matemàtiques rupZERO VI

-nf•oduc:c:ió les de•iwades

B.U.P. 2

l.CE. DE L A UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA �editorial vicens-vives

--

-

•

matemàtiques Grup�.ZERO VI

lnf•odu��ló a les de•lwades

B.U.P. 2

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

�editorial vicens-vives

r

Direcció d'edició: Anna Vicens

_______ GRUP ZERO (BARCELONA) ______ __,

Formen part del GRUP ZERO :

Carmen Azcarate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Marti Casadevall, Ester Casellas, M.ª José Castelló, Montse Comas, Rubi Cor­beró, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafanell, Cristina Fabregat, Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antoni Montes, Paca Moreno, Manuel Udina.

Fotografía Portada: Metamorfosis. M.C. ESCHER.

Segona edició, 1985

Dipòsit Legal: B. 254-1985 ISBN: 84-316-1911-2 N.0 d'O rdre V.V: D-106

Llibre autoritzat pel Departament d'Ensenyament de la Generalitat de Catalunya el 20-5-1981 ID:O.G. 26-8-1961 ).

© GRUP ZERO: Carmen Azcarate. Dolors Benac!., Marta Berini, Daniel Bosch, Martí Casadevall, Ester Casellas, Mª José Castelló, Montse Comas, Rubi Corbera, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafanell. Cristina Fa brega!, Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Anton(iOlontes, Paco Moreno i Manuel Udina. Sobre la part literària,

Reservats tots els drets d'edició a favor d'Ediciones Vicens-Vives, S.A. Prohibida la reproducció total o parcial per qualsevol mitja

IMPR�S A ESPANYA PRINTED IN SPAIN

Editat per Ediciones VICENS-VIV.ES, S A. Avda. de Sarrià. 130. Barcelona-08017. Imprès per Graticas INSTAR, S.A. Metal·lúrgia, s/n, cantonada.Indústria. L'Hospitalet de Llobregat !Barcelonès).

Presentació

Els llibres que formen la present col·lecció han estat preparats, experimentats i revi­sats durant cinc anys. Al nostre país no és freqüent que els llibres d'ensenyament siguin projectats i experimentats degudament abans de ser autoritzats per a l'ensenyament, com s'exigeix a altres països. En el nostre cas això ha estat possible gràcies a l'ICE de la Univer­sitat Autònoma de Barcelona, en el marc del qual i dintre del projecte d'investigació «L'en­senyament de les Matemàtiques al BUP» s'ha portat a terme. Hem comptat també amb el suport del Col·legi de Doctors i Licenciats de Catalunya i Balears.

La idea bàsica que va motivar aquest projecte és la necessitat de disposat d'un mate­rial que faciliti un ensenyament de les Matemàtiques que no sigui purament deductiu, que respecti el procés genètic del coneixement, tot buscant la motivació de l'alumne en les aplicacions dels mètodes matemàtics a situacions reals.

Els fascicles que constitueixen la col·lecció fiQS ara son:

l. La mesura i els nombres. 11. Estudi de les funcions lineals i quadràtiques.

Ill. Estadística i atzar. IV. Progressions. V. Estudi de les funcions exponencial i logarítmica.

VI. Introducció a les derivades. VII. Les funcions circulars.

Un primer curs de Matemàtiques es pot enfocar bàsicament a partir dels fascilers l, 11 i Ill. Els temes IV, V, VI i VII constituirien el nucli d'un segon curs. Cal complementar els dos cursos amb qüestions de Geometria.

Actualment estan en preparació altres fascicles que completarien el programa de BUP.

r

Pròleg

La fotografia de l'arribada dels corredors a la meta no ens diu res sobre el tipus de cursa que han fet. No ens diu si la cursa ha estat d'obstacles o si eren els 100 metres llisos. Si ha estat d'obstacles, no ens permet descobrir quins obstacles han hagut de superar els corredors, ni tampoc no ens permet de saber en quines condicions aquests han hagut de córrer.

Els qui formem el Grup Zero creiem que la majoria dels llibres de text de Matemàti­ques que podem trobar en aquests· moments són com fotografies (tot deixant de banda els que són simples fotocòpies; almenys la fotografia pot suposar una certa originalitat), fotografies, com dèiem, de l'etapa final d'un treball, del resultat d'un cert procés, d'una cursa que, estigueu-ne segurs, ha estat d'obstacles. Però, què ha caracteritzat aquest treball? Quin tipus de treball ha estat? Quins motius hi havia per tal de dedicar temps a realitzar-lo?

Les Matemàtiques no les podem reduir a fotografies, a instantànies dels resultats del treball fet per uns altres. Saber Matemàtiques no és «posseir informació mate­màtica», sinó que vol dir SABER FER Matemàtiques. La matemàtica fonamentalment és un mètode. En aquest sentit, podria ser il·lustrativa del treball matemàtic, del mètode matemàtic, una pel·lícula, però mai una fotografia.

Saber Matemàtiques significa poder-ne fer: saber plantejar i resoldre problemes, criticar arguments, utilitzar el llenguatge matemàtic amb facilitat, reconèixer un con­cepte matemàtic en una situació concreta ...

De tota manera no us volem presentar cap pel·lícula, sinó aquest material de treball que ara teniu a les mans. L'objectiu d'aquest material de treball és introduir-vos en el mètode propi de les Matemàtiques. Un treball dur, difícil, que exigeix molt més esforç per part de tots, molta més disciplina de treball, però que a la llarga és molt més fruc­tífer.

Aquest llibre no és, doncs, un «llibr�de text» habitual, en el sentit que la teoria no hi és recollida de forma estructurada. Caldrà elaborar-la a partir del treball fet sobre els problemes. Així, cada alumne construirà el propi text a posteriori, seguint els guions que hi ha al final del tractament dels diversos temes. És necessari que aquest treball sigui després útil com a material de repàs i d'estudi i, per això, cal que tingui una bona pre­sentació, gràfics ben fets (en paper mil·limetrat), etc., que reculli una selecció dels pro­blemes més interessants i tots els aspectes teòrics que han sortit.

Índex A. GRAFICS DE FUNCIONS. ASPECTES GLOBALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Funcions creixents i funcions decreixents . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

B. GRAFICS DE FUNCIONS. ASPECTES LOCALS . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . 9

C. TAXA MITJANA DE VARIACIÓ.................................... 15

1. Variació d'una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Taxa mitjana de variació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. La taxa mitjana de variació és el coeficient angular d'una recta . . 24

D. TAXA INSTANTANIA DE VARIACIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8

1. Coeficient angular de la recta tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. La caiguda de un cos: velocitat mitjana i velocitat instantània . . . 36

3. Taxa instantània de variació o nombre derivada . . . . . . . . . . . . . 40

E. FUNCIÓ DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1. Funció derivada d'una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2. Funcions derivades d'algunes funcions elementals . . . . . . . . . . 47

3. Problemes d'aplicació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

F. ESTUDI D'UNA FUNCIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1. El signe del nombre derivada en un punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2. Intervals de creixement i de decreixement. Màxims i mínims . . . . 57

3. Simetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Asímptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5. Regionalització del pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

G. PROBLEMES DE MAXIMS l MINIMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

H. PROBLEMES DE CONSOLIDACIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . .'

. . . . . . . . . . 69

i.;.

A

g ràfics de fun c i o n s

a spectes globals

Començarem aquest tema amb l 'estudi d'alguns aspectes globals dels gràfics de certes funcions, i especia1ment ens interessarà veure quins són els més significatius . També serà útil parlar d'intervals, els quals ens aju­daran a explicitar aquestes característiques.

1. FUNCIONS CREIXENTS l FUNCIONS DECREIXENTS

El gràfic representa la variació de la profunditat de l 'a igua a Swansea (Anglaterra ) , deguda a la marea. Més precisament: ens mostra la profun­d i tat de l 'afgua al port des de les set de l matí f ins a la una de la mati­nada d 'un d ia de l 1 969 .

1

r

a} A qu ina hora hi havia marea alta? l marea baixa?

b) A quina hora podria entrar a l port un vaixe l l que necessita 1 O metres de profunditat d 'a igua? Quanta estona s 'h i podr ia quedar com a màxim?

e} Quan puja i quan baixa la marea?

d) En qu in moment la marea baixa més de pressa?

E ls c ientífics Boy le i Mariotte van estud iar la re lació entre la pressió d 'un gas i e l volum que aquest ocupava quan la temperatura del gas no era modificada . Van dedu i r exper imentalment que el producte de l a pressió pe l vo lum é s constant. Pe r un m o l de gas (un mo l és un nombre de grams igual al pes molecular del gas} a 20 ºC, aquesta relac ió s 'escr iur ia :

P ·V = 24,03

P en atmosferes i V en l itres .

a) Estab le ix una tau la de va lors de la funció f : V� P i representa els valors en un gràfic. Es poden un i r els punts que s'han d ibuixat?

b) A mesura que augmenta el vo lum del gas, la pressió augmenta o d isminueix?

e) La funció f : V� P, és cre ixent? És decreixent? Per què?

La temperatura de les d iferents capes atmosfèriques no decreix regu l arment en funció de l 'altitud, com podríem pensar basant-nos en la nostra l imitada experiència . Els estudis fets ens d iuen que la temperatura varia segons l 'alt itud i ho fa de la manera que ens i ndica el gràfic següent:

2

a) Quina és la temperatura a 10 km d 'a ltitud? Quina és la temperatura més baixa de la mesosfera?

b) Dins qu ines capes atmosfèriques la temperatura augmenta contí­nuament en funció de l 'a lt itud?

e) Di ns qu ina capa atmosfèrica fa més fred ? A quina a ltitud ?

d) Resumeix les observaci ons fetes a pa rti r del gràf ic tot completant la taula següent:

Altitud de O a 12 km de 1 2 a 50 km de 50 a 85 km de 85 a 112 km

Temperatura d isminueix

Una de les característiques evidents del gràfic d'una funció està asso­ciada al fet que en certs indrets el gràfic puja ( la funció augmenta ), mentre que en altres el gràfic baixa ( la funció disminueix) .

D'una manera intuïtiva , hom diu que una funció és creixent entre a i b, o també, que és creixent en l'interval ( a , b), si entre a i b el seu gràfic no deixa de pujar. Els exemples que segueixen són els de quatre funcions creixents sobre l 'interval (a. b):

Q b b

r l

, ,

De la mateixa manera hom diu que una funció és decreixent en l'interval ( a, b ), o bé, entre a i b, si entre a i b el seu gràfic baixa sense parar.

-Dibuixa e ls gràfics de quatre funcions decreixents en l ' i nterva l (-2,5).

Hi ha funcions que són sempre creixents o bé sempre decreixents, és a dir, són creixents o decreixents en qualsevol interval que ens passi pel cap

3

l agafar. Però el cas més general és el de les funcions que són creixents en uns intervals i decreixents en uns altres. Per exemple, la funció f definida a l'interval (- 3 , 6) del gràfic següent :

l és una funció que : entre -3 i -2 és creixent; entre -2 i l és decreixent; entre l i 4 és creixent; entre 4 i 6 és decreixent .

Tot això ho podem resumir en la taula:

x (-3, -2) (-2, l) (l, 4) (4, 6)

l creixent decreixent creixent decreixent

o també ( si hom utilitza el signe /' per a indicar que una funció és creixent en un interval, i el signe \.i per a indicar que una funció és decreixent) en la taula: '

(-3, -2) (-2, l) (l, 4) (4, 6)

Fes tau les com l 'anter ior per ind icar en quins i nterva ls són creixents i en quins decre ixents les funcions f : (- 2, 5) � IR i g: (- 5, 3) � 1R de ls gràfics següents :

l

4

2. INTERVALS

Definirem ara el concepte d'interval que ja hem utilitzat en els proble­mes anteriors . Donats dos punts a i b de la recta, amb la condició a < b, l'interval obert d'extrerns a i b, que indjcarem (a, b), és el conjunt de tots els punts que estan entre a i b, exclosÓs els extrems. És a dir, l'interval obert (a, b) és el conjunt de tots els punts x tals que a < x < b. Gràfica­ment:

Q b

..u a) Dibu ixa e ls interva ls oberts ( 1,5), (- 3 , - 1), (- 7 /5 , 2/3) , (0,6),

(-8, 1/2) .

b) Donats e ls interva ls oberts (- 3,3) i ( 1,5), troba e ls conjunts (- 3,3) U ( 1,5) i (- 3,3) n ( 1,5). E ls conjunts obti nguts són també i nterva l s oberts?

e) És e l conjunt ( 1,5) U ( 1 3/2, 7) un interva l obert?

d) Quin conjunt és (- 3,3) n (3 ,5) ?

