NTEGRANDO CON PACO

Juan Guillermo Rivera Berrío

Capítulo 3

3. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

P. ¿Cómo está profe? Le cuento que he consultado algunos libros de Cálculo y me encontré con ejercicios de integral definida y otros de integral indefinida que no pude resolver. Intenté por todos lados y nada. Bueno, excepto MatLab o Maxima.

Hola Paco! Tienes alguno de eso ejercicios a la mano

P. Claro. Por ejemplo:

P. Ok! Paco. Una de las enseñanzas que te dejan tu exploración a otras fuentes de información (libros por ejemplo) es que tu formación aún es incompleta y que no puedes resolver todos los problemas y ejercicios que se presentan en Cálculo Integral. Otra enseñanza es que debes saber discernir entre lo que puedes resolver y lo que, por tu “incompletud”, no puedes

P. ¿Incompletud? Qué es eso profe

Disculpa Paco. Me vino a la memoria un teorema de un lógico de principios del siglo pasado, el teorema de incompletud de Gödel. Este teorema motivó a Alan Turing a estudiar qué funciones eran susceptibles de poder ser calculadas y cuáles no.

Pero dejemos a un lado esta divagación y como hace los dermatólogos, vamos al grano.

P. Que chiste tan malo. Usted siempre tan descachado

Está bien Paco. Concentrémonos ¿Recuerdas la regla de la cadena?

P. Si profe. Esa regla la usamos para derivar funciones compuestas. Usted nos decía que derivábamos la función externa y la multiplicábamos por la derivada de la función interna ¿correcto?

Muy bien Paco, como alumno haces que mi labor no sea en vano. Lo que expresaste en palabras lo escribíamos así:

De acuerdo a ello, trata de derivar la siguiente función:

¿Cuál es f(g(x)) y cuál g(x)?

P. Sencillo profe:

Halla entonces dy/dx

P. Haber profe… Según la regla de la cadena…

Huy profe! Que teso es usted, me dio la función que quería integrar. Eso quiere decir que la integral de mi ejercicio es precisamente la función compuesta que derivé. Humm… pero cómo hago para adivinar esa función compuesta?

Excelente Paco. Estás pensando con profundidad. Ahora déjame ayudarte con una de las llamadas técnica de integración. Para este primer caso usaremos una de ellas, la cual es aplicable en funciones cuya primitiva es precisamente una función compuesta

3.1 Regla de sustitución

De acuerdo al ejercicio anterior, podemos enunciar el siguiente teorema:

Teorema 10. Regla de la cadena para antiderivación

Sea g una función derivable y se el contradominio de g algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una primitiva de f en I, entonces

El ejercicio que trajiste Paco, podemos expresarlo así:

Observa y dime cuál es g(x), g´(x) y cuál es f(g(x))?

P. Comprendo profe el truco. g(x)= x2 +1, g´(x)= 2x y f(g(x)) = (x2 + 1)1/2

Muy bien Paco. Ahora según el teorema dy/dx = 2/3(x2 + 1)3/2 + cSencillo Paco, no hay truco. Sólo una buena observación para identificar las funciones de la función compuesta y sus derivadas

Pero si quieres trucos, vamos a utilizar uno de ellos denominado regla de sustitución o de cambio de variables, veamos:

Primero. Cambia g(x) por la variable u. Es decir u = x2 + 1

Segundo. Deriva implícitamente en ambos extremos de la ecuación. Es decir du = 2xdx

Tercero. Sustituye en la integral que vas a calcular. Es decir:

Puedes integrar la integral obtenida Paco?

P. Claro profe. El resultado es 2/3u3/2 + c

Vamos bien Paco

Cuarto. En la solución, vuelve a sustituir u por g(x)

P. Ya la pillé profe. Entonces me queda 2/3(x2 +1)3/2 + c. La solución que hayamos por el teorema anterior. Me gusta más este truco de cambio de variable o de sustitución.

En algunos casos es más directo el teorema. En el fondo, tanto el teorema como el truco son lo mismo. Este truco nos lleva a esta definición:

Definición 4. Regla de sustitución

Si u = g(x) es una función diferenciable en el rango I, y f es continua sobre I, entonces:

Bueno Paco, Desarrollaremos dos ejemplos más para que puedas afrontar los ejercicios propuestos en esta sesión, algunos de ellos requieren de trucos adicionales:

Ejemplo 3.1.1 Usa la regla de la cadena para integrar la siguiente expresión

En este ejemplo fíjate que si tomamos g(x) = 3x2 + 1, entonces g´(x) = 6x

P. Pero tenemos 5x, no funciona la regla de la cadena!

Y si reescribimos la expresión así:

P. Claro profe. Eso me pasa por ser tan apresurado

Has un esfuerzo mental y dime cual sería F(g(x))?

