2008

Universidad Autónoma de Colombia

John Jaiber González Murillo

Función de Transferencia Motor DC

Ingeniería Electrónica

Control Análogo Grupo 50

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Contenido

1. Introducción .............................................................................................................................................. 3

2. Funcionamiento de un motor DC ................................................................................................................ 4

2.1. ¿Qué es un motor? ............................................................................................................................. 4

2.2. Conceptos básicos de Fuerzas Electromagnéticas ............................................................................... 4

2.2.1. Fuerza electromagnética ............................................................................................................. 4

2.2.2. Campo magnético producido por corrientes ............................................................................... 5

2.2.3. Interferencia de una línea de fuerza magnética ........................................................................... 5

2.2.4. Generación de Torque a partir del campo magnético y de la corriente. ....................................... 5

2.3. Partes de un Motor DC ....................................................................................................................... 6

3. Modelo Matemático de un Motor DC controlado por armadura ................................................................. 7

4. Función de Transferencia a partir de Tabla de Parámetros del DC Motor Ø 24 1.16.011. XXX ................... 10

4.1. Parámetros del motor conocidos ...................................................................................................... 10

4.2. Parámetros desconocidos ................................................................................................................. 10

4.3. Búsqueda de parámetros desconocidos ............................................................................................ 11

4.4. Cálculo de Km y de tm ......................................................................................................................... 12

4.5. Funciones de Transferencia para los motores Buehler de 12V y 24V .................................................. 13

• Función Transferencia DC Motor Ø 24 1.16.011.532 12V .................................................................. 13

• Función Transferencia DC Motor Ø 24 1.16.011.545 24V .................................................................. 16

6. Bibliografía ............................................................................................................................................... 19

7. Anexos ..................................................................................................................................................... 20

7.1. Parámetros de los motores DC ......................................................................................................... 20

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1. Introducción

El objetivo de éste trabajo es determinar la función de transferencia de un motor a partir de sus parámetros básicos que se encuentran en la hoja de especificaciones del fabricante.

Para esto, primero se deben conocer las bases del funcionamiento de los motores DC y el modelamiento matemático de éste cuando es controlado por un voltaje de armadura Va.

En el proceso se mostraran los pasos para llegar a la función de transferencia general y los datos que se deben encontrar para hallar la planta a controlar (el motor DC).

Finalmente se mostraran las graficas en MatLab de la respuesta con realimentación y la respuesta al escalón unitario.

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2. Funcionamiento de un motor DC

2.1. ¿Qué es un motor?

Un motor es una máquina rotatoria que convierte energía eléctrica en energía mecánica [1]. En el caso de los motores DC, la energía eléctrica está dada en forma directa, es decir, de una sola polaridad que se puede presentar en forma de corriente o de voltaje. La salida a correspondiente a la excitación se presenta en movimiento angular con una velocidad y un torque determinado por las características del motor.

Figura 1.

Las propiedades básicas que determinan el movimiento del motor se deducen del electromagnetismo, por tal motivo a continuación se explicaran tales principios.

2.2. Conceptos básicos de Fuerzas Electromagnéticas

2.2.1. Fuerza electromagnética La dirección del flujo magnético producido por un imán permanente siempre va del polo N al polo S. Cuando un conductor se coloca en un campo magnético y fluye corriente a través de él, el campo magnético y la corriente interactúan entre sí para producir la fuerza. La fuerza se llama "fuerza electromagnética".

Figura 2.

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2.2.2. Campo magnético producido por corrientes Los campos magnéticos producidos por la corriente y los imanes permanentes interactúan para producir la fuerza electromagnética. Cuando fluye la corriente en el conductor, se genera un campo magnético que se determina por medio de la regla de la mano derecha. Apuntando con el dedo pulgar en la dirección de la corriente, la dirección del campo magnético se determina a partir de la dirección de la envolvente generada por los demás dedos.

Figura 3.

2.2.3. Interferencia de una línea de fuerza magnética Los campos magnéticos producidos por la corriente y los imanes permanentes interfieren entre sí. Las líneas de fuerza magnética distribuidas en la misma dirección actúan entre sí para aumentar su fuerza, mientras que el flujo distribuido en la dirección opuesta reduce la fuerza.

Figura 4.

2.2.4. Generación de Torque a partir del campo magnético y de la corriente. La fuerza que genera el movimiento del motor esta dado por el producto de la densidad de flujo magnético, la corriente que circula a través del conductor y por la longitud de este.

Figura 5.

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Figura 6.

