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PLAN DE RECUPERACIÓN CURSO 16-17

2º BACHILLERATO MODALIDAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

NOMBRE: ................................................................................................... CURSO: ..........

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Los criterios de evaluación seleccionados para este nivel en el curso escolar 16-17

1. Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de resolución

de problemas en contextos reales (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o

probabilísticos), realizando los cálculos necesarios, comprobando las soluciones obteni-

das y expresando verbalmente el procedimiento seguido. Además, practicar estrategias

para planificar, de forma individual y en grupo, un proceso de investigación matemática, a

partir de la resolución de un problema y el análisis posterior, la generalización de propie-

dades y leyes matemáticas, o la profundización en algún momento de la historia de las

matemáticas; realizar demostraciones sencillas de propiedades o teoremas; y elaborar en

cada situación un informe científico escrito con el rigor y la precisión adecuados, analizar

críticamente las soluciones y otros planteamientos aportados por las demás personas,

superar bloqueos e inseguridades ante situaciones desconocidas, desarrollando actitudes

personales relativas al quehacer matemático y reflexionar sobre las decisiones tomadas,

valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares futuras.

2. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando

cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, re-

creando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico

situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la reso-

lución de problemas; así como utilizar las tecnologías de la información y la comunicación

de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando in-

formación relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, ha-

ciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiéndolos en entornos

apropiados para facilitar la interacción.

3. Utilizar el lenguaje matricial, para transcribir problemas reales al lenguaje algebrai-

co planteando sistemas de ecuaciones lineales y solucionarlos utilizando las operaciones

con matrices y determinantes y sus propiedades.

4. Estudiar la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y aplicar los

resultados obtenidos para representar funciones y resolver problemas.

5. Aplicar el cálculo de derivadas y su interpretación física y geométrica al estudio lo-

cal y global de funciones que representen diferentes situaciones y resolver problemas

contextualizados mediante el análisis de los resultados obtenidos al derivarlas, y la apli-

cación del teorema de Rolle, del valor medio y la regla de L’Hôpital.

2

6. Calcular integrales de funciones sencillas y aplicar los resultados para resolver pro-

blemas de cálculo de áreas de regiones planas contextualizados.

7. Utilizar el lenguaje vectorial para expresar situaciones y problemas geométricos y físicos en el espacio y utilizar las propiedades y las operaciones con vectores para resolverlos e interpretar las soluciones; además utilizar las ecuaciones de la recta y el plano para resolver problemas métricos y estudiar posiciones relativas, ayudándose para todo ello de programas informáticos.

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1. a) Derivar las siguientes funciones, dando los resultados simplificados al máximo:

xx

xx

ee

eexg

xsenxxarcsenxf

22

2222

ln)(1

4)(

b) Calcular los siguientes límites:

limx→

π

2

(1

cos x− tagx) lim

x→+∞(x3−1)1

x

2. Se considera la función definida por:

f(x) = {𝑎𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑥 <

𝜋

2

𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑥 ≥𝜋

2

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad, en función de los parámetros a y b

b) Para los valores de los parámetros, en donde la función sea derivable en R, expresar como sería

la función f’(x)

3. ¿Tiene alguna raíz la siguiente ecuación sen x + 2x+1=0?. Si la respuesta es afirmativa, determina

un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz?

4. La función y=tag x toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [𝜋

4,3𝜋

4] y sin

embargo no se anula en él? Contradice esto el teorema de Bolzano?

5. Sabiendo que la recta tangente a la gráfica de la función en su punto de

inflexión es y = 2x+3.

a. Calcular las coordenadas del punto de inflexión

b. Calcular los valores de a y b

6. a) Sea la función

Estudia su continuidad y derivabilidad en x=0. Indicar su dominio.

b) Calcular el siguiente límite:

7. a) Halla los valores de a y b para que la función sea

derivable en todo .

b) Calcular el siguiente límite:

)1(

)12(ln 2

1

xtag

xLimx

32

4

xx

LnxxLimx

baxxxy 23 122

1 x si ,

x

bx

1 xsi 1),-sen(x a

)(5

xf

0 x si ,x

0 xsi ,1-2x

x

)(2x

xf

4

8. Se considera la función

Determinar si existen valores de los parámetros a y b para los que f(x) sea derivable

en todo R. Justifica la respuesta

9. Determinar a y b en la función 18)( 23 bxaxxxf sabiendo que tiene un extremo en x=2, un punto de inflexión en x=3. Analizar si este extremo es máximo o mínimo y hallar sus puntos de inflexión.

10. Determina las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal (perpendicular a la

tangente) a la gráfica de la función f(x) = 2xex +x3−2

x2+4en el punto de abscisa x=0.

