Matematica 8 Grado Honduras

Texto del Estudiante

Jóvenes Estudiantes:El Estado de Honduras, a través de la Secretaría de Educación, les ofrece este Texto de Matemáticas, con el propósito de estimularles competencias y habilidades para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, símbolos y forma de razonamiento; con la intención de mejorar el rendimiento académico en séptimo, octavo y noveno grados.

Con estos textos, presentamos los contenidos del DCNEB de forma accesible y amena, permitiéndole apreciar la Matemática como quehacer humano y com o m edio para desenvolverse en la vida cotidiana y profesional.

Con la resolución de los problemas que se le plantean, podrá dominar operaciones básicas, comprender y aplicar conceptos, recolectar y organizar información; valorando los recursos del entorno como apoyo a la construcción de sus conocim ientos.

Aprender es un proceso en el cual los educandos construyen significados sobre los diversos contenidos, también es relacionar lo que cada uno sabe con lo nuevo que presentamos en este libro, los motivamos a mostrar su entusiasmo, interés y actitudes en la tarea de aprender matemáticas.

En la búsqueda del camino hacia una Nueva Honduras, el recurso humano es la Nación, es el único capaz de generar riqueza a través de la aplicación de sus conocim ientos, capacidades y acción, lo que obliga a la Secretaría de Educación, que mejore en cada generación y para ello, es imprescindible avanzar en la meta de elevar la escolaridad promedio a nueve años apoyada con recursos textuales físicos y virtuales; culminar sus estudios de Educación Media con las competencias requeridas para continuar estudios superiores e incorporarse al mercado laboral.

CUADERNO DE TRABAJO'

Grado

Unidad 1: Polinomios 2 - 4 1Lección 1: Potenciación....................................................................................... 2 - 5Lección 2 Polinomios........................................................................................... 6 - 1 8Lección 3 Productos notables ....................................................................... 19 - 25Lección 4: Factorización de polinomios....................................................... 26 - 33Lección 5: División de polinomios................................................................... 34 - 36Lección 6 Aplicación de la factorización.................................................. 37

................................................................................................................... 38 - 40V

o n ................................................................................................................. 41

Unidad 2: Números reales 42 - 63Lección 1: Números reales................................................................................. 42 - 49Lección 2: Operaciones con raíces cuadradas......................................... 50 - 57Lección 3: Raíz cúbica.......................................................................................... 58Lección 4: Intervalos en la recta numérica............................................... 59

................................................................................................................... 60 - 61................................................................................................................. 62 - 63

Unidad 3: Expresiones racionales algebraicas 64 - 75Lección 1: Expresiones racionales algebraicas;....................................... 64 - 65Lección 2: Multiplicación y división de ERAs............................................ 66 - 67Lección 3: Adición y sustracción de ERAs................................................. 68 - 71Lección 4: Despeje de variables en fórmulas........................................... 72 - 73

................................................................................................................... 74.................................................................................................................. 75

Unidad 4 Triángulos 76 - 99Lección 1: La suma de los ángulos de un polígono................................... 76 - 78Lección 2: Congruencia de triángulos........................................................... 79 - 83Lección 3: Triángulo isósceles y rectángulo............................................. 84 - 89Lección 4: Puntos notables del triángulo.................................................... 90 - 95

................................................................................................................... 96 - 97.................................................................................................................. 98 - 99

Unidad 5: Cuadriláteros Lección 1: Cuadriláteros

...................................................

Unidad 6: Semejanza de triángulos Lección 1: Semejanza de triángulos

.............................................

Unidad 7: Teorema de Pitágoras Lección 1: Teorema de Pitágoras

.............................................

Unidad 8: Tanto por cientoLección 1: Tanto por ciento mayor que 100 y menor que 1

................................................................................................

Unidad 9: Organización y presentación de datos Lección 1: Organización y presentación de datos Lección 2 Extracción de la información.................: ..............................................................................

...............................................................................

100 -113 100 -109 110 - 111 112-113

114-133 114 -130 131 -132133

134 -143 134 -141142143

144 -147 144 -145146147

148 -161 148 -152 153 -157 158 -159 160-161

á É Polinomios

@ Lección 1: Potenciación

Sección 1: Propiedades de ios exponentes

A Encuentre el número en la casilla.

(1) 23 x 24 = 2 ° (2)25- 2 3 = 2D (3) (23)4 = 2 °

\ / (1 ) 23 x 24 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 273 veces 2 4 veces 2 7 veces 2

5 veces 2

(2) 25 + 23 = í x ¿ x ¿ x 2 x 2 = 2 x 2 = 22X ¿ x i 2 veces 2

3 veces 2

4 veces ( 2x2x2)

(3) (23)4 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)= 2123 veces 2 3 veces 2 3 veces 2 3 veces 2

Propiedades de los exponentes

Para un número negativo o positivo “a y dos números naturales m y n se tiene que:

(2) am + a = a " ; m > n y a ¿ 0 (3) («")"= fl"-

1 Calcule aplicando las propiedades de los exponentes.

(1) (1.2)4 x (1.2)2

(4) (-1.8)22 + (-1.8)1

(7) (205)4

(13) (-5)5 x (-5)7

&

(2) [(3.14)7]4

(5) ((-5.1 )4)4

w f | ) * + ( - |

(11) (4.2)15 -i- (4.2)1

(3) 85 x 82

f M f r(9) (-0.1 )3 x (-0.1 )3

7 4(12)

(15)_4 \25

B Supongamos que la propiedad a + a = a"' es válida aún cuando m=nOm<n.

|4

1 Encuentre el número en la casilla.

(1) 23 + 23 = 2D (2) 23 + 27 = 2D

/ (1) 23 + 23 = 23'3 = 2o (2) 23 + 27 = 23'7 = 24

2 Calcule el valor de (1) y (2) del inciso anterior.

/H V 0 3 . , /n, 0 3 . 0 7 _ ¿ Y L Í x l _ 1

( ) ¿ x ¿ x ¿ ¿ / x ^ x 2 f x 2 x 2 x 2 x 2 2

Del ejemplo anterior se concluye lo siguiente:

Para un número “a diferente de 0 y un número natural V se tiene que:

(4 )o=1

Con esta definición se extienden las propiedades anteriores de los exponentes para cualquier número entero myn.

1 Calcule aplicando las propiedades de los exponentes.

(1) (-0.3)° (2) r (3) 0.4'1( i r

(5)10° (6) (-4 r (7)1.4° (8) (-0.6)-3

<«»(-!)•(10) (-11) 2 (11)(-3)5 (12) (-25)°

3 Calcule y compare los valores de ambas expresiones en cada grupo para comprobar que las propiedades de los exponentes son válidas.

(1) 3'5 x 32; 3'5t2 (2) 24 + 2'3; 27 (3) (2'3)'2; 26

+ 4 $

0 Sección 2: Notación científica

C Juan midió el peso de una piedra. La aguja indicó unpunto cerca de 14 kg 400 g. Es decir, que la piedra pesaun poco más de 14 kg 350 g y menos de 14 kg 450 g.

Si Juan representa el peso de la piedra con 14 kg 400 g no se sabe con qué exactitud lo midió, es decir, no se puede saber si el peso queda entre 14 kg 350 g y 14 kg 450 g o entre 14 kg 395 g y 14 kg 405 g,'etc.¿De qué manera puede Juan representar el peso con una escala de exactitud?

14.4 kg.

Si se quiere representar el peso con la unidad de medida g se hace lo siguiente:

14 kg 400 g = 14400 g= 1.44 x 10000 g = 1.44 x 104 g

A este tipo de notación (1.44 x 104) se le llama notación científica.

Un número está escrito en notación científica si tiene la forma a x 10" donde 1 < a < 10 y n es un número entero.

La notación 1 < a < 10 significa que a puede tomar el valor de 1 o valores entre 1 y 10 sin incluir el 10. 4

A las cifras que aparecen en la expresión del número a se les llama cifras significativas. En la expresión 1.44 x 104 el número de cifras significativas es 3. Las cifras significativas indican la exactitud de la escala de medición.

EjemploSi una distancia es de 3.2 x 104 m (con 2 cifras significativas) significa que esta distancia mide entre 3.15 x 104 y 3.25 x 104 (es decir entre 31500 m y 32500 m).Si la distancia es de 3.20 x 104 m (con 3 cifras significativas) la medida está entre 3.195 x 104 m (31950 m) y 3.205 x 104 m (32050 m).Si fuera de 3.200 x 104 m (4 cifras significativas) estaría entre 3.1995 x 104 m (31995 m) y 3.2005 x 104 m (32005 m). Esta última medición es más exacta ya que tiene más cifras significativas.

Para escribir un número en notación científica, éste se multiplica y divide por una misma potencia de base 10 de modo que la primera cifra sea entera y las demás sean decimales.

Ejemplo

(1) 53671 escrito en notación científica es 5.3671 x 104 pues

53671 = x 104 = [53671 - 104] x 104 = [53671 + 10000] x 104

= 5.3671 x 104

(2) 0.00034 escrito en notación científica es 3.4 x 104 pues

_ (0.00034 x 104) _ 0.00034 x 10000 _ 1, 40.00034 - -|q4 - q4 — 3.4 x q4 - 3.4 x 10

<4Si el exponente es un número entero negativo entonces la cantidad es menor que 1. En la expresión 3.4 x 10-4, el exponente -4 indica que la

^ cantidad es menor que uno, es decir, 0.00034 < 1. ^

i Escriba las siguientes cantidades en notación científica. La cantidad de las cifras significativas está dada entre corchetes.

(1) 5869713600 millas (año luz) [8](2) 2000000000000 (dos billones) [1](3) 0.000001 metros (tamaño aproximado del VIH) [1](4) 59000000 libros (libros de la biblioteca del congreso de USA) [4](5) 0.0000001 metros (un nanómetro) [2]

5 Para las siguientes expresiones en notación científica diga el número de cifras significativas y además determine los valores entre los que estas medidas se encuentran de acuerdo al número de cifras significativas.

(1) 3.28 x 103¿ (2) 1.04 x 105 km

(3) 5.008x 102 cm (4) 9.132 x 103 km2

2 Para convertir una cantidad de notación científica a notación ordinaria se multiplica el número a por una potencia de base 10.

Ejemplo

(1) 4.3x 104 = 4.3x 10000 = 43000

(2) 4.3x10* = 4 3 x ^ = ^ = 0 . 0 0 0 4 3

6 * Escriba en notación ordinaria las siguientes cantidades.

(1) 1.84x 103 (2) 3.014 x 102 (3) 9.9 x 105

0 Lección 2: Polinomios

Sección Monomios y polinomios

A En séptimo grado estudiamos expresiones algebraicas como las siguientes:

5, a, tó, ¿>2, 5a, 4a¿>2, 5a + 462, 5a - 462

A las expresiones 5, a, ab, ¿>2, 5a y 4a¿2 se les llama monomios.

Un monomio puede ser un número (5), una variable (a), un producto de variables (ab, b2) o un producto de un número por una o más variables (5a y 4a¿2).

A todas las expresiones algebraicas (incluyendo los monomios) se les llama polinomios.

Un polinomio es un monomio o una suma de dos o más monomios. Los exponentes en un polinomio deben ser números naturales o cero.

Se le llama término a cada monomio que forma parte de un polinomio.

Ejemplo

(1)En 5a + Ab2 los términos son: 5a; Ab2(2) En 5a - 4¿>2 los términos son: 5a; -Ab2

Como 5a - Ab2 = 5a + (-Ab2) los términos son: 5a; -Ab2. ^4

1 ¿Cuántos términos tienen los siguientes polinomios?

a) 8x2 - 3x b) 5a + Ab2 - 3c c) 21

/ a) 2 b) 3 c) 1

Un polinomio que tiene 2 términos es un binomio.Un polinomio que tiene 3 términos es un trinomio.Un polinomio constante es el que tiene un monomio con sólo un número.

Ejemplo

8x2-3x es un binomio porque tiene 2 términos: 8x2; -3x.5a + 4¿>2-3c es un trinomio porque tiene 3 términos: 5a; Ab2\ -3c.21 es un polinomio constante ya que está formado sólo por un número.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables que lo forman. El grado de un monomio constante es cero.No se define el grado a la constante 0 (cero).

Ejemplo

Monomio Grado El monomio 5x2y tiene dos variables. La variable x tiene el 2 como exponente (2 veces x como factor) y la variable y el 1 (1 vez y como factor). El grado del monomio 5x2y es 3 ya que es la suma de los exponentes de las variables (2 + 1 = 3).

El grado del monomio 5x y z es 6 ya que 2 + 3 + 1 = 6.

•p ¿Cuál es el grado de los siguientes monomios?

(1)5xyz (2)8 (3) 10mn (4)20mn (5) 15a3 (6) 7b'c

Monomio Grado3 03x 13x2 25x2y 35x2y3z 6

El grado de un polinomio es el valor máximo de los grados de sus términos.

Ejemplo

Polinomio Grado 5a - 4 b2 2 3x2 - 4 / 2 3 -2x + 4x 5 5xy + 4y x + 2x3 4

; ¿Cuál es el grado de los siguientes polinomios?

(1) 3a + 4b2 (2) - x +'4y + z (3) 3x5- 2x3 + 10x

i4) 20xy2 + 5xv - 6x2_y (5) 3x4 - 4xy3 + 5xy - 5xy + 15)’’

Al polinomio de grado 1 se le llama polinomio de primer grado o polinomio lineal y al de grado 2 polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.

&

2 ¿Qué característica presentan los siguientes polinomios de acuerdo al grado?

(1) - 3x3 + 4x2 - 2x - 1; 4y - 3 / + 57-23

(2) 7 + 3x - 2x2 + 8x3; 3y - 4y3 + 5y

J f Los (1) están ordenados en forma descendente de acuerdo al grado y los (2) en* forma ascendente.

Por lo general, cuando se opera con polinomios, éstos se presentan colocando los términos en orden descendente o ascendente de sus grados y completándolos con ceros si hacen falta.

Si un polinomio está ordenado en forma descendente de acuerdo a su grado se dice que está en su forma canónica.

Ejemplo

-5x2 + 3x + 2 ... Ordenado en forma descendente (Forma canónica)

2 + 3x - 5x2 ... Ordenado en forma ascendente

La forma canónica de 3x3 + 2x5 + 2 - x es 2x5 + 3x3 - x + 2

3^ Escriba la forma canónica de los siguientes polinomios.

(1) -5x2 + 6x4 - 11x3 + 1 (2) 3 + 5x5 + 5x3

(3) 3a -3 a + 3 - la - 4a3 (4) x + 5x2 - 10x4 + 15x6 - 20x3

(5) 8x2 + 9x3 - 2 + x - 16x4 (6) 1 + 7x2 - 5x5 + 3x3 + 4x

4^ Ordene los polinomios del ejercicio 3'' en forma ascendente.

Cuando un polinomio tiene más de una variable, sus términos se pueden ordenar de dos maneras:

(1) Según el grado de sus términos.(2) Según el grado de una variable fijada de antemano.

Ejemplo

3x2/ - 4x3 + 5xy - 6 ................... Manera (1)

-4x3 + 3x2y + 5xy - 6 .................. Manera (2) con respecto a x

3xy + 5xy - 4x3 - 6 ................... Manera (2) con respecto a y

5V’ Ordene los siguientes polinomios de la manera (2) con respecto a cada una de las variables.

(1) 3xy3 - 2 - 5xj' + 2x^ (2) 5mn + 5mz - 5m2n + 3z2 (3) 3xy + xy 2 - 5 + x3 - y

# Sección 2: Adición y sustracción de polinomios

Términos semejantes son aquellos términos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.

En un polinomio se reducen los términos semejantes por la propiedad distributiva.

Ejemplo

* 1 3a + 5a = (3 + 5)a = 8a (2) 5b2 - % 2 = (5 - 9)b2 = - Ab2

í Calcule (3a + Ab) + (5a - 2b).

J (3a + Ab) + (5a - 2b) = 3a + Ab + 5a -2b ........ Eliminando paréntesis= 3a + 5a + Ab - 2b ........ Propiedad conmutativa= (3 + 5)a + (4 - 2)6 ........Propiedad distributiva= 8a + 2b

En la adición de polinomios se eliminan los paréntesis y se suman los términos semejantes.

"ambién se puede hacer el cálculo en forma vertical 3a + Ab :c ocando los términos semejantes en columna. 5a - 2b

I C Calcule (3a + Ab) - (5a - 2b).8a + 2b

3a + Ab) - (5a - 2b) = 3a + Ab - 5a + 2b ......... Eliminando paréntesis= 3a - 5a + Ab + 2b ......... Propiedad conmutativa= (3 - 5)a + (4 + 2 )b ......... Propiedad distributiva= -2a + 6 b

En la sustracción de polinomios se cambian los signos de cada término del polinomio sustraendo y se suman los términos semejantes.

gual que en la adición se pueden restar los polinomios 3a + Ab en forma vertical. -~5 a + 2b

$ Calcule.-2a + 6 b

1) (-3a + 5b) + (10a -146) (2) {3x2 - 2x + 4) - [x2 - x + 1)3) (5x4 + 3x2 + 4) + { -2x+ x2- x + 2) (4) ( 3 / + 2x3+ x ) - ( - x 2+ 2 x -5 )5) (20.t2 - 5x - 9) + {2x - 25x + 15) (6) (-15x3 + 42x2) - (-25x + 12x2)

(7) (x + / + z2) + (2x2- y 2 + z2) (8) ( 5 / - 7xy + 4) - (8x +Axy-9)

j Sección 3: Multiplicación y división de un polinomio por un número

D Calcule -3(2a - 46 + 5).

J -3(2a - 46 + 5) = (-3) x 2a + (-3) x (-46) + (-3) x 5 ▼ = -6a + 126 -15

En este caso se aplica la propiedad distributiva.

7 } Calcule.

(1)4(7jc-2x2) {2)5(Apq-3p + 2q)

(3) - || i0 .v i -6a'M ., + 2) (4) 0.2(20/ + 30i - 5)

(5) 8 ( | y - 3 , - 1 ) (6) -1 .2 (2 / - 4 / + 7)

E Calcule (3a + 46 - 5) + 6.

^ (3a + 46 - 5) -í- 6 = (3a + 46 - 5) x -i- ........ Convirtiendo a multiplicación

= 3flX- - + 46x-g--5x-^

--1 £- 2 a+ 3 6 - 6

Otra manera es convertirlo a la forma de fracción como se muestra a continuación.

(3a + 46 - 5) 6 = 3fl+^ ~ 5

_ _3a_ _46_ _5_’ 6 + 6 ‘ 6

_ o_ a .26 5,‘ 2 + 3 * 6

J - A- 2 a + 3 6 - 6

Al convertir la división a la forma de fracción hay que tener mucho cuidado en la simplificación. El siguiente error es muy común.

1 2

Za + 4-6 - 5 _ a + 2b _ 5 La expresión a + 26 - 5 es® una respuesta equivocada.i

Calcule.

(1) (8xy -1 0x + 20 /) + 4

(2) (30x2 + 15x + 10) + 5

(3) (16./v -1 2 x / + 8x2/ ) + 6

(4) (49m4 + 21m2 - 56) + 7

(5) (100¡y2 - 50y + 25) - 10

(6 ) (18¿3 - 6¿j2 + 46 -10) - 8

(7) (44«2 + 55m - 66/j>) 11

(8) (28x2 + 10xy -1 4 /) + 4

9) (36px2 - 18 /x + 9px - 3) 36

(10) (48x4 + 24x2 - 54) + 72

Calcule 2(-8a + 6 + 3) - 3(2a - 4b + 5).

: -&J + b + 3) - 3(2a - Ab + 5) = 2 x (-8a) + 2 x 6 + 2 x 3 + (-3) x 2a + (-3) x (-46)+ (-3) x 5

= -16a + 26 + 6 - 6a + 126 -15 = -22a + 146-9

lócu le .

- - : + 1) + 2(x - 4)

1 5 jtz + 2x}’ - 3 / ) - 3(-2x2 + Axy - 5 /)

I- ’ : + 3r -1 ) + 3(4x2 - 6x + 3)

- : -Zr: + 5q2-7 )+ 10(2p2- Aq + 6)

G Encuentre el área de un rectángulo cuyo largo es 3a cm y el ancho es 2b cm.

Sección 4: Multiplicación y división de monomios

VArea = largo x ancho ^ a

(3a) x (2b) = (3 x a) x (2 x 6)

= (3 x 2) x (a x b ) ' .............. Propiedad asociativa y conmutativa

= 6 ab

Para multiplicar dos o más monomios se multiplican los coeficientes y las variables.

10 Calcule.

(1 )(-8x)x(-ty)

(4) (lab) x (3c)

(2) (Axy) x (-5 z )

(5) (0.5jc2) x (-6y )

(3) (-Imn) x (8/>V)

(6) t f m) x ( I " )

1 (-2x y ) x (-3x y ) = (-2) x (-3) x (x2y x x y )_ c 2+3 2+2= 6x y

= 6x5/

Al multiplicar monomios que tienen alguna variable en común se utiliza la propiedad de la potenciación que trata del producto de potencias de igual base y distinto exponente donde se copian las variables y se suman los exponentes.

Calcule.

(1 )(5x!>)x (7i j .) (2)(5>y)x(-2/y) (3) (-|<i¡>!)x (l2a !)

(4) (-0.5OÍ) x (4oV) (5 ) ( - |m V ) x ( - |m V ) (6) (2.1a) x (1.204’)

Ejemplo

(1) (-2a)2 = (-2a) x (-2a)= (-2) X (-2) x a X a = 4a2

(2) -(2a)2 = -(2a) X (2a)= - 2 x 2 x a x a = -4a2

Calcule.(1)(-3¿)2

(4) (-4a2)2

(2) -(8mj

( 5 ) - ^ d (6)-(2.3kf

/Hay dos maneras de calcularlo.

(1) Convertir la división en una multiplicación.

6ab + 2a = 6ab x J -3 2 atídb

=_2T1

= 3 b

ll* Calcule.

(1) 10xy + 5bty

(4) 25«62 + 5a62

1 Ejemplo

6a6 * y a = 6a6 * ^

= £Íéí6 x

= 3 x 3 x 6 = 96

H Calcule 6 ab + 2a.

Calcule.

5 . 10

11 2 . 22 2 g-X^+^g*^

(2) Expresar el cociente como fracción. 3

6a6 + 2a = - ^

(2) -2 0 / + 5x

(5) 32mn + 2 2

(2) -1 /p + -|x/?

(5) y fl6 c2 + c2

V= 36

(3) 21/?^r + Ipr

(6) 1OOxVz + 25x>’

/Q\ 2 2 2 . 4(o)yW n o - ^ m n o

I C \ 7 2 2 2 . 14(6)-yx^ z 27XFZ

- aeró lo

- ~ ? ir 'tf ■ 1 1 i - ™ b x 26 Gafe x 26 - (- 3a) - —

= -2 x 2 x 6 x 6

= -462

C a c je

* — X 4<3C x c

<í- 7wi x 3m2p + 21 np (5) 2ad x 36 x 4c

' i s : - 186 + 12a262

(2) 6a6 + 26 x 3a = ^ x 3a

_ éab'x 3a

(2) 8a6 + 66 x 4ac

m 3 ,1 4 . 1 PO) —jr : x ~ ^ a b - g ac

io\ 3 4 ,2 1 (8) j a X j b c x - Q a c

= 9a2

(3) 12a26 + 8a + -|-a6

(6) 8a6 - 186 x 12a262/n\ 3 , 2 . 4 1 (9) y a6 - g a6 X"g"ac

Sección 5: Multiplicación y división de un polinomio por un monomio

I Encuentre el área de un rectángulo cuyo largo es 3a cm y el ancho es b + 2c cm.

Área = largo x ancho

= 3 a(b + 2c)

= 3a x b + 3a x 2c

= 3 ab + 6ac

ab ab ab

ac ac acac ac ac

Para multiplicar un polinomio por un monomio se aplica la propiedad distributiva, es decir, se multiplica el monomio con todos y cada uno de los términos del polinomio.

a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + be

1 Ejemplo

(1) 3y(2z - 5) = 3y x 2z - 3y x 5

= §yz -15y

(2) (a - 2b + 4) x (-5c) = a x (-5c) - 2b x (-5c) + 4 x (-5c)

= -5 ac + 106c - 20c

-i-x x (2t3/ ) + 4 -xy x (2vY) -1 x (2vY)

4 5 2 , 4 5 r¡ 3 2" y x y + x j - ¿xy

\ / Calcule.

( 1 ) 3 » ( - | » + | / > (2) 2r(x2 + 2ty + y2)

(3) Amn(2m2 - Amn + 2 n)

(5) (5mn - 6rt + 4uv)(-2ntv)

(4) ■!«(%>-9?+ 12)

(6) (16¿y - 12o + 8/ ) (4 .0)

Ejemplo

2a(a - 36) - b(3a - b) = 2a - Qab - 3ab + b2

= 2a-9ab + b2 ............. Se reducen los términossemejantes -6ab y -3ab

Calcule.

(1) 5x(x +y)-y(2x . 3y)

(3) 2x(5x -y) + 3y[-2x + 3y)

(5) Zx2(5x - 6) + 3x(x2 - x)

( 7 ) 1 4 fo + 4 > - ) + 1 2 v ( | i - ly

(2) {-y){3x - 2y) + x(5x - y)

(A) 7x(x - y) + 2x(y - x)

(6) -4ab(6a - 8) + 36(-5a - a3)

(8 )- |y (4 x+ -|> '}- |x (9 x + 6y)

0Cómo puede realizarse la división de un polinomio entre un monomio?

Convirtiendo la división en una multiplicación.

Ejemplo

1) (6ab - 4a) + 2a = (6ab - 4a) x ^

1 1= 6a6 x - - 4a x¿a 2a

_ /6Í 6 . U

= 36-2

(2) (3a2 - a6) + y = (3a¿ - a6) x

= 3a2 x^-- a b x ~ a a_ 3a2 x 3 _ a6 x 3

a " a

= 9a - 36

En (1) se puede usar la forma de fracción como se da a continuación:

(6a6 - 4a) + 2a = 6a¿2' 4fl

6a6 4a2a " 2a

= 36-2

Calcule.

i 1) (12m2« - 8wn2) + Amn

3) (48x5/ - 2Ax3y) * 8x3y

5) (-192\mn - A8m2p2) + (-12m)

(2) (60)pq - 30qt) + (-5g)

(4) (108a262 + 36a26) + 18a6

(6) (162vz2 - 108/z) + 21 yz

K Encuentre el área de un rectángulo cuyo largo es (a + 6) cm y el ancho es (c + d) cm.

0 Sección 6: Multiplicación de polinomios

Área = largo x ancho

= (a + b)(c + d)

ac be

ad bd

= {a + b )M ................ '..... Se representa el valor c + d con M, es decir,c + d = M, para que se convierta en un

- aM + bM producto de un polinomio por un monomio

= a(c + d) + b(c + d) .... Se sustituye M por c + d

= ac + ad + be + bd

(a + b)(c + d) = ac + ad + be + bd W f Q © ® ©

A la expresión ac + ad + bc + bd se le llama desarrollo de (a + b)(c + d).

Al producto de polinomios y/o monomios expresado en la forma de polinomio se le llama desarrollo.

1 Ejemplo

(a + 2) (3b - 4) = a x 36 - a x 4 + 2 x 3b - 2 x 4

= 3ab - 4a + 66 - 8

(a + 2) (34 - 4)

El desarrollo de (a + 2) (36-4) es 3a6-4a + 66- 8.

Desarrolle.

(1) (3x -1) (2y + 3)

(3)(4-2x)(7 -y)

(5) (10&4 -1) (10m2 -1)

(7) (12x-7 ) (y-1)

(9) [x3 -1 )(2/ + 2)

(2) (-5x2 + 3) ( 7 / - 5)

(4) (6m + 5) (4/i -1)

(6) (9« - 4) (2/h + 1)

( 8 ) ( | j + | ) ( 6 , - 1 8 )

(10 )(-3 / + 1 ) ( 7 / - 6 )

Ejemplo

(a + 2) (3a - 4) = 3a2 - 4a + 6a - 8

i= 3a2 + 2a - 8 ......

