Notas de Clase Fluidos EAFIT

7/24/2019 Notas de Clase Fluidos EAFIT

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Notas de Clase del Curso Mecanica de Fluidos

Manuel J. GarcaDepartmento de Ingeniera Mecanica, EAFIT University.

Cr 49 No. 7 sur 50. Medelln, Colombia.

11 de enero de 2010

VERSION=0.36 DATE=24Sep09


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Indice general

1. Propiedades de los Fluidos 1

1.1. Evolucion de la Mecanica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Solido vs lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Presion de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.8. Dimensiones y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8.1. Ejemplo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.9. Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9.0.1. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.10. Viscosidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.10.1. Flujo entre dos cilindros concentricos (Viscosmetro) . . . . . . . . . 7

1.10.2. Tipos de fluidos de acuerdo a la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . 9

1.11. Compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.11.0.1. Modulo de elasticidad volumetrico . . . . . . . . . . . . . . 91.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.13. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.13.0.2. Problemas recomendados captulo 1 . . . . . . . . . . . . . 12

2. Estatica de Fluidos 13

2.1. Presion en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Variacion de la presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Manometros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Presion sobre cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Caras inclinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1. Punto de aplicacion de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.3. Ejemplo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6. Fuerzas en superficies curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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iv INDICE GENERAL

2.6.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7. Flotacion: Principio de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8. Cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.1. Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Sistemas y volumenes de Control 29

3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Flujo Volumetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Teorema de transporte de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1. Variables (Propiedades) Extensivas Ee Intensivas i: . . . . . . . . . 32

3.3.2. Flujo de una propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.3. Variacion de Epara un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.4. Aplicacion del Teorema de Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . 35

4. Flujo de Fluidos Ideales Incompresibles 374.1. Fluidos ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1. Flujo Ideal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.2. Ecuacion de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.3. Flujo Uniforme (rectilneo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.4. Reduccion en una tubera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.5. Ecuacion de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.5.1. Presion en el Chorro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.5.2. Ejemplo (5.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2. Ecuacion de Trabajo y Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.1. Principio de Trabajo / Energia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1.1. Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1.2. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1.3. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. Flujo en dos y tres dimensiones 515.1. Forma diferencial de la Ecuacion de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.1. Deduccion a partir de un elemento diferencial . . . . . . . . . . . . . 515.1.2. Deduccion usando calculo de varias variables . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.3. Vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.1.4. Velocidad Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.4.1. Gradiente de la norma de velocidad . . . . . . . . . . . . . 565.1.4.2. Aceleracion convectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2. Ecuaciones de Euler en 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3. Ecuacion de Bernulli en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4. Euler equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4.1. Gradient theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Notas de clase de mecanica de fluidos version preliminar por Manuel J. Garca



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INDICE GENERAL v

5.4.2. Scalar triple product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.5. Ecuacion de Bernulli en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.6. Interpretacion Ecuacion de Bernulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.6.1. Lineas de Corriente (Flujo Permanente) . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.6.2. Aplicacion (Flujo Irrotacional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.7. Efecto de la Curvatura de las Presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.8. Efecto de la Curvatura en la Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.8.1. Ejemplo Aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.9. Identificacion de los puntos de Estancamiento para Interpretacion de Flujos 70

5.9.1. Ejemplos Aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.10. Vena Contracta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.11. Funcion de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.12. Potencial de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.13. ECUACIONES DE LOS FLUIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76




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Introduccion

Este documento es realizado con un doble proposito en mente. El primero servir depractica a los estudiantes del grupo de investigacion en el manejo de LATEX como procesadorde documentos. El segundo, y mas duradero, servir como gua a los estudiantes del cursoIM041 Mecanica de Fluidos. Este documento ha sido elaborado como material did acticode apoyo a tal curso.

Estas notas son de libre distribucion con propositos educativos siempre y cuando sea

con animos no lucrativos y se conserve el derecho de autor. Estas condiciones pueden sinembargo cambiar en el futuro.

Agradecimiento a los estudiantes Gloria P. Correa, Santiago Mejia, Sebastian Parra,Mario Gomez, Ronald Martinod, Andres Franco, Esteban Quiroz, Leidy Suarez y JorgeAlvarez quienes disfrutaron con la digitacion del documento en LATEX durante el curso deLATEX realizado en la Universidad EAFIT, Junio 11 - 14 de 2002

Manuel Garca, 2002-2003.

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Captulo 1

Propiedades de los Fluidos

1.1. Evolucion de la Mecanica de Fluidos

La siguiente tabla es una sipnosis de la historia de la mecanica de Fluidos.Ano Quien Desarrollo

Imperio Romano Acueducto

287-212 Arqumedes Flotacion, Principio de Arqumedes

1425-1519 Leonardo da Vinci Primer canal cerrado (Milan). Vuelode Aves

Galileo, Torricelli, Mariotte,Pascal, Pitot, Bernoulli, Euler

Desarrollo Teorico y Experimental

1744 dAlembert La teora de fluidos debe necesaria-mente estar basada en experimen-tos. La Paradoja de Alembert NOhay resistencia al movimiento en flu-jos ideales. Discrepancia entre lateora y la experimentacion.

1850 Navier & Stokes Modifican las ecuaciones de flujoideal para incluir los efectos visco-sos. Explican la diferencia entre lateora y la experimentacion.

Helmboltz, Kirchoff Desarrollan modelos teoricos y ex-perimentales de vortices los cualesconcuerdan.

1890- Reynolds Desarrolla modelos teoricos y expe-rimentales.

Rayleigh Analisis dimensional

Frode Modelos teoricos experimentales

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2 1.2 Solido vs lquido

Lanchester, Lilienthasl, Kut-ta, Joukowsky, Betz, Prandtl

Aeronautica

1904 Prandtl Boundary Layer

1900- Mejora de los metodos racionales yuso de computadores

1.2. Solido vs lquido

Un solido se deforma bajo la accion de una carga y vuelve a su posicion inicial cuandose libera la carga.

Un fluido se deforma bajo la accion de cargas mnimas y sus partculas fluiran bajola accion de estas. Las partculas cambian de posicion unas respecto a otras. Existe sinembargo una fuerza de cohesion de las partculas que las mantienes unidas. Para un gasla fuerza de cohesion es nula y el volumen depende del recipiente que las contiene.

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Solid Liquido Gas

Fluidos

Figura 1.1: Forma adoptada en diferentes estados de la materia

1.3. Esfuerzo

Esfuerzo es la medida de las fuerzas internas de un objeto. Considere una superficiecomo en la figura 1.5. La fuerza ejercida por la Fuerza F sobre la superficie tiene doscomponentes. Una normal Fn y una tangencial Ft. El esfuerzo sobre esta superficie sedefine entonces como la fuerza por unidad de area en el lmite cuando el area tiende a cero

= lmA0

F n

A = lm

A0

FtA

El estado general de esfuerzos normalmente se representa sobre un elemento cubico dife-rencial para el cual se definen esfuerzos normales y tangenciales sobre cada una de suscaras.




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1.4 Densidad 3

FF

FA

n

t

Figura 1.2: Concepto de esfuerzo

1.4. Densidad

Si es un delta de volumen alrededor de un punto perteneciente a un objeto, entoncesla densidad en ese punto se define como

= lm0

m

.

Se supone que los gases como los lquidos estan distribuidos uniformemente. nopuede ser completamente cero porque a nivel molecular las partculas no estan distribuidasuniformemente. Ver figura1.3

V

Figura 1.3: Densidad versus Cambio en el volumen

ElPeso especfico se define como el peso por unidad de volumen: = g

1.5. Presion

La presion sobre una superficie se define como la fuerza normal ejercida sobre estasuperficie por unidad de area. Ver figura1.5.

p = lmA0

FnA

dondeFn es la fuerza normal a la superficie.




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4 1.6 Presion de vapor

Unidades:[F]

[A| =

F

L2

kg

m/s2 m2 =

N

m2 = Pa (Pascales)

O en sistema estadounidense (US customary system) lb/ft2= PSI (Pound Square Inch)

La presion manometrica se define como la presion medida con respecto a la presionatmosferica. Una presion manometrica positiva significa que es mayor que la presion at-mosferica y una presion manometrica negativa significa que es inferior que la presionatmosferica. La figura1.4 ilustra este significado.

