ARTÍCULO ANÁLISIS MODAL

7/18/2019 ARTÍCULO ANÁLISIS MODAL

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AANNÁÁLLIISSIISS MMOODDAALL

Ciro Martínez T.Jorge Vera M.

1. INTRODUCCIÓN

En la actualidad, los diseños realizados por las diversas áreas de ingeniería se caracterizanpor ser ligeros, flexibles y cada vez más resistentes. Estos requerimientos provocan confrecuencia que las nuevas estructuras sean susceptibles a vibraciones indeseadas; siendonecesaria la información proporcionada por el Análisis Modal para una mejor comprensióndel comportamiento dinámico de las modernas estructuras.

El Análisis Modal es un método por el cual se obtienen las propiedades dinámicas de unsistema real: frecuencias naturales, modos de vibración y amortiguamiento que, a su vez,dependen de la rigidez, la masa y las condiciones de borde.

El Análisis Modal se puede obtener experimentalmente, a través de las mediciones de laFunción de Transferencia (FRF), y numéricamente mediante el Método de los Elementos

Finitos (MEF).Sin usar un tratamiento matemático riguroso el presente artículo introducirá algunosconceptos sobre cómo vibran las estructuras y cómo determinar sus parámetros dinámicos.

2. CAMPOS DE APLICACIÓN

En los últimos años se han publicado numerosos artículos sobre las aplicaciones del análisismodal en las áreas de la ingeniería, ciencia y tecnología. A pesar de que la mayor parte dela literatura trata temas relacionados con la ingeniería aeronáutica, la automoción o casosparticulares de la ingeniería, no se debe olvidar el creciente aumento de las aplicaciones delanálisis modal en campos interdisciplinarios.

En lo relativo a la ingeniería automotriz los aspectos de seguridad y comercialesasociados al diseño de un vehículo han obligado a tener un mayor conocimiento de laspropiedades dinámicas de las estructuras de los automóviles; para ello se ha centradoun gran interés en la combinación del análisis modal experimental y el análisis porelementos finitos, mediante estas técnicas los diseñadores han optimizado, estática ydinámicamente, los componentes de los automóviles satisfaciendo de este modo lademanda de vehículos ligeros y de alta resistencia.

El rápido desarrollo de las industrias aeronáuticas y astronáuticas han desafiado amuchas disciplinas de la ingeniería con diversos retos tecnológicos. La optimización dela distribución de masa y rigidez en las aeronaves y en los vehículos espaciales hasignificado un desafío para los diseñadores que apoyados en el análisis modal, en el





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método de elementos finitos y en modelos matemáticos han logrado satisfacer estereto garantizando los estrictos requerimientos de integridad estructural ycomportamiento dinámico.

Los edificios, puentes, sistemas tuberías, bastidores, estructuras industriales ymáquinas en general, también se les realiza, en su etapa de diseño, un análisis modal;el objetivo de ello es la optimización de material así como la obtención de lasfrecuencias naturales, modos de vibración y amortiguamiento. Muchas veces al diseñode las estructuras mencionadas no se les efectúa un análisis dinámico, razón por lacual existe la posibilidad de que la frecuencia de excitación coincida con una de susfrecuencias naturales causando de este modo el fenómeno de resonancia; ante esteproblema es necesario realizar un análisis modal a fin de cuantificar y analizar losparámetros dinámicos y alejar de este modo la frecuencia natural de la frecuencia deexcitación, detalle que se logra básicamente rigidizando estratégicamente la estructuraen análisis.

3. FUNDAMENTO TEÓRICO - EXPERIMENTAL

El análisis modal, además de determinar las frecuencias naturales, los modos de vibración yel amortiguamiento, permite transformar un sistema de N grados de libertad (GDL) en Nsistemas de un grado de libertad (1 GDL), cabe indicar que un sistema de 1 GDL estáconformado por una masa concentrada, un resorte que representa la rigidez y unamortiguador que caracteriza al amortiguamiento, tal como se puede ver en la figura N°1.

Figura N°1: Ventilador en voladizo y sistema de 1 GDL

El sistema mostrado en la figura N°1 es un ventila dor en voladizo con su estructura base. Elventilador básicamente está compuesto por; Un eje, un rotor y estructura; razón por la cualen los resultados del análisis modal es de esperar que aparezcan frecuencias naturalesconcernientes al eje (E), al rotor (R) y a la estructura base (EB).

