SENATI - Curso Estadistica y Racionalizacion Administrativas 2011-1 Clases

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Estadística y Racionalización Administrativas

LA ESTADISTICA

La estadística es la ciencia que estudia los métodos que permiten realizar este proceso para variables aleatorias. Estos métodos permiten resumir datos y acotar el papel de la casualidad (azar). Se divide en dos áreas:

Estadística descriptiva La descripción completa de una variable aleatoria está dada por su función densidad de probabilidad (fdp). Afortunadamente una gran cantidad de variables de muy diversos campos están adecuadamente descritas por unas pocas familias de fdps: binomial, Poisson, normal, gamma, etc. Dentro de cada familia, cada fdp está caracterizada por unos pocos parámetros, típicamente dos: media y varianza. Por tanto la descripción de una variable indicará la familia a que pertenece la fdp y los parámetros correspondientes.

Estadística inferencial. Los dos tipos de problemas que resuelven las técnicas estadísticas son: estimación y contraste de hipótesis. En ambos casos se trata de generalizar la información obtenida en una muestra a una población. Estas técnicas exigen que la muestra sea aleatoria. En la práctica rara vez se dispone de muestras aleatorias, por la tanto la situación habitual es la que se esquematiza en la figura

Entre la muestra con la que se trabaja y la población de interés, o población diana, aparece la denominada población de muestreo: población (la mayor parte de las veces no definida con precisión) de la cual nuestra muestra es una muestra aleatoria. En consecuencia la generalización está amenazada por dos posibles tipos de errores: error aleatorio que es el que las técnicas estadísticas permiten cuantificar y críticamente dependiente del tamaño muestral, pero también de la variabilidad de la variable a estudiar y el error sistemático que tiene que ver con la diferencia entre la población de muestreo y la población diana y que sólo puede ser controlado por el diseño del estudio.

EL METODO DE INVESTIGACION ESTADISTICA

El método de investigación estadística comprende las cinco fases siguientes:1. Preparación del trabajo.2. Recopilación de los datos.3. Evaluación y depuración de los datos.4. Presentación de los datos.5. Análisis e interpretación.

1. PREPARACION DEL TRABAJOSe limita a la redacción de las instrucciones para recabar los datos, definición precisa de los datos que se necesitan; diseño de formularios y planillas, planificación y organización del trabajo en el espacio y en el tiempo.

Ing. Pedro Ruiz Rosales / [email protected]

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Estadística y Racionalización AdministrativasEn esta fase deben quedar perfectamente claros los conceptos y cada participante debe conocer a cabalidad sus atribuciones y responsabilidades; ya que las dudas o malas interpretaciones echarán a perder el resto de la investigación.

2. RECOPILACION DE LOS DATOSEn ella se recaban los datos necesarios para la investigación, mediante encuestas, muestreos, censos, o se toman de fuentes secundarias o registros y publicaciones.

La eficiencia con que se realice esta etapa generará la calidad de todo el trabajo de investigación estadística.

3. EVALUACIÓN DE LOS DATOSLos datos recopilados, en la vida real, suelen adolecer de imperfecciones y errores varios; debidos a la ignorancia, a malos entendidos, a intereses creados o a prejuicios sociales, de parte de quien aporta los datos o de quien los recaba. De allí que el paso inmediato sería una depuración y evaluación de tales datos, a fin de subsanar o mitigar las influencias y efectos de tales errores e imperfecciones. Para lograrlo se recomiendan los siguientes procedimientos: Revisión total de los cálculos, de las tabulaciones y del procedimiento utilizado. Confrontar los datos recopilados, con los obtenidos al cálculo, con los de otras regiones o

países, tomados en otras ocasiones o con otra finalidad. Repetir al muestreo, el mismo trabajo, en zonas estratégicamente escogidas; cuando en las

verificaciones anteriores se hubieran obtenido notorias discrepancias.

4. PRESENTACIÓN DE LOS DATOSLos datos suelen estar presentados en forma tabular, en cuadros de doble entrada, proporcionales, porcentuales, o en valores promedios. También suelen representarse gráficamente, mediante: Histogramas, polígonos, diagramas figurados, prismogramas, pictogramas, dibujos acotados, entre otros.

5. ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS DATOSPodría decirse que es ésta la fase más amplia de todas y en la cual la investigación rinde sus mejores frutos. Desde la más remota antigüedad se ha venido aplicando el análisis estadístico a las investigaciones demográficas, socioeconómicas, fiscales, entre otros. Obteniéndose así índices y tendencias de natalidad, mortalidad, mortinalidad (nacidos muertos), nupcialidad, inmigración, emigración, etc. De generalización más reciente tenemos los índices y tendencias del costo de la vida, de tan rotunda actualidad; los cuales se obtienen sumando los costos promedios de alimentos, vivienda, medicinas, ropas y servicios consumidos por una persona, familia, estándar, en el período que se estudia. Igualmente, los índices de productividad o relación entre la producción y las horas - hombre de trabajo en ella utilizadas.

VARIABLE ESTADISTICA

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA MEDICIÓNTipos Propiedades Ejemplos

Cualitativas Los valores de la variable no son números, sino cualidades.

Género literario (novela, teatro...). Sexo (mujer, varón).

Cuantitativas Los valores que toma la variable son números. Edad. Altura.


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Estadística y Racionalización AdministrativasVariables cualitativasSon las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir: Variable cualitativa ordinal: También llamada variable cuasicuantitativa. La variable puede

tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, grave.

Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores o el lugar de residencia.

Variables cuantitativasSon las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser: Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores

que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).

Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg, ...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m, ...), que solamente está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos variables.

Tipos Propiedades Propiedades

Discretas En cada tramo, la variable sólo puede tomar un número determinado de valores.

Número de páginas de un libro. Puede tener 210 o 211, pero no 210,5.

Continuas La variable puede tomar tantos valores como queramos en el tramo.

Clasificación según su dependencia

Variables independientesSon las que el investigador escoge para establecer agrupaciones en el estudio, clasificando intrínsecamente a los casos del mismo. Un tipo especial son las variables de control, que modifican al resto de las variables independientes y que de no tenerse en cuenta adecuadamente pueden alterar los resultados por medio de un sesgo.

Es aquella característica o propiedad que se supone ser la causa del fenómeno estudiado. En investigación experimental se llama así a la variable que el investigador manipula.

Variables dependientesSon las variables de respuesta que se observan en el estudio y que podrían estar influenciadas por los valores de las variables independientes.

Hayman (1974 : 69) la define como propiedad o característica que se trata de cambiar mediante la manipulación de la variable independiente.

La variable dependiente es el factor que es observado y medido para determinar el efecto de la variable independiente.

Otra clasificación


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Estadística y Racionalización AdministrativasVariable intervinienteSon aquellas características o propiedades que de una manera u otra afectan el resultado que se espera y están vinculadas con las variables independientes y dependientes.

Variable moderadoraSegún Tuckman: representan un tipo especial de variable independiente, que es secundaria, y se selecciona con la finalidad de determinar si afecta la relación entre la variable independiente primaria y las variables dependientes.

