DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO Semana 16 1.SISTEMA MECNICO. Se llama sistema mecnico de puntos materiales o de cuerpos, a un sistema complejo en el cual la posicin o el movimiento de cada punto material (o de cada cuerpo) depende de la posicin y del movimiento de todos los dems. Consideraremos tambin a un cuerpo material como un sistema de partculas (puntos) materiales que forman este cuerpo. Un ejemplo clsico de un sistema mecnico es el sistema solar, en el cual todos los cuerpos estn ligados entre s por las fuerzas de atraccin mutua. Como ejemplo de sistema mecnico tambin puede servir cualquier maquina o mecanismo, en el cual tos los cuerpos estn ligados por charnelas, barras, cables, correas, etc. (es decir, por ligaduras geomtricas diferentes). En este caso, los cuerpos del sistema estn sometidos a la accin de las fuerzas de presin o de tensin que se transmiten por intermedio de las ligaduras. 2.FUERZAS EXTERNAS Y FUERZAS INTERNAS. Las fuerzas que actan sobre puntos materiales o cuerpos de un sistema pueden ser divididas en externas e internas. Se llaman fuerzas externas las fuerzas que actan sobre puntos materiales del sistema por parte de otros puntos materiales o cuerpos fuera del sistema. Se llaman fuerzas internas las fuerzas que actan sobre los puntos materiales del sistema por parte de otros puntos materiales que pertenecen a mismo sistema. Designaremos por eFa las fuerzas externas y iF a las fuerzas internas. Las fuerzas internas poseen las propiedades siguientes: | |1 La suma de fuerzas de un sistema es nula. En virtud a la tercera ley de la Dinmica, dos puntos materiales cualesquiera de un sistema actan uno sobre el otro con fuerzas 12iFy 21iFiguales en mdulo y sentidos opuestos, cuya suma es nula. Como para cada par de puntos del sistema se tiene un mismo resultado, tendremos:0 =ipqF| |2 La suma de momentos de todas las fuerzas internas respecto de un centro o eje cualesquiera es nula.0 =iot , Para cada par de fuerzas internas se cumple que: 12 21. . 0 =i iF d F dF21 F12 F13 m1 m2 SISTEMA DE PARTCULAS m3 F31 F21 F12 d m1 m2 TORQUE NULO O DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 2 La fuerzas internas no realizan trabajo cuando el sistema corresponde a un cuerpo rgido. En el caso que el sistema pertenezca a un cuerpo elstico la distancia entre dos puntos materiales es variable, entonces estas fuerzas internas realizan trabajo mecnico. 3.MASA DE UN SISTEMA. El movimiento de un sistema depende no solamente de las fuerzas externas e internas, sino tambin de su masa total y de la distribucin de masas. La masa de un sistema es igual a la suma aritmtica de las masas de todos los puntos materiales o de todos los cuerpos que componen el sistema.= kM mEn un campo de gravedad homogneo, para el cual el valor es constantetan = g cons te, el peso de cualquier partcula ser proporcional a la masa. 4.CENTRO DE MASA. La distribucin de masas de un cuerpo se juzga por la posicin de su centro de gravedad. Transformemos las frmulas que determinan el centro de gravedad, en uno que contenga la masa.. =k kP m gy. = P M gk k= = k kcp x m xxP M,k k= = k kcp y m yyP M, k k= = k kcp z m zzP M El punto geomtrico ( ); ; =c c cC x y zse llama centro de masa o centro de inercia de un sistema mecnico.Se define la posicin del centro de inercia C por el radio vectorCrcuyas coordenadas se obtiene con la siguiente ecuacin: k.= kCm rrM Cuando un cuerpo se encuentra dentro de un campo de gravedad homogneo, la posicin del centro de inercia coincide con la posicin de del centro de gravedad, estas nociones no son idnticas. La nocin de centro de gravedad, como punto por el cual pasa la lnea de accin de la resultante de las fuerzas de gravedad, en realidad tiene sentido solamente para un cuerpo solido que se encuentra en un campo de gravedad homogneo. La nocin de centro de inercia, que caracteriza la distribucin de masas dentro del sistema, tiene sentido para cualquier de puntos materiales o cuerpo materiales, adems esta nocin conserva su sentido independiente del hecho de que este sistema est sometido a la accin de fuerza o no. 5.CONCEPTO DE CUERPO RGIDO. Un cuerpo rgido tiene forma y volumen constante, tal que al aplicarle fuerzas externas la distancia entre dos puntos interiores no cambia. Vamos a estudiar las causas de la rotacin de un cuerpo slido y rgido. Es evidente que para cada partcula de las cuales est hecho el cuerpo, podemos aplicar las leyes para la dinmica de Sir Isaac Newton. A mi Ri Fi ui ROTACIN DEL CUERPO RGIDO DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 3 6.LEY DE ACELERACIN PARA LA ROTACIN.Supondremos que un cuerpo rgido puede girar con respecto de un punto o eje de rotacin por accin de un conjunto de fuerzas. La segunda ley de Newton aplicada a una partcula de masa im , la fuerza tangencial a la trayectoria circunferencia: . . =i i i iF Sen m a u (1) Siendo la aceleracin tangencial ia , relacionando con el movimiento circunferencial uniformemente acelerado, la aceleracin es: . =i ia R odonde oes la aceleracin angular constante comn a todas las partculas que componen el cuerpo rgido. Reemplazando en (1): . . . =i i i iF Sen m R u o (2) Multiplicamos ambosmiembros por iRtenemos; 2. . . . =i i i i iF R Sen m R u o (3) Reconociendo el Torque aplicado al cuerpo rgido respecto del punto A. . . =i i i iF R Sen t u (4) Combinado las ecuaciones (3) y (4) tenemos que: 2. . =i i im R t oHaciendo la sumatoria para todas las partculas que conforman el cuerpo rgido: 2. . =E i i ii im R t oLa aceleracion angular oes igual para todas las partculas. Llamaremos 0tes el momento total de las fuerzas respecto del punto A. 0 = iit tEl momento de inercia del cuerpo con respecto al eje que pasa por el punto A: 2. = i iiI m RFinalmente la relacin entre el toque y la aceleracin angular es: 0. = I t oo de la forma vectorial 0. = I t oComparando con la ley de aceleracin entre la fuerza y la aceleracin tangencial:. =RF ma A mi Ri Fi ui TORQUE RESPECTO DEL CENTRO DE GIRO A Fi.Senui DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 4 7.MOMENTO DE INERCIA. La posicin del centro de masa no caracteriza completamente la distribucin de las masas del sistema. Por ejemplo (figura 3), si la distancia R del eje Oz a cada una de las bolas iguales A y B aumenta en una misma magnitud, la posicin del centro de masa del sistema no variar, pero la distribucin de masas ser diferente, lo que influir sobre el movimiento del sistema (teniendo todas las dems condiciones iguales, la rotacin alrededor del eje Oz ser ms lenta). Por eso, en la Mecnica se introduce una caracterstica ms de la distribucin de masa que es el momento de inercia. Se llama momento de inercia de un cuerpo (sistema) respecto de un eje dado Oz (momento axial de inercia) una magnitud escalar igual a la suma de todos los productos de las masas de todos los puntos del cuerpo (sistema) por los cuadrados de las distancias a este eje. 2. = Z i iiI m REl momento de inercia de un cuerpo (o de un sistema) respecto de cualquier eje es de una cantidad positiva y no equivale a cero. El momento axial de inercia, durante el movimiento de rotacin del cuerpo, desempea el mismo papel que la masa durante el movimiento de traslacin.Es decir, que el momento axial de inercia es la medida de la inercia del cuerpo durante el movimiento de rotacin. 8.RADIO DE INERCIA. Para calcular los momentos los momentos axiales de inercia, las distancias de los puntos a los ejes pueden expresarse por medio de las coordenadas, ,i i ix y zde estos puntos, por ejemplo, el cuadrado de las distancias al eje Ox ser ( )2 2+i iy z . Entonces, los momentos de inercia respecto de los ejes Oxyz se determinan con las formulas:( )2 2= + x i i iI m y z , ( )2 2= + y i i iI m z x , A L dx X B Z BARRA DELGADA QUE GIRA RESPECTO DEL EJE Azx Y C dm X Z ANILLO DELGADO QUE GIRA RESPECTO DEL EJE CzR CENTRO DE MASA. Figura 3 X Z RR A B DC O DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 5 ( )2 2= + z i i iI m x yDurante los clculos, se utiliza frecuentemente la nocin de radio de inercia. Se llama radio de inercia de un cuerpo respecto del eje Oz a la magnitud lineal inque se determina por la igualdad: 2. =z inI M donde M es la masa del cuerpo.De la definicin se deduce que el radio de inercia es geomtricamente igual a la distancia desde el eje Oz hasta el punto en el que hace falta concentrar la masa de todo el cuerpo para que el momento de inercia de este punto aislado sea igual al momento de inercia de todo el cuerpo. Conociendo ele radio de inercia, se puede hallar el momento de inercia del cuerpo o viceversa. El momento de Inercia, es la oposicin al cambio de la velocidad angular. El momento de inercia se mide en kilogramo por metro cuadrado. En mecnica decimos que la Inercia es la oposicin al cambio de la velocidad. La medida cuantitativa de la Inercia es la masa (en kilogramos). La Inercia es la propiedad intrnseca de la materia. 9.CLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA. La inercia es una cualidad de la materia, y el momento de la inercia es el aspecto cuantitativo de la inercia de rotacin. El momento de inercia del cuerpo con respecto al eje que pasa por el punto A es: 2. = A i iiI m RUn mismo cuerpo rgido tiene diferentes momentos de inercia, es decir es relativo, depende del eje de rotacin. (1) Para masas discontinuas. Se calcula el momento de inercia en forma individual. 2. =i i iI m R El momento de inercia total es la suma de todos estos momentos de inercia individuales. 2. = i iiI m R(2) Para masas continuas. Consideremos que la masa est distribuida en forma continua en cierto volumen. Veamos algunos ejemplos: | |1. Una barra delgada de longitud L y de masa M. Calculemos el momento de inercia con respecto al eje Az dirigido perpendicularmente a la barra en el extremo A. Dibujamos el eje coordenado Ax a lo largo de la barra AB.Consideramos una barra de masa M y longitud L. La densidad lineal de masa es = =M dmL dx Entonces, para un segmento elemental cualquiera de longituddx el diferencial de masa es. = dm dx El momento de inercia de la barra AB respecto del Az que pasa por el extremo A es: 2 2. . . = =} }L LAO OI x dm x dx simplificando: A L d Z* B Z BARRA DELGADA QUE GIRA RESPECTO DEL EJE AzC DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 6 321. .3 3= =ALI M L | |2. Anillo circular delgado y homogneo de radio R y de masa M. Hallemos el momento de inercia respecto del eje Cz dirigido perpendicularmente al plano del anillo y que pasa por su centro. Como todos los puntos del anillo se encuentran a la misma distancia R del eje Cz, se tiene la siguiente ecuacin: 2. = i iiI m Rdonde la distancia iRes constante. 2. = iiI R mdonde la sumatoria de masas es igual a la masa total del anillo delgado; = iim M finalmente el momento de inercia del anillo respecto del eje Cz es; 2. =CI M R | |3.Placa circular homogneo de radio R y de masa M. Calcularemos el momento de inercia de una placa circular respecto del eje Cz perpendicular a la placa y que pasa por su centro. Para eso, separemos un anillo elemental de radio r y de anchuradr . El rea de este anillo es igual a 2 . . r dr ty la masa ( )2 . . = dm r dr t donde la densidad superficial de masa es 2= =M dmR dSty el diferencial de superficie es2 . . = dS r dr t . El momento de inercia para el anillo elemental es; 2 3. 2 . . = =CdI r dm r dr t Y para toda la palca circular: 3 4012 . .2= =}RCI r dr R t tSustituyendo el valor de la densidad superficial tenemos; C Z CILINDRO QUE GIRA CzR A Y PLACA RECTANGULAR QUE GIRAB D a b X R CIRCULO QUE GIRA RESPECTO DEL Czr dr C DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 7 212=CI M REs evidente que se obtendr la misma frmula para el momento de inercia 212=zI M Rde un cilindro circular homogneo de masa M y de radio R respecto de su eje Cz. | |4.Placa Rectangular. Omitiendo los clculos intermediarios damos las frmulas que determinan los momentos de inercia de los cuerpos.Una placa rectangular homognea de masa M y de lados AB = a y BD =b(el eje x est dirigido a lo largo del lado AB; el eje y, a los largo del lado BD. 213=XI Mby213=YI M a | |5.Cono. Un cono recto y contino de masa M y radio de base R (el eje z est dirigido a lo largo del eje del cono): 2310=ZI M R | |6.Esfera. Una esfera de masa M y radio R (el eje z est dirigido a lo largo del dimetro): 225=ZI M RLos momentos de inercia de cuerpos no homogneos y de cuerpos de perfiles complicados pueden ser determinados experimentalmente con ayuda de instrumentos correspondientes. 10. TEOREMA DE HUYGENS. MOMENTOS DE INERCIA DE UN CUERPO RGIDO RESPECTO DE EJES PARALELOS. Cristian Huygens (1629-1695) cientfico holands, mecnico, fsico y astrnomo. Invent el primer reloj de pndulo. Estudi las oscilaciones del pndulo fsico e introdujo la nocin de momento de inercia de un cuerpo. El momento de inercia de un cuerpo respecto del eje dado es igual al momento de inercia de un eje paralelo al primero y que pasa por el centro de masas (C) del cuerpo, sumado al producto de la masa de todo el cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes. 2*. = +OZ CZI I M d De la formula anterior deducimos que *>OZ CZI I Por consiguiente, si tomamos todos los ejes en la misma direccin, el momento de inercia mnimo ser respecto del eje que pasa por el centro de masas C.

