METODOS DE INTEGRACION - … DE INTEGRACIÓN 1 METODOS DE INTEGRACION INTEGRACION INMEDIATA Se considerarán como integrales inmediatas las comprendidas en la

METODOS DE INTEGRACIÓN 1

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METODOS DE INTEGRACION

INTEGRACION INMEDIATA

Se considerarán como integrales inmediatas las comprendidas en la siguiente tabla:

)1n si( C1n

)x(fdx)x('f)x(f

1nn

C)x(Lnfdx)x(f

)x('f

Ca Ln

adx)x('fa

)x(f)x(f

Cadx)x('fe )x(f)x(f

Cf(x) cosdxf(x) sen)x('f

Cf(x) sendxf(x) cos)x('f

Cf(x) tagdx)x(fcos

)x('f2

Cf(x) agcotdx)x(fsen

)x('f2

C )x(f arccosCf(x) arcsendx)x(f1

)x('f

2

C f(x) agcotarcCf(x) arctagdx)x(f1

)x('f2

Cf(x) Chdxf(x) Sh)x('f

Cf(x) Shdxf(x) Ch)x('f

C)x(f Thdx)x(f Ch

)x('f2

C)x(f Cthdx)x(f Sh

)x('f2

C )x(f1f(x) LnCf(x) Shargdx)x(f1

)x('f 2

2

C 1)x(ff(x) LnCf(x) Chargdx1)x(f

)x('f 2

2

C f(x)1

f(x)1Ln

2

1Cf(x) arcThdx

)x(f1

)x('f2

INTEGRACION POR PARTES

Aplicaremos este método, en general, cuando la función subintegral sea producto de funciones de distinto

tipo; como puede ser: polinómica por exponencial; trigonométrica por exponencial; etc..

La fórmula a emplear es:

)x(du)x(v)x(v)·x(u)x(dv)·x(udx)x(f

haciendo la elección de u(x) y dv(x) en la integral dada.

En la mayoría de los casos puede considerarse que la elección está bien hecha siempre que )()·( xduxv

sea más sencilla o del mismo tipo que la integral dada.



INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES

Antes de empezar con los métodos específicos de resolución de este tipo de integrales, veamos la

forma de pasar de un polinomio de segundo grado a otro que sea cuadrado perfecto más o menos una

constante.

ax2 + bx + c = 0

a2

ac4bbx

2

a2

ac4b

a2

bx

2

a2

ac4b

a2

bx

22

0a2

ac4b

a2

bx

22

Por tanto: a2

ac4b

a2

bxacbxax

222

Método que se utiliza bastante y que convierte en inmediatas un buen número de integrales.

En lo que respecta a las integrales racionales, se consideran como tales aquellas en que aparezca como

función subintegral el cociente de polinomios enteros.

Dos tipos particulares de integrales racionales son:

a)

2

2221

a4

ac4b

a2

bxa

dx

cbxax

dxI

que según sea (b2 – 4ac) positivo o negativo, dará respectivamente como resultado un ArgTh o un arctg.

b) dxcbxax

nmxI

22

El primer paso en la resolución de esta integral, es tratar de obtener en el numerador la derivada del

denominador.

dxcbxax

bbm

an2ax2

a2

mdx

cbxax

nmx

m

a2m

a2

dxcbxax

nmxI

2222

1

2

22I

a2

mbn)cbxax(Ln

a2

m

cbxax

dxb

m

an2

a2

mdx

cbxax

bax2

a2

m

Sea en general dxxQ

xPI

)(

)(, donde P(x) y Q(x) son polinomios enteros de x, tales que

grado de P(x) grado de Q(x). Entonces )(

)()(

)(

)(

xQ

xRxC

xQ

xP siendo C(x) y R(x) los polinomios

"cociente" y "resto" respectivamente de la división de P(x) y Q(x). Verificándose que grado de R(x) <

grado de Q(x). Entonces:

dx)x(Q

)x(Rdx)x(Cdx

)x(Q

)x(R)x(Cdx

)x(Q

)x(P



dxxC )( es inmediata debido a ser C(x) un polinomio en x.

dxxQ

xR

)(

)(se obtiene por descomposición en fracciones simples, para lo cual se hallan las raíces de la

ecuación Q(x) = 0 y se expresa Q(x) como producto de sus raíces.

