ESPACIOS VECTORIALES 1. INTRODUCCIÓN …proyectomentor-upm.wdfiles.com/.../ESPACIOS_VECTORIALES_2009.pdfOtras magnitudes como el desplazamiento, la velocidad, ... Ejemplos de espacios

Fundamentos Matemáticos: Álgebra Lineal

Manuel Hervás Maldonado 1

ESPACIOS VECTORIALES 1. INTRODUCCIÓN Escalares y Vectores En la técnica existen cantidades como Longitud, Área, Volumen, Temperatura, Presión, Masa, Potencial, Carga eléctrica que se representan por un número real. A estas cantidades se les denomina MAGNITUDES ESCALARES. Otras magnitudes como el desplazamiento, la velocidad, el campo eléctrico, la fuerza se deben representar mediante un vector (módulo, dirección y sentido) y se denominan MAGNITUDES VECTORIALES. Los vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes.

2. EL CONJUNTO R

Dentro del conjunto de los números reales están

Números Naturales : 0,1,2,3,

Números Enteros : , 3, 2, 2,0,1,2,3,

Números Racionales : : , , 0a

a b bb

Números Irracionales: No expresables como cociente de dos números enteros.

Ejemplos: 2 1,41 ; 2,71 ; 3,14e

Recta Real: La recta en la que se representa los números reales.

Valor absoluto: si 0

si 0

a aa

a a

Intervalos:

Abierto: , :

Cerrado: , :

a b x a x b

a b x a x b

Los intervalos pueden ser semiabiertos o semicerrados.



Distancia entre dos números reales: ( , )d a b b a

El conjunto ,d es un Espacio métrico.

3. EL CUERPO R Se define la Suma habitual entre números reales , ,a b c

Con las propiedades:

1. Asociativa:

2. Neutro 0 : 0 0 Grupo aditivo

3. Opuesto : ( ) 0 ( )

a b c a b c

a a a

a a a a a

4. Conmutativa: a b b a Grupo aditivo abeliano

Se define el Producto habitual entre números reales , ,a b c

Considerando la Suma (+) y producto de números reales:

1. Asociativa:

2. Distributiva del respecto + Anillo

a b c a b c

a b c a b a c

3. Unidad 1 : 1 1a a a Anillo Unitario

1 1 14. Inverso : 1

aa a

a a

. El 0 NO tiene inverso

, que cumple estas propiedades es un CUERPO. Si

además tiene la conmutativa a b b a el Cuerpo es conmutativo.



4. EL ESPACIO VECTORIAL R3

A partir del conjunto de los números reales vamos a formar el

conjunto producto cartesiano 3 que está formado por la

terna de números reales 1 2 3, ,x x x . El primer elemento 1x es la

primera componente, el segundo 2x es la segunda y el tercero

3x la

tercera. Es IMPORTANTE el orden en que figuran los elementos.

Igualdad: Dos ternas son iguales si lo son sus componentes

1 1

1 2 3 1 2 3 2 2

3 3

'

, , ', ', ' '

'

x x

x x x x x x x x

x x

Operaciones:

Suma Se consideran las ternas 1 2 3, ,x x x del conjunto 3 . Vamos a

denominar vector a cada terna de 3 .

Sean los vectores 3

1 2 3 1 2 3, ( , , ) , ( , , )a b R a a a a b b b b . Para

realizar a b se suman componente a componente:

1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b

Ejemplo: 2 3 , 2 3 5 2a i j k b i j k a b i j k

Las propiedades de la SUMA de vectores son: 3,a b R

1. Conmutativa: a b b a

2. Asociativa: a b c a b c

3. Neutro: 0 0a a a

4. Opuesto: ( ) 0 ( )a a a a



Producto por escalar Sea el vector

1 2 3( , , )a a a a y el escalar (número real) k .

