PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA · 2018-08-31 · motivo, desde la coordinación del profesorado de Educación Secundaria en Matemática del IES 9-011 ´Del Atuel

GOBIERNO DE MENDOZA

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR

I.E.S Nº 9-011"DEL ATUEL"

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INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR Nº 9-011 "DEL ATUEL"

FORMACIÓN DOCENTE:

“PROFESORADO DE EDUCACIÓN

SECUNDARIA EN MATEMÁTICA”

CUADERNILLO DEL INGRESANTE

CICLO LECTIVO 2018

RECTOR:

LIC. MIGUEL ALDAVE

VICE-RECTORA DE ASUNTOS ACADÉMICOS

DRA. SILVANA YOMAHA

VICE-RECTORA DE ASUNTOS ESTUDIANTILES Y ADMINISTRATIVOS

LIC. ADRIANA MANDRILLI

JEFA DE FORMACIÓN INICIAL

LIC. CARINA RUBAU

COORDINADOR/A DE CARRERA

LIC. JULIETA INFANTE

DOCENTES RESPONSABLES DEL CURSO DE INGRESO:

LIC. SERGIO VIÑOLO (REFERENTE DEL EQUIPO DE INGRESO)

LIC. MA. DEL

CARMEN NAVARRO

PROF. CLAUDIA

SÁNCHEZ

LIC. ANALÍA

PERUZZI

LIC. GRACIELA

SERRANO

PROF. ALEJANDRA

VILLANUEVA

GOBIERNO DE MENDOZA

DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS


I.E.S Nº 9-011"DEL ATUEL"

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INDICE DE CONTENIDOS

Carta de bienvenida al IES 9011

Carta del equipo de gestión institucional Pág. 3

Carta de coordinadora de carrera Pág. 5

Carta de alumno avanzado Pág. 6

Componente ambientador

Lineamientos fundamentales de la dinámica institucional Pág. 7

Oferta Educativa Institucional Pág. 9

Desarrollo histórico Pág. 10

Régimen Académico Institucional (RAI) Pág. 12

Componente nivelador

Estructura curricular profesorado de educación secundaria en matemática Pág. 15

Presentación del equipo docente Pág. 18

Introducción Pág. 19

Fundamentaciones de la propuesta de trabajo para el curso de ingreso Pág. 20

Organización del ingreso 2018 Pág. 26

Resolución de problemas Pág. 27

Componente introductorio

Taller 1: Aritmética Pág. 30

Taller 2: Introducción al pensamiento geométrico Pág. 100

Taller 3: Iniciación al estudio del Álgebra Pág. 117

Taller 4: Conceptualización de la noción de Función Pág. 126

Taller 5: Prácticas de lectura, escritura y oralidad Pág. 149

Referencias Bibliográficas y tutoriales para uso de Geogebra Pág. 179

Anexo: Régimen de Correlatividades Profesorado de Educación

Secundaria en Matemática

Pág. 182

GOBIERNO DE MENDOZA DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR I.E.S Nº 9-011"DEL ATUEL"

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“Porque toda mirada se produce desde un cierto lugar que determina

lo que se ve y lo que no se ve, lo que se destaca y lo que se omite de

acuerdo con las peculiaridades de quien Mira.”

Cecilia Braslavsky

¡BIENVENIDAS y BIENVENIDOS!

Sean bienvenidas/os a la educación pública a todas y todos quienes ingresan a formar parte de

la vida de esta comunidad educativa. El desafío de enfrentar la realidad cotidiana y el trabajo docente y técnico

desde una mirada comprometida y crítica no es una opción, es un requerimiento fundamental de nuestra vida

institucional. Como institución formadora sostenemos el mandato social de la Educación Superior entendida como

un derecho público, que debe ser garantizado por el Estado a través de los Institutos de Educación Superior (IES)

que se organizan a propósito de las trayectorias reales de sus estudiantes.

La trayectoria formativa que hoy inician estará signada por retos y vicisitudes y, sobre todo,

nuevos vínculos que deseamos acompañar con la convicción de construir juntas/os un ambiente que propicie la

justicia educativa en el sentido de promover la igualdad de oportunidades en el acceso al conocimiento y generar

lazos solidarios y responsables con el desarrollo sustentable de la comunidad en su conjunto.

Desde el equipo de gestión de esta institución, que a partir de ahora es su casa, entendemos que

aun cuando en la tarea de todos los días alternemos sensaciones y situaciones de satisfacción por los logros

obtenidos, con otras de zozobra y angustia frente a la realidad social de la que somos parte y que a veces parece

inabordable; el compromiso es la única actitud posible como profesionales y futuros profesionales, docentes y

técnicos. Compromiso y responsabilidad que deseamos promover respecto de cada uno y una de ustedes, para

proyectar un futuro de pleno ejercicio de derechos, democratización de saberes y respeto por la diversidad, situación

que sólo podrá alcanzarse con la práctica cotidiana de un diálogo que recupere el valor de la palabra.

Acordamos con el pedagogo brasileño Paulo Freire, cuando propone una educación basada en

la esperanza, entendida como necesidad ontológica, esto es, una esperanza que necesita de una teoría y de una

práctica pedagógica pertinente, académicamente válida, crítica de la realidad y de calidad, para que le permita

adquirir concreción histórica con el fin de constituirse en una verdadera herramienta de transformación social.

Los/as recibimos con los brazos abiertos, y convencidos de que “No podemos tener la esperanza

de predecir el futuro, pero podemos incidir en él. En la medida en que las predicciones deterministas no son posibles,

es probable que las visiones del futuro, y hasta las utopías, desempeñen un papel importante en la construcción.”

Ilya Prigogine, El nacimiento del tiempo (1998: 13).

11 de diciembre de 2017

Equipo de Gestión institucional


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EQUIPO DIRECTIVO DEL IES 9011 DEL ATUEL


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Carta de bienvenida de la coordinadora del Profesorado de Matemática

Estimados Estudiantes:

Hoy comienzan a transitar un nuevo recorrido como estudiantes de Nivel Superior. Por este

motivo, desde la coordinación del profesorado de Educación Secundaria en Matemática del IES 9-011 “Del Atuel”

y, en representación del equipo de docentes de la carrera, les damos la Bienvenida al profesorado.

En este nuevo camino, el camino de la docencia, no solo se elige una carrera sino que se elige

una forma de vida. Así, en el transcurso de los cuatro años de cursado podrán enriquecerse y formarse

profesionalmente para desplegar prácticas pedagógicas acordes a aquel estudiante de nivel secundario. Ningún

camino resulta fácil de recorrer pero para ello contarán con personas idóneas que podrán acompañarlos para que

estas nuevas experiencias resulten exitosas.

Desde la formación inicial y considerando el perfil del egresado se pretende garantizar una

formación integral, a través del desarrollo equilibrado de los campos de formación pedagógica, específica y de la

práctica profesional docente, de tal forma que logren (entre otras): Concebirse como un sujeto en proceso de

construcción dinámica; Diseñar e implementar prácticas educativas pertinentes y acordes con la heterogeneidad de

los sujetos y sus contextos, siendo capaz de desempeñar sus tareas en realidades diversas (espacios urbanos,

suburbanos o rurales), demostrando atención y respeto por la diversidad de características y condiciones

relacionadas con el idioma, las formas de vida de la familia, los patrones de crianza y el entorno comunitario y;

Dominar la Matemática, en tanto disciplina a enseñar, y actualizar su propio marco de referencia teórico,

reconociendo el valor de esta ciencia para la construcción de propuestas de enseñanza, atendiendo a la

especificidad del nivel y a las características de los sujetos que atiende.

Asimismo, resulta fundamental el compromiso, la responsabilidad y la convicción del querer ser

docente. Estos aspectos, serán los que deberán recordar cuando se presenten dificultades permitiéndoles superar

aquellos obstáculos propios de cualquier carrera.

Me despido deseándoles un muy buen cursado del curso de ingreso y, por supuesto, la

bienvenida a nuestro Profesorado de Educación Secundaria en Matemática.

Saludos cordiales.

Lic. Prof. Julieta Infante Coord. Profesorado de Ed. Sec. en Matemática


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Carta de bienvenida de estudiantes del Profesorado de Matemática

Estimados aspirantes:

Por medio de estas sencillas palabras, les queremos expresar la más cálida bienvenida y felicitarlos

por su decisión de iniciar o reanudar sus estudios. Les brindamos nuestro apoyo como alumnos que ya hemos

recorrido cada una de las etapas que ustedes también deberán transitar. Conocemos las expectativas y emociones

encontradas que deben estar experimentando en este momento, sensaciones de desconcierto, de incertidumbre,

anhelo de dejar una etapa atrás, y una gran alegría de concretar sus sueños.

Por estos motivos queremos acompañarlos en sus primeros pasos en la carrera con el propósito de

alentar y favorecer su permanencia en ella. Por ello les queremos brindar algunos consejos que fueron de gran

utilidad en nuestro camino por el profesorado. En un principio, la asistencia es la base para favorecer los

aprendizajes significativos y lograr culminar cada unidad curricular cumpliendo las expectativas propuestas.

Asimismo la responsabilidad, el compromiso, y la participación juegan un rol fundamental en el cursado. Además la

concurrencia a las horas de consultas es un complemento muy importante para comprender y afianzar los saberes

que se van aprendiendo durante las clases. A la hora de rendir y de inscribirse al año siguiente es necesario tener en

cuenta las correlatividades, la superposición de horarios (cuando recursan alguna materia), y que prioricen todas los

unidades curriculares por igual, no solo aquellas que son promocionales como así también dediquen muchas de horas

de estudio con anticipación para cada uno de ellos.

No nos resta más que incentivarlos a que afronten de la mejor forma, con renovadas energías y de

manera constructiva su experiencia de aprendizaje en el Profesorado. Siempre deben tener presente que se formarán

como profesionales en la docencia y que no solo basta con que les agrade la matemática sino que ser docente implica

formar en valores, ideales, es decir, formar personas. Tendrán la gran responsabilidad de ser referentes de sus

alumnos de secundaria e incluso en algunas ocasiones los escucharán y les darán consejos para guiarlos en sus

decisiones.

Esperamos que puedan enfrentar los desafíos y sortear los obstáculos que se les presenten en la

carrera. Si bien muchas veces resulte difícil seguir adelante, queremos que sepan que cuentan con nuestro apoyo

para acompañarlos en esta fase, y jamás piensen en abandonar la carrera si están seguros de que quieren dedicar su

vida a la docencia de la matemática; porque desde nuestras vivencias podemos afirmar que el esfuerzo tiene sus

frutos y que algún día seremos todos futuros colegas.

Saludos cordiales.

Melanie Antolinez y Analy Herrera Estudiantes del profesorado de Matemática


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i. COMPONENTE AMBIENTADOR

EL INSTITUTO de ENSEÑANZA SUPERIOR N° 9-011

La gestión en educación superior atiende a visibilizar las capacidades instaladas y a la

vez generar unas dinámicas institucionales que sostengan la formación permanente como un

modelo formativo centrado en el desarrollo y el compromiso de los y las docentes en

relación con la responsabilidad ético-política en tanto agentes del Estado. Un modelo que

entiende y asume al docente como un trabajador intelectual comprometido en forma

activa, reflexiva, autónoma y con responsabilidad, en los procesos de acompañamiento a

las trayectorias estudiantiles y profesionales.

El Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” expresa una trama de relaciones

humanas por lo que resulta importante y necesario puntualizar nuestro desde dónde, es

decir, la visión de mundo desde la cual miramos, pensamos, actuamos y decidimos poner

en tensión ‘entre otros’. En efecto, etimológicamente, el vocablo intervenir significa “venir a

ponerse entre dos o más cosas”, esto es, generar efectos que habiliten los cambios entre

actores institucionales a partir del conocimiento de la dinámica de vivencia y habitación de

la institución formadora. Convenimos con Ardoino (1987) acerca de su concepción de

“venir entre” para promover la consolidación de lazos de cooperación y buenas prácticas

formativas. En este sentido, la declaración de principios éticos, teóricos y operacionales

tiene como propósito promover otra mirada, hacer otras preguntas, establecer otras

relaciones desde las cuales preguntarnos por las prácticas, los discursos y las tramas

relacionales de las que formamos parte más allá o más acá de los formatos escolares

habituales y hasta por los modelos de asesoramiento a los que adscribimos (Nicastro, S.,

Greco, M., 2009). En la intención de gestionar “haciendo que las cosas sucedan” (Blejmar,

2005), y sobre la base de un saber “hacer” fundado en la intención de “tramar la acción y

el pensamiento” (Davini, M.C., 2016) nos posicionamos en un enfoque que promueva el

acompañamiento situado para la formación docente y técnico profesional, inicial y

continua, con centralidad en la práctica. Para ello, acordamos con María Cristina Davini

(2016: 18 y 19) cuando postula los tópicos a considerar para efectivizar los “cimientos de la

acción”1, tales tópicos operan como categorías de observación e interpretación del campo

1 La autora refiere al respecto: “(…) la formación inicial representa un importante período que (…) habilita para el

ejercicio de la profesión. Supone una racionalización y una especialización de un determinado saber y de sus prácticas.

Aunque luego continúe la formación permanente en ejercicio, la formación inicial conlleva una primaria

responsabilidad pedagógica, social y política (…) y, si bien aprende siempre a lo largo de su vida laboral (…) la

formación inicial genera los cimientos de la acción.” (Davini, M.C., 2016: 23)


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observacional de las trayectorias formativas –estudiantiles y profesionales docentes y

técnicas-, a saber:

La valorización de la práctica –profesional y profesionalizante- como fuente

de experiencia y desarrollo

La importancia formativa de los intercambios situados entre los sujetos

El papel del docente como promotor y co- constructor de la experiencia

La diversidad de situaciones en las aulas –y fuera de ellas- y su complejidad,

así como sus dimensiones implícitas

El papel de la reflexión sobre las prácticas

La dimensión artística y singular de la docencia

La mirada política

Estos lineamientos constituyen los orientadores fundamentales para el

fortalecimiento de la dinámica institucional y el ejercicio de las prácticas pedagógicas

orientadas a promover la formación de buenos docentes y técnicos en el marco del proceso

de análisis de las condiciones ‘reales’ de los recorridos formativos. Es por ello que la

propuesta desde el equipo directivo de esta institución se fundamenta en la visión y acción

respecto de las trayectorias deseables2 y en la definición de estrategias y criterios de

formación en prácticas de producción y socialización de saberes académicos pertinentes y

situados en los niveles y entornos formativos para los cuales el instituto forma. La

Resolución 24 del año 2007 emitida por el Consejo Federal de Educación3 especifica que

“La formación docente inicial tiene la finalidad de preparar profesionales capaces de

enseñar, generar y transmitir los conocimientos y valores necesarios para la formación

integral de las personas, el desarrollo nacional y la construcción de una sociedad más justa y

promoverá la construcción de una identidad docente basada en la autonomía profesional,

el vínculo con las culturas y las sociedades contemporáneas, el trabajo en equipo, el

compromiso con la igualdad y la confianza en las posibilidades de aprendizaje de sus

alumnos (Ley de Educación Nacional4, artículo 71)”. Desde este encuadre referencial,

asumimos el desafío ontológico y la decisión política de concebir a la educación y el

conocimiento como un bien público y un derecho personal y social (Res. CFE 24/ 07) y, en

nuestro carácter de miembros integrantes del equipo directivo de una institución que forma

ciudadanos que se desempeñarán como futuros docentes y técnicos acordamos con el

siguiente enunciado de la Resolución 188/12: “(…) las autoridades jurisdiccionales

competentes deben asegurar el cumplimiento de la obligatoriedad escolar a través de

alternativas institucionales, pedagógicas y de promoción de derechos que se ajusten a los

requerimientos locales y comunitarios, urbanos y rurales, mediante acciones que permitan

alcanzar resultados de calidad equivalente en todo el país y en todas las situaciones

2 Atentos a las denominadas “cronologías de los aprendizajes” (Terigi, F., 2010).

3 En adelante CFE.

4 En adelante LEN.


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sociales.” Entendemos que nuestra propuesta atiende al desarrollo integral de los docentes y

los estudiantes de los niveles del sistema educativo porque se sostiene en la construcción

colectiva de los acuerdos y constituye un dispositivo de empoderamiento para el ejercicio

de la profesión y la vida social en general5. La responsabilidad que el estado nos otorga al

constituirnos en agentes del mismo se cristaliza al asumir el desafío que nos plantea el nivel

secundario, en el cual se insertarán mayormente nuestros egresados, así, como institución

formadora somos parte activa y partícipes necesarios en el fortalecimiento de las

condiciones de acceso y permanencia en el sistema educativo de todos los adolescentes y

jóvenes (Res. 188/12 CFE).

La participación efectiva se logra a través de la generación de estrategias de apoyo

pedagógico a las escuelas y un acompañamiento recíproco, al cual entendemos aspira

contribuir nuestra propuesta de intervención en tanto modelo de definición de criterios

institucionales para la producción, comunicación y socialización de saberes específicos y

situados.

OFERTA EDUCATIVA INSTITUCIONAL

Carrera Dictamen Resol. Pcial.

Profesorado de Educación Secundaria en Biología

Aprobac. Plena 0654/ 11

Profesorado de Educación Secundaria en Geografía


Profesorado de Educación Secundaria en Historia


Profesorado de Educación Secundaria en Lengua y

Literatura

Aprobac. plena 283/ 12

Profesorado de Educación Secundaria en

Matemática


Prof. en Inglés Aprobac. plena

575/ 10

Guía y Técnico Superior en Turismo


Tecnicatura en Obras Viales

Aprobac. plena

1195/14 –

0134/15

5 Cfr. Cuadro de síntesis: Plan de acción. Pág. 15.


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Preceptoria y sala

de profesores

Rectoría y Secretaria

Laboratorio

Sala de Informática

Biblioteca

Aulas – Planta Baja Cocina SUN Baños

P

A

T

I

O

Aulas – Planta Alta

IES DEL ATUEL 9-011 – PLANTA ALTA

Baños

CROQUIS EDIFICIO INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR

N° 9-011 DEL ATUEL

2016

10mo.

Ateneo

“Del

Bicentenario”

2017

III Congreso

de ens.de la

Matem.

11º Ateneo


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RÉGIMEN ACADÉMICO INSTITUCIONAL (RAI)

RESOLUCIÓN 101/15 DES 04/12/2015

APROBADO POR CONSEJO DIRECTIVO ACTA Nº 03/15

-EXTRACTO-

La regularización y acreditación del Curso de Ingreso, es un

requisito para ser estudiante regular del IES 9-011 “Del Atuel”, según lo

establece el Régimen Académico Institucional (RAI) que es el reglamento

interno que pauta la vida institucional.

Durante este ciclo, asistirás a clases durante un mes de cursado en

diferentes instancias “propedéuticas”, es decir clases en diferentes

temáticas y/o disciplinas que te preparan en los conocimientos

fundamentales para cursar el 1º año de la carrera que elegiste.

El RAI establece en su Parte III, Cap. 9, Art. 35 acerca del Ingreso lo siguiente: “El

ingreso, según la Resolución 72/08 Consejo Federal de Educación (CFE), a todas las carreras es

directo incluyendo instancias propedéuticas que combinen aspectos de: ambientación,

introducción y nivelación” y en su Art. 41: “El ingreso será obligatorio y deberá ser acreditado

según lo establecido en el Artículo 9 del presente régimen.” Esto significa que podrás cursarlo y

si, en caso de no regularizar y acreditar alguna(s) de la(s) instancia(s) del mismo, podrás

acordar con el equipo a cargo del ingreso una instancia de recuperación para su acreditación

durante el primer cuatrimestre (Art. 11, RAI 2015). Como se indicó anteriormente, el Curso de

Ingreso contiene 3 componentes que detallamos a continuación:

Descargá el RAI aquí goo.gl/B27Jju o Escaneando este QR


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6

6 En el caso de personas mayores de 25 años que aspiren a cursar carreras de formación inicial y que no hayan completado el nivel

medio, deberán ajustarse a lo establecido en el Art. 7mo. de la Ley de Educación Superior N° 24.521 y/o regulación vigente (Art. 18, inc. e), RAI 2015)

AMBIENTADOR NIVELADOR INTRODUCTORIO

Refiere a las particularidades institucionales y académicas de los estudios de nivel superior.

Refiere a los requerimientos básicos de una formación de nivel superior.

Refiere a los saberes disciplinares y profesionales específicos.

Reflexionamos en distintas instancias sobre tu nuevo rol de estudiante de Educación Superior y las características del IES.

Explicamos las características de la Formación Docente y la Educación Técnica Profesional, qué se espera que hagas como docente o técnica/o y escucharemos tus expectativas sobre tu formación como estudiante y las aclararemos en función de las competencias y la formación general, la específica y el campo de la práctica docente y la profesionalizante.

Proponemos actividades de enseñanza para que puedas construir nuevos saberes y estilos de aprendizaje que te permitan reflexionar sobre lo que aprendiste y lo que no durante el Ingreso o tu recorrido escolar previo, con la intención de articular con los saberes propios de las unidades/espacios curriculares de primer año.

“La condición de estudiante regular del IES se adquiere cuando se completa el

proceso administrativo de inscripción a una oferta formativa que realiza la

institución. Este proceso concluye cuando se cumple con los siguientes requisitos

(RAI Art. 9):” Concluir y aprobar la

formación previa exigida

para realizar los estudios

correspondientes.

Presentar la documentación requerida administrativamente.

ESTUDIANTE REGULAR1

Completar, es decir cursar

y acreditar, las instancias

propedéuticas del proceso

de ingreso.


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El Curso de Ingreso se reglamentará por un “contrato pedagógico”, es decir acuerdos

que se elaboran entre todos los actores involucrados. En el mismo se establecen los derechos y

responsabilidades que deben respetarse durante y luego del ingreso.

“El desarrollo del cursado se ajustará a las condiciones establecidas en cada Contrato” (RAI, Art. 28)

% mínimo de asistencia de

cursado, condición para

regularizar la U.C o E.C

Instancias de recuperación de inasistencia o trabajos pendientes

Metodología de clases y

criterios de evaluación

CONTRATO PEDAGÓGICO

fija pautas respecto a:


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ii. COMPONENTE INTRODUCTORIO

ESTRUCTURA CURRICULAR PROFESORADO PARA LA

EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA.


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En el marco de los Lineamientos Curriculares Nacionales, el Diseño Curricular Provincial

del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática se organiza en tres Campos de

Formación: Campo de la Formación General, Campo de la Formación Específica y Campo de

Formación en la Práctica Profesional Docente. Se entienden como estructuras formativas que

reúnen un conjunto de saberes delimitados por su afinidad lógica, metodológica o profesional,

y que se entrelazan y complementan entre sí. Están regidos por un propósito general que

procura asegurar unidad de concepción y de enfoque curricular para todos sus elementos

constitutivos. A su vez, al interior de cada campo de formación, se proponen trayectos

formativos que permiten un reagrupamiento de las unidades curriculares por correlaciones y

propósitos. Los trayectos posibilitan un recorrido secuencial y transversal de contenidos a lo

largo de la carrera.

A su vez, los Campos de Formación se organizan en Trayectos Formativos que están

integrados por Unidades Curriculares, concebidas como aquellas instancias curriculares que,

adoptando distintas modalidades o formatos pedagógicos (asignatura, módulo, taller,

seminario, forman parte constitutiva del plan, organizan la enseñanza y los distintos contenidos

de la formación y deben ser acreditadas por los estudiantes.7

7 Consulte el Diseño Curricular del Profesorado de E.S. en Matemática en https://des-

mza.infd.edu.ar/sitio/upload/Disenio_MATEMATICA.pdf

https://des-mza.infd.edu.ar/sitio/upload/Disenio_MATEMATICA.pdf

https://des-mza.infd.edu.ar/sitio/upload/Disenio_MATEMATICA.pdf


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EQUIPO DOCENTE DEL INGRESO 2018 AL PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

EN MATEMÁTICA

¡Bienvenidos al ciclo lectivo 2018 del Profesorado de Matemática del IES 9-011 “Del Atuel”!


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INTRODUCCIÓN

Atendiendo al Perfil del Egresado del Profesorado de Educación Secundaria en

Matemática, explicitado en el Diseño Curricular de tal carrera, y pretendiendo resignificar la

labor docente:

“Se aspira a formar un/a profesor/a para la Educación Secundaria en

Matemática que sea a la vez persona comprometida, mediador

intercultural, animador de una comunidad educativa, garante de la Ley y

organizador de una vida democrática, intelectual y conductor cultural.”

Es por ello que se pretende formar un docente con la capacidad de:

o Asumirse como un ser autónomo, comprometido con la realidad sociocultural en la cual

está inserto: Esto implica concebirse como un sujeto en proceso de construcción

dinámica sujeto a una historia, a un contexto, delimitado por una institución y una

comunidad y en convivencia con otros actores sociales, entre ellos los alumnos

destinatarios de la Educación Secundaria con quienes deba entablar relaciones y vínculos

positivos y de confianza a los fines de promover la tarea de enseñar y de aprender.

o Construir dinámicamente una identidad como profesional docente: Esto es entender y

valorar a la Matemática como un constructo social e histórico, por ello promover un

espacio en donde aprender Matemática en la escuela implique una construcción activa

de los propios alumnos -con la diversidad de pensamiento, realidades, matrices

cognitivas, experiencias que ello implica- a fin de comprender la importancia y utilidad

de la misma.

o Desplegar prácticas educativas: Estas deben reconocer el sentido socialmente

significativo de la Matemática y promover tal valoración en sus prácticas áulicas. Para

ello es necesario poseer un sólido dominio de la disciplina, seleccionar y generar

estrategias didácticas tendientes a lograr significatividad y funcionalidad en el

aprendizaje matemático y mediar los procesos de enseña y aprendizaje a los efectos de

que los propios alumnos se apropien de ella desarrollando habilidades tales como la

resolución de problemas, la comunicación, el pensamiento crítico-reflexivo, la

creatividad entre otros.


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Atendiendo a las políticas educativas que propician una Educación Inclusiva para el

acceso al derecho innegable que constituye una Educación de Calidad, y atendiendo también a

las características de esta calidad educativa que se manifiestan en el Perfil del Egresado del

Profesorado de Educación Secundaria en Matemática, el cual supone también responsabilidades

para quienes deseen acceder a esta formación, se establece como necesidad:

Diseñar y ejecutar un Ingreso al Profesorado de Educación Secundaria en

Matemática que garantice el derecho a adquirir una educación superior con

igualdad de oportunidades y poseyendo dominio sobre los saberes

disciplinares indispensables para transitar, permanecer y concluir esta

formación, pero transmitiendo también el sentido de compromiso con la

profesión que un alumno debe asumir como futuro docente.

FUNDAMENTACIONES DE LA PROPUESTA DE TRABAJO PARA EL TALLER DE INGRESO

Entendiendo a la Matemática como un producto social y cultural, es que la reforma de

su enseñanza aboga por una Matemática al alcance de todos los alumnos que se propongan a

aprenderla y por un método más participativo de enseñanza, con mayor protagonismo del

alumno, ya que se pone el énfasis en el proceso de hacer matemáticas, más que considerar el

conocimiento matemático como un producto acabado.

Por ello, se encuentra en el hacer matemático una forma de aprender matemática

construyendo conceptos a través de problemas y planteando nuevos problemas a partir de los

conceptos así construidos, para significar el conocimiento. Así es que los estudiantes deben

ingresar al universo matemático no sólo para conocer los conceptos fundamentales, sino

también para familiarizarse con los modos de construcción propios de esta ciencia cuya

actividad gravita sobre la resolución de problemas.

Este enfoque didáctico de la Matemática que sienta sus bases en la resolución de

problemas desde un punto de vista formativo, señala en ella la activación de capacidades

básicas del individuo como son leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de

trabajo, revisarlo, adaptarlo, generar hipótesis, verificar el ámbito de validez de la solución,

comunicar la solución, etc.

En estas líneas el proyecto PISA (Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos)

de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) concibe a la

formación matemática como la capacidad de identificar, comprender e implicarse en las


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Matemáticas como elemento necesario para la vida privada, laboral y social, actual y futura de

un individuo, como ciudadano constructivo, comprometido y capaz de razonar.

G. Polya (1954) plantea que el principal objetivo de la enseñanza de la Matemática

debe ser enseñar a pensar, y para ello debe dársele lugar al saber hacer, que en Matemática es

la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos favorables, de

usar el lenguaje matemático con fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones

concretas, etc. Este hacer matemático se plantea y concretiza en competencias.

El proyecto de la OCDE, denominado Definición y Selección de Competencias

(DeSeCo), referente básico del enfoque comprensivo de las competencias básicas, entiende a

estas como:

“la capacidad de responder a demandas complejas y llevar a cabo tareas diversas de

forma adecuada. Supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos,

motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de

comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz.”

El planteamiento de la actividad educativa desde las competencias básicas exige un

nuevo enfoque que afecta a todos los ámbitos de la acción educativa. En el caso del currículo

actual, supone que tanto la formulación de los objetivos, como los contenidos y, sobre todo,

los criterios de evaluación deben alcanzar una nueva dimensión que dé respuesta al objetivo

de ensenar a adquirir las competencias básicas.

Entre estas competencias básicas se encuentran las competencias matemáticas,

entendiendo por ellas:

“la capacidad de un individuo para identificar y entender el rol que juegan las

matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundamentados y utilizar las matemáticas

en formas que le permitan satisfacer sus necesidades como ciudadano constructivo,

comprometido y reflexivo.”

En el proyecto PISA, de la OCDE, el dominio de la competencia matemática comprende

tres ejes principales:

Las situaciones o contextos en que se ubican los problemas.

El contenido matemático que se requiere para resolver los problemas, organizado de

acuerdo a ciertas nociones claves, y, sobre todo.

Las competencias que deben ser aplicadas para conectar el mundo real, en el que se

generan los problemas, con las matemáticas, para resolver asá los problemas.


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Para evaluar el nivel de competencia matemática de los alumnos, OCDE / PISA se basa

en las ocho competencias matemáticas específicas identificadas por Niss (1999):

Pensar y razonar. Incluye plantear preguntas características de las matemáticas

(“¿Cuántas … hay?”, “¿Cómo encontrar …?”); reconocer el tipo de respuestas que las

matemáticas ofrecen para estas preguntas; distinguir entre diferentes tipos de

proposiciones (definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos, condicionales); y

entender y manipular el rango y los límites de ciertos conceptos matemáticos.

Argumentar. Se refiere a saber qué es una prueba matemática y cómo se diferencia de

otros tipos de razonamiento matemático; poder seguir y evaluar cadenas de argumentos

matemáticos de diferentes tipos; desarrollar procedimientos intuitivos; y construir y

expresar argumentos matemáticos.

Comunicar. Involucra la capacidad de expresarse, tanto en forma oral como escrita,

sobre asuntos con contenido matemático y de entender las aseveraciones, orales y

escritas, de los demás sobre los mismos temas.

Modelar. Incluye estructurar la situación que se va a modelar; traducir la “realidad” a

una estructura matemática; trabajar con un modelo matemático; validar el modelo;

reflexionar, analizar y plantear críticas a un modelo y sus resultados; comunicarse

eficazmente sobre el modelo y sus resultados (incluyendo las limitaciones que pueden

tener estos últimos); y monitorear y controlar el proceso de modelado.

Plantear y resolver problemas. Comprende plantear, formular, y definir diferentes tipos

de problemas matemáticos y resolver diversos tipos de problemas utilizando una

variedad de métodos.

Representar. Incluye codificar y decodificar, traducir, interpretar y distinguir entre

diferentes tipos de representaciones de objetos y situaciones matemáticas, y las

interrelaciones entre diversas representaciones; escoger entre diferentes formas de

representación, de acuerdo con la situación y el propósito particulares.

Utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas. Comprende decodificar e

interpretar lenguaje formal y simbólico, y entender su relación con el lenguaje natural;

traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico / formal, manipular proposiciones y


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expresiones que contengan símbolos y fórmulas; utilizar variables, resolver ecuaciones y

realizar cálculos.

Utilizar ayudas y herramientas. Esto involucra conocer, y ser capaz de utilizar diversas

ayudas y herramientas (incluyendo las tecnologías de la información y las

comunicaciones TIC) que facilitan la actividad matemática, y comprender las

limitaciones de estas ayudas y herramientas.

Por su parte, en el marco de la ley N°26.206 se define una perspectiva pedagógica de

desarrollo de capacidades que establece dentro de los fines y objetivos de la política educativa

nacional la necesidad de “desarrollar las capacidades y ofrecer las oportunidades de estudio y

aprendizaje necesarias para la educación a lo largo de toda la vida”.

Para esto, el CFE ha promulgado resoluciones de carácter nacional que buscan

desarrollar en los distintos niveles educativos dispositivos pedagógicos que permitan concretar

los principios de esta ley. Así en la resolución N°201/13, se presenta el Plan Nacional de

Formación Permanente como una política de Estado que “enlaza la jerarquización de la

formación docente y la calidad de los aprendizajes, articulando procesos de formación con

mecanismos de evaluación y fortalecimiento de la unidad escuela; como ámbito privilegiado

de desempeño laboral y a la vez espacio de participación, intercambio y pertenencia”.

El Plan de Formación pretende instalar una cultura de la formación permanente

centrada en la escuela al promover la generación de espacios para la construcción colectiva del

saber pedagógico. El plan de formación se organizó en dos componentes: uno centrado en las

Instituciones Educativas y el actual centrado en los destinatarios específicos.