Ejercicios:1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

Comida Favorita. Profesión que te gusta. Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada. Número de alumnos de tu Instituto. El color de los ojos de tus compañeros de clase. Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas . Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa. Temperaturas registradas cada hora en un observatorio. Período de duración de un automóvil. El diámetro de las ruedas de varios coches. Número de hijos de 50 familias. Censo anual de los españoles.

3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas. La nacionalidad de una persona. Número de litros de agua contenidos en un depósito. Número de libros en un estante de librería. Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados. La profesión de una persona. El área de las distintas baldosas de un edificio.

Análisis descriptivo de la informacion:Para hacer un análisis descriptivo de la información debemos darle tratamiento a la información obtenida a la que le denominamos datos y estos podemos considerarlos como:

Datos no agrupadosSon los datos donde se considera su tratamiento con sus valores individuales.

En ellos se consideran los siguientes estadígrafos:Tendencia central: la tendencia central se refiere al punto medio de una distribución. Las medidas de tendencia central se conocen como medidas de posición.

Dispersión: se refiere a la extensión de los datos en una distribución, es decir, al grado en que las observaciones se distribuyen.

Datos agrupadosSon los datos donde se considera el tratamiento en grupos ó intervalos, es decir se considera en grupos donde pueden existir diversos valores.


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Estadística y Racionalización AdministrativasEn ellos se consideran los siguientes estadígrafos:

Medidas de Dispersión Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficiente para variables cuantitativas.

Medidas de Tendencia central La estadística busca entre otras cosas, describir las características típicas de conjuntos de datos y, como hay varias formas de hacerlo, existen y se utilizan varios tipos de promedios. Se les llama medidas de tendencia central porque general mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores intermedios.

Las medidas de tendencia central comúnmente empleadas son: Media aritmética Mediana Moda Media geométrica Media armónica Los cuantiaos

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Tipos de frecuencias

Frecuencia absolutaLa frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativaLa frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.


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Estadística y Racionalización AdministrativasFrecuencia acumuladaLa frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumuladaLa frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

EjemploDurante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 2929, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

xi Recuento fi Fi ni Ni

27 I 1 1 0.032 0.032

28 II 2 3 0.065 0.097

29 6 9 0.194 0.290

30 7 16 0.226 0.516

31 8 24 0.258 0.774

32 III 3 27 0.097 0.871

33 III 3 30 0.097 0.968

34 I 1 31 0.032 1

Total 31 1

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.

Ejercicios:4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 1918, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.

5. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 32, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 84, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7


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Estadística y Racionalización AdministrativasConstruir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Las medidas descriptivas son valores numéricos calculados a partir de la muestra y que nos resumen la información contenida en ella.

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Nos dan un centro de la distribución de frecuencias, es un valor que se puede tomar como representativo de todos los datos. Hay diferentes modos para definir el "centro" de las observaciones en un conjunto de datos. Por orden de importancia, son:

LA MEDIA

Media para un conjunto de datos no agrupados.

La formula de la media es:

Ejemplo para el cálculo de la media. Sean los siguientes valores las calificaciones la asignatura de matemáticas de estudiantes de primer año:

10 8 6 7.5 7 7.5 8 9.5 10 10

8 6 9 10 7.5 6 9.5 10 6.5 8

6 6 9 10 7 8 9.5 5 8 7.5

Sumando los valores de las 30 calificaciones y dividiéndolas entre los 30 datos obtendremos:

830

240

n

xx i

por lo que la media de calificaciones obtenida por el grupo considerado es igual a 8.


n

xx i

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Estadística y Racionalización Administrativas Media para un conjunto de datos agrupados. La media para datos agrupados es la siguiente:

Donde ifn

es el total de datos, m el número total de clase y ifes la frecuencia de datos.

La definición es claramente entendida como una extensión de la definición que dimos para datos no

agrupados, ya que es lógico suponer que datos ix que se repiten con una frecuencia if pueden

simplificar la suma

n

iix

1 por

m

iii fx

1 , por supuesto que los índices de la segunda suma con respecto a la primera corren con respecto a menor número, es decir, con respecto al número de agrupamientos m. Ejemplo: Sean los siguientes datos 1, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 2, 1. La media para dichos datos es aproximadamente igual a 2.4666, es decir,

4666.215

121432325442211

n

xx i

Sin embargo, el mismo resultado podemos obtener si tomamos la frecuencia con que aparecen los datos, en este caso:

Dato

ixFrecuencia

ifProducto de frecuencias y datos

ii xf

1 4 4

2 5 10

3 2 6

4 3 12

5 1 5

La obtención de la media finalmente se convierte en

4666.2

15

15342352411

ii fxn

x

Para la obtención de la media cuando las frecuencias están sujetas a la elección de clase bajo los

métodos mostrados, se realiza de igual manera, la única diferencia existe en determinar el valor ix como el punto medio de cada clase, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que una clínica de salud, obtiene una tabla de edades de las personas que son atendidas en un fin de semana, para los que presentan la siguiente tabla. ¿Cuál será el promedio de edades de los enfermos que acudieron a recibir atención médica?

Tabla de frecuencias reportadas por la clínica


m

iii fx

nx

1

1

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Clases(Datos en años)

Punto medio de

cada clase ixFrecuencias de cada clase

if

2010 x 15 8

3020 x 25 20

4030 x 35 14

5040 x 45 8

6050 x 55 2

7060 x 65 2

8070 x 75 1

55 enfermos atendidos

Por lo que el promedio de personas a las que se les dio servicio es de:

añosx 45.32

53

17526525584514352025815

LA MEDIANA

Mediana para datos no agrupadosLa mediana de un conjunto finito de valores es aquel valor que divide al conjunto en dos partes iguales, de forma que el número de valores mayor o igual a la mediana es igual al número de valores menores o igual a estos. Su aplicación se ve limitada ya que solo considera el orden jerárquico de los datos y no alguna propiedad propia de los datos, como en el caso de la media. A continuación se muestran los criterios para construir la mediana. Se puede construir los siguientes criterios: Lo primero que se requiere es ordenar los datos en forma ascendente o descendente, cualquiera de los dos criterios conduce al mismo resultado.

Sean ordenados lo datos en orden ascendente nxxxx ,,,, 321

Si el número de valores es impar, la mediana es el valor medio, el cual corresponde al dato 2

nx.

Cuando el número de valores en el conjunto es par, no existe un solo valor medio, si no que existe dos valores medios, en tal caso, la mediana es el promedio de los valores, es decir, la mediana es numéricamente igual a

2

122

nn xx

Md

Podemos describir algunas propiedades para la mediana: 1.- Es única.2.- Es simple.3.- Los valores extremos no tienen efectos importantes sobre la mediana, lo que si ocurre con la media.