-Hi ha un altre tipus d'intervals : els intervals tancats. Donats dos punts

a i b de la recta, amb la condició a < b, l'interval tancat d'extrems a i b, que indicarem [a, b], és el conjunt de tots els punts que estan entre a i b, inclosos els extrems. És a dir, l'interval tancat [a, b] és el conjunt de tots els punts x tals que a� x � b. Gràficament :

Q b

a) Dibu ixa e ls interva l s tancats [ -3, 2.5] i [ 1 /2, 3].

b) Donats e ls interva ls tancats [2,5] i [3,6], troba e ls conjunts [2,5] n [3,6] i [2,5] u [3,6] . Quins interva ls s 'obtenen?

e) Donats e ls interva l s tancats [- 7, -2] i [-2, 3], troba e ls conjunts [- 7, - 2] íl [- 2, 3] i [- 7, - 2] U [- 2, 3]. ¿S'obtenen inter­vals tancats? Qu ins?

dJ És un interval tancat o un interval obert e i conjunt (2,5) n [3,6]?

5

Moltes vegades, una funció no està definida només en un interval, sinó que el seu conjunt original o domini és tot el conjunt dels nombres reals IR. Aquest és el cas de la funció :

f:IR�IR x � f(x) = __!_x3-2x +l

3

el gràfic de la qual és:

En dibuixar aquest·gràfic, en realitat en dibuixem només un tros, sobre­entenent que aquell hauria de perllongar-se indefinidament tant per un extrem com per l 'altre.

En el cas de la funció que donem com exemple, tenim que:

A l'esquerra de -V2, la funció és creixent.

Entre -v2 i V2, la funció és decreixent .

A la dreta de V2, la funció és creixent .

Això ens porta a definir un altre tipus d'intervals que anomenarem semirectes obertes: la semirecta oberta (- oo , a) formada per tots els punts situats a l'esquerra de a, és';a dir, per tots els punts x tals que x < a, i la semirecta oberta (a, + oo ) formada per tots els punts x tals que a < x. Gràficament tenim:

6

Q (-oo,a)

Q (a,.,. oo)

a) De manera semblant, defineix semirectes tancades. b) Utilitzant les nocions d'interval obert i de semirecta oberta, resumeix

en una taula els intervals de creixement i els de decrebs:ement de la funció de l'exemple anterior. 'f

a) Dibuixa les semirectes (-oo, -2), (-oo, 7), (-5, + oo).

b) Troba els conjunts:

(-oo;3) íl (-1,3) (-oo,1) U (O, + oo) (-oo,3) íl (-3,+oo)

(2, + 00 ) u [- 3,5) [- 2,7] n (6, + 00 ) (-oo ,2] u [2,28]

tot dient si s'obtenen intervals, semirectes o ni una cosa ni l'altra.

Determina per a cada funció els intervals on la funció és creixent i els intervals on la funció és decreixent (pots disposar els resultats en una taula).

f¡: !R � -+--------+-----+-"'---'---+--'-----¡

ti j

7

l

l

8

gràfics de fun c i o n s

a spectes lócals

Estudiarem, ara, algunes propietats locals dels gràfics de funcions i veurem quins són els punts que tenen una importància especial.

MÀXIMS l MÍNIMS

Donada la funció f : !R � !R, el gràfic de la qual és :

podem observar que hi ha punts d'especial interès, com poden ser els punts A, B i C. Direm que A és un màxim relatiu i que B és un mínim relatiu de la funció f. Hi ha cap altre màxim relatiu?

9

Abans de donar una definició una mica més rigorosa de que es un màxim relatiu i un mínim relatiu caldrà introduir el concepte d'entorn d'un punt.

DEFINICIÓ; Donat un punt a de la recta, un entorn de a és qualsevol interval obert que contingui el punt a.

Així, per exemple, els intervals (- 7 ,3 ), (- 3 ,6 ), (0,28) són entorns del punt l. l

-a) Dóna dos entorns del punt -2 i troba'n la unio la intersecció.

S'obtenen també entorns del punt -2? Quins?

b) ¿Donats dos entorns d'un punt a, és cert que la seva intersecció i la seva unió són també entorns del punt a?

e) ¿Donats dos entorns d'un punt a , pot passar que la intersecció sigui el conjunt buit?

DEFINICIÓ: Donada una funció f, direm que té un màxim reÍatiu en el punt d'abscissa a si f(x) � f( a ) per a tots els punts x d'un cert entorn de a.

Conseqüència d'aquesta definició és que un punt A on la funció f deixa d'ésser creixent per començar a ésser decreixent, és un màxim relatiu de f.

10

Dóna l a defin ic ió de mínim relatiu d 'una funció en un punt d 'abscis­sa a. I l ·l ustra-ho amb un exemple gràfic .

Completa l a tau la següent que resumeix e l comportament de l a funció f, el gràfic de la q ua l hem donat al començament d'aquest apartat, tot prec isant e ls punts on f presenta màxims i m ín ims relat ius:

x (- oo, -1 ) -1 i(-1 , 1 /2 ) 1 /2 ( 1 /2 , 2 ) 2 (2 , 00 J f (x) màx.

'

Resumeix en una tau l a el comportament de la funció g: !R� !R:

Hem donat la definició de màxim relatiu; aquesta definició és una defi­nició local: centra l 'atenció en un punt tot dient què passa en un cert entorn d'aquest punt. Donarem ara una definició local de funció creixent i de funció decreixent, conceptes que d'una manera intuïtiva hem introduït ja abans .

11

l l l DEFINICIÓ: Donada una funció f direm que és creixent en el punt d'abs­

cissa a si per a tots els punts x d'un cert entorn de a tenim que f(x) � f(a) quan x < a i

.f(x ) � f( a) quan x > a .

-

l

Dóna l a defin ic ió l ocal de funció decreixent en un punt d'abscissa a.

De tota manera, en l 'apartat A parlàvem de funció creixent i de funció decreixent en un interval . Fixem-nos en la definició següent, que lliga els conceptes de funció creixent en un interval i de funció creixent �n un punt.

DEFINICIÓ: Una funció f és creixent en un interval (a , b) , si f és creixent en cada un dels punts d'aquest interval ( a , b) .

-Dóna la defin ic ió de funció decre ixent en un interval [a, b).

1-Coneixent certes característiques d'una funció , és poss ib le reconèixer

e l seu gràfic i fins i tot construir- lo .

D 'entre e ls gràfics ind icats, identifica aquel ls que pugu in ser gràfics de l es funcions, les característiques de les qua ls donem a conti nuació.

a) La funció f té un màxim en el punt d 'absc issa -2, un mínim en e l punt d 'abscissa 2 i passa per l 'origen de coordenades .

b) La funció g és sempre decre ixent i passa pel punt (- 2,0) .

e) La funció h té dos mínims i un màxim i passa pel punt (0,4) .

12

d) La funció k és sempre decreixent excepte en l'interval (1,4) on és creixent, i k(1) = 1 i k(4) = 4.

e) La funció/ és creixent en l'interval (- oo, 1] i constant en l'interval [1, + oo ) ,

f) La funció m té un sol màxim i talla l'eix d'abscisses en els punts -3 i1. '$.t

g) La funció n no té cap màxim ni cap mínim.

T

¡ l l _,

'l l

l l 13

l l

¡l

� � Ja hem d it que coneixent certes característiques d'una funció po­

dem d ibu ixar-ne el gràfic, si més no, els trets genera ls i més importants .

D ibu ixa e ls g ràfics de funcions que tenen les característiques se­güents :

a) f és decreixent a l 'esquerra del 2 . És creixent a l a dreta del 2 i f (2 ) = 1 .

b) g té Un màxim en el punt d 'abscissa - 2 . Té un mín im en e l punt d 'absc issa 3 i :

g (-2) = 5 g (3) = -1

No té cap més màxim n i cap més mín im.

e) h només té un màxim en e l punt d 'abscissa O. Tal la l 'e ix d 'abscisses en els punts - 3 i 3 . Sabem que h (O) = 6.

Dibu ixa e l gràfic de la funció f que té la següent tau la de compor­tament:

x (-oo, -1 ) -1 (- 1 ,2) 2 (2 ,4) 4 (4,5) 5 (5 , + 00 )l f (x) � mín. /' màx. � mín . ?' màx. �

i de la qual també sabem que f (- 1) = - 6, f (O) = - 5.5, f (2) = 3, f (4) = -2, f (5 ) = -1 , i que tal la l 'e ix d 'abscisses en e ls punts (-5,0) , ( 1 .5 ,0) i (3 ,0) .

14

C

ta xa m· itja n a de va ria c ió

Als apartats A i B hem parlat de com varien les funcions en termes generals de creixement i decreixement. Moltes vegades cal, però, com veurem ara, trobar els valors d'aquestes variacions i interpretar-ne el sentit.

1. VARIACIÓ D'UNA FU NCIÓ

-La predicció meteoro lògica de l temps es pot fer amb l 'ajut d 'un

baròmetre . Aquesta predicció es basa no tant en el va lor de la pressió en un moment determi nat com en les variacions brusques que es produeix in .

E l g ràfic següent representa les observac ions de la pressió atmos­fèrica d 'una estació meteorològica:

P(mt:h 1020' l l l l 10l0

. . . , 'J 1 l

'F-"'"=-�r---"'3=-b ,,J.,.:� L T 15

r

l l

l

1•

a) Digues quins aparel ls es fan servi r per a mesurar l a press ió atmos­fèr ica i qu ines un itats s 'uti l itzen .

b) Quina és la pressió atmosfèrica a les s is de l matí de l d ia 29? l a les dotze del migd ia?

e) A quina hora ha estat més ba ixa la press ió?

d) Quina era la pressió atmosfèrica a les 1 8 h i a les 24 h del dia 29? Qu ina var iac ió h i ha hagut entre aquestes hores? l entre les 1 8 h del d ia 29 i les 6 h del 30? l entre les O h i les 1 2 h del d ia 30?

e) Quina ha estat la variació de la pressió atmosfèrica entre les 6 h i les 1 2 h del d ia 29? Per què és negativa?

-Considerem la funció f. de gràfi c :

1 l 2 3 í _Js- l 6 a) Troba e ls va lors f( - 2). f ( O ). f ( 2 .5). f (4). f ( 5 .5). f( 6) .

b) La variació de f entre 2 i 4 és f (4) - f ( 2 ) = 8 - 6 = 2. Troba les variacions de la funció entre :

O i 2

2 i 6

- 2 i 2

4¡7

3 i 5.5

2 .5 i 6

- 2 i4

-1 i 5

e) Quina relació observes entre e l s igne de l a variació i e l fet que la funció s igu i cre ixent o decreixent?

-Donada la funció g de l a figura :

16

a) Troba la variació de g entre -1 i 1 .

b) Ara busca-l a entre 1 i 3. e) Troba un nombre x per al qual la var iac ió de g entre 1 i x s igu i 2. d) Troba e ls nombres x, i x2 per a l s quals la var iació de g entre x, i X2

s igu i - 3. Busca' l s ara , de manera que l a variació s igu i - 4. e) Troba dos nombres x, i x2 per a ls qua ls l a variació de g entre x, i X2

s igu i O.

-Troba l a variació de l a funció f (x) = 3x2 - 5x + 1 .

a) Entre O i 2. b) Entre -2 i 3. e) Entre 5 i 1 5 .

-Troba la variació de la funció f (x) = 3x- 5 .

a) Entre - 1 i O. Entre 2

b) Entre O i 1 . Entre 2 3 1

Fes e l mateix per a les funcions g (x) = - x + 3 i h(x) = -x + 7. 2

Comenta e ls resu ltats.

En els cinc problemes anteriors s 'ha fet servir el concepte de variació d'una funció.

DEFINICIÓ: La variació d'una funció f entre x1 i x2 (amb x1 < xz), és el nombre f(x2)- f(x1).