De esta forma, se le da continuidad a lo realizado en el PNFP, con el Programa de

Formación Situada, en el cual se promueve un trabajo de reflexión sobre las formas de trabajo

con los saberes y con el desarrollo de capacidades en la escuela generando un saber

pedagógico que permite enriquecer los enfoques y diseñar las estrategias de enseñanza con el

fin de mejorar los aprendizajes de todos los alumnos en el aula. Esta propuesta pedagógica

propone la valoración, integración y organización significativa de los campos disciplinares a

cargo de los docentes con una orientación explícita hacia el desarrollo de capacidades de los

estudiantes. Se entiende que las capacidades son constructos que permiten referirse a la manera

en que se combinan los potenciales, las disposiciones y saberes en maneras diversas y en grados

crecientes de complejidad.

Las capacidades generales y transversales que se han seleccionado son: Comprensión

Lectora, Uso de conceptos y teorías para entender y explicar algún aspecto de la realidad,

Resolución de situaciones complejas, Autorregulación del propio proceso de participación y

aprendizaje y, trabajo con otros para un fin compartido.


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Para finalizar, podemos afirmar que desde el Enfoque de Desarrollo de Capacidades

(Labate, H., 2016) se invita a pensar la enseñanza como un proyecto humanista de formación

de sujetos capaces de protagonizar trayectorias vitales en contextos cambiantes.

Por ello, para poner en correspondencia a la propuesta del curso de ingreso del

Profesorado para la E.S. en Matemática con la propuesta pedagógica del PNFS, es que se

han asociado competencias definidas por Niss a fin de incluirlas en las capacidades matemáticas

que el plan vigente de formación propone:

Capacidades cognitivas PNFS Competencias Niss

Resolver situaciones a partir de modelos convencionales o

no: incluye desde estrategias personales a modelos más

“expertos”, anticipando y verificando su adecuación y sus

límites.

Plantear y resolver problemas.

Modelar.

Utilizar ayudas y herramientas.

Comprender y producir textos en matemática: comprender

consignas, enunciados (identificando preguntas y datos),

comprender textos producidos por otros, comprender

informaciones en diferentes registros simbólicos,

comprender una explicación dada por otro o en un libro de

texto, definiciones.

Comunicar.

Representar.

Utilizar lenguaje y operaciones

simbólicas, formales y técnicas.

Pensar críticamente: analizar los procedimientos propios y

de otros para determinar su validez y elaborar argumentos

que la justifiquen.

Pensar y razonar.

Argumentar.

Además, el PNFS ha definido competencias matemáticas intrapersonales e

interpersonales:

Interpersonales Intrapersonales

Trabajar con otros, comunicar y producir

colectivamente.

Estudiar matemática. Desafío, compromiso,

esfuerzo, asumir la responsabilidad.

Es en este sentido y con estas concepciones de Matemática ya explicitadas y de cómo

debe abordarse la Matemática en las escuelas, que a los fines de una educación de calidad no

puede no vivenciarse esta formación en los Profesorados de Matemática. El papel del profesor

en el aprendizaje de la Resolución de Problemas comienza por la experiencia personal de

“hacer Matemáticas” y nada puede reemplazar esta experiencia.

Bajo esta visión es que ya desde el Ingreso al Profesorado de Educación Secundaria en

Matemática, debe abordarse una Matemática basada en la resolución de problemas como


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medio de construcción del propio conocimiento matemático a través del desarrollo de las

capacidades propuestas por el PNFS y las competencias citadas por Niss.

Para ello se establecen prioridades de trabajo como:

Ayudar al alumno a aceptar los retos: un problema cuando se plantea puede suponer un

gran desafío para el alumno.

Enseñar las Matemáticas cargadas de relaciones y como conocimiento a encontrar. Es

conocido el hecho que se aprende más rápido y se retiene más tiempo cuando se

establecen conexiones. La profundidad de la fijación no es más que la propiedad de

conectarse con la realidad vivida. Se trata de que lo que se va aprendiendo sirva para

conectar diversos campos de conocimiento y que permitan al alumno hacer

descubrimientos propios.

Crear un ambiente de confianza en la clase que prepare a los alumnos a enfrentarse a

situaciones no familiares y que les ayude a no sentirse demasiado agobiados,

angustiados, ansiosos cuando se bloquean.

Establecer una posibilidad real de que el alumno vaya verdaderamente creando

Matemáticas, favoreciendo que los alumnos desarrollen sus propias ideas para encontrar

una solución y ayudarles, cuando sea necesario, sin darles directamente la respuesta.

Propiciar un marco en el que los alumnos puedan reflexionar acerca de los procesos en

que están inmersos (pensar, discutir, comunicar, escribir sobre) y, de esta forma,

aprender de la experiencia.

Explicitar y comunicar a los alumnos los procesos involucrados cuando se hacen y

aplican las Matemáticas, de manera que puedan adquirir un vocabulario que les ayude a

pensar y aprender sobre ello. Los alumnos aprenden mucho más eficazmente cuando el

profesor dirige explícitamente su atención a las estrategias y procesos implicados en la

Resolución de Problemas.


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ORGANIZACIÓN DEL INGRESO 2018

Durante la primera mitad del período presencial del curso de Ingreso al Profesorado en Matemática:

El Taller de Aritmética estará a cargo de la Lic. Ma. Del Carmen Navarro y colaborado por el

Lic. Sergio Viñolo. Este taller se cursará de 17:15 a 18:45 hs.

El taller de Introducción al pensamiento geométrico estará a cargo de la prof. Claudia Sánchez

y colaborado por el Lic. Sergio Viñolo. Este taller se cursará de 19:00 a 20:30 hs.

En la segunda mitad del periodo de cursado:

El Taller de Iniciación al estudio del Álgebra estará a cargo de la Mg. Graciela Serrano y

colaborado por el Lic. Sergio Viñolo. Este taller se cursará de 17:15 a 18:45 hs.

El Taller de Conceptualización de la noción de Función estará a cargo de la Lic. Julieta Infante

y colaborado por el Lic. Sergio Viñolo. Este taller se cursará de 19:00 a 20:30 hs.

Además se preven los siguientes encuentros con fecha y horario a confirmar: 1. el taller de Practica de lectura, escritura y oralidad, a cargo de las licenciadas Analía Peruzzi y

Alejandra Villanueva.

2. De trabajo intercarreras programadas por el S.O.E. y Políticas Estudiantiles.

3. Instancia de evaluación final: Haciendo matemática.


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Diferenciemos un EJERCICIO de un PROBLEMA. El primero

únicamente demanda la aplicación de un método rutinario

para lograr resolverlo; en cambio un problema debe presentar

una verdadera dificultad, obstáculo para la persona que lo va a

resolver –lo cual lo constituye subjetivo- y esto hace que su

resolución no sea inmediata sino que amerite una reflexión

sobre la cuestión planteada.

Es por ello que resolver un problema supone de un hacer

matemático, de poner en práctica diversas competencias

matemáticas –en particular-, es un medio para construir

conocimientos.

George Polya en su libro “Cómo enseñar y resolver

problemas” (1945) identifica cuatro fases de resolución y en

ellas interrogantes necesarios para arribar al objetivo buscado.

Debe comprenderse que estos pasos no son una receta, sino

una orientación para que cada resolutor encuentre en su

propio hacer su propia estrategia de resolución.

Primera Fase: ENTENDER EL PROBLEMA

Para poder resolver un problema primero hay que

comprenderlo. Se debe leer con mucho cuidado y explorar hasta

entender las relaciones dadas en la información proporcionada.

Para eso, se puede responder a preguntas como:

¿Entiendes todo lo que dice?

¿Puedes replantear el problema en tus propias

palabras?

¿Distingues cuáles son los datos?

¿Sabes a qué quieres llegar?

¿Hay suficiente información?


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¿Hay información extraña?

Segunda Fase: CONFIGURAR UN PLAN

En este paso se busca encontrar conexiones entre los datos y la

incógnita o lo desconocido, relacionando los datos del problema.

Se debe elaborar un plan o estrategia para resolver el problema.

Una estrategia se define como un artificio ingenioso que

conduce a un final. Hay que elegir las operaciones e indicar la

secuencia en que se debe realizarlas. Estimar la respuesta.

Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

¿Recuerda algún problema parecido a este que pueda

ayudarle a resolverlo?

¿Puede enunciar el problema de otro modo? Escoger un lenguaje adecuado, una notación apropiada.

¿Usó todos los datos?, ¿usó todas las condiciones?, ¿ha tomado en cuenta todos los conceptos

esenciales incluidos en el problema?

¿Se puede resolver este problema por partes?

Intente organizar los datos en tablas o gráficos.

¿Hay diferentes caminos para resolver este problema?

¿Cuál es su plan para resolver el problema?


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Tercera Fase: EJECUTAR

EL PLAN

Se ejecuta el plan elaborado

resolviendo las operaciones en el

orden establecido, verificando

paso a paso si los resultados están

correctos. Se aplican también

todas las estrategias pensadas,

completando –si se requiere– los

diagramas, tablas o gráficos para

obtener varias formas de resolver

el problema. Si no se tiene éxito

se vuelve a empezar. Suele

suceder que un comienzo fresco o

una nueva estrategia conducen al

éxito.

Cuarta Fase: MIRAR HACIA ATRÁS O HACER LA

VERIFICACIÓN.

En el paso de revisión o verificación se hace el análisis de la solución

obtenida, no sólo en cuanto a la corrección del resultado sino

también con relación a la posibilidad de usar otras estrategias

diferentes de la seguida, para llegar a la solución. Se verifica la

respuesta en el contexto del problema original.

En esta fase también se puede hacer la generalización del problema o

la formulación de otros nuevos a partir de él.

Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

¿Su respuesta tiene sentido?

¿Está de acuerdo con la información del problema?

¿Hay otro modo de resolver el problema?

¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha

empleado para resolver problemas semejantes?

¿Se puede generalizar?


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iii. COMPONENTE NIVELADOR

TALLER 1: ARITMÉTICA

PARTE PRÁCTICA

1. Decidí, sin hacer los cálculos de forma escrita, cuáles de las siguientes cuentas dan el mismo resultado

que 36. 21 (a estos cálculos se los denomina equivalentes). Explicá sus respuestas.

36. 3 .7 30 .6 .3 .7 2. 2 .9 .21 18. 42

2. Decidí, sin hacer los cálculos propuestos, si los siguientes pares de cuentas dan el mismo resultado, es

decir si son equivalentes. Justificá sus respuestas.

a. 21 . 15 7. 3 . 5

b. 18. 15 9. 5. 2 .3

c. 33. 24 11. 12 .6

¿Cómo trabajaremos en este taller? Observarás que el Taller de Aritmética consta de dos partes: la Teoría y la Práctica.

La parte teórica nos permitirá recuperar los contenidos matemáticos que aprendimos en la

escuela secundaria y quizá también aparezcan algunos que no te hayan enseñado Hay

algunos interrogantes que en la medida que leas te sugerimos que los respondas.

La parte práctica consta de Manos a la Masa Matemática I, II, III y IV.

La propuesta de trabajo es comenzar justamente metiendo las manos y la cabeza en la masa

matemática. Te proponemos que Manos a la Masa Matemática I y II la resuelvas antes de

que comience el período presencial de nivelación. El resto lo haremos en clase.

Luego de trabajar en cada actividad matemática te pedimos que intentes fundamentar qué

saberes pusiste en juego (definiciones, propiedades, etc.). Será de gran importancia

reconocer con qué “ingredientes” matemáticos trabajamos para tratar de dar solución a las

diferentes propuestas de trabajo.

MANOS A LA MASA MATEMÁTICA I


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3. Decidí si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F) . Explicá tu decisión.

Para dividir 3.550: 25, se puede hacer 3.550: 5 y dividir por 5 el resultado

Para dividir 3.288: 24 se puede hacer 3.288: 12 y dividir por 2 el resultado

Hacer 3.288: 12 y luego dividir por 2 es lo mismo que dividir 3.288 por el resultado de 12: 2

125: 5 da lo mismo que 5: 125

4. Escribí cómo se pueden resolver estas divisiones con una calculadora en la que no funciona la tecla del

número 4.

768: 4………………………………………. 1.760: 44…………………………………………….

5. Sin hacer las cuentas, marcá con una cruz (x) los cálculos que tiene el mismo resultado que 176:8.

Explicá tus decisiones

176: (4: 2)

160: 8 + 16: 8

1766 + 176 : 2

6. Resuelva:

a. Si es posible, escribí un número que, al dividirlo por 12, se obtenga cociente 50 y resto 8.

....................................................................................................................................

b. ¿Cuántos números se pueden encontrar?

c. Si es posible, escribí un número que, al dividirlo por 12, se obtenga como cociente 50 y resto distinto

de 8.

7. Si para una pizza de 20 cm de diámetro ocupás una cierta cantidad de ingredientes. ¿Qué

cantidad de ingredientes necesitarás si la pizza tiene el doble de diámetro y el mismo

grosor?

8. Escribí otras cuentas equivalentes a 48x15, que te permite responder si el resultado es:

a. Múltiplo de 15; b. Múltiplo de 6; c. Múltiplo de 7;

d. Múltiplo de 30; e. Múltiplo de 20; f. Múltiplo de 50.

9. Sin hallar los resultados de los siguientes cálculos, decidí si las afirmaciones son verdaderas o falsas y

explicá tu decisión.

a. 2 . 15673 + 4 da como resultado un número par;

RECUERDEN QUE PRIMERO SE

RESUELVEN LOS CÁLCULOS

ENTRE PARÉNTESIS.


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b. 3 . 15673 + 6 da como resultado un número par;

c. 374 . 15 + 21 es múltiplo de 5;

d. 374 . 15 + 21 es múltiplo de 3;

e. 7. 174+132 es múltiplo de 7;

f. 2. 174 + 5. 174 + 2 es múltiplo de 7;

g. 9 . 237 + 5 . 237 +35 es múltiplo de 7;

h. 11 . 385 + 7 . 385 -5 . 385 es múltiplo de 7.

10. Sin hacer los cálculos, estudiá qué números se pueden sumar o multiplicar en cada caso para que la

afirmación sea verdadera. ¿Podés encontrar más de un número? Explicá tu respuesta.

a. 17. 53 + … es un número par.

b. 6 . … es un número impar.

c. 5 . … + 11 es un número impar.

d. …. . 4 + 22 es un número par.

11. Analizá si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Explicá por qué

a. Si se multiplica 15 por cualquier número, se obtiene un múltiplo de 3.

b. Todos los múltiplos de 6 son múltiplos de 12.

c. Todos los múltiplos de 12 son múltiplos de 4.

d. Todos los números divisibles por 7 también son divisibles por 14.

12. Analiza:

a. ¿Es cierto que si en 16 . 15 + a se reemplaza la letra a por el número 44, el resultado es múltiplo de

4? ¿y si se reemplaza por 154?

b. ¿Con qué otros números se podría reemplazar la letra a para que el resultado de

16 . 15 + a sea múltiplo de 4?

c. ¿Cuáles son todos los valores por los que se la puede reemplazar a la letra para que sea múltiplo de

4 el resultado?

13. Si es posible…

a. Encontrá tres valores de la letra b para los cuales 2.b + 1 sea impar, y tres valores para los que no lo

sea. Explique su respuesta. (en esta oportunidad, el punto “.” simboliza una multiplicación)

b. Encontrá tres valores de la letra c para los cuales 2.c + 4 sea múltiplo de 4, y tres valores para que

no lo sea. Explicá tu respuesta.


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c. Encontrá tres valores de la letra d para los cuales 9.d + 3 sea múltiplo de 3, y tres para los que no lo

sea. Explicá tu respuesta.

14. Completá cada frase con una de estas tres opciones, de manera que quede una afirmación verdadera:

(i) para todo valor que tome la letra a; (ii) para ningún valor que tome la letra a; (iii) para algunos

valores que tome la letra a.

a. 15.a + 6 es un múltiplo de 3 …

b. 15.a + 6 es un múltiplo de 2 …

c. 15.a + 6 es un múltiplo de 12 …

d. 15.a + 6 es un múltiplo de 6 …

15. En cada caso estudiá para qué valores de la letra n se cumple:

a. 8n + 2n termina en 0.

b. 3n + 2n es múltiplo de 5.

c. 3n + 2n + 1 es par.

d. 3n + 3 + n es múltiplo de 4.

16. Una banda de rock dio dos recitales por los que cobró el mismo dinero. Los organizadores del primer

recital pagaron 3 cheques de $ 4.200. Los cheques que recibieron los organizadores del segundo recital

son de $ 2.100. ¿Cuántos cheques recibieron por el segundo recital?

17. Soledad diseñó un portarretratos como el de la figura.

a. Marcá con una cruz los cálculos que permiten saber la cantidad de venecitas que necesita para

armarlo:

13 x 3

21 x 4 + 9 x 4

13 3 + 7 x 3

(13 x 3 + 7 x 3) x 2

13 x 13 – 7 x 7

b. Escribí tres cálculos que permitan conocer la cantidad de venecitas que se

necesitan para este portarretratos. Explicalo.


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18. Soledad armó un portarretrato cuadrado con 9 filas de venecitas. El espacio vacío donde va la foto es

un cuadrado en el que entrarían 25 venecitas. Marca con una x los cálculos que permiten saber la

cantidad de venecitas que se necesitan para este portarretrato.

19. Valeria tiene un rompecabezas con piezas cuadradas. El rompecabezas armado es un cuadrado que

tiene entre 130 y 200 piezas.

a. ¿Cuántas piezas podría tener el rompecabezas?

b. ¿Hay una sola posibilidad?

20. Decidí si las igualdades son verdaderas (V) o falsas (F). Justificá tus decisiones.

14 . 14 = 28 √𝟏𝟗𝟔 = 𝟏𝟒

113= 33 √𝟏𝟎𝟎 - √𝟑𝟔 = √( 𝟏𝟎𝟎 − 𝟑𝟔 )

1003 – 1 = 999 1003 – 1 = 993

53 – 23 . 4 + ( 5 + √𝟒𝟗) . 𝟐 = 𝟏𝟏𝟕

21. Martín tomó el fixture y la tabla de posiciones de los grupos F y G del mundial de fútbol de Brasil de

2014 y borró algunos casilleros sin darse cuenta. La tabla de posiciones incluye los datos de goles a

favor (GF), goles en contra (GC) y diferencia entre goles a favor y en contra (DF)

MANOS A LA MASA MATEMÁTICA II

¿Por qué todo número a ≠ 0, elevado a la cero, da 1? a0= 1

92 + 5

2

92 x 5

2

(9 – 5)2

92 - 5

2


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a. ¿Es cierto que la Argentina tuvo 6 goles a favor? ¿Cuántos goles recibió?

b. ¿Es cierto que Portugal terminó con 1 gol en contra? Explica tu respuesta.

c. ¿Es cierto que Ghana recibió más goles que los que convirtió? ¿Cuántos hizo?

d. ¿Con qué diferencia de goles terminó Irán?

e. ¿Cuál fue el resultado final del partido entre Nigeria y Bosnia?

f. Completá las columnas de goles a favor y goles en contra del grupo G.

22. En cada caso completá con <, < o = :

0……………. -7 3……………….. -3 -5 ……………………5 -12…………………….1

-1 ………… -12 12-------------- -1 -10…………………. -11 -280……………. -180

23. Ubicá el 0, el -8 y el 8 en cada recta:

24. La letra k representa un número entero de manera que su opuesto –k cumple que

Argentina 2 1 Bosnia

Irán 0 0 Nigeria

Argentina 1 0 Irán

Nigeria 0 Bosnia

Nigeria 2 3 Argentina

Bosnia 3 1 Irán

Alemania 4 0 Portugal

Ghana 1 2 EE.UU.

Alemania 2 2 Ghana

EE.UU. 2 2 Portugal

EE.UU. 0 1 Alemania

Portugal 2 1 Ghana


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-9<-k<-6 ¿Entre qué valores se encuentran los valores posibles de k?

25. La letra n representa un número entero de manera que su opuesto –n cumple que 5 < -n < 10. ¿Cuáles

son los valores posibles de n?

26. ¿Cuáles son todos los números enteros cuya distancia la 3 es menor que 17?

27. ¿Cuáles son todos los números enteros que se encuentran a 38 unidades de -21?

28. Encontrá números que esté a 26 unidades de distancia. ¿Cuántos números hay que cumplan esa

condición?

29. Resolvé estos cálculos:

a) 6 – (-9) = b) 14 – 28 = c) -5 + (-6) =

d) - 11 + 8 = e) -67 – 120 = f) – 473 + (-230)=

g) – 100 – (-25) = h) – 3 . 8 = i) 408 + (-18) =

j) -25 . (-2) = k) 14 . (-10)= l) 275 . (-1) =

m) – 34 . (-99)= n) -574 . (-1) = ñ) -35 : (-7) =

o) 125 : (-5) = p) 0 : (-7) = q) (-5) : 0 =

r) 5 – 3 + (-2) – (-5) = s) (-3)3 + (-91+86)3 = t) 125: (-25) – [ -31 + (-52) + 60] =

30. ¿Es posible encontrar un número entero a para que 4 . (-a) sea positivo? ¿Cuántas soluciones hay?

31. ¿Es posible encontrar un número entero b para que -3 . (-b) sea negativo? ¿Cuáles son todos los valores

posibles para el número b?

32. En cada caso, completá con > , < o = sin hacer las cuentas. Explicá cómo lo resolviste.

a) (-11).(-8). (-9) …….. (-11) . 8 . 9

b) (-1). (- 7823) ………….. 7823

c) (-31)4 ……… 314

d) 1………………. ( -6)8

e) 689 ………….. (-68)9


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f) (-3)5 ……….. 0

33. Decidí si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificá tu decisión.

No hay ningún número entero que cumpla que a12> a13

(-d)6 es un número positivo para cualquier valor entero de d.

(-b)5 es un número negativo solo para valores positivos de b.

(-3) n es un número negativo para cualquier valor positivo de n.

5nes un número negativo para algún valor positivo de n.

Si a un número entero negativo se lo multiplica por -1, se obtiene un número entero positivo.

Si a un número se lo multiplica por su opuesto, el resultado es negativo.

34. En cada caso, decidí, sin hacer los cálculos, si las dos expresiones son equivalentes. Justificá tu decisión.

44.15 -4 . (-11) .5. (-3)

32 . 18 8. (-4) . (-3) . 6

-15 . 22 3. (-11) .2 . 5

-15.4 + (-15) -15 -15 – 15 – 15

-15. 6 -15+30 -15.5

-6.271 -4 .271 -10 . 271

-3.(103 – 78 ) 3. (78 -103)

35. En cada caso, escribí dos expresiones equivalentes:

-23 . 8 – 23

5. (-12) + 12

372 . (-3) + 372 . (-5)

-1.25 + 25


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36. En cada caso, escribí qué número hay que sumar para llegar al múltiplo de 4 más cercano:

a) – 47 + ………………………. b) -246 + ………………… c) 13 + ………………………….

37. Sin hacer las cuentas y usando que -66 . (-40) = 2640, decidí si estas afirmaciones son verdaderas o

falsas. Explicá tu decisión.

a. 2640 es divisible por -40

b. -10 es divisor de 2640

c. -66 es múltiplo de 2640

d. 2640 es divisible por 11

38. Decidí, sin hacer divisiones, si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificalo.

a) -150 es divisor de 15 b) -6 es divisor de 2400

c) 7004 es múltiplo de 7 d) 14 es divisor de 2814

39. Analizá la información que ofrece la siguiente cuenta para decidir si las igualdades son correctas. Podés

usar la recta numérica para responder. Explicá tus decisiones.

a) -1847 = 15 . (-123) +2

b) -1847 = 15 . (-124) + 13

c) -1844 = 15 . (-122) + 14

d) – 1847 = 15 . (-123) – 2

e) -1844 = 15. (-123) – 1

f) -1844 = 15. (-123) - 14

40. Decidí si cada serie de números está ordenada de menor a mayor. Si es así, marcala con una cruz. Si

no es así, ordenala.

a. 𝟑

𝟖

𝟏𝟓

𝟖

𝟏𝟓

𝟔

𝟏𝟗

𝟔

b. 1,36011 1,360368 1,3604 1,3600785 1,3609

c. 𝟔

𝟓

𝟖

𝟕

𝟐𝟑

𝟕 𝟑, 𝟕

𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟏, 𝟓

𝟓𝟐𝟑

𝟏.𝟐𝟑𝟔

MANOS A LA MASA MATEMÁTICA III

-1845 15 0 - 123


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d. 0,00001 1

1.000 0,00011

1

100 0,1 0,11

41. Claudia dice que 8

9 𝑦

4

5 son equivalentes, porque a los dos les falta 1 para llegar a un entero. Flor dice

que no lo son, ya que a 8

9 𝑙𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎

1

9 𝑦 𝑎

4

5 le falta

1

5

a. ¿Quién tiene razón?

b. Si no son iguales, ¿cuál de las dos fracciones es mayor?

42. ¿Es cierto que si una fracción tiene menor denominador y mayor numerador que otra, entonces la

primera es mayor? Escribí y analizá algunos ejemplos. Luego, justificá tu respuesta.

43. Escribí, en cada caso, los números naturales que están entre las dos fracciones:

a. Entre 2/3 y 14/3

b. Entre 22/7 y 39/7

c. Entre 17/15 y 28/15

44. Encontrá, si es posible, una fracción entre 7,6 y 7,8 con denominador 100.

45. Encontrá, si es posible, una fracción entre 7,6 y 7,8 con denominador 10. ¿Cuántas hay?

46. Encontrá, si es posible, una fracción entre 8,2 y 8,3 con denominador 10. ¿Cuántas hay?

47. Encontrá, si es posible, una fracción entre 1/3 y 4/9 con denominador 9. ¿Cuántas hay?

48. Decidí si estas afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justificalo

Entre dos fracciones siempre hay un número natural

Entre dos números naturales siempre hay una fracción

Entre infinitas fracciones con denominador 10 entre 3,5 y 3,8

No hay números entre 5,02 y 5,03

49. En este rectángulo se pintó otro rectángulo con la base igual a 4/5 del lado del primero y la altura igual

a 2/3 del lado del cuadrado. ¿Qué parte del área total del rectángulo mayor está pintada?


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50. Dentro de un rectángulo se pinta otro con la base igual a 5/6 del original y la altura igual a ¾ de la

altura del rectángulo original.

a. ¿Qué parte de la figura original ocupa el rectángulo pintado?

b. ¿Es correcto este cálculo? 5

6 𝑥

3

4=

5 𝑥 3

6 𝑥 4? ¿Cómo lo explicarías?

51.

52.

53.

54.

Para preparar una pintura de determinado color se mezclan 10 litros de pintura blanca con 3 litros de pintura verde. a) Por otro lado, se quiere hacer una mezcla que tenga la misma tonalidad pero usando 4 litros de pintura verde. ¿Cuántos litros de pintura blanca se deberán usar en este caso? b) Si se ponen 7 litros de pintura blanca, ¿cuántos litros de pintura verde se deberá utilizar para obtener la misma tonalidad?

Si a una mezcla de 2 litros de pintura verde y 7 litros de pintura blanca se le agrega un litro de cada color, ¿se obtiene un color más claro o más oscuro?

¿Será cierto que las siguientes mezclas permiten obtener la misma tonalidad? Mezcla 1: 9 litros de pintura verde y 21 de blanca. Mezcla 2: 15 litros de pintura verde y 35 de blanca.

Se mezclaron 3 litros de pintura verde con 7 litros de pintura blanca. a) ¿Qué otras cantidades mezcladas darán la misma tonalidad? b) Escribir una fórmula que permita determinar la cantidad de litros de pintura de un color, en función de la cantidad de pintura del otro color.


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55. Completa:

a. ¿Cuántos décimos hay en 3 enteros?

b. ¿Cuántos centésimos hay en 4 enteros?

c. ¿Cuántos centésimos hay en 1 décimo?

d. ¿Cuántos milésimos hay en 1 centésimo?

e. ¿Cuántos milésimos hay en 1 décimo?

56. Escribí cada resultado como fracción decimal y como expresión decimal.

Cálculo Fracción decimal Expresión decimal

0,25 + 345 milésimos + 𝟒𝟓

𝟏𝟎=

532 centésimos + 0,07 + 𝟑𝟓

𝟏𝟎=

4,5 + 6785 centésimos + 𝟖𝟕

𝟏𝟎𝟎=

57. Indica si cada una de estas afirmaciones es cierta siempre (S), a veces (A) o nunca (N). Justificá tus

decisiones.

Para calcular la mitad de una fracción hay que duplicar el numerador

Para calcular el triple de una fracción hay que triplicar el denominador

Para calcular el doble de una fracción hay que duplicar el numerador y el

denominador.

Para calcular la mitad de una fracción hay que dividir por 2 el numerador.

Para calcular un tercio de una fracción hay que triplicar el denominador.

Para calcular la mitad de una fracción hay que duplicar el denominador.

58. En estas rectas se ubicaron varios números, entre ellos el 0 y el 1. Escribí qué números representa las

letras:


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59. En esta recta están ubicados el 0 y 𝑏

4, donde b es un número cualquier. Ubicá los números b,

𝑏

3 𝑦

𝑏

3 +

𝑏

4. Explicá cómo decidiste dónde marcarlos.

60. Resolvé estos cálculos sin usar calculadora:

a. - 4

5 . (

7

3−

5

4)

2 b. (−

3

8+ 1 )

2: (−

7

3.

3

4+ 1)

c. 7 - 23

5−

8

42 d. (0,4 . 2,5). (

1

4−

3

6)

61.

a) Decir si es V o F, para cualquier número b racional:

20% de b= 1

5 b

1

5 b = 0,5 b

𝑏

5=

20

100𝑏 = 0,2 𝑏

125 % 𝑏 = 5

4𝑏

b) Decir cuál es la respuesta correcta:

Si de un valor de b se descuenta el 30%, se obtiene ¿ 2

3𝑏 ó

7

10𝑏?


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62. Un consumidor A afirma que para lograr mayores descuentos en las compras del super (los días lunes

hace el 15 % de descuento sobre el total de la compra) , le conviene ir varias veces el mismo día

comprando en etapas. EL consumidor B no coincide con el anterior y dice que comprar toda la

mercadería en una sola etapa le permite obtener el mismo descuento.

¿Qué pensás al respecto? ¿Cómo podés justificarlo?

63. Con un descuento del 20%, el precio de liquidación de un artículo de cuero es de $ 550. ¿Cuál es el

precio original del artículo?

64. Paloma atiende un negocio que hace un descuento por pago en efectivo. Un cliente hizo una compra

de $ 1300 y pagó en efectivo. Para saber cuánto debía cobrarle, Paloma hizo 1300. 0,85= 1105 en la

calculadora y le cobro $ 1105. ¿Es posible saber, a partir de esa cuenta, cuál fue el descuento que

realizó? ¿Cómo te diste cuenta?

65. Si un cliente abona en cuotas, el comercio le hace un recargo del 15%. ¿Qué cálculo debe hacer Paloma

para calcular el recargo del 15 % sobre el total?

66. En una peluquería cobran un 20% de recargo por pagar con tarjeta de crédito. Este miércoles, el banco

que emite la tarjeta de crédito de Blanca hace un descuento del 20% sobre el valor que le cobren en la

peluquería. ¿Le conviene pagar con tarjeta de crédito? ¿El valor que termina pagando es el mismo que

si paga en efectivo?

67. La impresora Buen Trabajo está de oferta a $ 999. Claudio compra una y la paga con un billete de $

1000. El vendedor no le da el vuelto y él se va. Después va a la verdulería, compra verdura por $ 99,00;

paga con $ 100 y reclama su vuelto. ¿Por qué lo reclamó en el segundo caso y no en el primero?

68. Si utilizar la calculadora, colocá >, < o =, según corresponda:

a) 𝟏, 𝟒𝟏 … … … … … . . √𝟐

b) √𝟐𝟑 … … … … … . . √𝟐𝟗

c) √𝟔𝟒𝟒

… … … … … . . √𝟖

MANOS A LA MASA MATEMÁTICA IV


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d) √𝟓

𝟒

𝟑… … … … . √

𝟓

𝟒

e) √𝟕

𝟗

𝟑……………………√

𝟕

𝟗

69. Colocá >,< o =, según corresponda.

a. √𝒂 … … … … . . √𝒃 ; 𝒔𝒊 𝒂 > 𝒃 > 𝟎

b. √𝒂 … … … … . . √𝒂𝟓 ; 𝒔𝒊 𝟎 < 𝒂 < 𝟏

c. √𝒂 … … … … . . √𝒂𝟓

; 𝒔𝒊 𝒂 > 𝟏

70. Escribí como intervalo y marcá en la recta numérica los números x que verifican:

a. Son mayores o iguales que √2 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 10.

b. Su doble disminuido en tres unidades es mayor o igual que 5.

71. Antonio quiere destinar una región de su campo, como la que muestra la figura, para el pastoreo del

ganado. El terreno puede dividirse en un sector rectangular, en el cual el largo sea el doble del ancho y

que tenga una diagonal de 8 km, y un sector cuadrado, cuya diagonal sea de 4 km.

Necesita pasto para sembrarlo y alambre para cercarlo. ¿Qué superficie de pasto debe sembrar

Antonio? ¿Cuántos km de alambre utilizará en una vuelta de acero?

72. Indica dos pares de números irracionales cuya suma sea √73

73. ¿Existe un número que al sumarle √175

+ 9 𝑑é 6? ¿ 𝑌 3√175

?