2.3. Partes de un Motor DC

El motor está formado por un conmutador, un anillo conductor seccionado en dos segmentos, cada segmento esta conectado a a cada extremo de la espira conductora y aislados electricamente uno del otro. A medida que la espira gira, cada escobilla toca alternativamente ambos segmentos del conmutador. En consecuencia, las conexiones eléctricas se invierten a la mitad de cada revolución en el instante en que la espira es perpendicular al campo magnético. De esta manera, el momento de torsión que actua sobre la espira lo hace siempre en le misma dirección y ésta gira continuamente en el mismo sentido. Generalmente la armadura es el elemento del motor que se encuentra girando y los imanes son permanentes; la parte del motor que gira se se denomina rotor y la parte estacionaria se denomina estator [2].

Figura 7.

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3. Modelo Matemático de un Motor DC controlado por armadura

Figura 8.

[2]El circuito equivalente al motor DC se muestra en la figura 9, en donde la armadura de éste se representa como un circuito con resistencia Ra conectada en serie a una inductancia La y a una fuente de voltaje Vb que representa la fuerza contra electromotriz en la armadura cuando el rotor gira. En los motores de imán permanente con escobillas, el campo magnético del estator se crea a partir de imanes permanentes, y por tanto, el flujo magnético se supone constante (Ф) [3]. Los demás parámetros del diagrama se definen a continuación:

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Para un análisis lineal, se supone que el torque o par que genera el motor es proporcional al flujo magnético producido por los imanes permanentes y a la corriente eléctrica de la armadura.

(E.1.1)

Como el flujo eléctrico se considera constante la ecuación anterior queda de la siguiente forma:

(E.1.2)

Donde es denominada constante de torque y está dada en .

Cuando la armadura se encuentra girando en el campo magnético, se induce en los conductores un fem Vb, la cual es directamente proporcional a la velocidad angular ωm, siendo Kb la constante de esta fuerza electromotriz.

(E.1.3)

Por medio de la ecuación de malla del circuito se determina la ecuación diferencial de éste de la siguiente manera:

(E.1.4)

Aplicando la ley de Newton se deduce la ecuación para determinar el torque que se genera por el movimiento del motor:

(E.1.5)

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De acuerdo a las ecuaciones anteriores y aplicando la transformada de Laplace se obtiene que la función de transferencia entre el desplazamiento angular y el voltaje aplicado es la siguiente:

(E.1.6)

Cuando se trabaja en le determinación de las funciones de transferencia de los motores DC, en ocasiones se considera que la inductancia de la armadura La es muy pequeña comparada con la

resistencia eléctrica de la armadura Ra, y al despejar ia de E.1.4 se obtiene el término

.

Como se considera que entonces el término / se aproxima a cero quedando la ecuación de la corriente de armadura de la siguiente forma al sustituir E.1.3 en E.1.4:

(E.1.7)

Sustituyendo E.1.7 en E.1.2 y el resultado sustituyéndolo en E.1.5 se obtiene:

(E.1.8)

Con las ecuaciones anteriores las nuevas restricciones y aplicando la transformada de Laplace se obtiene que la función de transferencia entre el desplazamiento angular y el voltaje aplicado es la siguiente:

(E.1.9)

Donde Km es la constante de ganancia del motor y tm es la constante de tiempo del motor y están dadas por:

(E.1.10)

(E.1.11)

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4. Función de Transferencia a partir de Tabla de Parámetros del DC Motor Ø 24 1.16.011. XXX

Para determinar la función de transferencia de un motor DC existen varios métodos. En este caso vamos a hacerlo de una forma más exacta, pues al tener los datos que el fabricante específico para cada motor tenemos una mayor certeza de lo que estamos realizando.

Ha de tenerse en cuenta que no en todas las fichas técnicas de los motores aparecen todos los datos que necesitamos y es por eso que debemos investigar ecuaciones que relaciones los datos disponibles con los que queremos adquirir.

4.1. Parámetros del motor conocidos

Los datos que aparecen a continuación se encuentran en el anexo que tiene la hoja de datos de los motores utilizados para el experimento, datos básicos para determinar los valores de Km y tm.

Constante Símbolo Hoja

Datos

Símbolo F.

Transferencia

Unidades Motor

12V

Motor

24V

Torque

constant

kt Ki / 14*10-3 28*10-3

Rated

torque

TN Tm 4*10-3 4*10-3

Rated speed nN rpm 5000 4600

Rated

voltage

V Va Vdc 12 24

Rotor inertia J Jm g*cm2 3.2 3.2

Terminal

resistance

R Ra Ω 13 61

Figura 9.

4.2. Parámetros desconocidos

Constante Símbolo F.

Transferencia

Unidades

viscous

friction

Bm N*m*s/rad Ó

N*m/rpm

Electrical

constant

Kb V*s/rad Ó

V/rpm

Figura 10.

