Oostra – Peirce y la matemática

8/14/2019 Oostra Peirce y la matemtica

1/10

Peirce y la matemtica1

Arnold Oostra

Universidad del Tolima

Es bien sabido que Peirce se consideraba a s mismo un lgico, en el sentido amplio que lmismo asignaba a ese trmino. Quizs es menos conocida su frase de 1897 I am none theless a mathematical logician for that [CP 3.515]. La matemtica es ubicua en el legadopeirceano, a tal punto que es imposible comprender plenamente el pensamiento de Peirce sino se mira su ingrediente matemtico. En la otra direccin, si se quiere ver en lamatemtica peirceana ms que una coleccin de ideas geniales dispersas, es indispensablemirar la arquitectnica filosfica global del pensador y enmarcar en ella cada resultadotcnico.

En este artculo se elabora una visin panormica y sin detalles tcnicos de la matemticade Peirce. La primera parte presenta su actividad matemtica, su concepto de esta ciencia ysus principales aportes a la misma. En la segunda se aborda la cuestin de la recepcin deesa actividad y su proyeccin hacia el futuro.

1. La matemtica en el legado peirceano

1.1 Peirce, matemtico

Una revisin de los escritos matemticos de Peirce rpidamente perfila la imagen de unmatemtico profesional activo. Peirce estaba al tanto de los grandes problemas matemticosde su poca y de sus consecuencias filosficas. Por ejemplo, escribi con rigor sobre lasimperfecciones lgicas en Euclides y sobre las geometras no euclidianas, as como sobre elfamoso problema de los cuatro colores. De igual manera Peirce estaba enterado de lostemas nuevos que emergan en la matemtica como puede verse en sus comentarios sobre

trabajos de matemticos contemporneos, desde Klein hasta Whitehead y Russell. Tambinse refiri repetidamente a la naciente teora de conjuntos y a la incipiente topologa, dosteoras que jugaran un papel absolutamente fundamental en la matemtica del siglo XX.Esta preferencia visionaria no es una excepcin pues Peirce anticip muchos resultados dela lgica y la matemtica posteriores [Z1], de hecho l mismo insisti que haba anticipadovarias ideas de Cantor quien es el fundador indiscutido de la teora de conjuntos. Sinembargo Peirce siempre se expres sobre Cantor con profundo respeto, de hecho

1 Publicado en Anthropos 212 (2006) 151 159.


2/10

intercambi algunas cartas con l as como con otros matemticos europeos. Tambin esseguro que Peirce tuvo algn contacto con todas las personas que integraban la incipientecomunidad matemtica norteamericana de fines del siglo XIX.

Los trabajos de Peirce en el U. S. Coast Survey tuvieron un alto componente matemtico.

Adems de la teora que sustentaba las mediciones pendulares de la gravedad y del anlisismatemtico del error en esas mediciones, debe recordarse que todos los clculos con losdatos observados se hacan a mano. Aunque Peirce conoca las diferentes propuestas demquinas calculadoras mecnicas, en una carta a Marquand le apuesta al uso de laelectricidad en el desarrollo de mquinas para resolver problemas matemticos (1886!).Otra cuestin matemtica planteada en el trabajo para el Survey consiste en la proyeccinde mapas, en este campo Peirce elabor variantes de la proyeccin usual de Mercator ypropuso una proyeccin nueva.

Cuando fue expulsado de Johns Hopkins, Peirce prob muchas alternativas para su sustentoy algunas de ellas se basaban en la matemtica. En 1887 lanz una serie de cursos de lgicapor correspondencia que, aunque tuvo estudiantes por un tiempo, no prosper a largo plazo.Alrededor de 1890 Peirce emprendi la tarea de escribir textos en aritmtica, lgebra ygeometra dirigidos a la educacin bsica. A pesar del esfuerzo invertido en su escritura,estos libros no fueron publicados durante su vida y tuvieron que pasar 75 aos para quetextos con ese enfoque fueran adoptados por la educacin bsica en los Estados Unidos[NEM 2.v].