Al golpear con el martillo de impacto sobre el eje del ventilador, el acelerómetro captarádiversas frecuencias naturales las cuales serán denotadas con los subíndices “E”, “R” y “EB”para referirse a las frecuencias naturales del eje, del rotor y de la estructura baserespectivamente, con fines didácticos se ha prescindido de las frecuencias naturales de lacarcasa, ver figura N°2.





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Figura N°2: Frecuencias naturales de un ventilador en voladizo

En la figura N°2, se puede apreciar que solo se mu estra la primera frecuencia natural,denotada con el subíndice 1, de cada uno de los componentes del sistema (eje, rotor yestructura base); sin embargo se debe tener presente que cada uno de ellos presenta másde una frecuencia natural.

En el mismo gráfico, también se puede observar que a una determinada frecuencia, en estecaso la primera frecuencia natural, tanto el eje como el rotor y la estructura base se pueden

modelar como un sistema de 1 GDL, cabe indicar que estos modelos de 1GDL no intentanrepresentar físicamente un sistema real, sin embargo son una herramienta muy valiosa a lahora de realizar un análisis dinámico.

Con el propósito de conocer un poco más sobre el comportamiento de los sistemas de 1GDL, en los siguientes acápites, dicho sistema será sometido a una fuerza de excitación yse le analizará en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

3.1 Análisis en el Dominio del Tiempo de un Sistema de 1GDL

Un sistema real, a una determinada frecuencia se comporta como un sistema de ungrado de libertad, como el mostrado en la figura N° 3.





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Figura N°3: Sistema de 1 GDL

Aplicando la Segunda Ley de Newton al sistema de la figura N°3 se obtiene laecuación diferencial ordinaria que gobierna el movimiento:

Donde:

: Masa.: Aceleración.: Coeficiente de amortiguamiento.

: Velocidad.: Rigidez.: Desplazamiento.

: Fuerza de excitación.

La expresión (1) representa la forma general para describir sistemas con un grado delibertad y constituye la ecuación del movimiento de un Sistema Vibratorio ForzadoAmortiguado , a partir de dicha expresión y anulando los términos correspondientesse obtienen las ecuaciones de los siguientes sistemas: Sistema Vibratorio Forzadono Amortiguado ; en el que la fuerza de amortiguamiento se anula, SistemaVibratorio Libre Amortiguado ; en el que la fuerza de excitación se hace cero, y porúltimo el Sistema Vibratorio Libre no Amortiguado ; caso más sencillo de vibración,en el que los términos fuerza de excitación y fuerza de amortiguamiento se anulan enla ecuación (1).

Resolviendo (1), para una fuerza de excitación como la que se muestra en (2) seobtiene la ecuación que rige el movimiento para un Sistema Vibratorio ForzadoAmortiguado :





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Dividiendo (2) entre “m” e introduciendo las siguientes notaciones:

La solución general de (2) es:

Donde:

: Constantes de integración, que dependen de las condiciones iniciales.

: Frecuencia amortiguada.

Frecuencia natural.

Cabe mencionar que después de determinado tiempo el estado transitoriodesaparecerá y el sistema quedará funcionando en su régimen estacionario :

Con la finalidad de analizar el comportamiento del Factor de Amplificación (G) y elÁngulo de Fase ( , la ecuación (9) se escribirá de la siguiente manera:





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Donde:

Reemplazando (11) en (10) e introduciendo una nueva notación conocida como Factorde Amortiguamiento (ζ), se obtiene (14):

De (14), se deriva que el Factor de Amplificación (G) y el Ángulo de Fase ( vienengobernados por las ecuaciones (15) y (16) respectivamente:

Graficando (15) y (16) en función de y para diferentes valores de Factor deAmortiguamiento (ζ), se obtiene la figura N°4:





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Figura N°4: Factor de Amplificación y Ángulo de Fa se

En la figura N°4 se puede observar que conforme la frecuencia de excitación seaproxima a la frecuencia natural las amplitudes de vibración aumentanconsiderablemente y el ángulo de fase varía aproximadamente en 180°, este detalleocurre como consecuencia del fenómeno de resonancia.

El análisis en el dominio del tiempo que se ha realizado al sistema de 1 DGL, comose ha podido observar, depende de parámetros como la Masa ( ), el Coeficiente de

amortiguamiento ( ), la Rigidez ( ) y la Fuerza de Excitación ( ); ante ellocabe formular la siguiente pregunta: ¿Cómo se obtienen dichos parámetros?

La Fuerza de Excitación se puede obtener a partir del desbalance residualpermisible de la máquina o midiendo el espectro de aceleración de la vibración ymultiplicado por la masa.

