Modulo Talleres_ Matematica I

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Talleres Matematicas I

Coordinador Asignatura

NORMA CONSTANZA SARMIENTO

Facultad de Ciencias Basicas y Aplicadas

Departamento de Matematicas

2014

Indice general

1. Talleres 41.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Lınea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7. Funcion a trozos y operaciones entre funciones . . . . . . . . . 131.8. Funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9. Aplicaciones de la funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9.1. Oferta y demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9.2. Equilibrio entre oferta y demanda . . . . . . . . . . . . 181.9.3. Exceso de oferta o demanda . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10. Funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11. Funciones exponencial y logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

Introduccion.

Apreciado Estudiante:

El objetivo de cada uno de los talleres es reforzar por medio de ejercicios yproblemas la parte teorica-conceptual trabajada por el docente en el aula declase y en las lecturas previas de los temas. Para trabajar los talleres es pri-mordial hacer primero la revision de los aspectos teoricos, para la adquisicionde una solida fundamentacion conceptual, teniendo en cuenta que los talle-res persiguen el estudio del aspecto practico de la matematica, con marcadoenfasis en problemas de aplicacion.

Se espera de esta forma contribuir a la consolidacion de su proceso de forma-cion, para lo cual debe tener en cuenta que, en matematica I, los conceptosson tan importantes como los calculos. Los ejercicios numericos simples quese encuentran al hacer ejercicios y problemas le ayudan a revisar la compren-sion de los procedimientos basicos. Los temas tratados aportan elementosutiles para la reflexion y la argumentacion.

Estos talleres son una recopilacion de ejercicios hecha por varios de los pro-fesores del departamento de matematicas, con fines unicamente de apoyo ala docencia, por tanto no tienen ningun fin comercial.

Norma Constanza SarmientoMauricio Restrepo Lopez

3

Capıtulo 1Talleres

1.1. Preliminares

1. Efectue las operaciones indicadas y simplifique los resultados.

a) 6x2 ÷(

4x

y.3y2

2x

)b)

v

16.

(8

9w÷ 1

2vw

) c)a

3b− 2

(a

b− b

2a

)d)

xy

6÷(

2

3y÷ x

6y− 3x

4

)2. Simplifique las siguientes expresiones.

a)(−ab2c)−1

a−2bc−1

b)(x−3y4)3

(−3x2y−2)2

c)5

12x−3− 2

15x−2+

1

3x−1

d)

(2

x+ x−1

)÷(x2

2+

1

5x−2

)3. Simplifique las siguientes expresiones.

a)x3/7y2/5

x−1/7y1/5

b)(x2y)−1/3(xy)1/4

(xy−2)1/12

c) (−2x2y)1/5.(4−1xy−2)−2/5

d)xa+b

x2b.xb+c

x2c.xa+c

x2a

4. Evalue y simplifique las siguientes expresiones.

4

1.2. ECUACIONES 5

a) 3√

27 +√

81− 4√

81

b)√

0,25−√

0,01 + 3√

0,125

c) 2√

24−√

54

d) 2√

18−√

32

e) 2√

63−√

175 + 4√

112

f ) 2 3√−16− 3

√−54

1.2. Ecuaciones

1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a)9

5(3− x) =

3

4(x− 3)

b)2y − 7

3+

8y − 9

14=

3y − 5

21

c)4

3(5x− 2) = 7[x− (5x− 2)]

d)y − 2

y + 2=y − 2

y + 3

e)q

5q − 4=

1

3

f )2

2x− 3=

4

x+ 1

2. Resuelva las ecuaciones:

a)√

4x− 6 =√x

b)√

4 + 3x =√

2x+ 5

c)√

3x− 4− 8 = 0

d) 3√x+ 3− 2 = 0

3. Resuelva para la variable indicada:

a) V = P (1 + r/n)2 para r.

b) r =2mI

B(n+ 1)para I.

c) S = P (1 + rt) para r.

d) r =d

1− dtpara d.

4. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadraticas.

a) x2 − 5x+ 6 = 0

b) x2 + 9x = −14

c) −2x2 − 6x+ 5 = 0

d) 4x2 + 5x− 2 = 0

5. Resuelva las siguientes desigualdades y exprese la solucion en forma deintervalo:

6 CAPITULO 1. TALLERES

a) 2x− (7 + x) ≤ x

b) 8− 4x < 4

c) 13(t+ 2) ≥ 1

4t+ 4

d)x+ 5

3− 1

2≤ 2

6. Se sabe que los costos fijos por producir cierto artıculo son de US$5000al mes y los costos variables son de US$3.50 por cada unidad producida.Si el productor vende cada uno de sus productos a un precio de US$6,determine el numero de unidades que deben producirse y venderse almes con el fin de obtener una utilidad de US$1000 mensuales.

7. El ingreso mensual de cierta companıa esta dado por: I = 800p− 7p2,donde p es el precio en dolares del producto que fabrica esa companıa¿A que precio el ingreso sera de $10.000?