1 2 3( , , )ka ka ka ka

Ejemplo: (2,3,1) 3 (6,9,3)a a

Las propiedades del producto por escalar son:

3,a b y ,k h

5. Distributiva respecto a la suma de vectores: ( )k a b ka kb

6. Distributiva respecto a la suma de escalares: ( )k h a ka ha

7. Asociativa respecto al producto por escalar: ( ) ( )k ha kh a

8. El 1 es neutro para el producto por escalar: 1 a a

El conjunto de ternas de 3 con las operaciones SUMA y

PRODUCTO POR ESCALAR que verifica los ocho axiomas

anteriores se dice que tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL sobre el cuerpo o bien que es es un -espacio vectorial de dimensión 3 .

Conviene distinguir entre la terna 3

1 2 3, ,x x x que es un vector y

las componentes de la terna 1 2 3, ,x x x que son los escalares.

4. EL ESPACIO VECTORIAL Rn

Se generaliza todo lo anterior de 3 al conjunto n

n

formado por las n-plas 1 2, , , n

nx x x en las que los elementos

; 1...ix i n son números reales y 1 2, , , nx x x x es un vector.

De forma análoga se definen la Suma de vectores:

1 1 2 2( , , , )n na b a b a b a b

y el producto de vector por escalar (número real).

1 2( , , , )nka ka ka ka

Como en n con dichas operaciones se verifican los 8 axiomas anteriores, se dice que es un -espacio vectorial de dimensión n.



5. VECTORES GEOMÉTRICOS Concepto de vector fijo

Un vector AB es un segmento orientado en el que se debe distinguir: Origen A B Extremo Dirección: Es la dirección de la recta que pasa por A y B. Sentido: Viene indicado por la punta de la flecha. Módulo: Es la longitud del segmento.

Si coinciden el origen A y el extremo B el vector resultante 0AA es el vector nulo. Al conjunto de los vectores fijos del espacio se

denomina 3F .

Equipolencia Dos vectores fijos, no nulos, con igual módulo, dirección y sentido, pero distinto punto de aplicación se dice que son equipolentes. La interpretación geométrica es que la figura que resulta con dos vectores equipolentes es un paralelogramo.

Vector libre

La equipolencia es una relación de equivalencia ya que posee las propiedades Reflexiva, Simétrica y Transitiva. La equipolencia por tanto agrupa en clases de equivalencia a todos

los vectores fijos de 3F . En cada clase se encuentran los vectores

fijos equipolentes con uno dado (por ejemplo con el vector AB ). Cada clase queda representada por uno cualquiera de ellos, por

ejemplo por el vector AB , que se denomina Representante de la

clase y se suele expresar por una letra minúscula u AB . Pues bien un vector libre es cada una de las clases de equivalencia y queda identificado por el vector representante u . Al conjunto cociente que es el conjunto formado por todas las clases de equivalencia, es decir el conjunto de los vectores libres

del espacio, se denomina 3V .



Propiedad fundamental

Si u es un vector libre de 3V y O un punto cualquiera del espacio, existe un único vector fijo con origen en O, representante de la clase de equivalencia.

Operaciones: Suma Dados dos vectores libres 3,a b V se denomina SUMA al vector

que se obtiene del modo siguiente: Se toma un punto arbitrario O

del espacio. Con este origen se lleva el vector a OA y donde

termina la flecha se lleva a continuación el vector b AB . Pues bien uniendo el origen O con el extremo B se obtiene el vector suma que

se representa a b OB . Observar que se verifica la regla del paralelogramo: Si con el

mismo origen O se llevan los vectores ya b el vector suma

resultante a b es la diagonal del paralelogramo que tiene por

lados ambos vectores ya b .

Producto de escalar (número real) por vector Dado un vector libre 3a V y un número real k (no nulo) el producto k a es también un vector libre que tiene

Módulo: k a

Dirección la dirección de a

Sentido el mismo que a si 0k y el opuesto si 0k

Si 0

0o bien 0

kk a

a



6. ESPACIO VECTORIAL ABSTRACTO Sea ( ; , )K un cuerpo conmutativo cuyos elementos se denominan

escalares (habitualmente se usa ) y ( ; )E un conjunto, cuyos

elementos se denominan vectores, dotado de la operación interna SUMA: Sean los vectores

1 2 1 2, ( , , , ) , ( , , , )n na b E a a a a b b b b . Para

realizar a b se suman componente a componente:

1 1 2 2( , , , )n na b a b a b a b

Se define la operación externa Producto de escalar por vector: Sea el vector

1 2( , , , )na a a a y el escalar k K .

