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LECCIÓN 11: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER

ORDEN REDUCIBLES A LINEAL

JUSTIFICACIÓN:

Muchas ecuaciones diferenciales pueden ser reducidas a ecuaciones

diferenciales lineales mediante un cambio de variables. En esta lección

consideraremos una ecuación clásica, la ecuación de Bernoulli, la cual puede ser

transformada en una ecuación diferencial lineal.

OBJETIVOS:

El alumno podrá:

1. Identificar cuando una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una

ecuación de Bernoulli

2. Obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer

orden de Bernoulli.

PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

INTRODUCCIÓN:

¿Qué estudiamos en la Lección 10?

♦ Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales.

287

¿Cómo identificamos una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

lineal?

♦ La identificamos porque tiene la forma ao(x) y' + a1(x) y = b(x) con ao(x),

a1(x), b(x) funciones que dependen sólo de x o son constantes.

Si b(x) = 0 ¿Cómo dijimos que se denominaba la ecuación?

♦ Si b (x) = 0, es decir, si la ecuación tiene la forma ao(x) y' + a1(x) y = 0, la

ecuación se denomina ecuación diferencial lineal homogénea.

¿Cómo se obtiene la solución general en este caso?

♦ La solución general se obtiene separando las variables. Para ello se multiplica

por el factor )x(ay

dx

o, resultando

ydy +

)x(a)x(a

o

1 dx = 0

Muy bien. ¿Qué tipo de ecuación diferencial resultó?

♦ Resultó una ecuación diferencial de variable separada.

¿Cómo llegan a la solución?

♦ Integrando cada término.

Correcto. Ahora, si b(x) ≠ 0 ¿Cómo se denomina la ecuación diferencial?

♦ La ecuación diferencial se llama, ecuación diferencial lineal completa.

288

¿Cómo se obtiene la solución general en este caso?

♦ La solución general se obtiene siguiendo los pasos que se enumeran a

continuación

1- Multiplicar la ecuación diferencial por )x(a

1

0 (a0(x) ≠ 0)

y' + )x(a)x(a

o

1 y = )x(a

)x(b

o equivalentemente y' + A (x) y = B (x)

2- Buscar el factor integrante, el cual depende sólo de “x”, y viene dado por

µ (x) = e ∫ A (x) dx

3- Multiplicar la ecuación obtenida en el paso 1 por [µ (x) dx]

e ∫ A (x) dx dy + A (x) e ∫ A (x) dx . y dx = B (x) dx

4- Sustituir la expresión que está al lado izquierdo de la igualdad anterior, por la

diferencial total del producto [µ (x) y]

d [µ (x) y] = d [e ∫A (x) dx y] = e ∫A (x) dx

5- Integrar

∫ d [µ (x) y] = ∫ e ∫A (x) dx B (x) dx + C

equivalentemente

e ∫A (x) dx y = ∫ e ∫A (x) dx B (x) dx + C

6- Despejar “y” multiplicando por el factor e -∫A (x) dx

7- La función obtenida en el paso 6, es la solución general de la ecuación

diferencial ordinaria de primer orden lineal completa y' + A(x) y = B(x)

Muy bien. En esta lección vamos a estudiar un tipo especial de ecuación

diferencial ordinaria de primer orden, la cual puede reducirse a lineal y que lleva el

nombre de un famoso matemático; está es, la ecuación de Bernoulli, en honor al

matemático suizo Jacob Bernoulli (1654 – 1705).

289

Ecuación de Bernoulli:

Observen los siguientes ejemplos:

1- y' + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x1 y = Sen x y3

2- y' + (Cos x) y = ex. y2

3- y' + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ 211x

y = 2x y4

¿Qué característica, en cuanto a la forma en que están escritas, puede

observarse en la parte izquierda de las ecuaciones diferenciales dadas?

♦ En todas aparece la derivada y'; también aparece la variable “y” multiplicada

por una función que depende de x.

Correcto. ¿Pueden establecer un criterio general en cuanto a la forma que tiene

término izquierdo para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas?

