PFC: Análisis modal de una placa cuadrada.bibing.us.es/proyectos/abreproy/5483/fichero/Análisi...PFC: Análisis modal de una placa cuadrada. 6 2.1.2.1. Modelo de 1 grado de libertad

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

PFC: Análisis modal de

una placa cuadrada. Teórico, numérico y experimental

Sara Couso Páez

Enero 2014

PFC: Análisis modal de una placa cuadrada.

1

Índice 1. MOTIVACIÓN Y OBJETIVOS ....................................................................................................... 3

2. INTRODUCCIÓN TEÓRICA .......................................................................................................... 4

2.1. Análisis modal .................................................................................................................... 4

2.1.1. Introducción ................................................................................................................ 4

2.1.2. Análisis modal teórico ................................................................................................. 4

2.1.3. Análisis modal experimental ..................................................................................... 18

2.2. Teoría de placas ............................................................................................................... 25

2.2.1. Introducción ............................................................................................................. 25

2.2.2. Ecuación diferencial de la flexión de placas ............................................................. 26

2.2.3. Solución de la ecuación diferencial .......................................................................... 30

2.2.3.1. Método de Navier ................................................................................................. 31

2.2.3.2. Método de Levy ...................................................................................................... 33

2.2.3.3. Método de la energía o método de Ritz ................................................................ 36

3. APLICACIÓN PRÁCTICA ............................................................................................................ 38

3.1. Métodos semi-analíticos .................................................................................................. 38

3.1.1. Placa empotrada en el centro. Método de Ritz. ....................................................... 39

3.1.2. Placa empotrada en el centro. Formulación acústica. .............................................. 47

3.1.3. Placa con las esquinas simplemente apoyadas ......................................................... 55

3.2. Métodos numéricos ........................................................................................................ 62

3.2.1. Introducción ............................................................................................................. 62

3.2.2. Procedimiento de resolución usando el MEF ............................................................ 64

3.2.3. Aplicación práctica .................................................................................................... 65

3.3. Métodos experimentales ................................................................................................ 72

3.3.1. Introducción .............................................................................................................. 72

3.3.2. Ensayo con Pimento® y TestLab® ........................................................................ 73

3.3.3. Ensayos con la mesa de vibraciones ......................................................................... 89

4. DISCUSIONES Y CONCLUSIONES ............................................................................................ 100

4.1. Comparación de resultados ........................................................................................... 100

4.1.1 Comparación entre métodos semi-analítico y numérico ......................................... 100

4.1.2. Comparación entre métodos experimental (Pimento® y Testlab®) y numérico ...... 104

4.1.3. Comparación entre métodos experimental (mesa de vibraciones) y numérico ..... 108

4.2. Conclusiones................................................................................................................... 112

ANEXO A. MANUAL BÁSICO DE USO DE LA MESA DE VIBRACIONES ........................................ 114


2

ANEXO B.PROGRAMAS DE MATLAB® ........................................................................................ 147

REFERENCIAS ............................................................................................................................. 154


3

1. MOTIVACIÓN Y OBJETIVOS

El objetivo del presente proyecto es la obtención de las frecuencias naturales y modos de

vibración de una placa cuadrada de acero galvanizado de dimensiones 0.3x0.3x0.001m3

sometido a dos condiciones de contorno puntuales diferentes mediante métodos analíticos,

numéricos y experimentales. Las condiciones de contorno serán empotrada en el punto central

y apoyada en las cuatro esquinas.

Como se ha mencionado, se va a realizar un estudio modal semi-analítico, numérico y

experimental. Con esto se quiere llegar a los mismos resultados y, por tanto, validar los tres

métodos para posibles estudios futuros de otros objetos o estructuras. De esta forma, al

realizar análisis modales con un solo método se tendría la seguridad de que los resultados son

correctos.

Las frecuencias naturales y modos de vibración se dan en todas las estructuras, mecanismos y

sistemas que un ingeniero diseña [1]. Como ingeniero, es necesario identificar estas

frecuencias y saber cómo pueden afectar a la respuesta del sistema cuando una fuerza es

aplicada. Conocer los modos de vibración, es decir, de qué forma vibrará la estructura cuando

es excitada, ayuda a los ingenieros a diseñar mejores mecanismos. El análisis modal es usado

para diseñar todo tipo de estructuras en la industria del automóvil, aeronáutica, ordenadores,

etc.

Si no se conociesen estas frecuencias y modos, podrían ocurrir catástrofes, como fue el caso

del puente de Tacoma Narrows en 1940. El viento que soplaba aquel día, cuya frecuencia

igualó a una frecuencia natural del puente, provocó el colapso estructural del mismo, tal y

como puede verse en la siguiente fotografía [2].

Figura 1.1 Colapso estructural del puente Tacoma Narrows


4

2. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

2.1. Análisis modal

2.1.1. Introducción

El análisis modal se utiliza para determinar las características dinámicas de una estructura:

modos de vibración, frecuencias naturales y relaciones de amortiguamiento. Hay dos tipos de

análisis modal: teórico y experimental. La forma teórica del análisis modal consiste en plantear

la ecuación del movimiento, suponer una forma de la respuesta e imponer que esta cumpla la

ecuación que gobierna el movimiento del sistema, lo que supone resolver un problema de

autovalores y autovectores. Dicho problema puede ser un proceso largo en el caso de tratar un

sistema de varios grados de libertad ya que para obtener la ecuación de movimiento es

necesario calcular las matrices de masa y rigidez y los factores de amortiguamiento. Por el

contrario, para el análisis modal experimental no es preciso el cálculo de estas matrices, sino

que se parte de un ensayo en el que se conoce la fuerza de excitación y se lleva a cabo un

algoritmo que permite extraer los parámetros modales.

Antes de seguir, es necesario explicar el concepto de grado de libertad [3]. Los grados de

libertad de un sólido rígido son el mínimo número de coordenadas necesarias para localizar

este cuerpo en el espacio. El número de grados de libertad para un sólido rígido libre es seis:

tres grados de traslación (x, y, z) para localizar el centro de gravedad y tres de rotación (θx, θy,

θz) para definir su orientación.

Ya que toda estructura deformable se puede considerar como una combinación de un número

infinito de sólidos rígidos, todas las estructuras tienen infinitos grados de libertad. Sin

embargo, estas estructuras pueden aproximarse como una combinación de un número

limitado de estos sólidos, generando un número finito de grados de libertad, N. Este número

también define las dimensiones de las matrices de masa, amortiguación y rigidez y el número

de frecuencias naturales y modos de vibración.

2.1.2. Análisis modal teórico

El análisis modal teórico se basa en el planteamiento de la ecuación de movimiento del

sistema. Para ello es preciso conocer la masa, el amortiguamiento y la rigidez del mismo. Una

vez planteada esta ecuación, se supone una respuesta del sistema en función de la frecuencia

natural para, mediante la sustitución y la transformación de las ecuaciones al dominio de

Laplace, obtener las frecuencias naturales y los modos de vibración.


5

En el caso de vibraciones libres, se tendrá un sistema de ecuaciones homogéneas, de cuya

solución se obtendrá un número de frecuencias naturales igual al de grados de libertad del

sistema mecánico. Como se verá posteriormente, los sistemas tienden a vibrar libremente a las

frecuencias naturales, y a cada una de estas frecuencias el sistema vibrará con una deformada

determinada. A esas deformadas se les denomina modos naturales de vibración. Dependiendo

de las condiciones iniciales, el sistema vibrará a una u otra frecuencia natural, y, por tanto, con

una u otra configuración. También puede ocurrir, y es lo más frecuente, que las condiciones

iniciales sean tales que el sistema tienda a vibrar con varias frecuencias naturales

simultáneamente y con una deformada que sea combinación de los modos naturales de

vibración.

Para este tipo de estudios es preciso plantear una serie de hipótesis básicas, que son:

• Linealidad: el comportamiento de una estructura dinámica es lineal, es decir, la salida

de cualquier combinación de entradas es igual a la misma combinación de las

respectivas salidas. Esto implica que la dinámica puede ser representada por un

conjunto de ecuaciones lineales diferenciales de segundo orden.

• Independencia del tiempo: las características de la estructura dinámica no cambian

con el tiempo. Por tanto, los coeficientes de las ecuaciones diferenciales son

constantes e invariables con este parámetro.

• Observabilidad: es una propiedad del estado de un sistema que puede ser

determinada por alguna secuencia de operaciones físicas, es decir, dicha propiedad

puede ser medida [4].

También se asume que la estructura u objeto obedece el principio de reciprocidad de Maxwell

[5]: en un sólido elástico, el trabajo realizado por un sistema de cargas F para los

desplazamientos resultantes de aplicar otro sistema de cargas G distinto es idéntico al trabajo

realizado por el sistema de cargas G para los desplazamientos resultantes de aplicar el sistema

de cargas F. Esto significa que las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez son simétricas.

Se empezará estudiando el caso de un sistema de un grado de libertad para después ampliarlo

a un sistema de N grados de libertad.


6

2.1.2.1. Modelo de 1 grado de libertad

El sistema de un grado de libertad es el más sencillo para ilustrar muchos de los conceptos

relacionados con las vibraciones [6]. En la siguiente figura se muestra un esquema de este

sistema. Se compone de una masa m, de un amortiguador c, de un muelle o resorte k y de una

fuerza de excitación f(t).

Figura 2.1 Elementos de un sistema de 1 grado de libertad

La ecuación general que describe el movimiento de este sistema de un grado de libertad es:

�� + �� + �� = �� (2.1)

donde �, �� y �� son el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la masa �

respectivamente.

Se va a proceder a explicar diversos casos de estudio para diferentes valores del

amortiguamiento y de la fuerza.

− Caso de vibración libre sin amortiguamiento

Si el amortiguamiento fuese cero (c=0), el problema sería sencillo de resolver. Si además se

tratase de un caso de vibración libre, es decir, si el vector de fuerzas fuese nulo (F=0), la

ecuación quedaría, �� + �� = 0 (2.2)

teniendo una solución general de la forma �� = ��. Introduciendo esta solución en la

ecuación 2.2, se obtiene la frecuencia natural de este sistema:

−�� + �� = 0 → −�� + � = 0 →


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�� = � �� (2.3)

definiéndose �� como la frecuencia natural no amortiguada.

La solución general tendrá la forma:

�� = �� (2.4)

− Caso de vibración forzada sin amortiguamiento

Si se considera una excitación de la forma �� = �� y se introduce en la ecuación 2.2, se

puede calcular la función de respuesta en frecuencia, H(ω). Esta se define como el cociente

entre la respuesta del sistema y la fuerza aplicada al mismo.

−�� + �� = �� → −�� + �� = � →

�� = ! = "�#�$�� (2.5)

− Caso de vibración libre con amortiguamiento

Considerando ahora el caso de amortiguamiento viscoso y vibración libre (F=0), se tiene:

�� + �� + �� = 0 (2.6)

La solución de esta ecuación es de la forma �� = ��. Introduciendo esta ecuación en 2.6

se obtienen los valores de ω:

−�� + %�� + �� = 0 → −�� + %�� + � = 0 →

�",� = '�� ± √*��#'$�� = ��+% ± ��,1 − +� (2.7)

En la ecuación 2.7 aparece un nuevo término, +. A este se le denomina relación de

amortiguamiento y se define como:

+ = '�√�� (2.8)

La respuesta del sistema quedará, por tanto:

�� = ��#�./��0�.,"#/$1� (2.9)


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Esta solución está compuesta de una parte real con un coeficiente ��+ y otra parte oscilatoria

que está amortiguada con una frecuencia �2 = ��,1 − +�. A la frecuencia �2 se le denomina

frecuencia natural amortiguada.

− Caso de vibración forzada con amortiguamiento

Si se considera la respuesta forzada �� = �� , se supone que la respuesta será de la

forma �� = �� y se pasa del dominio del tiempo al dominio de Laplace asumiendo

desplazamiento y velocidad nulos (x=0; ��=0), entonces se puede calcular la función de

respuesta en frecuencia introduciendo estas expresiones en la ecuación 2.1:

−�� + %�� + �� = �� → −�� + %�� + �� = � →

�� = ! = "�#�$��3��' (2.10)

El denominador de la ecuación 2.10 es la ecuación característica del sistema, y sus raíces o

polos son:

4",� = − � 2�6 ± �7� 2�6 8� − � �6 (2.11)

Se define el amortiguamiento crítico como el valor del amortiguamiento que hace que el

término dentro de la raíz de la ecuación 2.11 sea cero:

�' = 2�� 6 = 2�� (2.12)

Por consiguiente, la relación de amortiguamiento ζ se puede expresar como:

+ = '�√�� = � �'6 = � 2��6 (2.13)

Dependiendo del valor de la relación de amortiguamiento los sistemas se clasifican como

sobre-amortiguados (ζ>1), críticamente amortiguados (ζ=1) o sub-amortiguados (ζ<1). La

respuesta de los sistemas sobre-amortiguados es de tipo no oscilatorio, al igual que los

sistemas con amortiguamiento crítico. La respuesta de los sistemas sub-amortiguados es una

oscilación que decae. Para sistemas reales la relación de amortiguamiento es raramente mayor

del 10% (0.1), a menos que el sistema contenga algún mecanismo con amortiguación activa.

Por tanto, solo se considerarán los sistemas sub-amortiguados, que darán dos raíces complejas

conjugadas en la ecuación 2.11: 4" = 9" + :�2 4"∗ = 9" − :�2 (2.14)


9

donde 9" es el factor de amortiguamiento (9" = −+��).

2.1.2.2. Modelo de N grados de libertad

Hasta ahora se ha analizado el comportamiento de los sistemas de un grado de libertad. Se ha

visto que muchos sistemas reales se pueden modelar con buena aproximación mediante

sistemas de un sólo grado de libertad. Sin embargo, hay casos en que esto no es posible. Por

ejemplo, en los sistemas formados por varios sólidos rígidos unidos por elementos elásticos,

como los mostrados en la figura 2.2; o también sistemas continuos con geometría compleja o

con una distribución y frecuencia de las cargas aplicadas concreta, como los que se muestran

en la figura 2.3. En esos casos, el estudio del comportamiento de los sistemas no puede

hacerse con modelos tan simples como los de un grado de libertad utilizados hasta ahora, sino

que debe emplearse un número más alto de grados de libertad.

Figura 2.2 Sistemas formados por varios sólidos rígidos unidos por elementos elásticos

Figura 2.3 Sistemas continuos

El comportamiento de los sistemas lineales con un número finito de grados de libertad puede

representarse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. El

número de ecuaciones será igual al de grados de libertad del sistema.

F t1( )

F t2( )

F t1( )F t2( )


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Las ecuaciones de movimiento que gobiernan a un sistema de N grados de libertad se pueden

escribir de forma matricial de la siguiente manera [7]:

<=� �� + >=� �� + ?=�� = @�� (2.15)

donde M, C y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, todas de dimensiones

NxN, y x(t) y f(t) son los vectores de desplazamiento y fuerza, ambos de dimensiones Nx1.

Para mejor entendimiento de este tipo de sistemas, se va a ilustrar un ejemplo. Sea un sistema

de dos grados de libertad, como el mostrado en la figura 2.4, formado por dos masas m1 y m2,

con el movimiento permitido sólo en la dirección x, unidas por resortes y amortiguadores y

sometidas a unas fuerzas externas F1(t) y F2(t).

Figura 2.4 Sistema de dos grados de libertad

La ecuación de movimiento 2.15 aplicada a este sistema sería:

A�" 00 ��B C��"��D + E�" + �� −��−�� + �FG C��"��D + A�" + �� −��−�� + �FB H�"��I = C�"��D (2.16)

Como se ve, la ecuación resultante 2.16 es un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales

de segundo orden. Dicho sistema de ecuaciones permite determinar la respuesta del sistema

de la figura 2.4 a cualquier excitación, representada por el vector de fuerzas. Analizando las

ecuaciones puede comprobarse que están acopladas, de forma que el movimiento de m1

influye sobre el de m2 y viceversa. Por tanto, la determinación de los movimientos requiere la

solución simultánea de las dos ecuaciones. En cualquier caso, para obtener la respuesta será

necesario conocer también las condiciones iniciales, representadas por los valores de los

vectores de posición y velocidad en el instante inicial.

Este caso se puede extrapolar a sistemas con más grados de libertad.

Se pasa a estudiar ahora diferentes casos dependiendo de los valores del amortiguamiento y la

fuerza, al igual que se hizo con los sistemas de un grado de libertad.


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− Caso de vibración libre sin amortiguamiento

Se considera en primer lugar, al igual que en el modelo de un grado de libertad, el caso de

respuesta libre sin amortiguamiento. Se supone que la solución es de la forma =�� = J��,

donde X es un vector compuesto por K�1 amplitudes independientes del tiempo [8]. La

ecuación de movimiento será:

<=� �� + ?=�� = L (2.17)

Sustituyendo en esta ecuación la expresión de la solución se llega a:

? − ��<�J��M� = L → ? − ��<�J = L

<#"? − ��N�J = L (2.18)

La ecuación 2.18 representa un problema de autovalores, con un número de autovalores ωj

igual al número de ecuaciones del sistema, y un autovector Xj asociado a cada autovalor.

Puede comprobarse que, si las matrices M y K son simétricas y definidas positivas, los

autovalores serán todos positivos, y que, si K es semidefinida positiva, los autovalores serán

iguales o mayor que cero.

Las soluciones de las ecuación 2.18 diferentes de la trivial satisfacen det|? − ��<| = 0. De

esta expresión se obtienen los N valores de ωj ,que son las frecuencias naturales no

amortiguadas del sistema.

��S = �TUVU (2.19)

Para calcular los autovalores Xj solo habrá que sustituir los valores de los autovalores

obtenidos en la ecuación 2.18.

La solución general será combinación de la siguiente respuesta:

�� = ∑ �S7XS�YZ�S� + [SZ%\�S�8]S^" = ∑ �S_S��S→ =�� = J`�� (2.20)

donde _S son las amplitudes de cada modo, y los coeficientes Aj y Bj se pueden calcular a partir

de las condiciones iniciales =� y =� �.


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− Caso de vibración forzada sin amortiguamiento

Ahora se considera la respuesta forzada del sistema anterior. Se supone que la excitación es @�� = a��, y que la solución es de la forma =�� = J��, donde a y J son vectores de K�1 amplitudes complejas independientes del tiempo. La ecuación de movimiento quedará en

este caso como:

<=� �� + ?=�� = @�� (2.21)

Introduciendo las expresiones de la respuesta y de la fuerza en la ecuación de movimiento

2.21 se puede calcular la función de respuesta en frecuencia (H(ω)), que es una matriz

simétrica de orden K�K. Esto se debe al hecho de que las matrices de masa, rigidez y

amortiguamiento que describen el sistema también lo son.

−��< + ?�J�� = a�� → ? − ��<�J = a

b�� = Ja = ? − ��<�#" (2.22)

− Caso de vibración libre con amortiguamiento proporcional

Si se considera ahora que hay amortiguamiento proporcional, esta matriz puede expresarse de

la siguiente forma:

> = c< + d? (2.23)

La ecuación de movimiento de los sistemas libres (F=0) y con amortiguamiento (C≠0) es:

<=� �� + >=� �� + ?=�� = L (2.24)

Si la respuesta del sistema es de la forma = = J��, y se sustituye tanto esta expresión como

la ecuación 2.23 en la ecuación 2.24, se llega a una ecuación similar a la del caso de vibración

libre sin amortiguamiento, por lo que se resuelven de la misma manera.

��< − %�c< + d?� − ?�J = 0 → e− �� − %�c%�d + 1 < + ?f J = 0 → ? − 4�<�J = 0 (2.25)

donde:

4� = �$#��g��h3" (2.26)


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Se observa que, tal como se predijo, la ecuación 2.25 representa el mismo problema de

autovalores que se presenta en los sistemas sin amortiguamiento. Las soluciones λj y Xj

coinciden con las frecuencias naturales, ω0j, y con los modos de vibración, ϕj, del sistema sin

amortiguar.

4S = ��S (2.27)

Los valores de las frecuencias naturales de este sistema, ωj, se calculan sustituyendo la

ecuación 2.27 en 2.26 y particularizando para la frecuencia j:

�S� − 7c + d��S� 8%�S − ��S� = 0 (2.28)

cuya solución es:

�S = 0g3h�.U$ 1�� ± i��S� − jg3h�.U$� k� (2.29)

La frecuencia natural no amortiguada se definió en la ecuación 2.19.

De esta forma, la ecuación 2.29 puede escribirse:

�S = jc + d TUVUk %2 ± lmSnS − oc + d TUVU2 p� = qS%2nS ± imSnS − e qS2nSf�

= ��SrS% ± ��S�1 − rS� (2.30)

La solución del problema de vibración libre con amortiguamiento proporcional será, por tanto:

= = ∑ JS stS�j#�.UuU3��.U�"#uU$k� + tS′�j#�.UuU#��.U�"#uU$k�w]S^" =∑ xSJS�#�.UuU�cos ��S�1 − rS�� + cS�]S^" (2.31)

donde los valores de bj y aj se pueden obtener a partir de las condiciones iniciales.

− Caso de vibración libre con amortiguamiento

Se considera ahora un caso más general de amortiguamiento, el caso de amortiguamiento

viscoso en vibración libre.


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Si la respuesta se escribe de la forma =�� = J��, la ecuación 2.24 quedará:

−��< + %�> + ?�J��M� = L → −��< + %�> + ?�J = L (2.32)

El problema de autovalores planteado es más complicado de resolver que el visto

anteriormente para los sistemas sin amortiguamiento. Por ello, se recurre a una trasformación

del problema de forma que permita un cálculo más sencillo. La transformación consiste en

convertir el sistema de N ecuaciones diferenciales de segundo orden en otro de 2N ecuaciones

de primer orden. Para ello, a la ecuación de movimiento 2.24 se le añade la identidad <=� �� − <=� �� = L, quedando el siguiente sistema de ecuaciones:

|<=� �� + >=� �� + ?=�� = L<=� �� − <=� �� = L D (2.33)

El siguiente paso sería realizar un cambio de coordenadas con la siguiente variable,

`�� = C=��=� ��D , �̀ �� = C��=� ��D (2.34)

Con esta nueva variable el sistema 2.33 quedará,

E > << L G C��=� ��D + E? LL −<G C=��=� ��D = L→ } �̀ �� + ~`�� = L (2.35)

donde las matrices A y B están formada por una serie de submatrices que se corresponden con

las matrices M, C y K del problema original.

Si la solución de este último sistema de ecuaciones es de la forma `�� = �� y se sustituye

en la ecuación anterior, se obtiene

%�} + ~�� = L (2.36)

que es un problema típico de autovalores.

En el caso de sistemas subamortiguados, como se vio en el caso de un grado de libertad, los

autovalores son complejos, presentándose por pares, ya que para cada uno aparece también

su conjugado complejo. Será, por tanto:

4S = 9S + %�S �t�t : = 1, … , K4S = 9S − %�S �t�t : = K + 1, … ,2K (2.37)


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Sustituyendo los autovalores λj en la ecuación 4} + ~�� = L se obtienen los autovectores

asociados Yj, que son los modos de vibración.

Para el cálculo de la respuesta de este tipo de sistemas hay que recurrir a la superposición

modal [8]. Este método consiste en desacoplar las ecuaciones de movimiento definiendo el

vector desplazamiento como x=Φy, donde y es un vector de coordenadas denominadas

coordenadas normales, y Φ es la matriz modal [3].

Se parte de la ecuación diferencial de primer orden 2.35 y se realiza el cambio:

`�� = �� (2.38)

En la ecuación 2.35 se realiza este cambio y se premultiplica cada término por ΨT,

obteniéndose:

��}�� + ��~�� = L (2.39)

Debido a que los modos son ortogonales respecto a la matrices de masa y de rigidez [3] y, por

tanto, respecto a la matrices A y B, se comprueba que:

��}� = �⋱ ⋯ 0⋮ a� ⋮0 ⋯ ⋱� = � ��~� = �⋱ ⋯ 0⋮ b� ⋮0 ⋯ ⋱� = � (2.40)

donde a y b son matrices diagonales. Como ψj+N=ψj*, es fácil comprobar que aj+N=aj* y bj+N=bj*.

Con todo esto, la ecuación de movimiento puede escribirse como:

�� + �� = L (2.41)

que está formada por 2N ecuaciones de la forma tS��S + xS�S = 0.

Si se realiza la normalización de los modos de vibración de acuerdo con ψrTAψr=1 y teniendo

en cuenta que λrψrTAψr+ ψr

TAψr=0, las matrices a y b se convierten en:

� = N� = −� = −

��4" 00 ⋱ 0 00 0 0 00 00 00 0 4] 00 4"∗ 0 00 00 00 0 0 00 0 ⋱ 00 4]∗ ��

�� (2.42)

donde �es una matriz diagonal formada por los autovalores del sistema.


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En ese caso, la ecuación de movimiento queda de la forma:

�� − ��t� = L (2.43)

que, al igual que la ecuación 2.41, está formada por 2N ecuaciones independientes del tipo ��S − 4S�S = 0. Cada una de las ecuaciones independientes puede escribirse como:

��S = − �U�U �S = 4S�S �t�t : = 1, … ,2K (2.44)

cuya solución es de la forma:

�S = ��U� �t�t : = 1, … ,2K (2.45)

El vector de condiciones iniciales z0 se obtiene mediante la expresión:

�#"��}`� = �#"��}�� = �� (2.46)

Una vez calculadas las respuestas de los diferentes modos, zj, solo hay que aplicar

superposición modal deshaciendo el cambio de coordenadas:

= = ∑ �S�S�]S^" = �� (2.47)

con �S = �S.

− Caso de vibración forzada con amortiguamiento

En el caso de respuesta forzada, el procedimiento a seguir para obtener la solución es el

mismo que en los casos anteriores, definir un vector `�� que contengan los desplazamientos =�� y las velocidades =� ��. Este procedimiento se explicó en el apartado de vibración libre con

amortiguamiento.

El sistema general de ecuaciones resultante en forma matricial es:

E > << L G �̀ �� + E? LL −<G `�� = H@��L I → → } �̀ �� + ~`�� = ¡�� (2.48)

Calculados previamente los autovalores, λj, y los autovectores, Ψj, puede hacerse el cambio de

variables:

` = ¢� (2.49)


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Sustituyendo la ecuación 2.49 en 2.48 y premultiplicando por ΨT se obtiene:

��}�� + ��~�� = �� + �� = ¢�¡�� (2.50)

Particularizando para el modo j y dividiendo por aj la ecuación anterior puede escribirse como:

��S + �U�U �S = ��S − 4S�S = "�U S�£ = ¤S (2.51)

Premultiplicando por �#�U�, la ecuación anterior se transforma en:

−4S�#�U��S + �#�U��S = �#�U�¤S (2.52)

O lo que es lo mismo:

22� 7�#�U��S8 = �#�U�¤S (2.53)

Para obtener la solución hay que integrar la ecuación anterior:

�#�U��S − ��S = ¥ �#�U�¤S¦�§¦�� (2.54)

Con lo que zj puede expresarse como:

�S = ��U��S + ��U� ¥ �#�U�¤S¦�§¦�� (2.55)

Si la excitación es armónica del tipo @�� = a��, que produce un vector ¡�� = ¨�� y otro ©�� = ª��, la respuesta en régimen permanente de cualquier modo de vibración, zj, puede

escribirse:

�S = ��U� ¥ ��#�U�«¬S§¦�� = U®¯°±��#�U = ²U³�U "��#�U ¨�� (2.56)

Con lo que la respuesta general será:

` = ¢� = ∑ S�S�]S^" = ∑ ²U²U³�U "��#�U ¨��]S^" = ∑ j²U²U³�U "��#�U + ²́U²́U³�µU "��#�́Uk]S^" ¨��

(2.57)

Teniendo en cuenta las características de los modos, S, estos pueden expresarse:

S = A4S �S �S B = A4S�S�S B (2.58)


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y como ¨ = ¶0 �·�, la respuesta x del sistema puede expresarse como:

= = �� = ¸ �S�S�]

S^" = ¸ �S�S�tS1%� − 4S ¨��]

S^" =

∑ j¹U¹U³�U "��#�U + ¹́U¹́U³�µU "��#�́Uk]S^" a�� (2.59)

Las ecuaciones anteriores pueden expresarse matricialmente de la forma:

� = b��#"��¡= = �b��#"��@ (2.60)

donde � es una matriz modal de dimensión Nx2N formada por la segunda parte de los 2N

modos, es decir, la parte de los modos asociada a los movimientos x. Las matrices a y H(ω) son

matrices diagonales cuyos términos son aj y:

�S = "��#�U (2.61)

2.1.3. Análisis modal experimental

El análisis modal experimental es una técnica mediante la cual se caracteriza el

comportamiento dinámico de un objeto o estructura, obteniendo un modelo dinámico

experimental [9].

