Unidad Educativa “Caranavi Bolivia”

MÓDULO

GEOMETRIA ANALÍTICA (Tercer Bimestre)

Grado : Sexto de Secundaria

Caranavi, La Paz, Bolivia

2016

GEOMETRIA ANALÍTICA LA PARÁBOLA

1. DATOS INFORMATIVOS:

1. NOMBRE DE LA U. E. : Caranavi Bolivia

2. DIRECTOR : Lic. Juan Edwin Uño Ariviri

3. GRADO : Sexto de Secundaria

4. ÁREA : Matemática

5. DOCENTE : Prof. Elior Choque Quispe

: Prof. J. Magdalena Laura Fernández

6. NOTA ABROBATORIA : 51

7. BIMESTRE : Tercero

8. FECHA : 25 de junio al 18 de septiembre.

2. PROYECTO SOCIOCOMUNITARIO PRODUCTIVO “Comunicación y educación sobre el uso y disposición final de residuos sólidos”.

3. CONTENIDOS

La parábola. La elipse

OBJETIVO GENERAL

Al concluir la unidad, el estudiante identificará y aplicará las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado parábola determinando los distintos parámetros, su ecuación respectiva y viceversa, la fórmula canónica, la fórmula general y los campos de aplicación.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

- Reconocer la forma de la parábola.

- Manejar e interpretar sus ecuaciones y las propiedades más características.

- Identificarlas en diferentes contextos cuando aparecen como lugares geométricos.

- Reconocer la importancia de las cónicas en la ciencia y en la tecnología.

- Promover el uso de los equipos portátiles quipus en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

LA PARÁBOLA

Esta cónica llamada parábola, se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. Ver Figura 1

Figura 1

DEFINICIÓN

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas distancias a una recta fija, llamada directriz, y a un punto fijo llamado foco, son iguales.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

La recta que pasa por el foco F, ortogonal a la directriz L se denomina eje de la parábola.

La parábola intercepta al eje en un punto V llamado vértice, este se halla situado a medio camino

entre el foco y el punto Q que es la intersección del eje con la directriz L.

p es la distancia entre el vértice y el foco. Denominado distancia focal.

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

La parábola con eje paralelo a X y vértice V(h, k), tiene como ecuación general:

( − ) = ± 4 ( − ℎ)

Cuando el vértice sea V(0,0) (en el origen); h = 0, K = 0, la ecuación es:

= ± 4

Cuando tenemos el signo positivo en la ecuación, la parábola se abre hacia la derecha:

( − ) = + 4 ( − ℎ)

Cuando tenemos el signo negativo en la ecuación, la parábola se abre hacia la izquierda:

( − ) = − 4 ( − ℎ)

Las partes principales de una parábola, mostradas en la figura son las siguientes:

Eje focal: Es la recta que divide a la parábola simétricamente y que pasa por el foco. Ver

Figura.

Vértice: Es el punto donde se intersecanla parábola con el eje focal.

Distancia focal: Es la distancia que existe foco al vértice y se le asigna la letra p,

a cual aparecerá en la ecuación particular de la parábola. Sin embargo, de acuerdo con la

Definición de la parábola, la distancia p del

Foco al vértice es igual a la distancia del

vértice a la directriz por estar en la misma

línea recta perpendicular a dicha directriz.

Las coordenadas del vértice, igual que en la

circunferencia, se designan con las letras

h y k.

LADO RECTO: Es la cuerda perpendicular al

eje focal y que pasa por el foco. Su longitud

es una de las características importantes de

la parábola y es igual a:

LR = 4p

En todas las cónicas que tienen por lo menosun término al cuadrado, un primer paso, como ya

se dijo, en el procedimiento paratransformar su ecuación de la forma general a la forma

particular consiste en dividir toda la ecuación general entre el número, o números, que dejen

con coeficiente 1 a todas las variables "al cuadrado".

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN FORMA GENERAL.

En cualquiera de los casos anteriores, la estructura de la ecuación de la parábola tiene las

siguientes características:

• Existe solamente una variable al cuadrado y otra lineal.

