TIC 4 Matematica

4Recursos TIC en reas desaberes y conocimientos:

Matemtica(Nivel 2)

Documento de trabajo

Recursos TIC en reas desaberes y conocimientos:

Matemtica(Nivel 2)

Documento de trabajo

Revolucin Cientficay Tecnolgica

Publicacin: Recursos TIC en reas de saberes y conocimientos:Matemtica (Nivel 2)

Coordinacin:Viceministerio de Educacin Superior de Formacin Profesional Direccin General de Formacin de Maestros

1ndicePresentacin ......................................................................................... 3

Datos generales del cuaderno ............................................................. 5

Obejtivo Holstico del ciclo ................................................................... 6

Objetivo Holstico del curso ................................................................. 6

TEMA 1: SOFTWARE EDUCATIVO PARA EL REA DE

MATEMTICA: ..................................................................................... 7

Instalacin de Math Worksheet generator ........................................... 8

Interface Math Worksheet Generator ................................................... 10

Funciones y smbolos matemticos especiales ................................... 11

Actividades de valoracin .................................................................... 17

TEMA 2: APLICACIN DE GEOGEBRA EN EL APRENDIZAJE Y

ENSEANZA DE LA MATEMTICA ................................................... 18

Actividades de recuperacin de experiencias ..................................... 18

Geogebra - Interface ............................................................................ 19

Men contextual de objeto .................................................................. 23

Men contextual de vista grfica ......................................................... 24

Seleccionar ........................................................................................... 25

Propiedades ......................................................................................... 27

Uso del ratn: la herramienta Elige y mueve ........................................ 28

Arrastrar uno o varios objetos .............................................................. 28

Objetos fijos ......................................................................................... 29

Desplazar la vista grfica ..................................................................... 30

Eliminar ................................................................................................. 30

Zoom .................................................................................................... 31

Renombrar ............................................................................................ 31

Redefinir objeto .................................................................................... 32

Animacin ............................................................................................. 34

Animacin manual desde el teclado .................................................... 34

Animacin automtica de un deslizador .............................................. 34

2Recursos TIC en reas de saberes y conocimientos: Matemtica (Nivel 2)

Animacin automtica de un punto en un recorrido ............................ 36

Capas ................................................................................................... 36

Construcciones ultraligeras .................................................................. 38

Preparacin del escenario .................................................................... 38

Protocolo y barra de navegacin ......................................................... 39

Nombres de los objetos ....................................................................... 40

Usar GeoGebra como geoplano. ......................................................... 41

Herramientas y comandos ................................................................... 41

Construccin paso a paso ................................................................... 41

Funciones ............................................................................................. 42

Herramientas y comandos ................................................................... 43


Derivada ............................................................................................... 46


Clculo simblico en Geogebra ........................................................... 50

Actividad de recuperacin de experiencias ......................................... 50

Operaciones con clculo simblico ..................................................... 52

Desarrollo de operaciones con CAS .................................................... 55

Desarrollo de ecuaciones con CAS ...................................................... 57

Clculo diferencial e integral con CAS ................................................. 59

Actividad de valoracin ........................................................................ 60

Actividades de produccin ................................................................... 60

Sugerencias para la maestra y el maestro: .......................................... 60

Bibliografa ........................................................................................... 62

3De conformidad al mandato constitucional y las polticas p-blicas emergentes de la Ley N. 70 de la Educacin Avelino Siani-ElizardoPrez, se viene impulsando el proceso de Revolucin Educativa y Revolucin Tecnolgica, en el perio-do histrico ms importante de avances en lo referente a la atencin de necesidades y reivindicaciones de maestras/os y estudiantes del Sistema Educativo Plurinacional, favoreciendo al potenciamiento de las capacidades de estos actores en el proceso de concrecin del Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo-MESCP. En este marco, como esfuerzo propio del Estado Plurinacional de Bolivia, se viene realizado el proceso de entrega de computadoras porttiles a estudiantes de sexto ao del nivel de Educacin Secundaria Comunitaria Producti-va, a travs de la Empresa Publica Quipus. El uso adecuado de la computadora y los diferentes recursos TICs, representan un valioso aporte a la educacin, considerando que estas he-rramientas permitirn desarrollar con mayor nfasis el carcter cientfico y tecnolgico que propone el actual Modelo Educa-tivo, contribuyendo a la construccin del Estado Plurinacional, para el Vivir Bien.

De manera articulada a esta accin de gran impacto en el Sis-tema Educativo Plurinacional, en los nueve departamentos se encuentran en proceso los cursos de capacitacin para maes-tras y maestros en el uso de Tics en la prctica educativa bajo el MESCP. Por tanto, a travs de la Direccin General de Formacin de Maestros y en coordinacin con la Unidad Especializada de Formacin Continua UNEFCO, presentamos los cuadernos de Formacin que corresponden al Ciclo Formativo Uso de las TICs en la Prctica Educativa Bajo el Modelo Educativo Sociocomuni-tario Productivo, como documentos de trabajo del proceso de capacitacin de maestras y maestros de Educacin Secundaria

Presentacin


Comunitaria Productiva. El diseo de este proceso formativo se encuentra enmarcado en la metodologa de los Itinerarios For-mativos para maestras y maestros en servicio, con la finalidad de contribuir a la mejora de la prctica educativa, aplicando y utilizando los diferentes recursos TICs.

Estos cuadernos representan un importante material de apoyo para la formacin continua de Maestras y Maestros, que guan y acompaan en la aplicacin de los aspectos terico prcticos relacionados con los contenidos temticos en la prctica y ex-periencia educativa, por lo que sobre la base de este Documen-to de Trabajo, las y los facilitadores podrn aadir y/o adecuar contenidos y estrategias formativas de acuerdo a cada contexto. Invitamos a los facilitadoras/es, Maestras y Maestros de todo el pas, a contribuir con observaciones y sugerencias para mejorar y enriquecer posteriores ediciones ([email protected]).

Con el deseo de que esta experiencia contribuya a fortalecer las capacidades profesionales de las Maestras y Maestros para que juntos avancemos hacia la revolucin educativa e independencia tecnolgica y cientfica, como parte de los desafos histricos de nuestro Estado Plurinacional.

Roberto Aguilar Gmez

MINISTRO DE EDUCACIN

5Ciclo Curso

Uso Bsico de Tics en la Prctica Educativa Bajo el Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo

Revolucin Educativa y Revolucin Tecnolgica

Las computadoras para estudiantes y la interactividad con la Maestra y el Maestro

Los recursos tecnolgicos en reas de saberes y conocimientos de la Matemtica, Fsica y Qumica 1



Ubicacin del curso en el ciclo

El contenido de este cuaderno de Formacin Continua correspon-de al curso Los recursos tecnolgicos en reas de saberes y co-nocimientos de la Matemtica, Fsica y Qumica 2, que es parte del Ciclo Formativo Uso bsico de TICs en la prctica educativa bajo el Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo.

En el campo de las TICs existen diferentes recursos que pueden aplicarse al mbito educativo. Recursos tecnolgicos (hardware y software), programas, aplicaciones y otras herramientas que resul-tan muy tiles a la hora de desarrollar los procesos pedaggicos.