17

r

l ¡l

2. TAXA MITJANA DE VARIACIÓ

Tornant al problema C . 1 recordem que , per a la predicció de l temps, e l que interessa és conè ixer les variacions brusques de la pressió atmos­fèrica . Concretament:

• Una caiguda de l a pressió atmosfèr ica que dur i més de tres hores i s igu i en mitjana superior a 1,7 mi/.libars per hora anuncia mal temps. (S i ja en fa , e l mal. temps conti nuarà . )

• Un augment de la pressió atmosfèrica que dur i més de tres hores i que s igu i en m itjana superior a 1,7 mi/.libars per hora, anuncia bon temps. (Si ja en fa, continuarà el bon temps) .

• Una press ió atmosfèrica estab le no comporta cap canvi de temps .

És a d i r , no n 'h i ha prou de conèixer la variació de la pressió atmos­fèrica per a pred i r el temps; cal saber-ne la variació per hora.

Donat e l g ràfic següent, obtingut en un observatori meteoro lògic, podem observar que la variació de la press ió atmosfèrica entre les O h i l es 6 h ha estat de - 20 mb. Durant aquest interval de temps (de 6 ho­res) la variació per hora ha estat de - 20/6 = - 3,3 mb/h. Això vol d i r que a l es 6 h de l matí, l 'observatori podia pred ir que e l temps empit­jorar ia .

P(rnbl 1010

l 1000

�90

_j l 6 21. t.( h1) ¡ a) Troba la vari ació per hora de la pressió atmosfèrica entre les 6 h

i les 1 2 h, entre les 12 h i les 18 h, i entre les 1 8 h i les 24 h.

b) Parti nt de la variació per hora de la pressió atmosfèrica entre les 18 h i les 24 h, quin pronòstic podrà fer l 'observatori ?

1 8

e) La variació per hora de la press ió atmosfèrica també s 'anomena taxa mitjana de variació de la pressió atmosfèrica.

-

Com que a cada hora t l i correspon una pressió atmosfèrica que podem designar per P(t), escriu l 'expressió de la taxa mitjana de variació de P entre t, i t2.

El gràfic següent representa l a distància recorreguda per un auto­mòb i l en un vi atge de Sabadel l a B lanes.

a)

b) e) d)

e)

f)

g)

Quina d istància tota l ha recorregut e l cotxe ?

Quant ha durat e l v iatge ?

Quant va l la velocitat m itjana de l cotxe en tot e l v iatge?

Quant va l la ve locitat m itjana de l cotxe a l'autopista? l descomptant les parades?

Quant val l a veloc itat m itjana des d 'Hosta l ric a Blanes?

Quant val l a veloc itat mitjana entre e l moment 55 i e l 65? Quina ha estat l a velocitat m itjana entre l ' instant 65 i e l 80?

Què marca el velocímetre de l 'auto en el moment 25? l en e l 35? l en e l 45?

'

19

r h) Si i nd iquem per d ( t) l a d istància recorreguda fins a l ' instant t,

escriu l 'expressió de la ve locitat m itjana entre e ls instants ti i t2, que i nd i carem per: Vm ( t1, t2) .

L'expressió de la velocitat mitjana entre el instants t1 i t2 �robada en el problema anterior, és anàloga a l'expressió de la taxa mitjana de variació de la pressió atmosfèrica entre t1 i t2, trobada en el problema C.6.

DEFINICIÓ: La taxa mitjana de variació d'una funció f entre x1 i x2 (amb x1 < x2) és ef nombre:

/(x2) - f(x1) X2-X1

E l g ràfic següent reg istra la temperatura observada a l l larg d'un d ia a l Turó de l 'Home ( Montseny) .

a) Quant val la vari ació de la temperatura entre l es 6 h i l es 1 2 h ? l entre l e s 1 2 h i l es 18 h ?. l entre les 1 8 h i l es 2 4 h? Justifica e l s s ignes de les variacions.

b) Quant va l la taxa m itjana de variació de la temperatura entre l es 8 h i les 1 2 h? l entre les 8 h i les 1 6 h? Quina de les dues és més gran? Com s 'expl ica ? Si en comptes de taxes parl éss im de var iacions, quina seria més gran ?

20

A interva ls de 5 segons s 'observa la pos ic ió d 'un cotxe ( respecte a un punt de referència O) per observar s i en a lgun moment supera la velo­citat màxima permesa . Les dades obtingudes, considerant que l ' i nstant en què passa pel punt O és l ' i nstant zero , són :

temps (segons } o 5 1 0 1 5 20 25 30 35 40

dis tància a O (metres } o 1 00 200 290 370 430 5 1 0 6 1 0 720

a) Calcu la la veloc itat mitjana del cotxe durant l ' i nterva l tota l de temps (40 s) i la velocitat m itjana de l cotxe en cada un de ls i nterva ls de 5 segons.

b) Fes una est imació de la velocitat de l cotxe en el moment en què e l re l l otge marca 20 segons .

e) Esti ma durant quant de temps la velocitat fou infer ior a 1 8 m/s . ¿Si l a velocitat màxima autoritzada és de 72 km/h, h_i ha hagut a lgun moment en què se superés ?

� Un paracaigudista es t i ra des d 'un avió a gran a ltura . Després de

8 s obre e l paraca igudes. La d istància vertica l recorreguda en la caiguda des del moment en què abandona l 'avió, és donada en l a tau la següent:

temps de caiguda (s } 2 4 6 8

dis tància recorreguda (m } 20 80 1 80 320

a) Dibuixa un gràfic que reflecte ixi aquestes dades. ¿És justificat d ibu i ­xar aquest gràfic com una l ín ia contínua en l loc de representar ún icament els punts donats per la tau la?

b) Troba la velocitat mitjana en cada un de ls i nterva l s de 2 segons. Es tracta d 'un movi ment un iforme?

e) Busca la fórmu la de l a funció que relaciona e l temps de caiguda i la d istància recorreguda:

f : t�d

d) Quina d istància haurà recorregut al cap de 3 segons? Troba la ve lo­citat m itjana durant e l tercer segon de caiguda i durant e l s isè .

21

11 l

l\

C.1 1

En ti rar en la i re vertical ment una pedra amb una ve locitat de 40 m/ s, la seva a ltura (en metres ) , després de t segons ve donada per:

d (t) l= 40t - 5t2 a) Construeix una tau la que mostri l 'a ltura de la pedra a i nterval s d'un

segon des de t = O fins a t = 1 0 . b) Dibu ixa amb mo lta cura el gràfic corresponent.

e) Quina és l 'a ltura màxima a la qual arri barà la pedra? Al cap de quants segons?

d) Quants segons tr iga l a pedra a tornar a caure a terra ?

e) Poden ten i r a lgun s ign ificat e ls va lors de d (t) quan t > 8 o bé quan t< O?

f) Quina és la velocitat mitjana de la pedra durant e ls següents inter­va ls de temps?

entre t = o t= 2 entre t = 4 entre t =, 1 t = 4 entre t = 1

Comenta 'n e ls resultats .

C.1 2

Donades les funcions:

f (xJ = �x - 1 4

Q :;....o

g (x) = x3 - 3x2 + x + 3

t = 7

t = 7.

�

o

h (x)

a) Troba 'n la taxa mitjana de variació entre x = 2 ix = 5.

4 x

b) Fes-ho també entre x = -3 ix= 2; entre x = - 25 ix = O; i en­tre x = 1 /2 i x = 3.

22

Les poblacions de Sabade l l , Terrassa i l 'Hospita let durant aquest segle han sofert transformacions rad ica ls . La tau l a següent dóna l 'evo lu­ció de la seva població des del 1 900 fins a l 1 965:

Any 1 900 1 9 1 0 1 920 1 930 1 940 1 950 1 960 1 965

Sabade l l 23 .294 28 . 1 85 37 .529 45 .607 47.83 1 59 .494 1 05 . 1 52 1 35 .052

Terrassa 1 5.956 22 .885 30 .532 39.975 45.081 58.880 92 .234 1 1 7.922

L 'Hospita let 4 .948 6.905 1 2 .360 37 .650 5 1 .249 71 .580 1 1 7 .627 1 75 .482

a) Representa sobre uns mateixos eixos les dades que hem donat. Comenta'n els gràfics obtinguts.

b) Troba l a taxa de cre ixement (o taxa de variació de la població) per a cada un dels períodes i per a cada població. En qu ines un itats s 'expressen aquestes taxes ?

e) Anal itza amb deta l l e l període 1910-1920: qu ina és la població que té una taxa de creixement més gran? ¿Que una població t ingui la taxa de creixement més gran, vo l d i r que és la població que creix més de pressa? De cara a contestar aquesta pregunta , i ntenta resol­dre la qüestió següent :

Suposant que aquestes taxes de creixement fossin constants, ¿quants anys caldr ien perquè cada una d 'aquestes pob lacions es transfor­més en e l doble de g ran?

Ens trobem, doncs, que a l'hora de comparar el creixement de dues o més ciutats, la taxa de creixement no és útil. Per poder comparar, cal expressar les taxes de creixement com a percentatges sobre la població exis­tent a l'inici del període analitzat. Aquest percentatge s'anomena percen­tatge de creixement.

d) Troba el pe rcentatge de creixement de cada un dels períodes i per a cada una de les poblacions.

e) Quin ha estat e l període de màxim creixement d 'aquestes pobla­cions? A què pot ser degut?

Quin any les poblacions de Sabade l l i de l ' Hospitalet van ten i r e l mateix nombre d ' habitants ?

23

11 f) Quin any la d iferència d 'habitants entre Sabade l l i Terrassa ha estat mín ima?

g) Suposant que e l s percentatges de creixement en el període 1 960-1965 es mantinguess in constants , qu ina era aproximadament la poblac ió de Sabadel l , de Terrassa i de l ' Hospita let l 'any 1970?

3. LA TAXA MITJANA DE VARIACIÓ ÉS EL COEFICIENT ANGULAR

D'UNA RECTA

C.1 4

Donada l a func ió f ( x) = 3x - 5.

a) Troba l a taxa mitjana de variac ió entre - 1 i 2 .

b) Troba la taxa m itjana de vari ació entre 7 i 28.

e) Troba la taxa m itjana de variac ió entre - 2/3 i - 1 /4.

d) Podem observar que totes les taxes mitjanes de variació de f que hem trobat són Iguals i va l en 3 , que és precisament e l coeficient angular de la recta . Demostra que la taxa mitjana de variació de f entre dos punts qua lssevol x1 i x2 és 3, és a d i r, igua l que .el coefi­c ient angular de la recta.

. C.15

Comprova que, donada una funció po l i nòmica de pr imer g rau f (x) = ax + b, l a seva taxa m itjana 'de variac ió entre dos punts qua ls­sevol X1 i X2 és precisament a.

C.1 6

l t

a) Troba la taxa mitjana de variació de f entre - 3 i - 2.

b) Troba la taxa mitjana de variació de f entre - 1/2 i O.

e) Troba la taxa m itjana de variació de f entre 1 i 4.

-Donada l a funció f:

a) Troba la taxa m itjana de variació de f entre 2 i 4, i entre 4 i 8.

b) Troba el coeficient angular de l a recta que passa pels punts (2,6) i (4,7).

e) Troba el coeficient angular de l a recta que passa per (4,7) i (8,3).

d) Per què són iguals els resu ltats de I 'apartat a) i e ls de ls apar­tats b) i e)?

-Donada l a funció f:

25

l

a) Troba l a taxa mitjana de variació de f entre - 2 i O. b) Troba e l coefic ient angular de la recta que passa pels punts

(-2, f (-2)) i (O, f(OJ). e) Troba la taxa mitjana de variació de f entre 1 i 4.

d) Troba e l coeficient angular de la recta que passa pels punts del g ràfic de f d 'abscisses 1 i 4.

Donada una funció /, una recta com la indicada a la figura s'anomena recta secant al gràfic de f o bé recta secant a f. Fixem-nos que una recta secant a la fundó f és determinada per dos punts del g;àfic de f.