11. En la figura siguiente se muestra la parábola de ecuación f(x)= 4 – x2 y la recta “r” que pasa por los puntos

A y B de la parábola de abscisas respectivas -1 y 2. Hallar la ecuación de una recta “s” tangente a la parábo-

la f(x) y paralela a “r”.

12. Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. Relaciona

cada gráfica con su derivada.

Justifica la respuesta:

023

01

12

)(2 xsix

xsibxa

xsia

xf

x

5

13. Las cuatro gráficas que se muestran son las de las derivadas de cuatro funciones. En cada caso

razona si:

a. f(a) < f(b) o f(a) > f(b) Razonamiento:

b. g(a) < g(b) o g(a) > g(b) Razonamiento:

c. h(a) < h(b) o h(a) > h(b) Razonamiento:

d. i(a) < i(b) o i(a) > i(b) Razonamiento:

14. a) El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica

camiones viene dado por la función: B(x)= 1.2x − (0.1x)3 donde x es el número de camiones fabricados en un mes.

Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

El beneficio máximo correspondiente a dicha producción. b) Dada la función g(x)=(ln x)x. Calcular g’(e).

6

15. Se quiere construir un marco para una ventana de un metro cuadrado de área. El coste del marco se estima en 125 € por cada metro de altura de la ventana y 80€ por cada metro de anchura. ¿Cuáles son las dimensiones del marco más económico? ¿A cuánto asciende dicho coste?

16. Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50 € para la base; 60 para la tapa y 40 para cada pared lateral.

17. Obtener razonadamente dos números positivos, de forma que se cumplan los siguientes

requisitos: a. La suma de ambos debe ser 60 b. El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro resulte de valor

máximo.

18. En un concurso se da a cada participante un alambre de 2 m de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.

19. Hallar las dimensiones de un depósito

abierto superiormente en forma de pris-

ma recto de base cuadrada, de 50 m3 de

volumen, que tenga superficie mínima

para reducir su coste de producción.

20. Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:

a. La producción actual de la huerta. b. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más. c. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles

más. d. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la

producción sea máxima?

7

21. a) Calcular limx→0

1−cos(x)

x2

b) Calcular el valor de m de tal forma que limx→+∞

(1−mx)(2x+3)

4+x2= 6

22. a) Determina la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función f(x) =

1x

1xLn

es paralela a la recta de ecuación 2x + 3y = 4

b) Obtén la ecuación de la recta tangente a la función dada en el punto de abscisa 3.

23. Determinar a y b en la función 18)( 23 bxaxxxf sabiendo que tiene un extremo en x=2, un punto de inflexión en x=3. Analizar si este extremo es máximo o mínimo y hallar sus puntos de inflexión.

24. Dada la función f(x) =x2+2x−2

x−1, estudiar: dominio, asíntotas, puntos de corte con los ejes,

regiones, monotonía y extremos.

25. Resolver las siguientes integrales:

dxx

xxxx 3 22 ··

dx

x 9)32(

52

26. Calcula las siguientes integrales

a. ∫ (𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos(1 − 3𝑥) + 2 cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥

b. ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥

27. Resolver las siguientes integrales:

dxx

xxxxa

3

3 2··)

b) ∫ 1+x

1+√xdx

28. Resolver las siguientes integrales:

dxx

xxxx 3 22 ··

dx

x 9)32(

52

29. Calcula las siguientes integrales

a. ∫ (𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos(1 − 3𝑥) + 2 cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥

8

b. ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 30. Resolver las siguientes integrales:

dxx

xxxxa

3

3 2··)

b) ∫ 1+x

1+√xdx

31. 1. Enunciado de la Regla de Barrow

2. Halla el valor de a>0, tal que

∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 9

2

𝑎−1

0

32. Calcular las siguientes integrales:

∫𝑥 − 3

𝑥2 + 9𝑑𝑥 ∫

𝑑𝑥

𝑥 + 3 + 5√𝑥 + 3

33. Dada la función f(x)= x3 – x. Calcular el área encerrada por la región limitada por la función y la recta tangente a la curva en x= -1. Dibujar el recinto.

