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PROCESOS DE RENOVACIÓN
Vivianette Pagán Xaymara Pérez
Definición General
Un Proceso de Renovación es el
proceso de conteo para el cual los
tiempos entre los eventos exitosos
son independientes e
idénticamente distribuidos, con
distribución arbitraria.
Notación
Sea {N(t), t ≥ 0} el proceso de conteo.
Xn denota el tiempo entre (n-1) y el enésimo evento de un proceso, donde n ≥ 1.
Definición Formal
Si una sucesión de variables aleatorias no
negativas {X1, X2,…} es independiente y
está idénticamente distribuida entonces
{N(t), t ≥ 0} es un proceso de
renovación.
Ejemplo
Suponer que tenemos una cantidad infinita de bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido.
Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva.
Bajo estas condiciones {N(t), t ≥ 0}, es un proceso de renovación donde N(T) representa el número de bombillas que han fallado para el tiempo t.
Para un Proceso de Renovación teniendo tiempos entre llegadas X1, X2,…, sea
S0 = 0
Sn =
será la suma de n variables aleatorias independientes
1
n 1n
ii
X
Ejemplo
Suponer que tenemos una cantidad de 3 bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido.
Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva.
Bombillas Duración (t)
#1 5 horas
#2 2 horas
#3 7 horas
0 S1 S2 S3
x x xX1 X3X2
Ley Fuerte de los Números Grandes
Sea X1, X2,… una secuencia de variables aleatorias independientes con una distribución en común y sea E[Xi]=μ.
Entonces con probabilidad 1,
nn
XXX n donde ...21
Para un proceso de renovación con media entre renovaciones e intervalos μ con probabilidad 1.
Ley Fuerte de los Números Grandes para la Renovación de los Procesos
tt
tN donde
1)(
Teorema del Límite Central
Provee un método simple para computar
probabilidades aproximadas para la
suma de variables aleatorias
independientes.
Teorema del Límite Central
Teorema:
Sea X1, X2,… una secuencia de variables
aleatoria independientes e idénticamente
distribuidas con promedio μ y varianza σ2.
Entonces la distribución de
tiende al estándar normal según n→∞.Esto es
n
nXXX n
...21
ndxean
nXXXP
a xn donde
2
1
... 221
2
Se normalizará utilizando la siguiente expresión:
)(
][
XVar
XEX
Ejemplo: De Binomial a Aproximación Normal Se tira una moneda justa 40 veces. Si la
Var(X)=10 encuentre la probabilidad de que X=20 usando la aproximación normal.
1272.0}20{
4364.05636.0
16.010
2016.0
10
205.20
10
20
10
205.19
}5.205.19{}20{
XP
XP
XP
XPXP
Teorema del Límite Central para Procesos de Renovación
Para un t grande, N(t) es aproximádamente normal con media t/μ y varianza (t σ2/μ3), donde μ y σ2 son la media y la varianza respectivamente de una distribución entre llegadas.
dxext
ttNP
x x
t
2
32
2
2
1
/
/)(lim
SN(t) -> tiempo de la última renovación antes de o en el tiempo t.
SN(t)+1 -> tiempo de la primera renovación después del tiempo t.
Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0.
Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25.
Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.
Media = 100 * 0,5 = 50 Varianza = 100 * 0,25 = 25
Proceso de Renovación-Recompensa
Cada vez q ocurre un proceso de renovación se recibe una recompensa.
Se denota R(t) como la recompensa que se gana en el tiempo t.
R(t) en un tiempo t solo depende del intervalo particular entre renovaciones q contiene t.
Proceso de Renovación-Recompensa
)(
1
)(tN
nnRtR
• La variable aleatoria R(t) representa el total de recompensa obtenido en el tiempo t.
Ejemplo
Tenemos una gallina mágica que pone huevos en
intervalos de tiempo. A veces pone huevos de
oro, y a veces pone huevos tóxicos que requieren
un proceso de eliminación responsable y
costosos. Las “recompensas“ Rn son las pérdidas
y ganancias financieras resultantes de los huevos
sucesivos (n = 1,2,3,...) y R(t) registra la
recompensa total financiera en el tiempo t.
Vida Residual
Es el intervalo desde n hasta la próxima
época de renovación.
Ejemplo
Sea Y(t) la vida residual en el tiempo t.
Si llegamos a una parada de guagua en el
tiempo t y las guaguas llegan siguiendo un
proceso de renovación entonces Y(t) es el
tiempo que tenemos que esperar para que
llegue la guagua. Se interpreta {Y(t); t ≥ 0}
como un proceso de recompensa.
Proposición
Si E[R] < ∞ y E[X] < ∞, entonces
Con probabilidad 1,
de otro modo
Donde R(t) es una función de renovación-recompensa para un proceso de renovación.
][
][)(lim
XE
RE
t
tRt
][
][)]([lim
XE
RE
t
tREt
Tiempo de Parada
Un tiempo de parada N para una
sucesión de variables aleatorias
independientes X1, X2, …, es un valor
entero positivo aleatorio si el evento
{N=n} es independiente a Xn+1, Xn+2, …
Ejemplo
Considere un proceso Bernoulli. Un árbol representa un conjunto de sucesiones binarias. La regla particular de tiempo de parada para este ejemplo es parar cada vez que ocurra aparición de la cadena (1,0)
Igualdad de Wald
Si X1, X2, … son independientes e
idénticamente distribuidas y tienen una
media finita E(X), y si N es un tiempo de
parada para esta sucesión, entonces
][][1
XENEXEN
ii
Aplicación de la Igualdad de Wald
Simplifica el cálculo del valor esperado
de la suma de una cantidad de números
aleatorios.
Una aplicación es la ciencia actuarial con
la que, al recuperar ciertos datos, se
puede calcular el total esperado de
reclamaciones de seguros individuales.