P. Haber… si tenemos 4 en el exponente era porque la primitiva tenía 5… pero… ya! Profe, la función primitiva tenía que ser: 1/6(3x2 + 1)5 + c.

Muy bien Paco. Veamos como sería con cambio de variable:

Sea u = 3x2 +1

Entonces du = 6x

Ahora sólo tenemos que integrar lo cual es igual a 1/6u5 + c, y al hacer

nuevamente el cambio de variable nos quedaría 1/6(3x2 + 1)5 + c

P. Tiene razón profe, con la regla de la cadena no fue tan complicado

Veamos otro ejemplo

Ejemplo 3.1.2. Dime Paco cómo resolverías esta integral?

P. Humm…No profe, ahí si me corchó. Por mucho esfuerzo mental que haga no veo la solución

Quizá te rendiste antes de luchar. Intentemos con cambio de variable

Supongamos que

Ahora si, resuélvela

P. Al sustituir me queda

Muy bien Paco, al sustituir nuevamente te da esta solución:

P. Tiene razón profe. No era tan complicado

Ok! Paco, ahora estás preparado para resolver más integrales

Ejercicios 8. Del libro Calculus de Gilbert Strang, el cual puedes bajar en http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm, he seleccionado los siguientes ejercicios:

Que tal Paco ¿Trabajaste con los ejercicios propuestos?

P. Si profe, pero tengo tres inquietudes

¿Cuáles Paco?

P. La primera tiene que ver con el noveno ejercicio. Traté de hacerlo por sustitución pero me fue imposible ¿no será que le faltó alguna t, profe?

Sabía que, para algunos estudiantes, algún problema iba a presentar este ejercicio. No fuiste la excepción Paco. Recuerdas el mensaje de Alan Turing? No todos los problemas se pueden resolver, al menos con lo que sabemos. Sin embargo, este ejercicio tiene una solución inmediata.

P. Créame profe que le busqué por todos lados y no vi solución.

Y si te regresas a la última sesión de la Integral Indefinida?

P. Haber… Huy profe, que pena. Tiene razón… está en la tabal de integrales y es la número 14.

Te recuerdo la segunda frase de esa sesión: “Otra forma de hallar las primitivas de una función es recurriendo a una tabla de integrales”. Precisamente escogí ese ejercicio para que tuvieras que recurrir a esta herramienta, como una alternativa a tu problema.

P. Igual pude recurrir a un programa de cálculo simbólico.

Ojo Paco. Los programas de cálculo simbólico los vas a usar para verificar, no para resolver tus ejercicios. Por otra parte, la tabla de integrales que presentamos en la sesión seis del primer capítulo, las puedes utilizar como ayuda a la solución de ejercicios.

P. Comprendo profe. Volviendo a los programas, desde allí surge mi segunda inquietud. Tuve problemas con la sintaxis de algunas integrales, especialmente la raíz cuadrada.

Es razonable Paco. Debes leer con más detalle las ayudas que te brindan esto programas. Sin embargo, te presento a continuación la solución de algunos ejercicios en tres de dichos programas. Los tres aceptan la siguiente sintaxis para raíz cuadrada: SQRT(expresión), la siglas vienen de las consonantes (sin repetir) de “SQuare RooT” o “raíz cuadrada”.

Integrando con DERIVE

Se usa el comando INT(expresión, variable). Por ejemplo INT(1/sqrt(1-t^2),t) es el comando para integrar tu ejercicio problemático. En la siguiente imagen podrás observar la solución a tres de los ejercicios planteados. Al lado derecho aparece la solución. La respuesta que aparece como ASIN(t) es lo mismo que “ARCO SENO de t” o sen-1t.

Recuerda que debes incluir la constante de integración a cada solución

Integrando con MAXIMA

Maxima utiliza el comando integrate(función, variable). Observa en la imagen que la solución incluye la constante de integración

Integrando con MatLab

Similar a DERIVE, utiliza el comando int(expresión, variable). Recuerda de iniciar con el comando syms var1 var2 var3… Donde var corresponde a las variables a ser utilizadas. Para el caso de nuestros ejercicios: x, t, n.

P. Genial esto de los programas de cálculo simbólico. Pero qué pasa con las integrales definidas? Hemos realizado sólo ejemplos con integrales indefinidas.

Tienes razón Paco. Por ello decidí dejar en un capítulo aparte las técnicas de integración. Estas técnicas sirven para los dos tipos de integrales que vimos en los capítulos anteriores.

Par el caso de las integrales definidas, el proceso es el mismo con una excepción. Al cambiar las variables por sustitución, debes tener cuidado con los límites de integración. Con los siguientes ejemplos lo comprenderás:

Ejemplo 3.1.3

Calcular

P. Es el primer ejercicio de los propuestos en la sesión anterior. Déjeme mostrarle como lo hice.

Hice u = 2 + x, luego al derivar implícitamente obtuve du = dx y al sustituir:

Espera Paco. Es aquí donde debes tener cuidado con los límites de integración. Tu proceso de integración está correcto hasta que escribiste la última expresión, la cual no es correcta. Te explico:

Los límites inferior y superior, 2 y 7 respectivamente, son para la función cuya variable es x. Al hacer el cambio de variable 2 + x por u, es fácil que me respondas la siguiente pregunta: Si x = 2 o x = 7 ¿a qué es igual u?