Desarrolle.

1) (2x -1 ) (3x + 2)

3) ( 1 0 / - 4 ) ( 1 0 / - 4 )

5) ( y x + (4x - 6)

7) (2a + 3) (3a + 4)

9) (106 - 3) (6+ 12 )

2 Ejemplo

(2) (5/n2 + 3) (m2 -1 )

(4) (7x - 5) (3x + 2)

(6) (Zr4 + 1) (-3x4 + 1)

(8) ( 5 a - 1) (a + 8)

(10) (8c5+ 1) (2c5-11)

Reduciendo los términos semejantes

(2a - 3) (a - 46 + 5) = 2a(a - 46 + 5) - 3(a -4 6 + 5)= 2a2 - 8a6 + 10a - 3a + 126 -1 5

= 2a2 - 8a6 + 7a +126 -1 5/

A Desarrolle.

1) (-5x + 3) (8x + 3v - 8)

>3) (-2a2-5 ) (-7a2 + 963 +1)

(5) (-2x3 - 5) ( 9 * + 9 / - 6)

Reduciendo los términos semejantes

(2) (7a + 6) (7a - 66 - 5)

(4) (2x + 3) (-5x + 3j + 3)

(6) (-2m4 + 7) (8m4 + 9n - 8)

Se puede calcular la multiplicación de polinomios en forma vertical.

- Eemplo

x2 - 4x + 5 2x - 3

2v3 - 8x2 + 10x - 3x2 + 12x -1 5

2x- 11x + 22x -1 5

Los términos semejantes se deben colocar en columna para facilitar su reducción.

DT Desarrolle en forma vertical.

(1)(5x + 9) (7x-1)

3) (7c -7 ) (6c-8 )

5) (Ay - 8) (3j; + 4)

(2) (4a - 6) (5a + 9)

(4) (-5x + 4) (6x + 4)

(6) (2x - 4) (7x2 + x - 2)

L ¿Cuál es el valor numérico del polinomio 3a(2a - 46 + 1) - 56(a + 36-2) si a = 3 y b = -2?

\ J j Primero se desarrolla el polinomio.

3a(2a - Ab + 1) - 5b(a + 3 6 -2 ) = 6a2 - 12a6 + 3a - 5a6 - 1562 + 106= 6o2 - 17a6 - 1562 + 3a +106

Una vez desarrollado se sustituye 3 y -2 en a y 6 respectivamente y se opera:

6a2 -1 lab - 1562 + 3a + 106 = 6(3)2 - 1 7(3)(-2) - 1 5(-2)2 + 3(3) + 10(-2)= 54 + 1 0 2 -6 0 + 9 - 2 0 = 85

R: El valor numérico de 3a(2a - 46 + 1) - 56(a + 3 6 -2 ) cuando a = 3 y 6 = -2 es 85.

Sección 7: Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir las variables por números y desarrollar las operaciones indicadas.

Si el polinomio no está desarrollado debe desarrollarse para después sustituir en él los valores de las variables y operar.

Encuentre el valor numérico.

(1) (-5x + 3) (8x + 3y - 8); si x = 1, y = -2

(2) (5x + 9) (7x -1); si x = A

(3) (a + b)(c-d)\ si a = 2, 6 = 3, c = 4, d = 7

(4) (3x -1) (2y + 3); si x = y , y = 1

(5) (3/w - n) (2m-p)\ s\m = 2,n = '\,p = 3

(6) 3a2 + 2a - 8; si a = - 2

(7) 2x3 - 11x2 + 22x -15; s ix = 2

(8) y « +^ P ' 4; sin = 12,/? = 30

(9) a + 3a b + 3a62 + 63; si a = 4, 6 = - 2

(10) a - Aa3b + 6a262 - 4a63 + 64; si a = 1, 6 = y

4 Lección 3: Productos notables

4 Sección 1: Productos de la forma (x+ a )(x + b)

A Encuentre el número que va en la casilla.

(1) {x + 2) (x + 3) = x + Q k + D (2) (x + 2) (x - 3) = x2 + G * + D

/(2) (x + 2) (x - 3) = x - 3x + 2x - 6

= x - 1x - 6

(x + 2) (x - 3) = x + G x + @

Al multiplicar polinomios de la forma (x + a) {x + b) se obtendrá:

(1) (x + 2) (x + 3) = x + 3x + 2x + 6

= x2 + 5x + 6

(x + 2) (x + 3) = x2 + [5]x + [6]

(x + a) (x + b) = x2 + bx + ax + ab

= x + (a + b)x + ab

(2

X ax

bx ab

Fórmula I: (x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab

1 Ejemplo(x + 4) (x + 7) = x2 + (4 + 7)x + 4 x 7

= x2 + 11x + 28sumar

(x + 4) (x + 7) = x2 + 11x + 28

a = 4 y 6 = 7

Multiplicar

2 Ejemplo(x + 4) (x - 7) = (x + 4) {x + (- 7)}

= x2 + {4 + (-7)}x + 4 x (-7)

= x2 - 3x - 28

a = 4 y b = -7

1 Desarrolle los siguientes productos aplicando la fórmula I.

(1) (x + 2) (x + 5)

(7) (x -1 ) (x + 1)

(10) (x - 3) (x + 8)

(i3>ii+d V i

(2) (x - 3) (I + 6)

(5) (*-5) (* + ■§)

(8 ) (x - 4 ) ( r - 2 )

(11) (x -10 ) (x -1 )

(3) (x + 10) (x -12)

(9) C* - 5) C» + 3)

( 1 2 ) 1 * 4 ) ( j - l

Sección 2: Productos de la forma (x + a) 2y (x - a) 1

Desarrolle los siguientes productos aprovechando la fórmula I.

(1)(x + «)2 (2 ) ( x - a f

(1) (x + a f = (x + a)(x + a)= x + (a + a)x + a x a = x + 2ax + a

(2) (x - af = (x - a)(x - a)= x + {(-a) + (-a)}x + (-a) x (-a) = x - 2 ax + a

2X ax

ax 2a

1 (x - a fx - a

\ ! 2X i a

~~ x - a -

Xr J X

(x - a f

a2

- x - a ' a> x

O/

o L VI

El área de rectángulo es a x

El área del rectángulo es ax

En la gráfica anterior tratamos de visualizar el producto (x - a f .

1. Para encontrar el área de (x - a f separamos los dos rectángulos de área ax (el largo es x y el ancho es a).

2. Ambos rectángulos se traslapan en un cuadrado de área a2, por lo que al separar los dos rectángulos estamos quitando dos veces el área a2

3. Como los rectángulos se traslapan en el cuadrado de área a2, uno de estos dos cuadrados se quita con uno de los rectángulos pero el otro cuadrado debe quitarse del cuadrado de área (x - a f que es el que queda.

4. Como lo que se anda buscando es (x - a f y está incompleto, para completarlo debe sumarse nuevamente el cuadrado de área a2 que es el que se le ha quitado.

(x-^af^jc2 - 2ax + a2

El cuadrado Los dos grande rectángulos

El cuadrado que se agrega

Fórmula II: (x + a f = x + 2ax + a

Fórmula III: (x - a f = x2 - 2ax + a2

Ejemplo

(x + 3)2 = x + 2 x 3 x x + 32

= x + 6x + 9

Multiplicar por dos (Doblar)

(x + 3)2 = x + 6x + 9

2 Ejemplo

(x - 3)2 = x2 - 2 x 3 x x + 32

= x2 - 6x + 9

Elevar al cuadrado (Cuadrar)

3 Ejemplo

. ! 3 Jx - 2 x 16

A las expresiones de la forma (x + a)2 se le llama el cuadrado de la suma de un binomio. Ejemplo: (x + 4)2; (y + 5)2.

A las expresiones de la forma (x - a)2 se le llama el cuadrado de la diferencia de un binomio. Ejemplo: (x - 4)2; (y - 5)2.

2 Desarrolle aplicando las fórmulas II y III según corresponda.

(1)(x + 5)2

(4) (x - 8)2 (5) (x * T f (6) ( I -3 f

(7) (x - 4)2 (8) (x - 5 f (9 ) (x - 9 f

(10)(x-6)2 (11 + (12)(I + { f

(13) (x -1 )2<14 4 ) !

(15 ) ( * - | ) !

r-

C En el siguiente rectángulo calcule el producto (x + a) (x - a).

J t El área del rectángulo azul es (x + a ) [x -a ) , (* el del rectángulo verde es a(x +a) x

y el del rectángulo total es x{x + a). x -

De lo anterior se deduce que\ A

+ a(x + a)(x -a) + a(x + a) = x(x + a)

[x + a)(x - a) = x(x + a) - a[x + a) .... Despejando para (x + a)(x - a)

= x + ctx - ax - a_ 2 2- x - a

j Sección 3: Productos de la forma (x + a) (x - a)

En conclusión: (x + a){x -a) = x2- a.

Este producto también puede encontrarse utilizando la fórmula I.

(x + a)(x - a) = (x + a){x + (-a)} ................... a - a y b = -a= x + {a + (-a)}x + a x (-a)= x + Ox - a_ 2 2- x - a

Fórmula IV: (x + a) (x - a) = x - a

1 Ejemplo

(1)(I +3)Cr-3) = J! -32 (2>(x+ Í ) ( ' - i H - ( í F= x2 - 9

= x2- - ^ - x 25Desarrolle.

(1)( jc - 1) (x + 1) (2) {x + 7) (je - 7) (3 ) ( i - 9 ) ( j + 9)

(4) (x + 6) (x - 6) (5) (* + 8) (x - 8) (6) (* - 2) (x + 2)

(7) [x + 4) (x - 4) ( 8 ) ( r - 5 ) ( i + 5) (9) ( x - 14) (x + 14)

( i o ) U } ) t - | ) ( i i ) ( x + | ) L - | ) <1 2 >(i + t ) I1 " ? )

( 1 3 ) ( ^ l ) ( - { ) <14>(*+ Í ) ( - ‘ i ) <16)(x + t ) ( - 7 )

# Sección 4: Productos de la forma (ax+b) (ex + d)

Desarrolle el producto (ax + b) (ex + d) y coloque los términos en orden descendente con respecto a x.

j (ax + b) (ex + d) - ax x ex + ax x d + b x ex + b X d = acx + adx + bcx + bd = acx2 + (ad + bc)x + bd

ProductoProducto

Suma de productos

Fórmula V: (ax + b) (ex + d) = acx1 + (ad + be)x + bd

Ejemplo

ProductoProducto

(2x - 3) (5jc + 7) = (2 x 5)x2 + { 2 x7 + (-3) x 5}x + (-3) x 7 v ^ ^Suma de producto^----------- ^ ^

= 10x2 + {14 - 15}x - 21

= 10x2 - x - 21

- Desarrolle.

(1 )(2x -1 )(3x + 2)

(3) (5x - 4) (3x - 4)

(5) (9x - 2) (11x + 3)

(7) (8x + 5) (2x - 7)

(9)( 2 3 J \4 12

(2) (4x + 1) (5x - 6)

(4) (6x - 5) (5x - 6)

(6) (7x - 4) (4x + 1)

(8) (5x + 9) (-2x + 3)

(1 0 )Í- |I -8)Í12I + | )

E Aplique la fórmula IV para desarrollar el producto (2x + 3y) (2x - 3y).

^ (2x + 3y) (2x - 3};) = [a + b) [a - b) ............................. a = 2x y b = 3y

0 Sección 5: Aplicación de las fórmulas de los productos notables

= a -b2

= (2xf - (3y)2 = 4x2 - 9 /

Las fórmulas anteriores se pueden aplicar para desarrollar los productos de polinomios con términos más complicados. Por eso es importante conocer las fórmulas para compararlas con el producto a desarrollar.

1 Ejemplo

[2x - 3y f = (2xf - 2(2x)(3y) + (3j>)2 ............................ Aplicando la fórmula III= 4x2- 12xy + 9y2

■ ¡r< Desarrolle aplicando las fórmulas de los productos notables.

(1) (3x + y ) (3x + 2y) (2) (5x + 2y)2

(3) (7x - 4y f (4) (6x - y) (6x + y)

(5) (5x - 2y ) (8x + 3y) (6) (4x y - 2x) (4x y + 2x)

(7) (3ab2 + 2 y f (8)(x2y - x y 2)2

(9) (4abe + 2d){4abc - 2d) (10) (5x + 2y) (6x + 3y)

F Calcule (2x - 3) (x + 4) - 2(x + 1) (x -1).

(2x - 3) (x + 4) - 2(x + 1) (x -1) = 2x2 + (2 x 4 - 3 x 1)x -12 - 2(x2 -1) . . . F. V y IV= 2x2 + 5x -12 - 2x2 + 2 = 5x -10

6 Calcule.

(1) 2(x - 2)2 + (x + 2)2 (2) (2x-1) (2x + 3) - (2x-1) (2x + 1)

(3) 4(2x -1) (2x + 1) - (3x + 1) (3x + 2) (4) (5x - 2) (5x + 3) - (6x + 5)2

(5) [2x - 1) (4x + 3) + (2x - 3)2 (6) (x + 4)(x - 7) - (3x - 5) (3x + 5)

Ejemplo

952 = (100 - 5)2= 1002 - 2 x 100 x 5 + 52 = 10000- 1000 + 25 = 9025

Ejemplo

31 x29 = (30 + 1) (30- 1)= 302 - 12 = 900-1 = 899

Ejemplo

20.22 = (20 + 0.2)2

= 202 + 2 x 20 x 0.2 + 0.22

= 400 + 8 + 0.04

= 408.04

Ejemplo

18x44 = (20-2) (40 + 4)

= 20x40+ ( 2 0 x 4 - 2 x 4 0 ) - 2 x 4

= 800 + 0 -8

= 800-8

= 792

Vamos aplicar las fórmulas aprendidas al cálculo de los números.

Calcule.

(1) 10.12 (2) 112 ( 3 ) 6 x 1 4 (4) 192

(5) 18x 14 (6 )17x23 (7 )35x25 (8) 9902

é Lección 4: Factorización de polinomios

é Sección 1: Factorización

A Forme un rectángulo colocando los 8 rectángulos siguientes.

¿Cuánto mide el largo y el ancho del rectángulo formado? Exprese su área.

X + 1

El largo mide jc + 3

El ancho mide x + 1

El área es (x + 3) (x + 1)

-x + 3-

El área del cuadrado grande es x x x = x2, el de cada uno de los4 rectángulos es x x 1 = x y el de cada uno de los 3 cuadrados pequeños es 1 x 1 = 1 . De la suma de todas estas áreas se forma el

^ polinomio x2 + 4x + 3.

La suma de las áreas de los 8 rectángulos es igual al área del redángulo formado por estos 8 rectángulos. Por lo tanto x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1). Ésta es una expresión obtenida cambiando los lados de la expresión del desarrollo (x + 3)(x + 1) = x2 + 4x + 3.

Esta igualdad representa al polinomio x2 + 4x + 3 como el producto de (x + 3) y (x + 1). A (x + 3) y (x + 1) se les llama factores de x2 + 4x + 3 .

Ejemplo: (1) En 3xy; 3, x e y son factores.(2) Como x2 + x = x(x + 1); entonces x y x + 1 son factores de x2 + x.

Factorizar es descomponer un polinomio como el producto de sus factores.

Factorización2 í *

x + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)^__________________ j

DesarrolloMás adelante veremos los pasos que se siguen para factorizar polinomios.

Sección 2: Factorización por factor Común

Cuando todos los términos de un polinomio :-enen un factor común, se les saca este ;actor común y se factoriza el polinomio aplicando la propiedad distributiva.

De la gráfica anterior se sabe que Ax + Ay = A(x + y) y 51 factor común es A ya que A es factor tanto de Ax como de Ay.

Ejemplo

1Oax + 5ay = 5a(2x + y) .......... 5 y a son los factores comunes

¡_os términos que van en el paréntesis se encuentran dividiendo cada -.érmino entre el factor común, es decir, 10ax + 5a = 2x; 5ay + 5a =y.

Para factorizar hay que sacar todos los factores comunes de una sola" vez. 10ax + 5ay = 5(2ax + ay) Ó 10ax + 5ay = a(10x + 5y) no están completamente factorizados. 4

B v Factorice.

(1) 8xy + 12xz

(4)12a6c - 30ac

(7) 9xv’ + 15xV

(2 )x 2y - x y

(5) 24 ab2c + 21 ab

(8) 8m2p - 12mp2 + 28mp

2 Ejemplo

10ac - 2ad + 5be - bd = (10ac - 2ad) + (5be - bd)

= 2a(5c - d) + b(5c - d) ....

= (2a + b) (5c - d) .............

(1)

(2)

(3)

(3) bm n + 15m2n

(6) Amn - 10mp + 16mp2

(9) 18a b + 3a2¿2 - 42a¿3

El procedimiento para factorizar polinomios como el anterior es:(1) agrupar los términos que tengan un factor común(2) factorizar esas agrupaciones y(3) aplicar la propiedad distributiva.

Note que en (2) el factor común es 5c - d.

I Factorice.

(1) 3ac - 26c + 3ad - 2bd

(4) 2ac + 6be + 5a + 156

(2) 2xw - xz - 2wy + yz

(5) 15xy - 3x + 10y - 2

(3) 3a6 + a - Qbd - 2d

(6) 4ad - Aab -cd + be

9 Sección 3: Factorización por tanteo

C Vamos a usar la fórmula I de la lección 3 en dirección inversa.

x + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

1 Ejemplo

Factorice x2 + 5x + 6.

Si x + 5x + 6 es factorizable, el producto tendrá la forma (x + a) {x + b).

Como (x + a) (x + b) - x + (a + b)x + ab, entonces x + 5x + 6 = x + (a + b)x + ab, por tanto, al igualar los coeficientes lineales y los constantes nos queda que a + b = 5 y a b - 6 (es decir, necesitamos encontrar dos números cuya suma sea 5 y al mismo tiempo que el producto sea 6).

El producto es 6 ¿La suma es 5?1 y 6 No (1 + 6 = 7)2 y 3 Sí (2 + 3 = 5)

-1 y -6 No (-1 + (-6) = -7)-2 y -3 No (-2 + (-3) = -5)

De la tabla de la izquierda, se sabe que los dos números cuyo producto es 6 y la suma es 5 son 2 y 3.

Por tanto x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

¿ 5 ? No se distingue (x + 2)(x + 3) de (x + 3)(x + 2) por lo que4. x + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ó x + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2). .

A este tipo de factorización se le llama factorización por tanteo.

Para que un polinomio se pueda factorizar con este tipo de tanteo, éste debe cumplir dos condiciones: (1) el coeficiente del término cuadrático igual a 1 y

(2) la existencia de dos números que multiplicados sean igual al término constante y sumados sean igual al coeficiente del término lineal.

Factorice.

(1)x2 + 11x + 24

(4) x2 + 7x + 6

(7) x2 + 5x + 4

(10) x2 + 9x + 20

(2) x2 + 10x + 9

(5)x2 + 8x + 12

(8)x2 + 16x + 63

(11) x2 + 9x + 14

(3)x2 + 16x + 48

(6)x +17x + 72

(9)x2 + 7x + 10

(12)x2 + 15x + 44

• *1

-actorice x2 - 5x + 6 xmpletando la tabla :e la derecha.

El producto es 6 ¿La suma es -5?

V El producto es 6 ¿La suma es -5?1 y 6 No (1 + 6 = 7)2 y 3 No (2 + 3 = 5)

-1 y -6 No (-1 + (-6) = -7)-2 y -3 Sí (-2 + (-3) = -5)

3or tanto x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

=actorice.

(1)x2 - 11x + 18 (2) x2 - 12x + 35 (3)x2-

(4) x2 - 1 3x + 40 (5)x2 - 17x + 70 (6) x2 -

(7)x2 - 22x + 120 (8)x2 - 15x + 50 (9) x2 -

10) x2 - 16x + 48 (11) x2 - 10x + 21 (12) x2-

-actorice x2 - 5x - 6 El producto es -6 ¿La suma es -5?completando la tabla:e la derecha.

El producto es -6 ¿La suma es -5?-1 y 6 No (-1 + 6 = 5)-2 y 3 No (-2 + 3 = 1)1 y -6 Sí (1 + (-6) = -5)2 y -3 No (2 + (-3) = -1)

Por tanto x2 - 5x - 6 =

-actorice.

(1)x2-7 x - 18

(4) x2 - 3x - 54

(7) x2 - 3x -10

(10)x2- x - 2

■ 6)(x + 1).

(2)x2-5 x - 14

(5)x2 - 3x -1 8

(8) x2 - 3x - 4

(11)x2 -x -1 2

(3) x2 - 3x - 28

(6)x2- 4x - 21

(9)x2-4 x - 12

(1 2 )x - 2 x -4 8

D Vamos a usar las fórmulas II y III de la lección 3 en dirección inversa.

x2 + 2ax + a = (x + a f x - 2ax + a = (x - a f

En ambas fórmulas el término lineal (±2ax) es el doble de los productos de las raíces cuadradas de los otros dos términos (x2; a que siempre son positivos) diferenciándose únicamente por el signo.Esas raíces son los términos del binomio de la derecha.

Equivalentemente, el cuadrado de la mitad del ^ ^coeficiente del término lineal del lado izquierdo x2 + 2ax + = (x - a f

$ Sección 4: Factorización por trinomio cuadrado perfecto

es igual a la constante. Cuadrado

1 Ejemplo

Factorice x2 - 6x + 9.Mitad

x - 6x + 9 = (x - 3) x - 6x + 9^= ( x - 3)

Raíces x 3 Cuadradocuadradas

A este tipo de factorización se le llama factorización por trinomio cuadrado perfecto.

67 Factorice.

(1)x2-8 x + 1 6 (2)x2-4 x + 4 (3) x2-1 6 x + 64(4) x2 - 2x + 1 ( 5 ) x - 2 2 x + 121 (6 )x + 1 2 x + 36(7)x2 + 18x + 81 (8)x2 + 10x + 25 (9)x2-14x + 49

Ejemplo

Factorice 9x2 - 30x + 25.

9x2 - 30x + 25 = (3x)2 - 2 x 5 x (3x) + 52 Note que: V9? = 3x; V25 = 5;= (3x - 5)2 2(3x)(5) = 30x

Factorice.

(1) 16x2 + 24x + 9 (2) 81x2 + 90x + 25 (3) 144x2 - 264x -(4) 64x2 + 112x + 49 (5) 36x2 + 12x + 1 (6) 100x2 - 180x -(7) 9x2 - 48x + 64 (8) 25x2 - 20x + 4 (9) 49x2 - 56x + 16

10) 4x2 + 60x + 225 (11) 25x - 70xy + 4 9 / (12) 36x2 + 12xv + í

Secc/ón 5; Factorización por diferencia de cuadrados

Z /amos a usar la fórmula IV de la lección 3 en dirección inversa.

! x2 - a = (x + a) (x - a)

1 Ejemplo

- 4 = x - 22 ............... Expresando 4 como la potencia 22= (x + 2Xx-2)

A este tipo de factorización se le llama diferencia de cuadrados.

Una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas.

1 Factorice.

(1)x2 - 144 (2)x2 - 100 (3) x - 324

(4) x - 289 (5) x - 81 ( 6 ) x - 256

(7) x2 - 400 (8)x2 - 196 (9)x2- 169

(10) x2- 121 (11) x2- 361 (12) x -225

2 Ejemplo

4x2 - 9 / = (2 x f-(3 y f= (2x + 3y)(2x - 3y)

4 x = 2 x 2 x x x x = (2x)x(2x) = (2x)2 ^^ 9 / = 3 x 3 x j ; x j = ( 3 j ) x (3y) = (3y)2 ^

Factorice.

(1) 121m2 - 81«2 (2) 100x2 - Ay (3) 196í2 - 400?2

(4) 9x2 - 256z2 (5) 4b2 -169c2 (6) 324m2 - 144«2

(7) 1 6 / - 25x2 (8) 49z2 - 81 w2 (9) 49c2 - 100 d2

(10) 64a2c2 - 25 b2 (11) 36x2y2 - 16a2 (12) 64xV - 144/62

@ Sección 6: Factorización por tanteo con coeficiente principa! distinto de uno

Vamos a usar la fórmula V de la lección 3 en dirección inversa.

acx2 + (ad + bc)x + bd= (ax + b) (ex + d)

1 Ejemplo

Factorice 2x2 - x - 3.

Si 2x2 - x - 3 es factorizable se da que2x2 - x - 3 = {ax + b) {ex + d)y 2x2 - x - 3 = acx2 + (ad + bc)x + bd. De esto se deduce que ac = 2,bd= -3 y ad + be = -1.

Para este caso los valores ú e a , b , c y d se encuentran siguiendo los pasos:(1) Encontrar ay c (números naturales) tal que ac- 2(2) Encontrar b y d (números enteros) tal que bd = -3(3) Con las parejas de (1) y (2) encontrar a , b , c y d tal que ad + bc = -1

Los 4 números a probar se colocan así: a s ^ b------► be

c ^ ^ d ------>ad--------- ^ _ 2

X ac bd ad + be ► 3

2 -3 1 .............. Como no es igual a -1hay que probar con otra combinación.

U , 1 ------► 2

X . ■>-32 -3 - i ) .............. Es igual a -1 como se quería,

por tanto a = 1,6 = 1, c = 2 y d = -Z.

Luego la factorización es 2x2 - x - 3 = (x + 1 )(2x - 3).

10 Factorice.

(1)6x2 + 7x - 5 (2) 10x2 + 3x -1 (3)15x2 + 8x + 1( 4 ) 2 x + x - 3 (5) 12x2 - 19x + 4 (6)2x2- 3 x - Z(7) 8x2 - 26x + 15 (8) 7x2 + 9x + 2 ( 9 )9 x + 3 x - 2

2 Ejemplo

y ---- ► 2yFactorice 2x - x y - 3y . 2 _g ____

2x2 -xy - 3y = (x + y ) (2x - 3y). "jj ^ ^

11 Factorice.(1) 12x2 + 11xy + 2y (2)4x2- 3 x y - / (3) 6x2 - 5xy - f

¿ Sección 7: Factorización de un polinomio varias veces

G Vamos a utilizar el proceso de factorización varias veces en un polinomio.

Ejemplo

Factorice 6 ax +10 ax- 4 a.

6ax2 + 10ax ■ 4a = 2a(3x2 + 5x - 2) ........... Factor común= 2a(3x -1 )(x + 2) .......... Fórmula V

Ejemplo

Factorice 4x2 + 12xy + 9y2 - 49.

4.x2 + 12xy + 9 / - 49 = (4x2 +12xy + 9 / ) - 49 ...... Agrupación= (2x + 3y)2 - 49 .....................Trinomio cuadrado perfecto

= (2x + 3y + 7) (2x + 3y - 7) . . Diferencia de cuadrados

r actorice completamente.

(1) ax2 + bx2 - a-b

(3) 18x3 - 8xy2

(5) x - 81

(7) x4 - 2r2 - 8

(9) 1 - x2 - 9y2 - 6xy

11) 5xy - 125x

(2) 42x2 + 7x - 7

(4) 20x3v + 60x y + 45xv'3

(6) 15x3 - 35x>; -1 5 xy

(8) m2 + 2mn + n - p2(10) (x2 + 2x + 1) - 81

(12) 9a2 + Ab2 -p 2 - 'l 2ab - 25r - 10pr

h , amos aplicar la factorización al cálculo de números.

Calcule 632 - 622.

^ 53 - 622 = (63 + 62) (63 - 62)

= 125x1

= 125

lalcule usando la factorización.