1 2( , , , )nka ka ka ka

Se dice que E es un espacio vectorial sobre K o también un

espacio vectorialK si cumple los 8 axiomas: , , , ,x y z E K

1) Asociativa: ( ) ( )x y z x y z

2) Neutro: 0 0x x x .

3) Simétrico: ( ) 0 ( )x x x x .

4) Conmutativa: x y y x .

5) La ley externa es distributiva respecto a la suma de vectores: ( )x y x y .

6) La ley externa es distributiva respecto a la suma de escalares: ( ) x x x .

7) La ley externa es asociativa: ( ) ( )x x .

8) El 1 actúa como neutro para la ley externa: 1 x x . Un cuerpo conmutativo se considera espacio vectorial sobre si mismo.

Ejemplos de espacios vectoriales: Un cuerpo conmutativo se considera espacio vectorial

sobre si mismo.

Los conjuntos , 2 3, , , n con suma de n-plas y

producto de vector por escalar, son R-ev.



El conjunto de los números complejos con la suma de complejos y producto por un número real es también espacio vectorial sobre R.

El conjunto de los vectores libres con la suma de vectores y producto por escalar es un espacio vectorial.

El conjunto de los polinomios de grado n con la suma de polinomios y producto de polinomio por escalar es espacio vectorial.

El conjunto de las matrices m n con la suma de matrices y producto de matriz por escalar es espacio vectorial.

El conjunto de las sucesiones de números reales con suma de sucesiones y producto de sucesión por escalar es espacio vectorial.

El conjunto de las funciones reales continuas definidas en un intervalo con las operaciones suma de funciones y producto de función por escalar es espacio vectorial.

No son espacios vectoriales:

El conjunto de los puntos de una recta del plano que no pase por el origen. Porque no incluye el (0,0)

El conjunto de polinomios de grado n . Porque la suma puede no ser polinomio de grado n .

El conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 que no son invertibles. Porque la suma puede ser una matriz regular (invertible).

1 2 1 2

Singular Singular Regular

1 0 0 0 1 0;

0 0 0 1 0 1A A A A



7. Combinación lineal.

Un vector v es combinación lineal de p vectores 1́ 2, ,..., pu u u si se

puede expresar:

1 1 2 2 p pv a u a u a u

siendo 1 2, , , pa a a números reales, denominados coeficientes de

la combinación lineal.

El vector 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, lo que se interpreta geométricamente diciendo que es paralelo a todos los vectores del plano. Ejemplos:

Sean los vectores (2,2,2) , (1,1,1) 2a b a b

Dados (5,7) , (1,1) , (2,3)a b c . Expresar a como combinación

lineal de los otros dos:

2 5 1(1,1) (2,3) (5,7)

3 7 2

Es decir 2a b c

8. Subespacio vectorial Un subconjunto S de V que mantiene las citadas propiedades se dice que es un subespacio vectorial de V. Se caracteriza por ser un

subconjunto NO VACÍO, pues al menos tiene el vector 0 , además la suma de dos vectores de S es un vector de S y se mantiene el producto por escalar:

Las condiciones que debe cumplir S para ser subespacio vectorial de V son

S (No vacío)

,u v S u v S (Cerrado para la suma)

,K u S u S (Cerrado para el producto por

escalar).

Estas condiciones se agrupan: , ; ,a b S k h R k a hb S

indicando que cualquier combinación lineal de dos vectores de S también pertenece a S



Los conjuntos 0 y V son subespacios vectoriales de V que se

denominan triviales (o impropios), siendo los demás subespacios propios. Ejemplos de subespacios: 1. El conjunto de las matrices simétricas de orden n es un subespacio vectorial del conjunto de las matrices cuadradas de orden n con la suma de matrices y producto por escalar.

