Minimo y Maximo

7/21/2019 Minimo y Maximo

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MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma deacer al!o" En mucas ocasiones a tra#$s de los %oderosos mecanismos de c&lculodiferencial es %osible encontrar res%uesta a estos %roblemas' (ue de otro modo %arecer)aim%osible su soluci*n"

Entre los #alores ( %uede tener una funci*n +Y, %uede aber uno (ue sea el mas !rande -otro (ue sea el mas %e(ue.o" A estos #alores se les llama res%ecti#amente %unto m&/imo- %unto m)nimo absolutos"

Si una funci*n continua es ascendente en un inter#alo - a %artir de un %unto cual(uieraem%ie0a a decrecer' a ese %unto se le conoce como %unto critico m&/imo relati#o' aun(uecom1nmente se le llama solo m&/imo"

2or el contrario' si una funcion continua es decreciente en cierto inter#alo asta un %untoen el cual em%ie0a a ascender' a este %unto lo llamamos %untro critico minimo relati#o' osim%lemente minimo"

3na funcion %uede tener uno' nin!uno o #arios %untos criticos"Cur#a sin m&/imos ni m)nimos funci*n sin m&/imos ni m)nimos

4unci*n con un m&/imo cur#a con un m&/imo - un m)nimo

Cur#a con un m)nimo cur#a con #arios m)nimos - m&/imos



La %endiente de la recta tan!ente a una cur#a +deri#ada, en los %untos cr)ticos m&/imos -m)nimos relati#os es cero' -a (ue se trata de una recta ori0ontal"

En los %untos cr)ticos m&/imos' las funciones tienen un #alor ma-or (ue en su entorno'mientras (ue en los m)nimos' el #alor de la funci*n es menor (ue en su entorno"

En un %unto critico ma/imo relati#o' al %asar la funcion de creciente a decreciente' suderi#ada %asa de %ositi#a a ne!ati#a"

En un %unto critico minimo relati#o' la funcion deja de decrecer - em%ie0a a sercreciente' %or tanto' su deri#ada %asa de ne!ati#a a %ositi#a"

METO5OS 2ARA CALC3LAR MAXIMOS Y MINIMOS 5E 3NA 43NCION

2ara conocer las coordenadas de los %untos cr)ticos m&/imos - m)nimos relati#os en unafunci*n' anali0aremos dos mecanismos6

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION

CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.

obtener la %rimera deri#ada"

i!ualar la %rimera deri#ada a cero - resol#er la ecuaci*n"

El #alor o #alores obtenidos %ara la #ariable' son donde %udiera aber m&/imos om)nimos en la funci*n"

se asi!nan #alores %r*/imos +menores - ma-ores res%ecti#amente, a la #ariableinde%endiente - se sustitu-en en la deri#ada" Se obser#an los resultados7 cuando estos %asan de %ositi#os a ne!ati#os' se trata de un %unto m&/imo7 si %asa de ne!ati#o a %ositi#o el %unto cr)tico es m)nimo"

Cuando e/isten dos o m&s resultados %ara la #ariable inde%endiente' debe tener la %recauci*n de utili0ar #alores cercanos a cada uno - a la #e0 distante de los dem&s' a finde e#itar errores al inter%retar los resultados"

sustituir en la funci*n ori!inal +Y, el o los #alores de la #ariable inde%endiente +X, %aralos cuales ubo cambio de si!no" Cada una de las %arejas de datos as) obtenidas'corres%onde a las coordenadas de un %unto cr)tico"

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este m$todo es m&s utili0ado (ue el anterior' aun(ue no siem%re es m&s sencillo" Se basaen (ue en un m&/imo relati#o' la conca#idad de una cur#a es acia abajo - enconsecuencia' su deri#ada ser& ne!ati#a7 mientras (ue en un %unto m)nimo relati#o' laconca#idad es acia arriba - la se!unda deri#ada es %ositi#a"