Z* EJES PARALELOSO M d C Z DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 8 PROBLEMA 01. Determinar el momento de inercia de una barra delgada de masa M y longitud L, respecto del eje *CZperpendicular a la barra y que pasa por su centro de masas C. RESOLUCIN Tracemos por el extremo A de la barra un ejeAZy por el centro de masas un eje paralelo *AZ , entonces la frmula tiene la siguiente forma: *2. = +AZCZI I M dEn este caso 2=Ld , donde: 21.3=AZI M LEntonces el momento de inercia respecto del centro de masa C, es: *2. = AZCZI I M dreemplazando tenemos que: *2 21 1.3 4= CZI ML M L*21.12=CZI M L PROBLEMA 02. Determinar el momento de inercia de un cilindro de masa M y radio de base R, respecto del eje AZ que para por su generatriz. RESOLUCIN Tracemos por el centro de masas C un eje paralelo *AZy por la generatriz un ejeAZy escribimos la ecuacin: *2. = +AZCZI I M dEn este caso= d R, donde: *212=CZI M RReemplazando estos valores en el teorema de Huygens obtendremos: 2 21. .2= +AZI M R M R Es importante sealar que la rueda de una bicicleta o la llanta de un automvil gira sin deslizar sobre una pista, en este caso el eje de rotacin es tangente a la pista. 23.2=AZI M R 11. TRABAJO DE ROTACIN. Calculemos la cantidad de trabajo elemental que hace la fuerza externa F aplicada a la partcula A de un cuerpo, cuando ste gira un ngulo de medidaAu . La distancia que recorre la componente tangencial esAS , se puede confundir con un elemento de recta situado sobre la tangente. La cantidad de trabajo elemental es: . . A = A U F Sen S o. . . A = A U F Sen R o uPero el torque se define como: 0. . = F Sen R t oC R CILINDRO QUE GIRA Czd Z- A Z DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 9 Relacionado tenemos que: 0. A = A U t uEsta relacin tambin valida si tenemos varios torques debido a un conjunto de fuerzas externas: 0. = AU t uy la forma diferencial es00. = }U duu t u Si la fuerza es tangente al disco de radio R y de mdulo constante, se cumple que la cantidad de trabajo es igual al producto del torque por el ngulo que gira:0. = U t u 12. TEOREMA DE LA ENERGA CINTICA DE ROTACIN.La cantidad de trabajo neto hecho por todas las fuerzas sobre un cuerpo que rota respecto de un punto, es igual a la variacin de la energa cintica de rotacin: ( ) ( )= NETOA B C CU E en B E en A2 21 1. . .2 2= RES O B O AF R I I e e 13. POTENCIA DE ROTACIN. La potencia se define como la rapidez con que se realiza trabajo. La potencia desarrollada por la fuerza ser: 0 0. .A A= = =A AWPt tut t e la cantidad de potencia realizada por la fuerza se mide en watt o watts (abreviado W). 14. ENERGA CINTICA DE ROTACIN. La energa cintica de un cuerpo rgido es la suma de las energas cinticas de todas las partculas, por tanto: 21.2C i iE m v = pero para un cuerpo que gira la velocidad tangencial en funcin de la velocidad angular es: . =i iv r eReemplazando en la ecuacin anterior tenemos que: 2 21. .2= C i iE m r ePero la velocidad angular es constante: 2 21. .2= C i iE m r eEl momento de inercia de un cuerpo rgido que gira es: 2. = i iI m rFinalmente la energa de rotacin es: 21. .2=CE I e O A R F o TRABAJO DE ROTACIN F.Seno Au AS DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 10 15. ENERGA CINTICA DE ROTACIN Y TRASLACIN COMBINADAS. Cuando un disco, cilindro, aro u otro cuerpo solido semejante experimenta traslacin y rotacin sin deslizamiento, la energa cintica tiene dos componentes, la energa cintica de traslacin del centro de masa y la energa cintica de rotacin respecto de del centro de masa C. 2 21 1. . . .2 2CINETICA CE mv I e = + Analicemos la traslacin pura sin rotacin de una rueda, en este caso todos los puntos del cuerpo rgido tienen la misma velocidad respecto de la tierra.21. .2TRASLACIONE mv =Ahora analicemos la rotacin pura de una rueda, el centro de rotacin C no tiene velocidad de traslacin, pero todos los puntos del cuerpo rgido tiene igual velocidad angular y los puntos perifricos tienen movimiento circunferencial uniforme. 21. .2ROTACION CE I e =Otra forma, si analizamos el movimiento de rotacin y traslacin respecto de la lnea tangente AB, el momento de inercia se toma respecto de la lnea AB. La energa cintica de rotacin respecto de la lnea paralela al plano es ( )21. .2CINETICA ABE I e = donde el momento de inercia es2.AB CI I M d = +reemplazando 2.AB CI I M R = +( )2 21. . .2CINETICA CE I M R e = +reemplazando( ) ( )2 21 1. . . .2 2CINETICA C C CE I M v e = + 16. MOMENTUM ANGULAR ( )L . Se define momentum angular o momento angular de una partcula de masa imy velocidad ivcon respecto a un punto O, a la cantidad definida como el producto vectorial de la posicin irpor la cantidad de movimiento ip . = i i iL r pel mdulo del momentum angular es: ( ). . =i i i iL r p Sen opero. =i i ip m ventonces la ecuacin es: L e A V r MOMENTUM ANGULAR C V ENERGA CINTICA TOTAL e BA DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 11 ( ). . . =i i i i iL r m v Sen oSi se tiene varias partculas, el momentum angular total ser la suma vectorial de los momentum angulares individuales. = iL LEn el caso de un cuerpo rgido, la velocidad ives siempre perpendicular a la posicin ir , por tanto: . . =i i i iL r m vadems sabemos que. =i iv r eentonces la ecuacin es: 2. . =i i iL m r evectorialmente iLse encuentra en la direccin del eje de rotacin. Y el momentum angular total es: ( )2 2. . . = = i i i iL m r m r e eIdentificando el momento de inercia: 2. = i iI m rEl momentum angular es:. = L I e. Analoga con el momentum lineal:. = p mv 17. PRINCIPIO DE CONSERVACIN DEL MOMENTUM ANGULAR.De la segunda ley de Newton o ley de aceleracin angular se deduce que: 0. .A| |= = |A\ .I Itet ose puede expresar como: ( )0. . . A= A = A t I I t e e0.A= A t L tEl impulso angularJ es una cantidad fsica vectorial que se define como el producto del torque resultante0t por el intervalo de tiempoAt .0. = A J t tEl impulso angular ejercido sobre un cuerpo, es igual a la variacin del momentum angular:0. = A= A J t L tSi el torque resultante es cero entonces no hay variacin del momentum angular:Si 00 = tentonces0 A = L=INICIAL FINALL L *Esta ley es vlida aun cuando el momento de Inercia I es variable. PROBLEMA 03. Qu velocidad lineal tendr un cascaron esfrico de masa M y radio R, que se mueve sobre un plano inclinado si parti del reposo y va hacia abajo, siendo H la altura que descendi la esfera desde el punto de partida? El momento de inercia del cascaron esfrico respecto de su centro geomtrico C es 22.3=CI M R R V u A Para el problema 03 H B g e DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 12 RESOLUCIN Como el cascaron rueda sin resbalar entonces la fuerza de rozamiento no realiza trabajo. De la condicin del problema sabemos que la velocidad inicial es cero0 =Avy tambin la energa cintica inicial es nula.La energa cintica de rotacin respecto de la lnea paralela al plano inclinado es ( )21. .2CINETICA ABE I e =donde el momento de inercia es 2.AB CI I M d = +reemplazando 2.AB CI I M R = +( )2 21. . .2CINETICA CE I M R e = +reemplazando( ) ( )2 21 1. . . .2 2CINETICA CE I M v e = +Si tomamos la lnea de referencia en el punto ms bajo B, entonces la altura ser cero0 =Bhpor lo tanto su energa potencial gravitacional ser nula. La nica fuerza que realiza trabajo es la fuerza de gravedad, entonces aplicamos el principio de conservacin de la energa mecnica entre los puntos A y B. La energa mecnica en el punto inicial A es igual a la energa mecnica final en B: ( ) ( ) = EM en A EM en B( ) ( ) ( ) ( )CIN P CIN PE en A E en A E en B E en B + = +2 2 2 21 1 1 1. . . . . . . .2 2 2 2+ + = + +A C A A B C B Bmv I m g h mv I m g h e eReemplazando tenemos que: 2 21 10 0 . . . . 02 2+ + = + +B C Bm g H mv I e2 2 2 21 1 2. . . . . .2 2 3| |= + |\ .M g H M R M R e e 2 2 25 5. . . . .6 6= = M g H M R M v eDespejando tenemos que el valor de la velocidad en el punto B es: 6.5=Bv g H Podemos sealar que, si es cascarn se reemplaza por un bloque cbico del mismo tamao en masa y se desplaza libre de rozamiento la rapidez en B sera: 2 . =Bv g H PROBLEMA 04. Una varilla delgada de masa M y longitud L puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto O. Parte del reposo en la posicin vertical en A como indica la figura. Calcular la velocidad angular de la varilla en el instante L A mg B u O Para el problema 04 V DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 13 que pasa por su posicin horizontal en B. El momento de inercia de la barra respecto de su extremo O es 21.3=OI M LRESOLUCIN Recuerde que el trabajo en rotacin viene dado por: 00. = }U duu t udonde 0tes el momento resultante del sistema de fuerzas que acta sobre el cuerpo rgido respecto al eje de rotacin. 0. . = m g d tel torque lo produce la fuerza de gravedad (mg) por el brazo de momento (d):.2=L Sendu 0.. . .2| |= |\ .}L SenU mg duuuudesarrollando tenemos que: 900. .. .2=}mg LU Sen d u uintegrando tenemos que| |900. .2= m g LU Cosu. .2=m g LU Aplicamos el Teorema del trabajo neto o total. La cantidad de trabajo neto hecho por todas las fuerzas sobre un cuerpo que rota respecto de un punto, es igual a la variacin de la energa cintica de rotacin: ( ) ( )= NETOA B C CU E en B E en A2 2. . 1 1. .2 2 2= O B O Am g LI I e eEs importante sealar que el momento de inercia OIde la varilla es respecto del extremo O. La velocidad angular en A es nula0 =Ae , entonces la ecuacin se reduce a: 2. . 1. 02 2= O Bm g LI eremplazando 2 2. . 1 1. .2 2 3| |= |\ .BM g LM L e resolviendo la ecuacin tenemos que: 3.=BgLey el mdulo de la velocidad lineal del punto B es:3 . =Bv g L PROBLEMA 05. Un disco de 20 kg y 0,3 m de radio gira sin friccin en torno a su eje accionado por una fuerza F = 20 N tangente al disco. Calcular la aceleracin tangencial de los puntos perifricos del disco. El momento de inercia del disco de masa M y radio R respecto de L/2 d mg B u O Para la resolucin 04 V DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 14 su centro O es 212=OI M R RESOLUCIN Aplicamos la ley de aceleracin para un cuerpo rgido que gira respecto de un punto O. El torque resultante es igual al producto del momento de Inercia por la aceleracin angular: . =OI t oEl valor del torque es igual al producto de la fuerza por el radio del disco. . =OF R tReemplazando en la ecuacin anterior tenemos que: 21. . .2| |= |\ .F R M R o2.=FM Roreemplazando los datos: 2203= s oLa aceleracin tangencial es,. =Ta R oreemplazando datos tenemos que: 22 .=Ta ms PROBLEMA 06: En el sistema mostrado, determine el mdulo de la aceleracin de los bloque A y B de masas 7 kg y 3 kg respectivamente. La masa de la polea cilndrica es 4 kg. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 10 m/s2) Resolucin A B O R A F M Para el problema 05 A 70 NB 30 NT1 aaT2 T1 T2 o DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 15 a) La aceleracin rectilnea de los bloques se relaciona con la aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. a .R o =b) Ley de la aceleracin angular: CI . t o =( )21 212aT T .R M.R .R| | | | =||\ . \ . reduciendo( )1 212T T M. .a| | =|\ .