[ ‘ - 72 + 5(7) + 6 (2) 3 x 4 + 3 x 7

4) 122 - 5(12) + 6 (5) 132 - (2 x 3) x 13 + 9

(7) 9 x 52 - 2 x (3 x 5) + 25 (8) 72 + (3 + 13) x 7 + 3 x 13

(3) 4472 - 4532

(6) 782 - 822

(9) 822 - 782

La multiplicación 3 x 2 = 6 con números naturales equivale a la división 6 + 2 = 3. En el mismo sentido la multiplicación (x + 3) {x + 2) = x + 5x + 6 de polinomios equivale a la división (x2 + 5x + 6) + {x + 2) = x + 3. Se le llama dividendo a x + 5x + 6, divisor a x + 2 y cociente a jc + 3.

Vamos a encontrar la forma de calcular el cociente.

1 EjemploCalcule (3x3 + 5x2 - jc + 2) + (x + 2)

Como los grados del dividendo y del divisor son 3 y 1 respectivamente, el del cociente debe ser 2, es decir, que el cociente tiene la forma ax2 + bx + c. Esto significa que la división equivale a la multiplicación.

(x + 2) (ax2 + bx + c) = 3x3 + 5x2 - x + 2 ax3 + (2a + b)x2 + (2b + c)x + 2c = 3x3 + 5x2 - x + 2

Al igualar los coeficientes de los términos del mismo grado obtenemos:

a = 3

■é Lección 5: División de polinomios

2a + b = 5 2b + c = -1 2c = 22(3) + 6 = 5 2(-1) + c = -1 c = 1

6 + 6 = 5 -2 + c = -16 = -1 c = 1

Al sustituir a = 3, b = -1 y c = 1 en ax2 + bx + c queda 3x2 - x + 1.

De esto se deduce que (3x3 + 5x2 - x + 2) + (x + 2) = 3x2 - x + 1.

Para facilitar el cálculo se utiliza la siguiente forma vertical.

3x -x + 1

x + 2 3x3 + 5x2 - x + 2

3x3 + 6x2

-x2 - x + 2

-x - 2x

x + 2

x + 2

O

a(1) Calcular (3x) + x = 3x y colocarlo arriba de 5x .

(Es el cálculo del cociente entre los términos de mayor grado del dividendo y del divisor)

(2) Calcular (x + 2) x (3v2) = 3x3 + 6x2 y colocarlo debajo del dividendo.(Es el cálculo del producto del cociente anterior por el divisor)

(3) Restar este producto (3x3 + 6.t2) del dividendo. (Es restar el producto anterior del dividendo)

(4) Repetir los pasos (1) a (3) con los dividendos parciales hasta bajar el último término del divider

(1) (2v4 + 5x3 + 4x2 - x - 1) + (2x + 1)

3 ) (.v3 + x + x - 3) + (x - 1)

(5) (9x3 + 3x2 + 4x + 4) + (3x + 2)

*7) (-5x2 + 7x + 6) + (- x + 2)

9) (9x2 + 12x + 4) + (3x + 2)

Calcule.

(2) ( 2 x + 5 x - 3 ) * ( x + 3)

(4) (3x3 + 5x2 + 3x + 1) + (x + 1)

(6) (28x2 + 3x -1 ) + (4x + 1)

(8) (2x3-5x2+ 1 2 x -5 ) + ( x -2 x + 5)

(10) (5x3 - 13x2 + 4x + 4) + (5x + 2)

En ciertos casos, si el dividendo no está completo, es aconsejable completarlo zara evitar errores en el cálculo.

2 E.emplo

Calcule (-1 +x3) + ( x - 1).

Al polinomio -1 + x3 le falta el término cuadrático y el lineal por lo que hay que completarlo y ordenarlo en forma descendente como x3 + 0x2 + 0x - 1.Luego se procede a realizar el cálculo.

X + X + 1

x -1 x3 + Ox2 + Ox -13 2x - X

x2 + Ox - 1

X - 1

x - 1

~ÓEl cociente es x2 + x + 1 y el residuo es 0.

r Calcule.

(I) (6x4 - 9x3 - 4x + 6) * (2x - 3)

(3) (x3 + 1) + (x+ 1)

(5) (x5 - 1) + ( x - 1)

(7) (-x4-x 2 + 2 ) - ( x + 1 )

(9) (x5 + 2x + x2 + x + 1) * (x2 + 1)

(II) x - 3x5 + 2x4 - x3 - 6x2 + 3x * (x2 - 3)

(2)(x4-1 ) + (x -1 )

(4) (2x5 + x + 2 x2+ 1 ) - ( x3 +1)

(6) (x3 - 8) -í- (x - 2)

(8) (x5 - 3x3 - 2x2 - 1 8x - 6) + (x2 + 3)

(10) (x5 - 6x4 - x2 + 6x) -5- (x - 6)

3 Ejemplo

Calcule (- x2 + 6x3 + 7 - 5x) + (-1 + 2x).

'xjj Para comenzar hay que ordenar en forma descendente lospolinomios dados.

3x2 + x - 2

2x -1 6x3 - x - 5x + 7

6x3 - 3x2

2x2- 5x + 7

2x2- x

- 4x + 7

- 4x + 2

Como el grado del polinomio 5 es 0, ya no se puede seguir dividiendo y 5 se convierte en el residuo. Esta división equivale a

6x3 - x2- 5x + 7 = (3x2 + x - 2) (2x -1 ) + 5

La relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo es: Dividendo = (divisor) x (cociente) + (residuo)

El proceso de dividir polinomios termina cuando el grado del polinomio residuo es menor que el grado del polinomio divisor.

Calcule.

(1) (6x2 - x - 3) + (3x + 1) (2) (7x2 + 3x -1 ) + (x + 4)

(3) (x4 - 2x3 + 6x - 2x + 5) + (x2 + 3) (4) (3x3 - 2x2 - x + 3) + (x - 2)

(5) (3x3 + 4x2 + 2x + 6) * (x2 + x + 1) (6) (3x2 - 2x + 5) * (x - 2)

(7) x + 3x3 + x2 + 1) + (x2 + 1) (8) (x2 + x + 1) + (x + 1)

(9) (2x2 + 5x + 5) + (2y -1 ) (10) (5x3 - 13x2 + 4x -1 ) + (x2 - 3x)

(11) (a3 - a + 3a + 2) + (a2 - a + 1) (12) (a2 + 7a+ 10) + (a + 6)

(13) (a3 + 4a2 - 5a + 8) + (a2 + 2a + 1) (14) (a2 - 5a + 7) + [a - 4)

(15) (n - 1V + 30) + (n - 3) (16) (n - 3n + 9n + ln - 4) + (n - 3n + 2)

Demuestre que la suma de tres números naturales consecutivos es un múltiplo de 3. Siga los pasos dados a continuación.

[1] Representando el primer número con n, exprese el segundo y el tercero en términos del primero.

[2] Demuestre que la suma es múltiplo de 3.

*1] Si n es el primer número, el segundo es n + 1 y el tercero es n + 2.

[2] La suma es n + [n + 1) + (n + 2) = 3« + 3 = 3(« + 1).

En 3(n + 1) si n es un número natural entonces n + 1 también es un número natural. 3(« + 1) es múltiplo de 3 porque todo número natural multiplicado por 3 es un múltiplo de 3.

Demuestre que:

C i La diferencia del cuadrado de dos números enteros consecutivos es igual a la suma de estos dos números.

I La suma del producto de dos números pares consecutivos y 1 es elcuadrado de un número impar.

3 El producto de dos números naturales consecutivos es un número par.

- Si se resta 1 del cuadrado de un número impar se obtiene un múltiplo de 8.

5 La suma de 2 números impares es par.

Lección 6: Aplicación de la factorización

Ejercicios

Aplique las propiedades de los exponentes para calcular lo siguiente.(1) 27 x 2 3 (2) (-3)'5 + (-3)" (3) (-3.4)3 x (*3.4)'9 (4) (4‘10)10

Escriba en notación científica los siguientes números.(1) 3658764 (2)682954 (3)0.0000546 (4)0.00000000000012

Escriba en notación ordinaria las siguientes notaciones científicas.(1)5.243x 104 (2) 1.004x 10'10 (3) 8.203x 106(4) 9.50 x 10'2 (5) 4.298 x 103 (6) 5.558 x 10'5

Escriba 5 ejemplos de monomio, binomio, trinomio y polinomio (de 4 ó más términos).

¿Cuál es el grado en los siguientes polinomios?(1) 5x2y + 6xy (2) x -1Ox4 + 5x2 - 7 (3) x - 3x2y - 3xy - y

Identifique los términos de los polinomios de | j | .

Ordene los siguientes polinomios en forma ascendente y descendente con respeca a cada una de las variables./ a \ , 2 3 4 4 2 3 , c / 3 , 2 5, 6 2 , 7, 4 4 . 2 , 3 3 4 , : '( I )xyz + x y z - x y z + 5 (2) a b c - a b c + a b c + a b c - a b e

Calcule.

(1) (3a+ 2b- c) + ( 2 a + 3b+ c) (2) (4.x2- 4 xy+ 2y2) + (-4xy+ 5x2- -

(3) (x2 + 3x) + (-2x + 2jc2) (4) (a3 + 2a) + (-a2 + 4)

(5) [a + b) c (6) (3a3 - a2) (-2x)

(7) 3xy (x3 - Ax2 + 6x) (8) (a3 - a2b) * a2

(9) (4b* - m s - 564) + 2b3 (10) 4 [a + 3) + 5 [a + 2)

( I I ) 6 ( a 2 + 4 ) -3 (o! + 1) + 5{a2 + 2) (1 2 )|< i! * |

(13) (x2- y - 3xy) - (-5x2- / + 6xy)

(14) (5x3 - 9y3 + 6x y - 8x}2) - (14xy - 2 \ x y + 5y - 18)

(15) (x3>> - y 4 + xy) + (-2 x y + 4 xy + 2 y ) + [5x3y - 4 xy - 6 x y - y - 6)

16)14iV + ( - V ) {n ) l ± bK l . b\ + í b.2 3 / 3

+ (19) (-7 *-3 ) (-11 + 2x)

20) (x: + r + 1 ) ( j * . x - 1 ) (21) (a! + 2a’ - a) (a‘ ■ 2a + 5)

22) (x4-x 2 - 2 x - 1) + (x + x + 1) (23) (2x3 - 4x- 2) - (2x + 2)

-alie el valor numérico de las siguientes expresiones si a = 2, b = 1 y c = 3.

1) a2 - 2ró + ¿>2 (2) 3a - 4a2¿? + 3ab2 - 63

3) a - 3a + 2ac - 3bc (4) abe + a2b2c2 - a3b3c3

Desarrolle aplicando las fórmulas de los productos notables.

(1) (x + 3)2 (2) (7m + 11)2 (3) (1 + 3a2)2

(4) (1 - 8x) (1 + 8x) (5) (3 + x) (3 - x) (6) (x2 + 3) (x2 - 3)

(7) (x -11) (x + 10) (8) (x2 + 7) (x2 + 3) (9) (x + 8) (x -1)

10) (x - 1)2 (11) (2x- 5)2 (12) (x-10)2

13) (2 x -1) (3x + 2) (14) (5x+ 1) (4 x -1) (15) (x + 3) (2x + 4)

r actorice.

(1) 3x3 -x2 (2) a3 + a2 - a7 (3)5x2 + 15x3

.4) a(x + 1) + b (x + 1) (5) 4x3 -12xy - x2 + 3y (6) 4x3 -1 - x2 + 4x

(7) x2 - 2x + 1 (8) 49x2 - 14x + 1 (9) 9x2 + 30^ + 25y

10) 25x2/ - 49 (11)4x2- 9 (12)4x2- 9 /

(13)x2 + 7x + 10 (14) x2 - 6x - 40 (15)x2 - 2x -168

(16) 20x2 + x -1 (17) 12x2 - 7x -12 (18) 15x2-xy - 2y

lemuestre que la diferencia del cuadrado de dos números enteros consecutivos es igual al doble del mayor menos 1.

j^¡| La siguiente gráfica muestra la explicación desde el punto de vista geométrico ae producto notable [x + a) {x - a) = x - a . ¿Cómo la explica?

'x - a

x - a

Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones.

(1) a'1 6'V 1 ...... ......... Cuando a = 2, b = 3 y c - 4

(2) abA + ca"1 ................ Cuando a = 4, b - 3 y c = 5

(3) a * + c * a ................Cuando a = 4, 6 = 3 y c = 5

(4) a ' -í- ¿>'1+ c'1 .................Cuando a = 2, 6 = 3 y c = 4

Verifique que a'1+ 6'1+ c 1 = t k para a = 2, b = 3 y c = 4.

La distancia de un año luz está dada por 9467280000000 km. Escriba esta cantica en notación científica. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año.

<1) | (2) 5'1-6'15'1 + 6'1

(3) 3 ¿ - 3 (4) 4 + 4 (5) 22 + 2 + 2 - Z

Evaluación

¿Por qué a * 0 en a * d 7

Cuántas veces se toma el 8 como factor al calcular lo siguiente:(1) 814 + 810 (2) (82)6 (3) 84 x 85

Muestre que ("f-) 2 - )2

¿Cuál medida es más exacta 3 * 101 ó 3.00 * 102?

Escriba 51200000 en notación científica con:1) 3 cifras significativas (2) 4 cifras significativas 3) 6 cifras significativas (4) 7 cifras significativas

0Por qué razón no se considera 3x2 - 5x + 3x1 - 5x'2 como un polinomio?

Dé un ejemplo de un polinomio de dos variables y de grado 5.

Calcule (x5 + 12x2 - 5x) + (x2 - 2x + 5) y verifique el resultado empleando el valor numérico con x = 5

Calcule y verifique el resultado empleando el valor numérico con la x dada.

(1) (5x4 + 3x2 + 4) - (-2x4 + x2 - x + 2) ......... Con x = 22) (3a + 4b - 12) 6 ................................... Con a = 4 y b = 93) 4(x + 1) + 2(x - 4) ................................... Con x = 6

^Cuál es la diferencia entre el desarrollo de (x + a)2 y (x - a)2?

_Cuál es la característica especial del desarrollo de (x + a)2?

=actorice en 5 factores x - xy.

Compruebe usando la división que 5x - 2 es factor de 20x2 + 7x - 6.X uá l es el otro factor?

„Cuáles son los 4 factores 2x - 32?

Desarrolle.1) (x + 4) (x + 6) (2) (4x - 9) (2x - 3)

3 ) ( j - 9 ) ! (4) ( * - { ) ( I + Í )-actorice.1) x2 + 2x - 63 (2) 16x4/ - 2 0 xy (3) 10x2 - 17x + 34) 49x2 - 70x^ + 25y (5) 100x2/ -1 (6) x2y2 - ±

Números reales

Lección 1: Números reales

® Sección 1: Raíz cuadrada

En quinto grado aprendimos los conceptos de potencia y raíz cuadrada.

Encuentre los valores de las siguientes expresiones.

(1)32

(4) 1.22

(1) 32 = 3 x 3 = 9

(4) 1.22 = 1 2 x1 .2 = 1.44ÍJLV 2 2 A

(7) \ 3 / = 3 x 3 = 9

(2) (-3)2

(5) (-1-2)

(8) \ - f

(2) (-3) = (-3) x (-3) = 9

(3) V9

(6) ^144

(3) V9 = 3

(5) (-1.2)2 = (-1.2) x (-1.2) = 1.44 (6) ^144 = 1.2l t 2

( 9 )

Cuando la variable “a” representa un número __ al cuadrado___

que no es negativo, se le llama raíz cuadrada U L ________________ __de a al número b que satisface b2 = a. ^ la raíz cuadrada

3 es raíz cuadrada de 9 porque 32 = 3 x 3 = 9. Esto es V9 = 3 porque 32 = 9.

-3 es raíz cuadrada de 9 porque (-3)2 = (-3) x (-3) = 9. Esto es ' 9 = -3 porque (-3 f =

El 9 tiene dos raíces cuadradas: 3 y -3.

1 Observe A y determine: (1) ¿Cuáles son las raíces cuadradas de 1.44?

(1) Son 1.2 y -1.2

(2) ¿Cuáles son las raíces cuadradas de A ?

V l44 = 1.2 porque 1.22= 1.2x1.2 = 1.44

Vl44 = -1.2 porque (-1.2)2 = (-1.2) x (-1.2) = 1.44

(2) Son -2 y __2 3 3

5 = 2 P o r q u e ( 2 _ ] 2= 2 x 2 _ = 4

¡ 9 3 \3 I 3 3 9

2 porque^ . | x( . | = A

[1] A un número positivo a corresponden dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa, ambas con el mismo valor absoluto.Se representa la raíz positiva con Va y la negativa con - Va.Para expresar las dos al mismo tiempo se usa ± Va .Ejemplo: Las raíces cuadradas de 7 son ±V7

[2] Al cero corresponde una raíz cuadrada, es decir, Vo = 0.

Va = 6 sí y sólo sí 62 = íz; a > 0.

Al número a se le llama radicando y al número b raíz cuadrada de a.

Encuentre las raíces cuadradas de los siguientes números.

*116 (2 )25 (3)0.01 (4)81

5164 ( 6 ) { (7)0.04 ( 8 ) f

E> órese las raíces cuadradas de los siguientes números con el signo V- .

1)3 (2)5 (3)7 (4) 0.3

5 19 (6)10 (7)14 (8) 1.8

5 1.5 m i (11)17 0 2 ) |

E.emplo

* n25 j2=

LOCMIICMLO O

íIICMCOII

CMüL

■ 3 > H =11

“la

~ "73

II cx>

Encuentre el valor de los siguientes números.

* VToo (2) -V64 (3) (V is )'

- I f í í(6)(-V4l)2

<8> ( ü )

E~ esta unidad no se considera la raíz cuadrada de un número negativo.

B Encuentre la raíz cuadrada de 2025.

Aplicaremos el siguiente método.

(1) V20725 Dividir el número dado en grupos de dos cifras comenzando por la derecha.El primer grupo de la izquierda puede tener una cifra, los demás siempre tendrán dos.

(2) V 20'25

(3) V 20'25-16

425

(4) V 20'25-16

425

4 _ .................... Calcular la raíz cuadrada entera del primergrupo de la izquierda (20) que es 4.

4 _ ..................... Restar del primer grupo el cuadrado de laraíz hallada anteriormente (42 = 16) y bajar el siguiente grupo.

4 _ .................... Calcular el doble de la raíz hallada que es8 4 x 2 = 8 y separar las unidades en el

radicando.

45__________ Estimar la siguiente cifra de la raíz cuadrada85 x 5 = 425 dividiendo el grupo del radicando entre el doble

de la raíz cuadrada (42 * 8 = 5 residuo 2).Se prueba esta cifra (5) restando del radicando el producto 85 x 5 = 425.Si la resta es posible, la cifra encontrada es parte de la raíz cuadrada, sino hay que disminuir en 1 la cifra estimada hasta encontrar la cifra adecuada.

R: V2Ó25 = 45

Si en el radicando hubieran más grupos de dos cifras, se baja el siguiente grupo > se repiten los pasos (4) y (5) hasta bajar el último grupo de cifras. Si el cociente en el paso (5) es mayor que 9 se prueba con 9.

4 Encuentre las raíces cuadradas de los siguientes números.

(1) 324 (2) 676 (3) 2601 (4) 5184

(5) V 20'25 =16.

42,5 -425

0

(5) 6889 (6) 1089 (7) 10609 (8) 59049

4 Sección 2: Relación de orden con raíces cuadradas

V3

Encuentre el área de los cuadrados (a) y (b) cuyos (a) (b) ados miden V2 cm y V3 cm respectivamente. -----

y E área de (a): lado x lado = V2 x V2 = (V2) = 2 R :2cm 2 ^

El área de (b): lado x lado = V3 x V3 = (V3 ) = 3 R: 3 cm2

2 ^Cuál es mayor V2cm ó V3cm?

L# Como el cuadrado (b) tiene más área que el cuadrado (a), la medida del ado de (b) es mayor que el de (a), por tanto, V3 > V2.

Cuanto mayor es el área de un cuadrado, mayor es la medida de sus lados. Por tanto, cuanto mayor es un número, mayor es su raíz cuadrada positiva.

Si a < b entonces Va < V¿, donde a, b, Va y V¿> son positivos.

Eemplo: I < V 2 < V 3 < V 4 < V 5 < V 6 < V 7

.na demostración que V¿>Vá es la siguiente:

Sea b > a > 0

->¿> + Vaj |Vé- Vaj = |V¿J - |Va|2 ............... Fórmula IV

= b- a

Como V¿ + Va >0 y V¿ - Va >0 entonces (V¿ + Vaj (V¿ - Va j > 0

:or lo tanto b - a > 0 lo que implica que V¿ > Va.

3 Compare 5 y V26.

= 25; = 26 como 25 < 26 se tiene que V25 < V26

: sea que 5 < V26.

Compare.

ft) ^4__VTT (2 )7_V5Ó (3) ^ _ V 1 Í (4) V25/T___5 (5)6. I3i

i

fe Sección 3: Valor de la raíz cuadrada de un número

D Muestre lo siguiente (Puede usar calculadora).

(1) 1 < V2 < 2 (2)1.4 < V2 <1.5

(3) 1.41 < V2 < 1.42 (4) 1.414 < V2 < 1.415

'(1) 12= 1, (V2) =2, 22 = 4 como 1 < 2 < 4 entonces 1 < V2 <2

(2) 1.42 = 1.96, (V2)=2, 1.52 = 2.25

como 1.96 < 2 < 2.25 entonces 1.4 < V2 < 1.5

(3) 1.412 = 1.9881,|V2j = 2, 1.422 = 2.0164

como 1.9881 < 2 < 2.0164 entonces 1.41 < V2 < 1.42

(4) 1.4142 = 1.999396, V2J = 2, 1.4152 = 2.002225

como 1.999396 < 2 < 2.002225 entonces 1.414 < V2 < 1.415

Del cálculo anterior sabemos que V2 = 1.41 es un valor exacto hasta las centésimas.

El límite donde se encuentran es V2.

Las raíces cuadradas se ubican en la recta numérica.

6 Encuentre el valor de V3 exacto hasta las centésimas de la misma manera que TS Puede usar calculadora.

' f ? Los números Vl4, -VTo, -iQA y a qué puntos corresponden en la rectanumérica.

A B c d H------H---- I-------1-------1-------H------1-------1---- H ----- ►- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 5

Sección 4: Números irracionales

-ay varias maneras para calcular el valor de la raíz cuadrada de un número hasta = posición que se quiera.

izando el procedimiento visto en B, una calculadora o una computadora rodemos obtener los valores de un número con la cantidad de cifras que leseamos. Los valores de V2, V3 y V5 con 32 cifras significativas son:

V2 = 1.4142135623730950488016887242097 ...

V3 = 1.7320508075688772935274463415059 ...

V5 = 2.2360679774997896964091736687313 .. .

Se podrán expresar los valores anteriores como fracciones?, ¿por qué?

Estos valores no se pueden expresar con fracciones porque no tienen en su :a le decimal un período de cifras que se repita en forma constante.

E; número V2 no se puede expresar como fracción.

siguiente demostración prueba que V2 no es una fracción.

5 Si suponemos que V2 es una fracción entonces V2 =— , donde a y b son números naturales cuyo MCD es 1.

l 2: Si elevamos al cuadrado ambos miembros se obtiene 2 = - de lo cual

Clse deduce que 2a = b2 ... (1)

: Ahora el miembro del lado izquierdo de (1) es un número par, por lo tanto, el número b debe ser un número par, o sea que b = 2c ... (2) donde c es un número natural.

: Si sustituimos (2) en (1), tenemos que 2a2 = 4c2 de lo cual se deduce que a2 = 2c. Por la misma razón de (c), a debe ser un número par.

r De (c) sabemos que b es un número par y de (d) sabemos que a es un número par. Si los números b y a son pares entonces el MCD no es 1, lo cual es contradictorio ya que en (a) se dijo que a y b son números naturales cuyo MCD es 1.

_= contradicción anterior viene porque hemos supuesto que V2 se podía expresar :cno fracción. Por lo tanto, V2 no es una fracción.

En séptimo grado llamamos números racionales a los números que se pueden

expresar como fracciones. Por ejemplo: 2 = y , -5 = - y , 0.5 = -j< -2.4 =

-0.35 = - ^ , etc.

A los números como V2, V3 y V5 que no pueden expresarse como números racionales se les llama números irracionales.

Los números positivos y negativos que no se pueden expresar como números racionales son números irracionales. El conjunto de los números irracionales se representa con la letra I.

3 ¿El número n es racional o irracional?

\ j j En quinto grado se estudió el número n estableciendo la razón entre la

circunferencia y su diámetro, es decir, n = C + D. Se dijo que n tenía el

valor aproximado de 3.14, pero en realidad el verdadero valor de n es 3.14151926535897932384626433832795.... (exacto hasta treinta y una

cifras decimales). El numero n no se puede escribir como una fracción,

por lo tanto el número rt es un número irracional.

8' Diga cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales.

(1) V ÍT (2)8 (3)^4, (4)-25 (5) J f

(6)4® (7)3.14 (8)V50 (9) V2571 (10) 3.14159.

4 ¿Un número irracional puede ser un número racional?

No, porque los números irracionales no se pueden escribir como fracciones y ^ una característica de los números racionales es que se pueden escribir como

fracciones, por lo tanto los números irracionales no son números racionales.

Esta relación también es cierta a la inversa, es decir, los números racionales no son números irracionales.

4 Sección 5: Números reales

12 8A los números racionales (2, -5, 0.5, --y, -0.35, etc.) y los números

irracionales (V2, V3, V5, V l2, n, etc.) se les llama números reales.

El conjunto de los números reales es la unión de los números racionales y los irracionales. El conjunto de los números reales se representa con la letra R y corresponde a todos los puntos de la recta numérica.

En relación a la respuesta E4 se deduce que el conjunto de los números racionales (Q) es distinto de los irracionales (I), es decir, Q * I. Pero se sabe que la unión de los números racionales con los irracionales forman los números reales (R), es decir, Q u I = R. Además, en séptimo grado aprendimos que N c Z c Q.Estas relaciones entre estos conjuntos de números se aprecian mejor en el siguiente diagrama de Venn.

A os números irracionales también se les puede definir como aquellos números :uya expresión decimal no es periódica, es decir, no hay grupos de cifras que se •“ pitan indefinidamente y en ese mismo orden.

Eemplo(1)ji e I, pues n = 3.14151926535897932384626433832795 ... y no hay un grupo de

cifras que se repita.

1 -y- £ I, pues - y = 3.28571428571428571428571... y hay un grupo de cifras

(285714) que se repite.

_os números ti y 23 son reales (ti e R, 23 e R).7 7

1 cuál conjunto de números (N, Z, Q, I ó R) pertenecen los siguientes números?

• 10

5) 0.4166666...

<2>t

(6) 2.2360679774...

(3)V8

(7) -20

(4 )- f

(8)3 + 42

& Lección 2: Operaciones con raíces cuadradas

% Sección i: Multiplicación y división de raíces cuadradas

El signo de multiplicación entre las raíces cuadradas se abrevia.

Ejemplo: V2x V3 = V2 V3; V2xV3xV5=V2V3V5; 5xV7 = 5V7

A Compare V2 V3 y V6.

/ (V 2 V 3 ) ’ =(V2V3)x(V2V3) (V6)2 = 6

= (V2V2)x(V3V3)

= (V2)!x(V3)!

= 2 x 3 = 6

Ambos números (2 y 3) son positivos y al elevar al cuadrado la raíz cuadrada de cada uno de ellos se obtiene el mismo número. Por lo tanto, V2 V3 = i2 x 3 = V6

S ifl> 0 y 6>0 se da que VaV6 = Vo6.

1 Ejemplo VÍ2 V3 = V12 x 3= V36 = 6

O Calcule.

(1)V3V5 (2)V2 V8 (3) V18V2 (4) VlO V3 (5)V7>5

B Compare ~ y í f . V3

|£\2- V2 V2 V2 V2 _(V2)2 ¡IIVIv a ) " V3 X V3 V3V3 " (V 3 )2 w s )

_23

V2De lo anterior se concluye que -7= = ^ .