A

absoluta

Atmosfera estandarPresion manometrica

Presion manometrica de

vacio (negativa)101.3 KPa

P=0

Figura 1.4: Presion

1.6. Presion de vapor

La presion de vapor a la cual algunas partculas lquidas escapan de la superficie enforma de vapor. Si el lquido esta contenido algunas partculas se evaporan y otras secondensan creandose un equilibrio. Por ejemplo para el agua a 20C la P.V = 0.02 vecesla presion atmosferica.

1.7. Temperatura

Medida interna de la energa cinetica de las partculas. Las dos escalas mas popularesson la Celcius y la Faranheit y se relacionan de la siguiente manera:

100

C= 212

F0C= 32F

Lo cual nos lleva a la siguiente relacion

C= 32 +212 32

100F




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1.8 Dimensiones y unidades 5

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Figura 1.5: Presion de vapor

Adicionalmente en escalas absolutas tenemos:

K= C+ 273 (1.1)R= F+ 459 (1.2)

1.8. Dimensiones y unidades

La 2a ley de Newton dimensionalmente se escribe:

F=ma

[F] = [m][a] =ML

T2

Donde M es la dimension de la masa, L la dimension de longitud y T es la dimension detiempo.

Las dimensiones fundamentales son: L,M,T,F y tienen las siguientes unidades en Sis-tema Internacional (SI): m, gr, seg.




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6 1.9 Gas ideal

1.8.1. Ejemplo:

Expresion dimensionalmente homogenea:

m2v2 m1v1 = 2Q2v2 1Q1v1

MT

LT

= ML3

L3T

LT

1.9. Gas ideal

Las Condiciones para asumir que un gas puede ser modelado como gas ideal son

Gas ideal

Temperaturas no muy bajas

Presion no muy alta

En un gas ideal se cumple:

p= RTDe donde, p es la presion es la densidad, T la temperatura y R es la constante del gasy se define en terminos de la constante universal de los gases Ru como

R=RuM

con M la Masa molar del gas.

1.9.0.1. Ejemplo:

Se tiene un tanque con un volumen de 0.2 m3, con 0.5 Kg de Nitrogeno (masa molar

28 kg/kg-mol), a una temperatura de 20C. Calcular la presion.Respuesta:

p = RT

= 0,5kg

0,2m3

8,314kJ

28kg.K(273 + 20)K

= 218KPa(Absoluta)

donde se uso Ru = 8.314 kg/kg-mol.K

1.10. Viscosidad

Principales caractersticas de la viscosidad:

Pegajosidad

Controla la cantidad de fluido que se transporta por una tubera




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1.10 Viscosidad 7

Ligada a la deformacion del fluido. Para un esfuerzo dado un fluido viscoso se deformamas lentamente que uno menos viscoso.

La viscosidad hace que el fluido se adhiera a la superficie.

T

Viscosidad

T

Viscosidad

Figura 1.6: Viscosidad en liquidos y fluidos

u(y)

Figura 1.7: Perfil de velocidades

Supongase un flujo con perfil de velocidad como el que se muestra en la figura 1.7.u(y)es la velocidad en funcion de la ordenada (y) y el esfuerzo cortante esta dado por:

=du

dy

donde du

dy representa la razon de deformacion. La viscosidad tiene unidades

[] = N

m2 = []

m

s m [] =

Ns

m2

1.10.1. Flujo entre dos cilindros concentricos (Viscosmetro)

Se tiene un tubo con 1= 20 cm y 2 = 20.2 cm al cual se le aplica un torqueT = 0.13 N con una velocidad angular de 400 rpm. Se pide hallar la viscosidad.

Respuesta

La fuerza sobre la superficie del cilindro esta dada por los esfuerzos viscosos =dudr




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8 1.10 Viscosidad

30 cm

Figura 1.8: Viscosmetro

El gradiente de velocidad puede ser aproximado a un gradiente lineal en casos dondeh


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1.11 Compresibilidad 9

reemplazando los siguientes valores

w= 400 2

60h= (0,202 0,200)/2

T= 0,13

R= 0,20/2

tenemos

= 0,00165 Ns

m2

1.10.2. Tipos de fluidos de acuerdo a la viscosidad

du/dy

Fluido ideal

Fluidos newtonianos

Dilatante

Pseudoplastico

Figura 1.10: Comportamiento de diferentes tipos de fluidos

Dilatante Arenas movedizas, lodos

Pseudoplasticos Menos resistentes al movimiento

Plasticos ideales Requieren un esfuerzo mnimo para comenzar a fluir

1.11. Compresibilidad

Existen flujos compresibles e incompresibles, la diferencia radica en que los flujos com-presibles vara su densidad con la presion.

lquidos incompresibles no cierto completamente, cambio en la densidad

cambio de presion ondas.Gas o vapor de alta velocidad (del orden de la velocidad del sonido 300 m/s).

1.11.0.1. Modulo de elasticidad volumetrico

E=dd =

dd =

dPd Donde =

1 volumen especfico.




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10 1.12 Ejercicios

Analogo para el modulo de elasticidad para solidos:

E=P

E para el agua es 2100 MPa, 21000 la presion atmosferica. Para cambiar un 1 % ladensidad del agua se requiere una presion de 21 MPa (210 atm)

1.12. Ejercicios

Determine las unidades de c,K y f(t) en:

md2ydt2 + c

dydt + Ky = f(t)

kg, m, s.

Exprese las dimensiones usando FLT.

1. Densidad

2. Potencia

3. Flujo masico

4. Presion

5. Energa

6. Caudal

Dimensiones de las constantes:

d = 4.9t2 distancia, t tiempo

F = 9.8m m masa

Q = 80AR2/3S1/2o A area, R radio, So pendiente, Q flujo

Presion manometrica de 52.3 KPa. Presion absoluta si:

1. Nivel del mar

2. 1000m

3. 30000m

4. 5000m

5. 10000m

Se mide un vaco de 31 KPa en un flujo de aire. Calcule la presion absoluta en:

1. kpa

2. mmHg




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12 1.13 Preguntas

Un tanque de 5m3 con aire tiene una presion absoluta de 5 Mpa. Calcule la densidady la masa del aire cuando la temperatura alcanza los 8C.

Peso del aire contenido en un aula de 10x20x4 m.

Neumatico de un automovil 35 psi en Michigan con temperatura de -10F arizonaT = 150F. Presion maxima del neumatico.

1.13. Preguntas

- Grafique la relacion VS dudy Para:

1. Flujo Newtoniano

2. B. Plastico

3. Peso en Newtons, kilos, libras (1 Newton = 0.224 Lb).

4. Temperatura 22F en C (el agua hierve a 212F)

5. El peso especfico de un lquido es 12400 N/m3. Que masa de lquido esta contenidaen un voumen de 500 cm3?. Si:

g = 9,8m/s2

= 9,77m/s2

= 9,83m/s2

- Determine las unidades de c, K y f(t)

md2ydt2

+ cdydt + Ky = f(t)

1.13.0.2. Problemas recomendados captulo 1

11 - 33 - 46 - 65 - 67 - 68 - 70




21/87

Captulo 2

Estatica de Fluidos

2.1. Presion en un punto

Para encontrar la presion de una partcula en un fluido se comienza asumiendo unvolumen prismatico infinitesimal al cual se le evalua el equilibrio estatico. Luego se en-cuentra el lmite cuando el tamano tiende a cero, as:

P

Py

Px

W

Figura 2.1: Prisma de presion

Fx = max= p sin ds px sin ds=

dxdy

2 ax

Fy = may =p cos ds Wpy cos ds=dxdy

2

ay

reemplazandods sin = dx y ds cos= dy

p px = ax

2 dy

p py = ax

2 dx

13


22/87

14 2.2 Variacion de la presion

en el limite cuando dx 0 y dy 0 tenemos

p px= 0p py = 0

p = px= py

Como no se especifico un queda demostrado que la presion es igual en cualquier direccion.Es decir la presion es un campo escalar. Esta afirmacion es valida para fluidos estaticossin presencia del esfuerzo cortante.

xy

y

x

Figura 2.2: Tensor de esfuerzos

Si no hay esfuerzo cortante para ningun entonces el crculo de Mohr debe ser unpunto.

