Matematicas generales

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS

ADMINISTRACIÓN FINANCIERA

Fecha de actualización Enero - 2012 Página 1

UNIDAD DE APRENDIZAJE

MATEMATICAS GENERALES

1. IDENTIFICACION DEL CURSO

1.1. Denominación del curso: Matemáticas generales.

1.2. Código: 130210101 Semestre Académico: 2012 – I 1.3. Semestre curricular: I 1.4. Área: Matemáticas. 1.5. Naturaleza del curso: Teórico – práctico. Habilitable 1.6. Número de créditos académicos: 3

1.7. Número de sesiones tutoriales: 8 1.8. Requisitos: Ninguno 1.9. NUCLEO PROBLEMICO La empresa y los mercados.

1.10. Pregunta problematizadora:

¿Cómo formar y aplicar el pensamiento lógico matemático con sus conceptos, procedimientos y modelos, para la solución de problemas hipotéticos o reales, en el ámbito administrativo, económico y financiero?.




2. PRESENTACIÓN.

Desde tiempos remotos el ser humano ha utilizado las Matemáticas para la comprensión del mundo real; le ha facilitado el intercambio económico; en sus procedimientos le han ayudado a la comprensión de la evolución de los fenómenos naturales, económicos, sociales e históricos; ha contribuido igualmente a formar en el hombre el pensamiento lógico y analítico. En concordancia con lo anterior, las MATEMÁTICAS GENERALES hacen un aporte en 8 sesiones tutoriales, a saber: lógica, conceptos básicos y sistemas numéricos; fundamentos y operaciones algebraicas; funciones lineales y desigualdades; sistemas de ecuaciones; función cuadrática; funciones especiales (exponencial y logarítmica) con aplicaciones; matrices; límites, derivadas y sus aplicaciones. El anterior conjunto temático establece la relación con modelos, procedimientos y aplicaciones administrativas y económico-financieras; contribuye a comprender el estudio del mercado en tópicos como: la oferta, la demanda, el equilibrio del mercado y de la empresa; en el área administrativa, aplicaciones en la comprensión de los costos, la utilidad, el ingreso, el concepto de marginalidad; en el área financiera, la comprensión de modelos de interés simple y compuesto e interpretación de indicadores; en Estadística aporta la fundamentación necesaria para organizar, sistematizar e interpretar datos; en la Administración de Operaciones la construcción e interpretación de gráficos necesarios para comprender los modelos de optimización de recursos y servicios, entre otros. El desarrollo de las temáticas, sigue las orientaciones de la filosofía de Educación a Distancia, lo cual requiere de altos niveles de compromiso consigo mismo, disciplina, auto superación, dedicación, autogestión y trabajo en equipo.

3. JUSTIFICACION.

El desarrollo de las MATEMÁTICAS GENERALES es el fundamento para:

Formar y desarrollar un pensamiento lógico-matemático que facilite la comprensión de la realidad administrativa y económico-financiera del contexto.




Crear un pensamiento organizado y sistemático con relación a la comprensión y solución de problemas hipotéticos o reales.

Sus conceptos, algoritmos y gráficos, facilitan la comprensión de modelos administrativos, económicos y financieros.

Sus aplicaciones variadas contribuyen a desarrollar una mente abierta y divergente a mundos posibles.

Generar elementos formativos de trabajo, autodisciplina, esfuerzo, dedicación y de trabajo en equipo.

Sus conceptos, algoritmos y modelos facilitan la aplicación a procesos de investigación.

Su fundamentación aporta elementos pertinentes a otros espacios académicos como la Estadística, La Administración de Operaciones, las Finanzas, el Mercadeo y el mercado de Capitales entre otras.

4. OBJETIVOS.

4.1. General.

Ofrecer a los estudiantes una fundamentación lógico- matemática que le facilite la solución de problemas hipotéticos y reales en su desempeño académico y profesional.

4.2. Específicos.

Comprender y aplicar elementos de la lógico-matemática para facilitar el aprendizaje del área, así como también utilizar los conjuntos numéricos y sus operaciones algebraicas, para solucionar ejercicios hipotéticos y reales.

Construir, comprender y graficar funciones lineales como base para el aprendizaje de modelos de aplicación en Administración, Economía y Finanzas.

Resolver desigualdades con una o dos variables y representarlas gráficamente para facilitar el aprendizaje de modelos de optimización.




Resolver ecuaciones cuadráticas a través de procedimientos algebráicos, a su vez construir diferentes formas de la función cuadrática y aplicarla a modelos de optimización en economía.

Graficar y caracterizar las funciones exponenciales y logarítmicas y aplicar sus propiedades a la solución de problemas en el ámbito financiero y económico.

Plantear fundamentos del algebra matricial para su aplicación en casos hipotéticos y reales de problemas económicos, administrativos y financieros.

Desarrollar bases para el cálculo diferencial, comprender, interpretar y calcular la derivada de funciones como también su uso para identificar máximos y mínimos.

Utilizar el programa Excel para solucionar y comprobar modelos matemáticos.

5. APORTE DEL CURSO AL PERFIL PROFESIONAL.

La adquisición de habilidades y destrezas matemáticas en procedimientos pertinentes a áreas afines.

Promover la disciplina de trabajo individual y de equipo.

Desarrollar competencias comunicativas y la capacidad de argumentación e interpretación de procesos, aplicaciones y modelos.

Brindar una fundamentación matemática que le permita al estudiante y al futuro profesional, aplicar procedimientos lógico-matemáticos para la solución de problemas en el ámbito administrativo, económico y financiero.

6. ARTICULACIÓN DEL CURSO CON EL NÚCLEO PROBLÉMICO.

Aporte a la comprensión de variables como la oferta y la demanda en relación al punto de equilibrio del mercado.

Proporciona el análisis de funciones y sus propiedades para la solución de problemas en el ámbito financiero de la empresa.




Aporta procedimientos, algoritmos y modelos matemáticos que simulan casos hipotéticos y reales.

Brinda la fundamentación matemática necesaria para facilitar procesos estadísticos de la empresa y los mercados.

Facilita la comprensión de modelos en los procesos de producción de bienes y servicios de la empresa.

7. ARTICULACIÓN DEL CURSO CON EL ÁREA INVESTIGATIVA

Analiza e interpreta variables inmersas en el planteamiento de problemas en los contextos administrativos, económicos y financieros.

