INTRODUCCINUna clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posicin de equilibrio. Si esta fuerza se dirige hacia la posicin de equilibrio hay un movimiento repetitivo hacia delante y hacia atrs alrededor de esta posicin.

Un movimiento se llamaperidicocuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleracin, etc.) toman el mismo valor, es decir repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan.Un movimiento peridico esoscilatoriosi la trayectoria se recorre en ambas direcciones en los que la distancia del mvil al centro pasa alternativamente por un valor mximo y un mnimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrs, es decir que va y viene, (en vaivn) sobre una misma trayectoria.

Un movimiento oscilatorio esvibratoriosi su trayectoria es rectilnea y tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.

Un movimiento vibratorio esArmnicocuando la posicin, velocidad y aceleracin se puede describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento armnico puede ser compuesto de forma que estn presentes varios perodos simultneamente. Cuando haya unsolo perodo, el movimiento recibe el nombre de Movimiento Armnico Simpleo abreviadamente, M.A.S. Adems de ser el ms sencillo de analizar, constituye una descripcin bastante precisa de muchas oscilaciones que se observan en la naturaleza.

Movimiento armnico simple

El movimiento armnico simple es un movimiento peridico, oscilatorio y vibratorio. Para deducir y establecer las ecuaciones que rigen el movimiento armnico simple (unidimensional) es necesario analizar el movimiento de la proyeccin, sobre un dimetro de una partcula que se mueve con movimiento circular uniforme (bidimensional). El movimiento armnico simple se puede estudiar desde diferentes puntos de vista: cinemtico, dinmico y energtico. Entender el movimiento armnico simple es el primer paso para comprender el resto de los tipos de vibraciones complejas. El ms sencillo de los movimientos peridicos es el que realizan los cuerpos elsticos.

Oscilaciones y VibracionesEs frecuente en la naturaleza la existencia de movimientos en los cuales la velocidad y aceleracin no son constantes. Un movimiento que presenta tales caractersticas es el movimiento vibratorio u oscilatorio. En los movimientos oscilatorios el cuerpo va de una posicin extrema y regresa a la posicin inicial pasando siempre por la misma trayectoria. Algunos ejemplos de fenmenos en los que se presenta este tipo de movimiento son: el latido del corazn, el pndulo de un reloj, las vibraciones de los tomos.Entender el movimiento vibratorio es esencial para el estudio de los fenmenos ondulatorios relacionados con el sonido y la luz. Como ejemplos de movimientos vibratorios existe la vibracin de las columnas de aire de los instrumentos musicales, la vibracin de un edificio o un puente por efecto de un terremoto, las ondas electromagnticas que viajan en el vaco, una masa unida al extremo de un resorte, etc. Entre los infinitos tipos de movimientos vibratorios que existen en la naturaleza el ms

Ejemplos de movimiento armnico simple pueden ser:- Una lamina fija por un extremo y hacindola vibrar por el otro extremo.- Un sistema formado por un cuerpo suspendido de un resorte.- El movimiento de un pndulo para desplazamientos pequeos.- Un lquido contenido en un tubo doblado en U.- Una esferita en una superficie cncava.- Una cuerda tensaPara estudiar algunas de las caractersticas relacionadas con los objetos que vibran se considera el caso de un resorte estirado que se mueve en una superficie horizontal sin friccin.Si el otro extremo del resorte se encuentra fijo a una pared y el punto0representa la posicin de equilibrio del cuerpo. Al empujar una distanciaA, hasta la posicinB, una vez que se suelte el cuerpo empezar a oscilar regresando a su posicin de equilibrio0, hasta alcanzar una posicin extremaB', separndose nuevamente a una distanciaAdel punto0. Como no hay friccin, este movimiento de vaivn entre los puntosByB'sigue repitindose indefinidamente, se concluye entonces que el cuerpo est oscilando o vibrando entre los puntosByB'.Cuando se separa un resorte de su posicin de equilibrio, estirndolo o comprimindolo, adquiere un M.A.S. La fuerza recuperadora de ese resorte, variable con la elongacin, es la que genera una aceleracin proporcional tambin a la elongacin, la cual le confiere ese movimiento de vaivn llamado M.A.S.Un movimiento armnico simple (M.A.S) es un movimiento vibratorio bajo la accin de una fuerza recuperadora elstica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.La fuerzaFrecuperadora, de la cual se habla es proporcional al desplazamientoXpero de sentido contrario a l, pudindose escribir que:(Ec.1)Esta relacin conocida como la ley de Hooke indica que la fuerza es proporcional al desplazamiento y el signo (-) se coloca para sealar que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento, que es una de las caractersticas ms importante del M.A.S. Todos los cuerpos elsticos que cumplan la Ley de Hooke , al ser sometidos a una fuerza vibran con M.A.S.