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La notación más usual que se utiliza para representar a la mediana es x~ , Md o Me Ejemplo:Dados los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3 para la obtención de la mediana se deberán de ordenar. Tomemos el criterio de orden ascendente con lo que, tendremos:

0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 4, 4, por otro lado el número de datos es igual a 15 datos, siendo el número de datos impar se elige el dato que se encuentra a la mitad, una vez ordenados los datos, en este caso es 1. La mediana para datos agrupados. La extensión para el cálculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a continuación:

A

f

fn

LiMdmediana

iacum 12

Donde: Md = Mediana. Li = Limite inferior o frontera inferior de donde se encuentra la mediana, la forma de calcularlo es a

través de encontrar la posición 2/n . En ocasiones en el intervalo donde se encuentra la mediana de conoce como intervalo mediano.

n = Número de observaciones o frecuencia total.

1iacumf = frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano.

medianaf = Frecuencia del intervalo mediano. A = Amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana . Geométricamente la mediana se encuentra en el valor X que divide al histograma en dos partes de áreas iguales.

Ejemplo: Retomemos la tabla del ejemplo mostrado para determinar la media de atenciones médicas brindadas por el hospital, adicionando la columna de la frecuencia acumulada

Tabla de frecuencias reportadas por la clínica

Clases (Datos en años)

Punto medio de


if

Frecuencias acumulada

acumuladaf

2010 x 15 8 8Ing. Pedro Ruiz Rosales / [email protected]

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3020 x 25 20 28

4030 x 35 14 42

5040 x 45 8 50

6050 x 55 2 52

7060 x 65 2 54

8070 x 75 1 55


Determinemos el dato medio de los datos, como n = 55 entonces n/2=27.5 El intervalo mediano o la clase donde se encuentra la mediana se encuentra en la segunda clase.

Sustituyendo en la ecuación tendremos

por lo que se puede concluir que el 50% de las personas atendidas en un fin de semana por el hospital tienen una edad inferior a los 29.75 años.

LA MODA Moda para datos no agrupadosLa moda es la medida que se relaciona con la frecuencia con que se presenta el dato o los datos con mayor incidencia, con lo que se considera la posibilidad de que exista más de una moda para un conjunto de datos. La notación mas frecuente es la siguiente: Mo y x̂ . Esta medida se puede aparecer tanto para datos cualitativos como cuantitativos. Se dice que cuando un conjunto de datos tiene una moda la muestra es unimodal, cuando tiene dos modas bimodal, cuando la muestra contiene mas de un dato repetido se dice que es multimodal y un último caso es cuando ningún dato tiene una frecuencia, en dicho caso se dice que la muestra es amodal. Ejemplos:1.- Determinar la moda del siguiente conjunto de datos: a) 1, 2, 3, 3, 4 , 5, 6, 7, 7, 3, 1, 9, 3 la moda de este conjunto de datos es igual a 3 y si considera

unimodal

b) 1, 2, 3, 4, 4, 5, 2, 1, 3, 4, 2, -3, 4, 6, 3, 3 las modas de este conjunto de datos son 3 y 4 ya que ambas tienen la mas alta frecuencia, por lo que la muestra es bimodal

c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 la muestra no contiene ningún dato repetido por lo que se considera que la muestra es amodal.

Gráficamente eso se puede reflejar mediante el análisis de un histograma de frecuencias.


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Moda para datos agrupadosPara determinar la moda de datos agrupados en clases de igual tamaño su cálculo se puede realizar de la siguiente forma:

Aff

fLMo

si

ii

Donde

modal. clase la de intervalooAnchura

inmediata.superiormodalclaselasobremodalfrecuencialadeExceso

inmediata.inferiormodalclaselasobremodalfrecuencialadeExceso

inferior.fronteraoinferiorlímite

A

f

f

L

s

i

i

En ocasiones la expresión para el cálculo de la moda suele presentarse de la siguiente forma:

A

fff

ffLMo

mmm

mmi

11

)1(

2

donde

posmodal clase de Frecuencia

premodal clase de Frecuencia

modal clase de Frecuencia

1

1

m

m

m

f

f

f

Aunque la expresión se ve un poco diferente en realidad se trata de una misma ecuación, ya que el exceso de la clase modal inferior se puede determinar como:

)1( mmi fff

y el exceso de la clase modal superior se determina como

)1( mms fff

Por lo que basta sustituir estos valores en una de ellas para encontrar la otra expresión. Ejemplo: Determinar a partir de la tabla presentada, en el ejemplo de la media, cual es la moda:

Tabla de frecuencias reportadas por la clínicaClases

(Datos en años)Punto medio de


if


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2010 x 15 8

3020 x 25 20

4030 x 35 14

5040 x 45 8

6050 x 55 2

7060 x 65 2

8070 x 75 1


Identificamos que

;10;148;; 20 ;20 11 AfffLi mmm

Sustituyendo tenemos

666.20148202

82020

2 11

)1(

Afff

ffLMo

mmm

mmi

Pese a que el valor de la moda no pueda constituir un dato real, para el ejercicio, se puede asumir que ese es el parámetro de mayor ocurrencia.

Distribución simétrica: Sesgo cero moda = mediana = media

Distribución con asimetría positiva: Sesgo a la derecha: media y mediana se encuentran a la derecha de la moda. moda < mediana < media

Distribución con asimetría negativa: sesgo a la izquierda: media y mediana están a la izquierda de la moda. media < mediana < moda

Nota Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede aproximar.

Moda = media - 3(media - mediana)Media = [3(mediana) - moda]/2Mediana = [2(media) + moda]/3

MEDIDAS DE DISPERSIÓNIng. Pedro Ruiz Rosales / [email protected]

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LA DISPERSIÓN.Al igual que sucede con cualquier conjunto de datos, la media, la mediana y la moda sólo nos revelan una parte de la información que necesitamos acerca de las características de los datos. Para aumentar nuestro entendimiento del patrón de los datos, debemos medir también su dispersión, extensión o variabilidad.

La dispersión es importante porque:

Proporciona información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos representativa de los datos.

Ya que existen problemas característicos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersión antes de abordar esos problemas.

Quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia dispersión de valores con respecto al centro de distribución o esto presenta riesgos inaceptables, necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones más grandes.

Pero si hay dispersión en la mayoría de los datos, y debemos estar en capacidad de describirla. Ya que la dispersión ocurre frecuentemente y su grado de variabilidad es importante, ¿cómo medimos la variabilidad de una distribución empírica?. Vamos a considerar sólo algunas medidas de dispersión absolutas: el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

EL RANGO O RECORRIDO ( R ):Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el valor más alto (Xn ó Xmax.) y el mas bajo (X1 ó Xmin) en un conjunto de datos.

Rango para datos no agrupados;

R = Xmáx. - Xmín = Xn - X1

Ejemplo:Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que:

R = (Xn-X1 ) = 34-18 = 16 años

Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el limite superior de la última clase menos el límite inferior de la primera clase.