Peirce siempre insisti en la importancia de la matemtica. Sentenci que el arte delrazonamiento es la esencia de la educacin [W 6.30] y esperaba que la comprensinslida de la naturaleza del razonamiento matemtico conducira a grandes mejoras en lamatemtica [CP 4.428], mientras criticaba sin misericordia los escritos de matemtica ylgica que carecieran del rigor pertinente. Por otra parte, en muchos de sus escritos yconferencias Peirce sustentaba sus argumentos filosficos con teoras y pruebasmatemticas. Esto puede verse por ejemplo en su importante escrito Prolegomena to an Apology for Pragmaticism de 1906 [CP 4.530572] y en el hecho de que quienesorganizaban sus conferencias siempre le solicitaban simplificar al mximo el ingredientematemtico.

1.2 El concepto de matemtica

A lo largo de toda su carrera pero en especial entre 1898 y 1903 Peirce medit sobre laconcepcin y la esencia de la matemtica, estudio que incluy una revisin histrica de lasdefiniciones de esta ciencia. Por ejemplo, juzg que la frase la matemtica es la ciencia dela cantidad, quizs acuada en el siglo V, es una sentencia que sobrevivi a su significado.An si los griegos emplearon esta frase es imposible que le dieran el significado actual aestos trminos, porque haban avanzado mucho en geometra. Aunque Aristteles indic lacantidad y la continuidad como los objetos del estudio matemtico, insisti en que estaciencia debera definirse ms bien por su grado de abstraccin. En tiempos modernos, Kantconvino en que lo distintivo de la matemtica no es su objeto segn l, juicios sintticosa priori sino su mtodo estudio de diagramas.


3/10

En 1870 Benjamin Peirce declar que la matemtica es la ciencia que obtieneconclusiones necesarias. Segn su hijo Charles esa definicin inicialmente resultdesconcertante pero al final del siglo XIX era bien acogida, desde la perspectiva histricaactual puede argirse que es coherente con los desarrollos de la matemtica en esa poca.Aparte de aadir que la actividad del matemtico incluye la formulacin de las hiptesis

abduccin, Peirce siempre favoreci la definicin de su padre. Este enunciado en ciertomodo preludia la mxima pragmtica y por otro lado subraya el mtodo de la matemtica,que Peirce en repetidas ocasiones precis como sigue. El razonamiento matemticoconsiste en construir un diagrama de acuerdo con un precepto general, en observar ciertasrelaciones entre partes de ese diagrama relaciones que no estn requeridas de maneraexplcita por el precepto, en mostrar que estas relaciones valdrn para todos losdiagramas tales, y en formular esta conclusin en trminos generales [CP 1.54]. Cabesealar que los diagramas peirceanos incluyen tanto las frmulas algebraicas como losgrficos geomtricos.

Peirce propuso una definicin alternativa de la matemtica que, en sus propias palabras,destaca el objeto de la indagacin: la matemtica es el estudio de lo que es verdaderosobre estados hipotticos de cosas [CP 4.233]. Segn Peirce, la persona dedicada a lamatemtica pura se ocupa exclusivamente de hiptesis, sin preocuparse por su existenciareal. Las hiptesis son creaciones ideales de su imaginacin pero en ellas descubrerelaciones a menudo sorprendentes, explorando as poco a poco un universo potencial, ungran cosmos de formas en el cual la existencia actual no es ms que un lugar. Peirce indicaque esta abstraccin explica el carcter necesario de las conclusiones matemticas. Elrazonamiento matemtico es evidente por s mismo y aunque quien lo realiza puedecometer errores, la libertad provista por la abstraccin permite corregirlos de maneraconcluyente. Lo cual hace de la matemtica la nica ciencia en la que nunca hay disputasprolongadas sobre la validez de una teora.