P. Entiendo. Los nuevos límites de integración son 4 y 9.

Correcto Paco. Tu expresión anterior debería ser:

Y la solución sería:

Puedes verificarlo por ejemplo en Maxima así:

integrate(f(x)=sqrt(2+x),x,2,7)

Vamos a un último ejemplo:Ejemplo 3.1.4

Sea u = , entonces . Al despejar x, obtendríamos:

, derivando implícitamente:

Recuerda los nuevos límites de integración: en x = 1, u = 41/2 = 2 y en x = 5, u = 4, finalmente al sustituir y resolver obtendríamos

Ahora puedes practicar con los siguientes ejercicios:

Ejercicios 9. Calcular

1.2 Integración por partes

¡Cordial saludo Paco!

En esta sesión vamos a trabajar con una técnica de integración muy interesante, “la integración por partes”.

P. Creo saber porque dice que es interesante. Algunos amigos que ya cursaron cálculo integral, me dijeron que es la técnica que más problemas les causó.

Lo de interesante se confunde con la complejidad. En realidad el método que vamos a explorar es sencillo, sólo que algunas soluciones de integrales obligan a utilizar tanto este método como los anteriores. Es decir, en una integral es posible que se tenga que recurrir al método por sustitución y al método de integración por partes, una y otra vez.

P. Tenían razón mis amigos… la cosa se complica!

¡No, Paco! Se hace más laborioso, pero no más complejo. Lo interesante, insisto, no es la complejidad, es la posibilidad de aplicar simultáneamente los conceptos previos.

Empecemos y no dilatemos más nuestro trabajo ¿Recuerdas cómo se deriva un producto de funciones? Por ejemplo, f(x)g(x)

P. Si profe. La derivada de una función producto es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función, mas la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función.

Correcto Paco! Lo que dijiste en palabras es simbólicamente lo siguiente:

P. Bueno, si usted lo dice. Lo entiendo mejor con mis propias palabras

¿Qué pasa Paco? Te noto un poco extraño ¿no quieres que sigamos con nuestro estudio de integrales?

P. Que pena profe! Tiene razón, no estoy concentrado. Tengo mi cabeza en otros problemas, precisamente no de integrales

Todos los tenemos. Trata de dejarlos a un lado mientras trabajamos. Igual no los vas a solucionar enojándote conmigo.

P. Tiene razón profe. Sigamos con nuestro trabajo.Ok! Paco. En la expresión anterior vamos a integrar en ambos miembros de la igualdad

En el primer miembro tenemos la integral de la derivada, por ser inversas podemos escribir:

P. ¡Que bien profe! Ahora si me estoy motivando, adiós a los otros problemas

Por el momento Paco. Ahora hagamos una

transformación de términos:

Esta es la famosa fórmula para integrar por partes.

P. ¡Vaya formulita!

Esta fórmula Paco se puede expresar en otra forma. Supongamos que f(x) = u y g(x) = v, a qué sería igual du y dv?

P. Haber… du = f’(x)dx … dv = g’(x)dx… ¿es correcto?

Correcto Paco. Si reemplazamos en nuestra formulita, obtendríamos:

P. Más sencilla profe… así simplificada es más fácil de trabajar

No es más sencilla, es la misma fórmula expresada de otra forma. Su simplificación es sólo en la simbología utilizada.

Veamos un ejemplo empleando las dos formas. Vamos a resolver la siguiente integral:

P. Huy profe… son más sencillos mis problemas personales. Creo que me volveré a concentrar en ellos

No seas tan prevenido Paco. Antes de anticiparte a problemas inexistentes, concéntrate en la solución que le vamos a dar a esta integral

Una sugerencia inicial, es hacer f(x) igual a una de las expresiones de la integral de tal forma que su derivada sea una expresión más simple. Me explico, si eligiéramos f(x) = cos x, su derivada f´(x)=-sen x, no es una expresión más simple.

P. Ya profe, la cogí… hagamos f(x) = x, ya que su derivada f´(x) es igual a dx

Que bien Paco! Luego de seleccionar f(x), la otra expresión debe ser igual a g´(x). Es decir g´(x) = cos x dx ¿A qué es igual entonces g(x)?

P. La hallo integrando… la integral de cos x…. ya! g(x) = sen x

Muy bien Paco! Ya tenemos todas las

expresiones de la formulita… reemplacemos

O sea

¡Sencillo Paco!