1 2 simetrica

1 2 1 2 1 2

1 simetrica 1 1 1

,

,

t

t t t

t t

A A A A A

A A A A A A

K A A A A A

2. El conjunto de las matrices singulares de orden 2 NO es subespacio del conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 con la suma de matrices y producto por escalar. Ya que la suma de dos matrices singulares puede ser una matriz regular.

1 2 1 2

Singular Singular Regular

1 0 0 0 1 0;

0 0 0 1 0 1A A A A

3. El conjunto de los vectores de una recta que pasa por el origen

es un subespacio del espacio vectorial 2R (plano).

2( , ) / 0S x y R x y

ya que la suma de dos vectores es otro vector de la recta y el producto de un vector de la recta por un escalar es un vector de la recta. 4. El conjunto de los vectores de una recta que no pasa por el

origen NO es un subespacio del espacio vectorial 2R (plano).

2( , ) / 1S x y R x y

ya que no contiene al vector 0 (0,0) .



9. Subespacio engendrado

Sea 1 2, , , pC u u u un conjunto de vectores de un espacio

vectorial V. El subespacio engendrado por C es el formado por todas las combinaciones lineales:

1 1 2 21..

( ) :p p ii p

L C a u a u a u a R

.

Se dice que 1, pu u es un sistema generador del subespacio.

Ejemplo. Encontrar el valor de a para que el vector (3, ,3)u a

pertenezca al subespacio engedrado por 1 2(1,4,3), (2,1,0)u u .

Solución: Para que u pertenezca al subespacio engendrado por

1 2,u u debe ser combinación lineal de ambos.

(3, ,3) (1,4,3) (2,1,0)

2 31

4 51

3 3

a

a a

Un sistema generador de un subespacio puede tener algunos vectores que a su vez sean combinación lineal de otros del conjunto

Ejemplo. Comprobar si los vectores (4,0,2) , (2,0,2)v w

pertenecen al subespacio engendrado por

1 2 3(1,1,1), (1,0,1), (2,2,2)A u u u .

Solución: Para que los vectores y v w pertenezcan al subespacio

S engendrado por los vectores del conjunto 1 2 3, ,u u u deben ser,

respectivamente combinación lineal de los tres vectores. Hay que observar que se verifica 3 12u u (combinación lineal).

(4,0,2) (1,1,1) (1,0,1) (2,2,2)v



2 4

2 0

2 2

Sistema incompatibe v S

(2,0,2) (1,1,1) (1,0,1) (2,2,2)w

2 2

2 0

2 2

Sistema compatible w S

pero al ser indeterminado, existen infinitas soluciones 2 ; 2

debido a que 3 12u u .

10. Dependencia e independencia lineal.

Sea 1 2, , , pC u u u un conjunto de vectores

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si se verifica

1 1 2 2 1 20 0p p pa u a u a u a a a

todos los coeficientes son nulos. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si se verifica

1 1 2 2 0 0p p ia u a u a u a

Todos los coeficientes no son nulos y por tanto un vector al menos es combinación lineal de los demás. La condición necesaria y suficiente para que 2 vectores sean paralelos es que sean linealmente dependientes.

11. Rango de un conjunto de vectores es el número máximo de

vectores linealmente independientes. 12. Base y Coordenadas

Plano R2: Dos vectores 1 2,e e son una BASE del plano vectorial

1 2,e e son linealmente independientes.

Cualquier vector del plano se puede expresar como combinación lineal de estos dos vectores.



Siendo los coeficientes de esta combinación lineal 1 2( , )a a las

COORDENADAS del vector en dicha base.

2

1 1 2 2v R v a e a e

En coordenadas cartesianas se suele utilizar una base ortonormal, cuyos vectores son unitarios y ortogonales que se denomina base

canónica y se representa ,i j siendo sus coordenadas

(1,0) , (0,1)i j .