Supongamos que Q(x) = 0, tiene las raíces reales x = p, x = q de grados de multiplicidad r y s,

respectivamente, así como las raíces complejas conjugadas x = a bj y x = c dj de grados de

multiplicidad n y m. Entonces Q(x) se puede poner de la forma:

Q(x) = k·(x – p)r · (x – q)

s · [x – (a bj)]

n · [x – (c dj)]

m

siendo k el coeficiente del término de mayor grado de Q(x).

Las raíces complejas conjugadas se pueden sustituir por un polinomio de segundo grado de la siguiente

forma: [x – (a bj)] = (x – a + bj)(x – a – bj) = (x – a)2 + b

2

El desarrollo en fracciones simples de R(x)/Q(x) es:

n22

11s

1s

2

s

1r

1r

2

r

1

]b)ax[(

DxC

qx

B...

)qx(

B

)qx(

B

px

A...

)px(

A

)px(

A

)x(Q

)x(R

22

mm

1m22

22

m22

11

22

nn

1n22

22

d)cx(

FxE...

]d)cx[(

FxE

]d)cx[(

FxE

b)ax(

DxC...

]b)ax[(

DxC

Siendo Ai, Bi, Ci, Di, Ei y Fi coeficientes a determinar; para lo cual basta multiplicar ambos miembros

de la igualdad por Q(x) e identificar coeficientes de términos del mismo grado. O bien darle a x valores

adecuados.

Una vez obtenido el desarrollo en fracciones simples, se integra éste, dando lugar a una suma de

integrales que son de los siguientes tipos:

a) Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 1, elevado a una potencia; las

cuales son inmediatas.

b) Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2, las cuales son del tipo I1 ó I2,

resueltas anteriormente.

c) Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2, elevado a una potencia >

1, las cuales resolveremos por reducción.

Debido a la dificultad que presentan las integrales del tipo c) cuando el exponente es superior a 2, es

aconsejable aplicar el método de Hermite.

METODO DE HERMITE

Consiste en hacer el siguiente desarrollo:

siendo k = grado del denominador del corchete menos la unidad.

Para calcular los coeficientes A, B, C, D, E, F y ai, basta derivar la expresión que está dentro del

corchete, multiplicar ambos miembros por Q(x), e identificar coeficientes de términos del mismo grado.

1m221n221s1r

k1k

1k

0

2222 ]d)cx[(]b)ax[()qx()px(

a...xaxa

dx

d

d)cx(

FEx

b)ax(

DCx

qx

B

px

A

)x(Q

)x(R



INTEGRACION DE FUNCIONES IRRACIONALES

Son aquellas en las que la variable x o funciones de la variable x aparecen elevadas a exponentes

fraccionarios.

Dos tipos particulares de integrales irracionales son:

a)

2

2223

a4

ac4b

a2

bx

dx

cbxax

dxI

que según sean los signos de a y (b2 – 4ac) dará un arcsen, ArgSh ó ArgCh.

b) dxcbxax

nmxI

24

El primer paso en la resolución de esta integral es tratar de obtener en el numerador la derivada de la

función subradical.

dxcbxax

bbm

an2ax2

a2

mdx

cbxax

nmxI

224

32

22I

a2

mbncbxax

a

m

cbxax

dxb

m

an2

a2

mdx

cbxax

bax2

a2

m

Casos generales:

Integrales irracionales simples

dx )x,...,x,x(R vutskh siendo R una función racional de xh/k

, xs/t

,..., xu/v

.

Sea m.c.m.(k, t,..., v). Hacemos el cambio x = t , con lo cual se transforma en una función

racional de la variable t.

Integrales irracionales lineales

dxdcx

bax,...,

dcx

bax,

dcx

bax,xR

v

u

t

s

k

h

siendo R una función racional.

Sea = m.c.m.(k, t, ... , v). Hacemos el cambio tdcx

baxtransformándose la función subintegral en

una función racional de t.



Integrales irracionales del tipo

Existen tres cambios que la transforman en una integral racional:

a) si a > 0 txacbxax2

b) si a < 0 y c > 0 cxtcbxax2

c) si a < 0 y c < 0 )x(tcbxax2 siendo una cualquiera de las

raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0.

Casos particulares de las integrales irracionales del tipo anterior son:

A) dxcbxax

)x(P

2 donde P(x) es un polinomio de grado n.

Podemos plantear la siguiente igualdad:

cbxax

dx D cbxax )x(Qdx

cbxax

)x(P

2

2

2

siendo Q(x) un polinomio de coeficientes indeterminados de grado n–1; y D otra constante a determinar.