• El coeficiente de la variable lineal (4p) representa la proporción del lado recto con respecto de

la distancia focal. Pero además de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras

algebraicas, es una ecuación de segundo grado, que puede expresarse en la forma general de

este tipo.

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.

Para llegar a dicha expresión general, es necesario desarrollar algebraicamente la forma canónica de la ecuación.

Tomando como ejemplo la forma:( − ℎ) = 4 ( − )

Desarrollando resulta:

− 2 ℎ + ℎ = 4 − 4

− 2 ℎ + ℎ − 4 + 4 = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0

− 2 ℎ + ℎ − 4 − 4 = 0

Reordenando

− 4 − 2 ℎ + ℎ + 4 = 0

− 4 − 2 ℎ + (ℎ + 4 ) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

− 4 = , − 2 ℎ = , (ℎ + 4 ) =

Sustituyendo los coeficientes D,E y F en la ecuación se tiene:

+ + + = 0

Que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general. Análogamente para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:

+ + + = 0

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA CUYO VÉRTICE ESTÁ EN EL ORIGEN.-

La ecuación algebraica que describe a la parábola se encuentra expresada en función de la

posición geométrica de los elementos que la conforman, así como de la orientación propia

de la misma, resultando en una ecuación característica de cada caso particular.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

CON VERTICE EN V(0, 0)

¡

V ( 0, 0) LR = 4 p

Eje focal

Foco Directriz Ecuación Aclaración gráfica

X

( p, 0)

X

( - p, 0)

Y

( 0, p)

Y

( 0, - p)

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA CUYO VÉRTICE NO COINCIDE CON EL ORIGEN, CON VERTICE EN (h, k).

Cuando el vértice se localiza en cualquier punto, al que por convención se le asignan las

coordenadas (h,k), y éste es distinto al origen, la ecuación que describe a la parábola cambia en

función de la posición de este punto y además de la orientación de la curva respecto de los ejes

coordenados.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

CON VERTICE EN V(h, k)

¡

V ( h, k) LR = 4 p

Eje focal

Foco Directriz Ecuación Aclaración gráfica

// X

(h + p, k) = ℎ − ( − ) = 4 ( − ℎ)

// X

(h - p, k) = ℎ + ( − ) = − 4 ( − ℎ)

// Y

( h, k + p) = − ( − ℎ) = 4 ( − )

// Y

( h, k - p) = + ( − ℎ) = − 4 ( − )

PROBLEMAS SOBRE LA PARÁBOLA.

EJEMPLO 1

Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3,2) y foco en (5,2).

SOLUCION:

Analizando las coordenadas de vértice y foco, se observa que su ordenada es común, por lo que se concluye que están alineados horizontalmente y que el foco está a la izquierda del vértice.

Dado lo anterior, es posible afirmar que su ecuación tiene la forma:

( − ) =4 ( − ℎ)

Siendo las coordenadas del vértice (h,k), se sustituyen en la ecuación y resulta:

( − 2) =4 ( − 3)

En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, y ésta se obtiene por diferencia de las abscisas correspondientes:

p = 5 – 3

p = 2

Sustituyendo:( − 2) =4 (2)( − 3)

( − 2) = 8( − 3)

Ecuación escrita en la forma ordinaria

EJEMPLO 2

Determine las coordenadas del vértice, del foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la

directriz, en una parábola cuya ecuación es: ( + 6) =−24( − 2)

Solución:La ecuación corresponde a una parábola vertical cuyas ramas se abren en el sentido

negativo de las ordenadas, cuya forma es: ( − ℎ) = −4 ( − )

De lo anterior se observa que: - 4p = - 24 => p = 6

por lo tanto, la longitud del lado recto es:

LR = 4 p

LR = 4 (6) => LR = 24 u

De igual forma se observa que las coordenadas del vértice corresponden con los valores de h y k, tomando en cuenta los signos respectivos, se deduce que el vértice es el punto de coordenadas:

V(-6,2)

Sí – 4p = - 24 ,

Entonces la distancia focal p será: −4 = −24

=

= 6

Las coordenadas del foco se obtienen por la abscisa común a ambos puntos ycalculando la diferencia de la ordenada del vértice y la distancia focal.

