1

ONDAS Modelo 2014. Pregunta 2B.- Una onda transversal se propaga por un medio elástico con una velocidad v, una amplitud Ao y oscila con una frecuencia fo. Conteste razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Determine en qué proporción cambiarían la longitud de onda, la velocidad de propagación, el periodo y la amplitud, si se actúa sobre el foco emisor de ondas reduciendo a la mitad la frecuencia de oscilación.

b) Sin alterar su frecuencia fo, se modifica la amplitud de la onda haciendo que aumente al doble. ¿En qué proporción cambiarían la velocidad de la onda, la velocidad máxima de las partículas del medio y la longitud de onda?

Solución. a. - La velocidad de propagación de la onda solo depende de las propiedades del medio material por el que se propaga la onda, por lo que al variar la frecuencia no variará la velocidad de propagación. - Teniendo en cuenta la relación existente entre la velocidad de propagación (que no varía), la longitud de onda y la frecuencia, si se reduce la frecuencia a la mitad, la longitud de onda se duplicará.

λ2λ22

ff

ff

fvf

v

λ

λ:Comparando:

2f

f Si:

fv

λ

fv

λ=′⇒==

′=′=

′=′

′=′

=

- Si se reduce la frecuencia a la mitad, el periodo aumenta al doble.

T2T22

ff

ff

f1f

1

TT

:Comparando:2f

f Si:f

1Tf

1T=′⇒==

′=′=

′=′

′=′

=

- La amplitud no depende de la frecuencia b. - La velocidad de la onda no depende de la amplitud, depende de las propiedades del medio en el que se propaga. - La velocidad máxima de vibración aumentara al doble.

máxmáxmáx

máxmáx

máx v2v2AA2

AA

ωAωA

vv

:Comparando:ωAvωAv

=′⇒==′

=⋅⋅′

=′

⋅′=′⋅=

- La longitud de onda no depende de la amplitud, como se vio en el apartado a. Modelo 2014. Pregunta 2A.- Un espectador que se encuentra a 20 m de un coro formado por 15 personas percibe el sonido con un nivel de intensidad sonora de 54 dB.

a) Calcule el nivel de intensidad sonora con que percibiría a un solo miembro del coro cantando a la misma distancia.

b) Si el espectador sólo percibe sonidos por encima de 10 dB, calcule la distancia a la que debe situarse del coro para no percibir a éste.

Suponga que el coro emite ondas esféricas, como un foco puntual y todos los miembros del coro emiten con la misma intensidad. Dato: Umbral de audición, Io = 10‒12 W m‒2 Solución. a. Teniendo en cuenta que cada miembro del coro es un foco puntual y que todos los miembros del coro tienen igual potencia. La intensidad (I1) que recibiría un espectador a una determinada distancia procedente del coro será:

SP15I1 =

Siendo P la potencia de cada miembro del coro. La intensidad (I2) que recibiría un espectador a esa misma distancia de un único miembro del coro será:

SPI2 =

2

Comparando ambas expresiones:

151

SP15S

P

II

1

2 ==

La intensidad sonora (β) que recibiría el espectador en cada una de las situaciones anteriores seria:

o1

1 II

log10β = o2

2 II

log10β =

Si se despejan la intensidades y se compara:

( )12

1

2

2

1ββ

101

10β

o

10β

o12

10β

o2

10β

o1 10

10I

10III:

10II

10II −=

⋅

⋅=

⋅=

⋅=

Sustituyendo la relación obtenida entre las intensidades:

( )12 ββ101

12 10

151

II −

==

Tomando logaritmos decimales, se despeja la intensidad sonora (β2) que se percibiría cuando cantase un solo miembro del coro.

( )12 ββ101

10log151log

−= ( )

151logββ

101

12 =− 151log10ββ 12 +=

dB 24,42151log1054β2 =+=

b. En este apartado, se mantiene constante la potencia de emisión y se varia la distancia al coro, y por lo tanto la superficie. Si se aplica la definición de intensidad cuando el espectador se encuentra a 20 m (d1) y a la posición donde la intensidad sonora que percibe es de 10 dB o menor (d2) y se comparan:

22

21

21

22

12

222

2

211

1

d

d

dπ

Pdπ

P

II:

dπ

PSPI

dπ

PSPI

=

⋅

⋅=

⋅==

⋅==

Por otro lado la relación entre la intensidades y las intensidades sonoras es la misma que la obtenida en el apartado anterior:

( )12 ββ101

12 10

II −

=

Sustituyendo las intensidades por la relación entre las distancias, se despeja la distancia a la que se empezaría a no oír al coro.

( )12 ββ101

22

21

12 10

d

dII −

== ( )12 ββ

10112

10

1dd−

⋅= ( )5410

1012

10

120d−

⋅=

m 79,3169d2 ≥ Septiembre 2013. Pregunta 2A.- Un altavoz emite sonido como un foco puntual. A una distancia d, el sonido se percibe con un nivel de intensidad sonora de 30 dB. Determine:

a) El factor en el que debe incrementarse la distancia al altavoz para que el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 20 dB.

b) El factor en el que debe incrementarse la potencia del altavoz para que a la distancia d el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 70 dB.

Dato: Umbral de audición, Io = 10‒12 W m‒2 Solución. a. La intensidad de un sonido, depende de la potencia de la fuente emisora y de la distancia a ella.

3

2r π4PI =

Para una misma fuente a dos distancias diferentes:

21

22

2

1

22

2

21

1

rr

II Comparando:

r π4PI

r π4PI

=

=

=

La intensidad de un sonido, también se puede relacionar con el nivel de intensidad sonora con que se percibe (β).

oIIlog10β = 10β

o 10II ⋅=

Aplicando a dos intensidades diferentes, producidas por la misma fuente:

10ββ

10β

10β

2

110β

o2

10βo1

21

2

1

2

110

1010

II Comparando:

10II10II

−

==

⋅=⋅=

Las relaciones obtenidas permiten obtener otra relación entre las intensidades y el nivel de intensidad sonora.

10ββ

1210ββ

21

22

10ββ

2

1

21

22

2

1

2121

21

10rr10rr:

10II

rr

II

−−

−⋅=⇒=

=

=

Sustituyendo por los datos:

d10r10dr 210

2030

2 ⋅=⇒⋅=−

b. En este apartado nos piden la potencia de la fuente para que a la misma distancia, aumente el nivel de intensidad sonora. Trabajando de forma análoga al apartado a):

2

1

2

1

21

11

21

11

2 PP

II Comparando:

d π4PI

d π4PI

:r π4

PI =

=

==

Teniendo en cuenta la relación obtenida en el apartado anterior entre la intensidad y el nivel de intensidad sonora:

10ββ

1210ββ

2

1

10ββ

2

1

2

1

2

1

1221

2110PP10

PP:

10II

PP

II

−−

−⋅=⇒=

=

=

14

110

3070

12 P1000010P10PP =⋅=⋅=−

Junio 2013. Pregunta 1A.- Una onda transversal, que se propaga en el sentido positivo del eje X, tiene una velocidad de propagación de 600 m s‒1 y una frecuencia de 500 Hz. Determine:

a) La mínima separación entre dos puntos del eje X que tengan un desfase de 60º, en el mismo instante

4

b) El desfase entre dos elongaciones, en la misma coordenada x, separadas por un intervalo de tiempo de dos milésimas de segundo.

Solución. Parámetros de la onda:

1s m 600v −= Hz 500f = 11 s rad π1000s rad 500π2f π2ω −− =⋅== 1m π35

600π1000

vωk −===

a. El desfase entre dos puntos en un mismo instante viene dado por: ( ) ( ) ( ) xkxxkφkxtωφkxtωφ 12o2o1 ∆⋅=−=+−−+−=∆

xkφ ∆⋅=∆ m 2,03π53π

kφx ==∆=∆

b. El desfase entre dos elongaciones, en la misma coordenada x, separadas por un intervalo de tiempo viene expresado por: ( ) ( ) ( ) tωttωφkxtωφkxtωφ 12o2o2 ∆⋅=−=+−−+−=∆

rad π2s102sradπ1000tωφ 3 =×⋅=∆⋅=∆ −

Modelo 2013. Pregunta 2B.- La función matemática que representa una onda transversal que avanza por una cuerda es ( ) ( )oφx π4,0t π100sen 3,0t,xy +−= , donde todas las magnitudes están expresadas en unidades del SI. Calcule:

a) La separación entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es de π/5 radianes.

b) La diferencia de fase entre dos vibraciones de un mismo punto del espacio separadas por un intervalo de tiempo de 5 ms.

Solución. a. Para un mismo instante de tiempo, la diferencia de fase entre dos puntos es:

( ) ( ) ( ) xπ4,0xxπ4,0φx π4,0t π100φx π4,0t π100φφφ 21o1oo2o12 ∆⋅=−⋅=+−−+−=−=∆

m 5,0π4,0

5π

π4,0φx ==∆=∆

b. Para un intervalo de tiempo, la diferencia de fase de un mismo punto viene dado por:

( ) ( ) ( ) tπ100ttπ100φx π4,0t π100φx π4,0t π100φφφ 12o01o0212 ∆⋅=−⋅=+−−+−=−=∆

rad2π105π100tπ100φ

3 =⋅⋅=∆⋅=∆ −

Septiembre 2012. Pregunta 1.- Una onda armónica transversal de frecuencia angular 4π rad s‒1 se propaga a lo largo de una cuerda con una velocidad de 40 cm s‒1, en la dirección positiva del eje X. En el instante inicial t = 0, en el extremo de la cuerda x = 0, su elongación es de + 2,3 cm y su velocidad de oscilación es de 27 cm s‒1. Determine:

a) La expresión matemática que representa la onda. b) El primer instante en el que la elongación es máxima en x = 0.