Para calcular estas constantes, derivamos ambos miembros de la igualdad y una vez multiplicados por

ax2 + bx + c , identificamos coeficientes de términos del mismo grado.

B) cbxax )hkx(

dx

2n hacemos el cambio t

hkx

1 resultando una integral del tipo A.

Se multiplica y divide por cbxax 2 , resultando una integral del tipo A.

C) dxcbxax2 Se multiplica y divide por cbxax 2

, resultando una integral del

tipo A.

dx]cbxax,x[R 2



Integrales irracionales binómicas

dx)axb(x phk

Estas integrales sabremos resolverlas en los tres casos siguientes:

a) Si p es entero, se desarrolla por Newton el paréntesis.

b) Si h

1kes entero, hacemos el cambio b + ax

h = t

u. Siendo u el denominador de p.

c) Si ph

1k es entero, se multiplica x

k por x

hp y se divide (b + ax

h )

p por x

hp,

resultando una integral del caso b).

Cambios trigonométricos para integrales irracionales

22) xaa , se hace el cambio x = a sen t

22) xab , se hace el cambio x = a tag t

22) axc , se hace el cambio x = a sec t



INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

dxxsenxR ] ,[cos siendo R una función racional.

Se hace el cambio general: t2

xtag x = 2 arctg t

2t1

dt 2dx

222 t1

t2

2

xsen

2

xcos

2

xcos

2

xsen 2

x sen 2

2

22

22

t1

t1

2

xsen

2

xcos

2

xsen

2

xcos

x cos

transformándose la función subintegral en una función racional en t.

Casos particulares:

a) Función subintegral impar en sen x. Esto es, si R(– sen x, cos x) = – R(sen x, cos x).

Se hace el cambio cos x = t.

b) Función subintegral impar en cos x. Esto es, si R(sen x, – cos x) = – R(sen x, cos x)

Se hace el cambio sen x = t.

c) Función subintegral par en cos x y sen x. Esto es, si R(– sen x, – cos x) = R(sen x, cos x)

Se hace el cambio tg x = t, siendo

2t1

dtdx

2t1

tx sen

2t1

1xcos

INTEGRACION DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

dx]xSh,xCh[R siendo R una función racional.

Se hace el cambio general: t2

xTh x = 2 argTh t

2t1

dt 2dx

222 t1

t2

2

xSh

2

xCh

2

xCh

2

xSh 2

x Sh 2

2

22

22

t1

t1

2

xSh

2

xCh

2

xSh

2

xCh

x Ch

transformándose la función subintegral en una función racional en t.

Casos particulares:

a) Función subintegral impar en Sh x. Esto es, si R(– Sh x, Ch x) = – R(Sn x, Ch x). Se hace el

cambio Ch x = t.

b) Función subintegral impar en Ch x. Esto es, si R(Sh x, – Ch x) = – R(Sh x, Ch x). Se hace el

cambio Sh x = t.

c) Función subintegral par en Ch x y Sh x. Esto es, si R(– Sh x, – Ch x) = R(Sh x, Ch x). Se hace

el cambio Th x = t, siendo

2t1

dtdx

2t1

tx Sh

2t1

1x Ch





CAPITULO II

INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª, 2ª Y 3ª ESPECIE

La regla de Barrow para calcular una integral definida

b

a

dx )x(f , cuando se conoce una

primitiva F(x) de la función subintegral es: )a(F)b(F)x(Fdx )x(fb

a

b

a

Para poder aplicar esta regla es necesario que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo [a,b], y

además dicho intervalo ha de ser de amplitud finita. Si no se cumple alguna, o ambas de las hipótesis

anteriores, diremos que la integral es impropia.

Resumimos los posibles casos en el cuadro siguiente:

A. Impropia de 1ª especie { Si f(x) tiene uno o más puntos de discontinuidad en el

intervalo [a,b

1) Si a = – b

a

dx )x(f B. Impropia de 2ª especie: 2) Si b = +

3) Si a = – y b = +

C. Impropia de 3ª especie { Si existen las dos impropiedades simultáneamente

Cálculo de integrales impropias de 1ª especie:

a) Discontinuidad en el límite superior: f(x) solamente es discontinua en x = b. Se define

b

a0

b

a

dx )x(flimdx )x(f

b) Discontinuidad en el límite inferior: f(x) solamente es discontinua en x = a. Se define

b

a0

b

a

dx )x(flimdx )x(f

c) Discontinuidad en un punto interior del intervalo:f(x) solamente es discontinua en x = c, siendo a < c <

b. Se define

c

a

b

c00

b

a

dx )x(flimdx )x(flimdx )x(f

Si en el intervalo de integración hubiese más de un punto de discontinuidad, es necesario descomponer

dicha integral como suma de varias, extendidas a intervalos arbitrarios con la única condición de que en

cada uno de ellos aparezca solamente una discontinuidad. Posteriormente se aplican las definiciones

anteriores.