reemplazando el valor de la masa: 1 22 T T .a =(1) c) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre de cada bloque. Observe que la masa de A es 7 kg y la masa de B es 3 kg. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque A:( )170 7y AF m .a T .a = = (2) Bloque B:( )230 3y BF m .a T .a = = (3) Adicionando loas ecuaciones (2) y (3): ( )2 170 30 10 T T .a + =reduciendo 2 110 40 T T a = (4) resolviendo las ecuaciones (1) y (4) 2103a m.s=Respuesta: el mdulo de la aceleracin de los bloques es 3,333 m/s2. PROBLEMA 07: En el sistema mostrado, determine el mdulo de la aceleracin de los bloque A masas 5 kg. La masa de la polea cilndrica es 2,5 kg. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 10 m/s2) Resolucin a) La aceleracin rectilnea de los bloques se relaciona con la A R A 50 NT1 aT1 o DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 16 aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular: CI . t o =( )2112aT .R M.R .R| | | |=||\ . \ . reduciendo( )112T M. .a| |=|\ .

reemplazando el valor de la masa: 11 25 T , .a =(1) c) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre de cada bloque. Observe que la masa de A es 5 kg. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque A:( )150 5y AF m .a T .a = = (2) Reemplazando (1) en (2): 50 1 25 5 , .a .a =resolviendo la ecuacin 28 a m.s=Respuesta: el mdulo de la aceleracin de los bloques es 8 m/s2. PROBLEMA 08: En el sistema mostrado, determine el mdulo de la tensin en la cuerda vertical. La masa de la polea cilndrica es M. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 10 m/s2) Resolucin a) La aceleracin rectilnea del centro de masa C de la polea se relaciona con la aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =b) Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la polea, es: g R ac M.gT co DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE O O DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 17 2.O CI I M d = +reemplazando 2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + =Respecto de la tierra, la velocidad instantnea y aceleracin instantnea del punto O es nula. c) Ley de la aceleracin angular: o oI . t o =( )232caM.g .R M.R .R| | | |=||\ . \ . reduciendo 23ca .g = c) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre de la polea. Observe que la masa de la polea se M. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque A: 23ycF m.a M.g T M. .g| |= = |\ . Resolviendo la ecuacin 13T M.g| |=|\ . Respuesta: el mdulo de la tensin en la cuerda es un tercio del peso del bloque. EJEMPLO09:Unbloqueseencuentrasobreunplanoinclinadoperfectamenteliso. Determineelmdulodelaaceleracindelbloquesobreelplanoinclinado.Elbloquetiene masa m y la polea masa M. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g: mdulo de la aceleracin de la gravedad) Resolucin a) La aceleracin rectilnea a del bloque se relaciona con la aceleracin angular o de la polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular: CI . t o = u m M o a DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 18 ( )212aT .R M.R .R| | | |=||\ . \ . reduciendo 12T M.a| |=|\ . (1) b) Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. No hay movimiento en el eje Y, mientras que el bloque acelera en el eje X. Entonces aplicamos la segunda ley de Newton en el eje X. 0y x xF y F m.a = = m.g.Sen T m.a u =(2) Reemplazando (1) en (2): 2M.am.g.Sen m.a u = resolviendo la ecuacin: 12g.SenaMmu=| |+ |\ . Observacin: Si el valor de la masa de la poleaesnulo, el mdulo de laaceleracin sobre el plano esg.Senu PROBLEMA 10: En el sistema mostrado, determine el mdulo de la aceleracin de los bloques de masas mA y mB. La masa de la polea cilndrica es M. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 10 m/s2) T R o TORQUE a x y N m.g mg.Cosu mg.Senu u u T DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 19 Resolucin a) La aceleracin rectilnea de los bloques se relaciona con la aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular: CI . t o =( )21 212aT T .R M.R .R| | | | =||\ . \ . reduciendo 1 22M.aT T = (1) c) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre de cada bloque. Observe que la masa de A es 7 kg y la masa de B es 3 kg. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque A:( )1 y A A AF m .a m .g T m .a = = (2) Bloque B:( )2 y B B BF m .a T m .g m .a = = (3) Adicionando loas ecuaciones (1), (2) y (3): 2A B A BMm .g m .g m m .a| | = + + |\ . reduciendo 2A BA Bm ma .gMm m| | |=| | + +\ . Observacin: si la masa de la polea es despreciable, el mdulo de la aceleracin de los bloques es A BA Bm ma .gm m| | = |+\ . A B A mA.gB mB.gT1 aaT2 T1 T2 o DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 20 PROBLEMA 11: En el sistema mostrado, determine el mdulo de la aceleracin de los bloque A de masa m. La masa de la polea es M. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 10 m/s2) Resolucin a) La aceleracin rectilnea de los bloques se relaciona con la aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular: CI . t o =( )212aT .R M.R .R| | | |=||\ . \ . reduciendo 2M.aT =(1) c) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe el bloque de masa m. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque A:( )yF m.a m.g T m .a = = (2) Reemplazando (1) en (2): 2m.am.g m.a =resolviendo la ecuacin 2m.gaMm=+ ola forma 12gaM.m= (+ ( Observacin: si la masa de la polea es nulo, el mdulo de la aceleracin del bloque esa g =A R m M A m.gT aT o DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 21 PROBLEMA 12: En el sistema mostrado, determine el mdulo de la tensin en la cuerda vertical. La masa de las poleas cilndricas A y B es M. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea.(g = 10 m/s2) Resolucin a) La aceleracin tangencial a1 de la polea A se relaciona con la aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. 11 1 1aa .RRo o = = b) Ley de la aceleracin angular: c cI . t o =( )2 112aT .R M.R .R| | | |=||\ . \ .

reduciendo 12TaM= y la tensin es 12M.aT =(1) c) Analizamos a la polea B. Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la polea, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + =Respecto de la tierra, la velocidad instantnea y aceleracin instantnea del punto O no es nula. c) Ley de la aceleracin angular: o oI . t o =( )232caM.g .R M.R .R| | | |=||\ . \ .