Rango para datos agrupados;

R= (Limite superior de la clase n – Limite inferior de la clase 1)Ejemplo:Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de Cabrera’s y Asociados que fueron los siguientes:

Clases Xi fi h r Fi ↓ Fa ↑ hr a↓ hr a↑7.420 – 21.835 14.628 10 0.33 10 30 0.33 1.0021.835 – 36.250 29.043 4 0.13 14 20 0.46 0.67


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36.250 – 50.665 43.458 5 0.17 19 16 0.63 0.5450.665 – 65.080 57.873 3 0.10 22 11 0.73 0.3765.080 – 79.495 72.288 3 0.10 25 8 0.83 0.2779.495 – 93.910 86.703 5 0.17 30 5 1.00 0.17Total XXX 30 1.00 XXX XX

XXXX XXX

El rango de la distribución de frecuencias se calcula así:

R= (Limite superior de la clase n – Limite inferior de la clase 1) = (93.910 – 7.420) = 86.49

Propiedades del Rango o Recorrido: El recorrido es la medida de dispersión más sencilla de calcular e interpretar puesto que

simplemente es la distancia entre los valores extremos (máximo y mínimo) en una distribución Puesto que el recorrido se basa en los valores extremos éste tiende s ser errático. No es extraño que

en una distribución de datos económicos o comerciales incluya a unos pocos valores en extremo pequeños o grandes. Cuando tal cosa sucede, entonces el recorrido solamente mide la dispersión con respecto a esos valores anormales, ignorando a los demás valores de la variable.

La principal desventaja del recorrido es que sólo esta influenciado por los valores extremos,, puesto que no cuenta con los demás valores de la variable. Por tal razón, siempre existe el peligro de que el recorrido ofrezca una descripción distorsionada de la dispersión.

En el control de la calidad se hace un uso extenso del recorrido cuando la distribución a utilizarse no la distorsionan y cuando el ahorro del tiempo al hacer los cálculos es un factor de importancia.

LA VARIANZA (S2 ó δ2 ):La varianza es una medida de dispersión relativa a algún punto de referencia. Ese punto de referencia es la media aritmética de la distribución. Más específicamente, la varianza es una medida de que tan cerca, o que tan lejos están los diferentes valores de su propia media aritmética. Cuando más lejos están las Xi de su propia media aritmética, mayor es la varianza; cuando más cerca estén las X i a su media menos es la varianza. Y se define y expresa matemáticamente de la siguiente manera:

La varianza para datos no agrupados

Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2, … , Xn, la varianza denotada usualmente por la letra minúscula griega δ (sigma) elevada al cuadrado (δ2)y en otros casos S2 según otros analistas, se define como: el cuadrado medio de las desviaciones con respecto a su media aritmética”

Matemáticamente, se expresa como:

Ejemplo:Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 25, 27, y 34. Al calcular la media aritmética (promedio de las edades, se obtuvo 25.4 años, encontrar la varianza de las edades de estos estudiantes:

Para calcular se utiliza una tabla estadística de trabajo de la siguiente manera:Ing. Pedro Ruiz Rosales / [email protected]

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Xi ( Xi - ) ( Xi - )2

18 (18 – 25.5)=-7.4 (-7.4)2=54.7623 (23 – 25.5)=-2.4 (-2.4)2= 5.7625 (25 – 25.5)=-0.4 (-0.4)2= 0.1627 (27 – 25.5)= 1.6 ( 1.64)2= 2.1634 (34 – 25.5)= 8.6 ( 8.6)2 =73.96

Total xxxx 137.20

Σ(XI-)2 137.20δ2 = ------------ = ----------- = 27.4 años

n 5

Respuesta: la varianza de las edades es de 27.4 años

La varianza para datos agrupadosSi en una tabla de distribución de frecuencias. Los puntos medios de las clases son X1, X2, … , Xn; y las frecuencias de las clases f1, f2, … , fn; la varianza se calcula así:

Σ(Xi-)2f1

δ2 = ---------------- Σfi

Sin embargo la formula anterior tiene algún inconveniente para su uso en la practica, sobre todo cuando se trabaja con números decimales o cuando la media aritmética es un número entero. Asimismo cuando se trabaja con máquinas calculadoras, La tarea de computar la varianza se simplifica utilizando la formula de computación que se da a continuación:

ΣXi2fi - [(ΣXifi)2/N]

δ 2 = ----------------------------N

Donde N = Σfi

Ejemplo:Se tienen los datos de una muestra de 30 cuentas por cobrar de la tienda Cabrera’s y Asociados dispuestos en una tabla de distribución de frecuencias, a partir de los cuales se deberá calcular la varianza, para lo cual se construye la siguiente tabla estadística de trabajo, si se calculó anteriormente la media aritmética y se fijó en 43.458 (ver ejemplo del calculo en “media aritmética para datos agrupados) de la siguiente manera


clases Xi fi Xi2 Xifi X2fi

7.420 – 21.835 14.628 10 213.978 146.280 2,139.78021.835 – 36.250 29.043 4 843,496 116.172 3,373.98436.250 – 50.665 43.458 5 1,888.598 217.270 9,442.99050.665 – 65.080 57.873 3 3,349.284 173.619 10,047.85265.080 – 79.495 72.288 3 5,225.555 216.864 15,676.66579.495 – 93.910 86.703 5 7,533.025 433.965 37,665.125

Total 30 19,053.936 1,304.190 78,346.396

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Estadística y Racionalización Administrativas ΣXi

2fi - [(ΣXifi)2/N] 78,346.398 – [(1,304.190)2/30] δ2 = -------------------------- = ------------------------------------------- =

N 30 78,346.398 – [1,700,911.556/30] 78,346.398 – 56,697.052 = ---------------------------------------------- = ------------------------------------ =

30 30

= 21,649.344 / 30 = 721.645

Respuesta: la varianza de las cuentas por cobrar es igual B/.721.645

Propiedades de la varianza: Es siempre un valor no negativo, que puede ser igual o distinta de 0. Será 0 solamente cuando Xi= La varianza es la medida de dispersión cuadrática optima por ser la menor de todas. Si a todos los valores de la variable se le suma una constante la varianza no se modifica.

Veámoslo:

S2=∑ ( x i−X )2 n i

nSi a xi le sumamos una constante xi’ = xi + k tendremos (sabiendo que x '=x+k )

S2=∑ ( x ' i−X ' )2 n i

n=∑ [ ( x i+k )−( X ' +k )]2 ni

n=∑ ( xi−X )2 n

i

n=S2

Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicha constante. Veámoslo:

Si a xi’ = xi · k tendremos (sabiendo que X '=X · k )

S2=∑ ( x ' i−X ' )2 n i

N=∑ [ ( x i· k )−( X '·k ) ]2 ni

N=∑ [ k ( x i−X ) ]2 n

i

N=

=∑ k 2( x i−X )2 ni

n=

k2∑ ( x i−X )2

n=k2 · S2

Si en una distribución obtenemos una serie de subconjuntos disjuntos, la varianza de la distribución inicial se relaciona con la varianza de cada uno de los subconjuntos mediante la expresión

Sx2=

∑ N i Si2

nSiendo Ni el nº de elementos del subconjunto (i)

S2i la varianza del subconjunto (i)

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S ó δ)Es una medida de la cantidad típica en la que los valores del conjunto de datos difieren de la media. Es la medida de dispersión más utilizada, se le llama también desviación típica. La desviación estándar siempre se calcula con respecto a la media y es un mínimo cuando se estima con respecto a este valor.


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Estadística y Racionalización AdministrativasSe calcula de forma sencilla, si se conoce la varianza, por cuanto que es la raíz cuadrada positiva de esta. A la desviación se le representa por la letra minúscula griega “sigma” ( δ ) ó por la letra S mayúscula, según otros analistas.