P. Si señor. No era tan complejo como me lo dijeron

Juzga por tu experiencia, no por la de los demás! Miremos Paco que usando la otra forma, el procedimiento es igual. Te lo voy a explicar pos pasos:

Paso 1. Hagamos u = x (su derivada hace más simple la integral)Paso 2. Hallamos du = dxPaso 3. Hagamos dv = cos xPaso 4. Hallamos v = sen x (integrando)Paso 5. Reemplazamos en la formulita:

Lo cual nos lleva de nuevo a la expresión anterior:

Y finalmente:

P. Tiene razón profe. Es lo mismo uno u otra forma de presentación. Créame que me ha servido esta sesión para despejar mi cabeza. Ahora atenderé mis otros problemas, los cuales son más simples. Hasta pronto profe.

Hasta la próxima Paco.

P. ¡Hola profe! Estuve consultando más ejemplos de integración por partes y me encontré con unos ejercicios que me gustaría discutir con usted.

Está bien Paco. Pero antes quiero que resolvamos unas cuantas integrales para que nos calentemos.

P. ¡Hágale profe!

Ejemplo 3.2.1

Resolver la siguiente integral

¿Cómo iniciarías Paco?

P. Fácil profe. Haría u = x, porque es más simple su derivada, du = dx. Luego haría dv = e2x dx, cuya primitiva es v = 1/2e2x.

Excelente Paco. Entonces nuestro ejercicio está resuelto, veamos:

Veamos otro ejemplo

Ejemplo 3.2.2

Integrar

Para este caso es conveniente hacer u = ln x, ya que du = 1/x dx. Por otra parte, si hacemos dv = x3dx, al integrar nos da v = x4/4. Sustituye Paco y dime por qué escogí esa u.

P. Ok profe. Veamos… al reemplazar en nuestra formulita…

Entiendo porque escogió u = ln x. La derivada es una potencia de x y se puede simplificar con x4. A propósito profe, un ejercicio similar a este no pude resolverlo en MathLab

Muy bien Paco. Te recuerdo nuevamente que los programas de cálculo simbólico traen ayudas para este tipo de problemas. En MathLab y otros programas como Maxima, la función logaritmo natural tiene la siguientes sintáxis: log(x). Es decir, si quieres resolver la integral anterior por Maxima, deberías haber escrito: integrate(x^3*log(x),x)

P. Ok profe. Pero esta expresión se confunde con logaritmo decimal (log x)

Es cierto. Si tienes que utilizar la función logaritmo decimal, en MatLab debes usar la función log10(x) y en Maxima definirla así define(log10(x),log(x)/log(10))

Ejemplo 3.2.3

Ahora vamos a nuestro tercer ejemplo. Resolvamos la siguiente integral:

Aquí vamos a hacer u = x, ya que du = dx. Por otra parte, haremos dv = (x-1)1/2dx ¿Cómo hallamos v?

P. Por sustitución profe. Déjeme hallarla…

Haré z = x – 1. Uso z ya que empleamos u en la primer parte. Entonces dz = dx… al sustituir, obtendría:

Muy bien Paco. Ya tenemos los cuatro elementos de nuestra formulita. Terminemos sustituyendo en ella, así:

Finalmente, podemos simplificar esta última expresión así:

P. ¡Que bien profe! Usted es mi héroe

Me alegra Paco que haya regresado tu buen sentido del humor. Ahora si dime que otro problema encontraste

P. Es este profe:

¿Qué problemas tuviste Paco?

Que llegué a la misma integral y no sé cómo continuar?

Dime qué hiciste?

P. Bueno. En primer lugar ninguna u que escogiera su derivada hacía más simple la integral. Escogí entonce u = ex cuya derivada es du = ex dx. Luego tomé el valor de dv = cos x dx y al integrar v = sen x. Al remplazar en la fórmula de integración por partes y resolver, obtuve:

Ahí está mi segundo problema. La segunda integral es tan compleja como la primera. Sin embargo volví a integrar por partes esta segunda integral. Hice u = ex

cuya derivada es du = ex dx. Luego tomé el valor de dv = sen x dx y al integrar obtuve v = -cos x. Aplicando nuevamente la fórmula, obtuve:

Finalmente al reemplazar en la primera expresión, obtengo:

Hasta ahí llegué profe. Tendría que aplicar la integración por partes una y otra vez y el resultado seguiría igual de complejo

Bien por tu proceso Paco. Mal por tu falta de observación. ¿Qué ocurriría si sumáramos en ambos miembros de la igualdad el primer término de la expresión?

P. Hummm. Huy que torpe profe. Merezco su regaño… al sumar …

Muy bien Paco. Finalmente, trata de resolver los siguientes ejercicios adicionales:

Ejercicios 10

Calcular las siguientes integrales

1.3 Integración por descomposición en fracciones parciales

P. Hola profe! Resolví todos los ejercicios que me propuso. Ayer mi primo me propuso una integral que también resolví exitosamente. Como usted lo dijo en la sesión anterior, tuve que recurrir a varias integraciones, pero con las técnicas aprendidas no tuve problema

¡Que bien Paco! Muéstrame el ejercicio de tu primo

P. Observe profe la calidad de alumno que tiene, mi primer paso fue el siguiente:

Correcto! Separaste la fracción en dos fracciones más simples. Y después?

