UNIDAD 1: rELACIONES Y FUNCIONES
[UNIDAD 1: rELACIONES Y FUNCIONES]SEGUNDO AO DE BACHILLERATO
PARES ORDENADOS Y PLANO CARTESIANO.Definiciones importantes:Par
Ordenado; Los arreglos de la forma (a,b) se llaman pares ordenados
donde: a= primera componente y b= segunda componente.Igualdad de
Pares Ordenados: el par ordenado (a,b) es igual a (c,d) solo si a =
c y b = d.Plano Cartesiano: Sistema de coordenadas cartesianas
formada por dos rectas perpendiculares entre s que se cortan en un
punto llamado origen.
Eje de las ordenadas o eje de las y
= (a, b )Origen: representa el valor de cero 0Eje de las
abscisas eje de las x
Ubicar los puntos o pares ordenados en el plano cartesiano
requiere la interpretarlos as: ( x , Y) La primera componente a en
el eje de las abscisas x y la segunda componente b en el eje de las
ordenadas y.PRCTICA Coloca los siguientes pares ordenados en el
plano cartesiano: pero cuando los puntos estn ubicados en los ejes
del plano cartesiano, tienen las formas siguientes: Cuando estn en
el eje x; (a , 0), su representacin en el plano es ( x , 0) Cuando
estn en el eje y; (0, b), su representacin en el plano es (0 ,Y),
este valor (0 , b ) es llamado Intercepto pues ah corta al eje Y el
grafico. Ahora ubica los puntos siguientes:
IGUALDAD DE PARES ORDENADOSIgualdad de Pares Ordenados: El par
ordenado (a,b) es igual a (c,d) solo si a = c y b = d.En otras
palabras, sern iguales si tienen iguales sus respectivas
componentes as:(x ,y ) = (a , b ) solo si x = a y y = b
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Hagamos un mapa mental de cmo se desarrolla la igualdad de pares
ordenados: Mi problema: Encontrar los valores de la incgnita si los
pares ordenados son; Recuerda la forma de los puntos: (x , y) = (a
, b) Son la primera componente: Igualemos cada componente: la
primera con 2
Primera en cada punto y segunda con segunda: 3 4x = -5 y 3
Entonces: Ahora despejemos las incgnitas en cada caso: 3 4x = -5
Son la segunda componente: 3 + 5 = 4x = x y = 2 ( 2) 2 = X y =
4Desarrolla los siguientes casos y entrgalos a tu docente:Ejercicio
1.- ( - , 4 - ) = ( , 1 - ) Ejercicio 2.- ( , 12y - 9) = (1 - x ,
)
PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOSDefinicin Importante:
Si se tienen dos conjuntos A y B, se pueden formar parejas
cartesianas de tal manera que la primera componente ( a , _ )
pertenezca al primer conjunto A, y la segunda componente ( _ , b )
pertenezca al segundo conjunto, B; al conjunto formado por todas
las parejas cartesianas se le llama Producto Cartesiano de A x B.Se
representa as: A x B = { (a , b ) / a A y b B }
Ejemplo 1.Dados los conjuntos: A = {1, 3, 5 } y B = {2, 4
}Encontrar A x B Mi herramienta Mi problema
Usa el diagrama de Veen Euler: A BObserva lo siguiente:La
primera componente (a, _ ) pertenece al primer conjunto.La segunda
componente (_, b ) pertenece al segundo conjunto.Ejercicio:
Encontrar B x A.
1 3 5 2 4
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Ahora grafica el producto A x B en el plano cartesiano
Mi Resultado
A x B {(1,2, (1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}Practica estos casos:
Dados los conjuntos P = {0, 1, 2, 3, 4 }, Q = {3, 4, 5 }, R = { 4,
6 }Encontrar: P x Q Q x P Q x R R x Q P x R R x P Aplica el proceso
de arriba y presntalos a tu profesor/a
Tipos de Corchetes:[ _ , _ ] Corchete Cerrado:Los Lmites estn
Incluidos en este intervalo.] _ , _ [ Corchetes Abiertos:Los Lmites
NO estn incluidos en este intervalo[ 1 , 4 [ Corchete Semi
Cerrado.El Limite 1 Esta Incluido, pero el Limite 4 No est
Incluido.] 1 , 4 ] Corchete Semi Abierto.El Limite 1 NO est
incluido pero el Limite 4 SI est incluido en el Intervalo.
PRODUCTO CARTESIANO DE INTERVALOS. LIMITESComo est estructurado
un intervalo?
[ 1 , 4 ]
Los Smbolos de Desigualdad asociados a los corchetes son: [ _ ,
_ ] ] _ , _ [ > 0; y X 0 la convexidad es hacia abajo. Si a <
0; y X 0 la convexidad es hacia arriba.
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RUTA DE SOLUCIONEjemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y
grafica la funcin: Compltalo con tu profesor/a1.- has una tabulacin
para mayor facilidad:2.- Dominio: Recorrido:
FUNCION CONSTANTE Su forma: Caractersticas: No posee variable X,
en todo caso es de la forma Y La grafica es una lnea recta
horizontal pues el valor corresponde al intercepto en el eje Y.