Este tipo de análisis modal se compone de cinco fases [3]. La primera de ellas es montar el

equipo y preparar el ensayo: colocación del objeto de ensayo, sujeción de los acelerómetros,

conexión del sistema de adquisición de datos, calibración, etc. La segunda fase es la

adquisición de datos y la estimación de las funciones de respuesta en frecuencia (H(ω)). La

tercera consiste en la identificación del sistema: la determinación de las características del

sistema a partir de las señales de entrada (excitación, F(t)) y salida (respuesta, X(t)). La cuarta

fase es la validación de los resultados obtenidos. Estas cuatro fases son necesarias para

alcanzar la quinta: uso de la información obtenida para mejorar el modelo teórico.

Para la adquisición de datos es necesario transmitir una excitación al sistema. Esta puede ser

mediante impactos o mediante una excitación continua, aleatoria o sinusoidal.

Las principales características de los análisis experimentales son [8]:


19

− El número de modos será menor que el máximo entre el número de puntos donde se

aplica la excitación y el número de puntos en los que se va a medir.

− No incluye grados de libertad de giro.

− El número de modos a determinar queda limitado por la máxima frecuencia que pueda

alcanzar los equipos de medida.

Durante los ensayos realizados se extraen datos temporales mediante acelerómetros u otros

sensores de medida. Para poder calcular la función de respuesta en frecuencia (a partir de

ahora FRF) se transforman los datos al dominio de la frecuencia usando la Transformada de

Fourier [10]. La FRF se define, tal y como se explicó en el apartado de análisis modal teórico,

como el cociente entre la respuesta del sistema y la fuerza aplicada al mismo. La respuesta del

sistema puede ser medida como desplazamientos, velocidades o aceleraciones.

�� → �� → �� = ��!�� (2.62)

Debido a la trasformación que sufren los datos, la FRF estará formada de valores complejos.

Esto significa que esta función contendrá una parte real y otra imaginaria, o, lo que es lo

mismo, una componente en fase y otra en magnitud.

En la FRF aparecen picos pronunciados en torno a las frecuencias naturales del sistema [11].

Además, se observa que estos picos coinciden con zonas donde la respuesta temporal tiene

amplitudes máximas. Por tanto, se puede usar tanto la respuesta temporal como la FRF para

determinar estas frecuencias.

Figura 2.5 FRF y señal temporal de un sistema cualquiera [11]


20

Al observar el modo en que se deforma el objeto de estudio en torno a las frecuencias

naturales, se confirma que en cada una de ellas hay una deformada diferente. Estas

deformadas se conocen como modos de vibración. En la figura 2.6 se observan la respuesta

temporal, la FRF y los modos de vibración para las primeras cuatro frecuencias de una placa

libre. Aparecen dos modos de vibración de flexión pura (el primero y el tercero) y otros dos de

torsión pura (el segundo y el cuarto).

Figura 2.6 Diferentes modos de vibración para distintas frecuencias [11]

Las frecuencias naturales y modos de vibración aparecen en todas las estructuras y objetos

que se diseñan en ingeniería. Ciertas características, como la masa y la rigidez, determinan

estas frecuencias y modos, como se vio en el apartado 2.1.

Para mostrar el proceso se estudia una barra empotrada en uno de sus extremos con tres

puntos de medida. Hay tres posibles puntos donde la fuerza puede ser aplicada y los mismos

tres puntos donde la respuesta puede ser medida. Esto significa que hay un total de 9 posibles

valores complejos de la FRF que pueden ser adquiridos (9 valores de fase y otros 9 de

magnitud). La FRF suele ser descrita con dos subíndices que denotan los puntos donde se

aplican la fuerza y donde se mide la excitación, Hout,in (con respecto a la notación matricial,

sería Hfila, columna).


21

Figura 2.7 Modos de vibración de una barra empotrada en uno de sus extremos [11]

Si en la barra de la figura 2.7 se mide la excitación en el mismo punto donde se excita, por

ejemplo, el punto j, se obtendrá la componente Hjj de la FRF. Esta es una medida especial,

cuyas características son:

− Todos los picos de resonancia están separados por anti-resonancias. Las anti-

resonancias no son más que frecuencias en las que la amplitud es nula. (Ver Figura 2.8)

− La fase pierde 180 grados al pasar por un pico de resonancia, y pierde 180 grados

cuando se pasa por un pico de anti-resonancia. (Ver Figura 2.8)

− Los picos en la parte imaginaria de la FRF tienen todos los puntos en la misma

dirección. (Ver Figura 2.8)

Figura 2.8 Componente Hjj de la FRF

Por otro lado, la función de respuesta en frecuencia es simétrica. Esto es debido al hecho de

que las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez que describen el sistema también lo son.

Por tanto, Hij=Hji, propiedad que es llamada reciprocidad. De este modo, no es necesario medir

todos los términos de la matriz FRF, solo es necesario conocer una fila o una columna de la

misma para obtener todo los modos de vibración y frecuencias naturales.


22

Para explicar esto último, se van a comparar distintas componentes de la FRF de la barra del

ejemplo. Primero se verá la tercera fila de la FRF, centrándose en el primer modo. En la gráfica

de la parte imaginaria de la FRF se observa perfectamente este primer modo (figura 2.9, a). Por

lo que es fácil extraer la forma del modo de los datos medidos. Si se observa el mismo modo

en la segunda fila (figura 2.9, b), también se puede ver la misma forma del primer modo. Esto

significa que se puede usar cualquier fila para describir la forma de un modo del sistema.

Figura 2.9 Primer modo obtenido dos filas distintas de una barra empotrada en un extremo

Al centrarse en la tercera fila de nuevo, pero en el segundo modo, se observa perfectamente,

igual que ocurrió en la figura 2.9, a. Sin embargo, al centrarse en la segunda fila, el modo

segundo no se puede ver (figura 2.10, b). Esto ocurre porque el punto de referencia coincide

con un nodo para este modo.

Figura 2.10 Modo segundo para la tercera y segunda columna de la FRF de una barra

empotrada en un extremo


23

Esto último es muy importante en análisis modal experimental: el punto de referencia nunca

puede coincidir con un nodo ya que este modo no se observará en las medidas de la FRF y, por

tanto, el modo no podrá ser obtenido.

Si se aplicara la fuerza en el punto i y se midiera la respuesta en el punto j, se obtendría la

componente ij de la función de respuesta en frecuencia, Hij. Existen dos métodos posibles:

− Excitar en todos los puntos y solo medir en uno de ellos (con un martillo, por ejemplo),

lo que daría como resultado una fila de la FRF.

− Excitar en un solo punto y medir en todos (con un excitador, por ejemplo), lo que daría

como resultado una columna de la FRF.

Teóricamente, no hay diferencia entre estos dos métodos, puesto que la FRF se calcula a partir

de las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, que son simétricas [11]. Por el contrario,

esto podría no ocurrir en la práctica. En un ensayo en el que se excita en solo un punto, el peso

de los acelerómetros relativo al peso de las diferentes partes de la estructura puede ser

importante. Esto se acentúa en sistemas con muchos canales donde los acelerómetros se

mueven por todo el sistema para poder adquirir los puntos. Esto puede resultar un problema

especialmente en estructuras ligeras. Una posible solución es montar todos los acelerómetros

en la estructura, aunque solo se mida en alguno de ellos. Otra diferencia puede resultar de los

efectos del excitador, ya que los modos de la estructura pueden verse afectados [12]. Por

tanto, es más recomendable obtener filas de la FRF y no columnas.

La medida más importante que se necesita para el análisis modal experimental es la FRF. Suele

ser adquirida usando un sistema de adquisición con un software que desarrolle la

transformada rápida de Fourier [11].

En el proceso de la adquisición de datos, primero hay una señal analógica que se obtiene

directamente del aparato de medida. Esta señal analógica debe ser filtrada para eliminar el

aliasing en altas frecuencias. En procesamiento de señales, el aliasing es el efecto que causa

que señales continuas distintas se tornen indistinguibles cuando se muestrean digitalmente.

Cuando esto sucede, la señal original no puede ser reconstruida de forma unívoca a partir de la

señal digital. A los filtros usados para evitar este fenómeno se les denomina filtros anti-

aliasing. El siguiente paso es digitalizar la señal analógica. Esto se realiza con convertidor

digital-analógico. Este proceso usa convertidores de 10, 12 o 16 bits; cuantos más bits, mejor

resolución tendrá la señal digitalizada.


24

Algunas de las grandes preocupaciones radican en el muestreo y en los errores de

cuantización, que pueden introducirse en la digitalización sin que puedan ser detectados. El

índice de muestreo controla la resolución en la representación de la señales, tanto en el

dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Por otra parte, los errores de cuantización

están asociados con la precisión de la magnitud de la señal. Estos dos parámetros pueden

causar algunos errores en los datos medidos. No obstante, el peor error que puede ocurrir en

el procesamiento de la señal es el leakage. El leakage ocurre si, cuando se calcula

la transformada rápida de Fourier, alguna de las componentes frecuenciales cae entre

frecuencias de referencia. La transformada rápida de Fourier necesita que los datos de

muestreo sean una completa representación de los datos temporales o una repetición

periódica de los datos medidos. Si esto no ocurriese, el leakage causa una distorsión o

difuminación de las frecuencias. Para minimizar esta distorsión, funciones de ponderación

llamadas ventanas se usan para que los datos de muestreo aparezcan con la periodicidad que

necesita la FFT (transformada rápida de Fourier). Aunque estas ventanas reducen el efecto de

este fenómeno, no lo eliminan por completo.

Una vez que los datos están muestreados, se computa la FFT para formar un espectro lineal de

la excitación (entrada) y de la respuesta (salida). Los principales espectros computados son los

de salida, los de entrada y el espectro cruzado entre la salida y la entrada. Estas funciones se

usan para construir dos funciones importantes que se usan la adquisición modal: la FRF y la

función de coherencia. Esta última se usa como una herramienta para el cálculo de la calidad

de los datos que identifica cuanto de relacionada está la salida con la entrada.

En párrafos anteriores se mencionó que la excitación se puede llevar a cabo en un punto

midiendo en todos o excitar en todos los puntos y medir solo en uno. El primero de los casos

se realiza mediante impactos mientras que el segundo, con una vibración continua [11].

Con respecto a los ensayos por impactos, hay dos consideraciones muy importantes a tener en

cuenta. Uno de ellos es la selección de la punta del martillo, ya que el rango de frecuencias de

la excitación es controlada principalmente por la dureza de la punta seleccionada. Cuanto más

dura sea, más ancho será el rango de frecuencia que se excite. El segundo aspecto está

relacionado con el uso de una ventana exponencial para la respuesta del acelerómetro.

Generalmente para estructuras con poco amortiguamiento, la respuesta debida a un impacto

no llegará a cero al final del intervalo muestreado. En estos casos, los datos transformados

sufrirán algunos de los fenómenos explicados anteriormente, tales como el leakage. Para


25

excitaciones mediante impactos, la ventana más usada para disminuir el leakage es la

exponencial.

El segundo tipo de excitación que puede darse es una vibración continua. La consideración más

importante a tener en cuenta se centra en los efectos de las señales de excitación que

minimiza o incluso elimina la necesidad de usar ventanas. Una de las excitaciones más usadas

es la excitación aleatoria (random) por su fácil implementación. No obstante, debido a su

naturaleza, el fenómeno del leakage se acentúa, y se vuelve un problema serio aunque se usen

ventanas. Por ello, el tipo de excitación más común es una sinusoidal, ya que no necesita el uso

de ventanas por ser una función periódica.

2.2. Teoría de placas


A través de la teoría de placas se pueden calcular las frecuencias naturales y los modos de

vibración de diversos elementos, al igual que con el análisis modal.

En este proyecto se va a estudiar el comportamiento de una placa delgada. Se considera que

las flechas º de la placa son pequeñas comparadas con el espesor de la misma. Ante esta

situación se pueden realizar una serie de hipótesis, que son [13]:

− No hay deformación en el plano medio de la placa. Este plano permanece neutro

durante la flexión.

− Los puntos situados en la situación indeformada en una normal al plano medio de la

placa permanecen en la situación deformada en una normal a la superficie media de la

placa. Por tanto, se pueden despreciar los esfuerzos cortantes en la deformación de la

placa.

− Las tensiones normales en la dirección transversal de la placa son despreciables.

Consecuentemente con estas hipótesis, todas las tensiones pueden expresarse en función de

la flecha º de la placa, que a su vez es función de las coordenadas en el plano medio de la

placa.

Para poder calcular las frecuencias naturales y los modos de vibración de una placa se debe

obtener primero la ecuación de la misma en función de la frecuencia. Una vez calculada, se

aplicará las condiciones de contorno correspondientes y, entonces, se podrá resolver. Aunque


26

este es el procedimiento general, la obtención de las frecuencias y los modos se realizará de

diferente manera según el método aplicado. Por ello, este procedimiento se detallará cuando

se expliquen los distintos métodos.

2.2.2. Ecuación diferencial de la flexión de placas

Se empieza planteando el equilibrio en un elemento diferencial de la placa, de dimensiones §� ∙ §_, sometido a un estado de fuerzas generalizado ��, _� [14]. En la figura 2.5 quedan

representados los momentos internos flectores (Mx, My) y de torsión (Mxy) y los esfuerzos

cortantes (Tx, Ty).

Figura 2.11 Diagrama de fuerzas y momentos en un elemento de dimensiones dx.dy

Realizando equilibrio de momentos alrededor de la línea _ = §_ 26 :

¼V½¾¼¿ §�§_ + ¼V¾¾¼À §�§_ + ÁÀ§�§_ + ¼�¾¼À §�§_ "� §_ = 0 (2.63)

Despreciando el término ¼�¾¼À §�§_ "� §_, por ser un término de orden superior, y dividiendo la

ecuación entre §�§_, se obtiene:

¼V½¾¼¿ + ¼V¾¾¼À + ÁÀ = 0 (2.64)

De manera similar, la suma de momentos alrededor de la línea � = §� 26 da como resultado:


27

ÂnÀ¿Â_ §�§_ + Ân¿¿Â� §�§_ + Á¿§�§_ + ÂÁ¿Â� §�§_ 12 §� = 0

¼V½½¼¿ + ¼V¾½¼À + Á¿ = 0 (2.65)

Otra ecuación se puede obtener sumando todas las fuerzas en la dirección �. Además de los

momentos y las fuerzas que aparecen en el diagrama de la figura 2.11, se asume que también

hay aplicada una fuerza externa p(x,y) en dirección z, que se añade a la ecuación de equilibro

siguiente.

�§�§_ − Á¿§_ + 0Á¿ + ¼�½¼¿ §�1 §_ − ÁÀ§� + 0ÁÀ + ¼�¾¼À §_1 §� = 0 (2.66)

Dividiendo entre §�§_ resulta: � + ¼�½¼¿ + ¼�¾¼À = 0 (2.67)

Sustituyendo las ecuaciones 2.64 y 2.65 en la ecuación 2.67 se obtiene la relación existente

entre las fuerzas externas y los momentos internos,

� = ¼$V½½¼¿$ + 2 ¼$V½¾¼¿¼À + ¼$V¾¾¼À$ (2.68)

Los momentos internos de flexión y de torsión que aparecen en la ecuación anterior se

relacionan con las tensiones a las que está sometida la placa de la siguiente forma [14]:

n¿¿ = − Ã 9¿�§�Ä �6#Ä �6

nÀÀ = − ¥ 9À�§�Ä �6#Ä �6 (2.69)

n¿À = − Ã ¦¿À�§�Ä �6#Ä �6

siendo σx y σy las tensiones en dirección x e y respectivamente y τxy la tensión tangencial.

La tensión en una dirección puede relacionarse con la deformación provocada en la misma

dirección mediante la Ley de Hooke, suponiendo materiales elásticos y lineales [15],

Å� = Æ¯Ç¯ (2.70)

con εi la deformación en la dirección i y Ei el módulo de Young en la dirección i.


28

Esta ley está asociada a estados uniaxiales de tensión, por lo que es precisa su generalización

a estados bidimensionales. La tensión 9� provoca un alargamiento en la dirección i, pero

también un acortamiento en la dirección perpendicular. Por lo tanto, el valor total de la

deformación en la dirección x vendrá expresado por:

Å¿ = Æ½Ç½ − ÈÀ Æ¾Ç¾ (2.71)

siendo νy el coeficiente de Poisson en la dirección y.

Esto puede extenderse de forma inmediata a la dirección y:

ÅÀ = Æ¾Ç¾ − È¿ Æ½Ç½ (2.72)

Despejando de las dos ecuaciones anteriores (2.71, 2.72) los valores de las tensiones 9¿ y 9À,

se obtiene: 9¿ = Ç½"#É½É¾ 7Å¿ + ÈÀÅÀ89À = Ç¾"#É½É¾ 7ÅÀ + È¿Å¿8 (2.73)

De una forma similar se va a relacionar la tensión tangencial ¦¿À con la deformación tangencial Ê¿À: ¦¿À = Ë¿À ∙ Ê¿À (2.74)

siendo Ë¿À el módulo de elasticidad tangencial o módulo de cizalladura, y definiéndose como

sigue: Ë¿À = Ç½Ç¾Ç½37"3�É½¾8Ç¾ (2.75)

Por último, se va a relacionar las deformaciones normales y tangenciales con los

desplazamientos del plano medio de la placa. Dicha relación se puede expresar según la teoría

de la elasticidad plana como [15]:

Å¿ = ¼Ì¼¿ ÅÀ = ¼Í¼À Ê¿À = ¼Ì¼¿ + ¼Í¼À (2.76)

Si se considera ahora un elemento de la placa sometida a una carga vertical externa, los

ángulos de rotación de este son: ¿ = ¼M¼¿ À = ¼M¼À (2.77)


29

Los desplazamientos horizontales a una distancia � del medio de la placa se expresan:

Î = −� ¿ = −� ¼M¼¿ Ï = −� À = −� ¼M¼À (2.78)

Por lo que las deformaciones finalmente quedan:

Å¿ = −� ¼$M¼¿$ ÅÀ = −� ¼$M¼À$ Ê¿À = −2� ¼$M¼¿¼À (2.79)

Sustituyendo la ecuación 2.79 en 2.73 y 2.74, y posteriormente, en 2.69, se obtiene la

expresión de los momentos internos de flexión y de torsión en función de la deflexión de la

placa.

|9¿ = − Ð¿�1 − È¿ÈÀ eÂ�ºÂ�� + ÈÀ Â�ºÂ_� f9À = − ÐÀ�1 − È¿ÈÀ eÂ�ºÂ_� + È¿ Â�ºÂ�� f

¦¿À = −2Ë¿À� Â�ºÂ�Â_ ÑÒÒÓÒÒÔ →

→ÕÒÖÒ×n¿¿ = Ç½ÄØ"�7"#É½É¾8 0¼$M¼¿$ + ÈÀ ¼$M¼À$ 1

nÀÀ = Ç¾ÄØ"�7"#É½É¾8 0¼$M¼À$ + È¿ ¼$M¼¿$ 1n¿À = Ù½¾ÄØÚ ¼$M¼¿¼À

| (2.80)

siendo h el espesor de la placa.

Se define ahora las rigideces a flexión Û¿ y ÛÀ y a torsión Û� como:

Û¿ = Ç½ÄØ"�7"#É½É¾8 ÛÀ = Ç¾ÄØ"�7"#É½É¾8 Û� = Ù½¾ÄØ"� (2.81)

Por tanto, los momentos internos a flexión y a torsión de la ecuación 2.80 se pueden reescribir

como:

n¿¿ = Û¿ eÂ�ºÂ�� + ÈÀ Â�ºÂ_� f

nÀÀ = ÛÀ 0¼$M¼À$ + È¿ ¼$M¼¿$ 1 (2.82)

n¿À = 2Û� Â�ºÂ�Â_


30

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 2.68,

Û¿ 0¼ÜM¼¿Ü + ÈÀ ¼ÜM¼¿$¼À$1 + 2 02Û� ¼ÜM¼¿$¼À$1 + _ 0¼ÜM¼ÀÜ + È¿ ¼ÜM¼¿$¼À$1 = ��, _� (2.83)

agrupando términos,

Û¿ ¼ÜM¼¿Ü + 7Û¿ÈÀ + 4Û� + ÛÀÈ¿8 ¼ÜM¼¿$¼À$ + ÛÀ ¼ÜM¼ÀÜ = ��, _� (2.84)

e introduciendo la notación,

2Û¿À = Û¿ÈÀ + 4Û� + ÛÀÈ¿ (2.85)

La ecuación 2.84 queda finalmente:

Û¿ ¼ÜM¼¿Ü + 2Û¿À ¼ÜM¼¿$¼À$ + ÛÀ ¼ÜM¼ÀÜ = ��, _� (2.86)

La ecuación 2.86 es la ecuación diferencial general de una placa ortótropa. Esta expresión se

puede particularizar para una placa isótropa. Las características de este tipo de placa son:

− Las rigideces a flexión y a torsión son iguales en ambas direcciones:Û = Û¿ = ÛÀ =Û¿À.

− Los módulos de Poisson son iguales en ambas direcciones: È = È¿ = ÈÀ.

− El módulo de cizalladura queda entonces: Ë = Ç�"3É�. Con todo esto, la ecuación quedará para una placa isótropa:

Û 0¼ÜM¼¿Ü + 2 ¼ÜM¼¿$¼À$ + ¼ÜM¼ÀÜ 1 = ��, _� (2.87)

En este proyecto se estudian placas isótropas, por lo que la expresión que se usará de aquí en

adelante será la ecuación 2.87.

2.2.3. Solución de la ecuación diferencial

En general hay tres métodos analíticos para resolver la ecuación diferencial de la placa [13].

Estos son:

− Método de Navier

− Método de Levy

− Método de Ritz


31

Para resolver la ecuación es necesario especificar a priori las condiciones de contorno a las que

estará sometida la placa. El método de Levy utiliza series simples y expresa la solución de la

ecuación de la placa como una suma de una solución particular más una homogénea. Otro

método clásico, el de Navier, consiste en usar series trigonométricas dobles. El método de

Ritz, o de la energía, también usa este tipo de series para la resolución de la ecuación

diferencial. La diferencia con el de Navier es que este método se basa en la ley de conservación

de la energía de sistemas conservativos que se encuentran en una configuración de equilibrio,

por lo que se exige que la suma total de los trabajaos internos sea igual y de signo contrario a

la suma de los trabajos externos.

2.2.3.1. Método de Navier

El método de Navier consiste en expresar la deflexión y la carga lateral como series

trigonométricas dobles. La única condición de contorno para la que este método es aplicable

es simplemente apoyada en todo el perímetro.

El método se basa en desarrollar una función dada �, _�, que será la deflexión, en series de

dos variables, usando la expresión:

�, _� = ∑ ∑ ��Þ sin �á¿� cos ÞáÀ�âÞ^"â�^" (2.88) donde a y b son las dimensiones de la placa y Fmn un coeficiente que se determina a

continuación.

Para obtener los coeficientes Fmn, la ecuación 2.88 es multiplicada por Z%\ �á¿� Z%\ SáÀ� y el

resultado es integrado entre los límites de la placa: ¥ ¥ �, _� Z%\ �á¿� Z%\ SáÀ� §�§_�� =

∑ ∑ ��Þ ¥ Z%\ �á¿� Z%\ �á¿� §�� ¥ Z%\ SáÀ� Z%\ ÞáÀ� §_��âÞ^"â�^" (2.89) Dada la ortogonalidad de la función seno, se tiene que:

¥ Z%\ �á¿� Z%\ �á¿�� §_�� = ã0 �t�t \ ≠ :�� t�t \ = :|¥ Z%\ SáÀ� Z%\ ÞáÀ� §_�� = ã0 �t�t \ ≠ :�� t�t \ = :| (2.90)


32

Sustituyendo la ecuación 2.90 en 2.89, y despejando de esta última el coeficiente Fmn, queda:

��Þ = *�� ¥ ¥ �, _� Z%\ �á¿� Z%\ ÞáÀ� §�§_�� 2.91) Para el caso que atañe, la resolución de la ecuación diferencial de gobierno de la placa se

realiza en tres pasos:

1. La deflexión es expresada con una serie doble de senos, al igual que se hizo con la

función f(x,y) en la ecuación 2.88: º�, _� = ∑ ∑ å�Þ Z%\ �á¿� �YZ ÞáÀ�âÞ^"â�^" (2.92) 2. La carga lateral ��, _�es también representada con una serie doble de senos: ��, _� = ∑ ∑ ç�Þ Z%\ �á¿� �YZ ÞáÀ�âÞ^"â�^" (2.93)

El coeficiente ç�Þes calculado como Fmn (ecuación 2.91): ç�Þ = *�� ¥ ¥ ��, _� Z%\ �á¿� Z%\ ÞáÀ� §�§_�� (2.94) 3. Sustituyendo los valores de la deflexión y de las cargas laterales obtenidas en la

ecuación general diferencial de placas 2.87, se calcula los coeficientes å�Þ: ∑ ∑ å�Þ j0�á� 1* + 2 0�á� 1� 0Þá� 1� + 0Þá� 1*k sin êëìí �YZ ÞáÀ�âÞ^"â�^" =

∑ ∑ îïðñ sin êëìí cos òëóôâÞ^"â�^" (2.95)

Reordenando esta ecuación se tiene: å�Þ = õ�ö÷áÜj0�ø 1$30öù1$k$ (2.96)

Finalmente, la deflexión de la placa queda determinada por: º�, _� = ∑ ∑ õ�ö÷áÜj0�ø 1$30öù1$k$ sin �á¿� cos ÞáÀ�âÞ^"â�^" (2.97)

Para el cálculo de las frecuencias naturales y los modos de vibración se asumen vibración libre.

Esto implica que la única fuerza que actúa en el sistema es el propio peso de la placa, es decir: ��, _� = −úÎ� �, _� (2.98)

con ú la densidad por unidad de área.