2.2. Variacion de la presion

y

z

x

z

x

dy

x

Figura 2.3: Presion en un punto

El anterior resultado nos permite asumir que la presion es un campo escalar. La presionen un punto esta definida por un unico numero p(x) = con R. Adicionalmente sip(x) es la presion en un punto x, la presion a una distancia pequenadxen la direccion x




23/87

2.2 Variacion de la presion 15

se puede aproximar como:

p +p

xdx

Supongamos ahora que deseamos conocer la variacion de la presion en un elemento devolumen diferencial como en la figura2.3. Si se elige un puntox en el centro del elemento,la presion en la cara superior sera:

p +p

z

dz

2

la fuerza ejercida en esta cara esta dada por :p +

p

dz

dz

2

dxdy

de la misma manera la fuerza en la cara inferior sera :p

p

z

dz

2

dxdy

haciendo sumatoria de fuerzas en z, tenemos :

Fz : maz =dFz =

p

p

z

dz

2

dxdy+

p +

p

z

dz

2

dxdy dxdy dz

dFz = p

zdxdy dz dxdydz.

Dondees el peso especfico del fluido.

Para las otras dos caras el procedimiento, es similar pero la acci on de la fuerza de lagravedad no esta presente:

dF x = p

xdx dy dz,

dF y = p

ydx dydz.

La division por elemento de volumen, dV = (dx dy dz), da :

dF x

dV =

p

x

dF ydV

= py

dF z

dV + =

p

z.

definiendofx= dFxdV como la fuerza por unidad de volumen en la direccionx y de la misma




24/87

16 2.3 Manometros

forma en las otras dimensiones. Esto se puede escribir en forma vectorial como

(f x,f y ,f z+ g) =

p

x,p

y,p

z

o en forma compactagk+ f=p=

p

x,p

y,p

z

Donde fes el vector fuerza por unidad de volumen. Puede concluirse que es el gradientede presion y no la presion el que equilibra el peso del volumen. Notese que aqu no se estanteniendo en cuenta efectos viscosos, la ecuacion se puede escribir como

a =p + g

para fluidos en reposo se tiene a = (0, 0, 0) por tanto

p

x =p

y = 0, p

z =g

que se reduce a

dp= gdz Ley de Pascal

Esta es una ecuacion diferencial simple que se puede resolver por integracion. Si esconstante lo que se cumple para fluidos incompresibles y homogeneos p1

p0

dp= g

z1z0

dz

(p1p0) = g(z1 z0)

Esto esp= gz (2.1)

la cual usualmente se escribe como

p0= p1+ h (2.2)

de donde se puede observar que la variacion en la presion es directamente proporcional ala altura. Si hay 2 puntos a la misma altura de un mismo fluido estos estan sometidos ala misma presion.

2.3. Manometros

Los manometros son instrumentos que utilizan columnas de lquido para medir dife-rencias de presiones. Ver figura 2.4. Para este caso la presion en dos se puede medir encomparacion con la presion en uno.




25/87

2.3 Manometros 17

00000000000000000000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

11111111111111111111

11111

11111

11111

11111

11111

11111

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

111111111111

h

1

2

Figura 2.4: Ejemplo manometro

De la ecuacion2.2 tenemos que dos puntos a la misma altura tienen la misma presion.Por tanto el cambio de presion sera,

p= gh.

Colocando nuestro sistema de referencia a la altura del punto dos tenemos

p2 = p1+ gh

Dado quep1 es la presion atmosferica, implica que el termino ghmide la presion relativaa la atmosferica y es llamado presion manometrica.

(p2)manometrica= gh

2.3.1. Ejemplo

Cuando la presion es muy alta se utliliza un liquido de mayor densidad con el propositode tener columnas de liquido mas cortas

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1

2

31

2

h

H

de los puntos 1 y 2

p2p1 = 1(z2 z1)

p3p2 = 2(z3 z2)




26/87

18 2.4 Presion sobre cuerpos sumergidos

sumando

p3p1 = 1(h) 2(H)

p3p1 = 1h 2H

asumiendo presion manometrica

p3= 0 p1= 1h + 2H

De que tamano es la columna de presion si p1 = 1atm ?

2.3.2. Ejemplo

Considere la siguiente configuracion con 4 diferentes fluidos. La gravedad especifica delaire puede considerarse igual a cero para este ejemplo.

000000000000000000000000000000

000000

111111111111111111111111111111

111111

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

000000000000000000000000000000

0000000000

0000000000

111111111111111111111111111111

1111111111

1111111111

20cm

2cm 13cmAgua

S=1.6

Aire Aceite

1

2

3

4

5

Figura 2.5: Ejemplo3 manometro

(p2p1) + (p3p2) + (p4p3) + (p5p4) =

[H20g(20) + 1S1(23) + 1Saire(13) + 1S2(13)]

= 343P a

2.4. Presion sobre cuerpos sumergidos

Las cargas distribuidas se manejan igual que en estatica. La magnitud esF =gh Areay se aplica en el centroide cuando la superficie esta dispuesta de forma plana, la fuerza se

aplica de forma perpendicular al area.

2.5. Caras inclinadas

En el caso de que la superficie sumergida este inclinada respecto al plano horizontal,el area estara sometida a una presion variable al desplazarse de un punto a otro, ademas




27/87

2.5 Caras inclinadas 19

h

Figura 2.6: Cargas sobre cuerpos sumergidos

la resultante estara aplicada en un punto diferente al centroide como se demostrar a masadelante.

dy

h

Figura 2.7: Ejemplo2 manometro

La magnitud de la fuerza sobre un diferencial de areadA a una altura h

dF=ghdA= gy sin dA

integrando dF =g

y sin dA= g sin

A

ydA.

Pero por definicion de centroide

yA=

ydA

RemplazandoF =g sin yA

definiendoy sin comoh la profundidad del centroide tenemos

F = ghA




28/87

20 2.5 Caras inclinadas

2.5.1. Punto de aplicacion de la fuerza

Para encontrar el punto de aplicacion de la fuerza se procede a realizar una sumatoriade momentos. Por definicion

F yp = A

ypdA

F yp =

ygy sin dA

g sin yAyp = g sin

y2dA

yAyp =

y2dA= Ix

dondey es el brazo y p dAes la fuerza Por teorema de ejes paralelos tenemos

yAyp= Ix= y2 A + Ic

yp = y+ IcAy

sabiendo que Ic, A y y son positivos, se deduce que yp > y, lo que significa que el puntode aplicacion de la fuerza esta mas abajo que el centroide del area.

00001111

dA

centro de

presion

yp

xp


F xp=

xghdA =

xgy sin dA

(gy sin dA)xp = g sin xydAyAxp =

xydA= Ixy

xp= IxyyA




29/87

2.5 Caras inclinadas 21

2.5.2. Ejemplo

Encontrar las fuerzas sobre una compuerta rectangular inclinada de ancho 5 pies. Elpeso especifico del agua es 64 lbf/ft3.

h

8ft

6ftB

A


Se encuentra que el centro de gravedad esta a 3ft del fondo pa esta en ambas caras

F =hA= 38400lbf

As el centro de presion esta en

yp = y+ IcAy

Ic = bh3

12 = 417f t4

IcAy

= 417sin Ah

= 0,417

Bx

By

P5+

0.417

38400

Figura 2.10: Distribucion de fuerzas




30/87

22 2.6 Fuerzas en superficies curvas

2.5.3. Ejemplo2

6ft

h4ft

8ft

Agua

Figura 2.11: Figura del ejemplo

Cuanto vale h para que se abra la compuerta ?centro de presion

l = Ic

Ay =

Ic

Ahsin

h = h + 4

p = hA = (h + 4)A

l = Ic

Ay =

Icsin A(h + 4)

Planteando las ecuaciones de momento

MB = 0

F(4 l) = p(4 l)

F(4 l) = A(h + 4)A Icsin

donde

h= (F(4 l) Icsin

A2 ) 4

2.6. Fuerzas en superficies curvas

Considere la superficie curva sumerjida que se muestra en la figura2.13. El volumen defluido adyacente a la superficie se ha subdividido en dos bloques para facilitar su analisis.