Solución. a. La expresión matemática de una onda transversal que se propaga en la dirección positiva del eje X es:

( ) ( )oφx kt ω sen At,xy +−= El número de onda (k) se obtiene a partir de la velocidad propagación (v = 0,4 m s‒1) y de la frecuencia angular (ω = 4π rad s‒1).

1m rad 42,314,0π4

vωk −===

La amplitud y el desfase inicial se calculan planteando un sistema con la posición y velocidad de oscilación en el instante inicial y en el origen de espacio (y(0,0) = 0,023 m; v(0,0) = 0,27 m s‒1).

5

( ) ( ) 023,0φ sen Aφ0k0ω sen A0,0y oo ==+⋅−⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) 27,0φcosωAφ0k0ωcosωAt,xvφkxtωcosωAdtdyt,xv ooo ==+⋅−⋅=⇒+−==

==

27,0φcosωA023,0φ sen A

o

o Dividiendo: oo

o φ tgω

1φcosωAφ Asen

27,0023,0 ==

( ) rad 82,0π4085,0 arctgφo =⋅=

m 031,082,0 sen

023,0φ sen

023,0 Ao

===

Conocidos todos los parámetros de la onda se sustituyen en la ecuación.

( ) ( )82,0x 42,31t π4 sen 031,0t,xy +−= b. Se pide calcular el tiempo que ha de pasar para que se cumpla y(0, t) = A

( ) ( ) ( ) 031,082,0t π4 sen 031,082,0042,31t π4 sen 031,0t,0y =+=+⋅−=

( ) 182,0t π4 sen =+ ⇒ 2π1 arcsen82,0t π4 ==+

s 06,0t = Junio 2012. Pregunta 2A.- En una cuerda se genera una onda armónica transversal de 20 cm de amplitud, velocidad de propagación 5 m s-1 y frecuencia 30 Hz. La onda se desplaza en el sentido positivo del eje X, siendo en el instante inicial la elongación nula en la posición x = 0

a) Escriba la expresión matemática que describe dicha onda si en t = 0 y x = 0 la velocidad de oscilación es positiva.

b) Calcule la velocidad y aceleración máximas de un punto 'de la cuerda. Solución. a. Ecuación de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X es:

( ) ( )oφ xk tωsen A t,xy +−=

Datos: m 0,2cm 20A == 1s m 5v −= Hz 30f = La frecuencia permite calcular la velocidad angular

sradπ6030π2f π2ω =⋅==

El número de onda se puede calcular a partir fe la longitud de onda (λ), y esta conocidas la velocidad y la frecuencia.

1m π12530π2

vf π2

fvπ2

k:

fv

Tvλ

λ

π2k

−=⋅

===

=⋅=

=

Sustituyendo en la ecuación:

( ) ( )oφ xπ12 tπ60sen 0,2t,xy +−= Para calcular la fase inicial se tiene en cuenta que y(0, 0) = 0 y que v(0, 0) = 0.

( ) ( )

==

==+⋅−⋅=rad πφ

rad 0φ:0φ senφ0π120π60sen 0,20,0y

o

ooo

Para discernir cual de las dos corresponde a los datos, se tiene en cuenta el valor de la velocidad inicial.

( ) ( ) ( )oφ xk tωcos ωAdt

t,xdyt,xv +−== ( ) ( ) oo φcosωAφk0ωcos ωA0,0v =+⋅−⋅=

( )( ) ( ) 0ωA1ωAπcosωA0,0vπφSi

0ωA1ωA0cosωA0,0v0φSi

o

o<−=−⋅===

>=⋅===

6

El desfase inicial es nulo y la ecuación de la onda es:

( ) ( ) xπ12 tπ60sen 0,2t,xy −= b. ( ) ( ) ( )x π12 tπ60cos π12x π12 tπ60cos π602,0t,xv −=−⋅=

( ) 1x π12t π60cosvv max =−⇔= smπ12vmax =

La aceleración se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x π12t π60 senπ720x π12t π60 senπ602,0x kt ω senωAdt

t,xdvt,xa 222 −=−⋅−=−−===

( ) 1x π12t π60 senaa max =−⇔= 2

2max s

mπ720a =

Junio 2012. Pregunta 2.B- La potencia sonora del ladrido de un perro es aproximadamente 1 mW y dicha potencia se distribuye uniformemente en todas las direcciones. Calcule:

a) La intensidad y el nivel dé intensidad sonora a una distancia de 10 m del lugar donde se produce el ladrido.

b) El nivel de intensidad sonora generada por el ladrido de 5 perros a 20 m de distancia de los mismos.

Suponga que todos los perros emiten sus ladridos en el mismo punto del espacio. . Dato: Intensidad umbral. Io = 10−12 W m−2 Solución.

a. 27

2

3

2 mw1096,7

10π4w10

rπ4P

SPI −

−×=

⋅===

Nivel de intensidad sonora (β): dB 5910

1096,7log10

II

log10β 12

7

o=

×== −

−

b. La potencia de los cinco ladridos es:

3105P ⋅= 27

2

3

2 mw1095,9

20π4w105

rπ4P

SPI −

−×=

⋅⋅===

dB 6010

1095,5log10

II

log10β 12

7

o=

×== −

−

Modelo 2012. Pregunta 2B.- Una onda sinusoidal con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 100 Hz viaja a una velocidad de propagación v = 200 m/s en la dirección positiva del eje X y oscila en la dirección del eje Y. En el instante t = 0 la elongación es máxima y positiva en el punto x = +3 m.

a) Calcule la longitud de onda, λ, y el número de onda, k, de la onda. b) Determine la expresión matemática que representa la onda.

Solución. m 5,1A = ; Hz 100f = ; s

m 200v =

a. m 2s 100

sm 200fv

λ 1

1=== −

−

mrad π

2π2

λ

π2k ===

b. La expresión matemática de una onda armónica que se desplaza en el sentido positivo de x es:

( )oφ xk tωsen Ay +−=

sradπ200100π2f π2ω =⋅==

7

( )oφ xπ tπ200sen 5,1y +−= Para calcular la fase inicial se tiene en cuenta que para t = 0; y = A = 1,5 m en x = 3 m.

( )oφ3π0π200sen 5,15,1 +⋅−⋅= ; ( ) 1π3φsen o =− ; 2π

π3φo =−

2π7

π32π

φo =+=

La expresión matemática de una onda armónica queda:

+−=2π7

xπ tπ200sen 5,1y

Septiembre 2011. Problema 1A.- Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda. b) La fase inicial sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongación es y = + 1 cm y la velocidad

positiva. c) La expresión matemática de la onda, como una función de x y t. d) La distancia mínima de separación entre dos puntos que tienen un desfase de π / 3 radianes.

Solución.

a. sm32,0s 8m 04,0fλ

Tλv 1 =⋅=⋅== −

b. ( ) ( )oφkxtω senAt,xy +−⋅= ; ( ) ( ) oo φ senAφ0k0ω senA0,0y ⋅=+⋅−⋅⋅=

( ) ( )oφkxtωcosωAdtdyt,xv +−⋅== ; ( ) ( ) oo φcosωAφ0k0ωcosωA0,0v ⋅=+⋅−⋅⋅=

Aplicando los datos del enunciado:

( ) oφ sen02,001.00,0y ⋅== :

=

==

rad6π5

φ

rad6π

φ:

21arcsenφ

o

oo

Para discernir cual de los dos desfase es el que corresponde a la onda propuesta, se tiene en cuenta que la velocidad inicial es positiva.

• Para rad6π

φo = ; ( ) 06πcosωA0,0v >⋅=

• Para rad6π5

φo = ; ( ) 06π5cosωA0,0v <⋅=

Teniendo en cuenta que la velocidad inicial es positiva, el desfase inicial es:

rad6π

φo =

c. ( ) ( )oφkxtω senAt,xy +−⋅=

sradπ16s 8rad π2fπ2

Tπ2

ω1 =⋅=== − ; 1m π50

04,0π2

λ

π2k −===

( )

+−⋅=6πxπ50tπ16 sen022,0t,xy

d. ( ) xπ50xxπ506πxπ50tπ16

6πxπ50tπ16φφφ 211212 ∆⋅=−=

+−−

+−=−=∆

m1067,61501

π503π

π50φx 3−×===∆=∆

8

Junio 2011. Cuestión 2A.- Una onda transversal de amplitud A = 5 cm que se propaga por un medio material tarda 2 s en recorrer una distancia de 50 cm, y sus puntos más próximos de igual fase distan entre si 25 cm. Determine:

a) la expresión matemática de la función de onda si en el instante t = 0, la elongación es el origen, x = 0, es nula.

b) La aceleración de un punto de la onda situado en x = 25 cm, en el instante t = 1 s. Solución. a. Tomando como positivo el sentido de desplazamiento de la onda:

( ) ( )oφk x tωsen At,xfy +−== • Amplitud: A = 5×10 ‒2 m • ϕo (desfase inicial): Para t = 0, x = 0 ⇒ y = 0

( ) ( ) 0φ0k0ωsen A0,0fy o =+⋅−⋅== ;

==

=rad πφ

rad 0φ:0φsen

o

oo

• Número de ondas (k): número de longitudes de onda que hay en una distancia 2π. Entre dos puntos en igual fase, es decir, con igual elongación, velocidad y aceleración, la distancia mínima entre ellos es la longitud de onda (λ).

mradπ8

1025π2

λ

π2k 2 =

×== −

• Velocidad angular (ω): se puede obtener de su relación con el numero de ondas.

kvω : vω

k :

ω

π2v

π2k

Tvπ2

k:Tvλλ

π2k ω

π2T⋅==

⋅= →

⋅=

⋅=

= =

sradπ2

mradπ8

s 2m 1050

ω2

=⋅×=−

Sustituyendo los datos en la expresión, se obtiene la ecuación de la onda.