Las dos visiones de la matemtica no son contradictorias de hecho en alguna ocasinPeirce las amalgam de manera coherente [NEM 3.64] pero inducen maneras diferentesde dividirla. Segn Peirce la clasificacin tradicional en lgebra y geometra obedece a unamirada metodolgica, es del todo desafortunada y debera sustituirse por una divisin segnlas hiptesis. Como estas hacen referencia a conjuntos finitos, infinitos y continuos [CP1.283], Peirce divide la matemtica en matemtica de la lgica, matemtica de las seriesdiscretas o aritmtica, y matemtica del continuo que incluye el clculo o anlisismatemtico [CP 1.185].

Peirce disinti de Richard Dedekind cuando ste afirmaba que la matemtica es una ramade la lgica. Para Peirce el matemtico y el lgico, aunque ocupan el mismo terreno, miranen direcciones diametralmente opuestas: el matemtico procura obtener las conclusionesnecesarias, el lgico procura descubrir cmo estn compuestas las inferencias necesarias yprobables; un estudio es sinttico, el otro analtico [NEM 3.332]. En el edificio peirceanola matemtica no necesita apelar en manera alguna a la lgica pues no se requiere unaciencia del razonamiento para poder razonar bien. Al revs la lgica mucho ms que lalgica matemtica, considerada tambin por Peirce s depende de la matemtica. Dehecho todas las ciencias, sin excepcin, deben referirse a la matemtica y recibenaplicaciones de ella [CP 1.245]. En vista de esta idea de Peirce, resulta natural que en su


4/10

clasificacin tridica de las ciencias la matemtica ocupa el primer lugar, siendo el segundopara la filosofa y el tercero para las ciencias especiales. La filosofa a su vez se clasifica enfenomenologa, ciencias normativas esttica, tica, lgica y metafsica [Z2].

Las meditaciones de Peirce sobre la esencia de la matemtica son coherentes con los

soportes fundamentales de su sistema filosfico. Por ejemplo su definicin metodolgica dela matemtica es una forma de la mxima pragmtica y su definicin objetiva fija el lugarde la matemtica en la clasificacin de las ciencias. Vale la pena destacar que los trabajosmatemticos tcnicos de Peirce tambin presentan esta coherencia. Por ejemplo suaxiomatizacin de los nmeros naturales 1881, primera en la historia de la matemticamuestra de manera difana que la aritmtica consiste en conclusiones necesarias de unas pocas proposiciones [O2]. A su vez la notacin para los conectivos proposicionalesbinarios, propuesta por Peirce en 1902, cristaliza su teora de los signos [O3].

1.3 Aportes ms significativos

A lo largo de toda su vida acadmica Peirce produjo de manera sostenida abundantestrabajos matemticos de gran calidad y originalidad. Muchos de ellos son resultadostcnicos puntuales que ya en esa poca no tenan el impacto de antao como lo indica elmismo Peirce [CP 2.108] y que, sin mermar su inters y genialidad, no puedenclasificarse como aportes significativos. Las contribuciones mayores de Peirce a lamatemtica sin duda residen en sus reflexiones sobre problemas conceptuales generales,por supuesto apoyados por una buena cantidad de los resultados tcnicos. Entre estosaportes hay dos que pueden considerarse lneas maestras: la lgica de relativos y la lgicadel continuo.