Contribuye al análisis para la sistematización y organización de la información, base para la investigación estadística.

Contribuye al fortalecimiento de la competencia propositiva, base para la construcción de conclusiones y recomendaciones, a través del estudio y la solución de un problema.

Da una fundamentación lógico-matemática para el análisis y la solución de problemas.

8. COMPETENCIAS A DESARROLLAR CON LA ASIGNATURA.

8.1 BÁSICAS.

* Competencias Comunicativas

Desarrolla la capacidad crítica para resolver situaciones problémicas que involucran operaciones y sistemas numéricos.

Interpreta situaciones hipotéticas y/o reales para argumentar y proponer alternativas de solución, enmarcados en los contextos administrativos, sociales y económico-financieros.

Expresa con seguridad sus ideas en términos claros y lógicos.




Competencias Sociales

Participa activamente como eje del proceso de aprendizaje significativo, colaborativo y autónomo, en aras a la formación de un ciudadano profesional, competente, autónomo y solidario.

Desarrolla la capacidad de trabajar en equipo

Competencias Tecnológicas.

Maneja instrumentos Tecnológicos como calculadoras científicas, computador e internet, en particular el programa de Excel para comprobar y resolver modelos matemáticos.

8.2 ESPECÍFICAS.

Capacidad para conceptualizar en términos matemáticos

Habilidades y destrezas en el desarrollo de procedimientos lógicos para la solución de un ejercicio o problema determinado.

Competencias para el análisis de problemas del Área y en relación con modelos de administración y económico-financieros.

Interpretar modelos matemáticos en situaciones hipotéticas y reales.

Aplicar funciones y sus propiedades para la solución de problemas administrativos, económicos y financieros.

9. PLAN TUTORIAL

Retroalimentación de evaluación sesión tutorial anterior.

Reflexión sobre la metodología a distancia: CIPAS (Círculos de interacción participativa académica y social), aprendizaje autónomo y colaborativo, valores del programa, métodos de estudio, búsqueda y selección de información, entre otros.

Retroalimentación de ejes temáticos de cada encuentro tutorial.




Realización del taller tutorial para desarrollo de competencias interpretativas, argumentativas y propositivas.

Contextualización próxima sesión tutorial.

Evaluación estructurada fundamentada en el desarrollo de las competencias interpretativas, argumentativas y propositivas.

10. PRIMERA SESIÓN

FUNDAMENTOS DE LA LÓGICA MATEMÁTICA, SISTEMAS NUMÉRICOS Y CONCEPTOS BÁSICOS

10.1. NÚCLEOS TEMÁTICOS

Concepto de Lógica Concepto de Proposición Proposiciones Simples y Compuestas Tablas de verdad y aplicaciones Demostración de algunas leyes mediante tablas de verdad. Funciones Proposicionales y cuantificadores Universal y Existencial. Sistemas numéricos: N, Z, Q, I, R. Operaciones, propiedades y relaciones en conjuntos numéricos. Aplicaciones económicas y financieras Utilización de la simbología matemática y relaciones.

.

10.2. ESTANDAR DE CALIDAD

Utilizar y comprender elementos básicos de la lógica matemática como las proposiciones, uso de conectivos, determinación de tablas de verdad, identificar y usar leyes de la lógica; así como también realizar operaciones básicas y establecer relaciones con diferentes elementos de los sistemas numéricos, aplicar correctamente operaciones en casos reales, hipotéticos y de aplicación económico-financiera.




10.3. ACTIVIDADES

10.3.1. EXTRATUTORIALES

TALLER EXTRATUTORIAL No. 1

FUNDAMENTOS DE LA LÓGICA MATEMÁTICA, SISTEMAS NUMÉRICOS Y CONCEPTOS BÁSICOS

ACTIVIDADES DE CONCEPTUALIZACIÓN

1. Consultar: a. ¿Qué es una proposición y qué tipos de proposiciones existen? b. ¿Qué es el valor de verdad de una proposición y cómo se niega una

proposición? c. ¿Qué son conectivos lógicos?. Explique los siguientes conectivos lógicos y

describa sus tablas de verdad: d. Conjunción e. Disyunción f. Condicional g. Bicondicional h. ¿Qué es un polinomio lógico y cómo obtener su respectivo valor de verdad? i. ¿Qué es una Tautología y qué es una contradicción? j. ¿Qué es el conjunto de los números Reales, cuáles son los subconjuntos

numéricos que lo integran?

ACTIVIDADES DE APLICACIÓN

LÓGICA Y CONJUNTOS

2. Dadas las siguientes proposiciones

p: Davivienda es una entidad del estado

q: La tasa de interés de vivienda está al 0.1% mensual

r: Los bancos de Colombia laboran solamente entre semana.

s: Hay equilibrio en el mercado cuando la oferta es igual a la demanda

a. Determine el valor de verdad cada proposición. b. Niegue las proposiciones. c. Construya y simbolice: la conjunción, la disyunción, el condicional y el

bicondicional entre las proposiciones: p y q; py r; además determine su valor de verdad.




3. Determine por extensión o por comprensión los siguientes conjuntos, según corresponda a) A= { 123,,/ xZxx }

b) B= {Directora de Administración Financiera de Uniquindío }

c) C={Cread donde funciona Administración Financiera de Uniquindío }

d) D= {Bancos de la ciudad }

e) E= {Docentes de matemáticas generales de Administración Financiera }

f) F= 10,8,6,4,2

g) G= {Armenia, Manizales, Pereira }

h) B= {Leche, Queso, Yogurt, Mantequilla }

4. Resuelva utilizando el diagrama de Venn

a) Al realizar una encuesta a 400 empleados de una empresa 190 manifiestan tener vivienda propia, 180 dicen tener carro, 180 tiene hijos, 50 tienen casa propia y vehículo, 70 tienen hijos y casa propia, 60 tienen hijos y vehículos, 40 tienen casa propia, hijos y vehículos. Cuantos empleados de dicha empresa: Tienen casa e hijos pero no tienen vehículos Tienen casa y vehículos pero no tienen hijos. Solamente tienen hijos, Solamente tienen casa. No tienen hijos ni casa ni vehículos.

b) Consulte la página 812 del texto guía problemas A3 y resuelva los ejercicios 1,2, 8, 14, 21 y 23.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

a. En los problemas 0.2 de la página 8 resuelva los ejercicios 1 al 6. Y los ejercicios impares del 29 al 78

b. Aplique la jerarquía de las operaciones para resolver:

420




7

2

4

1

3

5

2

3

4

1

3

2

2

1.