Si se asume vibración armónica, el vector u(x,y,t) se puede expresar como: Î�, _, �� = º�, _� cos �� (2.99)

Por lo tanto, la segunda derivada de este vector será: Î� �, _, �� = −��º�, _� cos �� → Î� �, _� = −��º�, _� (2.100)


33

Al sustituir la primera ecuación de 2.100 en 2.98 se obtiene la expresión de la fuerza p en

función de la frecuencia ω. Si, a su vez, se sustituye esta nueva expresión en la ecuación

diferencial de la placa 2.87, se obtiene:

Û 0¼ÜM¼¿Ü + 2 ¼ÜM¼¿$¼À$ + ¼ÜM¼ÀÜ 1 − ú��º = 0 (2.101)

Como el único caso que se puede resolver por este método es que la placa esté simplemente

apoyada en todo el perímetro, las condiciones de contorno quedarán como:

|º0, _� = 0 → 0¼M¼À1�,À = 0 → 0¼$M¼À$ 1�,À = 0n¿¿ = 0 → 0¼$M¼¿$ + È ¼$M¼À$ 1�,À = 0 û

|ºt, _� = 0 → 0¼M¼À1�,À = 0 → 0¼$M¼À$ 1�,À = 0n¿¿ = 0 → 0¼$M¼¿$ + È ¼$M¼À$ 1�,À = 0 û

|º�, 0� = 0 → 0¼M¼¿ 1¿,� = 0 → 0¼$M¼¿$ 1¿,� = 0nÀÀ = 0 → 0¼$M¼À$ + È ¼$M¼¿$ 1¿,� = 0 û

|º�, x� = 0 → 0¼M¼¿ 1¿,� = 0 → 0¼$M¼¿$ 1¿,� = 0nÀÀ = 0 → 0¼$M¼À$ + È ¼$M¼¿$ 1¿,� = 0 û

(2.102)

Se asume la siguiente expresión de la deflexión, que cumple las condiciones de contorno

anteriormente escritas [13]: º�Þ = å�Þ sin �á¿� sin Þá¿� (2.103)

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación 2.101 se pueden obtener las frecuencias

naturales:

Û j0�á� 1* + 2 0�á� 1� 0Þá� 1� + 0Þá� 1*k = ú�� →→ ��Þ = �÷ü ý� j0�� 1� + 0Þ�1�k (2.104)

Y los modos de vibración, basándose en la ecuación, tendrán la forma: þ�Þ = ��Þ sin �á¿� sin Þá¿� (2.105)

2.2.3.2. Método de Levy

El método de Levy está basado en series simples. La solución para la deflexión es separada en

dos partes, una solución particular (ºõ) y una solución de la ecuación homogénea (º�),

º�, _� = ºõ + º� (2.106)


34

Para obtener la solución particular por este método es necesario que dos lados opuestos de la

placa estén simplemente apoyados. Los otros dos pueden tener cualquier condición de

contorno.

En lo que sigue se supone que los ejes � = 0 y � = t están simplemente apoyados, y que el

origen del sistema de coordenadas se traslada al punto � = 0, _ = x 26 . También se asume que

las cargas laterales tienen la misma distribución en todas las secciones paralelas al eje x.

La solución particular es obtenida asumiendo que la placa tiene longitud infinita en la dirección

y, es decir, x → ∞. La ecuación de la placa 2.87 se simplifica:

2ÜM�(¿)2¿Ü = �(¿)

÷ (2.107)

Esta ecuación se puede resolver usando el método de Navier. Para ello se define la deflexión

de manera homóloga a como se hizo en la ecuación 2.92 y la carga externa como la ecuación

2.93:

º�(�) = ∑ å� Z%\ �á¿�

â�^" (2.108)

�(�) = ∑ ç� sin �á¿�

â�^" (2.109)

Para calcular el coeficiente Pm se multiplica la ecuación 2.101 por Z%\ �á¿� y se integra el

resultado:

¥ �(�)Z%\ �á¿� §��

� = ∑ ç� ¥ sin �á¿� Z%\ �á¿

� §��

â�^" (2.110)

Teniendo en cuenta la ortogonalidad de la función seno (primera ecuación de 2.90) y

despejando el valor de Pm de la ecuación 2.103 se obtiene:

ç� = �� ¥ �(�)Z%\ �á¿

� §�� (2.111)

Para el cálculo del coeficiente Wm, se sustituyen las ecuaciones 2.101 y 2.102 en la ecuación

2.99:

∑ å� 0�á� 1* sin �á¿

�â�^" = ∑ õ�

÷ sin �á¿�

â�^" (2.112)


35

Reordenando esta ecuación se tiene:

å� = õ�÷0��

ø 1Ü (2.113)

Una vez definida la solución particular, el siguiente paso es calcular la solución de la ecuación

homogénea. Se asume que º� puede ser escrita como el producto de dos funciones

individuales �(�) e �(_),

º� = �(�)�(_) (2.114)

Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial de placa homogénea se obtiene:

¼ÜM¼¿Ü + 2 ¼ÜM

¼¿$¼À$ + ¼ÜM¼ÀÜ = 0 → �� + 2�� + �� = 0 (2.115)

La parte homogénea de la deflexión se puede expresar con una serie simple trigonométrica:

º�(�) = ∑ �(_) sin �á¿�

â�^" (2.116)

Esta expresión satisface las condiciones de contorno de simplemente apoyado en � = 0 y

� = t, como º� = 0 y ¼$M¼¿$ = 0 respectivamente. Sustituyendo º� (ecuación 2.107) en 2.107,

se tiene:

∑ sin �á¿� j0�á

� 1* �(_) − 2 0�á� 1� �(_) + �(_)kâ�^" = 0 (2.117)

Para un valor específico � esta ecuación se puede escribir como:

0�á� 1* �_� − 2 0�á� 1� �_� + ��_� = 0 (2.118)

la cual es una ecuación lineal homogénea diferencial de cuarto orden con coeficientes

constantes. Una solución de la ecuación 2.110 puede ser dada en forma de funciones

hiperbólicas:

� = X� cosh�áÀ� + [� �áÀ� sinh�áÀ� + q� sinh�áÀ� + Û� �áÀ� sinh�áÀ� (2.119)

Las constantes X�, [�,q� y Û� se determinan con las condiciones de contorno en los cuatro

lados de la placa.

Si las condiciones de contorno son simétricas respecto al eje x, la deflexión es una función par

de y: º+_� = º−_�. Consecuentemente, los coeficientes q� y Û� son ceros, y la función

2.111 se simplifica:


36

� = X� cosh�áÀ� + [�

�áÀ� sinh�áÀ

� (2.120)

Por consiguiente, en el caso de condiciones de contorno idénticas en _ = ± �� la ecuación

diferencial de la placa se puede representar por:

º(�, _) = ºõ + º� =

= ∑ å� sin �á¿�

â�^" + ∑ 0X� cosh�áÀ� + [�

�áÀ� sinh�áÀ

� 1 sin �á¿�

â�^" (2.121)

El cálculo de las frecuencias y los modos de vibración se realiza de forma similar a como se hizo

en el caso de Navier. La función de la deflexión que se elija debe cumplir con las condiciones

de contorno que se tengan en cada caso.

2.2.3.3. Método de la energía o método de Ritz

Los métodos de la energía son los más generales en cuanto a condiciones de contorno se

refieren, pues puede aplicarse a cualquier caso. Están basados en el principio de conservación

de la energía [16], el cual requiere que el trabajo total interno sea igual y opuesto al trabajo

externo, �� + �® = 0 (2.122)

donde �® es el potencial de las fuerzas externas y �� la energía de deformación almacenada en

la placa durante la deformación. El método de Ritz usa este principio de conservación de la

energía.

La energía interna o energía de deformación �� se calcula integrando el trabajo de las fuerzas

internas en el área de la placa. En general, en la energía de deformación de la placa

contribuyen los efectos de membrana y de flexión. Los esfuerzos de membrana son el

promedio de los esfuerzos producidos [17]. La diferencia entre los esfuerzos de membrana y

los de flexión se representan en la siguiente figura:

Figura 2.12 Esfuerzos de membrana y de flexión


37

En la teoría de pequeñas deflexiones, los efectos de membrana y de flexión están

desacoplados, por lo que se pueden tratar por separado. En este caso, aunque los esfuerzos

cortantes produzcan energía de deformación adicional, el orden de magnitud de esta es muy

pequeño en comparación con la energía de deformación asociada a la flexión, por lo que se

puede despreciar.

La energía de deformación de membrana es denotada por Uim y la de flexión por Uib, y se

definen como:

�� = "�∬79¿ℎÅ¿ + 9ÀℎÅÀ + ¦¿ÀℎÊ¿À8§¿§À�� = "

�∬7n¿¿�¿ + nÀÀ�À + 2n¿À�¿À8§¿§À (2.123)

donde Mxx, Myy, Mxy y �¿, �À, �¿À son los momentos internos y los correspondientes cambios

de curvatura de la placa producida por la flexión. La tensión de la placa es denotada por 9¿, 9¿

y ¦¿À, y la deformación por Å¿, ÅÀ, Ê¿À.

En pequeñas deformaciones, debido a la hipótesis de que no actúan fuerzas en el plano de la

placa, el estiramiento de la placa será de un orden muy pequeño y la energía de deformación

de membrana se puede despreciar. Por tanto, el potencial total de una placa será:

�® + �� = 0 (2.124)

Los momentos internos anteriormente mencionados son:

n¿¿ = Û 0¼$M¼¿$ + È ¼$M

¼À$ 1nÀÀ = Û 0È ¼$M

¼¿$ + ¼$M¼À$ 1

n¿À = Û(1 − È) ¼$M¼¿¼À

(2.125)

Y los cambios de curvatura de la placa son:

�¿ = ¼$M¼¿$�À = ¼$M¼À$�¿À = ¼$M¼¿¼À

(2.126)

Por tanto, la energía de flexión de la placa se puede expresar como:


38

�� = "�∬Û E0¼$M

¼¿$ + È ¼$M¼À$ 1 ¼$M

¼¿$ + 0È ¼$M¼¿$ + ¼$M

¼À$ 1 ¼$M¼À$ + 2(1 − È) ¼$M

¼¿¼À¼$M

¼¿¼ÀG §�§_ ="�∬Û A0¼$M

¼¿$ + ¼$M¼À$ 1� − 2(1 − È) j¼$M

¼¿$¼$M¼À$ − 0 ¼$M

¼¿¼À1�kB §�§_ (2.127)

Por otro lado, el potencial de las fuerzas externas se puede escribir como:

�® = −�∬7�¿Î + �ÀÏ + ��º8§�§_ + ∑ ç�∆�� + ∑ n�Θ�� (2.128)

donde �¿, �À, �� representan las cargas uniformemente distribuidas, ç� las cargas

concentradas y n� los momentos. Las correspondientes componentes del desplazamiento se

denotan por Î, Ï, º, ∆ y Θ, correspondiendo los tres primeros a desplazamientos y los dos

últimos a rotaciones.

En el método de Ritz la deflexión se describe en forma de series,

º(�, _) = �""�, _� + ��, _� + �FF�, _� + ⋯ + �ÞÞ�, _� (2.129)

donde ��, _� son funciones continuas que individualmente satisfacen las condiciones de

contorno geométricas. Las constantes desconocidas �", ��, ⋯ �Þ se determinan con el principio

de energía potencial mínima [18]:

¼�¼'� = 0, ¼�¼'$ = 0, ⋯ , ¼�¼'ö = 0 (2.130)

donde Π es el potencial total de la placa.

Este método se explica detalladamente en el apartado 3.1.1, que trata sobre la obtención de

modos y frecuencias de una placa empotrada en un punto central mediante este método.

3. APLICACIÓN PRÁCTICA

3.1. Métodos semi-analíticos

Este apartado se centra en la búsqueda de las frecuencias naturales y modos de vibración

mediante métodos semi-analíticos de una placa con dos condiciones de contorno diferentes.

La primera de ellas es placa con todos los bordes libres y empotrada en su punto central, y la

segunda es placa con todos los bordes libres y simplemente apoyada en sus cuatro esquinas.


39

3.1.1. Placa empotrada en el centro. Método de Ritz.

La búsqueda de frecuencias naturales y modos de vibración de este problema por métodos

analíticos es realmente complicada. Por ello hay que usar otros métodos. Walther Ritz lo

resolvió con cálculo variacional [19]. El cálculo variacional consiste en buscar máximos y

mínimos, o más generalmente extremos relativos, de funciones continuas definidas sobre

algún espacio funcional [20].

Para resolver este problema, Ritz propuso el principio de minimización de la energía, explicado

brevemente en el capítulo 2.2.2. Otra formulación distinta de este principio a la explicada en el

apartado anterior es la que sigue. Este principio dice que la suma de la energía potencial (V) y

la energía cinética (T) debe ser constante, y que sus valores máximos (Vmax, Tmax) deben ser

iguales [21]: � + Á = �� (3.1)

��¿ = Á��¿ (3.2)

donde [21]:

� = ÷� ∬ A0¼$M¼¿$ + ¼$M¼À$ 1� + 21 − È� j¼$M¼¿$ ¼$M¼À$ − 0 ¼$M¼¿¼À1�kB §�§_ (3.3)

Á = �$�Ä�� ∬º�§�§_ (3.4)

siendo D la rigidez a flexión, º los desplazamientos o deflexiones de la placa, È el coeficiente

de Poisson, ω la frecuencia natural en rad/s, ρ la densidad de la placa, h el espesor de la misma

y g la aceleración de la gravedad.

De acuerdo con el principio de minimización de la energía, la solución del problema de una

placa empotrada en su punto central será tal que la energía cinética debe ser constante

cuando la energía potencial tiende al mínimo [19]. El problema se plantea sujeto a las

restricciones: � → min , Á = ∬º�§�§_ = �� (3.5)

Este problema de minimización se puede resolver usando el teorema fundamental del cálculo

variacional. Basándose en este teorema, Ritz expresó el desplazamiento exacto de la placa

como: º� = ∑ X�º��, _��^� (3.6)


40

siendo Am las amplitudes de cada modo. No obstante, se necesita de una aproximación para

resolver este problema. La solución aproximada que Ritz propuso se basa en unas funciones

wmn y w'mn coordinadas a las que llamó "Grundfunktionen", y la solución tendrá la forma:

º� = ∑ ∑ X�Þ�Þ^� 0M�ö3M�ö� 1��^� (3.7)

definiéndose las funciones coordinadas como:

º�Þ = Î�(�)ÎÞ(_) + Î�(_)ÎÞ(�)º�Þ = Î�(�)ÎÞ(_) − Î�(_)ÎÞ(�) (3.8)

donde Î�(�) son las autofunciones conocidas para una barra unidimensional y libre, en la que

las condiciones de contorno deben ser ajustadas a la nueva situación.

2ÜÌ�2¿Ü = ��* Î� , 2$Ì�

2¿$ = 0 , 2ØÌ�2¿Ø = 0 , �\ � = {0, t} (3.9)

El coeficiente Km que aparece en la primera ecuación de 3.9 debe satisfacer las siguientes

ecuaciones:

C �t\�� + �t\ℎ�� = 0, � �t��t\�� − �t\ℎ�� = 0, � %��t�| (3.10)

Y las funciones um quedarán finalmente como:

Î� = � � !" �� ! ��¿�3� ! �� !" ��¿�,'#�Ä$��3'#�$�� , � �t�!$ò" ��!$ò ��¿�3!$ò ��!$ò" ��¿�,�®ÞÄ$��#�®Þ$�� , � %��t�| (3.11)

Con todo esto, la solución aproximada de los desplazamientos que se va a calcular, es decir, la

ecuación que se pretende resolver, tiene la forma:

º� = ∑ ∑ X�Þ�Þ^� Î��ÎÞ_��^� (3.12)

Para la resolución de la ecuación 3.12 habrá que obtener primero los valores de �� y,

posteriormente, los valores de Î��. Mencionar que el cálculo de Î�_�, ÎÞ�� y ÎÞ_� se

realiza mediante la ecuación 3.11 sustituyendo los valores de m y n, y x e y.

El siguiente paso será el cálculo de los coeficientes X�Þ. Para ello, primero se sustituye la

solución aproximada de la ecuación 3.12 en la definición de la energía potencial (3.3),

�º�� = 12%Û �eÂ�º�Â�� + Â�º�Â_� f� + 21 − È� sÂ�º�Â�� Â�º�Â_� − eÂ�º�Â�Â_f�w� §�§_


41

= "�∬Û A0¼$M&

¼¿$ 1� + 0¼$M&¼À$ 1� + 2È ¼$M&

¼¿$¼$M&¼À$ + 2(1 − È) 0¼$M&

¼¿¼À1�B §�§_ (3.13)

Y se impone que sea mínimo bajo la condición:

Á(º�) = ∬º��§�§_ = �� (3.14)

Para evaluar la expresión de � (ecuación 3.13) y de T (ecuación 3.14) se evalúan las integrales

término a término aplicado a una placa rectangular de dimensiones axb. Las integrales que se

realizan son en área, siendo los límites de integración-a/2 y a/2 y -b/2 y b/2.

Figura 3.1 Denominación de cada término de las dos integrales

'\�1 = ∬ 0¼$M&¼¿$ 1� §�§_ =∬ 0¼$ ∑ (�öÌ�¿�ÌöÀ��.ö ¼¿$ 1� §�§_ = ∑ ∑ X�ÞX�)�,) ∬ ¼$Ì�¿�¼¿$ ÎÞ_��,Þ ¼$�¿�¼¿$ Î)_�§�§_ =∑ ∑ X�ÞX�)�,) ��Þ�)"�,Þ (3.15)

'\�2 = ∬ 0¼$M&¼À$ 1� §�§_ = ∬ 0¼$ ∑ (�öÌ�¿�ÌöÀ��.ö ¼À$ 1� §�§_ = ∑ ∑ X�ÞX�)�,) ∬Î�� ¼$ÌöÀ�¼À$�,Þ Î�� ¼$Ì*À�¼À$ §�§_ = ∑ ∑ X�ÞX�)�,) ��Þ�)��,Þ (3.16)

'\�3 = ∬2È ¼$M&¼¿$ ¼$M&¼À$ §�§_ =∬2È ¼$ ∑ (�öÌ�¿�ÌöÀ��.ö ¼¿$ ¼$ ∑ (�öÌ�¿�ÌöÀ��.ö ¼À$ §�§_ =2È ∑ ∑ X�ÞX�)�,)�,Þ ∬ ¼$Ì�¿�¼¿$ ÎÞ_�Î�� ¼$Ì*À�¼À$ §�§_ =∑ ∑ X�ÞX�)�,)�,Þ ��Þ�)F (3.17)


42

'\�4 = ∬21 − È� 0¼$M&¼¿¼À1� §�§_ =∬21 − È� 0¼$ ∑ (�öÌ�¿�ÌöÀ��.ö ¼¿¼À 1� §�§_ =21 − È� ∑ ∑ X�ÞX�)�,) ∬ ¼Ì�¿�¼¿ ¼ÌöÀ�¼À ¼Ì�¿�¼¿ ¼Ì*À�¼À §�§_�,Þ =∑ ∑ X�ÞX�)�,) ��Þ�)*�,Þ (3.18)

'\�5 = ∬º��§�§_ = ∬∑ X�ÞÎ��ÎÞ_��.Þ ��§�§_ =∑ ∑ X�ÞX�)�,)�,Þ = ∑ X�Þ��,Þ (3.19)

Los coeficientes ��Þ�)� de las ecuaciones anteriores pueden ser calculados si se conoce Î� y ÎÞ, ya que son integrales de estas funciones. Para mayor claridad, se van a definir a

continuación:

��Þ�)" = ∬ ¼$Ì�¿�¼¿$ ÎÞ_� ¼$�¿�¼¿$ Î)_�§�§_ (3.20)

��Þ�)� = ∬Î�� ¼$ÌöÀ�¼À$ Î�� ¼$Ì*À�¼À$ §�§_ (3.21)

��Þ�)F = ∬ ¼$Ì�¿�¼¿$ ÎÞ_�Î�� ¼$Ì*À�¼À$ §�§_ (3.22)

��Þ�)* = ∬ ¼Ì�¿�¼¿ ¼ÌöÀ�¼À ¼Ì�¿�¼¿ ¼Ì*À�¼À §�§_ (3.23)

Con todo esto, las expresiones de la energía potencial (3.13) y cinética (3.14) quedarán

finalmente como:

�º�� = "� ,'\�1 + '\�2 + '\�3 + '\�4- = "� �∑ ∑ X�ÞX�)�,) ��Þ�)"�,Þ +∑ ∑ X�ÞX�)�,) ��Þ�)��,Þ + ∑ ∑ X�ÞX�)�,)�,Þ ��Þ�)F +∑ ∑ X�ÞX�)�,) ��Þ�)*�,Þ � = "� ∑ ∑ X�ÞX�)�,) 7��Þ�)" + ��Þ�)� +�,Þ��Þ�)F + ��Þ�)* 8 (3.24)

Áº�� = '\�5 = ∑ X�Þ��,Þ (3.25)

Para minimizar se usan los multiplicadores de Langrange λ.

�º�� − λÁº�� → �%\ (3.26)

es decir,

∑ ∑ X�ÞX�)�,) 7��Þ�)" + ��Þ�)� + ��Þ�)F + ��Þ�)* 8�,Þ − λ∑ X�Þ��,Þ → �%\ (3.27)


43

En forma matricial este problema se puede escribir como:

�X��,X�",X"�, … ��c�� c�"�� c"�� ⋯c��" c�"�" c"��" ⋯c��"�

⋮c�""�

⋮c"�"� ⋯

⋮ ⋱ �� /X��

X�" X"� ⋮0 − λ�X��,X�",X"�, … � /X��

X�" X"� ⋮0 → �%\ (3.28)

con c�Þ�) = ��Þ�)" + ��Þ�)� + ��Þ�)F + ��Þ�)* .

Si se denomina

� = �X��,X�",X"�, … � ? = ��c�� c�"�� c"�� ⋯c��" c�"�" c"��" ⋯c��"�⋮ c�""�⋮ c"�"� ⋯⋮ ⋱ ��

� (3.29)

entonces la expresión quedará como:

�?�� − λ�� → �%\ (3.30)

Para minimizar la expresión anterior (3.30) se calcula el gradiente respecto de a y se iguala a

cero, para obtener: 1� = 4� (3.31)

La ecuación 3.21 representa un problema de autovalores discreto, ya que para cada autovalor 4� se tiene un autovector �� = ,X�� , X�"� … -, y la correspondiente autofunción:

º�� = ∑ ∑ X�Þ��Þ^� Î��ÎÞ_��^� (3.32)

El problema original se ha reducido al cálculo de integrales con el objetivo de obtener la

matriz K de Ritz, y mediante los autovalores resolver la ecuación lineal algebraica.

La expresión 3.31 se puede escribir en forma de ecuaciones lineales,

|0 = 0c�� − 4�1 X�� + c�"��X�" + c"��X"� + ⋯ + c��X��0 = c��"�X�� + 0c�"�"� − 4�1 X�" + c"��"�X"� + ⋯ + c��"�X��⋯0 = c��X�� + c�"��X�" + c"��X"� + ⋯ + 0c�� − 4�1 X�� ÑÒÓÒÔ

(3.33)

Debido a que Ritz tuvo que realizar los cálculos manualmente, solo pudo obtener seis valores

de las frecuencias. Sin embargo, el elevado coste computacional y la complejidad del proceso

matemático hacen que no se hayan podido obtener más de lo que obtuvo Ritz en su momento.


44

Cabe mencionar que los seis modos de vibración con sus frecuencias asociadas calculadas por

Ritz no coinciden con los seis primeros modos de la placa empotrada en el centro. Este

fenómeno se estudiará a continuación. No obstante, se va a explicar la resolución del

problema para mejor entendimiento.

Para calcular las seis frecuencias de Ritz se necesitan conocer los seis primeros coeficientes del

vector ai (X�� , X"� , X�� , XF� ,X*� y X2� ) para cada una de ellas, que será el modo de vibración

buscado. El problema es simétrico [16], por lo que, si Î�(�) = Î�y Î�(_) = Ï�, los

coeficientes quedan determinados por:

º� = X�� Î"Ï" + X"� (Î"ÏF + ÎFÏ") + X�� ÎFÏF + XF� (Î"Ï2 + Î2Ï") + X*� (ÎFÏ2 + Î2ÏF) +X2� Î2Ï2 (3.34)

Ritz usó los subíndices 1, 3 y 5, por lo que las frecuencias que obtuvo fueron la f11, f33, f55, f13,

f15 y f35. Si suponemos que la primera frecuencia de la placa es la de menor valor, las

frecuencias anteriores serían la cuarta, décima, dieciseisava, veinteava, veintisieteava y

treintaisieteava frecuencias reales de la placa.

El sistema de ecuaciones a resolver será, por tanto,

0 = 0c""("") − 4�1 X�� + 0c""

("F) + c""(F")1 X"� + c""

(FF)X�� + 0c""("2) + c""

(2")1 XF� + 0c""(F2) +

c""(2F)8X*� + c""

(22)X2� (3.35)

0 =jg�Ø

(��)3gØ�(��)

� k X�� + jg�Ø(�Ø)3g�Ø

(Ø�)3gØ�(�Ø)3gØ�(Ø�)

� − 4�k X"� + jg�Ø(ØØ)3gØ�(ØØ)

� k X�� +

jg�Ø(�3)3g�Ø

(3�)3gØ�(�3)3gØ�(3�)

� k XF� + jg�Ø(Ø3)3g�Ø

(3Ø)3gØ�(Ø3)3gØ�(3Ø)

� k X*� + jg�Ø(33)3gØ�(33)

� k X2� (3.36)

0 = c��("")X�� + 0cFF

("F) + cFF(F")1 X"� + 0cFF

(FF) − 4�1 X�� + 0cFF("2) + cFF

(2")1 XF� + 0cFF(F2) +

cFF(2F)8X*� + cFF

(22)X2� (3.37)

0 = jg�3(��)3g3�(��)

� k X�� + jg�3(�Ø)3g�3(Ø�)3g3�(�Ø)3g3�(Ø�)

� k X"� + jg�3(ØØ)3g3�(ØØ)

� k X�� + jg�3(�3)3g�3(3�)3g3�(�3)3g3�(3�)

� −

4�1 XF� + jg�3(Ø3)3g�3(3Ø)3g3�(Ø3)3g3�(3Ø)

� k X*� + jg�3(33)3g3�(33)

� k X2� (3.38)


45

0 =jgØ3(��)3g3Ø

(��)

� k X�� + jgØ3(�Ø)3gØ3(Ø�)3g3Ø(�Ø)3g3Ø

(Ø�)

� k X"� + jgØ3(ØØ)3g3Ø(ØØ)

� k X�� + jgØ3(�3)3gØ3(3�)3g3Ø(�3)3g3Ø

(3�)

� k XF� +

jgØ3(Ø3)3gØ3(3Ø)3g3Ø(Ø3)3g3Ø

(3Ø)

� − 4�k X*� + jgØ3(33)3g3Ø(33)

� k X2� (3.39)

0 = c22("")X�� + 0c22("F) + c22(F")1 X"� + c22(FF)X�� + 0c22("2) + c22(2")1 XF� + 0c22(F2) + c22(2F)1 X*� +0c22(22) − 4�1 X2� (3.40)

Matricialmente se puede escribir de forma similar a la ecuación 3.31,

�t − 4t = 0 (3.41)

con

t = ,X�� , X"� , X�� , XF� , X*� , X2� - (3.42)

y

� =

�� c""

("") c""("F) + c""

(F")

c"F("") + cF"

("")

2c"F

("F) + c"F(F") + cF"

("F) + cF"(F")

2

c""(FF) c""

("2) + c""(2")

c"F(FF) + cF"

(FF)

2c"F

("2) + c"F(2") + cF"

("2) + cF"(2")

2

c""(F2) + c""

(2F) c""(22)

c"F(F2) + c"F

(2F) + cF"(F2) + cF"

(2F)

2c"F

(22) + cF"(22)

2c��

("") cFF("F) + cFF

(F")

c"2("") + c2"("")

2c"2("F) + c"2(F") + c2"

("F) + c2"(F")

2

cFF(FF) cFF

("2) + cFF(2")

c"2(FF) + c2"(FF)

2c"2("2) + c"2(2") + c2"

("2) + c2"(2")

2

cFF(F2) + cFF

(2F) cFF(22)

c"2(F2) + c"2(2F) + c2"(F2) + c2"

(2F)

2c"2(22) + c2"

(22)

2cF2("") + c2F

("")

2cF2("F) + cF2(F") + c2F

("F) + c2F(F")

2c22("") c22("F) + c22(F")

cF2(FF) + c2F(FF)

2cF2("2) + cF2(2") + c2F

("2) + c2F(2")

2c22(FF) c22("2) + c22(2")

cF2(F2) + cF2(2F) + c2F(F2) + c2F

(2F)

2cF2(22) + c2F

(22)

2c22(F2) + c22(2F) c22(22) �

��

(3.43)

Resumiendo, para obtener las frecuencias naturales y los modos de vibración de una placa

empotrada en centro con todos sus bordes libres mediante el método de Ritz se deben seguir

los siguientes pasos:

1. Elección del número de soluciones que se quieran conocer (s), ya que m=1,2...,s y

n=1,2,...s.