74. Sin utilizar calculadora, coloca >, < o = , según corresponda:

a. √1

625 . √625 …………………. 1

b. √2 . √8 4

… … … … … … … … √324

c. (4

3)

1

3∶ (

4

3)

2

5 …………………….. √

3

4

10

d. √5

5… … … … … … … … … … .

1

√5


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e. 1

√3− √2 …………………………… √2 + √3

75. Si a = √3 + 1 , b= -2√2 + 3 𝑦 𝑐 = −√3 + 1 , decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o

falsas y justificar las respuestas.

a. a + b es un número irracional

b. a + c es un número irracional

c. a.c es un número entero

d. 𝑎

𝑐 es un número racional

76. Calcula la medida del segmento AD, sabiendo que

C es el punto medio de BD, AC mide 2u y AB mide

√3u, a partir de la siguiente figura:

77. Sabiendo que 𝑎 = 1+ √7

√7−1, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙á

1

𝑎+ 𝑎

78. Sabiendo que x – y = 12; √𝑥 − √𝑦 = 4, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0 , 𝑦 > 0 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙á:

a) 2.( √𝑥 + √𝑦)

b) 1

√𝑥 + √𝑦

79. Realizá las siguientes operaciones:

a. √0,0013

12− √643 =

b. √𝑎5

− 1

2 √𝑎65

+ 3√𝑎5

80. Sean ADF, BEG y CFH tres triángulos equiláteros de

lado de 2u, como muestra la figura. Si E es el punto

medio de DF y G es el punto medio de FH, calculá el

área de la región sombreada.


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PARTE TEÓRICA

NUMERACIÓN

Es evidente la imposibilidad de inventar un nombre y un signo para cada uno de los infinitos números.

¿Cómo se resolvió este problema?

Creando un conjunto finito de signos, el alfabeto, y una serie de reglas de empleo de esos signos, el código,

con el fin de expresar un número cualquiera por medio de esos signos. Es el problema de la numeración.

En la historia esencialmente han aparecido dos tipos de numeración:

Las numeraciones no posicionales

Las numeraciones posicionales.

Nuestro sistema de numeración usual es el llamado sistema de numeración decimal. Mediante el mismo,

podemos leer y escribir todos los infinitos números naturales, por “grandes” que sean.

El alfabeto del sistema es el conjunto finito : { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Cada elemento de este conjunto (base) se llama cifra y juega el mismo papel que una letra del alfabeto (no

debemos confundir cifra con número).

Ahora bien, las reglas para nombrar un número (numeración oral)no son las mismas que para escribirlo en

forma cifrada (numeración escrita).En el primer caso , nuestra numeración pertenece a las numeraciones

híbridas. En cambio, la numeración escrita, pertenece a los sistemas de numeración de posición. Esta última

característica se traduce por el hecho de que en la escritura polinómica de un número, cada cifra corresponde

a un coeficiente de una potencia de 10.

Por ej.: el número 3567, escrito en forma expandida o polinomial es: 3 . 103 + 5 . 102 + 6 . 101 + 7 . 100

Los números se escriben con cifras como las palabras se escriben con letras. Las cifras y las letras no son más

que dibujos. Si consideramos como un ejemplo cualquiera al número 2357, la cifra de las unidades es 7 pero el

número de las unidades es 2357.

ARITMÉTICA: es el estudio de los números. Incluye también el tratamiento de las técnicas necesarias para operar, (calcular), con el fin de resolver problemas que contengan información numérica, y también incluye el estudio de la estructura de los sistemas numéricos.


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I. LOS NÚMEROS NATURALES

El número aparece como noción primaria, estrechamente ligada a los objetos materiales y, como resultado de

la percepción directa del cambio producido al añadir un objeto a otro, o al quitar o agregar elementos a un

conjunto de varios objetos. Los números naturales históricamente son los primeros que surgen

Suelen expresarse (haciendo un uso abusivo en el abordaje conjuntista, de la extensión) de la siguiente

manera:

ℕ= { 1, 2, 3 , 4, 5, …}

ℕ0 denota el conjunto de los números naturales al que se le agrega el cero.

ℕ0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = ℕ U {0}

LAS OPERACIONES Y EL CÁLCULO EN ℕ

Es necesario establecer la diferencia entre operación y cálculo.

Cuando usamos en este contexto la palabra operación, significa que cuando sumamos, multiplicamos,

etc. dos números que pertenece a un determinado conjunto, el resultado da un número que

pertenece al mismo conjunto (esta definición será ampliada en el campo del Álgebra durante el

cursado del Profesorado de Matemática). Sin embargo, interesan los cálculos básicos o

Los números que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una

colección u ordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los números

naturales. Se lo simboliza con ℕ

Algunas características de los ℕ ℕ es un conjunto infinito. • El primer elemento de IN es el 1. • Cada número natural tiene un sucesor o siguiente. • Un número natural y su siguiente se denominan consecutivos. • Entre dos números naturales consecutivos no existe otro número natural. Algunas características de los ℕ0

• ℕ0 es un conjunto infinito. • El primer elemento de IN0 es el número 0


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fundamentales usando números naturales. Podemos hacer sumas, restas (cuando el minuendo es

mayor que el sustraendo), multiplicaciones y divisiones enteras con ciertas restricciones. Esos cálculos

pueden ser mentales, escritos, exactos, aproximados, reflexivos, con calculadora, con PC, …

Para los cálculos básicos hay algoritmos estandarizados o convencionales.

I.1) OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

ADICIÓN

a) CONMUTATIVA

Dados a y b que pertenecen a los números naturales ( a Ꞓ ℕ y b Ꞓ ℕ )

a + b = b + a

b) ASOCIATIVA

a Ꞓ ℕ , b Ꞓ ℕ y c Ꞓ ℕ :

( a + b) + c = a + ( b + c )

c) ELEMENTO NEUTRO

En la adición de naturales el elemento neutro es el cero.

a Ꞓ ℕ

a + 0 = 0 + a = a

MULTIPLICACIÓN

La suma o adición es una OPERACIÓN en ℕ . Ello significa que al sumar dos números naturales cualesquiera , el resultado también es un número natural.

La multiplicación es una OPERACIÓN en ℕ . Ello significa que al multiplicar dos números naturales cualesquiera, el resultado también es un número natural.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN


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a) CONMUTATIVA

Dados a y b que pertenecen a los números naturales ( a Ꞓ ℕ y b Ꞓ ℕ )

a . b = b . a

b) ASOCIATIVA

a Ꞓ ℕ , b Ꞓ ℕ y c Ꞓ ℕ :

( a . b) . c = a . ( b . c )

c) ELEMENTO NEUTRO

En la multiplicación de naturales el elemento neutro es el uno.

a Ꞓ ℕ

a . 1 = 1.a = a

d) DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA ADICIÓN

a Ꞓ ℕ , b Ꞓ ℕ y c Ꞓ ℕ

a. ( b + c) = a.b + a.c

LAS RESTAS EN NATURALES

a Ꞓ ℕ , b Ꞓ ℕ y d Ꞓ ℕ

a – b = d ⟺ a = d + b con a ≥ b

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

Dados dos números naturales a y b, llamados minuendo y sustraendo, se llama diferencia a-b, a un número natural c, si existe, tal que sumándole el sustraendo da el minuendo.

a) ¿La resta es una operación en naturales? Da razones.


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LAS DIVISIONES EXACTAS EN NATURALES

a Ꞓ ℕ , b Ꞓ ℕ y c Ꞓ ℕ

a : b = c significa que a = c . b

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN EN NATURALES - En la división se puede descomponer el divisor en factores para resolverla en dos o más

pasos.

Por ejemplo, para hacer 3.288: 24 es correcto hacer 3.288: 12 y dividir por 2 el resultado, porque = 12 x 2. - La propiedad distributiva es válida en la división si se descompone el dividendo en sumas o

restas, y se distribuye el divisor.

Por ejemplo, 2.884: 7, se descompone el dividendo como 2.800 + 70 + 14 para resolver 2.800:7 + 70:7 + 14:7 Sin embargo, en la división no se cumplen algunas propiedades que sí se cumplen en la multiplicación. - La propiedad distributiva no es válida si lo que se descompone en sumas o restas es el

divisor.

Por ejemplo, 130: 26 no da lo mismo que 130: 13 + 130: 13.

- La propiedad asociativa no es válida, porque al agrupar dos divisiones de diferente

manera, el resultado no es el mismo.

Por ejemplo, (3.288: 12):2 y 3.288: (12:2) da resultados distintos.

- Tampoco se cumple la propiedad conmutativa, ya que al cambiar el orden de los números

que se dividen, el resultado cambia.

No es lo mismo 125: 5 que 5: 125

b) ¿La división es una operación en naturales? Da razones.

Dados dos números naturales a y b, con b ≠ 0, llamados dividendo y divisor, respectivamente, se llama cociente a/b (a: b) , a un número natural c, si existe, tal que dé el dividendo cuando se lo multiplica por el divisor.


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DIVISIÓN ENTERA EN NATURALES

MÚLTIPLO Y DIVISOR DE UN NÚMERO

Definición de múltiplo. El número natural m se dice múltiplo del número natural n si existe en N el cociente

m/n. En tal caso se dice también que m es divisible por n.

Así, pues, 15 es múltiplo de 3 porque existe en ℕ el cociente 15/3, que es 5. En cambio 20 no es múltiplo de 3

porque no existe en ℕ el cociente 20/3. El cero es múltiplo de cualquier número natural, excepto de sí mismo,

pues el cociente 0/n existe en y es 0, si n es distinto de 0; en cambio el cociente 0/0 no existe. También se

puede decir que 15 es divisible por 3 y que 0 es divisible por cualquier número natural no nulo.

Al dividir un número natural por otro, se obtiene un cociente y un resto.

Siempre se verifica que

El resto es menor que el divisor y puede ser cero.

TEOREMA DE LA DIVISIÓN

d) ¿A qué se lo denomina número primo?.

e) E)

f) ¿Cuándo un número es par? ¿e impar?

g) E)


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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN NATURALES

Multiplicación de potencias de igual base

Observa el siguiente ejemplo:

23 . 23 . 23 . 23 = 23+3+3+3 = 2 3.4 = 212

Observa que el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la suma de los exponentes iniciales.

Cociente de potencias de igual base

Veamos cómo se haría un cociente de potencias de igual base:

58 : 54 = 58 - 4 = 54 = 625

Cuando un número se multiplica por sí mismo, se lo puede escribir como potencia. Si multiplicamos 2 x2x2x2= 24 que se lee “2 elevado a la cuarta “ o “ 2 a la cuarta”

base 24 exponente

El exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Si el exponente es 2, se llama cuadrado. Si el exponente es 3, se llama cubo. La raíz cuadrada de un número natural es otro número natural que, elevado al cuadrado, es igual al primero. Por ejemplo, la raíz cuadrado de 121, es 11 , porque 112= 121 La raíz cuadrada se simboliza así

c) ¿Qué puede decirse cuando es una raíz cúbica, cuarta,……de números naturales?


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Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la resta de los exponentes iniciales.

Potencia de una potencia

El resultado de calcular la potencia de una potencia es una potencia con la misma base, y cuyo exponente es la el producto de los dos exponentes. Por ejemplo:

(23)5 = 23.5 = 215

Distributiva respecto a la multiplicación y a la división

Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia hay dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo:

Podés primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia:

(4·5)4 = 204= 160000

O bien podés elevar cada número por separado al exponente y después multiplicar los resultados.

(4·5)4 = 4 4 . 54 = 256·625 = 160000

De forma análoga podes proceder si se trata del cociente de dos números elevado a la misma potencia.

(3 : 2)4 = 1, 5 4 = 5, 0625

(3 : 2)4 = 34 : 24 = 81 : 16 = 5,0625

Observá que de las dos formas obtenés el mismo resultado. Ahora bien, no siempre será igual de sencillo de las dos formas. Así que pensá de antemano qué método va a ser más conveniente para realizar el cálculo.

NO distributiva respecto a la suma y a la resta

No se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

Por ejemplo:

(6 + 3)2 ≠ 62 + 32 porque (6 + 3)2 = 92 = 81

62 + 32 = 36 + 9 = 45

81 ≠ 45

(10 - 6)2 ≠ 102 - 62 porque (10 - 6)2 = 42 = 16

102 - 62 = 100 - 36 = 64

16 ≠ 64

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:

Ejemplo

= =


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Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del

denominador:

Ejemplo

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el

radicando:

Ejemplo

=

II. NÚMEROS ENTEROS ( ℤ es el símbolo proviene del alemán Zahlen, que significa número)

Al asignar a cada número natural un opuesto, respecto del cero, se obtienen los números negativos. Los números negativos, junto con IN0 forman el conjunto de los números enteros, que simbolizamos con la letra ℤ .

•Los naturales, los negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros que simbolizamos con.

ℤ= ℕ U {0} U {..., -3, -2, -1} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , ....}


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Representación en la recta numérica de los ℤ

La recta numérica es la imagen geométrica de los números enteros. Es decir , una recta numérica con

graduación entera.

El punto es la gráfica del número. El número es la abscisa del punto. Suele decirse “punto 2”, pero es una locución abreviada que significa: “punto de la recta numérica que representa al entero 2”

A partir de las características de números naturales, completa comparando las características de los ℤ y ℕ

Ubicá en la recta los números a+1; -a y a + 1.


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I.2. Operaciones en el conjunto ℤ

a) CONMUTATIVA

Dados a y b que pertenecen a los números naturales ( a Ꞓ ℤ y b Ꞓ ℤ )

a + b = b + a

b) ASOCIATIVA

a Ꞓ ℤ , b Ꞓ ℤ y c Ꞓ ℤ :

( a + b) + c = a + ( b + c )

c) ELEMENTO NEUTRO

En la adición de enteros el elemento neutro es el cero.

a Ꞓ ℤ

a + 0 = 0 + a = a

d) ELEMENTO OPUESTO

Cada número entero tiene su opuesto, excepto el cero.

a Ꞓ ℤ y - a Ꞓ ℤ entonces : a + ( - a ) = 0

Al sumar un número entero y su opuesto, el resultado es el elemento neutro de la adición: el cero

La suma o adición es una OPERACIÓN en ℤ. Ello significa que al sumar dos números enteros cualesquiera , el resultado también es un número entero.


La adición en ℤ enteros es una ampliación de la adición en ℕ, y que resuelva el problema de las restas. Se emplea un vocabulario similar al que conocés:

a + b es una suma de números eneros a,b. a es el primer sumando, o primer término de la suma.

b es el segundo sumando, o segundo término de la suma.


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La resta en ℤ

Sabemos que todo número entero tiene su opuesto. Por ejemplo, el opuesto de 3 es (-3), es decir, - (+3)= -3; el

opuesto de (-2) es 2 y se anota –(-2) = 2.

Cuando decimos que un número es el opuesto de otro, NO estamos afirmando que ese opuesto es un número

entero negativo. No hay que confundir el papel que cumple el signo “-“. A veces, ese signo sirve para indicar un

número entero negativo, otras veces significa que se trata del opuesto de un número; también sabemos que el

mismo signo se usa para señalar una resta en el conjunto ℕ.

Suma algebraica

A toda sucesión de sumas y restas la llamaremos suma algebraica. Ej.: - (-3) + 4 + (-2) – (+5) -1 + (- 3) =

La sustracción en ℤ es la operación inversa de la adición

Dados dos números enteros cualesquiera a,b, la suma a + (-b) es siempre un único número entero. Esta escritura se puede abreviar así: a + (-b) = a – b Esta es la resta en enteros El primer número se llama minuendo y el segundo sustraendo. Por otra parte: equivalente

a-b= c ⟺ c + b = a ej.: (-5) – (-4) = (-1) ⟺ (-1) + (-4) = (-5)


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Funciones de los signos + y –

(1) Una de ellas es la de establecer si un número dado es positivo o negativo; por ejemplo: -3 es negativo y +4 es positivo. Pero por convención el signo positivo se omite, de modo que en vez de +4 se escribe simplemente 4. Todo número cuyo signo no aparece escrito es positivo, y entonces se dice que el signo + está sobrentendido.

(2) La otra función de los signos + y – es la de designar operaciones: si uno de estos signos aparece colocado entre números o expresiones numéricas, designan a la operación de suma o a la de resta. Por ejemplo, si se escribe 2+5 el signo + que allí aparece designa a la operación de suma; y para esta suma los sumandos son los números naturales 2 y 5, los cuales, considerados como enteros, son positivos. Si quisiéramos poner en evidencia que son positivos, cosa que no se suele hacer, escribiríamos +2+(+5). En esta escritura debe quedar claro que el primer signo + es un signo de positividad que afecta al número 2 y no es un signo de suma; el segundo signo + es un signo que corresponde a la operación de suma y no es un signo de positividad; y el tercer signo + vuelve a ser un signo de positividad y no es un signo de suma. El signo + como signo de positividad se omite siempre; en cambio el signo – como signo de negatividad no se omite nunca. Por eso, si quisiéramos expresar la suma de los números negativos -2 y -5 deberíamos escribir -2+(-5).

(3) La tercera función corresponde solamente al signo –, para la existencia del opuesto.

Introducción de paréntesis. El paréntesis se usa en la expresión -2+(-5) debido a otra convención, según la cual está prohibido colocar dos signos + o – seguidos, es decir que, en una fórmula aritmética, están prohibidas las escrituras + +, + –, – + y – –. Entonces, como no es correcto escribir -2+-5 nos vemos en la necesidad de introducir un paréntesis que abarque a -5 y así obtenemos –2 + (-5).

Sintetizando…


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SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS

SUMAS ALGEBRAICAS CON LAS CUATRO OPERACIONES COMBINADAS

Como estamos operando en ℤ, si se plantea una división hay que asegurarse de que sea posible efectuarla en

ℤ. Por ejemplo, 15:6 no tiene sentido en ℤ pues no existe ningún número entero que multiplicado por 6 dé 15.

También debe evitarse que el divisor sea 0.

Hechas estas aclaraciones, consideremos expresiones con operaciones combinadas teniendo en cuenta el uso

de paréntesis. Empecemos por el siguiente ejemplo:

-5+3.(7-10)-4.(-14+6:(-2)) (**)

Con lo que hemos estudiado hasta ahora podemos transformar cualquier suma o resta en la que figuren paréntesis en una suma o resta sin paréntesis. Lo veremos a través de ejemplos.

(a) -3+(+2) = -3+2 pues el segundo signo + se puede omitir, ya que +2 = 2. Se ha transformado una sucesión de dos signos + en un solo signo + y se ha quitado el paréntesis.

(b) -3+(-2) = -3-2 pues esta resta se puede resolver sumando al minuendo el opuesto del sustraendo, que es precisamente lo que figura en el primer miembro de la igualdad. Se ha transformado una sucesión de un signo + y un signo – en un solo signo menos y se ha quitado el paréntesis.

(c) -3-(+2) = -3-2 pues el signo + que precede a un número se puede omitir (+2=2). Se ha transformado una sucesión de un signo – y un signo + en un solo signo menos y se ha quitado el paréntesis.

(d) -3-(-2) = -3+2 pues para restar se puede sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

Se trata de un caso similar al del Ejemplo 1 dado más arriba. Se ha transformado una

sucesión de dos signos menos en un solo signo + y se ha quitado el paréntesis.

Llegamos así a otra regla práctica: Primera regla de supresión de paréntesis. Si en

una suma o resta en Z figura un paréntesis que da lugar a una sucesión de dos signos +

o – , se puede suprimir el paréntesis y, si había una sucesión de dos signos iguales se

sustituyen éstos por un solo signo +, y si había una sucesión de dos signos distintos se

sustituyen éstos por un solo signo menos. Lo mismo vale si el paréntesis se presenta al

comienzo de la expresión.


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Ante todo conviene aclarar que, entre las cuatro operaciones fundamentales, la suma y la resta son las

dominantes. La expresión (**) queda dividida en términos por medio de los signos + y – que no estén dentro

de paréntesis. Recorramos la expresión de izquierda a derecha. El primer signo de operación que aparece es el

signo + colocado entre -5 y 3. Este signo no figura dentro de un paréntesis, luego divide en términos a la

expresión total: el primer término abarca a todo lo que lo antecede, que en nuestro caso es -5; y el segundo

término se extiende hacia la derecha hasta el próximo signo + o – que no esté contenido en un paréntesis;

desechamos el signo menos colocado entre 7 y 10 porque se encuentra dentro de un paréntesis; luego

llegamos al signo menos que precede a 4. Este signo no figura dentro de un paréntesis, luego marca el final del

segundo término, que es entonces +3.(7-10). Para hallar el tercer término seguimos desplazándonos hacia la

derecha y no encontramos ningún otro signo + o – que esté libre de paréntesis. Luego, el tercero y último

término es -4.(-14+6:(-2)). Para llegar al resultado final de la expresión (**) conviene resolver por separado

cada uno de los términos:

Primer término: -5

Segundo término: +3.(7-10) = 3.(-3) = -9

Tercer término: -4.(-14+6:(-2))

Obsérvese ante todo que el interior del paréntesis es una expresión que a su vez tiene dos términos: -14 y 6:(-2). Se nos presentan dos caminos: o bien aplicamos la propiedad distributiva, distribuyendo -4 entre esos dos términos, o bien hallamos el resultado de la expresión que figura dentro del paréntesis y luego lo multiplicamos por -4. Elegimos esta última posibilidad. Lo que hay dentro del paréntesis se resuelve así:

-14+(-3) = -17.

Este resultado se multiplica por -4 y se halla así el resultado buscado. En resumen:

-4.(-14+6:(-2)) = -4.(-17) = 68

Ahora colocamos uno a continuación del otro los resultados de cada término de la expresión (*) con

sus respectivos signos y obtenemos:

– 5 – 9 + 68 = 54.

Éste es el resultado final de la expresión (*).


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Ahora vamos a expresar con palabras, de manera precisa, el procedimiento que hemos aplicado en este

ejemplo.

Definición. Llamamos signos dominantes a los signos de suma y de resta: + y – .

Definición. Llamamos términos de una expresión a cada una de las partes en que ella queda dividida por los

signos dominantes que no figuren dentro de paréntesis. Los términos se numeran de izquierda a derecha:

primero, segundo, etcétera. Lo abarcado por cada par de paréntesis funciona como un solo bloque.

Regla de operaciones combinadas. Para Hallar el resultado de una expresión en la que figuren números

enteros afectados por operaciones de suma, resta, multiplicación y división, se debe resolver por separado

cada uno de los términos y luego efectuar con ellos las operaciones de suma o de resta que estén indicadas.

Dentro de un paréntesis puede haber una subexpresión que contenga a su vez diversos términos: se debe

proceder con ella del mismo modo que con la expresión total. Si un paréntesis está multiplicado por un factor,

hay dos maneras de Hallar el resultado de esta multiplicación: la primera consiste en aplicar la distributividad,

multiplicando al factor por cada uno de los términos internos del paréntesis; la segunda consiste en Hallar el

resultado de las operaciones indicadas dentro del paréntesis y luego multiplicar ese resultado por el factor en

cuestión.

Por el hecho de que las operaciones de suma y resta son dominantes, toda expresión como (**), en la que se

pueden distinguir varios términos, es considerada como suma algebraica porque consiste en la suma

algebraica de sus términos.

LA MULTIPLICACIÓN

La multiplicación es una OPERACIÓN en ℤ . Ello significa que al multiplicar dos números

naturales cualesquiera , el resultado también es un número entero.

Se usa el mismo vocabulario que en ℕ.

a. b = c {

𝒂 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒃 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓

𝒄 𝒆𝒔 𝒔𝒖 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐


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a) CONMUTATIVA

Dados a y b que pertenecen a los números enteros ( a Ꞓ ℤ y b Ꞓ ℤ)

a . b = b . a

b) ASOCIATIVA

a Ꞓ ℤ , b Ꞓ ℤ y c Ꞓ ℤ :

( a . b) . c = a . ( b . c )

c) ELEMENTO NEUTRO

En la multiplicación de enteros, el elemento neutro es el uno.

a Ꞓ ℤ

a . 1 = 1.a = a

d) DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA ADICIÓN Y DE LA SUSTRACCIÓN.

a Ꞓ ℤ , b Ꞓ ℤ y c Ꞓ ℤ

a. ( b + c) = a.b + a.c ; a . (b – c) = a.b – a.c

e) ELEMENTO ABSORBENTE

Al multiplicar un número a ≠ 0 por 0, el resultado siempre da cero.

a.0 = 0

MÚLTIPLOS Y DIVISORES EN ℤ


¿Qué situaciones se pueden presentar al multiplicar dos números enteros?

- Que los factores a y b sean ambos positivos

- Que los factores a y b sea ambos negativos

- Que los factores a y b sean de distinto signo

- Que uno de los factores, por lo menos, sea 0.

¿Qué conclusiones podemos obtener?


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POTENCIACIÓN

LA DIVISIÓN EXACTA EN ℤ

Dados dos números enteros a y b, llamados respectivamente dividendo y divisor , se llama cociente a:b ó a/b, a un número entero c, si existe, tal que da como resultado el dividendo, si se lo multiplica por el divisor, o sea, a = c . b , siendo que b ≠ 0

a: b = c ⟺ a = c. b

La potenciación es una OPERACIÓN en ℤ . Si a es un número positivo, entonces: a.a.a. … . a , n veces , se escribe an. La base es a, y el exponente es n. Si a es un número negativo, entonces (-a) . (-a) . (-a) . … . (-a) , n veces, también se escribe (-a)n. La base es (-a), y el exponente es n. Si a es 0 y n < 0, entonces: 0n = 0 Si a es un entero no nulo, y n=0, entonces a0= 1, Si a es un número entero cualesquiera y n= 1, entonces a1= a

¿La división en ℤ , es una operación?

Lo mismo que en ℕ , a ∈ ℤ ; b ∈ ℤ; 𝒎 ∈ ℤ y m < 0 ; p ∈ ℤ 𝒚 𝒑 > 𝟎 am . ap = am + p ; ( a .b)m = am . bm ; (am )n = am.n

¿ Se aplicará las mismas definiciones para los múltiplos y divisores en ℤ , que las aplicadas para los ℕ?


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DIVISIÓN ENTERA EN ℤ

No debe confundirse la división exacta con la división entera o, euclidiana.

Si los números enteros a,b, con b ≠ 0, son positivos ,entonces no agregamos nada nuevo a lo que

sabemos sobre la división entera con los números naturales.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO EN ℤ

Se trata de hallar múltiplos comunes a varios números dados. Por ejemplo, dados los números 2 y 3, Hallar un

número que sea a la vez múltiplo de 2 y de 3. Hallar una solución es muy sencillo: se multiplican los números

dados entre sí. Como los datos son números enteros, al multiplicarlos entre sí se obtiene un número que es

múltiplo de cada uno de ellos, o sea que es un múltiplo común. En nuestro ejemplo tal múltiplo común es 6.

Por supuesto, éste no es el único múltiplo común: cualquier múltiplo de 6 es también múltiplo común a 2 y 3;

por ejemplo, 12, 18, 24, 30, 36, etc., son múltiplos comunes a 2 y 3. Dados los números enteros a1, a2, ..., an,

No obstante, hay cocientes que pertenecen a ℤ. ¿Qué condición deben cumplir a y b?: a debe ser el producto de b por otro factor. Entonces ¿qué se puede concluir sobre los signos de los números? También podemos analizar la siguiente propiedad: ¿Qué ocurre si se multiplican a y b, por un mismo número entero no nulo? Sea a:b = c. Si se multiplican a y b por un mismo número entero no nulo, el cociente no cambia. En otros términos, si a:b=c, se tiene también ( a.m) : (b.m) = c, siendo m un número entero , distinto de 0.

Pero, es necesario extender las situaciones para cualquier número entero, siempre que el segundo, no sea nulo.

1. Sean a= 17 y b= 3 ¿Cuál es el cociente entero o euclideano de 17:3?

2. Sean a= -17 y b= 3 ¿Cuál es el cociente entero o euclideano de (-17) : 3?

3. Sean a = 17 y b= (-3). ¿Cuál es el cociente entero o euclideano de 17: (-3) ¿

Definición de división euclidiana o división entera en ℤ …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………


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hay infinitos múltiplos comunes a todos ellos, como se ve formando el producto a1.a2...an, que ya es un

múltiplo común, y multiplicando a éste por un número entero k cualquiera, obteniendo k.a1.a2...an. Dando

valores sucesivos a k se obtienen infinitos múltiplos comunes. Téngase en cuenta que k puede ser positivo,

nulo o negativo. Pero puede haber todavía más múltiplos comunes. Por ejemplo, si en vez de partir de 2 y 3

partimos de 4 y 6, formamos el producto 4.6 = 24 y, procediendo como antes, obtenemos una lista infinita de

múltiplos comunes a 4 y 6 considerando los múltiplos de 24:

24, 48, 72, 96, ..., 0, -24, -48, -72, -96, ...

Pero en esta lista no están todos los múltiplos comunes a 4 y 6. Por ejemplo, no está 12, que también es un

múltiplo común porque 12 = 4.3 y 12 = 6.2. Tampoco están en esa lista los múltiplos impares de 12, o sea los

que resultan de multiplicar a 12 por un número impar, como 36, 60, 84, 108, etc. ¿Hay algún método para

Hallar todos los múltiplos comunes a varios números dados? Sí: es el método del mínimo común múltiplo.

Obsérvese que se exige que el mínimo común múltiplo sea positivo y no nulo. En el caso de 4 y 6, que

acabamos de examinar, se ve fácilmente que el mínimo común múltiplo es 12. En efecto: ya vimos que 12 es

múltiplo común de 4 y 6 y además es no nulo y positivo. ¿Es el menor de todos los que cumplen estas

condiciones? Una simple inspección nos muestra que la respuesta es afirmativa, porque su existiera algún

múltiplo común positivo menor que 12 tendría que estar comprendido entre 6 y 11, ya que un número positivo

menor que 6 no puede ser múltiplo de 6. Ahora bien, los números comprendidos entre 6 y 11 no son múltiplos

comunes a 4 y 6, porque entre ellos el único múltiplo de 6 es 6, que no es múltiplo de 4, y el único múltiplo de

4 es 8, que no es múltiplo de 6. Entonces el mínimo común múltiplo buscado es 12. Este ejemplo nos ayuda a

encontrar una regla práctica para calcular el mínimo común múltiplo. Veamos primeramente el caso en que los

números dados son todos positivos no nulos.

Regla práctica 1. Si se dan varios números positivos no nulos se toma el mayor de ellos y se observa si es

múltiplo de todos los demás; si lo es (como en el caso de 2, 4 y 8) ese número (el 8) es el mínimo común

múltiplo. Si no es múltiplo de todos los otros (como en el caso de 2, 4 y 6), se multiplica al mayor por 2 (en

Llamamos mínimo común múltiplo de los números enteros no nulos a1, a2, ..., an, al menor número positivo

no nulo que sea múltiplo común a todos ellos.


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nuestro ejemplo, 6.2 = 12) y se observa si este producto es múltiplo de todos los demás números dados; si lo es

(como ocurre en este ejemplo) entonces ese número (el 12) es el mínimo común múltiplo. Si no es múltiplo de

todos los demás, se multiplica al mayor de los números dados por 3 y se observa si este nuevo producto es

múltiplo de todos los otros números; si no se obtiene una respuesta afirmativa se prueba multiplicando por 4, y

si es necesario por 5, por 6 y así siguiendo hasta obtener un producto que sea múltiplo de todos los números

dados. El primer número hallado de este modo que sea múltiplo de todos los números dados es el mínimo

común múltiplo.

La aplicación de esta regla es muy sencilla si los números dados no son muchos y además son relativamente

pequeños. Por ejemplo, dados los números 4, 6 y 9, tomamos el mayor, que es 9, y observamos si es múltiplo

de todos los otros. Se ve que falla con ambos. Entonces multiplicamos 9.2 = 18 y sometemos este producto a la

misma prueba: falla con el 4. Multiplicamos 9.3 = 27 y probamos con este producto: falla con ambos.

Multiplicamos 9.4 = 36 y probamos con este producto: vemos que es múltiplo de 4 y de 6. Luego, 36 es el

mínimo común múltiplo buscado.

Si en vez de darnos tres números nos dan cien mil y si todos ellos son mayores que un millón, la tarea se torna

larga y trabajosa, pero teóricamente la regla da resultado siempre.

En lo que sigue abreviaremos la denominación “mínimo común múltiplo” mediante el símbolo “m.c.m.”.

Por ejemplo, 7 es primo porque sólo es divisible por 7, por -7, por 1 y por -1. También es primo -11, porque sólo

es divisible por -11, por 11, por 1 y por -1.

Obviamente, si un número entero es primo su opuesto también lo es.

Regla práctica 2. Si todos los números dados son enteros positivos no nulos y primos, su m.c.m. es el producto

de todos ellos.

Un número entero es primo si es divisible solamente por sí mismo, por su opuesto, por 1 y por -1.


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Es decir que en este caso no vale la pena aplicar la Regla práctica 1: directamente se multiplican entre sí todos

los números dados. Por ejemplo, si tales números son 5, 7 y 11, que son todos primos, su m.c.m. es su

producto: 5.7.11 = 385

La Regla 1 se puede enunciar sintéticamente así:

Se entiende que, en este enunciado, el primer múltiplo de un número x que sea múltiplo de todos los demás es

el primero que aparezca en la lista ordenada: x.1, x.2, x.3, ..., x.n, ... que cumpla esa condición.

Veamos ahora qué sucede si alguno de los números dados es negativo. Para considerar este caso será útil

introducir previamente el concepto de valor absoluto.