Durante el ltimo tercio del siglo XIX Peirce trabaj intensamente en su lgica de relativos,prueba de ello es la cantidad de escritos publicados por l en este perodo que incluyen ensu ttulo la frase lgica de relativos. l mismo indica que esta investigacin matemticanaci de estudios filosficos, especficamente de una crtica a la lgica formal de Kant dequien, por lo dems, Peirce era estudiante profundo y respetuoso. En un escrito de 1762Kant afirma que ningn silogismo contiene principio lgico alguno que no est contenidoya en el silogismoBrbara, hecho refutado por Peirce con argumentos que le condujeron auna primera versin de sus tres categoras [CP 4.24]. En esas investigaciones Peircetambin estableci que la entonces novedosa lgebra de Boole no permita representartodos los silogismos y que estos a su vez no permitan representar todos los razonamientosmatemticos. Combinando estas ideas descubr la lgica de relativos. Los relativosconstituyen una de las ideas generales y fundamentales de Peirce cuya concepcin plena vamucho ms all de la matemtica. Es imposible dar una definicin concisa de relativo y anno es del todo clara la diferencia peirceana entre relativo y relacin. En todo caso Peirce veen un relativo ms que un conjunto de tuplas, como se define hoy en da una relacinmatemtica. En una ocasin expresa que un relativo es el cono que queda al quitar de unaproposicin que tiene varios sujetos los ndices de los mismos, por ejemplo da a, y puede convertirse siempre en una proposicin llenando los espacios con sustantivosadecuados [CP 3.636].


5/10

La lgica de relativos abarca un sinnmero de resultados tcnicos, un ejemplo notable es laimportante tesis de Peirce segn la cual todo relativo de aridad mayor que tres puedereducirse a relativos de aridad tres o menor, mientras relativos de las tres primeras aridadesen general no pueden reducirse [B]. Este teorema tcnico encarna la necesidad de las trescategoras peirceanas. Varias consecuencias de la lgica de relativos fueron empleadas por

Peirce a discrecin despus de su descubrimiento, no solo en pruebas matemticas formalessino aun en argumentos filosficos [CP 1.629]. La lgica de relativos contiene tambinmltiples ejemplos de resultados anticipados por Peirce que fueron redescubiertos por lalgica matemtica del siglo XX.

Peirce desarroll dos notaciones para la lgica de relativos, una algebraica y unageomtrica. Durante las primeras dcadas, las investigaciones de Peirce en la lgica derelativos procuraban extender el lgebra de Boole y De Morgan a relativos de aridadpositiva. Peirce simboliz los relativos y sus ndices con letras y llev muy lejos la analogacon la notacin funcional de la matemtica, definiendo multitud de operaciones conrelativos y estudiando sus propiedades. Hacia 1870 haba desarrollado un conceptorudimentario de variable y en la dcada de los 80 lleg, en colaboracin con O. H. Mitchell,al concepto de cuantificador. Salvo los signos empleados, su presentacin de 1883 de lateora de la cuantificacin [CP 3.328358] es idntica a una presentacin actual de la lgicade primer orden en lgica matemtica: incluye relativos, operaciones con los mismos,cuantificadores universal y existencial y deducciones con frmulas cuantificadas. Apesar de este avance y anticipo, Peirce prefera la lgica algebraica sobre la teora de lacuantificacin pues le provea mejores herramientas de representacin y anlisis de losprocesos deductivos.

Pero la notacin algebraica no satisfaca plenamente a Peirce, para quien el uso del lgebraen las investigaciones lgicas tiene peligros [CP 3.619]. Aunque en 1882 representalgunos relativos mediante grficos bidimensionales, solo en la dcada de los 90 inici unabsqueda metdica de un sistema icnico de signos lgicos, exploracin que le hizo entraren contacto con la topologa y la teora de grafos. En un escrito publicado en 1892, Peirceanuncia sin detalles el hallazgo de un mtodo de diagramatizacin mucho ms poderosoque el lgebra, a la vez extensin de esta y del mtodo grfico de Clifford [CP 3.418]. En1897 publica un sistema grfico para la lgica que despus denominara grficosentitativos, muy similar a los diagramas qumicos [CP 3.456552]. Pero en enero delmismo ao Peirce se decidi por un sistema alternativo, llamado desde 1898 grficosexistenciales. En los aos siguientes, tanto en conferencias como en escritos Peirce hizopresentaciones iteradas y cada vez ms detalladas de estos grficos, que en 1908 destaccomo my chef doeuvre [R].