La Masa, El Coeficiente de Amortiguamiento y la Rigidez se obtienen pormedio del análisis modal experimental. La Función de Transferencia tambiénconocida como Función de Respuesta en la Frecuencia (FRF) constituye la baseen la obtención de dichos parámetros.

3.2 Análisis en el Dominio de la Frecuencia de un Sistema de 1GDL

Con la finalidad de comprender como se obtienen la masa, el coeficiente deamortiguamiento y la rigidez a partir de las Funciones de Respuesta en la Frecuencia(FRF), se transformará la ecuación (1) del dominio del tiempo al dominio de lafrecuencia (17).





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De (17), se puede observar que la FRF es un número complejo que relaciona larespuesta o salida ; que puede ser desplazamiento, velocidad o aceleración, conla excitación o entrada , tal como se puede apreciar en la figura N°5.

Figura N°5: FRF relaciona la salida con la entrada

La FRF como es un número complejo está conformado por una parte real y otra parte

imaginaria, detalle que permite que la FRF también pueda ser expresada en términosde su magnitud y su fase.

La expresión de la magnitud y de la fase se puede apreciar en (18) y (19)respectivamente:

A fin de obtener la parte real e imaginaria de (17) se procederá a realizar el siguienteartificio matemático: multiplicar el numerador y denominador de (17) por el conjugadodel denominador, obteniéndose:

Realizando las operaciones matemáticas en (20):

Agrupando la parte real e imaginaria de (21):

Ordenando, simplificando y considerando las expresiones (3) y (13) se obtiene la partereal de (22):





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Realizando el mismo procedimiento que se hizo para la parte real (23) se obtiene laparte imaginaria de (22):

A partir de las expresiones (18) y (19) se obtienen la magnitud (25) y la fase (26):

Del análisis en el dominio de la frecuencia se ha obtenido las expresiones (23),(24), (25) y (26); de ellas las ecuaciones (25) y (26) son similares a (15) y (16),obtenidas del dominio del tiempo; razón por la cual sus gráficas son similares y nospermiten manifestar, al igual que en el dominio del tiempo, que conforme la frecuenciade excitación se aproxima a la frecuencia natural las amplitudes de vibraciónaumentan considerablemente y el ángulo de fase varía aproximadamente en 180°.

A partir del párrafo anterior, cabe hacer la siguiente pregunta: Si las expresiones (25) y(26) son similares a (15) y (16), qué razón tiene haber realizado un análisis en eldominio de la frecuencia?

El motivo de haber realizado un análisis en el dominio de la frecuencia es que a travésde este análisis además de obtener las expresiones (25) y (26) se pueden obtener laparte real (23) y la parte imaginaría (24), las cuales guardan relación directa con losparámetros dinámicos obtenidos experimentalmente y nos permiten obtener lasfrecuencias naturales, los modos de vibración y el amortiguamiento.

La Tabla N°1, resume la relación que existe entre la parte real y compleja de la FRF,obtenida experimentalmente, y la determinación de los parámetros dinámicos.





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Tabla N°1

Función de Transferencia – Parámetros Dinámicos

3.3 Obtención de los Parámetros DinámicosEn general, los parámetros dinámicos de un sistema son desconocidos y sonobtenidos por medio del análisis modal experimental a través de la Función deTransferencia (FRF), figura N°6.

Para realizar un análisis modal experimental es necesario contar con analizadores ysoftware especializados, cabe mencionar que no todos los equipos y software puedenrealizar un análisis modal experimental; podrán determinar las frecuencias naturales através del “Bump Test” pero, como consecuencia de no tener un martillo de impactocalibrado ni un software especializado, no podrán tener ni los modos de vibración ni elamortiguamiento.

Figura N°6: Procedimiento para realizar un análisi s modal experimental

Con la finalidad de observar la utilidad de la Función de Transferencia (FRF) en laobtención de los parámetros dinámicos con cualquier analizador y softwareespecializado en análisis modal , se va a suponer que se realiza un análisis modal a





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la pieza que se muestra en la figura N°7. La prueb a se lleva a cabo con la ayuda deun analizador de dos canales, un martillo de impacto calibrado y un acelerómetro.

Figura N°7: Análisis modal experimental

El analizador se configura para que la Función de Transferencia analizada sea

, con este dato se ingresa a la Tabla N°1, la cual indica que con laparte real de la Función de Transferencia se determina el amortiguamiento y con laparte imaginaria los modos de vibración.