Este %rocedimiento consiste en6

calcular la %rimera - se!unda deri#adasi!ualar la %rimera deri#ada a cero - resol#er la ecuaci*n"

sustituir las ra)ces +el #alor o #alores de X, de la %rimera deri#ada en la se!undaderi#ada"

Si el resultado es %ositi#o' a- m)nimo" Si la se!unda deri#ada resulta ne!ati#a' a- unm&/imo"



Si el resultado fuera cero' no se %uede afirmar si a- o no un m&/imo o m)nimo"

sustituir los #alores de las ra)ces de la %rimera deri#ada en la funci*n ori!inal' %araconocer las coordenadas de los %untos m&/imo - m)nimo"

A2LICACI8N 5E MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOL3CION 5E2RO9LEMAS

E/isten mucos cam%os del conocimiento +aritm$tica' !eometr)a' econom)a' f)sica' biolo!)a' industria' etc", donde se %resentan %roblemas (ue se resuel#en a%licando losconce%tos de m&/imos - m)nimos del c&lculo diferencial"

2ara resol#er los %roblemas a %artir de los datos e/istentes' es im%ortante en %rimer lu!ar'encontrar la e/%resi*n matem&tica de la funci*n (ue re%resente el %roblema - cu-os#alores m&/imos o m)nimos se desean obtener"

Si la e/%resi*n matem&tica contiene #arias #ariables' deber& %lantearse en funci*n de unasola7 las condiciones del %roblema deben a%ortar suficientes relaciones entre las#ariables' %ara %oderse e/%resar a todas ellas en funci*n de una sola #ariableinde%endiente"

3na #e0 (ue se ten!a la funci*n en la forma Y:f+X,' se a%lican las normas -a estudiadas"

En mucos %roblemas %r&cticos resulta mu- sencillo identificar cuales #alores cr)ticosdan m&/imos o m)nimos7 - en consecuencia' -a no ser& necesario a%licar el %rocedimiento com%leto"

Es con#eniente construir la !rafica (ue re%resente la funci*n en cuesti*n' a fin de#erificar los resultados obtenidos"

2RO9LEMAS

• se tiene una l&mina circular (ue tiene de radio ;< cm" 5e la (ue se desea cortar unrect&n!ulo de la ma-or &rea %osible"

• =>u$ medidas debe tener el rect&n!ulo?

• =Cu&l debe ser el &rea m&/ima,

Al!unas formas de recortar rect&n!ulos en el c)rculo

Si re%resentamos la lon!itud del rect&n!ulo con L" La ancura con A" siendo el di&metro5 : @ r : B< cm" 2uesto (ue el di&metro del c)rculo es la recta trans#ersal delrect&n!ulo' (ue lo di#ide en dos tri&n!ulos rect&n!ulos6

2or el teorema de 2it&!oras6 L@ A@ : 5@ +B< cm",@

L @ A@ : D<<

A : D<< F L@El &rea del rect&n!ulo ser& Y : L A : L D<< F L@ obteniendo el ma/imo de la funci*n6

Y : L D<< F L@

L@

Y : D<< F L@ F D<< F L@ se i!uala la deri#ada a cero

L@



D<< F L@ F D<< F L@ : < des%ejando L en la deri#ada

L : DG<< Al sustituir en la funci*n6

Y : L D<< F L @ : DG<< D<< F DG<< : DG<<

2ara encontrar la ancura del cuadrado

A : D<< F L : D<< F DG<< : DG<<El rect&n!ulo soluci*n' resulto el cuadrado (ue mide %or lado DG<< DD cm"

Corres%ondi$ndole un &rea de DG<< cm@

• con una malla de HG< m" se desea cercar un terreno rectan!ular"

• =Cu&les deben ser las medidas del terreno %ara (ue su &rea sea m&/ima?