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4.3. Búsqueda de parámetros desconocidos

• La constante de voltaje o eléctrica está relacionada con la constante de torque como se muestra en la siguiente ecuación [4]:

! 14.66 ' (/)*+ (E.1.12)

, -

! 29.32' (/)*+ (E.1.13)

• La constante de fricción viscosa se determino así [5]:

Figura 11.

A menudo la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad angular y este modelo de fricción se denomina fricción viscosa que se expresa matemáticamente en forma vectorial como:

(E.1.14)

De forma escalar y cambiando a unidades de la función de transferencia se reemplaza a f por Bm,

teniendo en cuenta que ω es la velocidad angular en rad/s ó en rpm; donde 1 )1 ,23 )*+/(.

Con los símbolos que llevamos en el trabajo, la E.1.14 quedaría de la siguiente forma:

4 5 6 (E.1.15)

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Como tenemos el dato de la velocidad (rated speed) del motor y el Torque de éste (Rated torque), lo único que debemos hacer es despejar a Bm de E.1.15 y reemplazar valores:

789 :8; :8

<= >?? 9?@A B

CD 7.63 10@2 BGC (E.1.16)

5, HI H

JK 869.56 10@N B

CD 8.30 10@2 BGC (E.1.17)

Constante Símbolo F.

Transferencia

Unidades Motor 12V Motor 24V

Electrical

constant

Kb V*s/rad Ó

V/rpm

14.66 ' (/)*+ 29.32' (/)*+

viscous

friction

Bm N*m*s/rad Ó

N*m/rpm

7.63 10@2 ()*+ 8.30 10@2 (

)*+

Figura 12.

4.4. Cálculo de Km y de tm

Como ya se tiene todos los valores necesarios para encontrar lo parámetros que determinan la función de transferencia de un motor DC controlado por armadura, ahora solamente ahí que reemplazar valores en las ecuaciones E.1.10 y E.1.11:

O 5

14 10@ /P14.66 10@ ' (

)*+ 14 10@ Q O R7.63 10@2 (

)*+ 13ΩT 45.98

(E.1.18)

, O 5

28 10@ /P29.32 10@ ' (

)*+ 28 10@ Q O R8.3 10@2 (

)*+ 61ΩT 21.09

(E.1.19)

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U O 5

320 10@NK g m, 13ΩP14.66 10@ ' (

)*+ 14 10@ Q O R7.63 10@2 (

)*+ 13ΩT 13.66 10@(

(E.1.20)

, U O 5

320 10@NK g m, 13ΩP29.32 10@ ' (

)*+ 28 10@ Q O R8.3 10@2 (

)*+ 61ΩT 3.13 10@(

(E.1.21)

4.5. Funciones de Transferencia para los motores Buehler de 12V y 24V

• Función Transferencia DC Motor Ø 24 1.16.011.532 12V

YR(T ZR(T'R(T 45.98

( R1 O 13.66 10@ (T

(E.1.22)

>> s=tf('s') Transfer function: s >> g1=tf(45.98/(s*(1+0.01366*s))) Transfer function: 45.98 --------------- 0.01366 s^2 + s >> sisotool(g1)

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Figura 13.

Figura 14.

Página 15

>> step(g1)

Figura 15.

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• Función Transferencia DC Motor Ø 24 1.16.011.545 24V

YR(T ZR(T'R(T 21.09

( R1 O 3.13 10@ (T

(E.1.23)

Figura 16.

Figura 17.

Página 17

>> step(g2)

Figura 18.

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5. Conclusiones

• Se puede comprobar gracias a este trabajo que las funciones de transferencia de los motores DC se pueden hallar fácilmente, siempre y cuando se tengan los parámetros básicos que brindan las hojas de datos de los fabricantes.

• Es complicado obtener una ficha técnica con todos los parámetros básicos, y allí se ve la calidad del motor que se está comprando, pues entre mas especificaciones tenga éste, mejor se podrá trabajar.

• La determinación de la función de transferencia, a partir de los parámetros que brindan los fabricantes, es más exacta pues como se vio solo se utilizaron valores y formulas exactas sin aproximaciones.

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6. Bibliografía

[1] What’s a motor?

http://www.mabuchi-motor.co.jp/en_US/technic/t_0100.html

[2] Control en posición de servomecanismos de corriente directa http://betosoria.googlepages.com/jllm

[3] Technical terms

http://www.buehlermotor.com/C12572C600247071/CurrentBaseLink/W276WGW4003WEB

REN

[4] Technical notes: DC motors

http://www.buehlermotor.com/C12572C600247071/CurrentBaseLink/W276WGWN321WEB

REN

[5] The Physics of the DC Motor

[6] http://www.freestudy.co.uk/control/t3.pdf

[7] http://www.gizmology.net/motors.htm

[8] http://virtual.cvut.cz/dyn/examples/examples/control/dcmotor-p/index.html

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7. Anexos

7.1. Parámetros de los motores DC

VN Rated Voltage Voltage for which normal data are valid V

kE Voltage Constant Ratio between induced voltage and angular velocity with motor driven as a generator

mV/r.p.m.

