Upload
jorgethorr
View
227
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
1/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
Semana 7CURSO : CLCULO I
Tema :
LIMITES AL INFINITO
Madrid 6 AGO 2009
9,51 segundos, el lmite para el rcord masculino de los 100
metros planos
Investigadores de la universidad de Tilburg calculan la barrera de la pruebareina de velocidad con la teora de los valores extremos
Hasta cunto se puede rebajar el rcord de los 100 metros, la prueba reina del atletismo
de velocidad? Cul es el lmite? Dos economistas de la universidad de Tilburg (Holanda)
han calculado la marca futura que pueden alcanzar hombres y mujeres en esta distancia.
Para establecer el rcord probable de los 100 metros, John Einmahl y Sander Smeets han
analizado las mejores marcas personales de 762 atletas masculinos y 479 atletas
femeninas entre enero de 1991 y junio de 2008. Los investigadores desestimaron las
marcas anteriores a estas fechas, ya que no existan unos controles de antidopaje
eficaces. Las marcas oscilaban, en el caso de los hombres, entre los 9,72 y los 10,30
segundos, y en el caso de las mujeres entre los 10,65 y los 11,38 segundos.
Lmites al infinito Continuidad de funciones Asntota de una funcin
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
2/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
Cmo ha ido evolucionando el rcord a lo largo del tiempo? Como se podr ver en lasiguiente grfica, se trabaja el concepto de tendencia, ya que se sabe que por las
limitaciones humanas, los 100 metros planos no se podrn correr nunca tardando slo dos
segundos, y as, el tiempo que se tarda en correr los 100 metros planos se ir acercando a un
valor cuyo tope no se podr bajar por ms que pasen los aos, apareciendo de nuevo la
nocin de lmite.
Podemos considerar una funcin )(tf que proporcione el tiempo (en segundos) en que un
atleta recorre los 100 m lisos en el ao t. Luego, se podra decir que cuando pasen los aos
( t ) el rcord llegar a los 9,51 segundos ( 51,9)( tf ) o en la notacin de limite
51,9)( =
tflmt
El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos
calcular el valor de funciones que tienden al infinito.
UNO ENTRE INFINITOEmpecemos por un ejemplo interesante
Pregunta: Cul es el valor de /1 ?
Respuesta: No lo sabemos!
Por qu no lo sabemos?
La razn ms simple es que infinito no es un nmero, es una idea. A lo mejor podramos
decir que ...0/1 = pero eso es un poco problemtico, porque si dividimos 1 en infinitas
partes y resulta que cada una es 0, qu ha pasado con el 1?
De hecho /1 es indefinido.
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
3/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
Pero podemos acercarnos a l!As que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta
razonable), vamos a probar con valores dexms y ms grandes:
Vemos que cuandox crece, x/1 tiende a 0. Ahora tenemos una situacin interesante:
No podemos decir qu pasa cuandoxllega a infinito
Pero vemos que x/1 va hacia 0
Queremos decir que la respuesta es 0 pero no podemos, as que los matemticos usan la
palabra lmite para referirse exactamente a esto
El lmitede x/1 cuandoxtiende a infinito es 0
Y lo escribimos as; 01
=
xlmx
Definicin1. Decimos que )(xf tiene lmiteLcuandoxtiende al infinito y escribimos
Lxflmx
=
)(
Si, para cada nmero 0> , existe un correspondiente nmero M tal que para todox
Mx >
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
4/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
2. Decimos que )(xf tiene lmiteLcuandoxtiende a menos infinito y escribimos
Lxflmx
=
)(
Si, para cada nmero 0> , existe un correspondiente nmero N tal que para todox
Nx < a
( ) +=+a
( ) =+ a
( ) =a ( ) += a
Si )(xf es un polinomio, se debe factorizar y luego aplicar las propiedades mencionadas
anteriormente, es decir
++++=++++=
n
n
n
nn
nn
nn
x
a
x
a
x
aaxaxaxaxaxf
1
1101
1
10)( LL
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
5/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
Ejemplo:1. Dada la funcin polinomial 7654)( 23 ++= xxxxf , calcular )(xflmx
y
)(xflmx +
Solucin:
Ya que
++=++=
32
323 76547654)(xxx
xxxxxf , entonces
+==
++=
)4)((765
4)(32
3
xxxxlmxflm
xx
=+=
++=
++
)4)((7654)(32
3
xxxxlmxflm
xx
Si)(
)()(xQ
xPxf = es una funcin racional con
mm
mmaxaxaxaxP ++++=
1
1
10)( L y nnnn
bxbxbxbxQ ++++=
1
1
10)( L , entonces
>
=
+= xx
xxxf
Solucina) f(2) = 3b) Analice los lmites laterales.
x 2
lim f(x) 2+
=
x 2 x 2lim f(x) lim (x 2) 3
= + =
Entonces, )(lim2xf
xno existe.
