LABORATORIO DE MATEMÁTICA: SUCESIONES

8/12/2019 LABORATORIO DE MATEMTICA: SUCESIONES

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LABORATORIO DE MATEMTICA: SUCESIONES

ACTIVIDAD N 01

Don juan el albail es especialista en enlosar patios de forma cuadrada. Su diseo favorito consiste enutilizar losas rojas para el interior y blancas para los bordes.He aqu algunos patios construidos por l:

Fig.1 Fig. 2 Fig.3 . . .

Si atendemos al nmero n de baldosas que tiene el patio en cada lado, podemos hacer la siguiente

tabla, en la que T indica el nmero de baldosas blancas empleadas

COMPLETA LA TABLA:

n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n

T

I. Hallar el trmino general o expresin general de la sucesin?

a. Encuentra las diferencias

.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .

b. Encuentra los valores de ay by sustituyan en la expresin t n = an + b

t n = an + b =

c. Verifica, si la expresin general lineal que obtuvieron funciona para los tres primeros trminos

de la sucesin.Primer trmino n = 1 1t = =

Segundo trmino n = 2 2t = =

Tercer trmino n = 3 3t = =

d. Cuntas baldosas rojas utilizara para

un piso de 40 de lado?

e. Si don Juan coloca 144 losas rojas

atendiendo su diseo favorito, cuanto

tiene el patio de lado?


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ACTIVIDAD N 02

Josu est dibujando semicrculos en un papel y obtiene las siguientes figuras:

Fig.1 Fig. 2 Fig.3 Fig. 4 . . .

Si atendemos al nmero n de figuras, podemos hacer la siguiente tabla, en la que T indica el nmero

de regiones obtenidas.

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

T 3



.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .

b. Encuentra los valores de ay by sustituyan en la expresin t n = an + b

t n = an + b =

c. Verifica, si la expresin general lineal que obtuvieron funciona para los tres primeros trminos

de la sucesin.

Primer trmino n = 1 1t = =



d. Cuntas regiones obtendr Josu en

la figura 10?

e. Si se sabe que Josu obtiene 123

regiones que forma la sucesin, Qu

nmero le corresponde a esa figura de

la sucesin?


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ACTIVIDAD N 03

Csar est trabajando en su cuaderno y obtiene muchas regiones por la interseccin de crculos.

Fig.1 Fig. 2 Fig.3 Fig. 4 . . .

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

T



.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .

b. Encuentra los valores de a, by c y sustituyan los valores en la expresin t n = an2+ bn + c

2 a = 3 a + b = a + b + c =

t n = an2+ bn + c =

c. Verifica, si la expresin general cuadrtica que obtuvieron funciona para los tres primeros

trminos de la sucesin.




d. Cuntas regiones se obtendrn en la

figura 20?

e. Si Csar tiene en total 421 regiones,

qu nmero corresponde a esa figuraen la sucesin?


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ACTIVIDAD N 04

Luis est jugando con cubos de madera del mismo tamao y construye escaleras apilando los cubos,como se muestra en la figura.

Fig.1 Fig. 2 Fig.3 Fig. 4 . . .

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

T



.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .


2 a = 3 a + b = a + b + c =

t n = an2+ bn + c =






d. Cuntos cubos necesitar para

construir una escalera de veinte pasos?

e. Si Luis tiene en total 1 275 cubos,

cuntos pasos tendr la escalera que

puede construir?


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ACTIVIDAD N 05

Clarisse est jugando con cubos de madera del mismo tamao y construye escaleras dobles apilandolos cubos, como se muestra en la figura.

Fig.1 Fig. 2 Fig.3 Fig. 4 . . .

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

T



.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .


2 a = 3 a + b = a + b + c =

t n = an2+ bn + c =






d. Cuntos cubos tendr la figura 100 de

la sucesin?

e. Si se sabe que una de las figuras que

forman la sucesin tiene 2704 cubos

qu nmero corresponde a esa figura

en la sucesin?
https://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.pnghttps://lh4.googleusercontent.com/-V97DkOhiLXk/TXul8Ss7qqI/AAAAAAAAAFo/F5SzhaIaWEQ/s1600/22S5.png


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ACTIVIDAD N 06

Johann puede formar castillos con cartas de uno, dos y tres pisos. Se aprecia que se necesitan 2, 7 y

15 cartas respectivamente.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 . . .

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

T



.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .


2 a = 3 a + b = a + b + c =

t n = an2+ bn + c =






d. Cuntas cartas necesitaramos para

tener un castillo similar, pero de 10

pisos de altura?

e. El record mundial est en 61 pisos.

Cuntas cartas necesitaramos para

batir este record mediante un castillo de

62 pisos?


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ACTIVIDAD N 07

Se necesitaron 20 cubos para construir una torre de cuatro capas.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig 4 . . .

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

T



.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .

b. Sustituyan los valores de t1 , a, my ren la expresin:

t n = t1+ )1( n a+2

)23( 2

nnm +

6

)6116( 23 nnn r

c. Verifica, si la expresin general cbica que obtuvieron funciona para los tres primeros trminos

de la sucesin.

Primer trmino n = 1 1t =

Segundo trmino n = 2 2t =

Tercer trmino n = 3 3t =

d. Cuntos cubos necesitaramos para

construir una torre de 30 capas?

e. Si se sabe que una torre que forma la

sucesin se construy, utilizando 969

cubos qu nmero corresponde a esafigura de la sucesin?


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ACTIVIDAD N 08

Las Torres de Hanoi:

Hay que traspasar los discos a otro poste, de forma quequeden en la misma posicin. Los discos slo puedensituarse descansando en alguno de los tres postes, sin queun disco mayor pueda colocarse sobre otro menor.

Hallar la secuencia

N. De discos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... n . . .

N. mnimode

movimientos1 3 . . .

Metodologa.

Comenzar por pocos discos.

Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n -1, siendo

An = An-1+ 1 + An-1 = 1 + 2 A n-1

Observar que de A1 = 1; A2= 3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 31; etc, se sigue que An= 2n - 1

Del hecho de que An = 1 + 2 A n-1 se deduce que la diferencia primera ser:

D= An+1 - An= 1 + 2 An - An= 1 + Anque no se hace constante.

Puedes estudiar lo que ocurre con las dems diferencias y comprobars que ocurre lo mismo.

Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi,hemos hallado una expresin para su trmino general: An= 2

n - 1.


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ACTIVIDAD N 09

El tringulo exterior de la figura es equiltero y su rea es de 4

metros cuadrados. Los tringulos interiores se han construido

uniendo los puntos medios de los lados, supongamos que

repetimos el proceso infinitas veces. Se podra calcular el rea

total de los infinitos tringulos sombreados?

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 n

T


a. Encuentra la razn

.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .

b. Encuentra los valores de 1t y q y sustituyan en la expresin1

1.

n

n qtt

c. Verifica, si la expresin general que obtuvieron funciona para los tres primeros trminos de la

sucesin.

Primer trmino n = 1 1t =

Segundo trmino n = 2 2t =

Tercer trmino n = 3 3t =

d. Calculael rea total de los infinitos tringulos sombreados?q

tS

1

1


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ACTIVIDAD N 10

Calcula la suma de los permetros de los infinitos tringulos que la figura sugiere.

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 n

T



.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .


1.

n

n qtt


sucesin.




d. Calculala suma de los permetros de los infinitos tringulos?q

tS

1

1

1 1

1

1

1

1


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ACTIVIDAD N 11

Se tiene un cuadrado de lado igual uno y su rea es de 1

metro cuadrado. Los cuadrados interiores se han

construido uniendo los puntos medios de los lados,

supongamos que repetimos el proceso infinitas veces. Se

podra calcular el rea total de los infinitos cuadrados

sombreados?

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 n

T



.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .


1.

n

n qtt


sucesin.




d. Calculael rea total de los infinitos cuadrados sombreados?q

tS

1

1


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ACTIVIDAD N 12

Se tiene un cuadrado de lado igual 1 cm; uniendo los puntos mediosde sus lados se forma otro cuadrado; uniendo los puntos medios desus lados de este segundo cuadrado se forma un tercer cuadrado yas se prosigue indefinidamente. Cunto vale la suma de las reasde las regiones de todos estos cuadrados cuando el nmero de ellostiende al infinito?

COMPLETA LA TABLA:

n 1 2 3 4 5 6 n

T



.; .; .. ; .. ; .; .. ; . . .


1.

n

n qtt

= = ..


sucesin.


Segundo trmino n = 2 2

t = =


d. Calculala suma de las reas de las regiones de todos estos cuadrados cuando el nmero de

ellos tiende al infinito?q

tS

1

1

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