Ejemplo: 2 2,1v i j v siendo su módulo: 2 22 1 5v .

Para obtener un vector unitario en esta dirección se dividen las

coordenadas del vector por su módulo. 2 1

5 5

vu i j

v

Espacio R3

Tres vectores 1 2 3, ,e e e son una BASE del espacio

1 2 3, ,e e e son linealmente independientes.

Cualquier vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de estos tres vectores.

Siendo los coeficientes de esta combinación lineal 1 2 3( , , )a a a las

COORDENADAS del vector en dicha base.

3

1 1 2 2 3 3v R v a e a e a e

En coordenadas cartesianas se suele utilizar una base ortonormal, cuyos vectores son unitarios y ortogonales dos a dos que se

denomina base canónica y se representa por , ,i j k siendo sus

coordenadas (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)i j k .

Ejemplo: 2 2 22 2 ; 1 2 2 9 3v i j k v .

El vector unitario en esa dirección será 1 2 2

3 3 3

vu i j k

v



Espacio Rn

Una base 1 2, , , nB e e e de n es un conjunto de n vectores que

pertenecen al espacio vectorial n y que verifican a) Los n vectores ; 1..ie i n son linealmente independientes

b) Los n vectores ; 1..ie i n forman un sistema generador de n .

En una base 1 2, , , nB e e e de n un vector nv se expresa:

1 1 2 2

n

n nv R v a e a e a e

siendo 1 2, , , na a a las coordenadas del vector en la base B.

En un espacio vectorial hay una infinidad de bases, aunque las coordenadas de un vector en una cierta base son únicas.

13. Dimensión de un espacio vectorial Es el número de vectores de una base. Un espacio vectorial es de dimensión finita si existe un sistema generador finito.

14. Cambio de Base Vamos a realizar el cambio de base en el plano vectorial 2 .

Sea ,B i j la base canónica y otra base 1 2' 2 ;B u i j u i j

Dado un vector que en B’ se expresa: ' 1 2 '

22

1B Bv u u v

.

Hallar sus coordenadas en la base canónica

1 22 2 2 3 3v u u i j i j i j 3

3Bv

1 2

2 1, ,

1 1P

u u i j

La matriz 2 1

1 1P

es la matriz de cambio de base 'B B en la

que las coordenadas de los vectores de la nueva base B’ van escritas por columnas. Las coordenadas del vector Bv en la base B (canónica) se pueden

calcular de forma matricial



1 2

2 2 1 2 3, , ,

1 1 1 1 3P

u u i j i j

;

Nuevas Antiguas

2 1 2 3

1 1 1 3P

También es posible conociendo las coordenadas del vector

3 3Bv i j en la base canónica ,B i j obtener sus coordenadas

en la nueva base 1 2' ,B u u , para lo cual basta despejar los

vectores ,i j en función de 1 2,u u

1 2

1

2 1 2

2 3

2

3

u ui

u i j

u i j u uj

por lo que

1

1 2

1 1

3 3

1 2

3 3P

i j u u

1 2 1 21 2

23 3 3 3 2

3 3

u u u uv i j u u

'

2

1Bv

Se podrían calcular matricialmente las coordenadas del vector v en la base B’ (nueva)

1

1 2 1 2

1 1

3 3 23 3

3 1 2 3 1

3 3P

i j u u u u

;

1

Antiguas Nuevas

1 1

3 23 3

1 2 3 1

3 3P

En general en n :

11 12 1 '

1 1

21 22 2

'

Antiguas 1 2 NuevasMatriz de Cambio de Base

n

n

n n

n n nn

a a ax x

a a a

x xa a a

1

'i i

i n

x P x

En esta matriz de cambio de base las columnas son las coordenadas de los vectores de la nueva base.