( ) ( ) xπ8 tπ2sen 105t,xfy 2 −×== − o ( ) ( )π xπ8 tπ2sen 105t,xfy 2 +−×== − b. Por definición, la aceleración es la derivada segunda de la posición respecto al tiempo.

( ) ( )oφk x tωsen At,xy +−= ( ) ( )oφk x tω cos ωAt,xy +−=′

( ) ( ) ( ) yωφk x tωsen Aωφk x tωsen ωAt,xy 2

yo

2o

2 =+−=+−=′′444 3444 21

( ) ( ) ( )0'25 ,1yω0'25 ,1ym 0'25 s, 1a 2=′′=

( ) ( ) 00sen 1050'25π81π2sen 1050'25 ,1y 22 =×=⋅−⋅×= −−

( ) ( ) 00ω0'25 ,1yωm 0'25 s, 1a 22 =⋅=⋅= Utilizando la otra expresión se obtiene idéntico resultado. Junio 2011. Cuestión 2B.- Un altavoz emite con una potencia de 80 W. Suponiendo que el altavoz es una fuente puntual y sabiendo que las ondas sonoras son esféricas, determine:

a) La intensidad de una onda sonora a 10 m del altavoz. b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 60 dB? Dato: Intensidad umbral Io = 10‒12 W m‒2.

Solución. a. La intensidad de una onda sonora viene determinada por la potencia y la posición.

222 mW

064,010π4

80Rπ4P

SP

I =⋅

===

9

b. El nivel de intensidad sonora es:

oII

log 10β = ; 12-10I

log 1060= ; 26

mW

10I −=

Conocida la intensidad y la potencia se calcula la posición (R).

2Rπ4P

SP

I == ; m 252301 π4

80I π4

PR 6- ===

Modelo 2011. Problema 1B. Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y según la expresión:

+=4π

t3π

sen 5y (y en cm, t en s).

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 30 cm, determine:

a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica. b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. c) La expresión matemática de la onda resultante. d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X

de coordenada x = 90 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s. Solución. a. La amplitud y frecuencia de la onda coincide con la amplitud y frecuencia del movimiento oscilatorio.

m 105A 2−×= fπ2rad3π

ω == 1s61f −=

b. El incremento de fase en un instante dado es:

( ) ( ) ( ) xkxxkφkxtωφkxtωφφφ 21o2o112 ∆⋅=−=+−−+−=−=∆

Teniendo en cuenta λ

π2k =

xλ

π2φ ∆⋅=∆ ; m 6,03,0

π

π2xφ

π2λ =⋅=∆⋅

∆=

Conocida la longitud de onda, se calcula la velocidad de propagación.

sm1,0s

61m 6,0fλ

Tλv 1 =⋅=== −

c. ( ) ( )oφkxtω senAt,xy +−⋅= El número de onda (k) se calcula con la longitud de onda

1m π3

106,0π2

λ

π2k −===

El desfase inicial coincide con el desfase inicial del movimiento ondulatorio

( )4πsen 5

4π0

3π sen 50y =

+⋅= ; rad4π

φo =

Sustituyendo los datos se obtiene la ecuación de la onda

( )

+−⋅=4πxπ

310t

3π sen05,0t,xy

10

d. ( )

−⋅=

+⋅−⋅= π411t

3π sen05,0

4π9'0π

310t

3π sen05,0t,9'0y

( )

−=

−== π411t

3πcos

60π

π411t

3πcos

3π05,0

dtdyt,9́0v

Para t = 20 s

( ) sm05,0π

1247cos

60π

π41120

3πcos

60π20,9́0v =

=

−⋅=

Septiembre 2010 F.M. Cuestión 2B.- Una onda armónica transversal de longitud de onda λ =1 m se desplaza en el sentido positivo del eje X. En la gráfica se muestra la elongación (y) del punto de coordenada x = 0 en función del tiempo. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda. b) La expresión matemática que describe esta onda.

Solución. a. De la gráfica anexa se pueden obtener el periodo y la amplitud. El periodo es el tiempo que tarda en completar un ciclo (línea roja). La amplitud es la máxima elongación, o máxima separación del origen

A = 0,8 m; T = 3 s

La velocidad de propagación de una onda es: 31

tv =λ=

b. La ecuación de una onda armónica transversal que se desplaza en el sentido positivo de X es:

( ) ( )ϕ+−ω= k x tsen A t,xy

srad

3π2

Tπ2

ω == ; 1m 23

13

2

vk −π=

π=ω= o también 1m 2

122k −π=π=

λπ=

El desfase inicial (ϕ) se calcula sabiendo que para x = 0 y t = 0, y = 0.

( ) 0sen 02032sen 8,000,0y =ϕ⇔

ϕ+⋅π−⋅π== : ϕ = 0

Sustituyendo los datos en la expresión se obtiene la ecuación de la onda.

( )

−== x π2t3π2sen 8,00t,xy

Junio 2010 F.M. Problema 1A.- Una onda armónica transversal, de periodo T = 2 s, se propaga con una velocidad de 60 cm/s en una cuerda tensa orientada según el eje X, y en sentido positivo. Sabiendo que el punto de la cuerda de abscisa x = 30 cm oscila en la dirección del eje Y, de forma que en el instante t = 1 s la elongación es nula y la velocidad con la que oscila positiva y en el instante t = 1,5 s su elongación es −5 cm y su velocidad de oscilación nula, determine:

a) La frecuencia y la longitud de onda. b) La fase inicial y la amplitud de la onda armónica. c) La expresión matemática de la onda armónica. d) La diferencia de fase de oscilación de dos puntos de la cuerda separados un cuarto de longitud de

onda. Solución. a. La frecuencia (ν) es inversa al periodo y a la velocidad de la onda.

Hz5,021

T1 ===ν

11

ν⋅λ=v ; m 2,1s 5,0

s m 1060v1

12=×=

ν=λ

−

−−

b. La ecuación de una onda transversal es:

( ) ( )ox kt sen At,xy ϕ+−ω=

srad

22

T2 π=π=π=ω

35

2,122k π=π=

λπ=

( )

ϕ+π−π= ox 3

5t sen At,xy

0 2

sen A ; 0 2

sen A ; 30, 351 sen A0:

0v0y

:s 1 tm; 3,0x ooo =

ϕ+π=

ϕ+π−π

ϕ+π−π=

>=

==

π+=ϕπ=ϕ+

π

π−=ϕ=ϕ+π

⇒=

ϕ+π

2 :

2

2 : 0

20 2

senoo

ooo

( )

π−π−π=2

x 35t sen At,xy ó ( )

π+π−π=2

x 35t sen At,xy

Para diferenciar entre los desfases se tiene en cuenta el dato de que la velocidad es positiva.

( ) ( )

π±π−πω==2

x3

5tcos Adt

t,xdyt,xv

( )

π±πω=

π±⋅π−⋅πω=22

cosA2

3,03

51cosA1 ,3'0v

Si el desfase es positivo: ( ) 0cosA22

cosA1 ,3'0v <πω=

π+πω=

Si el desfase es negativo: ( ) 00cosA22

cosA1 ,3'0v >ω=

π−πω=

Conclusión el desfase es rad2oπ−=ϕ

05,02

2

2

3 sen A ; 2

30, 3

523 sen A05,0:

0v05,0y

:s 1,5 tm; 3,0x −=

π−π−π

π−π−π=−

=−=

==

05,02

sen A −=

π : m 05,0A −=

La amplitud de una onda no puede ser negativa, diferente es la elongación que puede oscilar entre −A y +A, por lo tanto la única explicación es que el problema está mal planteado. c. La ecuación de una onda transversal es:

( ) ( )ox kt sen At,xy ϕ+−ω= Según los datos obtenidos en los apartados anteriores la ecuación de la onda es:

( )

π−π−π−=2

x 3

5t sen 05,0t,xy

Por lo explicado en el apartado anterior, la expresión no tiene sentido, podríamos haber optado por considerar la amplitud en valor absoluto y ponerla en positivo, pero en este caso, la ecuación no cumpliría las condiciones propuestas. d. La diferencia de fase entre dos puntos (1 y 2) de la cuerda:

12

( ) ( ) x kxx kx kt x kt 12o1o212 ∆=−=ϕ+−ω−ϕ+−ω=ϕ−ϕ=ϕ∆

3,042,1

4x ==λ=∆ ⇒

23,0

35x k π=⋅π=∆=ϕ∆

Junio 2010 F.G. Cuestión 2A.-

a) Escriba la expresión matemática de una onda armónica transversal unidimensional, y = y (x, t), que se propaga en el sentido positivo del eje X.

b) Defina los conceptos de las siguientes magnitudes: amplitud, periodo, longitud de onda y fase inicial.

Solución. a. ( ) ( )ϕ+−ω= xk tsen A t,xy b. Amplitud (A): Es la máxima elongación con que vibran las partículas del medio. También se puede definir como la distancia máxima que hay entre un punto de la onda y su posición de equilibrio. En el sistema internacional se expresa en metros. Periodo (T): Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse. También puede definirse como el tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la oscilación o ciclo. En el S. I. se expresa en segundos. Longitud de onda (λλλλ): La longitud de una onda es la distancia que recorre la onda en el intervalo de tiempo transcurrido entre dos máximos consecutivos. En el S. I. Se expresa en metros. Fase inicial (ϕϕϕϕ): Indica el estado de vibración (ó fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila. En el S. I. se expresa en radianes. Junio 2010 F.G. Cuestión 1B.- El sonido producido por la sirena de un barco alcanza un nivel de intensidad sonora de 80 dB a 10m de distancia. Considerando la sirena como un foco sonoro puntual determine:

a) La intensidad de la onda sonora a esa distancia y a potencia de la sirena. b) El nivel de intensidad sonora a 500 m de distancia.