El valor absoluto de un número se simboliza colocando ese número entre barras verticales; el valor absoluto de

n se designa por |n|.

Ejemplos: |5| = 5, |-3| = 3, |0| = 0.

Observación. El valor absoluto de un número es siempre positivo.

Ahora estamos en condiciones de ampliar las reglas prácticas 1 y 2 para cubrir también los casos en que haya

números negativos. Las respectivas reglas ampliadas serán designadas mediante los mismos números con tilde,

o sea 1´ y 2´.

Regla práctica 1´. Para Hallar el m.c.m. de varios números enteros no nulos (positivos o negativos) se toma el

de mayor valor absoluto y se observa si es divisible por los otros; si lo es, el valor absoluto de ese número es el

m.c.m. buscado; si no lo es, a ese valor absoluto se lo multiplica por 2 y se observa si este producto es divisible

por todos los números dados, si lo es, ese producto es el m.c.m.; si no los es, al valor absoluto considerado en

primer término se lo multiplica por 3 y se efectúa la misma verificación; si es necesario, se prosigue

El mínimo común múltiplo de varios números enteros positivos no nulos es el primer múltiplo del

mayor de los dados que sea múltiplo de todos los otros.

Se llama valor absoluto de un entero positivo a ese mismo número, y valor absoluto de un entero negativo

a su opuesto.


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multiplicando al mismo valor absoluto inicial por 4, por 5, etc., hasta hallar un número que sea múltiplo de

todos los dados. Ese número es el m.c.m. buscado.

Ejemplo. Si los números dados son 2, -15, -5 y 10, se ve que el de mayor valor absoluto es -15. Entonces se

toma su valor absoluto, que es 15, y se observa si es divisible por todos los demás. No lo es, pues falla la

división por 2; entonces multiplicamos por 2 el valor absoluto hallado previamente, o sea 15, y obtenemos 30.

Se observa si este número es divisible por todos los dados, o sea por 2, -5 y 10. (No hace falta averiguar nada

respecto de -15 porque, de acuerdo, con el método usado, el número que obtenemos al multiplicar por 2, por

3, etc., es automáticamente múltiplo de -15). Y efectivamente, 30 es divisible por 2, por -5 y por 10. Luego, 30

es el m.c.m. buscado.

Regla práctica 2´. Si todos los números dados son enteros primos (positivos o negativos) no nulos, su m.c.m. es

el valor absoluto del producto de todos ellos.

Ejemplo. Si los números dados son 2, -3 y 7, se ve que todos ellos primos; luego su m.c.m. es el valor

absoluto del producto, o sea que es |2.(-3).7| = |-42| = 42.

¿Qué pasa si uno de los números dados es 0?

Por ejemplo: si los números dados son 4, -7, 2, 0 y -1, hay que tener en cuenta que el único múltiplo de 0 es 0,

porque 0 multiplicado por cualquier número es 0. Pero, por la misma razón, 0 es múltiplo de todos los otros

números, luego 0 es múltiplo común y además es el único múltiplo común. Parecería que, por ser el único

múltiplo común y ser el menor de todos los números positivos, es también el mínimo común múltiplo. Pero

esto no está de acuerdo con la definición general que hemos dado, la cual exige, en primer lugar, que todos los

números dados sean no nulos, y además que el m.c.m. sea también no nulo. Luego, tenemos dos opciones: o

bien declaramos que en este caso no hay m.c.m., o bien damos una definición especial para este caso diciendo

que, si uno de los números dados es 0, el m.c.m. es 0. Adoptaremos esta última posibilidad:

Por definición, si uno de los números dados es 0, el m.c.m. es 0.


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LOS NÚMEROS RACIONALES : ℚ (el símbolo proviene de quotient, "cociente" en varios idiomas

europeos).

Dados dos enteros a y b, hay un número c , tal que b.c = a.

Veremos:

Para a= 105 , b= 7, ………es c = 15 ,siendo 15. 7 = 105 . El cociente 15 también se escribe: 105

7

Para a= 5, b= 4, ……..es c = 1,25 , siendo 4. 1,25 = 5 . El cociente1,25 se puede escribir como 5

4

Para a= 2, b= 3, es c= 0,666… Com aproximación al milésimo , es 0,667. El cociente c también se

escribe como 2

3 . Entonces 2 = 3 .

2

3

Los números enteros son abstracciones del proceso de contar (¿cuántos hay?)los objetos de colecciones finitas, tanto en un sentido como en otro. Pero en la vida diaria, no es suficiente el uso de los números para contar objetos individuales. Es necesario que haya ciertos números que sirvan para medir cantidades de magnitudes, tales como longitudes, áreas, volúmenes, etc. Asì surgen números que son una creación del hombre: los números racionales.

Los dos primeros cocientes son números decimales, pues se puede escribir bajo la forma d = n. 10p , con n y p ,enteros. Estos números aparecen al dividir los enteros a y b, llegando a resto 0. A su vez los distinguimos diciendo que el primero (c=15) es un decimal entero, en tanto que el segundo (1,25) es un decimal no entero. El tercer cociente no es un número decimal. En efecto, el resto de la división no es 0. No se puede escribir bajo la forma de un número decimal. ¿Qué clase de número es?. Es un número racional.


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La escritura 𝒂

𝒃 (que se lee “ a sobre b “) se llama fracción de numerador a y de denominador b. Por

dificultades de la escritura, a veces se pone a/b.

- Puesto que , para todo entero a, a = a . 1, se puede escribir a= 𝐚

𝟏 ; el número entero a es un

número racional.

- 25,4 . 10 = 254 por lo tanto 25,4 = 254

10 . El número decimal 25,4 por lo tanto , es un racional.

- Para todo número decimal podrías proceder de la misma manera, multiplicando por una

potencia de 10 convenientemente elegida.

DISTINTAS ESCRITURAS

Todo número racional admite distintas escrituras, o sea: diferentes presentaciones. Se puede usar la escritura

posicional, (en el sistema decimal) y también la escritura fraccionaria.

Conclusión: Los números naturales, los números enteros y los números decimales son números racionales. Pero también hay números racionales que no son de ninguna de esas categorías de números : son los números racionales periódicos.

Características de los números racionales - Representa los resultados de las mediciones

- Suprime las restricciones a la división (excepto por cero)

- Es un conjunto infinito

- Es un conjunto denso: entre dos racionales siempre hay otro número racional

Siendo a y b, dos enteros ( b≠ 0) , el número c, tal que b.c=a, es el cociente de a por b, y se

escribe a:b, ó 𝑎

𝑏 .

c es un número racional. c = 𝒂

𝒃 significa que b.c = a

Resulta de esta definición que b . 𝒂

𝒃= a


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Sistematizando , podemos considerar:

a) Números racionales decimales

Éstos a su vez pueden ser o no, enteros.

Con los números racinales decimales es indiscutible la ventaja que tiene la escritura posicional, o sea, una

escritura cifrada, condensada que respeta las características de nuestro sistema de numeración.

Si los decimales no son enteros, adoptamos el uso de un signo que separa la parte entera de la parte

decimal. Nuestro país, lo mismo que otros, como Francia, recurren al uso de la coma decimal. En cambioEE

UU emplea el punto decimal. Lo mismo ocurre con calculadoras . En ese sentido no existe ningún

problema. Lo único que hay que hacer es respetar el convenio, puesto que el concepto de parte entera y

de parte fraccionaria o decimal , no varía. Es una cuestión de notación, no es conceptual.

Si el número está dado, mediante la escritura posicional con coma, hay infinitas escrituras para ese

número. Por ejemplo, el número decimal 1,2 se puede escribir como 1,20 ; 1,200 ; … o sea, nada impide

que agreguemos tantos ceros como se quiera, después de la coma decimal. Es una propiedad demostrable.

Si los decimales son enteros, lo más corriente es que se escriba sin la coma decimal, pero cuando se hacen

cálculos puede ser conveniente que se tenga en cuenta. Por ej.: 2 ; 2,0 ; 2,00 ; …; etc.

Tanto para números decimales como para números enteros hay distintas formas de representación:

- Notación expandida (polinómica) ………………………………. 3 . 102 + 5 . 10 + 4 . 10-1

- Notación mixta…………………………………………………...………. 350 4

10

- Notación aditiva………………………………………………………….. 300 + 50 + 0 + 0,4

- Notación multiplicativa……………………………………………….. 3 . 100 + 5 . 10 + 4 . 0,1

- Notación científica ………………………………………………………. 3,504 . 102

- Notación fraccionaria………………………………………………….. 3504

10

La notación expandida y la notación científica son notaciones exponenciales.

b) Puede ser que el racional no sea decimal.


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En este caso, conviene su escritura fraccionaria, porque en su escritura posicional hay infinitas cifras

decimales, caracterizadas por presentar “períodos”. Pero si se la debe usar, hay que aproximar (redondear)

y , a veces, “truncar”.

Lo importante es reconocer las escrituras fraccionarias de un mismo número.

Fracciones equivalentes

Representación de números racionales en la recta numérica.

La recta numérica es una recta en la cual se han elegido dos puntos diferentes a los cuales se les han asociado

los números 0 y 1. Queda así determinado el intervalo [0; 1]. Representar una fracción b/a en la recta significa

asociar a la fracción un punto de la misma. Para ello se divide el intervalo [0; 1] en a segmentos congruentes de

los que se toman b.

¿Cuál es la diferencia entre redondear y truncar? ¿Qué reglas se tienen en cuenta para redondear?

Para la notación fraccionaria se usa el símbolo fracción. La fracción no es lo mismo que el número. Así

por ejemplo, el símbolo 𝜋

2 es una fracción pero no es un número fraccionario. Aunque sabemos que se

suele usar la denominación “fracción” para hablar de números fraccionarios.

Algunas fracciones son equivalentes aunque una no se obtenga multiplicando el numerador y el

denominador de la otra fracción por el mismo número. Por ej.: 8

10 𝑦

12

15 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 y se puede

verificar de muchas maneras: 10 es 1 y 1

4 de 8, y 15 es 1 y

1

4 de 12; o

8

10 se puede expresar como 0,8 y 12:

15 = 0,8 Hay fracciones equivalentes que sí se pueden obtener multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador de la otra fracción por el mismo número. Por ej.: al multiplicar por 2 el numerador y el

denominador de 18

15 , el resultado es

36

30 . Y al dividirlos por 3, el resultado es

6

5 . Por lo tanto,

18

15,

36

30 y

6

5 son

equivalentes, es decir, son distintas representaciones del mismo número racional.

Transformar fracciones en fracciones equivalentes nos permite comparar fácilmente números racionales si están expresados en notación fraccionaria.


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( En este caso , b > a, ¿qué sucedería si b < a? )

Supongamos que tuvo que representar la fracción 2/4. Se divide el segmento en cuatro segmentos congruentes

y se asigna, al tercer punto marcado, la fracción 2/4.

Dividir en cuatro segmentos congruentes un segmento dado es sencillo, pues basta con señalar el punto medio

del segmento (trazando la mediatriz), repitiendo el proceso con los dos segmentos que quedan. El problema se

complica si, por ejemplo, tenemos que representar la fracción 3/5, ya que dividir en cinco segmentos

congruentes no es tan evidente. Para ello podemos dibujar una semirrecta con origen en el punto

correspondiente al 0.

A partir del 0 señalamos cinco puntos equidistantes.


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Unimos el punto 5 con el 1 y trazamos una paralela a dicho segmento que pase por el 3. En virtud del teorema de Thales, el punto de intersección con el intervalo corresponde a la fracción 3/5. (¿Por qué?)

I.3) Operaciones en el conjunto ℚ

I.2. Operaciones en el conjunto ℚ

a) CONMUTATIVA

Dados 𝐚

𝐛 y

𝐜

𝐝 que pertenecen a los números naturales ( a Ꞓ ℚ y b Ꞓ ℚ )

𝐚

𝐛+

𝐜

𝐝=

𝐜

𝐝+

𝐚

𝐛

b) ASOCIATIVA

𝐚

𝐛 Ꞓ ℚ ,

𝐜

𝒅 Ꞓ ℚ y

𝒆

𝒇 Ꞓ ℚ :

La suma o adición es una OPERACIÓN en ℚ. Ello significa que al sumar dos números racionales cualesquiera, el resultado también es un número racional



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(𝐚

𝐛+

𝐜

𝒅) +

𝒆

𝒇=

𝐚

𝐛+ (

𝐜

𝒅+

𝒆

𝒇)

c) ELEMENTO NEUTRO

En la adición de enteros el elemento neutro es el cero.

𝐚

𝐛 Ꞓ ℚ :

𝐚

𝐛 + 0 = 0 +

𝐚

𝐛 =

𝐚

𝐛

d) ELEMENTO OPUESTO

Cada número racional tiene su opuesto, excepto el cero.

entonces : 𝐚

𝐛+ (−

𝐚

𝐛) = 𝟎

Al sumar un número racional y su opuesto , el resultado es el elemento neutro de la adición: el

cero.

La resta en ℚ

LA MULTIPLICACIÓN en ℚ

La multiplicación es una OPERACIÓN en ℚ. Ello significa que al multiplicar dos números naturales

cualesquiera , el resultado también es un número racional.


La sustracción en ℚ es la operación inversa de la adición


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a) CONMUTATIVA

Dados 𝐚

𝐛 y

𝐜

𝐝 que pertenecen a los números naturales ( a Ꞓ ℚ y b Ꞓ ℚ )

𝐚

𝐛 .

𝐜

𝐝=

𝐜

𝐝 .

𝐚

𝐛

b) ASOCIATIVA

𝐚

𝐛 Ꞓ ℚ ,

𝐜

𝒅 Ꞓ ℚ y

𝒆

𝒇 Ꞓ ℚ :

(𝐚

𝐛 .

𝐜

𝒅)

𝒆

𝒇=

𝐚

𝐛 . (

𝐜

𝒅 .

𝒆

𝒇)

c) ELEMENTO NEUTRO

En la multiplicación de racionales , el elemento neutro es el uno. Se puede representar como 𝟏

𝟏

𝐚

𝐛 Ꞓ ℚ ,

𝐚

𝐛 .

𝟏

𝟏 =

𝐚

𝐛

d) DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA ADICIÓN Y DE LA SUSTRACCIÓN.

𝐚

𝐛 Ꞓ ℚ ,

𝐜

𝒅 Ꞓ ℚ y

𝒆

𝒇 Ꞓ ℚ :

𝐚

𝐛 . (

𝒄

𝒅+

𝒆

𝒇) =

𝒂

𝒃 .

𝒄

𝒅+

𝒂

𝒃 .

𝒆

𝒇

e) ELEMENTO ABSORBENTE

Existe un elemento de ℚ, a saber, el 0, tal que, multiplicado por cualquier número racional, da 0. O

sea que el cero absorbe por multiplicación a cualquier número.

Esto se simboliza por: 𝐚

𝐛 . 0 = 0, 0.

𝐚

𝐛 = 0

f) EXISTENCIA DE INVERSO

Todo número racional no nulo admite un inverso, que multiplicado por el primero, en cualquier orden, da por resultado 1. Su representamos a un número racional no nulo mediante la fracción a/b (con a y b distintos de 0), su inverso es el racional b/a, y es evidente que

.


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Si se representa a un racional no nulo por una sola letra, por ejemplo a, su inverso se designa mediante la notación a-1, y se verifica:

a.a-1 = 1 y a-1.a = 1.

Corolario. Si a es un número racional cualquiera y b es un número racional no nulo, existe siempre en ℚ (y es único) el cociente a:b.

En efecto: el cociente se obtiene multiplicando al dividendo por el inverso del divisor. Este inverso existe porque se ha supuesto que el divisor es no nulo. Luego:

a:b = a.b-1.

Si se representa al dividendo m/n y al divisor p/q como fracciones entre números enteros se obtiene que el cociente

𝐚

𝐛:

𝐜

𝐝

es igual al producto del dividendo por el inverso del divisor, o sea:

𝐚

𝐛:

𝐜

𝐝=

𝒂

𝒃 .

𝒅

𝒄=

𝒂. 𝒅

𝒃. 𝒄

Operaciones combinadas con números racionales

a) Fracciones de fracciones

Tratemos ahora de formar fracciones en las cuales el numerador y el denominador sean a su vez

fracciones, por ejemplo:

.

La raya que separa a 3/2 de 4/5 es más larga que las otras rayas de fracción. Esto significa que dicha raya es la principal y que determina una fracción cuyo numerador es 2/3 y cuyo denominador es 4/5. Hemos visto ya que las rayas de fracción se pueden interpretar como signos de división, y así continuaremos interpretándolas. Luego, escribimos la fracción anterior como cociente y resolvemos este cociente según ya hemos explicado:

Para sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales expresados en notación fraccionaria, puede utilizarse fracciones equivalentes.


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= = .

Para evitar engorrosas repeticiones vamos a llamar “primera fracción” a la que hace las veces de numerador, en nuestro caso, 3/2, y “segunda fracción” a la que hace las veces de denominador, en nuestro caso, 4/5.

Regla fundamental de la fracción de fracciones:

Una fracción de fracciones se transforma en una fracción simple de este modo: se coloca como numerador el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y se coloca como denominador el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

Es muy importante diferenciar la importancia de las rayas de fracción por medio de su longitud. Si no se introduce ninguna diferencia de longitudes, por ejemplo, escribiendo

,

el significado es completamente ambiguo, porque esta expresión se podría interpretar de cualquiera de las siguientes maneras, según la jerarquía que se establezca entre las rayas de fracción:

, , , etc.

La interpretación (a), según ya hemos visto, da por resultado 15/8. La interpretación (b) conduce a considerar como numerador principal 3, y como denominador principal la fracción

;

luego, la fracción principal según la interpretación (b) es


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.

La interpretación (c) conduce a considerar otra vez como numerador principal 3, pero como denominador principal la fracción

;

luego, la fracción principal según la interpretación (c) es

.

Como se ve, estas tres interpretaciones conducen a resultados diferentes.

b) Uso de paréntesis

Lo dicho acerca de supresión de paréntesis en ℤ vale también para ℚ. Cuando en una misma expresión se usan paréntesis dentro de paréntesis, por ejemplo,

,

se suelen reemplazar los paréntesis de mayor jerarquía por corchetes:

.

Esto no es imprescindible y se hace sólo para obtener mayor claridad en la escritura. Si hay mayor acumulación de paréntesis se pueden utilizar llaves como signos de mayor jerarquía que los corchetes; por ejemplo:

2 - { } .

En estos casos lo más conveniente es proceder “de afuera hacia adentro”, es decir, eliminar primero los paréntesis de mayor jerarquía (llaves) sin alterar los otros paréntesis ni lo que está dentro de ellos, luego


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suprimir los que le siguen en jerarquía (corchetes) sin alterar los paréntesis menores ni lo que está dentro de ellos, y finalmente suprimir los paréntesis menores. La regla es la misma para todos ellos:

Para suprimir un paréntesis de cualquier jerarquía se suprime también el signo que lo precede: si ese signo era +, no se cambia nada de lo que había dentro del paréntesis suprimido; y si ese signo era -, se cambian todos los signos que había dentro del paréntesis suprimido, excepto los que figuran dentro de paréntesis de menor jerarquía.

Refiriéndonos al ejemplo precedente, suprimamos paréntesis paso a paso:

1º) Supresión de llaves. Están precedidas por signo “menos”. En consecuencia, se suprime también este signo y se cambian los que estaban dentro de las llaves, excepto los que figuran dentro de corchetes o paréntesis simples. Obsérvese que el número 4/3, que figura primero dentro de las llaves, es positivo, o sea que se sobrentiende que hay delante de él un signo “más”; este signo se cambia por “menos”. Queda entonces:

2 - .

2º) Supresión de corchetes. Están precedidos por signo “más”. Este signo se suprime junto con los corchetes y quedan todos los signos interiores sin cambio:

2 - .

3º) Supresión de paréntesis. Están precedidos por signo “más”. Este signo se suprime junto con el paréntesis y quedan todos los signos interiores sin cambio:

2 - .

Observemos que aparece una vez 3/2 (positivo) y dos veces -1/2 (negativo). Estos tres términos pueden reemplazarse por su suma algebraica, que es 1/2 (positivo). Queda:

2 -

Ahora se tiene una suma algebraica de números racionales, que se resuelve aplicando el método del mínimo común denominador visto en 3.3.:


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3.6.3. Presencia de factores

Los casos de supresión de paréntesis pueden incluir presencia de factores, como por ejemplo:

.

Se pueden seguir dos caminos:

O bien realizar primero las operaciones indicadas dentro del paréntesis y después efectuar la multiplicación, lo que da

,

O bien aplicar la propiedad distributiva y después efectuar la suma algebraica, lo que da:

.

Se sigue uno u otro de estos caminos según lo que resulte más cómodo en cada caso.

Si el factor a su vez está precedido por un signo de suma o resta, como por ejemplo:

,

conviene ante todo combinar el signo del factor -2/3 con el signo que lo precede (en este caso, “menos”) aplicando la regla de los signos. En este caso se obtiene un signo “más”:

,

y a continuación se sigue alguno de los dos caminos señalados antes; por ejemplo, si adoptamos el primer camino (que es el más cómodo en este caso) se obtiene, observando que la raya de fracción funciona como un paréntesis:


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.

SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES EN DISTINTOS CONTEXTOS

a) La fracción como expresión que vincula la parte con el todo (continuo o discontinuo)

a.1) Como parte de una región unitaria

¿Qué parte del todo está remarcada?

¿Qué parte del rectángulo , es el triángulo?

b) Las fracciones y la repartición equitativa

El significado parte-todo no basta para establecer la inmediata conexión entre las fracciones y la división.

La fracción como cociente de números enteros se halla presente en los problemas de repartición. Estas

situaciones se diferencian de las de parte-todo en tanto intervienen unidades múltiples (por ej:

panqueques- niños - manzanas - comensales, etc.)

Sii he de repartir 3 barras de chocolate entre 4 niños cada uno recibirá 3/4 de barra

Indica “la fractura” o “división en partes”, respondiendo a la pregunta ¿qué parte es? del entero en cuestión. Se conviene que el denominador de la fracción indica el número de partes en que está dividido dicho entero y el numerador las partes consideradas.


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c) La fracción como razón

Sirve a la pregunta ¿en qué relación están? ya que pone de manifiesto la relación que mantienen un

par de números que pueden provenir de comparar:

• dos conjuntos distintos: la razón o relación entre número de libros en la clase y número de

alumnos. Así, 13 libros para 26 alumnos podrá expresarse como 13/26 leyéndose “13 a 26” ó lo

que es lo mismo, “1 por cada 2”.

• un conjunto y un subconjunto del mismo: la relación entre los 21 alumnos en total y los alumnos

varones (11) de una clase puede expresarse como 11/21 o “11 a 21”. Un caso especial lo

constituye la probabilidad definida como el número de casos favorables sobre el número de casos

posibles de un evento determinado. Por ejemplo, en la tirada de un dado la probabilidad o razón

de probabilidad de que salga un 2 “es uno a 6” lo cual se indica como 1/6.

• Dos medidas según una unidad de medida común: por ejemplo, podremos afirmar que Juan

tiene una altura equivalente a 2/3 de la de Pedro (en cm) o que la escala (razón entre la distancia

entre dos puntos determinados en el mapa y su distancia real) es 1 sobre 1 000 000, lo que

puede significar que un milímetro en el mapa corresponde a un kilómetro en la realidad.


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d) La fracción como división indicada

Para el caso en que la división sea inexacta, por ejemplo 3:7 no da un cociente entero (0.428571…) luego

puede ser conveniente dejar expresada esta división como 3/7, lo cual es un resultado exacto. Es en este

contexto en que “tres séptimos” se lee “ 3 dividido 7”.

e) La fracción en el contexto de las series proporcionales

Por cada tres alumnos que fueron a una clase que fueron a un viaje, dos se quedaron. ¿Qué parte de la

clase no realizó el viaje?

RAZONES Y PROPORCIONES NUMÉRICAS

Serie de razones iguales y proporciones

PROPORCIÓN

Dados en un cierto orden dos números cualesquiera a, y b, llamaremos razón al cociente exacto, si existe, del primero dividido por el segundo. El primer número se denomina antecedente de la razón y el segundo consecuente.

Es claro que si a= 0 y b≠ 0, la razón entre a y b es 𝑎

𝑏= 0

Si a ≠ 0 y b= 0, como no existe el cociente, no existe tampoco la razón Si a= 0 y b= 0 , diremos que la razón es indeterminada.

𝑎1

𝑏1=

𝑎2

𝑏2=

𝑎3

𝑏3= ⋯ =

𝑎𝑛

𝑏𝑛

Llamaremos serie de razones iguales a la igualdad de dos o más razones.

Es una serie de n razones iguales

TEOREMA: En toda serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es la a suma de los

consecuentes, como un antecedente de cualquier razón es a su consecuente.

𝑎1

𝑏1=

𝑎2

𝑏2

Se llama proporción a la igualdad de dos razones


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TEOREMA 1: La suma de antecedente y consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la

suma de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su consecuente.

TEOREMA 2: En toda proporción la diferencia entre el antecedente y consecuente de la primera razón es a

su consecuente, como la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su

consecuente (siempre que las operaciones sean posibles)

TEOREMA 3 : En toda proporción la suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su

diferencia, como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su diferencia (siempre que

las operaciones sean posibles)

MEDIOS Y EXTREMOS DE UNA PROPORCIÓN

La proporción 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 se puede escribir a:b = c:d . Debido a esta notación se suelen llamar extremos a los

números a y d y medios a los números b y c.

𝑎1

𝑏1=

𝑎2

𝑏2

𝑎1 + 𝑏1

𝑏1=

𝑎2 + 𝑏2

𝑏2

𝑎1

𝑏1=

𝑎2

𝑏2

𝑎1 + 𝑏1

𝑎1 − 𝑏1=

𝑎2 + 𝑏2

𝑎2 − 𝑏2

𝑎1

𝑏1=

𝑎2

𝑏2

𝑎1 − 𝑏1

𝑏1=

𝑎2 − 𝑏2

𝑏2


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PORCENTAJE

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Valor numérico Representación en Notación Científica Representación numérica

Miltrillonésima 10-21 0,000000000000000000001

Trillonésima 10-18 0,000000000000000001

Milbillonésima 10-15 0,000000000000001

Billonésima 10-12 0,000000000001

Milmillonésima 10-9 0,000000001

Millonésima 10-6 0,000001

Milésima 10-3 0,001

Centésima 10-2 0,01

Décima 101 0,1

Uno 1 1

Diez 101 10

Cien 102 100

Mil 103 1 000

Millón 106 1 000 000

Mil millones 109 1 000 000 000

Billón * 1012 1 000 000 000 000

Mil billones 1015 1 000 000 000 000 000

Trillón 1018 1 000 000 000 000 000 000

Mil trillones 1021 1 000 000 000 000 000 000 000

* En Estados Unidos de Norteamérica 10 9 se denomina “billón”. Para el resto de los países de habla. hispana 10 9 equivale a “mil millones”, mientras que el billón se representa como 1012.

Igualmente, en los países de habla hispana 109 recibe también el nombre de “millardo” (palabra proveniente del

francés “millard”), además de “mil millones”. Por tanto, lo que para los estadounidenses es “one billon dollars or euros“ (un billón de dólares o de euros), para los hispanohablantes sería “un millardo de dólares o de euros” o “mil millones de dólares o de euros”.

Se llama porcentaje o por ciento de un número con relación a otro a la razón del primero respecto del segundo multiplicada por 100. Dado a y b ∈ ℕ 𝑎

𝑏 . 100 = c % . Por ejemplo , 2 es el 40% de 5, pues

2

5. 100 = 0,4 . 100 = 40%


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LOS NÚMEROS IRRACIONALES Y LOS NÚMEROS REALES

La notación científica se compone siempre de un solo número entero y el resto pueden ser o varios

decimales, según la mayor o menor exactitud que requiera una representación numérica determinada. La

cantidad de decimales se puede recortar a uno o dos números solamente por medio de la aproximación o

redondeo de la cifra, pues el objetivo de emplear la notación científica es, precisamente, acortar las cifras

largas, ya sean de números enteros o decimales.

Los números que tienen desarrollo decimal infinito no periódico son números irracionales.

•Los irracionales (I), junto con los racionales (ℚ) forman el conjunto de los números reales IR.


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Propiedades de los números irracionales

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades

como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual

el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación,

π.ϕ=ϕ .π.

Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo

número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la

multiplicación, (ϕ . π) . e=ϕ . (π .e).

Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso : 𝜋

Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso.

Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

phi La razón de oro es un número irracional.𝜙

Sus primeros dígitos son: 1,61803398874989484820... (y más...)

Símbolo radical

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos: √3

1,7320508075688772935274463415059 (etc.)

√99 9,9498743710661995473447982100121 (etc.)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.


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Propiedad de cierre: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de

un número irracional, siempre será un número irracional.

Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada

número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo

que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.

La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

Representación de los números irracionales.

También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta.

Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número realiza los siguientes pasos:

Levanta sobre la recta un cuadrado cuyo lado sea el segmento unidad entre el 0 y el 1.

Según el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide .

Utiliza un compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte del arco del compás sobre la recta representa el número

RADICAL.EXPONENTE FRACCIONARIO

Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a.

Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del radicando.


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INTRODUCCIÓN Y EXTRACCIÓN DE FACTORES DEL RADICAL

Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que indica el índice y se

escribe dentro.

Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor que el índice, se puede extraer fuera

del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente del factor que

sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.

REDUCCIÓN A COMÚN ÍNDICE

Reducir a índice común dos o más radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice.

Un índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de los índices.

El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices, habitualmente se elige éste.


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RADICALES SEMEJANTES

Son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.

Para comprobar si dos radicales son semejantes o no, se simplifican si se puede y se extraen todos los factores que sea posible, como puedes observar en la escena.


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PROPIEDADES DE RADICALES

RAÍZ DE UN PRODUCTO

La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de los factores.

RAÍZ DE UN COCIENTE

La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y del divisor.

RAÍZ DE UNA POTENCIA

Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia

dada.

RAÍZ DE UNA RAÍZ

La raíz n-ésima de la raíz m-ésima de un número es igual a la raíz n·m-ésima de dicho

número.


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Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de ambas.

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

Racionalizar una expresión con un radical en el denominador, consiste en encontrar una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador.

Para ello se multiplica numerador y denominador por la expresión adecuada para que, al operar, la raíz desaparezca.

Si el denominador es un binomio se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El denominador es raíz de un monomio

El denominador es un binomio

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/radicales/q2_contenidos3a.htm


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SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Simplificar un radical es escribirlo en la forma más sencilla, de manera que:

El índice y el exponente sean primos entre sí. No se pueda extraer ningún factor del radicando. El radicando no tenga ninguna fracción.


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OPERACIONES CON RADICALES

SUMA Y RESTA DE RADICALES

Para sumar o restar radicales se necesita que sean semejantes (que tengan el mismo índice y el mismo

radicando), cuando esto ocurre se suman ó restan los coeficientes de fuera y se deja el mismo radical.


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MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

Para multiplicar radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo índice y de radicando el producto de los radicandos.

Caso de tener distinto índice, en primer lugar se reducen a índice común.

a) Mismo índice

b) Distinto índice

DIVISIÓN DE RADICALES

Para dividir radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical con el mismo índice y radicando el cociente de los radicandos.

Si tienen distinto índice, primero se reducen a índice común.


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a) Igual índice

b) Distinto índice

RELACIÓN DE ORDEN EN LOS REALES

En IR consideramos la relación “menor que”, que denotamos “<” y que satisface las siguientes propiedades


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Nos permite representar a los números reales en la recta numérica: existe una correspondencia biunívoca entre puntos de la recta y números reales.

INTERVALOS

SON CONJUNTOS DE NÚMEROS REALES

Se representan mediante segmentos o semirrectas de la recta real


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VALOR ABSOLUTO

EL USO DE LETRAS EN ARITMÉTICA. GENERALIZACIÓN.

LAS LETRAS COMO VARIABLES

¿Es cierto que si en 16.15 + a se reemplaza la letra a por el número 44, el resultado es múltiplo de 4?

¿Con qué otros números podrían reemplazar la letra a para que el resultado de 16 . 15 + a sea múltiplo de 4?

Si en una expresión con números y operaciones hay una letra, esta se puede reemplazar por distintos números. Esa letra se llama variable, porque no tienen un valor fijo, éste puede variar. Por ejemplo, en 16 . 15 . a , la variable a se puede reemplazar por cualquier número


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TALLER 2: INTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO

GEOMÉTRICO

RECORDANDO LO APRENDIDO8

1. María tiene en la hoja del libro el siguiente segmento AB:

a) Si solo dispone de una regla que tiene borrada la escala de

medición y un compás, ¿de qué manera puede trazar con estos

instrumentos un segmento de igual longitud que el AB –aunque

no se respete la posición- en su hoja de carpeta?

b) Si quisiera además trazar un segmento con esos instrumentos,

pero que tenga tres veces su longitud, ¿cómo lo podría hacer?

c) Si quisiera trazar otro segmento en su hoja y con esos instrumentos, pero que tenga la mitad

de su longitud, ¿cómo lo haría?