Datos generales del cuaderno


En el presente curso, se pone a consideracin diferentes herra-mientas de aplicacin para desarrollar los procesos educativos de la Matemtica.

Objetivo holstico del ciclo

Fortalecemos nuestros conocimientos y capacidades en el uso de herramientas TIC a travs de espacios comunitarios de formacin, desde el aprendizaje en el uso y aplicacin de programas y recur-sos especficos, aplicando a situaciones concretas de la prctica pedaggica, contribuyendo a su transformacin y mejora.

Objetivo holstico del curso

Comprendemos la importancia de los recursos tecnolgicos en la labor de la maestra y el maestro para las reas de saberes y cono-cimientos de la Matemtica por medio del anlisis crtico y reflexivo de las herramientas tecnolgicas y su aplicabilidad en el aula, con-tribuyendo a la transformacin y mejora de la prctica pedaggica.

7Tema 1: SOFTWARE EDUCATIVO PARA EL REA DE MATEMTICA

Math Worksheet Generator

La tecnologa, como parte de la cultura, debe estar necesariamente en la escuela.

Actividad de recuperacin de experienciasEn grupos de 5 o 6 personas, comentamos sobre las siguientes preguntas:

De dnde selecciona los ejercicios para las prcticas de los estudiantes?

Conoce los solucionarios de libros de matemtica que se en-cuentran en el mercado? Saba que al ingresar en el buscador Google solucionario de Algebra de Baldor salen ms de 51.000 enlaces? Cmo cree que los estudiantes usan estos sitios?

Math Worksheet Generator es un generador de ejercicios mate-mticos imprimible segn un modelo introducido por la maestra o maestro en la cantidad que desee y con la hoja de resultados, para su verificacin.


Instalacin de Math Worksheet generator

Una vez descargado el paquete de instalacin, hacemos doble clic en el archivo y despus de unos segundos aparecer un cuadro de dilogo como ste:

Hacemos clic en el botn Next verificando que estn seleccionadas las dos opciones que muestra el cuadro de dilogo. A continuacin aparecer un cuadro donde debemos aceptar las condiciones y trminos de la licencia, el cual deber tener este aspecto:

Revolucin educativa y tecnolgica

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En este cuadro hacemos clic en Install.

Una vez terminado el avance del indicador aparecer el cuadro de dilogo indicando que concluy todo el proceso de instalacin y que podemos empezar ya a usar el software.

Culminamos el proceso haciendo clic en el botn Finish.

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Recursos TIC en reas de saberes y conocimientos: Matemtica (Nivel 2)

Uso de Math Worksheet generator

Esta aplicacin Math Worksheet Generator permite generar ejerci-cios imprimibles iguales al modelo introducido, desde sencillos como las cuatro operaciones bsicas hasta complejos de lgebra, adems de brindar los resultados en otra pgina al final del docu-mento. Los ejercicios pueden variar desde 1 hasta 100 ejercicios y sus respuestas.

Interface Math Worksheet Generator

La barra de ttulo es estndar; cuenta con el icono del programa, el nombre del programa, los botones minimizar, maximizar restaurar y cerrar.

La barra de men cuenta slo con 4 elementos: File, que tiene slo la opcin de salir; el men Edit, con las opciones undo (deshacer), redo (rehacer), cut (cortar), copy (copiar), paste (pegar), delete (su-primir) y select all (seleccionar todo), adems del men Help, que nos brinda ayuda sobre el programa y la versin del mismo en in-gls, y el men Send Feedback, que permite enviar los ejercicios generados a un destinatario por medio de su correo electrnico.

El cuadro de tipo de ejercicio es el espacio para que podamos ano-tar un ejemplo del tipo de ejercicio que queremos que nos genere el programa.

La opcin desplegable choose one es un tipo de ejercicio que per-mite seleccionar algunos ejercicios estndares para ser generados.


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La opcin Number of Problems nos permite seleccionar la cantidad de ejercicios que queremos generar que vara desde 1 hasta 100.

El botn Create permite crear una hoja de ejercicios similares al modelo introducido en el cuadro de tipo de ejercicio.

Funciones y smbolos matemticos especiales

Cuando queremos trabajar con caracteres, smbolos y funciones matemticas debemos usar:

Smbolo Tecla

negativo - pi

positivo pi

Fraccin

Suma +

Resta -

Multiplicacin *

Divisin /

Raz cuadrada sqrt

Exponente ^

Funcin Descripcin Teclas

Valor absoluto Devuelve el valor absolu-to de un nmero, es de-cir, un nmero sin signo.

Devuelve el valor abso-luto de una lista de n-meros.

abs(x)

Coseno Devuelve el coseno de un nmero medido en el sistema sexagesimal (hoja de respuestas).

cos(x)

Factorial Devuelve el factorial de un nmero.

n!

Doble Factorial Devuelve el doble facto-rial de un nmero.

n!!

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Media Geom-trica

La funcin devuelve la media geomtrica de un conjunto de datos. La media geomtrica se calcula multiplicando todos los nmeros en el conjunto y despus de tomar la raz n-sima, donde n es el tamao del conjunto

geometricMean(x1,x2,...)

geometricMean({x1,x2,...})

Mximo comn divisor

La funcin gcf devuelve el mximo comn divisor de uno o ms nmeros.

gcf(x1,...)

Interseccin de conjuntos

La funcin de intersec-cin devuelve la inter-seccin de dos o ms conjuntos.

intersect({x1,x2,...},

{y1,y2,...}, ...)

Mnimo Comn mltiplo

La funcin lcm devuelve el mnimo comn mlti-plo de uno o ms nme-ros.

lcm(x1,...)

Funcin lgica La funcin isTrue evala una comparacin lgica y devuelve verdadero o falso. La funcin isTrue se utiliza generalmente en conjuncin con los operadores de compara-cin (=, < , > , = , = , y ? ) Y los operadores lgicos AND, OR, XOR y no

isTrue(statement)

Mximo Devuelve el valor mxi-mo de una serie de n-meros

max(x1,x2,...)

max({x1,x2,...})

Media promedio La funcin devuelve la media promedio de un conjunto de datos. La media se calcula suman-do todos los nmeros en el conjunto, y dividiendo por el tamao de la fun-cin set. MAX devuelve el mayor elemento de un conjunto de datos.

mean(x1,x2,...)

mean({x1,x2,...})


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Media La funcin media de-vuelve la media de una serie de nmeros o una lista

median(x1,x2,...)

Mnimo Devuelve el valor mnimo de una serie de nmeros

min(x1,x2,...)

min({x1,x2,...})

Modo La funcin de modo de-vuelve el modo de un conjunto de datos. El modo se introduce con frecuencia en los deba-tes sobre los valores me-dios como un comple-mento de la media y la mediana. A diferencia de esas dos estadsticas, el modo no representa una medida de tendencia central. Dependiendo de la distribucin particu-lar y las observaciones particulares, el modo se puede encontrar cerca de los extremos de una distribucin.

mode(x1,x2,...)

mode({x1,x2,...})

Logaritmo na-tural

Devuelve el logaritmo natural de un nmero

ln(x)

Permutaciones La funcin isPrime dice si un nmero es primo. Las funciones NextPrime y PREVPRIME devuel-ven, respectivamente, el primer primo mayor que un nmero dado y el pri-mer nmero menor de un nmero determinado.

isPrime(n)

isPrime({n1,n2,...})

nextPrime(n)

nextPrime({n1,n2,...})

prevPrime(n)

prevPrime({n1,n2,...})

Producto La funcin producto devuelve el producto de la multiplicacin de los valores de una se-rie de nmeros.

product(x1,x2,...)