2. Cálculo de los coeficientes Km a través de la ecuación 3.10.

3. Obtención de las funciones um(x) y un(y) mediante la ecuación 3.11.

4. Cálculo de los coeficientes cimnpq a través de las ecuaciones 3.20, 3.21, 3.22 y 3.23.

5. Cálculo de las componentes de la matriz K a través de la segunda ecuación de 3.29.

6. Construcción de la matriz k' a través de la ecuación 3.43.


46

7. Resolución de la ecuación 3.41, donde se obtendrán s autovalores (λi) y sus

correspondientes autovectores (ai).

8. Sustitución de esos valores en la ecuación 3.34 para obtener la expresión de la

deflexión de la placa en cada modo de vibración.

9. Sustitución de las expresiones de um(x) y un(y) en la ecuación resultando del paso 8

para obtener la expresión de la deflexión en función de las coordenadas x e y.

10. Representación, si se desea, de la deflexión de la placa en cada modo para ilustrarlos .

3.1.1.2. Solución para el caso de estudio de este proyecto con el método de

Ritz

Las ecuaciones anteriores (desde la 3.25 hasta la 3.30) se resuelven en Matlab® para una placa

cuadrada de dimensiones a=0.3m y b=0.3m, espesor 0.001m y con coeficiente de Poisson 0.3.

Las frecuencias obtenidas se muestran en la siguiente tabla. En la primera columna se muestra

el número de frecuencia con la que se corresponde. Recordar que este método calcula las

frecuencias en un orden diferente.

Nº frecuencia Frecuencia (Hz)

4 38.7502

10 215.6933

16 425.4018

20 609.3549

27 760.3482

37 1272.1455

Tabla 3.1 Frecuencias naturales de una placa empotrada en el centro de dimensiones

0.3x0.3x0.001m3

Por otro lado, los autovectores obtenidos de la forma �� = [X�� X"� X�� XF� X*� X2� - para las

distintas frecuencias son los siguientes:

Nº Modo X�� X"� X�� XF� X*� X2�

1 1.0 3.1568 10.6606 5.9816 -0.1572 1.8178

2 0.3347 1.0 0.1209 1.6751 4.7280 7.8726

3 0.1185 0.3464 1.0 0.5357 5.4667 -6.3771

4 0.1842 0.5513 1.7190 1.0 0.1537 4.2626

5 -0.0129 0.0686 0.5626 0.2994 1.0 -1.4107


47

6 0.0330 0.1015 0.3118 0.1818 0.5361 1.0

Tabla 3.2 Valores de los autovectores para una placa empotrada en el centro de dimensiones

0.3x0.3x0.001m3

Sustituyendo estos valores en la expresión 3.24 se pueden obtener las expresiones de las

deflexiones de la placa para los distintos modos. Las ecuaciones que se muestran a

continuación están expresadas en función de ui y vi. Para expresarlo en función de x e y solo

habrá que sustituir esos términos por la definición que se dio en la ecuación 3.9.

º" = Î"Ï" + 3.1568(Î"ÏF + ÎFÏ") + 10.6606ÎFÏF + 5.9816(Î"Ï2 + Î2Ï")− 0.1572(ÎFÏ2 + Î2ÏF) + 1.8178Î2Ï2

º� = 0.3347Î"Ï" + (Î"ÏF + ÎFÏ") + 0.1209ÎFÏF + 1.6751(Î"Ï2 + Î2Ï")+ 4.728(ÎFÏ2 + Î2ÏF) + 7.8726Î2Ï2

ºF = 0.1185Î"Ï" + 0.3464(Î"ÏF + ÎFÏ") + ÎFÏF + 0.5357(Î"Ï2 + Î2Ï")+ 5.4667(ÎFÏ2 + Î2ÏF) − 6.3771Î2Ï2

º* = 0.1842Î"Ï" + 0.5513(Î"ÏF + ÎFÏ") + 1.719ÎFÏF + (Î"Ï2 + Î2Ï")+ 0.1537(ÎFÏ2 + Î2ÏF) + 4.2626Î2Ï2

º2 = −0.0129Î"Ï" + 0.0686(Î"ÏF + ÎFÏ") + 0.5626ÎFÏF + 0.2994(Î"Ï2 + Î2Ï")+ (ÎFÏ2 + Î2ÏF) − 1.4107Î2Ï2

ºÚ = 0.033Î"Ï" + 0.1015(Î"ÏF + ÎFÏ") + 0.3118ÎFÏF + 0.1818(Î"Ï2 + Î2Ï")+ 0.5361(ÎFÏ2 + Î2ÏF) + Î2Ï2

Estas expresiones representan los seis modos que calculó Ritz para la placa empotrada en el

centro.

3.1.2. Placa empotrada en el centro. Formulación acústica.

Puesto que se ha visto que con el método de Ritz no es posible calcular los cuatro primeros

modos de vibración de la placa empotrada en el centro, se va a recurrir a otro método basado

en la formulación acústica.

Antes de desarrollar la nueva formulación, cabe destacar el estudio de Ernst Florens Friedrich

Chandli, científico alemán, con el que obtuvo las deformadas de una placa cuadrada

empotrada en el centro. El experimento lo realizó colocando polvo fino de color en la placa, y

produciendo vibraciones con un violín. Al producirse la onda sonora, esta se transmitía por la


48

placa creando ondas estacionarias sobre ella. Las ondas estacionarias tienen la particularidad

de presentar zonas de vibración nula (líneas modales) y zonas de amplitud máxima. Con esto,

pudo dibujar los modos de vibración, los cuales se muestran a continuación. Al igual que el

método de Ritz, estos modos están ordenados según dos índices, y el orden no coincide con el

normal establecido. Sin embargo, sí coinciden el método de Ritz con los experimentos de

Chandli.

Figura 3.2 Figuras de Chandli

La formulación acústica consiste en representar la ecuación de onda en 2D. Esta ecuación para

una placa es la siguiente [22],

"'$ ¼$8¿,À,��¼�$ = ¼$8¿,À,��¼¿$ + ¼$8¿,À,��¼À$ (3.44)

Siendo c la velocidad de la onda en la placa y U el desplazamiento perpendicular a la placa de

un punto situado en las coordenadas x,y para cualquier instante t.


49

Para resolver la ecuación 3.44 se vuelve a usar un método de separación de variables. Para

ello, se supone que para pequeños desplazamientos la solución está desacoplada:

� = �(�)� = �(_)Á = Á(�� (3.45)

Por lo que el desplazamiento queda como:

��, _, �� = ��_�Á�� (3.46)

Derivando respecto a cada una de las variables,

¼$8¿,À,��¼¿$ = �_�Á�� ¼$ ¿�¼¿$¼$8¿,À,��¼À$ = ��Á�� ¼$9À�¼À$¼$8¿,À,��¼�$ = ��_� ¼$��¼�$ (3.47)

Y sustituyendo estas expresiones en la ecuación 3.44 queda,

"'$ ��_� ¼$��¼�$ = �_�Á�� ¼$ ¿�¼¿$ + ��Á�� ¼$9À�¼À$ (3.48)

Reordenando términos:

�:$;$³±�;±$�� = ;$<½�;½$ ¿� + ;$=¾�;¾$9À� (3.49)

Ambos lados de las ecuaciones son independientes el uno del otro, por lo que ambos son

iguales a una constante denominada −��:

�:$;$³±�;±$�� = −��;$<½�;½$ ¿� + ;$=¾�;¾$9À� = −�� (3.50)

En la segunda ecuación de 3.50 ocurre lo mismo, ambos términos son independientes el uno

del otro, por lo que se opera de la misma forma:


50

;$<(½);½$

(¿) = −�"�

;$=(¾);¾$9(À) = −��

−(�"� + ��) = −��

(3.51)

Por tanto, las soluciones que se obtienen son las siguientes [22]:

Á(�� = �"�±�'�� = ��±�'��¿�_� = �F�±�'�$À (3.52)

Donde se puede reescribir conjuntamente [22]:

� = > |�®Þ'#�I �"� |�®Þ'#�I ��_ |�®Þ'#�I �� (3.53)

siendo R una constante, e indicando los corchetes que la solución puede ser tanto senos como

cosenos.

Las condiciones de contorno de la placa se limitan a empotrar el punto central, es decir, anular

los desplazamientos en ese punto. Por otro lado, se asume que inicialmente la placa estará en

reposo. Introduciendo estas condiciones, y teniendo en cuenta que a y b son las dimensiones

de la placa, el problema queda:

"'$ ¼$8¿,À,��¼�$ = ¼$8¿,À,��¼¿$ + ¼$8¿,À,��¼À$ ; 0 < � < t, 0 < _ < x, � > 0� 0�� , �� , �1 = 0 ; � > 0��, _, 0� = 0 ; 0 < � < t, 0 < _ < x¼8¿,À,��¼� = 0 ; 0 < � < t, 0 < _ < x (3.54)

Aplicando la condición de contorno a la solución de la ecuación 3.53,

� = > |�®Þ'#�I �" �� |�®Þ'#�I �� |�®Þ'#�I �� = 0 (3.55)

El último término no tiene porqué ser siempre cero, por lo que los dos primeros deben serlo

independientemente:

|�®Þ'#�I �" �� = 0|�®Þ'#�I �� = 0 (3.56)


51

Por otro lado, se cumple que:

Z�\ 0�"��1 = 0 → �" = ��á

�Z�\ 0��

��1 = 0 → �� = �Þá

� (3.57)

donde m y n son factores integrantes, resultando la solución del problema, sin pérdida de

generalidad [22]:

� = Z�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ

� 1 |�®Þ'#�I �� (3.58)

Si se considera ahora la última ecuación de 3.54, se ve que en el momento inicial la placa no

tiene velocidad, es decir:

¼8¿,À,��¼� = 0 → ¼¼� |�®Þ'#�I �� = 0 �t�t � = 0 (3.59)

Para que la condición anterior se cumpla, el término dependiente del tiempo debe ser un

coseno, por lo que la solución quedará:

� = Z�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1 cos �� (3.60)

Teniendo en cuenta que :

¼$8¿,À,��¼�$ = −��>Z�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1 �YZ�� = −��¼$8¿,À,��¼�$ = − 0�á� 1� >Z�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1 cos�� = − 0�á� 1� �¼$8¿,À,��¼�$ = − 0Þá� 1� >Z�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1 cos�� = − 0Þá� 1� � (3.61)

e introduciendo esta solución en la ecuación de onda (3.44), se obtiene:

#'��$8'$ = −� A0�á� 1� + 0Þá� 1�B → �� = ý�� A0�� 1� + 0Þ�1�B (3.62)

Por lo que la solución será:

� = Z�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1 cos �� (3.63)

donde �� = ý�� A0�� 1� + 0Þ�1�B, siendo ck la frecuencia del movimiento.

La solución general se deriva de la ecuación 3.63, quedando [22],

� = ∑ ∑ Z�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1 ,X�Þ cos�� + [�Þ sen��-Þ→âÞ^"�→â�^" (3.64)


52

donde:

X�Þ = *�� ¥ ¥ Î�Z�\ 0�á¿

� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1�

��

� §�§_[�Þ = *��'� ¥ ¥ Î� �Z�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1�� §�§_ (3.65)

Los coeficientes Amn y Bmn proceden de una solución que defina la posición u0 y la velocidad Î� �

iniciales [22].

De la ecuación general de la solución (3.64), se deduce que si para cualquier punto de la placa

la parte dependiente de x y la dependiente de y son constantemente cero, para cualquier

tiempo t, el desplazamiento de ese punto será cero. Este es el sentido de un punto nodal, el

cual cumple que:

Z�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1 = 0 (3.66)

donde la relación entre x e y depende del valor de m y n.

En algunos casos deberían ser otro par de factores integrantes, por ejemplo, p y q, los que se

introduzcan en la ecuación y den otro patrón nodal. Por tanto, el patrón general que aparece

es una mezcla de los patrones individuales puros [22].

qZ�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0ÞáÀ� 1 + ÛZ�\ 0�á¿� 1 Z�\ 0)áÀ� 1 = 0 (3.67)

donde C y D son constantes.

En particular, cuando a y b son iguales, la ecuación anterior se puede reescribir como [22]:

� = q�YZ 0�á¿� 1 �YZ 0ÞáÀ� 1 + Û�YZ 0�á¿� 1 �YZ 0)áÀ� 1 (3.68)

Con la expresión 3.68 es con la que se consigue las líneas modales [22], y son las que se

utilizarán, por tanto, para dibujar los modos.

Para el cálculo de las frecuencias naturales se usa la siguiente expresión [19]:

��Þ = 4�Þ� 0 ÷�Ä1�.2 (3.69)

siendo D la rigidez a flexión de la placa, ρ la densidad del material y h espesor.


53

Los valores de 4�\2 = �c� + d� son tales que anulan una serie de senos y cosenos, de la

forma [19]:

c = �ýt Y c = �ý2td = \ýx Y d = \ý2x

3.1.2.1. Solución para el caso de estudio de este proyecto con la formulación

acústica

Se desean obtener los primeros cuatros modos de vibración con sus frecuencias asociadas de

una placa empotrada en el centro de acero de dimensiones 0.3x0.3x0.001m3.

El primer modo con su frecuencia no se puede detectar con este método puesto que la placa

no se deforma, solo se desplaza. Al no deformarse, no se crea una onda estacionaria, por lo

que la ecuación de onda no detecta el modo. Por otro lado, el segundo, tercer y cuarto modo

son:

• El segundo modo es la suma del comportamiento puro de la placa cuando m=2, n=0 y

p=0, q=2, por lo que el desplazamiento será:

�� = �YZ j2ý�t k + �YZ j2ý_t k

• El tercer modo se corresponde con la suma de los comportamientos puros de la placa

cuando m=1, n=1 y p=1, q=1, por lo que el desplazamiento será:

�F = �YZ 0ý�t 1 �YZ 0ý_t 1 + �YZ 0ý�t 1 �YZ 0ý_t 1

• El cuarto modo es la resta del comportamiento puro de la placa cuando m=2, n=0 y

p=0, q=2, por lo que el desplazamiento será:

�* = �YZ j2ý�t k − �YZ j2ý_t k

A continuación se representan los tres modos mencionados.


54

Figura 3.3 Modo 2 de la placa empotrada en el centro con la formulación acústica




55

Para el cálculo de las frecuencias se necesita conocer la rigidez a flexión de la placa y la

densidad del material. Además, es necesario calcular los parámetros 4�� , 4""� y 4�� .

La densidad del acero de la placa es 7850kg/m3. Por otro lado, teniendo en cuenta que el

módulo de Young (E) del material de la placa es 210GPa y el coeficiente de Poisson (ν) 0.3, la

rigidez a flexión será:

Û = ÇÄØ"�("#É$� = 19.23B (3.70)

El cálculo de los parámetros 4�� , 4""� y 4�� es:

4�� = j2ý2xk� = 0 ý0.31� = 109.664""� = 0ýt1� + 0 ý2x1� = 0 ý0.31� + 0 ý2 ∙ 0.31� = 137.08

4�� = 2 j2ý2tk� = 2 j 2ý2 ∙ 0.3k� = 219.32

Por lo que las frecuencias naturales serán:

Frecuencia (rad/s) Frecuencia (Hz)

f2 171.62 27.31

f3 214.53 34.15

f4 343.24 54.63

Tabla 3.3 Frecuencias naturales para una placa empotrada en el centro de dimensiones

0.3x0.3x0.001m3 (Formulación acústica)

3.1.3. Placa con las esquinas simplemente apoyadas

Una solución exacta de la ecuación diferencial de una placa bajo estas condiciones de contorno

es difícil de obtener. Por tanto, habrá que optar por otros métodos para obtener una solución

aproximada.

Este problema se puede resolver con diferentes métodos. Algunos autores, como Kirk [21] y

Reed [23], lo resolvieron con el método de Rayleigh-Ritz. Sin embargo, otros autores, como

Cox y Boxer [24] o Nishimura [25], prefieren el método de las diferencias finitas.


56

En primer lugar se ha usado el método de las diferencias finitas que desarrollaron Hugh L. Cox

y Jack Boxer. Para la aplicación de este método se asumen las hipótesis básicas de la teoría de

placas. La ecuación diferencial de una placa (ecuación 2.87) se puede escribir de la forma:

∇�∇�º(�, _) = �Ä�$÷ º(�, _) (3.71)

donde w(x,y) es la deflexión de la placa, ρ la densidad, h el espesor, ω la frecuencia natural en

rad/s y D la rigidez a flexión.

Esta ecuación debe ser expresada en forma de diferencias finitas en un determinado número

de puntos de la placa. Para ello la placa se divide en porciones de tamaño H creando una malla

de nodos. Al hacer esta transformación, se obtiene una ecuación algebraica lineal a partir de la

ecuación diferencial anterior. Esta ecuación en forma matricial se escribe como [24]:

(\*X − 4�')º′ = 0 (3.72)

Figura 3.6 Tipo de placa considerada

siendo n=a/H, A la matriz de coeficientes del primer término de la ecuación 3.71, a la longitud

de la placa, I una matriz identidad, w' una columna de la matriz de deflexiones y

4� = �Ä�$̄�Ü÷ (3.73)

Por consiguiente, el valor de la frecuencia natural será:

�� = \�,4�� ÷�Ä�Ü = �� ÷�Ä�Ü (3.74)

Esta expresión es válida para diversas condiciones de contorno y geometrías [25].


57

Para una placa cuadrada, en la que a/b=1, la malla considerada se representa en la siguiente

figura [24]. Los números representan los nodos de la malla.

Figura 3.7 Mallado para una placa cuadrada

La ecuación 3.72 la resolvieron Cox y Boxer computacionalmente [24]. Dependiendo del valor

que se le dé a n se obtendrán valores distintos de 4. El valor de n definirá la resolución de la

malla. Cuanto mayor sea, más exacta será la solución. No obstante, el problema de estudio es

sencillo y no es necesario que sea muy grande. Por ello se calculan los valores para n igual a 4 y

a 6, valores que Cox y Boxer decidieron como óptimos, y se extrapolan con la fórmula de

Richardon [27]:

FÚ7�¯ÞÜ8D#"Ú7�¯ÞÜ8ÜFÚ#"Ú = �� (3.75)

Realizando estos cálculos para las cuatro primeras frecuencias para un material con coeficiente

de Poisson igual a 0.3 (el parámetro 4� depende de D y este, a su vez, de ν) se obtiene la

siguiente tabla:

Frecuencia n 4� 4�\* �� 1

4 0.190281 48.7119 50.6467 7.117

6 0.038416 49.7868

2 4 0.362601 226.625

247.549 15.73 6 0.179798 233.019

3 4 0.453258 283.286

366.007 19.13 6 0.238087 308.562

4 4 2.02722 1267.01 1476.40 38.42


58

6 1.02700 1330.99

6 1.25090 1621.17

Tabla 3.4 Coeficiente de frecuencia para una placa cuadrada con ν=0.3

Cox y Boxer [24] también dan los valores de las amplitudes en los distintos nodos de la malla

de la placa. A continuación se representan los de los cuatro primeros modos normalizados de

vibración.

Nodo Número de modo

1 2a 2b 2c 3 4

1 0.34407 0.52207 0.42800 0.50302 0.48159 0.82466

2 0.58825 0.88521 0.79707 0.86736 0.85688 0.79791

3 0.67600 1.0 1.0 1.0 1.0 0

4 0.58825 0.84951 0.93765 0.86736 0.85688 -0.79791

5 0.34407 0.48397 0.57804 0.50302 0.48159 -0.82466

6 0.34407 0.20274 -0.42800 0.07502 -0.48159 0.82466

7 0.58026 0.47548 0 0.37920 0 1.0

8 0.75981 0.66279 0.39652 0.60887 0.36362 0.73369

9 0.82616 0.69381 0.69381 0.69381 0.50055 0

10 0.75981 0.55495 0.82122 0.60887 0.36362 -0.73369

11 0.58026 0.28292 0.75841 0.37920 0 -1.0

12 0.34407 -0.05269 0.57804 0.07502 -0.48159 -0.82466

13 0.58825 0.29050 -0.79707 0.07029 -0.85688 0.79791

14 0.75981 0.36694 -0.39652 0.21235 -0.36362 0.73369

15 0.89905 0.40496 0 0.32296 0 0.47978

16 0.95183 0.36438 0.36438 0.36438 0.13585 0

17 0.89905 0.24096 0.64592 0.32296 0 -0.47978

18 0.75981 0.05776 0.82122 0.21235 -0.36362 -0.73369

19 0.58825 -0.14994 0.93765 0.07029 -0.85688 -0.79791

20 0.67600 0.25390 -1.0 0 -1.0 0

21 0.82616 0.17616 -0.69381 0 -0.50055 0

22 0.95183 0.09251 -0.36438 0 -0.13585 0

23 1.0 0 0 0 0 0

24 0.95183 -0.09251 0.36438 0 -0.13585 0


59

25 0.82616 -0.17616 0.69381 0 -0.50055 0

26 0.67600 -0.25390 1.0 0 -1.0 0

27 0.58825 0.14994 -0.93765 -0.07029 -0.85688 -0.79791

28 0.75981 -0.05776 -0.82122 -0.21235 -0.36362 -0.73369

29 0.95183 -0.24096 -0.64592 -0.32296 0 -0.47978

30 0.95183 -0.36438 -0.36438 -0.36438 0.13585 0

31 0.89905 -0.40496 0 -0.32296 0 0.47978

32 0.75981 -0.36694 0.39652 -0.21235 -0.36362 0.73369

33 0.58825 -0.29050 0.79707 -0.07029 -0.85688 0.79791

34 0.34407 0.05269 -0.57804 -0.07502 -0.48159 -0.82466

35 0.58026 -0.28292 -0.75841 -0.37920 0 -1.0

36 0.75981 -0.55495 -0.82122 -0.60887 0.36362 -0.73369

37 0.82616 -0.69381 -0.69381 -0.69381 0.50055 0

38 0.75981 -0.66279 -0.39652 -0.60887 0.36362 0.73369

39 0.58026 -0.47548 0 -0.37920 0 1.0

40 0.34407 -0.20274 0.42800 -0.07502 -0.48159 0.82466

41 0.34407 -0.48397 -0.57804 -0.50302 0.48159 -0.82466

42 0.58825 -0.84951 -0.93765 -0.86736 0.85688 -0.79791

43 0.67600 -1.0 -1.0 -1.0 1.0 0

44 0.58825 -0.88521 -0.79707 -0.86736 0.85688 0.79791

45 0.34407 -0.52207 -0.42800 -0.50302 0.48159 0.82466

Tabla 3.5 Amplitudes de los cuatro primeros modos normalizados

Se observa como en la tabla 3.5 aparecen tres modos distintos para la segunda frecuencia (2a,

2b y 2c). Esto es un hecho inusual, ya que aparecen un número infinito de modos de vibración

para la segunda frecuencia natural, aunque solo se haya ilustrado tres de ellos. Este fenómeno

puede ser resultado de un error matemático en el método de resolución (método de las

diferencias finitas) [24].

Los primeros cuatro modos se dibujan a continuación en Matlab® asignando a cada nodo el

desplazamiento que establecieron Cox y Boxer en la tabla anterior.


60

Figura 3.8 Modo 1 de placa cuadrada simplemente apoyada en las esquinas aplicando el

método de Cox y Boxer








61

En párrafos anteriores se mencionó que otro autor, llamado Nishimura [24], también usó el

método de las diferencias finitas para resolver este problema. A continuación se representan

los valores de los coeficientes �� y la forma de los modos, donde las líneas discontinuas

representan líneas modales (con desplazamiento nulo) para las primeras cuatro frecuencias.

1 2 3 4

�� 7.442 16.74 20.17 40.62

Tabla 3.6 Frecuencias naturales de una placa apoyada en sus esquinas según Nishimura

Figura 3.12 Modos de vibración de una placa apoyada en sus esquinas según Nishimura

3.1.2.1. Solución para el caso de estudio de este proyecto

Se va a usar el procedimiento propuesto por Cox y Boxer basado en el método de las

diferencias finitas para el cálculo de las frecuencias naturales de una placa cuadrada de acero

de dimensiones 0.3x0.3x0.001m3 simplemente apoyada en las esquinas. Según la ecuación

3.47, para el cálculo de las frecuencias se necesita conocer la densidad de la placa (7850kg/m3)

y la rigidez a flexión, calculada anteriormente en la ecuación 3.70 (19.23J).

Ya se pueden calcular las frecuencias con el método de Cox y Boxer, las cuales se muestran en

la siguiente tabla.

Nº Frecuencia Ki ωi(rad/s) fi(Hz)

1 7.117 123.76 19.70

2 15.73 273.55 43.54

3 19.13 332.67 52.95

4 38.42 668.12 106.33

Tabla 3.7 Frecuencias naturales para una placa apoyada en sus esquinas de dimensiones

0.3x0.3x0.001m3 (Método de Cox y Boxer)

Si se usara el método de Nishimura, los resultados serían los presentados a continuación.


62

Nº Frecuencia Ki ωi(rad/s) fi(Hz)

1 7.442 129.42 20.59

2 16.74 291.12 46.33

3 20.17 350.77 55.83

4 40.62 706.38 112.42

Tabla 3.8 Frecuencias naturales para una placa apoyada en sus esquinas de dimensiones

0.3x0.3x0.001m3(Método de Nishimura)

3.2. Métodos numéricos


La gran mayoría de problemas en ingeniería pueden plantearse mediante ecuaciones

algebraicas, ya sean diferenciales o integrales. Sin embargo, muchos de ellos no pueden ser

resueltos, debido a una geometría complicada o una formulación irresoluble analíticamente.

Los métodos numéricos nacen para poder resolver este tipo de problemas.

Un método numérico se define como un procedimiento mediante el cual se obtiene de

manera aproximada la solución de ciertos problemas a través de una secuencia de operaciones

algebraicas y lógicas [27]. Existen numerosos tipos de métodos numéricos, como el método de

la eliminación de Gauss [28] o el método de Newton [29] entre muchos otros. No obstante,

este proyecto se centra en el Método de los Elementos Finitos [30].

La idea general del método de los elementos finitos (MEF) es la división de una línea, una

superficie o un volumen continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por

una serie de puntos llamados nodos [31]. Las ecuaciones que rigen el comportamiento del

objeto de estudio regirán también el de cada uno de los elementos. De esta forma se consigue

pasar de un sistema continuo con infinitos grados de libertad a un sistema discreto con un

número de grados de libertad finito.

El dominio, que se define como el espacio geométrico que se va a analizar, se discretiza en

elementos. Estos elementos pueden ser puntos si el dominio es lineal, líneas si es

bidimensional, y superficies si es tridimensional [32]. Con esto se consigue que el dominio se

aproxime mediante un conjunto de porciones en el que se divide.


63

Figura 3.13 Elemento tipo punto para un dominio lineal

Figura 3.14 Elemento tipo línea para un dominio bidimensional

Figura 3.15 Elemento tipo superficie para un dominio tridimensional

Existen dos hipótesis fundamentales de discretización en el MEF, que son [32]:

− La función solución del problema de deformaciones de cualquier punto del sólido es

aproximada de forma independiente en cada elemento. Para una estructura

discretizada en varios elementos, pueden utilizarse funciones de interpolación

distintas para cada uno de ellos, aunque deben cumplirse ciertas condiciones de

compatibilidad en las fronteras entre los elementos.

− La función solución es aproximada dentro de cada elemento, apoyándose en un

número finito de parámetros, que son los valores de dicha función en los nodos que

configuran el elemento.