Cálculo de la Desviación Estándar

δ = √δ2 ó S = √S2

Ejemplo:Del cálculo de la varianza de las edades de cinco estudiantes universitarios de primer año se obtuvo δ2=27.44, como la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva, entonces δ = √27.44 = 5.29 años.

Igual procedimiento se aplica para encontrar le desviación estándar de las cuentas por cobrar de la Tienda Cabrera’s y Asociados, recordemos que la varianza obtenida fue de 721.645, luego entonces la desviación estándar es igual a δ =√721.645 = 26.86 balboas.

Propiedades de la Desviación EstándarA su vez la desviación estándar, también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza):

La desviación estándar es siempre un valor no negativo S será siempre 0 por definición. Cuando S = 0 X = xi (para todo i).

Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña. La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar no varía. Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación estándar

queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.

Definición del Coeficiente de Variación

Donde: C.V. representa el número de veces que la desviación típica contiene a la media aritmética y por lo tanto cuanto mayor es CV mayor es la dispersión y menor la representatividad de la media.

Propiedades del Coeficiente de Variación : Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante el coeficiente de variación

queda alterado.


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Practica Se tiene la distribución de sueldo de 200 empleados elegidos al azar en una fábrica

Para Varones:

Calculamos la Media

Sueldo (S/.)Nº Empleados % Acumulado Varones

Varones Mujeres fi Xi Xi . fi

[150 - 250[ 12 12 12 200 2400

Ing. Pedro Ruiz Rosales / [email protected] ClaseMedia

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[250 - 350[ 25 32 25 300 7500[350 - 450[ 38 46 38 400 15200[450 - 550[ 40 92 40 500 20000[550 - 650[ 20 100 20 600 12000

135 135 57100

= = 422.9657100135

Calculamos la Mediana


Varones Mujeres fi Fi xi Xi . fi

[150 - 250[ 12 12 12 12 200 2400[250 - 350[ 25 32 25 37 300 7500[350 - 450[ 38 46 38 75 400 15200[450 - 550[ 40 92 40 115 500 20000[550 - 650[ 20 100 20 135 600 12000

135 135 57100

= 350 + 100(135/2) - 37

= 430.2638

Calculamos la Moda



[150 - 250[ 12 12 12 12 200 2400[250 - 350[ 25 32 25 37 300 7500[350 - 450[ 38 46 38 75 400 15200[450 - 550[ 40 92 40 115 500 20000[550 - 650[ 20 100 20 135 600 12000

135 135 57100

= 450 + 100(40 - 38)

= 459.09(40 - 38) + (40 - 20)

Para Mujeres:

Sueldo (S/.)Nº Empleados % Acumulado Mujeres

Varones Mujeres fi Xi Xi . fi

[150 - 250[ 12 12 8 200 1600[250 - 350[ 25 32 13 300 3900[350 - 450[ 38 46 9 400 3600


m

iii fx

nx

1

1

A

f

fn

LiMdmediana

iacum 12

ClaseMediana

ClaseModal

Aff

fLMo

si

ii

ClaseMedia

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[450 - 550[ 40 92 30 500 15000[550 - 650[ 20 100 5 600 3000

135 65 27100

Calculamos la media

= = 476.9227100

65

Calculamos la Mediana



[150 - 250[ 12 12 8 8 200 1600[250 - 350[ 25 32 13 21 300 3900[350 - 450[ 38 46 9 30 400 3600[450 - 550[ 40 92 30 60 500 15000[550 - 650[ 20 100 5 5 600 3000

135 65 27100

= 450 + 100(65/2) - 30

= 458.3330

Calculamos la Moda



[150 - 250[ 12 12 8 8 200 1600[250 - 350[ 25 32 13 21 300 3900[350 - 450[ 38 46 9 30 400 3600[450 - 550[ 40 92 30 60 500 15000[550 - 650[ 20 100 5 65 600 3000

135 65 27100

= 450 + 100(30 - 9)

= 495.65(30 - 9) + (30 - 5)

Gráficos:

Distribución de Varones


m

iii fx

nx

1

1

A

f

fn

LiMdmediana

iacum 12

ClaseMediana

ClaseModal

Aff

fLMo

si

ii

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0

2

4

6

8

10

12

0

2

4

6

8

10

12

Distribución de Mujeres[150 - 250[[250 - 350[[350 - 450[[450 - 550[[550 - 650[

05

101520253035


0

2

4

6

8

10

12

23

23


Resumen


(X - Xi)^2 . fiVarones Mujeres fi Xi Xi . fi

[150 - 250[ 12 12 12 200 2400 596,533.94

[250 - 350[ 25 32 25 300 7500 377,979.04

[350 - 450[ 38 46 38 400 15200 20,032.14

[450 - 550[ 40 92 40 500 20000 237,406.46

[550 - 650[ 20 100 20 600 12000 626,863.23

135 135 57100 1,858,814.82

EstadígrafosMedia 422.96Mediana 430.26Moda 459.09Varianza 13,769.00Desviación 117.34

Sueldo (S/.)Nº Empleados % Acumulado Mujeres

(X - Xi)^2 . fiVarones Mujeres fi Xi Xi . fi

[150 - 250[ 12 12 8 200 1600 613,477.49

[250 - 350[ 25 32 13 300 3900 406,908.92

[350 - 450[ 38 46 9 400 3600 53,250.18

[450 - 550[ 40 92 30 500 15000 15,980.59

[550 - 650[ 20 100 5 600 3000 75,743.43

135 65 27100 1,165,360.62

EstadígrafosMedia 476.92Mediana 458.33Moda 495.65Varianza 17,928.62Desviación 133.90

Practica Domiciliaria Nᵒ 01

1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas: Comida Favorita. Cualitativa. Profesión que te gusta. Cualitativa. Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada. Cuantitativa. Número de alumnos de tu Instituto. Cuantitativa. El color de los ojos de tus compañeros de clase. Cualitativa. Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase. Cuantitativa

2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas. Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa. Discreta


24

24

Estadística y Racionalización Administrativas Temperaturas registradas cada hora en un observatorio. Continua Período de duración de un automóvil. Continua El diámetro de las ruedas de varios coches. Continua Número de hijos de 50 familias. Discreta Censo anual de los españoles. Discreta

3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas. La nacionalidad de una persona. Cualitativa Número de litros de agua contenidos en un depósito. Cuantitativa continúa. Número de libro en un estante de librería. Cuantitativa discreta. Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados. Cuantitativa discreta. La profesión de una persona. Cualitativa. El área de las distintas baldosas de un edificio. Cuantitativa continúa.

4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han s ido:15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.