P. La segunda integral su solución es ln(x-1). Ahora tocaba solucionar la primera. Recurrí al método de sustitución así: hice u = x – 1, entonces du = dx. Para sustituir tuve que observar que x = u + 1 (despejando de la primera expresión). Luego,

Me sorprendes Paco. Volviste a separar las fracciones! Finalmente qué obtuviste como solución?

P. Sencillo profe. Sustituí u por x -1 y llevé el resultado a la primera expresión, así:

Tu solución es correcta, excepto por un detalle: -1 + c es otra constante, por lo que tu solución se puede escribir así:

Bueno Paco, tu ejercicio me da la oportunidad de explicarte otra técnica de integración. La expresión que integraste es un fracción algebraica que pudiste descomponer fácilmente, así hayas tenido que recurrir a hacerlo dos veces. ¿Qué harías si tu fracción fuera 12/(x2 - 4)?

P. Haber profe, déjeme pensar… No… no veo cómo. Siga explicando profe

Ok Paco! Primero vamos a recordar algo: ¿Cómo sumarias estas dos fracciones 4/(x – 3) + 3/(x + 2)?

P. Hallo un común denominador y… Déjeme desarrollarlo

Adelante Paco

P. Bueno. El común denominador es (x - 3)(x + 2), entonces,

Muy bien Paco. Veo que haces cálculos mentales, eso es bueno para evitar pasos adicionales… ahorra tiempo. Tu expresión final, igualmente se puede escribir así:

Ahora te pregunto. ¿Cómo calcularías la siguiente integral?

P. Humm... Sencillo, si recurro a la expresión anterior, me quedaría:

Pero, ¿qué hubieras hecho si no conocieras la expresión original?

P. Humm… Ni modo profe… corchado

Tendrías que regresarte de algún modo en el proceso que realizaste, es decir el proceso inverso a la suma de fracciones. Este proceso inverso se conoce como descomposición en fracciones parciales. Te voy a explicar algunos casos

Caso 1. Fracción propia con factores lineales

Este caso es aquel donde tienes en el denominador factores de la forma (ax + b). Es decir, factores lineales

Por ejemplo, la fracción (7x – 1)/(x2 – x – 6), qué tipo de denominador tiene?

P. Cuadrático profe

Es cierto, pero si lo factorizas te quedaría así (7x – 1)/[(x - 3)(x + 2)]. Factores lineales!

El método de descomposición parte del supuesto de que la expresión (7x – 1)/(x2 – x – 6) tuvo su origen en la suma de fracciones simples o parciales cuyos denominadores son (X – 3) y (x + 2). Es decir:

Donde A y B son dos números reales. Si logramos encontrar esos numeradores, resolvemos el problema.

Si sumamos las dos fracciones de la derecha, obtendríamos:

Sabemos que en ambos miembros de esta ecuación los denominadores son iguales, por lo que podemos igualar los numeradores:

7x -1 = A(x + 2) + B(x – 3)

Hay dos métodos de encontrar nuestros dos números:

Método 1. Desarrollamos la expresión del lado derecho de la ecuación:

7x – 1 = Ax + 2A + Bx – 3B

Reunimos los términos en x (factorando)

7x – 1 = (A + B)x + (2A – 3B)

Aquí está el éxito del método. Los coeficientes miembro a miembro de la igualdad deben ser iguales. Es decir,

A + B = 72A – 3B = -1

Hemos obtenido así, un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Su solución, para no alargar la explicación, es A = 4 y B = 3.

Método 2. Este es más directo, pero no siempre funciona. Buscamos valores de x que hagan cero algún término del miembro derecho de la ecuación 7x -1 = A(x + 2) + B(x – 3)

Veamos… Si x = 3, entonces al reemplazar… 21 - 1 = A(3 + 2) + B(3 -3), luego 20 = 5A. de donde concluimos que A = 4.

