.22

Tabla 1.22. Disponibilidad y costo de las frutas

Yogurt Jugos Disponible Costo

Mango 2 kg/botella 3 kg/botella 1600 kg $0.50/kg

Durazno 3 kg/botella 1 kg/botella 2100 kg $0.30/kg

Venta máxima 9000 botellas

P. Venta $5/botella $3/botella

Elabore un modelo lineal para la empresa Elit.

Ejercicio 1.7.

El departamento de energía de Lilliput actualmente está en el proceso de desarrollar un plan

nacional de energía para el año siguiente. Lilliput puede generar energía de cualquiera de

cinco fuentes. Carbón, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo.

Los datos sobre los recursos de energía, las capacidades de generación medidas en Megawatt-

horas (MW-hr), y los costos unitarios de generación se dan en la Tabla 1.23.

Lilliput necesita 50 000 MW-hr de energía de uso doméstico, y el país tiene un compromiso

para producir 10 000MW-hr para exportación. Más aún, a fin de conservar los recursos de

energía y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones.

1. La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energía

total generada por Lilliput.

2. Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbón.

3. Los efluentes que salen a la atmósfera no deben exceder los límites especificados en la

Tabla 1.24

4. La cantidad de energía generada a partir de gas natural debe ser al menos 30% de la

generada a partir del petróleo.

Formule un programa lineal para determinar un plan de energía de costo mínimo.

Tabla 1.23. Capacidades de generación y costos

HO

JA

D

E T

RA

BA

JO

0

1



68



Tabla 1.24. Datos de polución en la generación de energía

Ejercicio 1.8.

Cada semana Florida Citrus, Inc., usa una sola máquina durante 150 horas para destilar

jugo de naranja y de toronja en concentrados, estos jugos están almacenados en dos tanques

separados de 1000 galones cada uno antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25

galones de jugo de naranja por hora, pero sólo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de

jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado.

El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6 por galón, cada galón de jugo de

toronja cuesta $2 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El

concentrado de jugo de toronja se vende después en $8 por galón. Formule un modelo de PL

para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana.

Ejercicio 1.9.

La Fargo Water Co. tiene tres depósitos con una entrada diaria estimada de 15, 20 y 25

millones de litros de agua fresca, respectivamente. Diariamente tiene que abastecer cuatro

áreas A, B, C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10, 12 y 15 millones de

litros, respectivamente.

Tabla 1.25. Costo de bombeo por millón de litros

AREA

Deposito A B C D

Fuente de Energía Capacidad Total

(MW-hr)

Costo de Generación

($/MW-hr)

Carbón 45000 6

Gas Natural 15000 5,5

Nuclear 45000 4,5

Hidroeléctrica 24000 5

Petróleo 48000 7

Fuente de Energía

Contaminante (gm/MW-hr)

Dióxido de

azufre

Monóxido

de Carbono

Partículas

de Polvo

Desechos

Sólidos

Carbón 1,5 1,2 0,7 0,4

Gas Natural 0,2 0,5

Nuclear 0,1 0,2 0,7

Hidroeléctrica

Petróleo 0,4 0,8 0,5 0,1

Kg máximos

permitidos

75 60 30 25

HO

JA

D

E T

RA

BA

JO

0

1

HO

JA

D

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1 2 3 4 5

2 3 2 5 3

3 4 1 2 3

Formule el problema de la Fargo Water Co. como un modelo de programación lineal. Asuma

que el exceso de agua no representa un costo para la compañía.

Ejercicio 1.10.

La Georgia Outdoors Company fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas

que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres

tipos son normal, especial y extra, y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra,

respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los

costos de estos ingredientes son:

Maní: $0.90 por libra

Pasas: $1.60 por libra

Algarrobo: $1.50 por libra

Los requerimientos de las mezclas son:

Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente.

Especial: cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos.

Extra: cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní.

Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana un máximo de 1000

libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2000 para la

fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe

limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema de PL para maximizar las

utilidades.

Ejercicio 1.11.

Una compañía de seguros cree que necesitarán las siguientes cantidades de computadoras

personales durante los próximos seis meses: enero, 9; febrero, 5; marzo, 7; abril, 9; mayo,10;

junio,5. Se pueden rentar computadoras por un período de uno, dos o tres meses, a las

rentas unitarias siguientes: renta por un mes, 200 dólares; renta por dos meses, 350 dólares;

renta por tres meses, 450 dólares.

Formule un PL que permita minimizar los costos de renta de computadoras requeridas.

Puede suponer que si se renta una máquina por un período que se prolongue más allá de

junio, habrá que promediar el costo de la renta. Por ejemplo, si se renta una computadora por

tres meses, a principios de mayo, entonces se tendrá que aplicar una cuota por la renta

2/3(450)=300 dólares, y no 450 dólares, a la función objetivo.

Ejercicio 1.12.

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Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de

un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5%

de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente

¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición

requerida a un costo total mínimo?