Después de realizar la prueba se obtiene, a una determinada frecuencia, la parte reale imaginaria de la FRF (figura N°8):

Figura N°8: FRF real e imaginaria obtenidas del análisis modal

De la figura N°8, se obtiene:

- Del Punto N°1 se obtiene la frecuencia natural f n

- De la diferencia de los Puntos 3 y 2 se obtiene :





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- De la amplitud del Punto 1 se obtiene la rigidez:

- De las expresiones (3) y (28) se calcula la masa a través de la siguiente expresión:

- De las expresiones (13) y (27) se calcula el coeficiente de amortiguamiento

Con (28), (29) y (30) se tienen todos los parámetros necesarios para analizar elsistema de 1GDL mostrado en la figura N°3.

Hasta el momento se ha descrito la forma como hallar las frecuencias naturales y elamortiguamiento , sólo falta explicar cómo determinar los modos de vibración , locual se explicará a continuación.

A fin de explicar la utilidad de la parte imaginaria de la Función de Transferencia (FRF)en la obtención de los modos de vibración se considerará, a la pieza analizada en lafigura N°7, como una viga en voladizo, tal como se puede apreciar en la figura N°9.

Figura N°9: Análisis modal experimental a una viga en voladizo

Después de realizar el análisis modal experimental a la viga en voladizo, vamos asuponer que se obtienen las FRF imaginarias mostradas en las figuras N°10, 11 y 12.

Primer modo de vibración: se obtiene uniendo todos los picos a la primerafrecuencia natural de la Función de Transferencia imaginaria (figura N°10).





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Figura N°10: Primer modo de vibración de una viga en voladizo

Segundo modo de vibración: se obtiene uniendo todos los picos a la segundafrecuencia natural de la Función de Transferencia imaginaria (figura N°11).

Figura N°11: Segundo modo de vibración de una viga en voladizo

Tercer modo de vibración: se obtiene uniendo todos los picos a la tercerafrecuencia natural de la Función de Transferencia imaginaria (figura N°12).





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Figura N°12: Tercer modo de vibración de una viga en voladizo

Para concluir con la obtención de los parámetros dinámicos, se debe mencionar quelas Funciones de Transferencia (FRF) real, imaginaria, amplitud y fase pueden serobtenidas mediante el uso del Software RTA de AZIMA DLI y a fin de evitar el dibujode cada uno de los modos manualmente o con un software de diseño y además deello simular el comportamiento dinámico de cualquier estructura o máquina se puederecurrir al Software ME´scope de VIBRANT TECHNOLOGY , el cual post procesa lainformación obtenida con el Software RTA y muestra, en su entorno gráfico, lasdeformaciones de la estructura analizada en cada una de sus frecuencias resonantes.

Además del análisis modal, tanto el Software RTA como el Software ME´scopetambién son utilizados para obtener las Formas de Deflexión en Operación (ODS) decualquier sistema.

Para más información o consultas sobre las bondades de estos programas, sírvasevisitar nuestra página web: www.vibrotechnology.org

3.4 Análisis Modal por el Método de los Elementos Finitos

El método de los elementos finitos es otra herramienta valiosa para realizar el análisismodal; cabe indicar que el análisis realizado por este método, en la mayoría de casos,debe ser complementado y validado por el análisis modal experimental. La figura N°13 muestra el análisis modal realizado a una estructura con el programa VisualNASTRAN versión 7 para Windows desarrollado por The MacNeal & SchwendlerCorporation.





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Figura N°13: Primer modo de vibración en el plano vertical

4. COMENTARIOS

El análisis modal, además de determinar las propiedades dinámicas de un sistema:frecuencias naturales, modos de vibración y amortiguamiento; permite transformar unsistema de N grados de libertad (GDL) en N sistemas de un grado de libertad (1 GDL).

Todas las estructuras y máquinas deben pasar, en su etapa de diseño, por un rigurosoestudio de análisis modal; conociendo las propiedades dinámicas se puede optimizar,sin riesgo al fenómeno de resonancia, diversos componentes de máquinas yestructuras.

Para realizar un análisis modal experimental es necesario contar con analizadores y

software especializados. El analizador como requisito mínimo tiene que contar con doscanales, uno para el martillo de impacto calibrado y el otro para el acelerómetro;además el software tiene que ser capaz de procesar tanto la señal de respuesta comola señal de entrada, a través de la función de transferencia (FRF), y de esta maneracon la parte real e imaginaria de la función de transferencia calcular las frecuenciasnaturales, los modos de vibración y el amortiguamiento.