Si a > 0 y b > 0 se da que ^

2 Calcule.m V6 m V48 /o\V2T V8 ,m V28(1) *2 (2) V Í ( 3 ) v f ( 4 ) v r 7 F

i 2V3 = VÍV3 .... 2=V4

= V4 x 3

= VÍ2

Exprese 2V3 y ~ en la forma Va.

V 3 =V |2 V4

.... 2 = V i

Exprese los siguientes números en la forma Va.

(1) 5 V2 (2) ® ( 3 ) Ü (4) 3V64 2 3

( 8 ) ^6,5 )i (6 )á

(7) 2VÍ0

9) 7V2 (10) -M (11) Vl5 (12) 5 Vl53 5

A veces se efectúa la transformación en la dirección inversa de modo que se deja

r número dentro del signo V”~ al mínimo posible. A este proceso se le llama

5 ^plificación.

Simplificar un radicando es dejarlo en su mínima expresión.

E emplo VÍ8 = V9 x 2

= V9 V2

= 3V2

7 .V 7

9 "V 9 = V7

' 3

Si a > 0 y b > 0 se da que V¿?6 = aJb y J j \

E--:rese los siguientes números en la forma aJb o^j-.

* >12

= >245

— ——————>81

(2) V27

V2(6 )

(10)

V9V i o

Vióó

(3) V48 (4) V50

(7) í - Vl6

(8)V7V25

(72; V7000

Cuando el número dentro del signo V~es muy grande se utiliza la descomposición de éste en factores primos. La forma de [B] de la lección 1 la emplearemos únicamente para raíces cuadradas exactas.

5042 Ejemplo _______

V504 = V23 x 32 x 7 2 252= V22 x 32 x 2 x 7 2 126= 2 x 3 xV2 x 7= 6 VÍ4

❖

2 63

3 ^ 2 1

3 7Exprese los siguientes números en la forma a-íb.

(1) V2420 (2) V 2205 (3)V24 3 (4) Vi 350

(5)V 1 1 2 (6) V704 ( 7 ) Vi 3 3 1 (8) V588

(9) V720 (10) Vi 89 (11) V1008 (12) V2800

Ejemplo

2V3 X8V6 = 2 x 8 x V 3 x V 6 ó

= 16VÍ8= 16 x 3V2 = 48V2

2 V 3 x 8V6 = 2V3 x 8V 2 V 3 = 2 x 8 x(V3 )2 x V2 = 2 x 8 x 3 x V 2 = 48V2

Calcule.

(1) 2V5 x 3 V Í 5 (2) 4 V6 x 5 VTo ( 3 ) 3 V 2 x 4 V 6

(4) 7 ^ 3 x 3V2T (5) 5 V 7 x 3 V 2 1 (6) 3 / 3 x 5 V 5

• ¿De qué forma se puede eliminar el V- del denominador en ^ y V2 ?. V3 5V3

vi'Multiplicando por V3 tanto el numerador como el denominadorporque V3 xV3 =3.

1 Ejemplo

= ... Multiplicando por V3 ^ ^ ¡ f = 5V 3V3

_ V6V3 V3V3 tanto el numerador

_ como el denominador_ V6_ 5 x 3

3 _ V615

El convertir expresiones que llevan el signo y- en el denominador en la forma cuyo denominador no contiene el signo se le denomina racionalización.

Racionalice.

l i(2) - p

V3 ( 3 , t (4 ) J

i 5 ) 4 2V2

CO W 8V3

a , 3V5 <10) 4^6 (1 1 ) i(12) ^

V2

2 Ejemplo

8V6

l H "8 ^ 6

_ 1 | T 4 1 2

_ 1 Vi" " 4 X V2

= ± X JL4 X ^

1 1 V2= t X 7 X 74 V2 V2

_ 1 V24 X 2 ............

8

Racionalizando

Calcule (racionalice la expresión cuando sea necesario).

1) 3VÍ5 + 9^3 (2) 12VÍ2 + 16VÍ8 (3) 8V2 - 10V6

i.4) 6^6 - 4VÍ5 (5) 4VlÓ + 8VÍ5 (6) 10^5 - 2VÍ0

E 1 Compare (1) 5a + 2a con 5^3 + 2V3 y (2) 2a - 6a con 2^3 - 6^3.¿En qué se parecen?, ¿cuál es la diferencia?

v i En (1)y (2) ambas expresiones tienen los mismos signos y coeficientes.* La diferencia es que la primera tiene la a como variable y la segunda tiene V3

y Sección 2: Adición y sustracción de raíces cuadradas

Alas expresiones que contienen raíces cuadradas del mismo número se les denomina radicales semejantes.

Ejemplo: Las expresiones 5^3, 2^3 y -6 V3 son radicales semejantes porque todas tienen en común a V3.

2 Calcule: (1)5^3 + 2 V3 y (2) 2 V3 - 6 V3

^ (1 )5 V 3 + 2^3 = (5 + 2)V3 (2 )2V 3-6V3 = (2-6)V3= 7^3 = -4V3

Una expresión que contiene radicales semejantes puede simplificarse sumando los coeficientes y copiando el radical semejante.

5V3 = V5r x3= V75; 2V3 = V2r x3 = V l2 ; 7^3 = V f x 3 = VÍ47 *

De lo cual sabemos que difiere 5^3 + 2^3 de V75 + 12 -4

3 Ejemplo 7V2 - 5 V3 + 2V3 = 7V2 + (- 5 + 2)V3

= 7V2 - 3V3

9 Calcule.

(1) 5V5 - 3V5 + 2V5 (2) V2 - 6V3 + 4V2 + 9V3

(3) 7VÍÓ + 4V7 - 10V7 - 3VÍ0 (4) 15V3 - 20V3 + 4VT7

(5) - 3V2 - 4V3 + V2 + 7V3 (6) 8V6 + 7V6 - 4V6 -15V6

4 Ejemplo Vl2 + V27 = 2V3 + 3 V3 ............ Simplificando cada raíz cuadrada= 5V3

1(P Calcule.

(1) V20Ó + V98 (2) V75 - VÍ92 (3) V32Ó - V8Ó

(4) V24 + V96 - VÍ50 (5) V ÍÍ2 -V63 (6) V250 - V360 + V64Ó

7) V98 - V27 - Vl28 + V48 (8) V320 - V48 - VÍ8Ó - V27

:> 18--p- = 5 V 9 x 2 - - p ^ - ........ Simplificando y racionalizandoV2 V2V2

= 5 x 3 V 2 - - ^ - _ 2

= 15V2-3V2

= 12V2

Calcule 5VÍ8 - - | r .V2

Cuando la expresión tiene el signo Ven el denominador debe racionalizarse.

Calcule.

(3 )? |.V 9 6 Ó (4 )^ - 5 V 22

V3( 2 ) V 9 6 + ^

V2

8

V5( 6 ) V 5 4 + | {7)W M ® 2m*Wo

Calcule V3(2V3-V6).

V3(2V3 - V6) = V3 x 2Va - x V 6 ó V3(2a/3-V6) = V 3 x 2V3-V3x V6

' = 2 ^ 3 x 3 - VÍ8 = 2 x(V3)2-V3V2~x3

= 2 x 3 - V ? x 2 =2x3-V2(V3)2

= 6 - 3V2 = 6 - 3V2

Cuando hay un paréntesis en una expresión con raíces, éste se puede eliminar usando la propiedad distributiva como en el caso del cálculo de polinomios.

Salcule.

(1 4V2 (V3-V5) (2) 7V3(2V3 + 4V6) (3) (Vl8 + V2) x5V2

-) 3V5(3 - 3V5) (5) (2V7 + 5V3) x 8V7 (6) VT0(VÍ0 + 3V2)

J j (5^3 - 2)(2V3 + 3) = 10 (V3)2 + (15 -4)V3 - 6 * =10x 3 + 11V3 - 6

= 30 + 11V3-6 = 24 + 11 3

En este ejemplo se empleó (ax + b){cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd donde a - 5, b = -2, c = 2, d = 3 y x = V3, que corresponde al producto notable: fórmula V.

H Calcule (5V3 - 2)(2V3 + 3).

Al realizar cálculos con raíces cuadradas es útil emplear las fórmulas de los productos notables.

13? Calcule.

(1) (5V2 - 1)(3V2 + 1) (2) (-3V3 + 5)(V3 + 4)

(3) (V5 -1 )(2V5 + 4) (4) (8V6 + 3)(5V6 -1)

(5) (2VÍ5 -1 )(-3Vl5 + 10) (6) (IOVÍO + 1 )(2ViÓ - 7)

1 Ejemplo

(1) (V5 - 3)2 = (\Í5)2 - 2 x 3 xV5 + 32 ....... {x +a)2 = x2+ 2ax +a2= 5 - 6V5 + 9 = 14-6^5

(2) (5V3 - V2)(2V3 + 3V2) = 1O ^ )2 + 15 V M - 2V2V3 - 3(V2)2= 10x3 + 15V6 - 2V6 - 3 x 2 = 30 + 13V6-6 = 24 + 13V6

(3) (5V3 - V2)(5V3 + V2) = (5V3)2 - (V2)2 ........ [x + a)(x - a) = x2 - a= 2 5 x 3 - 2 = 75-2 = 73

Calcule.

(1) (2V2 + 3)2 (2) (5V3 - V5)(V3 + V5) (3) (2V3 + 4)(2V3 - -

(4)(-V6 + 3)2 (5) (9V2 + V7)(V2 + 3V7) (6)(V5 + 5)(V5-5)

(7) (V5 + 2V3f (8) (2VTo - V5)(3VlO + 2V5) (9) (V7 - V2)(V7 + 2

En lo que sigue de esta lección se utilizará el procedimiento anterior del ejemplo (3) para racionalizar las expresiones cuyo denominador es una suma o una resta de raíces cuadradas.

E! conjugado de una expresión de dos términos se obtiene cambiando el signo a uno de los términos.

El conjugado de 4a + 4b es 4a - 4b o - 4a + 4 b .

El conjugado áe 4a - 4b es 4a + 4b o -4 a - 4 b .

Encuentre el conjugado de las siguientes expresiones.

(1)3 + V3 ( 2 ) - 3 + 4 3 (3 )4 2 + 4 3 (4) V2 + 3^3

(5) 1 - 4V3 (6) 2V5 + 3 (7) 2V7 - V3 (8) -4 1 -V3

Racionalice 2 .1 + 42

2 2(1 -42)— f = ---- \=— ........Multiplicando por el conjugado

1 + de, denominador2 - 2 2

= —— = - ................Aplicando la fórmula IV1 - (42)

= 2 - 2 4 2

1-2

= 2 - 2 4 2

-1

= 242 - 2 ................. Dividiendo entre -1

Para racionalizar este tipo de expresiones se multiplican y dividen ambos términos por el conjugado del denominador.

Racionalice.

1 ) 5 Wf <2)V f W\ <3>Vl+3 <4> -3V^“2: V3+1 l(» 242 m 4 /cnV2 + 1s,vTT (6) f <7)2¥T3 (8, T

d Lección 3: Raíz cúbica

En séptimo grado se estudió la raíz cúbica de un número positivo o negativo, sin embargo no se enseñó el algoritmo para el cálculo ya que es complejo. Aquí se aplicará el método de ensayo y error (estimación) para calcular las raíces cúbicas

La raíz cúbica de un número dado es un número cuya potencia cúbica es igual al número dado.

4 a - b sí y sólo sí b3 = a, donde a es un número real.

Ejemplo: Como 23 = 8 entonces 2 es la raíz cúbica de 8, es decir, V8 = 2Como (-2)3 = -8 entonces -2 es la raíz cúbica de -8, es decir, V 8 = -2.

Todo número real a tiene una y sólo una raíz cúbica en los números reales

Como la operación de tomar la potencia cúbica no cambia el signo del número, el signo de la raíz cúbica de un número y el de éste coinciden.

A Calcule las siguientes raíces cúbicas estimando la respuesta.

(1) V729 (2) VÍZ167

(1) Probemos inicialmente con -8.

(-8)3 = (-8) x (-8) x (-8) = -512, como -512 * -729 la respuesta no es -8, probemos con -9.(-9)3 = (-9) x (-9) x (-9) = -729 y como -729 = -729, la raíz buscada es -9.

R: V729 = -9

(2) Probemos con 2, 3 y 2.3.

23 = 2 x 2 x 2 = 8; como 8 < 12.167 se descarta el 2.33 = 3 x 3 x 3 = 27; como 27 > 12.167 se descarta el 3.

2.33 = 2.3 x 2.3 x 2.3 = 12.167; como 12.167 = 12.167 la raíz buscada es 2.3

R: VT2/Í67 = 2.3

Si un número tiene 3 cifras decimales entonces la raíz cúbica ^. d e ese número tiene 1 cifra decimal. .

> M

1 Encuentre el valor de las siguientes raíces cúbicas.

(1) V216 (2) 3a 216 (3) V-1331 (4)V2197 ( 5 )V 9 l l

(6) V -2197 (7) V3375 (8) V"343 (9) 3]=^ (10)3® 7

* Lección 4: Intervalos en la recta numérica

En la sección 3 de la lección 1 hemos visto que el conjunto de los números reales se corresponde con todos los puntos de la recta numérica. Ahora vamos a definir - tipos de secciones o partes de la recta numérica.

En lo que sigue las variables a y b representan números reales que satisfacen a relación a<b .

Qj El segmento desde el punto a hasta el punto b se escribe como:

(a) {xlx g R, a < x < b} ............ Notación conjuntista

(b) [a, b] ............ Notación de intervalo

(c) Forma gráficaa b

-3 notación (a) significa “El conjunto de los elementos x que pertenecen a los■ jmeros reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b”.

3 El conjunto que se obtiene quitando el punto a en el segmento del inciso!! se escribe como:

{xlx g R, a < x < b}, ]a, b] o (a, b] y * u ^ w ^ x x x w w w x x x x x x x x x x x b- »a b

9 El conjunto que se obtiene quitando el punto b en el segmento del incisoü

[Xlx G R, a < X < b), [a, b[ O [a, b), y * * nnnKnnxnjuuuuuuuuuuuuuIffiCD >

3 El conjunto que se obtiene quitando los puntos a y b en el segmento del inciso Q .

{xlx G R , a < x < b}, ]a, b[ O {a, b), y * ^ y

A os 4 conjuntos anteriores se les conoce como intervalos y se clasifican en:

| Intervalo cerrado (incluye los extremos a y b).

■ y El Intervalos semiabiertos (no incluyen uno de los extremos).

3 Intervalo abierto (no incluye los extremos a y b).

Escriba los intervalos dados en las otras dos formas.

h2, 5] (2 ) «8

3) {% g R, -V3 < x < V5} (4) - 1 , 1 (5) {xlx g R, -7 1 < x < 7 1 }

I asifique los intervalos de

m i Encuentre las raíces cuadradas de los siguientes números. (1)0.09 (2)0.16 (3)0.49 (4)0.81

(6) 144 ( 7 ) f (8)? (9 )M v 1 81

(5) 169

Exprese las raíces cuadradas de los siguientes números con el signo - f .

(1) (2)15 (3)19 (4)0.11 (5) 15

Encuentre la raíz cuadrada de los siguientes números empleando el algoritmo de E (1)15625 (2)3136 (3)6724 (4)8649 (5)41616

i l Compare.

(1) 7 3 4 __ 1.8

(4) V20__4.5

(2) 2.23 _ V 5

(5) V72__8.3

(3) 3.16__VTO

(6) V"50__7.07

j | j | Aproxime la raíz cuadrada de los siguientes números empleando el método explic en D con un valor exacto hasta las milésimas.

(1)10 (2)15 (3)8 (4)7 (5)6

¿A cuáles de los siguientes conjuntos N, Z, Q, I o R pertenecen los siguientes núme

<2>T (3)-- i( 1 ) 71 + 3

f ¡ | Calcule y expréselo en forma simplificada.

(4)-21 (5) V5-V2

(1)V8V6 (2)V7 21 (3) (V2 V ío):

(4)V52V26

( 5 ) f íV2T ■ w

Exprese en la forma Va.

(1)5VÍÓ (2) 8V3 (3) 12V2

(4)V83

(5) VÍ0 2

(6) ^Í2 7

| j Simplifique (forma a lb).

(1)V75 (2) V64Ó

(5) V45 (6) VÍ452

(3) VÍ76

(7) V567

(4)V540

(8 )V45Ó

« i ) 4 =2V7

Racionalice.

(2 ) f V7

(6)V5 + 1

(7)1

3-V5

Calcule.

(1) V24Ó + VÍ35 - V54Ó

i3)VÍ2 + V243-V75

(5) V97 - VÍ62 + V8

(7) Vv/5 - ~ y f

(9) V5(3V5 + 3)

11)4V2(V3 + V5)

i 13) (V5 + 2V7)(2V5 - 2V7)

(3)

(8)

V L5V6

V51 +V5

(4)

(9)

V5

2V3-1

(2) V504-V224-V56

(4) Vl50 - V294

(6) V48 + “

(8) V243 + ~^=2V6

(10) 5V3(2V2 - V3)

(12)(V2 + 5V3)(2V2-V3)

(14) (5VlO + 4)2

(5)

(10)

V5Vil

5 - 2V3

E'cuentre la raíz cúbica de los siguientes números mediante el método de ensayo y error.

1)64 (2)2744 (3)21.952 (4)5832 (5)0.343

Escriba los intervalos dados en las otras dos formas.

(1 ) «- (2) {x/x e R, - n < x < 2n)- 1

P) ]V7, 6[ (4 ) { x/ x e R , -2^Í2<x< 3^2}

Clasifique los intervalos de

Evaluación

¿Por qué V^4 no existe en los números reales?

^ Compruebe VF=|¿>| asignando valores a b y desarrollando las operacionesnecesarias.

Calcule.

(1) V10816

(3) V624Í

í ¿Qué significa ±V5?

(2)V104976

(4) V4356

é ¿Será cierto que (Va)2 = V<7 para cualquier valor de al

Ordene de mayor a menor.

V8, -V2, -2, 8, J I , - 1 , - J I , - 0,-1,3,-3

Aproxime a 2 cifras decimales.

(1) VÍ5 (2) VÍ8

(3)V3Ó (4) VIO

£ Un terreno mide 576 m2 de área. Si es de forma cuadrada ¿cuántos metros mide cada lado?

Dé un contraejemplo para mostrar la falsedad de las proposiciones siguientes. ( 1 ) Q c N

(2 ) Z ( z N

(3) Todo número real es natural

(4) Todo número irracional es racional

(5) Todo número racional es irracional

Calcule.

(1) V48 Vl2 (2) V27 VT2

(3)V7V63 (4)V2

5) V1587 (6) V5V3 V320

Escriba el conjugado de las siguientes expresiones.

1 )1 -V2 (2) V3 - V6 (3) V6 + 3

Racionalice.

1) _5_ (2) ^ (3) _ 1 - (4 ) V8-2V8 VÍ5 V6 + 3 2-V8

Calcule.

1 i >'63 + V448 + V343 (2) V99 - V275 + V7Ó4

3)7^45- -pr (4) V208 + -p=TVÍ5 VÍ3

51 (5VÍ0 - 4V2) x 3VT0 (6) (8V2 + 3)(2V2 -1)

—. (3V5 -1 )2 (8)(6V2 + 3 )(6^ -3 )

5 el volumen de un cubo es 68.921 cm3 ¿cuántos cm mide cada arista?

zí:riba los intervalos dados en las otras dos formas,

f l f / r e R , -4 - < x < 5} (2) ]3.2,V3]

Si se divide (6x3 + l x + Ax + 10) entre (3x + 5) de la manera explicada en la

. unidad 1 el resultado es 6x3 + lx + Ax + 10 = (3x + 5) (2x2 - x + 3) - 5.

Se le llamó cociente al polinomio 2x2 - x + 3 aun cuando el residuo no era cero.

Esta situación es semejante a la división 7 + 3 donde 7 = 3 x 2 + 1 cuyo valor de

cociente se expresa con la fracción -Z_. De la misma manera vamos usar en esta

unidad la forma de fracción 6x3 + l x + Ax + 10 para la división de polinomios.3x + 5

A esta expresión se le llama expresión racional algebraica.

Una expresión racional algebraica (ERA) es aquella expresión en forma C r, fracción cuyo numerador y denominador son polinomios.

En lo que sigue hasta la lección 3 se estudiarán sólo ERAs con una variable.

Como en el caso de las fracciones, por lo general se representa una ERA en su mínima expresión.

A Represente en su mínima expresión (simplificar) *3 - - 2x .3

X - X

Como en el caso de las fracciones vamos a factorizar los dos polinomios para encontrar los factores comunes y dividirlos entre ellos.

¿ f ' 2* _ x(x2.- x - 2) .................. Factor comúnx - x x(x -1)

_ x(x+ 1)(x-2) ......... Fórmulas de factorizaciónx(x + 1 )(x -1 )

= x ~2 ........................... Dividir entre todos los factores comunesX - 1

R: La mínima expresión de x3 -x2-2x es .x3 - x x -1

El procedimiento para simplificar una ERA es:

1. Factorizar completamente tanto el numerador como el denominador.2. Dividir ambos términos entre todos los factores comunes.

El paso 2 equivale a lo que conocemos como cancelar los factores comunes.

Simplifique.

(1) x3 + 4x2 + 3x x2 + 5x + 4

(3) 6x2 + 7x + 2 15x2 + 7x - 2

(4) 22x + 3xy + /

(5) x2>- + 2xy - y x y - y

(6) *4-16 x2-4x -12

r™ x2 + 4x - 96 x2 + 6x - 72

(8) 4*2" 25 6x2 - 11x-10

(9) 4x2 + 12x - 27 4x2 - 81

Se puede sustituir cualquier número en las variables de los polinomios, .amos a investigar esta situación en las ERAs.

Encuentre el valor numérico de * para x = 3, 2 y 1.

Cuando x = 1 el denominador es 0, por lo tanto esta ERA no está definida para este valor. En una ERA no se pueden sustituir aquellos números que hacen cero el denominador. En este casox = 1 es un valor excluido de x -1

Una ERA no está definida para los valores de la variable que hacen cero el denominador. A estos valores se les llama valores excluidos de la ERA.

Encuentre el valor numérico si x = 20 en las siguientes ERAs.Cuál es el valor de la variable x para el cual no están definidas las ERAs

s-guientes?

x -1X u ó

~ara x = 3 el valor numérico es — -r = „ , = -z-x -1 3-1 2

3ara x = 2 el valor numérico es x . = n , - — =2x - 1 2 - 1 1

x i I3ara x = 1 el valor numérico es — r = n— r = t tx - 1 1 - 1 U

x + 1( s ) ^ 4

3x -1.

,6) 5x -12t + 1

—r —x + 3(9) 4 (10) 2 X

•yX - 3 ~-x - 3

j Lección 2: Multiplicación y división de ERAs

A Calcule x < + ?* + ?x - x - 6 jc - 2x + 1

El cálculo es análogo al de las fracciones.

x -1 x2 + 3x + 2 _ (x + 1 )(x -1 ) (x + 2)(x + 1) x2- x - 6 X x2 - 2x + 1 (x- 3)(x + 2) (x -1 )2

_ (x + 1 )2(x -1 )(x + 2)(x - 3)(x + 2)(x -1 )2

(x+ 1):( x - 3 ) ( x - 1)

<En la respuesta se pueden desarrollar los numeradores y los

j C* + 1 )2 _ x2 + 2x + 1denominadores. Es decir, ^ — tt = —y— — —> (x - 3)(x -1 ) x - 4x + 3 <J

La multiplicación de dos ERAs es una ERA cuyo denominador y numerador son los productos respectivos de los denominadores y numeradores de los factores.

B D BD , , ..~ZX~C = AC ’ donc*e A’ B' C y D son P°l|nomios-

El procedimiento para expresar el producto de ERAs en su mínima expresiór a

1. Factorizar los númeradores y los denominadores de las ERAs dadas2. Multiplicar tanto los numeradores como los denominadores de ambas

ERAs para obtener una sola ERA.3. Dividir tanto el numerador como el denominador entre todos los factcra

comunes de ambas.

Las ERAs también se pueden simplificar antes de multiplicarlas. x -1 x2 + 3x + 2 (x + 1 (j> '2)’(x + 1)

x2- x - 6 X x2- 2 x + 1 (x- 3)(x-+^2] X (x - X f

(x - 3)(x -1 )

= ( * + l f► (x - 3)(x -1 ) 4

Calcule.

( 2 ) 4 ^ f x 2j3+-^2 ■ x ¿ +24 x t 42 x + x 8 x + 2 x x - 2 x - 8 x + 4 x

14 10x + 50A5.r + 25 7x + 7

2x x - 3x2x + 2x x - 2x - 3

' y - 5 x 5v + 15 v2 + 9v + 18 5y -25

■ a' + 2a - 3a v 2a + 3aw 1 ’ ó I _ A

(4)

(6)

4a + 8a + 3 a - a

| Calcule y2- 3x ’ 10 ^ x -25_

(10)

mn - n 2 2 y m - n

m + nA 2

n

2a2- 50 3 a + 32a - 2 a - 4 a -5

1 - a „ b2 + b v a2t A ^ b + 1 a - a2 b

CO1Sco x m2 + 4m + 4m2 - m 2m + 4

x + 3x x + 6x + 9

1 Zomo la división es la operación inversa de la multiplicación, para dividir F e~íre una ERA se multiplica por la recíproca del divisor.

x - 3x -10x2 + 3x

x2 - 25 x2 + 6x + 9

x2 - 3x -10 x x2 + 6x + 9x + 3x x -25

= b ^ ) ( x + 2) (x + 3 f x(x^K3) (x + 5 ) (^ 5 )

_ (x + 2)(x + 3) x(x + 5)

Lfí D R C RC

- r + -pr = - r x -77 = -7K ; donde A, B, C yD son polinomios.A C A D AD

W Calcule.

(1)

'3)

3a - a 5 a2 - 5a2a +6 a 2a + 6

x + 1 . 15x3+ 15x24x - 6

4x2 -1

20x2 - 30x

2x2 + 17x + 8^ x2 - 6x + 9 x2 + 5x + 24

20rn - 30m . 4m - 6(7)

(9)

m+ 115m +15 m

4a2 -1 + ________4fl2 + 5a 4 a3 + 5a2

1

(2)

(4 )

(6)

(8)

(10)

ni - m - 30 m + m - 42

x + 1 j. 2x - 2 5 ' 15

x2 -1 5x + 56 . x2 - 5x - 24x2 - 6x + 5 x2 + 2x - 35

x2 - 49 . x + 7x - 121x x - 11x

8x + 4x x - 1 6

,9 Sección /.- Adición y sustracción de ERAs con igual denominador

A Calcule + 2X,+ 1 9 .X + X - ¿ x + x - ¿

^ Para el cálculo usaremos la analogía con las fracciones.

+ ,x * + ......... Sumando los numeradoresx + x - 2 x + x - 2 x + x - ¿

2r + 4= — — ;r ................. Sumando términos semejantesx + x - 2

= . ................ Factorizandot r r f i x - 1)

O= —*-r ............................. Simplificando

x -1

4 Lección 3: Adición y sustracción de ERAs

B C B + C B C B - C A + A ~ A ' A ' A A , donde A , B y C son polinomios.

Cuando los denominadores de las ERAs son iguales (como en el caso de a fracciones) se suman o restan los numeradores y se copia el denominado' común. Se simplifica cuando se puede.

1 Calcule.

(1)

(3)

(5)

(7)

(9)

9 - 6x x(2)

4 4xx2 - 7x + 12 x2 - 7x + 12 6x - 6 6x - 6

x2 - x 12 (4) 2x2 9x + 51 6 -x2 1 6 -x2 10 + 3x - x2 10 + 3x - x2

2x2 - 22x ( 60(6) n + 1 3 , 2n + n

75 - 3x2 75 - 3x2 n - n - 2n + 2 n - n - 2n + 2

X2 j X - 6(8) x3 + 5x2 - 6x

x.+ 3 x + 3 x2+ 3x x2+ 3x

2x3 . x (10) 2x2 3 - 5x2x2 + 1 2x2 + 1 2 x - 1 2 x - 1

r2: Mínimo común denominador de dos ERAs

~r cuentre dos ERAs que sean equivalentes ax + 1

V - apliquemos ambos términos por un mismo factor.

