LA SIMULACIÓN HÍBRIDA EN EL ANÁLISIS MULTI-ESCALA DE ... · elementos finitos, los cuales representan a los elementos resistentes de la estructura, que son vigas, columnas y muros,

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

LA SIMULACIÓN HÍBRIDA EN EL ANÁLISIS MULTI-ESCALA DE ESTRUCTURAS

César Paniagua Lovera1 , A.Gustavo Ayala Milián2 , Jaime Retama Velasco3

RESUMEN

El desarrollo de los procedimientos de simulación híbrida en ingeniería estructural, y más recientemente, el de

una comunicación entre dos o más herramientas de software de elemento finito capaces de realizar un solo

análisis de manera simultánea y en armonía ha tenido gran auge en los últimos años. Esta popularidad se ha

debido a su versatilidad para modelar porciones una estructura compleja en un entorno donde se puedan obtener

resultados con mayor facilidad. Para ello existen plataformas que buscan normalizar las herramientas necesarias

para la ejecución de este tipo de análisis, lo cual facilita la relación entre distintas herramientas y distintos

grupos de trabajo.

Actualmente el modelado de estructuras con fines de un análisis no-lineal se lleva a cabo por medio de

elementos finitos, los cuales representan a los elementos resistentes de la estructura, que son vigas, columnas y

muros, en un proceso de análisis que lleva a resultados representativos para la evaluación y el diseño de la

generalidad de las estructuras. Sin embargo este tipo de modelado puede ser poco eficaz en reproducir el

comportamiento de estructuras complejas, además que, involucrar niveles de análisis diferentes con otros tipos

de elementos finitos puede resultar una tarea ardua y tardada, con resultados difíciles de interpretar.

Este trabajo presenta un procedimiento general de análisis no-lineal de estructuras, que contempla la transición

entre elementos de distinta naturaleza, incluidos en distintas herramientas de análisis, con el fin de aprovechar

las ventajas de cada una de ellas, que, junto con conceptos de sub-estructuración, permiten seleccionar ciertas

zonas de estudio, las cuales se colocan en modelos separados para ser ejecutados por diferentes programas.

Estos conceptos permiten, además de aprovechar las ventajas de distintos softwares de análisis e incluso la

interacción con pruebas experimentales, incluir comportamientos complejos de los componentes estructurales

ante acciones extremas. Todo esto sin la necesidad de que involucrar todas estas variables directamente en un

solo análisis global.

ABSTRACT

The development of hybrid simulation procedures in structural engineering, and lately, the communication

between two or more finite element software tools, capable of being executed in a single analysis, concurrently

and in harmony, has had great progress in recent years. This popularity is due to its versatility to model portions

of a complex structure in an environment where the results may be obtained more easily. For this, there are

frameworks that standardize the necessary tools for the execution of this type of analysis, facilitating the relation

between tools and research groups.

Actually, the modeling of structures with the purpose of their non-linear analysis is mostly done using finite

elements, which represent the resistant elements of a structure, frames, columns and walls; in an analysis process

that gives representative results for evaluation and design of most structures. However, this type of modeling

may be limited in the reproduction of the behaviour in complex structures; besides, the introduction of different

analysis levels with other types of finite elements may be an extensive and tough task, leading to hard-to-

interpret results.

1 Estudiante de Doctorado del Programa de Posgrado en Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de

México, Ciudad Universitaria, Coyoacán, C.P: 04510 México, CDMX. Teléfono, (55) 5623-3600 ext.8351;

[email protected] 2 Profesor investigador, Coordinación de Ingeniería Estructural, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional

Autónoma de México, Ciudad Universitaria, Coyoacán, C.P: 04510, México, CDMX. Teléfono, (55) 5623-

3658; [email protected] 3 Profesor, Centro de Investigación Multidisciplinaria Aragón, Facultad de Estudios Superiores de Aragón,

UNAM, Av. Rancho Seco s/n, Col. Impulsora, Nezahualcoyotl, Edo. de México 57130;

[email protected]

mailto:[email protected]



XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.

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This paper proposes a general procedure for non-linear analysis of complex structures. This procedure considers

transitions between elements of different nature, included in diverse analysis tools, with the purpose of using

the advantages of each of them, and along sub-structuring concepts, allowing to select certain detail zones that

are modeled to be processed in different programs. These concepts allow, besides, using diverse analysis

programs and even the interaction with physical tests, the consideration of complex behavior models for the

structural component subjected to extreme external actions, all this without considering all the variables in a

single global analysis.