34. Determina el área del recinto OABCDO sabiendo que el segmento curvilíneo BC, corresponde a un arco de la parábola de ecuación y=x2-6x+10

O(0,0); A(0,5),B(1,5);C(3,1);D(3,0) 35. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:

f(x)= 3x2 y g(x)= 4x− x3 36. Calcular:

a. ∫1−√𝑥

2𝑥dx

b. dxxsen 23

37. Calcular:

a.

dx

xx

x23

2

9

b. ∫ 𝑥√2𝑥2 + 1𝑑𝑥2

0

38. Hallar la función 𝑓(𝑥)tal que 𝑓′′(𝑥) =1

𝑥2 , f(1)=0 y f(e)=1

39. Determinar el valor de a>0, para que el área de la región limitada por la curva y=x2 y la

recta y= ax sea igual a 9

2

40. ∫ 𝑥√2𝑥2 + 1𝑑𝑥2

0

41. Calcular la siguiente integral

∫6𝑠𝑒𝑛𝑥

5 − 3 cos 𝑥

𝜋

0

𝑑𝑥

42. Resolver las integrales: 4

3

22)2)

xx

dxbdxxsena

43. Hallar el área del recinto limitado por la parábola 562 xxy , la recta tangente en x

= 2 y el eje de ordenadas.

44. Determinar la función y = f(x) sabiendo que f’’’(x) = 24x, f(0) = 3, f’(0) = 1, f’’(0) =2. 45. Calcular la siguiente integral:

dx

x 9)32(

52

46. Dibujar el recinto limitado por la curva y=x2, la bisectriz del primer y tercer cuadrante, el eje de abscisas y la recta x=2 y calcular su área.

47. Calcular el área del recinto comprendido entre la gráfica de la función f(x)=x3-6x2+8x y el eje OX. Representar aproximadamente el recinto.

48. Dada la región plana limitada por la curva f(x)= x(x-2)(x-3) y la recta de ecuación y=0

a. Dibujar el recinto. b. Calcula el área de dicho recinto.

49. Dada la función

c. Encuentra una primitiva de f(x) d. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x) y el eje de

abscisas entre x = 0 y x = 9. 50. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x− x2 y las rectas tangentes

a la curva en los puntos de intersección con el eje OX. Representar el recinto.

51. Calcular las siguientes integrales:

∫𝑥+ln𝑥

𝑥𝑑𝑥 ∫

2𝑥−√𝑥

𝑥2

2

1 dx

10

∫ 2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥

𝜋2

0

∫𝑑𝑥

𝑥 + 3 + 5√𝑥 + 3

52. Se sabe que la gráfica de la función f(x)=x3+ax2+bx+c es la que aparece en el dibujo.

a. Determinar la fun-

ción

b. Calcular el área de

la región som-

breada

53. Calcular el área de la región

del plano limitada por la curva f(x)=|𝑥2 − 4𝑥 + 3|. Representar el recinto.

54. Dada la matriz A:

100

010

501

A

a) Calcular A2 – 2 At + I (I matriz identidad, At traspuesta de A)

b) Calcular A10

55. Dada la matriz A

𝐴 = (1 0 40 𝑚 1−1 3 −𝑚

)

a. Determinar los valores del parámetro m para los que la matriz A tiene inversa

b. Calcular la inversa de la matriz A para m=2

56. Considera la matrices A = (−1 0 13 1 −12 1 0

) B=(2 −1 10 1 32 −2 1

)

Calcular el rango de M=A·B

57. Sabiendo que |𝑧 0 2𝑦 −1 2𝑥 1 2

| = 7 Halla sin desarrollar el valor de:

|𝑧 3𝑧 𝑧 + 2𝑥 3𝑥 + 1 𝑥 + 2𝑦 3𝑦 − 1 𝑦 + 2

|

explicando las propiedades de los determinantes que utilizas 58. Se dice que una matriz cuadrada A es involutiva si cumple que A2 = I, donde I denota la

matriz identidad.

11

a. Justifica razonadamente que toda matriz involutiva tiene inversa (es decir que es regular o inversible)

b. Determina para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es invo-lutiva

59. Dadas las matrices A y B

a. Calcular A15 y A20 b. Resolver la ecuación matricial 6 X = B – 3 A X, donde X es una matriz cuadra-

da de orden 3

60. Dada la matriz:

𝐴 = (𝑎 1 11 𝑎 11 1 𝑎

)

a. Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro a.

b. Obtener la matriz inversa de A para a =-1.

61. Sabiendo que

|𝑎 𝑏 𝑐1 1 1𝑥 𝑦 𝑧

| = 2, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑙𝑎𝑠𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑑𝑒𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 sin 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟

c. |1 1 12𝑎 2𝑏 2𝑐

𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑧 − 1| = b. |

𝑎 + 2𝑥 𝑏 + 2𝑦 𝑐 + 2𝑧1 1 1𝑥 𝑦 𝑧

| =

d. |𝑎 −1 −𝑥−𝑏 1 𝑦−𝑐 1 𝑧

| =

62. Considera la matriz 𝐴 = (𝑎 10 −𝑎

) siendo “a” un número real.

e. Calcular el valor de “a” para que 𝐴2 − 𝐴 = (12 −10 20

)

f. Calcula, en función de a, el determinante de At

63.