3

1

5

22

x

5. Regla de tres y porcentajes

a. Cuàl es el 33% del 65% de $8.204.950 = b. Qué porcentaje de $25.800 es $4.560 = c. Qué porcentaje de $1.279.500 es $646.250 =

SOLUCIONE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:

1. Halle dos números tales que: a. Uno es la cuarta parte del otro y su suma es 250 b. El menor es los 3/5 del mayor y su suma es 800

2. Una comerciante tiene $1.210.000 en billetes de $50.000 y $20.000. Si tiene un total de 32 billetes, cuántos tiene de cada denominación?

3. Usted invierte en bonos y acciones así:

Invierte en total 84 millones de pesos, si la tasa de interés mensual de los bonos es del 2,59% y la tasa de interés de las acciones es del 3,99%, si la inversión total dejó una rentabilidad del 3,09% mensual. Cuál fue la inversión en bonos y acciones?

4. De los 800 estudiantes de una universidad, 600 trabajan en entidades f inancieras. ¿Qué porcentaje de alumnos trabaj a en entidades f inancieras?

5. Una moto cuyo precio era de 5.000.000, cuesta en la actualidad 2.000.000 menos. ¿Cuál es el porcentaje de disminución?

6. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8.800.000, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

7. Al comprar un monitor que cuesta 450.000 nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

8. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 800.000. Halla el precio de venta.




9. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 18.000 para ganar al venderlo el 10%.

10. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150.000.

11. Halle el número decimal correspondiente al: a. 15% b. 25% c. 50% 83%

12. Hallar el 130% de 20.000 13. ¿Qué tanto por ciento representa 345 de 1500

14. Para llegar a una fábrica, un obrero ha realizado las 3/5 partes del recorrido en bus, los 7/8 del resto en taxi y los últimos 20 kilómetros caminando. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total el obrero?

11. SEGUNDA SESION

FUNDAMENTOS Y OPERACIONES ALGEBRAICAS


Concepto de expresión algebraica Adición, producto y cociente de expresiones algebraicas. Solución de casos de factorización y productos notables Ecuaciones de primer grado y problemas con una sola variable. Aplicaciones económicas y financieras. Aplicaciones hipotéticas y reales del contexto


Realizar diferentes operaciones algebraicas para afianzar algoritmos, propiedades y procedimientos matemáticos con diferentes conjuntos numéricos.




11.3. ACTIVIDADES



FUNDAMENTOS Y OPERACIONES ALGEBRAICAS

ACTIVIDADES DE CONCEPTUALIZACION

Antes de iniciar el taller tenga bien claro:

a. ¿Qué es constante? b. ¿Qué son variables? c. ¿Qué son términos y expresiones algebraicas? d. ¿Cuándo dos términos son semejantes? e. ¿Qué es un polinomio algebraico?

(nota: Leer páginas 14 y 15 del texto guía para puntos anteriores) f. ¿Qué es un producto y un cociente notable? g. ¿Qué significa factorizar? h. ¿Cuáles son las principales reglas de factorización de expresiones

algebraicas? i. Consultar en que consiste la serie de Fibonacci y sus aplicaciones.

(Nota: Ver página 19 del texto guía para puntos g y h)


1. En los ejercicios siguientes, efectúe la operación indicada y simplifique.

a. Resuelva los ejercicios 9, 12, 37, 41 y 83 de los problemas 0.3 de la

página 14 del texto guía.

b.

22223

6

5

3

2

4

1*

5

1

2

1

7

2yxyxyxxyx

c. Resuelva los ejercicios 7, 11, 17, 36, 54, problemas 0.4 de la página

18 y 19 del texto guía.




2. FACTORIZACION Resuelva los siguientes ejercicios:

a. 2x2 + 11x – 6 b. 25x4 – 100 z6 c. X2 + 7x + 12 d. X3y – 4xy + z2x2 – 4z2 Realice ejercicios: 6, 7, 9, 17, 18, 23, problemas 0.5 página 21 del texto guía.

3. Plantear y resolver los siguientes problemas:

a. En un teatro hay 700 personas entre adultos y niños cada adulto pagó 40 centavos de dólar y cada niño 15 centavos de dòlar por su entrada. Se recaudaron 180 dólares. ¿Cuántos niños y adultos hay en el teatro?

b. En un control de conocimiento había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta correcta dan 3 puntos y por cada errónea se le quitan 2 puntos. ¿Cuántas preguntas acertó Elena sabiendo que contestó todas y obtuvo 30 puntos?

c. Un fabricante produce diariamente 150 artículos, que vende al doble del

costo menos $ 1.000. ¿Cuánto es el costo de producir cada artículo si sus utilidades diarias son de $ 360.000?

d. Un comerciante compra dos autos por un valor de $ 29.000.000. Uno de los autos los vende con una ganancia del 10% y el otro con una pérdida del 5% y aún obtuvo una ganancia de $ 1.850.000 por la transacción completa. Hallar el valor que le costó cada auto al comerciante.




12. TERCERA SESION

TÓPICO GENERATIVO

FUNCIONES LINEALES Y DESIGUALDADES


Concepto de función lineal. Construcción del modelo lineal con la pendiente y un punto, con dos

puntos. Interpretación y cálculo de la pendiente. Cálculo e interpretación del punto de equilibrio de los modelos lineales

de oferta y demanda Aplicaciones lineales del costo total, el ingreso total y la utilidad Aplicaciones económicas, financieras y/o administrativas, hipotéticas y

reales.


Aplicar la función lineal, en casos particulares y especiales del ámbito administrativo, económico y financiero; hallar el conjunto solución de desigualdades con una y dos variables. Realizar aplicaciones administrativas y económico-financieras en casos hipotéticos y reales.

12. 3. ACTIVIDADES 12.3.1. ACTIVIDADES EXTRATUTORIALES


FUNCIONES LINEALES Y DESIGUALDADES


¿Cómo es la forma general de la ecuación de la recta? ¿Cómo se interpreta la pendiente de una recta? ¿Cuándo dos rectas son paralelas y cuándo perpendiculares? ¿Cómo se caracterizan las ecuaciones de oferta y de demanda?