♦ El término izquierdo de las ecuaciones diferenciales dadas tiene la forma

y' + A(x) y

Muy bien. ¿Observan ustedes alguna característica común, en cuánto a la

forma, del término que está a la derecha de las ecuaciones diferenciales dadas?

Aparece multiplicada una función de “x” por una potencia de la variable “y”

Exacto. ¿Pueden establecer una regla general en cuanto a la forma que tiene el

término derecho para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas?

290

♦ Si, puede decirse que el término derecho de las ecuaciones diferenciales dadas

tiene la forma B(x) yn

En general, ¿Qué forma tienen las ecuaciones de los tres ejemplos?

♦ Las ecuaciones tienen la forma y' + A(x)y = B(x) yn

Excelente. Abran sus guías en la página 39 y leamos la información que allí

aparece acerca de la Ecuación de Bernoulli.

Una ecuación diferen

con n es un número dependen de "x" (o Ecuación de Bernoull

Analicemos un p

queda la ecuación?

♦ La ecuación qued

¿Saben identifica

♦ Es una ecuación d

Correcto. Si n =

♦ La ecuación difere

ECUACIÓN DE BERNOULLI cial de la forma

y' + A(x) y = B(x) yn

real cualquiera y A(x) y B(x) son funciones que sólo pueden ser constantes) se conoce con el nombre dei.

oco más en detalle esa ecuación diferencial. Si n = 0 ¿Cómo

a y' + A(x)y = B(x)

r que tipo de ecuación diferencial es?

iferencial lineal de primer orden.

1 ¿cómo queda la ecuación diferencial?

ncial queda y' + A(x) y = B(x)

291

¿Pueden identificar qué tipo de ecuación diferencial es?

♦ Si igualamos a cero y sacamos factor común“y”, resulta:

y' + [A(x) - B(x)] y = 0

la cual es una ecuación diferencial de variable separable

Muy bien. Consideremos la ecuación diferencial

y' + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x1 y = x y2 ( n ≠ 0 y n ≠ 1)

¿Por qué, ésta ecuación diferencial no es lineal?

♦ No es una ecuación diferencial lineal porque la variable dependiente "y" tiene

potencia dos, es decir la linealidad se pierde por el término y2

Multipliquen la ecuación diferencial por 2

1y

= y -2 ¿Qué resulta?

♦ Resulta y' y -2 + x1 y -1 = x

¿Quién es la derivada implícita, respecto de x, de la función y -1?

♦ Es (y -1)' = -y -2 y'

Observen nuevamente la ecuación que se obtuvo luego de multiplicar por y-2

esto es, la ecuación y -2 y' + x1 y -1 = x ¿Pueden establecer alguna relación entre la

292

los términos involucrados en la ecuación diferencial y la derivada que acabamos de

determinar?

♦ El primer término de la ecuación diferencial y-2 y' es igual a la derivada del

término y-1 multiplicada por (-1), es decir, y-2 y' = - (y-1)'

Muy bien. Si les dijera que deben realizar un cambio de variable ¿Pueden

identificar cual es?

♦ El cambio de variable a realizar es:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=−

−

'yy'v

yv2

1

¿Qué hacen ahora?

♦ Sustituir el cambio de variable en la ecuación diferencial y -2 y' + x1 y -1 = x

Así obtenemos - v' + x1 v = x equivalentemente v' -

x1 v = - x

Correcto. ¿Qué tipo de ecuación diferencial resulta ser esta última?

♦ Resulta una ecuación diferencial lineal de primer orden

¿Qué paso sigue a continuación?

♦ A continuación debemos determinar un factor integrante

293

Exacto. ¿Cómo lo determinan?

♦ El factor integrante lo determinamos por medio de la ecuación µ(x) = e∫A(x)dx

donde A(x) = - x1 . Por lo tanto, µ (x) =

x1xeee 1xlnxlndx

x1

1====

∫ −−− − Así

resulta que el factor integrante es µ (x) = x1

Determinado el factor integrante ¿Cuál es el siguiente paso?

♦ El siguiente paso es multiplicar la ecuación diferencial lineal v' - x1 v = - x

por µ(x) dx = x1 dx

x1 dv - 2x

1 v dx = - dx

Bien. ¿Qué representa la expresión x1 dv - 2x

1 v dx?