Por lo tanto, f no es continua en x= 2.
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
10/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
Tipos de discontinuidad1.
Discontinuidad removible o evitableUna funcinf tiene una discontinuidad removible o evitable en a si
Existe )(lim xfax
)()( afxflmax
o no existef(a)
En ambos casos si redefinisemos )(af o definisemos )(af como el valor de
)(xflmax
, la funcin f resultara continua en a
=
=
axsixflm
axsixfxf
ax),(
,)()(*
En este caso diremos que )(* xf es una extensin continua de )(xf .
2. Discontinuidad por salto
Diremos quef(x)tiene una discontinuidad no removible de primera clase en asi
existen )(xflmax
+
y )(xflmax
, pero son diferentes.
Ejemplos:
1. Sea h la funcin definida por
>
+=
1,-3
1,3)(
xx
xxxh .
La figura muestra la grfica de h . Como la grfica de
h se rompe en el punto donde 1=x , se investigaran las
condiciones de continuidad.
(i) 4)1( =h (ii) 4)3()(
11=+=
xlmxhlmxx
2)3()(11
==++
xlmxhlmxx
Debido a que )()(11xhlmxhlm
xx +
, entonces )(1xhlm
xno existe.
La condicin (ii) no se cumple en 1; de modo que h es discontinua en 1. Puesto que
)(1xhlm
xno existe, la discontinuidad es por salto.
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
11/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
2.
Sea f la funcin definida por
=
=
3,2
3,3)(
x
xxxf .
La figura muestra la grfica de f . Se investigaran
alas tres condiciones de continuidad.
(i) 2)3( =f
(ii) 0)3()(33
==
xlmxflmxx
0)3()( 33==
++ xlmxflm xx .Por tanto 0)(
3=
xflmx
(iii) )3()(3fxflm
x
Debido a que la condicin (iii) no se satisface, f es discontinua en 3.
Esta discontinuidad es removible porque si se redefine )3(f como 0, entonces la nueva
funcin ser continua en 3.
=
=
=
=
3,0
3,3
3),(
3,)(
)(3
*
xsi
xsix
xsixflm
xsixf
xfx
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determinar si la funcin es continua en el punto dado c. Si la funcin no es continua,determinar el tipo de discontinuidad.
1. xxf cos)( = , c=0
2. 9
81
)(
2
= x
x
xf , c = 9 3. 43
82
)( 2
2
+
+
= xx
xx
xf , c= -4
4.x
xxf
42)(
+= , c=0 5.
39)(
+=x
xxf , c= 0 6.
1
1)(
3
+
+=x
xxf , c= -1
7.x
xxf
=
2
4)( , c = 4 8.
+
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
12/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
2.
Analizar la continuidad de f en el punto 2/=x , siendo
=
=
2/,3
2/,1
2
)(
2
x
xsenx
xsensenx
xf
3.
Halle los valores de a, by cpara que la funcin f sea continua en todo los reales
+
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
13/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
ASINTOTAS DE UNA FUNCIN
DefinicinConsideremos una recta L y un punto A que se desplaza a lo largo de la curva C: )(xfy = ,
cuando la distancia entre la recta L y el punto A de la curva tiende a cero, cuando el punto
A tiende al infinito, entonces a la recta L se denomina asntota de la curva, es decir:
0),(lim =
ALdA
Se pueden aplicar lmites infinitos para determinar las asntotas verticales de una grfica, y
los lmites al infinito para determinar las asntotas horizontales y oblicuas.
ASINTOTA VERTICALDefinicinSi )(xf tiende a infinito (o menos infinito) cuandoxtiende a c por la derecha o por la
izquierda, se dice que la rectax= ces una asntota vertical de la grfica de f.
Observe la siguiente funcin2
3)(
=x
xf
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
14/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
es uncociente
y la asntota vertical aparece en el nmero que anula el denominador pero noel numerador. El siguiente teorema generaliza esta observacin.
TEOREMA Asntotas VerticalesSean f y g funciones continuas en un intervalo abierto que contienen a c. Si 0)( cf ,
0)( =cg , y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que 0)( xg para todo cx
del intervalo, entonces la grfica de la funcin
)(
)()(xg
xfxh =
posee una asntota vertical en cx =
Ejemplo:Hallar todas las asntotas verticales de cada una de las grficas de las siguiente funciones:
1.)1(2
1)(
+=x
xf
Solucin
Cuando 1=x , el denominador de)1(2
1)(
+=x
xf es 0 y el numerador no es cero.