Dato: Intensidad umbral de audición Io =10−12 W m−2 Solución.

β ≡ Nivel de intensidad sonora. a. La intensidad, I, de la onda y el nivel de intensidad sonora, nivel acústico,β, están relacionados por la expresión:

oIIlog 10=β

Aplicando los datos del enunciado se puede calcular la intensidad de la onda sonora a esa distancia.

1210

Ilog 1080−

= : 12Ilog8 += : 4Ilog −= : 2

4

M

W10I −=

La intensidad de una onda en un punto es la cantidad de energía por unidad de tiempo que atraviesa la unidad de superficie colocada en ese punto.

StEI⋅

= : ( )PotenciaPtE = :

SPI = :

2r 4

PIπ

= : W126,010104Ir 4P 422 =⋅⋅π=π= −

b. Teniendo en cuenta que la potencia de la fuente es constante, se calcula la intensidad a 500m, conocida la intensidad, se calcula el nivel de intensidad sonora.

28

22 m

W1045004

126,0

r 4

PSPI −×=

⋅π=

π==

dB 4610

104log10IIlog10

12

8

o=×==β

−

−

13

Modelo 2010. Problema 1B.- Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y, según la expresión:

π+π=2

t4

sen 2y (y en cm; t en s),

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están

separados una distancia mínima de 20 cm., determine: a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica. b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. c) La expresión matemática que representa la onda armónica. d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X

de coordenada x = 80 cm., y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s. Solución a. Para hallar la amplitud de la onda nos fijamos simplemente en la ecuación dada, de donde

A = 2 cm

Para hallar la frecuencia de la onda volvemos a fijarnos en la ecuación dada

fπ24π

ω ⋅== ⇒ 1-s 125,081

π24π

π2ωf ====

b. Para hallar la longitud de onda basta darse cuenta de que al decirnos que dos puntos que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm es como decir

cm 202λ = ⇒ cm 40λ =

Conocida la longitud de onda y la frecuencia, la velocidad es:

scm5s 125,0cm 40fλ

Tλv 1 =⋅=⋅== −

c. La expresión matemática que representa la onda es ( ) ( )oφx k tωsen At,xy +−= , donde k es el

número de onda

=== −1cm 20π

40π2

λ

π2k , y ϕo es el desfase inicial, fijando otra vez la atención sobre

la ecuación inicial, 2π

φo = , sustituyendo los valores conocidos se obtiene la expresión matemática de la

onda:

( )

+−=2πx

20πt

4πsen 2t,xy

d. La expresión para la velocidad se obtiene derivando la expresión de y(x, t) respecto del tiempo.

( )

+−=⋅

+−=

+−==2πx

20πt

4πcos

2π

4π

2πx

20πt

4πcos2

2πx

20πt

4πsen 2

dtd

dtt,xy dvy

Para x = 80 cm

( )

−=

+−==2π7t

4πcos

2π

2π80

20πt

4πcos

2π t,80xvy

Para t = 20 s

( ) 002π

2π3cos

2π

2π720

4πcos

2π20 t,80xvy =⋅==

−===

Septiembre 2009. Problema 1A.- Una onda armónica transversal de amplitud 8 cm y longitud de onda 140 cm se propaga en una cuerda tensa, orientada en el sentido positivo del eje X, con una velocidad de 70 cm/s. El punto de la cuerda de coordenada x = 0 (origen de la perturbación) oscila en la dirección del eje Y y tiene en el instante t = 0 una elongación de 4 cm y una velocidad de oscilación positiva. Determine:

a) Los valores de la frecuencia angular y del número de onda.

14

b) La expresión matemática de la onda. c) La expresión matemática del movimiento del punto de la cuerda situado a 70 cm del origen. d) La diferencia de fase de oscilación, en un mismo instante, entre dos puntos de la cuerda que

distan entre sí 35 cm. Solución. La ecuación de una onda armónica transversal viene dada por la expresión:

( )oφk x tωsen Ay +±= donde A es la amplitud, ω es la velocidad angular, k es el número de onda y ϕo es el desfase inicial a. A = 0,08 m; λ = 1,4 m. El número de onda se puede calcular por la expresión:

mradπ

710

4,1π2

λ

π2k ===

conocido el número de onda se calcula la velocidad angular.

sradπ

mradπ

710

sm7,0kvk:

kωv =⋅=⋅==

b. Para expresar la ecuación de la onda se necesita conocer el desfase inicial el cuál se puede calcular con los datos del enunciado (Para t = 0; x = 0; y = 4 cm = 4×10−2 m) aplicados a la ecuación general (el signo de la fase se escoge negativo debido a que la onda se propaga en el sentido positivo del eje OX.

rad 6π

φ21

φ sen:φ0π7

100π sen108104 ooo22 =⇒=

+⋅−⋅×=× −−

Conocido el desfase la ecuación de la onda queda:

+−×= −6πx π

710 tπ sen108y 2

c. Para x = 70 cm = 70×10−2 m:

+×⋅−×= −−6π1070π

710 tπ sen108y 22

−×= −6π5 tπ sen108y 2

d. ( )12122o1o xx7π10x

7π10x

7π10

6πx

7π10 tπ

6πx

7π10 tπφ −=−=

+−−

+−=∆

rad2π35,0

7π10x

7π10

φ =⋅=∆=∆

Junio 2009. Cuestión 2.- Una fuente puntual emite un sonido que se percibe con nivel de intensidad sonora de 50 dB a una distancia de 10 m.

a) Determine la potencia sonora de la fuente. b) ¿A qué distancia dejaría de ser audible el sonido? Dato: Intensidad umbral de audición I0 = 10 −12 W m -2

Solución. a. Mediante la definición de nivel sonoro, se puede calcular la intensidad del sonido.

oIIlog10⋅=β :

1210

Ilog1050−

⋅= : 2710

5012m

W101010I −− =⋅=

Teniendo en cuenta que la potencia P del foco se reparte en esferas concéntricas y que el medio es isótropo:

2o

r4

PI

π= : 2

4722o m

W1026,110104Ir4P −− ×=⋅⋅π=π=

b. El sonido dejara de oírse a una distancia tal que la intensidad en ese punto sea menor o igual a la intensidad umbral

15

o2o Ir4

PI ≤

π= : m 7,316

1041026,1

I 4Pr 12

6

o

o =⋅π×=

π≥ −

−

Modelo 2009. Cuestión 2.- La potencia de la bocina de un automóvil, que se supone foco emisor puntual, es de 0,1 W. .

a) Determine la intensidad de la onda sonora y el nivel de intensidad sonora a una distancia de 8 m del automóvil.

b) ¿A qué distancias desde el automóvil el nivel de intensidad sonora es menor de 60 dB? Dato: Intensidad umbral de audición I0 = 10 -12 W m -2

Solución. a. Suponemos un medio isótropo con ondas esféricas. En cualquier punto situado a una distancia r del foco que emisor, la intensidad valdrá:

24

222o

mw1024,1

m84

W1,0

r4

PSPI −×=

⋅π=

π==

La intensidad sonora es.

db8110

1024,1log10IIlog10db

12

4

o=×⋅=⋅=

−

−

b. Se calcula la distancia en la cual la intensidad de la onda sonora es 60 db. Teniendo en cuenta que la intensidad es inversamente proporcional a la distancia, en cualquier punto más alejado, la intensidad será menor.

26126

126

oo mw101010I:

10

I10:IIlog6:

IIlog10db60 −−

−=⋅===⋅=

m 2,89104

10I 4

Pr:

r4

PI

6

1o

2o =

⋅π=

π=

π=

−

−

m 2,89r >

Septiembre 2008. Problema 2B.- Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda tensa de gran longitud y está representada por la siguiente expresión:

y = 0,5 sen (2π t − π x + π) (x e y en metros y t en segundos) Determine:

a) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. b) La diferencia de fase en un mismo instante entre las vibraciones de dos puntos separados entre sí

∆x = 1 m. c) La diferencia de fase de oscilación para dos posiciones de un mismo punto de la cuerda cuando

el intervalo de tiempo transcurrido es de 2 s. d) La velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.

Solución. a. La longitud de onda se obtiene a partir del número de onda, y este por comparación de la ecuación general (y = A sen (ω· t − k·x + ϕo)) con la ecuación de la onda.

( )( )

π=ϕπ=

π=ω

π+π−π=ϕ+−ω= −

−

rad m k

s rad 2:

x t 2sen 5,0yx kt sen Ay

o

1

1

o

El número de onda (k) se define como el número de longitudes de onda que hay en una distancia 2π:

λπ= 2k : m 22

k2 =

ππ=π=λ

La velocidad de propagación de la onda es:

16

Tv λ=

El periodo se calcula a partir de la velocidad angular:

T2π=ω : s 1

222T =

ππ=

ωπ=

sm2

12

Tv ==λ=

b. Para un punto cualquiera su fase es: ( ) π+π−π=ϕ x t2 t,x , para otro punto situado a 1 m del anterior su fase es: ( ) ( ) π++π−π=+ϕ 1x t2 t,1x . La diferencia de fase entre ellos será:

( ) ( ) ( ) ( ) rad x t21x t2 t,x t,1x π=π+π−π−π++π−π=ϕ−+ϕ=ϕ∆ c. Para un punto cualquiera su fase es: ( ) π+π−π=ϕ x t2 t,x , para ese mismo punto, en el instante t + 2 su fase es: ( ) ( ) π+π−+π=+ϕ x2t 22 t,x . La diferencia de fase entre ellos será:

( ) ( ) ( ) ( ) rad 4 x t2x 2t 2 t,x2 t,x π=π+π−π−π+π−+π=ϕ−+ϕ=ϕ∆ d. La velocidad de vibración de in punto viene dado por la expresión:

( )( ) ( ) ( )π+π−ππ=π⋅π+π−π=π+π−π== x t2cos 2 x t2cos 5,0 x t2sen 5,0dtd

dtdy

v

La velocidad máxima se alcanza cuando la componente trigonométrica valga 1.

smvmáx π=

Junio 2008. Problema 2A.- Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de un foco sonoro puntual, siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco, y la segunda de 80 dB al alejarse en la misma dirección 100 m más.

a) Obtenga las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones. b) Determine la potencia sonora del foco.