a) Supuesta f(x) continua en el intervalo [a,+ ), se define

t

at

a

dx )x(flimdx )x(f

b) Supuesta f(x) continua en el intervalo (– ,b], se define

b

tt

b

dx )x(flimdx )x(f

c) Supuesta f(x) continua en el intervalo (– ,+ ), se define

d

t

t

dtt

dx )x(flimdx )x(flimdx )x(f

siendo d un punto arbitrario perteneciente a dicho intervalo.


Sea

a

dx )x(f , y además f(x) discontinua solamente en x = c, siendo a < c < d < + .

Entonces se define

c

a

t

dt

d

c00

a

dx )x(flimdx )x(flimdx )x(flimdx )x(f

En los tres casos estudiados, si los límites existen y son finitos, diremos que las integrales son

convergentes, y su valor ser el de dichos límites; sin embargo, si dichos límites son infinitos o no

existen, diremos que las integrales son divergentes.

Utilizando las definiciones anteriores para el cálculo de integrales impropias, vemos que es

imprescindible el cálculo de la primitiva de la función subintegral; sin embargo, en muchos problemas

basta con saber la naturaleza de una integral, sin necesidad, en el caso de ser convergente, de conocer su

valor. Por eso vamos a ver ahora un criterio que nos permitir estudiar únicamente la naturaleza de una

integral impropia.



CRITERIO DEL COCIENTE PARA ESTUDIAR LA NATURALEZA DE UNA INTEGRAL

IMPROPIA

Veamos primero el caso de una integral impropia de 2ª especie:

Sea

a

dx )x(f . Elegimos una integral patrón

a

dx )x(g de naturaleza conocida.

Verificándose que f(x) 0 y g(x) 0, para todo x perteneciente a intervalo de integración.

Hallamos )x(g

)x(flimL

x ; si existe este límite y es distinto de 0 e , ambas integrales tienen la

misma naturaleza.

Casos particulares:

1º) Supongamos que L = 0

Si

a

dx )x(g es convergente

a

dx )x(f es convergente

Si

a

dx )x(g es divergente no se sabe nada de

a

dx )x(f

2º) Supongamos que L =

Si

a

dx )x(g es divergente

a

dx )x(f es divergente

Si

a

dx )x(g es convergente no se sabe nada de

a

dx )x(f

Para el caso de integrales impropias de 1ª especie, el criterio es análogo con la única diferencia que para

calcular L hay que hallar el límite cuando x tiende al punto donde f(x) deja de ser continua.

Para poder aplicar este criterio es imprescindible conocer a priori la naturaleza de la integral que

tomamos como patrón.



Veamos pues algunas integrales impropias de interés:

t > 0 > CONVERGENTE

*

a

tx dx e

T 0 > DIVERGENTE

(– < a < + ) Patrones de 2ª especie

p > 1 > CONVERGENTE

*

a

pdx

x

1

p 1 > DIVERGENTE

(a > 0)

p < 1 CONVERGENTE

*

b

a

pdx

x)(a

1

p 1 DIVERGENTE

(discontinuidad en x = a) Patrones de 1ª especie

p < 1 CONVERGENTE

*

b

a

pdx

x)(b

1

p 1 DIVERGENTE

(discontinuidad en x = b)

Para llegar a los resultados del cuadro anterior, basta con calcular las integrales, aplicando las

definiciones dadas; es decir, para estudiar, por ejemplo, la primera integral, calcularíamos:

t

e

t

eLim

t

eLim dxeLim

atut

u

u

a

tx

u

u

a

tx

u

Este límite es si t < 0 DIVERGENTE.

Este límite es finito si t > 0 CONVERGENTE.

