7/30/2019 Sistem Pers. Diff. Orde 1

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-pers-diff-orde-1 1/9

Sistem Persamaan Diferensial

Orde Pertama

7/30/2019 Sistem Pers. Diff. Orde 1

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-pers-diff-orde-1 2/9

Pendahuluan

Pendekatan Beda Maju (FORWARD)

Pendekatan Beda Mundur (BACKWARD)

Pendekatan Beda Pusat (CENTRAL)

7/30/2019 Sistem Pers. Diff. Orde 1

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-pers-diff-orde-1 3/9

Sistem Persamaan Diferensial Orde Pertama

PENDAHULUAN

Suatu teori sederhana mengenai pendekatan numerik untuk

turunan dapat diperoleh melalui ekspansi deret Taylor dari

f (x + h) di sekitar x: 

Deret Taylor : 

Jenis Ekspansi

Forward

Backward

Central

7/30/2019 Sistem Pers. Diff. Orde 1

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-pers-diff-orde-1 4/9

Sistem Persamaan Diferensial Orde Pertama

Pendekatan Beda Maju (Forward)

Pengurangan f (x) dari kedua sisi dan membagi kedua sisi

dengan ukuran langkah h menghasilkan : dimana O(h)

menyatakan suku galat

 yang sebanding dengan

h untuk |h| < 1Didapat pendekatan beda maju (forward

difference approximation) untuk f’(x) :   yang mempunyai galatsebanding dengan ukuran

langkah h atau ekivalen

dalam orde dari h.

7/30/2019 Sistem Pers. Diff. Orde 1

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-pers-diff-orde-1 5/9

Pendekatan Beda Maju (Forward) (Cont’d) 

Untuk menurunkan rumus yang mempunyai galat lebih kecil,

dihapus suku orde satu terhadap h dari dengan mensubstitusikan 2h

untuk h dalam persamaan : 

dan pengurangan hasil ini dari dua kali persamaan sebelumnya : 

 yang dapat dipandang sebagai

suatu perbaikan ataspersamaan sebelumnya karena

ini mempunyai galat

pemotongan sebanding

dengan h2 untuk |h| < 1 

7/30/2019 Sistem Pers. Diff. Orde 1

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-pers-diff-orde-1 6/9

Sistem Persamaan Diferensial Orde Pertama

Pendekatan Beda Mundur (Backward)

Dengan mensubstitusikan -h untuk h dalam persamaan deret Taylor akan

diperoleh  pendekatan beda mundur (backward difference approximation) 

untuk f’(x):  yang mempunyai galat

sebanding dengan ukuran

langkah h atau ekivalen dalam

orde dari h.

suatu versi perbaikan yang mempunyai galat pemotongan sebanding

dengan h

2

untuk |h| < 1 dapat diproses seperti berikut:

7/30/2019 Sistem Pers. Diff. Orde 1

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-pers-diff-orde-1 7/9

Sistem Persamaan Diferensial Orde Pertama

Pendekatan Beda Pusat (Central)

Untuk rumus

pendekatan lain,

ekspansi deret Taylor

dari f (x + h) dan f (x -

h) sampai orde kelima: 

dan membagi selisih antara kedua persamaan dengan 2h untuk mendapatkan

pendekatan beda pusat (central difference approximation) untuk f’(x) yang

mempunyai galat pemotongan sebanding dengan h2 untuk |h| < 1 :

7/30/2019 Sistem Pers. Diff. Orde 1

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-pers-diff-orde-1 8/9

Pendekatan Beda Pusat (Central) (Cont’d) Suatu versi perbaikan yang mempunyai galat

pemotongan h4 :

7/30/2019 Sistem Pers. Diff. Orde 1

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-pers-diff-orde-1 9/9

Sebuah contoh soal…