ACTIVIDADES PROCEDIMENTALES Y DE APLICACIÓN

PROBLEMAS FUNCIÓN LINEAL

1. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos

a) p (7,9) y m= -5 b) p (3, -2) y es perpendicular a la recta que pasa por los

puntos p (-1, -3) y p (8,7)

2. Los costos fijos de un producto son $5.000.000 mensuales y el costo por unidad es $6.000, el precio unitario de venta es $11.000.

a) Exprese el costo total y el ingreso en función del número de unidades.

b) Halle el punto de equilibrio.

c) Exprese la utilidad en función del número de unidades

vendidas

d) ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para obtener una utilidad de $2.000.000?

3. Cuando se producen y venden 500 unidades de un producto se

tiene una pérdida de $400.000, cuando se producen y venden

1.000 unidades se obtiene una ganancia de $600.000 pesos si los costos variables por unidad son $1.000:

a) Exprese el costo total y el ingreso total en función del número de unidades.

b) Halle el punto de equilibrio.

c) ¿Cuál es la utilidad cuando se venden 2.500 unidades? d) ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para

obtener $500.000 pesos?




4. Las ecuaciones q + 2p= 200 y -q + 4p= 40 corresponden a la oferta y demanda de cierto producto. Halle el punto de equilibrio y represéntelo gráficamente.

5. A un precio de US $12.50 dólares por unidad una empresa ofrecerá 8.000 artículos al mes y a US $4.00 dólares cada

unidad la empresa producirá 1.400 artículos al mes. Halle la ecuación de oferta suponiendo que es lineal.

6. Un comerciante puede vender 200 unidades de cierto artículo

al día a US $30 dólares por unidad y 250 unidades a US $27 dólares por unidad. La ecuación de oferta para tal artículo es

6p = x + 48, determine:

a) La ecuación de demanda suponiendo que es lineal. b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio

7. A una compañía le cuesta US $75 dólares producir 10

unidades diarias de cierto artículo y US $120 dólares producir 25 unidades diarias del mismo artículo:

a) Determine la ecuación de costo suponiendo que es lineal. b) ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día?




13. CUARTA SESION SISTEMAS DE ECUACIONES

13.1 NÚCLEOS TEMÁTICOS

Concepto de Sistema de Ecuaciones. Solución de sistemas de 2x2 (2 ecuaciones con 2 variables). Solucionar sistemas de 3x3 (3 ecuaciones con 3 variables). Métodos de solución de sistemas Aplicaciones económico-financieras, hipotéticas y reales. Construcción de modelos tomados del contexto como un ejercicio

investigativo.


Resolver diferentes sistemas de ecuaciones, solucionar problemas y aplicaciones económico-financieras, hipotéticas y reales, utilizando diferentes métodos.

13.3. ACTIVIDADES

TALLER EXTRATUTORIAL N° 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ACTIVIDADES DE CONCEPTUALIZACIÓN Lea e interiorice en los temas expuestos en las páginas siguientes del texto guía: 1. Sistemas con dos variables Página 138. 2. Análisis gráfico de la solución de un sistema de 2x2 Página 139. 3. Solución algebraica y grafica de un sistema 2x2 Página 140. 4. Sistemas con tres variables Página 144.

ACTIVIDADES DE APLICACIÓN.

SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Resuelva los siguientes sistemas 2 x 2 por reducción, eliminación

o gráficamente. a) 16x + 24y = 32 b) 24y – 6x = 16 c) 15x1 – 13x2 = 2 9x + 12y = 15 2x - 8y = 5 9x1 – 11x2 = -2




Resuelva el siguiente sistema de 3x3 por determinantes.

a.

2. Resuelva los ejercicios 13, 21 de la página 146 del texto guía. 3. Resuelva los ejercicios 38, 40, 41 de la página 147 del texto guía.

4. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

a. Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada producto tiene que ser procesado por dos máquinas, I y II. Cada unidad de tipo A requiere 1.0 hora de procesamiento de máquina I y 1.5 horas por la máquina II y cada unidad de tipo B requiere 3 horas de máquina I y 2 horas en la máquina II. Si la máquina I está disponible 300 horas al mes y la máquina II 250 horas, ¿Cuántas unidades de cada tipo podrá fabricar al mes si utiliza el tiempo total que dispone en las dos máquinas?

b. Una compañía trata de adquirir almacenar dos tipos de artículos, X y Y. Cada artículo X cuesta $ 3 dólares y cada artículo Y cuesta $2.50 dólares. Cada artículo X ocupa 2 metros cuadrados del espacio del piso y cada artículo de Y ocupa un espacio de 1 metro cuadrado del piso. ¿Cuántas unidades de cada tipo pueden adquiriesen y almacenasen si dispone de $ 400 dólares para la adquisición y 240 metros cuadrados de espacio para almacenar estos artículos?

c. Las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son 7p+8x =100 y 5p – 40x = 9 respectivamente, determine los valores de P y X, en el punto de equilibrio o en el mercado.

d. Las ecuaciones de demanda y oferta de un artículo son: 5p – 8x = 4 y 7p + 5x = 9 siendo P el precio y X la cantidad demandada. Calcule X y P (punto de equilibrio).

e. En una empresa de cosméticos el costo en dólares para producir X artículos al mes es C = 4x + 600. Si los cosméticos se venden a 8 dólares cada uno. ¿Cuántos se deberán producir con el objeto de lograr una utilidad mensual de $1.000 dólares?




2. Un fabricante de zapatos produce 2 clases para mujer y para hombre. Por cada unidad que vende de zapatos para mujer la ganancia es de $15 dólares; y por cada unidad para hombre es de $20 dólares. De la experiencia se sabe que se vende el 25% más de mujer que de hombre. Para el próximo año el fabricante desea ganancias de $50.000. ¿Cuántas unidades de hombre y mujer debe fabricar y vender?




5. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO MICROSOFT EXCEL.