_ x(x - 1) ; - 1 (x +1 )(x -1 )

Multiplicando p o r ( x - 1)

x x(x + 2) .x + 1 (x + 1 )(x + 2)

. Multiplicando por (x + 2)

Multiplicando el numerador y el denominador de una ERA por un mismo factor polinomio (como en el caso de las fracciones) se pueden encontrar ERAs equivalentes a ésta.

Escriba 3 ERAs equivalentes para cada una de las siguientes ERAs.

(1 J L (2) 7r ^ —r (3) - 3 * _ (4) 4x± 31 X 2x+1 x + 3 2x -1

= 1+1 (6)ill WPA (8>#-x + 1 2x + 5 5x

»'S-T 0° ) ^ <11 ) - T M r !6x - 5 x - 4 x - o x - ¿

E-cuentre dos ERAs equivalentes a * y 1 que tengan igual denominador.x + 1 x + 2

x - xix + 2) .... Multiplicando y -__-— = -----x + 1----- Multiplicandoj+ 1 (x+1)(x + 2) por (x + 2) x + 2 (x+1)(x + 2) p o r (x + 1 )

Igual denominador

R x(x + 2) y x + 1 son equivalentes a * y 1(x + 1 )(x + 2) (x + 1 )(x + 2) x + 1 x + 2respectivamente y tienen igual denominador.

Dadas dos ó más ERAs se pueden encontrar ERAs con igual denominador equivalentes a las primeras.

3 Encuentre dos ERAs equivalentes a 3 y x - 5 con el mismo mínimo común denominador. x2 +x x -1

\ ]¡ Si factorizamos los denominadores obtenemos:

x + x x(x + 1) x -1 (x + 1 )(x - 1)

Comparando los denominadores x(x + 1) y (x + 1)(x -1), se ve que al primero le falta el factor x -1 y al segundo el factor x. Completándolos queda:

3(*-1) x - 5 x(x - 5)x(x + 1) x(x + 1 )(x -1) (x + 1 )(x -1 ) x(x + 1 )(x -1 )

R; 3(x - 1) y x(x - 5) son equivalentes a 3 y x ' 5____x(x + 1 )(x -1 ) x(x + 1 )(x -1 ) x(x + 1) (x + 1 )(x -1)

respectivamente y tienen el mínimo común denominador.

El procedimiento para encontrar el mínimo común denominador (mcm) de los denominadores de las ERAs es:

1. Factorizar los denominadores.2. Completar los factores que le faltan a los denominadores para qu

sean iguales.

3^ Para cada una de las siguientes parejas de ERAs encuentre las ERAs equivalentes respectivas con el mínimo común denominador.

( 1)

(9)

X x - 1 (2 ) x + 2 ■ 5xx + 3x + 2 x + 5x + 6 x2 + r 2x2 + x -1

x -1 ■ X + 1 (4) 1 42x2 + x 4x2 -1 15x2 - 3x 30x2 + 9x - 3

x -1 x - 2 (6) x + 3 ■ x - 3

i i 10x2 - 7x + 1 2 , A ’X + 1 x2 + 4

1 • 4 (8) 1 ■ X

x + x - 2 x + 2 2 , ’ X + X x2 + 2x + 1

X 1 Í10) 4 2 + x2x + 3 4x - 3x -1 2x + 3x - 2 2x -1

Calcule 3 x - 5 ,2 , T 2 A

X + X x -1

4 Sección 3: Adición y sustracción de ERAs con distinto denominador

^ Lo desarrollaremos en forma similar a las fracciones y utilizando lo aprendido ^ sobre las ERAs.

3 x 5 3 jc - 5 7 T 7 + 7 T T = 4 ^ r r y + (x + 1)(x-1) .......... Factorizando denominadores

= * 3+V - 1 ) + ^ í f r - 1 > - Igualando denominadores

= 'A, ......................... Sumando ERAs con igual* (* +1X * - 1> denominador

2 r\ q= 7~ ........................... Desarrollando el numerador

x(x + 1 )(x -1)

= + V, ................................. Factorizando el numeradorx(x + 1 ) (x - 1)

= f ' 8 ............................................ Simplificandox(x -1)

Se suman o restan ERAs con distinto denominador después de igualar sus denominadores (Es conveniente usar el denominador común cuyo grado es el mínimo posible). Se simplifica el resultado si se puede.

Calcule.1 , 1 /ox jc + 3 x + 2

l1) jc+ 1 + x - 1 ^ x - 3 ' x - 2+

n v 3a___ ____ a____ m ____ * ____+ x + 2 2O* O W ■ - -9a - 9 3a + 3 4 - 2 x 2x 2x -x

c\ 1 i X . X + 5 /c\ 1,5) t ~ T + + T (6)- 5 x - 4 x - 5 x + 2 x + 1 x - 4 x - 3

rr\ 1 - x 1 + X to\ a a + 1( ' ) a 7 ' A \ V ) 2 A ~ , a \21 + x 1 - x a -1 (a -1)

n\ m + 1 m - 1 / a q\ 2x - 3______ x - 1m2 + m + 1 m2 - m + 1 6x + 9 4x2 + 12x + 9

4 Lección 4: Despeje de variables en fórmulas

A1 Represente el área A (cm2) de un triángulo cuya base y altura miden b (cm) y h (cm) respectivamente.

2 Encuentre la expresión que representa la medida de la base de un triángulo conociendo el área y la altura.

La medida de la base b conociendo la altura h y el área A se encuentra con

la fórmula: b = ^ f .h

En una fórmula al proceso de encontrar la expresión equivalente de ura de las variables en términos de las otras variables se le llama despeje para esa variable.

3 Encuentre la medida de la base de un triángulo si se sabe que la altura mide 20 cm y el área 80 cm2.

x jj Sustituyendo h = 20 y A = 80 en la fórmula anterior se obtiene:

, _ 2A _ 2 x 80 _ 160 _ pv " ” on “ on “ 0

Apor -2 ambos lados de la fórmula A=- jbh tenemos que:

h

La base b mide 8 cm.

4 Encuentre la medida de la altura de un triángulo si se sabe que la base mide 7 cm y el área 10.5 cm2.

2Ab = 7 y A = 10.5 en la fórmula h = -^~se obtiene:

, _2 A _ 2x10.5 _ 21 _o

La altura h mide 3 cm.

1 1 1En la fórmula ~ + j - despeje para R, y R2.

j Despejando para i?, nos queda:

- j {RR,R2) = + j - ) ^ R2 ......... Multiplicando por el mcm delos denominadores

R,R2 = RR2+RR, .... (1)RJt 2 - RRj — RR2 R.(R2-R) = RR2

r r 2 R' = r 2- r

-ara despejar R2 partimos de (1)R\R2 — RR2+RR:

r.r2- r r 2= r r ,R2{Rr R) = RR,

RR,R* = R, -R

r> 2e cada una de las siguientes fórmulas, deduzca la expresión que representa la . ariable que está entre corchetes.

1) S = ab] [a] (2) A = [a]

(3) [V], [P] (4) V=at; [a], [t]

5) /= [C], [71, l«\ (6) V= a + (n -1 )r¡ [a], [r]

7) /= tei' inPa

>9) C = 2nr, [r] (10) P = 2/1 + 1; [«]

(11) [A], [b] (12) 5= [/]

Simplifique a su mínima expresión.

^ x + 2x- 3 -2x2 + 7 x -3x + 6x + 9

(4)3

X - x2x + 3x - 5x (5)

2x - 5x + 3

5x2-20x-105 10x2 + 130x + 300

(3) x2-1x + 5x - 6

(6) (x + 3)(x2 + 3x + 2¿ (x + 2)(.v2 + 4x + 3

Encuentre el valor numérico para las ERAs simplificadas de si x toma los siguientes valores.

(1)4, -3,1 y 3 (2) 3, 0, 0.5 y 4 (3) 1, -1, 5 y 2

(4) 0 ,1 , 2 y 3 (5)10, 7, 5 y 3 (6) 1, 2, 3 y 4

Para cuáles de los valores de x en no están definidas las ERAs respectiva simplificadas.

Calcule.

a - a y 2a + 6 1 ’ 2a2 + 6a 5a2 - 5a

(3) 4x - 6 x 15x3 + 15x2x+ 1 2x - 3x

^ x2 - 6x + 9 x 2x2 + 17x + 84x -1

(7) 4 + x -1

X + 5x - 24

4x2-1

i q \ x2 + 7x - 8 ^ (x + 8)(x2 - x)1 J x2 - 25 ' x2 + 8x + 15

(11> I T s + T í !

W j ' j h ' T n

Despeje para la variable indicada.

(1) ax + by + c = 0 para y

(3)2x + l = P para x y l

(2 )

(4)

(6)

(8)

(10)

(12)

(14)

m2 - m - 30m + m - 42

\ - 15x + 56 x x2 + 12x + 35x + 6x + 5 x - x - 56

5 2x - 2 x + 1 15

3x+ 1 + 3x+ 1 2x + 8 ’ x + 4

2x2 + 5x - 7 + 2x2+ 3x -14x 5x

2x2 -3 x+ 14(2x + 7)(x - 2) (2x + 7)(x - 2)

A + 2 - 3x 2x -1x 3x -1 - x(3x -1 )

y - y 1(2) x _ x = m para x e y

1 1^ J + T = z Para^ yx

• < »■

1 t ) — 5x + 2— está definida para x = 5.3x2 - 14x - 5

3 (¡ ) El valor numérico de 2 para x = 4 es - ^ .Oa “ I t X “ O I O

Escriba si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

: ) El mínimo común denominador de x + 3x + 2 y x2 + 5x + 6es (x + 1) (x + 3) (x + 2)2

^orqué x ~ 1 es equivalente a J L l ü ?2 -x x - 2

£ Droceso de despejar una variable es similar al de resolver una ecuación.Porqué?

Por qué el cálculo con ERAs es parecido al cálculo con fracciones?

Qué es mínimo común denominador?

Por qué es aconsejable, al calcular sumas y restas con ERAs, utilizar el mínimo común denominador de los denominadores?

Para qué valores reales de x no está definida * ? ?

_3 fórmula para calcular la temperatura en grados Fahrenheith dados los gradosq

Celsius (centígrados) es Tf = Tc + 32. Encuentre la fórmula para calcular la

:emperatura en grados celsius dados los grados Fahrenheith.

_a longitud de una circunferencia viene dada por C = 2nr, donde r es el radio. Despeje para r y encuentre su valor si C = 37.68 cm. Considere el valor de 7i = 3.14.

Calcule.. 1 \ x + x2 v x2 + 3x - 4 x2- 25 * 12x- 4

9 Lección 1: La suma de los ángulos de un polígono

9 Sección i: La suma de los ángulos de un triángulo

El triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C se denota por A ABC.En cuarto grado aprendimos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, esto lo explicaremos usando las propiedades de las rectas paralelas.

A1 Se han colocado 3 triángulos del mismo tamaño como lo muestra el dibujo.

(1) Exprese las medidas de los ángulos Z CAD, Z ADC, Z DCA, Z CDE,

Z DEC y Z ECD en términos de Z a, Z b y Z c.

(2) ¿Cómo son los lados AB y CD? A d

(2) AB II CD porque los ángulos Z CAD y Z c son alternos internos y congruentes.

Aplicando la observación de A1 se encuentra la suma de los ángulos del triáng como se verá a continuación.

Por lo tanto m Z a + m Z b + m Z c = m Z ACD + m Z DCE + m Z BCA

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

De la demostración anterior se deduce que la m Z a + m Z b = m Z ACE

m Z CAD = m Z c; m Z ADC = m Z b

m Z DCA = m Z a; m Z CDE = m Z a

m Z DEC = m Z c; m Z ECD = m Z b b c E

A

Se le llama CE a la extensión del lado BC.

Se traza un rayo CD paralelo a AB.

B C E

ComoABIICD; m ZACD = m Z a ............. Ángulos alternos internos

y m Z DCE = m Z b ............ Ángulos correspondientes

= m Z BCE

= 180° ..... Ángulo llano

rorn el triángulo A ABC los ángulos Z CAB,_ ABC y Z BCAson ángulos internos.

Un ángulo interno de un triángulo es un ángulo formado por dos lados del triángulo.

Un ángulo externo de un triángulo es un ángulo formado por un lado del triángulo y una extensión del lado contiguo.

Alrededor de un vértice de un triángulo hay dos ángulos externos._os términos anteriores utilizados en los triángulos se aplican a los polígonos.

De la demostración de la página anterior se dedujo que m Z a + m Z b = m Z ACE. El Z ACE es un ángulo externo y los Z a y Z b son ángulos internos no contiguos al ángulo exterior mencionado. De esto se concluye lo siguiente:

La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de la medida de los dos ángulos internos no contiguos.

Encuentre la medida de los ángulos externos del triángulo A ABC.

m Z f = 30° + 80° = 110° m Z a = 180° - (30° + 80°) = 70° m Z d = 30° + m Z a = 100° m Z e = m Z a + 80° = 150°

Encuentre la medida del ángulo x. En (4) encuentre a, b, c y d.

(3)

En el dibujo de la derecha DE es paralela a BC y pasa por el punto A. Utilizando este dibujo explique que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

^ L a s w c w c ik «áa. f e s <áa. vxc\ v^ \^ m

B Encuentre la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero y de un pentágono.

Un cuadrilátero convexo se descompone en dos triángulos si se traza una de su diagonales. La suma de los ángulos internos del cuadrilátero ABCD es igual a la suma de los ángulos internos de los dos triángulos que lo forman. Esto es:(la suma de los ángulos del A ABC) + (la suma de los ángulos del A ACD), lo que equivale a 180° + 180° = 360°, ó 180° x 2 = 360°.

Un pentágono se descompone en 3 triángulos, por lo tanto, la suma de los ángulos internos del pentágono es:

180° x 3 = 540°

Un polígono con n lados se puede dividir en (n - 2) triángulos con (n - 3) diagonales que pasan por un mismo vértice.

La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es:180° x (n - 2).

En el caso del triángulo, n = 3, entonces la suma de los ángulos internos es:

180° x (n - 2) = 180° x (3 - 2)= 180° x1 = 180°

Esto coincide con lo demostrado en A y

3 ¿Cuánto es la suma de los ángulos internos de los siguientes polígonos?

(1) Hexágono (2) Decágono

(3) Heptágono (4) Octágono

(5) Un polígono con 15 lados (6) Un polígono con 18 lados

(7) Un polígono con 24 lados (8) Un polígono con 30 lados

Lección 2: Congruencia de triángulos

4 Sección 1: Congruencia

Dos figuras planas son congruentes cuando se sobreponen exactamente después de mover y/o dar vuelta a una de las dos.

Encuentre los triángulos que son congruentes.

Cuando dos figuras son congruentes y se sobreponen, se dice que un vértice, un lado, un ángulo, etc., de una de las figuras corresponde respectivamente al vértice, al lado, al ángulo, etc. de la otra.

Los segmentos correspondientes de dos figuras congruentes tienen la misma medida, igual que sus ángulos correspondientes.

En r como los triángulos 1 y 8 son congruentes se dan tres correspondencias:

' Los vértices A, B y C del triángulo A ABC se corresponden respectivamente con os vértices D, F y E del triángulo A DFE.

I . Los lados correspondientes son congruentes: B AB = DF, BC = FE y CA= ED

: _os ángulos correspondientes son congruentes:Z A = Z D , Z B = Z F y Z C = Z E

« é

9 Sección 2: Criterios de congruencia de triángulos

A En el cuaderno dibuje los siguientes triángulos A ABC.

(1) AB = 5 cm, BC = 4 cm, CA = 2 cm

(2) AB = 6 cm, m Z A = 30°, CA = 4 cm

(3) AB = 5 cm, m Z A = 30°, m Z B = 50°

s / ( i»

Los triángulos A ABC y A ABC’ son congruentes.



De A se sabe que los triángulos dibujados con estas medidas son congruentes y je ellos se definen los siguientes tres criterios de congruencia.

Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si se satisface uno de los siguientes criterios:

1. Los tres lados son respectivamente congruentes. (LLL)

Á B = Á 1 '

/ ' " ' k ; / BC = &C'

Z . -------H— -------- A,Z _-----------------H-------- \ . B, CA= C’A'

2. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente congruentes. (LAL) ___

AB = A’B’

3. Un lado y los dos ángulos adyacentes a él son respectivamente congruentes. (ALA)

C c . ÁB = A B ’

Z A S Z A ’

\ Z B = Z B’

Diga cuáles de los siguientes triángulos son congruentes y qué criterio de congruencia utilizó.

B Dibuje en el cuaderno los triángulos A ABC con las siguientes medidas.

(1) AB = 6 cm; m Z A= 30°; BC = 4cm(2) AB = 4 cm; m Z A = 30°; BC = 7 cm(3) AB = 4 cm; m Z A =150°; BC = 7 cm

(1)

(4)

4 cm 4 cm

En (1) hay dos triángulos que no son congruentes pero cumplen las condiciones dadas. En (2), (3) y (4) sólo hay un triángulo que cumple las condiciones dadas. De este ejemplo se sabe que cuando están dadas las medidas de dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos, existen casos donde hay 2 triángulos no congruentes que tienen las mismas medidas dadas.

En (4) la medida del ángulo Z B no está dada explícitamente, sin embargo se pi calcular porque se sabe que la suma de la medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Esto es:

m Z B = 180°-(30° + 100°)= 180° -130°= 50°

Al calcular este último ángulo se conoce del triángulo un lado y sus dos ángulos consecutivos, por lo tanto, del criterio de congruencia 3, se sabe que sólo hay un triángulo en B (4) con estas medidas.

3' Construya los siguientes triángulos según las medidas dadas.¿En cuáles de los casos hay 2 construcciones diferentes que cumplen .las mismas condiciones?

(1) AC = 6 cm; m Z A = 45°; m Z B = 100°

(2) AB = 1 cm; m Z A = 40°; BC = 8 cm

(3) AB = 7 cm; BC = 8 cm; AC = 9 cm

(4) AB = 9 cm; AC = 7 cm; m Z A = 55°

Dos segmentos AB y CD se cortan en el punto E de modo que EA= EB y CE = DE.

Demuestre que AC = BD.

En este problema, a la parte EA = EB y CE = DE se le llama hipótesis y a la parte AC = BD (que es lo que se quiere demostrar) conclusión.

Se llama demostración o prueba a la deducción de la conclusión desde la > condición (hipótesis). *4

Demostración:

EA= EB y CE = DE .............................................. Por hipótesisEn los triángulos A EAC y A EBD se da que:

Z CEA = Z DEB ..... Ángulos opuestos por el vérticeEn los triángulos A EAC y A EBD como dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente congruentes, ambos triángulos son zongruentes, por tanto AC = BD, que es lo que queríamos demostrar.

Con la misma hipótesis de C demuestre que AC II BD.

s ; guientes lecciones veremos más ejemplos de los criterios de congruencia Ta-gulos.

E ' la figura de la derecha AB II CD y AB = CD. lemuestre que los triángulos A OAB y A ODC

congruentes.

Er a figura_de la derecha AD II BC y E es el punto ■necio de CD. Demuestre que los triángulos A ADEt A ~CE son congruentes.

Er a figura de la derecha AD = CB y AB = CD. •f-jestre que los triángulos A ABC y A CDA

sen congruentes.

Lección 3: Triángulo isósceles y rectángulo

Sección 1: Triángulo isósceles

En tercer grado aprendimos el término “triángulo isósceles”.

Triángulo isósceles es el triángulo que tiene dos lados congruentes.

En cuarto grado aprendimos que un triángulo isósceles tiene dos ángulos congrue

A En un triángulo isósceles los dos ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.

Vamos a demostrar este hecho.

Hipótesis: AB = AC

Conclusión: Z B = Z C

Demostración:

Sea D el punto medio del lado BC.

En los triángulos A ABD y A ACD se da que:

AB= AC ............... Por hipótesis

BD = CD ............... Por definición de punto medio

DA = DA ............... Congruencia de un mismo segmento

A ABD = A ACD .. Criterio de congruencia LLL

Z B = Z C ............ Congruencia de triángulos

La demostración anterior la vamos utilizar varias veces a partir de ahora.A situaciones que se utilizan repetidas veces para demostrar otras cosas se les llama teoremas. Lo demostrado anteriormente es un teorema.

Un teorema es una proposición que se puede demostrar.

La demostración anterior puede enunciarse como el siguiente teorema:

Teorema: Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a éstos son congruentes.

(2)

Encuentre la medida de los ángulos xey.

(3)

■ r En el dibujo de la derecha, el punto D

es el punto medio del lado BC.

■ Demuestre que Z BAC es un ángulo recto

; BD = CD=ÁD

^ Jsando la congruencia de los triángulos A ABD y A ACD en la demostración

:e A, demuestre lo siguiente:

1. ÁD es perpendicular a BC

2 AD es una bisectriz del Z BAC

De lo demostrado anteriormente se deduce el siguiente teorema:

Teorema: En un triángulo la bisectriz de un ángulo comprendido entre dos

lados congruente es una mediatriz del lado opuesto.

En el dibujo de la derecha, AB = AC y el punto P está en la bisectriz del ángulo Z BAC. Demuestre que BP = CP.

B Demostremos el siguiente teorema.

Teorema: Si dos ángulos de un triángulo son congruentes entonces los lados opuestos a éstos son congruentes.

Vamos a considerar triángulos que tienen dos ángulos congruentes.

Demostración:

Se va demostrar que si Z A = Z B entonces AC = BC.

La bisectriz del ángulo Z BCA corta el lado AB en el punto D. b

En los triángulos A CBD y A CAD se da que:

Z BCD = Z A C D ..................(1) Porque CD es la bisectriz del Z ACBZ A = Z B ............................... (2) Por hipótesis

Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° se tiene: m Z CDA = 180° - (m Z ACD + m Z A)

= 180°-(m ZBCD + m Z B ) ....... Por (1)y (2)= m Z CDB .......................................... (3)

CD = CD ..................................................................... (4)

De (1), (3) y (4), dos ángulos y el lado comprendido entre ellos son respectivarre-

congruentes, por lo tanto los triángulos A CBD y A CAD son congruentes por Ai_¿

De esto se deduce que AC = BC. A

5 } En un triángulo isósceles A ABC, las bisectrices de los ángulos opuestos de los lados congruentes AB y AC se cortan en un punto D. Demuestre que BD = CD.

En el triángulo isósceles A ABC los lados congruentes son AB y AC. BE y CD son bisectrices que se cortan en el punto F.

Demuestre que: 1 .BE = CD

2. BF = CF

En el triángulo isósceles A ABC, hay dos ountosD y E en los lados congruentes Á3 y AC respectivamente y BD = CE

Demuestre que:

• BÉ= CDI Si F es el punto donde se cortan BE y CD

entonces BF = CF

En el triángulo A ABC, AB = AC y m Z A = 36°. 3D es la bisectriz del Z ABC que corta el lado AC en el punto D.

Demuestre que: BC = BD = DA

Triángulo equilátero es el triángulo que tiene sus tres lados congruentes.

El triángulo A ABC es equilátero.

* ¿Cuál es la relación entre las medidas del Z B y Z C?¿y entre Z A y Z B? ¿Por qué?

i Z B = m Z C porqueÁB = ÁC (1)

i Z A = m Z B porque CA = CB (2)

_-¡endo la congruencia de (1) y (2) se sabe que Z A = Z B = Z C.

1 ¿Cuáles son las medidas de los tres ángulos?

Domo Z A = Z B = Z C s e d a que:

m Z A + m Z B + m Z C = 180° entonces m Z A = m Z B = m Z C = 60°

Un triángulo equilátero es equiangular porque tiene sus tres ángulos congruentes.

A

lemuestre que un triángulo equiangular es equilátero.

q. Sección 2: Criterios de congruencia de triángulos rectángulos

Triángulo rectángulo es el triángulo que tiene un ángulo recto.La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y los catetos son los otros dos lados (que forman el ángulo recto).

Demuestre que en un triángulo rectángulo los ángulos que no son rectos son agudos.

Averigüe si los triángulos A ABC y A DEF son congruentes.

Compare con B (4) de la lección 2.

Demuestre que los triángulos A ABC y A DEF son congruentes auxiliándose del dibujo de la derecha.

m Z BCA + m Z ACE = 90° + 90°= 180°

Por lo tanto, los tres puntos B, C y E son colineales

En el triángulo A ABE como AB = AE entonces Z B 5 Z E . Como los A ABC y A DEF son rectángulos se tiene que Z BAC = Z EAC. Como la hipotenusa y los dos ángulos adyacentes son respectivamente congruentes entonces por el criterio ALA los triángulos son congruentes.

C = FLo anterior muestra que dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo son congruentes respectivamente. De la misma manera dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un cateto son congruentes respectivamente.

$

Criterios de congruencia de triángulos rectángulosDos triángulos rectángulos son congruentes si se satisface uno de los siguie- criterios:

1. La hipotenusa y un ángulo agudo son respectivamente congruentes.

2. La hipotenusa y un cateto son respectivamente congruentes.

Criterio 1 C rite ': -

\

Demuestre el criterio 2 de congruencia de triángulos rectángulos.

De los siguientes triángulos rectángulos ¿cuáles son congruentes?

(4)

3 cm

7 cm •

(2)

3 cm

(5)

3 cm

7 c m '

En el dibujo de la derecha,

ÁB =ÁC, B D l ÁC y C E lÁ B

Demuestre que: 1 .BD = CE2. ÁE =ÁD

Construya un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 7 cm y que tenga un

cateto que mida 4 cm. Utilice 2 de la sección 1 (lección 3).

0 Trazar una circunferencia de 3.5 cm de radio y de diámetro AB.

Trazar un arco con centro en A de 4 cm de radio que corte la circunferencia en C.

El dibujo de la derecha muestra otra manera de construir el triángulo rectángulo de E. Explique los pasos que se señalan en el dibujo.

b! Unir C con A y C con B.

0 Lección 4: Puntos notables del triángulo

Sección 1: Circuncentro

A1 Demuestre que los puntos en la mediatriz del segmento equidistan de sus extremo- |

En el dibujo, la recta DC es perpendicular al segmento AB en el punto medio C y el punto P está en la perpendicular.

Demuestre que los triángulos A PAC y A PBC son congruentes y concluya que PA = PB.

Demostración:

1. AC = BC ....................... ....Definición de punto medio2. PC = PC ....................... ....Congruencia de un mismo segmento3. Z ACP = Z BCP ...........Definición de pependicularidad4. A PAC = A PBC ...........Criterio de congruencia LAL (1-3)5. PA=PB ........................ ....Congruencia de triángulos6. P dista lo mismo de Ay B A

Demuestre que los puntos que equidistan de los extremos del segmento quedan en la mediatriz.

p

En el dibujo PA = PB y AM = BM Demuestre que A PAM y A PBM son congruentes y concluya que m Z PMA = m Z PMB = 90°.

Demostración:

1. PA = PB ............................................. ..... Hipótesis2. AM = BM ........................................... ..... Hipótesis3. MP = MP ........................................... ..... Medida de un mismo segmento4. A PAM - A PBM ........................... ..... Criterio de congruencia LLL (1 ~3)5. Z P M A -Z PMB ......................... ..... Congruencia de triángulos6. m Z PMA + m Z PMB = 180° ... ..... Definición de ángulos adyacentes7. m Z PMA = m Z PMB = 90° ..... De 5 y 68. PM 1 AB .......................................... ..... Definición de perpendicularidad9. M es el punto medio de AB ........ ..... Hipótesis (2)

10. PM es la mediatriz de AB ......... ..... Definición de mediatriz

La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidista de extremos.