8 Te sugerimos revises cómo se usan los instrumentos geométricos, y de qué manera se pueden emplear para hacer

construcciones básicas: https://es.slideshare.net/plasticaharia/el-material-de-dibujo-tcnico

www.conevyt.org.mx/colaboracion/colabora/objetivos/libros.../sma1_u2lecc16.pdf

¿Cómo trabajaremos en este taller? En este taller abordarás algunas nociones geométricas e iniciarás un primer recorrido sobre

las formas de pensar geométricamente, desarrollando habilidades de visualizaciones, de

comunicación con lenguaje geométrico, habilidades de construcción y de argumentación

propias de esta disciplina. Para ello, encontrarás en la propuesta de trabajo dos partes:

Recordando lo aprendido y Construyendo entre todos.

La primera parte tiene carácter de pre-taller, es decir que es la que deberás resolver antes

del período presencial, a modo de entrenamiento, de revisión sobre saberes que has

aprendido en la escuela secundaria; te sugerimos que hagas un apartado en donde dejes

registro de todos los conceptos y relaciones geométricas, definiciones, propiedades, que has

reconocido al resolver las tareas propuestas, e incluso dejes bien registradas las dudas que te

vayan surgiendo. Con todo esto trabajaremos la primera clase presencial en febrero.

Luego, el segundo apartado “Construyendo entre todos” lo resolverás durante el período

de clases presenciales, a veces solo y otras veces junto a tus compañeros. Nuevamente aquí,

seguí trabajando en este apartado a modo de glosario, ampliando con todas las nociones

geométricas que vayas trabajando durante la resolución del taller.

https://es.slideshare.net/plasticaharia/el-material-de-dibujo-tcnico

http://www.conevyt.org.mx/colaboracion/colabora/objetivos/libros.../sma1_u2lecc16.pdf


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d) Finalmente, María quiere hallar la ubicación de los puntos que equidisten de los extremos del

segmento AB. ¿dónde estarían esos puntos? ¿cuántos son esos puntos?

En esta actividad se ha planteado trazar segmentos de igual medida, ¿cómo se dicen ser esos segmentos en términos

de la Geometría?

Además, se pone en juego el concepto de “mediatriz” y “punto medio”, ¿cómo puede definirlo?

Cite la fuente de donde extrajo información para poder responder a estos interrogantes.

2. Teniendo como referencia la recta “m” y el punto “P”:

a) Proponga un instructivo que permita a cualquier otro trazar una recta perpendicular a la recta “m” y

que pase por el punto “P”, pero haciendo uso exclusivo de una regla sin graduación y compás.

b) Proponga un instructivo que permita a cualquier otro trazar una recta paralela a la recta “m” y que

pase por el punto “P”, pero haciendo uso exclusivo de una regla sin graduación y compás.

3. Reproduzca en su hoja de carpeta haciendo uso único de regla no graduada y compás, aunque no

respete la posición, la figura de la imagen.

ABCD es un rectángulo;

La medida de BC es 2,5 veces la

medida de AB.

E es el punto medio de AB.


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4. Observe la siguiente imagen y describa lo que observa

nombrando cada elemento geométrico que se observa

representado.

5. Observe la

siguiente figura:

a) Describa la figura observada.

b) Reproduzca la figura en su carpeta, pero respete la posición de

la misma (inclinación).

En las actividades anteriores se han puesto en juego objetos geométricos tales como “segmento, recta y semirrecta”,

¿cuál es la diferencia entre éstos? También se han trazado “ángulos”, ¿cómo los definiría? ¿cómo medir su amplitud?

En la actividad 4, la recta m divide a los ángulos en dos ángulos de igual medida, ¿qué nombre recibe esa recta?

Por otro lado han aparecido tres tipos de figuras geométricas: “triángulo, rectángulo y cuadrado”, ¿qué tienen en

común y qué tienen de distinto estas tres figuras? ¿cómo definiría a cada una de ellas?

Cite la fuente de donde extrajo información para poder responder a estos interrogantes.

6. A continuación se encontrará con agrupamientos de triángulos, en cada apartado se ha establecido un

criterio específico para agruparlos:

Primera situación:


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Segunda situación:

a) Martín quiere agregar los triángulos de la imagen a alguno de

los grupos de la primera situación, ¿irán en la misma colección?

A1: A2: A3:

B1: B2: B3:


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Y si lo quisiera agregar en algún grupo de la segunda situación, ¿dónde lo pondría?

b) Si se quiere agregar un ejemplo de triángulo en cada colección (A1, A2, A3, B1, B2, B3), distinto a los

que ya están, ¿cuál podría ser?

c) Ramiro dice que él ha construido un triángulo que no puede ubicarse en ningún grupo de los

realizados. ¿Es correcta la afirmación de Ramiro? Explique su respuesta.

d) Marcelo dice que cualquier triángulo de la familia A1, necesariamente pertenece a B1. ¿Es correcta la

afirmación de Marcelo? ¿Por qué?

e) Luis quiere proponer un triángulo que pertenezca a A2 y a B3 simultáneamente, ¿es posible? En tal

caso, ¿cuál podría ser un ejemplo?

f) Si tuviese que inventar un nombre a cada grupo que se adecúe al criterio que se ha tenido para

agruparlos, ¿cuál podría ser? Explique.

En esta última las actividades se han establecido criterios de clasificación de triángulos según sus lados y según sus

ángulos interiores. Busque en distintas fuentes a qué se denomina cada tipo de triángulos según estos criterios de

clasificación, y cite dichas fuentes.

1) Lucía quiere explicarle por teléfono a su

compañera Katy cómo construir una figura

similar a la mostrada, y le comunica:

“construí un triángulo ABC y traza las alturas

FC, DB y EA respecto de los lados AB, AC y BC

respectivamente, éstas se cortan en el punto

O”.

a) ¿Por qué habla de “las” alturas? (en

plural) ¿es correcto? ¿cómo definiría

altura?

b) ¿Cree que Katy siempre podrá cumplir

con lo que informa Lucía en su mensaje?

Explique.


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MUY IMPORTANTE:

CONSTRUYENDO ENTRE TODOS

ACTIVIDAD N°1

Parte 1

Lucas, Marcos y Florencia discuten en la clase de

matemática sobre la posibilidad de construir un

triángulo haciendo uso de tres de estos segmentos

como lados del triángulo.

Lucas cree que cualquier terna de lados permitirá

construir un triángulo.

Por su parte, Marcos opina que de todas las posibles

agrupaciones de tres de los cuatro lados, solo existe

un caso en que se puede construir un triángulo.

Florencia opina que el triángulo que se construya

haciendo uso de tres de estos cuatro segmentos

como sus lados, difiere dependiendo de cuál sea el lado del que se parte para hacer la construcción.

a) ¿Qué opinas sobre cada una de las afirmaciones que plantean estos tres compañeros?

b) Si en lugar de haberse dado como datos posibles lados del triángulo, se hubiesen dado posibles ángulos

interiores del triángulo, una con SIEMPRE- A VECES - NUNCA según se pueda construir el triángulo: “Se

sabe que…”


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Sus ángulos son todos agudos. SIEMPRE

Sus ángulos miden todos 60°.

Tiene dos ángulos rectos. A VECES

Uno de sus ángulos mide 179°.

Tiene dos ángulos que miden 35°. NUNCA

Tiene un ángulo recto y los otros dos son

agudos.

c) En los casos que dijo que la construcción siempre se puede realizar, ¿la construcción es única? ¿a qué

debe esta respuesta?

Un triángulo es una figura geométrica plana formada por tres segmentos no

colineales. Esos segmentos se denominan lados, y se unen de a dos en un

puntos denominado vértice; el triángulo tiene tres vértices.

Para que tres segmentos puedan ser lados de un triángulo, deben cumplir con

una propiedad denominada desigualdad triangular, es decir que la medida

de cada lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.

Además, cada par de lados forma un ángulo con vértice en el vértice del

triángulo; así, el triángulo tiene tres ángulos interiores que cumplen con la

propiedad angular de que la suma de las medidas de esos ángulos es 180º.


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ACTIVIDAD 2

Parte 1

Juego: “Dígalo con triángulos”

Materiales:

55 tarjetas, todas con la imagen de un triángulo y datos sobre los mismos. Entre éstas habrá:

· 10 que den información sobre la medida de los tres lados;

· 10 que den información sobre la medida de dos lados y la amplitud del ángulo comprendido entre

estos;

· 10 que den información sobre la medida de un lado y la amplitud da cada uno de los ángulos

adyacentes a ese lado;

· 5 que den información sobre la medida de un lado;

· 5 que den información sobre la medida de dos lados;

· 5 que den información sobre la medida de un lado y un ángulo;

· 5 que den información sobre la amplitud de un ángulo;

· 5 que den información sobre la amplitud de dos ángulos;

Instrumentos geométricos manuales o software de geometría dinámica (GeoGebra)

Organización de la clase:

Se divide a la clase de a seis alumnos, y en cada grupo se hacen dos equipos de a tres.

Cada equipo tendrá a su disposición los instrumentos geométricos.

Las tarjetas se ponen, mezcladas, todas boca abajo.

Reglas de juego:

Por turno, un integrante de cada equipo saca una carta en la que observará la información brindada sobre el

triángulo. Luego da las instrucciones indicadas en la tarjeta para que su equipo y el equipo contrario

construyan un triángulo que responda a las condiciones dadas. Para la construcción tendrán 5 minutos; el

equipo que haga la construcción primero detiene el tiempo e informa sobre su construcción. Si la construcción

es correcta este equipo gana 2 puntos, y si es equivocada pierde 1 punto. Por su parte, el otro equipo tiene la

posibilidad -en lo que resta de tiempo- de ganar 1 punto en caso de que haya realizado una construcción

correcta y distinta a la realizada por los contrincantes. Si ninguno de los equipos construye el triángulo en el

tiempo estipulado, no suman puntos.

El juego se repite hasta que uno de los dos equipos gane llegando primero a los 10 puntos.

Parte 2

Para después de jugar.

Después de jugar, resuelvan:

a. Daniela luego de una partida de este juego, afirma que para su tarjeta en la que se daba como

dato que el triángulo tenía dos lados que medían 5 cm y 7 cm, solo se podía construir un único triángulo.

Por su parte, Valentín considera que no es cierto y que si se conociera la medida del tercer lado sí sería

único. ¿Quién tiene razón? ¿por qué?


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b. En una jugada, salieron como datos que un lado del triángulo medía 3 cm y dos de los ángulos

interiores medían 50° y 100°, ¿es posible que ambos equipos sumen puntos? Explicite las razones por las

que está de acuerdo o no.

c. Si en la tarjeta hubiese aparecido el dato de que el triángulo fuese equilátero, ¿alcanzaría para

que solo un equipo gane puntos? Si es así explique; de lo contrario incluya otro dato para que sea

suficiente.

d. Mariano cree que si en la tarjeta solo hay dos datos, ambos equipos podrán sumar puntos. ¿te

parece acertada su idea? ¿por qué?

Parte 3

En otra oportunidad se agregaron cartas “comodines” al juego en las que si salían, el jugador inventaba los

datos de un triángulo.

Lucía, quien está jugando con estas nuevas reglas, está muy confiada de su equipo y cree que será capaz de

construir correctamente y más rápido que cualquier contrincante. Por ello está pensando en una estrategia

ganadora que le permita solo sumar puntos a su equipo cuando salga el comodín.

¿Cuáles podrían ser los datos que de cuando salga la tarjeta comodín?

Parte 4

Reúnase en grupos de 4 personas, comparta las respuestas anteriores y a partir de ellas complete la siguiente

tabla:

Dada una colección de datos para construir un triángulo, pueden aparecer las siguientes

situaciones:

Datos a partir de los cuales

no se pueden construir

ningún triángulo

Datos a partir de los cuales se

puede construir un único

triángulo

Datos a partir de los cuales la

construcción del triángulo no

es única

ACTIVIDAD 3

Parte 1

En el grupo debatan sobre cuál debería ser un protocolo de construcción para los siguientes tipos de triángulos:

o Que tiene dos lados congruentes.

o Que tiene sus tres lados congruentes.

o Que tiene sus tres lados no congruentes.

o Que tiene un ángulo interior recto.

o Que tiene un ángulo interior obtuso.

o Que tiene todos sus ángulos interiores agudos.

Escojan un representante del grupo para socializar los resultados obtenidos.

Recuerden que en Geometría

no se habla de lados iguales,

ángulos o triángulos

IGUALES, sino que se usa el

término CONGRUENTE.


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Parte 2

a. Los siguientes enunciados propician la construcción de triángulos; ¿cómo son entre sí? Explicite los

criterios empleados para compararlos.

ABC es un triángulo que tiene un lado de 6cm de longitud y las amplitudes de los ángulos

adyacentes son 50° y 80°.

DEF es un triángulo cuyas amplitudes de sus ángulos son 50°, 80° y 50°.

Decimos que dos triángulos ABC y A’B’C’ son congruentes cuando sus lados y

ángulos lo son, es decir, si los lados de ABC (el AB, BC, CA) miden lo mismo que

los lados respectivos del triángulo A’B’C’ (el A’B’, B’C’, C’A’). Así también los

ángulos del ABC miden lo mismo que los respectivos ángulos del A’B’C’.

Cabe señalar que, la congruencia de triángulos no depende de la posición de los

mismos, sino de las medidas de sus elementos.

Existen algunos criterios que permiten establecer si dos triángulos son

congruentes:

Criterio LLL: Si los lados de ABC son congruentes a los respectivos lados de

A’B’C’, alcanza para asegurar la congruencia de los dos triángulos.

Criterio LAL: Si un par de lados de ABC y el ángulo comprendido entre estos,

son congruentes a un par de lados del triángulo A’B’C’ y el ángulo comprendido

entre estos, alcanza para asegurar que los triángulos son congruentes.

Criterio ALA: Si un par de ángulos de ABC y el lado comprendido entre estos,

son congruentes a un par de ángulos del triángulo A’B’C’ y el lado comprendido

entre estos, alcanza para asegurar que los triángulos son congruentes.


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GHI es un triángulo que tiene dos lados de 6cm de longitud, y el ángulo comprendido entre

ellos mide 80°.

JKL es un triángulo isósceles para el que uno de los ángulos mide 80°.

MNO es un triángulo cuyos lados miden 6cm, 7,5cm y 6cm.

b. Pruebe que los siguientes triángulos son congruentes especificando sus razones:

c. Sea ABC un triángulo cualquiera, si se ubican los puntos M y N en los lados AB y AC respectivamente tal

que MN //BC, ¿Qué tienen en común y qué distinto los triángulos ABC y el AMN?

ACTIVIDAD 4

Para trabajar individualmente y luego compartirlo con su

compañero de banco:

o Desafío 1: Para trabajar con GeoGebra.

Dados los segmentos AB y DC, ¿se puede construir un triángulo

para el que DC sea uno de sus lados y AB sea su respectiva altura?

En caso afirmativo, ¿la construcción será única? Explique.

En caso negativo, ¿cuáles son las razones por las que estos datos

son insuficientes? ¿qué datos podría agregar para que cualquier par de triángulos que se construyan a partir de

esta información sean congruentes?

o Desafío 2: Para trabajar con GeoGebra

a) Construir ángulos con las siguientes amplitudes sin usar el transportador: 15°, 30°, 45°, 60° y 90°.

b) Justificar el procedimiento para construir un hexágono regular sin hacer uso del transportador.


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o Desafío 3:

Teniendo en cuenta que la recta bisectriz divide a un ángulo

en dos ángulos congruentes:

¿Es posible construir un triángulo en el cual el ángulo formado

por dos de sus bisectrices sea recto? Explique.

ACTIVIDAD 5

Para seguir razonando construcciones en base a datos:

Parte 1

Construya un paralelogramo en el cual un lado mida

6cm y otro mida 4cm.

Reflexione sobre el siguiente interrogante: ¿Habrá

un único paralelogramo que cumpla estas

condiciones?

Comparta su construcción con la de sus

compañeros y vuelva a analizar la pregunta

planteada. ¿De qué depende la cantidad de

paralelogramos, ya sea por ser una o más de una,

que satisfaga las condiciones planteadas?

Si a los datos iniciales se le agrega que el ángulo comprendido entre esos lados mida 40°, ¿cuántos

paralelogramos satisfacen estas condiciones?

Si se cambia el ángulo comprendido entre los lados de 6cm y 4cm de longitud, ¿qué otros elementos

del paralelogramo se modifican? ¿cuáles se mantienen?

Parte 2

Con el compañero de banco, construyan un paralelogramo en el cual uno de los lados mida 7cm, el

otro 4cm y la diagonal mida 11cm. Comente sus resultados a otros compañeros.

Parte 3

Reúnanse en grupos de 4 alumnos, construyan un paralelogramo en el cual uno de sus lados mida 6cm

y los ángulos adyacentes a dicho lado midan 30° y 150°.

¿Qué sucede si los ángulos adyacentes miden 40° y 120°?

Emitan una conclusión y coméntenla al resto de la clase.

Parte 4

Para pensar en grupo: Si se pide construir un paralelogramo para el que se conocen las longitudes de

sus lados y la longitud de una de las alturas respecto de uno de los lados;

PARALELOGRAMO es

un cuadrilátero, es decir

una figura plana de cuatro

lados, que tiene sus lados

opuestos paralelos.


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a. ¿En qué casos la construcción es posible?

b. En caso de ser posible la construcción, ¿cuántos resultados son definibles con esas

condiciones?

c. ¿Qué sucede si la altura mide lo mismo que el lado no correspondiente a ella (el que no es

perpendicular a la altura)?

Reunidos en grupo analicen, en algunos casos, la unicidad, existencia o infinitud de construcciones de

paralelogramos de los que se conocen una terna de datos combinando: longitudes de lados, de alturas,

diagonales, amplitudes de ángulos entre lados, entre diagonales, entre un lado y una diagonal, etc.

ACTIVIDAD 6

Parte 1 Para trabajar con GeoGebra.

a. Trace una recta que pase por dos puntos A y B. Luego por A, trace una perpendicular a la antes trazada.

b. Ubique sobre la segunda recta un punto C.

c. Con la herramienta “Polígono”, construya el polígono ABC. ¿de qué tipo de polígono se trata? ¿por

qué?

d. En la barra de herramientas, ingrese a la opción “Vista” y agregue una “hoja de cálculo”. Esta hoja de

cálculo estará vinculada con la construcción realizada; en ella arme una tabla en la que se muestre la

medida de los lados AB, AC y BC del polígono construido (basta con poner en el casillero =AB, para que

automáticamente aparezca la medida de dicho lado), y los cuadrados de estas medidas (debe ingresar

en la celda =AB^2, y automáticamente se completará).

e. ¿Qué relación encuentra entre las tres medidas? ¿y entre sus cuadrados? Mueva alguno de los puntos

vértices del polígono, ¿su conclusión sigue siendo válida?

f. Comparta sus conjeturas con las de otros compañeros y comenten los resultados.


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g. En la misma hoja de cálculo, arme una nueva tabla como la siguiente: Cociente entre las medidas de AB y de BC Cociente entre las medidas de AC y de BC Cociente entre las medidas de AB y de AC

h. Ubique un nuevo punto D que sea colineal con A y B, y trace una recta paralela a BC que pase por D.

Llame E al punto de intersección de esta nueva recta y el segmento AC. Con estos nuevos puntos, arme

y complete la siguiente tabla: Cociente entre las medidas de AD y de DE Cociente entre las medidas de AE y de DE Cociente entre las medidas de AD y de AE

¿Qué observa? Mueva el punto D, ¿sigue siendo válida su observación? ¿Sus compañeros observan lo

mismo?

i. Entonces, ¿cómo son entre sí los triángulos ABC y ADE?

¿Cómo son entre sí los ángulos AED y ACB? Verifique esto último con GeoGebra y haciendo uso de la

herramienta “Ángulo”:

En todo triángulo rectángulo se cumplen algunas relaciones importantes entre sus

elementos:

o El cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados

de las medidas de los catetos. (Teorema de Pitágoras)

o El seno de un ángulo agudo del triángulo rectángulo es igual a la razón entre

la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida de la hipotenusa.

o El coseno de un ángulo agudo del triángulo rectángulo es igual a la razón

entre la medida del cateto adyacente al ángulo y la medida de la hipotenusa.

o La tangente de un ángulo agudo del triángulo rectángulo es igual a la razón

entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida del cateto adyacente.

o

o


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Parte 2 Para trabajar con la calculadora.

a. Usando la calculadora, verifica que el seno, coseno y tangente del ángulo trabajado en el ítem “i”,

coincide con las razones expresadas en las tablas de cálculo. Si es necesario, en GeoGebra puede

reducir errores de aproximación; para ello debe ingresar en la barra de herramientas a “Opciones”,

“Redondeo” y especificar la cantidad de cifras con las que sesea trabajar.

b. Use la calculadora y redondee hasta los centésimos para calcular:

𝒔𝒆𝒏 𝟕𝟓º 𝒕𝒂𝒏 𝟏𝟒º 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟓º

𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟓º 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎º 𝟐𝟎’ 𝟏𝟎’’ 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝟓º

¿Cómo haría para calcular con calculadora el seno de un ángulo cuya amplitud es 80° 15´´?

c. ¿Qué relación existe entre un par de ángulos cuyas amplitudes son 75° y 15°? ¿y entre el seno del

primero y el coseno del segundo?

¿Puede afirmar lo mismo para el par de ángulos de amplitudes 35° y 55°? En tal caso proponga otro

ejemplo.

Formule una conclusión e intente explicar desde las definiciones de razones trigonométricas en el

triángulo rectángulo.

ACTIVIDAD 7

Parte 1

a. Sea el triángulo LMN rectángulo en el M, tal que el ángulo 𝑚(𝑀𝐿�̂�) = 30° y el lado MN mide 5cm:

Construya dicho triángulo y señale los datos. ¿Cuántos datos han sido explicitado?

Calcule la longitud de los otros lados y amplitudes de ángulos que se desconocen. Deje

constancia de todos los pasos de resolución.


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b. Analice la siguiente afirmación: “Conociendo la amplitud de un ángulo agudo y una de las medidas de

los lados del triángulo rectángulo, alcanza para poder hallar el resto de las medidas de ángulos y

lados”.

c. Calcule el perímetro y área del triángulo rectángulo representado. (la

hipotenusa está medida en cm)

d. Si ABC es un triángulo rectángulo en A tal que uno de sus ángulos interiores

mide 40° y el cateto adyacente a este ángulo mide 8 cm, halla las medidas de

los lados y ángulos de ABC.

e. Sea PQRS un rectángulo y SQ una de sus diagonales. Si el ángulo SQR mide 36° y sabiendo que el cateto

adyacente es 1cm más largo que el cateto opuesto, ¿cuáles son las dimensiones de este rectángulo?

f. En la imagen se ha representado a un triángulo equilátero DBC y A

es el punto medio del lado BD. Si se traza una recta perpendicular al

lado BC que pase por A, queda determinado el segmento AE=2,3u.

¿Cuál es la amplitud de cada ángulo interior de BCD?

Calcule la longitud de cada lado del triángulo equilátero.

¿Cuál es el área de este triángulo?

Parte 2

a. Reunidos en equipos de trabajo, analice y explique los siguientes interrogantes:

Si se conocieran únicamente las medidas de los tres lados de un triángulo,

¿podría afirmarse si se trata o no de un triángulo rectángulo?

¿Será cierto que en el siguiente triángulo rectángulo en B el ángulo α mide

35°? ¿y cuál es la longitud del cateto BC?

b. ¿Cuáles son las amplitudes de un triángulo rectángulo isósceles?

c. En la imagen está representado un triángulo ABC tal que la longitud

indicada por “a” es 3,5u.

¿Cuál es el área de ABC?

El triángulo ABC ¿es triángulo rectángulo?

¿Cuáles son las amplitudes de los ángulos interiores de ABC?

d. Calcule la amplitud de los ángulos interiores de un rombo del que se

conoce que sus diagonales miden 12cm y 16 cm.


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e. ¿Podría resolverse un triángulo rectángulo del que solo se conocen las amplitudes de los ángulos?

Explique.

ACTIVIDAD 8

Reunidos en equipos de trabajos y siguiendo un protocolo de resolución similar al propuesto por Polya

(material del cuadernillo), resuelva los siguientes problemas y luego socialice sus resultados.

Problema 1. Sea P8 un octógono regular de perímetro 19,2cm, ¿cuál es su área?

Problema 2. Dos puentes levadizos que tienen la misma longitud se han

elevado ambos a 33°. Si ambos se unen formando un único puente de

18m, ¿a qué distancia se encuentran los extremos A y B?

Problema 3. Sabiendo DB y CB son perpendiculares y que A pertenece al segmento DB.

Calcule la longitud de BC si sabe que el ángulo de elevación en

A a C es de 60° y que el ángulo de elevación se reduce a la

mitad cuando se aleja de A 2u hasta llegar a D.

ACTIVIDAD 9

Reunidos en equipos de trabajos, realice una síntesis de los saberes que se pusieron en juego a lo largo de este

taller.


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TALLER 3: INICIACIÓN AL ESTUDIO DEL ÁLGEBRA

PARA HACER EN TU CASA

ACTIVIDAD N°1

Parte 19

En la imagen se muestran cuadrados

cuadriculados en los que están

sombreados los cuadraditos que bordean

a cada figura:

a. ¿Cuántos cuadraditos contiene en

el borde cada uno de los

cuadrados de la figura 1 y 2?

b. ¿Cuántos cuadraditos contiene en

el borde un cuadrado de 37 cuadraditos de lado?

9Trabajo Individual.

¿Cómo trabajaremos en este taller? En este taller partirás de los procesos de generalización iniciados en el Taller de Aritmética y

darás sentido al uso de las letras a modo de algebrizar esas generalizaciones. Por otro lado,

te proponemos que trabajes con expresiones algebraicas, y que interpretes y resuelvas

ecuaciones.

Para preparar el estudio del álgebra, y teniendo como referencia lo trabajado en el Taller de

Aritmética y algunas experiencias previas que tengas, resolverás las dos primeras actividades.

Una vez más, deja registro de los conceptos y relaciones que hagas uso, y también de las

dudas que te surjan. En la primera clase presencial de este taller, trabajaremos sobre tus

resoluciones y sobre ese apunte que has producido.


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Parte 2

Reunidos con otros 3 o 4 compañeros, compartan las respuestas anteriores. Escojan un método para calcular la

respuesta “Parte 1 (b)”, redacten la explicación pertinente del método y piensen si es posible adaptarlo para

otros casos similares.

Socialicen al resto de los grupos el método escogido y compartan las explicaciones redactadas.

Parte 3

Para pensar con el grupo armado:

¿Qué entienden por fórmula?

Escriban una fórmula que refleje el método de cálculo que prefieran (el propio, o el de otro equipo)

para calcular ¿Cuántos cuadraditos contiene en el borde un cuadrado de 37 cuadraditos de lado?

Analice ejemplos de aplicación de la fórmula realizada. Es decir, considere si se cumple para la figura 1

y 2 dadas al comienzo, y proponga otro caso diferente para decidir si la fórmula hallada permite dar

cuenta de la cantidad de cuadraditos que hay en el borde de la figura.

Proponga su fórmula al resto de la clase; explique cómo llegaron a la misma y muestre la eficacia de la misma.

ACTIVIDAD N°2

Parte 1

Observe las siguientes

figuras armadas con

fósforos:

La secuencia se

completa agregando un cuadrado en la siguiente posición. Este cuadrado, que se agrega, debe compartir un

solo fósforo. (Revise el mecanismo de construcción de las figuras a partir de la anterior)

a. ¿Cuál será la figura que sigue en esta secuencia? Dibújela.

b. ¿Cuántos fósforos son necesarios para armar la figura que ocupa el 7º lugar? ¿Y el 10º lugar? Justifique

su respuesta. ¿Necesita dibujarla?

c. Para la posición 100, ¿cuántos fósforos se necesitan? Justifiquen la respuesta. ¿Necesita dibujarla?

Parte 2

Siguiendo con la secuencia anterior, responda:

Explique si es posible que, en alguna ubicación, se necesiten 154 fósforos

¿Cómo harían para saber cuántos fósforos se necesitan para las figuras que ocupan las diferentes

posiciones?

Escriban la respuesta del punto anterior mediante una fórmula. Explique cómo arribó a esta fórmula.


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Parte 3

Teniendo en cuenta la fórmula hallada anteriormente:

Si “f” representa la cantidad de fósforos que hay en cada una de las posiciones, y “p” la posición

correspondiente a esa cantidad, ¿cómo quedaría expresada la relación establecida por ustedes en la fórmula

que hallaron en la parte anterior?

Teniendo en cuenta la nueva expresión de la fórmula, indica la cantidad de fósforos que se necesitarían

para las siguientes posiciones: 9, 27, 48, 98 y 182. Explique en forma general cómo da respuesta a esta

consigna.

Analiza si las cantidades que se detallan a continuación corresponden –o no- a posibles “posiciones” de

la secuencia: 19, 33, 49, 61 y 145.Explique en forma general cómo da respuesta a esta consigna.

Si tengo 1550 fósforos y armo una figura de la secuencia de manera tal que se emplee la mayor

cantidad de éstos: ¿me sobra alguno? ¿cuántos cuadrados me quedan formados?

Parte 4

Reúnase con algunos compañeros, comparta lo resuelto en toda esta actividad.

Con todo lo trabajado, realicen una síntesis de lo resuelto en esta actividad. Comente al resto de la clase el

trabajo integrado por todo su equipo.

Parte 5 10

Realice un análisis similar al anterior con las siguientes secuencias de figuras armadas con fósforos:

10

Para reforzar el trabajo.


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INICIAMOS EL ESTUDIO DEL ÁLGEBRA EN CLASE

ACTIVIDAD N°3

Para separar un patio de un lavadero se

colocan en línea canteros cuadrados

rodeados de baldosas de la misma forma

como muestra el dibujo:

a. Propongan una fórmula que

permita calcular la cantidad de

baldosas que se emplearán para una cantidad “x” de canteros (x natural).

b. Comparta su fórmula con la de sus compañeros y analicen la validez de todas las propuestas. Concluya

sobre éstas.

c. Repiense el problema si las baldosas y los canteros son todos hexagonales –todos congruentes-:

Realice el dibujo;

Produzca su fórmula;

Comparta su resultado con sus compañeros. ¿Se concluye lo mismo que con los canteros

cuadrados?

ACTIVIDAD N°4

Armar equipos de 4 compañeros para trabajar con el siguiente juego a resolver en principio sin calculadora:

Parte 1

Dados 10 números consecutivos y debe encontrarse cuál es la suma de los mismos.

Primera Partida: 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28.

Segunda Partida: 783, 784, 785, 786, 787, 788, 789, 790, 791, 792.

Piensen en alguna estrategia que les permita ganar rápidamente. (No la cuente al resto de los grupos)

Tercera Partida: 6985, 6986, 6987, 6988, 6989, 6990, 6991, 6992, 6993, 6994.

Parte 2

Escriban por grupo la estrategia ganadora -y más rápida- para sumar diez números consecutivos

cualesquiera. Formule cuáles son los argumentos que justifican la validez y eficacia de su estrategia.

Socialice su estrategia y argumentos.


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Parte 3

Discutan y propongan una fórmula que permita, dado el primero de los diez números consecutivos -

cualquiera sea-, obtener como resultado la suma de esos 10 números.

Un representante del grupo deberá socializar y defender la fórmula producida al interior de su equipo.

Parte 4

Teniendo en cuenta las siguientes fórmulas en las que n es el primero de los 10 números consecutivos:

Suma= 45+10.n

Suma=(n+n+9).5

Suma=[(n+4)+(n+5)]:2.10

Suma= (5n+10)+[5.(n+5)+10]

a. ¿Cuáles de estas fórmulas permiten encontrar la suma de los 10 números consecutivos cualesquiera?

b. ¿Cuáles son las razones que les permite asegurarse que las fórmulas escogidas son correctas?

c. ¿Elabore otra fórmula, distinta a las ya trabajadas, que responda a la tarea propuesta?

Comente sus respuestas al resto de los equipos.

Parte 5

a. ¿Es posible que la suma de los 10 números consecutivos dé por resultado 735245? ¿Por qué? Si la

respuesta es afirmativa, ¿cuáles son los números que se han sumado?

b. ¿Es posible que la suma de los 10 números consecutivos dé por resultado 18450? ¿Por qué? Si la

respuesta es afirmativa, ¿cuáles son los números que se han sumado?

ACTIVIDAD N°5

Parte 1

(Para jugar contra el compañero de banco) Cada uno debe escoger dos números naturales que sumen 3000 y

hacer los cálculos indicados. Gana el que obtiene el mayor resultado final.

Cálculos:

1) Multiplicar los números elegidos.

2) Sumar 7 al primero y multiplicar este resultado por el segundo número escogido.

3) Restar al número obtenido en (2) el número obtenido en (1).

Parte 2

¿Hay alguna estrategia que permita ganar siempre este juego?

En caso de existir, explique cuál es y por qué están seguros de que siempre les permitirá ganar. En caso

contrario, explique por qué la estrategia no existe.


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Parte 3

(Para jugar con el compañero de banco y en contra de otra dupla) Cada equipo debe escoger dos números

naturales que sumen 3000 y hacer los cálculos indicados. Gana el que obtiene el resultado final más grande.

Cálculos:

1) Multiplicar los números elegidos.

2) Sumar 7 a cada uno de los números elegidos, luego multiplicar esos nuevos resultados.

3) Restar al resultado de (2) el número obtenido en (1).

Parte 4

¿Hay alguna estrategia que permita ganar siempre este juego?

En caso de existir, explique cuál es y por qué están seguros de que siempre les permitirá ganar. En caso

contrario, explique por qué la estrategia no existe.