Todo punto material sometido a una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto a ste, realiza un movimiento lineal de vaivn llamado Movimiento Armnico Simple.

Ahora se va analizar el movimiento considerando la segunda ley de Newton . Al soltar el cuerpo, la fuerza que acta sobre l produce una aceleracin que es proporcional ade acuerdo a la segunda ley de Newton, que:

=Fuerza restauradoram=Es la masa que vibra=Es la aceleracin instantneaDonde:

(Ec.2)

NewtonComoKymson valores constantes para cada caso, tambin lo ser su cociente, lo cual implica que la aceleracin es proporcional al desplazamiento y el signo (-) indica que la aceleracin tiene sentido contrario al desplazamiento.Elementos del M.A.S.De todos los movimientos oscilatorios el movimiento armnico simple (M.A.S.), constituye una aproximacin muy cercana a muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza, adems que es muy fcil de describir matemticamente. El nombre armnico se debe as porque sus frmulas dependen del Seno y del Coseno, que se llamanfunciones armnicas.

Antes de iniciar el estudio cuantitativo y cualitativo del M.A.S es til definir algunos trminos de uso frecuente:

Oscilacin o vibracinEs el movimiento efectuado hasta volver al punto de la partida, es decir una ida y vuelta del cuerpo en movimiento.Perodo (T)Es el tiempo necesario para realizar una vibracin u oscilacin completa.Frecuencia ()Es el nmero de vibraciones completas que el cuerpo efecta por unidad de tiempo.Elongacin (x)Es el desplazamiento de la partcula que oscila desde la posicin de equilibrio hasta cualquier posicin en un instante dadoAmplitud (A)Es la mxima elongacin, es decir, el desplazamiento mximo a partir de la posicin de equilibrio.Posicin de equilibrioEs la posicin en la cual no acta ninguna fuerza neta sobre la partcula oscilante.Pulsacin (w)Representa la velocidad angular del MCU auxiliar. Es una constante del M.A.SFase inicial (ao)Representa la posicin angular de la partcula parat= 0 en el MCU auxiliar.Fase (.t+ao)Representa la posicin angular de la partcula en el MCU auxiliar para el tiempot.

) Sabemos que la elongacin de un m.a.s. est dada por una ecuacin del tipo

aunque pudiera ser igualmente una funcin seno. As que bastara comparar con la ecuacin dada,

para obtener inmediatamente los resultados:

En cuanto al periodo y la frecuencia, ya que , sera tan simple como

2) Si la ecuacin de elongaciones es , las de velocidad y aceleracin se obtienen por simple derivacin:

y slo habra que usarlas en los instantes propuestos, t = 0 s y t = 1/20 s. En el tiempo t = 0 s, la fase del movimiento vale

y en el tiempo t = 1/20 s, la fase es

de forma que, al tiempo t = 0 s, los valores pedidos son

(1)

(2)

(3)Entre otras cosas, hay que notar que la posicin en ese momento est a mitad de camino entre el centro de equilibrio y la amplitud (0,2 cm es la elongacin; la amplitud es 0,4 cm), mientras que la velocidad de 10,88 cm/s no es de ninguna manera la mitad de la velocidad mxima (de 12,57 cm/s, como es fcil de ver). Qu comentarios pueden hacerse sobre esto?Veamos ahora los valores de elongacin, velocidad y aceleracin al tiempo 1/20 s:

(4)

(5)