Si t = 0, la integral resulta: )au(Lim dxLim dxu

u

au

a

DIVERGENTE



C A P I T U L O I I I

INTEGRALES PARAMETRICAS. INTEGRALES EULERIANAS

FUNCION (p). (INTEGRAL EULERIANA DE 2ª ESPECIE)

Se define la función (p) como:

0

x1p dx e x)p(

que es una integral impropia, convergente para todo p > 0. El campo de definición de la función (p), se

puede ampliar para p < 0 (no enteros) mediante la fórmula de Gauss:

)np)...(1p(p

!nLim)p(n

que coincide con

0

x1p dx e x para todo p > 0.

Algunas fórmulas de interés para el cálculo de (p) son:

A) Fórmula de los complementos: p sen

)1p()p( , válida para todo p real. Una consecuencia

de esta fórmula es: π2

1Γ , basta para ello hacer p = 1/2.

B) Fórmula recurrente: (p) = (p – 1) (p – 1), válida para todo p real. Si p es entero positivo,

aplicando esta fórmula de forma reiterada, llegamos a que (p) = (p – 1)!.

Si p no es entero positivo, p = n + r, donde 0 < r < 1 y n es un número natural, obtenemos:

(p) = (p – 1)(p – 2) ... (1 + r) (1+r) siendo 1 < 1 + r < 2

Tabla de valores de (p) para 1 < p < 2

p 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0 1 0.9514 0.9182 0.8975 0.8873 0.8862 0.8937 0.9086 0.9314 0.9618

1 0.9943 0.9474 0.9156 0.8960 0.8868 0.8866 0.8947 0.9106 0.9341 0.9652

2 0.9888 0.9436 0.9131 0.8946 0.8864 0.8870 0.8959 0.9126 0.9368 0.9688

3 0.9835 0.9399 0.9108 0.8934 0.8860 0.8876 0.8972 0.9147 0.9397 0.9724

4 0.9784 0.9364 0.9085 0.8922 0.8858 0.8882 0.8986 0.9168 0.9426 0.9761

5 0.9735 0.9330 0.9064 0.8912 0.8857 0.8889 0.9001 0.9191 0.9456 0.9799

6 0.9687 0.9298 0.9044 0.8902 0.8856 0.8896 0.9017 0.9214 0.9487 0.9837

7 0.9642 0.9267 0.9025 0.8893 0.8856 0.8905 0.9033 0.9238 0.9518 0.9977

8 0.9597 0.9237 0.9007 0.8885 0.8857 0.8914 0.9050 0.9262 0.9551 0.9917

9 0.9555 0.9209 0.8990 0.8879 0.8859 0.8921 0.9068 0.9288 0.9584 0.9958

Para buscar, por ejemplo, (1.42), basta elegir en la columna horizontal el número 1.4 y en la

columna vertical el número 2, obteniéndose: (1.42) = 0.8864.



FUNCION (p, q). (INTEGRAL EULERIANA DE 1ª ESPECIE)

Se define la función (p,q) como:

1

0

1q1p dx x)(1 x)q,p( (1)

Que es una integral impropia, convergente para todo p > 0 y q > 0.

Algunas fórmulas de interés para el cálculo de (p,q), son:

A) Simetría: (p, q) = (q, p).

B) (1, q) = 1/q.

C) Fórmula recurrente: )1q,1p(p

1q)q,p(

D) )qp(

)q()p()q,p(

Otras formas en que se puede presentar (p,q), son:

I.

2/

0

1q212p dx t)(cos (sen t)2)q,p(

Para llegar a esta expresión, basta hacer el cambio x = sen2 t en la igualdad (1).

II.

0

qp

1-p

dx )t1(

t)q,p(

Para llegar a esta expresión, basta hacer el cambio t1

tx en la igualdad (1).



DERIVACION DE INTEGRAL PARAMETRICA

Sea f(x, ) una función de las variables independientes x y . Se denomina integral paramétrica, respecto

al parámetro , a la integral b

a

dx),x(f)(F

Si f(x, ) admite derivada ),x(f ', verificándose además que tanto f(x, ) como ),x(f '

son

continuas en el dominio a x b; c d, la función

b

a

dx),x(f)(F es derivable en el intervalo

c d, y su derivada vale:

b

a

dxd

),x(df

d

)(dF

Un caso más general que el anterior es cuando los límites de integración son también funciones de , es

decir:

)(b

)(a

dx),x(f)(F

Entonces la derivada vale: d

da]),(a[f

d

db]),(b[fdx

d

),x(df

d

)(dF)(b

)(a

En este caso se exige, además de las hipótesis anteriores, que existan las derivadas a'( ) y b'( ).

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