Donada una funció f, troba la re lació que hi ha entre la taxa mitjana de variació de f entre X1 i X2 (x1 < x2) i e l coefic ient angular de la recta secant a f determinada pels punts d 'absc isses X1 i h

C.20

Troba la taxa mitjana de variació entre 4 i 7 per a cada una de l es funcions que segueixen :

a) f (x) = 2x + 1 b) f (x) = x2 + 1 0

C.21

g(x) = 3x + 7

g(x) = 1 ox2-3 h(x) = x2 h (x) = 2x3 + x- 1

E l desplaçament e ( expressat en metres) respecte a un origen O d'un cos és donat en funció del temps t ( expressat en segons) per:

e = f(t) = t2 + 6t + 1 0

26

aJ A quina d istància de l 'origen O es troba el cos a l ' i nstant in ic ia l (t = O) ?

b) A quina d istància de l'origen O es troba e l cos al cap de 5 segons? ¿A mesura que passa e l temps, s'a l l unya el cos de l 'or igen ?

e) Dibuixa el g ràfic de la funció f. Anal itza sobre e ls g ràfics les respos-tes donades en a) i b) . "'

d) Troba la velocitat m itjana entre t = 4 i t= 7.

e) Troba l a velocitat m itjana entre t = 7 i t = 10. ¿És aquest un mo­viment un iforme?

Donada la funció f (x) = x2, troba la taxa mitjana de variació :

a) Entre 5 7 Entre 5 6 Entre 5 5 ,5

b) Entre 5 5 , 1 Eritre 5 5 ,01 Entre 5 5 ,001

e) Què s 'observa en comparar e ls resultats anteriors ?

d) Escriu l 'express ió que ens doni la taxa mitjana de variació de l a funci ó f entre 5 i b ( b ind ica un nombre més gran q u e 5) . S imp l i­fica l 'expressió obtinguda. Què pots d i r de la taxa mitjana de va­riació de f entre 5 i b quan b s 'acosta a 5?

27

l

D . ' .

ta xa 1n sta nta n1a

de va ria ció

L'estudi local d'una funció tendeix a obtenir la max1ma informació del comportament de la funció en el punt. Des del punt de vista geomè­tric intentarem d'entendre el concepte de recta tangent. Després, amb pro­blemes adequats arribarem al concepte de velocitat instantània. La taxa ÍJ)stantània de variació en un pum s'entendrà com a límit de taxes preses en intervals d'extrems cada vegada més pròxims al punt.

1 . EL COEFICIENT ANGULAR DE LA RECTA TANGENT

Hem vist la relació que hi ha entre la taxa mitjana de variació i el coeficient angular de la recta secant . Ara, intentarem resoldre el següent problema : ·,.

l Donada una funció f, i un punt A = (a, f( a)) , quin és el coeficient angular de la recta tangent al gràfic de f en el punt (a, f (a)) ?

La primera dificultat amb la qual ens trobem és: a quina recta s'ano­mena «recta tangent» al gràfic de f en el punt d'abscissa a?

28

, (a,f1a1) l l l l l l "' l l l l l l l l l l

a

En geometria elemental, l 'única corba que s'estudia és la circumferència, i per a ella es defineix la recta tangent com una recta que té només un punt en comú amb la corba. Aquesta definició és la clàssica (ja fou donada pels antics grecs ) .

Malgrat això, per a altres corbes, la definició anterior no es correspon amb claredat amb el concepte intuïtiu de «tangència» que tots tenim. Així, si acceptéssim la definició que una recta és tangent al gràfic d'una funció f si només té un punt en comú amb el gràfic, arribaríem a la conclu­sió que la recta:

no seria tangent al gràfic, mentre que una paràbola tindria dues rectes tangents en qualsevol dels seus punts .

29

l

l

El concepte vàlid de recta tangent té relació amb la idea d'aproxi­mació: de totes les rectes que passen p r n11 punt de 1a corba la recta tan­gent és la que més s'hi aproxima (almenys en uo veïnatge del punt). Aquesta aprnximació es teflecteix en el fet que la «direcció}> (o el pendent) de la cmba en aquest punt coincideix amb la de la recta tangent.

Per determinar la recta tangent al gràfic d'una funció f en un pont A d'abscissa a, procedirem de La manera següent: considerem un altre punt A' d 'abscissa b . Els punts A i A' determinen una tecta secant. Si mante­nim A fix, en moure A' sobre el gràfic de f de manera que es vagi apropant a A, obtenim diverses rectes secants que s'aproximen a una recta determi­nada: és aquesta la que anomenarem recta tangent al gràfic de f en el punt d'abscissa a.

En el dibuix hem representat l'aproximació a A per la dreta (A', A", .. . ) i també l'aproximació per l 'esquerra (B', B", ... ) .

...... . . .... . ........ :,..., -----::-=------- ------ t

Q b

30

-Volem trobar el coefic ient angular de la recta tangent al gràfic de

la funció f (x) = x2 en el punt d 'absci ssa 1 . a) Quants punts de la recta tangent coneixem? Quins són? ¿E¡1 ten im

prou amb aquestes dades per calc�lar e l coeficient angular?

b) Calculem ara aproxi madament e l coeficient angu lar d 'aquesta recta. Amb aquest fi : d ibu ixa amb molta cura en un paper mi l·l imetrat el gràfic de la funció f (x) = x2• Senya la en aquest gràfic el punt d 'abs­c issa 1 . Dibuixa la recta tangent a f en aquest punt. Fes una esti­mació del va l or del coeficient angu lar de la recta d ibu ixada.

e) I ntentarem de trobar el coeficient angu lar de la recta tangent a f en e l punt d 'abscissa 1 , basant-nos en la idea de recta tangent com aproximació de secants . Calcularem els coefic ients angulars d 'al­gunes rectes secants (com ja sabem fer) que, passant pel punt d 'absc issa 1 , s'apropin com més mi l lor a l a recta tangent. l ja en veurem e l resultat!

Per tant:

• Calcula e l coeficient angular de la recta secant determinada pels punts d 'absc issa 1 i 3. (Recordem que aquest coefic ient angu lar és igual a l a taxa mitjana de variació de f entre 1 i 3.)

• Calcula e l coefic ient angular de la recta secant determi nada pels punts d 'abscissa 1 i d 'abscissa 2 .

• Calcu la e l coefic ient angular de la recta secant determi nada pels punts d 'abscissa 1 i d 'abscissa 1 .5 .

• Introdueix e ls resu ltats a la tau la següent i completa-la :

x 3 2 1 .5 1 . 1 1 .0 1 1 .001

f (x) - f ( 1 ) x - 1

1 .0001

• Fes de manera semblant una tau la per a ls coeficients angulars de les rectes secants determinades pels punts d 'abscissa 1, i 0.9; 0.99 ; 0.999.

• Observa les successions de la darrera columna de les dues taules . Cap a qu in nombre tendeixen aquestes successions?

31

l

l

• Podem d i r qu in és e l coefic i ent angu lar de la recta tangent? Quant val ? Coincideix amb l 'estimació feta en b) ?

d) Escriu l 'equació de l a recta tangent a f en e l punt d 'abscissa 1 .

Volem trobar e l coeficient angular de la recta tangent a l gràfic de la funció f (x) = x2 - 4x en e l punt d 'abscissa 4 . Per tant:

a) Dibu ixa curosament en paper m i l·l i metrat el gràfic de la funció f (x) = x1 - 4x. Dibuixa la recta tangent a l g ràfic de f en e l punt d 'abscissa 4 i est ima e l valor del seu coefic ient angu lar .

b) Seguint e l « mètode de les secants " que s 'ha fet servi r en e l pro­b lema 0 . 1 , troba el coefic ient angular de la recta tangent en el punt d 'absc issa 4. Construe ix tau les com les del problema 0 . 1 per a de­du i r e l valor del d it coefic ient angular .

Els problemes D. l i D .2 ens han mostrat un mètode per a calcular el coeficient àngular de la recta tangent . Però hem observat que aquest mètode és molt pesat, atès que cada vegada s'ha de construir la taula i això com­porta fer bastants operacions . En el problema D.3 obtindrem elements per calcular el coeficient angular de la recta tangent d'una manera més ràpida .

Troba el coefic ient angular de l a recta tangent a l gràfic de la funció f (x) = x2 - 4x en e l punt d 'abscissa 5. Per fer-ho :

a) Calcu la e l coefic ient angular de la recta secant determinada pels punts d 'abscissa 5 i x , tot s imp l ificant a l màxim l 'expressió obtinguda.

b ) Amb aquesta expressió s i mp l ificada, podem e laborar més ràpida­ment una tau la com l a dels anteriors prob lemes:

-

x 7 6 5.5 5.1 5.01 . . . . . . 4 .99 4.9 4.5 4

f (x) - f (5) x - 5

32

e) Quan x tendeix a 5, a qu in valor tendeixen els corresponents coefi ­cients angu lars de les rectes secants ?

d) Fes la representació gràfica de la funció que correspon a la tau la anter ior . És defin ida a tots e l s punts?

e) Quin és e l coeficient angular de l a recta tangent a l g ràfic de f en e l punt d 'abscissa 5?

En general :

Donada una funció f i un punt d'abscissa a del seu gràfic:

El coeficient angular de la recta secant determinada per (a,f(a)) i (x,f(x)): f(x)-f(a)

d · d · l f · · l d l ----- ten eix , quan x ten eix a a, a coe icient angu ar e a recta x - a

tangent al gràfic de f en el punt ( a,f( a)).

Així, en el problema anterior podríem escriure:

f(x) - f(a ) = x + 1 � 6

x - a x � 5

Troba e l coefic i ent angular de la recta tangent a l g ràfic de la funció f (x) = x2 + x en e l punt d 'absc issa 3 .

... a) Troba el coeficient angular de la recta tangent al g ràfic de f (x) = 3x

en el punt d 'abscissa 2 .

b) Busca ' l ara per a g (x) = - Sx + 2 en el punt d 'abscissa 1 .

e) Fes e l mateix per a h (x) = x2 en els punts d 'abscissa O i - 3 .

... En un tub de raigs catòd ics , un fe ix d 'e lectrons que es mouen horit­

zonta lment és desviat per unes p laques, de 2 cm de longitud , de tal ma-1

nera que l a trajectòr ia de ls electrons ve donada per la funció f (x) = - x2 4 des del moment que entren d ins el camp creat per les plaques fins que en surten . Troba el punt de la panta l la on inc ideix e l fe ix d 'e lectrons , s i l a d istància d e l final de la p laca a la panta l l a é s de 2 0 cm.

33

l

l

�

l

-a) Troba l'equació de la recta tangent al gràfic de la funció f (x) = x3

en el punt d'abscissa 1 .

34

b) En quants punts aquesta recta ta l l a e l g ràfic de f? Determina ' ls g ràficament i ana l ít icament.

Donada la funció f (x) x + 1 x

calcu la e l coeficient angular de l a recta tangent al seu gràfic en e l punt d 'abscissa 2 . Escriu l 'equació d 'aquesta recta .

.-s Troba l 'equació de la recta tangent a l g ràfic de l a funció f (x) = x2 - 1 :

a) En e l punt d 'abscissa

b) En e l punt d 'abscissa 3 e) En e l punt d 'abscissa a

d) ¿Creus que el resultat de e) et pot fac i l itar e l càlcul de l pendent de rectes tangents en d iferents punts ? Posa'n exemp les.

� En qu in punt la recta tangent a l gràfic de l a funció f (x) = - x2 + 1

és paral·l e l a a l a b isectr iu de l pr imer quadrant?

( Et pot ser més fàc i l s i fas primer la representació gràfica i calcu les e l pendent de l a recta tangent al g ràfic en un punt d 'absci ssa a).

35

2. LA CAIGUDA D 'U N COS: VELOCITAT M ITJANA l VELOCITAT

INSTANTÀNIA

Les experiències de GALILEU sobre la caiguda d'un cos, deixat anar des d 'una certa alçada, van portar-lo a la conclusió que la distància recorreguda pel cos en la eva caiguda només depenia del temps t que havia transcorre­gut des del moment en què s 'havia deixat anar el cos (prescindint de la resistència de l '::iire).

l Aquest resultat, en temps de Galileu, a la primeria del segle xvn, era sorprenent, ja que la gent pensava que un cos queia més de pressa com més pesava.

l �

l

Galileu, que pretenia obtenir relacions precises, quantitatives, que fos­sin contrastables per mitjà de ] 'experiència , va arribar a deduir que les distàncies recorregudes pel cos en la seva caiguda eren proporcionals als quadrats dels temps transcorreguts . Si indiquem per d( t) la distància rècor­reguda pel cos en un temps t , podem escriure que:

d(t ) = at2

on a és la constant de proporcionalitat .