Jugo de

Naranja

Jugo de

Toronja

Jugo de

Arándano

Existencia Costo

[gal] [$/gal]

Bebida A 40 40 0 200 1,50

Bebida B 5 10 20 400 0,75

Bebida C 100 0 0 100 2,00

Bebida D 0 100 0 50 1,75

Bebida E 0 0 0 800 0,25

Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una

determinada bebida.

Ejercicio 1.13.

Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que

entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan

3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben

$0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están

dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior

durante este período.

Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por

hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos

mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato

bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del

taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el

contrato.

Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se

requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un

dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede

ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado.

Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de

obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado.

Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta: ¿cómo y cuánto

producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades?

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Ejercicio 1.14.

Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno

de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de

cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la

reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye

$1.70, 3 años después.

Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar

invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará

disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio

de año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea

saber cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año

6.

Formule el modelo de programación lineal para este problema.

Ejercicio 1.15.

Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y

jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres

tipos. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años,

después del cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos

del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor

de salvataje).

Vehículo Costo

[US$]

Ingresos primer

año [US$]

Ingresos segundo

año [US$]

Automóvil 7000 3000 5400

Camioneta 6500 2300 5300

Jeep 5800 2100 5000

Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede

también decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El

costo del crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión

inicial al recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del

crédito deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone de US$2000000

para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15% para

efectos de financiamiento (es decir, US$100 hoy valen US$85 dentro de un año). Todo

excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse

en pagos futuros.

Formule un modelo de programación lineal para el problema. Defina claramente variables,

función objetivo y restricciones.

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Ejercicio 1.16.

LSDC está desarrollando una comunidad de casas y condominios en los alrededores del lago

Saddleback, Texas. La idea es utilizar 300 acres de tierra de tal forma de maximizar sus

ganancias ofreciendo una apropiada variedad de diferentes alternativas de casas

constituyendo diferentes productos. Además, la corporación desea analizar la factibilidad de

desarrollar 10 acres para un complejo deportivo y de recreación.

LSDC está ofreciendo 4 productos: (1) La serie Gran Estado (2) La colección Glen Wood (3)

Casas con vista al lago y (4) casas en Condominio. Cada uno de estos productos tiene 4

planos con diferentes estilos, tal como se describe en la siguiente lista:

Plano Precio venta

(US$)

Tamaño (ft2)

Dormitorios Baños Pisos Tamaño Garage

(autos)

Gran Estado

Trump 700 4000 5+manzarda 4 2 3

Vanderbilt 680 3600 4+manzarda 3 2 3

Hughes 650 3000 4 3 1 3

Jackson 590 2600 3 3 1 3

Glen Wood

Gran Ciprés 420 2800 4+manzarda 3 2 3

Lazy Oak 380 2400 4 3 2 2

Wind Row 320 2200 3 3 2 2

Orangewood 280 1800 3 2 ½ 1 2

Vista al lago

Bayview 300 2000 4 2 ½ 2 2

Shoreline 270 1800 3+manzarda 2 ½ 2 2

Docks Edge 240 1500 3 2 ½ 1 2

Golden Pier 200 1200 2 2 1 2

Condomio

Stream 220 1600 3 2 2 -

Weeping Wilow 160 1200 2 2 1 -

Picket Fence 140 1000 2 1 ½ 1 -

Tamaño de los lotes.

Todos los lotes incluyen el terreno donde se instalará la casa, el garage (el cual no está

considerado dentro de los metros cuadrados de la casa) y espacio para jardín. Este no incluye

el parking ni el espacio para parques, carreteras, etc.

Todos los modelos de la serie Gran Estado se construyen sobre lotes de 1 media-acre, y 50

medias-acre se usan exclusivamente por las casas Gran Estado. El precio de venta de estas

casas tendrá un 30% adicional más US$50.000 que los modelos que no están en el lago. (Por

ejemplo, el modelo Trump a US$700.000 se vendería en US$960.000 si se situara en el lago).

Cada una de la serie Gran Estado debe tener al menos ocho unidades en el lago.

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Algunos modelos Gran Ciprés (de la serie Glen Wood) podrían construirse sobre lotes

“premiados” de un-cuarto-acre. Estas casas se venden en US$40.000 más que los modelos

similares sobre lotes standards. Además, algunos de los modelos Bayview (en la serie vista al

lago) pueden construirse sobre lotes “premiados” de un-sexto-acre, los cuales se venden en

US$30.000 más del precio de los modelos construidos en terrenos standards. No más del

25% del total de los modelos Ciprés y 25% del total de los modelos Bayview se pueden

construir en lotes “premiados”.

Los tamaños de los lotes en el condominio son fijos y son de 1500 pie-cuadrados.

El lote mínimo standard para casas de la serie Glen Wood y con vista al lago (excepto los

modelos “premiados”) es de un-décimo-acre. Los tamaños de los lotes para ciertos modelos

pueden ser mayores si el siguiente cálculo excede a 1/10 acre.

Tamaño Lote= (Área de la Casa)+(Tamaño del Jardín)+(Tamaño del Garage).

Área de la Casa.

El área de la casa de cualquier casa de un piso es el metraje cuadrado del aviso de la casa. El

área de la casa para casas de dos-pisos es de 75% del metraje cuadrado del aviso de la casa.