5 . El número de estre l las de los hoteles de una ciudad viene dado por la s iguiente ser ie :3, 3 , 4 , 3 , 4 , 3 , 1 , 3 , 4 , 3 , 3 , 3 , 2 , 1 , 3 , 3 , 3 , 2 , 3 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 2 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 4 , 1 . Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

6 . Las cal i f icaciones de 50 alumnos en Matemáticas han s ido las s iguientes:5, 2 , 4 , 9 , 7 , 4 , 5 , 6 , 5 , 7 , 7 , 5 , 5 , 2 , 10, 5 , 6 , 5 , 4 , 5 , 8 , 8 , 4 , 0 , 8 , 4 , 8 , 6 , 6 , 3 , 6 , 7 , 6 , 6 , 7 , 6 , 7 , 3 , 5 , 6 , 9 , 6 , 1 , 4 , 6 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 .Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80,90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)

fi 8 10 16 14 10 5 2

Construir la tabla de frecuencias. Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

8. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física.3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. Construir la tabla de frecuencias. Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

9. Los datos que se muestran a continuación representan el costo de la energía eléctrica durante el mes de julio del 2010 para 50 departamentos con dos recamaras en una ciudad grande.

Costo de energía eléctrica en dólares.


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25


Determine una tabla de frecuencias Elabore un histograma de frecuencias y polígono de frecuencias con los datos.

10. Se identificó una muestra de estudiantes que poseía automóviles producidos por la General Motors y se registró la marca de cada automóvil. A continuación se presenta la muestra que se obtuvo (Ch = Chevrolet, P = Pontiac, O = Oldsmobile, B = Buick, Ca = Cadillac):

Encuentre el número de automóviles de cada marca que hay en la muestra. n ¿Qué porcentaje de estos automóviles son Chevrolet, Pontiac, Oldsmobile, Buick, Cadillac

Elaborar la tabla de frecuencias: Absoluta, relativa y acumulada asimismo graficar el diagrama de barra, histograma y la circular.


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26


Datos 1 14 17 16 14 1516 15 22 19 1619 20 22 18 1720 20 18 19 1414 22 16 20 1418 21 20 21 2318 14 21 14 1523 19 15 14 1922 21 22 19 1821 17 14 16 1815 23 21 21 2223 23 17 23 1918 14 15 18 1422 23 16 23 21

14 14 21 15 19

15 15 21 17 16

21 21 21 14 1617 18 22 19 1519 17 20 15 17 Datos 221 24 19 22 1924 19 18 23 1715 20 16 21 2415 18 24 17 1615 20 15 23 2322 20 20 16 1921 17 18 18 1917 18 22 17 2322 20 23 19 2221 20 19 24 2318 19 19 20 1821 24 15 21 1916 17 24 17 1721 16 15 16 22

16 22 19 24 24

17 22 21 16 22

23 16 15 19 2022 18 16 15 1719 17 20 21 18

Datos 313

22 19 18 19

17

13 13 15 17

18

20 13 14 18

15

18 21 18 17

19

21 17 15 13

17

17 21 15 15

17

18 13 21 16

13

22 17 22 20

16

19 14 14 21

18

15 15 13 22

14

17 15 20 17

16

21 13 18 22

22

21 16 14 14

22

20 13 20 13

21

18 20 21 16

21

14 14 18 15

16

15 21 20 17

18

17 19 22 20

22

16 18 17 21

Datos 425

17 20 18 17

16

19 22 24 25

18

23 25 16 25

18

17 24 20 19

17

23 17 23 18

25

17 25 24 18

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18 18 20 20

17

23 21 19 23

18

23 23 24 17

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22 21 24 25

2 17 24 16 21

524

22 25 20 16

17

24 16 17 23

23

16 17 21 24

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21 19 16 19

17

23 19 22 19

19

17 24 16 23

17

19 23 17 17

21

22 16 22 23

Datos 521 23 23 24 2230 24 28 30 2823 24 22 28 2623 26 29 25 2230 23 29 29 3021 23 24 22 2425 29 27 22 2422 25 27 24 2826 26 29 26 3026 29 26 22 2529 21 30 30 2627 25 23 30 2626 28 24 29 2921 22 27 26 23

22 30 22 23 24

23 21 29 29 26

29 28 24 26 2324 26 22 26 2729 27 21 30 26

Datos 614 16 18 15 1815 14 17 14 2016 13 13 18 1513 19 21 13 1815 15 18 12 2012 14 15 21 2015 13 18 12 1819 15 17 13 2117 21 21 13 16

21 15 18 16 1813 17 21 20 2113 18 15 14 1614 14 15 19 2018 21 21 16 20

21 18 16 12 19

13 21 16 13 17

19 18 17 14 1418 19 20 19 2121 17 16 13 18

Datos 718 20 13 20 1518 16 20 18 1417 12 16 19 1814 19 20 20 1713 21 19 17 1420 12 17 14 1214 13 21 18 1714 17 12 19 1415 20 20 12 1214 18 14 12 1220 15 16 12 1219 20 14 13 1813 15 20 13 1817 18 15 13 19

19 14 21 19 15

12 13 14 16 13

12 13 15 13 1519 19 14 12 1618 21 12 17 21

Datos 819 22 20 23 1922 19 24 26 1925 28 23 26 2219 21 24 25 2521 21 24 20 2021 28 26 28 2320 23 26 23 2722 23 19 20 2521 27 24 20 2226 23 25 21 2028 21 26 21 2522 23 23 24 2623 25 27 25 2119 26 28 19 19


27

27


20 27 19 23 25

24 19 26 25 26

28 19 21 27 2024 24 23 19 2627 19 21 28 20

Datos 928 28 27 25 2422 24 25 26 2920 29 21 20 2028 23 20 25 2821 25 21 25 2223 24 27 24 2426 21 22 22 2926 26 24 23 2523 25 21 22 2222 29 23 23 2727 26 24 21 2120 21 22 22 2827 29 27 25 2328 24 26 24 23

27 24 26 27 27

28 26 21 24 24

29 27 27 22 2621 28 29 26 2023 28 22 26 23

Datos 1020 25 26 21 2127 27 26 25 2125 18 20 25 2222 20 26 18 2325 20 22 21 2026 23 18 26 2027 21 26 26 2018 23 19 27 2519 21 20 22 2622 25 25 22 2325 23 26 24 2220 20 18 21 2322 23 18 21 2327 20 27 25 24

21 18 23 24 25

20 27 26 23 18

22 23 26 25 2721 21 21 26 1923 22 24 21 19

Datos 1123 21 27 25 2722 27 23 19 2625 23 20 20 2725 21 21 28 2025 24 26 23 2624 28 27 27 2625 26 25 24 2323 22 19 27 2826 20 19 27 1923 24 26 21 2827 26 26 21 2619 26 22 23 2026 26 26 19 2224 22 27 23 20

28 23 25 19 20

27 23 23 24 24

23 23 21 20 2324 20 26 19 2521 22 20 23 25

Datos 1224 23 21 19 2221 18 22 21 2326 23 18 23 2318 19 18 20 2122 19 19 19 2122 24 24 20 2024 19 23 25 1922 19 20 19 2422 19 24 23 2425 19 25 18 1923 20 19 23 1921 19 19 18 2327 27 26 20 2126 18 26 18 25