INTRODUCCIÓN

En el modelado de una estructura para el estudio de su comportamiento, normalmente se emplean los métodos

más eficientes, respecto a la calidad de los resultados y la dificultad de su aplicación. La solución más común

es representar vigas y columnas con elementos marco a flexión, todos ellos conectados por un diafragma rígido.

Este modelo estructural es sujeto a cargas permanentes, asociadas al uso del inmueble y cargas accidentales,

mayormente provocadas por los fenómenos naturales que actúen sobre la estructura.

El comportamiento general, para bajos niveles de demanda, es usualmente estudiado con modelos elástico-

lineales. Mientras que, para altos niveles de demanda, un enfoque, para simular la no-linealidad en materiales,

es introducir en los elementos con altas demandas de resistencia (a flexión o cortante) la posibilidad de

desarrollar articulaciones plásticas, que buscan reproducir el mecanismo de redistribución de fuerzas internas

en los elementos. A este enfoque se le conoce como plasticidad concentrada y que, junto con otros modelos

más elaborados como los de fibras, ha permitido establecer criterios generales de diseño, que permitan

mecanismos importantes, como viga débil-columna fuerte.

En el análisis de estructuras de cualquier tipo de material, para efectos de diseño en la práctica, gran parte de

los ingenieros sigue usando hipótesis simplificadoras del comportamiento, que en muchas ocasiones no siguen

el comportamiento real, particularmente en niveles de alta demanda. Existe una tendencia, para todos los

materiales, de representar su comportamiento con curvas esfuerzo-deformación unidireccional, las cuales, si

bien muestran de forma aproximada la no-linealidad, no la representan de manera consistente con las

observaciones. De igual manera que en la determinación de la resistencia de una sección bajo determinadas

acciones, normalmente se hace una integración de las fuerzas internas, muchas veces, idealizando la distribución

de esfuerzos y deformaciones en las mismas, con la finalidad de simplificar y hacer posibles los cálculos.

Las ideas expresadas anteriormente tienen algo en común, un problema derivado de la heterogeneidad, en las

condiciones o naturaleza en ciertas porciones de la estructura, lo cual generalmente se ha resuelto por medio de

generalizaciones en el comportamiento.

Incluso si estas soluciones son satisfactorias en general, existen otros puntos de vista para abordar el problema

de la no-linealidad, una de ellas, motivo de este trabajo, es incrementar en nivel de detalle en porciones del

modelo donde se requiere mayor información y/o donde se presenta el comportamiento no-lineal. Realizar el

análisis de esta manera proporciona importantes ventajas, una de ellas es que el mecanismo de disipación de

energía y redistribución de fuerzas internas ya no es concentrado en un punto, sino que la redistribución se

realiza en zonas bien definidas del modelo, garantizando mayor certeza en el análisis, y en consecuencia, en el

diseño de estas porciones.

A pesar de sus ventajas, es una solución poco seguida, ya que existen considerables limitantes como: falta de

herramientas adecuadas de análisis, dificultad en la selección de las características en modelos de escalas

menores (más reducidas) y desconocimiento del cómo realizar una correcta transición o integración de los

fenómenos en dichas escalas para establecer relaciones con modelos de mayor escala. Existen propuestas

realizadas por distintos grupos de investigación, como el responsable de este trabajo, que para resolver el

problema emplean o proponen usar modificaciones a las estrategias tradicionales de solución para adecuarlas

al análisis no-lineal de sistemas estructurales complejos.

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MÉTODO DE ANÁLISIS MULTI-ESCALA

La metodología de análisis propuesta (Paniagua, 2016), consiste en la sub-estructuración de las porciones de

mayor demanda en una estructura, en las cuales se pueden concentrar los efectos no-lineales, siendo necesario

seleccionarlas de antemano, esto se puede realizar por medio del empleo de resultados en modelos

simplificados, e.g., análisis elásticos, análisis no-lineal con plasticidad concentrada y modelos de fibras, entre

otros. Las porciones seleccionadas son modeladas numéricamente por separado, introduciendo en cada una de

ellas un acoplamiento entre dos diferentes escalas de análisis, estas sub-estructuras se someten al proceso de

condensación de grados de libertad, reduciendo importantemente la cantidad que se relaciona directamente con

el resto de la estructura. Finalmente, se establece comunicación entre los múltiples modelos, aprovechando

herramientas que estandarizan la comunicación entre distintos tipos de modelo y grupos de trabajo, en un

esquema iterativo denominado maestro-esclavo (Huang, 2008), que simula una prueba pseudo-dinámica.

A pesar de tratarse de una metodología versátil, aplicable a una diversidad de problemas, la variante del método

aquí presentado está pensada para ser aplicada en estructuras reticulares, donde se trabajan dos sub-escalas que

son parte de la denominada macro-escala, que son elementos marco y sólidos de esfuerzo plano, basados en la

mecánica del medio continuo. En los siguientes párrafos se describe a mayor detalle las bases teóricas de la

propuesta y se exponen las hipótesis adoptadas en el procedimiento.