• Se %ueden cercar infinidad de terrenos rectan!ulares con una malla de HG<m" a(u) al!unos casos"

Terreno num" lar!o anco 2er)metro rea

< m" G< m HG< m GG<< m@

@ B< m" J< m HG< m ;<<< m@

H @ m" ;G m HG< m G;H m@

B << m" D< m HG< m D<<< m@

J @< m" ;< m HG< m GB<< m@

Su%oniendo A : &rea del terreno' b : lon!itud - : ancura' %odemos %lantear la

funci*n"A : b

Siendo una funci*n de dos #ariables' %onemos una en funci*n de la otra6

2er)metro de rect&n!ulo : @b @ : HG<

@b : HG< F @

b : D< F

la funci*n con una #ariable es6 A : +D< F , : D< F @

Calculando el m&/imo de la funci*n6 A : D< F @

A : D< F @

D< F @ : <

: DJ

A : F @ al ser ne!ati#a la se!unda deri#ada' a- un m&/imo en : DJ

A : D< F @ : D< +DJ, F +DJ@, : D<@J

9 : D< F : D< F DJ : DJ



2or lo tanto' el terreno es un cuadrado (ue mide DJ m %or lado - su &rea es de D<@J m@

• a las H6<< 2M la %ersona A se encuentra a J< Km" Al oriente de la %ersona 9"

La %ersona A se diri!e al %oniente a ra0*n de < Km" - la %ersona 9 acia el sur a @<Km"" Si ambos mantienen sus rumbos - #elocidades

• =Cu&ndo estar&n mas %r*/imos entre si?• =Cu&l es la distancia m)nima a la (ue se acercar)an?

Consideremos A o - 9 o las %osiciones de las %ersonas a las H6<< 2M - A - 9 sus %osiciones X oras des%u$s"

La distancia recorrida en X oras es <X - @<X res%ecti#amente"

La distancia entre las dos %ersonas +Y, se %uede re%resentar en la ecuaci*n6

Y@ : +@<X, @ +J< F <X, @ de donde6

Y : +@<X, @ +J< F<X, @ : J<<X @ F H<<<X @@J<<

Calculando el m)nimo de la funci*n Y : J<<X@ F H<<<X @@J<<J<<X F J<<

Y :

J<<X@ F H<<<X @@J<<

J<<X F J<<

: < des%ejando X6

J<<X F H<<<X @@J<<

X : H

2ara X : H e/iste un m)nimo en la funci*n' %or lo tanto des%u$s de tres oras seencuentran mas %r*/imos entre si' es decir' a las 6<< 2M

La distancia (ue las se%ara en ese memento es6

Y: J<<X@ F H<<<X @@J<< : J<<+H, @ F H<<<+H, @@J<< : HB" B Km"

• 5e una lamina de @< cm" X ;J cm" Se desea construir una caja sin ta%a' delma-or #olumen %osible recortando cuadrados i!uales de las es(uinas de la l&mina- doblando acia arriba las salientes %ara tomar las caras laterales"

• =Cu&les deben de ser las dimensiones de la caja %ara (ue su #olumen seam&/imo?

• =Cu&l es el #olumen m&/imo (ue %uede contener?

Las fi!uras muestran los cortes (ue se acen a la l&mina - la fi!ura de la caja resultante"

Al asi!nar X a la altura de la caja - V a su #olumen' se e/%resa al!ebraicamente6

V : +@< F @X, +;J F @X, +X,

V : BXH F HD< X@ D<<<X

No se le %ude recortar a la l&mina m&s de H;"J cm"' %or lo (ue la altura debe estar en elinter#alo6 <XH;"J Calculando el m&/imo en la funci*n V : BXH F HD< X@ D<<<X