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Producto de una secuencia

La funcin seriesProduct devuelve el producto de una secuencia matem-tica.

seriesProduct(f,n,a,b)

Potencia Permite elevar una base x a una potencia y

x^y

Residuo El operador% (llamado el operador de mdulo ) devuelve el resto que queda despus de divi-dir un nmero por otro.

x%n

{x1,x2,...}%n

{x1,x2,...}%{n1,n2,...}

Redondeo La funcin round devuel-ve el entero ms prximo al nmero dado.

round(x)

round({x1,x2,...})

Seno La funcin sin devuelve el seno de un nmero o lista.

sin(x)

sin({x1,x2,...})

Pendiente La funcin de pendiente devuelve la pendiente de una ecuacin x e y. Para las ecuaciones lineales (es decir, ecuaciones de lneas), la pendiente es una constante. Para las ecuaciones de orden superior, tambin debe especificar un punto en el que desea que est la pendiente calculada.

slope(equation,a)

Orden La funcin de clasifica-cin devuelve su entrada ordenada en orden as-cendente.

sort(x1,x2,...)

Raz Cuadrada Presenta la raz cuadra-da de un nmero.

sqrt(x)

sqrt({x1,x2,...})

Desviacin es-tndar

El STDDEV y funciones unbiasedStdDev de-vuelven la desviacin estndar de un conjunto de datos. Usted puede calcular ya sea una esti-macin sesgada (usando STDDEV) o una estima

stddev(x1,x2,...)

stddev({x1,x2,...})

unbiasedStdDev(x1,x2,...)

unbiasedStdDe-v({x1,x2,...})


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cin objetiva (mediante unbiasedStdDev) de la desviacin estndar a partir de la estimacin parcial o imparcial de la varianza. Se requieren al menos dos observa-ciones para calcular una estimacin objetiva de la desviacin estndar.

Suma Devuelve la suma de los valores de dos o ms n-meros

sum(x1,x2,...)

Sumar la serie La funcin SUMA.SE-RIES devuelve la suma de una serie matemtica.

seriesSum(f,n,a,b)

Tangente Funcin trigonomtrica de tangente de un nme-ro cuyo resultado est en el sistema sexagesimal.

tan(x)

Unin La funcin de unin de-vuelve la unin de dos o ms conjuntos.

union({x1,x2,...},{y1,y2,...}, ...)

Varianza Las funciones de varian-za y unbiasedVariance devuelven la varianza de un conjunto de datos. Us-ted puede calcular bien la estimacin sesgada de la varianza o la estimacin objetiva. Tanto el botn de la varianza en la cal-culadora y la funcin de varianza da la estimacin sesgada, las dos estima-ciones utilizan diferentes denominadores, n en el caso sesgada, n - 1 en el caso imparcial, donde n es el nmero de observa-ciones. Debido a la n - 1 utilizado en el caso im-parcial, ese caso requiere por lo menos dos obser-vaciones para calcular.

variance(x1,x2,...)

variance({x1,x2,...})

unbiasedVariance (x1,x2,...)

unbiasedVariance ({x1,x2,...})

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Prctica

Ingrese a Math Worksheet Generator

Ingrese en el cuadro de tipo de ejercicio la expresin:

25+38+45

Seleccione 15 en Nmero de problemas

Presione el botn Create

Observe los problemas y resultados generados

Prioridad de operaciones

En la matemtica el orden de las operaciones est definido por las siguientes reglas:

1. Se realizan las operaciones que estn entre los parntesis

2. Se realizan las operaciones correspondientes a potencias y races

3. Se realizan las operaciones de producto y divisin

4. Por ltimo, las operaciones de adicin y sustraccin

Tomando en cuenta este orden de precedencia, es importante ve-rificar muy bien toda la sintaxis de los problemas que deseamos generar; de esta manera evitaremos posibles errores en la genera-cin de problemas para los estudiantes con la finalidad de ilustrar. Observemos estos ejemplos:

Sintaxis Expresin algebraica

sqrt(2x+3) (2x+3)

Sqrt(2x) + 3 2x+3

3x+4/3+4x

3x+4/(3+4x)

(3x+4)/(3+4x)


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Prctica

Ingrese a Math Worksheet Generator

Introduzca la expresin: (3x+4)/(3+4x)=0

Seleccione 5 en el nmero de problemas

Presione el botn de Create

Observe los problemas y resultados generados

Actividades de valoracin

A partir de lo trabajado hasta ahora, cmo puede ayudarnos la aplicacin Math Worksheet Generator dentro el proceso educativo? Identificamos dos aspectos positivos y dos aspectos negativos:

Positivo Negativo

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TEMA 2: APLICACIN DE GEOGEBRA EN EL APRENDIZAJE Y ENSEANZA DE LA MATEMTICA

Actividades de recuperacin de experiencias

Durante el trabajo realizado como maestra/o, o en otra situacin, tuvo alguna experiencia educativa desarrollada mediante el uso de un programa para la enseanza de las matemticas? Si su respues-ta es afirmativa, registre en el siguiente cuadro:

Experiencia Plataforma

Introduccin

GeoGebra en la enseanza de la Matemtica est destinado a todas las maestras y maestros de matemtica del SEP interesados por conocer las posibilidades educativas del programa en los niveles medios de enseanza. Este programa gratuito se est convirtiendo en una herramienta revolucionaria ya que a travs del mismo se puede realizar construcciones dinmicas, fcilmente exportables a aplicaciones web, en las que podemos manipular las expresiones (geomtricas, numricas, algebraicas o tabulares) y observar la na-turaleza de las relaciones y propiedades matemticas a partir de las variaciones producidas por nuestras propias acciones.


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Geogebra - Interface

Con este punto sobre la interfaz de GeoGebra se pretende familia-rizar a la maestra y maestro con el entorno visual propio de Geo-Gebra. Esta aplicacin gratuita destaca, entre otras cosas, por su entorno intuitivo y la extrema facilidad de aprendizaje de uso. Sin embargo, siempre es interesante conocer algunas acciones o posi-bilidades alternativas de interaccin que pueden ahorrarnos tiempo y molestias. Por ello, recomendamos su lectura (o al menos un vis-tazo) incluso a aquellos usuarios que ya posean alguna experiencia en el manejo de GeoGebra.

GeoGebra permite trabajar con objetos de aritmtica, geometra, clculo, anlisis, lgebra, lgica, matemtica discreta, probabili-dad y estadstica. Se trata de un programa premiado en numerosas ocasiones. Podemos construir de modo muy simple puntos, seg-mentos, polgonos, rectas, vectores, cnicas, lugares geomtricos, grficas de funciones, curvas paramtricas e implcitas, distribucio-nes de probabilidad y diagramas estadsticos. Todo ello dinmica-mente, de forma que cualquier objeto pueda sufrir modificaciones con un simple movimiento del ratn.