5 Dibuje en su cuaderno un triángulo y construya las tres mediatrices de sus lados. Trace una circunferencia con centro en donde coinciden las tres mediatrices y que toque al triángulo en sus tres vértices.

Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se interceptan en un punto llamado circuncentro que equidista de los tres vértices.

Como el circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo, la circunferencia de centro en el circuncentro y de radio esa distancia (que equidista de los vértices) pasa por los tres vértices. Esta circunferencia está circunscrita al triángulo. El triángulo está inscrito en la circunferencia.

C Demuestre que el circuncentro equidista de los vértices.

^ En el dibujo las mediatrices de los lados AB y AC se cortan en un punto O.

1. OB = OA pues ON es la mediatriz de AB

2. OA = OC pues ÓM es la mediatriz de AC

5. O pertenece a la mediatriz de BC

Por tanto O que es el circuncentro equidista de los vértices A, B y C.

0 Sección 2: Incentro

Demuestre que los puntos en la bisectriz del ángulo distan lo mismo de los dos lados.

A;

En la bisectriz o £ del Z AOB se toma un punto P Ky se trazan perpendiculares a los dos lados OAyOB que pasan por P y que cortan a estos 0<\ —------\--------segmentos en K y L respectivamente. \

L"

Demuestre que PK = PL mostrando que A OPK = A OPL. b -

1. En el A OPK y A OPL,

Z POK = Z POL ...........................Hipótesis (Definición de bisectriz)

2. m Z PKO = m Z PLO = 90° ... Hipótesis

3. OP = OP ....................................... Congruencia de un mismo segmento

4. A OPK = A OPL ...........................Congruencia de triángulos rectángulos

5. PK = PL ....................................... ...Congruencia de triángulos

Demuestre que un punto que equidista de los dos lados del ángulo queda en la bisectriz.

Sugerencia: En el dibujo PK 1 OA,

P L lÓ B y PK = PL. K

Demuestre que Z POK = Z POL mostrando o - ) pque los A OPK y A OPL son congruentes.

L'

1. En los A OPK y A OPL se da que: b :

m Z PKO = m Z PLO = 90° .......... Hipótesis2. PK = PL .................................................. Hipótesis

3. PO = PO .............................................. Medida de un mismo segmento

4. A OPK = A OPL ............................... Congruencia de triángulos rectángulos

5. Z POK = Z POL ............................... Congruencia de triángulos

Como Z POK = Z POL, OP es la bisectriz del ángulo Z AOB.

La bisectriz de un ángulo es el conjunto de puntos que distan lo mismo de los dos lados.

Dibuje en el cuaderno un triángulo y construya las tres bisectrices de sus ángulos.

Las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo se encuentran en un punto llamado incentro que equidista de los tres lados.

Demuestre que el incentro equidista de los tres lados.

Sugerencia: En el dibujo, las bisectrices de los Z ABC y Z BCA se encuentran en el punto I.Del punto I se trazan perpendiculares a los tres lados ÁB, BC y CA cortándolos en los puntos P, Q y R respectivamente.

Demuestre que IP = IR = IQ.

1. IP = IQ ............................. Definición bisectriz (Bl)2. IQ = IR ............................ Definición bisectriz (Cl)3. IP = IR = IQ ................... De 1 y 2

Concluya que Al es una bisectriz del Z BAC.

1. I equidista de los lados AB y AC ........................... Por IP = IR2. Áí es una bisectriz del Z BAC ............................ Por 1

Como el incentro (punto I de la figura de la derecha) equidista de los tres lados del triángulo, la circunferencia de centro en el incentro y de radio esa distancia (que equidista de los lados) pasa por los puntos P, Q y R y no pasa por fuera del triángulo. Esta circunferencia está inscrita en B el triángulo. El triángulo está circunscrito en la circunferencia.

<3 Sección 3: Baricentro

Una mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el pun:: medio del lado opuesto.

Demuestre que una mediana divide al triángulo en dos partes cuyas áreas son iguales.

Según el dibujo de la derecha, demuestre que si el segmento AD divide al triángulo A ABC en dos partes con la misma área, el punto D es el B punto medio del segmento BC.

En el dibujo de la derecha el segmento AM es una mediana. Demuestre que los triángulos A ABD y A ACD tienen la misma área.

Un triángulo tiene tres medianas. Investiguemos la relación entre ellas.

G Dibuje en su cuaderno un triángulo y trace sus tres medianas.A

Las tres medianas se cortan en el punto G.

Las tres medianas del triángulo se cortan en un punto.

Ahora lo vamos a demostrar.

Demostración:

En el dibujo los segmentos BM y CN son medianas que se cortan en el punto G. Una los puntos Ay G y extienda este segmento hasta que corte a BC en L.Los triángulos A GCA y A GBC tienen la misma área porque CN es una mediana del A CAB (por í ! y <3 De la misma manera los triángulos A GAB y A GBC tienen la misma área.De estas dos igualdades se deduce que A GAB yA GCA tienen la misma área ___ bTrace las perpendiculares BK y CH a la recta AL.

El área de A GAB = y x AG x BK.

El área de A GCA = ^ x AG x CH.

Como las áreas son ¡guales BK = CH.

En los triángulos A BLK y A CLH se tiene que:BK = CH, m Z BLK = m Z CLH (ángulos opuestos por el vértice) y m Z LKB = m Z LHC = 90°.Por lo tanto el A BLK = A CLH y se da que BL = CL convirtiéndose L_en el punto medio de BC y entonces AL es una mediana.

De lo anterior se deduce que las tres medianas AL, BM y CN se cortan en G. Al punto G se le llama baricentro.

Baricentro es el punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo.

Si dibujas un triángulo en una hoja gruesa cartón o cartoncillo) y lo recortas,

puedes sostenerlo en equilibrio en el punto G. El baricentro es el centro de masao centro de gravedad de un triángulo.

4 Sección 4: Ortocentro

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va desde un vértice hasta el lado opuesto. Un triángulo tiene tres alturas.

Dibuje en el cuaderno un triángulo y construya sus tres alturas.

En un triángulo las tres perpendiculares de los vértices a los lados opuestos se encuentran en un punto llamado ortocentro.

x En un triángulo obtusángulo trace las tres alturas y encuentre el ortocentro.

5 En un triángulo trace el baricentro, circuncentro y ortocentro ¿qué observa?

Hipótesis: EB J_AC, Á F S C F

Demuestre que FD = FE.

Determine las medidas de los diversos ángulos.

Datos: ÁD = BD; C F 1 ÁB y m Z ABD = 70°.

En la figura las rectas AB y DC son paralelas.DA biseca el Z BDE y BC biseca el Z DBF.

Demuestre que:

1. Los triángulos A DAB y A BCD son congruentes.

2. ÁD II BC.

En la figura AC = BC. Demuestre que Z m = Z n.

En la figura P, Q y R son puntos medios de los lados del triángulo equilátero A ABC.

Demuestre que el triángulo A PQR es equilátero.

Demuestre que en todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo

externo opuesto a los ángulos congruentes es paralela al

ado desigual.

Si por un punto cualquiera de la bisectriz de

un ángulo se traza una paralela a uno de los

ados del ángulo, el triángulo así formado

es isósceles.

Demuestre que el triángulo es isósceles.

Las bisectrices de dos ángulos externos de un

triángulo cualquiera A ABC se encuentran en P.

Demuestre que la suma del ángulo P y la mitad

del ángulo A es igual a 90° (ángulo recto).

Evaluación

^ Según la información mostrada determine si los triángulos indicados son congruentes o no.

(2)

A ADCy A BDCA A BD y ACBD

c

á . Demuestre que en un triángulo la medida de un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no contiguos.

¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de 20 lados?

Si el triángulo A ABC es congruente con el triángulo A DEF, ¿cómo se corresponde' los vértices, los lados y los ángulos de ambos triángulos?

& ¿Será posible construir un único triángulo A ABC donde BC = 7 cm, AC = 6 cm y m Z ABC = 50o?

^ En & ¿qué sucede si AC = 5 cm?

En la figura DE = AB y m Z DEC = m Z BAC.

Demuestre queABIIDE.

A

En la figura los triángulos formados son congruentes.

Demuestre que AC II BD.


1. ( y Dos triángulos de áreas iguales son congruentes.

2. ( )í Dos triángulos congruentes tienen sus ángulos respectivos congruentes.

3. ( )) La correspondencia ángulo-lado-ángulo produce congruencia.

4 ( )) Dos triángulos isósceles cualesquiera son congruentes.

5. ( ) Un ángulo exterior de un triángulo puede medir 180°.

Escriba una oración empleando la frase o término dado a continuación.

1. Ángulos internos de un triángulo

2. Ángulos externos de un triángulo

3. Ángulos internos no contiguos

4. Triángulos congruentes

5. Criterios de congruencia de triángulos

6. Criterios de congruencia de triángulos rectángulos

7. Lado-lado-lado

8. LAL

9. Ángulo-lado-ángulo

10. Triángulo isósceles

11. Teorema

12. Puntos notables del triángulo

13. Circuncentro

14. Incentro

15. Baricentro

16. Ortocentro

17. Teorema en relación a un triángulo isósceles

Cuadriláteros

é Lección 1: Cuadriláteros

En cuarto grado aprendimos varios tipos de cuadriláteros y los clasificamos segú" el paralelismo de sus lados, las medidas de sus lados y las medidas de sus ángulos. En esta lección vamos hacer demostraciones de las características de les cuadriláteros aplicando lo que hemos aprendido en las lecciones anteriores.

9 Sección /.- Paralelogramos

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. B-

El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo porque AB II DC y AD II BC.

Acerca del paralelogramo ABCD demuestre lo siguiente:„D

( 1 ) A A B C = ACDA a

(2) AB = DC, B C = A D y Z B = Z D(3) A ABD = A CDB

^ (1 ) A a b c s A c d a

1. ÁD II BC y ÁB II DC ... Hipótesis B2. Z B C A = Z D A C .......... Ángulos alternos internos3. Z CAB = Z ACD .......... Ángulos alternos internos4. CA = AC ........................... Congruencia de un mismo segmento5. A ABC = A CDA .......... Por 2, 3 y 4 (criterio de congruencia ALA)

(2) AB = DC, B C = A D y Z B = Z D A

1. AB = DC ..................... Por demostración de (1)2. BC = AD .................... Por demostración de (1)3. Z B = Z D ...........

(3) A ABD = A CDB

1. ÁB II DC ...............2. Z ABD = Z CDB3. ZADB = ZCBD4. BD = DB .............5. A ABD = A CDB

Por demostración de (1)

HipótesisÁngulos alternos internos Ángulos alternos internos Congruencia de un mismo segmento Por 2, 3 y 4 (criterio de congruencia ALA)

Demuestre que las diagonales del paralelogramo se cortan en el punto medio.

1. Z ADO = Z CBO ......................AD II BC y son ángulos alternos internos

2. Z DAO = Z BCO ......................AD II BC y son ángulos alternos internos

3. ÁD = BC ........................................ De [A]

4. A OAD = A OCB ....................... Por 1, 2 y 3 (ALA)

5. OA = OC ...................................... Por 4 q q

6. OD = OB ...................................... Por 4 / t y. q

7. O es el punto medio de AC ... Por 5

8. O es el punto medio de DB ... Por 6 A^----------- V B

Un paralelogramo por ser un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos 1 tiene las siguientes características:

(1) Los lados opuestos son congruentes.(2) Los ángulos opuestos son congruentes.(3) Los diagonales se cortan en el punto medio.

L \ — —En el dibujo las diagonales AC y BD delparalelogramo ABCD se cortan en el punto O y el segmento PQ pasa por el punto O.

Demuestre que: PO = QO.

Demuestre que si se trazan las perpendiculares AE y CF desde los vértices A y C (respectivamente)

hasta la diagonal BD del paralelogramo ABCD entonces AE = CF y BE = DF.

D

En la figura el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo y BE y DF son bisectrices de Z ABC y Z CDA respectivamente.

Demuestre que BE II DF.

D

Sea E el punto medio del lado CD del

paralelogramo ABCD y sea F el punto donde se cortan las extensiones de BC y AE.

Demuestre que BC = CF.

Sección 2: Condiciones suficientes para ser paralelogramo

Demuestre que un cuadrilátero cuyos A_______(_________D

dos pares de lados opuestos son v 7 y

congruentes es un paralelogramo. / /

1. AB = CD ...................................... Por hipótesis ^

2. AD = BC ...................................... Por hipótesis ---- f-------q

3. BD = DB ...................................... Congruencia de un mismo segmento

4. A ABD = A CDB ........................ Por 1, 2 y 3 (criterio de congruencia LLL)

5. Z ABD = Z CDB ........................ Congruencia de triángulos

6. AB II DC .........................................Ángulos alternos internos y 5

7. Z CBD = Z ADB ......................... Congruencia de triángulos (4)

8. AD II BC ........................................ Ángulos alternos internos y 7

9. ABCD es un paralelogramo .. Por 6 y 8

Demuestre que un cuadrilátero cuyos dos pares de ángulos opuestos son congruentes es un paralelogramo.

1. m Z A + m Z B + m Z BCD + m Z D = 360°... Suma de los ángulosinternos del cuadrilátero

2. m Z A = m Z BCD y m Z B = m Z D .............. Por hipótesis3. 2 m Z B + 2 m Z BCD = 360° ............................ Por 1 y 24. m Z B + m Z BCD = 1-80° .....................................Dividiendo entre 25. m Z BCD + m Z DCE = 180° ............................. Ángulos adyacentes6. m Z B = m Z DCE .................................................. D e 4 y 57. AB II DC ...................................................................... Ángulos correspondientes y 68. 2 m Z BCD + 2 m Z D = 360° ........................... Por 1 y 29. m Z BCD + m Z D = 180° ................................. Dividiendo entre 2

10. m Z D + m Z ADF = 180° .................................... Ángulos adyacentes11. m Z BCD = m Z ADF ............................................. De 9 y 1012. BCIIÁD ...................................................................... Ánguloscorrespondientesy1113. ABCD es un paralelogramo ................................ Por 7 y 12

Demuestre que un cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en el punto medio es un paralelogramo.

Demuestre que un cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos y congruentes es un paralelogramo.

- -

Demuestre que si los ángulos consecutivos de un cuadrilátero son suplementarios entonces es un paralelogramo.

A D

B C

Condiciones suficientes para ser un paralelogramo

Un cuadrilátero es un paralelogramo si cumple una de las siguientes condiciones:

ü Dos pares de lados opuestos son paralelos (definición).

Dos pares de lados opuestos son congruentes.

@ Dos pares de ángulos opuestos son congruentes.

Q Los diagonales se cortan en el punto medio.

E§ Dos lados opuestos son paralelos y congruentes.

@ Los ángulos consecutivos son suplementarios.

que se cumple una de las siguientes condiciones:

Se toman dos puntos E y F en los lados AD y BC respectivamente de un paralelogramo ABCD de modo

A ,_____E D

Demuestre que en cada caso, el cuadrilátero EBFD es un paralelogramo.

A DEn el dibujo, los cuadriláteros ABCD y BEFC son paralelogramos. Demuestre que el cuadrilátero AEFD también lo es.

En el dibujo los puntos E y F están en la diagonal BD del paralelogramo ABCD y distan lo mismo de los vértices B y D respectivamente.

Demuestre que el cuadrilátero AECF es un paralelogramo.

Se toman 4 puntos E, F, G y H en los cuatro lados ÁB, BC, CD y DÁ del paralelogramo ABCD respectivamente, de modo que AE = CG y BF = DH.

Demuestre que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.

* 2 ¿Qué tipo de cuadrilátero se forma con las4 bisectrices de los 4 ángulos de unparalelogramo? Demuéstrelo. / / ' y

B

En un triángulo A ABC, sean D y E los puntos medios de los lados AB y AC

respectivamente.

Demuestre que DE II BC y DE = y BC

siguiendo la estrategia presentada a

continuación.

1 En la extensión de DE, se toma un punto F de modo que DE = EF. Demuestre que el cuadrilátero ADCF es un paralelogramo.

D

/ 1. AE = EC .................................................... Hipótesis

2. DE = EF .................................................... Hipótesis

3. E es un punto medio de AC y DF ... Por 1 y 2

4. ADCF es paralelogramo .................... Por 3 y la condición de suficiencia B

2 Demuestre que el cuadrilátero DBCF es un paralelogramo.

1. AD = FC ....................................... ADCF es paralelogramo

2. AD = DB ...................................... ...Hipótesis3. DB = FC ...................................... ... Igualando 1 y 24. DB II FC ....................................... ...Por la demostración anterior [E1]5. DBCF es un paralelogramo .... Por 3,4 y condición de suficiencia U

3 Deduzca que DE II BC y DE = - j BC

1. DE II BC ................................... DBCF es paralelogramo [E2]

2. DF = 2DE .................. .............. E es punto medio de DF

3. DF = BC .................... .............. DBCF es paralelogramo

4. 2DE = BC ..................DE = ^-BC ...............

............... Igualando 2 y 3

5. ............... Dividiendo entre 2

13 Demuestre que el cuadrilátero que se obtiene

uniendo los puntos medios de cada lado de

cualquier cuadrilátero es un paralelogramo.

En el dibujo AB = DC y los puntos E y F son los puntos medios de los lados AD y BC respectivamente. El punto G es el punto medio de la diagonal AC.

¿Qué tipo de triángulo es el A EFG?Demuéstrelo.

Sugerencia: Utilice los puntos medios de ÁB y DC.

D

C

y Sección 3: Rectángulos, rombos y cuadrados

Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos congruentes. Un rombo es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados congruentes.Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene congruentes sus cuatro ángulos y sus cuatro lados.

•>

Como la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360° los ángulos de los rectángulos y los cuadrados miden 90°.

De estas definiciones se deduce lo siguiente:

Los rectángulos, rombos y cuadrados son paralelogramos.

Demuestre que los rectángulos, rombos y cuadrados son paralelogramos.

Paralelogramos

La relación entre estos cuadriláteros se muestra en el dibujo de la derecha. Un cuadrado es un rectángulo y al mismo tiempo es un rombo.

Rectángulos C u a drados

Rom bos

teamos otras características específicas de los rectángulos, rombos y cuadrados.

¿Qué se puede decir de las diagonales del rectángulo? Demuéstrelo.

/ Las dos diagonales del rectángulo son congruentes.

D

Demostración:

1. El cuadrilátero ABCD es un rectángulo ... Hipótesis

2. AB = DC ............................................................. Por lo demostrado en1

3. DÁ = AD ................................................... Congruencia de un mismo segmento

4. m Z DAB = m Z ADC = 90° .............. Medida de un ángulo del rectángulo

5. A ABD = A DCA .................................. Criterio de congruencia LAL (2-4)

6. ÁC = DB ................................................... Congruencia de triángulos ^

Demuestre que un cuadrilátero cuyas diagonales son congruentes y se cortan er el punto medio es un rectángulo.

Demuestre que las diagonales del rombo son perpendiculares.

Demuestre que el cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares y se corta' en el punto medio es un rombo.

Las diagonales de los:

rectángulos son congruentes y se cortan en el punto medio, rombos son perpendiculares y se cortan en el punto medio, cuadrados son congruentes y perpendiculares y se cortan en el punto mecc

Inversamente un cuadrilátero que satisface una de estas condiciones es un rectángulo, rombo o cuadrado respectivamente.

Sección 4: Trapecios

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos.Se les llama bases a los lados paralelos.

Un trapecio isósceles es el trapecio cuyos lados no paralelos son congruentes.

Demuestre que los ángulos adyacentes a una base del trapecio isósceles son congruentes.

Utilice la siguiente estrategia:

1 Se supone que la base BC mide más que la base AD.Se traza un segmento AE paralelo al lado DC desde A hasta la base BC. Demuestre que el A ABE es isósceles y deduzca que Z ABE = Z AEB.

2 Demuestre que Z AEB = Z DCE.

3 Concluya que Z B = Z C.

4 Deduzca que Z BAD = ZD.

1. AB = DC .......................................................................... Hipótesis2. En el cuadrilátero AECD, AD II EC y AE II DC ... ABCD es un trapecio y

por construcción3. AECD es un paralelogramo........................................ Por 24. D C sÁ É ............................................................................ Por35. AB=AE ............................................................................ Igualando 4 y 16. A ABE es isósceles ..................................................... Por 57. Z A B E s Z A E B .............................................................. Por6

1. DC II AE ........................................... Por construcción2. Z AEB = Z DCE ............................ Por ángulos correspondientes y 1

1. Z B = Z AEB ................................ De [1]2. ZA EB = Z C ................................ De [2]3. Z B = Z C ........................................ Igualando 1 y 2

1. AD II BC ........................................... Hipótesis2. Z B = Z FAD ................................. Por 1 y ángulos correspondientes3. m Z BAD + m Z B = m Z BAD + m Z FAD = 180° ............. Por 1, 2 y ( f

4. m Z D + m Z C = 180° .............. Análogo a 35. m Z D = 180o- m Z C .................. Despejando en 46. m Z BAD = 180° - m Z B .......... Por 3

= 180° - m Z C .........Pues Z B S Z C [ 3 ]= m Z D ....................... Por 5

7. Z BAD = Z D ................................. Por 6 .

Demuestre que si los ángulos adyacentes a una base de un trapecio son congruentes entonces el trapecio es isósceles.

¿Cuántos cuadriláteros identifica en la figura de la derecha?

¿Cuáles de los siguientes cuadriláteros pueden ser paralelogramos?

(1) (2) (3) (4)

Encuentre si es posible las medidas de los ángulos según la información dada.

— — — — E D(1) AC II ED, BE = CD

m Z ABE = 80° y m Z BCE = 35°

(2) El trapecio ABCD es isósceles.

EG IIÁB, m Z FAD = 120° y el Z ACB es recto.

B

Demuestre que si en un cuadrilátero las diagonales son perpendiculares, congruentes y se cortan en el punto medio entonces éste es un cuadrado.

B

fea Emplee lo visto sobre ecuaciones lineales para encontrar la medida de los ángulos de los siguientes paralelogramos.

^ ABCD es un paralelogramo con las

medidas AB = 7x - 31, CD = 3x + 1,

AC = 2x - 6 y BD = x + 2.

Demuestre que ABCD es un rectángulo.

f g Las dos figuras son rectángulos traslapados.

Encuentre la suma de los ángulos señalados.

ABCD es un cuadrado y los lados

señalados son congruentes.

Demuestre que EFGH también es un cuadrado

Q Construya un rombo cuyas diagonales A ----------------------------Bsean congruentes a los segmentos

AByAC .


1 .

2 .

3.4.

5.

6 .7.

8 .

9.

\10.

) En un paralelogramo dos lados consecutivos son siempre paralelos.)> Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan en el punto medio

entonces el cuadrilátero es un rombo. En un paralelogramo las bisectrices de ángulos opuestos son paralelas. En un paralelogramo las bisectrices de ángulos consecutivos son perpendiculares.

Si la diagonal de un cuadrilátero forma dos triángulos congruentes

entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Todo paralelogramo tiene los ángulos consecutivos congruentes.En un trapecio todos los ángulos interiores son congruentes.

)l Si un cuadrilátero tiene un ángulo recto entonces es un rectángulo.Si las diagonales de un cuadrilátero son congruentes entonces

)¡ el cuadrilátero es un rectángulo.Las mediatrices de dos lados consecutivos de un rombo son perpendicula-

Encuentre todas las parejas de segmentos

congruentes que hay en el rectángulo ABCD y sus diagonales.

Encuentre las medidas de

todos los ángulos en el trapecio

ABCD según la información mostrada.

En el hexágono regular los tres

segmentos que parten del centro bisecan los ángulos Z A, Z C y Z E.

Demuestre que los cuadriláteros AOCB, AOEF y COED son rombos.

D

1. Las bisectrices de ángulos opuestos de un paralelogramo

2. Las diagonales de un paralelogramo

3. Los lados opuestos de un paralelogramo

4. Los ángulos opuestos de un paralelogramo

5. Los ángulos consecutivos de un paralelogramo

6. Las 4 bisectrices de los ángulos de un paralelogramo

7. Los 4 ángulos de un rectángulo

8. Los 4 lados de un rombo

9. Los 4 ángulos de un cuadrado

10. Los 4 lados de un cuadrado

11. El rectángulo, el rombo y el cuadrado

12. Las diagonales de un rectángulo

13. Las diagonales de un rombo

14. Las diagonales de un cuadrado

15. Los ángulos adyacentes a la base de un trapecio isósceles

Escriba la relación que hay entre:

Demuestre que las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes.

> Semejanza de triángulos

2 Lección 1: Semejanza de triángulos

% Sección 1: Figuras semejantes

A La figura dada en la cuadrícula tiene su tamaño original.

- ¥ ' V -

■

(1) Redúzcala a la mitad.

(2) Amplíela al doble.

(3) ¿Qué se conserva en las tres figuras? ¿Qué cambió en ellas?

(3) En las tres figuras se conserva la forma y lo que cambió fue el tamaño.

Las tres figuras anteriores conservan la misma forma aunque sus tamaños son distintos

Las figuras que tienen la misma forma son figuras semejantes.

El proceso anterior de ampliar la figura (al doble) o de reducirla (a la mitad) es muy fácil si utilizamos una fotocopiadora. Con una fotocopiadora se pueden ampliar o reducir las figuras al tamaño deseado utilizando los por cientos.

Una figura en su tamaño original está al 100%. Si se amplía, su tamaño es mayor que 100%. En el caso anterior como se amplió al doble, significa que su tamaño está al 200%. Cuando se reduce, su tamaño es menor que 100%. Para el caso en mención al reducir la figura a la mitad, ésta se redujo al 50%.

Las figuras ampliadas o reducidas son semejantes a la original. Las figuras semejantes conservan la forma aunque no necesariamente el tamaño.

División Política

El Salvador

Océano Pacifico A ~ \

% Sección 2: Triángulos semejantes

B Comparemos la forma de los siguientes triángulos.

G/

A Df \

/ ©/ < ( i )

B C E F H I

(1) Ordene de mayor a menor los lados de cada triángulo.

\ f © B C , CÁ.ÁB © E F .F D , DE © H¡, ¡G, GH

(2) ¿Cuáles son las razones de las medidas del lado más largo de © a © ? ¿y © a ® ?

7 BC:EF = 3:4 BC:HI = 3:6 = 1:2

(3) ¿Cuáles son las razones de las medidas del lado más corto de © a © ? ¿ y © a © ?

/ AB:DE = 1:1 AB:GH = 1:2

(4) ¿Cómo son las razones entre © y © ? ¿y entre © y © ?

Entre © y © son diferentes, mientras que entre © y © son iguales.

Además entre © y © la razón CA:IG = 1:2, o sea que entre © y © las razones de los lados correspondientes son iguales. Asimismo se da queZ A = Z G , Z B s Z H y Z C = Z l .

Por todo lo anterior podemos decir que los triángulos © y © tienen la misma forma. A estos triángulos quetienenla misma forma se les llama triángulos semejantes. Los triángulos © y © son triángulos semejantes.

Dos triángulos son semejantes cuando:

1. Las tres razones de los lados correspondientes son iguales y2. los ángulos correspondientes son respectivamente

congruentes.

Cuando dos triángulos A ABC y A DEF son semejantes y los vértices A, B y C se corresponden con los vértices D, E y F respectivamente, se escribe como A ABC ~ A DEF y se lee “El triángulo A ABC es semejante al triángulo A DEF”.

D

& Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma.

1 EjemploD

H

En la figura de arriba el A ABC ~ A DEF.Si se le da media vuelta (Giro de 180°) al A DEF se obtiene el A GHI y de esta forma el A ABC ~ A GHI.El triángulo A DEF = A GHI y al mismo tiempo el A DEF ~ A GHI.La congruencia de triángulos es un caso especial de la semejanza de triángulos.

La razón de los lados correspondiente es:AB:DE = BC:EF = CA:FD = 4:6 = 2:3

Los ángulos correspondientes son congruentes, es decir: m Z F = m Z I = m Z C = 70°.