8. Para producir una unidad de un producto nuevo, una companıa deter-mina que el costo de material y de mano de obra es de $6.50 por unidad.El costo fijo sin importar el volumen de ventas, es de $5.000. Si el pre-cio para un mayorista es de $7.50 por unidad, determine el numero deunidades que deben venderse para que se obtengan utilidades.

9. La fabrica de chocolates Mi Alegrıa elabora barras de chocolate. Elcosto de elaboracion de cada barra es de $0.50. El numero de barras quepuede vender a la semana depende del precio que les fije, de forma talque si el precio es de p dolares entonces se pueden vender x chocolates,en donde x = 5000(4 − p). Ası, la utilidad por cada barra es p − 0, 50dolares y la utilidad semanal es (p− 0, 50)x dolares. Determine el valorde p que producira una utilidad semanal de $4.800.

10. Manuel Zamora, gerente de una distribuidora de televisores, sabe quea un precio de p dolares por unidad de cierto modelo pueden vendersex unidades al mes y la relacion entre precio y las unidades vendidases p = 1000− 2x. Cuantas unidades debe vender Manuel para que losingresos mensuales sean de al menos $45.000?

1.3. Problemas

1. Halle dos numeros tales que:

a) Uno es la cuarta parte del otro y su suma es 250.

1.3. PROBLEMAS 7

b) Uno es 5 veces el otro y su diferencia es 600.

c) Su suma es 240 y su diferencia es 160.

d) El mayor excede el doble del menor en 30, y su suma es 135.

e) El triple del menor excede al doble del mayor en 50 y su suma es350.

f ) El menor es los 3/5 del mayor y su suma es 800.

2. Halle tres numeros tales que:

a) Sean enteros consecutivos y su suma sea 540.

b) Sean pares consecutivos y su suma sea 510.

c) La suma sea 44, el segundo sea el doble del primero, y el tercero4 unidades menos que el primero.

d) La suma sea 78, el segundo sea el doble del primero, y el terceroel triple del primero.

e) La suma sea 94, el segundo es 2 unidades menor que el primero,y el tercero es 6 unidades mayor que el primero.

f ) Sean enteros consecutivos y la suma del segundo con el tercero sea9 unidades menos que el triple del primero.

3. Halle un numero entero de dos cifras tal que:

a) La suma de sus dıgitos es 13 y el numero excede en 2 al quıntuplode la suma de sus dıgitos.

b) El dıgito de las unidades es 2 unidades menos que el dıgito delas decenas y ocho veces la suma de sus dıgitos excede en uno alnumero.

4. Halle un numero entero de tres cifras tal que:

a) La suma de los dıgitos sea 15, el dıgito de las unidades sea elcuadruplo del de las centenas, y el doble del dıgito de las decenassea igual a la suma del dıgito de las unidades con el dıgito de lascentenas.

b) El dıgito de las unidades es el doble del de las centenas, la sumade los dıgitos es 19 y si se intercambian el dıgito de las unidadescon el de las centenas, el numero se incrementa en 396.


5. Una persona tiene:

a) $ 3.400 en monedas de $ 50 y $ 100. Si tiene en total 47 monedas,¿cuantas monedas tiene de cada denominacion?

b) $ 99.000 en billetes de $ 1.000, $ 5.000 y $ 10.000; si tiene 26billetes y la cantidad de billetes de $ 1.000 es el doble de la de $5.000, ¿cuantos billetes tiene de cada denominacion?

c) $ 12.000 en monedas de $ 50, $ 100 y $ 200. Si en total tiene 95monedas y el numero de monedas de $ 100 es el doble de las de$50, cuantas monedas tiene de cada denominacion?

6. De un rectangulo se tiene que:

a) La altura mide 10 cm menos que la base. Si el perımetro mide 1,8m, halle sus dimensiones.

b) Sus lados son iguales, y si dos de sus lados opuestos se incrementanen 3 cm cada uno y los otros dos lados se disminuyen en 2 cm cadauno, el area aumenta en 8 cm2. Halle el lado

c) Corresponde a un cuadro, en el que su base sin el marco mideel doble de su altura. Si el marco tiene 6 cm de ancho y el areadel cuadro con el marco es de 1.656 cm2 halle las dimensiones delcuadro sin el marco.

1.4. Lınea recta

1. Halle la ecuacion de la recta que:

a) Pasa por el punto (5, 3) y tiene pendiente m = 5.

b) Pasa por el punto (−3, 2) y es perpendicular a la recta que pasapor los puntos (2,−3) y (1, 7).

c) Pasa por el punto (−4,−3) y es paralela a la recta que pasa porlos puntos (1, 2) y (−4,−1).

d) Pasa por el punto (4, 3) y es paralela a 3x− 5y + 20 = 0.

e) Pasa por (1,−3) y es paralela a 5x+ 3y = 9.

f ) Pasa por (2,−5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos(1, k) y (k, 1).

1.5. INECUACIONES 9

g) Pasa por (−1,−6) y es perpendicular a la recta 5y + 2x+ 3 = 0.