reduciendo 23ca .g = c) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre de la polea. Observe que la masa de la polea se M. Aplicamos la segunda ley de Newton ac+a1 M.gT co DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE (POLEA B) O O a1 A R Problema 12 R g B A T Resolucin 12. 1 R o1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 22 en el eje vertical: Bloque A: ycF m.a =reemplazando tenemos que: ( )poleaM.g T M. a =1122 3M.aM.g M. a .g| | = + |\ . Resolviendo la ecuacin 129a g| |=|\ . Reemplazando en (1): 12M.aT =tenemos 22 9MT g| |= |\ . 19T M.g| |=|\ . Respuesta: el mdulo de la tensin en la cuerda es un noveno del peso de una de las poleas. PROBLEMA 13. Qu energa cintica tendr un cilindro macizo de masa M y radio R, que rueda sin deslizarse sobre un plano horizontal cuya velocidad del centro de masa es V? El momento de inercia del cilindro macizo respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R =RESOLUCIN Como el cilindro rueda sin resbalar entonces la fuerza de rozamiento no realiza trabajo.La energa cintica de rotacin respecto de la lnea paralela al plano horizontal es ( )21. .2CINETICA ABE I e =donde el momento de inercia es 2.AB CI I M d = +reemplazando 2.AB CI I M R = +( )2 21. . .2CINETICA CE I M R e = + ( ) ( )2 21 1. . . .2 2CINETICA CE I M v e = +Reemplazando el valor del momento de inercia tenemos que: ( )22 21 . 1. . . .2 2 2CINETICAM RE M v e| |= + |\ . 23. .4CINETICAE M v =Observacin: representa tres medios de la energa cintica de traslacin,23 ..2 2CINETICAM vE| |= |\ . e V ROTACIN Y TRASLACIN Para el problema 13 A B C DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 23 PROBLEMA 14. Una esfera hueca de masa M1 y radio R1 puede rotar alrededor de un eje vertical. Una cuerda sin masa est enrollada alrededor delplano ecuatorial de la esfera, pasa por una polea de masa M2 y radio R2 y est atada al final a un bloque de masa m (Ver figura) No hay friccin en el eje de la polea y la cuerda no resbala.Cul es el valor de la aceleracin del bloque? El momento de inercia de la esfera hueca respecto de su centro geomtrico es 22.3CI M R =y el momento de inercia de la polea es 21.2CI M R = Resolucin a) La aceleracin tangencial del cascaron esfrico en la zona ecuatorial se relaciona con la aceleracin angular de la misma esfera respecto de su centro geomtrico. 1 1 11aa .RRo o = = b) Ley de la aceleracin angular aplicada a la esfera: 1 c cI . t o =( )21 1 1 1123aT .R M .R .R| || |= ||\ . \ . reduciendo la tensin es 1 123T M .a| |=|\ . (1) c) La aceleracin tangencial de la polea se relaciona con la aceleracin angular de la misma Para el problema14 R2 m M2 M1 R1 o1 ESFERA HUECA aT1 M1 R1 o1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 24 polea respecto de su centro geomtrico. 2 2 22aa .RRo o = =d) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea: 1 c cI . t o = ( )22 1 2 2 2212aT T .R M .R .R| || | = ||\ . \ . reduciendo ( )2 1 212T T .M .a| | =|\ .(2) e) Ley de aceleracin rectilnea: yF m.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe el bloque de masa m. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque A:( )2 yF m.a m.g T m .a = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): 1 22 13 2m.g M M m a| |= + + |\ . resolviendo la ecuacin 1 22 13 2m.gaM M m=| |+ + |\ . Observacin: la cuerda tiene aceleracin rectilnea constante, por lo tanto la aceleracin tangencial de la esfera, la aceleracin tangencial de la polea y la aceleracin del bloque es el mismo valor. PROBLEMA 15. El sistema de la figura consta de una polea formada por dos discos coaxiales soldados de masas M1 y M2 y radios R1 y R2 respectivamente ( )1 2R R s . Dos bloques A y B de masas MA y MB cuelgan del borde de cada disco atados a cuerdas diferentes. Calcular el valor de la aceleracin angular de las poleas coaxiales. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 10 m/s2) BLOQUE R2 T1 T2 T2 o2 a m.g POLEA A B Para el problema 15 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 25 A B D.C.L. de los bloques A y B T1 T2 MA.g MB.g a1 a2 Resolucin a) La aceleracin rectilnea de los bloques se relaciona con la aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. Bloque A: 11 11aa .RRo o = =Bloque B: 22 22aa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular: CI . t o =Polea menor: 2 11 1 1 1112aT .R M .R .R| || |= ||\ . \ . reduciendo 1 112M .aT= (1) c) Ley de la aceleracin angular: CI . t o =Polea mayor: 2 12 2 2 2212aT .R M .R .R| || |= ||\ . \ . reduciendo 2 222M .aT= (2) d) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre de cada bloque. Observe que la masa de A baja y el bloque B sube. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque A:( )1 11y A A AF M .a M .g T M .a = = (3) (2) Bloque B:( )2 22y B B BF M .a T M .g M .a = =.(4) (3) Adicionando loas ecuaciones (1), (2), (3) y (4): 1 21 22 2A B A BM MM .g M .g M .a M .a| | | | = + + ||\ . \ . 1 21 22 2A B A BM MM .g M .g M . .R M . .R o o| | | | = + + ||\ . \ . reduciendo ( )1 21 22 2A BA BM M .gM MM .R M .Ro= ((+ + (( Observacin: si la masa de las poleas es despreciable, el mdulo de la aceleracin angular de T1 T2 POLEA o R1 R2 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 26 las poleas es ( )1 2A BA BM M .gM .R M .Ro=+ PROBLEMA 16. Sobre un plano horizontal est situado un cuerpo de 50 kg que est unido mediante una cuerda, que pasa a travs de una polea de 15 kg a otro cuerpo de 200 kg. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 50 kg y el plano horizontal vale 0.1, calcular. A) La aceleracin de los cuerpos, B) Las tensiones de la cuerda El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 10 m/s2) Resolucin a) Analizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque A. La fuerza de reaccin normal tiene el mismo valor que la fuerza de gravedad. 0 .y N AF F m g = = La fuerza de rozamiento cintico es directamente proporcional a la fuerza normal:. . .cinetica C N C Af F m g = =Aplicamos la ley de aceleracin de traslacin: 1. . . .x A C A AF m a T m g m a = = (1) b) La aceleracin tangencial de la polea se relaciona con la aceleracin angular de la misma polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =c) Ley de la aceleracin angular aplicada a la esfera: 1 c cI . t o = R A M o a a B Para el problema 16 A mA.g D.C.L. del bloque A. FN .FN T1 a DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 27 ( )22 112aT T .R M.R .R| | | | =||\ . \ .

reduciendo la tensin es2 12M.aT T =(2)d) Ley de aceleracin rectilnea: yF m.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe el bloque B. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque B:( )2 y B BF m.a m .g T m .a = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): 2B C A A BMm .g .m .g m m a | | = + + |\ .

resolviendo la ecuacin tenemos que: ( )2B C AA Bm .m gaMm m =| |+ + |\ . Observacin: si no hubiera rozamiento entre el bloque A y la superficie horizontal, la aceleracin de los bloques sera:2BA Bm .gaMm m=| |+ + |\ . PROBLEMA 17. Sobre un plano horizontal spero un cilindro macizo de radio R1 y masa M1 R M o a B D.C.L (polea y bloque B) T1 T2 T2 MB.g R2 M2 o2 a a m Para el problema 17 M1 R1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 28 rueda sin resbalar, por el extremo superior est unida a una cuerda de masa despreciable, el cual pasa por una polea de radio R2 y masa M2. En el extremo inferior de la cuerda se encuentra un bloque de masa m. La cuerda no se desliza respecto de la polea de radio R2. Determine el valor de la aceleracin del bloque. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R =Resolucin a) Analizamos al cilindro de radio R1. Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie horizontal, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + =Respecto de la tierra, la velocidad instantnea y aceleracin instantnea del punto O no es nula. b) La aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. 1 1 11CCaa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular: Respecto del punto O, 1 o oI . t o = ( ) ( )21 1 11322caT . .R M.R .R| || |= ||\ . \ .reduciendo( )1 134CT M .a = Analizando cinemticamente, recordamos que 2Caa =es decir la aceleracin del bloque es el doble de la aceleracin de traslacin del cilindro de radio R1. La tensin en la cuerda es: 1 138T M .a =(1) c) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio R2: 2 c CI . t o = La aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. 2 2 22aa .RRo o = =( )22 1 2 2 2212aT T .R M .R .R| || | = ||\ . \ .

reduciendo la tensin es22 12M .aT T =(2) a Polea de radio R1 T1 R1 o1 R1 aC O R2 M2 o2 a m.g Polea de radio R2 y bloque. T1 T2 T2 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 29 d) Ley de aceleracin rectilnea: yF m.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe el bloque. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque: 2 y BF m.a m .g T m.a = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): 1 23 18 2m.g M M m a| |= + + |\ .resolviendo la ecuacin tenemos que: 1 23 18 2m.gaM M m= (+ + ( Observacin: La fuerza motriz, que pone en movimiento a los cuerpos, es la fuerza de gravedad que afecta al bloque que est suspendido en el aire. PROBLEMA 17. Sobre un plano inclinado spero un cilindro macizo de radio R1 y masa M1 rueda sin resbalar, por el extremo superior est unida a una cuerda de masa despreciable, el cual pasa por una polea de radio R y masa M. En el otro extremo de la cuerda se encuentra otro cilindro de radio R2 y masa M2. La cuerda no se desliza respecto de la polea de radio R. Determine el valor de la aceleracin de cada cilindro. El momento de inercia de la polea y de cada cilindro respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R =Resolucin a) La aceleracin tangencial de la polea se relaciona con la aceleracin angular de la misma polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =La aceleracin del centro de masa de cada cilindro se relaciona con la aceleracin angular: 1 1 11aa .RRo o = =y2 2 22aa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio R: c CI . t o = M Para el problema 17 M1 R1 R M2 u | R2 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 30 ( )21 2 212aT T .R M .R .R| | | | =||\ . \ .