31/87

2.6 Fuerzas en superficies curvas 23

F

P

Figura 2.12: Fuerzas sobre la compuerta

La sumatoria de fuerzas da como resultado,

Fy = WAire+ WH20+ W2 Fv

Fx = FBC=FH

DondeFH y Fv son las fuerzas resultantes que soporta la placa sumergida. Puesto que elfluido no soporta cortante entonces entonces las fuerzasFHpasan por la misma direccionde las resultantes horizontales y Fv pasa por la direccion de las fuerzas verticales.

Fh

Fv

Fbc

Paire

w2

w1





32/87

24 2.6 Fuerzas en superficies curvas

2.6.1. Ejemplo

Suponga que un barco con forma rectangular se encuentra sumergido parcialmente enel agua. Si los bordes de las esquinas sumergidas tienen perfil circular, cual es la fuerzaresultante sobre esta superficie.

24m

Figura 2.14: Fuerzas en las partes curvas de un tanque

Fuerza horizontal

(24 1,5/2)(1,5 b) =FH= 348,8kN

localizado en

l= IcAy

= b 1,53

12 (1,5)b(23,25)= 0,008

Fuerza vertical

FBC W = Fv

(1,5)b(2A) (1,52 pi1,52

4 )b = 355,2kn

aplicada enFve W(1,17) + FBC(0,75) = 0 e= 0,74

F1

FH

W

Figura 2.15: Ejemplo del barco




33/87

2.7 Flotacion: Principio de Arqumedes 25

2.6.2. Ejercicio

Hallar la fuerza vertical.

A

B

C

D2m

Figura 2.16: Ejercicio del circulo

V =

r2

pir2

4

Fy = 3

r2

pir2

4

b + 2rb(2r) F

Fv = 3

r2

pir2

4

b + 4r2b

2.7. Flotacion: Principio de Arqumedes

Para que un cuerpo permanezca en su posicion al sumergirse en un fluido, debe haberuna fuerza que equilibre el peso del cuerpo. Esta fuerza recibe el nombre de fuerza deflotacion. Para encontrar esta fuerza se hace un analisis de equilibrio de fuerzas para unvolumen sumergido que incluye el cuerpo, el volumen se escoge de forma que se simplifiquenlos calculos.

Para analizar las fuerzas vamos a tomar un cilindro con base igual a la proyecci onvertical del objeto contenido. El volumen de lquido puede ahora ser subdividido en dos,el que esta por encima del objeto y el que est a por debajo.

Del balance de fuerzas sobre estos volumenes de lquido se pueden obtener las reaccionesa las fuerzas F1 y F2 ( Resultantes de la presion sobre las superficies). La fuerza neta queejerce el agua sobre el objeto sera

Fb= F1 F

2.

As para la parte inferior tenemos

F2 W2p2A= 0,




34/87

26 2.8 Cuerpos sumergidos

00110011

h

0

0

1

1

01

001101

2p

p1

1

F2

F W1

W2

Figura 2.17: Cuerpo sumergido

y para la superior,F1 W1+p1A= 0.

Sumando las 2 ecuaciones,

(F2 F1) (W2+ W1) + (p1p2)A= 0

resolviendo

F1 F2= (W2+ W1) + hA = 0,donde,

W2+ W1 es el peso del volumen de agua rodeando el objeto

hA es el peso del cilindro total en el agua

FB = F1 F2 representa el volumen del objeto por el peso especfico del agua, esdecir el volumen de agua que el objeto desplazo al sumergirse.

2.8. Cuerpos sumergidos

El empuje actua sobre el centro de gravedad del volumen despejado

2.8.1. Problema

Determinar la densidad de la corona sabiendo que su volumen es igual a 189 in 3,




35/87

2.8 Cuerpos sumergidos 27

ESTABLE

INESTABLE

INESTABLE

Figura 2.18: Estabilidad de cuerpos sumergidos

W

F neta

F flotac

= 4.7lb

Figura 2.19: Problema de la corona

2.8.2. Ejemplo

Un barco de area seccional 3000m2 cuyo casco esta sumergido 9m. Cuanto peso encontenedores puede adicionarsele antes de que alcance una profundidad de 9.2m. Considere= 10kNm3 .

Wcontenedores= Wc = 3000 0,2 104 = 6000 kN




36/87


37/87

Captulo 3

Sistemas y volumenes de Control

3.1. Definiciones

Figura 3.1: Volumen de Control (rojo) y el movimiento de un sistema de particulas.

Volumen de Control es la superficie imaginaria que define un volumen constantesobre el tiempo y por el cual la masa, la energa y el momentum fluyen. En la figura3.1el volumen de control se muestra en rojo.

Sistema: Un sistema se define como un conjunto de partculas que se mueven y deforman.La figura3.1 muestra el conjunto de particulas en dos tiempos diferentes t y t+dt. Enel primer instante t el volumen del sistema coinciden con el volumen de control. Un dt detiempo mas tarde, las particulas del sistema se habran desplazado en el sentido del flujo.

El volumen en verde muestra el sistema en el instante t + dt.Si asumimos que las velocidades en 1 y 2 son uniformes entonces I es el volumen

de fluido que entra la superficie de control y 0 es el volumen de fluido que abandona elvolumen de control. Como la masa del sistema es constante entonces podemos afirmar que

(mI+ mR)t = (mR+ mO)t+dt, (3.1)

29


38/87

30 3.1 Definiciones

ademas si el flujo es permanente (steady)

(mR)t = (mR)t+dt ,

entonces:

(mI)t = (mO)t+dt.

El volumen a la entrada es A1 ds1 y a la salida A2 ds2. Entonces:

(mI)t= 1 A1ds1= (mO)t+dt = 2 A2 ds2, (3.2)

por definicion de velocidadds1dt

=v1, ds2

dt =v2,

se tiene :1 A1 v1 dt = 2A2 v2dt

esto es, la ecuacion de continuidad:

1 A1 v1= 2 A2 v2,

En otras palabras el flujo a la entrada es igual al flujo a la salida:

m= i Ai vi= cte. . (3.3)

3.1.1. Ejemplo

300 mm d

1

2

200 mm d

50 mm d

3

Figura 3.2: Ejemplo

Se tiene una tubera disyunta en uno de sus extremos, el cual fluye un flujo uniforme defluido a razon de 400 Kgs . Ver figura3.2. Si la velocidad en 3 es 5 m/s, cual es la velocidad




39/87

3.2 Flujo Volumetrico 31

en la salida 2 ?

Respuesta

La ecuacion de continuidad

1A1v1= 2A2v2+ 3A3v3,

en el caso en que 1= 2= 3, entonces

400 kg/s = A1v1= (A2v2+ A3v3)

400 kg/s

=(0,025m)2 (5 m/s) + (0,1m)2v2

v2=12m/s.

3.2. Flujo Volumetrico

dA cos

v

n

dA

n

ds

dA

S

t=0

t=dt

Figura 3.3: Flujo a traves de una superficie arbitraria y su vista de perfil para calcular elvolumen que pasa en un tiempo dt

Si el fluido viaja a una velocidad v a traves de una superficie, entonces la cantidad deliquido que pasa un diferencial de area se puede calcular de la siguiente manera. Supongaque el diferencial de area es lo suficientemente pequeno tal que el flujo es uniforme enesa area diferencial. Una particula inicialmente en la superficie despues de un tiempo dt

se encontrara a una distancia ds= v dt en la direccion de la velocidad v. Si tomamos encuenta todas estas particulas, estas definen un volumen que cruza en un tiempo dt comose muestra en la figura3.3. Para calcular este volumen considere que la velocidad formaun angulo con la superficie el volumen sera igual a v = dsdAcos . Note adicionalmenteque el angulo es el angulo que hace un vector normal a la superficie con la velocidad ypor tanto v cos = v n. Luego el volumen que pasa un diferencial de superficie en un




40/87

32 3.3 Teorema de transporte de Reynolds

tiempo dt y considerando que ds= v dt, sera

dV =v dtdA cos = v n dt dA

El flujo se define entonces como la cantidad de liquido que pasa por una superficie Spor

unidad de tiempo

q=

S

v n dA

3.3. Teorema de transporte de Reynolds

3.3.1. Variables (Propiedades) Extensivas Ee Intensivas i:

Las propiedades de un fluido en un sistema pueden clasificarse en intensivas y exten-sivas. Las siguientes propiedades son Extensivas:

Masa del sistema.