En el sistema de Peirce, la escritura de grficos o proposiciones en la hoja de asercinsignifica su afirmacin; el trazo de una curva cerrada llamada corte por ejemplo, unvalo alrededor de un grfico significa su negacin; la conexin de dos grficosmediante una lnea de identidad significa la existencia de un individuo que guarda lasrelaciones que ellos indican. Estas convenciones sencillas fuerzan la representacin decualquier expresin lgica: por ejemplo un corte doble esto es, un valo que encierra aotro significa una implicacin cuyo antecedente es lo escrito entre los dos cortes y cuyoconsecuente es lo escrito dentro del corte interior. Peirce indic que este corte doble es el


6/10

grfico bsico cuyo desarrollo lgico inevitable me condujo pronto al sistema de losgrficos existenciales [CP 4.564]. Adems de ser un sistema de representacin, losgrficos existenciales van acompaados de un cdigo de permisos de transformacin:borramiento en par y escritura en impar; iteracin en cortes adicionales y su reversa,desiteracin; libre insercin y eliminacin de cortes dobles [R, NEM 3.405446, S, Z3]. La

deduccin de los silogismos aristotlicos mediante grficos existenciales, adems derevestir gran importancia histrica en especial en tiempos de Peirce, es un ejemploarquetpico del mtodo de este sistema

El propsito perseguido por Peirce con los grficos existenciales no es facilitar elrazonamiento mismo sino facilitar su estudio separndolo en sus pasos ms pequeos[NEM 3.405]. El sistema de los grficos existenciales constituye un cono del mtodoatribuido por Peirce al razonamiento matemtico y al deductivo: las hiptesis se vierten enun diagrama mediante convenciones sencillas; sobre el diagrama se pueden operar ciertastransformaciones permitidas; del diagrama transformado se lee la conclusin siguiendo lasconvenciones. En realidad este sistema desborda la matemtica, segn Peirce ilustra elcurso general del pensamiento pues es un diagrama burdo y generalizado de la mente [CP4.582]. De hecho Peirce propuso emplear los grficos existenciales para probar la mximapragmtica.

El concepto del continuo empez a ocupar un lugar central en las investigaciones de Peirceentre 1895 y 1900. Comenz discutiendo las definiciones antiguas de Aristteles y Kant yestudiando los trabajos recientes de Cantor, ms tarde insisti en una serie de caractersticasfundamentales que debe poseer el continuo. Enunci estas propiedades de manera muygeneral y por tanto muy vaga, presentacin que an no ha encontrado una expresinmatemtica concreta y formal.

Peirce ve el continuo como un concepto absolutamente general que en manera algunapuede ser reconstruido a partir de sus puntos, luego debe entenderse de manera sinttica. Elfiltro natural que permite liberar lo existente de sus rasgos particulares para acceder a lageneralidad es la lgica de relativos, resultando as la definicin palmaria: La continuidades simplemente lo que la generalidad se vuelve en la lgica de relativos [CP 5.436]. Unaconsecuencia de la genericidad del continuo es lo que Peirce llam su carctersupermultitudinario pues el tamao del continuo tambin debe ser genrico. Por otrolado, Peirce recoge de Kant la propiedad reflexiva del continuo: cada una de sus partesposee una parte similar al todo. La reflexividad implica que el continuo no est compuestode puntos, que es inextensible, en lo cual se distingue de manera radical del continuo deCantor. En tercer lugar, segn Peirce, antes de su descomposicin y recomposicinanaltica debe darse una visin global y sinttica del continuo. Tal visin entraa unainmensa riqueza de posibilidades, como lo expresa: As el continuo es todo lo que esposible, en cualquier dimensin en que sea continuo [NEM 4.343]. Este es el carctermodal del continuo peirceano. Por supuesto, un mbito sinttico donde se pega todo loposible y donde se permite el trnsito de las diferentes modalidades debe ser flexible o,como lo llama Peirce, plstico. Adems de las propiedades globales del continuo peirceanogenericidad luego supermultitud; reflexividad luego inextensibilidad; modalidad luegoplasticidad pueden distinguirse en el legado peirceano cuatro metodologas locales para


7/10

su estudio: la relacionalidad genrica, la lgica de la vaguedad, la lgica de vecindades y laciruga de lo posible [Z2, Z3].