F(-6,2-6) entonces F(-6,-4)

Para determinar ecuación de la directriz se sustituyen los datos conocidos p y k en:

− − = 0

− 2 − 6 = 0

Resultando la ecuación:

− =

EJEMPLO 3

Hallar la ecuación de la parábola y hacer la gráfica de la parábola cuyo foco está en (3, 9), la

directriz tiene como ecuación x = -3 y su vértice está en el origen.

Solución:Se observa que el foco está sobre el eje x, lo que indica que el eje de simetría es

horizontal. Así la ecuación de la forma: = 4

Como la directriz es = −3, nos indica que = 3 que corresponde p a la coordenada en x del foco.

Entonces: = 4(3) = 12

La ecuación canónica es: = 12 , su gráfico:

GEOMETRIA ANALÍTICA LA ELIPSE

OBJETIVOS

Al finalizar este tema, el estudiante adquirirá los conocimientos que le permitirán:

a) Caracterizar la elipse como lugar geométrico.

b) Identificar los elementos asociados a la elipse.

c) Reconocer la ecuación ordinaria de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y

con ejes sobre los ejes cartesianos.

d) Identificar los elementos de una elipse con centro en el origen y con ejes sobre los ejes

cartesianos, a partir de su ecuación ordinaria.

e) Promover el uso de los equipos portátiles quipus en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

HABILIDADES Al finalizar este tema, el estudiante habrá desarrollado las habilidades que le permitirán:

a) Determinar las condiciones necesarias para trazar una elipse con la ayuda de hilo, regla y compás.

b) Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipse con centro en el origen y con eje focal sobre algún eje coordenado, y conocer su efecto en la conformación de su ecuación.

c) Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con

eje focal sobre alguno de los ejes coordenados a partir de su ecuación.

d) Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de elipses con centro en el origen.

GEOMETRIA ANALÍTICA

LA ELIPSE Hemos escuchado sobre el movimiento elíptico,

de la tierra, del electrón y de otros fenómenos,

perola pregunta sería ¿Cómo es la descripción

matemática de esta figura geométrica?

La elipse es una curva ovalada, que se asemeja

a una circunferencia alargada, se obtiene cuando

el plano corta el cono de manera sesgada.

LA ELIPSE

DEFINICIONES

La elipse es el conjunto de todos los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos

puntos fijos llamados focos, es constante.

- Los puntos fijos F1, F2 se llaman FOCOS de la elipse.

- La recta que pasa por los focos se llama eje focal.

- Los puntos de intersección de la elipse con el eje focal se llaman vértices.

- El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la elipse.

- La recta que pasa por el centro perpendicular al eje focal se llama eje normal.

- La elipse tiene dos lados rectos (latus rectum), son las cuerdas perpendiculares al eje focal

que pasan por cada foco.

- ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Al igual que la circunferencia, la elipse tiene los parámetros que la caracterizan, los cuales se describen a continuación.

Los parámetros de la elipse son:

Vértices mayores: V y V’

Vértices menores: u y u’

Focos: f y f’

Eje mayor: 2a (Distancia V V‘ )

Eje menor: 2b (Distancia u u‘ )

Por definición: 2a > 2b

a = longitud del semieje mayor

b = longitud del semieje menor

c = longitud del semieje focal

Relación pitagórica: a2 = b2 + c2

Centro: Po (h, k)

ECUACIÓNES DE LA ELIPSE

Elipse de centro en (h.k) y eje focal paralelo a un eje coordenado.

a) Ecuación de la elipse con eje focal paralelo al eje X

( ) + ( ) = 1( I )

b) Ecuación de la elipse con eje focal paralelo al eje Y

( ) + ( ) = 1 (II)

Elipse de centro en (0.0) y eje focal paralelo al eje X. Su ecuación se reduce a:

+ = (IV)

Elipse de centro en (0.0) y eje focal paralelo al eje Y. Su ecuación se reduce a:

+ = (V)

EXCENTRICIDAD:

El concepto de excentricidad es usado para describir la forma de la curva, haciendo una relación

de cociente entre la longitud del foco y la longitud del eje mayor. Estonos permite determinar si

la elipse es aplanada o abombada.