Adems del abanico de herramientas disponibles, que facilita la introduccin de nuevos objetos, GeoGebra tambin admite la en-trada de expresiones directas como:

5y -3x = 4

(x + 3)2 + (y - 2)2 = 16

y ofrece una amplia variedad de comandos.

Vayamos conociendo y familiarizndonos con el entorno de Geogebra.

Zonas de la ventana de GeoGebra

La pantalla de GeoGebra se divide en varias zonas:

En la parte superior se encuentran los Mens y las Herramientas (barra de botones).

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En la parte central, la Vista Algebraica a la izquierda, la gran Vista Grfica central y la Hoja de Clculo a la derecha.

[Nota] Al inicio, la Hoja de Clculo est oculta. Para mostrarla, ele-gir Men Vista Hoja de Clculo. Podemos elegir cualquier idioma para el interfaz en el Men Opciones Idioma. Entre ellos, el cataln, el euskera y el gallego.

Los botones Deshace y Rehace, en la parte derecha de la barra de Herramientas, son muy tiles para devolver la construccin a un estado anterior.

En la parte inferior se sita la Ba-rra de Entrada. En ella podemos introducir diversos tipos de ex-presiones (comandos, operacio-nes de ingreso directo, textos...). Est compuesta, de izquierda a derecha, por el Campo de Entra-da, el cuadro Smbolos y la Ayu-da de Entrada.


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El cuadro Smbolos incluye operadores, constantes y letras grie-gas. Se despliega al hacer clic en el icono alfa que aparece al co-locar el cursor en el Campo de Entrada.

La parte central, con sus tres vistas principales (Algebraica, Gr-fica y Hoja de Clculo), permite la visualizacin de tres diferentes representaciones de un objeto (representacin grfica, algebraica y tabular). Estas tres representaciones responden al unsono y di-nmicamente a cualquier cambio de valor en el objeto, sin importar cmo haya sido creado.

Mens

Los mens ocupan la parte superior de la ventana de GeoGebra. Se despliegan al hacer clic sobre ellos.

Herramientas

Las herramientas aparecen distribuidas en una barra situada en el margen superior (aunque se pueden colocar en el margen inferior eligiendo esta opcin en el Men Vista). Se accede a ellas me-diante los botones. Cada botn se activa haciendo clic sobre l, e incluye una flechita en su esquina inferior derecha que, al hacer clic en ella, despliega todos los botones disponibles de la misma categora.

Vista Grfica

La Vista Grfica ocupa la parte central. En ella aparecen los objetos grficos. Por defecto, ocupa la mayor parte de la pantalla.

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Vista Algebraica

La Vista Algebraica ocupa, por defecto, la parte central izquierda. Se puede ocultar o mostrar desde el Men Vista. Por defecto, se encuentra visible. En ella aparecen los valores de los objetos.

Barra de Entrada

La Barra de Entrada ocupa, por defecto, la parte inferior. Se puede ocultar o mostrar desde el Men Vista. Permite introducir directa-mente expresiones (nmeros, operaciones, coordenadas, ecuacio-nes, textos...) y comandos, as como redefinir los objetos ya exis-tentes.

Basta hacer un clic sobre el Campo de Entrada (o pulsar en cualquier momento la tecla Intro) para posicionar el cursor en l y comenzar a teclear. Para aplicar el texto introducido se pulsa la tecla Intro.

Podemos usar todos los operadores que deseemos, incluyendo parntesis, operaciones aritmticas, funciones...


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Una vez introducida la primera expresin en el Campo de Entrada, aparecern las flechas de la lista de entrada, que permiten recupe-rar el historial de entradas. Esto es til para detectar errores y para aprovecharlas en una reedicin (tambin se pueden emplear las teclas de flecha ).

Prctica 1 Men Archivo Nuevo (slo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior). [Si aparece el mensaje que invita a guardar la construccin, elegir No guardar].

Clic sobre el Campo de Entrada (parte blanca, vaca). Aparecer el parpadeante cursor de introduccin de expresiones y se har visible el cuadro Smbolos.

Escribir (1,1). Pulsar Intro (Enter) y observar el resultado.

Escribir 2A. Pulsar Intro y observar el resultado.

Mover A y observar el resultado.

Escribir se. Aparecer una lista de eleccin.

Mover el deslizador vertical de la derecha hasta que aparezca:

Segmento[, ]

Hacer clic sobre l. La sintaxis del comando se trasladar al Campo de Entrada, con el primer argumento seleccionado.

Escribir A y pulsar Tab. El primer argumento qued establecido como A, y al pulsar Tab se selecciona el siguiente argumento.

Escribir B. En el Campo de Entrada debe figurar Segmento[A,B].

Pulsar Intro.

Men contextual de objeto

Al hacer clic derecho sobre un obje-to se muestra un Men contextual en el que se pueden elegir algunas de las opciones ms frecuentes. Todas ellas se encuentran incluidas en el cuadro de dilogo de Propiedades, salvo la opcin Copia en Campo de Entrada.

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Las primeras opciones son especficas del tipo de objeto, se re-fieren a su forma algebraica y slo se muestran cuando la Vista Algebraica permanece visible. El resto de las opciones son ms generales, aunque no todas aparecen para todos los objetos.

Seleccionando Propiedades de Objeto se abre un cuadro de di-logo donde podemos cambiar las propiedades del objeto (subttu-lo, color, tamao, grosor, estilo, sombreado, opacidad, visibilidad, capa, etc.).

Prctica 2 Men Archivo Nuevo (slo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

Aadir una Recta, una Circunferencia y una Parbola.

Cambiar la forma de expresar sus ecuaciones.

Cambiar la forma de expresar las coordenadas de alguno de los puntos.

Men contextual de vista grfica

Al hacer un clic derecho sobre cualquier parte vaca de la vista gr-fica, se abre el Men contextual de vista grfica.

[Nota] Ningn objeto debe estar seleccionado en el momento de hacer el clic derecho. Para retirar la seleccin de cualquier objeto, basta hacer clic sobre la vista grfica.


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Seleccionar

Uso del ratn: ve a la herramienta Elige y mueve.

El ratn tiene un papel decisivo en GeoGebra. Muchas de las ac-ciones las realizaremos con su ayuda. Todas las acciones que va-mos a describir suponen que tenemos elegida la herramienta fun-damental: Elige y mueve.

[Nota] Para volver a esa herramienta, desde cualquier otra, basta pulsar sobre el botn Elige y mueve o la tecla Esc.

Seleccin de un objeto

Cuando nos aproximamos suficientemente al objeto, ste se re-salta. En ese momento, basta un clic (con la herramienta Elige y mueve) para seleccionarlo.

Algunas veces resulta ms cmodo seleccionar los objetos en la Vista Algebraica, particularmente cuando los objetos geomtricos estn muy prximos entre s, son muy pequeos o se encuentran superpuestos.

[Nota] Un doble clic nos permite una redefinicin directa del obje-to. Las teclas F3, F4 y F5 copian, respectivamente, la definicin, el valor y el nombre del objeto en el Campo de Entrada.