ACTIVIDAD N°6

Para pensar de a dos compañeros:

a. Si se suman tres números naturales consecutivos cualesquiera, ¿el resultado es siempre múltiplo de 3?

Si se suman cinco números naturales consecutivos cualesquiera, ¿el resultado es siempre múltiplo de

5?

¿Será cierto que si se suman k números naturales consecutivos cualesquiera, el resultado es siempre

múltiplo de k? (k es un número natural)

b. Analicemos el juego de los cuadrados mágicos:

Complete de manera que la suma de columnas, filas y diagonales sea 9.

3

2 1


4

1 5



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4

2 3

Analice porqué hay casos de estos cuadrados mágicos que no pueden resolverse. Explique.

ACTIVIDAD N°7

Parte 1

Un mago dispuesto a adivinar el número que eligen sus espectadores toma al azar a uno de ellos, Juan, y le

dice:

- Juan, pensá en un número, sumale 7, dividí todo por 3. Luego restale 2 y a lo que te dio

multiplicalo por 6. ¿Qué número obtuviste? Juan le responde, 18. Entonces el mago le adivina el

número pensado.

¿Qué número fue el que había pensado Juan y el mago lo adivinó?

Si el resultado final hubiese sido 6,6, ¿podría el mago haber adivinado el número pensado por Juan?

Explique.

Luego llama a otro espectador, Miguel, y le dice:

- Miguel, pensá en un número, sumale 7, dividilo por 3. Luego restale 2 y a lo que te dio

multiplícalo por 6. ¿Qué número obtuviste? Miguel le responde, buscando confundir al mago, le

responde: -la mitad del número que había pensado.

¿Podría el mago encontrar el número que había escogido Miguel? Si no pudo, explique las razones. Si

lo halló, ¿cómo lo hizo?

Así fueron pasando varios participantes, y el mago seguía luciéndose. En un momento levanta la mano una

mujer que desde lo lejos venía estudiando al mago. La mujer lo desafía al mago:

- Pensé en un número, le sumé 7, lo dividí por 3. Luego resté 2 y a lo que me dio lo multipliqué por 6. Al

resultado, le resté el doble del número que había pensado inicialmente. Con todo ello, me dio 3. ¿Qué

número pensé? El mago, para nada intimidado, logra dejar sorprendida a la mujer.

¿Qué le respondió el mago?

Si el resultado final hubiese sido 2, ¿podría el mago haber hallado el número que pensó la mujer?

Parte 2

Imagínese ser el mago, proponga un truco similar al de la parte 1 para poder encontrar el número que

un espectador piensa.

Comente todo lo resuelto al resto de la clase.


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ACTIVIDAD N°8

En un salón de fiestas hay mesas rectangulares, todas iguales, para 8 personas. Un cierto día de banquete, se

ubican una a continuación de la otra, como se ve en la figura y en cada lugar se coloca una silla: (La imagen es

simplemente un ejemplo con 3 mesas)

El mozo encargado de los preparativos ha llevado 2760 copas de tres tipos distintos: agua, gaseosa y

vino. Si se colocan una de cada tipo en cada uno de los lugares de la mesa, no dejando ningún lugar

vacío, ¿Cuántos invitados a cenar se esperan en este banquete? ¿y cuántas mesas?

Analice la misma situación que la anterior pero llevando 2100 copas.

En otro banquete, en que se dispusieron las mesas también una a continuación de la otra, el mozo lleva

una caja con copas de los tres tipos. En la caja contiene más de 1500 copas con la misma cantidad de

cada variedad.

Al momento de distribuirlas –tal como se había indicado antes- nota que quedaban lugares sin

ocuparse pero que no sobraban mesas. ¿Cuántas copas de cada tipo llevaba en la caja? ¿Su respuesta

es única? ¿Cuántas posibles respuestas hay?

ACTIVIDAD N°9

Analice en pareja los siguientes procedimientos de resolución de una ecuación.

1. Para resolver la ecuación 2(x+8)=10 se utilizaron tres procedimientos:

PROCEDIMIENTO 1 PROCEDIMIENTO 2 PROCEDIMIENTO 3

Como al hacer 2(x+8) debe

dar 10, entonces x+8 tiene

que ser 5. Y para que un

número sumado a 8 de 5,

ese número tiene que ser

negativo. Como -3+8=5

entonces x=-3

2.(x+8)=10

x+8=10:2

x+8=5

x=5-8

x=-3

2.(x+8)=10

2x+16=10

2x=10-16

2x=-6

x=-6:2

x=-3

a. ¿Es cierto que el valor hallado para x es solución de la ecuación?

b. Analicen los procedimientos 2 y 3 ¿Cuál de ellos expresa las mismas ideas que el procedimiento 1?

2. Las siguientes son dos maneras de buscar la solución de la ecuación 5x+10=x+90:

X X X X X X X X X

X X X X X X X X X

X X


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PROCEDIMIENTO 1 PROCEDIMIENTO 2

5. x+10=x+90

5. x+10-10=x+90-10

5.x=x+80

5.x-x=x+80-x

4.x=80

(4.x) :4=80 :4

x=20

5.x+10=x+90

5.x+10-90=x+90-90

5.x-80=x

5.x-80 -5.x=x-5.x

-80=x-5.x

-80=-4.x

-80:(-4)=(-4.x):(-4)

20=x

a) ¿Es cierto que el valor hallado para x es solución de la ecuación?

b) Expliquen los pasos de cada forma de resolución.

3. ¿Es cierto que para resolver la ecuación 𝑦

3+ 𝑦 = −11 conviene triplicar toda la expresión? ¿Por qué?

Si la ecuación fuese 𝑦

3+

𝑦

2= −11, ¿por cuánto convendría multiplicar a toda la expresión? ¿Por qué?

ACTIVIDAD N°10

Una empresa de turismo dispone de dos tipos de vehículos: tipo A y tipo B. Para trasladar 80 turistas usa 4

vehículos tipo A y 6 vehículos tipo B. Sabiendo que no quedan asientos vacíos, ¿cuántos asientos para turistas

pueden tener cada tipo de vehículo?

ACTIVIDAD N°12

Reunidos en equipos de trabajos, realice una síntesis de los saberes que se pusieron en juego a lo largo de este

taller.


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TALLER 4: CONCEPTUALIZACIÓN DE LA NOCIÓN DE

FUNCIÓN

PARA HACER EN TU CASA

ACTIVIDAD 1:

PRIMERA PARTE: A continuación se presentan dos problemas:

Problema N°1:

Carla y su familia viajaron en auto por la ruta 40 del km 0 al km 500. El tanque de nafta tiene una capacidad de

60 litros y pararon a recargarlo una sola vez. Cada 100 km, Carla anotó, en esta tabla, la nafta que tenía el

tanque.

Kilómetros de la ruta 0 100 200 300 400 500

Cantidad de nafta en

el auto (en litros) 15 6 55 45 34 24

¿Cómo trabajaremos en este taller? Este taller también te permitirá profundizar sobre procesos de generalización, pero

reconociendo relaciones denominadas funciones. Aquí trabajarás, en ocasiones, también con

letras, pero el significado de las mismas será otro. Ese trabajo algebraico, se complementará

con trabajos en otros registros como tablas y gráficos, entre otros.

Te proponemos que resuelvas las primeras tareas para que recuperes algunas nociones

relativas al concepto de función, y luego en el cursado presencial avanzaremos sobre tus

producciones y estudiaremos algunos casos específicos de funciones reales.

Una herramienta útil que incorporaremos en el trabajo con funciones será el uso del

software GeoGebra.


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a)- Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V), falsas (F) o no se sabe (NS). Expliquen sus

respuestas.

Comenzaron el viaje con un cuarto de tanque.

En el kilómetro 45 tenían 300 litros de nafta.

El viaje duró 5 horas.

En el kilómetro 200 había 55 litros de nafta en el tanque.

Pararon a llenar el tanque en el kilómetro 102.

En los primeros 100 km gastaron menos nafta que en los últimos 100 km.

b)- Construyan un gráfico cartesiano que represente la variación de la cantidad de litros de nafta del tanque del

auto en función de los kilómetros de la ruta.

Problema N°2:

Martina y Anabella son artesanas y se dedican a confeccionar collares para venderlos el fin de semana en los

puestos de artesanos que están en la plaza Francia de nuestra ciudad. Los siguientes gráficos muestran el

ingreso de las chicas en función de la cantidad de collares que vendieron el día sábado.

a)- Si Martina hubiera vendido 20 collares, como Anabella, ¿Quién habría tenido un mayor ingreso?

b)- A partir de los gráficos, ¿pueden averiguar a cuánto vendía cada chica sus collares ese día? Expliquen.

Martina Anabella


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Para reflexionar…

1. Las relaciones de los problemas 1 y 2, ¿representan una función Matemática? Fundamenten su

respuesta.

2. Comparen los dos problemas y escriban qué semejanzas y qué diferencias encuentran.

SEGUNDA PARTE:

Los alumnos de 3° año de una escuela de Varela están preparando una excursión. Todavía no eligieron el lugar,

pero deciden averiguar los precios ofrecidos por empresas de turismo de la zona.

A la salida de la escuela, se dirigen a una agencia de turismo para conocer los precios. Como está cerrada,

anotan los precios expuestos en la vidriera.

En el precio se incluyen un cargo fijo por viaje y un precio por cada km recorrido, que es el mismo para

cualquier destino.

El viaje se cobra por micro, no por persona. (Capacidad del micro 40 personas).

¿Cuánto costará el viaje a Temaikén que se encuentra a 120 km de Varela?


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Para tener en cuenta….

Para ubicar puntos en el plano se utiliza un sistema de referencia formado por dos ejes

perpendiculares llamado sistema de coordenadas cartesianas, en honor al matemático Francés

René Descartes (1596-1650), quien fue el primero en utilizarlos. El punto donde se cortan los ejes se

llama origen de coordenadas. El plano queda dividido en cuatro zonas denominadas cuadrantes,

que se enumeran como se indica en el dibujo.

Para localizar un punto se dan sus coordenadas cartesianas. Por ejemplo, el punto A =(3;1), donde el

3 corresponde al valor de las abscisas y 1 al de las ordenadas, esta forma de escribir un punto en el

plano se llama par ordenado.

Un gráfico brinda información acerca del fenómeno que se quiere estudiar, ya que permite observar

la variación de una cantidad en relación con otra. Así llamamos variables a estas dos cantidades. En

un gráfico: la variable que se representa en el eje de las abscisas es la variable independiente y la

del eje de las ordenadas es la variable dependiente.


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FUN

CIÓ

N

VARIABILIDAD

DEPENDENCIA

CORRESPONDENCIA

EXISTENCIA

UNICIDAD

Una FUNCIÓN f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente

un elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

A menudo, se consideran funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de

números reales. El conjunto A se llama dominio de la función. El número f(x) es el valor

de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x),

conforme x varía en todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario en

el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa

un número en el rango de f se llama variable dependiente.

Simbólicamente, se puede escribir: f: A→B que se lee: “la función f está definida de A en

B, es decir, tiene dominio A e imagen contenida en B”.

El dominio de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la

variable independiente. Se denota Dom f o Df.

La imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable

dependiente. Se lo denota Im f o If.

Las funciones pueden representarse de distintas maneras, por ejemplo, mediante tabla

de valores, gráficos cartesianos, lenguaje coloquial y fórmulas.


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PARA TRABAJAR EN CLASE

ACTIVIDAD 2

Los alumnos de 5° año de la escuela Normal están organizando su

fiesta de egresados en el salón Alto Belgrano. Quieren construir

un friso en el que colocarán fotos de sus experiencias

compartidas, para lo que han recaudado dinero suficiente para

imprimir 300 fotos de igual tamaño de manera tal que en el friso

no queden espacios libres. Éste tiene forma rectangular.

a)- Marlen y Benjamín están discutiendo cómo recortar el friso. Ella propone recortarlo de manera tal que le entren más fotos a lo ancho que a lo largo pero él propone lo contrario, porque él afirma que la superficie del friso será menor que la que tendrá si las fotos se colocan como dijo Marlen. ¿Están de acuerdo con Benjamín? ¿Por qué? b)- ¿Qué pueden afirmar de las áreas de ambas superficies? ¿Esto se cumplirá para todas las posibles posiciones de las fotos en el friso? c)- ¿Cuáles son los datos que se mantienen constantes y cuáles son los que varían en las medidas del friso? d)- Suponiendo que el área del friso mide 15𝑚2, ¿cuáles podrían ser las posibles longitudes de sus lados? Construyan una tabla extrayendo los datos del archivo GeoGebra dado y analicen cómo se puede visualizar el área del friso en los valores de la tabla.

e)- A partir de los puntos registrados en la tabla, utilicen el archivo GeoGebra dado para graficarlos. ¿Qué forma tendrá la curva que se determina si construyéramos todos los posibles puntos? f)- A partir del archivo GeoGebra ¿cuál será la medida del lado de mayor longitud posible? ¿Y el de menor longitud posible? g)- La relación entre la medida de los lados del friso, ¿representa una función? ¿Por qué? ¿Cuál son las variables dependiente e independiente? ¿Qué valores podrá tomar cada variable? Argumenten sus respuestas. h)- Si la longitud de un lado del friso aumenta, ¿qué sucede con la longitud del otro lado? ¿Y viceversa? i)- Si un lado mide 5,15m, ¿cuánto medirá el otro lado? ¿Y si midiera 3,24m? ¿Y 2,89m?


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Para Reflexionar…

1. A partir de la observación de los cálculos realizados para hallar la longitud del lado restante, ¿qué fórmula les permite hallar la medida de ese lado para cualquier longitud que tenga el otro lado? Grafíquenla en el archivo Geogebra y verifiquen si la curva propuesta en el ítem e. coincide. 2. ¿Cómo cambiaría la fórmula que propusiste en el ítem anterior si el área es cualquier constante k? 3. Indaguen en diferentes textos o en la web que tipo de modelo matemático es el que representa esta situación. Además describan sus características.

ACTIVIDAD 3

Agustín está por inaugurar su propia empresa de taxi en San Rafael, “Taxi

Pronto”, y necesita averiguar los costos de las demás empresas para estar en

competencia con ellas.

El siguiente gráfico muestra información de los datos que tiene Agustín de

“Radio Taxi” y “Taxi San Rafael”, en el que se relacionan los

costos y los recorridos de las dos empresas.

PARTE I

a)- ¿Qué lugar representa el recorrido más largo de los taxis?

¿Y el más corto?

b)- ¿Cuál es el viaje de mayor costo?

c)- Construyan una tabla con los lugares, recorridos y costos

que observan en el gráfico.

d)- En base a los datos observados en la tabla, ¿qué lugares

pueden afirmar que corresponden a recorridos de distintas

empresas? ¿Por qué?

e)- Desde el punto de vista geométrico: ¿cómo se pueden relacionar los lugares recorridos por cada empresa?

f)- ¿Existirá algún lugar en el que coincidan los recorridos y el costo de ambas empresas? En caso afirmativo

digan cuál es, en caso contrario justifiquen sus respuestas.

g)- ¿Qué representan los lugares Bonafide y Hotel Tower? ¿Cómo se dan cuenta?


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h)- ¿Cuáles son los costos de las bajadas de bandera de cada taxi?

i)- Construyan una tabla correspondiente a cada empresa, en la que identifiquen los recorridos y los costos de

cada una (como aún no sabemos que valores corresponde a cada empresa identifícalas con las letras A y B).

j)- La empresa “Radio Taxi” es la que tiene la bajada de bandera a $30 ¿qué recorridos y costos le

corresponden? ¿Y cuáles le corresponden a la empresa “Taxi San Rafael”? Para responder, indiquen ambos

empresas en la tabla anterior.

PARTE II

Ahora les proponemos que utilicen el programa GeoGebra para la representación gráfica.

Inserten en la barra de entrada los lugares recorridos por los taxis (a partir de puntos).

Luego tracen el recorrido de cada una de las empresas de taxis (identifíquenlos con colores

distintos).

a)- ¿Corresponde la representación gráfica con lo que conjeturaste en el ítem h)?

b)- A partir de la gráfica identifiquen los costos para los recorridos hasta 2km y 3km de la empresa Taxi “San

Rafael” y para el recorrido hasta 1km de la empresa “Radio Taxi”. Agreguen estos nuevos datos en las tablas

correspondientes construidas en el ítem i).

c)- ¿Cuál es la variación de los costos de la empresa “Taxi San Rafael” al recorrer desde el punto de partida

hasta 1km; de 1km a 2km y de 2km a 3km? ¿Y de “Radio Taxi”? Extraigan una conclusión de estos datos.

d)- ¿Cómo se identifica el punto de partida de cada empresa en sus gráficas?

e)- ¿Cómo son entre sí las inclinaciones de las rectas de cada empresa? ¿Geométricamente de qué dependen?

f)- Construyan un triángulo rectángulo tal que los vértices que unen la hipotenusa son (0,30) y (1,70) y sus

catetos corresponden al costo y recorrido entre esos puntos que pertenecen a la recta de la empresa “Radio

Taxi”. ¿Qué relación trigonométrica relaciona los datos con los que cuentan (costo, recorrido y ángulo que

determina la inclinación de la recta)? Calculen el valor de esta relación.

g)- ¿Esa relación se mantendrá constante para cualquier triángulo cuya hipotenusa esté sobre la recta?

Para verificar sus respuestas tracen los segmentos que unen los puntos consecutivos de la recta y utilicen la

opción pendiente (ésta indica la tangente del ángulo comprendido entre los catetos de cada triángulo cuyo

cateto paralelo al eje x es de longitud 1) ubicada en la octava herramienta de GeoGebra para aplicarla a cada

segmento y analizar sus valores.

h)- Resuelvan los ítems f) y g) para la empresa “Taxi San Rafael”, partiendo de los puntos (0,25) y (1, 75).


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i)- ¿Qué representan en la situación los dos valores obtenidos para cada empresa?

PARTE III

a)- ¿Cuál sería el costo de un recorrido a 2,3km de la empresa “Radio Taxi”? ¿Y a 6km?

b)- ¿Cuál sería el costo de un recorrido a 1,1 km de la empresa “Taxi San Rafael”? ¿Y a 8 km?

c)- ¿Qué expresión matemática permite calcular los costos de cada empresa para cualquier recorrido? ¿Esta

relación es una función? ¿Por qué? ¿Cuáles son las variables dependiente e independiente? ¿Qué valores

puede tomar cada una?

d)- Les propongo que piensen cuál sería la recta que representa la relación entre los recorridos y los costos que

más le convendría a la empresa “Taxi Pronto” y cuál sería la bajada de bandera y el dinero por kilómetro

recorrido que cobraría esta empresa para competir con las otras dos. Luego grafiquen esta relación.

e)- A partir de la gráfica que realizaste de la nueva empresa “Taxi Pronto”, creen un deslizador de parámetros a

y b de rango (0,6) para verificar si realmente la bajada de bandera y el dinero por kilómetro recorrido que

eligieron son los que más le conviene.

PARA TENER EN CUENTA…

Función Afín Cuando se estudian las variaciones dentro de un proceso, a veces es conveniente encontrar un

modo matemático de representarlas. Para esto, se considera un recorte de la situación, se

identifican las variables relacionadas, se las vincula de alguna manera (mediante expresiones

matemáticas, tablas, gráficos, etc.) y se utilizan diversos conocimientos matemáticos para analizar

estas relaciones, lo que contribuye a entender el fenómeno.

En la tarea anterior el modelo matemático que representa la situación se denomina función afín, y

se escribe 𝒇: ℝ → ℝ /𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃, donde 𝑚 y 𝑏 son números reales. El número 𝑚 es el

coeficiente lineal y se denomina pendiente y, 𝑏 es la ordenada al origen.

La función afín es un buen modelo para analizar situaciones de variación uniforme, es decir,

cuando a variaciones iguales de una variable corresponden variaciones iguales de la otra.


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ACTIVIDAD 4

PARTE I

Observe la siguiente gráfica que muestra el vaciamiento de una pileta que se encuentra inicialmente llena.

Escoja tres puntos cualesquiera de la gráfica, e interprételos en términos de la situación. Identifique

cuáles son las variables.

¿Cuál es la capacidad de la pileta? ¿Entre qué valores varía la cantidad de agua que contiene la pileta?

¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse la pileta? ¿Entre qué valores varía el tiempo de vaciamiento?

¿Qué sucede entre las 12 y las 16 horas posteriores al inicio del vaciamiento?

¿En qué momento, entre que comenzó y finalizó el vaciamiento, la cantidad de agua que salía por hora

fue mayor? Explique.

PARTE II

Observe el nuevo gráfico de otra pileta:


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Identifica las variables que se relacionan en esta situación.

¿Es posible saber si la pileta estaba vacía al inicio de la situación? Explica tu respuesta.

¿Se podría saber si la pileta se está llenando? Si pensás que sí, explica cómo; si creés que no, indica por

qué.

¿Entre qué valores oscila el tiempo y la cantidad de agua que posee la pileta durante toda la situación?

¿Será cierto que, por cada hora que pasa, la cantidad de agua que sale de la pileta es la misma? Si

pensás que sí, calcula cuántos litros de agua salen por hora; si creés que no, explica por qué.

Proponga una ecuación que permita representar a la situación expresada por la gráfica.

PARTE III

¿Qué puede decir de la situación si la ecuación que relaciona a la cantidad de agua en litros que la pileta tiene

(y) mientras transcurre el tiempo en horas (x) es: y= 40+20.x, sabiendo que esta relación se observa durante un

día?

ACTIVIDAD 5

La tabla muestra el área de varios rectángulos con el mismo perímetro pero de distinta base.


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Base (cm) 1 2 3 4 5 6

Área (cm2) 6 10 12 12 10 6

a)- Dibuja algunos rectángulos que cumplan estas condiciones.

b)- ¿Cuáles es el perímetro de todos ellos?

c)- ¿Habrá otros rectángulos que cumplan estas condiciones? Si creen que sí, determinen cuántos; si piensan

que no, expliquen por qué.

d)- ¿Con qué valores de base y altura de un rectángulo de estas características el área será máxima?

e)- ¿Se tratará de una función esta situación? Justifica tu respuesta. En caso afirmativo, ¿Cuáles son las

variables en esta situación?, ¿Entre qué valores se puede tomar la medida de la base de los rectángulos de

estas características? ¿Y entre valores queda determinada el área de estos rectángulos?

f)- Utilicen GeoGebra para representar la variación del área del rectángulo en función de la base.

ACTIVIDAD 6

PARTE I

a. Sea ABCD un cuadrado cuya longitud del lado es 8cm y M es un

punto del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ tal que la medida m(𝐴𝑀̅̅̅̅̅)= x

Exprese algebraicamente, individualmente, el área A del

cuadrilátero MBCD cuando M varía sobre el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Con

ésta, halle al menos dos posibles valores de A.

b. Reúnase con dos o tres compañeros, comparta sus valores hallados de A y completen la tabla

siguiente:

Área (A)

Medida 𝑨𝑴̅̅ ̅̅ ̅ (x)


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c. Analicen la tabla anterior y respondan:

¿Hay valores que no deberían estar en esta tabla? ¿Cuáles y por qué?

¿Cuáles son los valores que puede tomar A? Explicar cómo los obtuvo.

¿Cuál es el valor mínimo y el máximo que puede tomar x?

PARTE II

ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10 cm y en este hay una

parte rectangular sombreada como se muestra en la imagen. Se

construye un cuadrado DMPN, siendo M un punto del segmento

𝐷𝐶̅̅ ̅̅ tal que m(𝐷𝑀̅̅ ̅̅ ̅)= x. Además sea I el punto medio de 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ .

Exprese el área A de la parte sombreada, ubicada dentro del

cuadrado DMPN, cuando M varía sobre el lado 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ .

Identifique entre qué valores varía x y A.

ACTIVIDAD 7

a)- Si el punto de equilibrio del mercado corresponde al precio para el cual coinciden la cantidad (q) de

producto ofrecido O(q) y demandado D(q), determine dicho punto para la siguiente situación de mercado:

𝐷(𝑞) = −𝑞 + 2,9 ; 𝑂(𝑞) = 0,6𝑞 − 0,3

b)- Dados los puntos A=(-3;1), B=(-1;-2), C=(2;0) y D=(0;3) verificar que en el cuadrilátero ABCD:

o Los lados opuestos son paralelos;

o Los lados consecutivos son perpendiculares;

o Las diagonales son perpendiculares;

o Las diagonales se intersecan en su punto medio.

c)- Un prisma tiene dos caras cuadradas de 6 cm de arista. Sus otras caras son rectángulos de 8 cm x 6 cm. La

arista de 8 cm se puede alargar una cierta cantidad x.

Si f(x) representa el volumen del prisma en función de la longitud x que se incrementa su arista, ¿es cierto que

f(x) es una función afín? Justifique y argumente en diferentes registros.


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d)- Un depósito de agua se vacía mediante una bomba. El caudal de agua extraída por la bomba es “parejo”, es

decir, en cada hora extrae la misma cantidad de agua. La bomba fue encendida a las 6:00 de la mañana.

Además se sabe que a las 8:00 el depósito tenía 1000 litros mientras que a las 10:00 todavía había 600 litros.

1. ¿Cuántos litros habrá en el tanque a las 12:00 del mediodía?

2. ¿Cuántos litros de agua había en el depósito al encender la bomba, es decir, a las 6:00?

3. ¿A qué hora se terminó de vaciar el depósito?

4. ¿Cuántos litros quedaban en el depósito a las 7:00? ¿Y a las 7:30?

5. ¿Cuál o cuáles de las siguientes fórmulas pueden usarse para determinar la cantidad de agua que queda

en el depósito () dependiendo de la hora del día?

ACTIVIDAD 8

PARTE I

Dado un cuadrado ABCD de 25 cm de lado, se considera el cuadrado EFGH,

cuyos vértices están a la misma distancia de los vértices del cuadrado

original, como se indica en la figura.

a)- ¿Cuál es el área de EFGH cuando la distancia de E a A es 2 cm?

b)- ¿Habrá algún cuadrado construido de esta forma cuya área sea mayor al

del ítem a)? Si lo hay, encontrar alguno y decir cuál es la distancia que consideraste para encontrarlo.

c)- ¿Habrá algún cuadrado construido de esta forma cuya área sea menor? Si lo hay, encontrar alguno y decir

cuál es la distancia que consideraste para encontrarlo.

d)- Repite la actividad a) para distintos valores de la distancia de E a A.

PARTE II

Juan y María confeccionaron la siguiente tabla de valores, donde la primera columna corresponde al valor de la

distancia de E a A, y la segunda columna es el área del cuadrado EFGH.


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a)- Observa la tabla anterior. Analiza con tus compañeros cada situación

planteada por Juan y María.

b)- Realiza una tabla similar a la anterior, tomando otros valores para la

longitud del segmento EA.

c)- Juan y María, luego de armar la tabla de valores llegaron a distintas

conclusiones, justifica cada una de ellas.

✓ María dice que a medida que EA aumenta, el área del

cuadrado va aumentando.

✓ Juan: “Si la distancia de E a A es 19,5cm, entonces el área

del cuadrado EFGH es 410,5 cm2”

✓ María: “Para alguna medida del segmento AE, el área del cuadrado EFGH es nula”.

✓ María: “Para distintas longitudes del segmento EA el área del cuadrado EFGH coincide”

✓ Juan: “La distancia de E a A no puede tomar cualquier valor, sólo puede tomar casi hasta 25”

✓ Juan: “El área máxima del cuadrado EFGH es igual a 625 cm2 y el área mínima es 312,5 cm2”

d)- A Juan y a María se les presentaron las siguientes

gráficas como posibles representaciones de la

variación del área del cuadrado EFGH (eje de las

abscisas) en función de la distancia EA (eje de

ordenadas):

María asegura que los gráficos 6, 10 y 12 podrían ser

los candidatos, sin embargo Juan considera que los

únicos gráficos posibles de representar tal relación son

el 10 y 12. ¿Con quién están de acuerdo? ¿Por qué se

María y Juan han descartado a todo el resto de las

representaciones? Argumenten sus respuestas.

e)- Hallen una fórmula que permita calcular el área del cuadrado EFGH en función de la distancia de E a A.

PARTE III

a)- ¿Cuáles son las variables en juego? ¿A cuál de ellas le asignamos distintos valores en las actividades

anteriores?


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b)- ¿Podrías determinar cuál de estas variables es independiente? ¿cuál dependiente? Justifica.

c)- ¿Ambas variables pueden tomar cualquier valor real? En caso negativo determina qué valores pueden

tomar cada una de ellas, escríbelo en intervalos.

d)- ¿Cómo están relacionadas ambas variables? ¿Dicha relación se puede escribir algebraicamente? ¿Cómo?

e)- ¿Estamos trabajando con una función matemática? En caso afirmativo escribir el dominio y la imagen de la

misma. ¿Cómo te diste cuenta que es una función? ¿Cómo es su representación gráfica?

Para Tener en cuenta….

Las FUNCIONES CUADRÁTICAS, son un buen modelo para analizar situaciones en las cuales una de

las variables en juego se relaciona con el cuadrado de la otra. Una forma de expresarla es

𝒇: 𝑹 → 𝑹/𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, con 𝑎 ≠ 0.

El gráfico de una función cuadrática es una curva llamada parábola si el dominio es ℝ, o bien un

subconjunto de ésta.

o La parábola es una curva simétrica. Esto significa que hay un eje de simetría que divide a

la curva en dos partes iguales. El eje de simetría en este problema es 4,5. Se llaman

puntos simétricos a aquellos que tienen el mismo valor de la variable dependiente,

pero valores diferentes de la variable independiente. Por ejemplo, en este caso dos

puntos: (2; 70) y (7; 70).

o El punto en que el eje de simetría corta a la parábola se llama vértice y se simboliza

(𝑥𝑣; 𝑦𝑣). En este caso sería el punto (4,5; 101,25). El punto que corresponde al vértice de

la parábola es el único que no tiene un punto simétrico.


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11

Téngase en cuenta que este estudio previo sobre la descripción de la representación gráfica de una función cuadrática, corresponde a funciones cuyo

dominio es el conjunto de todos los números reales. Si esto no fuese así, habría que analizar si los resultados que se van obteniendo pertenecen o no al

dominio funcional. Por ejemplo, si los cálculos de las raíces de una función arrojasen las soluciones x1=-1 y x2=3, y el dominio de la función fuesen sólo los

números reales positivos, entonces debe descartarse a la supuesta raíz x1=-1.

𝒇(𝒙) = 𝒂. 𝒙𝟐 + 𝒃. 𝒙 + 𝒄

¿Cómo representar gráficamente una función cuadrática? Toda función cuadrática puede ser representada gráficamente mediante una curva parábola o subconjunto de ella según el dominio funcional. Para poder trazar su gráfica, considerando en principio un dominio real11, deben tenerse en cuenta algunos aspectos característicos que la describen. Si la fórmula de la función cuadrática viene dada por:

Ramas de la parábola:

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos

de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola

convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el signo que tenga el coeficiente cuadrático de la

fórmula de la función (“a”):

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba.

Por ejemplo: f(x) = 2x2 − 3x − 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo.

Por ejemplo f(x) = −3x2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Ordenada al origen:

Se denomina ordenada al origen al valor de la variable dependiente que se relaciona con el valor cero de la variable independiente. Gráficamente corresponde al punto de coordenadas (0;c), siendo “c” el término independiente de la ecuación de función cuadrática. Por ejemplo f(x) = x² − 4x + 3


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𝒙 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Raíces:

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el

valor o los valores que adquiere la variable independiente, cuando la variable dependiente es

cero. Estos determinan en la representación gráfica el o los puntos de la forma (xi ; 0) que son

las intersecciones de la representación gráfica con el eje de abscisas. A esos valores de la

variable independiente, “xi”, se los denomina raíces de la función cuadrática, y se calculan

mediante la fórmula de Bhaskara.

Y como puede observarse, en la fórmula aparece el símbolo “±” que

indica que deben realizarse dos cuentas:

𝒙𝟏 =−𝒃 + √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂 𝒙𝟐 =

−𝒃 − √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Vértice:

Por otro lado puede observarse que las representaciones gráficas de funciones cuadráticas

tienen un punto extremo, ya sea un máximo o un mínimo, denominado vértice. Este punto

tiene coordenadas (xv ; yv).


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ACTIVIDAD 9

a)- En un terreno un granjero quiere delimitar una región para sembrar hierbas aromáticas de forma

rectangular con un alambre de 40m para hacer una zona de cultivos. Este terreno limita con un único vecino

que tiene construida su medianera de más de 40m de largo (ver esquema). Sobre dicha medianera se quiere

apoyar uno de los bordes que delimitan la zona de cultivos. Todo el recinto será bordeado por el alambre,

incluso el lado que está contra la medianera.

Como el dueño de la medianera es el vecino, el granjero deberá solicitarle autorización para hacer uso de la

misma, indicándole qué parte de ella será ocupada.

Para calcular las coordenadas del vértice se tienen en cuenta las siguientes fórmulas:

** La abscisa del vértice se calcula mediante: 𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

Cabe señalar que este valor corresponde al valor medio entre el valor asignado a las raíces de

la función.

** La ordenada del vértice es la imagen, a través de la función, del valor de la abscisa del

vértice: yv =f(xv)

Es decir que yv = a. (xv)2 + b.( xv) +c

Cabe señalar que, como ya se ha observado, si la función presenta ramas hacia arriba

entonces este vértice es un “mínimo” y si presenta ramas hacia abajo el vértice es un

“máximo”.