Dato: Intensidad umbral de audición Io = 10−12 W/m2 Solución. a. La intensidad de una onda es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

21

22

2

1

r

rII

=

Para calcular la intensidad se tiene en cuenta la escala decibélica

oIIlog 10=β : 10

010

II β

= : 10o 10II

β⋅=

Donde β es el nivel de intensidad de sonido medido en decibelios, I es la intensidad e Io es la intensidad umbral.

xrm

w101010IdB 100 12210

1001211 =→=⋅=→=β −−

100xrm

w101010IdB 80 22410

801212 +=→=⋅=→=β −−

Sustituyendo en la relación:

( )2

2

4

2

x100x

1010 +=

−

− :

2

x100x100

+= : 10x100x =+ : m 1,11x =

b. 2r4

PIπ

= Aplicando a la 1ª experiencia: W5,151,11410r4IP 22211 =⋅π=π⋅= −

17

Modelo 2008. Cuestión 2.- La expresión matemática que representa una onda armónica en unidades

SI es:

( )

π−π= x4

t2sen 04'0t,xy

Determine: a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagación. b) La distancia mínima entre dos puntos que vibran con una diferencia de fase de 120°.

Solución. a. Comparando la expresión matemática de la onda armónica con la ecuación general, se pueden deducir los valores de la velocidad angular (ω) y del numero de onda (k). Conocida la velocidad angular se calcula la frecuencia (ν) y conocida la velocidad angular y el número de onda se calcula la velocidad de propagación de la onda (v).

( ) ( )( )

π=

π=ω

π−π=

−ω=

mrad

4k

srad2

:x4

t2sen 04'0t,xy

x k tsen At,xy

Frecuencia:

νπ=ω 2 ( )1sHz 122

2−=

ππ=

πω=ν

Velocidad de propagación:

vk ω= s

m84

2k

v =π

π=

ω=

b. Se denomina fase (ϕ) al paréntesis (ωt − kx). Su valor determina el estado de vibración o fase del movimiento. Para un instante to la diferencia de fase entre dos puntos viene dada por:

( ) ( ) ( )122o1o21 xxk xk t xk t −⋅=−ω−−ω=ϕ−ϕ=ϕ∆

m 67'2m38

mrad

4

rad32

kx:

xk

rad32º120 ==

π

π=

ϕ∆=∆

∆⋅=ϕ∆

π==ϕ∆

Septiembre 2007. Cuestión 2.- Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un período de 0,2 s y se propaga en el sentido negativo del eje X a una velocidad de 30 m/s. En el instante t = 0, la partícula de la cuerda en x = 0 tiene un desplazamiento positivo de 0,02 m y una velocidad de oscilación negativa de 2 m/s. a) ¿Cuál es la amplitud de la onda? b) ¿Cuál es la fase inicial? c) ¿Cuál es la máxima velocidad de oscilación de los puntos de la cuerda? d) Escriba la función de onda correspondiente. Solución. a. La ecuación general de una onda que se desplaza en sentido negativo del eje x es:

y(x, t) = A sen (ωt + kx + ϕo) Utilizando los datos conocidos para las condiciones iniciales (t = 0; x = 0 ⇒ y(0, 0) = +0’02 m):

y(0, 0) = 0’02 = A sen ϕo Si derivamos la ecuación de posición de la onda respecto del tiempo, obtenemos la expresión de la velocidad en función de x y t.

( ) ( ) ( ) ( )oo k x tcosAk x tcosA t,xvdt

t,xdyϕ++ωω=ω⋅ϕ++ω==

Utilizando el valor de la velocidad para condiciones iniciales (t = 0; x = 0 ⇒ v(0, 0) = −2 m/s):

( ) ocosA20 ,0v ϕω=−= La velocidad angular (ω) se obtiene mediante su relación con el periodo:

18

srad 10

s 2'02

T2 π=π=π=ω

Sustituyendo en la expresión de la velocidad inicial:

( ) ocosA1020 ,0v ϕπ=−= Dividiendo la ecuación de la posición entre la de la velocidad, obtenemos una expresión que nos permite calcular el valor de la fase (ϕo).

( )

==

=−=⇒=−=− rad 5,98

rad 84,231'0 arctgφφ tg31'0 :

φcosAπ10φsen A

202'0

ooo

o

Para discernir cual de los dos desfases iniciales corresponde a la onda se tiene en cuenta que en condiciones iniciales, la posición es positiva y la velocidad negativa.

098,5cosωAv05,98sen A yrad 5,98φ

084,2cosωAv02,84sen A yrad 84,2φ

o

o>=<==<=>==

Teniendo en cuenta los signos de la posición y velocidad inicial, el desfase inicial es:

rad 84,2φo = Conocido el desfase, la expresión de la posición permite calcular la amplitud.

0’02 = A sen ϕo ⇒ m 067'02,84sen 02'0A ≈=

b. ϕo = 2,84 rad c. El valor máximo de la velocidad ( ) ( )( )ok x tcosA t,xv ϕ++ωω= se alcanza cuando el coseno vale 1, y por tanto queda:

sm 1'2s

rad10m 067'0Avmáx ≈π⋅=ω=

d. Función de onda:

y(x, t) = A sen (ωt + kx + ϕo)

Donde: ω = 10π rad/s; 1m 330

10v

k −π=π=ω= ; rad 84,2φo =

( )

++= 2,84 x3π tπ10sen 067'0 t,xy

Junio 2007. Problema 1A.- Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y, según la expresión:

π+π=2

t4

sen 2y ( y en cm; t en s ),

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm, determine:

a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica. . b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. c) La expresión matemática que representa la onda armónica. d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X

de coordenada x = 80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s. Solución a. La amplitud y la frecuencia de la onda coinciden con la amplitud y frecuencia del movimiento oscilatorio.

A = 0,02 m La frecuencia de la onda se calcula a partir de la velocidad angular.

19

fπ24π

ω == Hz 125,0s81f 1 == −

b. Para hallar la longitud de onda basta darse cuenta de que al decirnos que dos puntos que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm es como decir

cm 202λ = m 0,4cm 40λ ==

Otra forma seria teniendo en cuenta que el incremento de fase en un instante dado es:

( ) ( ) ( ) xkxxkφkxtωφkxtωφφφ 21o2o112 ∆⋅=−=+−−+−=−=∆

Teniendo en cuenta λ

π2k =

xλ

π2φ ∆⋅=∆ ; m 4,02,0

π

π2xφ

π2λ =⋅=∆⋅

∆=

Conocida la longitud de onda y la frecuencia se calcula la velocidad de propagación de la onda.

sm05,0s 125,0m 4,0fλ

Tλv 1 =⋅=== −

c. El número de onda es: 1m π54,0π2

λ

π2k −===

La expresión matemática que representa la onda es:

( )

+−=2πx π5t

4πsen02,0t,xy

d. La expresión para la velocidad se obtiene como la derivada de la función y respecto del tiempo.

( ) sm

2πx π5t

4πcos

200π

2πx π5t

4πcos

4π02,0

dtdyt,xv

+−=

+−⋅==

Para x = 0,8 m

( ) sm

2π7t

4πcos

200π

2π8,0π5t

4πcos

200πt,8́0v

−=

+⋅−=

Para x = 0,8 y t = 20 s

( ) 0020π

sm

2π3cos

200π

2π720

4πcos0

20π20 ,8́0v =⋅=

=

−⋅=

Modelo 2007. Cuestión 2.- Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W. Calcule:

a) La intensidad sonora en los puntos distantes 10 m de la fuente. b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 130 dB?

Datos: Intensidad umbral de audición 2120 mW10I −−=

Solución. a) La intensidad I de un sonido puede medirse mediante la energía que transporta por unidad

de superficie, se expresa en W/m2.

( )22

22m·W104'6

104

80

R4

PSPI −−×=

π=

π==

b) El volumen acústico ß de un sonido de intensidad I expresado en Bels se define como:

oIIlog=β (Bels)

Como la unidad resultaba demasiado grande, se utiliza el decibelio (décima parte del Bel) designado dB que ha quedado como unidad para la medida del volumen acústico. Así pues, el volumen acústico ß de un sonido de intensidad I expresado en decibles se define como:

20

oIIlog10=β (dB)

Siendo Io la intensidad umbral de audición para el oído humano. Aplicando a los datos propuestos se despeja la intensidad:

1210

Ilog10130−

= : 1210

Ilog13−

= : 1312

1010

I =−

: I = 10 W·m−2.

22 d4

P

R4

PSPI

⋅π=

π==

8'0Wm104

W80I4

Pd2

=⋅π

=⋅π

=−

m

Modelo 2007. Problema 1A.- La expresión matemática que representa una onda armónica que se propaga a lo largo de una cuerda tensa es:

( )π+π+π= x2 t10sen 0,01 t)y(x, , donde x e y están dados en metros y t en segundos. Determine:

a) El sentido y la velocidad de propagación de la onda. b) La frecuencia y la longitud de onda. c) La diferencia de tase de oscilación entre dos puntos de la cuerda separados 20 cm. d) La velocidad y la aceleración de oscilación máximas de un punto de la cuerda.