[Nota] En las vistas grficas slo se pueden seleccionar aquellos objetos que no sean fijos y sean seleccionables (podemos impedir que un objeto sea seleccionable en la vista grfica).

Atencin! Antes de hacer clic, debemos asegurarnos de que real-mente hemos enfocado (sealado) el punto o el objeto deseado,

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prestando atencin a la forma del puntero. Cuando no enfocamos ningn objeto (aunque creamos que s porque se encuentra muy prximo) el puntero tiene forma de cruz.

En cambio, cuando hemos conseguido enfocar el objeto, el puntero toma la forma de flecha y el objeto sealado aparece ligeramente resaltado:

Naturalmente, el botn izquierdo del ratn tambin nos permite se-leccionar las herramientas y opciones de mens, sealar un punto de la vista grfica o introducirnos en el Campo de Entrada.

Seleccin de varios objetos y marco de seleccin

Si cuando elegimos los objetos mantenemos pulsada la tecla Ctrl, podremos elegir varios a la vez.

[Nota] En la Vista Algebraica, tambin mantener pulsada la tecla Mays para seleccionar un bloque de objetos.

Tambin se pueden seleccionar varios objetos en la vista grfica simplemente enmarcndolos. Para ello basta un clic (con la he-rramienta Elige y mueve en la posicin que ocupar una esquina


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del rectngulo que enmarcar a los objetos, y manteniendo el botn del ratn pulsado, arrastrarlo; todos los objetos que se encuentren comple-tamente en el interior del rectngu-lo enmarcado (marco de seleccin) quedarn seleccionados.

PropiedadesPodemos acceder al cuadro de dilogo Propiedades de objeto de varias maneras:

- Haciendo clic derecho sobre el objeto.

- Haciendo doble clic sobre el objeto en una vista grfica.

- Haciendo doble clic sobre el objeto en la Vista Algebraica, siem-pre que no sea un objeto libre (en cuyo caso esta accin abrira la edicin inmediata).

- Seleccionando el objeto y pulsando posteriormente el tem del Men Edita Propiedades.

Atencin! Los objetos fijos deben liberarse primero para poder ser modificados.

Cambio colectivo de propiedadesDentro del cuadro de dilogo, a la izquierda, se muestra un listado con todos los objetos agrupados por tipo.

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En ese listado podemos usar el ratn para seleccionar varios obje-tos dispersos con ayuda de la tecla Ctrl o todo un grupo continuo de objetos con la tecla Mays. Tambin podemos hacer clic sobre el nombre del tipo de objeto (por ejemplo, Poligonal) para que to-dos los objetos de ese tipo queden elegidos para su modificacin. Este procedimiento ahorra mucho tiempo cuando queremos dotar de la misma propiedad o estilo a varios objetos a la vez.

El icono a la izquierda de cada objeto informa sobre su actual es-tado de visibilidad (expuesto, oculto). Basta hacer clic sobre este icono para cambiar este estado.


Introducir varios puntos, ocho como mnimo.

Clic derecho sobre uno de ellos y acceder al cuadro de dilogo Propiedades.

Con ayuda de las teclas Ctrl o Mays, o haciendo clic sobre el nombre del tipo de objeto, probar a seleccionar varios a la vez en la lista de la izquierda.

Modificar alguna propiedad de los puntos seleccionados. En par-ticular, convertir en fijo algn punto y comprobar que no se puede ni modificar ni eliminar mientras mantenga esa propiedad.

Uso del ratn: la herramienta Elige y mueve

El ratn tiene un papel decisivo en GeoGebra. Muchas de las ac-ciones las realizaremos con su ayuda. Todas las acciones que va-mos a describir suponen que tenemos elegida la herramienta fun-damental: Elige y mueve.

[Nota] Para volver a esa herramienta, desde cualquier otra, basta pulsar sobre Elige y mueve o la tecla Esc.

Arrastrar uno o varios objetos

Una vez seleccionados uno o ms objetos, hacemos clic sobre uno de ellos y, sin dejar de pulsar el botn izquierdo del ratn, lo


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arrastramos (junto al resto, si hay ms de un objeto seleccionado). Al arrastrar, el icono del puntero pasa a ser una mano. La siguien-te imagen muestra un arrastre de los puntos A y B. Obsrvese que ambos estn resaltados (seleccio-nados), no as el C.

Si habamos seleccionado varios objetos, hay que soltar la tecla Ctrl para proceder a su arrastre. En caso contrario, desplazaramos toda la Vista Grfica.

[Nota] Los objetos fijos deben liberarse primero para poder ser arrastrados.

[Nota] Podemos arrastrar un deslizador (como veremos en la sec-cin Animar) incluso con la herramienta [Elige y mueve] desactiva-da. Basta arrastrarlo con clic derecho.

Prctica 4Men Archivo Nuevo (slo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

Introducir varios puntos, ocho como mnimo.

Probar a seleccionar varios a la vez, tanto en la Vista Algebraica como en la Vista Grfica.

Probar a arrastrar varios a la vez.

Probar a desplazar la Vista Grfica haciendo uso de la tecla Ctrl.

Objetos fijos

Podemos hacer que un objeto se mantenga fijo activando esa pro-piedad en el cuadro de dilogo Propiedades.

[Nota] Podemos arrastrar un deslizador incluso una vez fijado. Basta arrastrarlo con clic derecho.

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Desplazar la vista grfica

Si mantenemos pulsada la tecla Ctrl y mientras hacemos clic y arrastramos el ratn sobre la Vista Grfica, toda ella se desplazar. El puntero cambia, mostrando una imagen de cuatro flechas. Esta accin es equivalente a usar la herramienta Desplaza Vista.

Si despus de desplazar la Vista Grfica queremos volver a la posi-cin inicial, basta abrir el Men contextual de la vista grfica (clic de-recho sobre una parte vaca de ella) y elegir la opcin Vista Estndar.

Eliminar

Pulsando la tecla Supr (o eligiendo Borra en el Men contextual del objeto, o usando la herramienta Elimina, o el tem del Men Edita Borra) podemos eliminar el objeto u objetos previamente seleccio-nados (por ejemplo, mediante un marco de seleccin).

[Atencin!] Junto con el objeto, se eliminarn todos los objetos dependientes de l, salvo los objetos fijos y los que tengan objetos fijos dependientes de ellos. Los objetos fijos deben liberarse prime-ro para poder ser eliminados.


Elegir el Punto (clic sobre ese botn) y colocar varios puntos en la Vista Grfica.

Desplegar los botones relacionados con ese botn, elegir Cen-tro y aadir algunos puntos medios (marcando un par de puntos para cada nuevo punto medio).

[Atencin!] Debemos asegurarnos de seleccionar correctamente los puntos, esperando a que el puntero cruciforme se transforme en flecha antes de hacer cada clic.

Volver a la herramienta fundamental: Elige y mueve.

Observar en la Vista Algebraica que los primeros puntos son ob-jetos libres, mientras que los puntos medios son dependientes.


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Explorar las posibilidades de modificacin de la apariencia de los puntos haciendo clic derecho sobre ellos.