2. Halle el punto de corte entre las rectas dadas y trace sus graficas.

a) 2x+ 3y − 5 = 0 y 3x− 2y + 1 = 0

b) 4x− y + 3 = 0 y x− 2y + 2 = 0

c) x+ y + 1 = 0 y 2x− 2y − 2 = 0

d) 4x− 3y + 1 = 0 y 5x+ 3y − 5 = 0

e) 3x− 2y + 3 = 0 y 2x+ 3y − 1 = 0

f ) 2x− 3y + 2 = 0 y 4x− 6y + 4 = 0

1.5. Inecuaciones

1. El fabricante de cierto artıculo puede vender todo lo que produce, a$60.000 cada artıculo. Gasta $40.000 en materia prima y mano de obraal producir cada artıculo, y tiene costos fijos de $3’000.000 a la semanaen la operacion de la planta. Encuentre el numero de unidades quedeberıa producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1’000.000 a la semana.

2. El administrador de una fabrica debe decidir si es conveniente producirsus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo a pro-veedores externos a $ 1.100 cada uno. La fabricacion de los empaquesincrementarıa los costos generales de la empresa en $ 800.000 al mes, yel costo de material y de mano de obra es de $600 por cada empaque.¿Cuantos empaques debera emplear la empresa al mes para justificarla decision de fabricar sus propios empaques?

3. La edicion de una revista mensual, tiene un costo de $ 6.050 cada una.El ingreso por ventas es de $ 7.000 por ejemplar. Si se venden mas de20.000 revistas, por cada revista adicional a las 20.000, recibe $1.050por publicidad. ¿Cuanto ejemplares debera publicar y vender al mespara asegurar una utilidad por lo menos de $ 40.000.000?

4. Un fabricante puede vender todas las unidades de un artıculo que pro-duce a $ 7.600 cada una. Si tiene unos costos fijos de $ 4700.000 y unoscostos variables por unidad de $4.400, ¿cuantos artıculos debe producirpara obtener utilidad?


5. El costo C de producir x artıculos, incluyendo los costos fijos y loscostos variables, esta dado por la formula C = 20x+ 16,000. ¿Cuantosartıculos se pueden producir si el costo debe ser menor que $ 17,100?

6. Una companıa vende un producto al precio unitario p = 600−0, 5x pe-sos, donde x es el numero de unidades del producto vendido. ¿Cuantasunidades se deben vender para que el ingreso por la venta de este pro-ducto sea mayor que $100.000?

7. Un fabricante de estilografos puede vender todas las unidades que pro-duce a un precio de $ 15.000 cada uno. Tiene costos fijos a la semanade $ 1’500.000 y costos por unidad de $ 10.000 en materiales y mano deobra. Determine el numero de estilografos que debera fabricar y vendercada semana con el proposito de obtener una utilidad semanal mınimade $ 1’000.000.

8. El costo de publicar cada ejemplar de un periodico semanal es de $ 350.Los ingresos del representante de ventas son de $ 300 por ejemplar y losingresos de publicidad corresponden al 40 % de los ingresos obtenidospor ventas que excedan los 200.000 ejemplares. ¿Cuantos periodicos sedeberan publicar cada semana para obtener utilidades semanales de almenos $ 1’000.000?

9. El fabricante de cierto artıculo puede vender todo lo que produce a unprecio de $ 12.000 cada artıculo. Gasta $ 8.000 en materia prima y manode obra al producir cada artıculo y tiene costos fijos de $ 6’000.000 a lasemana en la operacion de la fabrica. Encuentre el numero de unidadesque debera producir y vender para obtener una utilidad de $ 2’000.000a la semana.

10. Una firma industrial fabrica un producto con precio unitario de ventade $ 16.000 y un costo unitario de $ 12.000. Si los costos fijos son de$ 48’000.000, determine el numero mınimo de unidades que se debenvender para que la companıa obtenga utilidad.

11. Para fabricar una unidad de un producto, una companıa determina queel costo de los materiales es de $2.000 y el costo de la mano de obra es$3.200. Los costos fijos son de $4’000.000. Si el precio al por mayor es $5.920 por unidad, determınese el numero de unidades que debe venderla companıa para obtener utilidad.

1.6. FUNCIONES 11

12. Una empresa invierte un total de $ 24’000.000 a dos tasas anualesde interes: al 10 % y al 13.5 %. Desea obtener un rendimiento anualno inferior al 13 %. ¿Cual es la cantidad mınima de dinero que debeinvertir a la tasa de 13.5 %?

1.6. Funciones

1. Se da la grafica de una funcion g(x).

X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

6

4

a) Determine g(−4), g(−2), g(0), g(2), g(4).

b) Halle el dominio y el rango de g.