Los elementos se definen por un número discreto de puntos, llamados nodos, que conectan

entre sí dichos elementos. Sobre estos nodos se materializan las incógnitas fundamentales del

problema. A estas incógnitas se les denomina grados de libertad de cada nodo del modelo.

Planteando la ecuación diferencial que rige el comportamiento del continuo para el elemento,

se llega a fórmulas que relacionan el comportamiento en el interior del mismo con el valor que


64

tomen los grados de libertad nodales. Este paso se realiza por medio de unas funciones

llamadas de interpolación, ya que éstas interpolan el valor de la variable nodal dentro del

elemento.

El problema se formula en forma matricial debido a la facilidad de manipulación de las

matrices mediante ordenador. Conocidas las matrices que definen el comportamiento del

elemento (matrices de rigidez, amortiguamiento y masa), se ensamblan y se forma un

conjunto de ecuaciones algebraicas que, resolviéndolas, proporcionan los valores de los grados

de libertad en los nodos del sistema.

Por otra parte, el análisis del MEF debe ser convergente, es decir, que al disminuir el tamaño

de los elementos y, por tanto, aumentar el número de nodos y de elementos, la solución

obtenida debe tender a la solución exacta. Las funciones de interpolación elegidas para

representar el estado de deformación de un medio continuo deben satisfacer una serie de

condiciones para que se cumpla la convergencia. Estas condiciones son:

− Las funciones de interpolación deben ser capaces de representar los desplazamientos

como sólido rígido sin producir tensiones en el elemento. Esta condición es evidente,

pues todo sólido que se desplaza como un sólido rígido no sufre ninguna deformación

ni, por lo tanto, tensión.

− Las funciones de interpolación deben ser tales que, cuando los desplazamientos de los

nodos correspondan a un estado de tensión constante, este estado tensional se

alcance en realidad en el elemento. Este criterio exige que los elementos sean capaces

de representar dicho estado de tensión constante. A los elementos que satisfacen los

dos primeros criterios se les llama elementos completos.

− Debe existir continuidad de desplazamientos en la unión entre elementos aunque

puede haber discontinuidad en las deformaciones unitarias y, por tanto, en las

tensiones, ya que son proporcionales a ellas.

3.2.2. Procedimiento de resolución usando el MEF

Uno de los software más usados para la resolución de problemas mediante el MEF es el

programa comercial Ansys®. Este es un programa de aplicación general para el cálculo con

elementos finitos que puede resolver problemas estructurales, térmicos, eléctricos,

magnéticos y de fluidos entre muchos otros.


65

Para resolver problemas de análisis modal con Ansys® el procedimiento a seguir es el

siguiente:

1. Módulo de pre-procesado (Preprocessor).

I. Elegir el tipo de elemento a usar para discretizar el dominio.

II. Definir las propiedades del material (módulo de Young, coeficiente de Poisson,

etc.) y algún otro parámetro si fuera necesario (espesor, temperatura, tipo de

material, etc.).

III. Especificar la geometría del objeto de estudio.

IV. Mallar el objeto, proceso que consiste en dividir el dominio en los elementos

especificados y crear la malla.

2. Módulo de resolución (Solution).

I. Generar la solución, especificando el tipo de análisis que se desea.

II. Aplicar las condiciones de contorno y las cargas externas, si las hubiera.

III. Resolver el problema.

3. Módulo de post-procesado. (General Postproc).

I. Interpretar los resultados.

3.2.3. Aplicación práctica

Para resolver el problema de análisis modal de este proyecto se han de seguir los pasos

anteriormente enumerados.

En primer lugar se debe elegir el tipo de elemento para discretizar el objeto de estudio. En el

caso de este proyecto, el objeto es una placa cuadrada delgada, ya que dos de sus dimensiones

son mucho mayores que la tercera. Por tanto, se necesitará un elemento tipo área. Un

elemento área puede tener forma triangular o cuadrilátera y ser un elemento sólido

bidimensional o un elemento lámina. Los distintos tipos de este elemento con los que cuenta

Ansys® son [33]:


66

• PLANE42: elemento de 4 nodos, con dos grados de libertad en las direcciones del

plano. Se usa para lajas elásticas.

• PLANE82: elemento de 8 nodos, con dos grados de libertad en las direcciones del

plano. Al igual que el otro elemento plane, se usa para lajas elásticas.

• SHELL63: elemento de 4 nodos, con seis grados de libertad. Se usa para placas.

• SHELL93: elemento de 8 nodos, con seis grados de libertad. Se usa para placas.

Las placas y lajas son elementos estructurales que se pueden aproximar por una superficie

bidimensional y que trabajan predominantemente a flexión. La diferencia entre una laja y una

placa reside en la curvatura. Las placas son elementos cuya superficie media es plano,

mientras que las lajas son superficies curvadas en el espacio tridimensional [34].

La estructura de estudio se asemeja más a una placa que a una laja elástica. Por tanto, el

elemento shell es más recomendable que el plane. Entre los dos elementos tipo shell que

existen, se elige el de cuatro nodos, pues es suficiente para el tipo de análisis que se va a

realizar y para la sencilla geometría de la placa.

El siguiente paso es definir las propiedades del material. Se necesita conocer los siguientes

datos:

− Longitud y ancho de la placa: a=0.3m , b=0.3m

− Módulo de Young en todas las direcciones: Ex=Ey=Ez=2.1·1011

Pa

− Coeficiente de Poisson en todas las direcciones: νx=νy=νz=0.3


67

− Espesor de la placa: e=0.001m

El material se considera isótropo, por ello el coeficiente de Poisson y el módulo de Young es el

mismo en todas las direcciones.

Una vez definidos todos los parámetros y las constantes hay que especificar la geometría de la

placa. Para ello se especifican los cuatro puntos de las esquinas y el área que definen. En la

siguiente figura se puede ver la geometría de la placa.

Con el objetivo de obtener la solución del problema hay que mallar todas las áreas definidas.

Para ello, se discretizan las líneas en 40 elementos, y se crea una malla que los une. Se

obtienen un total de 1600 nodos. Es sobre estos nodos donde se definen las incógnitas del

sistema y donde Ansys® calcula la solución.

El tipo de análisis a realizar es, como ya se ha mencionado con anterioridad, un análisis modal.

En este punto se deben especificar el número de frecuencias naturales y modos de vibración

que se quieren obtener. Se han estudiado las cuatro primeras frecuencias tanto en el caso de

la placa empotrada en el centro como en el de la placa apoyada en las esquinas, pues son los

casos analizados con el resto de métodos.

Antes de resolver hay que aplicar las condiciones de contorno y las cargas externas. En este

proyecto se han estudiado dos condiciones de contorno diferentes, que son:

1) Placa empotrada en su punto central. Las condiciones de contorno a aplicar serán

desplazamientos y rotaciones nulas en dicho nodo. En Ansys® esto se traduce como:

|��|"F = |��|"F = |�E|"F = 0 |>FÁ�|"F = |>FÁ�|"F = |>FÁE|"F = 0

2) Placa apoyada en sus cuatro esquinas. Esto significa que tiene los desplazamientos

prohibidos y los giros permitidos en estos cuatro nodos, es decir:

|��|" = |��|" = |�E|" = 0|��|2 = |��|2 = |�E|2 = 0|��|�" = |��|�" = |�E|�" = 0|��|�Ú = |��|�Ú = |�E|�Ú = 0

Por otro lado, también hay que especificar las cargas externas aplicadas en la placa.


68

Al ser un análisis modal, teóricamente no debería haber cargas externas, puesto que para este

tipo de análisis se considera que la única fuerza que actúa es el propio peso de la placa. Por

ello se realizará un análisis donde no haya ninguna fuerza externa actuando.

Es importante destacar que las fuerzas externas se aplican en los nodos que forman la malla, y

no en los puntos de la geometría, ya que es en los primeros donde se genera la solución.

Es en este momento cuando se puede resolver el problema. Se obtendrán una lista con las

frecuencias naturales y la representación las deformadas para cada modo.

3.2.3.1. Placa empotrada en el centro

Tal y como se dijo anteriormente, se han estudiado las primeras cuatro frecuencias naturales

con sus respectivos modos de vibración.

A continuación se representan las deformadas en la dirección perpendicular a la placa (pues

son estas las que se van a poder comparar con los modos obtenidos experimentalmente, como

se explica en apartados posteriores). Cabe destacar que existe un modo de vibración anterior

al primero que se representa, de frecuencia 0.83Hz, pero no tiene interés en este proyecto

debido a que no tiene desplazamientos perpendiculares a la placa, ya que gira en el plano de

esta.

Figura 3.16 Deformada de una placa cuadrada empotrada en el centro asociados a su primera

frecuencia natural


69

Figura 3.17 Deformada de una placa cuadrada empotrada en el centro asociados a su segunda

frecuencia natural

Figura 3.18 Deformada de una placa cuadrada empotrada en el centro asociados a su tercera

frecuencia natural

Figura 3.19 Deformada de una placa cuadrada empotrada en el centro asociados a su cuarta

frecuencia natural


70

Las cuatro primeras frecuencias naturales obtenidas para la placa empotrada en su punto

central son:

Frecuencia (Hz)

f1 13.54

f2 31.08

f3 37.28

f4 54.24

Tabla 3.9 Frecuencias naturales de la placa empotrada en el centro

3.2.3.2. Placa apoyada en las esquinas

Se van a representar de nuevo las cuatro primeras deformadas correspondientes a la dirección

perpendicular de la placa apoyada en las esquinas obtenidas con Ansys®.

Figura 3.20 Deformada de una placa cuadrada apoyada en sus cuatro esquinas asociados a su

primera frecuencia natural


segunda frecuencia natural


71


tercera frecuencia natural


cuarta frecuencia natural

Por otro lado, al igual que se realizó en el apartado anterior, se van a presentar las cuatro

primeras frecuencias naturales de la placa apoyada en las esquinas.

Frecuencia (Hz)

f1 19.68

f2 43.65

f3 54.24

f4 106.38

Tabla 3.10 Frecuencias naturales de la placa apoyada en sus esquinas


72

3.3. Métodos experimentales


Para la realización de la parte experimental de este proyecto se ha contado con dos equipos

diferentes. El primero de ellos es el llamado Pimento®, el cual obtiene los parámetros modales

mediante la aplicación de impactos. Este equipo cuenta con la ayuda de otro programa,

TestLab®, el cual realiza el análisis modal analizando los datos obtenidos en Pimento®. Por otro

lado, el segundo de ellos es una mesa de vibraciones, que puede generar distintos tipos de

señales que exciten al objeto de ensayo.

Tal y como se vio en el apartado 2.1.3 de Análisis Modal Experimental, hay dos tipos de

excitaciones que se pueden aplicar: continua y discreta. Con una excitación continua, se excita

en todos los puntos del objeto de ensayo a la vez y se mide solo en uno. Por el contrario, con

una discreta se mide en varios puntos y se excita solo en uno. Esto implica que la FRF en el

primer caso se construye por columnas y, en el segundo, por filas.

Puesto que hay medios suficientes para hacer los dos tipos de ensayos anteriormente

mencionados, se realizarán ensayos tanto con excitación continua (en la mesa de vibraciones)

como discreta (en Pimento® y en la mesa de vibraciones). El tipo de excitación continua

seleccionada es una señal aleatoria (random), y la discreta los impactos o impulsos.

Las placas usadas para los ensayos se muestran en las siguientes fotografías. Se señala en la

primera un orificio en el centro, en el cual se empotrará la placa mediante un tornillo, una

tuerca y una arandela estriada. Al colocar la tuerca lo suficientemente apretada, se impiden

tanto los giros como los desplazamientos de ese punto, por lo que quedará empotrado. La

segunda placa tiene cuatro orificios en las esquinas donde se apoyará mediante cuatro rótulas,

las cuales también se muestran. Las rótulas permiten los giros en los puntos donde se colocan,

impidiendo a la misma vez los desplazamientos, por lo que simula la condición de contorno de

simplemente apoyado.


73

Figura 3.24 Placas de acero y rótula usadas en la parte experimental

Con respecto a la posición de los acelerómetros sobre la placa cabe mencionar que no debe

ser arbitraria. Un punto de medida no debe coincidir con un nodo de las frecuencias naturales

y, por tanto, los modos de vibración que se desean medir, como ya se explicó anteriormente.

La posición de los acelerómetros dependerá tanto de la condición de contorno como del

ensayo a realizar. Los puntos de colocación se detallarán más adelante.

3.3.2. Ensayo con Pimento® y TestLab®

Pimento® es un programa de adquisición de datos para el análisis modal experimental, que

registra datos en el dominio del tiempo y los transforma al dominio de la frecuencia a través

de la transformada rápida de Fourier (FFT).

Los datos a registrar son adquiridos por este software mediante la aplicación de impactos al

objeto de estudio. Es por esto que se necesita de un sistema de excitación para poder llevar a

cabo los golpes. Este sistema no es más que un martillo instrumentado o impact hammer. En

este proyecto se ha usado el martillo mostrado en la siguiente fotografía. La principal

característica del mismo es su sensibilidad, que es 2.25mV/N.

Figura 3.25 Martillo instrumentado con sus puntas e impactando sobre la placa


74

El martillo instrumentado cuenta con un sensor piezoeléctrico colocado en su punta que mide

la fuerza que se aplica en cada impacto. A su vez, dispone de cuatro cabezales con los que se

consigue diferentes tipos de golpes [35]. Uno de ellos (metálico) es una punta dura y consigue

un impacto más puro, excitando al objeto en un amplio rango de frecuencias. Sin embargo, se

aumenta el riesgo de que se produzcan rebotes en el ensayo, lo cual invalida el resultado ya

que no se construye la FRF adecuadamente. Otras dos puntas (roja y negra) son blandas. Se

usan cuando el objeto de estudio es poco rígido y el riesgo de rebote al impactar alto. Con este

tipo de cabezales no hay rebotes, aunque el impulso es menos puro que en las puntas duras,

por lo que la calidad de la FRF es menor y se excitan menos frecuencias. Entre las puntas duras

y las blandas están las de dureza media (blanca), que son de vinilo y llegan a un equilibrio entre

la calidad de la FRF, el rango de frecuencias a excitar y el hecho de evitar los rebotes.

Por otra parte, para medir la respuesta del sistema se necesita de un sensor que mida las

aceleraciones, y este es un acelerómetro piezoeléctrico. Este tipo de acelerómetros son los

más usados en las medidas de vibraciones debido a una serie de propiedades [36]:

− Tienen un amplio rango de frecuencias, normalmente entre 2Hz y 15000Hz.

− Son muy compactos, sin partes móviles, ligeros y de tamaño reducido.

− Se montan fácilmente con adhesivos o atornillados. También pueden disponer de

bases magnéticas para montajes temporales o aplicaciones especiales.

Para la adquisición de datos también es necesario un módulo periférico que conecte el martillo

y los acelerómetros. En el momento de realización de los ensayos este módulo solo contaba

con dos canales disponibles, por lo que sólo ha podido usarse un acelerómetro en los ensayos.

Figura 3.26 Equipo de adquisición de datos y acelerómetros usados

Para poner en marcha Pimento® se abre el programa y se selecciona la opción Impact. Antes

de empezar, hay que programar el ensayo. Para ello, se seleccionan los canales que se van a


75

usar y se define la banda de frecuencia. Para esto último se debe tener en cuenta el criterio de

Nyquist con el objetivo de evitar el aliasing, fenómeno que causa que señales continuas

distintas se tornen indistinguibles cuando se muestrean digitalmente [37]. El criterio de

Nyquist dice que la frecuencia de muestreo debe ser de al menos el doble del valor de la

frecuencia de interés. Puesto que el estudio de las frecuencias naturales se ha limitado hasta a

las cuatro primeras frecuencias naturales, la banda de frecuencia seleccionada ha sido 250Hz.

Figura 3.27 Interfaz del programa Pimento®

El siguiente paso es definir los canales seleccionados, especificando el nombre del canal, el

punto y la dirección en que se mide (si el canal corresponde al acelerómetro) o se excita (si el

canal corresponde al martillo), las unidades con las que se guardarán los datos y la sensibilidad

de los elementos. Estos datos son los siguientes:

Nombre Dirección Unidades

Acelerómetro +Z m/s2

Martillo -Z N

Tabla 3.11 Descripción de canales de Pimento®

También es necesario definir el parámetro trigger. El trigger establece una condición que, al

ser cumplida, ejecuta un cierto procedimiento. Para los ensayos realizados se ha seleccionado

la opción level trigger, que significa que para que se ponga en marcha el procedimiento, un

determinado parámetro alcance un valor establecido por el usuario. En este caso, la condición

será que la señal que proviene del martillo sea mayor que 1N.


76

Por otra parte, el modo de excitación debe ser roving hammer, lo que significa que se excita en

varios puntos y se mide solo en uno. Es conveniente realizar más de una medida en el mismo

punto, para que el programa realice un promedio de todas ellas y así evitar posibles medidas

erróneas. En los ensayos realizados se han tomado cinco medias en cada punto.

También hay que tener en cuenta que en las resonancias los principales errores provienen de

los outputs o salidas. Puesto que la excitación del martillo es la salida, para estimar la FRF es

conveniente usar una función que solo considere los errores de los outputs y que suponga que

los inputs no tienen error.

Un aspecto muy importante a tener en cuenta es el uso de una ventana para evitar el leakage,

tal y como se explicó en el apartado de Análisis Modal Experimental. El leakage es uno de los

errores más graves que se pueden dar; provoca la tergiversación de componentes que no sean

múltiplos enteros de la frecuencia fundamental[38].El leakage también puede causar una

disminución de la amplitud representada con respecto a la real [39].Para el caso que aplica, se

ha elegido una ventana exponencial al 15%.Este tipo de ventanas es la más usada en ensayos

mediante impactos. La ventana exponencial permite realizar la medición de forma más exacta,

usándose cuando la vibración de una estructura no atenúa adecuadamente durante el

intervalo de muestreo.

Ya solo queda colocar el acelerómetro, impactar en los puntos establecidos y guardar los

datos. Es importante asegurarse que no existen rebotes en los golpes para que los resultados

sean válidos. Un impulso puro en el dominio del tiempo excita un rango infinito de frecuencias.

Por tanto, cuanto más limpio sea el impacto, más frecuencias se excitarán y más válidos serán

los resultados. Por lo que, en la medida de lo posible, hay que intentar que no haya rebotes.

En la figura siguiente se muestra un ejemplo de un golpe sin rebote y otro con rebote.


77

Figura 3.28 Golpes sin rebote y con rebote en Pimento®

En este punto se acaba el trabajo a realizar con Pimento® y es necesario empezar con

TestLab®. Al abrir el programa se debe seleccionar el proyecto con el que se quiera continuar,

o empezar uno nuevo. A continuación se deben importar los archivos que se crearon en

Pimento®, los cuales deben tener una extensión .xdf y contener las FRF obtenidas. Para ello se

debe seleccionar la primera pestaña que aparece en workbook del programa, llamada

navigator, y, dentro de esta, la opción data calculator.

Figura 3.29 Barra de herramientas de Testlab®

Estas FRF deben acondicionarse para tratarlas en este nuevo programa, es decir, hay que

obtener los desplazamientos a partir de las aceleraciones calculadas. Por tanto, se realiza una

doble integración de las mismas con el comando double integrate. El tipo de integración usada

es la de Simpson, que utilizada la regla de los tres puntos, por la cual la integración es correcta

para componentes de bajas frecuencias pero incrementa la sobreestimación para alta

frecuencia.

El siguiente paso es dibujar la geometría del objeto de estudio. Se deben introducir las

coordenadas de los nodos, y también las áreas definidas por estos. Por otra parte, hay que


78

especificar las condiciones de contorno. Los diferentes nodos se han elegido según los puntos

donde se aplican las condiciones de contorno, los puntos donde se colocan los acelerómetros y

los puntos donde se aplican los impactos.

Las condiciones de contorno ya se definieron en el apartado 3.2 sobre análisis modal

numérico. Recordándolas, para la placa empotrada en su punto central se prohíben tanto

desplazamientos como giros en dicho punto; y para la placa apoyada en las esquinas se

prohíben únicamente los desplazamientos.

Una vez definidos y calculados los anteriores parámetros y propiedades se puede empezar el

análisis modal propiamente dicho. Tras seleccionar los datos deseados y el rango de

frecuencias de estudio en la pestaña time MDOF, el programa construye la FRF global. Sobre

esta función, en el llamado diagrama de estabilización, se pueden seleccionar los modos de

vibración, los cuales corresponden a picos pronunciados de la FRF. Los picos que se deben

seleccionar son los polos estables (letra s) del sistema. Este tipo de polos tendrán un

amortiguamiento mucho más pequeño que otro tipo de polos, como son el polo estable en

frecuencia (letra f)o el polo estable en amortiguamiento (letra d). En este punto ya se tienen

tanto las frecuencias naturales como los modos de vibración.

TestLab® da la opción de representar los modos de vibración, la deformada y la indeformada,

entre otros.

El último paso a realizar es la validación de los resultados, lo cual se realiza de diferentes

maneras. Una de ellas, la que se encuentra en la pestaña modal synthesis, consiste en

sintetizar la FRF, es decir, calcular la FRF a partir de los parámetros modales que se han

obtenido, y posteriormente comparar la FRF nueva con la original. Cuanto más parecidas sean,

mejor será la estimación de los parámetros modales que se ha realizado. La correlación, que se

puede medir con el parámetro modal phase collinearity (MPC), y el error, que se estima con el

parámetro mean phase deviation (MPD), entre ambas deben ser lo más cercano a 100% y a 0%

posible respectivamente.

La segunda forma, en la pestaña modal validation, es el cálculo del número auto MAC (modal

assurance criterion). El auto MAC es una correlación numérica entre los modos de vibración

[39]. Es el procedimiento más usado para correlacionar dos conjuntos de modos de vibración,

uno medido experimentalmente y otro calculado teóricamente. Dados dos conjuntos de

modos, uno de ellos formado por M modos experimentales y el otro por N modos teóricos, se


79

puede representar en una matriz de dimensiones MxN los valores del auto MAC en la que se

ve claramente las relaciones entre los modos experimentales y los teóricos.

Generalmente se acepta como satisfactorio valores de la diagonal de la matriz auto MAC lo

más cercanos posible al 100%, y los elementos fuera de la diagonal lo más pequeños posible.

A continuación se van a representar los resultados obtenidos en este ensayo.


Para la realización de los ensayos se colocó la placa en el mismo lugar donde se realizaron los

ensayos con la mesa de vibraciones, para que las condiciones de contorno sean idénticas en

ambos casos.

Con respecto a la posición de los acelerómetros, para poder obtener buena calidad en los

modos de vibración, se decide colocarlos en doce posiciones diferentes. Debido a el hecho de

que a Pimento ® solo pueden conectarse siete acelerómetros por ensayo, se realizarán dos

ensayos, cambiando la posición de los acelerómetros e impactando en los mismos puntos.

Figura 3.30 Placa empotrada en el centro para experimentos con Pimento®

Debido a la gran flexibilidad de la placa, lo que dificulta la toma de datos con impactos limpios,

se dividió en una malla de 25 nodos .En cada nodo de la malla se impacta con el martillo,

obteniendo una respuesta en cada uno de ellos. Tanto la malla como los puntos de medida

(posición de los acelerómetros), en rojo, se muestran en la siguiente figura.


80

Figura 3.31 Puntos de impacto de la placa empotrada en el centro

Para el cálculo de la FRF global, Testlab® calcula la suma de las FRF obtenidas a partir de los

dos ensayos realizados (cada uno de ellos con el acelerómetro colocado en una posición

distinta e impactando en los mismos puntos). De esta forma, la FRF global es similar a la que se

obtendría realizando un único ensayo con varios acelerómetros e impactando en distintos

puntos.

Para realizar el análisis modal, se selecciona como rango de frecuencia de 3Hz a 150Hz,

estudiándose así los primeros cuatro modos de vibración. Instrucciones del programa indican

que no es conveniente empezar por una frecuencia de 0Hz, ya que podrían producirse errores

matemáticos.

La FRF obtenida con Testlab® para la placa empotrada en el centro es la que se muestra a

continuación. Puede observarse como aparecen cuatro polos estables (letra s),

correspondiendo estos a las cuatro primeras frecuencias naturales que el sistema detecta. Se

muestran también las frecuencias naturales y su amortiguamiento correspondiente.

Figura 3.32 FRF Suma de la placa empotrada en el centro con Testlab®


81

Tabla 3.12 Frecuencias naturales de la placa empotrada en el centro en Testlab®

Es conveniente conocer la calidad de los resultados obtenidos. Para ello, se procede a la

validación de los datos.

En la figura siguiente se representa la comparación entre las FRF obtenidas en los dos ensayos

(en verde) y las FRF construidas a partir de los parámetros modales que Testlab® calcula (en

rojo) para cada uno de los acelerómetros, como suma de la respuesta en cada punto de

medida. La comparación de ambas FRF se realiza tanto en magnitud como en fase. La

correlación entre ambas funciones está en torno al 90% y el error al 10%. Si la correlación

fuese del 100 y el error del 0%, ambas funciones se superpondrían, dibujándose como una

sola.

(a) Síntesis modal del acelerómetro 1 (b) Síntesis modal del acelerómetro 2

(c) Síntesis modal del acelerómetro 3 (d) Síntesis modal del acelerómetro 4

(e) Síntesis modal del acelerómetro 5 (f) Síntesis modal del acelerómetro 6


82

(g) Síntesis modal del acelerómetro 7 (h) Síntesis modal del acelerómetro 8

(i) Síntesis modal del acelerómetro 9 (j) Síntesis modal del acelerómetro 10

(k) Síntesis modal del acelerómetro 11 (l) Síntesis modal del acelerómetro 12

Figura 3.33 Comparación entre las FRF obtenidas experimentalmente y las obtenidas por

Testlab® para la placa empotrada en el centro

También es conveniente realizar una validación modal experimental, para lo que se calculará el

número MAC. Como puede observarse en la figura siguiente, las componentes de la diagonal

son iguales a 100, como cabía esperar para unos buenos resultados. Igualmente, los valores de

fuera de la diagonal son muy cercanos a cero.

Figura 3.34 Auto MAC de la placa empotrada en el centro

Por último se representan los modos de vibración con un mapa de colores, donde se

representa la deformada en la dirección perpendicular a la placa, puesto que es la única que

los acelerómetros pueden captar.


83

Figura 3.35 Primer modo de vibración de una placa cuadrada empotrada en el centro obtenido

con Testlab®

Figura 3.36 Segundo modo de vibración de una placa cuadrada empotrada en el centro

obtenido con Testlab®

Figura 3.37 Tercer modo de vibración de una placa cuadrada empotrada en el centro obtenido

con Testlab®


84

Figura 3.38 Cuarto modo de vibración de una placa cuadrada empotrada en el centro obtenido

con Testlab®

3.3.2.2. Placa apoyada en sus esquinas

La placa apoyada en las esquinas se colocó en el mismo lugar que la anterior, como puede

verse en la fotografía siguiente.

Figura 3.39 Placa apoyada en las esquinas para experimentos con Pimento®

La malla elegida para la placa apoyada en las esquinas es mayor que en el caso de la

empotrada. Esto es posible debido a que la calidad de los golpes es mejor, ya que la placa es

menos flexible al tener limitados ciertos grados de libertad en las esquinas, . Por tanto, se

toma una malla de 81 puntos.

Con respecto a los acelerómetros (cuya posición se representa a continuación, mostrando cada

punto rojo un acelerómetro), se colocan 13, dividiéndose, al igual que en el caso anterior, en

dos ensayos, cambiando la posición de los acelerómetros e impactando en ambos en los 81

puntos de la malla.


85

Figura 3.40 Puntos de impacto de la placa apoyada en las esquinas

Para realizar el análisis modal, se selecciona como rango de frecuencia de 3 Hz a 150Hz. La FRF

global obtenida en los ensayos y calculada de la misma forma que en el caso anterior es la que

se muestra a continuación.