reduciendo la tensin es 1 22M.aT T =(1) c) Ley de la aceleracin angular aplicada al cilindro de R1: 1 c OI . t o = Analizamos al cilindro de radio R1. Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie inclinada, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + = ( )21 1 1 1 1132aM .g.Sen T .R M .R .Ru| || | = ||\ . \ . reduciendo la tensin es 1 1 132M .g.Sen T M .a u| | =|\ . (2) d) Ley de la aceleracin angular aplicada al cilindro de R2: 2 c OI . t o = Analizamos al cilindro de radio R2. Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie inclinada, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + =( )22 2 2 2 2232aT M .g.Sen .R M .R .Ru| || | = ||\ . \ . reduciendo la tensin es 2 2 232T M .g.Sen M .a || | =|\ . (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): M Resolucin 17 T2 M2.g.Sen| R o2 u | o1 T1 M1.g.Senu o DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 31 1 2 1 23 3 12 2 2M .g.Sen M .g.Sen M M M a u || | = + + |\ . resolviendo la ecuacin tenemos que: 1 21 223 3M .Sen M .Sena .g..M .M Mu |( = (+ + Observacin: La aceleracin tangencial de los puntos perifricos de la polea y la aceleracin del centro de masa de cada cilindro macizo tienen el mismo valor PROBLEMA 18. Sobre un plano inclinado spero un cilindro macizo de radio R1 y masa M1 rueda sin resbalar, por el extremo superior est unida a una cuerda de masa despreciable, el cual pasa por una polea de radio R y masa M. En el otro extremo de la cuerda se encuentra un bloque de masa M2. La cuerda no se desliza respecto de la polea de radio R. Determine el valor de la aceleracin del bloque. El momento de inercia de la polea y del cilindro respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R =Resolucin a) La aceleracin tangencial de la polea se relaciona con la aceleracin angular de la misma polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =La aceleracin del centro de masa del cilindro se relaciona con la aceleracin angular: 1 1 11aa .RRo o = =M Resolucin 18 T2 M2.g.Sen| R a u | o1 T1 M1.g.Senu o M Para el problema 18 M1 R1 R M2 u | o DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 32 b) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio R: c CI . t o = ( )21 2 212aT T .R M .R .R| | | | =||\ . \ .

reduciendo la tensin es 1 22M.aT T =(1) c) Ley de la aceleracin angular aplicada al cilindro de R1: 1 c OI . t o = Analizamos al cilindro de radio R1. Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie inclinada, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + = ( )21 1 1 1 1132aM .g.Sen T .R M .R .Ru| || | = ||\ . \ . reduciendo la tensin es 1 1 132M .g.Sen T M .a u| | =|\ . (2) d) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe que el bloque sube. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje paralelo al plano inclinado: 2 2 2 2 / / planoF M .a T M .g.Sen M .a | = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): 1 2 1 23 2 12 2 2M .g.Sen M .g.Sen M M M a u || | = + + |\ . resolviendo la ecuacin tenemos que: 1 21 223 2M .Sen M .Sena .g..M .M Mu |( = (+ + Observacin: La aceleracin tangencial de los puntos perifricos de la polea, la aceleracin del centro de masa del cilindro macizo y la aceleracin del bloque tienen el mismo valor. PROBLEMA 19. Sobre un plano inclinado spero un cilindro macizo de radio R1 y masa M1 rueda sin resbalar, u Para el problema 19 M M2 M1 R1 R DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 33 por el extremo superior est unida a una cuerda de masa despreciable, el cual pasa por una polea de radio R y masa M. En el otro extremo de la cuerda se encuentra un bloque de masa M2. La cuerda no se desliza respecto de la polea de radio R. Determine el valor de la aceleracin del bloque. El momento de inercia de la polea y del cilindro respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R = Resolucin a) La aceleracin tangencial de la polea se relaciona con la aceleracin angular de la misma polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio R: c CI . t o = ( )21 2 212aT T .R M .R .R| | | | =||\ . \ .

reduciendo la tensin es 1 22M.aT T =(1) c) Ley de la aceleracin angular aplicada al cilindro de R1: 1 c OI . t o = Analizamos al cilindro de radio R1. Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie inclinada, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + = ( )21 1 1 1 1132aM .g.Sen T .R M .R .Ru| || | = ||\ . \ . reduciendo la tensin es 1 1 132M .g.Sen T M .a u| | =|\ . (2) d) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe que el bloque sube. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: 2 2 2 2 yF M .a T M .g M .a = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): u Resolucin 19 R a T2 T1 M1.g.SenuM2.g o1 o O R1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 34 1 2 1 23 2 12 2 2M .g.Sen M .g M M M a u| | = + + |\ . resolviendo la ecuacin tenemos que: 1 21 223 2M .Sen Ma .g..M .M Mu( = (+ + Observacin: La aceleracin tangencial de los puntos perifricos de la polea, la aceleracin del centro de masa del cilindro macizo y la aceleracin del bloque tienen el mismo valor. PROBLEMA 20. Sobre un plano inclinado spero un cilindro macizo de radio R1 y masa M1 rueda sin resbalar, por el extremo superior est unida a una cuerda de masa despreciable, el cual pasa por una polea de radio R y masa M. En el otro extremo de la cuerda se encuentra un bloque de masa M2. La cuerda no se desliza respecto de la polea de radio R. Determine el valor de la aceleracin del bloque. El momento de inercia de la polea y del cilindro respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R = Resolucin a) La aceleracin tangencial de la polea se relaciona con la aceleracin angular de la misma polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio R: c CI . t o = ( )21 2 212aT T .R M .R .R| | | | =||\ . \ .

reduciendo la tensin es 1 22M.aT T =(1) c) Ley de la aceleracin angular aplicada al cilindro de R1: 1 c OI . t o = Analizamos al cilindro de radio R1. Elmomento de Inercia respecto del punto u Resolucin 20 R a T2 T1 M1.g.Senu M2.g o1 o O R1 R1 Para el problema 20 M M2 M1 R1 R u DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 35 O, tangente con la superficie inclinada, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + = ( ) ( )21 1 1 1 1 11322aM .g.Sen . R T . .R M .R .Ru| || | = ||\ . \ . reduciendo la tensin es 1 1 1322M .g.Sen .T M .a u| | =|\ . (2) d) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe que el bloque sube. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: 2 2 2 2 yF M .a T M .g M .a = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): 1 2 1 23 2 122 1 1M .g.Sen .M .g M M M a u| | = + + |\ . resolviendo la ecuacin tenemos que: 1 21 2223 4 2M .Sen .Ma .g..M .M .Mu( = (+ + Observacin: La aceleracin tangencial de los puntos perifricos de la polea, la aceleracin del centro de masa del cilindro macizo y la aceleracin del bloque tienen el mismo valor. PROBLEMA 21. Un cilindro de masa M y de radio R tiene una ranura circunferencial cuyo radio es r. En la ranura se enrolla una cuerda tal como se indica en la figura, y el otro extremo se fija a una pared. El cilindro rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ngulo u respecto de la horizontal. Calcular la tensin de la cuerda. El momento de inercia del cilindro respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R = Resolucin a) La aceleracin del centro de masa del cilindro se relaciona con la aceleracin angular del mismo cilindro respecto de su centro geomtrico. CCaa .RRo o = =b) Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie inclinada, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + =Para el problema 21 M r R u DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 36 c) Ley de la aceleracin angular aplicada al cilindro de radio R respecto del punto tangente O del cilindro con el plano inclinado: c OI . t o = ( ) ( )232CaM.g.Sen .R T. R r M.R .Ru| | | | =||\ . \ . reduciendo 312CrM.g.Sen T. .M.aRu| | | | = ||\ . \ . El valor de la tensin en funcin de la aceleracin es: 321CM.g.Sen .M.aTrRu| | |\ .= PROBLEMA 22. Un cilindro de masa M y de radio R tiene una ranura circunferencial cuyo radio es r. En la ranura se enrolla una cuerda tal como se indica en la figura, y el otro extremo se fija a una pared. El cilindro rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ngulo u respecto de la horizontal. Calcular la aceleracin del bloque. El momento de inercia del cilindro respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R = Resolucin Resolucin 21 O r R u M.g.Senu T o Para el problema 22 M r R u M1 M2 R1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 37 a) La aceleracin del centro de masa del cilindro se relaciona con la aceleracin angular del mismo cilindro respecto de su centro geomtrico. CCaa .RRo o = =b) Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie inclinada, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + = c) Ley de la aceleracin angular aplicada al cilindro de radio R respecto del punto tangente O del cilindro con el plano inclinado: c OI . t o = ( ) ( )2132CaT . R r M.g.Sen .R M.R .Ru| | | |+ =||\ . \ .

132CR RT M.g.Sen . .M.a .R r R ru | | | | | | = |||+ +\ . \ . \ . La aceleracin del bloque de masa M2 se relaciona con la aceleracin del centro de masa del cilindro: CCa a Ra .aR r R R r| |= =|+ +\ . 2132R RT M.g.Sen . .M.a.R r R ru | | | | | | = |||+ +\ . \ . \ .(1) d) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio R1 respecto del centro geomtrico: 1 C CI . t o = ( )22 1 1 2 1112aT T .R M .R .R| || | = ||\ . \ .

reduciendo la tensin es 2 1 112T T M .a| | =|\ . (2) e) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe que el bloque baja. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: 2 2 2 2 yF M .a M .g T M .a = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): Resolucin 22O r R u M.g.Senu T1 o Resolucin 22 T1 a M2.g o1 M1 T2 R1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 38 22 1 23 12 2R RM .g M.g.Sen . M. M M aR r R ru| | (( = + + | (( |+ + \ . Resolviendo la ecuacin tenemos que: 221 23 12 2RM M.Sen . .gR raRM. M MR ru| | ( | (+ \ .= (+ + (+ Observacin: Si los radios son igualesR r = , entonces la aceleracin del bloque sera: 21 2123 18 2M M.Sen .gaM M Mu| | |\ .=+ +

PROBLEMA 23. Un cilindro de masa M y de radio R tiene una ranura circunferencial cuyo radio es r. En la ranura se enrolla una cuerda tal como se indica en la figura, y el otro extremo se fija a una pared. El cilindro rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ngulo u respecto de la horizontal. Calcular la aceleracin del centro de masas, la tensin de la cuerda, la fuerza de rozamiento. El momento de inercia del cilindro respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R = Resolucin a) La aceleracin del centro de masa del cilindro se relaciona con la aceleracin angular del mismo cilindro respecto de su centro geomtrico. CCaa .RRo o = =b) Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie inclinada, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + =Para el problema 23 M r R u M1 M2 R1 Resolucin 23O r R u M.g.Senu T1 o DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 39 c) Ley de la aceleracin angular aplicada al cilindro de radio R respecto del punto tangente O del cilindro con el plano inclinado: c OI . t o = ( ) ( )2132CaM.g.Sen .R T . R r M.R .Ru| | | | =||\ . \ . 132CR RM.g.Sen . T M.a .R r R ru | | | | | | = ||| \ . \ . \ .