La excentricidad se define como:

=

Para la elipse la excentricidad esta entre 0 y 1. (0 <e< 1). Cuando e→0 la elipse es casi circular,

cuando e→1 la elipse es casi plana. ( → Significa tiende o se acerca a ……)

Para la circunferencia la excentricidad es cero (e = 0), esto significa que cuando e =0, la figura

es concéntrica. Lo anterior quiere decir que si a = b, entonces c = 0, obteniendo así una

circunferencia.

RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE LA ELIPSE

APLICACIONES La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol, sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148.5 millones de kilómetros y qué la excentricidad vale 0,017, hallar la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol. Respuesta: Máxima distancia 152 millones dekilómetros

Mínima distancia 146 millones de kilómetros

PROBLEMAS RELATIVOS A LA ELIPSE

Ejemplo 1:

1) Una elipse tiene vértices mayores en (±8, 0) y focos en (±5, 0), cuál es su excentricidad. Solución: Por la ecuación: = = = 0, 625

Consiste en una elipse con tendencia a ser plana.

Ejemplo 2:

2) Analizar la ecuación de la elipse: ( ) + ( ) = 1

Solución: Comparando con la fórmula (I) se tiene: PO(h, k)= PO(2, - 3);

Por la relación pitagórica Si a2 = 25 => a = 5 Si b2 = 9 => b = 3, entonces c = 4 Focos:

F1 (h+c, k) = F1 (2+4, -3) = F1( 6, -3)

F2 (h-c, k) = F2 (2- 4, -3) = F2 (-2, -3)

Vértices:

V1 (h+a, k) = V1 (2+5, -3) =V1 ( 7, -3)

V2 (h-a, k) = V2 (2- 5, -3) = V2 ( -3, -3)

Lado recto:

LR = = =

Excentricidad:

=

Gráfico de la elipse Ejemplo 3: Una elipse tiene como vértices: (±4,0) y focos (±2,0) Solución: Como se conocer los vértices, entonces: a = 4, a2 = 16

También se conocen los focos: c = 2, c2 = 4

Para hallar b: b2 = a2 – c2, b2 = 16 – 4 = 12

A partir de los datos, construimos la ecuación:

Ecuación canónica de la elipse con vértices en (±4,0) y focos en (±2,0) Los otros parámetros:

Eje Mayor: a = 4, 2a = 8

Eje Menor: b = = 2 ⇒⇒2b = 4

Bosquejo de la gráfica: Ejemplo 4: Dada la ecuación de la elipse 9x2 + 4y2= 36. Hallar los vértices, los focos, los ejes yhacer un

bosquejo de la gráfica.

Solución: Lo primero es transformar la ecuación dada a forma canónica, lo cual se consiguedividiendo todo por 36, veamos:

9x2 + 4y2= 36. + = 1 Como a2 = 9 esta sobre el eje y, entonces el eje mayor esta sobre dicho eje, igual que los focos.

Se puede decir que la elipse es vertical.

Como a2 = 9 a = 3 Como b2 = 4 b = 2, entonces c2= a2 – b2 9 – 4 = 5 c2 = Eje mayor: 2a = 2(3) = 6

Eje menor: 2b = 2(2) = 4

Focos:f (0, ) y f '(0,− )

Bosquejo de la gráfica:

Ejemplo 5: Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (3, 0) y (-3, 0) y su excentricidad

= 3 4

Sol. La elipse tiene eje focal horizontal, su centro es Po = (0,0), por punto medio de un segmento. Semidistancia focal: c =d , = 3

= = sustituyendo c = 3, => a = 4

b2 = a2- c2 => b2 = 16 - 9 = 7 La ecuación pedida es:

+ =

O también: 7x2 + 16y2 = 112 BIBLIOGRAFIA Textos de apoyo:

DEPARTAMENTO, Ediciones Educativas (2002) Matemáticas I y II, Editorial Santillana; La

Paz

GUTIÉRREZ F, Pedro Antonio .MatemáticaEditorial la Hoguera; Santa Cruz – Bolivia.

