TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

Colegio Divina Pastora (Toledo)

VECTORES FIJOS EN EL PLANO Vector fijo AB, es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

Módulo: es la longitud del segmento AB, se representa Dirección: es la dirección de la recta que pasa por A y B Sentido: es la orientación de la recta. En cada dirección hay 2 sentidos:

de A a B y de B a A. Descartes Vector fijo nulo: el extremo y el origen coinciden. Es un punto y su

módulo es 0. Sean A (a1, a2) y B (b1, b2) dos puntos, las coordenadas cartesianas del vector AB son B - A = (b1 - a1, b2 – a2)

Descartes Siendo P un punto del plano, se llama vector de posición del punto P al vector OP que representamos por

Las coordenadas de un punto son las mismas que las de su vector de posición.

AB

p

VECTORES LIBRES EN EL PLANO

Vectores equipolentes: Tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vector libre del plano: Es el conjunto de todos los vectores fijos equipolentes a uno de dado y se representa por u

OPERACIONES CON VECTORES LIBRES

Suma de vectores libresDescartes1

Descartes2

Producto de un nº real por un vector Tiene por módulo el producto del valor absoluto del nº

real no nulo (k) por el módulo del vector Tendrá por dirección la misma del vector y por sentido el

mismo si k es positivo, y el opuesto si k es negativo. Descartes1 Descartes 2

ak

·

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Un vector u es combinación lineal de 2 vectores v y w si existen los números reales a y b tales que u = av + bw . Descartes En este caso se dice que u, v y w son

linealmente dependientesSiendo i=(1,0) y j=(0,1) cualquier vector libre del plano puede expresarse como una combinación lineal de la forma donde (u1,u2) son las coordenadas cartesianas de u.

juiuu

21

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Es un número real y se designa u · v

u · v =

Expresión analítica del producto escalar u · v = xx´ + yy´

Siendo u=(x,y) y v=(x’,y’) Descartes

vuvu ,cos··

MÓDULO DE UN VECTOR. ÁNGULO DE DOS VECTORES

Módulo de un vector Es la longitud entre su origen y su extremo. Si el

vector tiene de coordenadas (x,y), utilizando el Teorema de Pitágoras:

Ángulo de 2 vectores =

Descartes

22 yxu

vuvuvu

··),(cos 2´222 ´

´´

yxyx

yyxx

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTODados 2 puntos A y B del plano se llama distancia de A a B al módulo del vector AB: d (A, B) =

Descartes Las coordenadas del punto medio de un segmento AB, con A (x1,y1) y B (x2,y2) son: Xm= (x1+x2)/2 Ym= (y1+y2)/2

Descartes

212

212 )()( yyxxAB

ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN VECTORIAL

Si una recta está determinada por un punto A (x1,y1) y un vector no nulo u=(a,b) es la ecuación vectorial de la recta y u, el vector director.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Se obtienen igualando los 2 pares de la ecuación vectorial:

ECUACIÓN CONTINUA Se obtiene despejando t en ambas ecuaciones e igualando:

ECUACIÓN GENERAL Se obtiene operando con la ecuación continua y simplificando. También se llama

Ecuación en forma implícita: Ax + By + C = 0 Un vector director será y un punto de la recta será cualquiera que

verifique la ecuación (se da un valor a una de las incógnitas y se resuelve la ecuación). Descartes

utax

tbyytaxx

1

1

byy

axx 11

),( ABu

ECUACIÓN EXPLÍCITA Se obtiene despejando la variable Y de la ecuación

general: y = mx + n; donde m es la pendiente y n la ordenada en el

origen. Si una recta tiene u=(a,b) de vector director, la pendiente m =

b/a . ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO PENDIENTE La ecuación de la recta que pasa por A( x1,y1) y tiene de

pendiente m es:

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA SEGMENTARIA Si una recta corta a los ejes en los puntos P (p,0) y Q (0,q) su ecuación

en forma segmentaria es: Descartes 1

qy

px

)( 11 xxmyy

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.2 rectas son secantes si sólo tiene un punto en común, paralelas si no tiene ningún punto en común y coincidentes si tienen todos los puntos comunes.

Podemos hallar la posición de 2 rectas hallando su intersección, resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones:

- Si tienen 1 solución, las rectas se cortan- Si no tiene solución, las rectas son paralelas- Si tienen infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.Otra forma de saber su posición: Descartes

Forma explícita y = mx+n

Forma GeneralAx+By+C=0

r y s secantes m≠m´

r y s paralelas m = m´ ; n≠n´

r y s coincidentes m = m´ ; n = n´

´´ BB

AA

´´´ CC

BB

AA

´´´ CC

BB

AA