1. Para analizar el funcionamiento de Microsoft Excel en la solución de un sistema de ecuaciones lineales, procederemos a resolver el sistema del ejemplo 1 de la página 140 del texto guía.

a. Lo primero que debemos hacer es asegurarnos es que el sistema este organizado (variables del mismo tipo una debajo de la otra), si no lo están debemos organizar el sistema.

b. Copiamos los coeficientes de las variables en la hoja de cálculo, cada coeficiente en una celda.

c. Para solucionar el sistema debemos hallar primero la matriz inversa y esto se hace utilizando la función MINVERSA. Debemos seleccionar un número de celdas igual al tamaño del sistema, en este caso de 2x2, escribir en la barra de fórmula la función =Minversa(b2:c3) presionar simultáneamente las teclas Control Shift Enter.




d. Por último seleccionamos el número de celdas como variables tenga el sistema, en nuestro caso dos celdas (E5 y E6) debido a que el sistema es de 2x2. Utilizando la función mmult (multiplicación de matrices) la cual tiene los siguientes argumentos: Matriz1: Los rangos de la celda donde está la matriz Inversa (B5:C6). Matriz2: El rango de las celdas donde digitamos los términos independientes (E2:E3) En la barra de formula escribimos =Mmult(B5:C6;E2:E3) y presionamos simultáneamente Control Shift Enter.

e. Estos últimos resultados configuran la solución del sistema X = 3 Y = 1

Este mismo procedimiento se utiliza para resolver cualquier sistema lineal, llamase de 3x3, 4x4 o superiores.




14. QUINTA TUTORIA

LA ECUACIÓN Y LA FUNCION CUADRATICA

14. 1. NÚCLEOS TEMÁTICOS

Características de la función de segundo grado o cuadrática.

Construcción de funciones de segundo grado.

Aplicaciones a problemas y modelos económicos, financieros y/o administrativos.

Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización o fórmula general.

Aplicaciones hipotéticas y reales.

14. 2. ESTANDAR DE CALIDAD

Caracterizar, describir gráfica y operativamente la función cuadrática, realizar operaciones prácticas, administrativas, económicas y/o financieras del modelo, solucionar particularmente ecuaciones cuadráticas por diferentes métodos; identificar y diferenciar la función cuadrática de otras.

14. 3. ACTIVIDADES

14. 3.1. EXTRATUTORIALES

TALLER EXTRATUTORIAL No. 5 ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. ACTIVIDADES DE CONCEPTUALIZACIÓN

Favor leer y estudiar el tema “Ecuaciones cuadráticas” de la sección 0.8

del libro guía en las páginas 37 y 38.

2. ACTIVIDADES DE APLICACIÓN

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas (Por simple observación y factorización)

a. X2 +4X+4=0 b. X2 -5X+6=0 c. X2-1=0




d. X2 -9=0 e. X2 – 7X+10=0

3. Utilice la fórmula a

acbbx

2

42 para solucionar las siguientes ecuaciones:

a. X2+3X-10=0 b. 2X2 –X-3=0 c. 9X2 +6X+5=0 d. X2 +4X=0

Resuelve los ejercicios 31,32, 39,42 y 44 de la página 42 ejercicio 0.8


Favor leer la definición y características de la función cuadrática de la sección 3.3 de la página 130 hasta la 132.

4. Elabora un bosquejo de las siguientes funciones cuadráticas:

a. Y= X2 +2 b. Y=-X2 +4

c. Y= 2X2 + 5X-3

d. Y=-X2+4X+5


Favor estudiar el ejemplo 6 de la página 135.

5. Resolver: “La función de demanda de un producto es P=2000-4q donde P es el precio( en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades por mes. Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total de producción y determine ese ingreso” .

6. Si P pesos se invierten a un interés compuesto del i por ciento anualmente, al final de dos años el capital será VF= VP( 1+ i)2. ¿A qué interés $1000.000.oo aumentará a $1.440.000.oo después de dos años?. R/20%.

7. Estudiar el ejemplo 2 sobre equilibrio con demanda no lineal en la página 153. De acuerdo con este modelo , encuentre el punto de equilibrio si las ecuaciones de oferta y demanda son respectivamente:

P= q/20 +40/3 y P=4000/q. Elabore un bosquejo ilustrando el caso.




15. SEXTA TUTORIA FUNCIONES ESPECIALES Y SUS APLICACIONES

15. 1. NÚCLEOS TEMÁTICOS

Definición de la función logaritmo y exponencial.

Bosquejos y gráficas de ambas funciones.

Propiedades de la función exponencial .

Propiedades de los logaritmos.

Aplicaciones económicas y/o financieras.

Solución de ecuaciones con las funciones en mención.

Aplicaciones hipotéticas y reales de acuerdo con el trabajo de campo.


Caracterizar, construir y aplicar las funciones logaritmo y exponencial en casos

particulares y especiales; solucionar problemas de aplicación económico-

financieros de estos dos modelos de funciones, así como también solucionar

ecuaciones aplicando sus propiedades.

15.3. ACTIVIDADES

15. 3.1. EXTRATUTORIALES

TALLER EXTRATUTORIAL No 6 FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES


REPASO DE REGLAS O PROPIEDADES CON EXPONENTES Y LOGARITMOS. Ilustra con un ejemplo cada una de las propiedades o reglas de los exponentes en el campo de los números reales. Ver página 163 del libro guía. Ilustra con un ejemplo cada una de las propiedades de los logaritmos. Consultar página 181 del libro guía.





1. Complete la siguiente tabla expresando como potencias, raíces o logaritmos

cada operación

POTENCIAS RAICES LOGARITMOS

= 3

= 15

2. Realice la gráfica de las siguientes funciones:

a) b) c) d)

3. Resolver las ecuaciones exponencia les y logar ítmicas

a. 8

12

21 x b . 6553683x c . 163844 62

xx

d. 1505 52 xe e . 52 3*32*2 xx f . 3432 1 x

g. Ln(x2+2x) =30 i . Ln(3x+1) =10 j . xx

log24

625log

5log4

k . 01log2log2 xx l . 04log3)25log( 3 xx m. 3)5log(

)35log( 3

x

x

4. Solucione los siguientes problemas aplicando funciones exponenciales: I. El peso de un contenedor está relacionado con el número de cajas del producto

que éste contiene. Si el peso (W en Kg), se relaciona con el No. De cajas (n), a través de la ecuación:

3)

a. ¿Cuánto pesa el contenedor cuando esta vacio?




b. Suponga que el peso del contenedor después de haber empacado un determinado número de cajas es de 1800Kg. ¿Cuántas cajas se han empacado hasta el momento?