♦ Representa a la diferencial total del factor integrante µ(x) por la variable

dependiente "v"

d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ v

x1 =

x1 dv - 2x

1 v dx

Exacto. Si ahora sustituyen en la ecuación diferencial ¿Cómo les queda dicha

ecuación?

294

♦ La ecuación queda d ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ v

x1 = -dx

¿Qué hacen ahora?

♦ Integramos ∫ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ dxv

x1d ∫ ⇒ Cxv

x1

+−=

Correcto. ¿Tenemos ya la solución de la ecuación diferencial dada?

♦ No. Falta devolver el cambio de variable, es decir, sustituir v por y -1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

y1v .

xy1 = -x + C

¿Se puede despejar "y"?

♦ Para despejar “y" multiplicamos por Cx

y+−

resultando y = )xC(x

1−

¿Qué pueden concluir?

Concluimos que la función y = )xC(x

1−

es la solución general de la

ecuación diferencial y' + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x1 y = x y2

295

Muy bien. Abran sus guías en la página 39, allí tienen en forma detallada los

pasos que deben seguirse para obtener la solución general de la ecuación diferencial

de Bernoulli

D

P

u

PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN

GENERAL DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

y' + P(x) y = Q(x) yn

(n un número real cualquiera)

1- Multiplique la ecuación por y -n ⇒ y -n y' + P(x) y -n+1 = Q(x)

2- Realice el cambio de variable z = y -n+1 ⇒ z' = (-n+1) y -n y'

3- Multiplique la ecuación obtenida en el paso 1 por (-n+1) y sustituya el

cambio de variable indicado en el paso 2

z' + (-n+1) P(x) z = (-n+1) Q(x)

4- Resuelva la ecuación diferencial de primer orden lineal obtenida en el

paso 3

5- Devuelva el cambio de variable

6- De ser posible despeje "y"

Ahora resuelvan el Problema 1, que tienen en sus guías en la página 39

isponen para ello de 10 minutos. Pueden trabajar en grupo

ROBLEMA 1:

Obtenga la solución general de la ecuación diferencial:

y' – y = xy3

Revisemos como resolvieron el Problema 1. ¿La ecuación diferencial dada es

na ecuación de Bernoulli?

296

♦ Si, pues tiene la forma

y' + A(x)y = B(x) yn

donde A(x) = – 1, B(x) = x, n = 3

Muy bien. ¿Podrían identificar por qué no es una ecuación diferencial lineal?

♦ Porque la variable dependiente "y" está elevada al cubo. Es decir, el término y3

es el que hace que se pierda la linealidad de la ecuación diferencial dada.

¿Qué deben hacer a continuación?

♦ Debemos multiplicar la ecuación diferencial dada por y-3. Al hacerlo

obtenemos y -3 y' – y -2 = x

Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso?

♦ El siguiente paso es realizar un cambio de variables

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=−

−

'yy2'z

yz3

2

Exacto. Al sustituir el cambio de variable en la ecuación diferencial ¿Cómo

se transforma?

♦ La ecuación diferencial se transforma en - z' - z = x

¿Qué sugieren hagamos ahora?

♦ Debemos multiplicar la ecuación por (-1).

297

Correcto. ¿Cómo les queda la ecuación diferencial?

♦ La ecuación diferencial queda z' + z = -x

¿Saben identificar qué tipo de ecuación diferencial es la que obtuvieron?

♦ Es una ecuación diferencial lineal de primer ordern

Exactamente. ¿Cómo la resuelven?

♦ Buscando un factor integrante µ (x) = e∫ A (x) dx

¿Quién es A (x)?

♦ A(x) es el coeficiente de la variable dependiente “y“, es decir, A(x) = 1

¿Quién es entonces, el factor integrante?

♦ El factor integrante es µ(x) = e ∫ A(x) dx = e∫ dx = ex

Bien. ¿Qué hacen con el factor integrante?