Figura 3.41 FRF Suma de la placa apoyada en las esquinas con Testlab®

Tabla 3.13 Frecuencias naturales de la placa apoyada en las esquinas en Testlab®

En la figura siguiente se representa la comparación entre las FRF obtenidas en los dos ensayos

(en verde) y las FRF construidas a partir de los parámetros modales que Testlab® calculó (en

rojo) para cada uno de los acelerómetros. La correlación entre ambas funciones está en torno

a 90% y el error 10%, al igual que en la placa empotrada en el centro.


86

(a) Síntesis modal del acelerómetro 1 (b) Síntesis modal del acelerómetro 2

(c) Síntesis modal del acelerómetro 3 (d) Síntesis modal del acelerómetro 4

(e) Síntesis modal del acelerómetro 5 (f) Síntesis modal del acelerómetro 6

(g) Síntesis modal del acelerómetro 7 (h) Síntesis modal del acelerómetro 8

(i) Síntesis modal del acelerómetro 9 (j) Síntesis modal del acelerómetro 10


87

(k) Síntesis modal del acelerómetro 11 (l) Síntesis modal del acelerómetro 12

(m) Síntesis modal del acelerómetro 13

Figura 3.42 Comparación entre las FRF obtenidas experimentalmente y las obtenidas por

Testlab® para la placa apoyada en las esquinas

Con respecto al número MAC, las componentes de la diagonal son iguales a 100 y el resto de

elementos muy cercanos a cero, por lo que la calidad de los resultados es buena.

Figura 3.43 Auto MAC de la placa apoyada en las esquinas

Los modos de vibración se representan a continuación, con un mapa de color que señala la

deformación en dirección perpendicular a la placa.

Figura 3.44 Primer modo de vibración de una placa cuadrada apoyada en las esquinas obtenido

con Testlab®


88

0

Figura 3.45 Segundo modo de vibración de una placa cuadrada apoyada en las esquinas


Figura 3.46 Tercer modo de vibración de una placa cuadrada apoyada en las esquinas obtenido

con Testlab®

Figura 3.47 Cuarto modo de vibración de una placa cuadrada apoyada en las esquinas



89

3.3.3. Ensayos con la mesa de vibraciones

La mesa de vibraciones es un equipo que genera distintos tipos de vibraciones, tanto continuas

(sinusoidales, señales tipo random, etc.) como discretas (impulsos). Gracias a esta

característica, se puede estudiar el comportamiento de objetos o estructuras ante distintos

tipos de estímulos externos. Estos estímulos pueden ser verticales u horizontales, ya que la

mesa cuenta con dos bases paralelas al suelo, las cuales se mueven una de ellas en vertical

(cilindro blanco) y otra en horizontal (placa metálica). En la siguiente fotografía puede verse la

mesa.

Figura 3.48 Mesa de vibraciones

Una limitación existente es el tamaño de los objetos a ensayar, que no pueden ser

excesivamente grandes ni pesados. Más concretamente, el peso máximo del componente a

ensayar en la mesa vertical es 460kg y en la mesa horizontal 312kg. Otra limitación es la

frecuencia límite que se puede estudiar, que no puede superar los 2500Hz, pues esta

frecuencia es próxima a la resonancia de la máquina.

La mesa de vibraciones cuenta con dos software que permiten analizar y programar los

ensayos deseados. Con estos, se pueden diseñar distintos tipos de test, cambiando el tipo y la

amplitud de excitación a aplicar, la frecuencia y el tiempo de aplicación, etc. La diferencia

entre ambos es que el primero de ellos, llamado Signal Star® Vector Vibration Control System,

solo genera la excitación y guarda los datos registrados pero no puede hacer ningún tipo de

análisis. Sin embargo, el segundo programa, llamado Signal Calc Mobilyzer®, además de

generar las vibraciones, de forma más limitada que el anterior, se pueden realizar análisis

modales con los que se obtienen las FRF, entre otros. No obstante, esta máquina no es la más

apropiada para este tipo de análisis pues, aunque se puede obtener las funciones de respuesta

en frecuencia, no ocurre lo mismo con los modos de vibración. Además, aunque en la FRF se

pueden ver las frecuencias naturales, no las lista para mayor comodidad.


90

Por otra parte, los acelerómetros usados en estos ensayos son del mismo tipo que en

Pimento®, piezoeléctricos.

En el desarrollo de la práctica se han realizado dos tipos de ensayos para las dos condiciones

de contorno estudiadas. El primero de ellos ha sido someter a la placa a una serie de impactos,

y el segundo, a una excitación aleatoria.

En los ensayos mediante impacto, se han realizado diez medidas distintas (es decir, se han

aplicado diez impulsos iguales) y se ha realizado la media de todos ellos.

La amplitud tanto de los impactos como de la señal aleatoria ha sido 3 cm y se ha aplicado una

ventana exponencial a la señal de los acelerómetros, que, como se explicó antes, es la más

recomendada en el estudio de vibraciones mediante impactos. No es recomendable establecer

amplitudes mucho mayores que la seleccionada, ya que la placa podría sobrepasar sus límites

y detenerse el ensayo.

Por otra parte, hay que destacar que el programa no calcula la función de respuesta en

frecuencia, si no una función de transferencia a partir de una señal de control. Esto ocurre

porque se mide el desplazamiento de la base y no la fuerza que aplica. Como se ha dicho es

necesario seleccionar un acelerómetro como señal de control.

Una explicación más detallada del uso de este programa se presenta en el Anexo C.

A continuación se presentan los resultados obtenidos. Pero antes se muestra una figura con la

posición de los acelerómetros para las dos placas. Con respecto al acelerómetro de referencia

o control, se ha seleccionado en ambos casos el acelerómetro 1, situado

Figura 3.49 Posición de los acelerómetros para las placas empotrada en el centro y apoyada en

las esquinas para los ensayos con la mesa de vibraciones


91

3.3.3.1. Placa empotrada en el centro. Impacto

Al aplicar los impactos, las respuestas de los acelerómetros colocados en la placa es la

siguiente. Puede verse como la mayor amplitud aparece al inicio, en el momento de la

aplicación del impacto. Después de este, la señal va atenuando su amplitud.

(a) Acelerómetro 1

(b) Acelerómetro 2 (c) Acelerómetro 3

(d) Acelerómetro 4 (e) Acelerómetro 5

Figura 3.50 Respuesta temporal de los acelerómetros de la placa empotrada en el centro al ser

sometida a impactos


92

Con estas aceleraciones, el programa calcula una función de transferencia entre los

acelerómetros anteriores y el de referencia, que como se dijo, es el acelerómetro 1. Las

funciones de transferencia que se obtienen son las siguientes.

(a) Acelerómetro 2 (b) Acelerómetro 3

(c) Acelerómetro 4 (d) Acelerómetro 5

Figura 3.51 Funciones de Transferencia de la placa empotrada en el centro al ser sometida a

impactos

Los picos pronunciados en las funciones anteriores corresponden con las frecuencias naturales

de la placa, las cuales se muestran a continuación.

Función de Transferencia

Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 2

f1 (Hz) 12.2

f2 (Hz) 29.5

f3 (Hz) 37.2

f4 (Hz) -


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 3

f1 (Hz) 12.1

f2 (Hz) 30.1

f3 (Hz) -

f4 (Hz) 53.2


93


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 4

f1 (Hz) 14.1

f2 (Hz) 28.2

f3 (Hz) 36.5

f4 (Hz) 53.2


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 5

f1 (Hz) 14.8

f2 (Hz) 33.1

f3 (Hz) 37.6

f4 (Hz) -

Tabla 3.14 Frecuencias naturales de la placa empotrada en el centro sometida a impactos en la

mesa de vibraciones

3.3.3.2. Placa empotrada en el centro. Señal aleatoria (random)

Al aplicar la respuesta aleatoria, las respuestas de los acelerómetros colocados en la

placa es la siguiente.

(a) Acelerómetro 1



94


Figura 3.52 Respuesta temporal de los acelerómetros de la placa empotrada en el centro al ser

sometida a una señal aleatoria

Con estas aceleraciones, el programa calcula una función de transferencia, que son las

siguientes.



Figura 3.53 Funciones de transferencia de la placa empotrada en el centro al ser sometida a

una señal aleatoria


95


de la placa. Estas son:


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 2

f1 (Hz) 11.9

f2 (Hz) 28.7

f3 (Hz) 36.6

f4 (Hz) -


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 3

f1 (Hz) 13.1

f2 (Hz) 32.5

f3 (Hz) -

f4 (Hz) 52.8


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 4

f1 (Hz) 12.7

f2 (Hz) 31.9

f3 (Hz) 35.7

f4 (Hz) 55.1


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 5

f1 (Hz) 14.3

f2 (Hz) 32.8

f3 (Hz) 38.1

f4 (Hz) -

Tabla 3.15 Frecuencias naturales de la placa empotrada en el centro sometida a una señal

aleatoria en la mesa de vibraciones

3.3.3.3. Placa apoyada en las esquinas. Impacto

Al aplicar los impactos, las respuestas de los acelerómetros colocados en la placa es la

siguiente.


96

(a) Acelerómetro 1



Figura 3.54 Respuesta temporal de los acelerómetros de la placa apoyada en las esquinas al ser

sometida a impactos

Con estas aceleraciones, el programa calcula las funciones de transferencia.



97


Figura 3.55 Funciones de transferencia de la placa apoyada en las esquinas al ser sometida a

impactos




Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 2

f1 (Hz) 18.5

f2 (Hz) 41.9

f3 (Hz) 51.2

f4 (Hz) -


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 3

f1 (Hz) 17.0

f2 (Hz) -

f3 (Hz) -

f4 (Hz) -


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 4

f1 (Hz) 17.6

f2 (Hz) 38.3

f3 (Hz) -

f4 (Hz) 103.8


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 5

f1 (Hz) 20.5

f2 (Hz) 41.7

f3 (Hz) 56.4

f4 (Hz) 106.4

Tabla 3.16 Frecuencias naturales de la placa apoyada en las esquinas sometida a impactos en

la mesa de vibraciones

3.3.3.4. Placa apoyada en las esquinas. Señal aleatoria (random)


98

Al aplicar la señal aleatoria, las respuestas de los acelerómetros colocados en la placa

es la siguiente.

(a) Acelerómetro 1



Figura 3.56 Respuesta temporal de los acelerómetros de la placa apoyada en las esquinas al ser

sometida a una señal aleatoria

Con estas aceleraciones, el programa construye las funciones de respuesta en frecuencia.


99



Figura 3.57 Funciones de transferencia de la placa apoyada en las esquinas al ser sometida a

una señal aleatoria




Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 2

f1 (Hz) 20.5

f2 (Hz) 43.6

f3 (Hz) 56.4

f4 (Hz) -


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 3

f1 (Hz) 18.6

f2 (Hz) -

f3 (Hz) -

f4 (Hz) -


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 4

f1 (Hz) 17.9

f2 (Hz) 42.3

f3 (Hz) -

f4 (Hz) 107.0


100


Acelerómetro 1 /

Acelerómetro 5

f1 (Hz) 18.6

f2 (Hz) 41.0

f3 (Hz) 58.3

f4 (Hz) 104.5

Tabla 3.17 Frecuencias naturales de la placa apoyada en las esquinas sometida a una señal

aleatoria en la mesa de vibraciones

4. DISCUSIONES Y CONCLUSIONES

4.1. Comparación de resultados

Con el objetivo de obtener conclusiones de forma clara y sencilla, se van a comparar los

diferentes métodos usados y se van a calcular los errores entre unos y otros.

El método de referencia seleccionado para comparar todos los demás ha sido el numérico,

desarrollado con el programa Ansys®.

La fórmula usada para el cálculo del error es

ÅG = H�� − �Í�Í

H ∙ 100

siendo ÅG el error relativo, �� el valor del cual se desea conocer el valor y �Í el valor

verdadero. Se ha tomado como valor verdadero los obtenidos en Ansys®.

Para validar los resultados de Ansys®, se ha comprobado que el peso de los acelerómetros

usados en los experimentos no afecta ni a los modos ni a las frecuencias naturales. Para ello,

se han realizado diversos análisis, aplicando ciertas cargas puntuales en los puntos donde se

colocan los acelerómetros, con un valor igual a su peso y en dirección -z. Los resultados han

demostrado que las frecuencias son exactamente las mismas en todos los casos.

También se ha realizado un análisis de convergencia, disminuyendo el tamaño de los

elementos y comprobando que los resultados no cambian.

4.1.1 Comparación entre métodos semi-analítico y numérico



101

Se presenta a continuación una comparación entre los resultados obtenidos con la formulación

acústica (simulados con Matlab®) y los obtenidos con Ansys®. Se recuerda que el primer modo

de la empotrada no se puede detectar con este método.

En la siguiente tabla se muestran las frecuencias obtenidas teóricamente y numéricamente de

la placa empotrada en el centro. También aparece el error entre ambas. Como se puede

observar, los errores obtenidos son pequeños, siendo la media de todos ellos de 5.99%.

Nº Frecuencia Frecuencia (Hz) semi-analítica

Frecuencia (Hz) numérica

Error (%)

1 - 13.54 -

2 27.31 31.08 12.13

3 34.15 32.28 5.79

4 54.63 54.24 0.07

Tabla 4.1 Frecuencias naturales con métodos semi-analítico y numérico de la placa empotrada

en el centro

Por otro lado, a continuación se realiza una comparación de los modos. Las figuras (a) son los

obtenidos con los métodos semi-analíticos y las (b) con Ansys®. En el tercer y cuarto modo

coinciden perfectamente las líneas modales. No ocurre lo mismo en el segundo modo, ya que

el método acústico parece representar una línea modal, cuando se ve en (b) que no existe. Sin

embargo, sí coinciden a la perfección los puntos de máximos y mínimos desplazamientos.

(a) (b)

Figura 4.1 Comparación entre los métodos semi-teórico y numérico del modo 2 de una placa

cuadrada empotrada en el centro


102

(a) (b)



(a) (b)




En la siguiente tabla se muestra la comparativa entre las frecuencias obtenidas con los

métodos de Cox y Boxer (tabla 4.2) y Nishimura (tabla 4.3) y las obtenidas con Ansys®.



Error (%)

1 19.70 19.68 0.10

2 43.54 43.65 0.25

3 52.95 54.24 2.38

4 106.33 106.38 0.05


103

Tabla 4.2 Frecuencias naturales con métodos semi-analítico (Cox y Boxer) y numérico de la

placa apoyada en las esquinas



Error (%)

1 20.59 19.68 4.62

2 46.33 43.65 6.14

3 55.83 54.24 2.93

4 112.42 106.38 5.68

Tabla 4.3 Frecuencias naturales con métodos semi-analítico (Nishimura) y numérico de la placa

apoyada en las esquinas

Cabe destacar que con el método de Nishimura obtienen errores mayores, aunque aceptables,

que con el de Cox y Boxer.

Con respecto a los modos de vibración, los dos métodos los representan de forma correcta. En

las siguientes figuras pueden verse los modos de Cox y Boxer (a), representando en color

amarillo la placa indeformada y en morada el modo de vibración correspondiente, los de

Nishimura (b), especificando las líneas modales, y los obtenidos con Ansys® (c).

(a) (b) (c)


cuadrada apoyada en las esquinas

(a) (b) (c)




104

(a) (b) (c)



(a) (b) (c)



4.1.2. Comparación entre métodos experimental (Pimento® y

Testlab®) y numérico


En la siguiente tabla se calcula el error entre las frecuencias obtenidas con los programas

Pimento® y Testlab® y los de Ansys®. El error medio de estos cuatro valores es de 8.71%, el

cual se puede considerar como aceptable para un ensayo experimental.

Nº Frecuencia Frecuencia (Hz)

Con Testlab® Frecuencia (Hz)

con Ansys® Error (%)

1 15.730 13.541 16.21

2 28.723 31.076 7.42

3 37.619 37.278 1.07

4 59.695 54.239 10.14

Tabla 4.4 Frecuencias naturales con métodos experimentales (Pimento® y Testlab®) y numérico

de la placa empotrada en el centro


105

Como ya se explicó anteriormente, la primera frecuencia natural de la placa empotrada en su

centro (calculada por Ansys® en 0.835Hz) no se detecta experimentalmente. Esto es debido a

que el primer modo de vibración no tiene desplazamientos perpendiculares a la placa

(dirección z), sino en el plano de la misma. Por tanto, los acelerómetros colocados en la placa,

que solo captan aceleraciones en dirección z, no pueden detectarlo.

También es interesante observar como el primer modo detectado por Testlab® tiene un error

más elevado que el resto. Los acelerómetros sí lo detectan puesto que se desplaza en la

dirección z. Sin embargo, no se deforma, lo que pueda hacer que Testlab® no lo calcule con

tanto precisión.

Con respecto a los modos de vibración, se representa a continuación una comparativa entre

los modos dibujados por Testlab® (a) y los calculados en Ansys® (b). Se observa como las líneas

modales coinciden, al igual que los puntos de máximos y mínimos desplazamientos.

(a) (b)

Figura 4.8 Comparación entre los métodos experimental (Pimento® y Testlab®) y numérico del

modo 1 de una placa cuadrada empotrada en el centro

(a) (b)




106

(a) (b)



(a) (b)




Al calcular el error entre las frecuencias obtenidas en Pimento® y Testlab® y las obtenidas con

Ansys® para una placa apoyada en las esquinas, se observa que sus valores son bajos, siendo el

error medio de 9.2%.

Nº Frecuencia Frecuencia (Hz)

Con Testlab® Frecuencia (Hz)

Con Ansys® Error (%)

1 20.770 19.68 5.54

2 45.756 43.65 4.82

3 61.394 54.24 13.19

4 92.368 106.38 13.20

Tabla 4.5 Frecuencias naturales con métodos experimentales (Pimento® y Testlab®) y numérico

de la placa apoyada en las esquinas


107

Los modos de vibración de Testlab® (a) también coinciden con los de Ansys® (b). Cabe destacar

que al ser la malla más grande en este caso con respecto al empotrado, la calidad al

representar los modos es mayor.

(a) (b)


modo 1 de una placa cuadrada apoyada en las esquinas

(a) (b)



(a) (b)




108

(a) (b)



4.1.3. Comparación entre métodos experimental (mesa de

vibraciones) y numérico


En el caso de la mesa de vibraciones, se realizaron dos ensayos, uno con una excitación

aleatoria y otra mediante impactos. Este método experimental no permite dibujar los modos

de vibración, por lo que solo se podrán comparar las frecuencias naturales.

Los errores que se calculan entre ambas frecuencias para los dos tipos de excitación están en

torno al 3.94% para el caso de impactos y el 3.57% para el caso de la señal aleatoria, ambos

muy parecidos.

Nº Frecuencia

Frecuencia (Hz) con mesa


Error (%)

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 2

1 12.2 13.54 9.90

2 29.5 31.08 5.08

3 37.2 37.28 0.22

4 - 54.24 -

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 3

1 12.1 13.54 10.63

2 30.1 31.08 3.15

3 - 37.28 -

4 53.2 54.24 1.01

Acelerómetro 1 1 14.1 13.54 4.14


109

/

Acelerómetro 4

2 28.2 31.08 9.27

3 36.5 37.28 2.09

4 53.2 54.24 1.92

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 5

1 14.8 13.54 9.31

2 33.1 31.08 6.50

3 37.6 37.28 0.86

4 - 54.24 -

Tabla 4.6 Frecuencias naturales con métodos experimentales (mesa de vibraciones) y numérico

de la placa empotrada en el centro con excitación mediante impactos

Nº Frecuencia

Frecuencia (Hz) con mesa


Error (%)

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 2

1 11.9 13.54 12.11

2 28.7 31.08 7.66

3 36.6 37.28 1.82

4 - 54.24 -

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 3

1 13.1 13.54 3.25

2 32.5 31.08 4.57

3 - 37.28 -

4 52.8 54.24 2.65

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 4

1 12.7 13.54 6.20

2 31.9 31.08 2.64

3 35.7 37.28 4.24

4 55.1 54.24 1.58

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 5

1 14.3 13.54 5.61

2 32.8 31.08 5.53

3 38.1 37.28 2.20

4 - 54.24 -


de la placa empotrada en el centro con excitación aleatoria

Se observa como no todos los acelerómetros detectan todas las frecuencias. Sin embargo, un

mismo acelerómetro detecta las mismas frecuencias tanto en el caso del impacto como en el


110

de la señal aleatoria. Esto ocurre porque si un acelerómetro se sitúa en una línea modal,

ciertos modos de vibración no los detecta. Es el caso, por ejemplo, del acelerómetro 5, en una

diagonal de la placa, que no puede detectar el modo por tener desplazamientos nulos en ese

punto.

Figura 4.16 Posición del acelerómetro 5 y modo 4 de la placa empotrada en el centro


En la placa apoyada en las esquinas ocurre lo mismo que en el caso anterior. Aparecen errores

pequeños de valor similar en ambos ensayos, 4.50% para los ensayos con impactos y 3.22%

para la señal aleatoria.

Nº Frecuencia Frecuencia (Hz) con mesa


Error (%)

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 2

1 18.5 19.68 5.99

2 41.9 43.65 4.01

3 51.2 54.24 5.6

4 - 106.38 -

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 3

1 17.5 19.68 11.08

2 - 43.65 -

3 - 54.24 -

4 - 106.38 -

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 4

1 17.6 19.68 10.57

2 38.3 43.65 12.26

3 - 54.24 -

4 103.8 106.38 2.43

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 5

1 20.5 19.68 4.17

2 41.7 43.65 4.47

3 56.4 54.24 3.98


111

4 106.4 106.38 0.02


de la placa apoyada en las esquinas con excitación mediante impactos

Nº Frecuencia Frecuencia (Hz) con mesa


Error (%)

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 2

1 20.5 19.68 4.17

2 43.6 43.65 0.11

3 56.4 54.24 3.98

4 - 106.38 -

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 3

1 18.6 19.68 5.49

2 - 43.65 -

3 - 54.24 -

4 - 106.38 -

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 4

1 17.9 19.68 9.04

2 42.3 43.65 3.09

3 - 54.24 -

4 107.0 106.38 0.58

Acelerómetro 1

/

Acelerómetro 5

1 18.6 19.68 5.49

2 41 43.65 6.07

3 58.3 54.24 7.49

4 104.5 106.38 1.77


de la placa apoyada en las esquinas con excitación aleatoria

En la placa apoyada en las esquinas también puede verse como no todos los acelerómetros

captan todas las frecuencias, y siempre captan las mismas. Por ejemplo, el acelerómetro 4 no

detecta el modo 3, por situarse sobre una línea modal.


112

Figura 4.17 Posición del acelerómetro 4 y modos 3 de la placa poyada en las esquinas

4.2. Conclusiones

De los resultados anteriormente expuestos se pueden obtener las siguientes conclusiones.

• Los métodos teóricos solo pueden usarse para resolver problemas muy sencillos, que

en la vida real no suelen darse. Por otra parte, los semi-analíticos permiten resolver

problemas algo más complejos, aunque siempre de geometrías y/o condiciones de

contorno sencillas.

El método de Ritz, que estudia las frecuencias y modos de una placa empotrada en el

centro, es un muy complejo matemáticamente, con un elevado coste computacional,

estando la obtención de resultados limitada a lo que obtuvo Ritz en su momento.

Por otro lado, la formulación acústica sí resuelve el problema de forma sencilla y

eficaz, con errores pequeños. El inconveniente que tiene es que no detecta los modos

con deformaciones muy pequeñas o nulas.

Los métodos semi-teóricos de Cox y Boxer y Nishimura también se aproximan mucho

a la realidad, por lo que son buenos métodos, con la limitación de frecuencias

naturales y modos que se pueden obtener, ya que hasta hoy solo se han obtenido las

cinco primeras con Cox y Boxer y las diez primeras con Nishimura.

• El método de los elementos finitos aplicado a Ansys® es muy fiable a la hora de

realizar análisis modal. El programa cuenta con una avanzada tecnología para poder

dibujar estructuras complejas sometidas a diversas condiciones de contorno, y poder

calcular las frecuencias naturales y los modos de vibración, entre otras aplicaciones.

No obstante, es necesario tener cuidado con las propiedades del material introducidas

(densidad y coeficiente de Poisson y módulo de Young en las tres direcciones), pues

no todos los materiales son isotrópicos ni tienen densidades constantes.


113

También se debe estudiar en profundidad el tipo de elemento a usar para definir el

dominio, ya que se puede introducir un dominio de estudio incorrecto e inducir fallos

en el cálculo de frecuencias y modos.

• Se ha visto que los métodos experimentales son fiables a la hora de obtener

frecuencias y modos de vibración.

Con respecto a Pimento® y a Testlab®, las frecuencias se obtienen con errores bajos, y

los modos se identifican bien. No obstante, son difíciles de representar debido a que

el objeto de estudio es un plano y no está formado por líneas, como ocurre en otros

estudios cuyos resultados son mejores [40][41].

Durante la ejecución de los ensayos se ha visto la importancia de dar golpes limpios,

ya que afecta en gran medida a la obtención de frecuencias y modos.

Por otra parte, la mesa de vibraciones estima las frecuencias naturales de la placa. No

obstante, presenta dos grandes problemas.

El primero de ellos es que no puede representar los modos de vibración. Al no contar

con ninguna aplicación que permita introducir una geometría en el programa,

imposibilita la representación de estos modos.

El otro gran hándicap es que no "detecta" las frecuencias naturales. El programa

Signal Calc Mobilyzer® construye una función de transferencia entre dos

acelerómetros. Sin embargo, no analiza esta función para detectar distintas

frecuencias. Esto hace que la persona que realice los ensayos deba seleccionar las

distintas frecuencias, cosa que puede llevar a error seleccionando picos que no

corresponde a frecuencias y obviando otros más débiles que sí.


114

ANEXO A. MANUAL BÁSICO DE USO DE LA MESA DE

VIBRACIONES

A.1. Identificación de componentes

Los diferentes componentes que forman la mesa de vibraciones son:

• Mesa vibratoria. El interior de la mesa vibratoria contiene dos bobinas magnéticas.

Cuando se pulsa start/stop una de las bobinas se magnetiza, y cuando se pulsa drive

sucede lo mismo con la otra, lo que provoca el movimiento de la cabeza hacia arriba y

hacia abajo. La mesa vibratoria cuenta con dos mesas de ensayo, una en vertical (parte

circular) y otra en horizontal (parte cuadrada).

Figura A.1 Mesa de vibraciones

• Amplificador. Desde este elemento se pone en marcha la mesa de vibraciones.

Además, en su panel de control están situados los controladores e indicadores de los

ensayos.

Figura A.2 Amplificador


115

• Sistema ALS (Automatic load support) o de posicionamiento. Es un dispositivo que

ajusta automáticamente la posición de la cabeza de la mesa. Si se trabaja con el

excitador en posición vertical se debe deben seleccionar en el panel de ALS “Vertical

on”; si, por el contrario, se trabaja en posición horizontal, se selecciona “Horizontal

off”. Cuando la posición es correcta, lo indica con “Null”, si está baja se enciende el

indicador “Low” y si es alta “High”. El ajuste de la posición es automático si el

amplificador no está conectado. Cuando se conecta el amplificador siguen activos los

indicadores de posición pero no hay ajustes de la misma.

Figura A.3 Sistema ALS o de posicionamiento

• Controlador de vibración. Es el elemento intermedio entre el amplificador y el

ordenador donde está instalado el software que define los ensayos. En él se conectan

todos los acelerómetros usados.

Figura A.4 Controlador de vibración


116

A.2. Controladores e indicadores

Se muestra una foto del panel de controladores e indicadores.

Figura A.5 Panel de controladores e indicadores

En ella aparecen los siguientes controladores e indicadores:

• Llave maestra. Tiene tres posiciones:

- Inhibit: en esta posición el amplificador está desactivado.

- Remote: el control del panel queda desactivado y se activa un control remoto.

- Local: el control del panel se habilita.