II. En 1980, la población de un país era de 227 millones de habitantes y ha crecido a una razón del 7% por año.

a. Determine un modelo mediante el cual se pueda expresar el crecimiento poblacional con relación exponencial al tiempo.

b. Determine el número de habitantes que tuvo dicho país a los años 2000 y 2007.

III. Una de las ecuaciones que permite calcular el interés compuesto se sugiere como:

Suponga que se invierten US$ 1000 a una tasa de interés compuesto del 9% mensual.

A. Calcule el monto final del capital inicial después de:

a) 5 años b) 10 años c) 15 años.

B. Si la tasa cambia al 12% anual y se capitalizan los intereses mensualmente. ¿Cuál es el monto acumulado después de

a) 1 mes? b) 2 meses? c) 6 meses? d) 1 año?

C. Si la tasa se cambia la tasa al 6% anual y el interés se capitaliza trimestralmente. ¿Cuál es el monto del capital al final de

a) 1 año? b) 2 años? c) 5 años? d) 10 años?

D. Si el capital inicial propuesto se invierte a una tasa del 9% anual capitalizado semestralmente, encuentre el tiempo requerido para que el capital exceda a:

a) us$15000 b)US$ 20000 c)US$30000

E. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que los US$1000= se conviertan en uS$2000 si la tasa es del 12% anual?

IV. La depreciación es la devaluación de un bien al transcurrir el tiempo. Si cierta marca de automóviles se compra por C dólares, su valor comercial v(t) al fin de t años está dada por , Si el costo original del vehículo es de US$10.000 calcule redondeando a unidades el valor del auto después de :




a) 1 año b)4 años c) 7 años

V. Realizar los siguientes ejercicios del libro

a. Ejercicios 1, 5, 10, 14, 21, 22 página 234 b. Ejercicios 33,34,40,41 pagina 241 y 243 c. Ejercicios 33, 34,35, 48,49,50,83,84 páginas 252 y 253

16. SEPTIMA TUTORIA

MATRICES Y SUS APLICACIONES


Concepto de matriz. Construcción de matrices. Clasificación de matrices. Operaciones algebraicas con matrices. Solución de sistemas con matrices. Aplicaciones administrativas, económicas y financieras. Calculo de la matriz inversa. Construcción de modelos hipotéticos y reales de acuerdo con el trabajo

de campo.


Durante el transcurso y al finalizar la tutoría el estudiante estará en capacidad de construir, operacionalizar matrices y realizar aplicaciones pertinentes al programa de administración financiera.

16.3. ACTIVIDADES


TALLER EXTRATUTORIAL Nº 7 MATRICES Y SUS APLICACIONES


1. De acuerdo a la siguiente matriz:

1 -3 2 0 1 2 5 -4 0 3 -1 1 7 2 5 -2




Identifique:

a. a22 = b. a34= c. a31= d. a42 =

2. Resolver los ejercicios 45,46 y 47 de la página 238 del libro. 3. Sean las matrices:

1 2 3 3 5 -2 A= -1 0 7 B= 7 2 -4 2 -1 5 5 8 0

Resolver:

a. 5A -3B c. A*B e. 4.B*A

b. -10A +7B d. A2

4. Halla la inversa de las matrices. Utilice el programa EXCEL para comprobar su respuesta

1 -2 2 -5 C= 2 3 D= 3 -1

5. Halla los determinantes de las matrices A,B, C y D de los ejercicios 3 y 4.

6. La siguiente es una matriz de supermercados y artículos, si se estima un incremento de los precios para el año siguiente de un 15% ¿Cómo queda la nueva matriz?.

S1 S2 S3 S4

ARTICULO 1 $2.500 $2.300 $2.600 $2.100

ARTICULO 2 $10.200 $11.000 $12.000 $13.000

ARTICULO 3 $40.000 $43.000 $52.000 $48.000

ARTICULO 4 $32.500 $33.000 $40.000 $38.000




7. La siguiente es una matriz de producción en toneladas por región. Se estima que la producción aumente para el próximo año en un 20%. Estime la matriz resultante.

REGIÓN 1 REGIÓN 2 REGIÓN 3

MAIZ 10 12 8

FRIJOL 20 25 32

TOMATE 30 32 18

LENTEJA 40 24 38

8. Los siguientes son los precios en fincas turísticas:

PASADÍA ALMUERZO ALOJAMIENTO POR PERSONA

FINCA 1 $ 5.000 7.000 30.000

FINCA 2 7.000 5.000 35.000

FINCA 3 5.500 6.000 40.000

FINCA 4 6.000 8.500 25.000

Si se contratan 20 pasadías, 18 almuerzos y 30 alojamientos por persona. En qué finca turística resulta más económico un día.

9. Diseñe y resuelva un ejercicio similar al ejemplo 6 de la página 242.

10. En la siguiente matriz se observan precios de varios artículos por libra en cuatro tiendas:

CARNE PAPAS FRIJOL ARROZ

TIENDA A $8.000 $2.000 $7.000 $2.500

TIENDA B $7.500 $3.200 $5.000 $2.200

TIENDA C $7.200 $3.000 $6.000 $3.000

TIENDA D $9.000 $2.800 $4.800 $2.800

Si se compran 10 libras de carne, 8 libras de papa, 15 libras de frijol y 8 libras de arroz. ¿En cuál tienda resulta más económico comprar?




11. De acuerdo con el proceso del ejemplo 9 de la página 243 sobre materia prima y costos, resuelva el ejercicio 65 de la página 249.


Ahora utilizaremos Microsoft Excel para realizar varias operaciones entre matrices.

HALLEMOS LA MATRIZ INVERSA DE LA PRIMERA MATRIZ DEL EJERCICIO 7, DE LA

SIGUIENTE MANERA:

1. En la celda A1 escribamos Matriz y a partir de la celda A2 hasta la celda B3 digitemos los elementos de la matriz dada.

2. En la celda A4 digitemos Matriz inversa, como sabemos que la matriz inversa tiene el mismo tamaño que la matriz original, entonces seleccionemos las celdas A5 hasta B6




3. Escribimos la fórmula =MINVERSA( A2:B3) luego damos Ctrl ↑

ENTER, al mismo tiempo e inmediatamente sale la matriz inversa.