(6)de modo que, en este momento, la velocidad est dirigida en sentido negativo y vale la mitad del valor mximo (12,57 cm/s, como ya se hizo notar). Esto permite responder la pregunta hecha anteriormente: la velocidad del mvil alcanza su valor mximo ( 12,57 cm/s) cuando pasa por el centro de las oscilaciones (x = 0 cm), y va disminuyendo cuando se desplaza hacia el extremo de la oscilacin (sea en x = 0,4 cm, sea en x = 0,4 cm); pero no lo hace de forma lineal, ya que la aceleracin se va haciendo ms grande a medida que el mvil se acerca al extremo. En otras palabras, se pierde la mayor parte de la velocidad cuando se est ya cerca del extremo de la trayectoria: esto puede comprobarse mirando con atencin los valores obtenidos en los resultados (1) a (6).3) Tenemos a = 256 x , con x medido en m y a en m/s2. Como se sabe, en un m.a.s. la ecuacin fundamental es

de forma que resulta evidente que

De otro lado, las ecuaciones temporales de elongacin, velocidad y aceleracin son del tipo

donde = 0, tal como se dice en el enunciado. Finalmente, conocemos tambin el valor de la amplitud A = 2,5 cm = 0,025 m; as como la pulsacin = 16 rad/s, de forma que slo hay que escribir

donde t se mide en s y a se mide en m/s2.4) Como se sabe, la ecuacin fundamental en un m.a.s. es

(1)donde a es la aceleracin y x la elongacin del movimiento. Todo movimiento que satisfaga esta ecuacin es un m.a.s. que tiene lugar en eje X; en consecuencia, debemos probar que tal igualdad es cierta cuando la posicin del mvil est dada por

Para ello, hay que derivar esta funcin de posicin dos veces: primero tendremos la velocidad del movimiento, despus la aceleracin:

Y ahora se trata de comprobar que esta aceleracin cumple la condicin definida en (1). Basta sacar factor comn 100 en esta ltima ecuacin para que quede:

y el problema est resuelto: se trata de un m.a.s., en el que 2 = 100 y, por tanto, = 10 rad/s. Aunque no discutiremos esto ahora, se puede probar que la amplitud del movimiento sera 5 cm.

Movimiento de proyectiles

Vamos ahora a utilizar nuestros nuevos conocimientos para ver cmo podemos describir el movimiento de un objeto que se lanza con una determinada velocidad inicial en cualquier direccin. Empecemos por el caso ms simple de una bomba que se deja caer desde un avin. En la figura podemos contemplar la trayectoria de una bomba soltada desde un avin que vuela a 1000 m de altura con una velocidad de 600 km/h.

Figura 5. Cada de una bomba desde una avin que vuela a 1000 m de altura con una velocidad de 600 km/hQu cosas nos pueden interesar aqu?. Bueno, si usted fuera el piloto del avin estara interesado en cosas como el lugar donde impactar el proyectil, cunto tiempo tardar en hacerlo y cosas por estilo. Nosotros somos an ms curiosos y nos interesa tambin la velocidad que lleva el proyectil en cualquier momento, la forma de la trayectoria y todo lo relacionado con la posicin del proyectil en cualquier instante. Desde luego que somos bastante detallistas en esto de la fsica y el lector podra pensar que se va a complicar mucho el ejercicio de esa manera. Pero si hacemos el supuesto de quelos movimientos horizontal y vertical del proyectil se pueden estudiar separadamente, todo empieza a hacerse ms sencillo.Parte horizontal del movimientoSupongamos ahora que una vez soltado, el proyectil tiende a seguir llevando la misma velocidad que llevaba el avin y en la misma direccin. Pero el lector puede pensar: cmo es esto?. El proyectil debera perder velocidad por dos razones:1. Por el rozamiento de aire2. Porque ya no hay ningn motor que lo impulse.Efectivamente, el proyectil pierde algo de velocidad por efectos de rozamiento con el aire, pero la segunda razn es errnea. Hay un principio de la naturaleza que a veces se denominaprincipio de inerciay que establece quelos cuerpos tienden a continuar en la misma direccin y con la misma velocidad que llevaban mientras no haya ninguna fuerza que se lo impida. En otras palabras, no hace falta que nada mueva al proyectil. Este tiende a continuar movindose por su propia inercia. Vamos a admitir de momento este principio y ms tarde discutiremos los que haya que discutir al respecto. Si despreciamos entonces el rozamiento del aire tenemos, que en la direccin horizontal la rapidez del proyectil es constante y podemos calcular la distancia horizontal que cubre en un determinado tiempo como (ec.[5])