Solución. a) La ecuación general de una onda armónica es; y(x, t) = A sen(ωt − kx + ϕo), donde A es la amplitud, ω la velocidad angular, k el número de ondas y ϕo el desfase inicial. Comparando la expresión general con la expresión propuesta:

A = 0’01 m; ω = 10π rad/s; k = −2π rad/m; ϕo = π rad.

• Sentido. El valor de k negativo indica que el sentido es de propagación es el negativo en la dirección x ( )i

r− .

• Velocidad de propagación. Por definición:

sm 5

mrad 2

srad 10

k2k

2

Tvp −=

π−

π=ω=

ωπ

π=λ=

“El signo negativo es debido al sentido de desplazamiento” b) La frecuencia se obtiene a partir de la velocidad angular, y la longitud de onda del número de ondas.

ν⋅π=ω 2 ( )1sHz 5rad 2

srad 10

2−=

π

π=

πω=ν

m 1m

rad 2

rad 2k2

=π

π=

π=λ

“En el calculo de la longitud de onda, no tiene sentido incluir el signo del número de ondas puesto que se trata de una longitud” c) La diferencia de fase de oscilación en un instante dado (mismo tiempo) entre dos puntos viene dado por la diferencia entre sus fases. El ángulo de fase de una onda es ( )ox kt ϕ+−ω , por lo tanto la diferencia de fase es:

( ) ( ) ( ) xkxxkx kt x kt 12o1o212 ∆⋅=−=ϕ+−ω−ϕ+−ω=ϕ−ϕ=ϕ∆ Sustituyendo por los valores numéricos:

{ } rad 0'4m 2'0mrad 2m 2'0cm 20xxk π=⋅π===∆=∆⋅=ϕ∆

d) Por definición: ( ) ( ) ( )( ) ( )oo φk xω tcos ωAφx kt ω sen Adtd

dtt,xy dt,xv +−⋅=+−==

21

La velocidad será máxima cuando cos(ωt − kx + ϕo) = 1. ( ) s

m1'0srad10rad

m01'0At,xv max π=π⋅=ω⋅=

( ) ( ) ( )( ) ( )o2

o k xω tsen Ax kt cos Adtd

dtt,xv dt,xa ϕ+−ω⋅−=ϕ+−ωω⋅==

La aceleración será máxima cuando sen(ωt − kx + ϕo) = 1. ( ) ( ) 2

222max s

m1001'0At,xa π−=π⋅−=ω⋅−=

Septiembre 2006. Problema 1B.- Una onda armónica transversal se desplaza en la dirección del eje X en sentido positivo y tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda. b) La fase inicial, sabiendo que para 0y t 0x == la elongación es y = ‒2 cm. c) La expresión matemática que representa la onda. d) La distancia mínima de separación entre dos partículas del eje X que oscilan desfasadas 3π rad.

Solución.

a. Tλv = s 125,0

81

f1T === s

m0´32v s 0'125

m 040́v ==

b. ( ) ( )oφkxtωsen At,xy +−=

Aplicando las condiciones iniciales: ( ) ( ) oo φsen Aφ0k0ωsen A0,0y =+⋅−⋅= ( ) oφsen A0,0y =

oφsen 02,002,0 =− 1φsen o −= 2π3

φo =

c. ( ) ( )oφkxtωsen At,xy +−=

sradπ168π2fπ2

Tπ2

ω =⋅=== 1m π5004,0π2

λ

π2k −===

( )

+−=2π3 xπ50 tπ16sen 02,0t,xy

d. Las ecuaciones del movimiento de dos partículas del eje son:

( ) ( )( ) ( )2

π3kxtωsen At,xy2π3kxtωsen At,xy

222

111

+−=

+−=

La diferencia de sus fases es:

( ) ( ) ( ) xkxxk2π3kxtω2

π3kxtωφ 2121 ∆⋅=−=+−−+−=∆

Teniendo en cuenta que rad3

π=ϕ∆

x040́π2

3π ∆= m107,6

604,0x 3−×==∆

Junio 2006. Cuestión 2.- Una onda sonora que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 260 Hz.

a) Describa la naturaleza de la onda sonora e indique cuál es la dirección en la que tiene lugar la perturbación, respecto a la dirección de propagación.

b) Calcule el periodo de esta onda y su longitud de onda. Datos: velocidad del sonido en el aire v = 340 m s-1 Solución. Una onda sonora en una onda de presión, es decir es una perturbación periódica de la presión o la densidad del medio por el que se propaga. Además la dirección en que se produzca la perturbación coincide con la dirección de propagación

22

c) Calcule el periodo de esta onda y su longitud de onda.

Solución. El periodo es la inversa de la frecuencia, por tanto

s1085'3Hz 260

11T 3−×==ν

=

La longitud de onda (λ) la calculamos a partir de la velocidad de propagación.

Tv λ= ⇒ m 31'1s1085'3s

m340Tv 3 =×⋅=⋅=λ −

Modelo 2006. Cuestión 2.- Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:

a) La intensidad de la onda sonora emitida por una fuente puntual es directamente proporcional a la distancia a la fuente.

b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumento de la intensidad del sonido en un factor 1000.

Solución. a. Falso: Si eso fuera así a mayor distancia el sonido se oiría con mayor intensidad, y sabemos que no es así. De hecho, la intensidad de una onda sonora emitida por una fuente puntual es inversamente proporcional a la distancia a la fuente puntual elevada al cuadrado, pues una cantidad constante de energía se tiene que repartir en la superficie de una esfera de radio igual a la distancia a la fuente y esta superficie es proporcional al radio al cuadrado.

2R4PI

π=

b. Verdadero: La formula que relaciona la intensidad en decibelios con la intensidad en unidades SI es:

( ) ( )oI

.I.SIlog10dBI =

Donde Io es la intensidad umbral del oído humano en unidades SI.

Si ( ) ( ) ⇒=− dB30dBIdBI 12 (diferencia de 30dB)

( ) ( ) ( ) ( )

−=−=

o

1

o

2

o

1

0

2

ISII

logISII

log10ISII

log10ISII

log10dB30

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que BAlogBlogAlog =−

( )( )

( )( )

( )( ) 100010SIISII

3SIISII

logI/SIII/SII

log1030 3

1

2

1

2

o1

o2 ==⇒=

⇒=

Septiembre 2005. Problema 1B. Dada la expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda tensa de gran longitud:

y = 0,03sen (2πt −πx), donde x e y están expresados en metros y t en segundos.

a) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda? b) ¿Cuál es la expresión de la velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda? ¿cuál es la

velocidad máxima de oscilación? c) Para t = 0, ¿cuál es el valor del desplazamiento de los puntos de la cuerda cuando x = 0,5 m y

x = 1 m? d) Para x = l m, ¿cuál es el desplazamiento cuando t = 0,5 s?

Solución. a. La expresión general de la onda armónica transversal es

( )kxtsen Ay −ω=

23

Identificando con la ecuación propuesta y = 0,03sen (2πt −πx) ω = 2π s−1 k = π m−1

Por definición

λ

π2k =

siendo λ la longitud de onda, T el periodo y T2π=ω .

La onda avanza con velocidad constante recorriendo la distancia λ en el tiempo T.

k2k

2

Tv ω=

ωπ

π=λ=

Sustituyendo los datos del enunciado

sm2

m s 2

kv

1

1=

ππ=ω=

−

−

b. La velocidad de oscilación de las partículas es la derivada de su posición respecto del tiempo.

( )( ) ( ) ( ) smxt2cos06,0kxtcosAkxtensA

dtd

dtdy

π−π⋅π=−ω⋅ω=−ω⋅=

La máxima velocidad es cuando el coseno vale 1.

sm06'0

dtdy

Máxπ=

c. Para t = 0 el desplazamiento del punto en la posición x = 0,5 m es:

( ) ( ) m 03'02

senm 03'05'002senm 03'0s 0t m, 5'0xy −=

π−⋅=⋅π−⋅π⋅===

Para t = 0s y x = 1 m, el desplazamiento es:

( ) ( ) ( ) m 0senm 03'0102senm 03'0s 0t m, 1xy =π−⋅=⋅π−⋅π⋅=== d. Para x = 1 m y t = 0’5s, el desplazamiento es:

( ) ( ) m 00sen m 03'010'52senm 03'0s 5'0t m, 1xy =⋅=⋅π−⋅π⋅=== Junio 2005. Cuestión 1.- El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 60 dB a 10 m de distancia. Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcule: Dato: Intensidad umbral de audición lo = 10−12 W m−2.

a) El nivel de intensidad sonora a 1 Km de distancia. b) La distancia a la que la sirena deja de ser audible.

Solución. a.

Lo primero es pasar el nivel de intensidad al sistema internacional.

10βd

oo

10II lesexponencia tomandodespeja se IIlog10βd ⋅=⋅=

donde Io = 10−12 W m−2

24

2610

601210βd

o mW 10101010II −− =⋅=⋅=

Una vez conocida la intensidad en el sistema internacional de unidades, se calcula la potencia de la fuente.

W10π4m 10π4m

w10Rπ4IAreaIP 4222

62 −− ×=⋅⋅=⋅⋅=⋅=

Teniendo en cuenta que la potencia de la fuente es constante, se calcula la intensidad a 1 Km.