Energa del sistema.

Momentum del sistema.

Si E es una variable extensiva entonces una variable intensiva i se define como lavariable extensiva Epor unidad de masa.

i= E

masa.

Una propiedad extensiva es la cantidad total de la propiedad en todo el sistema, por lotanto

E= Sistema

i dm= Sistema

i d. (3.4)

3.3.2. Flujo de una propiedad

Consideremos ahora un flujo de una propiedad a travez de una superficie de formaarbitraria como en la figura 3.3. El diferencial de volumen que cruza la superficie decontrol en un dt de tiempo es d = dA cos ds = v n dAdt y la cantidad de unapropiedadi asociada a este diferencial de volumen sera:

dE=i d dt

dE=i (v n dAdt). (3.5)

Por tanto el flujo de la propiedad por unidad de tiempo sera

dE

dt =i v n dA.




41/87

3.3 Teorema de transporte de Reynolds 33

Finalmente, la cantidad total de la propiedad Eque pasa por unidad de tiempo a travesde una superficie (S) sera:

E= S i v n dA.La cual es una extension del concepto de flujo de cualquier propiedad i del fluido a travesdel volumen de control.

x

y

RO

I

Figura 3.4: Volumen de Control (VC) y su Superficie de Control (SC) en rojo. El sistemade partculas en un instante t coincide con el volumen de Control en rojo se desplaza a laposicion en verde luego de un instante dt

3.3.3. Variacion de Epara un sistema

El cambio en la propiedad extensiva E de un sistema de partculas en un lapso detiempo dt y Et Et+dt lo podemos calcular observando el volumen de control en la figura3.4. En un instante t las partculas del sistema coinciden con el volumen de control (vo-lumen en rojo). Un instante de tiempo dt mas tarde las particular del sistema se habrandesplazado y se aparecen como el volumen verde en la gr afica. Luego el valor de la pro-

piedad del sistema en el tiempo t, Et, es la propiedad del volumen en rojo y en el tiempot+ dt, Et+dt es la propiedad del volumen en verde. Si dividimos estos volumenes en losI, R y O, podemos afirmar que el cambio de una propiedad extensiva E en un tiempo dtpara un sistema de partculas esta dada por:

Et+dt Et= (ER+ EO)t+dt (ER+ EI)t (3.6)




42/87

34 3.3 Teorema de transporte de Reynolds

Para los cuales EO es el flujo en la salida y EIes el flujo en la entrada:

(EO)t+dt= dt

CSSalida

i v n dA

(EI)t= dt

CSEntrada

i v n dA,

El signo menos aparece como resultado del producto punto entre v y nen la entrada. Lapropiedad del volumen restante R esta dada por

(ER)t+dt =

R

i d

t+dt

,

(ER)t = R

i dt

.

Reemplazando los anteriores valores en ecuacion3.6se obtiene:

Et+dt Et =

R

i d

t+dt

R

i d

t

+ dt

CSSalida

i v n dA + dt

CSEntrada

i v n dA.

(3.7)

Dividiendo por dt

Et+dt Etdt

=

R

i d

t+dt

R

i d

t

dt

+

CSSalida

i v n dA +

CSEntrada

i v n dA

(3.8)

En el lmite cuando dt 0, R (R+ I) entonces

dE

dt|Sistema=

t

CV

i d

+

CSSalida

i v n dA +

CSEntrada

i v n dA , (3.9)




43/87

3.3 Teorema de transporte de Reynolds 35

El cual se conoce como elTeorema de Transporte de Reynoldsy relaciona la rapidezde cambio de una propiedad extensiva en un sistema de particulas, dEdt, con la rapidez de

cambio de una variable extensiva dentro del Volumen de Control t

CV

i d

y el flujo

neto a traves de la superficie de control es CS i v n dA.3.3.4. Aplicacion del Teorema de Transporte de Reynolds

Supongamos la variable extensiva es la masa E=masa, por tanto i = masa/masa=1. Adicionalmente debido a que la masa de un sistema se mantiene constante

E

t =

m

t = 0

Aplicando el teorema de Reynolds tenemos

t

CV

d =

CSSal

v n dA +

CSEnt

v n dA ,

si el flujo es de densidad constante ( permanente) tenemos

t

CV

d

= 0,

por tanto:

0 = CSSal v n dA + CSEnt

v n dA

para flujo uniforme a la entrada y la salidaCSSal

v n dA= 2v2A2, (3.10)

CSEnt

v n dA= 1v1A1. (3.11)




44/87


45/87

Captulo 4

Flujo de Fluidos IdealesIncompresibles

4.1. Fluidos ideales4.1.1. Flujo Ideal:

Flujo ideal es un flujo no viscoso = no hay efectos de friccion entre capas de fluidoo entre el flujo y la pared.

4.1.2. Ecuacion de Euler:

W

lnea de

corriente

z

dzp+dp

v+dvds

dA

p

Figura 4.1: Diferencial de Flujo

Analicemos el balance de fuerzas en un tubo de corriente. Un tubo de corriente estaformado por un conjunto de partculas alrededor de otra que se mueve con velocidad v

37


46/87

38 4.1 Fluidos ideales

tangencial a la trayectoria, describiendo una lnea de corriente( Ver figura4.1.) Si hacemosesta conjunto lo suficientemente pequeno entonces podemos considerar la trayectoria deestas partculas son paralelas y describen un tubo de corriente. Por la segunda ley denewton tenemos que la suma de fuerzas a lo largo de un segmento del tubo de corriente

sera: dm as = p dA (p + dp) dA Wsin

Donde seno esta dado por sin = dz

ds. Adicionalmente as es la aceleracion tangencial y

el diferencial de peso W se puede expresar en terminos del diferencial del volumen,

m as = p dA p dA dp dA g(dA ds)dz

ds

(dA ds) vdv

ds = dp dA g dA dz

dA vdv = dp dA g dA dz

Dividiendo por dA, se tiene la ecuacion de Euleren una dimension

dp

+ g dz+ v dv= 0 (4.1)

para flujo incomprensible normalmente se divide por la gravedad

dp

+

v dv

g + dz= 0, (4.2)

sabiendo que d(v2) = 2v dv, tenemos

dp

+

d(v2)

2g +

dz

g = 0 (4.3)

Si suponemos que el fluido es incompresible y como g es constante d(p)/=d(p/), portanto:

d

p

+

v2

2g+ z

= 0, (4.4)

Puesto que la derivada de una funcion igual a cero significa que la funcion es igual a unaconstante obtenemos:

p

+

v2

2g+ Z=H= Constante (4.5)

la cual se conoce como La Ecuacion de Bernoulliy es valida para puntos arbitrarios




47/87

4.1 Fluidos ideales 39

sobre una misma lnea de corriente. Los terminos son:

H : Constante de Bernoulli, Cabeza Totalp

: Cabeza de Presion

v2

2g : Cabeza de velocidad

z : Cabeza Potencial

Una representacion esquematica esta dada en la figura 4.2 note que la cabeza total semantiene constante.

Es importante notar que esta ecuacion se deriva partiendo del hecho de que el fluidose acelera como consecuencia de una diferencia de presion.

hidraulica

Datum

Linea de Energia

z2

z3

v21/2gv22/2g

v23/2g

p1/

p2/

p3/

z1

Linea

Figura 4.2: Diagrama mostrando los aportes de la ecuacion de Bernoulli

La ecuacion de Bernoulli puede aplicarse en multiples situaciones como:

Flujos unidimensionales.