Por tanto, por el teorema se puede concluir que 1=x es una asntota vertical.
2.1
1)(
2
2
+=x
xxf
Solucin
Factorizando el denominador como )1)(1(12 += xxx puede verse que se anula en
1=x y en 1=x . Adems dado que el numerador no es 0 en ninguno de estos puntos,
del teorema se sigue que la grfica tiene dos asntotas verticales.
3.4
82)(
2
2
+=
x
xxxf
Solucin
Comenzamos simplificando la expresin como sigue
2,2
4
)2)(2(
)2)(4(
4
82)(
2
2
+
+=
+
+=
+= x
x
x
xx
xx
x
xxxf
En todos los 2x , la grfica de f coincide con la de )2/()4()( ++= xxxg . De modo
que podemos aplicar el teorema a gpara concluir que existe una asntota vertical en
2=x .
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
15/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
ASINTOTA VERTICAL
DefinicinLa recta by = es unaasntota horizontalde la grfica de la funcin f si al menos una de
las proposiciones siguientes es verdadera:
(i) bxflmx
=+
)( , bxf )(
(ii) bxflmx
=
)( , bxf )(
Ejemplo:
1.
Determinar las asntotas de la funcin1
2)( 2
2
+=xxxf
Solucin:
21
1
2
1
2
1
2
22
2
2
2
2
2
=
+
=+
=+ +++
x
lm
x
x
x
x
lmx
xlm
xxx , de la misma manera 2
1
22
2
=+ x
xlmx
.
Por tanto, la recta 2=y es una asntota horizontal de la grfica de f .
2. Obtenga las asntotas horizontales de la grfica de la funcin definida por
1)(
2+
=xxxf
SolucinPrimero se considerar el lmite )(xflm
x +
1)(
2+
=++ x
xlmxflmxx
Al dividir el numerador y el denominador entre 2x se tiene
22
2
2
2 1111
x
x
x
lm
x
x
x
x
lmx
xlm
xxx
+
=
+
=
+ +++
Puesto que +x , 0>x ; por tanto xx = . As,
101
1
11
1
11
122
2=
+=
+
=
+
=
+
++
+
++
xlmlm
lm
x
x
x
lmx
xlm
xx
x
xx
En consecuencia, por la definicin, la recta 1=y es una asntota horizontal de la grfica
de f .
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
16/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
Ahora se considerar el lmite )(xflmx , de nuevo se dividir el numerador y el
denominador entre 2x , que equivale a x . Como x , 0
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
17/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I
11
1
1111
1)( 2
2
2
2
=
+
+
=+
+=
+
+
==++++
x
xlmxx
xlm
x
xx
lmx
xflmm
xxxx
[ ] 11
1
1
1)(
2
=+
=
+
+==
+++ x
xlmx
x
xlmmxxflmb
xxx
La asntota oblicua es: 1)1()1( =+=+= xxbmxy
OBSERVACINSe dice que la grfica de una funcin racional (sin factores comunes) tiene una asntota
oblicua si el grado del numerador excede en 1 al grado del denominador. Para hallar la
asntota oblicua, basta dividir los dos polinomios con el fin de reexpresar la funcin como
suma de un polinomio de grado 1 y otra funcin racional.
Ejemplo
La funcin2
42)(
2
+=x
xxxf se puede reescribir efectuando la divisin como
2
4
2
42)(
2
+=
+=
xx
x
xxxf
De esta forma xy = es una asntota oblicua.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Determine las asntotas de la grfica de la funcin
1.3
12)(
+=x
xxf 2.
2
11)(x
xf += 3.2
54)(
2
+
=x
xxxf
4.1
34)(
+
=x
xxf 5.
4
2)(
2
=
x
xf 6.2
2
4
)(
x
xxf
=
7.9
4)(
2
2
=x
xxf 8.
3
3)(
2+
=
x
xxf 9.
10116
2)(
2+
=xx
xxf
10.9
)(2
=
x
xxf 11.
65
1)(
2++
=
xxxf 12.
1)(
2
=x
xxf
13.4
23)(
2
+
+=x
xxxf 14.
3
8)(
2
=x
xxf 15.
2
3 4)(x
xxf
=
16.1
143)(
2
23
+
++=x
xxxxf 17.
( )
( )2
3
1
1)(
+=
x
xxf 18.
2
23 42)(x
xxxf
++=
7/25/2019 SEMANA_07-calculo 1.pdf
18/18
Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I