( ) ( ) 210

26

4

Esfera mW10

m 10π4 W10π4

Km 1rAPotenciaKm 1I −

−=

⋅×=

==

βd 201010log10

IIlog10βd 12

10

o=⋅=⋅= −

−

b. La sirena dejará de ser audible en donde I = Io

Km 10m10r 10

10π4rπ4 IPA:

IIAPI 4

12

42

oo

==×=⋅=

=

=−

−

Junio 2005. Problema 1B.- Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda tensa de gran longitud, y por ello, una partícula de la misma realiza un movimiento armónico simple en la dirección perpendicular a la cuerda. El periodo de dicho movimiento es de 3 s y la distancia que recorre la partícula entre posiciones extremas es de 20 cm.

a) ¿Cuáles son los valores de la velocidad máxima y de la aceleración máxima de oscilación de la partícula?

b) Si la distancia mínima que separa dos partículas de la cuerda que oscilan en fase es de 60 cm, ¿cuál es la velocidad de propagación de la onda? ¿cuál es el número de onda?

Solución. a.

Las partículas en el eje vertical realizan un m.a.s. por tanto su posición viene descrita por:

( ) ( )ot senAty φ+ω⋅=

donde T2π=ω , y el desfase inicial ( )oφ no influye en la resolución del problema.

Para calcular la velocidad y de la aceleración, se deriva ( )ty respecto del tiempo

( ) ( ) ( ) tωcosωAtω senAdtd

dttdytv ⋅=⋅==

( ) ( ) ( ) yt senAttcosAdtd

dttdvta 22 ω−=ω⋅ω−=ω⋅ω==

Por ser funciones trigonométricas, sus valores máximos se alcanzan cuando las razones seno o coseno valen 1 ó −1.

sm021'0

seg32m10

T2AAv 2

max =π=π=ω= −

sm044'0

s 32m10

T2AAa

222

22

max =

π=

π=ω+= −

b. La distancia mínima de dos puntos que están en fase es la longitud se onda λ, por tanto λ = 60 cm.

25

La velocidad de propagación de la onda se calcula con la ecuación:

sm 2'0

s 3m1060

Tv

2

p =×=λ=−

y el número de onda:

mrad10

30106022K 2

2×π=

×π=

λπ=

−

Septiembre 2004. Cuestión 2. Una partícula oscila con movimiento armónico simple según el eje Y en torno al origen de coordenadas, originando una onda trasversal que se proponga en el sentido positivo del eje X con una velocidad de 20 m s-1, una amplitud de 0,02 m y una frecuencia de 10 Hz. Determine:

a) El periodo y la longitud de onda. b) La expresión matemática de la onda, si en t = 0 la partícula situada en el origen de coordenadas

está en la posición máxima elongación positiva. Solución. a. Conocida la frecuencia, se calcula el periodo

s 1,0s 101

f1T 1 === −

Sabiendo que m 2s 1'0sm 20Tvλ

Tλv pp =⋅==→=

b. En ( ) 02'0A0,0y0x0t

=

=→==

( ) ( )oφ xk tωsenAt,xy +−⋅=

π201'0π2

Tπ2

ω === k2

k2

Tv ω=

ωπ

π=λ= ⇒ π

20π20

vωk ===

( ) oφ senAA0,0y ⋅== ⇒ 1φ sen o = ; rad2π

φo =

Sustituyendo se obtiene la ecuación de la onda

( )

+−⋅=2π xπ tπ20sen02,0t,xy

Junio 2004. Problema 1A.- Una onda trasversal se propaga a lo largo de una cuerda horizontal, en el sentido negativo del eje de abscisas, siendo 10 cm la distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase. Sabiendo que la onda esta generada por un foco emisor que vibra con un movimiento armónico simple de frecuencia 50 Hz y una amplitud de 4 cm, determine:

a) La velocidad de propagación de la onda. b) La expresión matemática de la onda, si el foco emisor se encuentra en el origen de coordenadas,

y en t = 0 la elongación es nula. c) La velocidad máxima de oscilación de una partícula cualquiera de la cuerda. d) La aceleración máxima de oscilación en un punto cualquiera de la cuerda.

Solución. a. La distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase es la longitud de onda.

λ = 0,1 m; f = 50 Hz; A = 0,04 m

La velocidad de propagación de la onda es sm5501,0fλ

Tλ

ν =⋅=⋅==

b. ( ) ( )oφx kt ω sen At,xy ++= El signo positivo del número de onda es debido a que se desplaza en el sentido negativo del eje x.

sradπ10050π2fπ2

Tπ2

ω =⋅=== 1m π5004,0π2

λ

π2k −===

26

( ) ( )oφ0k0ω sen A0,0y +⋅+⋅=

==

=rad πφ

rad 0φ:0φ sen A

o

oo

Las posibles ecuaciones de la onda serán:

( ) ( )x π50t π100 sen 04,0t,xy += ó ( ) ( )πx π50t π100 sen 04,0t,xy ++=

c. La velocidad de vibración se halla derivando respecto del tiempo:

( ) ( ){ } sm56'12π25004'0f·π2AωA1kxtω cosνφkxtω cos ωA

dtdyv maxo =××=⋅=⋅==+=⇒++⋅==

d. La aceleración se halla derivando la velocidad respecto del tiempo:

( ) 222222

máxo2

sm63'125650π404'0f·π4AωAaφkxtωsenωA

dtdva =××=⋅==⇒++−==

Modelo 2004. Cuestión 2.- Una onda armónica unidimensional esta dada, en el sistema SI de unidades, por la expresión:

( ) ( )x4t50sen4t,xy −= Determine: a) la amplitud; b) el periodo; c) la longitud de onda; d) la velocidad de propagación. Solución.

La ecuación de la onda unidimensional es: ( ) ( )x4t50sen4t,xy −=

lo cual indica que es una onda que se propaga en la dirección positiva del eje x. (−4x) a. Si comparamos esta ecuación, con la ecuación general de una onda:

( ) ( )kxtsenAt,xy −ω⋅= identificando se obtiene la amplitud:

A = 4m b. De la ecuación, identificando se obtiene el valor de la velocidad angular:

ω = 50 rad/s Conocida la relación entre ω y T:

Tπ2

ω = seg25

T 5022T π=π=

ωπ=

c. De la ecuación de la onda: k = 4 m−1 y su relación con la longitud de onda(λ) pedida es:

m24

2 k2 π=π=λπ=λ

d. La velocidad de propagación de la onda viene expresada por la siguiente relación:

kv ω=

Conocidos ambos valores:

sm 12'5 v: 450v ==

Septiembre 2003. Cuestión 2. La expresión matemática de una onda armónica es

( ) ( )π+−π= 5xt200sen 3t,xy , estando todas las magnitudes en unidades SI. Determine: a) la frecuencia y la longitud de onda. b) La amplitud y la velocidad de programación de la onda.

Solución. } }

)x5t200( sen3)t,x(yk

π+⋅−⋅π⋅=ω

a. Identificando los términos de la expresión dada, con la ecuación general:

27

( )oφxktωsen A)t,x(y +⋅−⋅= se obtiene:

segrad200π=ω

Puesto que π

ω=ν2

, sustituyendo:

100Hz 2

200 =νπ

π=ν

De la identificación, también se obtiene:

k = 5

Y puesto que: λπ= 2k

m52π=λ

b. Identificando en la ecuación de la onda: A = 3m.

sm π40v

5π200

kω

ωπ2

kπ2

Tλv =====

Junio 2003. Cuestión 2. El periodo de una onda trasversal que se proponga en una cuerda tensa es de 2×10−3s. Sabiendo, además, que dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase vale π/2 rad están separados una distancia de 10 cm, calcule:

a) La longitud de onda b) La velocidad de propagación.

Solución. a. m 1,0x rad2

πφ s102T 3 =∆=∆×= −

La diferencia de fase entre dos puntos en un mismo instante es: ( ) ( ) ( ) xkxxkkxtωkxtωφφφ 211212 ∆⋅=−=−−−=−=∆

1m π51,02π

xφk −==

∆∆=

m4,0π5π2

kπ2

λ ===

b. sm200

s102m 4,0

Tλv 3P =

×== −

Septiembre 2002. Cuestión 1.- Se tiene una onda armónica trasversal que se prolonga en una cuerda tensa. Si se reduce a la mitad su frecuencia, razone que ocurre con:

a) el periodo b) la velocidad de programación c) la longitud de onda d) la amplitud.

Solución. Se tiene una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa. Si reducimos a la mitad la

frecuencia:

2f'f =

a. El periodo se relaciona con la frecuencia mediante: f1T =

Sí la frecuencia se reduce a la mitad su nuevo periodo será 'f

1'T = , sustituyendo el valor de f´:

28

T2f12

f2

2f1

'f1'T =⋅====

El periodo se duplica b. La velocidad de fase o velocidad de propagación por la cuerda, no depende de la frecuencia, únicamente de las propiedades del medio por el que se propaga la onda (elasticidad y rigidez), en el caso

de la cuerda: mFv = , donde F representa la tensión de la cuerda. Por tanto, v’ = v, la velocidad no

cambian. c. La longitud de onda se relaciona con la frecuencia mediante la expresión:

fvvTλ ==

teniendo en cuenta que:

λ2fv2

2fv'λ:

2f'fv'v

:'f'v'λ ⋅=⋅==

==

=

la longitud de onda también se duplica d. La relación entre la amplitud y la frecuencia la hallamos a partir de:

2A·k21E =

despejando la amplitud

f1

π4·mE2

fπ4·mE2A

fπ2ω

ωmK:que cuentaen y teniendo KE2A 222

22 ⋅==⇒

===

suponiendo constante la energía y la masa,

= cte

π4·mE2

2 , la amplitud se relaciona con la frecuencia

según

f1cteA =

teniendo en cuenta 2f'f =

A2f1cte2

2f1cte

f1cteA ⋅=⋅==′

=′

la amplitud también se duplica. Septiembre 2002. Cuestión 4.- Una bolita de 0’1 g de masa cae desde una altura de 1 m, con velocidad inicial nula. Al legar al suelo el 0’05 por ciento de su energía cinética se convierte en un sonido de duración 0’1 s.

a) Halle la potencia sonora general. b) Admitiendo que la onda sonora generada puede aproximarse a una onda esférica, estime la

distancia máxima a la que puede oírse la caída de la bolita si el ruido de fondo sólo permite oír intensidades mayores que 10−8 W/m2.