En la figura, el A ABC ~ A DEF. Encuentre la medida del lado EF.

y AB:DE = BC:EF si el lado EF mide x cm se tiene:

D3:5 = 4\x \

4 5cm 'A / 3 cm

_ 5 x 4* 3

_ 20* 3

x ' 6 3

3 cm'

B c--4 cm

Encuentre la medida del lado AC.

d Sección 3: Criterios de semejanza de triángulos D

Sea A ABC un triángulo. Construya un triángulo A DEF de modo que el A A B C - A D E F y q u e BC:EF = 1:2.

Los lados correspondientes del triángulo A DEF miden el doble de los lados del triángulo A ABC y los ángulos correspondientes de ambos triángulos son congruentes.

Para construir un segmento que mide el doble de BC se hace lo^ siguiente:

(1) Trazar un segmento.----------------------------------

(2) Usando el compás con una abertura igual a BC trazar un arco con centro en el punto P del segmento que lo corte en el punto Q.

P :Q

PQ = BC

(3) Con centro en el punto Q y la misma abertura trazar un arco que corte al segmento_en un punto R distinto a P. El segmento PR mide el doble de BC.

P :Q ;R

Encontrando los tres segmentos pedidos se procede a trazar el triángulo.

En este caso están dados todos los datos (la medida de los lados y la medida de los ángulos) para trazar el A DEF, pero en realidad no se necesitan todos.Según el criterio de congruencia basta uno de los siguientes conjuntos de datos pa*- que dos triángulos sean congruentes (y puedan trazarse):

(1) Las medidas de los tres lados.

(2) Las medidas de_dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.Ejemplo: DE; EF y Z E.

(3) La medida_de un lado y los dos ángulos adyacentes a éste. Ejemplo: EF, Z E y Z F.

De lo visto anteriormente sabemos que, sin tomar en cuenta el tamaño, los triángulos A ABC y A DEF son semejantes cuando se cumple una de las condiciones siguientes:

(1) AB:DE = BC:EF = CA:FD

(2) AB:DE = BC:EF y Z B = Z E

(3) Z B s Z E y Z C s Z F

E Dos segmentos se cortan en un punto como Demuestre lo siguiente:(1) A CAB ~ A CED

(2)ÁB II DE

\ / ( 1 ) A1. CA:CE = 3:6 = 1 :2 ...................Cálculo2. CB:CD = 4:8 = 1 :2 ........... Cálculo3.4.

5.

(2) AB II DE1 , / A s Z E Semejanza A CAB y A CED2...AB II D E ......................................Por 1 y ángulos alternos internos

CAB ~ A CED CA:CE = 3:6 = 1:2

CB:CD = 4:8 = 1:2 CA:CE = CB:CD .. Z A C B s Z E C D . . A C A B - A CED ..

Por 1 y 2 Ángulos opuestos por el vértice

. Por 3 y 4 (criterio de semejanza [2])

3 En cada uno de los siguientes dibujos indique los triángulos semejantes y el criterio de semejanza utilizado.

(1) (2) J (3) ,

En el A ABC, BD y CE son alturas sobre AC y AB respectivamente. Demuestre que BD:CE = AB:AC.

1. m Z BOA = m Z CEA = 90°........ Definición de altura2. m Z DAB = m Z E A C ................... Es un mismo ángulo3. A ABD ~ A A C E ............................. Por 1 y 2 (criterio de

semejanza [3])4. BD:CE = A B :A C ............................. Por semejanza

¿ En la figura AB s AC y BC s BD. Demuestre que A ABC ~ A BDC.

En la figura A ABC ~ A DEF y los puntos K y L son los puntos medios de los lados BC y EF respectivamente. Demuestre que A ABK ~ A DEL.

D

| G En la figura AB II DE, BC II EF y CAII FD. Demuestre que A ABC ~ A DEF.

Demostración:

En la figura de la derecha los rayos_AG y DH son extensiones de los lados BA y FD respectivamente y se cortan en un punto I.De la_misma manera, los rayos __ __CJ y EK son extensiones de los lados BC y DE respectivamente y se cortan en el punto L.

1. AB II DE y C A I I F D ......... ........ Hipótesis2. GB II D E ................................. ........ Por 1 y las extensiones3. CAII F H .................................. .........Por 1 y las extensiones4. Z BAC - Z B IF .................... ....... Por 3 (ángulos correspondientes)5. Z BIF - Z E D F .................... ...... Por 2 (ángulos correspondientes)6. Z BAC - Z E D F .................. ........ lgualando4y57. ÁB II DÉ y BC II E F ........... ...... Por hipótesis8. B T l I E F .................................. ........ Por 7 y extensiones9. ÁB II D K ............................... ........ Por 7 y extensiones

10. Z ABC - Z D L J ................... ........ Por 9 (ángulos correspondientes)11. Z DLJ - Z D E F ................... ........ Por 8 (ángulos correspondientes)12. Z A B C ^ Z D E F .................. ........ Igualando 10 y 1113. A A B C - A D E F ................ ......... Por 6 y 12 (criterio de semejanza [3])

,'V '>E

En los_triángulos A A B C y A DEF, A B l D E , B C l E F y C A l F D , Demuestre que A ABC ~ A DEF.

9 Sección 4: Rectas paralelas y proporción

H En el dibujo BC II DE.Demuestre que AB:AD = AC:AE = BC:DE.

Demostración:

1. BC II D E ........................................ Hipótesis2. Z ABC = Z A D E ........................ Por 1 (ángulos

correspondientes)3. Z ACB = Z A E D ........................ Por 1 (ángulos

correspondientes)4. A ABC ~ A A D E ........................ Por 2 y 3 (criterio de semejanza \3\)5. AB:AD = AC:AE = B C :D E ...... Por semejanza

En el dibujo BC II DE.Encuentre las medidas de DE y AC.

En el dibujo BC II DE y DF IIAC Demuestre lo siguiente:(1) A A D E - A DBF(2) AD:DB = AE:EC

y f ( 1 )A A D E ~ A D B F1. BC II D E .................................................................Hipótesis

2. DF IIÁ C ..................................................................Hipótesis3. Z ADE = Z A B C ..................................................Por 1 (ángulos correspondientes)4. Z EAD 5 Z FD B ..................................................Por 2 (ángulos correspondientes)5. A ADE ~ A D B F ...................................................Por 3 y 4 (criterio de semejanza \3\)

(2) AD:DB = AE:EC1. El cuadrilátero DFCE es paralelogramo ... Por 1 y 2 de la demostración (1)

2. DF = É C ................................................................. Por 13. DF = E C .................................................................Definición de congruencia4. AD:DB = A E :D F ...................................................Semejanza de triángulos

demostración (1)

5. AD:DB = A E :E C ...................................................Sustituyendo 3 en 4

En el dibujo DE II BC. __Encuentre la medida de EC.

8 En [H], demuestre que AB:DB = AC:EC.

Las relaciones de los problemas [H]_e [I] son válidas aún cuando los puntos D y E estén en las extensiones de AB y AC respectivamente.Demuestre que: 1. AB:AD = AC:AE en los casos (1) y (2).

2. AD:DB = AE:EC en los casos (1) y (2).En (2) utilice el último de la derecha.

E ,--------- ,D E .--------- „D

J En la figura AB:AD = AC:AE. Demuestre que BC II DE. ADemostración:

1. AB:AD = A C :A E .............Hipótesis2. Z EAD = Z C A B ........... Es el mismo ángulo3. A ABC ~ A A D E ........... Por 1 y 2 (criterio de semejanza [2j)4. ZABC_= Z ADE............. Por semejanza5. BC II D E ........................... Por 4 (ángulos

correspondientes) B

Hay otra forma de demostrarlo.Se traza un segmento DF paralelo a BC desde el punto D hasta el lado AC.Del problema H se sabe que AB:AD = AC:AF. Como la hipótesis dice que AB:AD = AC:AE, se obtiene que AC:AF = AC:AE, de lo cual se deduce que AF = AEJo

que implica que F = E, por tanto DE II BC.

En el dibujo AD:DB = AE:EC.Demuestre que BC II DE siguiendo la estrategia presentada a continuación.

(1) Trazar un segmento CF paralelo a BA desde el puntoC hasta la extensión de DE y demostrar que A

A EAD ~ A ECF.

(2) Deducir que AD:CF = AD:DB del inciso (1) y de la hipótesis.

(3) Deducir que CF = DB del inciso (2).

(4) Deducir que el cuadrilátero_DBCF es un paralelogramo y que DE II BC.

F

Hay otras dos maneras de resolver ¡1 AD AEManera I. De la hipótesis tomando las recíprocasUd tU

Manera

se obtiene

se obtiene

DB _ EC AD AE DB+AD

Sumando 1 en ambos lados

EC+AE . .es decir,AD AEAR A r^ ^ o sea que AB:AD = AC:AE.Del problema [J] se concluye que BC II DE.

Se traza un segmento DG paralelo_a_BC desde el punto D hasta el lado AC y se aplica la misma técnica que en [J],

En el A ABC sean D y E puntos en los lados AB y AC respectivamente._ _ A

1. Si BC II DE, entonces tenemos que:AB:AD = AC:AE = BC:DE.También AD:DB = AE:EC.

2. Si AB:AD = AC:AE entonces BC II DE.Si AD:DB = AE:EC entonces BC II DE.

Relación entre triángulo y proporción

12 (1) En la figura AD = DB yAE = EC.

Demuestre:

a) DE II BC.

b) DE = j BC.

(Compare con [E] de la unidad 5).

(2) En la figura AD = 2DB y AE = 2EC.

Demuestre que:a) DE II BC.b) DE = - | BC.

13 En el dibujo ÁD II BC, EF II BC y ÁE = EB Halle la medida del segmento EF.

^ — 5 cm

14

9 cm

En la figura, la bisectriz del ángulo Z A del A ABC corta el lado BC en el punto D y la recta paralela al segmento AD que pasa por C corta la extensión del lado AB en el punto E.

Demuestre:1. AC = AE.2. AB:AC = BD:DC.

K En la figura, las tres rectas p , q y r son paralelas.Demuestre lo siguiente:

(1) AB:BC = AG:GF; GF:AG = EF:DE

(2) AB:BC = DE:EF

^ ( 1 ) AB:BC = AG:GF; GF:AG = EF:DE

En el triángulo A ACF

1. BG II C F ...............................Hipótesis

2. AB:BC = A G :G F ................Por 1 y relación entre triángulo y proporción

En el triángulo A FDA

3. AD II G E ...............................Hipótesis

4. GF:AG = E F :D E ................Por 3 y relación entre triángulo y proporción

(2) AB:BC = DE:EF

1. AD II G E ...............................Hipótesis

2. GF:AG = E F :D E ................Por relación entre el triángulo y proporción (A FAD)

3. AG:GF = D E :E F .................Razones inversas de 2

4. AB:BC = D E :E F .................Igualando 2 (de la demostración 1) y 3

R elac ión en tre p ara le las y p ro p o rc ió n

Si p II q II r se da que AB:BC = DE:EF.

15 Demuestre [K (2)] utilizando una recta n paralela a la recta m que pasa por el punto A.

En cada una de las figuras de abajo las recta p, q y r son paralelas. Encuentre el valor x.

rDAC = 12 cm BD = 15 cm

Divida el segmento AB en tres partes iguales usando sólo compás y regla. Haga la demostración.

0 Trazar el rayo AC. 0 En el rayo AC marcar ® Unir F con B.con el compás tres __ Trazar líneas paralelassegmentos AD, DE y EF a FB que pasen por con la misma longitud. D_y E y que corten a

AB en G y H respectivamente.

Demostración:

1. DG II ÉH y EH II F B ......... ..........Por construcción

2. AD = DE = E F .................... .......... Por construcción

3. AD:DE = DE:EF = 1 ......... ..........Por 2

4. AG:GH = AD :D E................ ..........Relación entre triángulo y proporción

5. AG:GH = 1 ........................... .......... Igualando 3 y 4

6. GH:HB = D E :E F ................ .......... Relación entre rectas paralelas y proporción

7. GH:HB = 1 ........................... .......... Igualando 3 y 6

8. AG = G H .............................. .......... Por 5

9. GH = H B ............................... .......... Por 7

10. AG = GH = H B ................... ..........Por 8 y 9

Trace un segmento AB y construya un punto C en AB de modo que AC:CB = 2:3.

En laflgurajossegmentos AB, PQ y DC sonparajelos. Las medidas de AB y DC son 5 cm y 8 cm respectivamente. Encuentre la medida del segmento PQ.

D

Demuestre lo siguiente:

1. El cuadrilátero IJKL es un paralelogramo.

2. JLI I BC.

19 En la figura, el cuadrilátero ABCD es unparalelogramo. AE = EF = FD y BG = GH = HC.

D

En el dibujo l II m.

Demuestre que AC:CE = BD:DF

> m

21 En el dibujo AD IIJ3C, AE = EB y DF = FC. Encuentre la longitud de los segmentos EF y GH.

2. Si BC y AH se cortan en un punto J, demuestre que J es el punto medio del lado BC.

Se puede demostrar que las tres medianas se cortan en un punto (unidad 4, lección 4, sección con la siguiente estrategia.

En la figura dos medianas se cortan en un punto G.Unir los puntos A y G y extender el segmento hasta el punto H de modo que AG s GH.

1. Demuestre que el cuadrilátero GBHC es unH

paralelogramo.

9 Sección 5: Aplicación de la semejanza de triángulos

M Se quiere medir la altura de una torre, pero es imposible hacerlo directamente. Para ello a la misma hora se midió la sombra que proyecta sobre el suelo un poste de 2 m de altura y la sombra que proyecta la torre. La sombra del poste mide 8 m y la de la torre mide 64 m. ¿Cuánto mide la altura de la torre?

Trazando dos triángulos que ilustren la situación tenemos:

xm

Ambos triángulos son semejantes pues dos de sus ángulos son congruentes (Criterio de semejanza \z\).

Si los triángulos son semejantes entonces las proporciones de los lados correspondientes son iguales, por tanto: „

2\x = 8:642x64

x - 8jc = 16

R: La altura de la torre mide 16 metros.

2^Re

suelva los siguientes problemas.

(1) Una mujer de 6 pies proyecta una sombra de 10 pies. ¿Cuál es la medida de la sombra de un poste de 20 pies?

(2)

(3) Para medir la parte más larga de un lago un ingeniero marcó los puntos A, B, CJD y E como lo muestra el dibujo. Los segmentos AB y CD son paralelos. ¿Cuántos kilómetros mide la parte más larga del lago?

Los ángulos que forma un rayo de luz al refractarse en un espejo plano son congruentes. Si un hombre de 1.8 metros mira la parte más alta de un edificio en un espejo que está a 2 metros de él y a 16.67 m de la base del edificio. Encuentre la altura del edificio.

(4) En un mapa, un parque triangular mide 5, 6 y 7 cm. Al ingeniero sólo le falta trazar en el terreno el lado más largo. ¿Cuánto mide éste si los otros dos lados miden 18 y 21.6 metros?

(5) Un niño está a 12 metros de un barco y a 1 metro de la cerca. La cerca le sobrepasa 1 metro y mira que la parte más alta de ella I está en línea con la parte más alta de la v proa del barco. ¿Cuál es la altura M de la proa del barco? ' « P i

Determine si la recta / es paralela a un lado del triángulo.

Determine la medida que falta suponiendo que la recta / es paralela a uno de los lados del triángulo.

3 cm i cm xcm

12 cm 10 cm 12 cm

cm*

Dos de las alturas del triángulo A ABC se interceptan en O. Demuestre que:

(1 )AAD O ~ ACEO .(2) A ABE ~ A CBD.

Determine qué parejas de triángulos son semejantes.

En la figura el A BCD ~ A DEA, m Z DBC = 70° y m Z EDC = 80°. Encuentre las medidas de los ángulos que faltan.

Divida el segmento AB en siete

segmentos de la misma medida.

En el A ABC de la derecha los segmentos DG y EF son las mediatrices de los lados CB y AB respectivamente.Demuestre que los triángulos A EBF y

A GBD son semejantes.

En la figura ubique los puntos A y B de modo que el segmento AB mida 4 cm. Use compás y una regla no graduada.

12 cm

B

50/

Construya un triángulo rectángulo A DEF semejante al triángulo A ABC cuyo lado FE mida 5 cm.¿Cuánto mide DE?

7 cm

5 cm

¿Cuál es la distancia x al velero?

175 cm

1. ( Si los lados de un triángulo son el doble de los lados de otro triánguloentonces son semejantes,

2. ( )> Las medidas 3, 8 y 9 corresponden a los lados de un triángulo.Si las medidas de otro triángulo son 6,16 y 15 entonces los triángulos son semejantes.

3. (( )| Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulosde otro triángulo entonces éstos son semejantes.

4. (( )) Si una recta corta dos lados de un triángulo en formaproporcional entonces es paralela.

5. ([ )) Si dos lados de un triángulo son la mitad de dos lados de otrotriángulo y los ángulos que forman son congruentes entonces son semejantes.

¿Cuál es la relación entre los siguientes términos?

1. Triángulos semejantes y razones.

2. Triángulos semejantes y ángulos correspondientes.

3. Triángulos semejantes y su forma.

4. Criterios de semejanza y razones.

5. Criterios de semejanza y ángulos correspondientes.

6. Rectas paralelas y semejanza de triángulos.

7. Triángulo y proporción.

8. Rectas paralelas y proporción.


C

Si D, E y F son los puntos medios de los lados del triángulo A ABC. Demuestre que A ABC ~ A EDF.

EEn la figura los triángulos A FDE y AABEson semejantes y además AF s FE.Demuestre que AB = 2FD.

Teorema de Pitágoras

Lección 1: Teorema de Pitágoras

En Egipto construyeron muchas pirámides hace más de 4000 años. Para construirlas necesitaban trazar ángulos rectos y utilizaban cuerdas con nudos con intervalos iguales.

Vamos a investigar por qué podían trazar ángulos rectos de esa manera.

4 Sección 1: Teorema de Pitágoras

A El dibujo muestra azulejos en un corredor. Fijándose en la parte coloreada encuentre la relación entre los tres cuadrados.

Cada uno de los dos cuadrados contiguos a los catetos del triángulo rectángulo lo forman2 triángulos rectángulos isósceles.El cuadrado grande contiguo a la hipotenusalo forman 4 triángulos rectángulos isósceles.

En un triángulo rectángulo isósceles la suma de las dos áreas de los cuadrados contiguos a los catetos es igual al área del cuadrado contiguo a la hipotenusa.

1 En el dibujo de la derecha averigüe la relación de las áreas entre los tres cuadrados.

En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

2 , .2 _ 2 a + b = c

Teorema de Pitágoras

Demostración del teorema de Pitágoras:

Se traza una altura CD desde el vértice C hasta el lado AB.

1. Z BCA = Z BDC ................................. Ángulos rectos2. Z ABC = Z CBD ...................................Es un mismo ángulo3. A A B C - A CBD .................................. Por 1 y 2 (criterio de semejanza BJ)4. BC:AB = BD:BC ....................................Por 35. (BC)2 = AB-BD ............. Por 4 y propiedad fundamental de las proporciones6. Z B C A = Z C D A .................................. Ángulos rectos7. Z CAB = Z CAD .................................. Es un mismo ángulo8. A ABC - A ACD .................................. Por 6 y 7 (criterio de semejanza @)9. CA:AB = DA:CA ....................................Por 8

10. (CA)2 = AB DA .............. Por 9 y propiedad fundamental de las proporciones11. (BC)2 + (CA)2 = AB BD + ABDA .... Sumando 5 y 1012. (BC)2 + (CA)2 = (AB)2 ..........................Simplificando 11 y que AB = BD + DA13. a2 + b2 = (? ............................................... De 12

7 Si se colocan 4 copias del triángulo rectángulo como en el dibujo de la derecha, los cuadriláteros CDFH y ABEG son cuadrados.Representando el área del último cuadrado en las dos formas siguientes, demuestre el teorema de Pitágoras.

(1) (El área del cuadrado ABEG) = (El área del cuadrado CDFH) - (El área de los4 triángulos)

(2) (El área del cuadrado ABEG) = (lado)2

B I Encuentre el valor de x e y.

(1) 3 cm

5 cm

Del teorema de Pitágoras tenemos que:

(1) 52 + 32 = x 25 + 9 = x2

34 - x x - 34x - V34 pues x > 0

R: x = V34 cm

3 Encuentre el valor de x en cada dibujo,

(1) (2 )

3 cm

(2) / + 52 = 72 / + 25 = 49

y2 = 49 - 25 y - 24y = ^ 4 pues y > 0 y = 2V6

cm

4 cm

(3)

5 Encuentre las medidas de PB, PC, PD, PE, P Fy P G .

4 Encuentre el valor de x.

xcm

En la primera página de esta lección aparece el dibujo de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5. Estos números satisfacen la conclusión del teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52, y el ángulo comprendido entre los lados que miden3 y 4 es un ángulo recto. Veamos si se puede decir esto mismo en general.

Recíproco del teorema de Pitágoras

Si en el A ABC se da que BC = a, CA = b, AB = c y a2 + b2 = c2 entonces m Z C = 90°.

Demostración del recíproco del teorema de Pitágoras:

Sea A DEF un triángulo cuyos dos lados EF y DF miden a y b respectivamente y el ángulo Z F comprendido entre ellos mide 90°.

Sea x la medida del lado DE, entonces:

1. a2 + b2 = x2 ................... Teorema de Pitágoras2. a2 + b2 = c2 ................... Por hipótesis3.x2 = c2 (x> 0, c > 0) .... Igualando 1 y 24..x = c ................................ De 35. AC = DF, BC = EF ..... Por construcción6. A ABC = A DEF .......... Por 4 y 5 (criterio de congruencia LLL)7. m Z C = 90° .................Por 6

Una proposición que se obtiene intercambiando la hipótesis (en el caso del teorema de Pitágoras: m Z C = 90°) y la conclusión (en este caso a2 + b2 = c2) de un teorema se llama recíproco del teorema.^

Abajo están dadas las medidas de los tres lados de varios triángulos ¿Cuáles triángulos son rectángulos?

(1)5cm, 7cm, 8cm (2) 1 cm, V2 cm, V5 cm

(4) - | , 5 , ^ (5) 0.3, 0.4, 0.5

(7) V3, V4, V5 (8)1, V3, 2

(10)2, V8, 2

El cuadrilátero ABCD es un rectángulo.

Encuentre las medidas de los lados

del A CEF. ¿Es un triángulo rectángulo?

(3) 3 cm, 7.2 cm, 7.8 cm

(6)12,15,18

(9) 4, 5, 6

C1 Encuentre la medida de la diagonal de un rectángulo cuyo largo y ancho miden 8 cm y 5 cm respectivamente.

% Sección 2: Aplicación del teorema de Pitágoras

Sea x cm la medida de la diagonal AC.

El A ABC es rectángulo y por el teorema de Pitágoras tenemos que:

52 + 82 = x2 25 + 64 = x2 .

89 =x2 x2 = 89x =V89 puesx>0 R:V89cm

2 Encuentre la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 4 m.D

Sea y m la medida de la diagonal AC.El A ABC es rectángulo y por el teorema de Pitágoras tenemos que:

42 + 42 = y 2

16 + 1 6 = /32=.y2 y2 = 32y = V32 pues>> > 0 y = 4^2 R : 4V2 m

8 Encuentre la medida de la diagonal de los siguientes rectángulos.

Encuentre la medida de una altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm.

Sea D el punto medio del lado BC.A ABD = A ACD por LLL. De esto los ángulos Z ADB y Z ADC son congruentes y suplementarios por lo tanto son rectos.

En el A ADB si AD = h cm, por el teorema de Pitágoras se tenemos:A

h2 + 52 = 102 /h2 = 100-25 h2 = 75h = V75 pues h > 0 h = 5^3

R: 5V3cm

10 cm 4=/ /

B n ii cm D

/10 cm

i, C

10 Encuentre el área del triángulo A ABC de [D],

1 En el dibujo AB = AC = 10 cm y BC = 6 cm.

(1) Encuentre la medida de la altura sobre el lado BC.

(2) Encuentre el área del triángulo A ABC.

12 Encuentre el valor de x e y en cada triángulo.A

(2) Ax 30°//

y

BW / 60f

6 cm

13 Encuentre el área del triángulo cuyos lados miden 12 cm, 14 cm y 15 cm siguiendo los pasos dados a continuación:

Sea AD la altura sobre la base BC. Sea x cm lamedida de BD y h cm la medida de la altura.1. Aplique el teorema de Pitágoras a dos

triángulos rectángulos: A ABD y A ACD.2. De las dos ecuaciones obtenidas en el paso 1,

elimine la variable h y escriba una ecuación en términos de x.

3. Encuentre el valor de x y h, y el área del A ABC.

/

12 cm

L c r

h cm 15 cm

B D14 cm

El dibujo de la derecha representa un prisma cuyos lados AE, EF y FG miden 3 cm, 5 cm y 4 cm respectivamente.

(1) En el triángulo rectángulo A EFG encuentre

la medida x cm del lado EG.

3 cm

El Z EFG del A EFG es recto, así que por el teorema de Pitágoras:

52 + 42 = x2x2 = 41 como x > 0 x = V4T R: V4? cm

(2) En el triángulo rectángulo A AEG encuentre la medida y cm del lado AG.

El Z AEG del A AEG es recto así que, por el teorema de Pitágoras:

32 + x2 = y 2 9 + 41 = y2

y 2 = 50 como y > 0 y = V50 = 5 V2 R: 5^2 cm

Los dibujos (1) y (2) representan un prisma rectangular y un cubo respectivamente.

Encuentre la medida de AG en cada caso.

(1)B

(2)

10 cm

/ G x3 cm' 4 cmy E

El dibujo de la derecha representa un prisma rectangular cuyos lados AE, EF y FG miden 8 cm, 6 cm y 4 cm respectivamente. Si AP = 1 cm y GQ = 2 cm ¿cuál es la medida de PQ?

D

H

El dibujo de la derecha muestra una pirámide.La base ABCD es un cuadrado cuyo lado mide4 cm y la arista OA mide 5 cm.Encuentre la medida de la altura OH (la altura es el segmento que va desde el punto O hasta la base y perpendicular a ésta).

El punto H coincide con el punto donde se cortan las diagonales AC y BD. Como m Z ABC = 90° aplicamos el teorema de Pitágoras al A ABC.Si AC mide jc cm, entonces:

42 + 42 = x 2

x2 = 32 comox > 0 x =V32 jc =4V2

El A OHAes un triángulo rectángulo con ángulo recto Z OHAy los lados OÁ y AH miden 5 cm y - j = 2 V2 cm respectivamente. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene la medida de la altura.Sea 7 cm la medida de OH,entonces:

y 2+ (2V2)2 = 52y 2 - 17 como y > 0 y - VÍ7 R: VÍ7 cm

Se sabe que AC = x = 4 V2 y que las diagonales AC y BD ^del cuadrado se bisecan, por lo tanto AC_ j l = 4^2 _ 2V2 .* r 9 9 9De esto se deduce que AH = 2 V2. M

Encuentre la medida de la altura de una pirámide cuya base es un cuadrado de 6 cm de lado y cuya arista OA mide 8 cm.

Encuentre la altura de un cono que tiene las medidas mostradas en el dibujo.

¿Cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos?

K

Un señor tiene un terreno con la forma de un triángulo rectángulo y necesita saber la longitud del lado más largo. ¿Cuánto mide éste si los otros dos lados miden 210 m y 280 m?

Encuentre la longitud del lado AB en los siguientes triángulos rectángulos.

(1) (2 ) (4) (5)

Explique cómo se demuestra el teorema de Pitágoras empleando la siguiente figura.

Encuentre las medidas de los _ segmentos AG, HE, FC, FE y HB que faltan en la siguiente figura.

F

é

Evaluación

Determine si la relación entre los lados de los triángulos rectángulos siguientes es correcta o no.