Extension a tres dimensiones considerando lneas paralelas de corriente (tuberas,canales, ductos).

En flujos ideales la velocidad es constante a lo largo de la secci on transversal.

4.1.3. Flujo Uniforme (rectilneo)

Si la trayectoria de una particula es recta entonces su aceleracion centrifuga es ceropor tanto para lineas de corriente rectas y paralelas entre si la la aceleracion centrifuga




48/87


ds

lineas de corriente

paralelas

Datum

h

z1

z2p1

p2

h

z2 z1

Figura 4.3: Diferencial de Flujo Uniforme.

sera cero. Es decir aceleracion en la direccion normal a las lneas de corriente es cero. Portanto la suma de fuerzas normales a las lnea de corriente es igual a cero. Ver figura4.3

(p1p2) ds h d s cos = 0

donde(p1 p2) dses el diferencial de presion y h ds cos es el peso. Reemplazando cos =

(z2 z1)/htenemos:

(p1p2) ds= ds(z2 z1)

p1p2

=z2 z1

p1

+ z1=p2

+ z2 . (4.6)

Por lo tanto p1/+z es una constante sobre la seccion transversal de las lneas decorriente paralelas. Esto se denomina Distribucion de Presion Hidrostaticaporque es igual

que para un fluido en reposo.

4.1.4. Reduccion en una tubera

Considere por ejemplo el flujo a traves de un tubo que sufre un angostamiento en eldiametro como se muestra en la figura4.4




49/87


baja presion

Figura 4.4: Ecuacion de Bernoulli

Por la ecuacion de continuidad (Av = cte). Por tanto podemos concluir que paraflujos uniformes la velocidad aumenta al disminuir el diametro como consecuencia de lavariacion de presion. Si tomamos una linea de corriente en el punto medio, entonces z nocambiara a lo largo de la trayectoria. Aplicando la ecuacion de Bernoulli a lo largo de estalnea de corriente tenemos

p+ z +v2

2g= cte.

Quiere decir que si la velocidad aumenta entonces la presion debera disminuir para que lacabeza total se mantenga constante. Se concluye entonces que en las regiones donde laslneas de corriente se acercan la presion bajara. Sin embargo esta afirmacion no significaque el aumento en la velocidad sea el causante de la baja en la presi on. La forma comoocurre este fenomeno no se explica con la ecuacion de Bernoulli.

4.1.5. Ecuacion de Torricelli

La velocidad de salida de un flujo ideal a traves de un pequeno orificio bajo una cabeza

estatica varia con la raiz cuadrada de la cabeza.

v=

2gh caida libre

Prueba:

En el punto 1, de la figura 4.5,la velocidad es cero y la presion p1 es igual a la presionatmosferica, por tanto

p1 + v

2

12g + Z

1 =h = p2 + v

2

22g + Z

2,

Z1 =h = p2

+

v222g

,

h= p2

+

v222g

.




50/87


v

1

h

chorro

2

v = 0

Datum

v

Figura 4.5: Equacion de Torricelli: Para la descarga de un tanque la velocidad de salida

se comporta como la caida libre de una partcula.

DondePz es la presion en el chorro. Para calcularla analizamos un diferencial de fluido enel interior de un chorro como se muestra en la figura 4.6

4.1.5.1. Presion en el Chorro

Aplicando la segunda ley de Newton en la direccion vertical tenemos:

pdA (p + dp)dA dAdz = (dm)g,

dpdA dAdz = (dAdz)g,dpdA = dAdz+ dAdz= 0,

dp = 0.

Como el gradiente es cero a lo largo de la seccion transversal se concluye entonces que lapresion al interior del chorro es igual a la presi on atmosferica, es decir p2 = patm = 0(manometrica). Por lo tanto, podemos concluir

h = p2

+

v222g

,

v2 = 2gh.Lo cual demuestra la ecuacion de Torricelli !

4.1.5.2. Ejemplo (5.8)

Ver ejercicion 5.8 del texto [1]




51/87


dA

dzp + dp

p

Figura 4.6: Presion en un chorro libre

1.5m

Datum

A

B

100 mm

1.2C

150 mm

Figura 4.7: Ejemplo 5.8

El petroleo fluye a una velocidad de vA = 2,4m/s.. Cual es el nivel en el tubo abiertoC ?

Solucion:

Por continuidad tenemos:

vAAA = vBAB ,

2,4(0,150)2

4 = vB

(0,1)2

4 ,

vB = 5,4m/s




52/87

44 4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia

Por ecuacion de Bernoulli:

pA

+ zA+v2A2g

= pB

+ zB+

v 2B2g

,

1,5 + 1,2 +

(2,4)2

2g =

pB +

5,42

2g ,pB

= 1,5m.

Fjese que si zA= zB =pB

= 0,3 m.

4.2. Ecuacion de Trabajo y Energia

Una forma alternativa de encontrar la ecuacion de Bernoulli es utilizar el principio deTrabajo-Energia mecanica. A diferencia de la seccion anterior, en este caso partimos de

un volumen de control y no de una linea de corriente.

Salida

Entrada

Bomba

turbina

Volumen de

control

Figura 4.8: Volumen de control para el calculo de la ecuacion de Energia

Supongamos un volumen de control, como el de la figura 4.8para el cual se hacen lassiguientes consideraciones:

Velocidad uniforme en la entrada y salida

Velocidad perpendicular al area de entrada y salida

Una bomba se considera como un instrumento que le anade energia al fluido

Una Turbina se considera como un instrumento que le quita energia la fluido.

Al sistema de partculas que pasa por este volumen de control se le esta haciendotrabajo debido a las fuerzas de presion y de viscosidad en la superficie del volumen decontrol y adicionalmente las bombas y turbinas ejercen un trabajo neto sobre el fluido.




53/87

4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia 45

4.2.1. Principio de Trabajo / Energia:

La primera ley de la termodinamica sin considerar generacion interna de calor ni laenergia interna de las moleculas estipula que el trabajo hecho en un fluido es igual alcambio de energa potencial y cinetica del sistema.

dW =dE.

En terminos de tasa de cambio de energa para un sistema tenemos

dW

dt =

dE

dt.

4.2.1.1. Energia

El teorema de transporte de Reynolds provee con una ecuacion para evaluar la tasa de

cambio de una variable extensiva como la energa:

dE

dt

sistema

=

t

VC

i dV

+

SC

i v ndA,

donde VC es el Volumen de Control y SC su superficie, E es la energia total del sistema(variable extensiva) e i es la energia por unidad de masa (variable intensiva) y esta dadapor

i= dE

dm= gz

potencial

+

v2

2

cinetica

Para flujo permanente (no cambia en el tiempo) y dividiendo el termino del flujo en lassuperficies de entrada y salida, se tiene:

dE

dt

sistema

=

SC entrada

i v n dA, +

SC salida

i v n dA,

Si ademas es constante

dE

dt =

salida

gz +

v2

2

v n dA +

entrada

gz +

v2

2

v n dA.

Como se supuso flujo uniforme y perpendicular a la superficie de entrada y la salida,

entonces si v1 es la velocidad a la entrada y v2 es la velocidad a la salida, tenemos

dE

dt =

gz2+

(v2)2

2

v2A2

gz1+

(v1)2

2

v1A1,

= g

z2+

(v2)2

2

v2A2 g

z1+

(v1)2

2

v1A1.




54/87


Utilizando el principio de conservacion de masa

g1A1v1 = g2A2v2= Q.

Tenemos

dEdt

=Q

z2+(v2)22g

z1+(v1)22g

.

Es decir el cambio de energa en el tiempo de un sistema esta dado por el flujo neto deenergia en un volumen de control. Por que no es cero si se asumio flujo permanente?

4.2.1.2. Trabajo

Para completar la ecuacion de trabajo energia necesitamos calcular el trabajo ejercidosobre este sistema de particulas.