Acoplamiento Multi-Escala

El análisis multi-escala es una herramienta numérica reciente y ampliamente usada en diversas disciplinas como

una alternativa donde los efectos de diversos sistemas, que reproducen en determinadas magnitudes, el

comportamiento de otro sistema más grande, tienen influencia en el, es decir el sistema general es no-

homogéneo en sus escalas. Este método es lo opuesto al enfoque convencional, donde se acepta que se cumplen

todas las hipótesis planteadas de antemano. Las bases del método pueden ser expresadas de la siguiente forma

(Weinan, 2011):

-Cualquier sistema de interés puede ser descrito por una jerarquía de modelos de diferente complejidad,

permitiendo introducir modelos detallados cuando los más generales no son adecuados, permitiendo un mayor

conocimiento de los fenómenos que suceden en ellos, a partir de los resultados de los modelos de detalle.

-Gran parte de un sistema puede ser descrito con modelos generales, exceptuando ciertas regiones, que son

aquellas que incluyen los modelos de detalle, que pueden contener fenómenos de interés. El construir un modelo

con múltiples escalas permite obtener el detalle de un análisis refinado con una eficiencia similar a un modelo

general.

-La introducción de múltiples escalas contribuye a relajar las hipótesis del modelo general, describiendo y

capturando de mejor manera el fenómeno, librando singularidades que no pueden ser descritas por los elementos

del modelo global.

En este caso se propone emplear un grupo de elementos sólidos de esfuerzo plano capaz de modelar los procesos

a considerar (se pueden incluir otra clase elementos finitos necesarios para la modelación de detalle), siendo

esta la sub-escala de menor jerarquía, empleada en toda zona donde se espere daño. Mientras que la mayor parte

del modelo se construye por medio de elementos más generales, como los tipo marco, pudiendo representar

grandes tramos de vigas y columnas, esta se trata de la sub-escala de mayor jerarquía, y es en esta donde los

fenómenos de escalas menores se tienen que ver proyectados.


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Figura 1. Acoplamiento de superficie para las dos sub-escalas de análisis.

A pesar de que los grados de libertad no coinciden en ambos sistemas, el acoplamiento debe cumplir tres

condiciones, equilibrio de fuerzas, congruencia en la cinemática y continuidad en los campos de estudio. La

primera de ellas es representada por el siguiente sistema de ecuaciones, que representa el equilibrio entre las

dos sub-escalas:

∑𝑓𝑥𝑖𝑖

= 𝐹𝑥… (1)

∑𝑓𝑦𝑖𝑖

= 𝐹𝑦… (2)

∑𝑓𝑥𝑖ℎ𝑖𝑖

= 𝑀…(3)

La segunda es que las condiciones cinemáticas entre ambos niveles de análisis obedezca a las mismas hipótesis,

para el sistema de estudio esto se logra por medio de la imposición de las hipótesis de Bernoulli (teoría de vigas)

sobre los elementos sólidos de esfuerzo plano, esto se puede lograr mediante métodos para considerar

restricciones, como son: ecuaciones de transformación, multiplicadores de Lagrange, o el empleado en este

trabajo que fue método de penalización. Las ecuaciones que se deben considerar como restricción en cada

superficie de acoplamiento (en sistema local de coordenadas) son:

𝑢𝑖 = 𝑈 − 𝜃ℎ𝑖…(4)

𝑣𝑖 = 𝑉…(5)

Expresiones que están en función de las variables definidas en la figura 1, donde i es cada uno de los nodos en

la superficie de acoplamiento.

Finalmente, para conseguir que el comportamiento del campo de esfuerzos y deformaciones no tenga saltos

importantes entre los diferentes tipos de elemento, donde el comportamiento no lineal en la escala de menor

jerarquía se concentra en regiones separadas de la frontera de acoplamiento (distancia de al menos un elemento),

con el fin de conservar las relaciones lineales entre los GL restringidos (Yue et al., 2012).

Sub-estructuración

La sub-estructuración tuvo como motivación inicial la distribución del trabajo para estudio especializado por

diversos grupos de expertos (Felippa, 2015). Se trata de la división de una estructura en super-elementos, los

cuales son un arreglo de elementos finitos que pueden ser tratados como un solo para fines computacionales.