V : @X@ F ;G<X D<<<

@X@ F ;G<X D<<< : <

X : J< - X@ : J desde aora %uede descartarse el #alor X : J< %or estar

4uera del inter#alo6 < XH;"J

V : @BX F ;G< sustitu-endo los #alores X : J< - X@ : J en la se!unda5eri#ada6

V : @B +J<, F ;G< : B@< %or ser %ositi#o' a- un m)nimo %ara X : J<

V : @B+J, F ;G< : F B@< %or lo tanto se encuentra el ma/imo (ue buscamos en

X : J

Al sustituir an la funcion V : BXH F HD<X@ D<<<X el #alor X : J' encontramos el#olumen ma/imo de la caja6

V : B+J, H F HD< +J,@ D<<< +J,

V : < ;J< cmHLa altura debe ser X : Jcm

La lon!itud es +@< F @X, : @< F @+J, : D< cm"

La ancura es +;J F @X, : ;J F @+J, : BJ cm"

• Encontrar dos n1meros %ositi#os cu-a suma sea BB - su %roducto sea m&/imo

Si re%resentamos %or 2 - > los n1meros buscados' tendremos la funci*n Y : % > comoesta funci*n de%ende de dos #ariables' %onemos una de ellas en funci*n de la otra6

Como 2 > : BB' entonces 2 : BB F > - la funci*n (ueda de una sola #ariable6

Y : > +BB F >, : BB > F >@

Obtenemos el m&/imo de la funci*n6

Y : BB F @>

BB F @> : <

> : ;@

Y : F @ %or ser ne!ati#a la se!unda deri#ada' a- un ma/imo en > : ;@

Sustitu-endo > : ;@ en la funcion Y : BB > F >@

Y : BB +;@, F +;@, @ : JGB

2 : BB F > : BB F ;@ : ;@

Los numeros buscados son 2 : ;@ - > : @ - su %roducto 2 > : Y : JGB

• Se lan0a una %elota acia arriba' desde una altura de < m" a una #elocidad inicialde HB"H mse!" Considerando la !ra#edad : D"G mse!@" calcular6

• La altura m&/ima (ue alcan0a la %elota res%ecto al %iso"

• El tiem%o (ue tarda subiendo' bajando - durante todo el recorrido"

• La #elocidad al cocar con el %iso"



• La altura - #elocidad %or cada se!undo (ue transcurre' asta caer al %iso"

La ecuaci*n (ue re%resenta el mo#imiento de la %elota es6

e : < HB"H t F P ! t@ : < HB"H t F B"D t@

Obtenemos el m&/imos de la funci*n e : < HB"H t F B"D t@

e : HB"H F D"G t : V la #elocidad es la deri#ada del es%acio res%ecto al tiem%o"HB"H F D"G t : < En la %arte mas alta' V : <

t : H"J

e : F D"G la se!unda deri#ada del es%acio res%ecto al tiem%o es la deri#ada de la#elocidad

- es tambi$n la aceleraci*n"

Al ser ne!ati#a la se!unda deri#ada' a- un m&/imo en t : H"J

Esto si!nifica (ue la %elota tarda H"J se!undos en lle!ar a la %arte mas alta' (ue es6

e : < HB"H +H"J, F B"D +H"J,@ : @<"<@JLa altura m&/ima de la %elota con res%ecto al %iso es de @<"<@J m"

2ara calcular el tiem%o (ue tarda bajando' consideramos la ecuaci*n a %artir del %untomas alto

e : @<"<@J : B"D t @ de donde sustituimos t6

t : @<"<@J : B"DJ se!"

B"D

Todo el tra-ecto se recorre en H"J se!" B"DJ se!" : G"BJ se!"

La #elocidad al caer al %iso se %uede obtener6

A %artir del momento (ue se lan0a6

e : V : HB"H F D"G t : HB"H F D"G +G"BJ, : F BG"J mse!"

El si!no ne!ati#o se.ala (ue la %elota #a acia abajo"

A %artir del %unto m&s alto6

e : B"D t@

e : V : D"G t : D"G +B"DJ, : BG"J mse!"

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