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a. ¿Cómo diseñarían la región si quisieras maximizar el área de cultivo? ¿Qué deberían informarle al

vecino en ese caso?

b. Propongan un gráfico que describa el área de los distintos rectángulos que representan al terreno de

cultivo en función de la longitud del lado apoyado contra la medianera. Indicar en él el área máxima.

b)- Se quiere construir figuras con la misma forma pero de distinto

tamaño, formadas por un cuadrado y un rectángulo unidos. La base

del rectángulo tiene la misma medida que el lado del cuadrado, y su

altura mide la mitad de la base. Aquí se muestra uno de esos

dibujos.

a- Si el lado del cuadrado midiera 9 cm, ¿Cuál sería su área?

b- Completa la tabla. Los valores representan la relación entre el lado del cuadrado y el área de la figura.

L (cm) 1 2 3 4 5

Área (cm2)

c- Decidí si la situación representa a una función lineal. Justifica tu respuesta.

d- ¿Es posible averiguar cuánto mide el lado L si se sabe que el área de la figura es 216 cm2? Si creen que

sí, calculénlo; si piensan que no, expliquen por qué.

ACTIVIDAD 10

a)- Sabiendo que las siguientes tablas representan a una función:

x 0 1 2 3 4 5

F(x) 2 3 6 11 18 27

x 0 1 2 3 4 5

F(x) 1 3 5 7 9 11

x 0 1 2 3 4 5

F(x) 0 3 12 27 48 75


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¿Cuáles pueden representar a funciones afines?

b)- Completar para que la frase sea correcta:

a. Sea k un número real, si f es una función cuya representación algebraica es f(x)=k.x2+6.x+1, para que f

tenga una única raíz entonces k es …………………………………….

b. Si r es un número real, f es una función representada algebraicamente mediante la ecuación f(x)=4x2-

6.r.x+2 y f(-0,5)=3, entonces r es ………………………………………………..

c. Si g es una función cuadrática tal que sus raíces son x1=3 y x2=-2, entonces su ecuación es

………………………………….……………………………………………………………………………..

d. Si g es una función cuadrática tal que sus raíces son x1=3 y x2=-2 y que g(1)=5, entonces su ecuación es

……………………………………………………………………………………………………………..

ACTIVIDAD 11

a)- La fórmula y = 100 – 5x2 permite describir aproximadamente la variación de la altura y (en metros) a la que

se encuentra un objeto que se deja caer desde una altura de 100 metros en función del tiempo x (en segundos)

desde que se lo suelta.

a- Representen gráficamente la información dada en la fórmula anterior utilizando el programa

GeoGebra. ¿Qué parte del gráfico representa la situación de caída del objeto? ¿Por qué?

b- Marquen sobre el gráfico el punto que representa el momento en el que el objeto se encuentra a 20

metros del piso. ¿Cuántos segundos pasaron desde que se lo dejó caer?

c- ¿En qué momento el objeto llega al piso?

b)- Un objeto se arroja hacia arriba en forma vertical. La variación en la altura y (en metros), a medida que

transcurre el tiempo x (en segundos), desde que se lanza el objeto puede describirse aproximadamente con la

fórmula: y = 80.x -5.x2

a- Grafica la función utilizando el programa GeoGebra.

b- ¿Cuánto tiempo tarde el objeto en volver al suelo?

c- ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

d- ¿En qué instante se encuentra a 140 metros del suelo? ¿Y a 240 metros?


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e- Se sabe que el objeto estará a 108,75 metros luego de 1,5 segundos. Determiná en qué otro

instante se encontrará a la misma altura.

c)- 1. Representen en tablas, la variación del perímetro y del área de un cuadrado cuando cambia la longitud

del lado.

2. ¿Es cierto que al aumentar la longitud del lado del cuadrado (1 cm cada vez) el perímetro se incrementa

siempre de la misma manera? ¿Y el área? ¿Por qué?

3. Utilizando el programa GeoGebra realicen la representación gráfica de cada tabla ¿Qué tipo de funciones

representa cada gráfico? ¿Por qué?

ACTIVIDAD 12

Dadas las siguientes fórmulas de funciones y gráficas de parábolas, decidan cuál/les de las gráficas podrían

servir como representación gráfica de cada una de las fórmulas. Fundamenten.


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ACTIVIDAD 13

PARTE I

Expresen la variación del área coloreada en función de la longitud x;

determinar qué valores puede tomar x y hallar para qué valor de x el

área es 132m2.

PARTE II

Un punto P se mueve sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo

isósceles ABC.

Para distintas posiciones de P se puede definir un rectángulo como se

muestra en la imagen.

¿Para qué posición de P el rectángulo definido tiene área máxima? ¿Cuál

es ese valor?

ACTIVIDAD 14

Reunidos en equipos de trabajos, realicen una síntesis de los saberes que se pusieron en juego a lo largo de

este taller y construyan un esquema relacionando todos los conceptos involucrados.


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TALLER 5: PRÁCTICA DE LECTURA, ESCRITURA Y

ORALIDAD (P.L.E.O)

MATERIAL PARA PRÁCTICAS DE LECTO COMPRENSIÓN PARA INGRESOS 2018

¿Cómo abordar un texto para comprenderlo?12

La comprensión de un texto muchas veces no es una tarea fácil, por esta razón, existen técnicas para poder realizar una lectura más productiva. Una de ellas es la técnica de las cinco lecturas:

Cinco lecturas 1. Lectura exploratoria o paratextual: consiste en una lectura espontánea del texto. Es una lectura rápida de los paratextos (todo lo que acompaña al texto): títulos, subtítulos, imágenes, epígrafes, prólogos, gráficos, cambios de letras, etc. El/la lector/a lee el título y a partir de allí realiza una hipótesis acerca del contenido del texto. Formulación de hipótesis: ¿de qué puede tratar el texto? ¿Qué dato me aportan las imágenes o gráficos para establecer una hipótesis predictiva? ¿La fuente me revela datos: puedo arriesgar una tipología textual, una intención de escritura? 2. Lectura contextual: se buscan todos los datos contextuales relacionados con el/la autor/a, el lugar donde se publicó el texto, el tipo de lector/a al/la que va dirigido, intención con la que fue escrito (contexto de producción/ circulación/ reconocimiento). Se analizan los elementos de la comunicación (no debemos olvidar que el texto es una unidad de comunicación).

En el ámbito científico, los textos muchas veces circulan por Internet, por lo que es fundamental analizar los datos que aportan las fuentes, con el fin de darle seriedad y validez académica a nuestro trabajo y también para orientar la comprensión del mismo. En este sentido, sabemos que si por ejemplo, se cita un texto que habla sobre un hecho histórico, no es lo mismo que el artículo sea de Felipe Pigna a que sea de Félix Luna. Por lo tanto, siempre es necesario preguntar: ¿Quién escribió el texto? ¿En dónde lo publicó? ¿En qué fecha lo publicó? ¿De dónde se extrajo el texto (Internet o libro)? Estos datos respaldan y dan seriedad a nuestro trabajo y además, evitan el plagio. 3. Lectura técnica: aquí el/la lector/a deberá analizar en profundidad el texto. Esto supone realizar una serie de pasos: Realizar la desambiguación léxica: deducirá por cotexto o con ayuda del diccionario el significado de las

palabras que desconozca. Aquí también resulta absolutamente práctico trabajar con la etimología de las palabras a través del análisis de ciertos prefijos o sufijos. Ej. “…en la Edad Media prevaleció una concepción teocéntrica del universo” (teo: dios/ dios ocupa el centro del universo) o, en otro ejemplo, “una rama de la biología estudia la morfología de los organismos” (morfo: forma / logía: estudio de). En este orden, la consigna que no debe faltar en una guía de comprensión lectora es: - Subraye las palabras cuyo significado desconozca y deduzca su significado por cotexto, etimología o con

ayuda del diccionario.

12

El modelo básico de comprensión lectora establece tres momentos básicos: prelectura, lectura y poslectura. El modelo de las cinco lecturas aquí presentado, no pretende suplantarlo sino complementarlo y aclararlo.


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Reconocer la diagramación: observará cómo está organizado el texto. Ejemplo: un cuento está escrito en prosa, tiene diferentes párrafos; una noticia está escrita en prosa, tiene un título, subtítulos, copete, bajada, columnas, fuente.

Determinar la tipología textual: expositiva, narrativa, argumentativa, instructiva. En este sentido, debemos saber que en ocasiones las tipologías no son puras, por lo que el/la docente guiará al/la estudiante a partir de la siguiente pregunta que permitirá establecer su tipología: ¿Con qué intención fue escrito?

Tipología textual ¿Con qué intención fue escrito?

Expositiva INFORMAR SOBRE UN TEMA DETERMINADO

Narrativa NARRAR O CONTAR UN SUCESO

Argumentativa CONVENCER O PERSUADIR SOBRE UN TEMA

Instructiva DAR PASOS A SEGUIR PARA OBTENER UN

PRODUCTO

Identificar la estructura: básicamente los textos poseen tres partes que son la introducción, el desarrollo y

la conclusión. Sin embargo, dos tipologías textuales poseen superestructura canónica: el texto narrativo (situación inicial, complicación, resolución, situación final, coda) y el texto argumentativo (punto de partida, tesis, demostración y conclusión).

A su vez, los textos expositivos que circulan en el ámbito académico pueden presentar estructuras u organizaciones tales como causa-consecuencia, problema- solución, cronológica, descriptiva o comparativa (SE RETOMARÁN MÁS ADELANTE EN LAS TÉCNICAS DE ESTUDIO).

Responder preguntas que guiarán la comprensión del texto: cada texto demandará sus propias preguntas de acuerdo con el tema que aborde. En este punto, los docentes no deben pasar por alto la lectura inferencial, es decir, realizar preguntas que apunten a indagar sobre aquello que no está en la superficie del texto, sino que es necesario deducir.

Identificar recursos o procedimientos: ¿de qué elementos se vale el/la autor/a para dar a conocer sus ideas? Algunos recursos son: ejemplificaciones, comparaciones, citas de autoridad, descripciones, analogías. El/la docente debe poner énfasis en la localización de dichos recursos a partir de los marcadores textuales y dotarlos de sentido. Por eso es importante pedirles a las/os estudiantes que busquen en qué parte del texto se define tal aspecto, qué otro ejemplo podríamos agregar, o qué nueva voz se incorpora al texto y por qué (cita), etc. A continuación se da un detalle de los recursos más utilizados13:

13

Se consultó el Cuadernillo de PLEO 2017 elaborado por los profesores Andrea Ayala, Miguel Aldave, Carolina Elwart, Lucia Molinero, José Luis Morales, Silvana Yomaha.


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Recurso o

procedimiento

Definición Marcadores

textuales

Ejemplo

Definición Consiste

básicamente en

decir qué es algo y

qué características

distintivas posee.

Se llama, se refiere

a, se define como,

y está constituido

por, contiene,

comprende…

La matemática es la ciencia

deductiva que se dedica al

estudio de las propiedades

de los entes abstractos y de

sus relaciones.

Ejemplificación Es un

procedimiento que

concreta una

formulación

general o abstracta

poniéndola en el

escenario de una

experiencia más

próxima al/la

interlocutor/a.

Por ejemplo, a

saber, así, en

concreto,

pongamos por

caso, sin ir más

lejos, etc.

La diversidad genética es

el número total de

características genéticas

dentro de cada especie. Por

ejemplo, la población de

alrededor de 100 leones

(Panthera leo) del Cráter

Ngorongoro en Tanzania.

Reformulación Sirve para expresar

de una manera más

inteligible lo que

está formulando en

términos

específicos (más

abstractos o

formales) que

resultan oscuros

para el/la

interlocutor/a.

Bueno, o sea, esto

es, a saber, es

decir, quiero decir,

en otras palabras,

mejor dicho y

similares.

Durante el renacimiento, la

concepción era

antropocéntrica, es decir

que el hombre ocupaba el

centro del universo.

Cita de

autoridad

Consiste en incluir

en el texto palabras

de especialistas en

la temática

abordada con el fin

de garantizar que lo

expuesto proviene

de alguna fuente

confiable.

Se reconocen

porque aparecen

después de los

dos puntos y

están entre

comillas. Sin

embargo la cita

puede no ser

directa, y en ese

caso se trata de

una paráfrasis (se

reformula lo que

el especialista

dijo).

Cita directa: el escritor

Julio Cortázar al referirse

a la literatura fantástica

afirma: “…yo me di

cuenta que mi noción de

lo fantástico no tenía

nada que ver con la

noción que podía tener

mi madre, mi hermana,

mi familia y mis

condiscípulos (…) yo me

movía con naturalidad en

el territorio de lo

fantástico sin distinguirlo

demasiado de lo real. ”


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Paráfrasis: Según

Cortázar cada cual

deberá definir lo que

siente fantástico en un

cuento, porque para él no

es más que un

sentimiento visceral. Es

negarse a aceptar la

realidad tal como nos la

han querido imponer y

explicárnosla nuestros

padres y maestros. Especificar el tema: el tema de un texto responde a la pregunta ¿de qué trata el texto? El tema se resume

en una oración básica.

4. Lectura inferencial: en esta lectura se deduce toda aquella información que no está dicha en el texto, es todo aquello que no se formula explícitamente porque está ‘oculto’ o se da por sobreentendido. Es necesario aclarar que esta lectura forma parte de la lectura analítica, pero que, para efectos prácticos, se la separa de ella con el fin de resaltarla: no debemos olvidarnos de hacer preguntas que apunten a la inferencia de información. En esta línea, las preguntas que nos pueden ayudar son: ¿Por qué el/la autor/a habrá publicado el texto en este medio y no en otro?, ¿Qué habrá querido decir el/la escritor/a cuando expresa X cosa?, ¿Por qué razón habrá incluido esa imagen?, ¿Por qué el/la autor/a utiliza tal expresión?, ¿Por qué cita a este/a especialista y no a aquel/lla otro/a? , etc. 5. Lectura representacional: esta lectura está asociada a la valoración de aquellos conceptos, datos o información que aporta el texto trabajado: ¿Qué sabía del tema antes de leer el texto?, ¿Qué aprendí luego de leerlo y comprenderlo? Se considera que la lectura está completa cuando el/la estudiante puede resumir o representar la información del texto: síntesis, cuadro comparativo, cuadro sinóptico, mapa conceptual, etc.

Toda técnica de comprensión lectora supone momentos básicos:

ANTES DE LEER EL TEXTO 1. Prelectura

DESPUÉS DE LEER EL TEXTO 2. Lectura

3. Poslectura

Prelectura: lectura paratextual / lectura contextual Lectura: lectura analítica /lectura inferencial Poslectura: lectura representacional


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LOS TEXTOS EXPOSITIVOS

Técnicas de estudio que se abordan en la lectura representacional

Como dijimos anteriormente, la comprensión del texto no está completa hasta que La/el estudiante

puede volcar la información central o nuclear del texto a un nuevo texto o esquema. En este punto transitamos

la lectura representacional.

Los textos expositivos tienen como intención informar sobre un tema determinado. La información

puede estar organizada en distintas tramas (Meyer, 1985): descriptiva, comparativa, secuencial o cronológica,

causa- consecuencia, problema-solución.

De acuerdo con la trama, debemos elegir una u otra técnica de estudio y su respectivo organizador

gráfico:

- Texto expositivo descriptivo: cuadro sinóptico. Por ej. un texto que expone acerca de los incas.

Los incas

El imperio de los incas fue el más extenso y civilizado de la época prehispánica. El

gobierno era ejercido por el Inca, al que consideraban sagrado y cuyo poder era hereditario; él

residía en el Cuzco, capital del imperio. Allí impartía justicia. 1°párrafo: forma de gobierno

La base económica de los incas era la agricultura, en la que fueron muy superiores a los

demás pueblos americanos. Abonaban las tierras de labranza con el guano acumulado en las

costas del Pacífico; trabajaban las sierras en forma de andenes y practicaban el riego artificial.

Cultivaban maíz, papa, haba, pimiento y batata. La carne la conservaban desecada en forma de

charqui. Sobresalieron en numerosas técnicas, entre las que podemos mencionar la cerámica, en

la que fueron verdaderos artífices; el tejido con lana de vicuña, de llama o de alpaca, que

teñían con colores firmes; en la madera y en los metales. 2°párrafo: organización económica

En arquitectura los incas fueron superiores. Aún se conservan colosales construcciones

realizadas con grandes bloques de piedra tallada: calles, puentes, etc. Para asegurar las

comunicaciones ellos construían carreteras pavimentadas con piedra y puentes colgantes o

flotantes a través de los ríos. 3° párrafo: arquitectura

Los incas reconocían al sol como divinidad principal, además adoraban a la luna, a algunas

estrellas y a las fuerzas naturales. 4° párrafo: religión y creencias

Su elevado nivel cultural estaba sintetizado en el saludo que constaba en tres frases que

significaban: no mientas, no robes, no seas haragán.

Josefina Passadori y otros. Manual del alumno (texto adaptado)


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Antes de elegir el esquema correcto nos preguntamos: ¿Qué organización predomina en el texto?

Se señalan causas y consecuencias asociadas a los incas.

Se señalan problemas y soluciones referidos a la cultura de los incas.

Se describe a los incas. X

Se compara a los incas con los mayas.

Se narra el origen y progreso de los incas.

Por lo tanto, ¿qué esquema u organizador debo elegir? En este caso se opta por un cuadro sinóptico:

- Texto expositivo comparativo: cuadro comparativo. Por ej. un texto que relate acerca de los animales y los

vegetales. En esta oportunidad se describe a cada ser vivo, pero predomina la comparación (ver los conectores

subrayados).

Los animales y los vegetales

Los seres humanos no florecemos ni necesitamos que nos rieguen para crecer. Las

plantas no juegan ni hacen gimnasia. Sin embargo, a pesar de las enormes diferencias, tenemos

mucho en común. Todos los seres vivos necesitan alimentarse. Este proceso se llama nutrición.

Los seres humanos comen plantas y animales. De la comida obtienen energía suficiente para

que el cuerpo funcione y pueda crecer y desarrollarse. En contraposición, los vegetales fabrican

su propia comida. Son los únicos seres vivos capaces de tomar la energía del Sol y

transformarla en alimento. Para llevar a cabo este proceso, las plantas necesitan suelo fértil,

agua y un gas que se encuentra en el aire llamado dióxido de carbono. 1°párrafo: nutrición o

alimentación

Inca

s

Gobierno

Economía

Arquitectu

ra

Religión


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Para generar energía a partir de la comida, todos los seres vivos realizan un proceso

llamado respiración. Durante el día las plantas toman dióxido de carbono del aire y expulsan

oxígeno. Para producir el oxígeno que las plantas devuelven al aire necesitan luz solar (nunca

producen oxígeno de noche) y dióxido de carbono. En cambio, en los seres humanos, el

proceso de respiración consiste en tomar oxígeno y expulsar dióxido de carbono. 2°párrafo:

respiración

En cuanto al movimiento, la mayoría de los animales y, por supuesto, el hombre y la

mujer, pueden mover todo su cuerpo. El movimiento se efectúa al trasladarse de un lugar a otro

se llama locomoción. Los vegetales no se mueven de manera tan visible, pero lo hacen. Si se

coloca una planta cerca de la ventana, a los pocos días las hojas se inclinan buscando al Sol;

pero las plantas sólo pueden mover ciertas partes y no se desplazan de un sitio a otro. 3°

párrafo: forma de locomoción o movimiento

Asimismo, todos los seres vivos se desarrollan. Al igual que la mayoría de los animales,

los seres humanos crecen hasta alcanzar una cierta talla. Luego, el crecimiento se detiene. En

cambio, los árboles crecen durante toda su vida. El desarrollo de algunas plantas se detiene

solamente en determinadas épocas del año. 4°párrafo: desarrollo o crecimiento

Finalmente, los seres vivos también se reproducen. La reproducción es esencial para que

la vida continúe. En los seres humanos es sexual, a través de la unión de un espermatozoide

masculino y un óvulo femenino. Las plantas, en su mayoría, también se reproducen

sexualmente. Los órganos de reproducción se hallan en la flor. 5°párrafo: reproducción

A.A.V.V Mundo Cercano, Aique, Buenos Aires (fragmento adaptado).


Se señalan causas y consecuencias asociados a las plantas y animales.

Se señalan problemas y soluciones asociados a las plantas y animales.

Se describe a las plantas y animales.

Se compara a las plantas y animales. X

Se narra algún hecho sobre las plantas o animales.

Por lo tanto, ¿qué esquema u organizador debo elegir? En este caso se opta por un cuadro comparativo:

Variables Animales Vegetales

Nutrición

Respiración

Locomoción


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Crecimiento

Reproducción

- Texto expositivo secuencial o cronológico: línea de tiempo. Por ej. un texto que habla sobre San Martín. En

esta oportunidad se cuenta o narra en orden cronológico la vida y obra del general (ver las fechas destacadas).

José de San Martín

José Francisco de San Martín nació en Yapeyú, Virreinato del Río de la Plata, el 25 de febrero

de 1778. Fue un militar y político rioplatense cuyas campañas revolucionarias fueron decisivas

para las independencias de Argentina, Chile y Perú. . 1° párrafo: nacimiento

En abril de 1784, cuando tenía seis años, llegó con su familia a Cádiz, España y se radicó luego

en la ciudad de Málaga. . 2° párrafo: lugar de residencia

Comenzó sus estudios en el Real Seminario de Nobles de Madrid y en la Escuela de

Temporalidades de Málaga en 1786. Ingresó posteriormente al ejército español e hizo su

carrera militar en el Regimiento de Murcia. Combatió en el norte de África, luego contra la

dominación napoleónica de España y participó en las batallas de Bailén y La Albuera. . 3°

párrafo: estudios y carrera política

Con 34 años, en 1812, tras haber alcanzado el grado de teniente coronel, y luego de una escala

en Londres, retornó a Buenos Aires, donde se puso al servicio de la independencia de las

Provincias Unidas del Río de la Plata. Se le encomendó la creación del Regimiento de

Granaderos a Caballo (que hoy lleva su nombre), que tuvo su bautismo de fuego en el combate

de San Lorenzo. (…). 4° párrafo: creación del Regimiento de Granaderos a Caballo


Se señalan causas y consecuencias asociadas a la carrera de San Martín.

Se señalan problemas y soluciones asociados a San Martín.

Se describe a San Martín.

Se compara al general San Martín con Simón Bolívar.

Se narra la vida y obra del general San Martín. X

Por lo tanto, ¿qué esquema u organizador debo elegir? En este caso se opta por una línea del tiempo:


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- Texto expositivo causa- consecuencia: por ej. un texto que refiera sobre la revolución francesa y sus

consecuencias.

La Revolución Francesa

Se conoce con el nombre de revolución francesa al movimiento político, social, económico y

militar, que surgió en Francia en 1789; el mismo que trajo como consecuencia el derrumbe de

la monarquía absolutista, que hasta entonces había regido en Francia, a la vez que originó el

establecimiento de un gobierno republicano democrático y asimismo, la iniciación de una

nueva época llamada ‘La época contemporánea’. La revolución francesa difundió por el mundo

los ideales de libertad y fraternidad, así como el de la soberanía popular; y divulgó,

primordialmente el conocimiento de los derechos fundamentales del hombre y del ciudadano.

En: https://mihistoriauniversal.com/edad-contemporanea/revolucion-francesa/

Fecha de consulta 8/11/17


Se señalan causas y consecuencias asociadas a la Revolución Francesa. X

Se señalan problemas y soluciones asociados a la Revolución Francesa.

Se describe el proceso de la Revolución Francesa.

Se compara a la Revolución Francesa con otras revoluciones.

Se cuenta o narra cómo se produce la Revolución Francesa.

Por lo tanto, ¿qué esquema u organizador debo elegir? En este caso se opta por el siguiente esquema:

1778 nació en

Yapeyú

1786 comenzó sus

estudios en Málaga

1784 se radicó en

España

1812 alcanzó el

grado de Teniente

Coronel

……………

…….. ……………

……..

https://mihistoriauniversal.com/edad-contemporanea/revolucion-francesa/


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-Texto expositivo problema- solución: por ej. un texto que habla sobre la pobreza en Latinoamérica.

La pobreza en Latinoamérica

La pobreza es un grave problema que no desaparece de América Latina. Pese a que en

los últimos años la pobreza latinoamericana ha descendido, no ha habido un incremento del

acceso a los servicios públicos de calidad. Además, sigue habiendo una baja cobertura en

protección social.

Por esto, se deberían aumentar las inversiones en salud, educación e

infraestructuras, aplicándose correctamente tanto en las áreas urbanas como en las rurales.

Asimismo, son importantes las ayudas sociales para una mejor inserción laboral y

unos salarios dignos, sobre todo para los sectores más relegados, como es el caso de las

mujeres.

Para acabar con el hambre y la escasez, varias organizaciones de las Naciones Unidas

están trabajando en estos territorios, entre ellas Unicef (Infancia), FAO (Alimentación y

Agricultura) y PNUD (Desarrollo).

Desde CEPAL, se insta a los gobiernos a trabajar unidos y en solidaridad, para que con

el suficiente financiamiento, se puedan asignar políticas que disminuyan el subdesarrollo.

En: https://www.viajejet.com/pobreza-en-latinoamerica/

Fecha de consulta 8/11/17

Revolución

Francesa

Consecuencias:

- abolió los elementos del

feudalismo.

- difundió las ideas de

nacionalismo y democracia.

- abolió las monarquías.

-

…………………………………

………………………

-

…………………………………

……………………….

https://www.viajejet.com/pobreza-en-latinoamerica/


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Se señalan causas y consecuencias asociadas a la pobreza en Latinoamérica.

Se señala como problema la pobreza en Latinoamérica y se presentan posibles soluciones. X

Se describe a la pobreza.

Se compara a la pobreza en Latinoamérica con la pobreza en otro continente.

Se cuenta o narra cómo se produce la pobreza.

Por lo tanto, ¿qué esquema u organizador debo elegir? En este caso se opta por el siguiente esquema:

Pobreza en

Latinoamérica

Soluciones:

- generación de fuentes legítimas

de trabajo.

- ayuda social.

- capacitación laboral.

-

…………………………………

………………………

-

…………………………………

……………………….


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Todos los esquemas se realizan gracias al resumen en el que se

distingue la información nuclear de la información secundaria.

EL RESUMEN: consiste en la reducción de un texto respetando su sentido y empleando las palabras

del autor. Se elabora de la siguiente manera, siguiendo cuatro pasos:

Se separa con corchetes cada párrafo.

Se subraya la información más importante. Se tienen en

cuenta las palabras clave. Generalmente, la primera

oración de cada párrafo sintetiza lo más importante.

Se le coloca un título a cada párrafo a modo de resumen.

Se diseña el organizador gráfico que corresponda, de

acuerdo con la trama que predomine, con la información

que aportan los títulos colocados en el paso tres.


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La lengua es un sistema de signos que utilizamos para

comunicarnos. Usamos el lenguaje para expresar nuestros

sentimientos, para averiguar y para aprender, para conversar, para

trabajar, para divertirnos, cuando necesitamos ayuda, cuando

consolamos a alguien, cuando nos enojamos… En otras palabras,

usamos el lenguaje para pensar, para expresarnos, para actuar.

Con el lenguaje informamos, describimos, sugerimos,

pedimos, mentimos, convencemos. Pero para aprender acerca de la

lengua no alcanza con hablar, es necesario reflexionar sobre lo que

se dice, lo que se lee o lo que se escribe. Esta reflexión es la que nos

permitirá apropiarnos de estrategias para comprender y escribir

textos adecuados a cada situación comunicativa.

Textos para analizar


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Texto N° 1: “Matemáticas para la vida real”

Fuente: https://www.bbvaopenmind.com/matematicas-para-la-vida-real/

Fecha de publicación: 16 noviembre 2017.

Consulta: 17 de noviembre de 2017 (08:30 h)

Escrito por: Laura Chaparro @laura_chaparro

El cálculo matemático es positivo para ejercitar la mente y estimular diferentes áreas cerebrales. Pero,

más allá de eso, tener habilidad con los números es decisivo a la hora de controlar una enfermedad, calcular los

efectos secundarios de una medicación o negociar las condiciones de un seguro.

Diferentes estudios han demostrado que la destreza matemática está relacionada con una mejor salud y

que influye en la toma de decisiones diarias, al analizar los problemas y buscar soluciones con los datos

disponibles, dejando a un lado las emociones. Es más, ser ducho con los números en la infancia podría influir en

conseguir un mejor trabajo en el futuro.

El cálculo matemático es bueno para ejercitar la mente y tiene aplicaciones prácticas en la vida real. Crédito:

Pixapopz

https://www.bbvaopenmind.com/matematicas-para-la-vida-real/


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Mejoran la salud

A Rosamund Snow le diagnosticaron diabetes tipo 1 cuando era adolescente. En un artículo publicado en

la revista British Medical Journal, en la que trabajaba, escribió: “Si quiero ir de tiendas o incluso comer una fruta

tengo que planificar, pensar en lo que sucedió desde mi última inyección y lo que es probable que ocurra antes

de la siguiente. Tengo que llevar suministros de emergencia y hacerme análisis de sangre. Ni siquiera puedo

tomar un trago sin tener que hacer matemáticas”.

La mujer, de 46 años, ilustraba muy bien el papel que tienen los números en el ámbito de la salud,

especialmente, cuando se vive con una enfermedad.

“La diabetes requiere mucha habilidad matemática para manejarla adecuadamente”, señala a OpenMind

Ellen Peters, profesora de Psicología y Medicina en la Universidad Estatal de Ohio (EEUU). Como recuerda la

docente, los pacientes diabéticos tienen que estimar el tamaño de las porciones, calcular la ingesta de

carbohidratos y extraer los datos de las etiquetas de los alimentos. También deben interpretar las lecturas de

azúcar en sangre y otros datos clínicos, además de ajustar sus medicamentos.

Diferentes investigaciones han demostrado que la escasa habilidad matemática de un paciente influirá

negativamente en el control de su enfermedad.

[…]

Tener habilidades matemáticas es decisivo para controlar mejor una enfermedad. Crédito: e-Magine Art.


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Otra visión de la realidad

Jack Smith es profesor en la Universidad Estatal de Míchigan (EEUU) y experto en la enseñanza de las

matemáticas. En el pasado trabajó en la construcción, un sector en el que la geometría y la trigonometría son

fundamentales. “Al cuadrar una esquina, los carpinteros usan el Teorema de Pitágoras, lo conozcan o no como

tal”, destaca a OpenMind.

En la vida diaria, constantemente pensamos en términos matemáticos, como cuando calculamos el

tiempo para llegar a un lugar, consultamos la cuenta bancaria o compramos productos en oferta.

Según Smith, las personas que comprenden las matemáticas –que no implica que fueran brillantes en

esta asignatura en el colegio– son buenas pensando las situaciones cotidianas en términos matemáticos.

“Los problemas del colegio pueden parecer poco realistas pero que aquellos que entienden bien las

matemáticas no tienen dificultad para ver las relaciones entre las cantidades de un problema en cuestión y decidir

cómo pensar para generar respuestas”, apunta el docente.

En una investigación publicada en la revista Current Directions in Psychological Science, Peters ha

estudiado cómo influye la habilidad matemática en la toma de decisiones. Las personas que afrontan el día a día

con la ayuda de los números son menos proclives a sufrir timos y tienden a sopesar las diferentes opciones con

datos, sin dejarse influir por las opiniones o las emociones de otras personas, que sería el camino más fácil pero

menos preciso.

Los carpinteros usan el Teorema de Pitágoras para cuadrar una esquina, lo conozcan o no como tal. Fuente:

wikimedia


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Texto N° 2: “Tener el celular cerca aumenta la distracción

y reduce la capacidad cognitiva”

Fuente: http://www.lanacion.com.ar/2038179-tener-el-telefono-movil-cerca-aumenta-la-distraccion-y-reduce-la-capacidad-

cognitiva

Fecha de publicación: 30 de junio de 2017

Consulta: 30 de junio de 2017 (9:00 h)

Cualquier actividad que genera el teléfono móvil nos llamará la atención, desde una notificación en la

pantalla táctil hasta la señal luminosa de una alerta o el sonido de una llamada entrante. Y si nada de esto ocurre,

igual se verifica la actividad del equipo por las dudas.

No es una novedad para muchos este tipo de comportamientos suelen ser vistos como una obsesión y

una fuente de distracción.

El smartphone puede reducir la capacidad cognitiva de las personas al ocupar sus limitados recursos y, a

su vez, reduce la energía que podría ser destinada para otras tareas. Eso fue lo que determinó un estudio de la

Un estudio de la Universidad de Texas en Austin analizó el comportamiento de unos

800 usuarios de smartphones para determinar cuánto afecta el uso de estos

dispositivos en la capacidad de atención de las personas.

Las personas que tenían el celular a su alcance estaban más distraídas que aquellas que lo guardaban en el

bolsillo o en un bolso, de acuerdo al estudio realizado por la Universidad de Texas en Austin.

http://www.lanacion.com.ar/2038179-tener-el-telefono-movil-cerca-aumenta-la-distraccion-y-reduce-la-capacidad-cognitiva

http://www.lanacion.com.ar/2038179-tener-el-telefono-movil-cerca-aumenta-la-distraccion-y-reduce-la-capacidad-cognitiva


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Universidad de Texas en Austin con cerca de 800 participantes durante dos semanas, con diversas pruebas y

evaluaciones que buscaban reproducir diversas situaciones de uso con un teléfono móvil.