Las sub-estructuras y macro-elementos son super-elementos, los primeros se tratan de porciones distinguibles

de una estructura, mientras que los segundos son elegidos únicamente con fines de procesamiento. Su

procesamiento consiste en la condensación estática de los grados de libertad que no se relacionan con otros

super-elementos (conocidos como GL internos), restando únicamente los GL de interface (o de frontera).

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Figura 2. Proceso de sub-estructuración de un aeroplano (Felippa, 2015).

El proceso de sub-estructuración permite la condensación de los grados de libertad interiores de una sub-

estructura, restando únicamente los grados de libertad de interface (o de frontera). Para esta metodología las

sub-estructuras seleccionadas normalmente son conexiones viga-columna, en las cuales se busca condensar

todos los grados de libertad en la escala menor previamente definida, reduciendo de manera muy importante

los GL relacionados en el modelo global, para ello se seleccionan los desplazamientos (dos de traslación y uno

de rotación) de los elementos marco que se encuentran en la frontera de acoplamiento como de interface,

logrando que el macro elemento tenga 3xN grados de libertad.

La simulación híbrida como herramienta de gestión de los procesos

La simulación híbrida es una prueba originalmente experimental en la que un modelo es construido con

porciones numéricas y experimentales, las cuales en su totalidad representan a una estructura completa

(Schellenberg, 2009), los cálculos involucrados en estas pruebas son realizados mediante una solución numérica

paso-a-paso de las ecuaciones del movimiento (ec.6), donde los arreglos experimentales son involucrados

directamente en la ecuación por medio de sus fuerzas resistentes.

𝑀�̈� + 𝐶�̇� + 𝐾𝑛𝑢𝑚𝑈 + 𝑃𝑟(𝑈) = 𝑃(𝑡)… . (6)

Ecuación en la que el sumando que representa a las fuerzas estáticas es dividido en la aportación del modelo

numérico y el experimental, como consecuencia de esto los arreglos experimentales solo se prueban de forma

cuasi-estática, despreciándose sus efectos de inercia y amortiguamiento, teniendo que modelarse

numéricamente por separado. Por lo antes expuesto es que se le conoce como prueba pseudo-dinámica, haciendo

que los arreglos que serán modelados experimentalmente (o numéricamente por separado en este trabajo),

contengan gran parte de los efectos no-lineales y tengan una masa despreciable con el resto de la estructura

(Pegon y Pinto, 2000).

Figura 3. Configuración para la simulación híbrida de un puente (Pegon y Pinto, 2000).

A pesar que la simulación híbrida es un método versátil y económico para la estudio experimental de estructuras,

presenta como gran complicación, la diferencia entre las implementaciones realizadas en cada sitio

experimental, para llevarla a cabo (Schellenberg et al., 2006). Con el objetivo de estandarizar los requerimientos


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de la simulación híbrida, se introdujo la creación de plataformas que ofrecieran los servicios y operaciones

necesarias para relacionar diferentes porciones experimentales.

OpenFresco (Takahashi y Fenves, 2006) es un ambiente independiente, modular y de código abierto para

efectuar simulación híbrida en una forma robusta, transparente y extensible. Provee de una serie de servicios

operaciones comunes para implementar simulaciones de forma local y globalmente distribuidas (Schellenberg

et al., 2006). Por definición es independiente del software de análisis de elemento finito a emplear, pero

idealmente requiere que este último tenga la posibilidad de introducir elementos y rutinas de usuario.

Tres grupos de tareas comunes, que facilitan la implementación de la simulación híbrida, son manejadas por

OpenFresco. La primera está asociada con la transformación de las cantidades usadas en los cálculos del código

de análisis de elemento finito a aquellas necesarias en los sub-arreglos de los laboratorios. La segunda

corresponde a los medios para establecer control y adquisición de datos de los laboratorios. Finalmente, la

tercera tarea, está enfocada a pruebas globalmente distribuidas y se encarga de la comunicación y coordinación

de los diferentes sitios experimentales (que actúan como servidores) con el código de elemento finito que integra

el sistema completo (cliente), el conjunto de módulos involucrados está esquematizado en la figura 4.

Figura 4. Módulos y sus funciones en la plataforma OpenFresco.

Cuando los sub-arreglos experimentales, que trabajan como servidores en una simulación híbrida convencional

son sustituidos por arreglos numéricos, los principios de la prueba se conservan. El análisis análogo a la

simulación híbrida con modelos puramente numéricos se usa el esquema del Maestro-Esclavo, enfocado a

emplear las características únicas de múltiples herramientas de análisis y grupos de trabajo.

