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Tabla de contenido Página
Ecuaciones de orden superior 3
Ecuaciones homogéneas de segundo orden con
coeficientes constantes 3
Caso 1. Raíces reales y distintas 6
Caso 2. Raíces complejas conjugadas 6
Caso 3. Raíces reales e iguales 7
Resumen 13
Bibliografía recomendada 13
Párrafo nexo 14
Autoevaluación formativa 15
5
2
Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN
Facultad de Ingeniería de Sistemas.
Sistema de Educación Abierta y a Distancia.
Santa Fe de Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por
escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
JAIME PRECIADO LOPEZ
Sede Santa Fe de Bogotá, D.C.
Diseño instruccional y orientación a cargo de
MARIANA BAQUERO DE PARRA
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SAENZ
ORLANDO DIAZ CARDENAS
Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Santa Fe de Bogotá, D.C.
5
3
Ecuaciones de orden superior En este fascículo comenzaremos el estudio de las ecuaciones de orden
superior; estudiaremos las ecuaciones lineales de segundo orden con
coeficientes constantes y su forma de solución, haciendo uso de una
ecuación que llamamos ecuación auxiliar o característica de la ecuación
diferencial dada. Además veremos ejemplos para cada uno de los ca-
sos que resultan al estudiar dicha ecuación.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Reconoce la forma de una ecuación diferencial lineal con coeficientes
constantes.
Asocia a cada ecuación diferencial con coeficientes constantes, la
ecuación característica correspondiente.
Diferencia las soluciones de una ecuación de segundo orden con coe-
ficientes constantes de acuerdo con las raíces de la ecuación caracte-
rística.
Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales de segundo
orden con coeficientes constantes.
Ecuaciones homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
La ecuación
)()()('''
xkyxayxay 21
es una ecuación diferencial lineal de segundo orden; vamos a resolver
este tipo de ecuaciones pero haciendo un par de suposiciones que sim-
plifican enormemente la situación, veamos:
i. Haremos que )(xa1 y )(xa2 sean constantes
ii. Igualaremos la ecuación a cero, es decir, 0)(xk
5
4
Con estas suposiciones nuestra ecuación se convierte en
021 yayay'''
(1)
la cual podemos nombrar como ecuación diferencial lineal homo-
génea de segundo orden con coeficientes constantes.
Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden tiene dos
soluciones que son independientes (es decir, ninguna es múltiplo de la
otra); si llamamos )(xV1 y )(xV2 a estas soluciones se puede mostrar
que la combinación lineal de ellas
)()()()( xVxCxVxC 2211
también es solución de nuestra ecuación diferencial.
Pero, ¿cómo resolver una ecuación lineal homogénea de segundo or-
den?. Si pensamos un poco y recordamos la solución de una ecuación
lineal de primer orden, con coeficiente constante como:
0 kyy'
corresponde a una función exponencial de la forma:
kxcey
esto nos lleva a pensar que una ecuación diferencial lineal de segundo
orden como (1) ha de tener una solución de la forma:
kxey (2)
para algún k apropiado, veamos, si derivamos dos veces la ecuación(2)
kxkey '
kx
eky2''
al remplazar estas derivadas en (1) obtenemos:
021
2 kxkxkxeakeaek
de donde:
021
2 kxeakak )(
5
5
como kx
ey nunca es cero, kx
ey es solución de (1) para un valor
de k apropiado que satisfaga la ecuación cuadrática
021
2 akak (3)
la ecuación (3) se conoce como ecuación característica o ecuación
auxiliar de la ecuación (1). Para resolver (3) podemos hacer uso de la
formula cuadrática y obtener las raíces
2
2
112
2
2
111
42
1
42
1
aaak
aaak
y por tanto las funciones
xkey 1 y
xkey 2
son solución de (1) con los valores obtenidos para k .
Es imprescindible en estos momentos recordar que al solucionar una
ecuación cuadrática como lo es la ecuación característica pueden pre-
sentarse tres casos:
Caso 1. Las soluciones son reales y distintas.
Caso 2. Las soluciones son complejas y conjugadas.
Caso 3. Las soluciones son iguales y reales.
Ahora, vamos a estudiar cada uno de estos casos por separado.
Recuerda que las soluciones de una ecuación homogénea son
llamadas raíces.