Ahora… Si x = -2, en forma similar encontramos que B = 3

P. Más simple el método dos

Cierto, pero no siempre funciona. Recuérdalo. Finalmente podemos escribir:

Veamos un ejemplo de aplicación de este primer caso

Ejemplo 3.3.1. Calcular la siguiente integral:

Vamos a descomponer en fracciones simples la fracción que hay en la integral. Lo haremos por pasos Paco, para que comprendas mejor

Paso 1. Factorizamos el denominador (para verificar factores lineales)

Paso 2. Igualamos la última expresión a una suma de fracciones simples, tantas como factores lineales tengamos (en este caso 3)

P. Se complica la cosa... ahora son tres incógnitas

No te adelantes Paco, quizá por el método corto las hallemos. Sigamos

Paso 3. Sumamos las fracciones e igualamos numeradores:

Paso 4. Intentamos con el método corto, de no resultar debes resolver le sistema de ecuaciones resultante al igualar los coeficientes de cada término en x

Veamos… si x = 0, entonces -1 = A*(-2)*1, de donde A = ½

Si x = 2, entonces 1 = 2B*(3), de donde B = 1/6

Si x = -1, entonces -2 = -C*(-3), de donde C = -2/3

P. Tenía razón profe. Me apresuré a concluir que el ejercicio era complicado

Paso 5. Reemplazamos los valores hallados

Ahora si podemos integrar,

Cuyo resultado sería:

P. Huy profe! Tanto trabajo para ese resultado tan insignificante

Todo depende de donde lo mires. Si ese número representara el interés mensual (12%) que te aplican para un préstamo, pensarías lo contario.

En la solución utilizamos números aproximados a tres cifras decimales. La solución más exacta es 0.1106. Esto nos advierte que debemos tener cuidado con el uso de las aproximaciones. Veamos ahora otro caso.

Caso 2. Fracciones propias con factores lineales múltiples

Se presenta cuando uno o más factores lineales se encuentran elevados a una potencia entera y positiva. Es decir, factores de la forma (ax + b)n. Por ejemplo,

En este ejemplo hay dos factores lineales múltiples. La expresión en el denominador nos sugiere que las fracciones simples o parciales deben ser a lo sumo cinco. Una por cada factor (una para x, otra para x2, otra para x3 y así sucesivamente).

P. Explíquemela más despacio profe. Lo que dice es que si tenemos (x – 2)10, tendremos 10 fracciones parciales?

Tú lo has dicho paco! Pero vamos al grano. Tomemos la fracción anterior e igualémosla a las cinco fracciones simples así,

Al sumar e igualar denominadores, obtendríamos:

X4 + x2 + 16x – 12 = Ax2(x – 2)2 + Bx(x – 2)2 + C(x – 2)2 +Dx3(x – 2) + Ex3

P. Tremenda expresión profe! Nos saldrán cinco ecuaciones y cinco incógnitasTratemos de hacerlo por el método corto…

Si x = 0, entonces -12 = 4C, de donde C = –3

Si x = 2, entonces 40 = 8E, de donde E = 5

No hay más posibilidades de hacer otro término cero. Por ello mi advertencia anterior. Sin embargo las ecuaciones que vamos obtener serán sólo tres y no cinco. Eso ya es ventaja Paco. Reemplacemos en la expresión anterior los valores encontrados y desarrollemos los paréntesis, para ver que resulta,

X4 + x2 + 16x – 12 = (A + D)x4 + (-4A + B – 2D + 5)x3 + (4A - 4B – 3)x2 + (4B + 12)x - 12

He agrupado el resultado en términos de x. Si igualamos coeficientes de ambos miembros de la ecuación, obtendríamos el siguiente sistema de ecuaciones:

A + D = 1-4A + B – 2D + 5 = 04A - 4B – 3 = 14B + 12 = 16

De esta última B = 1. La solución de las otras variables es muy sencilla. Finalmente obtendríamos que: A = 2, B = 1, C = -3, D = -1 y E = 5. Reemplazando en las fracciones parciales,

Caso 3. Fracciones propias con factores cuadráticos

P. En el caso uno vimos una fracción con factor cuadrático ¿por qué este es un caso distinto?

La diferencia Paco es que el factor en el ejemplo del caso uno se pudo, mediante factorización, expresar en factores lineales. En este caso se trata de factores cuadráticos que no tienen raíces reales. Es decir, que no se pueden expresar como factores lineales. Por ejemplo,

Para no alargarnos en explicaciones, este tipo de factores se origina de fracciones simples cuyo numerador es de la forma ax + b

P. Ahora entiendo! En el caso que sea un factor cúbico, en la fracción simple el numerador es cuadrático

Algo así Paco. Pero concentrémonos en nuestro caso. De acuerdo a lo anterior, la fracción propia la podemos expresar así,

El proceso que sigue es similar a los anteriores. Sumamos en el miembro derecho de la ecuación e igualamos numeradores,

x2 – x – 5 = (Ax + B)(x - 1) + C(x2 + 2x + 2)

Si x = 1, entonces -5 = 5C, de donde C = -1

Si x = 0, entonces -5 = -B + 2C, de donde… no podemos hallar nada. Recurramos entonces al método largo y teniendo en cuenta que ya conocemos C. Al desarrollar la expresión anterior y agrupar, obtenemos:

x2 – x – 5 = (A – 1)x2 + (-A + B – 2)x – (B + 2)

Igualando los coeficientes de x2 y los términos independientes,

A – 1 = 1, de donde A = 2B + 2 = 5, de donde B = 3

Finalmente, la descomposición en fracciones parciales sería:

Si está fracción la tuviéramos en una integral, puedes darte cuenta que su cálculo es sencillo.