La aceleracin del bloque de masa M2 se relaciona con la aceleracin del centro de masa del cilindro: CCa a Ra .aR r R R r| |= =| \ . 2132R RM.g.Sen . T .M.a.R r R ru | | | | | | = ||| \ . \ . \ .(1) d) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio R1 respecto del centro geomtrico: 1 C CI . t o = ( )21 2 1 1 1112aT T .R M .R .R| || | = ||\ . \ .

reduciendo la tensin es 1 2 112T T M .a| | =|\ . (2) e) Ley de aceleracin rectilnea: yF M.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe que el bloque baja. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: 2 2 2 2 yF M .a T M .g M .a = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): 22 1 23 12 2R RM.g. .Sen M .g M. M M aR r R ru| || |( = + + | | ( | \ . \ . resolviendo la ecuacin tenemos que: Resolucin 23 T1 a M2.g o1 M1 T2 R1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 40 221 23 12 2RM. Sen M .gR raRM. M MR ru| | ( | ( \ .= (+ + ( Observacin: Si2 R .r =la aceleracin seria: ( )21 22162.M.Sen M .ga.M M Mu =+ + PROBLEMA 24. Sobre un plano horizontal spero un cilindro macizo de radio R y masa M rueda sin resbalar, por el extremo superior est unida a una cuerda de masa despreciable, el cual pasa por una polea de radio r y masa despreciable. En el extremo inferior de la cuerda se encuentra un bloque de masa m. La cuerda no se desliza respecto de la polea de radio r. Determine el valor de la aceleracin del bloque. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R =Resolucin a) Analizamos al cilindro de radio R. Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie horizontal, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + =Respecto de la tierra, la velocidad instantnea y aceleracin instantnea del punto O no es nula. b) La aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. CCaa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular: Respecto del punto O, 1 o oI . t o =o a a m Para el problema 24 M R DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 41 ( ) ( )21322caT . .R M.R .R| | | |=||\ . \ .reduciendo ( )134CT M.a = Analizando cinemticamente, recordamos que 2Caa =es decir la aceleracin del bloque es el doble de la aceleracin de traslacin del cilindro de radio R. La tensin en la cuerda es: 1 138T M .a =(1) c) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio r: 2 c CI . t o = La aceleracin angular de la polea respecto de su centro geomtrico. 2 2aa .rro o = = ( )22 1 2 2 2212aT T .R M .R .R| || | = ||\ . \ .

reduciendo la tensin es22 102M .aT T = =(2) Pero por condicin del problema la masa de la polea (M2 = 0) es despreciable, entonces deducimos que el valor de las tensiones en los extremos de la polea son iguales en mdulo. 2 1T T T = = d) Ley de aceleracin rectilnea: yF m.a = Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque. Observe el bloque. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje vertical: Bloque: 2 yF m.a m.g T m.a = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): 38m.g M m a| |= + |\ . Despejando tenemos que: a CILINDRO de radio R T1 R o R aC O R2 M2 o2 a m.g Polea de radio R2 y bloque. T1 T2 T2 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 42 38m.gaM m= (+ ( otra forma de expresar318gaMm=| |+ |\ . Observacin: La fuerza motriz, que pone en movimiento a los cuerpos, es la fuerza de gravedad que afecta al bloque que est suspendido en el aire.

PROBLEMA 25. Sobre un plano inclinado spero un bloque de masa M1 resbala, por el extremo superior est unida a una cuerda de masa despreciable, el cual pasa por una polea de radio R y masa M2. En el otro extremo de la cuerda se encuentra un bloque de masa M3. La cuerda no se desliza respecto de la polea de radio R. Determine el valor de la aceleracin del bloque. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R = Resolucin a) La aceleracin tangencial de la polea se relaciona con la aceleracin angular de la misma polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = = b) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio R: c CI . t o = ( )21 2 212aT T .R M .R .R| | | | =||\ . \ .

reduciendo la tensin es 21 22M .aT T =(1) | o M3 Para el problema 25 u M1

M2 y R2 a a DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 43 c) Ley de aceleracin rectilnea: / / planoF m.a =Fijamos nuestro sistema de referencia sobre la Tierra y realizamos el diagrama de cuerpo libre de cada bloque. Observe que el bloque M1 baja y el bloque M3 sube. Aplicamos la segunda ley de Newton en el eje paralelo al plano inclinado: 1 1 1 1 / / planoF M .a M .g.Sen T M .a u = =(2)3 2 3 3 / / planoF M .a T M .g.Sen M .a | = = (3) Adicionando las ecuaciones (1), (2) y (3): 1 3 1 2 312M .g.Sen M .g.Sen M M M a u || | = + + |\ . La aceleracin es: ( )1 31 2 322 2.g M .Sen M .Sena.M M Mu | =+ + Observacin: La aceleracin tangencial de los puntos perifricos de la polea, la aceleracin de cada bloque tiene el mismo valor. PROBLEMA 26. Determine la velocidad lineal del centro de masa que tendr un cilindro macizo de masa M y radio R, que se mueve sobre un plano inclinado, si parti en el punto A del reposo y va hacia A Para el problema 26 e H BC | o T2 Resolucin 25 u T1

M2 y R2 a a M1.g.senu M3.g.sen| DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 44 abajo, siendo H la altura que descendi el cilindro hasta llegar al punto B. El momento de inercia del cilindro respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R =RESOLUCIN Como el cilindro rueda sin resbalar entonces la fuerza de rozamiento no realiza trabajo. De la condicin del problema sabemos que la velocidad inicial en el punto A es cero,0 =Avy tambin la energa cintica inicial es nula.La energa cintica de rotacin respecto de la lnea paralela al plano inclinado es ( )21. .2CINETICA ABE I e =donde el momento de inercia es 2.AB CI I M d = +reemplazando 2.AB CI I M R = +( )2 21. . .2CINETICA CE I M R e = +reemplazando( ) ( )2 21 1. . . .2 2CINETICA CE I M v e = +Si tomamos la lnea de referencia en el punto ms bajo B, entonces la altura ser cero0 =Bhpor lo tanto su energa potencial gravitacional ser nula. La nica fuerza que realiza trabajo es la fuerza de gravedad, entonces aplicamos el principio de conservacin de la energa mecnica entre los puntos A y B. La energa mecnica en el punto inicial A, es igual a la energa mecnica final en B: ( ) ( ) = EM en A EM en B( ) ( ) ( ) ( )CIN P CIN PE en A E en A E en B E en B + = +2 2 2 21 1 1 1. . . . . . . .2 2 2 2+ + = + +A C A A B C B Bmv I m g h mv I m g h e eReemplazando tenemos que: 2 21 10 0 . . . . 02 2+ + = + +B C Bm g H mv I e2 2 2 21 1 1. . . . . .2 2 2M g H M R M R e e| |= + |\ .2 2 23 3. . . . .4 4M g H M R M v e = =Despejando tenemos que el valor de la velocidad del centro de masa en el punto B es: 4.3Bv g H = Observacin: Podemos sealar que, si el cilindro macizo se reemplaza por un bloque cbico del mismo valor en masa y se desplaza libre de rozamiento, la rapidez en B sera: 2 . =Bv g H

DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 45 PROBLEMA 27. Sobre un plano horizontal spero un cilindro macizo de radio R1 y masa M1 rueda sin resbalar, por el extremo superior est unida a una cuerda de masa despreciable, el cual pasa por una polea de radio R2 y masa M2. En el extremo inferior de la cuerda se encuentra un bloque de masa M3. La cuerda no se desliza respecto de la polea de radio R2. El movimiento de los cuerpos se inicia desde el reposo. Determine el valor de la velocidad del bloque despus de descender una altura H. El momento de inercia del cilindro y de la polea respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R =Resolucin a) Para determinar la velocidad del centro de masa del Cilindro, VC, utilizamos el teorema de la energa cintica. La energa cintica inicial es nula. La energa cintica final de cada cuerpo es: b) CILINDRO MACIZO:( ) ( )2 21 11 1. . . .2 2cilindro C CE I M v e = +Siendo el punto el centro instantneo de rotacin: 1 1 11CCvv .RRe e = =reemplazando: ( )22 21 11 11 . 1. . . .2 2 2cilindro CM RE M v e| |= + |\ . reduciendo 213.4cilindro CE M v =La velocidad en los puntos perifricos del cilindro es el doble de la velocidad del centro geomtrico: 22C Cvv .v v = =entonces 221 13 3. .4 4 16cilindrovE M M v| || |= = ||\ .\ . c) POLEA: R2 M2 e2 v v M3 Para el problema 27 M1 R1 v Polea de radio R1 T1 R1 e1 R1 vC O DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 46 ( )22 22 22 21 1 .. . . .2 2 2polea CM RE I e e| |= = |\ . tiene solo energa cintica de rotacin. 221.4poleaE M v = , tiene solo energa cintica de rotacin. d) BLOQUE: 231.2bloqueE M v =tiene solo energa cintica de traslacin. Las fuerzas internas (tensin) al sistema realizan trabajo nulo. El trabajo neto, es igual al trabajo realizado por la fuerza de gravedad: 3. .NETOW M g H = e) El trabajo neto hecho por todas las fuerzas externas, es igual, a la variacin de la energa cintica. NETO cinetica cineticafinal inicialW E E = 3. .cilindro polea bloquefinal final inicialM g H E E E = + +2 2 23 1 2 33 1 1. . . . .16 4 2M g H M v M v M v = + +31 2 3. .3 1 116 4 2M g HvM M M=+ + Observacin: La fuerza motriz, que pone en movimiento a los cuerpos, es la fuerza de gravedad que afecta al bloque que est suspendido en el aire. PROBLEMA 28: En el sistema mostrado se encuentra inicialmente en reposo, determine el mdulo de la velocidad del bloque de masa m cuando ha descendido una altura H. La masa de la polea es M. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 9,8 m/s2) R2 M2 e2 v M3.g Polea de radio R2 y bloque. T1 T2 T2 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 47 Resolucin a) Para determinar la velocidad del bloque utilizamos el teorema de la energa cintica. La energa cintica inicial es nula. La energa cintica final de cada cuerpo es: c) POLEA: ( )22 21 1 .. . . .2 2 2polea CM RE I e e| |= = |\ .