2. Suponga que se da la grafica de f(x). Describa como puede obtener lagrafica de cada una de las siguientes funciones a partir de f .

a) y = f(x)− 5, y = f(x− 5)

b) y = f(x+ 7), y = f(x) + 7

c) y = f(x+ 12), y = f(x) + 1

2

d) y = −f(x), y = f(−x)

e) y = −2f(x), y = −12f(x)

f ) y = −f(x) + 5, y = 3f(x)− 5

g) y = f(x− 4) + 34, y = f(x+ 4)− 3

4

h) y = 2f(x+ 2)− 2, y = 2f(x− 2) + 2

3. Se dan las graficas de f(x) y g(x). Encuentre una formula para lafuncion g(x).


X

Y

–2–4

2

2 4

–2

4

6

X

Y

1

–1

–1–2

2

3

21

f(x)

f(x)

g (x)g (x)

4. Se da la grafica de f(x). Compare cada ecuacion con su grafica.

X

Y

–2

–2

–4

–4 2 4

4

2

1

2

3

4 f(x)

a) y = 13f(x)

b) y = −f(x+ 4)

c) y = f(x− 4) + 3

d) y = f(−x)

5. Bosqueje la grafica de la funcion aplicando transformaciones.

a) f(x) = (x− 2)2

b) f(x) = (x+ 7)2

c) f(x) = −(x+ 1)2

d) f(x) = 1− x2

e) f(x) = x3 + 2

f ) f(x) = −x3

g) f(x) = 1 +√x

h) f(x) = 2−√x+ 1

i) f(x) = 12

√x+ 4− 3

j ) f(x) = 3− 2(x+ 1)2

k) f(x) = 5 + (x+ 3)2

l) f(x) = |x| − 1

m) f(x) = |x− 1|

1.7. FUNCION A TROZOS Y OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 13

1.7. Funcion a trozos y operaciones entre fun-

ciones

1. En cada caso se da la grafica de la funcion definida por partes. Deter-mine una formula para cada funcion.

X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

6

4

X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

6

4

f(x)f(x)

2. Graficar las siguientes funciones:

a) f(x) =

{1 si x ≤ 1

x+ 1 si x > 1

b) f(x) =

{3 si x < 2

x− 1 si x ≥ 2

c) f(x) =

{1− x si x ≤ 1

5 si x > 1

d) f(x) =

{x si x ≤ 0

x+ 1 si x > 0

e) f(x) =

{2x+ 3 si x < −1

3− x si x ≥ −1

f ) f(x) =

−1 si x < −1

1 si − 1 ≤ x ≤ 1

−1 si x > 1

g) f(x) =

−1 si x < −1

x si − 1 ≤ x ≤ 1

1 si x > 1

h) f(x) =

{2 si x ≤ −1

x2 si x > −1

3. Use f(x) = 3x− 5 y g(x) = 2− x2 para evaluar:

a) f(g(0)), g(f(0))

b) f(f(4)), g(g(3))

c) f(g(−2)), g(f(−2))

d) (f ◦ f)(−1), (g ◦ g)(2)

e) (f ◦ g)(x), (g ◦ f)(x)

f ) (f ◦ f)(x), (g ◦ g)(x)


4. Halle las funciones (f ◦ g)(x), (g ◦ f)(x), (f ◦ f)(x) y (g ◦ g)(x) y susdominios.

a) f(x) = 2x+ 3, g(x) = 4x− 1

b) f(x) = 6x− 5, g(x) = x/2

c) f(x) = x2, g(x) = x+ 1

d) f(x) = x3 + 2, g(x) = 3√x

e) f(x) =1

x, g(x) = 2x+ 4

f ) f(x) = x2, g(x) =√x− 3

g) f(x) = |x|, g(x) = 2x+ 3

h) f(x) = x− 4, g(x) = |x+ 4|

i) f(x) =1

x+ 1, g(x) = 2x− 1

j ) f(x) = 3√x, g(x) = 4

√x

k) f(x) =2

x, g(x) =

x

x+ 2

5. Encuentre en cada caso la compuesta: f ◦ g ◦ h.

a) f(x) = x− 1, g(x) =√x, h(x) = x− 1

b) f(x) =1

x, g(x) = x3, h(x) = x2 + 2

c) f(x) = x4 + 1, g(x) = x− 5, h(x) =√x

d) f(x) =√x, g(x) =

x

x− 1, h(x) = 3

√x

6. Use la propiedad de la funcion inversa para mostrar que f y g soninversas entre sı.

a) f(x) = x+ 6, g(x) = x− 6

b) f(x) = 3x, g(x) = x/3

c) f(x) = 2x− 5, g(x) =x+ 5

2

d) f(x) =3− x

4, g(x) = 3− 4x

1.7. FUNCION A TROZOS Y OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 15

e) f(x) =1

x, g(x) = 1

x

f ) f(x) = x5, g(x) = 5√x

g) f(x) = x2 − 4 con x ≥ 0, g(x) =√x+ 4 con x ≥ −4

7. Halle la inversa de f(x).

a) f(x) = 2x+ 1

b) f(x) = 6− xc) f(x) = 4x+ 7

d) f(x) = 3− 5x

e) f(x) =x

2

f ) f(x) =1

x2, x > 0

g) f(x) =1

x+ 2

h) f(x) =x− 2

x+ 2

i) f(x) =1 + 3x

5− 2x

j ) f(x) = 5− 4x3

k) f(x) =√

2 + 5x

l) f(x) = 1 +√

1 + x

m) f(x) =√

9− x2, 0 ≤ x ≤ 3.