Clic derecho con la herramienta Elige y mueve sobre una parte vaca de la Vista Grfica y explorar las posibilidades que ofrece el Men contextual de vista grfica.

Eliminar todos los objetos creados.

Zoom

Si hacemos clic derecho sobre un punto vaco de la Vista Grfica, y sin dejar de pulsar el botn derecho del ratn, lo desplazamos (arrastrar y soltar), y se ampliar (zoom de acercamiento) la regin rectangular que quede enmarcada.

La rueda del ratn permite hacer un zoom de la Vista Grfica, de ampliacin o reduccin segn el sentido de giro. El centro de la homotecia (el nico punto de la vista que permanecer fijo) ser la posicin del puntero del ratn en la Vista Grfica. Por lo tanto, si deseamos aproximarnos a un punto particular lo mejor es sealarlo con el puntero y luego usar la rueda del ratn.

Prctica 6Men Archivo Nuevo (slo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

Aadir un nuevo punto situndolo sobre el eje de las abscisas (herramienta Punto, clic sobre el eje X). Asegurarse de que el punto slo se puede mover en ese eje.

Probar a realizar algunos acercamientos y alejamientos mediante los procedimientos anteriormente indicados.

Abrir el Men contextual de vista grfica (clic derecho sobre una parte vaca de ella) y elegir la opcin Vista Estndar.

Renombrar

En el cuadro de dilogo Propiedades, pestaa Bsico, podemos cambiar el nombre del objeto. Tambin se puede hacer clic derecho para elegir el tem del Men contextual Renombra.

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Si el nuevo nombre ya exista para otro objeto, ste cambiar tam-bin de nombre (normalmente, se le aade automticamente un subndice).

[Nota] Otro procedimiento, ms directo, para renombrar cualquier objeto consiste simplemente en seleccionarlo (clic) y comenzar a escribir el nuevo nombre.

Si acabamos de crear un objeto y queremos asignarle un nombre concreto, ni siquiera es preciso seleccionar el objeto, pues justo cuando se crea un objeto ste ya queda seleccionado, as que bas-ta comenzar a escribir el nuevo nombre.

En el caso de haber seleccionado ms de un objeto, se asume que el objeto a renombrar es el ltimo creado.

Cada objeto tiene su propio y exclusivo nombre, que puede ser el rtulo que lo identifique en las vistas grficas y en la Vista Algebrai-ca.

Redefinir objeto

Podemos redefinir un objeto haciendo doble clic sobre l. El cuadro de dilogo que se abre, Redefine, tambin permite abrir el cuadro de dilogo Propiedades:

[La tecla F3 es muy til para revisar la definicin de un objeto]


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Otra alternativa es seleccionarlo y pulsar F3 (alternativamente, ha-cer Alt y clic en el objeto).

Al pulsar F3 despus de elegir un objeto (o Alt clic sobre l), se traslada su definicin al Campo de Entrada. Este procedimiento es particularmente til cuando:

La definicin del objeto es una expresin larga.

Queremos hacer uso de la lista desplegable de comandos.

Queremos copiar la definicin de un objeto en otro, sea de nueva creacin o ya creado.

La redefinicin es particularmente til, pues nos permite liberar o relacionar los objetos ya definidos sin necesidad de reiniciar toda la construccin. El resto de los objetos se acomodarn automtica-mente a la nueva definicin. Todo ello es sumamente verstil para una modificacin retrospectiva de lo construido. Conviene tener en cuenta que tambin es posible cambiar el orden de las etapas de construccin dentro del Protocolo de la Construccin.

Por ejemplo, al final de la Prctica 1 podemos escribir en el Cam-po de Entrada B = 3A y todo se reajustar a la nueva definicin de B.

Ahora bien, esto supone que debemos ser especialmente cuida-dosos a la hora de escribir el nombre de un nuevo objeto al crearlo desde el Campo de Entrada, pues si ese objeto ya exista GeoGe-bra no crear uno nuevo sino que redefinir el que ya existe.

Por ejemplo, para redefinir una recta que pasa por los puntos A y B como un segmento que los tiene como extremos, se hace doble clic sobre la recta y se ingresa Segmento[A, B] en el cuadro de dilogo Redefine.

[Atencin!] Los objetos fijos deben liberarse primero para poder ser redefinidos.

[Nota] Ms informacin sobre redefinir objetos.

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AnimacinAnimacin manual desde el teclado

Podemos animar manualmente cualquier punto mediante las teclas de flecha. El punto debe ser previamente seleccionado, ya sea en una vista grfica o en la Vista Algebraica.

Adems, los puntos sobre recorridos, es decir, los puntos que per-tenecen a otro objeto geomtrico y conservan movilidad en l, pue-den animarse mediante las teclas + y -.

Las mismas teclas sirven para variar el valor de un deslizador desde el teclado. Manteniendo pulsadas determinadas teclas, se puede al-terar la velocidad de desplazamiento multiplicndola por un factor:

Tecla Mays: factor 1/10

Tecla Ctrl: factor 10

Tecla Alt: factor 100

[Nota] Todas estas teclas de animacin tambin sirven para cam-biar los valores de los nmeros en la Vista Algebraica.

Animacin automtica de un deslizador

En el cuadro de dilogo Propieda-des, pestaa Bsico, podemos de-cidir si un deslizador (en la prctica 8, algo ms abajo, veremos qu es y cmo se crea) se anima automtica-mente o no. Tambin se puede hacer clic derecho sobre el deslizador para elegir el tem del Men contextual Animacin automtica.

Cuando la animacin automtica se encuentra activada, aparece un bo-tn en la esquina inferior izquierda de la Vista Grfica. Este botn per-mite parar y reiniciar el avance.


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Prctica 7 Men Archivo Nuevo (solo si es necesario; se pretende vaciar cualquier contenido anterior).

Elegir Deslizador y hacer clic sobre la Vista Grfica. Elegir las opciones de ngulo e Incrementando. Elegir el nombre . Pulsar el botn Aplica.

En el Campo de Entrada escribir (3; ). Para escribir hacer clic en ese smbolo, desplegando el cuadro Smbolos.

Pulsar Intro.

Clic derecho sobre el deslizador (en la Vista Grfica o en la Vista Algebraica), para abrir su men contextual y activar el tem Ani-macin Automtica.

Usar el botn Pausa-Reproduce

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El signo ; de la expresin (r; ) se refiere a coordenadas polares. Si en vez (3; ) hubiramos ingresado (3, ) habramos obtenido un segmento vertical.

La expresin (r; ) en polares equivale a la expresin r(cos( ), sin()) en cartesianas. En esta ltima expresin, observemos el espa-

cio que hay entre r y el parntesis: es el signo de la multiplicacin (tambin se puede usar el asterisco *).

Animacin automtica de un punto en un recorrido

Ya sea desde el Men contextual del objeto o desde el cuadro de dilogo Propiedades, pestaa Bsico, podemos animar autom-ticamente un punto sobre un recorrido (una circunferencia, por ejemplo).

CapasGracias a las capas podemos alterar el orden en el cual se mues-tran los objetos, de forma que objetos que hemos creado con ante-rioridad pueden pasar a primer plano, situndose por encima (ocul-tndolos total o parcialmente) de objetos creados posteriormente. capas.ggb


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Adems, las capas nos permiten determinar los objetos que se se-leccionarn o arrastrarn al hacer clic sobre varios de ellos.