Rm Speed Regulation Constant

Ratio between no load speed and stall torque r.p.m./ mNm

tE Electrical Time Constant Time required to reach 63% of final value of current in locked rotor condition

ms

tM Mechanical Time Constant

Time required to reach 63% of speed under no load condition with rated voltage applied

ms

Rth1

Rth2

Thermal Resistance Characteristic value of thermal transfer resistance. (No additional heat sink, locked rotor.)

K/W

kt Torque Constant Ratio between generated torque and motor current

mNm

R Terminal Resistance Mean value of ratio between rated voltage and stall current

Ohms

IS Stall Current Ratio between applied voltage and terminal resistance

A

IO No Load Current Current under no load condition at rated voltage

A

IN Rated Current Current under rated load at rated voltage A

Pout Rated Output Power Mechanical power at rated torque and rated speed available at motor shaft

W

Pout max Maximum Output Power Maximum mechanical power at rated voltage. (Normally not applicable for continuous running)

W

TN Rated Torque Torque at rated output power available at motor shaft

mNm

TS Stall Torque Torque at rated voltage with the motor shaft stalled

mNm

nN Rated Speed Speed at rated voltage and rated torque r.p.m.

nO No Load Speed Speed at nominal voltage under no load condition

r.p.m.

hN Rated Efficiency Ratio between rated output power and rated input power

%

Pin Rated Input Power Product of rated voltage by rated current W

JR Rotor Inertia Mass moment of inertia of rotor gcm2

STOCK SERVICE

Type 1.16.011.XXX 532 545 179 304 200

Characteristics*

Rated voltage V V 12 24 12 12 24

Rated power PN

W 2.1 1.9 3.6 3.8 3.6

Rated torque TN

mNm 4.0 4.0 5.0 4.5 5.0

Rated speed nN

rpm 5000 4600 6850 8000 6850

Rated current IN

A 0.35 0.18 0.59 0.65 0.30

No load characteristics*

No load speed nO

rpm 7400 7500 10350 12000 10150

No load current IO

A 0.05 0.03 0.09 0.12 0.08

Starting characteristics*

Starting torque TS

mNm 12 10 14 14 16

Starting current IS

A 0.90 0.40 1.60 1.75 0.81

Performance characteristics

max. Output power Pmax

W 2.4 2.0 3.9 4.4 4.2

max. Constant torque Tmax

mNm 2.4 2.3 3.2 3.0 3.8

Motor parameters*

Weight G g 35 35 40 40 40

Rotor inertia J gcm2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2

Terminal resistance R Ohm 13 61 7.5 6.9 30

Mech. time constant τm

ms – – – – –

Electr. time constant τe

ms – – – – –

Speed regulation constant Rm

rpm/mNm 600 725 715 858 620

Torque constant kt

mNm/A 14 28 9.9 8.8 22

Thermal resistance Rth1

K/W 23 23 23 23 23

Thermal resistance Rth2

K/W 21 21 21 21 21

Axial play mm 0.05 – 0.6 0.05 – 0.6 0.05 – 0.6 0.05 – 0.6 0.05 – 0.6

Direction of rotation bidirectional

Design

Commutator Copper/3-segmentsCopper/5-segments (only 1.16.011.304)

RFI Protection VDR (only 1.16.011.200)

Insulation class Winding F, otherwise A

Protection class IP20

Commutation Graphite/copper-carbon brushes

Armature sintered, straight slot

Magnet system Permanent magnets, 2-pole

Bearings 2 sintered bronze bearings

Housing Steel, corrosion protected

End shields brush end plastic (1.16.011.532/545)brush end zinc die-cast (1.16.011.179/304/200) drive end zinc die-cast

DC Motor Ø 24 1.16.011. XXX

1.16.011.532/545

The following modifications are available upon request:

3 Encoder or hall sensor

3 External RFI board or internal VDR

3 Speed adjustment through winding change

3 Lead sets

3 Shaft length on both ends

3 Shaft configuration (flat, grooved, etc.)

3 Drive configuration

3 Adapters and mounting plates

Note: Can be used with Buehler gear motor types 1.61.065.xxx and 1.61.117.xxx

Customized versions

Operational conditions

Temperature range T °C -10 - +70

Humidity at room temperature rel. F. % 15 - 55

No condensation g H2O / m3 2 - 25

Axial force FA

N 2

Radial force, 5 mm from mounting surface FR

N 5

Operating mode at Pmax

S5

Operating mode at Tmax

S1

* at 25° C

1.16.011.532/545

1.1.16.011.179/304/200