El esquema está fundamentado en el método de penalización (Huang, 2008), donde las restricciones son las

equivalencia de desplazamientos entre las sub-estructuras y el modelo global del sistema. Al código encargado

de la integración global de la respuesta del sistema se le conoce como Maestro, y en él se establecen todos los

controles experimentales de la prueba, la única implementación indispensable en el programa Maestro es el

Elemento Genérico Experimental que representa a los super-elementos en el (los) programa(s) esclavo,

comunica con el análisis global por medio de su respuesta en determinados grados de libertad de interface.

Por otro lado en cada uno de los programas esclavos, se tiene que implementar un Elemento Adaptador, que

realiza las acciones análogas a los sistemas de control/adquisición de datos y actuadores en una prueba pseudo-

dinámica convencional. En el proceso numérico el adaptador se coloca en los grados de libertad de interface de

la sub-estructura de cada arreglo esclavo, recogiendo la respuesta, en forma de fuerzas, ante determinado grupo

de desplazamientos impuestos en la interface, obtenidos proceso de integración global, en un proceso iterativo

como el de la figura 5.

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En este artículo se emplean las herramientas establecidas en OpenFresco para simulación híbrida, más

precisamente el elemento adaptador, para gestionar los procesos necesarios para la comunicación e integración

de las subestructuras, que contienen los componentes del análisis de menor jerarquía (local), en la solución

global de la estructura, reduciendo de manera importante la necesidad de implementaciones y rutinas de usuario.

Figura 5. Proceso de cálculo para una simulación acoplada.


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PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

De acuerdo a los conceptos enunciados en los párrafos anteriores, el procedimiento de análisis multi-escala, en

este caso enfocado a marcos, se puede sintetizar en los siguientes pasos:

1) Implementación de un elemento genérico experimental en el código de análisis de elemento finito que

actuará como maestro.

2) Implementación del elemento adaptador en los programas esclavo, responsable de imponer las condiciones

de frontera, recolectar su respuesta y establecer comunicación con el maestro.

3) Selección de las porciones de detalle en el modelo de análisis, en el caso de una estructura reticular se puede

partir de los resultados de un análisis de un análisis no-lineal estático.

4) Cada una de las porciones previamente seleccionadas es modelada con una malla refinada de elementos

finitos de esfuerzo plano, que es acoplada a un elemento marco en cada uno de sus extremos por medio de

método de penalización aplicado sobre los GL de libertad de los nodos de la superficie de acoplamiento, en este

caso obedeciendo a la hipótesis de Bernoulli. Esto se coloca en un arreglo esclavo, reduciendo los grados de

libertad del arreglo a 3 por nodo de interface.

5) La matriz de rigidez de un sub-arreglo es calculada restringiendo los grados de libertad de interface e

imponiendo desplazamientos unitarios en cada uno de ellos, las reacciones monitoreadas corresponden a los

términos de la matriz de rigidez inicial.

6) Construcción del modelo de análisis global en el programa maestro, sustituyendo los sub-arreglos modelados

en los esclavos con los elementos genéricos experimentales, que contienen las matrices de rigidez inicial

previamente determinadas y la dirección IP del equipo que procesará a cada proceso esclavo.

7) Construcción de los modelos de análisis local en los programas esclavos, introduciendo el elemento

adaptador en los GL de libertad de interface de cada sub-arreglo, este adaptador impone las condiciones de

frontera en forma de desplazamientos, obtenidos de la respuesta global. También es responsable de la

recolección y transferencia de respuesta del sub-arreglo.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

En esta sección se presentan dos ejemplos de aplicación de la metodología multi-escalas propuesta y su

comparación con los resultados de estructuras modeladas con elementos convencionales (marco), con el

objetivo de mostrar como los resultados no varían significativamente con los métodos establecidos y al mismo

tiempo describen el comportamiento local de los elementos modelados a detalle.

Marco de un nivel

Descripción de la estructura.

Marco regular de concreto reforzado de un nivel y una crujía con un claro de 5 m y una altura de 3 medidos de

centro a centro de los elementos y sección constante de 20x30 cm. Las propiedades nominales del concreto son

resistencia a la compresión f’c= 250 kg/cm2, módulo de elasticidad de 2x105 kg/cm2 y relación de Poisson de

0.18. Se consideró de masa concentrada en el centro de la crujía, con valor de 1.174 kg s2/cm, correspondiente

a su peso propio. La estructura se modeló empleando la metodología propuesta, comparándose directamente

con los resultados de un análisis convencional con un modelo de marco plano. Las dos condiciones de carga a

las que fue sometida son:

-Análisis estático de carga vertical de 344 kg/m, correspondiente a peso propio y a una sobrecarga de 200 kg/m.

-Análisis dinámico, sometido a una aceleración en la base determinada por el registro de aceleraciones del

Sismo de 1985 en la Ciudad de México, componente Este-Oeste, de la estación SCT.