DÍAZ DE MEDINA, José. Matemática Sexto, Ediciones Bruño; Cochabamba – Bolivia.

GEOMETRÍA ANALÍTICA y Cálculo I. Autores: Prof. Jaime Ballesteros y Prof. Guadalupe

Lozano.

MMATEMATICA PRÁCTICA de Prof. Gladys Columba y Prof. Felipe Cascos.

CHOQUE, Puña Paulino, Algebra

CHUNGARA Castro Víctor, Calculo I

Gutiérrez F. Pedro Antonio, Matemática6º Editorial la Hoguera.

AUTOEVALUACIÓN DEL ESTUDIANTE NOMBRE Y APELLIDO……………………………………………………….……………………………….…....…... CURSO ……………………………..……….….…………….. ASIGNATURA ………………………………….……………..........………………………..….. FECHA ……………………………………………………………….…..

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- LEER ATENTAMENTE LAS FRASES Y ASIGNE UN PUNTAJE A CADA RESPUESTA MARCANDO UNA X, TOMANDO EN CUENTA SUS ACCIONES, ACTITUDES Y CAPACIDADES DESARROLLADAS DURANTE EL BIMESTRE ASUMIENDO COHERENCIA Y SINCERIDAD EN SUS RESPUESTAS, MARCA SOLO UNA VEZ EN CADA ITEM.

DIMENSION DEL SER SIEMPRE

AVECES

NUNCA TOTAL 100 pts

Soy responsable a la hora de trabajar en clases, aprovechando el tiempo y no perderlo en charlas

Soy responsable como estudiante, cuando se me asignan responsabilidades.

Cumplo oportunamente con las responsabilidades que me dan en la casa y en el colegio.

Soy responsable a la hora de realizar trabajos en casa, sean tareas de colegio o del hogar.

Realizo mis trabajos de aula de manera independiente, reflexionando sobre lo que hago.

DIMENSION DEL SABER SIEMPRE

AVECES

NUNCA TOTAL 100 pts

Practico los valores éticos de respeto de mi hogar y los de mi comunidad.

Realizo mis trabajos de aula, con dedicación, limpieza y los presento completos y a tiempo.

Comprendo mi realidad y me ubico que estoy en clases y no en la calle, al comportarme.

Comprendo que mi localidad y mi país tienen acontecimientos positivos y negativos.

Realizo mis trabajos de manera individual sin copiarme de mis compañeras/os.

DIMENSION DEL HACER SIEMPRE

AVECES

NUNCA TOTAL 100 pts

Resuelvo las dificultades que tengo en mis trabajos, recurriendo a todo recurso disponible.

Redacto textos comunicativos con la debida claridad, de acuerdo a la necesidad.

Realizo investigaciones en mis textos como en otros, para mejorar mis conocimientos.

Participo de manera adecuada en debates y preguntas sobre temas que se avanzan en clases.

Cuido el medio donde vivo y trabajo, colocando la basura en su debido lugar.

DIMENSION DEL DECIDIR SIEMPRE

AVECES

NUNCA TOTAL 100 pts

Participo de los proyectos socioproductivos de la escuela, para mejorar formas de vida.

Decido con responsabilidad qué actitudes tener frente a determinadas situaciones.

Participo con responsabilidad del orden de la clase y normas de convivencia en el aula.

Soy ordenada/o en clases, al momento de las explicaciones y de realizar actividades.

Participo responsablemente para que mis compañeras/os de

clase sean ordenados.