♦ Multiplicar la ecuación diferencial lineal z' + z = - x por µ (x) dx = ex dx,

resultando ex dz + ex z dx = - x ex dx

Exacto. ¿Qué representa la expresión (ex dz + ex xdx )?

298

♦ La expresión ex dz + ex x dx representa la diferencial total del producto

entre el factor integrante y la variable dependiente "z"

d (ex.z ) = ex dz + ex z dx

Muy bien. Al sustituir este resultado en la última ecuación diferencial que

obtuvimos resulta d (ex z ) = - x ex dx

¿Cómo obtienen z, a partir de esta última ecuación?

♦ Para obtener "z" basta con integrar la ecuación d (ex z ) = - x ex dx

∫ d (exz ) = -∫ x ex dx

¿Que obtienen al resolver ∫ d (exz ) ?

♦ Obtenemos ∫ d (exz ) = ex z

Exacto ¿Cómo resuelven ∫ x ex dx?

♦ La integral ∫ x ex dx, se resuelve aplicando el método de integración por

partes. Para ello hacemos

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒=

=⇒=xx edvdxedv

dxduxu ⇒ ∫ u dv = u.v - ∫ v du

así ∫ x ex dx = x ex - ∫ ex dx = x ex - ex

Muy bien. ¿Cuál es entonces el resultado, luego de haber integrado?

299

♦ Luego de integrar tenemos que

ex z = x ex - ex + C

¿Es esta la solución de la ecuación diferencial dada?

♦ No, falta devolver el cambio de variable, es decir, sustituir z por y-2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2y

1z

Correcto. ¿Qué obtienen?

♦ Obtenemos Cexeye xx

2

x+−=

¿Cómo despejan "y"?

♦ Para despejar "y" se debe multiplicar por Cexe

yxx

2

+−, resultando que

y2 = Cexe

exx

x

+− ⇒

C)1x(eey x

x

+−=

¿Qué pueden concluir?

Concluimos que la función y = C)1x(e

ex

x

+− representa la solución general de la

ecuación de Bernoulli y' – y = xy3

300

Muy bien. El Problema 2 les queda a ustedes como ejercicio, a fin de que

consolidan los aspectos tratados en esta lección.

PROBLEMA 2:

Obtenga las soluciones para cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan

a continuación:

1- xy' + y = 3x y

2- x y' – y = 2

2

yx

3- y' – y = 2y2 ex

4- y' = x + y2

5- x y' + y = 2y1

6- y' = y (xy3 – 1)

7- x y' – (1 + x) y = xy2

8- x2 y' + y2 = xy

9- x2 y' – 2xy = 3y4 y (1) = 21

10- y1/2 y' + y3/2 = 1 y (0) = 4

11- xy (1 + xy2) y' = 1 y (1) = 0

12- 2 y' = xy

- 2y

x y (1) = 1

CIERRE:

¿Qué estudiamos en esta lección?

301

♦ Estudiamos la ecuación de Bernoulli.

¿Qué característica dijimos que tenía dicha ecuación?

♦ Que tiene la forma y' + A(x)y = B(x) yn (n es un número real cualquiera)

Para obtener la solución general ¿A qué tipo de ecuación diferencial debemos

transformarla?

♦ Debemos transformarla a una ecuación diferencial lineal.

Muy bien. ¿Podrían indicarme que pasos deben seguirse?

♦ Para transformar la ecuación de Bernoulli y' + A(x) y = B(x) yn en una

ecuación diferencial lineal deben seguirse los siguientes pasos

1- Multiplicar la ecuación diferencial dada por y-n ⇒ y -n y1 + A(x) y -n+1 = B(x)

2- Realizar el cambio de variable ⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

=−

+−

'yy)1n('z

yzn

1n

3- Sustituir el cambio de variable en la ecuación obtenida en el paso 1,

)1n(1+−

z' + A(x) z = B(x)

4- Multiplicar la ecuación que resultó en el paso 3 por (-n + 1)

z' + )1n(

)x(A+−

z = )1n(

)x(B+−

5- Resolver la ecuación lineal obtenida en el paso 4.

6- Devolver el cambio de variable.

7- De ser posible despejar “y”.