Salida

vsalida

psalida

interaccion

fluidosolido

Entrada

ventrada

pentrada

fluidofluido

interaccion

El trabajo producido por las diferentes fuerzas sobre un fluido se puede clasificar enfuerzas de volumen y fuerzas de contacto. Entre las fuerzas de contacto encontramos:las fuerzas de presion y las fuerzas cortantes debidas a la viscosidad. Adicional a estoencontramos el trabajo producido por elementos mecanicos como bombas y turbinas. Verfigura 4.2.1.2. Las fuerzas de presion que producen trabajo estan localizadas unicamentea la entrada y salida del volumen de control porque en la superficie solida las fuerzas depresion son perpendiculares a la velocidad.

Si el trabajo se define como fuerza por desplazamiento, W =f s, entonces el trabajopor unidad de tiempo sera W =fv. Para la fuerza ejercida por la presion en una pequenaarea dA tenemos f = (p dA) n, el trabajo por unidad de tiempo sobre una superficiedAquedara W=(p dA)n v. Por tanto el trabajo de la presion sobre toda la superficie

del fluido esta dado porWp=

sc

p(v n)dA

La cual es la tasa de trabajo neto (flujo de trabajo). Esta superficie se puede dividir entres partes: superficie de entrada (interaccion fluido-fluido), superficie de salida (interac-cion fluido-fluido) y superficie de contacto con el solido (interaccion fluido-estructura).




55/87


Adicionalmente en la interaccion fluido estructura la presion es perpendicular a la super-ficie y perpendicular a la velocidad del fluido, por tanto el trabajo neto de la presion enla parte solida es cero. Para un flujo uniforme y perpendicular a la superficie de entraday salida esta integral se simplifica en

Wp= p1A1v1p2A2v2

Que se puede reescribir como:

Wp =p1

A1v1

p2

A2v2 = Q

p1

p2

.

Otras fuerzas importantes son las fuerzas de friccion las cuales son el resultado podemosconsiderar el trabajo hecho por las fuerzas viscosas.

La viscosidad produce fuerzas cortantes principalmente en la interaccion del fluido conla estructura. Estas fuerzas cortantes van en la direccion opuesta al fluido y por tantoproducira un trabajo negativo

W =F v= F v

Esta fuerza cortante depende de la viscosidad del fluido y de la rugosidad. Detalles decomo estimar el trabajo de las fuerzas cortantes se vera un capitulo posterior. EL trabajode estas fuerzas se puede escribir en terminos del caudal como

W=Q E

dondeEes la cabeza debida a la friccion del fluido en las paredes del volumen de control.El trabajo de las neto sobre el fluido de las fuerzas de superficie sera

Wneta(flujo)=Wp+ W

Adicional al trabajo de las fuerzas de presion y las fuerzas viscosas sobre la superficie decontrol se encuentra el trabajo neto de elementos mecanicos en el volumen de control. Estetrabajo se puede globalizar de forma generica como tiempo.

Wneta(maquinas)=Q Ep Q ET

donde Ep y ETse conocen como la cabeza producida por la bomba y la cabeza propor-

cionada a la turbina. Entonces la tasa de trabajo neta

Entonces el trabajo total sera:

W = Wneta(flujo)+Wneta(maquina)=Q

p1

p2

E+ Ep ET

.




56/87


Reordenando tenemos la ecuacion de Trabajo-Energia

Z1+p1

+

v212g

+ Ep=Z2+p2

+

v222g

+ ET+ E

dondeEp representa la energa por unidad de peso aportada por la bomba al fluido y ETla energa por unidad de peso suministrada a la turbina. Esta ecuacion es similar a laecuacion de Bernoulli sin embargo hay sus diferencias: La ecuacion de Bernoulli no incluyeterminos de trabajo producido por maquinas ni efectos de la viscosidad. Adicionalmentela ecuacion de Bernoulli se cumple solo para lneas de corriente y la ecuacion de energapara volumenes de control.

4.2.1.3. Ejemplo

Ecineticalinea de Energia

linea hidraulica

Bomba

Epotencial

DATUM

Linea hidraulica

Linea deEnergia

37

3.4

1.16

1

2

Figura 4.9: Ejemplo

El flujo de agua es 0.15 m3/s. Cual es la potencia de la bomba si la presi on en elpunto uno es p1= 250 mm Hg(vaco) y en el punto dos es p2= 275 KPa?

Presion a la salidap2

= 275000P a

9800N/m3 = 28,1 m (Agua)

Presion Entrada

p2

=250mm13,571000

=3,4Ecuacion de continuidad:

Q= A1v1= A2v2v1= 4,77v2= 8,48 m/s.




57/87


Ecuacion Trabajo /Energia:

Z1+p1

+

v212g

+ Ep= Z2+p2

+

v222g

,

0 3,4 +4,772

2g + Ep= 3 + 28,1 +

8,48

2g .

Ep = 320J/NP ot=QEp

1000




58/87


59/87

Captulo 5

Flujo en dos y tres dimensiones

5.1. Forma diferencial de la Ecuacion de Continuidad

5.1.1. Deduccion a partir de un elemento diferencial

dy

CD

BA

dx

Y

X

Figura 5.1: Conservacion de masa en un elemento diferencial.

Del teorema de transporte de Reynolds para flujo estacionario aplicado a la variableextensiva E = masa tenemos:

dEdt

= 0 = sc-entrada

v n dA + sc-salida

v ndA,

Aplicado a un elemento como en la figura 5.1.En AB tenemos:

AB =

x2

dx22

51


60/87

52 5.1 Forma diferencial de la Ecuacion de Continuidad

Velocidad perpendicular a AB, en AB:

vAB =v2 v2

dy

dy

2

Luego el flujo en AB:AB

v n dA =

x2

dx22

v2

v2dy

dy

2

De igual manera se pueden obtener expresiones para el flujo en las lineas BC, CD y DABC

v n dA =

+

x1

x12

v1+

v1x1

dx12

,

CDv n dA =

+

x2

dx22

v1+

v1x2

dx22

,

DA v n dA = x1 dx12 v1 v1x1 dx12 .

El flujo total sera por tanto:

0 =

AB

v d A +

BC

v d A +

CD

v d A +

DA

v d A

Por tanto, despues de sumar y eliminando los terminos cuadraticos tenemos:

v1x2

+ v1

x2+

v1x1

+ v1

x1= 0

Si= constante (Flujo incompresible)

v1x1

+ v1v2

= 0

Una forma mas elegante usando el teorema de la divergencia se presenta a continuacion.

5.1.2. Deduccion usando calculo de varias variables

El punto de partida es el teorema de transporte de Reynolds aplicado a la variableextensiva Masa. Recordando la forma general del teorema de transporte para un volumende control (VC) con superficie que lo delimita (SC) tenemos:

dEdt

= t

vc

i dV

+

sci v, n dA

donde para el caso de transporte de masa la variable Extensiva es la masa del sistemaE=My la variable intensiva es la masa por unidad de masa de un elemento diferencialdel fluido (i= m/m = 1). Por definicion, la masa de un sistema permanece constante en




61/87

5.1 Forma diferencial de la Ecuacion de Continuidad 53

el tiempo, es decirdM

dt = 0.

Por tanto podemos reescribir el teorema de Reynolds para la variable Masa de la siguiente

manera0 =

t

vc

dV

+

sc v, n dA. (5.1)

Esta ultima ecuacion se puede transformar usando el Teorema de la divergencia que paraun campo vectorial Fdefinido sobre un dominio con frontera nos dice que la integralde la divergencia del campo sobre todo el dominio es igual a el flujo del campo a travesde su superficie, en otras palabras

div(F) dV =

n

F ndA

SustituyendoF =v en la ecuacion (5.1) y aplicando el teorema de la divergencia

0 =

t

vc

dV

+

vcdiv(v)dA (5.2)

Por ser continuo se pueden intercambiar la derivada y la integral en el primer terminopor tanto:

0 =

vc

t()dV +

vc

div(v)dV

=

vc

t + div(v)

dV

La cual es la forma integral de la ecuacion de conservacion de masa (o ecuacion de conti-nuidad). Finalmente haciendo el volumen de control del tamano de un elemento diferencialpodemos suprimir la integral en la ecuacion para obtener La forma diferencial de la ecua-cion de continuidad para un fluido compresible

0 =

t+ div(v)

Para el caso de un fluido incompresible la densidad es constante y se obtiene

div(v) = 0 (5.3)




62/87


5.1.3. Vorticidad

La vorticidad es un vector que denota la rotaci on de un elemento de volumen y esdefinida como

= v=

i j kx

y

z

Fx Fy Fz

=

v3

x2

v2

x3v1x3

v3x1v3x1

v1x3

En un flujo bidimensional el unico termino que sobrevive es el tercero, ver figura 5.2.Elflujo se mueve en el plano (x1, x2) y la rotacion se representa por un vector en x3.