19 23 25 20 21

23 22 18 19 25

21 18 27 22 2126 20 24 23 24

20 23 22 22 27

Datos 1322 20 22 23 2625 21 28 25 2321 19 24 26 2519 22 22 22 2423 27 22 24 2621 25 24 23 2726 23 20 24 2423 25 24 28 2624 28 27 24 2120 28 28 26 2623 19 28 26 2023 27 28 27 2227 25 19 21 2122 26 20 21 24

25 21 22 25 19

24 21 24 25 19

23 28 19 28 2720 19 20 20 2520 20 28 19 27

Datos 1421 16 20 21 2118 19 17 22 1713 18 21 22 1517 14 21 16 1918 13 18 13 2117 20 13 17 1520 17 14 19 2121 15 20 17 1622 15 18 14 1717 15 20 17 1318 17 21 20 2217 22 19 13 1418 22 17 14 1319 20 21 15 13

17 16 14 22 13

21 18 13 22 15

21 16 19 14 1818 14 13 19 1519 19 18 16 17

Datos 1527 27 19 19 2219 20 23 21 2121 27 19 25 2028 25 19 20 2220 26 26 28 2625 27 20 28 1922 28 28 22 2728 19 23 28 1923 27 23 26 1922 28 19 28 2425 19 26 21 2225 21 21 27 2622 25 25 19 2020 23 25 27 20

25 24 27 27 26

27 23 20 22 25

28 24 21 23 2320 20 27 22 2027 27 20 24 24

Datos 1620 24 23 25 2024 19 23 19 1724 26 18 24 2321 24 17 21 2618 24 21 20 2622 24 21 20 2425 26 18 21 2124 21 26 19 1720 17 18 22 2322 26 25 26 2526 18 19 19 1717 23 20 17 2622 18 20 24 1717 25 21 21 23

19 23 22 20 25

26 20 22 22 24

24 17 21 23 2120 20 19 23 2619 21 23 23 21


28

28


PRACTICA DOMICILIARIA 1(Solucionario)

Datos 1 x f fa fx fx214 17 16 14 15 14 14 14 196 274416 15 22 19 16 15 11 25 165 247519 20 22 18 17 16 8 33 128 204820 20 18 19 14 17 8 41 136 231214 22 16 20 14 18 9 50 162 291618 21 20 21 23 19 10 60 190 361018 14 21 14 15 20 6 66 120 240023 19 15 14 19 21 13 79 273 573322 21 22 19 18 22 8 87 176 387221 17 14 16 18 23 8 95 184 423215 23 21 21 22 1730 3234223 23 17 23 1918 14 15 18 14 Mínimo = 14

22 23 16 23 21 n= 95Máximo

=23

14 14 21 15 19 S(x) = 1730 Rango= 9

15 15 21 17 16 S(x2) = 32342 s2 =8.9126539

8

21 21 21 14 16Promedio

=18.210526

3s =

2.98540684

17 18 22 19 15 Moda = 14 s2 =8.8188365

719 17 20 15 17 Mediana = 18 s = 2.9696526

.

Datos 2 x f fa fx fx221 24 19 22 19 15 8 8 120 180024 19 18 23 17 16 10 18 160 256015 20 16 21 24 17 11 29 187 317915 18 24 17 16 18 9 38 162 291615 20 15 23 23 19 13 51 247 469322 20 20 16 19 20 9 60 180 360021 17 18 18 19 21 9 69 189 396917 18 22 17 23 22 10 79 220 484022 20 23 19 22 23 7 86 161 370321 20 19 24 23 24 9 95 216 518418 19 19 20 18 1842 36444


29

29


21 24 15 21 1916 17 24 17 17 Mínimo = 15

21 16 15 16 22 n= 95Máximo

=24

16 22 19 24 24 S(x) = 1842 Rango= 9

17 22 21 16 22 S(x2) = 36444 s2 =7.7509518

5

23 16 15 19 20Promedio

=19.389473

7s =

2.78405313

22 18 16 15 17 Moda = 19 s2 =7.6693628

8

19 17 20 21 18 Mediana = 19 s =2.7693614

6 Datos 3 x f fa fx fx213 22 19 18 19 13 11 11 143 185917 13 13 15 17 14 8 19 112 156818 20 13 14 18 15 10 29 150 225015 18 21 18 17 16 7 36 112 179219 21 17 15 13 17 13 49 221 375717 17 21 15 15 18 12 61 216 388817 18 13 21 16 19 5 66 95 180513 22 17 22 20 20 8 74 160 320016 19 14 14 21 21 12 86 252 529218 15 15 13 22 22 9 95 198 435614 17 15 20 17 1659 2976716 21 13 18 2222 21 16 14 14 Mínimo = 13

22 20 13 20 13 n= 95Máximo

=22

21 18 20 21 16 S(x) = 1659 Rango= 9

21 14 14 18 15 S(x2) = 29767 s2 =8.4640537

5

16 15 21 20 17Promedio

=17.463157

9s =

2.90930469

18 17 19 22 20 Moda = 17 s2 =8.3749584

5

22 16 18 17 21 Mediana = 17 s =2.8939520

5

Datos 4

x f fa fx fx2

25 17 20 18 17 16 9 9 144 230416 19 22 24 25 17 17 26 289 491318 23 25 16 25 18 8 34 144 2592


30

30


18 17 24 20 19 19 9 43 171 324917 23 17 23 18 20 7 50 140 280025 17 25 24 18 21 6 56 126 264622 18 18 20 20 22 7 63 154 338817 23 21 19 23 23 13 76 299 687718 23 23 24 17 24 10 86 240 576020 22 21 24 25 25 9 95 225 562525 17 24 16 21 1932 4015424 22 25 20 1617 24 16 17 23 Mínimo = 16

23 16 17 21 24 n= 95Máximo

=25

20 21 19 16 19 S(x) = 1932 Rango= 9

17 23 19 22 19 S(x2) = 40154 s2 =9.1832026

9

19 17 24 16 23Promedio

=20.336842

1s =

3.03037996

17 19 23 17 17 Moda = 17 s2 = 9.086537421 22 16 22 23 Mediana = 20 s = 3.0143884


21 22 27 26 23 n= 95Máximo

=30

22 30 22 23 24 S(x) = 2433 Rango= 9

23 21 29 29 26 S(x2) = 63077 s2 =8.1552071

7


31

31


29 28 24 26 23Promedio

=25.610526

3s =

2.85573233

24 26 22 26 27 Moda = 26 s2 =8.0693628

829 27 21 30 26 Mediana = 26 s = 2.8406624

Datos 6

x f fa fx fx2

14 16 18 15 18 12 4 4 48 57615 14 17 14 20 13 12 16 156 202816 13 13 18 15 14 9 25 126 176413 19 21 13 18 15 11 36 165 247515 15 18 12 20 16 9 45 144 230412 14 15 21 20 17 7 52 119 202315 13 18 12 18 18 15 67 270 486019 15 17 13 21 19 7 74 133 252717 21 21 13 16 20 7 81 140 280021 15 18 16 18 21 14 95 294 617413 17 21 20 21 1595 2753113 18 15 14 1614 14 15 19 20 Mínimo = 12