As, los aportes conceptuales ms significativos de Peirce a la matemtica se funden en unosolo: la lgica del continuo es continuacin de la lgica de relativos; por otro lado, de los

tres momentos que pueden distinguirse en la lgica de relativos lgebra de la lgica,teora de la cuantificacin, grficos existenciales por lo menos el tercero juega un papelfundamental en la lgica del continuo y en el pensamiento peirceano en general. Puesmientras la lgica de relativos expresada mediante grficos existenciales es fundamental enel estudio general del continuo peirceano, la hoja de asercin es un cono de ese continuo.

2. Presente y futuro de la matemtica de Peirce

2.1 Impacto

Los resultados matemticos tcnicos de Peirce tuvieron destinos diversos durante el sigloXX. Algunos de ellos fueron incorporados al corpus matemtico, por ejemplo la ley dePeirce y los fundamentos de la teora de retculos. Muchos otros fueron redescubiertos yatribuidos a otros matemticos como la lgica proposicional con un solo conectivo, laaxiomatizacin de los nmeros naturales y la definicin de conjunto finito. Un tercer grupoest constituido por los trabajos que an aguardan estudio y atencin de parte de lacomunidad matemtica o que apenas las estn recibiendo como la enumeracinpeirceana de los nmeros racionales y la notacin de Peirce para los conectivos binarios.

Los aportes conceptuales de Peirce a la matemtica vivieron vicisitudes semejantes. Ellgebra de la lgica de relativos y la teora de la cuantificacin fueron incorporados a la

matemtica, de hecho algunos autores reducen a esto todo el aporte matemtico de Peirce.Ampliada y sistematizada por Schrder, la versin algebraica de la teora de los relativos dePeirce condujo a los teoremas de Lwenheim y Skolem que, junto con resultados de Tarski,dieron origen a la teora de modelos, una de las ramas ms pujantes de la lgica matemticaen los albores del siglo XXI. La lgica de primer orden, sin duda piedra angular de la lgicamatemtica actual y que adems se emplea en todas las reas de la matemtica, es enesencia la teora de la cuantificacin de Peirce y entr a la matemtica de manera efectivagracias a l.

Los grficos existenciales de Peirce prcticamente fueron olvidados desde su creacin hastaque las tesis de Zeman y Roberts en los aos 60 llamaron la atencin sobre ellos [R]. En las

ltimas dcadas se ha publicado un puado de artculos matemticos sobre aspectostcnicos de este sistema as como varias presentaciones modernas del mismo [S, Z3]. Y sisobre los grficos existenciales se ha escrito poco, sobre el continuo peirceano no se haescrito casi nada. Sin demeritar estudios filosficos anteriores, puede asegurarse que lostrabajos de Fernando Zalamea [Z2, Z3] constituyen el primer estudio matemtico delcontinuo de Peirce. En ellos se muestra que numerosos matemticos, trabajandoindependientemente a lo largo del siglo XX, han propuesto modelos del continuo quecomparten algunas de las caractersticas indicadas por Peirce. Como ejemplos se tienen el