8. Se da una funcion f .

Bosqueje la grafica de f .

Use la grafica de f para bosquejar la grafica de f−1.

Halle f−1

a) f(x) = 3x− 6

b) f(x) = 16− x2, x ≥ 0

c) f(x) =√x+ 1

d) f(x) = x3 − 1


1.8. Funcion lineal

1. Determine la ecuacion de la recta que pasa por los puntos A y B.

X

Y

A

B

3 4 51

1

2

3

4

5

2

2. Halle la ecuacion de la recta que pasa por el punto (0,1) y tiene pen-diente m = −1.

3. Halle la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (−2, 3) y (2,−2).

4. Hallar b tal que la pendiente de la recta que pasa por (2,−3) y (5, b)sea −2.

5. Represente graficamente las rectas: y = 3x+8, y = 8−3x y y = 3x+12.¿Cual es la principal diferencia entre las dos primeras rectas? ¿Cualentre la primera y la ultima?

6. Determine si los puntos (3, 3) y (4, 4) pertenecen a la recta y = 12x+ 2

7. Halle la ecuacion de la recta en cada caso:

a) Pasa por (2, 3) y es paralela al eje x.

b) Pasa por (−1, 4) y es perpendicular al eje x.

c) Pasa por (1, 5) y es perpendicular al eje y.

d) Pasa por el origen y tiene pendiente 1.

e) Pasa por el origen y por el punto (−2, 3).

f ) Pasa por los punto (2, 3) y (4, 1).

g) Corta al eje x en 4 y al eje y en −3.

h) Pasa por (2, 5) y es paralela a la recta x+ y = 1.

1.9. APLICACIONES DE LA FUNCION LINEAL 17

i) Pasa por (2, 5) y es perpendicular a la recta 2y − 3x = 5.

8. Demuestre que (−3,−1), (3, 3) y (−9, 8) son los vertices de un triangulorectangulo.

9. Teniendo en cuenta la grafica determine la ecuacion de la recta.

X

Y

2

2

–2

–4

–2–4

4

6

4

f(x)

1.9. Aplicaciones de la funcion lineal

1.9.1. Oferta y demanda

La oferta se define como la relacion entre el precio y la cantidad de productoso servicios ofrecidos en el mercado. En la oferta, ante un aumento del precio,aumenta la cantidad ofrecida. La pendiente de la oferta es positiva, al asumirque esta se comporta como una lınea.En la curva de oferta, puede verse que si el precio es muy bajo, ya no esrentable ofrecer ese producto o servicio en el mercado, por lo tanto la cantidadofrecida es 0.

X

Precio

Curva de demandaCurva de oferta

Cantidad

Demanda

X

Precio

Cantidad

Oferta


La demanda se refiere a la relacion entre el precio y la cantidad de bienes oservicios que los compradores intentan adquirir en el mercado. La pendientede la demanda es negativa, al asumir que esta se comporta como una lınea.

La ley de la demanda, determina que al subir el precio de un bien o servicio,la demanda de este disminuye.

1.9.2. Equilibrio entre oferta y demanda

En una situacion normal, el mercado se encuentra equilibrado. Se ofertatanto como se demanda. Es decir que todo lo que hay para vender se vende(nadie demanda mas ni menos de ese determinado bien o servicio de lo queesta ofertado en el mercado).

X

Precio

Cantidad

Oferta

Equilibrio

Demanda

1.9.3. Exceso de oferta o demanda

¿Que sucede sin equilibrio? El area sombreada de las figuras corresponden ael exceso de oferta y el exceso de demanda, respectivamente.

X

Precio

Cantidad

Oferta

Exceso de oferta

Exceso de oferta

Demanda

X

Precio

Cantidad

Oferta

Demanda

Exceso de demanda

Exceso de demanda


1.9.4. Ejercicios

1. Desde el inicio del ano el precio de un artıculo en el mercado ha estadosubiendo a ritmo constante de 25 pesos por mes. El primero de marzoel precio alcanzo $6400 por unidad.

a) Exprese el precio del artıculo como una funcion del tiempo si lafuncion es lineal. Determine e interprete el valor de la pendientey el corte con el eje y.

b) Halle el precio del artıculo el primero de noviembre.

2. El fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $20 porunidad. Le cuesta $12,50 producir cada artıculo por materiales y manode obra, y tiene unos costos adicionales de $7000 al mes para operar laplanta.

a) Plantee la funcion de utilidad.

b) Halle el punto de equilibrio e interpretelo

c) Determine el numero de unidades que debe producir y vender elfabricante para obtener una utilidad de $5000 al mes.

3. Cuando se producen 10 unidades de un determinado producto, el costototal es $1500 dolares; si la produccion se incrementa en 5 unidades elcosto aumenta en $250 dolares.

a) Halle la funcion de costo si es lineal.

b) Halle el costo de produccion de 20 unidades.