RUTA DE SOLUCION: Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y
grafica la funcin: 1.- La tabulacin para mayor facilidad:
2.- Dominio: Recorrido
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FUNCION CUBICASu forma es: Caractersticas: Si grado de la funcin
polinomial es tres ( , entonces la funcin es cubica. La grafica es
una Parbola cubica. O as
1
2
RUTA DE SOLUCIONEjemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y
grafica la funcin: Compltalo con tu profesor/a1.- has una tabulacin
para mayor facilidad:2.- Dominio: Recorrido:
Ahora a practicar; no olvides la ruta de solucin, Tabular,
Dominio y Recorrido y graficar: 5)
Entrgalos a tu maestro/a en limpio 6)
2) Y = 7)
3) 8)
4) 9) Y = 2
10) Y = -2
Evaluacin de las Funciones. Evaluar una funcin significa
encontrar el valor de la variable dependiente, al sustituirla en la
Regla de Correspondencia el respectivo valor de la variable
independiente.Funcin Real de Variable Real: Es aquella en la que el
Dominio y el Recorrido lo constituyen el conjunto de los nmeros
Reales R.
FUNCION INVERSAFunciones Crecientes y Decrecientes: al graficar
una funcin nos podemos dar cuenta si es creciente o decreciente as:
Creciente, Cuando a un aumento en el Dominio X corresponde un
aumento en el Recorrido Y, por el contrario es Decreciente cuando a
un aumento en el Dominio X corresponde una disminucin en el
Recorrido Y. Toda funcin Creciente o Decreciente es uno a
uno.Funcin Inyectiva o funcin uno a uno: es aquella en donde a cada
valor de Y en el Recorrido, le corresponde uno y solamente un nico
valor de X en el Dominio.Evaluar la funcin si es uno a uno: debemos
graficar la funcin y trazar rectas horizontales que intersecten la
grafica, si las rectas horizontales la cortan una sola vez entonces
es una funcin uno a uno.No todas las funciones tienen una funcin
inversa; solamente las funciones uno a unoDefinicin Importante:
Por Ejemplo: demostrar que la funcin es creciente o uno a
uno.Paso 1. Siempre Tabula: Es Creciente en]-, -2] U [2, +[ Es
Decreciente]-2, 2]
CrecienteDecrecienteCreciente
Practica y entrgalos a tu maestro/a Indica los intervalos donde
la funcin dada es creciente y donde es decreciente.
Indica los intervalos donde la funcin dada es creciente y donde
es decreciente.
No todas las funciones tienen una funcin inversa, las nicas
funciones que poseen inversa son las funciones uno a uno o
Inyectivas o lo que es lo mismo las que son crecientes o
decrecientes.Si es una funcin Inyectiva entonces su inversa es , de
aqu concluimos que:1) El Dominio de = Rango de .2) El Rango de =
Dominio de
El mtodo para encontrar la Funcin Inversa de una Funcin es:a) Se
determina si la funcin dada es uno a uno o Inyectiva.b) Se
intercambian las variables X y Y para obtener . X por Y y Y por
Primero
Hagamos un ejemplo: Encontrar la funcin inversa de la funcin
Demuestra si la funcin es uno a uno. Compltalo
Segundo
Y = 3X + 4 Intercambiemos: X por Y y X por X = 3 + 4 ahora
despejemos 4 esta sumando pasa a restar. X 4 = 3 3 esta
multiplicando pasa a dividir. = as hemos encontrado Inversa.
Compara las graficas y que concluyes?
Practica y entrgalo a tu maestro/a: Encuentra las funciones
inversas a las funciones siguientes:1) 2) 3) No olvides la ruta de
solucin: Verifica si es uno a uno, intercambia las variables X por
Y , despeja Y , luego sustituye a y por .
Cuando una funcin NO cumple con la condicin de ser uno a uno o
Inyectiva, se puede restringir el dominio, de tal manera que la
funcin dada se convierta en una funcin uno a uno y poder obtener su
inversa, el procedimiento para ello es el siguiente:Ejemplo: para
Hagamos la grafica: usa algunos valores Observa: est formada por
dos Rectas. Y = X 3 Dominio: [-3, + [ e y =-(x 3) Dominio:]-, 3]
Por lo tanto no es Inyectiva. Para Transformarla en Inyectiva
tomamos cualquiera de los dominios: Dominio: [-3, + [ Dominio:]-,
3] . Si tomamos el Dominio restringido: [-3, + [, corresponde a Y =
x 3 saquemos la funcin inversa: Y = x 3 Se intercambian las
variables X y Y para obtener . X por Y y Y por . despejando y
Entonces , grafiquemos esta funcin: probemos si es uno a uno
Ojo
Y = x 3
Y = -(x 3)
Si tomamos el otro Dominio Dominio:]-, 3] que corresponde a y =
- (x 3) = .Encontremos su inversa: Grafiquemos;
Intenta uno: y entrgalo.