Atès que Galileu no disposava de rellotges per mesurar el temps, no va poder calcular el valor de la constant a. Només més endavant va ser possible fer-ho: quan la distància és mesurada en metres i el temps en segons, la constant a val aproximadament 5 ( en realitat val 4,9 ) de manera que podem escriure que :

d(t ) = 5 f

D . 1 1

Suposem que deixem anar una pedra des del capdamunt d 'un edifici de 272 metres d 'a lçada.

36

a) A quina d istància de terra es trobarà la pedra al cap de 5 segons? Qu ina d istància recorre la pedra durant e l tercer segon? l durant e l quart segon? El movi ment de la pedra és un moviment un iforme?

b) Quant temps tarda a arribar a terra ? Quina és la velocitat mitjana de la pedra en la seva caiguda?

e) Calcula l a velocitat mitjana de la"'.pedra durant e l tercer segon de ca iguda. Calcula- la ara des de l ' i nstant 2 a l ' i nstant 6 .

d) Escriu l 'expressió de la velocitat m itjana de la pedra entre e ls i ns­tants t, i t2.

e) El problema que se'ns pot plantejar ara és el de calcular qu ina és la velocitat de la pedra en l ' i nstant t = 3. Es pot calcular amb l 'ex­press i ó obti nguda a l 'apartat d ) ? Per trobar la veloc itat a l ' i nstant 3 , podríem calcular les velocitats mitjanes en interva ls de temps cada vegada més petits . i;s a d i r, calcu lar íem :

Vm (3 , 3 .5 ) , Vm (3 , 3 . 1 ) , Vm (3 , 3 .0 1 ) Però, per estalv iar fe ina , calcu la l a velocitat mitjana en l ' i nterva l de temps transcorregut des de l ' i nstant 3 a l ' i nstant t. Quina és, doncs, l a velocitat a l ' instant 3?

f) Quina és la velocitat instantània a l ' i nstant 6? l quan la pedra cau a terra?

Quina és la ve locitat i nstantàn ia a l ' i nstant t?

En l lançar en la i re una pedra vertical ment, amb una velocitat i n ic ia l de 12 m./ s, l a seva a lçàr ia en metres al cap de t segons ve donada per la funció:

d {t) = 1 2t - 5t2 a) Dibu ixa el gràfic de la funció d. b) Quina és l 'a lçàr ia de la pedra al cap de mig segon? l al cap d 'un

segon? l al cap de 2 segons?

Com s 'exp l i ca que l 'a lçada a l cap d'un segon s igu i més gran que la corresponent a ls 2 segons?

Quina és l 'alçada màxima assol ida per la pedra ? En quin moment h i arr iba? En qu i r. moment la pedra torna a caure a terra?

37

r

e) Troba la velocitat i nstantània de la pedra quan t = 1 i quan t = 2. Com ca l i nterpretar e l signe negat iu que obtenim en ca l cu lar la velocitat a l ' i nstant t = 2?

d) Troba la veloc itat i nstantània v ( t) en un i nstant t . Dibu ixa e l g ràfic de la funció v ( t) i comenta la relació entre e l l a i la de la funció d. En qu in i nstant la velocitat de l a pedra és zero ?

Amb qu ina velocitat arr iba a terra la pedra?

l e) Troba el coefic ient angular de les rectes tangents a l g ràfic de l a func ió d e n e l s punts d 'abscissa t = 1 i t = 2 . Per què e l s resultats obtinguts són e ls mateixos que e ls de l 'apartat e) ?

S i un cos ( una pedra , un cotxe . . . ) es mou de manera que la seva d istància d a un or igen fixat ve donada per una funció d del temps t

d : t -'). d (t) a) Escriu l 'expressió de la velocitat mitjana entre dos i nstants t1

i t2, Vm Ui , t2) , que és la taxa mitjana de variació de la funció d entre t1 i t2 .

b) Escriu l 'expressió de la veloc itat i nstantàn ia v (ti ) en el moment t1 , que és el l ímit de fa velocitat m itjana vm U1 . t2) quan t2 tendeix a t1 .

l · -,¡l Hem parlat ja de Galileu . GaJileu fou un físic i un astrònoin italià

( 1 564- 1 642 ) . En la història de la ciènda , la persona de Galileu és molt im­portam, ja que amb ell va néixer la ciència moderna, fonamentada en l'observació intelligent de la naturalesa, el mètode exp rimental i la formu­lació de les teories físiques d'acord amb els fets reals .

Les idees que Galileu defensava sobre el moviment dels planetes van ser la causa per la qual s 'hagué d'enfrontar amb l 'Església ( amb la Inquisició). Galileu va haver de renunciar a les seves idees sota les amenaces de la tortura i la foguera.

Per tal d 'aprofundi r en la persona de Ga l i leu , e labora un trebal l sobre e l l . Tingues en compte que :

38

Gal i leu i tina reproducció del seu despatx ( Museu de F l orència)

a) En aquest treba l l haurien de quedar cl ars e ls punts següents :

• La vida de Gal i l eu .

• Les característiques de l 'època en què va v iure ( les cond ic ions soc ia ls , e l paper de l 'Esg lés ia , e l n ive l l de la c iència , l a relació amb els a ltres ci entífics . . . ) .

• Les aportac ions de Ga l i leu a la ciència (descobr iments de Ga l i­leu , i mportància de Ga l i leu per a la c iència , característiques del mètode experimental que Ga l i leu va i ntroduir en la c iència . . . ) .

b) Per tal de real itzar aquest trebal l , caldrà que consult is a lguns l l i bres. Aquesta l l i sta et pot ser úti l :

BERNAL, JOHN D . : Història social de la ciència (vo l l) . Edicions 62 (pàgs. 320-329) . RUSSELL, BERTRAND: La perspectiva científica. Ed. Ar ie l (pàgs. 1 3-29 ) . NEWMAN: Sigma, encic/opedia de matematicas (vol 2) (pàgs. 2-1 0) .

e) Per acabar , a l gunes ind icac ions :

• El treba l l haurà de presentar-se en fu l ls de t ipus fol i .

• L'extensió del treba l l haurà de ser d 'uns quatre o c inc fol is .

• E l trebal l haurà d 'anar acompanyat d 'un índex dels apartats en què ha estat d iv id it e l treba l l (apartats que no han de coinc id i r amb e ls que hem ind icat a a)) .

• El treba l l haurà d ' i ncloure també una referènc ia b ib l iogràfica, és a d i r, una re lac ió dels l l ibres que s 'han consultat per real it­zar- lo .

39

l l

3. TAXA INSTANTÀNIA DE VARIACIÓ O NOMBRE DERIVADA

El problema de calcDlar el coeficient angular de la recta tangent al gràfic d'una funció en un punt i fil de calcular la velocitat d'un ros en un instant ens ha portat a calcular e l valor d'una expressió del tipus

límit x � a

f(x) - f(a) x - a

Això justifica la definició següent :

Donada una funció f i un punt d'abscissa a, el valor del

límit , x � a

f(x) - f(a) x - a

s'anomena taxa instantània de variació de f en el punt d'abscissa a, o també nombre derivada de f en el punt d'abscissa a .

El nombre derivada de f en el punt d'abscissa a l'escriurem f'( a), de manera que:

f'(a) = límit f(x) - f(a)

x� a x - a

D.1 5

Donada la funció f (x) = x2• a) Troba el nombre derivada de f en e ls punts d 'abscisses a = 1

i a = 3 . b) Calcula f' (4) , f' (S .S) , f' (-2) . e) Ou i na relació hi ha entre e l valor de f' (3) l a recta tangent al

gràfic de f en el punt d 'abscissa 3 ?

D . 1 6 ºr•

Troba e ls nombres derivades de les funcions següents en el punt d 'abscissa s.

a)

b)

40

f (x) = x3

k (x) = ...!. x2 - 3 2

g (x) = x - x2

J (x) = � x

Donada la funció f (x) = 3x - 2 , troba f' (-1 ) , f' (O) , f' (2 ) . En un punt a qualsevo l , qu in és el va lor de f' (a) ?

-Fes el mateix per a la funció g (x) = ·3x2•

Resumeix les d iverses formes d 'enfocar el concepte de derivada, completant el quadre següent:

i nterpretació geomètrica

interpretació fís ica

i nterpretació matemàtica

càlcul

coet. angu lar recta secant

veloc itat mitjana

taxa mitjana de variació

f (x) - f (a) x - a

nombre derivada

f' (a) x � a

41

� l l

�: l

l

E

fun ció deriva d a

Moltes vegades no ens interessarà calcular directament la derivada en un punt, sinó trobar els i:>u11 ts on la derivada té un cert valor . Per tal d'abordar aquests problemes gue són eJs que faran palesa la importància del mètode de les derivades , cal estudiar el que s en tén per funció derivada d'una funció .

1 . FUNCIÓ DERIVADA D'UNA FUNCIÓ

J Hem vist que, donada una funció f, podem parlar ( si existeix) dd nombre derivada de f en un punt d'abscissa a .

f (x)=f(a+h ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - - _ _ _

f(o+h)-f(a)

f(a)

Q

42

Podem definir, doncs, a partir de f, una nova funció f' que a cada valor a li assigni el valor f'( a) (nombre derivada de f en el punt d'abscissa a); Aquesta funció f' direm que és la funció derivada de la funció f.

Per calcular f'(a) moltes vegades ens serà útil substituir x - a per h i seguir el camí següent :

-

f'(a) = lim f(x ) - f(a ) = lim

f(a + h) - f(a)

x � a x - a a + h�a (a + h ) - a

= lim f(a + h) - f(a)

h � O h

a) Troba la funció derivada de la funció f (x) = x2 - 5x.

b) Calcula el nombre derivada de f en e ls punts d 'absc issa O, 1 , 3, 5 , mitjançant l 'expressió d e f' Ca) q u e has obti ngut abans; é s a d i r , has de buscar f' (O) , f' ( 1 ) , f' (3) i f' (5) .

e) Qui ns són e ls dom in is de les funcions f i f'?

El nostre objectiu, ara, és trobar mètodes adequats per calcular amb agilitat les funcions derivades de certes funcions. Fixem-nos que, si sabem calcular la funció derivada f' d'una funció f, podrem trobar el nombre derivada de f en qualsevol punt .

-Donada la funció f (x) = x2, troba f' (-3) , f' (-2) , f' (-1 ) , f' (O) ,

f' (0 .25 ) , 1' ( 1 ) ' f' (2) i f' (3 ) .

Dibuixa en uns mateixos eixos , el gràfic de f i e l de f'. Comenta la re lac ió entre e ls dos g ràfics.

-Demostra que la funció derivada de la funció:

x2 f (x) = - -4- + 1 és l a funció f' (a)

a 2

Troba f' (O ) , f' ( 1 ) i f' (2 .65) . Què significa que el nombre derivada en e l punt d 'abscissa O valgui O ?

43

l

l l

Segons la definició, el valor del nombie derivada de la funció f en un punt és , precisament , el valor del coeficient angular de la recta tangent al gràfic de la funció f en aquest punt .

Això vol dir que ens erà possible traçar el gràfic de la funció derivada ( potser no sempre del tot exacta , per suficient per a copsa.r-ne els trets generals) a partir del gràfic de Ja funció donada, tot observant els coefi­cients angulars de Jes rectes tangents . Observem aquests dos exemples :

f( l 3 x) = - x - 2x + l

3

l 1

l f(x) = - X1

2

l

Cal que ens .fixem que hi ha uns punts extraordinàriament importants : aquells en què l a recta tangent és horitzontal . En aquest punts, el pendent de la recta tangent és zero i, per tant, el nombre derivada és també zero.

-Mesura a l gràfic, amb la m i l lor al!(J'oxi mació poss ib le , el nombre

derivada de l a funció f en e ls tres punts' A, B i C i nd icats , i representa e ls va lors obtinguts en un gràfic .

-L'hotel Alps té 1 56 habitacions. El seu consum d 'aigua calenta és

força e levat. La funció Q : t -7 O (t) , e l gràfic de la qual és l ' ind icat, ens dóna el consum tota l d 'aigua calenta des de mitjanit ( O h) fins a les t hores. Aquest gràfic correspon a un d ia determ inat, però s 'ha ob­servat que cada d ia , durant la temporada d 'estiu , es repeteix amb petites variacions.

l . de litre�!