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Sub-Estructuración y Modelos de Detalle.

Al tratarse de un modelo elástico, la inclusión de zonas de detalle no debe alterar en forma importante e

comportamiento global de la estructura y adicionalmente no deben existir saltos en los campos de estudio del

problema, por lo tanto se ha seleccionado aleatoriamente el nodo superior izquierdo para ser detallado en una

escala de menor jerarquía, ejemplificando y validando el método.

La porción de detalle (de escala/jerarquía menor) es modelada con elementos sólidos de esfuerzo plano en los

cuales se impusieron, en las fronteras, las condiciones cinemáticas de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, por

el método de penalización y se conectó una viga corta, reduciéndose los grados de libertad a 3 por nodo.

Este super-elemento se relaciona con el resto de la estructura por medio de 6 grados de libertad de interface,

ubicados en los nodos 4 y 32 de la figura 6, la matriz de rigidez se determinó de acuerdo al concepto elemental

de rigidez, imponiendo desplazamientos unitarios y registrando las fuerzas resistentes en todos los grados de

libertad de interface. Posteriormente se introdujo el elemento adaptador en los nodos 4 y 32, con una matriz de

penalización (además de la empleada en las condiciones cinemáticas) con elementos en su diagonal principal

1000 veces mayores al mayor elemento de la matriz condensada del super-elemento.

Figura 6. Sub-estructuración del marco de un nivel.

El resto de la estructura se modeló usando únicamente elementos marco, y un elemento genérico experimental,

que contiene la matriz de rigidez inicial y establece los puertos de conexión entre ambos modelos, estableciendo

que la plataforma OpenFresco sea la encargada de manejar el proceso iterativo.

La prueba está configurada de forma análoga a la pseudo-dinámica, donde el esclavo es un grupo de análisis

estáticos, mientras que el maestro realiza un análisis dinámico en el tiempo, con el algoritmo de solución de

Newmark (β=1/4) y amortiguamiento del 5%.

Resultados y Evaluación.

Los resultados del análisis estático se presentan para comprobar que se cumple una correcta integración de las

fuerzas en los modelos locales y que no existen los saltos en los campos de esfuerzo, deformación o

desplazamiento.

La integración de las fuerzas en el modelo global se puede comprobar a través de la observación del

comportamiento de los nodos de interface (sus fuerzas internas y desplazamientos). Los momentos flexionantes

en el punto 4 fueron 24472 kg-cm (modelo de barras) contra 26098 kg-cm (modelo multi-escala), mientras que

sus desplazamientos (u,v,θ) fueron (-7.22x10-4 cm, -0.0245 cm,6.26x10-4 RAD) y (0.0359 cm, -0.0227

cm,6.00x10-4 RAD) para los modelos de barras y multi-escala, respectivamente. De igual forma, los momentos

flexionantes en el punto 32 fueron 42890 kg-cm (modelo de barras) contra 41732 kg-cm (modelo multi-escala),

mientras que sus desplazamientos (u,v,θ) fueron (-0.01404 cm, -0.00158 cm, 2.34x10-4 RAD) y (-0.01145 cm,

-0.00158 cm, 2.65x10-4 RAD) para los modelos de barras y multi-escala, respectivamente.

Estas diferencias se deben a que al analizar dos modelos diferentes no se puede esperar exactamente los mismos

resultados, pero principalmente a que las cargas no se aplican de la misma forma en ambos modelos, ya que en


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el esquema de maestro-esclavo todas las cargas se colocan en el maestro (o modelo global) y en el modelo de

barras se colocaron en las esquinas del marco. Mostrando la importancia de un adecuado criterio de selección

de porciones de detalle y consideraciones de análisis.

Otro resultado que debe ser observado es la continuidad en los campos de estudio para el modelo multi-escala,

el de desplazamientos debe cumplirse ya que es parte de las imposiciones realizadas sobre el modelo local.

Mientras que el de esfuerzos (en kg/cm2) deben ser monitoreados en la superficie de acoplamiento. El primer

valor es el esfuerzo longitudinal, para el nodo 4 se tienen valores de ±8.70 (tensión/compresión) en el elemento

barra, según la fórmula de la escuadría y 8.42/-8.52 para el modelo detallado de sólidos de esfuerzo plano.

Además de la aparición de esfuerzos normales al eje longitudinal en los sólidos, con valor de 1.32/-1.38, lo cual

no sucede en la teoría de vigas. Por su parte el cortante tiene un valor en sus extremos de 0.65/0.45, 1.73 el

máximo en el centro, lo cual no difiere importantemente del 1.70 obtenido de la teoría de vigas. En los resultados

expresados anteriormente y en los esquemas de la figura 7, se puede observar que el campo de esfuerzos da

resultados similares en ambos extremos del modelo, con un salto aceptable, pero que describen de una forma

más congruente la distribución de esfuerzos en una junta de viga y columna.