Cambio de coordenadas: Antiguas Nuevas

'i ix P x ; 1

Nuevas Antiguas

'i ix P x



15. Norma Sea V un R-ev. Se denomina NORMA sobre V a la aplicación

:V

tal que x V se le asocia un número real no negativo x que

cumple las condiciones:

1. 0x Sólo 0 si 0x

2. x V x x

3. ,x y V x y x y

Al R-ev ;V se denomina Espacio vectorial normado

Ejemplos de Norma:

Sea 2

1 2( , )x x x

Se asigna 2 2

1 2x x x . Norma euclídea.

Se asigna 1 2x x x .

Se asigna 1 2sup ,x x x .

En el R-espacio vectorial 0C de las funciones continuas en el

intervalo 0,1 se define la aplicación 0

1:C R que a toda

función continua f del espacio vectorial se asocia la siguiente

integral : 1

1 0( )f f f x dx se trata de una Norma.

Dos normas son equivalentes si definen la misma topología: La

condición necesaria y suficiente para que dos normas y ' sean

equivalentes es que existan dos constantes 1 2 y k k tales que

1 2'k x x k x x V

En un espacio vectorial de dimensión finita todas las Normas que se definan sobre él son equivalentes.



16. PRODUCTO ESCALAR Sea V un K ev se denomina PRODUCTO ESCALAR a la

aplicación :V V K que al par de vectores 2,x y V se hace

corresponder un escalar x y K que cumple los axiomas:

1. Positividad: 0x V x x . Sólo 0 si 0x

2. Simetría (Conmutativa): x V x y y x

3. Homogénea (Asociativo el escalar): ( ) ( ) ( )k x y kx y x ky

4. Distributiva respecto a la suma de vectores:

, ;x y V x y z x z y z

Un K ev ;( )V en el que se ha definido un producto escalar es

un espacio Prehilbertiano. En el caso de ser finito dicho espacio vectorial se denomina EUCLÍDEO.

La norma: :V tal que x V se asocia ( )x x x se

denomina Norma asociada al producto escalar. Se utiliza en Física

para calcular el módulo de un vector: 2 2 2

1 2 nx x x x .

Producto escalar en R3

En el espacio vectorial R3 se da la base 1 2 3, ,B e e e

Dados dos vectores 1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

u u e u e u e

v v e v e v e

u v 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3u e u e u e v e v e v e =

1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3u v e e u v e e u v e e +

2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3u v e e u v e e u v e e +

3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3u v e e u v e e u v e e

Que se puede expresar matricialmente

1 1 1 2 1 3 1

1 2 3 1 2 2 2 2 3 2

1 3 2 3 3 3 3

( ) ( ) ( )

, , ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e e e e e e v

u v u u u e e e e e e v

e e e e e e v

; tu v u G v

A la matriz de productos escalares de los vectores de la base se denomina Matriz de Gram, siendo ( )i j ije e g .

1 1 1 2 1 3 11 12 13

1 2 2 2 2 3 21 22 23

1 3 2 3 3 3 31 32 33

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e e e e e e g g g

G e e e e e e g g g

e e e e e e g g g



La matriz de Gram es simétrica ya que ( ) ( )i j j i ij jie e e e g g

Si la base es normal (vectores de la base unitarios):

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 1e e e e e e

Si la base es ortogonal: 1 2 1 3 2 3( ) ( ) ( ) 0e e e e e e

Si la base es ortonormal (vectores de la base unitarios y ortogonales:

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 1e e e e e e ; 1 2 1 3 2 3( ) ( ) ( ) 0e e e e e e .

La matriz de Gram es la UNIDAD y entonces el producto escalar se realiza coordenada a coordenada.

1

1 2 3 2 1 1 2 2 3 3

3

( )

v

u v u u u v u v u v u v

v

Otra forma de definir el producto es calar:

( ) cosu v u v ;

cosu v

u v

El producto escalar será positivo o negativo según que sea agudo u obtuso.

El producto escalar es nulo si los vectores son ortogonales ya que cos 02

.

Ejemplo Físico: Trabajo de una fuerza es el producto escalar de la

fuerza por el desplazamiento. ( ) cosW F d F d

17. PROYECCIÓN ORTOGONAL B A C B´

Sean los vectores ;u AB v AC . La proyección ortogonal de u

sobre v es el segmento AB´= cosu . El vector proyección tiene de

módulo cosu y dirección la del vector v .