(4)

2 , ; 2 _ 2 2 , r 2 _ /2 2 _ 7 2 , .2 a + b - c e + f - a g - h + i

& Si el triángulo A ABC es rectángulo determine la medida del lado que falta.

(1) Si AB = 4 y BC = 6 entonces AC = _(2) Si BC = 4 y AC = 10 entonces AB = ___(3) Si AB = 12 y AC = 16 entonces BC = ___(4) Si AB = 3 y BC = V7 entonces AC = _(5) Si AB = VÍO y BC = VlO entonces AC = _ _

Dé 5 ejemplos de tres números que sean las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

¿Qué altura tiene la ventana

si la escalera tiene una longitud

de 5 m y se apoya en el suelo

a 2 m de la pared?

Empleando regla, compás y un cuadrado de 1 cm x 1 cm trace segmentos que

tengan una medida de V2 cm, V3 cm, V5cm, Ve cm y V7 cm.

Conteste.

1. ¿Qué expresa el teorema de Pitágoras?

2. ¿Qué expresa el recíproco del teorema de Pitágoras?

por ciento

'o .

Escribamos el número que va en la casilla.

(1) La razón de un número a se llama por ciento (%(2) La razón equivale a 1%. (3) La razón 0.34 equivale a %. (4) La razón de 28 a 50 es %. (5) La razón de a 40 es 15%. (6) La razón de 12 a es 30%. (7) La razón A equivale a %

é Lección 1: Tanto por ciento mayor que 100 y menor que 1

9) Sección u Tanto por ciento mayor que 100 y menor que 1

A1 Juan pesa 50 Kg y Alicia pesa 40 Kg. ¿Qué por ciento es la razón del peso de Juan al peso de Alicia?

-ioc 0 40 5050 + 40 = 125 = ] § = 125% ,---------------------- ,----- ,------Kg

i--------------1--- 1--- %0 100 g25)

R: Juan pesa el 125% del peso de Alicia.

Cuando la cantidad comparada (peso de Juan) es mayor que la cantidad básica (peso de Alicia) el por ciento es mayor que 100.

2 En el aire el 0.93% es argón. Si hay 24 Ib de aire en un neumático ¿cuántas libras de argón hay en el neumático?

100 _ 24 . . _ 0.93 x 24 _ n 00~0 _ n 00 0 93 x % 100 "" ~ 0.22

R: Hay 0.22 libras de argón.

0 (022) 24 Yr-------------------------------------1----- Ib

h— ----------------------------------------------1------- %0 0.93 100

(1) ¿Cuál es el 125% de 300?(2) ¿Qué por ciento representa 69 de 30?(3) Un número es el 0.2% de 4000. ¿Cuál es ese número?(4) Lesli gana 36 lempiras diarios más que Alicia. Si Alicia gana 120 lempiras

¿qué por ciento gana Lesli con respecto a lo que gana Alicia?(5) En 30000 g de aire hay únicamente 9 g de anhídrido carbónico.

¿Cuál es el por ciento de este gas en el aire?(6) Según lo planeado un viaje duraba 3 horas. Debido a los imprevistos en el viaje,

éste se prolongó 36 minutos más. ¿Qué por ciento representa el tiempo real del viaje con respecto a lo planeado?

(7) Josué obtuvo 91 puntos que representan el 130% de la calificación obtenida por Carlos. ¿Cuántos puntos obtuvo Carlos?

1 Resuelva.

^ Sección 2: Conversión entre tanto por ciento y fracciones

B1 Exprese la razón 235% en forma decimal y como fracción.

4 235% = = 2.35; 2.35 = H = §

2 Exprese la razón 3.87 y 0.0047 en por ciento.a o o7 _ 3.87 x 100 _ _387 _ , fi70/ y ¡ 3 .87- 1Q0 - 10Q - 387/o

0.0047 = QQ041qq-1Q0 = = 0.47%

3 Exprese la razón -4- en por ciento. Redondee la respuesta a décimas.

J f y = 1.3333333... = 1.333 = = 133.3%

2 Exprese los por cientos dados en forma decimal y fracción.

(1)12.5% (2)17.5% (3)72% (4)92%(5)0.45% (6)0.8% (7)112% (8)145%(9)188% (10)0.75% (11)310% (12)0.83%

Convierta a por ciento.

( D | ( 2 ) f ( 3 ) 2 ( 4 ) | 1

(5) | (6) 1.075 (7)2.26 (8) | 2

(9)0.65 (10)0.005 (11)0.0013 (12) 1.24

|¡H Resuelva.

(1) ¿Qué por ciento representa 98 de 80?



(4) Gerardo tiene el 135% de la edad de Jorge. ¿Qué edad tiene Gerardo si Jorge

tiene 20 años?

(5) Luis tiene 27 años y Fabricio 18. ¿Cuál es el por ciento de la edad de Luis

respecto a la de Fabricio?

(6) Víctor tiene veces la edad de René. ¿Cuál es la edad de René si Víctor

tiene 39 años? ¿Qué por ciento representa la edad de Víctor con respecto a la

de René?

( | jj | Convierta a por ciento.

(1 ) — [ ' 40 400(5)1.4 (6) 0.004 (7)1.81 (8) 0.0021

Convierta a fracción.

(1)115% (2)21% (3) 348% (4) 0.6%

O ¿Qué por cientociento representa 400 de...?

(2) 350 (3)500(1)300 (4) 150

m ¿ »<1

4 cm

3 cm

'——8 cm 5 cm

Con las figuras de | 0 calcule el por ciento del área menor con respecto a la mayor.

O <1

Evaluación

Ordenar de mayor a menor los siguientes datos.

23.4%, 2.42, 0.0034, 20.34%, JLy 1 .2 5

£ Escribir los siguientes por cientos como decimales o viceversa.

(1)3.3% (2)0.014 (3)170% (4)0.4213 (5)2%

¿Cuál número es el 0.8% de 35?

Complete la siguiente tabla tomando el 5000 como base.

Número 5000 6500

Porciento 100% 0.005%

Fracción 11

1725 4

cn

Decimal 1

¿Cuál es la cantidad más próxima al 350% de 500 si las opciones son 1420,1650, 2000 y 2500?

^ ¿Qué por ciento representan las siguientes figuras?

0% 100%(1)

(2 )0% 10 0%

(3) 0% 100%

(4) 0% 100%

Organización y presentación de datos

9 Lección 1: Organización y presentación de datos

q, Sección i: Tabla de frecuencia

A ,

En un corral hay 20 gallinas y cada una se identifica con una letra.

La tabla de la derecha muestra la cantidad de huevos que cada gallina puso la semana pasada.

Complete la tabla que representa la cantidad de huevos y la cantidad de gallinas que pusieron esa cantidad de huevos.

GallinaCantidad

dehuevos

A 9B 8C 5D 8E 7F 9G 8H 10I 7J 10

GallinaCantidad

dehuevos

K 11L 7 .M 8N 10N 8O 6P 7Q 6R 8S 9

Cantidad de huevos 5 6 7 8 9 10 11Cantidad de gallinas

Cantidad de huevos 5 6 7 8 9 10 11Cantidad de gallinas 1 2 4 6 3 3 1

A tablas como la anterior que representa la cantidad de cada valor de los datos se les llama tabla de frecuencia.

y Para cada uno de los siguientes conjuntos de datos hipotéticos elabore una tabla de frecuencia.

(1) Duración en días de los vuelos de los transbordadores espaciales.

8,14,11,14,10,11,10, 8,16, 9, 8,10,15, 8, 8,15, 9

(2) Suma de los puntos de dos dados lanzados en 20 ocasiones.

2,4, 5, 6, 7, 8, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 9,10, 6, 7, 8, 9,10,11

(3) Goles anotados en 17 jornadas de la Liga Nacional.

6,7, 5,8, 3, 9,6, 7, 5, 8, 4, 6, 7, 8,10, 6,7

Cuando la cantidad de los datos es grande y queremos captar la característica de ellos se deben agrupar.

B La lista de la derecha muestra la estatura de 40 estudiantes.

Complete la siguiente tabla que muestra intervalos de la estatura divididos de 5 cm en 5 cm y la cantidad de estudiantes que tienen la estatura correspondiente.

Estatura (cm) Cantidadde

estudiantesMayor o igual que

Menorque

' 40 *45' 45 ' 5050 5555 6060 *6565 7070 7575 80

Total 40

Estatura (cm) Cantidadde

estudiantesMayor o igual que

Menorque

*40 *45 145 50 2

8 50 ' 55 4' 55 ' 60 860 *65 1365 70 8

‘ 70 75 3*75 80 1

Total 40

Númerode

lista

Estatura(cm)

Númerode

lista

Estatura(cm)

1 163.2 21 169.42 169.0 22 151.23 161.9 23 164.34 157.4 24 146.35 167.2 25 163.46 162.9 26 155.97 151.2 27 176.48 168.4 28 162.89 162.3 29 148.1

10 158.2 30 155.311 153.7 31 160.512 164.1 32 163.013 159.8 33 154.914 174.2 34 159.415 160.0 35 170.416 143.2 36 167.817 156.4 37 157.218 166.4 38 162.519 160.3 39 168.820 173.5 40 165.4

A cada grupo de datos se le llama clase y a la cantidad de datos de cada clase se le llama frecuencia.

En la tabla anterior las clases son: 140-145, 145-150....... 175-180.La frecuencia de la clase 155-160 es 8 y de la clase 160-165 es 13.

Conteste las siguientes preguntas con la información de la tabla anterior.

(1) ¿Qué clase tiene mayor frecuencia?(2) ¿Qué cantidad de estudiantes hay con estaturas menores que 160 cm?(3) ¿Qué cantidad de estudiantes hay con estaturas mayores o iguales

que 150 cm?

% Sección 2: Histograma y polígono de frecuencia

La tabla de frecuencia anterior se puede representar en forma gráfica como se muestra a la derecha. A este tipo de gráfica se le llama histograma.

Un histograma es muy similar a la gráfica de barras. La diferencia es que en el histograma no hay separación entre las barras.

Frecuencia 15 4-

10-

140 150 160 170 180 cm 145 155 165 175 185

Frecuencia

Uniendo los puntos medios de los lados superiores de las barras en el histograma, agregando una clase más a la izquierda y otra a la derecha con frecuencia 0 se obtiene una línea poligonal cerrada. A éste tipo de gráfica se le llama polígono de frecuencias.

3 Con los datos siguientes elabore una tabla de frecuencias, trace el histograma y el polígono de frecuencia correspondiente.

(1) Pesos en libras de 50 niños al nacer.9, 6, 6, 8, 8, 4, 8, 4, 7, 9, 8, 5, 8, 8, 7,10, 11, 8, 7, 9, 9, 9,10, 5,4,5, 6, 9, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 8, 5, 7, 8, 7, 8, 9, 9, 9,10, 8, 7, 7, 7, 8, 8

(2) Temperaturas en grados centígrados en un país .13,14,17,12,16, 21,19,14, 20,18, 20,19,16, 20,19,16, 14, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 20, 20, 19, 21

(3) Duración en minutos de 42 discos compactos.41, 45, 43, 48, 42, 42, 48, 44, 49, 45, 50, 42, 44, 41, 45, 43, 47, 43, 52, 51, 48, 43, 41, 49, 55, 69, 67, 60, 49, 54, 47, 43, 53, 52, 56, 62, 65,42, 48, 54, 60, 43

4 Trace el histograma y el polígono de frecuencia correspondiente a la tabla de la derecha.

Ahorro (L.) Familias0-500 2

500-1000 101000-1500 241500-2000 282000-2500 322500-3000 4

Total 100

Ahorro de 100 familias en 3 meses

Sección 3: Frecuencia relativa

La tabla de la derecha muestra una distribución de frecuencia de las estaturas de los estudiantes de las secciones A ([B]) y B.¿Se pueden comparar las frecuencias?

No, porque los totales son diferentes.

Estatura (cm) Frecuencia(personas)

Mayor o Menor Sección Secciónigual que que A B

35 40 0 240 45 1 445 50 2 750 55 4 15

60 8 2060 *65 13 1665 ‘ 70 8 { _ 1170 75 3 575 80 1 0

Total 40 80Una forma de comparar las frecuencias es

considerar en cada clase la razón: fre( uer]ciatotal

en lugar de la frecuencia. A este valor se le llama frecuencia relativa.

Frecuencia relativa es el valor que se obtiene dividiendo la frecuencia de cada clase entre el total.

En la tabla de la derecha se muestra la frecuencia relativa de la sección A. A esta tabla se le llama tabla de frecuencia relativa.

Estatura (cm) Frecuencia relativa (personas)

Mayor o Menor Sección Secciónigual que que A B

' 35 140 0‘ 40 145 0.025' 45 150 0.05i 50 155 0.1

55 160 0.2•60 165 0.325•65 170 0.270 175 0.07575 180 0.025

Total 1

El cálculo de la frecuencia relativa es:

40 = 40 = 0 025, = 0.05, = 0.1, = 0.2, = 0.325, = 0.075

La suma de todas las frecuencias relativas es 1. Para una mejor interpretación las frecuencias relativas se convierten en por cientos.

> <

5 Complete la tabla de frecuencia relativa para la sección B.

También se puede construir 0.4

el polígono de frecuencia

relativa trazando la línea

poligonal con los datos de

la tabla de frecuencia relativa. 0 25

La gráfica de la derecha es el

polígono de frecuencia relativa

de la sección A.

135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 cm

Trace el polígono de la frecuencia relativa de la sección B y compárelo con el de la sección A.

Complete las siguientes tablas de frecuencia y trace el polígono de frecuencia relativa.

(1) Talla en centímetros de 35 estudiantes

Tallas(cm) Frecuencia Frecuencia

relativa

145-150 1150-155 3155-160 5160-165 12165-170 8170-175 4175-180 2

Total 35

(2) Cantidad de equipos de sonidos vendidos en las tiendas Ay B

Precio(L.)

Frecuencia Frecuencia relativa

TiendaA

TiendaB

TiendaA

TiendaB

1000-1500 5 31500-2000 9 102000-2500 7 112500-3000 12 83000-3500 10 93500-4000 7 9

Total 50 50

Para representar la característica o la tendencia de los datos de un grupo o para comparar los datos de dos o más grupos se utilizan varios valores.

9 Sección i: Moda

9 Lección 2: Extracción de la información

A En una escuela se realizan actividades al aire libre. Los estudiantes de cada sección deciden mediante votación cuantas veces lo harán en el año.La tabla de la derecha muestra el resultado de la votación de las secciones Ay B.

En la sección A el valor más frecuente es 4 pues obtuvo 11 votos.

En la sección B los valores más frecuentes son 5 y 6 pues fueron los más votados con 8 votos cada uno.

Número de veces de

actividad al aire ibre

Cantidad de estudiantesSección

ASección

B1 0 12 4 03 2 24 11 55 5 86 7 87 0 78 3 49 1 3

10 0 1Total 33 39

La moda de un conjunto de datos es el valor más frecuente.Si todos los datos tienen la misma frecuencia la moda no existe.Si un conjunto de datos tiene una sola moda, ésta se llama unimodal; si tiene dos, bimodal, etc.

La moda de la sección A es 4. La sección B tiene dos modas: 5 y 6.

En [A] de la lección 1 ¿cuál es la moda de la cantidad de huevos?

2 Calcule la moda en los siguientes conjuntos de datos.

(1) Edad en años de los estudiantes del centro de educación básica “José Cecilio del Valle”.

14,12,16,11,13,18,18,16,16,15 ,12,13,11,12,14,11,15,14,12, 15,11,10, 9,15,14,18

(2) Del ejercicio 1 de la lección 1.

En sexto grado aprendimos la siguiente fórmula para calcular la media o promedio de un conjunto de valores numéricos.

MoHI_ _ Suma del valor de los datos Cantidad de los datos

B1 En [A] de la lección 1 vamos a encontrar la media de la cantidad de huevos aprovechando la tabla de frecuencia.

j Sección 2: Media

Cantidad de huevos 5 6 7 8 9 10 11Cantidad de gallinas 1 2 4 6 3 3 1

De la información de la tabla se sabe que 2 gallinas pusieron 6 huevos cada una, por lo tanto, en lugar de sumar separadamente 6 + 6 se multiplicará 6 x 2 para calcular la cantidad de huevos que pusieron estas 2 gallinas.

Generalizando esta conclusión tenemos que:

La suma del valor de los datos = suma de los productos (valor x frecuencia).

Por otra parte,

La cantidad de los datos = suma de las frecuencias.

Por lo tanto,

M-Hi-, _ 5 x 1 + 6 x 2 + 7 x 4 + 8 x 6 + 9 x 3 + 10x3 + 11x1 _ 161 Q nc Media - 1 + 2 + 4 + 6 + 3 + 3 + 1 " 2 0 “ 805La cantidad media de huevos puestos por gallina es 8.

3 : Encuentre la media de los datos de [A] en cada una de las secciones.

2 En [B] de la lección 1 vamos a encontrar el valor aproximado de la media de la tabla de frecuencia.

Como la frecuencia representa la cantidad de los valores de los datos que caen en cada clase, se usa el valor medio de este intervalo. El valor medio de la clase 140-145 es 142.5 por tanto, la media es igual a:

142.5 x 1 + 147.5 x 2 + 152.5 x 4 + 157.5 x 8 + 162.5 x 13 + 167.5 x 8 + 172.5 x 3 + 177.5 x 1 1 + 2 + 4 + 8 + 1 3 + 8 + 3 + 1

= ^ = 161.375*161.4

De lo anterior se deduce que la altura media de los estudiantes es 161.4 cm.

4 Encuentre la media de la estatura de los estudiantes (1) de la lección 1).

5x Calcule la media según los datos mostrados en las tablas siguientes.

(1) (2)Velocidad Número de

(km/h) vehículos60-70 570-80 480-90 790-100 11

100-110 8110-120 5

Total 40

Duración (s) llamadas

telefónicas

Cantidadde

llamadas0-30 2

30-60 660-90 4290-120 4

120-150 6Tota 50

6"< En el ejemplo anterior [B2] la media calculada de los datos originales es 161.4 cm. Verifique que la diferencia entre las dos medias calculadas, una con los datos originales y la otra con los datos de la tabla de frecuencia no es mayor que:

Tamaño del intervalo de clase

9 Sección 3: Mediana

C1 En [B] de la lección 1 las estaturas (en cm) de los estudiantes cuyo número de lista es de 1 a 5 son 163.2,169.0,161.9,157.4 y 167.2. Ordenando estos datos de menor a mayor nos queda: 157.4,161.9,163.2,167.2,169.0 Al valor 163.2 se le llama mediana de estos datos ya que queda en el centro.

La mediana es el valor que queda en el centro cuando se ordenan los valores de los datos de menor a mayor.

En el mismo problema, si se añade la estatura del sexto estudiante los valores ordenados son: 157.4,161.9,162.9,163.2,167.2,169.0En este caso no hay un valor central único sino dos: 162.9 y 163.2 por lo que se calcula su promedio y ese valor será la mediana, es decir, 162.9 + 163.2 _ 326.1 «163.1

Cuando hay un número par de datos la mediana es el promedio de los dos valores de los datos centrales.

(1) 72, 65, 71, 56, 59, 63, 61, 70, 52,49, 68, 55, 50 (Peso de 13 alumnos en Kg).

(2) 2 ,1 ,1 , 0, 0, 4, 5, 3, 4, 6, 2, 3, 3,1, 0, 0 (Goles de un equipo de fútbol en16 partidos).

(3) 153,169,172,158,163,150,165,171,170,163 (Altura en cm de 10 alumnos).

(4) 4, 2, 3,1, 0, 3, 4, 2 ,1 ,1 , 3, 2, 5 (Lápices tinta en 13 bolsones escolares).

En [B] de la lección 1 vamos a encontrar la mediana de todos los datos.La mediana es el promedio de los valores del vigésimo y vigésimo primer dato.De la tabla de frecuencia se sabe que estos valores caen en la clase de 160-165.Hay dos maneras de realizar este cálculo:

Manera I: Colocar todos los datos de esta clase ordenados y buscar el vigésimo y vigésimo primer dato. Estos son 162.3 y 162.5 por lo tanto, la medianaes: 162.3 + 162.5 _ 162.4

2Manera II: En la clase 160-165 hay 13 datos y hay que calcular el promedio de su

quinto y sexto dato (que corresponden al vigésimo y vigésimo primer dato). Suponiendo que los datos están uniformemente distribuidos como se muestra a continuación.

Calcule la mediana de los siguientes datos:

160 165

Se calcula la mediana de la siguiente manera:

Tamaño del intervalo donde cae la mediana

*

Valor inicial de la clase

Mitad de la cantidad de los datos

(165- 160)-►160 +------------ x (20- 15) = 161.923 « 161.9

13T

Frecuencia del intervalo 1— Suma de las frecuencias de la mediana de las clases anteriores

LLa mediana calculada con la manera II es 161.9 cm que es una buena aproximación a la calculada con la manera I (162.4 cm).

Calcule la mediana según las tablas de frecuencia del ejercicio 4 y ( r (1) de la

lección 1 y 5 de la lección 2.

D En un examen de matemáticas 10 estudiantes obtuvieron las siguientes calificaciones.

Número de lista 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Calificación 80 70 95 5 75 70 60 10 co 0 85

Calcule la media y la mediana y compárelas.

Medja _ 80 + 70 + 95 + 5 + 75 + 70 + 60 + 10 + 90 + 85

_ 640 “ 10

= 64

Mediana = 72.5 porque al ordenar los datos tenemos:5,10, 60, 70, 70, 75, 80, 85, 90, 95 y el promedio de los valores centrales es 70 + 75 _ 72.5

De la tabla de frecuencia de la derecha se sabe que los datos tienden a calificaciones altas. En este caso no puede decirse que la media sea un valor que refleje bien la característica de este grupo ya que está fuertemente influenciada por los datos excepcionalmente bajos (calificaciones de 5% y 10%).

9' Calcule la moda, media y mediana de los siguientes datos y compárelas.

(1 )4 ,8 ,11 ,13 ,14 ,14 ,14 ,15 ,17 , 20, 24

Calificación Frecuencia

0-10 110-20 120-30 030-40 040-50 050-60 060-70 170-80 380-90 290-100 2

(2) 87, 87, 87, 87, 87, 82, 82, 82, 82, 80,110, 80, 80, 78, 89, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 95, 95,100,79,79,120

10 Calcule la media y la mediana en las tablas de frecuencias siguientes y compárelas.

Clase Frecuencia (2) Clase Frecuencia

1-3 1 15-18 163-5 2 18-21 105-7 3 21-24 67-9 5 24-27 49-11 8 27-30 2

Total 19 Total 38

*¡57

Organice los datos dados en una tabla de frecuencia y trace el histograma y el polígono de frecuencias. Luego calcule la moda, la media y la mediana.

(1) 5, 9, 8, 8, 9, 7,1, 3, 5, 3, 9, 6, 9, 9, 7, 5, 2, 2, 7, 8, 5, 7 ,1 ,4 , 6, 6, 3, 8, 6, 3

(2) 49, 47, 45, 45, 42, 48, 42, 43, 45, 46, 43, 44, 43, 45, 43, 42, 47, 40, 45, 40, 41, 45, 44, 44, 44

Calcule la moda, la media y la mediana según la información dada en las tablas de frecuencia.

Dato Frecuencia

4 15 26 37 28 59 2

Dato Frecuencia

15 316 317 318 619 920 321 3

(3)Dato Frecuencia

4 25 46 67 68 69 610 411 3

(4)Dato Frecuencia

7 38 79 210 211 012 213 1

Con los siguientes datos elabore la tabla de frecuencia (datos agrupados), trace el histograma y el polígono de frecuencia y calcule la media y la mediana.

15, 20,15, 8,15, 5,19,16,12, 6, 7,15,19, 2 ,19 ,16 ,1 ,18 ,14 , 0, 5,10, 3,10,1,13.12,17,1,11,18, 15, 5,18, 4, 3, 9 ,10 ,10 ,1 ,14 ,16 ,12 ,11 ,14 ,12 ,10 , 5, 6, 6

Trace el histograma y el polígono de frecuencia, luego calcule la media y la mediana según los datos de la siguiente tabla.

Calificación Frecuencia

30-40 340-50 450-60 660-70 970-80 1780-90 6

90-100 5

Trace los polígonos de frecuencia relativa de los siguientes datos y compare los resultados.

CalificaciónFrecuencia

Sección A Sección B

30-40 3 940-50 4 950-60 6 1260-70 9 1770-80 17 1780-90 6 890-100 5 8Total 50 80

Los siguientes datos son los salarios diarios de 30 peones ayudantes de albañilería.

70, 80, 90, 95, 80, 60, 50, 65, 60, 60, 60, 75, 75, 85, 85,75, 80, 80, 100, 70, 70, 80, 80, 80, 75, 95,100, 80, 60, 80.

Trace el histograma de frecuencia y el polígono de frecuencia, calcule la moda, la media y la mediana.

¿Qué conclusiones puede sacar de la información del ejercicio ( I 7

Los valores: 60, 70, 83, 85, 90, 90 y 500 representan un conjunto de datos.Sin efectuar cálculos, ¿cuál se ve más afectada si se elimina el dato 500, la moda, la media o la mediana?

¿Qué ventajas o desventajas hay si se organizan o no los datos en clases o intervalos?

¿Qué dato falta para que la media sea igual a 19?24,13,17,18, 24, r n

La media de la edad de un grupo de 10 alumnos es 24 años. Llegan 4 compañeros más y la media se incrementó a 26 años. Después se le agregó al grupo su profesor y la media llegó a ser 27 años. ¿Cuál es la edad del profesor?

Conteste las siguientes preguntas de acuerdo a la información mostrada.

Clase(edad) Frecuencia Frecuencia

relativa1-5 3 0.155-9 5 0.259-13 8 0.40

13-17 3 0.1517-21 1 0.05Total 20 1

Media = 9.8

Mediana = 10

(1) ¿Qué dato se encuentra exactamente en la mitad de la distribución?

(2) ¿Qué por ciento de los datos son 13 o están arriba de 13?

(3) ¿En qué clase se ubica la media? ¿Y la mediana?

(4) ¿Qué datos abarcan el 80% de los datos?

(5) ¿21 pertenece o no a los datos?

(6) ¿Qué por ciento de las edades puede tener 9 años?

(7) ¿Entre cuáles edades oscilan las más comunes?

Escriba una frase empleando correctamente los términos que se enlistan a continuación.

(1) Polígono de frecuencias(3) Clase(5) Histograma(7) Moda(9) Mediana

(2) Tabla de frecuencias(4) Distribución de frecuencia(6) Frecuencia relativa(8) Media

(10) Frecuencia

Calcule la moda, la media y la mediana de los siguientes datos.

4,17,15,15,15, 20, 10,11,10, 20, 25,19,11, 6, 7, 3, 8, 3,11,14,14, 20, 12,1, 23, 20, 5, 4, 23,14, 21,15, 5,11,14,14, 2, 6, 5,1, 3,1, 21, 20, 20

¿Cuál es la diferencia entre media y mediana?

¿Cuál es la diferencia entre la gráfica de barras y el histograma?

Construya un histograma y un polígono de frecuencias según los datos de las siguientes tablas.

(1) Clase Frecuencia1-4 14-7 37-10 410-13 713-16 1116-19 18Total 44

(2) Clase Frecuencia10-20 220-30 330-40 540-50 1450-60 2060-70 1270-80 4Total 60

i t i Trace el polígono de frecuencia relativa de los datos de las tablas de

Calcule la media y la mediana de los datos de las tablas d e ^ ,.

El décimo tercer gobernante de Copán, Waxaklajun Ub’ah K’awil, mejor conocido como 18 Conejo nos legó en un conjunto de tres marcadores del Juego de Pelota del

Parque Arqueológico de Copán, un mensaje lleno de simbolismos; en la imagen superior el Soberano aparece retratado a la izquierda, en un juego ritual, sosteniendo

la mirada en una deidad del inframundo Maya, Retratada frente a él.

Fotografía: © Paúl Martínez

Marcador del Campo de Pelota

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