Una de las principales funciones del análisis modal experimental es la corrección yvalidación de los resultados obtenidos mediante el Método de los Elementos Finitos(MEF). Una vez corregido y validado el modelo MEF, éste puede ser utilizado pararealizar diversas modificaciones estructurales así como para la predicción de fallas.

VIBRO TECHNOLOGY cuenta con personal calificado así como con equipos, softwarey herramientas adecuadas para realizar estudios de análisis modal a edificios,

sistemas tuberías, bastidores, estructuras industriales y máquinas en general.

5. GLOSARIO DE TÉRMINOS

Aceleración: Magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa de cambio de la velocidad deun cuerpo por unidad de tiempo.

Acelerómetro: Transductor, generalmente piezoeléctrico, que mide directamente laaceleración.

Amortiguamiento: Capacidad de un sistema para disipar energía cinética en energíatérmica.





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Análisis dinámico: Comprende el análisis de fuerzas, desplazamientos, velocidades yaceleraciones que aparecen en una estructura o mecanismo como resultado de susdesplazamientos y deformaciones.

Bump test: Prueba en la que no se necesita de un martillo de impacto calibrado y sirve paradeterminar las frecuencias naturales de un sistema.

Coeficiente de amortiguamiento: Es el cociente de proporcionalidad, c, entre la fuerza deamortiguamiento y la velocidad relativa entre los extremos del elemento amortiguador.

Condiciones de borde: Son las deflexiones y pendientes presentes en los apoyos delsistema.

Condiciones iniciales: Parámetros que sirven para hallar las constantes de integración.

Desplazamiento: Magnitud vectorial que nos indica la distancia de un cuerpo respecto auna posición de referencia.

Ecuación diferencial ordinaria: Es una relación que contiene funciones de una sola

variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable. Estado estacionario: Estado que aparece después de desaparecer el estado transitorio ycuyas características no varían con el tiempo.

Estado transitorio: Estado que desaparece después de un determinado tiempo y dependede las condiciones iniciales del sistema.

Factor de amortiguamiento: Es la relación que existe entre el coeficiente deamortiguamiento y el amortiguamiento crítico.

Frecuencia amortiguada: Frecuencia que depende de la frecuencia natural y del factor deamortiguamiento y es menor que la frecuencia natural.

Frecuencia de excitación: Frecuencia de una fuerza que causa vibración a un sistema,normalmente está en función de la frecuencia de giro de los equipos rotativos.

Frecuencia natural: Frecuencia a la que vibrará un sistema bajo vibración libre y dependede la distribución de masa y rigidez.

Fuerza de excitación: Fuerza que causa vibración a un sistema, se obtiene a partir deldesbalance residual permisible de la máquina o midiendo el espectro de aceleración de lavibración y multiplicado por la masa.

Función de transferencia (FRF): Es un modelo matemático que a través de un cocienterelaciona la señal de salida con la señal de entrada de un sistema.

Grados de libertad: Es el mínimo número de coordenadas independientes para determinarcompletamente la posición de todas las partes de un sistema en un instante.

Masa: Es la resistencia que presenta un cuerpo a ser movido.

Método de los Elementos Finitos: Es un método numérico para la aproximación desoluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y es muy utilizado endiversos problemas de ingeniería y física.

Modo de vibración: Patrón o forma característica de vibración de un sistema mecánico. Lamayoría de los sistemas tienen muchos modos de vibración y es objetivo del análisis modaldeterminar la forma de estos modos.

Resonancia: Es un fenómeno que se produce cuando la frecuencia de la fuerza deexcitación se encuentra cerca a una de las frecuencias naturales de un sistema.





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Rigidez: Capacidad de un objeto sólido o elemento estructural para soportar esfuerzos sinadquirir grandes deformaciones o desplazamientos.

Velocidad: Magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa de cambio del desplazamiento

de un cuerpo por unidad de tiempo. 6. BIBLIOGRAFÍA

De Silva, C., Vibration, Fundamentals and Practice, CRC, USA, 2000.

Den Hartog, J., Mecánica de las Vibraciones, McGraw-Hill, New York, 1976.

Genta, G., Vibration of Structures and Machines, Springer-Verlag, Third Edition,

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Inman, D., Engineering Vibration, Prentice Hall, New Jersey, 1994.

Meirovitch, L., Elements of Vibration Analysis, International Student Edition, Japón,

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Rao, S., Mechanical Vibrations, Addison-Wesley, Third Edition, USA, 1995.

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Jersey, 1995.

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