• Drive. Cuando está iluminado indica que la señal de comando o drive está activada. Se

debe dejar pulsado durante 2-3 segundos, hasta que quede iluminado, para activarlo.

• Internal/External. Selecciona entre el oscilador interno, de 400Hz, o uno externo.

• Gain. Es un control rotativo de la ganancia. Suministra hasta 37dB de ganancia

amplificada.

• Medidor de voltaje (Voltage). Está escalado desde 0% hasta 110%, donde el 100%

corresponde a 72V rms, es decir, el máximo nivel de voltaje.

• Medidor de corriente (Current): Está escalado desde 0% hasta 110%. Este escalado es

automático cuando el módulo de potencia está conectado con el amplificador. Para el

modelo de amplificador del Laboratorio de Ingeniería Mecánica de la ETSI de la US

(modelo DSA4-16k), el 100% corresponde con 222A rms.

• Indicador de estado (Status). Aparecen 18 leds, que son los siguientes:

- Modules 1-6: indica el número de los módulos de potencia conectados.

- Timer: al iluminarse indica que el amplificador está listo para usarse.

- Enable: un fallo en un módulo de potencia apaga este led y para el amplificador.


117

- Cooling: está iluminado cuando existe suficiente flujo de aire en la salida de aire

del vibrador. Si pierde presión, se apaga y se interrumpe el amplificador.

- 3 Phase: permanece encendido cuando las tres fases del suministro de potencia

están disponibles.

- DC: estando iluminado indica que existe una corriente de ±70V DC.

- Abort: se enciende cuando el amplificador se ha apagado de forma controlada

por una causa que será indicada por otro led.

- Earth leakage(toma de tierra):se enciende cuando existe un cortocircuito entre

la armadura y el cuerpo del excitador.

- Overtravel: se enciende si los desplazamientos del excitador exceden los límites.

- Amp. Thermal: se enciende cuando algún módulo de potencia supera su

temperatura máxima. Este fallo se corrige automáticamente cuando el módulo

de temperatura se ha reducido a un nivel seguro.

- Vib. Thermal: se enciende cuando las bobinas de la armadura superan su

temperatura máxima. Este fallo se corrige automáticamente cuando el módulo

de temperatura se ha reducido a un nivel seguro.

- I limit: indica que el amplificador está trabajando al 100% de su nivel de salida

normal por periodos de tiempo de 0.5 segundos o superiores. No hace fallar al

amplificador.

- I trip: indica que el amplificador está trabajando al 110% de su nivel de salida

normal por periodos de tiempo de 0.5 segundos o superiores.

Existe otro módulo con controladores en el amplificador, que contiene los siguientes

controladores:

Figura A.6 Panel II de controladores e indicadores

• Slip plate centre: centra la placa horizontal cuando está conectado el excitador. El

método de uso es sacar, girar y meter.

• Field coil and ambient temperature: mide la temperatura del excitador y detiene el

sistema si se exceden los límites.

A.3. Fijación del componente a ensayar

Antes de comenzar el ensayo es esencial que el elemento a ensayar esté correctamente unido.

Si no es así, pueden producirse tensiones excesivas en el excitador e inducirse una vibración


118

significativamente mayor que la que se pretende aplicar, pudiendo causar daños en la pieza

ensayada. Para evitar estos daños se recomienda que:

• La fijación del componente a ensayar sea tal que su centro de gravedad coincida con el

centro de gravedad del excitador.

• El componente no sobresalga de la superficie del excitador.

• Las uniones atornilladas estén apretadas con un par de apriete adecuado.

A.4. Comprobaciones antes del encendido

Antes de encender el amplificador se deben realizar las siguientes comprobaciones:

• La salida de aire de la soplante de enfriamiento no puede estar obstruida.

• La altura de los balones no debe ser menor de 90mm tomando como punto de

referencia el suelo.

• El sistema ALS debe estar activo y el led “Null” encendido.

• El componente a ensayar debe estar correctamente unido a la mesa de vibraciones.

• Los acelerómetros deben estar bien fijados mediante pegamento, cera u otro método.

• La bomba tiene que haber estado funcionando 30 minutos antes de aplicar la vibración

en caso de ensayo horizontal.

• El lazo de control cerrado debe estar conectado al acelerómetro y el test programado.

A.5. Encendido

Los pasos a seguir son:

1. Comprobar que la llave esté inhibit. Posteriormente, encender el amplificador por

detrás.

2. Seleccionar internal.

3. Poner el control de ganancia al mínimo.

4. Seleccionar local y comprobar que el aire de la ventilación de la mesa empieza a

funcionar.

5. Cuando el led de timer se encienda, presionar start hasta que el botón quede

iluminado.

6. Presionar el botón drive hasta que quede iluminado. Deben iluminarse los leds:

Module

Timer

Enable


119

Cooling

3Phase

DC

7. Girar cuidadosamente el control de ganancia en dirección horaria y escuchar que

funcione (los indicadores de voltage y current deben funcionar).

8. Volver a su posición inicial la ganancia.

9. Seleccionar external.

10. Conectar el lazo cerrado para el ensayo y programar el test.

11. Cuando el test esté listo, poner el control de ganancia en la posición adecuada,

teniendo en cuenta que el máximo son 400Hz.

A.6. Apagado

Los pasos a seguir son:

1. Asegurarse que el ensayo ha acabado.

2. Poner el control de ganancia a cero.

3. Presionar el botón drive hasta que se apague.

4. Presionar start hasta que se apague.

5. El enfriador continuará funcionando. Si el excitador desprende calor al tocarlo, es

conveniente dejarlo funcionando 30 minutos.

6. Situar el botón en inhibit.

7. Apagar el amplificador en la parte de atrás.

8. Apagar la bomba hidráulica, en el caso que se haya trabajado con la mesa en

horizontal.

A.7. Características técnicas y limitaciones del ensayo

En general, el sistema no debe operar a más del 80% de su capacidad máxima. Los valores

máximos de la máquina son:

• Fuerza: 19450N .

• Desplazamiento: 51mm pico-pico.

• Velocidad: 1.52m/s.

• Aceleración: 49.6g.

• Aceleración de choque: 150g.

• Soporte de carga: 500Kg.

• Frecuencia de resonancia: 2300Hz±5%.


120

Con respecto a la carga máxima que puede soportar, hay que mencionar que en esa carga ya

va incluido el peso de la máquina. Es decir, para hacer un ensayo horizontal la pieza se pone

encima de la armadura, que pesa 40kg, por lo que el peso máximo de la pieza debería ser

460kg. En el caso de un ensayo en horizontal, al peso de la armadura hay que sumarle el de la

cabeza expansora (86.2Kg), el del acoplador horizontal (13.786kg) y el de la mesa horizontal

(48kg), pudiendo pesar la pieza como máximo 312.014kg. En resumen:

• Peso máximo componente a ensayar en vertical: 460kg.

• Peso máximo componente a ensayar en horizontal: 312.014kg.

Cabe mencionar que para pulsos de duración superior a 6ms, se debe disminuir la aceleración

por debajo del doble de la del ensayo senoidal, y que los ensayos de choque deben

programarse siempre en control de desplazamiento.

Por otra parte, las características técnicas del amplificador son:

• 4 módulos de potencia con 16kVA de salida.

• Señal interna de 400Hz.

• Voltaje de salida: 72V.

• Relación señal/ruido > -75dB.

• Distorsión < 0.15% THD.

• Eficiencia 95%.

Las características técnicas de la placa horizontal son:

• Dimensiones: 750x750mm2.

• Superficie de deslizamiento en granito natural pulido con rozamiento muy pequeño.

Las características técnicas de los acelerómetros, de tecnología ICP, se presentan en la

siguiente tabla:

NºSerie Tipo Rango

(g) Sensibilidad

(mV/g)

Sensibilidad transversal

(%)

Frecuencia de resonancia

(kHz)

Rango de temperatura

(°C)

2030897 8704B25 ±25 195 0.8 54 -54,100

2030896 8704B25 ±25 195 0.9 54 -54,100

2024269 8704B50 ±50 104.1 1.1 54 -54,100

2024256 8704B50 ±50 99.7 0.4 54 -54,100

2024270 8704B50 ±50 97.4 0.4 54 -54,100

Tabla A.1 Características técnicas de los acelerómetros


121

A.8. Qué hacer si se interrumpe un ensayo

En general, un ensayo puede interrumpirse por dos razones:

• Problemas en el sistema de control.

Suelen estar causadas por defectos en los acelerómetros, los cables o el amplificador.

Se deben comprobar las conexiones .Si el problema persiste, se debe conectar la salida

del controlador a la entrada y comprobar que el controlador funciona correctamente

por sí solo.

Otra posible causa es que la posición elegida para situar el acelerómetro sea

inadecuada y que la respuesta de vibración en esa zona sea pequeña.

• Problemas en el excitador o shaker.

Si el excitador es el problema, comprobar el amplificador para ver qué función es la

que causa el fallo.

Si el indicador de fallo o Abort está encendido puede ser que el excitador esté

sobrecargado. En ese caso comprobar que el ensayo programado está dentro de los

límites del excitador.

A.9. Diagnóstico de fallos

En el apartado 2 de este anexo se describieron los indicadores del controlador y las posibles

causas que los activaban. No obstante, hay otras formas de detectar fallos, que son:

Síntoma Posible causa Solución

No vibra Pérdida de potencia Comprobar las 3 fases de la fuente de potencia

Baja ganancia en amplificación Ajustar el control de ganancia

No amplifica la señal de entrada Resetear el controlador de ganancia, seleccionar Internal

y probar el lazo abierto de operación. Chequear cables entre controlador y amplificador.

No hay suministro Comprobar suministro del shaker y fusibles del terminal 26 en la parte trasera del armario

Circuito abierto Comprobar cables y la impedancia de la bobina

Cortocircuito Comprobar cables y la impedancia de la bobina

El vibrador falla Comprobar si hay holgura en el montaje, el sobrecalentamiento (AC oil) y si hay agrietamiento o rotura de la suspensión


122

Señal pobre El acelerómetro está mal fijado Comprobar fijación

La pieza no está bien sujeta Atornillar bien

Señal Drive de baja calidad Comprobar la señal

Mal aislamiento Comprobar unión del shaker a la mesa y llenado de los balones

Sobrecarga sin fuerza adecuada

Fallo en módulo de potencia Mirar en el panel trasero el módulo que falla. Desconectarlos y probarlos uno a uno.

Tabla A.2 Diagnóstico de fallos

A.10. Ensayos horizontales

Para la realización de ensayos horizontales, se debe conectar la mesa de ensayos horizontal

con la cabeza expansora. Para ello, lo primero será atornillar el acoplador horizontal, el cual se

muestra a continuación, a la cabeza expansora.

Figura A.7 Acoplador horizontal de la mesa de vibraciones

Una vez esté bien atornillado, habrá que girar la cabeza expansora desenroscando dos tornillos

de color azul que se sitúan a ambos lados de esta cabeza. Una vez quitados, se atornilla el

acoplador a la mesa horizontal.

No se puede olvidar seleccionar en el sistema ALS la opción Horizontal off antes de empezar

con el montaje y encender la bomba de aceite en el lateral de la mesa de vibraciones al acabar

el montaje.

A.11. Manejo del software Signal Start® Vector Shaker

Controller

Uno de los software usados para programar ensayos en la mesa de vibraciones se llama Signal

Start® Vector Shaker Controller. Con este programa se puede generar una amplia gama de

excitaciones, guardando los datos registrados. El inconveniente es que no se pueden procesar

estos datos una vez finalizado el ensayo.

En este apartado se va a proceder a explicar la programación de un ensayo en este programa.


123

Al abrirlo, se podrá ver la ventana principal, donde se puede elegir abrir un test existente o

crear uno nuevo.

Figura A.8 Aspecto general del programa Signal Start Vector Shaker Controller

Al empezar un nuevo test, saldrá una nueva pantalla en la que se debe seleccionar el tipo de

ensayo a realizar.

Figura A.9 Elección del tipo de test

Las distintas opciones que ofrece el programa son:

• Random: es una excitación aleatoria.

• Sine-on-random(SOR): mezcla señales sinusoidales y aleatorias.

• Random-on-random(ROR): mezcla bandas anchas y estrechas elegidas al azar.

• Sine: realiza el control con señales sinusoidales.

• Classical shock (Shock): realiza el control con impulsos.

• Shock response spectrum(SRS): controla el transitorio de un pulso.

• Transient: estudia del transitorio de la señal.


124

Se va explicar cómo programar un ensayo sinusoidal (sine), pudiendo generalizarse para

cualquier otro tipo.

A.11.1. Ensayo sinusoidal

Para programar un ensayo sinusoidal lo primero es seleccionar la opción Sine en la figura C.9.

Tras esto, se verá la siguiente pantalla:

Figura A.10 Pantalla general de un test sinusoidal

El siguiente paso es definir las variables del test o ensayo. Para ello se selecciona control

parameters.

Figura A.11Selección de control parameters

Al abrirlo aparecen varias pestañas:

• Main: establece las variables de lazo de control.


125

Figura A.12 Menú Main

- Title: título para identificar el test o ensayo. Puede tener un máximo de 40

caracteres.

- Max Drive Volts: máximo pico de voltaje alcanzado por el drive en el test. Así se

protege el amplificador de potencia. Está activo durante todo el ensayo. Los

valores pueden ir desde 0.01V hasta 10V, aunque hay que ajustarlo lo máximo

posible. Un buen valor inicial es 2.5V.

nt� Û�%Ï� �YI�Z ∈ ,0.01,10-� - Amp Compression: define cómo de rápido ajusta el drive los cambios en la señal

de control. Este parámetro establece el radio de compresión de la amplitud del

lazo de control y determina la cantidad de amortiguamiento de la señal senoidal

aplicada en el proceso digital de control. El amortiguamiento se usa para

mantener la señal del drive estable sin que se produzcan oscilaciones.

Si tiene un valor bajo, el amortiguamiento es pequeño y hay un ajuste rápido. Si,

por el contrario, tiene un valor alto, el amortiguamiento es elevado y la

corrección del drive es más gradual.

Su valor puede variar entre 1 y 99. Un buen valor inicial es 4. X�� qY��ZZ%Y\ ∈ ,1,99- - Freq Compression: es usado en la resonancia. Define la cantidad de

amortiguamiento aplicada al seno para estabilizar el lazo de control.

Si vale 1, el sistema no tiene amortiguamiento. Si es alta, la corrección es más

gradual.

Su valor debe ser mayor de 1 y menor de 99. Se suele incrementar/decrementar

el valor multiplicando/dividiendo la frecuencia por 2. Un buen valor para

comenzar es 2. ��¤ qY��ZZ%Y\ ∈ ,1,99-


126

- Startup Rate (dB/sec): especifica la tasa con la que se incrementa el nivel de

demanda al inicio del ensayo y como de rápido el sistema sube las rampas. Su

valor debe estar entre 0.1dB/s y 10 dB/s.

K�t��Î� >t�� ∈ [0.1,10-§[/Z

- ShutDown Rate (dB/sec): determina como de rápido la señal va del nivel máximo

a apagado cuando se aborta el ensayo o cuando acaba. Debe estar entre 0.1

dB/s y 100 dB/s. KℎÎ�ÛYº\ >t�� ∈ ,0.1,100-§[/Z

- Open Loop Threshold (dB o %): si la señal de control cae por debajo de este nivel

durante el barrido del seño y el sistema no está limitado, el sistema abortará

debido a la apertura del circuito. Debe estar entre -110dB y -10dB, o entre

0.0003% y 31.6228%. F��\ MYY� Áℎ��ZℎYI§ ∈ ,−110, −10-§[ ó ∈ ,0.0003,31.6228-%

- Sweep mode: es el modo de barrido. Puede ser lineal o logarítmico:

- Log Rate: logarítmico en octavos/min.

- Log Time: logarítmico en tiempo por barrido.

- Linear Rate: lineal en Hz/s.

- Linear Time: lineal en tiempo por barrido.

- Sweeprate Oct/min: especifica la rapidez del barrido. Si se ha elegido en el

parámetro anterior Log Rate, entonces irá en oct/min; si es Linear Rate, en Hz/s,

y si es Log Time o Linear Time entonces es el número de segundos que tarda en

barrer un rango de frecuencias entero.

• Selfcheck: define el auto-chequeo (modo, nivel y voltaje).

Figura A.13 Menú Selfcheck


127

- Max Drive Volts: máximo pico de voltaje alcanzado por el drive en el auto

chequeo, no en el test entero. Es un parámetro de seguridad que protege el test

cuando el lazo de control está abierto.

Su valor debe estar entre 0.1V y 10V. Se puede empezar probando con 2.5V.

nt� Û�%Ï� �YI�Z ∈ ,0.1,10-�

- SelfCheck Start Level (dB): va en función del valor de Max Volts. Al valor que se le

ponga se le añaden 20dB negativos.

K�Iqℎ�� K�t�� M�Ï�I ∈ ,−60,0-§[

- Time out (sec): determina el tiempo que la señal del drive continúa hasta la

salida durante el chequeo. Este parámetro comienza cuando se alcanza el

máximo pico de voltaje.

Su valor debe estar entre 1 y 500 segundos. Á%�� YÎ� ∈ ,1,500-Z

• Shaker: define las características del excitador.

Figura A.14 Manú Shaker

- Low Frequency: frecuencia de corte más baja de la respuesta en frecuencia del

excitador. Su valor es de 5Hz. MYº ��¤Î�\�_ = 5��

- Max Velocity: máxima velocidad que el excitador puede soportar. Su valor es

1520mm/s. nt� ��IY�%�_ = 1520��/Z

- Max Accel: máxima aceleración que el excitador puede soportar. Su valor es 20g,

aunque, si es necesario, se puede establecer en 50g. nt� X��I = 20£


128

- Max Displacements: define los límites de rotura del excitador. Su valor es 51mm

pico-pico, por lo que los valores que piden son ±25mm. çYZ%�%Ï� = 25��K�£t�%Ï� = −25��

Si algún parámetro supera los límites del excitador, saltará una alarma en el

programa. Por otro lado, las unidades que aparecen en el programa y las que se

especifican aquí son distintas, pero se pueden cambiar, tal y como se especifica

más adelante.

• Output: define las características de la salida.

Figura A.15 Menú Output

Se selecciona el canal de salida (drive channel), que depende de en qué canal

esté conectado el cable que une el controlador de vibración con el amplificador.

• Configuration: define las preferencias del usuario para las unidades y otros controles del

funcionamiento del sistema.

Figura A.16Menú Configuration

- Run increment: tiene tres opciones, que son:


129

- Next: incrementa el número de run automáticamente después de cada

ensayo. El ensayo se guarda y el número de run se incrementa en una

unidad, y creándose uno nuevo.

- Overwrite: escribe encima del ensayo hecho con anterioridad.

- Query: pregunta en todos los ensayos si se quiere guardarlo o

sobrescribirlo.

- Audible Alarm: se puede activar o desactivar una alarma sonora.

- Units: se eligen las unidades del nivel (dB o %), el desplazamiento (in, m o mm) y

la aceleración (in/s2, m/s2, mm/s2 o g). La velocidad será expresada en la unidad

elegida para el desplazamiento dividida por segundo.

- Auto Save Test Parameter Changes: si se marca, los cambios se guardan

automáticamente.

- Use Review At Test End: al marcarse se pueden ver los resultados del test al

finalizarse.

- Skip Stop Switch Test: al marcarlo deshabilita el botón rojo de aborto. Es

conveniente no marcarlo.

El siguiente paso es definir los niveles de control, seleccionando un rango de frecuencias

combinado con líneas de aceleración, velocidad o desplazamiento constantes o variables. Para

ello, se pulsa en Reference.

Figura A.17 Selección de Reference

Al seleccionar reference aparece la siguiente ventana con distintas opciones:


130

Figura A.18 Menú Reference

• Method: solo se puede seleccionar la opción table.

• Interpret Displacement As: tiene dos opciones,

- 0 to PK: el desplazamiento se establece desde cero hasta el máximo o el mínimo,

es decir, la amplitud. Es el que se suele usar.

Figura A.19 Desplazamiento 0-pico

- PK to PK: el desplazamiento se establece desde el máximo al mínimo, es decir, el

doble de la amplitud.

Figura A.20 Desplazamiento pico-pico

• Limit Spec: establece los límites de aborto relativo a la referencia, y se aplica a las

columnas Alarm Low, Alarm High, Abort Low y Abort High de la tabla. Puede ir en dB o

%.

• Abort Sensitivity: es la tolerancia o número de veces que se puede sobrepasar los

límites de aborto antes de que el ensayo aborte realmente. El valor debe estar entre 1

y 32, aunque un buen valor es 4 o 8. XxY�� K�\Z%�%Ï%�_ ∈ [1,32- • Freq: es la frecuencia del pulso seleccionado. En un seno, es la última, o más baja,

frecuencia del segmento. Las frecuencias deben estar dentro del rango especificado en

el menú Run Schedule.


131

• Ref: se introduce el valor de la aceleración, velocidad o desplazamiento en las

unidades que corresponda.

• Type: define si el segmento es de aceleración, velocidad o desplazamiento. Los

segmentos de valor constantes aparecen como líneas rectas en escala doblemente

logarítmica. Las posibles opciones son:

Tipo Descripción

CA Define una línea recta de aceleración constante

CV Define una línea recta de velocidad constante

CD Define una línea recta de desplazamiento constante

VA Define la aceleración en el primer punto y lo conecta con la próxima frecuencia

con una línea recta

VV Define la velocidad en el primer punto y lo conecta con la próxima frecuencia

con una línea recta

VD Define el desplazamiento en el primer punto y lo conecta con la próxima

frecuencia con una línea recta

?CA Define una línea recta con una aceleración constante que requiere el sistema para calcular la frecuencia para la cual esta y la línea recta previa se cruzan

?CV Define una línea recta con una velocidad constante que requiere el sistema para

calcular la frecuencia para la cual esta y la línea recta previa se cruzan

?CD Define una línea recta con un desplazamiento constante que requiere el sistema

para calcular la frecuencia para la cual esta y la línea recta previa se cruzan

Tabla A.3Tipos de gráficos de Reference

• AlarmLow/High: son los límites superior e inferior de alarma.

• AbortLow/High: son los límites superior e inferior de aborto del ensayo.

El siguiente paso es abrir el menú Input Channels para definir los canales de entrada.

Figura A.21 Selección de Input Channels

Al seleccionar input channels aparece la siguiente ventana con distintas opciones:


132

Figura A.22 Menú Input Channel

• Multi-Channel Control Mode: determina cómo se combinan las medidas de los canales

de salida con la señal de control cuando hay más de un canal designado al control.

Cuando solo hay un canal para el control el modo no afecta. Las diferentes opciones se

presentan en la siguiente tabla.

Modo de control

Descripción

Average Se hace la media con las medidas de todos los canales de control. Si se elige un coeficiente de peso (Wghtcoef) distinto de 1, entonces el valor de ese canal es multiplicado al hacer la media

RMS

Average

Las medias de los canales de control se elevan al cuadro, se suman, se divide por el número de canales de control y se realiza la raíz cuadrada.

Extremal Se elige como control el canal que tenga el valor de pico más elevado entre todos los canales de control.

Open Loop La señal de referencia fija es usada como el espectro de magnitud del drive.

Tabla A.4 Opciones del modo de control

• Tracking Filter: define el tipo de filtro paso-banda aplicado a todas las señales. Hay tres

opciones,

− Off: el filtro está desactivado

− Prop BW: es un filtrado proporcional. Es el que mejor funciona en general.

− Fixed BW: es un filtrado fijo.

Dentro de esta opción hay que elegir el ancho de banda (Band Width). Si se elige

el filtro proporcional (Prop BW), el ancho de banda debe estar entre 0.75% y

100%; si se elige el filtro fijo (Fixed BW), el ancho de banda debe estar entre 1 y

256Hz. [t\§å%§�ℎ ∈ ,0.75,100-% Z% ç�Y� [å[t\§å%§�ℎ ∈ ,1,256-��Z% �%��§ [å

• Chan: es el número del canal.

• Name: es el nombre de cada canal.


133

• Input: se puede seleccionar si el canal es de control (control), de medida (measure) o

está desactivado (off).

• Analy Mode: define el método usado en la medida de la señal del canal. Las distintas

opciones que se pueden elegir son:

Modo de análisis

Descripción

Average Calcula la media rectificada

Peak Determina el valor pico

Filter Filtra algunas frecuencias para medir

RMS Usa el valor RMS o valor eficaz

DC Solo usa las medidas en DC de las señales. La corriente continua es usada para medir propiedades físicas en el test.

Tabla A.5 Tipos de análisis

• mv/EU: es la sensibilidad del acelerómetro.

• EU: son las unidades en que se mide la aceleración. Se puede elegir entre in/s2, mm/s

2,

m/s2o g.

• Scale: relación entre el canal y la señal de control. Se calcula como la división del pico

de aceleración del canal y el pico de aceleración de la señal de control. Es un

coeficiente de amplificación que adapta el rango de funcionamiento del acelerómetro.

Su valor debe estar comprendido entre 0.0001 y 1000.

K�tI� ∈ [0.0001,1000- • WghtCoef: es el peso del canal en el control. Su valor puede estar entre 1 y 999. å£ℎ�qY� ∈ ,1,999- • Coupling: define la tecnología del acelerómetro. Puede ser AC, DC o ICP.

• Limits: solo se usa cuando haya que definir los valores del canal para proteger la

máquina.

El último paso para definir el test es identificar las acciones que se realizarán. Esto se hace en

el menú Run Schedule.


134

Figura A.23 Selección de Run Schedule

Las diferentes acciones que se pueden realizar son las siguientes:

Figura A.24 Acciones que se pueden realizar en un ensayo

• Sweep: realiza un barrido entre dos frecuencias. Se puede realizar en tiempo, en

número de barridos o en número de ciclos.

• Level: define el nivel de control para los siguientes estados del Run Schedule. Se puede

elevar o disminuir las especificaciones del nivel antes de programar un barrido o un

dwell. Se pueden especificar las unidades en %, mm, mm/s, mm.Hz o g. Por otra parte,

hay una opción llamada resonant dwell que al marcarla hace un chequeo durante la

operación resonance dwell.

• Amp Compression: define la cantidad de amortiguamiento aplicada por el seno para

asegurar la estabilidad del lazo de control. Su valor debe estar comprendido entre 1 y

99. X�� qY��ZZ%Y\ ∈ [1,99- • Dwell: define una excitación para una frecuencia específica durante un tiempo

determinado. Hay que definir:

− Dwell Frequency: debe estar dentro del rango de frecuencias especificado en la

referencia.


135

− Duración en tiempo o número de ciclos.

Un dwell simple causa que el test suba una rampa en la frecuencia especificada

hasta el nivel definido en la referencia durante el tiempo o número de ciclos

especificado. Luego baja la rampa hasta el final.

• Dwell Series: es una serie automática de excitaciones a distintas frecuencias definidas

en un intervalo. Hay que especificar:

− Start frequency: frecuencia de inicio.

− End frequency: frecuencia final.

− Delta frequency: escalón de frecuencia entre excitaciones.

− Time: tiempo que dura la excitación en cada frecuencia.

− Number os cycles: número de ciclos que dura la excitación en cada frecuencia.

• Res DwellRatio: define los dos canales usados para calcular la función de transferencia.

Deben ser elegidos antes de programar algún test de resonancia.

• Res Search: define un barrido que busca la resonancia. Hay que definir la frecuencia

inicial y la final del barrido.

• Res Dwell: define un barrido en resonancia durante un tiempo determinado. Este

comando debe ir precedido siempre por la búsqueda de resonancia.

• Freq Compression: se usa antes de res dwell si se quiere cambiar la relación de

compresión de la frecuencia de excitación. Su valor debe estar comprendido entre 1 y

99, y un valor típico suele ser 4.

��¤ qY��ZZ%Y\ ∈ [1,99- • Do: inicia un bucle.