que no es ms que otra manera de expresar nuestraecuacin [1].Movimiento verticalEl movimiento vertical se convierte en una simple cada libre de un objeto como ya hemos estudiado. La distancia vertical cubierta por el proyectil viene dada por la expresin[3]que en este caso se convierte en (ec. [6]):

y su velocidad vertical en cada instante de tiempo t viene dada por laexpresin [2]v = g tNuestro ejemplo en concretoVamos a empezar por calcular la distancia a la que impacta el proyectil. Estar de acuerdo el lector que esto ocurre cuando el proyectil haya cado los 1000 metros desde los que fue lanzado, es decir, que podemos sustituir en laec. [6]

con lo que de paso hemos calculado el tiempo de cada del proyectil. Si ahora lo ponemos en la expresin[5]

donde 167 m/s es la velocidad del avin (600 km/h), obtenemos la distancia buscada.Nos preguntamos ahora con qu velocidad impacta el proyectil en el suelo. Aqu se nos presenta el problema de que tenemos una rapidez horizontal que sigue siendo de 167 m/s y una rapidez vertical que se calcula como:

Cmo se suman estas dos contribuciones para obtener la velocidad. La respuesta es mediante la ley de adicin vectorial. No se asuste el lector, pues el asunto es ms sencillo que lo que el nombre indica.

Figura 6.Representacin del instante de impacto de la bomba contra el suelo.Si nos fijamos en lafigura 6podemos ver como el truco para calcular la verdadera velocidad a partir de la rapidez horizontal y vertical no es ms que la aplicacin del teorema de Pitgoras a nuestro caso particular. Es decir, tenemos que calcular el valor de la hipotenusa del tringulo que se muestra en lafigura 6como

Otra cosa que nos podra interesar es el ngulo con el que se produce la cada de la bomba. El truco consiste en ver la relacin existente entre los lados del tringulo, es decir, 140/167. Este nmero nos da lo que se denomina en matemticas la tangente del ngulo. Por tanto, para calcular el ngulo no tenemos ms que hacer la tangente inversa de esta cantidad y obtenemos unos 40.Por ltimo me gustara sealar el tipo de curva que sigue un proyectil en su movimiento. Todos hemos odo en la retransmisin de un partido de ftbol al locutor diciendo aquello de: "el baln describe una bonita parbola". La parbola es una curva matemtica que se obtiene fcilmente si uno coge en un eje horizontal y pinta marcas igualmente espaciadas y en un eje vertical donde pinta rayas espaciadas cantidades que se multiplican sucesivamente por 1,4,9,16... veces la unida elegida. Esto es, segn los cuadrados de los enteros. De forma general una parbola es una curva que relaciona la distancia vertical y con distancia horizontal x de la forma

siendoa, b, cnmeros cualesquiera.Para ver que efectivamente nuestro proyectil sigue una curva de este tipo solamente tenemos que eliminar el tiempotde las ecuaciones[5]y[6]y obtener una relacin entre la distancia recorrida verticalmente y la cubierta horizontalmente. Quede esto como ejercicio para los lectores ms interesados en la matemtica del asunto.

Movimiento rectilneoSe denomina movimiento rectilneo, aqul cuya trayectoria es una lnea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estar un observador que medir la posicin del mvilxen el instantet. Las posiciones sern positivas si el mvil est a la derecha del origen y negativas si est a la izquierda del origen.PosicinLa posicinxdel mvil se puede relacionar con el tiempotmediante una funcinx=f(t).

DesplazamientoSupongamos ahora que en el tiempot, el mvil se encuentra en posicinx, ms tarde, en el instantet'el mvil se encontrar en la posicinx'. Decimos que mvil se ha desplazadoDx=x'-xen el intervalo de tiempoDt=t'-t, medido desde el instantetal instantet'.VelocidadLa velocidad media entre los instantestyt'est definida por

Para determinar la velocidad en el instantet, debemos hacer el intervalo de tiempoDttan pequeo como sea posible, en el lmite cuandoDttiende a cero.

Pero dicho lmite, es la definicin de derivada dexcon respecto del tiempot.Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicioEjercicioUna partcula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posicin en cualquier instantetest dada porx=5t2+1, dondexse expresa en metros yten segundos.Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre: 2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instantet=2 s.En el instantet=2 s,x=21 m

t (s)x (m)x=x'-xt=t'-tm/s

34625125

2.123.052.050.120.5

2.0121.20050.20050.0120.05

2.00121.0200050.0200050.00120.005

2.000121.002000050.002000050.000120.0005

...............