SUMEMOS LAS SIGUIENTES MATRICES EN EXCEL

-2 1 7 7 -2 -5 5 4 -3 B= 4 -3 -2

A= 2 0 4 5 -1 10

Apliquemos el siguiente procedimiento utilizando Microsoft Excel:




1. En la celda A1 escribamos Matriz A, en el rango de A2:C4 digitemos los elementos de la matriz A.

2. En la celda A6 escribamos Matriz B, en el rango de A7:C9 digitemos los elementos de la matriz B

3. En la celda A11 digitemos MATRIZ A + B. Sabemos que para sumar dos matrices, estas deben tener el mismo tamaño y el resultado también tiene el mismo tamaño, por lo tanto seleccionemos desde A12 hasta C14

4. A continuación presionamos + o igual seleccionamos los datos de la matriz A, es decir, A2:C4 digitamos + y luego seleccionamos los datos de la matriz B (A7:C9). Observándose la fórmula +A2:C4+A7:C9.




5. Presionamos al mismo tiempo Ctrl ↑ Enter e inmediatamente obtenemos la

matriz suma

PRODUCTO CON ESCALARES

Con las matrices anteriores resolvamos 5*A – 3*B.




En la misma hoja de Excel y sigamos el siguiente procedimiento:

1. En la celda E11 digitemos 5*A – 3*B =

2. Teniendo presente que cuando se multiplica un escalar por una matriz, el tamaño de la matriz no cambia y como la suma o resta se puede realizar con matrices de igual tamaño podemos concluir que la matriz resultante es de tamaño 3x3 por lo tanto seleccionamos E12:G14

3. Escribimos inmediatamente la fórmula + 5*(A2:C4) – 3*(A7:C9) y presionamos simultáneamente las teclas Ctrl ↑ Enter y observamos la respuesta al ejercicio.




PRODUCTO DE MATRICES

Realicemos el producto de las siguientes matrices

A= -2 5 3 5 -3 -4 2 5 B= -2 4

2x3 1 -5 3x2

Recordemos que el producto de matrices solo se puede realizar si el número de columnas de la primer matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz y que la matriz resultante tiene el número de filas de la primer matriz y el número de columnas de la segunda matriz, por lo tanto el tamaño de la matriz A*B es 2x2. Procedamos de la siguiente manera en Excel:

1. En la celda A1 escribamos Matriz A, en el rango de A2:C3 digitemos los elementos de la matriz A.

2. En la celda A5 escribamos Matriz B, en el rango de A6:B8 digitemos los elementos de la matriz B

3. En la celda A10 digitemos MATRIZ A * B. Seleccionamos el rango desde A11hasta B12 donde se ubicará el producto de las matrices




4. Inmediatamente digitamos la fórmula +MMULT(A2:C3;A6:B8) y presionamos simultáneamente las teclas ctrl ↑ enter para obtener el

resultado

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES APLICANDO LA INVERSA

Utilicemos Excel para resolver el siguiente sistema

2x + y + z = 3

-x + 2y + 2z = 1

X – y – 3z = -6

Para ello procedamos de siguiente manera:

1. En la celda A1 escribamos Matriz de coeficientes y a partir de la celda A2 hasta la celda C4 digitemos los coeficientes de las variables en la columna A los coeficientes de X, en la columna B los coeficientes de Y y en la columna C los coeficientes de Z.

2. En la celda F1 escribamos Matriz de Términos independientes y a partir de la celda F2 hasta la celda F4 digitemos los términos independientes.




3. En la celda A5 digitemos Matriz de coeficientes inversa, seleccionemos las celdas

A6 hasta C8

4. Escribimos la fórmula =MINVERSA( A2:C4) luego damos Ctrl ↑

ENTER, al mismo tiempo e inmediatamente sale la matriz inversa.




5. Digitemos en las celdas E1, E2 y E3 X =, Y =, Z = respectivamente. En la celda F5 digitemos solución y seleccionemos desde F6 hasta F8

6. Inmediatamente realicemos el producto entre la matriz inversa y la matriz de términos independientes digitando la fórmula + MMULT(A6:C8;F2:F4), presionemos simultáneamente las teclas ctrl ↑ enter para encontrar el valor

de las variables




Amigo estudiante, lo estamos invitando para que practique resolviendo varios ejercicios del texto utilizando Excel.




17. OCTAVA TUTORIA

LÍMITES, LA DERIVADAS Y SUS PLICACIONES.

11.8.1. NÚCLEOS TEMÁTICOS

Concepto de límite.

Cálculo de límite de funciones.

Concepto de derivada.

Cálculo de derivadas de funciones y operaciones.

Concepto de marginalidad en costos, ingresos, utilidad , oferta y demanda.

Interpretación de resultados

Aplicaciones a modelos económicos, administrativos y financieros.

Concepto de la primera derivada en un punto dado de una función.

Concepto de la segunda derivada en los valores críticos de una función.

Elaboración de gráficos y bosquejos utilizando la primera y segunda derivada.

Optimización de una función aplicada a la administración y economía.

Interpretación de resultados.

Construcción de modelos hipotéticos y reales de acuerdo con el trabajo de campo.

Aplicación de las derivadas de orden superior para solucionar problemas de aplicación.


Calcular límites de sucesiones y funciones; realizar el cálculo de derivadas

de funciones con su respectiva interpretación, utilizar los criterios de la

primera y segunda derivada para encontrar máximos y mínimos de una

función, interpretando y elaborando su respectivo gráfico, así como

también utilizar estos conceptos para casos especiales de aplicación en

economía, administración, economía y finanzas.




17.3. ACTIVIDADES



LÍMITES Y DERIVADAS Y SUS APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Consultar los siguientes ejes temáticos en el texto Matemáticas para la Administración y Economía, en los capítulos 10, 11 y 12.

Límites Pág. 448 a 452 Propiedades de los límites Pág. 452 a 454 Determinación de un límite (límites al infinito) Pág. 455, 458 a 463 Derivadas Pág. 480 a 483 Notación Pág. 484 Reglas para la diferenciación Pág. 489 a 495- 513, 515 Derivada de la función logarítmica Pág. 529 a 533 Derivación de la función exponencial Pág. 534 a 535 Trazado de curvas Cap 13

Consultar los siguientes ejes temáticos en el texto Matemáticas para la Administración y Economía, en los capítulos 11,12 y 13.