5
6
Caso 1. Raíces reales y distintas
Si al resolver la ecuación característica (3) se obtienen dos soluciones
reales y distintas 1k y 2k entonces:
xkey 1 y
xkey 2
son soluciones de (1), podemos dar la solución general haciendo:
xkxkeCeCy 21
21
Ejemplo
Resolvamos la ecuación 076 yyy'''
Reconocemos esta ecuación como una ecuación diferencial lineal de
segundo orden con coeficientes constantes; por tanto la ecuación ca-
racterística corresponde a:
0762 kk
equivalente a 017 ))(( kk de donde podemos encontrar las raí-
ces 71 k y 12 k ,por tanto las raíces de nuestra ecuación caracte-
rística son reales y distintas, así, la solución general de nuestra ecuación
es: xx
eCeCy1
2
7
1
Caso 2. Raíces complejas conjugadas
Si al resolver la ecuación característica (3) obtenemos las raíces com-
plejas conjugadas ik entonces la solución general de (1) es
)()cos( xseneCxeCxx
21
Ejemplo
Resolvamos la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo or-
den 0134 yyy'''
5
7
La ecuación característica es 01342 kk ; si aplicamos la ecua-
ción cuadrática obtenemos:
322
64
12
131444 2
k
k.
))(()(
así, las raíces de la ecuación característica son complejas y conjugadas;
por tanto la solución general de la ecuación diferencial es
xseneCxeCyxx 33 2
2
2
1 cos
Caso 3. Raíces reales e iguales
Si al resolver la ecuación característica (3) obtenemos como solución
una única raíz real, o lo que es lo mismo, dos raíces k repetidas, la so-
lución general de (1) corresponde:
kxkxxeCeCy 21
Ejemplo
Resolvamos 02510 yyy'''
La ecuación característica de esta diferencial lineal de segundo orden
es:
025102 kk
o
05 2 )(k
así la raíz es 5k por tanto es una raíz real y repetida, entonces la
solución general de la ecuación diferencial es
xxxeCeCy
5
2
5
1
5
8
Podemos resumir la forma de solución de una ecuación diferen-
cial lineal de segundo orden con coeficientes constantes con el
siguiente cuadro.
Para la ecuación diferencial
021 ayay'''
hallamos las raíces de la ecuación cuadrática o auxiliar
021
2 akak
Si las raíces son: La solución general es:
i. 1k y 2k con 21 kk xkxk
eCeCy 21
21
ii. 1k y 2k con 21 kk xkxk
xeCeCy 11
21
iii. Si 1k y 2k son complejas
ik 1 y ik 2
xseneCxeCyxx
21 cos
Las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes,
se pueden resolver también con condiciones iniciales; decimos condi-
ciones iniciales porque hemos notado la existencia de dos constantes
arbitrarias a la solución general de una ecuación de este tipo; por esto
podemos encontrar la solución particular a una ecuación diferencial li-
neal de segundo orden si conocemos 2 condiciones iniciales, por ejem-
plo para y y '
y , veamos algunos ejemplos.
Ejemplo
Resolvamos 0103 yyy'''
, con 10 )(y y 100 )('
y
La ecuación característica de nuestra ecuación diferencial es:
01032 kk
de donde
025 ))(( kk
5
9
así, tenemos dos raíces reales y distintas, ellas son 5k y 22 k ,
por tanto la solución general es:
xxeCeCy
2
2
5
1
o
xxeCeCxy
2
2
5
1
)(
si reemplazamos la condición inicial 10 )(y obtenemos
02
2
05
11 .. eCeC
de donde:
211 CC (1)
para remplazar la segunda condición inicial 100 )('
y necesitamos
hallar )('
xy , entonces derivando xx
eCeCxy2
2
5
1
)( obtene-
mos
xxeCeCxy
2
2
5
1 25 )('
reemplazando:
02
2
05
1 2510 .. eCeC
de donde:
21 2510 CC (2)
así, reuniendo (1) y (2) debemos resolver el sistema de ecuaciones
211 CC
21 2510 CC
de donde
7
121 C y
7
52 C ; podemos reemplazar estos valores en
la solución general xx
eCeCxy2
2
5
1
)( y encontrar la solución
particular
5
10
xxeexy
25
7
5
7
12 )(
Ejemplo
Resolvamos 04 yy''
con las condiciones iniciales 20 )(y y
34
y
La ecuación característica es:
042 k
para la cual las raíces son complejas y conjugadas iik 220
de donde la solución general de nuestra ecuación corresponde a:
xseneCxeCxyxx 22 0
2
0
1 cos)(
o
xsenCxCxy 22 21 cos)(
Reemplazando la condición 20 )(y obtenemos
002 21 senCC cos
de donde 21 C , si reemplazamos la segunda condición 34
y
y 21 C en
42
4223 2
senCcos se obtiene 32 C
así, la solución particular es:
xsenxxy 2322 cos)(
Podemos extender el método visto a ecuaciones de orden superior;
supongamos la ecuación
5
11
0012
1
1
yayayayayan
n
n
n
'''
Con ia constantes reales, podemos asociar a esta ecuación, la
ecuación auxiliar
001
2
2
1
1
amamamaman
n
n
n
ahora buscamos las raíces im de esta ecuación, si todas son reales y
distintas la solución de nuestra ecuación diferencial es:
xm
n
xmxm necececy 21
21
Las raíces también podrían ser algunos reales repetidos y otras comple-
jas conjugadas, si por ejemplo 3m es una raíz de multiplicidad k , en-
tonces la solución general de la anterior expresión es:
xmk
k
xmxmxmexcexcxecec 3333 12
321
veamos algunos ejemplos.