Se suele decir que para proyectar ortogonalmente un vector u sobre otro v se multiplica escalarmente u por el unitario en la dirección v .

En general el vector proyección ortogonal es 2

( )'

u vu v

v



18. PRODUCTO VECTORIAL

Dados dos vectores 1 1 2 3

1 2 3

u u i u j u k

v v i v j v k

El producto vectorial se expresa

1 2 3

1 2 3

;

i j ku v

u v u u u u v u v sen senu v

v v v

El producto vectorial de dos vectores es un vector que se obtiene de la forma indicada que tiene dirección perpendicular al plano de los vectores y u v y sentido el del sacacorchos que gira de a u v . Es

decir el triedro de los vectores , y u v u v es directo.

Propiedades

1) 0 ; 0

0Proporcionales

u vu v

2) Anticonmutativa: ( ) ( )u v v u .

3) Homogénea: ( ) ( ) ( )k u v ku v u kv

4) Distributiva respecto a la suma: ( ) ( ) ( )u v w u v u w

5) No asociativo: u v w u v w ya que el primero está en el

plano u y v y el segundo en el plano de v y w.

Área del paralelogramo B C A B´ D

;u AD v AB Altura del paralelogramo = BB´

'; '

BBu vsen BB v sen

u v v

Area del paralelogramo = u v u v sen

Ejemplo físico: Momento de una fuerza con relación a un punto que

muestra la capacidad de giro en el punto. m OP F .



19. PRODUCTO MIXTO

Dados tres vectores

1 1 2 3

1 2 3

1 2 3

u u i u j u k

v v i v j v k

w w i w j w k

El producto mixto es el producto escalar u v w que se expresa

1 1 1

2 2 2

3 3 3

u v w

u v w u v w

u v w

Si el triedro formado por los tres vectores es directo como también lo es el formado por , y u v u v el producto mixto será un número

positivo. Además la proyección de w sobre u v es la altura del

paralelepípedo construido sobre los vectores dados y como u v

es el área del paralelogramo de la base, el producto mixto resulta en este caso igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los vectores , ,u v w como aristas.

Si no son 0 ninguno de los tres vectores, la anulación del producto mixto es condición necesaria y suficiente para que el vector w sea coplanario con ,u v . Un caso particular que conviene resaltar es

cuando dos vectores son colineales, es decir uno es combinación lineal del otro. Si uno cualquiera de los vectores se multiplica por un número el producto mixto queda multiplicado por dicho número



20. DISTANCIA Sea E un conjunto cualquiera. Se denomina DISTANCIA d definida sobre E a toda aplicación :d E E tal que a la pareja de

elementos ,x y de E se le asocia un número real no negativo que

verifica las condiciones , ,x y z E

1. ( , ) 0d x y x y Axioma de Separación

2. ( , ) ( , )d x y d y x Axioma de Simetría

3. ( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y Desigualdad Triangular

Ejemplos:

En R: ( , )fd x y x y Distancia fundamental

En R2:

1 1 1 2 2

11 1 2 2 2

2 1 1 2 2

1 2

3 1 1 2 2

( , )

( , )( , ) ( ) ( ) euclídea

( , )d ( , ) sup ,

d x y x y x y

x x xd x y x y x y

y y yx y x y x y

Todo conjunto (E,d) dotado de una distancia es un Espacio métrico. El conjunto (R,df) es la Recta Real. Todo esto se generaliza para Rn. En el espacio Euclídeo Rn (con producto escalar) se verifica

1. Norma o Longitud de u: 2 2 2

1 2( ) nu u u u u u

2. Distancia entre u y v: ( , ) ( ) ( )d u v u v u v u v

2 2 2

1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( )n nd u v u v u v u v

3. Dos vectores son ortogonales si ( ) 0u v

4. Si tres vectores son coplanarios el producto mixto es 0.

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