30

12

45

aJ Quina és la quantitat d 'a igua calenta que l 'hotel consumeix en un d ia?

b) Quina quantitat d'a i gua cal enta consumeix entre les 6 h i e l m igd ia?

e) En el nostre context : què s ign ifica la desigua ltat següent:

0 ( 1 8) - 0 ( 1 2) < 0 ( 1 2) - 0 (7)

d) ¿,La desigua ltat O (6) > O ( 1 2) , és poss ib le en e l nostre context?

e) Què s ign ifiquen en el nostre context les expressions?

0 (6) 0 ( 1 8) - 0 ( 1 2)

f) Té sentit aquí 0' (6) > 0' ( 1 2) ?

0 (20) - 0 ( 1 2)

8 0' (7)

g) ¿Si un d ia es fes malbé el s istema de submin istrament d 'aigua cal enta, i només pogués aportar 2 .000 l/h. creus que l 'hotel podria sati sfer l a demanda d 'a igua calenta en qual sevol moment del d ia? l Comenta l es teves observacions.

-

l l

L'agu l la d 'un g i radiscs té una secc ió parabòl ica com la i nd icada a la figura. Expressada en dèci mes de m i l·l ímetre , l a funció que ens dóna aquesta secció és f [x) = 4x2•

Si el solc de l d i sc té la forma de V, com es veu en el d ibuix, de manera que els seus costats són dues rectes de pendents i gua ls a 1 .5 i -1 .5, respectivament, troba els punts on l 'agu l l a farà contacte amb e l solc .

46

Y i l

y

Hem dit que la funció derivada de la funció f(x) = x2 - 5x era f'(a) =

= 2a - 5. Com que a pot ser qualsevol nombre, per tal de respectar la notació pròpia de les funcions, en lloc d'escriure f'(a) = 2a - 5, escriurem :

f'(x) = 2x - 5

Direm, per tant, que la funció derivada de la funció f(x ) = x2 - 5x és la funció f'(x) = 2x - 5.

-a) Troba les funcions derivades de les funcions :

f (x) = 1 g (x) = x b) Troba les funcions derivades de les funcions :

f (x) = x3 g (x) = x4

-Troba la funció derivada de la funció f (x) = 1 /x. La funció f és defi n ida en tots els punts ? l la funció f' ?

Repassant els problemes fets podem recollir ja uns quants resultats : les funcions derivades de certes funcions elementals :

Funció Funció derivada f(x) = l f'(x ) = O

f(x ) = x f'(x ) = l f(x) = x2 f'(x) = 2x

f(x ) = x3 f'(x ) = 3x2

f(x) = x4 f'(x ) = 4x3

f(x) = 1 /x f'(x) = - 1 /x2

2. FU NCIONS DERIVADES D'ALGUNES FUNCIONS ELEMENTALS

El nostre objectiu era trobar mètodes adequats per tal de poder calcular d'una manera ràpida la funció derivada d'una funció.

47

En primer lloc, intentarem trobar les funcions derivades de certes fun­cions elementals : funcions constants, potencials, polinòmiques . Aquests resultats ens estalviaran d'haver de realitzar cada vegada un seguit d'opera­cions algèbriques que, com ja hem vist en els capítols anteriors, són sempre una mica laborioses .

Troba la funció derivada de les funcions constants f (x) = c (et pots ajudar ca lcu lant pr i mer la funció derivada de les funcions f (x) = 3 , g (x) = -2 . . . ) . Di buixa e l seu gràfic i j ustifica e l resu l tat obti ngut.

Les funcions f(x ) = x2, f(x) = x3, . . . , s'anomenen funcions potencials ( perquè s 'expressen com a potències de x) . En l 'apartat anterior n'hem trobat les derivades.

E . 1 0

Calcu la l a funció derivada de f (x ) = x5•

E.1 1

Quina és la funció derivada d 'una funció potencial f (x) = x"? (se suposa n E rN) .

E . 1 2

Troba la funció derivada de les funcions f (x ) = x6 g (x) = x15•

E.13

Donada la funció f (x) = x7, troba f' (O) . f' ( 1 ) , f' (-3/5) . f' (2) .

E . 1 4

Troba les funcions der ivades de les funcions :

f (x) = x2 g (x) = 2x2 h (x) = 3x2 k (x) = -5x2

Comenta e ls resu l tats . Qu ina relació hi ha entre les funcions g' (x) , h' (x) , k' (x) i l a funció f' (x) ? És cert que la funció derivada de l a fun­c ió y = -6x2 és y' = -1 2x ? Demostra-ho .

E.1 5

Demostra que s i g = cf. a leshores g' = cf', és a d i r, que s i g (x) = cf (x) , a leshores g' (x) = cf' (x) .

48

Si g(x ) = cf(x) , l'expressió g'(x ) = cf'(x) és anomenada primera regla de derivació.

Troba les funcions derivades de les fupcions següents :

a) f (x) = x5 g (x) = 2x4 h (x) = -3x3

b) k (x) 1

= - x6 2 7

/ (x) = - - x2 5

4 s (x) = - x7 3

El problema E. 1 5 és important perquè el resultat obtingut ens per­metrà trobar la derivada de mol tes funcions, atès que coneixem la derivada de certes funcions elementals . Ara ens proposem estudiar com derivar una funció gue es pugui considerar com a suma de dues altres funcions.

a) Troba les funcions derivades de les funcions :

y = 3x2 y = 5x3 y = 3x2 + 5x3 Quina relació h i ha entre aquestes funcions derivades?

b) Busca les derivades estudia l a relació que h i ha entre e l les :

y = x + 1 y = 2x2 - x y = 2x2 + 1

Troba les funcions derivades de les funcions següents :

y = ::ix + 1 y = 2x2 + Sx - 7 y = 2x2 + Bx - 6 Comenta e ls resu ltats . ¿ És poss ib le establ i r una regla per trobar

la funció derivada de la suma de dues funcions?

Demostra que (f + g) ' = f' + g' . És a d i r , que per a tot x, ( f + g) ' (x) = f' (x) + g' (x) .

Donada la funció ( f + g)(x ) l'expressió ( f + g)'(x ) = f'(x) + g'(x ) s'anomena segona regla de derivació.

49

,1 l ¡ l l ¡

l l l

E.20

Deriva l es funcions següents , que pots considerar com a suma de funcions de derivada coneguda. Fes servir l a reg l a de l problema anterior.

y = - 5x2 + 3

y = x3 - 3x4 + 8

E.21

1 y = - x3 + 2x2 - 4x + 7 2

y = 7x6 - 5x4 + 3x3 - 2x

Troba l es funcions derivades de les funcions :

a)

b)

e)

E.22

f (x) = 1 Qx3 - 3x2 + 8

1 h (x) = x3 - 2x + -

x

/ (x) = (2x + 1 ) 2

g (x) = -1 2x2 + 3x + 1

2 k (x) = 5x + -

x

m (x) = 3 (8x2 + 2x + 1 ) 2

Troba f (2 ) i f' (2) per a cada una de l es funcions següents :

a)

b)

e)

1 f (x) = x2 - 2x + -

3

7 h (x) = - - x3 + 2x + 1

5

1 g (x) = 2x - ­

x

k (x) = (3x - 1 ) 3

Troba l 'equació de la recta tangent a ls gràfics de les funcions de ls apartats anteriors en e l punt d 'abscissa 2 .

3 . PROBLEM ES D'APLICACIÓ

E.23 .,,.

L'equació de l moviment d 'un cos és d ( t) = 30t - 5t2 (on d(t) s ig­nifica e l desplaçament (en metres ) respecte a un origen en el temps t (en segons ) ) . Troba la pos ic ió i l a ve loc itat de l cos quan t = 2, t = 3 i t = 4. En qu in instant la ve locitat de l cos és zero ? Representa gràfica­ment les funcions d (t) i v (t) i dóna 'n una interpretac ió fís ica.

50

Troba en quin punt de la paràbola f (x) = 3x2 - 5 l a recta tangent té pendent 6 .

Determina u n a funció po l i nòmica d e segon grau, sabent que el g ràfic passa pel punt (3 ,4) , i que el pendent de l a recta tangent en el punt (- 1 , 1 ) val 1 .

La corba y = ax2 + bx + e passa pel punt ( 1 ,3) i és tangent en l 'or igen a l a bisectriu de l pr imer quadrant. Determ ina a, b i c .

Donada la corba d 'equació y = 3x2 - 5 i la recta y = 4x + b, troba el valor de b perquè la recta sigUi tangent a la corba . Determina també el punt de tangènc ia .

Ca lcu la les funcions derivades de les funcions següents :

y = 3 (x2 + x + 1 ) 2 y = 4 ( 3x - : ) y = 2 ( 3x4 - � x2 + 6x )

L'equació del moviment d 'un mòbi l és d (t) = 5t2 + 5t + 1 , on d s 'expressa en metres i t en segons.

a) Dibu ixa el gràfic d 'aquesta funció.

b) Calcula la velocitat mitjana del mòbi l entre e ls instants t = 3 i t = 7, i la ve locitat instantàn ia quan t = 4 .

e) Troba la veloc itat instantàn ia v ( t ) en l ' i nstant t . Dibu ixa e l g ràfic de v (t) . Es tracta d 'un moviment un iforme?

d) Es defineix com a acceleració mitjana entre dos instants t1 i t2 l a taxa mitjana de variació de la funció v (t) entre e l s dos instants c itats . Calcu la l 'accel eració mitjana entre e ls instants t1 = 2 i t2 = 5 , i l 'ac­celeració instantània a l ' instant t = 4. Quina és l 'acce leració i nstan-

51

tània a (t) en un i nstant t? Dibu ixa e l gràfic de a (t) i compara'l amb e ls anteriors .

De qu in t ipus de movi ment es tracta?

E.30

En e l probl ema anterior hem calcu lat la funció v (t) derivada de d (t) , i l a funció a ( t) derivada de v (t) . Di rem que a (t) és l a segona derivada de la funció in ic ia l d (t) . a) Defineix amb precis ió què s 'entén per derivada segona d 'una fun­

c ió en un punt.

b) De la mateixa manera podríem parlar de les der ivades tercera, quar­ta . . . , d 'una funció . Calcu la les derivades successives de l a fun­c ió següent:

f (x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 4x - 5

E .3 1

La funció f (x) = Ix ! . (valor absol ut de x) , té derivada en e l punt O ? Per què? E s tracta d 'una funció contínua e n e l punt O? Comenta-ho.

E.32

52

Sigui f l a func ió :

f (x ) = x2 s i x � O

f (x) = O s i x ::::; O

Calcu la l a funció derivada de f.

Existeix la segona derivada de f en el punt O?

TREBALL SOBRE ELS ASPECTES GLOBALS l LOCALS DELS

GRÀFICS DE FUNCIONS l DERIVADA D'UNA FUNCIO

:.�·

- lnterv::il obert i interval tancat.

- Semi recta oberta i semi recta tancada .

- Entorn d 'un punt.

Funció creixent i funció decreixent en un punt.

Funció creixent i funció decreixent en un interva l .

Màxims i m ín ims re lati us .

Var iació d 'una funció entre dos pu�s.

Taxa mitjana de variació d 'una funció entre dos punts . I nterpre­tació geomètrica i a lgunes interpretacions fís iques.

Recta tangent a una corba en un punt.

Taxa instantània de variació d 'una funció en un punt. I nterpre­tació geomètrica i a lgunes interpretacions fís iques.

Nombre derivada d 'una funció en un punt.

Funció derivada d 'una funció.

Funció derivada d 'a lgunes funcions e lementa ls:

• Derivada de l a funció y = k; k E IR • Derivades de les funcions y = x ; y = x2; y = x3

• Derivada de la funció y = x" ; n E rN • Derivada de l a funció y = -1 /x

Derivada de la funció y = cf (x)

Derivada de la funció suma de dues funcions.

53

l¡ ¡ l

f l r l ¡

F

estud i d ' un a fun c ió

1 . . EL SIGNE DEL NOMBRE DERIVADA EN U N PUNT

És evident que, si tenim el gràfic d 'una funció, podem descriure fàcil­ment el seu comportament : els intervals on creix, els intervals on decreix, els punts on té un màxim o un mínim, etc. Ara bé, la majoria de les vegades, el que tenim no és el gràfic d'una funció, sinó la fórmula d 'aquesta funció . Com en podem conèixer el «comportament» a partir de la fórmula?