Aplicaciones de la razón de cambio a la Economía. Pág. 501 a 504 Aplicación de los máximos y mínimos. Pág. 599


1. ACTIVIDADES DE APLICACIÓN 1. Evaluar los siguientes límites.

b)

c) d)

2. Derivar las siguientes funciones utilizando las técnicas de derivación.

a) + b)




c) d)

e) f) g)

h) i) j)

3. A. Resolver ejercicios 60 al 70 de la página 496 ejercicios 11.2

B. Resolver ejercicios 32, 34, 39, 40, 44 de la página 521 del texto

4. Dada las funciones determine sus puntos críticos, máximos, mínimos relativos cortes con el eje

X y Y, Esboce las curvas de las siguientes funciones:

1.

2.

5. la ecuación de demanda de cierto articulo esta dada por P + 0,02X =100 y la función de costo

por C(x) = 600 +10X. Determine el beneficio marginal para x= 500.

6. El costo de un articulo está dado por C(x) = 0,002X3-0,4X2 + 50X + 2000. Determine el costo

marginal y evalue cuando la producción es de 100 unidades.

7. Determinemos el ingreso marginal cuando x=200 si la ecuación de demanda es de X + 80P = 800

8. Sea X = 400(20-P) la función de demanda de cierto ariculo. Hallar la elasticidad para los

siguientes niveles de precio: p=5 ; p= 10 ; p= 15. Clasificar la demanda en cada caso.

9. Una Compañía fabrica un producto cuyo costo total de producción está dado por

C(x) = 6X2-2X +4 donde la cantidad producida x se da en miles de unidades.

El departamento de ventas informa que deben fabricar entre 2000 y 6000 unidades del

producto. Halle entonces la producción que minimiza el costo total.

10. La función de demanda para un bien particular está dad por P = 45 – 0,5X y el costo total de la

empresa es de C(x) = X3- 39,5X2+ 120X + 125 . Determinar la utilidad o beneficio máximo que

el empresario puede obtener.

11. Dada la función de demanda de una empresa X -90 + 2P =0 y su función de costo promedio es

C= X2 – 39,5 X + 120 + (125/X) . Se pide determinar el nivel de producción que:

a) Maximiza el ingreso total b) Minimiza el costo marginal c) Maximiza el beneficio.




12. Una empresa tiene la función de demanda y la función de costo promedio es

de C(x) = 280 + (600/x) determinar el nivel de producción que maximice:

a) el ingreso total b) El beneficio total

13. En una librería se distribuyen 10000 revistas semanales cobrando $500 cada revista. Si el

dueño de la distribuidora de revistas quiere aumentar las ventas, debe bajar $10 en cada

revista para conseguir 1000 compradores mas. ¿Cuál debe ser el máximo de descuento en

el precio de cada revista para obtener un mayor ingreso?

14. Una fábrica posee las siguientes condiciones: La experiencia muestra que el precio P en

función del número de artículos X esta dado por: Si el costo de

producción de X artículos es

a. ¿Cuántos artículos deben fabricarse cada semana para obtener una utilidad máxima?

b. Halle el ingreso máximo.

c. Halle la elasticidad de la demanda para y para

d. halle la utilidad marginal y el ingreso marginal para

15. Realice ejercicios:

A. Ejercicios 17 , 18 , 21 , 22, 25, 26, 27 Pagina 505 Ejercicio 11.3

B. Ejercicios 66 y 67 Pagina 521

C. Ejercicios 12, 13, 14, 15 Pagina 543 Ejercicios 12.3

18. ESTRATEGIAS METODOLOGICAS

La estrategia metodológica corresponde a la metodología a distancia, de una forma semi- presencial; el tutor se constituye en un asesor y acompañante del proceso; los estudiantes autogestionan el aprendizaje, se fortalece el trabajo en equipo; la disciplina de estudio es indispensable; se utilizan las ideas previas de los estudiantes para el aprendizaje significativo; la sesión tutorial en su conversatorio es un interactuar de conocimiento: sus talleres, mesas redondas, sus interrogantes, evaluaciones individuales y grupales, contribuyen a reforzar el conocimiento. Unido a lo anterior el apoyo tecnológico se hace pertinente para reforzar el aprendizaje.




19. MATERIALES EDUCATIVOS.

Los materiales educativos se constituyen en un apoyo pertinente, el libro guía es una de las bases para el aprendizaje; se apoya además con guías de trabajo, material impreso, uso del internet, papel milimetrado y cuadriculado, diferentes tipos de calculadoras, y uso del computador y el programa de Excel, entre otros; la experiencia misma del estudiante también es una fuente del saber. Todo el proceso en el área investigativa recurre a fuentes primarias y secundarias para fortalecer el conocimiento.

20. INDICADORES, TECNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACION

La evaluación se constituye en otro elemento más de aprendizaje, es así que en su proceso se evalúa el trabajo individual ponderado a un valor del 70% y grupal con un 30%.

Unido a lo anterior se tiene en cuenta la solución de los talleres extratutoriales, evaluaciones individuales y grupales, la capacidad de conceptualizar, argumentar y manejo de proposiciones. El interés y aporte a procesos de investigación es tenido como un elemento más de la evaluación integral.

21. BIBLIOGRAFIA

HAEUSSLER, Jr. Ernest F. y otros Matemáticas para Administración y economía,

editorial Pearson. Prentice hall. Décimo segunda edición, México,2008.

HOFFMANN, Laurence D., BRADLEY, Gerald L. Cálculo para la administración,

economía y ciencias sociales. Editorial Mac. Graw Hill, séptima edición. Bogotá, D,

C., Colombia.

ESLAVA, María Emilia, VELASCO, José R. Introducción al las matemáticas

Universitarias, McGraw Hill.

JAGDISH. C. Ayra, ROBIR W. Lardner, Matemáticas aplicadas a la Administración

y la Economía. Prentice Hall, cuarta edición. México, 2002.

GOODMAN/HIRSCH. Álgebra y trigonometría Analítica. Editorial Prentice Hall.




DOWLING. Edward. Cálculo para Administración, Economía y ciencias Sociales.

McGraw Hill

Textos Matemáticas de Básica Secundaria

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Matematicas generales