18 21 21 16 20 n= 95Máximo

=21

21 18 16 12 19 S(x) = 1595 Rango= 9

13 21 16 13 17 S(x2) = 27531 s2 =7.9977603

6

19 18 17 14 14Promedio

=16.789473

7s =

2.82803118

18 19 20 19 21 Moda = 18 s2 =7.9135734

1

21 17 16 13 18 Mediana = 17 s =2.8131074

3

Datos 7 x f fa fx fx218 20 13 20 15 12 14 14 168 201618 16 20 18 14 13 11 25 143 185917 12 16 19 18 14 13 38 182 254814 19 20 20 17 15 8 46 120 180013 21 19 17 14 16 5 51 80 128020 12 17 14 12 17 8 59 136 231214 13 21 18 17 18 10 69 180 3240


32

32


14 17 12 19 14 19 10 79 190 361015 20 20 12 12 20 11 90 220 440014 18 14 12 12 21 5 95 105 220520 15 16 12 12 1524 2527019 20 14 13 1813 15 20 13 18 Mínimo = 12

17 18 15 13 19 n= 95Máximo

=21

19 14 21 19 15 S(x) = 1524 Rango= 9

12 13 14 16 13 S(x2) = 25270 s2 =8.7428891

4

12 13 15 13 15Promedio

=16.042105

3s =

2.95683769

19 19 14 12 16 Moda = 12 s2 =8.6508587

3

18 21 12 17 21 Mediana = 16 s =2.9412342

2


19 26 28 19 19 n= 95Máximo

=28

20 27 19 23 25 S(x) = 2191 Rango= 9

24 19 26 25 26 S(x2) = 51313 s2 =8.3151175

8

28 19 21 27 20Promedio

=23.063157

9s =

2.88359456

24 24 23 19 26 Moda = 19 s2 =8.2275900

327 19 21 28 20 Mediana = 23 s = 2.8683776


33

33



28 24 26 24 23 n= 95Máximo

=29

27 24 26 27 27 S(x) = 2328 Rango= 9

28 26 21 24 24 S(x2) = 57734 s2 =7.2951847

7

29 27 27 22 26Promedio

=24.505263

2s =

2.70095997

21 28 29 26 20 Moda = 24 s2 =7.2183933

5

23 28 22 26 23 Mediana = 24 s =2.6867067

9



34

34


27 20 27 25 24 n= 95Máximo

=27

21 18 23 24 25 S(x) = 2153 Rango= 9

20 27 26 23 18 S(x2) = 49505 s2 =7.5661814

1

22 23 26 25 27Promedio

=22.663157

9s =

2.75066927

21 21 21 26 19 Moda = 21 s2 = 7.4865374

23 22 24 21 19 Mediana = 23 s =2.7361537

6


24 22 27 23 20 n= 95Máximo

=28

28 23 25 19 20 S(x) = 2243 Rango= 9

27 23 23 24 24 S(x2) = 53655 s2 =7.4105263

2

23 23 21 20 23Promedio

=23.610526

3s =

2.72222819

24 20 26 19 25 Moda = 23 s2 =7.3325207

8

21 22 20 23 25 Mediana = 24 s =2.7078627

7

Datos 12 x f fa fx fx224 23 21 19 22 18 10 10 180 324021 18 22 21 23 19 18 28 342 6498


35

35


26 23 18 23 23 20 9 37 180 360018 19 18 20 21 21 10 47 210 441022 19 19 19 21 22 10 57 220 484022 24 24 20 20 23 14 71 322 740624 19 23 25 19 24 9 80 216 518422 19 20 19 24 25 6 86 150 375022 19 24 23 24 26 5 91 130 338025 19 25 18 19 27 4 95 108 291623 20 19 23 19 2058 4522421 19 19 18 2327 27 26 20 21 Mínimo = 18

26 18 26 18 25 n= 95Máximo

=27

19 23 25 20 21 S(x) = 2058 Rango= 9

23 22 18 19 25 S(x2) = 45224 s2 =6.8215005

6

21 18 27 22 21Promedio

=21.663157

9s =

2.61180025

26 20 24 23 24 Moda = 19 s2 =6.7496952

9

20 23 22 22 27 Mediana = 22 s =2.5980175

7

Datos 13 x f fa fx fx222 20 22 23 26 19 9 9 171 324925 21 28 25 23 20 10 19 200 400021 19 24 26 25 21 9 28 189 396919 22 22 22 24 22 9 37 198 435623 27 22 24 26 23 9 46 207 476121 25 24 23 27 24 12 58 288 691226 23 20 24 24 25 10 68 250 625023 25 24 28 26 26 9 77 234 608424 28 27 24 21 27 8 85 216 583220 28 28 26 26 28 10 95 280 784023 19 28 26 20 2233 5325323 27 28 27 2227 25 19 21 21 Mínimo = 1922 26 20 21 24 n= 95 Máximo 28


36

36


=25 21 22 25 19 S(x) = 2233 Rango= 9

24 21 24 25 19 S(x2) = 53253 s2 = 8.1462486

23 28 19 28 27Promedio

=23.505263

2s =

2.85416338

20 19 20 20 25 Moda = 24 s2 =8.0604986

1

20 20 28 19 27 Mediana = 24 s =2.8391017

3


19 20 21 15 13 n= 95Máximo

=22

17 16 14 22 13 S(x) = 1663 Rango= 9

21 18 13 22 15 S(x2) = 29875 s2 = 8.124972

21 16 19 14 18Promedio

=17.505263

2s =

2.85043365

18 14 13 19 15 Moda = 17 s2 =8.0394459

8

19 19 18 16 17 Mediana = 17 s =2.8353916

8

Datos 15 x f fa fx fx227 27 19 19 22 19 12 12 228 433219 20 23 21 21 20 13 25 260 5200


37

37


21 27 19 25 20 21 7 32 147 308728 25 19 20 22 22 9 41 198 435620 26 26 28 26 23 8 49 184 423225 27 20 28 19 24 5 54 120 288022 28 28 22 27 25 10 64 250 625028 19 23 28 19 26 7 71 182 473223 27 23 26 19 27 14 85 378 1020622 28 19 28 24 28 10 95 280 784025 19 26 21 22 2227 5311525 21 21 27 2622 25 25 19 20 Mínimo = 19

20 23 25 27 20 n= 95Máximo

=28

25 24 27 27 26 S(x) = 2227 Rango= 9

27 23 20 22 25 S(x2) = 53115 s2 =9.6748040

3

28 24 21 23 23Promedio

=23.442105

3s = 3.1104347

20 20 27 22 20 Moda = 27 s2 =9.5729639

9

27 27 20 24 24 Mediana = 23 s =3.0940206

8


17 25 21 21 23 n= 95Máximo

=26

19 23 22 20 25 S(x) = 2054 Rango= 9

26 20 22 22 24 S(x2) = 45160 s2 = 7.9825308

24 17 21 23 21Promedio

=21.621052

6s =

2.82533729

20 20 19 23 26 Moda = 21 s2 = 7.8985041Ing. Pedro Ruiz Rosales / [email protected]

38

38


6

19 21 23 23 21 Mediana = 21 s =2.8104277

5


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SENATI - Curso Estadistica y Racionalizacion Administrativas 2011-1 Clases