Per exemple, donada la funció f(x ) = x4 - 3x3 + 2x - 7, com podem saber on és creixent, on és decreixent? Com podem saber on té un màxim i on té un mínim, si els té? I és clar que, si coneixem tot això, serà molt fàcil dibuixar el seu gràfic.

Observarem que hi ha una certa relació entre el signe del nombre deri­vada i el caràcter creixent o decreixent d'una funció . Aquesta relació ens donarà un camí per a l 'estudi dels intervals on una funció és creixent o decreixent.

a) Dibuixa una recta que:

. ...

• El seu coefic ient angular s igu i pos i ti u .

• Passi p e l punt (3,5) .

54

b) Un cop d ibu ixada aquesta recta , d ibu ixa el g ràfic d 'una funció f de manera que :

• Pass i pel punt (3 ,5) .

• La recta d ibu ixada s igu i l a recta tangent a l g ràfic de f en e l punt d 'abscissa 3.

..(: e) Descriu el comportament de f. Com

·es comporta f en un entorn de l

punt d 'abscissa 3?

-a) Dibu ixa una recta ta l que :

• El seu coefic ient angular s igu i positi u .

• Passi pel punt (3 ,5) .

b) Dibu ixa ara e l gràfic d 'una funció f que:

• Passi pel punt (3 ,5) .

• La recta tangent a l g ràfic de f en e l punt d 'abscissa 3 s igu i l a recta que hem d ibu ixat.

• Sigu i decreixent en l ' i nterva l ( 1 ,7) .

Comenta les d ificu ltats que hagis trobat.

Recordem que el coeficient angular de la recta tangent al gràfic d'una funció f en un punt d'abscissa a és el nombre derivada de f en el punt d'abscissa a, f'(a) .

En el punt d'abscissa a, la funció és creixent .

f

a

55

En els problemes F . l i F.2 vei m que si en un punt d'abscissa a el nombre derivada d'una funció f és positiu, la funció és creixent en el punt d'abscissa a.

,_ l D ibuixa una recta que, passant pel punt (2 , -4) t ingu i coefic ient

angular negat iu . D ibu ixa en e ls mateixos eixos el gràfic de tres funcions de manera que cada una d 'e l les :

a) Passi pel punt (2 , -4) .

b) La recta d ibu ixada s igu i la recta tangent al seu gràfic en e l punt d 'abscissa 2 .

e) Descriu e l comportament que tenen les tres funcions d ibu ixades.

l¡ -: ¡ l 1 1 1 , ,1 ¡ 111 -, ,

L

Dibu ixa una recta que , passant pel punt (- 1 ,5) , t ingui coefic ient angular negatiu .

a)

b)

e)

Dibuixa ara el gràfic d 'una funció g que:

Passi pel punt (- 1 ,5) .

La recta tangent en el punt (- 1 ,5) s igu i precisament la recta d i­buixada.

S igu i creixent en l ' i nterval (-2 .5, 0 .5) .

En aquests dos últims problemes veiem , doncs, que si en un punt d'abscissa a el nombre derivada d'una ' funció f és negatiu, la funció f és decreixent.

·

En el punt d'abscissa a, la funció f és decreixent.

a

56

2. I NTERVALS DE CREIXEMENT l DE DECREIXEMENT

MÀXIMS l MfNIMS

De tot el que hem vist � l'apartat anterior en podem deduir que:

Si en tots els punts d'un interval ( a , b) el nombre derivada d'una funció és positiu (negatiu), la funció f és creixent {decreixent) en aquest interval.

Aquest resultat el farem servir per a representar funcions, car aquesta informació ens donarà idea de la forma del gràfic en els intervals per als quals haguem calculat el signe del nombre derivada.

Passem a resoldre un exemple : ¿ si la funció f( x) = x2 / 2 - 2x té com a funció derivada f'(x) = x - 2, on és creixent i on és decreixent?

Si dibuixem el gràfic de f'(x) = x -· 2 ; resulta :

-3 -2

i, per tant, podem veure que :

a) Quan x < 2 , f'(x) és negatiu .

b) Quan x = 2 , f'(x) és zero.

e) Quan x > 2, f'(x) és positiu .

x (- oo , 2 )

f'(x) negatiu

2

o (2 , + 00 ) positiu

57

11 l

Com que en l 'interval (- 00 , 2 ), f'(x ) és negatiu, la funció f és decrei­xent.

En l 'interval (2 , + 00 ), com que f'(x) és positiu, la funció f és creixent :

x ( - oo , 2 ) 2 (2 , + 00 )

l' negatiu o positiu

l \,¡ /'

Observem que en el punt d'abscissa 2 la funció f deixa d'ésser decrei­xent per passar a ésser creixent ; per tant, en aquest punt f té un mínim relatiu, essent /'(2 ) = O .

Estud ia e ls i nterva ls de creixement i de decreixement i e l s màxims mínims de les funcions:

a) f (x) = x2 - 3x

b) h (x) = x3

e) / (x) = 2x - 1

g (x) = -3x2 + 2x - 1

k (x) = 3x3 - Sx2 + x - 7

s (x) = 4x - 7

En cada cas, representa gràficament l a funció derivada i l a propo­sada.

l l En general, els punts en què el nombre derivada val zero s'anomenen J punts estacionaris. En molts casos es tractarà dels màxims o mínims de la funció. Dels altres punts estacionaris en direm punts d'inflexió.

,, _ a) Determina e l vèrtex de la paràbola f (x) = 3x2 + Bx - 7.

b) Fes·ho també per a la funció f (x) = ax2 + bx + c.

l 1 11 �onades les funcion. ,

IL.

l f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 7 g (x) = x2 + 1 0x h (x) = x3 - 9x

k (x) = x2 - 8

58

4 l (x) = - x3 - 2x2 - 2x + 5

3

determ ina 'n e ls punts estacionar is ; d igues de quina c lasse són exp l i­ca com d isti ngeixes entre les d iferents poss ib i l i tats .

-Determina p i q de manera que la funció y = x2 + px + q passi pel

punt (2 , - 1 ) i t ingui un m ín im per a�x = - 3 . Estudia i representa aquesta func ió .

3. SIMETRIES

Revisem ara les funcions f( x) = x2, g( x) = x3, que ja són prou cone­gudes . Fes-ne la representació gràfica. Observa que en substituir la x per a en la funció f, s 'obté el mateix valor que si se substitueix per -a. És a dir, f(x) = f(- x ) . Aquest fet en el gràfic es reflecteix en la simetria respecte a l'eix d'ordenades. Les funcions que mostren aquesta simetria s'anomenen funcions :parelles. Per a la funció g, és, en canvi , g(x) = - g(- x), és a dir, en canvi ar el signe de la x canvia el signe del valor de la funció en el punt . Sobre el gràfic això suposarà una simetria respecte a l'origen de coordenades, i les funcions que es comporten així s'anomenen funcions imparelles.

g

59

, 1 -.

11 l

a) Donades les funcions :

2 g (x)

3 h [x) = x4 - X2 f (x) = -x2 - 1 x

k (x) = X3 - 3x l (x) = x2 + 2 m (x) = 2x3 - x + 4

x3

d igues qu ines són funcions pare l les qui nes funcions impare l les .

b) Quin avantatge pot ten i r conèixer s i una func ió presenta a lgun t ipus de si metria?

� l � l a)

x Estudia la funció y = . Per tant :

x2 + 2

Presenta a lguna si metria? ¿ Es tracta d 'una funció pare l la o im­pare l l a ?

b) Calcu la la derivada i comprova que té un màxi m en el punt d 'abs­cissa V2.

e) Fes-ne la representació g ràfica.

4. ASIMPTOTES

1 --Recordaràs que en estud iar la funció de p roporcional itat i nversa , l a

funció exponencial o l a funció logarítmica, parlàvem de les seves asímp­totes.

a) Digues què s 'entén per asímptota , i qu ines rectes són les asímp­totes de les funcions c itades .

b)

e}

60

Dóna un exemple de cada un dels tres t ipus de funcions esmentats i fes-ne l a representació _gràfica .

La funció de l problema anter ior , té a lguna asímptota ?

Estud iarem ara l a funció f (x) x + 1

x

a) f no està defin ida per a x = O. Quin comportament té la funció per a va lors pròxims a O? Hi ha asímptota vertica l ? Quina és l a seva equació? Dibuixa- la , a ixí com el comportament de la corba a prop d 'e l la . Aquesta funció es d iu que és d i scontínua en e l punt O .

b) Quan x pren valors més i més grans en valor absolut, a qu in valor s 'acosten les corresponents i mat�s? Hi ha asímptota horitzonta l ? Quina é s l a seva equació? Di buixa- la , així com e l comportament de la corba a prop d 'e l l a .

e) Completa l 'estud i d 'aquesta funció , tot buscant e ls seus màxims, mín ims, i nterva l s de creixement i decreixement, i representa- la gràficament. ( Et pot ajudar s i busques a lguns punts concrets de la corba .)

5. REGIONALITZACIO DEL PLA

Pet representar el gràfic de certes funcions pot ésser de gran utilitat saber en quines regions del pla hi p den havet punts de la corba i en quines no. El següent problema ens servirà d'e�emple.

a) x + 3

Regional itza el p la per a l a funció y = . Per tant: x - 2

• Escrivim-ho en l a forma y · (x - 2) = x + 3 .

• Dibu ixa les tres rectes que s 'obtenen igua lant a zero cadascun de ls factors l i neals i i nd ica els semip lans pos it ius i els negatius respecte a cada una d 'e l les .

• Ten int en compte que els s ignes de ls dos membres de l a igual ­tat y . (x - 2) = x + 3 han d 'ésser igual s , ratl l a les reg ions per les quals no pot passar l a corba .

Comprova que has arri bat a l a s ituac ió següent:

61

11 l

1 1

1 1

b) 1 - x

Fes el mateix per a l a funció y = Comprova que arr ibes x + 3

a l a situació següent:

e) x2 Fes el mateix per a l a funció y = (F ixa 't que ara només h i ha

x - 1 dues rectes que reg ional itzen e l p la . )

F.1 4

Regional itza e l p la p e r a l e s funcions següents :

2 y = ­

x2

F.1 5

3 y = --­

x - 2

Donada l a funció y =

x + 1 y =

3 - x

x - 1 2 - X

x - 4 y =

2x + 1 y = --­

X2 - 4

a) Digues en qu ines reg ions del p la h i ha punts de l seu gràfic . D i ­buixa-ho.

b) Troba les asímptotes de la corba.

e) Estudia s i la corba presenta màxims o mínims, busca e ls i nter-vals de cre ixement i decreixement.

d) Fes la representac ió gràfica de la corba .

Recopilant el que hem fet en molts problemes de representació gràfica d'una funció, a l'hora de representar una funció cal tenir en compte els punts següents :

62

a )

b )

e)

d) e) f )

g)

Conjunt de sortida .

Punts d'intersecció amb els eixos.

Simetries .

Intervals de creixement i decreixement . Màxims i mínims. �-

Asímptotes horitzontals i verticals .

Regionalització del pla.

Càlcul d'alguns punts auxiliars.

x2 - 5x + 4 Estudia l a funció y = ----­

x2 - 5x + 6

a) En quins punts no està defin ida? En quins punts ta l la e ls e ixos?

b) Aquesta funció té un ún ic punt s ingu lar al punt {5/2 , 9) . ¿Podries dir s i �s tracta d 'un màxi m o d 'un mín im?

e) Quines rectes són asímptotes de la corba?

d) Fes la reg ional ització del p la , descomponent en factors e l numerador i el denominador.

e) Dibu ixa la corba.

x Fes un estudi semblant per a la corba y == Et pot ajudar

1 - x2 e l fet de conèixer que no hi ha cap màxim n i cap mín im .

-a) Fes un estudi complet segui nt e ls passos que hem i nd icat abans

per a l a funció f (x) == 2x3 - 9x2 + 1 2x - 1 . Representa-la .

b) Troba l 'equació de la recta tangent en aquesta corba en e l punt d 'abscissa O. Dibuixa-la .

Fes la representació gràfica de la corba y == x4 - 32x2 - 3.

63

li l

l � l

1, , l 1 1

l

ESTUDI D'UNA FUNCIÓ

64

- Relació entre el s igne del nombre derivada d 'una funció en un punt i e l comportament de la funció en un entorn d 'aquest punt.

- I ntervals de creixement i de decreixement d'una funció .