020

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalot0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instantet=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.Calculamos la velocidad en cualquier instantet La posicin del mvil en el instantetesx=5t2+1 La posicin del mvil en el instantet+Dtes x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1 El desplazamiento esDx=x'-x=10tDt+5Dt2 La velocidad media es

La velocidad en el instantetes el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instantetse puede calcular directamente, hallando la derivada de la posicinxrespecto del tiempo.

En el instantet=2 s,v=20 m/sAceleracin

En general, la velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo. Supongamos que en un instantetla velocidad del mvil esv, y en el instantet'la velocidad del mvil esv'. Se denomina aceleracin media entre los instantestyt'al cociente entre el cambio de velocidadDv=v'-vy el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio,Dt=t'-t.

La aceleracin en el instantetes el lmite de la aceleracin media cuando el intervaloDttiende a cero, que es la definicin de la derivada dev.

Ejemplo:Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea rectax=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresin de La velocidad La aceleracin del mvil en funcin del tiempo.

Dada la velocidad del mvil hallar el desplazamientoSi conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamientox-x0del mvil entre los instantest0yt, mediante la integral definida.

El productov dtrepresenta el desplazamiento del mvil entre los instantestyt+dt, o en el intervalodt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantest0yt.En la figura, se muestra una grfica de la velocidad en funcin del tiempo, el rea en color azul mide el desplazamiento total del mvil entre los instantest0yt, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.Hallamos la posicinxdel mvil en el instantet, sumando la posicin inicialx0al desplazamiento, calculado mediante la medida del rea bajo la curvav-to mediante clculo de la integral definida en la frmula anterior.

Ejemplo:Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta de acuerdo a la leyv=t3-4t2+5 m/s. Si en el instantet0=2 s. est situado enx0=4 m del origen. Calcular la posicinxdel mvil en cualquier instante.

Dada la aceleracin del mvil hallar el cambio de velocidadDel mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del mvil entre los instantest0yt, a partir de un registro de la velocidadven funcin del tiempot, podemos calcular el cambio de velocidadv-v0que experimenta el mvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleracin en funcin del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidadv-v0es el rea bajo la curvaa-t, o el valor numrico de la integral definida en la frmula anterior.Conociendo el cambio de velocidadv-v0, y el valor inicialv0en el instantet0, podemos calcular la velocidadven el instantet.

Ejemplo:La aceleracin de un cuerpo que se mueve a lo largo de una lnea recta viene dada por la expresin.a=4-t2m/s2. Sabiendo que en el instantet0=3 s, la velocidad del mvil valev0=2 m/s. Determinar la expresin de la velocidad del mvil en cualquier instante

Resumiendo, las frmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilneo son

Movimiento rectilneo uniformeUn movimiento rectilneo uniforme es aqul cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleracin es cero. La posicinxdel mvil en el instantetlo podemos calcular integrando

o grficamente, en la representacin deven funcin det.

Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilneo uniformemente aceleradoUn movimiento uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin podemos obtener el cambio de velocidadv-v0entre los instantest0yt, mediante integracin, o grficamente.

Dada la velocidad en funcin del tiempo, obtenemos el desplazamientox-x0del mvil entre los instantest0yt, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, quedando las frmulas del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempoten la segunda ecuacin y sustituyndola en la tercera, relacionamos la velocidadvcon el desplazamientox-x0

Interpretacin geomtrica de la derivadaEl siguiente applet, nos puede ayudar a entender elconcepto de derivaday la interpretacin geomtrica de la derivada

Se elige la funcin a representar en el control de seleccin tituladoFuncin,entre las siguientes:

Se pulsa el botn tituladoNuevoSe observa la representacin de la funcin elegidaCon el puntero del ratn se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisat0.Se elige el aumento, 10, 100, 1000 en el control de seleccin tituladoAumento Cuando se elige 100 1000, la representacin grfica de la funcin es casi un segmento rectilneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representacin grfica Se calcula la derivada de la funcin en el punto de abscisat0elegido Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada ent0.Ejemplo:Elegimos la primera funcin y el puntot0=3.009Elegimos ampliacin 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.

La derivada de dicha funcin es

parat0=3.0 la derivada tiene vale -1.0