• Loop: indica cuantas veces se repite el bucle.

• Save: guarda los datos de la acción realiza previamente. Hay que hacerlo

continuamente, tras cada paso.

• Print Screen: imprime pantalla.

• Zero Signals: hace que la señal de control y de medida vayan a cero.

• Sweep Rate: cambia la relación del barrido.

• Set Control: cambia las entradas de control. Por ejemplo, cambiar el control de los

desplazamiento a bajas frecuencias por el control de las aceleraciones a altas

frecuencias.

• Level Increment: incremente o decrementa el nivel actual en la cantidad especificada.

El incremento puede ser en % o en dB.


136

• Max Level: es el nivel máximo que se puede alcanzar durante el ensayo. Es un

parámetro de seguridad.

• Send Message: comunica algunos datos de los equipos externos, como la temperatura.

Una vez que se ha programa el test se debe elegir los datos que quieren ser guardados. Para

ello se selecciona la opción Export Signals Select en el menú Test.

Figura A.25 Selección de Export Signal Select

En la pantalla resultante se selecciona la señal que se quiere guardar y se pulsa Add. Este

proceso se repite hasta que se tengan todas las señales que quieran ser guardadas. Es

conveniente guardar el drive y todas las señales de medida como mínimo.

Figura A.26 Menú Export Signals Select

Ya está todo listo para comenzar el ensayo. Se siguen los siguientes pasos:

1. Pulsar start

Figura A.27 Start


137

2. Aparece la pantalla Signal Star Vector Vibration Controller, el que se debe pulsar

aceptar para que empiece el ensayo.

Figura A.28 Comprobación antes de empezar

3. Si no es el primer ensayo que se lleva a cabo con el mismo nombre, aparece la pantalla

run query, en la que se debe elegir si se quiere escribir encima del ensayo que se haya

hecho anteriormente (overwrite) o si se quiere seguir con el anterior (increment)

Figura A.29 Menú Run Query

4. Aparece la ventana Run Notes. Es obligatorio contestar a las preguntas de Operator,

Tests Item y Serial Number. No es necesario poner algo concreto; cualquier cosa es

válida.

Figura A.30 Menú Run Notes

5. Aparece la ventana Stop Switch System Check, en la que debemos pulsar el botón rojo

de parada de emergencia.


138

Figura A.31 Menú Stop Switch System Check y botón de parada de emergencia

Una vez realizados estos pasos empieza el ensayo. Mientras se lleva a cabo, se puede ver el

siguiente panel de control.

Figura A.32 Panel de control

• Accel [g]: muestra el valor de la aceleración durante todo el ensayo.

• Displ [in-pk-pk]: muestra el valor del desplazamiento de la cabeza durante todo el

ensayo.

• Freq [Hz]: muestra la frecuencia y la dirección del barrido.

• Drive [V-pk]: muestra el valor del drive.

• Total Time: muestra el tiempo transcurrido desde el inicio del ensayo.

• Sweep Time: indica si el barrido sube (UP) o baja (DN).

• Remaining: indica el tiempo que queda para que acabe el barrido.

• Panel de control: pueden aparecer diferentes mensaje.

− Ready: indica que el ensayo ha finalizado.

− Control High: indica que la aceleración es mayor que la máxima.

− Control Low: indica que la aceleración es menor que la mínima.

− Switch: indica que algún mecanismo de aborto se ha accionado.

− Max Volts: indica que el drive ha alcanzado el nivel máximo.

− DwellAbort: aparece cuando se aborta el ensayo durante la resonancia.

− Running: indica que el ensayo se está realizando.

− LowAlarm: indica que la señal de control ha sobrepasado el límite inferior.

− High Alarm: indica que la señal de control ha sobrepasado el límite superior.

− ADC Clip: indica que hay una ampliación de la señal en un determinado canal y

no se ha especificado su valor en scale, dentro de input channel.

− Open Loop: indica que el nivel de control es más bajo que el umbral de lazo

abierto.


139

A.12. Manejo del software Signal Calc Mobilyzer®

El software usado para el análisis modal experimental en la mesa de vibraciones se llama

Signal Calc Mobilyzer®. En este apartado se va a proceder a explicar la programación de un

ensayo en este programa.

Al abrirlo, se podrá ver la ventana principal del programa, donde podremos elegir abrir un test

existente o crear uno nuevo.

Al empezar un nuevo test, saldrá una nueva pantalla en la que se debe seleccionar el tipo de

ensayo a realizar.

Figura A.33 Elección del tipo de test

Las distintas opciones que ofrece el programa son:

• Auto Power Spectrum

• Transfer Function

• Correlation

• Synchronous Average

• Histogram

Para el análisis modal se debe seleccionar la opción Transfer Function. Las señales que se

obtienen con este tipo de ensayo son:

• Xx: representación temporal de duración Tspan y resolución dt del canal x.

• Wx: representación temporal de Xx multiplicada por la ventana aplicada al canal x.

• Sx: espectro complejo de Wx con periodo Fspan y resolución dF.

• Sxx: última componente del auto-power spectrum del canal x. Es igual a |Sx|2.

• Sxy: última componente del espectro cruzado entre las entradas Xx y Xy. Es igual a Sx·Sy*.

• Gxx: auto-powerspectrum de la entrada Xx.

• Gxy: espectro cruzado complejo cruzado entre Xx y Xy.

• Hxy: función de transferencia entre la entrada Xx y la salida Xy.


140

• Cxy: función de coherencia entre las entradas Xx y Xy con resolución dF.

• Zxy: función de respuesta de impulso entre las entradas Xx y Xy, de duración Tspan y

resolución dT.

La programación de este tipo de test se explica a continuación.

A.12.1. Ensayo con Transfer Function

Para realizar un estudio de análisis modal lo primero es seleccionar la opción Transfer Function

en la figura C.33. Tras esto, se verá la siguiente pantalla:

Figura A.34 Pantalla general de Transfer Function

El primer paso es definir las variables de medida. Esto se realiza en Measurement Parameters.

Figura A.35Menú Measurement Parameters

• Preview Average: se activa cuando se realizan estudios de análisis modal mediante

impactos. Al estar activada permite inspeccionar cada captura antes de incluirla en el

proceso de cálculo del promedio.


141

• Session trigger: al activar esta casilla, el sistema espera al primer trigger para comenzar

a medir. Se suele activar si se elige Free Run como tipo de trigger.

• Avgs: es el número de componentes espectrales o temporales para realizar la media.

Determina el número máximo de promedios en un promedio Stable, el número de

intervalos Tspan en la constante temporal del promedio exponencial o el número de

franjas para buscar valores máximos en el promedio Peak Hold.

• Avg Type: se puede elegir entre:

− Off: emplea un promedio estable y para.

− Stable: suma un número predeterminado de componentes con el mismo

coeficiente de peso. El promedio es automáticamente normalizado con el

número de componentes existentes.

− Live: produce una medida equivalente al promedio exponencial con el

parámetro Avgs igual a 1.

− Exponential: produce un promedio que continua desde que el botón Start es

pulsado hasta que se pulsa el botón Stop. Los datos se ponderan y la influencia

de imágenes anteriores decaen de forma exponencial con el tiempo.

− Pea kHold: no es realmente un promedio, sino que se toma el valor máximo

encontrado para cada punto de frecuencia.

Figura A.36 Opciones en AvgType

• Overlap: este parámetro acepta entradas para el máximo solapamiento permisible

entre franjas promediadas como un porcentaje de Tspan. Si el valor de overlap es 0, se

calcula un promedio con datos no redundantes. Un valor alto permite que el proceso

de promediado use franjas en tiempo. Esto es muy útil para acelerar el tiempo para

adquirir datos continuamente. Se suele usar un valor de overlap entre 50 y 70% para

obtener espectros de señales continuas.

• Trigger: se puede seleccionar tres opciones:

− Free Run: permite al sistema adquirir datos continuamente sin esperar al trigger.

Esta la opción normal para un análisis tipo spectrum e histogram de señales

continuas.


142

− Input: el sistema debe esperar a que la señal de entrada satisfaga las

condiciones del trigger para capturar datos. Esta es la opción apropiada para el

análisis synchronous average.

− Source: se sincroniza el inicio de cada captura con la señal generada por el

programa. Es muy útil cuando se simula una medida con un Pseudo-Random,

Burst Random, Thump, Chirp o Impulse.

Figura A.37 Trigger del menú Measurement Parameters

• Pacing: el promedio es generalmente llevado a cabo por el ordenador. No obstante,

cuando se realizan análisis tipo Auto Power Spectrum o TransferFunction, el promedio

puede hacerlo el DSPs del Signal Calc Mobilyzer hardware. Las opciones que ofrece el

parámetro pacing son:

− Off: el promedio lo realiza el ordenador.

− Fast Avg: permite mayor rapidez cuando muchos canales están activos en un

ordenador lento. Se usa un ancho de bando en tiempo real de 2.5kHz para todos

los canales activos.

− Fast Avg2: este proceso de promediado es igual que el anterior con la diferencia

de que terminará con mensaje de "fuera de tiempo".

Figura A.38 Pacing del menú Measurement Parameters

Existen otras teclas importantes en este menú, que son:

• Init: pausa la adquisición de medidas.

• Start: inicia la adquisición de medidas.

• Stop: para la adquisición de medidas.

• End: al pulsarlo, se guardan todos los datos medidos y calculados y acaba el ensayo.

El siguiente paso es definir los parámetros de muestreo. El menú se muestra en la siguiente

figura, y los parámetros que aparecen son:


143

Figura A.39 Parámetros de muestreo

• F/T: si se selecciona F, el control se realiza en frecuencia y aparecen los parámetros

Fspan y lines. Al seleccionar T, el control es en tiempo y los parámetros son Tspan y

BlockSize.

• Fspan/Tspan:son la frecuencia en Herzios más alta de todo el espectro computado y la

duración en segundos de la ventana capturada respectivamente.

• Lines/BlockSize: número de líneas del ancho de banda y número de muestreos

temporales en cada franja respectivamente.

Si se denomina a la resolución en frecuencia dF y en tiempo dT, la relación entre los

parámetros arriba descritos es:

Tspan=BlockSizexdTFspan=LinesxdF

dF=1/TspanLines=Integral(25*BlockSize/6)

Antes de empezar el ensayo hay que definir los parámetros de los canales en el menú Input. En

primer lugar se definen las entradas en la pestaña Front End.

Figura A.40 Pestaña Front End del menu Input

• Ch#: número del canal.

• Active: se seleccionan los canales activos.

• Coupling: acoplamiento de los acelerómetros. Se puede elegir entre DC, AC e ICP. Para

los ensayos realizados en la mesa de vibraciones de los Laboratorios de Ingeniería

Mecánica de la Universidad de Sevilla, se debe seleccionar la opción ICP, pues es la

tecnología de los acelerómetros usados.

• Range (EU): es el rango de las entradas en las unidades seleccionadas en EU.

• mV/EU: sensibilidad de los acelerómetros.


144

• EU: elección de la unidad utilizada.

En siguiente paso es seleccionar el canal de referencia y la ventana que se le aplica en la

pestaña Measurement.

Figura A.41 Pestaña Measurement del menu Input

• Ref Chan: se debe elegir el canal que registra la fuerza aplicada, es decir, el situado en

la mesa de vibraciones.

• Window: dependiendo de si el canal mide fuerza o respuesta, se debe seleccionar la

opción Force o Response.

El siguiente paso es definir la dirección en la que va a medir cada acelerómetro. Para ello hay

que ir a la pestaña Info. La columna Cur Pt no debe modificarse, y la Pt Inc debe tener siempre

un valor de 0, para que no incremente los puntos de medida y guarde siempre los mismos

datos.

Figura A.42 Pestaña Info del menú Input

Puede ocurrir que las últimas seis columnas de la pestaña anterior estén bloqueadas y no se

pueda cambiar la dirección de medida. Para solucionarlo, habría que abrir el menú Run

Options en la parte izquierda del interfaz del programa y activar la opción de

Point/DirectionOn.


145

Figura A.43 Menú Run Options

También se debe especificar el tipo de excitación que desea aplicar. Esto se realiza en el menú

Generator, donde se debe especificar el tipo de excitación a aplicar y los canales que están

activos durante el ensayo, que deben ser los mismo que los definidos en el menú Input,

pestaña Front End. Se puede elegir entre:

• Chirp: es un barrido senoidal entre dos frecuencias cualesquiera.

• Sine: aplica una excitación senoidal sin control en frecuencia.

• Random: es una excitación aleatoria de tipo ruido.

• Pseudo Random: es similar al random, con la diferencia de que es una señal periódica.

• Impulse: realiza control mediante impulsos.

• Busrt random: es una ráfaga de corta duración del tipo random.

• Thump: aplica una semionda sinusoidal con velocidad y desplazamiento compensado.

Figura A.44 Menú Generator

Por último y antes de empezar el ensayo, se deben seleccionar las gráficas que se quieren

guardar. Esto se realiza en el menú Signal Map, situado en la parte derecha del interfaz, junto

al menú Run Options, como puede verse en la figura C.43. Para seleccionar los datos que se

desean guardar, se debe expandir el menú Allocated Signal, seleccionar lo que se desea

guardar y arrastrarla hasta Export Targets. Los datos se pueden guardar en distintos formatos,

entre los que destacan en archivo de texto y en formato Matlab®.


146

Figura A.45 Menú Signal Map

Por último, si se desea visualizar gráficas durante los ensayos a tiempo real, se debe abrir el

menú Signal Selector, situado en la barra de herramientas superior, y elegir las señales que se

desean ver haciendo doble click y pulsando OK.

Figura A.46 Menú Signal Selector


147

ANEXO B.PROGRAMAS DE MATLAB®

B.1. Programa principal usado en el método de Ritz

clear all

close all

clc

symsxy

%Construir el vector km (en otro programa se calcul o el valor de

estos)

km=[];

km(1)=1;

km(2)=1;

for l=3:6

km(l)=((l-1)/2-1/4)*pi;

end

%Calcular los valores de um y un

um0=1/sqrt(2);

um1=sqrt(3/2)*x;

um2=(cosh(km(3))*cos(km(3)*x)+cos(km(3))*cosh(km(3) *x))/sqrt((cosh(km(

3)))^2+(cos(km(3)))^2);

um3=(sinh(km(4))*sin(km(4)*x)+sin(km(4))*sinh(km(4) *x))/sqrt((sinh(km(

4)))^2-(sin(km(4)))^2);

um4=(cosh(km(5))*cos(km(5)*x)+cos(km(5))*cosh(km(5) *x))/sqrt((cosh(km(

5)))^2+(cos(km(5)))^2);

um5=(sinh(km(6))*sin(km(6)*x)+sin(km(6))*sinh(km(6) *x))/sqrt((sinh(km(

6)))^2-(sin(km(6)))^2);

un0=1/sqrt(2);

un1=sqrt(3/2)*y;

un2=(cosh(km(3))*cos(km(3)*y)+cos(km(3))*cosh(km(3) *y))/sqrt((cosh(km(

3)))^2+(cos(km(3)))^2);

un3=(sinh(km(4))*sin(km(4)*y)+sin(km(4))*sinh(km(4) *y))/sqrt((sinh(km(

4)))^2-(sin(km(4)))^2);

un4=(cosh(km(5))*cos(km(5)*y)+cos(km(5))*cosh(km(5) *y))/sqrt((cosh(km(

5)))^2+(cos(km(5)))^2);

un5=(sinh(km(6))*sin(km(6)*y)+sin(km(6))*sinh(km(6) *y))/sqrt((sinh(km(

6)))^2-(sin(km(6)))^2);


148

um=[um0 um1 um2 um3 um4 um5];

un=[un0 un1 un2 un3 un4 un5];

%%%%

mu=0.3;

%%%%

for m=2:2:6

for n=2:2:6

for p=2:2:6

for q=2:2:6

cmnpq1(m,n,p,q)=int(int(diff(diff(um(m)))*un(n)*dif f(diff(um(p)))*un(q

),x,-0.15,0.15),y,-0.15,0.15);

cmnpq2(m,n,p,q)=int(int(um(m)*diff(diff(un(n)))*um( p)*diff(diff(un(q))

),x,-0.15,0.15),y,-0.15,0.15);

cmnpq3(m,n,p,q)=2*mu*int(int(diff(diff(um(m)))*un(n )*um(p)*diff(diff(u

n(q))),-0.15,0.15),y,-0.15,0.15);

cmnpq4(m,n,p,q)=2*(1-

mu)*int(int(diff(um(m))*diff(um(p))*diff(un(n))*dif f(un(q)),x,-

0.15,0.15),y,-0.15,0.15);

end

end

end

end

for m=2:2:6

for n=2:2:6

for p=2:2:6

for q=2:2:6

k(m,n,p,q)=cmnpq1(m,n,p,q)+cmnpq2(m,n,p,q)+cmnpq3(m ,n,p,q)+cmnpq4(m,n,

p,q);

end

end

end

end

K=simplify([k(2,2,2,2) k(2,2,2,4)+k(2,2,4,2) k(2,2, 4,4)

k(2,2,2,6)+k(2,2,6,2) k(2,2,4,6)+k(2,2,6,4) k(2,2,6 ,6);

(k(2,4,2,2)+k(4,2,2,2))/2

(k(2,4,2,4)+k(2,4,4,2)+k(4,2,4,2)+k(4,2,2,4))/2


149

(k(2,4,4,4)+k(4,2,4,4))/2

(k(2,4,2,6)+k(2,4,6,2)+k(4,2,2,6)+k(4,2,6,2))/2

(k(2,4,4,6)+k(2,4,6,4)+k(4,2,4,6)+k(4,2,6,4))/2

(k(2,4,6,6)+k(4,2,6,6))/2;

k(4,4,2,2) k(4,4,2,4)+k(4,4,4,2) k(4,4,4,4) k( 4,4,2,6)+k(4,4,6,2)

k(4,4,4,6)+k(4,4,6,4) k(4,4,6,6);

(k(2,6,2,2)+k(6,2,2,2))/2

(k(2,6,2,4)+k(2,6,4,2)+k(6,2,4,2)+k(6,2,2,4))/2

(k(2,6,4,4)+k(6,2,4,4))/2

(k(2,6,2,6)+k(2,6,6,2)+k(6,2,2,6)+k(6,2,6,2))/2

(k(2,6,4,6)+k(2,6,6,4)+k(6,2,4,6)+k(6,2,6,4))/2

(k(2,6,6,6)+k(6,2,6,6))/2;

(k(4,6,2,2)+k(6,4,2,2))/2

(k(6,4,2,4)+k(6,4,4,2)+k(4,6,4,2)+k(4,6,2,4))/2

(k(4,6,4,4)+k(6,4,4,4))/2

(k(4,6,2,6)+k(4,6,6,2)+k(6,4,2,6)+k(6,4,6,2))/2

(k(4,6,4,6)+k(4,6,6,4)+k(6,4,4,6)+k(6,4,6,4))/2

(k(4,6,6,6)+k(6,4,6,6))/2;

k(6,6,2,2) k(6,6,2,4)+k(6,6,4,2) k(6,6,4,4) k( 6,6,2,6)+k(6,6,6,2)

k(6,6,4,6)+k(6,6,6,4) k(6,6,6,6)]);

I=sqrt(-1);

%Primer autovalor

Kr1=K(2:end,2:end);

Kd1=diag(Kr1);

K01=Kr1-diag(Kd1);

la1=K(1,1);

a1=zeros(1,size(K,2));

a1(1)=1;

for j=1:6

b1=-K(2:end,1);

b1j=b1-K01*a1(2:end)';

a1(2:6)=b1j./(Kd1-la1);

la1=K(1,1)+K(1,2:end)*a1(2:6)';

end

la1

%Segundo autovalor

Kr2=[K(1,1) K(1,3) K(1,4) K(1,5) K(1,6)

K(3,1) K(3,3) K(3,4) K(3,5) K(3,6)


150

K(4,1) K(4,3) K(4,4) K(4,5) K(4,6)

K(5,1) K(5,3) K(5,4) K(5,5) K(5,6)

K(6,1) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6)];

Kd2=diag(Kr2);

K02=Kr2-diag(Kd2);

la2=K(2,2);

a2=zeros(1,6);

a2(2)=1;

aa2=[a2(1) a2(3) a2(4) a2(5) a2(6)]';

Ka2=[K(2,1) K(2,3) K(2,4) K(2,5) K(2,6)];

Kb2=[K(1,2); K(3,2); K(4,2); K(5,2); K(6,2)];

for j=1:6

b2=-Kb2;

b2j=b2-K02*aa2;

aa2=b2j./(Kd2-la2);

la2=K(2,2)+Ka2*aa2;

end

la2

%Tercer autovalor

Kr3=[K(1,1) K(1,2) K(1,4) K(1,5) K(1,6);

K(2,1) K(2,2) K(2,4) K(2,5) K(2,6);

K(4,1) K(4,2) K(4,4) K(4,5) K(4,6);

K(5,1) K(5,2) K(5,4) K(5,5) K(5,6);

K(6,1) K(6,2) K(6,4) K(6,5) K(6,6)];

Kd3=diag(Kr3);

K03=Kr3-diag(Kd3);

la3=K(3,3);


a3(3)=1;

aa3=[a2(1) a2(2) a2(4) a2(5) a2(6)]';

Ka3=[K(3,1) K(3,2) K(3,4) K(3,5) K(3,6)];

Kb3=[K(1,3); K(2,3); K(4,3); K(5,3); K(6,3)];

for j=1:6

b3=-Kb3;

bj3=b3-K03*aa3;

aa3=bj3./(Kd3-la3);

la3=K(3,3)+Ka3*aa3;

end

la3

%Cuarto autovalor

Kr4=[K(1,1) K(1,2) K(1,3) K(1,5) K(1,6);


151

K(2,1) K(2,2) K(2,3) K(2,5) K(2,6);

K(3,1) K(3,2) K(3,3) K(3,5) K(3,6);

K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,5) K(5,6);

K(6,1) K(6,2) K(6,3) K(6,5) K(6,6)];

Kd4=diag(Kr4);

K04=Kr4-diag(Kd4);

la4=K(4,4);


a4(4)=1;

aa4=[a2(1) a2(2) a2(3) a2(5) a2(6)]';

Ka4=[K(4,1) K(4,2) K(4,2) K(4,5) K(4,6)];

Kb4=[K(1,4); K(3,4); K(3,4); K(5,4); K(6,4)];

for j=1:6

b4=-Kb4;

bj4=b4-K04*aa4;

aa4=bj4./(Kd4-la4);

la4=K(4,4)+Ka4*aa4;

end

la4

%Quinto autovalor

Kr5=[K(1,1) K(1,2) K(1,3) K(1,4) K(1,6);

K(2,1) K(2,2) K(2,3) K(2,4) K(2,6);

K(3,1) K(3,2) K(3,3) K(3,4) K(3,6);

K(4,1) K(4,2) K(4,3) K(4,4) K(4,6);

K(6,1) K(6,2) K(6,3) K(6,4) K(6,6)];

Kd5=diag(Kr5);

K05=Kr5-diag(Kd5);

la5=K(5,5);


a5(5)=1;

aa5=[a5(1) a5(2) a5(3) a5(4) a5(6)]';

Ka5=[K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,4) K(5,6)];

Kb5=[K(1,5); K(2,5); K(3,5); K(4,5); K(6,5)];

for j=1:6

b5=-Kb5;

bj5=b5-K05*aa5;

aa5=bj5./(Kd5-la5);

la5=K(5,5)+Ka5*aa5;

end

la5


152

%Sexto autovalor

Kr6=[K(1,1) K(1,2) K(1,3) K(1,4) K(1,5);

K(2,1) K(2,2) K(2,3) K(2,4) K(2,5);

K(3,1) K(3,2) K(3,3) K(3,4) K(3,5);

K(4,1) K(4,2) K(4,3) K(4,4) K(4,5);

K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,4) K(5,5)];

Kd6=diag(Kr6);

K06=Kr6-diag(Kd6);

la6=K(6,6);


a6(6)=1;

aa6=[a6(1) a6(2) a6(3) a6(4) a6(5)]';

Ka6=[K(6,1) K(6,2) K(6,3) K(6,4) K(6,5)];

Kb6=[K(1,6); K(2,6); K(3,6); K(4,6); K(5,6)];

for j=1:6

b6=-Kb6;

bj6=b6-K06*aa6;

aa6=bj6./(Kd6-la6);

la6=K(6,6)+Ka6*aa6;

end

la6

B.2. Funciones auxiliares usadas en el método de Ritz

B.2.1. Función km, m par

function f=ec_m_par(x)

f=tan(x)+tanh(x);

B.2.2. Función km, m impar

function f=ec_m_impar(x)

f=tan(x)-tanh(x);

B.3. Funciones auxiliares usadas en la formulación

acústica

resolution=80; Lx=0.3; Ly=0.3;


153

x=linspace(0,Lx,resolution); y=linspace(0,Ly,resolution); [X,Y]=meshgrid(x,y); %Modo 2 n2=0; m2=2; p2=n2; q2=m2; A2=1; B2=1; %Modo 3 n3=1; m3=1; p3=n3; q3=m3; A3=1; B3=1; %Modo 4 n4=2; m4=0; p4=n4; q4=m4; A4=1; B4=-1; u2=A2.*cos((m2*pi/Lx).*X).*cos((n2*pi/Ly).*Y)+B2.*c os((p2*pi/Lx).*X).*cos((q2*pi/Ly).*Y); u3=A3.*cos((m3*pi/Lx).*X).*cos((n3*pi/Ly).*Y)+B3.*c os((p3*pi/Lx).*X).*cos((q3*pi/Ly).*Y); u4=A4.*cos((m4*pi/Lx).*X).*cos((n4*pi/Ly).*Y)+B4.*c os((p4*pi/Lx).*X).*cos((q4*pi/Ly).*Y); patterncmap=[0 0 0.5625; 0 0 0.5962; 0 0 0.6298; 0 0 0.6635; 0 0 0.6971; 0 0 0.7308; 0 0 0.7644; 0 0 0.7981; 0 0 0.8 317; 0 0 0.8654; 0 0 0.8990; 0 0 0.9327; 0 0 0.9663; 0 0 1; 0 0.0667 1; 0 0. 1333 1; 0 0.2 1; 0 0.2667 1; 0 0.3333 1; 0 0.4 1; 0 0.4667 1; 0 0.5333 1; 0 0.6 1; 0 0.6667 1; 0 0.7333 1; 0 0.8 1; 0 0.8667 1; 0 0.9333 1; 0 1 1; 0 0.75 0.75; 0 0.5 0.5; 0 0.25 0.25; 0 0 0; 0.25 0.25 0; 0.5 0.5 0 ; 0.75 0.75 0; 1 1 0; 1 0.9286 0; 1 0.8571 0; 1 0.7857 0; 1 0.7143 0; 1 0.6429 0; 1 0.5714 0; 1 0.5 0; 1 0.4286 0; 1 0.3571 0; 1 0.2857 0; 1 0.2143 0; 1 0.1429 0; 1 0.0714 0; 1 0 0; 0.9615 0 0; 0.9231 0 0; 0.88 46 0 0; 0.8462 0 0; 0.8077 0 0; 0.7692 0 0; 0.7308 0 0; 0.6923 0 0; 0.6 538 0 0; 0.6154 0 0; 0.5769 0 0; 0.5385 0 0;0.5 0 0;]; set(figure, 'Colormap' ,patterncmap) surf(X,Y,-u2) view([0 0 0.3]) set(figure, 'Colormap' ,patterncmap) surf(X,Y,-u3) view([0 0 0.3]) set(figure, 'Colormap' ,patterncmap) surf(X,Y,-u4) view([0 0 0.3])


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Documents

PFC: Análisis modal de una placa cuadrada.bibing.us.es/proyectos/abreproy/5483/fichero/Análisi...PFC: Análisis modal de una placa cuadrada. 6 2.1.2.1. Modelo de 1 grado de libertad