Ejercicios propuestos
1. Dado S = {(2,4) , (1,0) , (4,3)}. Determinar si S es LI o
LD.
Primero realizamos la combinacin lineal de S con el cero
vector:
(0,0) = (2,4) + (1,0) + (4,3)(0,0) = (2,4) + (,0) + (4,3)(0,0) =
(2++4 ; 4+3)
A continuacin planteamos un sistema de ecuaciones:
2++4 = 04+3 = 0
Resolvemos este sistema de ecuaciones por el mtodo de gauss; es
decir, colocando el sistema de ecuaciones en una matriz y
escalonamos dicha matriz, para ver si esta tiene nica o infinitas
soluciones:
2 1 4 00 -2 -5 02 1 4 04 0 3 0 F2 = F2 2F1 soluciones
Como existen infinitas soluciones, entonces S es linealmente
dependiente (LD).
2. Dado B = {(1,1,0) , (0,1,1) , (1,0,1) , (1,2,2)}. Determinar
si B es LI o LD.
Primero realizamos la combinacin lineal de B con el cero
vector:
(0,0,0) = (1,1,0) + (0,1,1) + (1,0,1) + (1,2,2)(0,0,0) = (,,0) +
(0,,) + (,0,) + (,2,2)(0,0,0) = (++; ++2 ; ++2)
A continuacin planteamos un sistema de ecuaciones:
++ = 0++2 = 0++2 = 0
Resolvemos este sistema de ecuaciones por el mtodo de gauss; es
decir, colocando el sistema de ecuaciones en una matriz y
escalonamos dicha matriz, para ver si esta tiene nica o infinitas
soluciones:
1 0 1 1 0 0 1 -1 1 0 0 0 2 1 01 0 1 1 00 1 0 2 0 0 1 1 2 0 F2 =
F2 F1 soluciones F3 = F3 F2
Como existen infinitas soluciones, entonces B es linealmente
dependiente (LD).3. Dado C = {(1-x-x2 , 1+x+x2 , -1+x+x2)}.
Determinar si C es LI o LD.
Primero realizamos la combinacin lineal de C con el cero
vector:
(0,0,0) = (1-x-x2) + (1+x+x2) + (-1+x+x2)(0,0,0) = (-x-x2) +
(+x+x2) + (-+x+x2)(0,0,0) = (+- , -x+x+x , -x2+x2+x2)
A continuacin planteamos un sistema de ecuaciones:
+- = 0-++ = 0-++ = 0
Colocamos las ecuaciones en una matriz; como es una matriz
cuadrada, encontramos el determinante por el mtodo de la
estrella:
1 1 -1 0-1 1 1 0-1 1 1 0
|C| = |C| = 0
Como el determinante de C es igual a cero, entonces existen
infinitas soluciones; esto quiere decir que D es linealmente
dependiente (LD).
4. Dado S = {(1,1,0) , (0,1,1) , (1.0.1)}. Determinar si S es LI
o LD.
Primero realizamos la combinacin lineal de S con el cero
vector:
(0,0,0) = (1,1,0) + (0,1,1) + (1,0,1)(0,0,0) = (,,0) + (0,,) +
(,0,)(0,0,0) = (+ ; + ; +)
A continuacin planteamos un sistema de ecuaciones:
+ = 0+ = 0+ = 0
Colocamos las ecuaciones en una matriz; como es una matriz
cuadrada, encontramos el determinante por el mtodo de la
estrella:
1 0 1 01 1 0 00 1 1 0 |A| = |A| = 2 ! solucin
Como el determinante de A es diferente de cero , entonces existe
nica solucin; esto quiere decir que S es linealmente independiente
(LI).
5. Dado A = {(1,1,0) , (3,4,2)}. Determinar si A es LI o LD.
Primero realizamos la combinacin lineal de A con el cero
vector:
(0,0,0) = (1,1,0) + (3,4,2)(0,0,0) = (,,0) + (3,4,2)(0,0,0) =
(+3 ; +4 ; 2)
A continuacin planteamos un sistema de ecuaciones:
+3 = 0+4 = 02 = 0
Resolvemos este sistema de ecuaciones por el mtodo de gauss; es
decir, colocando el sistema de ecuaciones en una matriz y
escalonamos dicha matriz, para ver si esta tiene nica o infinitas
soluciones:
1 3 00 1 00 0 01 3 01 4 00 2 0 F2 = F2 F1 ! solucin F3 = F3
2F2
Como existe nica solucin (la trivial), entonces A es linealmente
independiente (LI).
6. Dado D = {t2+1 , t-2 , t+3 }. Determinar si D es LI o LD.
Primero realizamos la combinacin lineal de D con el cero
vector:
(0,0,0) = (t2+1) + (t-2) + (t+3)(0,0,0) = (t2+) + (t-2) +
(t+3)(0,0,0) = (-2+3 ; t+t ; t2)
A continuacin planteamos un sistema de ecuaciones:
-2+3 = 0 + = 0 = 0Resolvemos este sistema de ecuaciones por el
mtodo de gauss; es decir, colocando el sistema de ecuaciones en una
matriz y escalonamos dicha matriz, para ver si esta tiene nica o
infinitas soluciones:
1 -2 3 00 1 1 00 0 -5 01 -2 3 00 1 1 00 2 -3 01 -2 3 00 1 1 01 0
0 0 F3 = F3 F1 F3 = F3 2F2
! solucin. Como existe nica solucin (la trivial), entonces D es
linealmente independiente (LI).
