INTRODUCCIÓN

Este método permite ver, la ecuación de curvatura de la viga, la cual

resulta del análisis de la ecuación diferencial de la línea elástica de una viga

a flexión pura. La primera integración de la ecuación da la pendiente de

la elástica en cualquier punto; la segunda integración se obtiene la ecuación

de la elástica misma.

MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi

cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente

determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de

fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la

pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral.

El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión

en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

………….. ( 1 )

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo

largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe

expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin

embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la

flexión es constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de

rigidez e integrar respecto a ‘x’.

Planteamos:

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las

condiciones de frontera, como se explicará más adelante.

Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la

aproximación:

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la

recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia

‘x’ medida desde un extremo de la viga.

El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de

las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse

la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.

Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo,

por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:

x = LA → y = 0

Y, debido al apoyo en ‘B’ :

x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’:

x = LA → y = 0 x = LA → q = 0

PROCESO DE INTEGRACIÓN

El método de la doble integración para calcular la flecha de las vigas consiste

simplemente en integrar la ecuación (1). La primera integración nos da la

pendiente en un punto cualquiera de la viga y la segunda, la flecha “y”

para cada valor de “x”. Indudablemente, el momento flector M ha de estar

expresado como función de la coordenada “x”, antes de poder integrar la

ecuación. Para los casos que estudiaremos, las integraciones son sumamente

fáciles.

Como la ecuación diferencial (1). es de segundo orden su solución contendrá dos

constantes de integración, que deberá calcularse a partir de las condiciones de

pendiente o flecha conocidas en determinados puntos de la viga. Por ejemplo, en

el caso de una viga en voladizo, se determinarán las constantes por las

condiciones de variación de pendiente cero y flecha nula en el extremo empotrado.

Para describir el momento flector en las diversas regiones a lo largo de la viga,

frecuentemente se necesitan dos o más ecuaciones. En tal caso, debe escribirse

la ecuación 1 para cada región y en cada una de ellas se obtendrán dos

constantes en la integración, constantes en la integración, constantes en la

integración, constantes que deberán determinarse de modo que las deformaciones

y pendientes sean continuas en los puntos comunes a dos regiones.

CRITERIOS DE SIGNOS:

Se conservarán los criterios de signos de los momentos flectores. Las cantidades

“ E I ” que aparecen en la ecuación (1) son, indudablemente, positivas, por lo que

si M es positivo para un cierto valor de “x”, también lo es.

Con el criterio anterior de signos de los momentos flectores es necesario

considerar la coordenada x positiva hacia la derecha a lo largo de la viga y la

flecha y positiva hacia arriba.

HIPÓTESIS Y LIMITACIONES:

Al deducir (1) se supone que las deformaciones producidas por la ecuación del

cortante son despreciables comparadas con las producidas por la flexión. También

se supone que las deformaciones son pequeñas que las deformaciones son

pequeñas comparadas con las dimensiones de la sección de la viga. Además, se

admite que la viga es recta antes de la aplicación de las cargas. Todas estas

condiciones se añaden a las hipótesis referentes a la teoría de las vigas.

CONCLUSIÓN

Se utilizan varios métodos para determinar la deformación de las vigas. Aunque

basados en los mismos principios, difieren en su técnica y en sus objetivos

inmediatos. En primer lugar se estudia un procedimiento modernizado del método

de la doble integración, que simplifica mucho su aplicación. Otro método, el del

área de momentos, se considera el más directo de todos en especial si se desea

conocer la deformación en un punto determinado, y es no solamente sencillo sino

extremadamente rápido.