Disponemos de 10 capas numeradas del 0 al 9. Las de ndice ma-yor se superponen a las de valor ms bajo.

Todos los objetos se sitan por defecto en la capa ms alta que se haya asignado a algn objeto. Inicialmente esta capa es la de ndi-ce 0, es decir, la situada ms al fondo de la Vista Grfica.

La capa asignada a un objeto cualquiera puede modificarse desde la pestaa Avanzado del cuadro de dilogo Propiedades.

Una vez modificado el ndice de capa para un objeto (con un valor diferente de 0 que es el del fondo), todos los nuevos objetos que-darn en la capa de valor ms alto (por ejemplo, capa 3), ocupada por algn objeto.

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Despus de seleccionar cualquier objeto o conjunto de objetos, podemos elegir todos los dems en la misma capa con el tem Men Edita Selecciona la capa activa. En el caso de haber selec-cionado varios objetos, este tem solo est disponible si todos los objetos seleccionados son de la misma capa.

Construcciones ultraligeras

GeoGebra ofrece un entorno intuitivo y amable. Cada herramienta expone un texto de ayuda de forma permanente en pantalla. Al escribir cada comando, pulsando F1, tambin podemos obtener ayuda en lnea sobre su uso.

Algunas caractersticas de GeoGebra son particularmente vers-tiles. La facilidad para desplazar los objetos, crear un deslizador (es decir, un parmetro), mostrar u ocultar objetos, o dotarlos de un determinado color segn la condicin deseada, ayuda a crear en poco tiempo entornos de aprendizaje ricos en contenidos ma-temticos.

En este curso veremos algunos ejemplos de construcciones que se pueden realizar en muy poco tiempo, a la vez que muestran usos y mtodos generales de GeoGebra.

Preparacin del escenario

En la mayora de las actividades deberemos decidir algunas ca-ractersticas generales del entorno. Concretamente, existen tres aspectos que debemos indicar:

Se muestran los Ejes?

Se muestra la Cuadrcula?

Qu tipo de atraccin tendrn los puntos de la Cuadrcula?


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Para mostrar o no los Ejes y la Cuadrcula podemos elegir la opcin en el Men Vista, pero habitualmente lo ms rpido y sencillo es usar la Barra de Estilo de esta vista.

Tambin conviene recordar que si estamos diseando una activi-dad que contenga rtulos (etiquetas, texto) para proyectarla sobre una pantalla ser recomendable aumentar el tamao de la letra a 20 o 24 puntos, as como engrosar un poco las lneas ms finas.

Protocolo y Barra de Navegacin

Para el anlisis de las construcciones ya realizadas, las utilidades de Protocolo de la Construccin y Barra de Navegacin, ambas accesibles a travs del Men Vista, pueden ser de gran ayuda.

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Nombres de los objetos

Cualquier objeto ingresado puede nominarse en el momento de hacerlo. Para ello, basta escribir como prefijo de la expresin una letra o un nombre seguido del smbolo igual = o dos puntos :. Si de-seamos dar un nombre a una ecuacin o funcin en el momento de ingresarla, es preferible usar los dos puntos en vez del igual (de otra forma, precisaramos usar parntesis para evitar ambigedades).

El primer carcter del nombre ha de ser siempre una letra, mins-cula o mayscula.

Por defecto, los puntos se nominan con letras maysculas, mien-tras que los vectores lo hacen con minsculas. As, A=(1,1) crea un punto, mientras que a=(1,1) crea un vector.

Cada una de las siguientes expresiones se pueden copiar y pegar (Ctrl C y Ctrl V) directamente en el Campo de Entrada, con lo que podemos observar el efecto que producen:

P = Interseca[y=4-x, EjeX]

r: x=y

M = ((0,3) + (4,7)) / 2

long1 = sqrt((3,4) (3,4))

c: (x-1)^2 + (y 2)^2 = 4

q(x) = x^2 o bien g: x^2

s: y = x + 3

C4 = Vector[(1,1), (2,3)] (C4 es tambin una celda de la Hoja de Clculo)

Pueden usarse subndices con los nombres de los objetos: A1 y sAB se anotan como A_1 y s_{AB}.

Si no asignamos explcitamente el nombre, ste se nomina auto-mticamente, generalmente siguiendo el orden alfabtico o num-rico (subndices).


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No se pueden usar espacios ni operadores en los nombres, solo letras (incluidas las letras griegas) y cifras (adems del guin bajo y las llaves).

Los siguientes nombres estn reservados: x, y, z, EjeX, EjeY, EjeZ y los nombres de todas las funciones predefinidas: abs(x), cos(x), ex-p(x), floor(x), ln(x), random(), round(x), sgn(x), sin(x), sqrt(x), tan(x), etc.

Los objetos cuyos nombres (como B5, AC4, Z81, AZ25, ...) coin-cidan con celdas de la Hoja de Clculo ocuparn dichas celdas automticamente.

Usar GeoGebra como geoplano

En este ejemplo, se propondr el clculo del permetro de un polgono.

Herramientas y comandos

Se necesita mostrar la Cuadrcula y obligar a los puntos a perma-necer en ella. Podemos elegir entre dos tipos de Cuadrcula: la or-togonal y la isomtrica. Finalmente, solo necesitamos puntos que hagan de pivotes y segmentos en vez de gomas elsticas.

Elige y mueve Punto

Segmento Polgono

Construccin paso a paso

Herramienta Punto. Colocar cuatro puntos sobre interseccio-nes de la Cuadrcula.

Herramienta Segmento. Unir los cuatro puntos con segmen-tos haciendo clic con esta herramienta sobre cada par de puntos.

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Alternativamente, se podra haber usado la herramienta Pol-gono para realizar este paso y el anterior a la vez, especialmente si deseamos sombrear la regin cerrada con algn color.

Herramienta Elige y mueve (o pulsar la tecla Esc). Probar a mover los vrtices con ayuda de esta herramienta, hasta colocarlos en la posicin deseada.

Ejemplo de construccin

Funciones

El estudio de las familias de funciones es especialmente sencillo con GeoGebra. Basta crear los deslizadores correspondientes a los coeficientes o parmetros que deseamos variar para observar su efecto en la funcin.

GeoGebra tambin permite toda clase de operaciones con funcio-nes, incluidas la composicin, derivacin e integracin.

En este ejemplo prepararemos una construccin que facilite la ob-servacin del papel que juega cada coeficiente de una cuadrtica.


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Herramientas y comandos

Veremos la diferencia entre introducir un lugar geomtrico e intro-ducir una funcin. Tambin usaremos las herramientas:

Elige y mueve ABC Texto


Crearemos la familia de funciones lineales.

Entrada: 1 (se crear el nmero a).

Entrada: 1 (se crear el nmero b).

Entrada: 1 (se crear el nmero c).

En el cuadro de dilogo Propiedades (clic derecho sobre c, por ejemplo, o elegir Men Edita Propiedades), seleccionamos el tipo Nmero, que es equivalente a seleccionar todos los nmeros, y activamos Muestra Objeto en la pestaa Bsico.

