Universidad del Bıo-BıoDepartamento de Cıencias BasicasProfesor: Fernando HuancasPrimer Semestre de 2015

Guia 1, Matematica II1. Una pequena fabrica de pasta de madera produce pulpa mecanica y pulpa quımica

en un pueblo cerca de un rıo. Las tecnicas de produccion usadas en la fabrica sontales que: a) cada tipo de pasta requiere 1 hombre-dıa por tonelada producida yb) la capacidad maxima de produccion es 300 tn/dıa para la pasta mecanica y 200tn/dıa para la pasta quımica.

La produccion de pulpa contamina el agua del rıo. La contaminacion se mide enterminos de materiales biodegradables tal como la Demanda Biologica de Oxıgeno(DB0). La pulpa mecanica genera 1 DB0 por tonelada producida mientras que laproduccion de pulpa quımica produce 1,5 DB0 por tonelada. El precio de mercadode la pasta mecanica es de 100 euros por tonelada y de la pasta quımica es de 200euros por tonelada. El directorio de la empresa ha formulado las siguientes polıticasoperativas:

a.- La fabrica debe generar, por lo menos, un ingreso bruto promedio de 40000euros por dıa. Notese que no hay deseo de maximizar ingresos, pero sı, generarel suficiente como para obtener un aceptable retorno sobre el capital.

b.- La fabrica desea retener por lo menos 300 trabajadores empleados. Es unafabrica local pequena, de modo que el gerente es muy consciente de su imagenen la comunidad.

c.- La contaminacion con DB0 debe minimizarse.

Determine la funcion que debe minimizarse, bosqueje su dominio y determine surecorrido.

2. Graficar las siguientes funciones:

a.- f(x, y) = x+ y

b.- f(x, y) = − 148 + x2 + x+ 1

2y + y2

c.- (f(x, y))2 = 14 + y2 − y + x2

d.- f(x, y) = −x2 + y2 + 2x

e.- f(x, y) = −x2 + y2 + y − 2x+ 3

f.- f(x, y) = x2 + 2x+ y2 + 2

3. Calcule, si existen los siguientes lımites:

a.- lım(x,y)→(0,0)

(x2 + y2) sin(1

xy).

b.- lım(x,y,z)→(0,0,0)

sin(xyz)

sin(x) sin(y) sin(z).

c.- lım(x,y,z)→(0,0,0)

xy2 + x2z

2x2 + 3y2 + z2.

d.- lım(x,y)→(0,0)

x5 cos(y)

x2 + y6.

e.- lım(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

.

f.- lım(x,y)→(0,0)

sin(xy)

y.

g.- lım(x,y)→(0,0)

exy − 1

y.

h.- lım(x,y)→(0,0)

cos(xy)− 1− x2

2

x4 + y4.

i.- lım(x,y,z)→(0,0,0)

2x2ycos(z)

x2 + y2.

j.- lım(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2 + 2.

4. Use la definicion de lımites en terminos de ε; δ para verificar que:

a.- lım(x,y)→(0,0)

xy = 0.

b.- lım(x,y)→(0,0)

y2√x2 + y2

= 0.

c.- lım(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2= 0.

d.- lım(x,y)→(0,0)

sin(x2 + y2)

x2 + y2= 1.

e.- lım(x,y,z)→(0,0,0)

(x2 + y2 + z2) sin(1

x2 + y2 + z2) = 0.

f.- lım(x,y)→(0,0)

sin(xy)

xy= 1.

5. Hallar un numero concreto δ > 0 tal que si:

a.- |a| < δ entonces |a3 + 3a2 + a| < 1100

b.- x2 + y2 < δ2 entonces |x2 + y2 + 3xy + 180xy5| < 110000

6. Determine si la funcion f es continua en el punto x0 cuando:

a.- f(x, y) = xx+y ;x0 = (0, 0).

b.- f(x, y) = x2−y2x2+y2

;x0 = (0, 0).

c.- f(x, y) = (x−y)2x2+y2

;x0 = (0, 0).

d.- f(x, y) = xyx2+y2

;x0 = (0, 0).

e.- f(x, y) = yx2

x4+y2; (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0;x0 = (0, 0).

f.- f(x, y) = x2+y2

y ; y 6= 0; f(x, 0) = 0;x0 = (0, 0).

g.- f(x, y) = x3

x2−y2 ; si x2−y2 6= (0, 0); f(x, y) = 0; si x2−y2 = 0;x0 = (0, 0).

h.- f(x, y) = x|y|√x2+y2

; (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0;x0 = (0, 0).

7. a.- ¿Se puede hacer continua sin(x+y)x+y definiendola de manera adecuada en (0, 0)?.

b.- ¿Se puede hacer continua xyx2+y2

definiendola de manera adecuada en (0, 0)?.

8. Sea f : A ⊂ Rn → Rm que satisface ‖f(x)− f(y)‖ ≤ K‖x− y‖α para todo x ey en A,para constantes positivas K y α. Verificar que la funcion f es continua.