a) Hallar la matriz A que verifica la ecuación:

12

(1 2 32 3 13 1 2

) · 𝐴 = (666)

b) Dadas las matrices:

𝐴 = (2 3 0−7 −5 −21 −1 0

) ; 𝐵 = (−1 20 32 1

); C=(0 2 −13 −4 0

)

Calcular el determinante de B·C-2At

64. Calcular el rango de la matriz según los valores del parámetro a

65. Ejercicio

a) Considera los vectores �⃗� = (2, −1,4) y �⃗⃗� = (0,3,𝑚). Hallar el valor de mR para que los vectores sean ortogonales.

b) En el caso m=0. Calcula el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores �⃗�

y �⃗⃗�.

c) Sean �⃗⃗� y �⃗� dos vectores tales que: (�⃗⃗� + �⃗�) · (�⃗⃗� − �⃗�) = 17 y |�⃗⃗�| = 9. Calcular |�⃗�| (módulo de �⃗�)

66. Ejercicio a. Estudia, en función del parámetro kR, la posición relativa de los planos π x y

z 1 y π’ x y k2 z k

b. Existe algún valor de k para el que los planos π y π’ sean perpendiculares?

67. Ejercicio Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según el valor del parámetro λ y resolver

para λ=2

x + λy + z − 4 = 0; x + 3y + z − 5 = 0; λx + y + z − 4 = 0

68. Ejercicio a) Hallar la matriz A que verifica la ecuación:

(1 2 32 3 13 1 2

) · 𝐴 = (666)

b) Dadas las matrices:

𝐴 = (2 3 0−7 −5 −21 −1 0

) ; 𝐵 = (−1 20 32 1

); C=(0 2 −13 −4 0

)

Calcular el determinante de B·C-2At

13

69. Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros, respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40.500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% de las cajas.

70. Dados los vectores 1,1,1,1,,2,2,,1 wavau

a) Hallar el valor de a para que los vectores sean linealmente dependientes.

b) Si a = 1, expresar 2,0,6b como combinación lineal de wvu ,, .

71. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,2) y es perpendicular al plano determinado por

los puntos (1,0,1), (3,2,1) y (2,-1,0). Expresarla como intersección de dos planos.

72. Sean los puntos P(3,1,5) y Q(-1,7,3). Por el punto medio del segmento PQ se traza un plano

perpendicular a PQ. Este plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos A, B y C. Calcular el

área del triángulo ABC.

73. Sean el punto P(1,-3,2), la recta

632

032

zyx

zyxr y el plano 154 zyx . Se pide:

a) Vector director de la recta.

b) Ecuación continua de la recta que pasa por P y es paralela a r.

c) Ecuación del plano que pasa por P y es paralelo a .

d) Ecuación del plano que contiene a la recta r y al punto P.

e) Punto del plano π que tiene las tres coordenadas iguales.

74. Sea r la recta

2

3

1

z

yx

r , contestar razonadamente si son verdaderas o falsas las si-

guientes cuestiones: a) El punto P(1,2,2) pertenece a la recta.

b) 0,2,0v es un vector director de la recta.

c) La recta r es coincidente con la recta

2

3

1

2

z

yx

s

d) La recta r está contenida en el plano 02 zyx

3. Calcular BAt · siendo A y B las matrices que verifican

75. Discutir y resolver, en su caso, en función de los valores del parámetro el sistema

03

02

zyx

kzky

zkx

. Interpretación geométrica (tres planos)

4110

3003

151

1072

BA

BA

14

76. Sea r la recta

2

3

1

z

yx

r

, contestar razonadamente si son verdaderas o falsas las siguientes cuestiones:

a) El punto P(1,2,2) pertenece a la recta.

b) 0,2,0v es un vector director de la recta.

c) La recta r es coincidente con la recta

2

3

1

2

z

yx

s

d) Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

2

13

z

y

x

r

e) La recta r está contenida en el plano 02 zyx

77. Calcular la ecuación de la recta r que pasa por el punto (1,-1,2) y es paralela al plano

determinado por los puntos (1,0,1), (3,2,1) y (2,-1,0). Expresar la recta r como intersección de dos planos.

a) Dar la ecuación general de un plano ’ paralelo a y que pase por el origen de coordenadas

MATERIAL DE AMPLIACIÓN

LIBRO MAREA VERDE (GRATUITO EN LA RED): www.apauntesmareaverde.org.es/grupos/mat/Bachillerato/MatematicasII.htm

PROBLEMAS DE EBAU ULL AÑOS ANTERIORES

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recursos-coordin-materias/examenes_pau/

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ciencias1.html

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