FUNCIONES TRASCENDENTES
Definiciones importantes:
Funcin Exponencial: Las funciones exponenciales describen
crecimientos o decrecimientos acelerados y su aplicacin se da en
campos como la Demografa, la Qumica, la Economa, la Biologa entre
otras ciencias. Llamada funcin exponencial de base a.Algunos
ejemplos de bases son:
Veamos cada una de ellas:
Forma de la Funcin exponencial. Exponencial
CARACTERISTICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL.1) Dominio = Reales.2)
Recorrido = Reales + 3) El intersecto es (0, 1)4) Es funcin uno a
uno5) El eje x es una asntota.
Hagamos un ejemplo:
Encuentra el Dominio y Recorrido y Grafcala.El Dominio,
Recorrido y la Grafica de una Funcin Exponencial:Para con a > 0
y 1 se tiene que:Dominio = Reales y el Recorrido = Reales +
SIGUE LA RUTA YA APRENDIDA:Paso I: Tabular, compltala:
Paso II: Grafcala
Paso III: Dominio: Reales Recorrido: Reales + +++
Resuelve las siguientes funciones, siguiendo los pasos de
arriba, compralas y llega a conclusiones con tu profesor/a, no
olvides presentarlos en limpio.1) 2) 3)
CRECIMIENTO EXPONENCIAL.Una aplicacin de las funciones
exponenciales es la descripcin del crecimiento poblacional, la
propagacin de una enfermedad, el crecimiento del dinero depositado
en una cuenta de ahorros, hagamos algunas demostraciones.Ejemplo 1:
Elisa deposita $ 500.00 en un banco que paga el 5.56% de inters
anual Cunto dinero tendr ahorrada despus de uno, tres y cinco aos?,
si la ley de asignacin que se aplica es Donde: C = Cantidad inicial
capital r = tasa de crecimiento X = Tiempo Cantidad FinalRuta a
seguir:1: que ley de asignacin se aplica. 2: con que datos
contamos. C = $ 500.00 r = 5.56% X = 1, 3, 5 aos.3: sustituir estos
datos en la ley de asignacin: ; ; 4: Grafiquemos para visualizar
mejor el comportamiento del ahorro.
1) Se ahorran $2,200.00 si pasados x aos el nuevo saldo se rige
por la ley de asignacin: cuanto dinero se tendr al cabo de 3
aos?
2) Se ahorro una cantidad C de dinero, el nuevo saldo pasado 10
aos es de $ 63510.0 y se rige por la ley de asignacin
3) Un trabajador se jubila al cabo de 30 aos de servicio y
recibe una bonificacin de $ 25,000.00 y desea ahorrarlo a una tasa
de 8% de inters, cuanto tendr ahorrado al final 5 aos.
4.- El crecimiento demogrfico en cierta ciudad de El Salvador se
rige por la ley de asignacin . Cual es la poblacin al momento del
estudio?, que poblacin despus de un ao? Y la poblacin despus de
quince aos.
5.- Un cultivo de Bacterias crece de acuerdo a la ley de
asignacin Donde t esta expresado en das, a) despus de una semana.
b) despus de tres semanas
Funcin Logartmica.Los logaritmos nos ayudan a resolver problemas
de aritmtica y geometra entre otros con mayor facilidad, de esta
manera en lugar de multiplicaciones se hacen solamente sumas;
llamado esto PROPIEDAD 1, y en lugar de las multiplicaciones se
hacen restas; PROPIEDAD2.La Funcin exponencial es uno a uno por lo
tanto tiene su Inversa de aqu la funcin logartmica. Donde y >
0
Conceptos importantes:
el Dominio son los Reales +.El Recorrido es: Los Reales
Logaritmo de base a de x Si solo si ES decir que y es el
logaritmo base a de x esto solo si y es el exponente al cual debe
elevarse al cual se eleva la base a para obtener x
Ejemplo:
Otros Ejemplos:Expresar en forma Logartmica: solucin: Si
encontrar el valor de x solucin: = x, x = 20Se sabe que encontrar
el valor de y Solucin: es equivalente a entonces por lo tanto y =
1Un ultimo caso encontrar el valor de a.Solucin: Lo pasamos a forma
logartmica: Pasamos el exponente a positivo: Despejamos encontramos
a = a=
Cuales son las caractersticas de una funcin
logartmica?Caractersticas: o con > 0 y 1.- El dominio: Reales
Positivos.2.- El Recorrido: Los Reales3.- La Funcin es creciente
para > 1 y decreciente cuando 0< a < 1.4.- Es una funcin
uno a uno.5.- intersecta al eje x en (1,0) y no corta al eje y.6.-
El eje de las y es una asntota
Grafiquemos la funcin Interpretacin: Significa que la base es
10.
Proyecto de Graduacin UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jess Ortiz;
Lorenzo Arcides Bolaos; Jos Ral Antonio Ramos2
