METODOS TEORICOSSe llamavectorde dimensina unatupladenmeros reales(que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores dedimensinse representa como(formado mediante elproducto cartesiano).As, un vectorperteneciente a un espaciose representa como:(left), dondeUn vector tambin se puede ver desde el punto de vista de lageometracomovector geomtrico(usando frecuentemente el espacio tridimensional bidimensional).Un vector fijo del plano eucldeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres caractersticas:123 mdulo: la longitud del segmento direccin: la orientacin de la recta sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la rectaEn ingls, la palabra "direction" indica tanto la direccin como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos caractersticas: mdulo y direccin.4Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras maysculas, por ejemplo, que indican su origen y extremo respectivamente.

SUMA DE VECTORESDados dos vectores libres del planoayb, se define susumacomo el vector libre construido as:- Se elige un punto arbitrario del plano, O.- Con origen en O se busca un representante del vectora. Se llamar P a su extremo.- Con origen en P se busca el vectorPQ, representante deb.- El vector sumaa+bviene representado por el vector fijo,OQ(se une el origen del representante deacon el extremo del representante deb).Propiedades de la suma de vectoresConmutativa:Dados dos vectores del planoayb,a+b=b+a.Asociativa:Dados tres vectoresaybycdel plano, (a+b) +c=a+ (b+c).Elemento neutro: Dadoa, un vector cualquiera del plano,a+0=0+a=a.Es decir, el vector0es el elementoneutrode la operacin suma de vectores libres del plano.Demostracin:Recurdese que0es el vector del plano formado por todos los vectores fijos cuyo origen coincide con el extremo.Se elige un punto fijo del plano, O, y con origen en O se busca el vectorOPrepresentante dea.Los vectoresOOyPPson representantes del vector0.As se tiene:a+0=OP+PP=OP=ay0+a=aElemento simtrico:Dado un vectoradel plano, existe otro vector -a, tal que,a+ (-a) = (-a) +a=0. El vector -arecibe el nombre desimtricouopuestodea.

Clasificacin de vectores Vectores libres: no estn aplicados en ningn punto en particular. Vectores deslizantes: su punto de aplicacin puede deslizar a lo largo de su recta de accin. Vectores fijos o ligados: estn aplicados en un punto en particular. Vectores unitarios: vectores de mdulo unidad. Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o lneas de accin pasan por un mismo punto. Tambin se les suele llamar angulares por que forman un ngulo entre ellas. Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y direccin, pero sentidos contrarios.1En ingls se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la direccin tambin indica el sentido. Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de accin. Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rgido actan dos o ms fuerzas cuyas lneas de accin son paralelas. Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de accin son coplanarias (situadas en un mismo plano).Clasificacin de los campoUn campo esuniformesi la magnitud que define al campo permanece constante.Un campo se denominaestacionariosi no depende del tiempo.Campos escalares, vectoriales y tensorialesUna clasificacin posible atendiendo a la forma matemtica de los campos es: Campo escalar: aquel en el que cada punto del espacio lleva asociada unamagnitudescalar. (campo detemperaturasde unslido, campo depresiones atmosfricas...) Campo vectorial: aquel en que cada punto del espacio lleva asociado unamagnitudvectorial(campos de fuerzas,...). Campo tensorial: aquel en que cada punto del espacio lleva asociado untensor(campo electromagntico enelectrodinmicaclsica, campo gravitatorio enteora de la relatividad general, campo detensionesde un slido, etc.). Campo espinorial: un campo que generaliza al tipo anterior y que aparece slo enmecnica cunticayteora cuntica de campos