Figura 7. Resultados del análisis estático en el marco de un nivel. Campos de esfuerzo en

kg/cm2 en la zona de detalle A) σxx. B) σzz C) σxz.

El análisis dinámico realizado para esta estructura muestra que la introducción de esta zona de detalle no

induce importantes cambios en los valores de los periodos de vibrar, que son: T1=0.09815 s, T2=0.01857 s

para el modelo de barras y T1=0.09712 s, T2=0.01812 s para el modelo multi-escala, el primero asociado al

desplazamiento lateral de la estructura y el segundo al desplazamiento vertical del punto donde se encuentra

la masa concentrada. Adicionalmente, los resultados del análisis dinámico en el tiempo, figura 8, muestran

que ambos modelos pueden producir resultados similares, la máxima diferencia se presenta en el tiempo 60.77

s y representa el 4.91% de la amplitud.

A) B)

C)

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Figura 8. Resultados del análisis dinámico en el marco de un nivel. Desplazamiento horizontal

en el piso 1, en el tiempo. En rojo la estructura completa y en azul los resultados obtenidos con la metodología propuesta.

Análisis No-Lineal de Empuje Lateral

El ejemplo a presentar corresponde a la aplicación del método en una estructura compleja, donde se sub-

estructuran múltiples porciones de la misma, mostrando la posibilidad de abordar casos no-lineales con la

propuesta realizada, comparada con dos modelos análogos: elementos finitos sólidos de esfuerzo plano y un

modelo de elementos marco con un modelo de histerésis bi-lineal.

Descripción de la estructura.

Marco regular de acero estructural de tres niveles nivel y dos crujías con un claro de 4 m y una altura de 4 m en

el primer entrepiso y 3.5 m en el resto y sección constante de 20x30 cm. Las propiedades nominales del acero

son esfuerzo de fluencia fy= 3515 kg/cm2, módulo de elasticidad de 2x106 kg/cm2 y módulo de Poisson de 0.30.

Dado que el análisis a realizar será de empuje lateral estático, no es necesario definir masas de entrepiso. Se

modelará empleando la metodología propuesta, comparándose directamente con los resultados de un análisis

convencional con un modelo de marco plano. Se cargará el modelo en dos etapas:

-Análisis estático de carga vertical, cargas uniformemente repartidas de 2000 kg/m en los dos primeros pisos y

1500 kg/m en azotea.

- Análisis estático de carga lateral a pasos, con distribución lateral proporcional a la altura de los pisos.

Figura 9. Geometría del marco de acero de 3 niveles y dos crujías. Secciones definidas y detalle de las conexiones entre vigas y columnas

Estructura completa

Estructura ME-acoplada

Desp

laza

mie

nto

Ho

rizo

nta

l (c

m)

Tiempo (s)


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Sub-Estructuración y Modelos de Detalle.

Para este modelo se requirió establecer 12 zonas para concentrar los efectos no- lineales de la estructura. El

modelo de mayor jerarquía, encargada del análisis maestro o global, es una estructura de barras con 12 super-

elementos que hacen las veces de conexiones viga(s)-columna(s) y bases, de acuerdo a la distribución de la

figura 10.

Las sub-estructuras a modelar en los programas esclavos contienen los modelos a menor escala, los cuales

están acoplados por método de penalización a los elementos barra que conectan. Las conexiones se suponen

completamente soldadas en sus bordes y se discretizaron con elementos sólidos con un modelo constitutivo de

plasticidad de Von Mises (J2), en las cuales se varió el espesor para considerar la contribución de los patines.

De igual forma se requiere el cálculo sus matrices de rigidez inicial, en sus 3xN grados de libertad de interface

(siendo N el número de nodos de determinada conexión), y posteriormente la introducción de un elemento

adaptador que conecte a los grados de libertad de interface con el resto de la estructura.

Figura 10. Sub-estructuras para el modelo de análisis multi-escala del marco de 3 niveles.

Resultados y Evaluación.

La aparición de efectos no-lineales en las zonas propensas a daño es un comportamiento que resulta extenso de

monitorear elemento a elemento, por ello se recurre a la curva de capacidad como un indicador global del daño

en la estructura. Facilitando la presentación de los resultados y estableciendo un punto de referencia para la

comparación entre las diferentes modelaciones del marco de acero de tres niveles.