Área para Jardín.

Para casas de la serie Glen Wood, el jardín es de 1200 pies cuadrados para casas de un-piso

y lo mismo que el área de la casa para casas con dos-pisos. Para casas con vista al lago el

tamaño del jardín es 900 pies cuadrados para casas de un-piso. Para casas de dos-pisos de

esta misma serie de casas el tamaño de jardín será de 600 pies cuadrados más 50% del área

de la casa.

Tamaño del Garage.

Garage para dos autos ocupan 500 pies cuadrados de área y para tres autos ocupa 750 pies

cuadrados. Note que los modelos en el condominio no tienen terreno para garage.

Parking.

La ley exige tener un espacio de parking por dormitorio para cada unidad construida. Por

ejemplo, un espacio exterior de parking para dos autos es necesario para una casa de 4

dormitorios que posee un garage para dos autos. Cada parking exterior ocupará 200 pies

cuadrados de espacio. Hasta un máximo de 15 acres del proyecto podrán utilizarse para

parking exterior. Todos los parking del condominio son exteriores.

Carreteras, Parques...etc

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Un total de 1000 pies cuadrados por casa se está pensando para la construcción de

carreteras y pequeños parques para hacer el proyecto más agradable estéticamente hablando.

Variedad.

Como parte del proyecto se han definido ciertos requerimientos máximos y mínimos arrojados

por el departamento de estudios de mercado (Condominio está incluido).

Casas con Máximo Mínimo

2-dormitorios 25% 15%




Además, ninguno de los cuatro productos (Gran Estado, Glen Wood, Vista al lago, y

Condominio) pueden ser más que el 35% ni menos que el 15% de las unidades construidas

en el desarrollo. Más aún, dentro de cada producto, cada plano debe ocupar entre 20% y 35%

del total de unidades de ese producto. Por razones de estética hasta un máximo del 70% de

las casas de un-piso (salvo las de condominio) pueden ser casas de dos-pisos.

Abordables.

En el área del lago cualquier casa avaluada en US$200.000 o menos es considerada

“abordable”. El gobierno exige al menos 15% del proyecto pueda ser considerado como

abordable.

Ganancias.

LSDC ha determinado los siguientes porcentajes de los precios de ventas como ganancias

netas:

Gran Estado 22%

Glen Wood 18%

Vista al lago 20%

Condominio 25%

Objetivos.

LSDC necesita determinar el número de unidades de cada plano de cada producto a

construir, de tal manera de maximizar sus ganancias.

Si LSDC construye un complejo de recreación y deportivo en 10-acres, esto podría reducir el

área utilizable en 10-acres y a un costo de alrededor US$8 millones. Sin embargo, LSDC cree

que esto puede cargarse al costo de las casas como sigue:

Gran Estado 5%

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Glen Wood 3%

Vista al lago 2%

Condominio 5%

*Excepto para el modelo Golden Pier, es decir todavía puede ser catalogada como abordable.

Informe:

Prepare un informe detallado analizando este proyecto y haga sugerencias para la

construcción. De recomendaciones si conviene o no construir el complejo deportivo. Haga un

análisis apropiado de “qué sucede si..” (Análisis de sensibilidad) y haga un resumen de sus

recomendaciones finales.

Consideraciones y supuestos.

Antes de resolver el problema es importante especificar la interpretación dada a algunas

frases del enunciado del problema:

Se entiende que cuando se habla de “1 media-acre” se está hablando de la mitad de

un acre, es decir ½ acre. Es decir “50 medias-acre”, en términos de superficie son 25

acres.

Cuando se dice que “50 medias-acres se usan exclusivamente por las casas Gran

Estado”, se dice que sólo se destinarán 25 acres al total de casas de la serie Gran

Estado, ni una acre más ni uno de menos. Esto se reflejará como una igualdad en una

de las restricciones.

La frase “el lote mínimo standard para casa de la serie Glen Wood y con vista al

mar...”, suponemos que con “vista al mar” es en realidad con “vista al lago” y que se

refiere al producto Vista al Lago, y no a que algunas casas de la serie Glen Wood

tienen como propiedad tener vista al lago. Luego se entiende que la frase se refiere al

tamaño del lote mínimo para casas de las series Glen Wood y Vista al Lago.

Se supondrá también que cuando se habla del “aviso de la casa” se refiere a la

información del primer cuadro del enunciado.

Las manzardas no se considerarán como dormitorios (para el cálculo del parking).

Los porcentajes que aparecen asociados a la variedad se trabajarán sobre el total de

todas las casas.

Para la condición asociada a la proporción de las casas de dos pisos frente a las de un

piso, no se considerarán las casas del condominio de un piso, es decir sólo se

considerarán las casas del condominio de dos pisos para esta restricción.

Para la segunda parte, se considerará que los porcentajes que aparecen en la última

tabla se refieren al valor (precio de venta) de las casas y no a un aumento porcentual

exclusivamente de las utilidades de cada casa.

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Para llevar todo a un mismo sistema de unidades se utilizará la conversión:

1 acre = 43.560 ft2 (pies cuadrados)

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Introduccion a la Investigacion de Operaciones