En silencio y sin la modalidad de vibración, los participantes del estudio fueron divididos en tres grupos

para evaluar cómo reaccionaban al dejar el smartphone en el bolsillo, en un bolso fuera de la habitación o sobre

la mesa.

Tras evaluar cada grupo, los investigadores de la Universidad de Texas en Austin determinaron que el

grupo de personas que habían dejado el teléfono móvil fuera de su alcance alcanzaban mejores registros de

retención de información y memoria en una serie de test y evaluaciones. Dentro de esta evaluación quedaron en

segundo lugar los que tenían el smartphone en el bolsillo, seguidos por el grupo que tenían al dispositivo

electrónico al alcance de la mano.

La presencia de los smartphones en la relación también es otro de los casos donde la atención de uno o

ambos integrantes de la pareja están absortos con la pantalla del dispositivo electrónico.

Según un estudio del Pew Research Center, el 42% de los jóvenes de entre 18 y 29 años admitieron que

la tecnología es una distracción dentro de la pareja. En el caso de las personas que oscilan 30 y 49 años, el

porcentaje disminuye considerablemente: pese a ser un número alto, el 29% reconoce este problema.

Este destrato, afecta tanto a las amistades como a las relaciones de pareja, ya tiene un nombre: phubbing,

un término que resulta de la conjunción entre phone (teléfono) y snubbing (desaire) y se define como el acto de

desairar a alguien en un entorno social por mirar al teléfono en vez de prestar atención.

Texto N° 3: “Cómo solucionar las dificultades en la comprensión de los textos”

Fuente: http://www.lanacion.com.ar/589312-como-solucionar-las-dificultades-en-la-comprension-de-los-textos

Fecha de publicación: 4 de abril de 2004.

Consulta: 2 de febrero de 2015 (Consulta: 15:40 h)

Escrito por: Fabiola Czubaj

_____________________________________________________________________________

Cuando la Unesco difundió, en 2003, los resultados de su evaluación internacional de alumnos realizada

en 41 países, la Argentina no quedó bien parada: el 44% de los adolescentes no pudo comprender un texto

sencillo o tuvo dificultades para lograrlo.

De querer revertir su dificultad deberán trabajar muy duro en los próximos años, ya que el 75% de los

chicos con problemas de lectura sin tratamiento antes de los nueve años no logra una recuperación exitosa que le

permita ser un lector experto.

La estimulación de la lectura es 100% eficaz antes de los diez años de edad

http://www.lanacion.com.ar/589312-como-solucionar-las-dificultades-en-la-comprension-de-los-textos


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"Toda la gran plasticidad del cerebro se cierra a los diez años -explica a LA NACION la licenciada

Bibiana Cañás de Ameal, presidenta de la Fundación Latinoamericana de Trastornos del Desarrollo y el

Aprendizaje-. Hasta ese momento, el pequeño cerebro está en pleno desarrollo y todo lo que aprende lo

almacena rápidamente en la memoria a largo plazo."

Por eso es muy útil que desde chiquitos los padres les lean cuentos, les deletreen palabras o les enseñen a

escribir sus nombres a medida que los pequeños lo piden.

Con excepción de la dislexia -una deficiencia cerebral para procesar sonidos y palabras- y el trastorno de

déficit atencional -la imposibilidad de concentrarse en las tareas-, la incomprensión de un texto puede ocurrir por

una disfunción genética o de aprendizaje. Por eso, lo más importante es un diagnóstico preciso de los

subprocesos involucrados en la lectura.

"Todos los chicos que reciben un tratamiento basado en la estimulación de la lectura y en la práctica de

la comprensión antes de los nueve años recuperan ambas capacidades que hoy son deficientes hasta en adultos -

dice desde su experiencia como docente universitaria-. Llegan a la fundación adolescentes que leen muy mal,

porque no han desarrollado la comprensión."

Para procesar un texto, nuestro cerebro pone en marcha múltiples funciones cognitivas en milésimas de

segundo: la memoria, la atención, la percepción, el lenguaje, la lectura y el pensamiento.

"A diferencia del cerebro del adulto, y gracias a la tecnología de última generación para conocer qué

pasa dentro del cerebro infantil y adolescente, podemos conocer científicamente que el cerebro del niño tiene

una gran capacidad de modificarse, ya sea por estímulos externos, el aprendizaje o la maduración", señala la

licenciada Cañás de Ameal. Esa plasticidad en los más chicos ocurre por un desarrollo de las dendritas y los

axones de las neuronas.

"De las dendritas salen nuevas ramas que forman una mayor cantidad de redes en el cerebro -dice la

especialista en neuropsicología de los trastornos del aprendizaje graduada en la Universidad de Miami, en

Estados Unidos-. Esto es propio de los chicos debido a su crecimiento, al aprendizaje y a los estímulos, ocurre

cíclicamente en distintas zonas del cerebro, pero no durante toda la vida: el cerebro adulto podrá modificarse con

estimulación externa."

Un gran almacén

Pero, ¿qué pasa en el cerebro frente a una palabra? Esta, luego de ser percibida visualmente, pasa a

través del nervio óptico y llega al tálamo, "que es como una estación central que enlaza todas las rutas de las

funciones cognitivas", define. De ahí pasa a la zona occipital, en la parte posterior de la cabeza, para un primer

procesamiento. Si la palabra es hablada, en cambio, el tálamo envía la información a las zonas temporales,

ubicadas a los costados de la cabeza.

La zona occipital intenta reconocer la palabra y asignarle pronunciación con la ayuda de la memoria a

largo plazo. Si lo logra, el chico la puede pronunciar. De lo contrario, la palabra pasa a la zona de Broca,

involucrada en el desarrollo del lenguaje, y junto con la parietotemporal la analiza para "ponerle sonido" a cada

letra.


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En la lectura participan 17 zonas cerebrales. "Cualquiera de ellas puede tener un déficit -sostiene la

licenciada Cañás-. Si esto ocurre, el resultado será una lectura pobre y falta de comprensión." La primera zona

evaluada en los chicos para determinar el nivel de comprensión es la zona frontal, que permite el razonamiento

de nivel superior. "Es lo primero que se estudia por sus conexiones de ida y vuelta con todo el cerebro -explica la

entrevistada-. Allí se conoce si la información llega bien al nivel de comprensión."

Alrededor del 10% de los chicos que no pueden comprender un texto sencillo son disléxicos. En ellos, el

entrenamiento y la ejercitación compensan la deficiencia orgánica mediante la "creación" de nuevas zonas que

reemplazan las funciones faltantes.

En los tres primeros meses de tratamiento, asegura la especialista, los chicos logran silabear palabras y

relacionar correctamente la letra y su sonido. La clave para lograrlo es respetar la continuidad del tratamiento y

un promedio de cien horas de ejercitación para "consolidar" la reorganización de las zonas cerebrales.

En cambio, el resto de los chicos que no entienden lo que leen se ubican en dos grupos definidos: los que

leen mal y los que leen bien.

"En el primer caso puede existir un problema en la memoria que no les permite recordar el principio de

la frase cuando llega al final, por lo que el déficit no está en la comprensión sino en la memoria a largo plazo,

que les impide la asociación de ideas previas, o en la memoria operativa, que acumula la información con la que

están trabajando en un momento dado", afirma la licenciada Cañás.

En el caso de los chicos que leen bien, en cambio, sólo un pequeño grupo padece algún problema de

comprensión. "La mayoría no presta atención a lo que lee porque en ellos está tan automatizado el proceso de

lectura que se distraen, ya sea porque esa lectura no los motiva o porque perciben estímulos internos o externos

más importantes", sintetiza.

Un test diagnóstico

Una prueba diseñada por la licenciada Bibiana Cañás permite evaluar en cinco minutos si un chico tiene

desarrolladas las capacidades que va a tener que utilizar para aprender a leer. Y su certeza es del 95%, según los

resultados obtenidos entre 215 chicos de cinco y seis años evaluados, de nivel socioeconómico medio y medio

bajo.

"Ellos son los que realmente están teniendo ahora muchos problemas y a los que tenemos que

enseñarles", dice la especialista.

La prueba, la primera de su tipo nuestro país, es el primer trabajo de prevención y diagnóstico

desarrollado localmente. Consiste en un conjunto de preguntas muy simples de lectoescritura y compresión:

quienes las resuelven tienen sus habilidades cognitivas en orden. Quienes no las completan, presentan algún

déficit, es decir, son chicos en riesgo de presentar desde un mínimo trastorno lector hasta una dislexia.

"Así como el cerebro es plástico para consolidar los nuevos aprendizajes en nuevas redes neuronales,

también es plástico para consolidar los déficit, de ahí que los chicos con problemas de lectura en primero y en

segundo grado terminen la escuela con esos mismos problemas", concluye la especialista.


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Texto N° 4: “El matemático al que los dioses susurraban fórmulas imposibles”

Fuente: https://elpais.com/elpais/2016/04/29/ciencia/1461947303_754418.html

Fecha de publicación: 10 de mayo de 2016.

Consulta: 10 de mayo de 2016 (20:15 h)

Escrito por: Daniel Mediavilla.

En 1913, el matemático G. H. Hardy recibió una carta con un contenido increíble. El autor era un joven

indio, Srinivasa Ramanujan, capaz de producir fórmulas inverosímiles pese a no haber recibido una educación

formal en matemáticas puras. Aunque al principio respondió con escepticismo, Hardy acabó llevando a

Ramanujan desde Madrás, en el sur de la India, al Trinity College de Cambridge (Reino Unido) para tratar de

desentrañar el secreto de aquel genio autodidacta.

Aquel fue, según diría después Hardy, el único suceso romántico de su vida. Su encuentro sirvió para

mostrar al mundo trabajos como las fórmulas que permitían calcular a gran velocidad los infinitos decimales del

número pi. Hoy, un siglo más tarde, el legado de la breve vida de Ramanujan sigue influyendo en matemáticas,

física o computación.

Una película relata la vida de Srinivasa Ramanujan, un matemático indio

autodidacta que revolucionó esta ciencia a principios de siglo

Dev Patel en el papel de Ramanujan

https://elpais.com/elpais/2016/04/29/ciencia/1461947303_754418.html


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La historia de ese encuentro es la que se cuenta ahora en El Hombre que conocía el infinito, una película

que se estrenará el 13 de mayo y que protagonizan Jeremy Irons (Hardy) y Dev Patel (Ramanujan). Desde sus

orígenes, se relata este encuentro improbable, entre un indio religioso, casado con una niña de 10 años y

practicante de una religión que no le dejaba cruzar el mar, con un racionalista ateo miembro de la élite intelectual

eurocentrista de la época.

“No creo en la sabiduría inmemorial de Oriente, pero creo en ti”, le dice en un momento Hardy a

Ramaujan. El indio sentía que un ser superior, su diosa, le susurraba las fórmulas que resolvían problemas

imposibles. Hardy, fascinado por su talento natural, trataba de que él mismo reconstruyese el camino por el que

alguien sin su inspiración pudiese llegar a las mismas conclusiones.

Además de los retos científicos, la película muestra el rechazo al que tuvo que enfrentarse Ramanujan en

Inglaterra. Solo el empeño de Hardy, y el apoyo de unos pocos miembros del claustro del Trinity como J. E.

Littlewood, le permitieron ser reconocido en un mundo que aún justificaba el colonialismo en la existencia de

razas inferiores como las del matemático indio.

El ejemplo de Ramanujan puede utilizarse para apoyar la hipótesis de que el lenguaje matemático es algo

inscrito en el cerebro de todos los seres humanos. Como Mozart hacía con la música, Ramanujan tenía la

capacidad de hacer brotar de su interior fórmulas que sirven para explicar la naturaleza. Millones de años de

evolución habrían creado las estructuras neuronales que sirven para entender el mundo y, en el caso de

Ramanujan, permiten describirlo con las ecuaciones más sofisticadas.

El brillo del matemático indio fue breve. Sus resultados y el apoyo de Hardy le llevaron a la Royal

Society y a ser miembro del claustro del Trinity College, pero no disfrutaría mucho de esos honores. En 1920,

con 32 años y solo siete después de la carta que le llevó a Inglaterra, una tuberculosis que algunos atribuyen en

parte a su trabajo extenuante acabó con su vida.

Texto N°5: “La razón por la que las matemáticas no están en los Premios

Nobel”

Fuente: https://elpais.com/elpais/2017/10/04/el_aleph/1507129711_548572.html

Fecha de publicación: 4 de octubre de 2017.

Consulta: 4 de octubre de 2017 (22:17 h)

Escrito por: Miguel Ángel Morales.

Te contamos la razón y algunas leyendas que han llegado hasta nuestros días

https://elpais.com/elpais/2017/10/04/el_aleph/1507129711_548572.html


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Durante esta semana se están anunciando los ganadores de los Premios Nobel 2017 en todas sus

categorías. Hasta este momento, se han anunciado los de Física, Química y Medicina, y en los próximos días se

anunciarán los ganadores de los de Literatura, Paz y Economía (aunque este último no es un verdadero premio

Nobel).

Como podéis ver, entre las ramas que reciben el Nobel no figura el campo del conocimiento que

tratamos en este blog: las matemáticas. Estando la física o la química, ¿por qué no aparecen nuestras amadas y

apreciadas matemáticas? Hoy vamos a hablar de la razón y de las leyendas que, a lo largo de la historia, han

surgido en torno a ello.

Nos remontamos al siglo XIX. Alfred Nobel, químico e ingeniero

sueco, fue un importante fabricante de armamento y el inventor de la

dinamita (entre otros explosivos). Se hace rico con sus hallazgos

armamentísticos, pero acaba renegando de los mismos debido al daño y al

dolor que pueden causar a la sociedad. Por ello, en su último testamento

deja constancia de que desea que su fortuna sea empleada en instaurar unos

galardones que premien a personas cuyos actos o descubrimientos conlleven

un gran beneficio para la sociedad.

Nobel cita los campos en los que quiere que estos premios se

entreguen: Física, Química, Fisiología o Medicina, Literatura y Paz, e indica

que se deben entregar todos los años por distintas instituciones sin que la

Medalla del Premio Nobel de la Paz otorgado a Rigoberta Menchú. Wikipedia


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Gösta Mittag-Leffler

nacionalidad sea un detalle a tener en cuenta para elegir al ganador. Pero, como hemos comentado antes, no

incluyó a las matemáticas en sus premios. ¿Por qué?

Desde la muerte de Nobel (que se produjo en 1896), han surgido varias teorías acerca de la no inclusión

de las matemáticas en los premios. Vamos a analizarlas.

La primera de ellas nos trae a un nuevo personaje que, como veréis, será protagonista principal: el

matemático, también sueco, Gösta Mittag-Leffler. Esta teoría cuenta que Nobel y Mittag-Leffler no se llevaban

nada bien y que, viendo que este matemático tenía muchas papeletas para recibir el premio, Nobel decidió no

incluir a las matemáticas para que Gösta no se lo llevara.

Bien, esta teoría no tiene demasiados visos de veracidad, ya que no hay ninguna evidencia de que Nobel

y Mittag-Leffler tuvieran suficiente contacto como para poder llevarse tan mal. Cierto es que ambos eran suecos

y vivieron en la misma época, pero Alfred emigró mientras Gösta era estudiante, y a partir de ahí la frecuencia

de sus visitas a Suecia fue bastante baja. Vamos, que ni siquiera tenemos constancia de que se conocieran, así

que de llevarse mal ni hablamos.

La segunda teoría que circula por muchos sitios (hasta en libros),

se centra en esta ocasión en el mundo rosa, y de nuevo tiene a Mittag-

Leffler como protagonista. Esta teoría afirma que Nobel y Mittag-Leffler

lucharon por el amor de una mujer, y que Gösta fue el que se llevó el

gato al agua. Por ello, y también por la posibilidad de que Mittag-Leffler

fuera el galardonado, Alfred Nobel decidió que las matemáticas no

aparecieran en sus premios.

Esta opción también se cae por su propio peso, ya que no se tiene

constancia de que Nobel estuviera con ninguna mujer durante toda su vida (de hecho, según parece murió

célibe). Esto, unido a lo que comentábamos sobre que no parece que él y Mittag-Leffler llegaran a conocerse,

hace que esta posibilidad rosa tampoco sea cierta.

La razón más verosímil tiene que ver con la visión de Alfred Nobel sobre las matemáticas. Él quería

premiar a personas que pudieran hacer algo bueno por la sociedad directamente, mediante descubrimientos e

invenciones que pudieran llevarse a la práctica, y la visión que tenía sobre las matemáticas (más teórica que

práctica) hizo que no pensara en ellas como un campo al que otorgar un premio. En realidad, Nobel no dio

explicaciones sobre ello (al menos no se tiene constancia), pero esta es la explicación más razonable al respecto

de esta cuestión. Podéis echar un vistazo a No Nobel Prize for Math en Snopes, web especializada en desmontar

bulos y leyendas de todo tipo, para ver qué opinan ellos.

Alfred Nobel


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A pesar de todo esto, ha habido matemáticos que han recibido un Nobel en, evidente, otra disciplina.

Entre ellos, podemos destacar a José de Echegaray, que recibió el Nobel de Literatura en 1904; Bertrand Russell,

que recibió también el Nobel de Literatura en 1950; y John Forbes Nash, que fue galardonado con el Nobel de

Economía en 1994.

Para terminar, creo que es interesante comentar que hay muchos premios que se entregan por distintas

instituciones en todo el mundo a personas que realizan aportaciones interesantes y novedosas en matemáticas, y

que algunos de ellos, en cierto modo, pueden equipararse a los Nobel. Los más importantes son la Medalla

Fields, que se entrega cada cuatro años a (generalmente) varios matemáticos con la condición de que sean

menores de 40 años, y el Premio Abel, que se entrega anualmente.

Texto N° 6: “Curiosidades del número Pi”

Publicado en: https://www.muyinteresante.es/ciencia/fotos/curiosidades-del-numero-pi

Disponible en línea. (Consulta realizada 7 de diciembre de 2017. 18:30 h)

Hoy hablamos del número más famoso del mundo: el número Pi.. Origen, fiestas, usos... ¿Desde

cuándo utilizamos el número Pi?

El número Pi es el número más estudiado (y más aclamado) de las matemáticas, pues se trata de

un número que tiene infinitas cifras decimales. Se cree que su origen se remonta al año 2000 a.C y

representa una de las constantes matemáticas más importantes utilizada habitualmente en matemáticas,

física e ingeniería. No en vano, es una de las constantes matemáticas más comunes en las ecuaciones de

la física, junto con el número e (conocido también como número de Euler o constante de Napier).

Se trata de un número tan aclamado que cuenta hasta con su propia celebración. El 14 de marzo

(3/14) a las 01:59 PM es el momento cumbre de la celebración, por la aproximación de seis dígitos:

3,14159.

El 14 de marzo también coincide con el curioso Día Internacional de la Mamada y el Solomillo

(en contrapartida al Día de San Valentín y que hace honor a dos de los placeres más deseados); el día

de publicación de la versión 1.0.0 del kernel de Linux en 1994; el día de nacimiento del físico alemán

Albert Einstein en 1879; el día de nacimiento del naturalista español Félix Rodríguez de la Fuente en

1928; o el día del fallecimiento del filósofo y economista Karl Marx en 1883.

Como homenaje extravagante, aquí tienes una muestra de los 1.500 primeros decimales del

número Pi:

3’1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164

0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172

5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975

6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482

https://www.muyinteresante.es/ciencia/fotos/curiosidades-del-numero-pi


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1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436

7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953

0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381

8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277

0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342

7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235

4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837

2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035

2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904

2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787

6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952

0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959

5082953311 6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900

9848824012 8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379

7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569

6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279

6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983 8505494588

5869269956 9092721079 7509302955

Ahora, conozcamos unas cuantas curiosidades sobre este particular número irracional.

¿Qué es el número pi?

El número pi es la constante que relaciona el

perímetro de una circunferencia con la amplitud de su

diámetro: Π = L/D. Podemos encontrar una

aproximación con cualquier objeto redondo. Se

encuadra dentro de los llamados número irracionales,

por lo que no es un número exacto sino un número

infinito, con infinitas cifras decimales.


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¿Por qué se usa ese símbolo en particular para designar al número pi?

Como símbolo del número pi se emplea la letra

griega pi (la decimosexta letra del alfabeto griego). Fue

utilizado inicialmente por William Jones en 1706 y

popularizado posteriormente por el gran matemático y

físico Leonhard Euler, hacia 1734, que fue el primero

en saber su valor. (Euler es considerado uno de los más

grandes y prolíficos matemáticos de todos los tiempos).

El valor numérico de π truncado a sus diez primeras posiciones decimales, es el siguiente:

El origen del número pi

Los objetos redondos (como la rueda) fueron

utilizados por el hombre desde muy antiguo y, en algún

momento de la historia, los hombres se dieron cuenta de que

esa cifra de “tres y poco” era clave para calcular las

longitudes, áreas y volúmenes de los cuerpos redondos. Así

que, como vemos, ya en la antigüedad se insinuaba que todos

los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el

contorno y su radio. Arquímedes fue uno de los primeros en

aproximarse al valor del número pi.

La utilización oficial del número pi

Habría que esperar al S. XVII para ver convertir esa

correlación en un dígito y que acabara siendo bautizado

finalmente con el nombre de "Pi" (del griego periphereia,

término para designar el perímetro de un círculo). La

notación fue usada por primera vez en 1706 por el

matemático galés William Jones y popularizada por Euler en

la obra "Introducción al cálculo infinitesimal" de 1748.

Anécdotas históricas

El matemático inglés William Shanks consiguió obtener 707 decimales del número pi tras un

trabajo de investigación de casi 20 años. Corría el año 1853. La salvedad de este hito matemático es

que cometió un error en el 528º decimal, por lo que el resto desde ese decimal estaban todos mal.


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En 1957 se empleó el ordenador Pegasus para calcular

decimales de pi: finalmente se consiguieron 7.840 decimales.

En 1961, y empleando un ordenador IBM 7090, se logró llegar

a 100.000 decimales de pi.

Calculando pi con ordenadores

El 20 de septiembre de 1999, Yasumasa Kanada

y Daisuke Takahashi logran 206.158.430.000

decimales del número pi utilizando dos cálculos

independientes. Empleando el algoritmo de Gauss-

Legendre (Brent-Salamin), el programa tardó un total

de 37 horas y 21 minutos en hacer el cálculo. Luego, el

programa de verificación mediante el algoritmo de

convergencia de cuarto orden de Borwein, tardó un

total de 46 horas y 7 minutos. Este Hitachi SR8000 de

la Universidad de Tokio, contaba con la friolera de 128

microprocesadores y una memoria de más de 800 GB

(recordemos que eran los años 90).

El día del número pi

El 14 de marzo de cada año se celebra el Día Mundial

del Número Pi. Esta festividad nació en Estados Unidos en

1988 y ha ido ganando en popularidad desde entonces. En EE.

UU. Incluso llegaron a aprobar en 2009 una resolución

favorable de la Cámara de Representantes en la que se

declaraba el 14 de marzo como Día Nacional de Pi.

Se trata así de un día en el que apasionados de las

matemáticas, la física y la geometría se unen para celebrar por

todo lo alto este Piday como homenaje.


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El origen de la celebración del Día de pi

El físico estadounidense Larry Shawn decidió en 1988

conmemorar este día por el valor de Pi, al coincidir con la misma

fecha en formato americano 3/14. Debido, además, a la similitud de

la pronunciación de Pi con Pie (tarta), es de lo más habituales que

los aficionados a las matemáticas celebren este día comiendo

pasteles y dulces.

Comparaciones asombrosas

Si escribiéramos en línea recta los primeros

200.000 millones de decimales de Pi, poniendo de media

cinco dígitos por centímetro lineal de papel, la tira de

papel sería tan larga que podría dar una vuelta a la

circunferencia de la Tierra.

Usos del número pi

Debido a que este número sirve para calcular el área de un círculo, su perímetro o el volumen

de un cilindro, se aplica a la fabricación de neumáticos, botellas, vasos o relojes. En astronomía,

también se utiliza (por la NASA) para calcular la cantidad de hidrógeno que se requiere en las misiones

espaciales o para calcular las extensiones de territorio de los diferentes planetas. También tiene gran

utilidad en estadística, en trigonometría o en la topografía.

Récord recitando el número pi

El japonés Akira Haraguchi rompió en 2006 su propio récord al recitar 100.000 dígitos del

número pi. Para tan magno suceso, tardó 16 horas y media, parando cada par de horas para beber agua

y descansar un poco. Su anterior marca la tenía en 13 horas y 83.431 dígitos del número pi sin parar de

2002.

Pi hasta en la tumba

El matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610) solicitó que pusieran en su lápida

(como epitafio), un mensaje muy matemático: las 35 cifras del número pi que él mismo había


Página 178 de 184

calculado. Los restos de van Ceulen permanecen en la Iglesia de San Pedro de Leiden (Países Bajos).

Debido a que la lápida desapareció, en el año 2000 se colocó una réplica de la lápida con el singular

epitafio numérico.

Pi en la música

La cantante y compositora británica Kate Bush hizo una versión musical del número Pi,

cantando sus dígitos 'bajo un círculo infinito'. Otro artista, en este caso Michael Blake, nos hizo ver

cómo se podían convertir los sonidos de pi en una canción, pues asignó una nota musical a cada

número y posteriormente tocó una melodía con un gran éxito en las redes sociales.

Pi en el cine

En 1998, la película “Pi, fe en el caos” de Darren Aronofsky nos muestra a un matemático que

cree que el mundo se representa a base de números.

Una referencia menos explícita pero igualmente válida es en la película “Cortina rasgada” del

maestro del suspense Alfred Hitchcock. En ella, una organización de espionaje utiliza como símbolo el

número pi.

¿Cuántos decimales se han calculado?

Hasta el momento se han descubierto hasta 10 billones de decimales de este número irracional

gracias a los ingenieros informáticos Shigeru Kondo y Alexander J. Yee.


Página 179 de 184

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http://acertijos.elhuevodechocolate.com/clasicos/acertijo49.htm

http://acertijos.elhuevodechocolate.com/clasicos/acertijo49.htm

http://www.youtube.com/watch?v=thtodf4hcvE

http://www.youtube.com/watch?v=thtodf4hcvE


Página 181 de 184

o http://www.youtube.com/watch?v=nLhT2jET7WY&feature=endscreen&NR=1

o http://www.youtube.com/watch?v=8a4KrNkFR6M

o http://www.youtube.com/watch?v=1KHJDwbEHms

o http://www.youtube.com/watch?v=Kn15S7w4IA8

o http://www.vadenumeros.es/cuarto/factorizacion-de-polinomios.htm

o http://campus.colegioyapeyu.edu.ar/wp-content/uploads/2012/03/Expresiones_fraccionarias.pdf

o http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/radicales

Tutoriales para uso de Geogebra:

o Para graficar funciones (vista gráfica y algebraica): https://www.youtube.com/watch?v=iMjfjHQJq-

s

o Para construir tablas y graficar funciones: https://www.youtube.com/watch?v=LW_RoAd1Viw

o Para hallar la pendiente de la recta: https://www.youtube.com/watch?v=cPXnlpDaJjc

o Para graficar funciones cuadráticas: https://www.youtube.com/watch?v=RqIEg_md6qc

http://www.youtube.com/watch?v=nLhT2jET7WY&feature=endscreen&NR=1

http://www.youtube.com/watch?v=nLhT2jET7WY&feature=endscreen&NR=1

http://www.youtube.com/watch?v=8a4KrNkFR6M

http://www.youtube.com/watch?v=8a4KrNkFR6M

http://www.youtube.com/watch?v=1KHJDwbEHms

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http://www.youtube.com/watch?v=Kn15S7w4IA8

http://www.youtube.com/watch?v=Kn15S7w4IA8

http://www.vadenumeros.es/cuarto/factorizacion-de-polinomios.htm

http://campus.colegioyapeyu.edu.ar/wp-content/uploads/2012/03/Expresiones_fraccionarias.pdf

http://campus.colegioyapeyu.edu.ar/wp-content/uploads/2012/03/Expresiones_fraccionarias.pdf

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/radicales

https://www.youtube.com/watch?v=iMjfjHQJq-s

https://www.youtube.com/watch?v=iMjfjHQJq-s

https://www.youtube.com/watch?v=LW_RoAd1Viw

https://www.youtube.com/watch?v=cPXnlpDaJjc

https://www.youtube.com/watch?v=RqIEg_md6qc


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ANEXO

RÉGIMEN DE CORRELATIVIDADES DEL PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA (Resol.

655/11)

Gobierno de Mendoza

Dirección General de Escuelas

Dirección de Enseñanza Superior

I.E.S "Del Atuel" N° 9-011

Correlatividades del Profesorado de Educación Secundaria en

Matemática - A partir de cohorte 2012

Resolución N° 0655-11

Añ

o

Có

dig

o

Régim

en d

e

Curs

ado

UNIDADES CURRICULARES

PARA CURSAR PARA RENDIR

Debe haber Regularizado

Debe haber Acreditado

Debe haber Regularizado

Debe haber Acreditado

Prim

ero

C 01 1°C Pedagogía --------------- --------------- --------------- ---------------

C 02 1°C

Prácticas de Lectura, Escritura y Oralidad

--------------- --------------- --------------- ---------------

C 03 1°C Promoción de la Salud

--------------- --------------- --------------- ---------------

C 04 2° C

Historia Política, Social, Cultural y Económica de América Latina

--------------- --------------- --------------- ---------------

C 05 2° C Tecnologías de la Información y la Comunicación

--------------- --------------- --------------- ---------------

C 06 2° C Didáctica General --------------- --------------- --------------- C01

C 07 1°C Geometría I (Asignatura)

--------------- --------------- --------------- ---------------

C 08 2° C

Geometría Analítica (Asignatura)

C07 --------------- --------------- ------------

C 09 A Álgebra I (Asignatura)

--------------- --------------- --------------- ---------------

C 10 A Cálculo I (Asignatura) --------------- --------------- --------------- ---------------

C 11 A Práctica Profesional Docente I

--------------- --------------- --------------- C02

Seg

un

do

C 12 1°C Psicología Educacional

--------------- C02-C03-C05 --------------- ---------------

C 13 1°C

Historia y Política de la Educación Argentina

C04 C02-C03-C05 --------------- C 04

C 14 2° C Sujetos de la C01-C06-C12 C02-C03-C05 --------------- C06-C12


Página 183 de 184

Educación (Asignatura)

C 15 2° C

Instituciones Educativas

C11-C13 C02-C03-C05 --------------- C1

C 16 A Álgebra II (Asignatura) C08-C09-C10

C02-C03-C05 --------------- C-08-C09-C10

C 17 A

Cálculo II (Asignatura) C08-C09-C10

C02-C03-C05 --------------- C08-C09-C10

C 18 A Geometría II (Módulo) C08

C02-C03-C05 --------------- C07-C08

C 19 A

Probabilidad y Estadística I (Asignatura) C09-C10

C02-C03-C05 --------------- C09-C10

C 20 A

Didáctica de la Matemática I (Módulo) C01-C06

C02-C03-C05 --------------- C06

C 21 A Práctica Profesional Docente II C11

C02-C03-C05 C11

Terc

ero

C 22 1°C Filosofía

todas las UC de 1º año

--------------- ---------------

C 23 1°C Unidad de Definición Institucional CFG

--------------- todas las UC de

1º año --------------- ---------------

C 24 1°C Álgebra III (Asignatura) C16


--------------- C16

C 25 2° C

Epistemología de la Matemática C22

todas las UC de 1º año --------------- C22

C 26 2° C Física I

C16-C17 todas las UC de

1º año --------------- C16-C17

C 27 2° C

Unidad de Definición Institucional CFE

--------------- todas las UC de

1º año --------------- ---------------

C 28 A

Geometría III (Módulo) C18

todas las UC de 1º año --------------- C18

C 29 A

Probabilidad y Estadística II (Módulo) C17-C19


--------------- C17-C19

C 30 A

Las TIC en la Enseñanza de la Matemática (Taller)

C18-C19-C20 todas las UC de

1º año --------------- C20

C31 A Didáctica de la Matemática II (Módulo)

C14-C18-C19-C20


25-26-30 C14-C18-C19-

C20

C 32 A

Historia de la Matemática (Seminario)

C17-C18-C19 todas las UC de

1º año ----------------- C09-C10-C18

C 33 A Práctica Profesional C20-C21 todas las UC de -------------- C20-C21


Página 184 de 184

Docente III 1º año

Cu

arto

C 34 1°C Sociología de la Educación

todas las UC de

1º y 2º año ---------------

------------------

C 35 1°C Unidad de Definición Institucional CFE

--------------- todas las UC de

1º y 2º año ---------------

---------------

C36 1°C Matemática Aplicada

C24-C26-C28-C29

todas las UC de 1º y 2º año

--------------- C24-C26-C28-

C29

C 37 2° C

Modelos Matemáticos

C24-C26-C28-C29


--------------- C24-C26-C28-

C29

C 38 2° C Física II

C26- todas las UC de

1º y 2º año ---------------

C26

C 39 2° C

Unidad de Definición Institucional CFG ---------------


--------------- ---------------

C 40 A Cálculo III

todas las UC de

1º y 2º año ---------------

---------------

C 41 A

Cálculo Numérico (Asignatura)

C24-C26-C29-C32


--------------- C29

C 42

A Práctica Profesional Docente IV

Regularizadas la totalidad de

las UC de 3º año


C24-C28-C31-

C32-C33

Documents

PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA · 2018-08-31 · motivo, desde la coordinación del profesorado de Educación Secundaria en Matemática del IES 9-011 ´Del Atuel