SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Elaboró: AREA DE CIENCIAS BASICAS Revisó: Coordinador Área Aprobó: Consejo de facultad

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

SECCIONAL BOGOTA AREA: CIENCIAS BÁSICAS

CURSO: CALCULO INTEGRAL

FECHA: 2012-30-01

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TEMA: METODOS DE INTEGRACION-SUSTITUCION TRIGNONOMÉTRICA

TIEMPO ESTIMADO: 2 HORA

JUSTIFICACION:

La integración tiene algunos métodos, llamados técnicas de integración que permiten reducir ciertas integrales a otra ya conocidas (la tabla). Entre esas técnicas se tiene el cambio de variable que se estudia a continuación.

OBJETIVOS: 1. Establecer las sustituciones trigonométricas apropiadas como método para calcular algunas integrales de las formas y (x²-a² )r

2. Reducir integrales que contienen trinomios de la forma ax²+ bx+ c, con a ≠ 0, a alguna de las formas expresadas en el objetivo 1. FUNDAMENTACION TEORICA:

Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica

Integración por sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a

cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

con y






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La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que

contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

a.

El integrando contiene una función de la forma con

Se hace el cambio de variable escribiendo

donde

Si entonces

Además:

pues y como

entonces por lo que

Luego:

Como entonces

Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a

partir de la figura siguiente:






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Ejemplos:

1.

Sea con

Luego:

Sustituyendo:






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Como entonces y

Además por lo que

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Por último:

2.

Sea






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Luego

Sustituyendo

Como entonces por lo que puede utilizarse la siguiente

figura para dar el resultado final:






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Luego:

3.

Sea

Además:

Sustituyendo:






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4.

Sea

Luego

Sustituyendo

pues y

También puede utilizarse:






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5. Ejercicio para el estudiante



b.

El integrando contiene una expresión de la

forma con

Hacemos un cambio de variable escribiendo donde y

Si entonces

Además

Como y entonces es positiva






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y por tanto

Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente

figura:

Ejemplos:

1.

Sea

Luego:

Sustituyendo






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2.

Sea

Luego:

Sustituyendo






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3.

Sea

Luego

Sustituyendo

Como






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de la sustitución

inicial

Por tanto:

4.

Sea

Luego

Sustituyendo






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Como entonces

Por lo que:

se

obtiene:

Por último:






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c.

El integrando contiene una expresión de la

forma con y

En este caso la sustitución adecuada es:

donde

y

Si entonces

Además

de donde

pues y para

Como entonces por lo que

Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones

trigonométricas:






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Ejemplos:

1.

Sea

Luego

Sustituyendo:

2.






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Sea

Luego

Sustituyendo:

3.

Sea

Luego

Sustituyendo:






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Como puede utilizarse la siguiente figura para determinar

Por último:



Otras integrales en las que se utiliza alguna de las sustituciones trigonométricas

que hemos estudiado, son aquellas que contienen una expresión de la

forma . En los siguientes ejemplos se ilustra el procedimiento a

seguir:

Ejemplos:






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1.

Podemos escribir como o sea

Luego es la integral que debemos calcular

Sea

Luego

Sustituyendo:

2.






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Se tiene que:

Luego la integral se convierte en:

y se utiliza la sustitución de donde:

Luego:

Sustituyendo:






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con o sea

3.

Se tiene que

por lo que , con

sea de donde

Luego y

Sustituyendo






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4.

Se tiene que (completando cuadrados)

Luego la integral que se debe determinar es:

Sea

Luego

Sustituyendo






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Como entonces y utilizando que

se obtiene finalmente que

con

APLICACIONES:






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WEBGRAFIA: http://www.calculointegrales.com/p/mnetodos-de-integracion-integral-cambio.html http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node13.html

http://www.calculointegrales.com/p/mnetodos-de-integracion-integral-cambio.html

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