Ejemplo
Resolvamos 054 '"'"yyy
La ecuación auxiliar es 054 23 mmm podemos factorizarla co-
mo:
0542 mmm
o
015 mmm
de donde la raíces son reales, distintas y corresponden a 0, 5, -1, la so-
lución general es: xxx
ecececy1
3
5
2
0
1
o
xxececcy 3
5
21
5
12
Leonhard Euler (1707 –
1783): genio suizo de la
matemática, dotado con
prodigiosa memoria y po-
der de concentración.
Ejemplo
Resolvamos 092416 4 yyy")(
La ecuación auxiliar es 092416 24 mm , que podemos factori-
zar como:
034 22 )( m
de donde sus raíces son múltiples y complejas conjugadas; por tanto:
imm2
321 y imm
2
343
así, la solución general es
ixixixix
ececececy 2
3
42
3
32
3
22
3
1
El matemático Leonhard Euler encontró una identidad conocida como
la fórmula de Euler, que nos puede simplificar la solución encontrada;
dicha fórmula corresponde a:
isene
i cos
Empleando la formula de Euler podemos escribir nuestra solución como
xisencxxcxisencxcy
2
3
2
3
2
3
2
38765 coscos
si hacemos 96 cic y 108 cic obtenemos
xxsencxxcxsencxcy
2
3
2
3
2
3
2
310795 coscos
5
13
12.1
a. En los siguientes problemas encuentra la solución general de la
ecuación diferencial dada.
1. 03 '''yy 2. 08 yy
''
3. 01682
2
ydx
dy
dx
yd 4. 04 yyy
'''
5. 02512 yyy'''
6. 028 yyy'''
7. 023 yyy'''
8. 022 yyy'''
9. 02 yyy""
10 08126 yyyy'"'"
b. En los siguientes problemas encuentra la ecuación diferencial da-
da sujeta a las condiciones iniciales indicadas:
11. 2020016 )(,)(;'''
yyyy
12. 10400178 )(,)(;''''
yyyyy
13. 00002 )(,)(;'''''
yyyyyy
En este fascículo hemos estudiado el método de solución de las ecua-
ciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes cons-
tantes; para ello hemos empleado la ecuación auxiliar o característica
de grado 2 asociada a la ecuación diferencial, distinguiendo tres casos
de solución teniendo en cuenta si las raíces de la ecuación auxiliar son
reales y distintas, conjugadas e imaginarias o reales e iguales.
Rainville, Earl D. y otros. Ecuaciones diferenciales. Ed. Prentice Hall.
México: octava edición. 1997, cap. 3.
5
14
Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.
México Ed. Inter. – Thomson Editores, sexta edición, 2000, cap. 4.
En el próximo fascículo continuaremos el trabajo con las ecuaciones di-
ferenciales de orden superior; trabajaremos ecuaciones no homogé-
neas, coeficientes indeterminados y variación de parámetros.
5
15
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 12
Nombre_____________________________________________________________________
Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________
Ciudad __________________________________________ Semestre _________________
Resuelve cada uno de los problemas planteados:
1. 023 yyy'''
2. 23
03
0
''',; yyyy
3. 1005002 )(,)(;''''
yyyyy
4. 0 yy'"