Datos: Aceleración de la gravedad g = 9’8 m s−2 Solución.

a. La potencia del sonido es: .tEP = La energía, es el 0’05% de la energía cinética de la bolita al

caer al suelo, con lo cual, y por la conservación de la energía mecánica: ( ) ( )0hEm1hE cp ===

ya que la velocidad inicial la consideramos nula (no tiene energía cinética inicial) por tanto: Ec = m· g· h

sustituyendo por los datos, se calcula su valor Ec (suelo) = 9’8 · 10-4 J.

29

El 0’05% de esta cantidad, se transforma en energía sonora:

E (sonido) = J10·8'9x100

05'0 4− E(sonido) = J10·9'4 7−

Y la potencia es entonces:

seg 1'0J4'9·10P

t)sonido(E

P7−

==

P = 4’9×10−6 W b. La intensidad de una onda esférica se amortigua con la distancia al foco r, de la forma:

2r4PIπ

=

Si despejamos r, para el valor de la intensidad limite audible, :m

W10I 28−=

m 6'24r I4

Pr 2 =π

=

A partir de este radio, ya no es audible el sonido generado por la bolita. Junio 2002. Cuestión 2. Escriba la expresión matemática de una onda armónica unidimensional como un función de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados:

a) frecuencia angular ω y velocidad de programación v. b) periodo T y longitud de onda λ. c) frecuencia angular ω y número de onda k. d) Explique por qué es una función doblemente periódica.

Solución. La ecuación de una onda armónica unidimensional puede escribirse en función de varias

variables, la forma más habitual es la pedida en el apartado (c) c. ( ) ( )oφx kt ωsenAt,xy +±⋅= b. Si utilizamos las expresiones que relacionan ω con T, y K con λ:

λπ=π=ω 2K

T2

y las sustituimos en la expresión anterior:

( )

ϕ+λπ±π⋅= ox2t

T2senAt,xy

sacando factor común 2π:

( )

ϕ+λ

±π⋅= ox

Tt2 senAt,xy

a. Por ultimo, de la expresión obtenida en el apartado b), y utilizando la relación entre λ y la velocidad de propagación de la onda:

Tv ⋅=λ sustituyendo:

( )

+⋅

±⋅= oφTvx

Tt

π2 senAt,xy

sacando factor común del periodo( T ):

( )

+±= oφvxt

Tπ2Asent,xy

y sabiendo que T2π=ω :

queda:

30

( )

+±⋅= ovxtω senAt,xy

d. Para comprobar que es doblemente periódica en x y t, se representa la onda y (y , to) para un instante determinado de tiempo ( “si se hace una foto de la onda”) de manera que la elongación “y” sea sólo función de x.

Para t = to ( ) ( )ooo kxt·senAt,xy ϕ+±ω⋅=

función sen:

( ) ( )oo x·kctesenAt,xy ϕ+±⋅=

Si en cambio, elegimos un punto concreto x = xo, la función elongación “y” es una función periódica del tiempo.

Para x = xo:

( ) ( )ctet·senAt,xy o ±ω⋅= Por está duplicidad a la hora de expresar la elongación, se puede decir que la función es doblemente periódica. Modelo 2002. Cuestión 2.- Una fuente sonora puntual emite con una potencia de l0−6W. Determine el nivel de intensidad expresado en decibelios a 1 m de la fuente sonora. ¿A qué distancia de la fuente sonora el nivel de intensidad se ha reducido a la mitad del valor anterior? Dato: La intensidad umbral de audición es I0=10−12W m−2 Solución

El nivel de intensidad sonora es oII

log10β =

La intensidad se calcula a partir de la potencia 82

6

2 1096,71π4

10rπ4

PI −−

×⋅

==

4910

1096,7log10β 12

8=×= −

−

Para que la intensidad sonora se reduzca a la mitad, la intensidad deberá ser:

1010249

12102β

o 1082,2101010II −− ×=⋅=⋅=

2rπ4PI = m8,16

1082,2π410

Iπ4Pr 10

6=

×⋅== −

−

Septiembre 2001. Problema 1A.- La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda tensa orientada según el eje X es:

31

y = 0,5 sen (6π t − 2πx) ( x, y en metros; t en segundos) Determine:

a) Los valores de la longitud de onda y de la velocidad de propagación de la onda. b) Las expresiones que representan la elongación y la velocidad de vibración en función del tiempo,

para un punto de la cuerda situado a una distancia x=1,5 m del origen. c) Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de vibración de los puntos de la cuerda. d) La distancia mínima que separa dos puntos de la cuerda que, en un mismo instante, vibran

desfasados 2π radianes. Solución.

} }( ) π⋅π−π==

⋅π−⋅π=

ω6x2t6cos 0'5

dtdy

v x2t6sen 5'0yk

a. La longitud de onda, puesto que k = 2π será:

1mk2 =π=λ

Teniendo en cuenta que π=ω 6

sm3v kv =ω=

b. Para un punto x = 1’5 m.

( ) ( ) ( )π−π⋅=π−π⋅= 3t6sen5'0·1'52t6sen 5'0t,5'1y ( ) ( ) ( )π−π⋅π=π−π⋅π= 3t6cos35'12t6cos3t,5'1v

c. Según la expresión anterior para la velocidad:

( ) ( )x2t6cos3t,xv π−π⋅π=

tiene el valor máximo: sm3vmáx π= ( cuando el coseno vale 1)

La aceleración de un punto de la cuerda:

ya 2 ⋅ω−= tiene un valor máximo(en valor absoluto) en ( ) At,xy = , y en y(x,t) = - A

( ) ( ) 222

sm6'177a 18a 5'0·6a =π=±π−=

d. Si fijamos el tiempo en la ecuación de la onda: to

( ) ( )( ) ( ) 21

2oo2

1oo1 xy xcuerda la de puntos dos para x2t6sen5'0t,xyx2t6sen5'0t,xy

π−⋅π⋅=π−⋅π⋅=

La diferencia de fase: ( ) ( ) ϕ∆=π−π−π−π 2o1o X2t6X2t6 Si se sabe que π=ϕ∆ 2 , entonces:

( ) π=−π 2XX2 12

Así que, la distancia mínima entre los dos puntos tiene que ser: ( ) m1XXX 12 =−=∆

que equivalente a la longitud de onda de la onda armónica:

1m k2 2k =λπ=λπ=

32

Septiembre 2000. Cuestión 2. Uno de los extremos de una cuerda tensa, de 6 m de longitud, oscila transversalmente con un movimiento armónico simple de frecuencia 60 Hz. Las ondas generadas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0,5 s. Determine:

a) La longitud de onda y el número de onda de las ondas de la cuerda. b) La diferencia de fase de oscilación existente entre dos puntos de la cuerda separados 10 cm.

Solución. a.

La velocidad de programación de la onda:

sm12 v

seg 5'0m 6

tL v

Tv ===λ=

si la seg 6011T Hz60 =

ν==ν

teniendo en cuenta que

0'2m seg601

sm12 Tv =λ⋅=λ⋅=λ

conocida la longitud de onda, el número de ondas es:

31'42k 100'22k 2k =π=π=

λπ=

b. Si se considera la ecuación de la onda que genera el M.A.S. para un punto x y otro punto situado a 10 cm, x + 0’1:

( ) ( )( ) [ ]( )

ϕ+ω−+=+ϕ+ω−=

0

ot1'0xkAsent,1'0xy

tkxAsent,xy

donde las fases son, respectivamente, ( ) [ ]( )00 t0'1xky tkx ϕ+ω−+ϕ+ω− , la diferencia de fase entre esos dos puntos se halla restando sus fases:

[ ][ ] [ ] k1'0tkxt1'0xk 00 =ϕ+ω−−ϕ+ω−+=ϕ∆ π=ϕ∆π⋅=ϕ∆ 101'0

Junio 2000. Cuestión 2. Una onda transversal que se propaga en una cuerda, coincidente con el eje X, tiene por expresión matemática: y(x, t) = 2·sen (7t − 4x), en unidades SI. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.

b) El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda. Solución.

( ) ( )4x-7tsen 2t,xy = a. Para hallar la velocidad de la onda y la velocidad máxima de vibración de un punto de la onda se tiene en cuenta:

T v: Tv λ=⋅=λ

conocidos λ y T, se determina la velocidad de propagación.

De la ecuación de la onda, se determina la velocidad angular

srad7=ω

con la velocidad angular se determina el periodo

T2π=ω

de modo que:

33

seg722T π=

ωπ=

Del valor de k, se obtiene la longitud de onda

m2 4

2 k2 m4k 1 π=λπ=λπ=λ= −

y con los valores de λ y T, la velocidad de propagación:

sm

47 v

722

v T

v =π

π=λ=

La velocidad máxima de un punto de la cuerda, se halla derivando la expresión de la elongación,

y calculando el valor máximo.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )4x-7tcos 14x4t7·cos7·2x4t7sen2dtdt,xy

dtd t,xv ⋅=−=−⋅==

el máximo de la expresión se obtiene cuando la función trigonométrica vale 1 ( ) s

m 14114v1x4t7cos máx =⋅=⇒=−

b. Se pide calcular el periodo, que es el tiempo que tarda una onda en recorrer una distancia igual a su longitud de onda. Del apartado anterior:

seg 0'898T seg72T =π=