En la figura 11, se muestran los resultados de la prueba de empuje lateral con control de fuerzas, motivo por el

cual se monitorea hasta la aparición de rigidez cero. En el modelo con comportamiento histerético se tiene una

curva con una rama lineal (sin daño) de mayor longitud hasta uframe=9.70 cm en azotea y que tiene cambios

abruptos en la rigidez con la aparición de cada una de las articulaciones plásticas, mientras que los modelos de

elemento finito y multi-escala tienen una degradación suave de la rigidez en ufem=6.80 cm y ums=6.70 cm, ya

que el daño se manifiesta separadamente en cada uno de los elementos de las zonas de mayor demanda.

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Figura 11. Curvas de capacidad y degradación de la rigidez lateral en los modelos del marco de acero de tres niveles. En azul el modelo de plasticidad concentrada, en verde el modelo de elementos finitos de esfuerzo plano y en rojo el multi-escala.

Las cantidades más generales para comparar los modelos de barras, elementos finitos y multi-escala son: el

cortante último en la base con valores de 27774 kg/cm, 26674 kg/cm y 26735 kg/cm, y la rigidez lateral inicial

es 1735 kg/cm, 1623 kg/cm y 1651 kg/cm, respectivamente. Mostrando una tendencia de los modelos multi-

escala de generar resultados más cercanos a un análisis de elemento finito que a los obtenidos de modelos

simplificados.

CONCLUSIONES

Los ejemplos presentados muestran la capacidad del método propuesto para dividir una estructura de estudio

en múltiples análisis y distribuirlos en múltiples equipos de cómputo y de trabajo, obteniendo resultados muy

satisfactorios. La metodología propuesta se basa en herramientas disponibles en gran parte de los códigos de

análisis de elemento finito y en una plataforma que gestiona las transferencias de información, haciéndola

fácilmente extensible, facilitando la división del trabajo de análisis a grupos y softwares especializados,

aprovechando sus herramientas particulares. El trabajo realizado permite realizar algunas observaciones

importantes:

- La selección de los pesos de penalización para el proceso maestro-esclavo y para la imposición de la

cinemática de la escala mayor sobre la menor, es una variable que puede afectar los resultados, ya que si es muy

baja se subestima la demanda en las porciones de detalle y una muy elevada conduce a inestabilidad numérica

en la solución.

- La generación de modelos esclavos y el cálculo de su matriz de rigidez inicial puede ser un trabajo muy

extenso, ya que se requiere imponer desplazamientos y monitorear fuerzas resistentes en todos sus grados de

libertad de interface, por ello es recomendable aprovechar la simetría y repetición de super-elementos.

- La introducción de porciones de detalle permite relajar hipótesis en el modelo global, como el caso del marco

de 3 niveles, donde un modelo de histéresis fue sustituido por un conjunto de elementos sólidos con modelo

constitutivo de plasticidad J2, que corresponden a una escala menor.

- Cada jerarquía de análisis multi-escala involucra diferentes hipótesis de comportamiento y por lo tanto

introduce cambios en el modelo global, por ello es de gran importancia la ubicación cada modelo.

- La posibilidad de distribuir geográficamente una prueba no altera los resultados en este planteamiento, ya que

todos los modelos son numéricos, en caso de incluir porciones experimentales probadas en tiempo real, el

tiempo de cálculo y comunicación se vuelve una variable crítica en el análisis.

Modelo de Barras

Modelo ME-acoplado

Modelo de Elemento Finito

Modelo Elástico

Modelo de Barras

Modelo ME-acoplado

Modelo de Elemento Finito

Modelo Elástico

Desplazamiento horizontal en azotea (cm)

Desplazamiento horizontal en azotea (cm)

Co

rta

nte

de B

ase

(k

g)

Rig

idez

La

tera

l (k

g/c

m)


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AGRADECIMIENTOS

Se agradece al Instituto de Ingeniería de la UNAM por el patrocinio del proyecto “Análisis Sísmico Multi-

Escala de Estructuras de Concreto Reforzado”, y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por la beca

otorgada al primer autor durante sus estudios de maestría.

REFERENCIAS

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Paniagua, C. (2016), “Hybrid Simulation in the Multi-Scale Analysis of Structures”, Tesis de Maestría,

Posgrado de Ingeniería, UNAM, México.

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Yue, J., Fafitis, A., Qian, J. (2012). “A multi-scale structural model for coupling 1D with 3D elements”,

18th European Conference on Fracture: Fracture of Materials and Structures from Micro to Macro Scale, ECF

2010.

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LA SIMULACIÓN HÍBRIDA EN EL ANÁLISIS MULTI-ESCALA DE ... · elementos finitos, los cuales representan a los elementos resistentes de la estructura, que son vigas, columnas y muros,