P. Profe! Y si la fracción es impropia?

¿Qué harías Paco si quisieras convertir 5/4 en fracciones propias?

P. La expreso como una fracción mixta

Y eso cómo lo haces?

P. Divido el numerador con el denominador. Para 5/4 me da 1 y el residuo es 1, es decir 5/4 = 1 + ¼

Has obtenido la respuesta a tu pregunta. Supongamos que tenemos la siguiente fracción impropia

Si divides obtendrías como cociente x2 – 6 y como residuo 3x – 23, lo cual significa que:

La fracción propia que obtienes la puedes descomponer en fracciones parciales y obtendrías finalmente:

P. Profe ¿cómo descompongo fracciones parciales en MatLab?

MatLab no presenta una forma directa para ello, contrario a otros programas de cálculo simbólico. No quiere decir ello que el MatLab no sea un buen programa. De hecho trabaja con otro tipo de problemas en los cuales es muy superior al Maxima o al Derive, por ejemplo lógica difusa. Pero este es tema de la próxima sesión.

Bueno Paco, ya sabes que debes hacer cuando se presentan integrales con fracciones propias e impropias. Las descompones e integras. Hazlo con los siguientes ejercicios:

Ejercicios 11. Calcula las siguientes integrales

Hola Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios anteriores?

P. Bien profe. Pero, ¿cómo lo verifico en MatLab?

Ok Paco. Pero antes déjame mostrarte como se hace en Derive y en Maxima

Fracciones parciales con Derive.

Se usa la función EXPAND, asignación de nombre que responde a lo que realmente se hace: expandir una fracción racional propia en otras fracciones más simples o parciales. En la figura siguiente puedes observar el cálculo de las fracciones parciales del ejemplo de la sección anterior.

Fracciones parciales con Maxima

En este programa se usa el comando partfrac, contracción de las palabras “part fraction”. En el Maxima es importante escribir con respecto a que variable se hace la partición. Para nuestros ejemplos es con respecto a x.

En la figura siguiente he calculado las fracciones parciales de todos los ejemplos anteriores y el primero de los ejercicios propuestos. Los demás los calcularás tú.

Fracciones parciales con MatLab

Aquí la cosa no es tan simple y es que el MatLab incorpora el cálculo simbólico más como utilidad que como objetivo central. El MatLab fue diseñado para responder a otros problemas como el procesado digital de señales, inteligencia artificial, lógica difusa, simulación de sistemas, entre otros.

Una de las ventajas poderosas del MatLab es la posibilidad de trabajar con vectores y matrices, de ahí su nombre (Matrix Laboratory). Las fracciones parciales son operaciones elementales que se requieren para otros cálculos más complejos, transformadas de Laplace por ejemplo. En ese sentio cuando vas a descomponer fracciones parciales en MatLab, éste recurre a su herramienta principal: los vectores. A continuación te explicaré el procedimiento con dos ejemplos.

Ejemplo 3.3.2 Descomponer en fracciones parciales (7x – 1)/(x2 - x - 6) utilizando el MatLab

Paso 1. Nombramos dos vectores con los coeficientes de cada polinomio (numerador y denominador) así: A = [7, -1] y B = [1, -1, -6]

Paso 2. Damos la orden [R, P, K] = Residue(A,B). Ésta nos dará como resultado los tres vectores R, P, K, cuyo significado lo entenderás mejor con esta expresión:

Observa que A(x)/B(x) es la fracción propia a descomponer. El vector R(i) no dará los numeradores de las fracciones parciales y el vector R(i) el valor de b en los factores lineales de la forma ax + b, que deben ir en el denominador.

Al aplicar la orden anterior el MatLab dará los resultados que aparecen en la figura de la derecha.

Esto significa que R(1) = 4, R(2) = 3 y, P(1) = 3 y P(2) = -2.

P. Y el vector K por qué dio vació?

Eso lo entenderás en otro ejemplo. Por ahora observemos como utilizamos los valores que nos entrega el MatLab para los vectores P y K. Si reemplazamos en la expresión anterior, obtenemos:

Que coincide con nuestros cálculos anteriores. Veamos otro ejemplo:

Ejemplo 3.3.3 Descomponer en fracciones parciales (x4 + x2 + 16x - 12)/[x3(x - 2)2] utilizando el MatLab.