- Cond ic ió necessària de màxim i mín im relati u . Condició sufi-c ient de màx im i mínim re latiu (uti l itzant l a primera derivada) .

- Si metries i asímptotes .

- Regional ització del p la .

- Representació g ràfica de funcions .

G l l p ro b l e rm es d e

' . m a x 1 m s l

Resoldrem ara una sèrie de problemes amb els quals ens adonarem de la utilitat del càlcu.1 de derivades en qüestions ben diverses . Són pro­blemes en què interessa trobar els punts on determinades funcions prenen valor màxim o mínim, i en els quals, per tant, haurem d'imposar la con­dició necessària de màxim o mínim en un punt, és a dir, f'(x) = O .

-En un b loc de p isos es vo len fer finestres d ' 1 m2 de l l um. El cost del

marc s'ha ca lcu lat en 1 25 pts/m per a ls segments vertica ls i de 80 pts/m per a ls horitzonta ls . Es tracta de trobar les d imensions que abarateix in a l màxi m e l cost de les fi nestres .

a) D ibuixa, havent fixat pr imer un segment un itat, quatre finestres d iferents d ' 1 m2 de l lum i troba'n e l s seus perímetres .

b) Si x és l 'amplada de la finestra , troba l a fórmu la de l a funció x c (x) (cost de l a finestra d 'amplada x) .

e) Imposa l a cond ic ió per tal que e l cost sigui mín im .

-La suma d e totes l es arestes d 'un pr isma recte de base quadrada és

igua l a 48 cm. Quina ha d 'ésser l 'aresta bàs ica perquè el vo lum s igu i màxim ?

65

1 -11 l

En una t i ntoreria necessiten uns d ipòsits per posar-hi t int, i per constru i r- los vo len aprofitar unes xapes rectangu lars de 1 O dm per 1 9 dm. Estud ia la posslb i l itat de constru i r amb aquestes xapes d ipòs its de volum màxim pel procediment de reta l l ar les puntes de les p lanxes en l a forma ind icada a l a figura, doblegar i després soldar .

l � 1 -l

l l

Problema de ficc ió c ientífica.

A parti r de les dades obtingudes en un observator i astronòmic s 'ha arribat a la conc lusió que l a temperatura mítjana T a la superfície de l p l aneta KP-328 de l a ga làx ia B-38 varia contínuament i que a ixò passa des de fa molts mi lers d 'anys. F ins i tot s 'ha pogut arribar a precisar de quina manera aquesta temperatura T vari a : s i x s 'expressa en mi lers d 'anys, tenim que la temperatura T l 'any x és :

T (x} = x3 - 6x2 + 9x + 5 (graus Cels ius)

Aquesta fórmu la es pot cons iderar vàl ida per a -4 ::::;; x ::::;; 4.

a) Quina era l a temperatura en el p laneta KP-328 l 'any O?

b} Quina era l a temperatura a pr inc ip is d 'aquest seg le?

e ) Quina serà l a temperatura l 'any 2000?

d} A qu in any la temperatura ha estat o serà màxima? ¿ En a lgun mo­ment Ja temperatu ra serà 9 ha estat mín ima?

, .

e) ¿ Es pot assegurar que en a lgun moment la temperatura en el p la­neta KP-328 ha estat de zero graus?

f) Dibu ixa e l g ràfic de la funció T : x � T (x) . Dintre e l període - 4 ::::;; x ::::;; 4, qu ines són l es èpoques en què la temperatura aug­menta i qu ines són les èpoques en què la temperatu ra d isminueix?

66

Observatori astronòmic de Paris

¿ En aquest moment e l KP-328 està en una època de refredament, o no?

Determina l a funció po l inòmica de segon grau que compleixi les característiques següents :

a) Que passi pe l punt (0 ,3) .

b) Que l a recta tangent en el punt (0 ,3) t ingui coefic i ent angular 2 .

e) Que t ingui un màxim en e l punt d 'abscissa 1 .

El vo lum d'un d ipòsit ci l índr ic d 'o l i ha d 'ésser de 1 m3• Volem tro­bar l 'àrea més peti_ta de p l anxa de ferro que pugui conten i r aquest vo lum . Escr iu l a fórmula de l vo lum d 'un c i l indre i l 'àrea de l a super­fíc ie ( i nc loent-hi les dues bases) i demostra que una expressió per a l 'àrea en funció de l radi és :

2 A = - + 21tr2

r

A part i r d 'aquesta expressió troba el radi que dóna l a superfíc ie mí­n ima . Troba també l 'a ltura del c i l indre.

67

11

l l , ,

1 1 l 1 1

Un dipòsit obert de base quadrada ha de constru i r-se de manera que tingui un volum de 2 .000 m3• El cost del mater ia l per constru i r les parets latera ls és de 450 pts/m2 i per constru i r l a base de 225 pts/m2• Troba el cost mín im del materia l i determ ina les corresponents d imen­s ions del d ipòsit.

Quan un vaixel l viatja a una velocitat de v km/h, el seu consum de fuel és de 200 + 0.1 v3 litres/h . Troba una express ió que doni el total de fuel gastat en un v iatge de 5 .000 km a una velocitat v, i determina l a veloc itat a m b la qual s 'obti ngu i una major economia de fue l . Qu ina serà, en aquest cas , la quantitat de fuel gastat?

Amb un tros de fi l ferro d ' 1 m de long itud volem formar un cercle i un quadrat. Determina la long itud que s'ha de donar a cadascun de ls trossos perquè la suma de les àrees s igu i mín ima.

G . 1 0

Troba l es d i mensions del rectangle d 'àrea max1ma i nscrit en un tr iangle isòsce les de 1 0 cm de base i 1 5 cm d 'a ltura.

G . 1 1

E ls catets d 'un tr iangle rectangle sumen 1 O m. Troba la h ipotenusa del d 'àrea màxima.

68

H

p ro b l e m es de

co n so l i d a c i ó

La trajectòria preestabl erta per un coet que ha d 'abandonar l a su-1

perfíc ie de la L lumi és defin ida per la funció y = - x3 + x2 (un itats en 3

qu i lòmetres) .

a) Quina serà la d i recció del coet quan aquest sigui a 1 .000 metres sobre la superfíc ie l unar? l quan s igui a 2.000 metres ?

b) ¿ H i haurà a lgun moment en què e l coet es mogui en la d i recció d 'una estre l la s ituada a 45º sobre l 'horitzó ? Si és així , quan?

69

li

� l 1 1 l l --

l

E l centre d 'una tempesta es tras l l ada segons l a fórmula d (t) = 1 00t + + 60t2 - 1 0t3, on d s 'expressa en km i t en d ies (O ::::;; t ::::;; 5) . Troba l a velocitat de desplaçament d e l centre d e l a tempesta , e n cas d e ser certa aquesta teor ia , al cap de 1 , 2, 3 i 4 dies .

� U n ful l de propaganda ha de conten i r una superfíc ie rectangular

impresa de 420 cm2• Es vol deixar un marge latera l de 2 cm per banda, i un marge superior i inferior de 3 .5 cm. Qui nes són les d i mensions del fu l l d 'àrea mínima amb aquestes condic ions ?

1-1 Donada la funció pol i nòmic�'cie tercer grau f (x] = x3 - 3x2 - x + 3 ,

troba les seves derivades successives i representa-l es e n gràfics sota la representació g ràfica de f (de manera que les absci sses de ls dist ints gràfics es correspongu in verticalment) . Compara els gràfics . Què h i ob­serves ? Quantes derivades successives d istintes pots calcu lar per a una funció pol i nòmica?

70

Demostra que l a der ivada de les funcions (x - a) , (x - a) 2, (x - a ) 3, és 1 , 2 (x - a) , 3 (x - a) 2, . . . (Ho pots fer m itjançant l a translació t = x - a, prenent t com a var iable i ndependent.) Apl ica-ho per a demos­trar que, s i un po l i nomi és d iv is i b le per (x - a) 2, a leshores a és un zero del po l i nomi i de la seva derivada ( i se'n d iu arrel del pol i nomi ) . El pol i­nomi p (x) = (x - a) 4 · q (x) és ta l que a és arre l de p i de p', p" i p"'. Es d iu en aquest cas que é:I és una arrel quàdruple del pol inom i . Com­prova-ho .

En una paret s 'ha d 'obrir una finestra de 3 m2 de l l um, i de forma rectangular . E l marc serà d 'a lum in i i d 'un cost de 30 pts/m. Els a ltres factors que influeixen en e l cost només depenen de la superfíc ie . Qu ines d imensions ha de ten i r la finestra perquè e l cost s igu i mínim ?

Una pedra l lançada e n u n l l a c produeix ones c i rculars concèntriques. Si e l rad i del cerc le més gran creix a 40 m/s, quina és la ve locitat de creixement de l 'àrea pertorbada quan el radi és de 30 m?

Ones en un l lac després de l ' impacte d'una pedra.

7 1

11

�l r 1 l l l

l l

a) Sabem que la funció derivada d 'una funció f és f' (x) = 2x + 3 . Troba f.

l Una funció de derivada g es diu una primitiva de g. Una funció, pot tenir més d'una primitiva?

b) Troba dues pr imitives de la funció g (x) = x - 1 . Representa-les. Quina relació h i ha entre l es seves equacions? l entre els seus gràfics?

e) Veiem, doncs, que donada f' no podem determinar f, però sí la seva forma. Donades les funcions següents d i bu ixa les formes de les seves pr im itives.

72

Una indústria d 'e l ectrodomèstics fabrica una mitjana de 500 mol i nets e lèctrics d 'un cert ti pus a l mes i e ls ven a 400 pts. Alguns dels com­ponents els encarrega a a l tres indústries. La situació és aquesta :

a) El cost anual mitjà de ls compone,lil_ts necessaris es creu que serà de 24.000 pts.

'

b) A part de l cost del materia l , a cada comanda hi ha una despesa extra de 2 .500 pts per raó del transport .

e) Fina l ment, un banc finança mitj ançant un crèdit les despeses pro­duïdes per la compra de ls components en l ' interval de temps com­près entre el pagament de la comanda i la venda de la producc ió . Això ve a representar unes despeses addic ionals anuals , equiva­l ents , aproxi madament, a un 5 % del valor de la producció entre dues comandes success ives.

I nteressa conèixer quin seria l ' i nterval de temps més favorable per fer les comandes, de manera que l es despeses ocasionades s igu in mínimes.

� El cost total ocasionat per l a producció de n artic les mensua ls en una petita fàbr ica , ve donat per:

1 f (n ) = 8.000 + 750 n - -- n2

1 00

Calcu la f (26) - f (25) , i f' (25) . Compara ' ls .

De f' (n) se 'n d iu cost marginal , i aproximadament és la quantitat en què augmenta el cost tota l si la producció s ' i ncremente en una unitat. Troba ' l quan n = 20, i quan n = 40.

Un home té 1 00 m d 'estacada per tancar tres costats d'un terreny rectangular , un costat del qual és un r iu . Troba com ha de fer-ho, s i vo l que la superfíc ie de l imitada s igu i màxima.

Es vo len constru i r tres corra ls de forma rectangular , l 'un a l costat de l 'a ltre, aprofitant a l màxim l 'espai i la tela metà l·l ica necessària per a

73

constru i r- los . Ten im 2 1 m de te la metàl·l ica i e ls corra ls han de ten i r cadascun u n a porta d ' 1 m d 'amplada. Troba '

les d imensions de ls corrals , perquè l 'à rea tancada s igu i màxima.

H.13 Es d isposa d 'un fu l l de cartó rectangu lar escapçat per un vèrtex

segons l es d imensions expressades al d ibu ix . Reta l lant paral·l e lament els costats , de long ituds 20 i 27, es pot obten ir un fu l l rectangular . Com s 'ha de fer perquè s igui d 'àrea màxi ma?

20

H.14

l ... 18

27

' ... . .

14

La i l·lum inació d 'un punt és d i rectament proporcional a la i ntensitat del focus i i nversament proporcional a la d istància al focus. Suposem dos focus f1 i f2; f2 es de trip le i ntensitat que f1 . Quina és la i l·l umi ­nac ió d'un punt del segment f1f2? ¿Hi ha a lgun punt del segment amb i l·l uminació m ín ima? Qu in?

74

� �míl vicens-vives<E plena dedicació a l'ensenyament