8/10


9/10

matemtico actual; su comparacin con otros trabajos sobre el mismo tema; el anlisis desu relacin con las ideas filosficas de Peirce. Cuando alguno de esos resultados tcnicosest comprendido a fondo, debera integrarse a la educacin matemtica. Por ejemplo no sesabe si los grficos existenciales aportan algo ms que poder sugestivo, pero s es seguroque una persona con formacin en lgica tanto algebraica como geomtrica dispone de ms

herramientas que quien solo conoce la versin algebraica usual.Una lnea de investigacin mucho ms ambiciosa puede abrirse en la lgica de lacontinuidad de Peirce. El problema central es construir un modelo matemtico del continuopeirceano, o mejor, una sucesin de modelos pues segn el mismo Peirce ningn modelodel continuo puede ser nico o ltimo. Tras estudiar a fondo y con una perspectiva ampliael continuo peirceano sera preciso proponer axiomas formales para las propiedadesglobales del mismo abduccin; despus de desarrollar la teora deduccin elmodelo debe contrastarse con todos los modelos elaborados en la matemtica induccin. Sin olvidar los grficos existenciales propuestos por Peirce mismo, la ruta actualmentems viable es la teora matemtica de categoras.

Bibliografa

[A] Myrdene Anderson, Adalira Senz-Ludlow, Shea Zellweger and Victor V. Cifarelli(Eds.), Educational Perspectives on Mathematics as Semiosis: From Thinking toInterpreting to Knowing. Legas, Toronto, 2003.

[B] Robert W. Burch, A Peircean Reduction Thesis: The Foundations of TopologicalLogic. Texas Tech University Press, Lubbock, 1991.

[H] Nathan Houser, Don D. Roberts and James Van Evra (Eds.), Studies in the Logic ofCharles Sanders Peirce. Indiana University Press, Bloomington and Indianapolis,1997.

[K] Kenneth Laine Ketner, Carolyn Eisele (19022000). Transactions of the Charles S.Peirce Society 37 (2001) 475489.

[O1] Arnold Oostra,Los diagramas de la matemtica y la matemtica de los diagramas .Boletn de Matemticas - Nueva Serie VIII (2001) 17.

[O2] Arnold Oostra, Acerca del artculo On the Logic of Number, de Charles S.

Peirce. Boletn de Matemticas - Nueva Serie X (2003) 1421.[O3] Arnold Oostra, La notacin diagramtica de C. S. Peirce para los conectivos

proposicionales binarios. Revista de la Academia Colombiana de Ciencias 28(2004) 5770.


10/10

[CP] Charles S. Peirce, Collected Papers of Charles Sanders Peirce. Charles Hartshorneand Paul Weiss (Eds.), vols 16. Harvard University Press, 19311934. (Lanotacin 1.54 significa pargrafo 54 del volumen 1.)

[NEM]Charles S. Peirce, The New Elements of Mathematics by Charles S. Peirce. Carolyn

Eisele (Ed.). Mouton, The Hague, 1976. (La notacin 3.64 significa pgina 64 delvolumen 3.)

[W] Charles S. Peirce, Writings of Charles S. Peirce. Max H. Fisch, Edward C. Moore,et al (Eds.). Indiana University Press, Bloomington, 1982. (La notacin 6.30significa pgina 30 del volumen 6.)

[R] Don D. Roberts, The Existential Graphs of Charles S. Peirce. Mouton, The Hague,1973.

[S] Sun-Joo Shin, The Iconic Logic of Peirces Graphs. MIT Press, Cambridge(Massachusetts), 2002.

[Z1] Fernando Zalamea, Una jabalina lanzada hacia el futuro: anticipos y aportes de C.S. Peirce a la lgica matemtica del siglo XX. Mathesis 9 (1993) 391404.

[Z2] Fernando Zalamea, El Continuo Peirceano. Universidad Nacional de Colombia,Bogot, 2001.

[Z3] Fernando Zalamea, Peirces logic of continuity: existential graphs and non-cantorian continuum. The Review of Modern Logic 9 (2003) 115162

Arnold Oostra

Departamento de Matemticas y Estadstica

Universidad del Tolima

A A 546

Ibagu, COLOMBIA

Documents

Oostra – Peirce y la matemática