Este es el ejemplo del caso de la sesión anterior. Inicialmente debemos expandir el denominador. Si estás trabajando con MatLab, puedes expandir con el comando expand. Hecho esto, la fracción racional quedaría de la siguiente forma:

(x4 + x2 + 16x - 12)/(x5 - 4x4 + 4x3)

De donde, A(x) = [1 0 16 -12] y B(x) = [1 -4 4 0 0 0]. Debes colocar cero por cada término en x que no aparezca. Miremos que resultados arroja el MatLab

Los valores de los vectores R y K obtenidos son:

R = [ -1 5 2 1 -3]

P = [2 2 0 0 0]

Cuando P muestra valores iguales es porque se trata de factores lineales múltiples. Es decir para P(1)=P(2)=2, las fracciones correspondientes son:

-1/(x-2) y 5/(x-2)2

Para los tres ceros que observas, las fracciones serían:

2/x, 1/x2 y -3/x3

Finalmente la expansión sería la siguiente:

Que coincide con lo encontrado en la sesión anterior

P. Bueno, sigo sin saber para qué es el vector K?

Recuerdas lo de las fracciones impropias? Para eso es K. Veamos nuestro ejemplo anterior:

En este caso A(x) = [1 0 -10 3 1] y B(x) = [1 0 -4]

P. Un momento profe. En el primer ejemplo usted utilizó los vectores separando los términos con comas ¿Por qué ahora usa espacios?Pensé que no lo ibas a notar. Para el MatLab es indiferente como introduzcas el vector. Pero, sigamos con nuestro ejemplo. Al ingresar estos vectores y utilizar el comando residuek, observa lo que se obtiene:

Ahí tiene tu famosa K.Este vector entrega los coeficientes del cociente entra A(x) y B(x). Es decir, el cociente de la división que realizamos en la sesión anterior. 1 para x2, o para x y -6 como término independiente. El cociente es entonces,

X2 – 6

Otra observación a tener en cuenta es que los valores de R pueden ser dados en forma decimal, por lo que tendrías que transformarlo a fracción.

Por ejemplo -4.25 = - 17/4 y 7.25 = 29/4. Finalmente la solución a nuestro ejercicio sería:

Igual a la obtenida en el último ejemplo de la sesión anterior.

Por último Paco, si tratas de descomponer una fracción parcial con factores cuadráticos, te llevarás una sorpresa.

P. Que bien profe. Cada vez me encarreto más con este cálculo integral. Hasta la próxima

Hasta pronto Paco. Trata de realizar los ejercicios que te propuse anteriormente con algunos de estos programas de cálculo simbólico.

3.4 Integración por sustituciones trigonométricas

Hola Paco. Hoy vamos a trabajar con otra técnica de integración que involucra relaciones trigonométricas.

Antes de ello veamos algunos ejercicios con integrales que incluyen potencias del seno o del coseno:

Integremos

Observa que es un ejemplo de integración por sustitución. Hagamos u = sen x, por lo que du = cos x dx. Al reemplazar obtenemos:

Existen otras integrales con potencias de seno y coseno, las cuales es necesario convertir o transformar de tal manera que podamos emplear la técnica anterior.

Para ello debes recordar algunas identidades trigonométricas como:

sen2 x + cos2 x = 1sen 2 x = (1 – cos 2x)/2cos2 x = (1 + cos 2x)/2

Veamos un ejemplo. Solucionar la siguiente integral:

Observa detenidamente cada uno de las transformaciones realizadas:

Con la última expresión obtenida podemos emplear la técnica de sustitución o regla de la cadena para integración. Tal como están las expresiones podemos hacerlos directamente:

P. Y esos ejemplos qué tienen que ver con la técnica que vamos a ver?

Es sólo un repaso Paco. Pero más adelante comprenderás. Lo importante del ejemplo anterior es el truco empleado al separar una potencia impar de seno por un producto de una potencia par y la base (sen x). Esta última constituye el truco, ya que nos permite obtener la función interna de la regla de la cadena. Veamos otro ejemplo:

Integrar:

En este caso recurriremos a la identidad del ángulo doble. Observa con detalle cada paso:

Ahora te propongo que intentes con estas integrales:

EJERCICIOS 12

P. Bueno, son ejercicios de sustitución que ya conocía. Lo novedoso es que tengo que recurrir a las identidades trigonométricas. Las repasaré. Pero, ¿dónde está la nueva técnica?

Vamos pues a la nueva técnica. Te sugiero inicialmente que tengas en mente estas tres relaciones:

cos2 x = 1 – sen2 xsec2 x = 1 + tan2 xtan2 x= sec2 x - 1

Las sustituciones trigonométricas se emplean cuando aparecen integrales que contienen una de las siguientes expresiones:

Según el caso recurrimos a una de las siguientes sustituciones:

Caso 1.

En integrales que contienen , hacer

u = a sen

Así = a cos , donde

Caso 2.

En integrales que contienen , hacer

u = a tan

Así = a sec , donde

Caso 3.

En integrales que contienen , hacer

u = a sec

Así = , donde

o

Veamos un ejemplo. Hallemos:

Este es un ejemplo del caso 1.

Hacemosx = a sen = 3 sen , por lo que dx = 3 cos d .

Entonces = 3 cos y x2 = 9 sen2 .

Luego