Propiedades de campos escalares y vectorialesDado un campo fsico es comn definir, segn el tipo de campo algunas de las siguientes caractersticas de dicho campo: Intensidad, que puede definirselocalmentedada una regin arbitrariamente pequea, puede definirse la intensidad del campo, como un escalar formado a partir de las componentes tensoriales del campo. Cuanto mayor es dicha intensidad mayor el efecto fsico o la perturbacin que el campo ocasiona en una determinada regin. Flujo, que slo puede definirse sobre una superficie, por lo que el flujo de un campo a travs de una superficie depende tanto del campo de la superficie escogida y por tanto no es una propiedad intrnseca del campo a diferencia de la intensidad.Segn el tipo de campo fsico pueden definirse otros campos derivados como operadores diferenciales sobre las componentes del campo original, los tipos operaciones usadas para definir estos otros campos derivados son: Potencial escalar, definible para campos vectoriales irrotacionales, es decir, cuyo rotacional es nulo en una regin simplemente conexa. Potencial vectorial, definible para camposvectoriales solenoidales. Gradiente, definible para un campo escalar cualquiera. Rotacional, definible para cualquier campo vectorial, es otro campo vectorial derivado del primero. Divergencia, definible para cualquier campo vectorial, es un campo escalar derivado del campo vectorial.Propiedades de las operaciones matemticasF es cerrado para la suma y la multiplicacin Para toda a, b en F, a + b y a * b pertenecen a F (o ms formalmente, + y * son operaciones matemticas en F)Asociatividad de la suma y la multiplicacin Para toda a, b, c en F, a + (b + c) = (a + b) + c y a * (b * c) = (a * b) * c.Conmutatividad de la suma y la multiplicacin Para toda a, b en F, a + b = b + a y a * b = b * a. Existencia de un elemento neutro para la suma y la multiplicacin Existe un elemento 0 en F, tal que para todo a en F, a + 0 = a. Existe un elemento 1 en F diferente a 0, tal que para todo a en F, a * 1 = a. Existencia de elemento opuesto y de inversos Para cada a en F, existe un elemento -a en F, tal que a + (- a) = 0. Para cada a 0 en F, existe un elemento a -1 en F, tal que a * a-1 = 1.Distributividad de la multiplicacin respecto de la sumaPara toda a, b, c, en F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c). El requisito a 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (F, +) y (F - { 0 }, *) son grupos conmutativos y que por lo tanto (vase la teora de grupos) el opuesto -a y el inverso a-1 son determinados nicamente por a. Adems, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos: (a*b)-1 = a-1 * b-1 con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas tiles incluyen -a = (-1) * a y ms generalmente - (a * b) = (-a) * b = a * (-b) as como a * 0 = 0, todas reglas familiares de la aritmtica elemental.Cuerpo de escalaresSe define as al conjunto de nmeros que son elementos de un cuerpo algebrico, sea real o complejo. Otra acepcin: Campo escalar o Campo de escalares.Propiedades de los cuerpos Todo cuerpo es dominio de integridad Si (K, + , *) es un cuerpo, entonces, (K, +) y (K{0}, *) son grupos abelianosDefinicinUn cuerpoes unanillo de divisinconmutativo, es decir, un anillo conmutativo yunitarioen el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjuntoKen el que se han definido dosoperaciones, + y , llamadasadicinymultiplicacinrespectivamente, que cumplen las siguientes propiedades:Kes cerrado para la adicin y la multiplicacinPara todoa,benK,a+byabpertenecen aK(o ms formalmente, + y sonoperaciones matemticasenK);Asociatividadde la adicin y la multiplicacinPara todaa,b,cenK,a+ (b+c) = (a+b) +cya (bc) = (ab) c.Conmutatividadde la adicin y la multiplicacinPara todaa,benK,a+b=b+ayab=ba.Existencia de unelemento neutropara la adicin y la multiplicacinExiste un elemento 0 enK, tal que para todoaenK,a+ 0 =a.Existe un elemento 1 enK, diferente de 0, tal que para todoaenK,a 1 =a.Existencia deelemento opuestoy de inversos:Para cadaaenK, existe un elemento -aenK, tal quea+ (-a) = 0.Para cadaa 0 enK, existe un elementoa-1enK, tal queaa-1= 1.Distributividadde la multiplicacin respecto de la adicinPara todaa,b,c, enK,a (b+c) = (ab) + (ac).El requisito a 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existandivisores de cerodistintos de 0, lo que lo convierte tambin en undominio de integridad. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (K, +) y (K- { 0 }, ) songrupos conmutativosy que por lo tanto (vase lateora de grupos) elopuesto-ay elinversoa-1son determinados nicamente pora. Adems, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos:(ab)-1=a-1b-1con tal queaybsean diferentes de cero. Otras reglas tiles incluyen -a= (-1) ay ms generalmente - (ab) = (-a) b=a (-b)as como a 0 = 0,todas reglas familiares de laaritmticaelementalDefiniciones alternativasEnlgebra abstracta, uncuerpoocampoes unaestructura algebraicaen la cual las operaciones llamadas adicin y multiplicacin se pueden realizar y cumplen las propiedades:asociativa,conmutativaydistributivade la multiplicacin respecto de la adicin,1adems de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adicin y otro para la multiplicacin, los cuales permiten efectuar las operaciones desustraccinydivisin(excepto la divisin por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmtica de nmeros ordinarios.Los cuerpos son estructuras algebraicas importantes de estudio en diversas ramas de la matemtica: lgebra, anlisis matemtico, teora de los nmeros, puesto que proporcionan la generalizacin apropiada de dominios de nmeros tales como los conjuntos denmeros racionales, de losnmeros reales, o de losnmeros complejos. Los cuerpos eran llamadosdominios racionales.El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto deespacio vectorialy las transformaciones en estos objetos, dadas pormatrices, dos objetos en ellgebra linealcuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. Lateora de Galoisestudia las relaciones de simetra en las ecuaciones algebraicas, desde la observacin del comportamiento de sus races y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relacin con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

Sintticamente, UnanilloPse llamacuerpo, si consta no slo del cero y en l es posible la divisin en todos los casos( salvo la divisin por cero), determinndose esta unvocamente, esto es, si para cualesquiera elementosmyndeP, de los cualesnes diferente de cero, existe enPun elementoq, y slo uno, que cumple la igualdadnq=m. El elementoqse denominacocientede los elementosmyny se denotaq=m/n.2