Relacin entre la velocidad tangencial y la velocidad angular vv .RRe e = =21.4poleaE M v = , tiene solo energa cintica de rotacin. d) BLOQUE: 21.2bloqueE mv =tiene solo energa cintica de traslacin. Las fuerzas internas (tensin) al sistema realizan trabajo nulo. El trabajo neto, es igual al trabajo realizado por la fuerza de gravedad: . .NETOW mg H = e) El trabajo neto hecho por todas las fuerzas externas, es igual, a la variacin de la energa cintica. NETO cinetica cineticafinal inicialW E E = reemplazando:. .polea bloquefinal finalmg H E E = +2 21 1. . . .4 2m g H M v mv = +despejando . .1 14 2m g HvM m=+ Para el problema 28 R m M A m.gT vT e DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 48 Observacin: si despreciamos la masa de la polea, entoncesla velocidad del bloque sera: 2. . v g H =PROBLEMA 29. Sobre un plano horizontal est situado un bloque A de masa MA que est unido mediante una cuerda, que pasa a travs de una polea de masa M y radio R a otro bloque B de masa MB. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cintico entre el bloque A y el plano horizontal vale , calcular la velocidaddel bloque A cuando el bloque B haya descendido una altura H. Inicialmente el sistema se encuentra en reposo. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 9,8 m/s2) Resolucin a) Analizamos el diagrama de cuerpo libre del bloque A. La fuerza de reaccin normal tiene el mismo valor que la fuerza de gravedad. 0 .y N AF F m g = = La fuerza de rozamiento cintico es directamente proporcional a la fuerza normal: . . .cinetica C N C Af F m g = = (1) b) Para determinar la velocidad del bloque utilizamos el teorema de la energa cintica. La energa cintica inicial es nula. La energa cintica final de cada cuerpo es: c) POLEA: ( )22 21 1 .. . . .2 2 2polea CM RE I e e| |= = |\ .

R A M o v v B Para el problema 29 A MA.g D.C.L. del bloque A. FN .FN T1 v DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 49 Relacin entre la velocidad tangencial y la velocidad angular vv .RRe e = =21.4poleaE M v = , tiene solo energa cintica de rotacin. d) BLOQUES:( )21.2bloques A BE M M v = +tienen solo energa cintica de traslacin. Las fuerzas internas (tensin) al sistema realizan trabajo nulo. e) El trabajo neto, es igual al trabajo realizado por la fuerza de gravedad del bloque B y por la fuerza de rozamiento: . . .NETOB CW M g H f H = . . . . .NETOB C AW M g H M g H = e) El trabajo neto hecho por todas las fuerzas externas, es igual, a la variacin de la energa cintica. NETO cinetica cineticafinal inicialW E E = reemplazando: NETO polea bloquesfinal finalW E E = +( )2 21 1. . . . . . .4 2B C A A BM g H M g H M v M M v = + + despejando ( ) . . .1 1 14 2 2B C AA BM M g HvM M M =+ + Observacin: si no hubiera rozamiento entre el bloque A y la superficie horizontal, el valor de la velocidad sera: . .1 1 14 2 2BA BM g HvM M M=+ + PROBLEMA 30: En el sistema mostrado se encuentra inicialmente en reposo. Si el bloque A (de mayor masa) desciende una altura H, determine el mdulo de la velocidad de los bloques de masas mA y mB. La polea tiene masa M y radio R. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = . (g = 9,8 m/s2) R M e v B D.C.L (polea y bloque B) T1 T2 T2 MB.g DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 50 Resolucin a) Para determinar la velocidad del bloque utilizamos el teorema de la energa cintica. La energa cintica inicial es nula. La energa cintica final de cada cuerpo es: b) POLEA: ( )22 21 1 .. . . .2 2 2polea CM RE I e e| |= = |\ .

Relacin entre la velocidad tangencial y la velocidad angular vv .RRe e = =21.4poleaE M v = , tiene solo energa cintica de rotacin. c) BLOQUES:( )21.2bloques A BE M M v = +tienen solo energa cintica de traslacin. Las fuerzas internas (tensin) al sistema realizan trabajo nulo. d) El trabajo neto, es igual al trabajo realizado por las fuerzas de gravedad de los bloques A y B.. . . .NETOA BW m g H M g H = e) El trabajo neto hecho por todas las fuerzas externas, es igual, a la variacin de la energa cintica. NETO cinetica cineticafinal inicialW E E = reemplazando: NETO polea bloquesfinal finalW E E = +( )2 21 1. . . . . .4 2A B A BM g H M g H M v M M v = + +A B Para el problema 30 A mA.gB mB.gT1 vvT2 T1 T2 e DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 51 despejando ( ). .1 1 14 2 2A BA BM M g HvM M M=+ + Observacin: si la masa de la polea fuese despreciable (nula), el valor de la velocidad sera: ( )2. .A BA Bg H M MvM M=+ PROBLEMA 31. Una esfera hueca de masa M1 y radio R1 puede rotar alrededor de un eje vertical. Una cuerda sin masa est enrollada alrededor delplano ecuatorial de la esfera, pasa por una polea de masa M2 y radio R2 y est atada al final a un bloque de masa m (ver figura). No hay friccin en el eje de la polea y la cuerda no resbala. Inicialmente el sistema est en reposo, si el bloque desciende una altura H, cul es el valor de la velocidad del bloque? El momento de inercia de la esfera hueca respecto de su centro geomtrico es 22.3CI M R =y el momento de inercia de la polea es 21.2CI M R = Resolucin a) Para determinar la velocidad del bloque utilizamos el teorema de la energa cintica. La energa cintica inicial es nula. La energa cintica final de cada cuerpo es: b) ESFERA HUECA: Para el problema31 R2 m M2 M1 R1 e1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 52 ( )2 2 21 1 1 11 1 2. . . . .2 2 3esfera CE I M R e e| |= = |\ .

Relacin entre la velocidad tangencial y la velocidad angular 1 1 11vv .RRe e = =211.3esferaE M v| |= |\ ., tiene solo energa cintica de rotacin. POLEA: ( ) 222 2221 1 .. . . .2 2 2polea CM RE I e e| |= = |\ .

Relacin entre la velocidad tangencial y la velocidad angular 2 2 22vv .RRe e = =221.4poleaE M v| |= |\ ., tiene solo energa cintica de rotacin. c) BLOQUE: 21.2bloqueE mv| |= |\ .tiene solo energa cintica de traslacin. Las fuerzas internas (tensin) al sistema realizan trabajo nulo. d) El trabajo neto, es igual al trabajo realizado por la fuerza de gravedad dbloque..NETOW mgH = e) El trabajo neto hecho por todas las fuerzas externas, es igual, a la variacin de la energa cintica. NETO cinetica cineticafinal inicialW E E = reemplazando: NETO esfera polea bloquecinetica cinetica cineticaW E E E = + + 2 2 21 21 1 1. . . . .3 4 2mg H M v M v mv = + + ESFERA HUECA vT1 M1 R1 e1 BLOQUE R2 T1 T2 T2 e2 v m.g POLEA DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 53 despejando 1 2. .1 1 13 4 2m g HvM M m=+ + Observacin: si la masa de la polea fuese despreciable (nula), el valor de la velocidad sera: 1. .1 13 2m g HvM m=+ PROBLEMA 32. En el sistema mostrado se encuentra inicialmente en reposo. Si la polea desciende una altura H, determine el mdulo de la velocidad del centro de masa. La masa de la polea es M. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 9,8 m/s2) Resolucin a) Para determinar la velocidad de la polea utilizamos el teorema de la energa cintica. La energa cintica inicial es nula. La energa cintica final de la polea es: b) POLEA:( )2 21 1. . .2 2polea C CE I M v e = +tiene energa cintica de rotacin y traslacin. 22 21 . 1. . .2 2 2polea CM RE M v e| |= + |\ . Relacin entre la velocidad del centro de masa y la velocidad angular: CCvv .RRe e = =vc M.gT ce DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE O O g R Para el problema 32 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 54 23.4polea CE M v| |= |\ . c) La tensin T en la cuerda no realiza trabajo, en el punto O la velocidad instantnea es nula, no existe deslizamiento relativo, anlogo con la fuerza de rozamiento esttico. d) El trabajo neto, es igual al trabajo realizado por la fuerza de gravedad de la polea..NETOW M gH =e) El trabajo neto hecho por todas las fuerzas externas, es igual, a la variacin de la energa cintica. NETO cinetica cineticafinal inicialW E E = reemplazando: NETO poleacineticaW E =23. . .4CM g H M v =despejando: 4. .3Cv g H = Observacin: si la masa de la polea desciende en cada libre (cortamos la cuerda) el valor de la velocidad sera:2. .Cv g H = PROBLEMA 33: En el sistema mostrado se encuentra inicialmente en reposo. Si la polea B desciende una altura H, determine el mdulo de la velocidad del centro de masa de la polea B. La masa de las poleas cilndricas A y B son iguales a M. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico C es 21.2CI M R = , donde R es el radio de la polea. (g = 9,8 m/s2) Resolucin a) Para determinar la velocidad de la polea B, utilizamos el teorema de la energa cintica. La energa cintica inicial es nula. La energa cintica final de cada polea es: b) POLEA A:( ) 121. .2polea CE I e =tiene energa cintica de rotacin. 22111 .. .2 2polea AM RE e| |= |\ . Relacin entre la velocidad del centro de masa y la velocidad angular: 11 1 1 11vv .RRe e = =211.4polea AE M v| |= |\ . A R Problema 33 R g B A T Resolucin 33 R e1 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 55 POLEA B:( )2 21 1. . .2 2polea B C CE I M v e = +tiene energa cintica de rotacin y traslacin. ( )22211 . 1. . .2 2 2polea B CM RE M v v e| |= + + |\ . Relacin entre la velocidad del centro de masa y la velocidad angular: CCvv .RRe e = =( )2211 1. . .4 2polea B C CE M v M v v = + + c) La tensin T en la cuerda no realiza trabajo. Las fuerzas internas no realizan trabajo. d) El trabajo neto, es igual al trabajo realizado por la fuerza de gravedad de la polea. . .NETOW M g H = e) El trabajo neto hecho por todas las fuerzas externas, es igual, a la variacin de la energa cintica. NETO cinetica cineticafinal inicialW E E = reemplazando: NETO polea A poleaBcinetica cineticaW E E = +( )22 21 11 1 1. . . . .4 4 2C CM g H M v M v M v v = + + + Observacin: Falta resolver. PROBLEMA 34. Se muestra un cilindro macizo de masa M2 que rueda sin deslizar, a lo largo de un plano inclinado. El centro del cilindro est unido mediante una cuerda al borde de una polea en forma de disco de masa M1 y R1 de radio. Sabiendo que en el eje de la polea no existe rozamiento, vc+v1 M.gT ce DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE (POLEA B) O O v1 R2 M2