4. Una companıa que fabrica dispositivos electronicos introduce un nuevoproducto en el mercado. Durante el primer ano, los costos fijos ascien-den a 140.000 dolares y los costos variables destinados a la produccionde cada unidad son de 25 dolares. Durante el primer ano el preciounitario de venta sera 65 dolares.

a) Plantee la funcion de utilidad y halle el punto de equilibrio

b) Se estima que se venderan 23000 unidades durante el primer ano.¿Cual sera la Utilidad si se cumple esta meta de ventas?

c) ¿Cuantos dispositivos debe producir y vender para generar unautilidad de 160.000 dolares?


5. Un fabricante compra maquinaria por un valor de 20.000 dolares que sedeprecia linealmente hasta que su valor de reventa es de 1.000 dolaresdespues de 10 anos.

a) Exprese el valor de la maquinaria como una funcion de su edad ydibuje el grafico, si la funcion es lineal. Determine e interprete lapendiente y el corte con el eje y.

b) Calcule el valor de la maquinaria despues de 4 anos.

6. Un fabricante de muebles puede vender mesas por 70 dolares cada una.El costo total de fabricacion esta formado por unos costos fijos de 8.000dolares mas costos de produccion de 30 dolares por mesa, determine:

a) Las funciones de Ingreso, Costo y Utilidad. Si las funciones sonlineales, especifique e interprete la pendiente y el corte con el ejey.

b) ¿Cuantas mesas debe vender el fabricante para llegar al punto debeneficio nulo?

c) ¿Cuantas mesas debe vender el fabricante para obtener un bene-ficio de 6000 dolares?

d) Calcule el beneficio o perdida del fabricante si se han vendido 150mesas.

e) En el mismo conjunto de ejes, represente las funciones IngresoTotal y Costo total del fabricante.

7. Una empresa productora de radios cuantifica los costos de producircierto numero de unidades con la ecuacion c(x) = 8x+6400 y la funcionde ingreso I(x) = 16x, ¿Cuantas unidades se deben producir y venderpara alcanzar el punto de equilibrio?

8. Halle el numero de unidades que permiten alcanzar el punto de equi-librio del mercado para la funcion de demanda p = −3q + 130 y lafuncion de oferta p = 9q + 10 (p es precio y q el numero de unidades aproducir y vender).

9. Una companıa proveerıa 1200 unidades de su producto a un preciode $10 dolares por unidad y 4200 unidades a $15 dolares por unidad.Determine la relacion de oferta.


10. Halle el numero de unidades que permiten alcanzar el punto de equili-brio del mercado para la funcion de demanda P = 8q+ 10 y la funcionde oferta p = −2q + 110 (p es precio y q el numero de unidades aproducir y vender).

11. Suponga que los clientes demandaran 40 unidades de un producto siel precio es de $80.000 por unidad, y 25 unidades cuando el precio esde $100.000 por unidad. Encuentre la relacion de demanda suponiendoque es lineal. Bosqueje la grafica.

12. Un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50 mil pares cuandoel precio por unidad es de $70.000 y 40 mil pares cuando el precio es de$60.000. Encuentre la ecuacion de oferta que representa esta situacion.

13. La empresa Bio fabrica cuadernos con papel reciclable, la ecuacion deingreso que obtiene la empresa por la venta de x numero de cuadernosesta dada por I = 100x, de igual manera, los costos variables porproducir estos libros son de $ 8 y los costos fijos son de $4.000.

a) ¿Cuantos cuadernos debe producir y vender Bio para alcanzar supunto de equilibrio?

b) ¿Cual es el ingreso por la venta de 500 unidades?

14. El costo de producir x artıculos esta dado por y = 2,8x + 600 y cadaartıculo se vende a $4 dolares.

a) Encuentre el punto de equilibrio.

b) Si se sabe que por lo menos 450 unidades se venderan ¿cual de-bera ser el precio fijo de cada artıculo para garantizar el equilibrio?

15. El costo de mano de obra de fabricar un reloj es de $15 dolares y elcosto fijo es de $2000 dolares al dıa. Si se vende cada reloj a $20 dolares,¿cuantos relojes se deben producir y vender cada dıa con el fin que elnegocio se mantenga en el punto de equilibrio?

16. Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de lassiguientes ecuaciones de demanda y oferta:

a) D : p = 25− 2x y O : p = 3x+ 5

b) D : 3p+ 5x = 22 y O : 2p− 3x = 2x


c) D : p2 + x2 = 169 y O : p = x+ 7

d) D : p2 + x2 = 25 y O : p = x+ 1

1.10. Funcion cuadratica

1. Un carpintero puede producir bibliotecas a un costo de $40 dolarescada una. Si el precio de venta unitario es x, se estima que se venderan300− 2x bibliotecas al mes.

a) Determine la funcion de utilidad mensual para el carpintero

b) Determine la utilidad mensual si el precio de venta unitario es de$110 dolares.

c) Halle el numero de unidades producidas y vendidas para maximi-zar la utilidad

2. La ecuacion de Demanda para un producto de un monopolista es p =400 − 2q, y la funcion de costo promedio es Cp = 0,2q + 4 + (400/q),donde q es el numero de unidades, p el precio y tanto p como Cp seexpresan en dolares.

a) Determine el nivel de produccion en el que se maximiza la Utilidad

b) Halle la Utilidad maxima y el precio en el que ocurre la maximaUtilidad

3. Un fabricante ha estado vendiendo bombillos a $6 dolares cada uno y, aeste precio, los consumidores han estado comprando 6000 bombillos pormes. El fabricante desea elevar el precio y estima que por cada dolar deincremento en el precio se venderan 1000 bombillos menos cada mes. Elfabricante puede producir bombillos a un costo de $ 4 dolares cada uno¿A que precio debera vender el fabricante los bombillos para generar elmayor beneficio posible?

4. La poblacion infantil de una comunidad afectada por la gripe en t dıasesta dada por la formula: p(t) = 36 + 16t− t2.

a) ¿Cual sera la poblacion afectada a los 4 dıas?

b) ¿En que momento se encuentran 96 ninos enfermos?

1.10. FUNCION CUADRATICA 23

c) ¿Cual es la maxima poblacion afectada?

5. Una empresa tiene costos fijos mensuales de US$2.000 y los costos va-riables por cada unidad de su producto son de US$ 25. Si la demandade x unidades del producto es p = 60−0,01x , siendo p el precio unita-rio en dolares, determine cuantas unidades deben producirse y venderseal mes con el fin de obtener la maxima utilidad y de cuanto serıa esautilidad maxima.

6. Un fabricante puede producir grabadoras a un costo de $20 por unidad.Se estima que si se venden a $x por unidad los consumidores compraran(120 − x) grabadoras cada mes. Halle el precio al cual la utilidad delfabricante sera mayor y estime la maxima utilidad.

7. Tanto los biologos como los sicologos estudian las respuestas a diversosestımulos. En ciertos animales la respuesta al estımulo se mide porla contraccion del iris despues de exponer el ojo a una luz brillante.Supongase que la respuesta esta dada por la funcion: S(t) = −2t2 + 8t,donde t es el tiempo (en segundos) despues de que se concentra la luzsobre el ojo.

a) Determine el tiempo en el cual la contraccion es cero.

b) ¿En que instante se presenta la maxima contraccion?

8. Cada unidad de un determinado artıculo se vende a 15 − x dolarescuando se producen x unidades del artıculo.

a) Exprese los ingresos obtenidos como una funcion de x.

b) Determine la cantidad que maximiza el ingreso y el correspondien-te ingreso maximo.

9. La poblacion de una colonia de abejas al cabo de t horas esta dada porla siguiente formula: P (t) = 100 + 24t+ 2t2.

a) ¿En que tiempo la poblacion alcanza las 676 abejas?

b) ¿Cuantas abejas hay al cabo de 5 horas?

10. La peste negra ataca una poblacion asiatica. La parte de poblacioncontagiada despues de un tiempo t es igual a p(t) = 4 + 4t− t2, dondet esta dado en meses y p en cientos. ¿Cual es la maxima poblacioncontagiada?


11. El propietario de un huerto vendera x arrobas de manzanas a $ 5−0,1xdolares por arroba.

a) ¿Que volumen de pedido le proporcionara el ingreso maximo?

b) ¿Cual es el maximo ingreso?

12. Una fabrica tiene un monopolio en la produccion de alfombras elabora-das en una fibra sintetica muy resistente. Los consumidores demandansemanalmente x unidades cuando el precio es p (en dolares) de acuerdocon la ecuacion x = 231 − p/2. Si dicha produccion tiene costos fijosde $3.000 dolares y los costos variables son de $194 dolares por cadaalfombra producida. Determine la maxima utilidad semanal que puedeobtener la empresa y cual debera ser el precio de venta para logrardicha utilidad.

13. Garcıa y Asociados ha construido un nuevo edificio de 60 apartamentospara arrendar. Al realizar un estudio de mercado, se concluyo que alcobrar un arriendo mensual de US $150 por cada apartamento, todoslos 60 apartamentos serıan arrendados y que por cada incremento deUS$3 dolares en el valor del arriendo es muy probable que un aparta-mento no se arriende. ¿Cual debe ser el valor que se debe establecerpara el arriendo, con el fin de dejar algunos apartamentos sin arrendar,pero obteniendo el mismo ingreso que cuando se arriendan todos los 60apartamentos?