3=

v3x1

v1x3

x

u

x2 x3

x1x1

Linea de

corriente

x2

Figura 5.2: Vorticidad de un flujo bidimensional. La figura de la derecha muestra en tres

dimensiones la velocidad relativa a una distancia xcausada por la rotacion del elemento

Recordemos que la vorticidad esta relacionada con la velocidad angular de la siguienteforma

= 2

Entonces una partcula de fluido a una distancia x experimenta una velocidad relativacon respecto a una partcula en x debido a la rotacion. Ver figura5.2. Esta componentede la velocidad relativa es causada por la rotacion de x y esta dada por x = u lacual es una velocidad tangencial al circulo con radio x. En efecto

x= 2 x

Expandiendo

x=

i j k

1 2 3x1 x2 x3

= 2x3 3x23x1 1x3

1x2 2x1

(5.4)




63/87

5.1 Forma diferencial de la Ecuacion de Continuidad 55

x

x1

x2

x1

x2

v(x)

v(x + x)

Figura 5.3: Velocidad relativa de una partcula de fluido a una distancia x

5.1.4. Velocidad Relativa

La anterior seccion vimos como la vorticidad produce una componente de velocidadrelativa a una partcula en sus cercanas, de manera general se puede estudiar la velocidadrelativa de las siguiente forma. Considere un punto x sobre el fluido con velocidad v (x) yun punto muy cercano a una distancia x entonces usando una aproximacion de Taylorde orden uno podemos aproximar la velocidad en el punto x + x como

v(x + x) =

v1(x + x)v2(x + x)

=

v1(x) +v1x1

x1+v1x2

x2

v2(x) +v2x1

x1+v2x2

x2

Lo cual en forma compacta se puede escribir como

v(x + x) =v + [v]x

Es decir la velocidad Relativa v (x + x) v(x) se expresa como una aproximacion linealen terminos del gradiente [v]x. Adicionalmente, este termino de la velocidad relativase puede descomponer de la siguiente forma,

[v]x=1

2[v+ v]x

[v]x=1

2[v+ vT + v vT]x

[v]x= 12

[v+ vT]x +12

[v vT]x

[v]x= Dx + Rx

Las letrasRyD fueron seleccionadas de acuerdo a su representacion fsica, Rpor rotaciony D por Deformacion. Analizaremos inicialmente el termino Rx para mostrar que este




64/87


termino contiene la informacion de la velocidad relativa de rotacion.

Rx=1

2[v vT]x

En notacion indicial tenemosj

Rijxj =j

1

2(

vixj

vjxi

)xj

Escribiendo cada uno de los terminos

12

v1x1

v1x1

x2+

12

v1x2

v2x1

x2+

12

v3x1

v1x1

x3

12

v2x1

v1x2

x1+

12

v2x2

v2x2

x1+

12

v2x3

v3x2

x3

1

2 v3x1 v1x3x1+ 12 v3x2 v2x3x1+ 12 v3x3 v3x3x3

Nos podemos dar cuenta que los terminos de la diagonal son cero. Por comparacion conla ecuacion (5.1.3) tenemos

1

2( x) =Rx. (5.5)

Por tanto podemos concluir que Rxes la componente rotacional de la velocidad relativa

5.1.4.1. Gradiente de la norma de velocidad

Como resultado intermedio deseamos calcular el gradiente de la norma de la velocidad.para esto usamos la definicion de norma Euclideana.

v2 =v21+ v22+ v

23 =

k

v2k.

A la cual le calculamos el gradiente (dividido por dos)

v2

2 =

1

2

v2

x1,v2

x2,v2

x3

=1

2

v2

xi

=1

2

xi

k

v2k

=

1

2

k

v2kxi

=1

2

k

2vkvkxi

=K

vkxi

vk




65/87

5.2 Ecuaciones de Euler en 2D 57

Recordando que [v] = vixk

y por tanto vkxi

= [v]T

entonces concluimos que

v2

2 = [v]

T

v (5.6)

5.1.4.2. Aceleracion convectiva

Usando los anteriores resultados se puede expresar la aceleracion convectiva en termi-nos de la vorticidad. A definicion de aceleracion convectiva (v )v = [v]v podemossumar y restar el gradiente de la velocidad por su transpuesto y transformar la velocidadconvectiva en la siguiente expresion

[v]v = [v+ vT vT]v

= [v Tv]v+ [v]Tv

El primer termino a la derecha corresponde a la matriz Ry el segundo corresponde a unmedio de la norma de la velocidad de acuerdo a la ecuacion (5.6)

[v]v= 2Rv+ v2

2

Finalmente podemos usar el resultado de la ecuacion (5.5) para expresar el primer terminode la derecha en terminos de la vorticidad

[v]v= ( v) + v2

2 (5.7)

5.2. Ecuaciones de Euler en 2DEstas se derivan aplicando la segunda Ley de Newton a un sistema diferencial. Por

simplicidad tomaremos el un elemento 2D (ver figura 5.5) con dimensiones dx1 por dx3.Sin embargo la derivacion se puede extender a tres dimensiones considerando que lasfuerzas en la componente x2 son iguales a las de la componente x1.

Segunda Ley de Newton para un diferencial de volumen de masa dm esta dado por

dF = (dm)a (5.8)

dondedFrepresenta la suma de las fuerzas vectoriales sobre el diferencial de volumen concomponentes en x1 y x3 para el caso bidimensional.

Las fuerzas en la direccion x3 estan dadas porlas presiones en las caras B y D (Figura5.5) mas el peso del elemento.

dF3=pB dx1dx2pD dx1dx2 W.

Las presiones en B y D se pueden aproximar a partir de la presi on en el centro del elemento




66/87

58 5.2 Ecuaciones de Euler en 2D

pCdx1dx3

pDdx1dx3

p

B

C

D

W

x1

x3

O

pBdx1dx3

pAdx1dx3

A

Figura 5.4: Fuerzas sobre un Elemento diferencial en dos dimensiones

como

pB = p p

x3

dx32

pD = p + p

x3

dx32

.

Incluyendo estos valores de la presion en la ecuacion anterior tenemos

dF3 = p p

x3

dx3

2 dx dy p + p

x3

dx3

2 dx1 dx2 g dx1 dx2 dx3dF3 =

p

x3dx3dx dy g dx dy dx3.

De manera similar podemos obtener las fuerzas en x1

dF1= pA dx3dx2pC dx3dx2

dF1=

p

p

x1

dx12

dx3dx2

p +

p

x1

dx12

dx3 dx2

dF1= p

x1dx1dx3dx2

Resumiendo tenemos para las fuerzas sobre el elemento

dF1=p

x1dx1dx3dx2

p

x1dx1dx3dx2, (5.9a)

dF3=p

x3dx3dx1dx2 g dx1dx2dx3. (5.9b)




67/87

5.2 Ecuaciones de Euler en 2D 59

Adicionalmente la aceleracion de un Flujo esta dada por la aceleracion convectiva masla aceleracion temporal. Para un flujo estacionario en 2 dimensiones la aceleracion estadada por

a1= v1

v1

x1 + v3

v1

x3

a3= v1v3x1

+ v3v3x3

en notacion compactaa= [v] v (5.10)

Reescribiendo la segunda ley de newton5.8con las expresiones obtenidas en (5.9) y (5.

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Notas de Clase Fluidos EAFIT