M1 o2 u Para el problema 34 C R1 g DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 56 calcular la aceleracin del cilindro y la tensin de la cuerda. ? El momento de inercia del cilindro respecto de su centro geomtrico y el momento de inercia de la polea es 21.2CI M R =Resolucin a) La aceleracin tangencial de la polea se relaciona con la aceleracin angular de la misma polea respecto de su centro geomtrico. aa .RRo o = =La aceleracin del centro de masa del cilindro se relaciona con la aceleracin angular: 1 1 11aa .RRo o = =b) Ley de la aceleracin angular aplicada a la polea de radio R1: 1 c CI . t o = ( )21 1 1112aT .R M .R .R| || |= ||\ . \ . reduciendo la tensin es 112T M .a| |=|\ . (1) c) Ley de la aceleracin angular aplicada al cilindro de R2: 2 c OI . t o = Analizamos al cilindro de radio R2. Elmomento de Inercia respecto del punto O, tangente con la superficie inclinada, es: 2.O CI I M d = +reemplazando2 2 22 2 2 2 2 21 3. . .2 2OI M R M R M R = + =La aceleracin del centro de masa del cilindro se relaciona con la aceleracin angular: O M2.g.Senuo1 o2 u Resolucin 34 C R1 a T T R2 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 57 2 2 22aa .RRo o = = ( )22 2 2 2232aM .g.Sen T .R M .R .Ru| || | = ||\ . \ . reduciendo la tensin es 2 232M .g.Sen T M .a u| | =|\ . (2) Adicionando las ecuaciones (1) y (2): 2 1 21 32 2M .g.Sen M M a u| |= + |\ . resolviendo la ecuacin tenemos que:21 223Ma .g.Sen .M .Mu(= (+ Despejando tenemos que el valor de la velocidad en el punto B es: 6.5=Bv g H OBSERVACIN: Podemos sealar que, si es cascarn se reemplaza por un bloque cbico del mismo tamao en masa y se desplaza libre de rozamiento la rapidez en B sera:2 . =Bv g H PROBLEMA 35. Una varilla delgada de masa M y longitud L puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto O. En el extremo de la barra se encuentra soldada una esfera pequea de masa m y radio despreciable. El sistema parte del reposo en la posicin horizontal en A como indica la figura. Calcular la velocidad del centro de masa C de la varilla en el instante que pasa por su posicin vertical en B. El momento de inercia de la barra respecto de su extremo del centro de masa es 21.12CI M L| |= |\ . RESOLUCIN a) De la condicin del problema sabemos que la velocidad inicial en el punto A es cero,0 =Avy tambin la energa cintica inicial es nula.0cineticainicialE =b) La energa cintica de rotacin de la BARRA respecto del centro de giro O es ( )21. .2CINETICA OE I e =donde el momento de inercia es L/2 C2 Mg A B O Para el problema 35 C1 C mg DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 58 2.O CI I M d = +reemplazando 221. .12 2OLI M L M| | | |= + ||\ . \ . 21.3OI M L| |= |\ . 2 2 2 21 1 1. . . . .2 3 6CINETICAE M L M L e e| | | |= = ||\ . \ .Relacin entre la velocidad angular y la velocidad del centro de masa: 2.2C Cv v vLR Le e = = = 22 21 2. 2. . .6 3CINETICABARRACCvE M L M vL| | | | | |= = |||\ . \ . \ . c) La energa cintica de rotacin punto material (esfera pequea) respecto del centro de giro O es( )21. .2CINETICA OE I e =donde el momento de inercia es

2 2. .O OI mR I mL = =( )2 2 2 21 1. . . . . .2 2CINETICAE mL mL e e| |= = |\ .Relacin entre la velocidad angular y la velocidad del centro de masa: 2.2C Cv v vLR Le e = = = 22 21 2.. . . 2. .2PUNTOCCINETICA CvE mL mvL| | | |= = ||\ . \ . d) El centro de masa C de la barra describe un cuarto de circunferencia como trayectoria, desde la posicin inicial hasta la posicin final desciende una altura 2Lh =En cambio el punto material desciende una altura igual a la longitud de la barra. La nica fuerza que realiza trabajo es la fuerza de gravedad, entonces; . . . .2NETO PESOA B A BLW W M g mg L | |= = + |\ .

Aplicamos el teorema de la energa cintica entre los puntos A y B. L/2 VC 2VC e B O Resolucin 35 C2 L/2 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 59 NETO cinetica cineticaA B final inicialW E E= 2 22. . . . . 2. .2 3C CLM g mg L M v mv| | | |+ = + ||\ . \ . Despejando tenemos que el valor de la velocidad del centro de masa en el punto C2 es: ( )( )3. 2. . .4. 3.CM m g LvM m+=+ Observacin: Si la masa del punto material (esfera muy pequea) fuese nula, la rapidez en el punto ms bajo sera: 3.4Cv g L| |= |\ . PROBLEMA 36. Una varilla delgada de masa M y longitud L puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto O. Parte del reposo en la posicin horizontal en A como indica la figura. Calcular la velocidad del centro de masa C de la varilla en el instante que pasa por su posicin vertical en B. El momento de inercia de la barra respecto de su extremo del centro de masa es 21.12CI M L| |= |\ . RESOLUCIN De la condicin del problema sabemos que la velocidad inicial en el punto A es cero,0 =Avy tambin la energa cintica inicial es nula.0cineticainicialE =La energa cintica de rotacin de la barra respecto del centro de giro O es ( )21. .2CINETICA OE I e =donde el momento de inercia es 2.O CI I M d = +reemplazando 221. .12 2OLI M L M| | | |= + ||\ . \ . 21.3OI M L| |= |\ . 2 2 2 21 1 1. . . . .2 3 6CINETICAE M L M L e e| | | |= = ||\ . \ .L/2 C2 Mg A B O Para el problema 36 C1 C DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 60 Relacin entre la velocidad angular y la velocidad del centro de masa: 2.2C Cv v vLR Le e = = = 22 21 2. 2. . .6 3CCINETICA CvE M L M vL| | | | | |= = |||\ . \ . \ . El centro de masa C de la barra describe como trayectoria un cuarto de circunferencia de radio igual a la mitad de la longitud de la barra, desde la posicin inicial hasta la posicin finaldesciende una altura 2Lh = La nica fuerza que realiza trabajo es la fuerza de gravedad, entonces; . .NETO PESOA B A BW W M g h = =

. .2NETOA BM g LW= Aplicamos el teorema de la energa cintica entre los puntos A y B. NETO cinetica cineticaA B final inicialW E E= 22. . .3CM g h M v| |= |\ . Despejando tenemos que el valor de la velocidad del centro de masa en el punto C2 es: 3. .4Cv g L = Observacin: Podemos sealar que, si la barra se reemplaza por un pndulo del mismo valor en masa y longitud 2Lh = , la rapidez en el punto ms bajo sera:.Cv g L = PROBLEMA 37. Las poleas A y B, unidas por una correa, continan girando despus de r MA

MB e0 e Para el problema 37 Q R fC B A DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 61 desconectar el motor de tal manera que la polea A tiene velocidad angular0e. La masa total de las poleas es M. Para detener la rotacin se aplica una zapata de freno contra la polea Ade radio R con una fuerza Q; el coeficiente de rozamiento entre la zapata y la polea es k . Despreciando el rozamiento en los ejes y considerando las poleas como discos macizos, determinar el nmero de vueltas efectuadas por la polea A antes de detenerse. El momento de inercia de la polea respecto de su centro geomtrico es 21.2CI M R =RESOLUCIN a) Para determinar el nmero de vueltas N, utilizaremos el teorema de la energa cintica: NETO cinetica cineticaA B final inicialW E E= Si las poleas se detienen, la energa cintica final es nula:0cineticaFINALE =Relacin entre la velocidad angular y la velocidad del centro de masa: 0. . v R r e e = =entonces la velocidad angular de la polea B es, 0.Rre e| |= |\ . b) La energa cintica de rotacin de las peleas es: 2 21 1. . . .2 2poleascinetica A A B BE I I e e| | | |= + ||\ . \ . 2 22 21 . 1 .. . . .2 2 2 2poleasA A B Bcinetica A BM R M RE e e| | | || | | |= + ||||\ . \ .\ . \ . 2 2 22 20 021 . 1 .. . . . .2 2 2 2poleasA BcineticaM R M r REre e| | | | | || | | |= + |||||\ . \ .\ . \ . \ . ( )2 201. . .4poleascinetica A BE R M M e| |= + |\ . c) El trabajo de la fuerza de gravedad es igual a cero, porque el centro de gravedad de las ruedas y de la correa no se desplazan durante el movimiento del sistema. d) La fuerza de rozamiento es: ( ). . . .FRICCIONC CW f S Q R = = si N es el nmero de vueltas y el ngulo centra en radianes:2 .2N N tt= =El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es: ( ). . . 2 . .FRICCIONC CW f S Q R N t = = DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 62 e) Teorema de la energa cintica: NETO cinetica cineticaA B final inicialW E E= ( ) ( )2 201. . 2 . . 0 . . .4C A BQ R N R M M t e| | = + |\ . Despejando: ( )20. .8 . .A BCR M MNQet += A BM M M = + 20. .8 . .CR MNQet = DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 63 DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 64 PROBLEMAS PROPUESTOS DE DINMICA CUERPO RGIDO 1.Dos esferas A y B de madera y acero respectivamente del mismo radio se sueltan simultneamente sobre un plano inclinado. Cul de los cuerpos llega al suelo con mayor velocidad? 2.Se muestra un volante de forma circular de radio 0,4 m y momento de inercia respecto del eje que sapa por su centro geomtrico es 2800 . =OI kg m . Sobre un plano inclinado 37 un bloque de 10 kg se encuentra unido al volante mediante una cuerda. Sobre el bloque acta una fuerza de rozamiento cintico de valor constante igual a 40 N. Calcular el valor de la aceleracin angular del volante. 3.Una esfera maciza de masa M y radio R tiene una velocidad de valor 4 m/s sobre un punto del plano inclinado alcanzando una altura mxima H respecto del punto de inicio. Del mismo punto de lanza un aro de masa M y radio R, con qu rapidez se debe lanzar para alcanzar la misma altura mxima de la esfera? El momento de inercia del cascarn esfrico respecto de un eje que pasa por su centro geomtrico C es 22.3=CI M R El momento de inercia de un aro delgado respecto de un eje que pasa por su centro C es2. =CI M R 4.Se muestra un cilindro de masa M y radio R, saliendo del reposo, rueda sin resbalar sobre una superficie spera, donde H es igual 2,1 m. En la parte ms baja choca elsticamente e=1 con un bloque de igual masa. Calcular la altura h que asciende el bloque despus del choque. u Para el problema 02 B M H M h Para el problema 4 g DINMICA DEL CUERPO RGIDO (Coquito va a la Universidad) Profesor: Walter PREZ TERREL / www.didactika.com / 997089931Pgina 65 Problemas Propuestos PROBLEMA 1. Di si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, y por qu.a Todos los puntos de un cuerpo que gira tienen la misma velocidad angular. b Todos los puntos de un cuerpo que gira tienen la misma velocidad lineal. c El momento de inercia depende de la situacin del eje de rotacin. d Si el momento neto de las fuerzas que actan sobre un slido es cero, el momento angular es cero. e Si el momento neto de las fuerzas que actan sobre un slido es cero, la velocidad angular