1.11. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA 25

1.11. Funciones exponencial y logarıtmica

1. Encuentre el valor exacto de cada expresion:

a) log2 64

b) log2(128)

c) log2

√2

d) ln e√2

e) e3 ln 2

f ) log6136

g) log10 0, 0001

h) log8 2

2. Use las propiedades de logaritmo para evaluar las expresiones:

a) log2 50− log2 25

b) log4 100− log4 25

c) log(0, 125) + log 8

d) ln(e2 − e)− ln(e− 1)

e) log2 100− log2 25

f ) log319

+ log3 9

3. Escriba cada expresion usando un solo logaritmo.

a) log x+ 2 log y − log z

b) log 4− log 3 + log π + 3 log r

c) logP + t log(1 + r)

d) ln 2 + lnπ + 12

(ln l − ln g)

4. En cada caso, encuentre los valores de x que satisfacen la ecuacion.

a) log3 x+ log3 (2x+ 3) = 3

b) log (4x− 5) − log (2x) =log 10

c) log6 (4x− 5) = log6 (2x+ 1)

d) log(5x+ 1) = 2 + log (2x− 3)

e) e2x + 5ex + 14 = 0

f ) 3x − 3−x = 4

g)ex − e−x

ex + e−x=

1

2

h) lnx2 = ln (−3x− 2)

i) 3x+4 = 21−3x

5. Una organizacion encargada de preservar especies en vıa de extincionestima que si en un ecosistema con capacidad para 1000 individuosde una especie se encuentran 100 individuos y se prohıbe la caza, lapoblacion crecera segun el modelo:

P (t) =1000

1 + 9e−0,16t,

donde t se mide en anos.


a) ¿Cuantos individuos tendra la especie despues de 5 anos?

b) ¿Cuanto tiempo se necesitara para tener 500 individuos?

6. Se estima que la poblacion de un cierto paıs crece exponencialmente.Si la poblacion era de 60 millones en 1974 y de 90 millones en 1979,¿Cual sera la poblacion en 1989?

7. El Producto Nacional Bruto (PNB) de un cierto paıs era de cien milmillones de dolares en 1965 y de ciento ochenta mil millones de dola-res en 1975. Suponiendo que el PNB esta creciendo exponencialmente,¿cual sera el PNB en 1985?

8. La poblacion en Bogota en el ano 2000 era aproximadamente de seismillones de habitantes. Si consideramos un factor de crecimiento del2 % anual:

a) Encuentre la poblacion en el ano 2.005

b) ¿En cuanto tiempo la poblacion se duplicara?

9. La poblacion de cierta nacion desarrollada esta dada por millones depersonas, donde t es numero de anos transcurridos a partir de 1960.

a) Determine el numero de personas que habra en 1980.

b) Determine el ano en el cual se duplicara la poblacion inicial.

10. Las ecuaciones de oferta y demanda de un cierto producto son: p =ln(2x+ 1) y x = 10− ep siendo x el numero de unidades y p el precio.Encuentre el punto de equilibrio del mercado y trace sus graficas en elmismo plano cartesiano.

11. Las ecuaciones de oferta y demanda de un cierto producto son: p =ln(3x+2) y 2x+ep = 107 siendo x el numero de unidades y p el precio.Encuentre el punto de equilibrio del mercado.

12. El numero total de hamburguesas vendido por una cadena nacional decomida rapida esta creciendo exponencialmente. Si han sido vendidascuatro mil millones en 1.974 y doce mil millones en 1.979, ¿Cuantashabran sido vendidas en 1.984?

1.11. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA 27

13. Hace dos anos, una empresa compro una maquina en $6.000 dolares;su precio actual de reventa es de $4.500 dolares. Suponiendo que lamaquina se deprecia en forma exponencial, ¿Cual sera su valor dentrode tres anos?

14. El poder adquisitivo P (en dolares) de una cantidad anual de A dolares,despues de t anos, con una inflacion del 5 % decae segun la ecuacionP = Ae−0,05t. ¿Cuanto tiempo transcurrira antes que una pension de$60.000 dolares anuales tenga un poder adquisitivo de $30.000 dolares.¿Que cantidad A se necesitara para que despues de 15 anos el poderadquisitivo P sea de $50.000 dolares.

15. La poblacion de cierta ciudad crece segun la ecuacion y = Pe0,03t. Si lapoblacion era de 250.000 individuos en 1980, calcule la poblacion parael 2011.

16. Si x unidades de un cierto artıculo pueden venderse a un precio de pdolares cada una, segun la siguiente ecuacion de demanda 2p+ ln(2x+3) = 70, determine el numero de unidades que se demandarıan si elprecio fuese de 32 dolares.

17. La ecuacion de demanda de cierto producto esta dada por p ln(x+1) =500, en donde x unidades pueden venderse al precio de $p cada una.

a) ¿Cuantas unidades, pueden venderse si el precio por unidad es de$62.50?

b) ¿A que precio p por unidad se venderan 5000 unidades?

Bibliografıa

[1] Haeussler E. Paul R. Wood R. Matematicas para administracion y eco-nomıa. Pearson. Mexico. 2008.

[2] Arya Lardner. Matematicas aplicadas a la administracion y la Economıa.Prentice Hall. 4a edicion. Mexico. 2002.

[3] Stewart J. Precalculo. Cengage-Learning. 6a edicion. Mexico. 2012.

[4] www.umng.edu.co/web/catalogos-en-linea/libros-electronicos

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Modulo Talleres_ Matematica I