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Este procedimiento es igual de rpido que el uso de la herramienta Deslizador, pero ofrece la ventaja de disponer los deslizadores per-fectamente alineados. Posteriormente, si as lo deseamos, podra-mos arrastrarlos en bloque seleccionndolos a la vez con ayuda de la tecla Ctrl o enmarcndolos con la herramienta fundamental Elige y mueve.

En el mismo cuadro de dilogo, establecemos Muestra Rtulo en Nombre y Valor.

El apartado Manual Cuadros de dilogo Propiedades explica con detalle el uso de este cuadro de dilogo.

Entrada: a x + b x + c (se crear la funcin f).

En la expresin anterior, no hay que omitir el espacio entre a y x, y entre b y x, pues tal espacio es el operador de multiplicacin. Ver uso de los espacios.

Si hubiramos introducido la expresin y = a x + b x + c (como una ecuacin en x e y), GeoGebra considerara a la cuadrtica como objeto parbola (o cnica) en vez de como objeto funcin. La diferencia entre ambas consideraciones se revela en las distintas acciones que podemos efectuar a travs de los comandos (la lista no es exhaustiva):

Comandos de parbolay = a x + b x + c

Comandos de funcin cuadrticaf(x) = a x + b x + c

Vrtices Extremo

Tangente Tangente

Foco Raz

Directriz Factoriza

Parmetro Polinomio Taylor

Ejes Punto inflexin

Eje principal Simplifica

Eje secundario Desarrolla

ngulo Longitud

Dimetro conjugado Curvatura


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Polar Vector curvatura

Crculo osculador

Derivada

Lista deIteracin

Suma trapezoidal

Integral

Herramienta Elige y mueve. Arrastramos la funcin f desde la Vista Algebraica hasta la vista grfica. Al hacerlo, se crear un texto en la vista grfica.

Este procedimiento equivale a elegir la herramienta Texto, hacer clic en un lugar vaco de la vista grfica y editar el texto mixto f(x) = f.

Tambin podramos haber optado por mostrar simplemente el r-tulo de f, eligiendo la opcin Nombre y valor. Hay dos inconve-nientes si usamos este mtodo: no tendremos acceso a estilos de letra y no podremos posicionar con precisin el texto. Adems, la posicin del texto se mover con la grfica, lo que a veces ser deseable y a veces no.

Herramienta Elige y mueve. Variamos los parmetros a, b y c ob-servando en cada caso cmo afectan sus cambios a la grfica de la funcin, particularmente el signo de cada uno.


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Derivada

El aprendizaje del estudio local de una funcin requiere la observa-cin de las variaciones que se producen en cada punto de la gr-fica de la funcin. Al poder colocar un punto mvil sobre cualquier grfica obtenemos una rpida visualizacin de lo que sucede para distintos puntos.

En este ejemplo prepararemos una construccin que facilite la ob-servacin de la relacin entre la pendiente de la recta tangente a la grfica de una funcin en un punto y el valor de la funcin derivada en ese punto.


Trazamos la grfica de la funcin y la recta tangente en un punto de ella.

Prctica Etapa 1

Entrada: x - 3x + 2 (se crear la funcin f).

Herramienta Punto. Colocamos un punto (A) sobre la grfica de la funcin.

Herramienta Tangentes. Trazamos la recta tangente a la grfica de la funcin por el punto A.

Herramienta Pendiente. Visualizamos la pendiente (m) de esa recta tangente.

Entrada: (x(A), m) (se crear el punto B).

Activamos el rastro de B y movemos A. Recordemos que Ctrl+F elimina el rastro.

Para remarcar todava ms la relacin entre A y B, trazamos seg-mentos de gua y mostramos el rtulo con el valor de B.


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Prctica Etapa 2

Entrada:

Segmento [A, B]

Segmento [B, (0,y(B))]


Se contempla dos formas generales de usar GeoGebra:

Herramienta del estudiante: para realizar construcciones desde cero, ya sean dirigidas o abiertas, de resolucin o de investigacin.

Herramienta del profesor: para realizar materiales educativos es-tticos (imgenes, protocolos de construccin) o dinmicos (de-mostraciones dinmicas locales, applets en pginas web).

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Vamos a fijar ahora nuestra atencin en la realizacin de materiales educativos estticos por parte del profesor.

En este acpite veremos cmo crear las siguientes imgenes en poco tiempo. Esto nos permitir, por ejemplo, insertarlas posterior-mente en un documento de texto o en una presentacin.

Ejemplo de aplicacin


En esta actividad veremos un ejemplo de cmo crear una lista de-pendiente de dos variables usando el comando Secuencia.Herramientas y comandos a utilizar:

Antes de empezar debemos preparar nuestra rea de trabajo acti-vando la cuadrcula y los ejes.

Dibujaremos un hexgono regular sobre la cuadrcula isomtrica.

Con ayuda de Polgono, construir un hexgono regular ABCDEF (polgono1), con dos vrtices opuestos en A(0,0) y D(0,2).

Ahora crearemos dos vectores independientes.Usando Vector, definir el vector (u) de A a D y el vector (v) de F a C.


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Vamos a definir un deslizador que ms adelante nos servir para establecer las cotas de los parmetros.

Con ayuda de Deslizador, definir un parmetro n entre 0 y 8 con incremento de paso 1.

Escoger Elegir, mover y arrastrar el segmento del desli-zador hasta la posicin que se desee. Fijar su posicin, en el cuadro de dilogo Propiedades, para evitar su desplazamiento accidental.

Ya estamos en condiciones para crear una serie de combinaciones lineales (s u + t v) de los vectores independientes u y v que nos permitan trasladar la figura hexagonal por el plano.

Entrada:

Secuencia[Secuencia[Traslada[polgono1, s u + t v], s, -n, n], t, -n, n]

Para terminar, mejoraremos el estilo.

Establecer el estilo (color, grosor, sombreado...) que se considere ms oportuno para los objetos creados, a travs del cuadro de di-logo Propiedades.

[Nota] Se debe tener en cuenta que la lista creada se comporta como un solo objeto a efectos de establecer su estilo.

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Clculo simblico en Geogebra Actividad de recuperacin de experiencias

En grupos de 4 personas, dialogamos y respondemos:

Cmo integramos el desarrollo de ejercicios matemticos al de-sarrollo de capacidades productivas con sentido Sociocomunita-rio, en las y los estudiantes?

Clculo simblico en Geogebra

El Clculo Simblico (CAS) en Geogebra es una herramienta que nos permite desarrollar las siguientes operaciones:

Factorizacin de nmeros y polinomios.

Operaciones con fracciones algebraicas.

Resolucin de ecuaciones.

Resolucin de sistemas de ecuaciones.

Discusin de sistemas.


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Clculo diferencial.

Clculo integral.

Clculo de lmites.

Sumas y productos de series.

Vectores y matrices.

Simplificacin de expresiones trigonomtricas.

Resolucin de ecuaciones diferenciales.

Para habilitar esta herra-mienta, seleccionamos la opcin Vista de la barra de mens, y selecciona-mos la opcin Clculo Simblico (CAS).

Al activar esta herramien-ta, en la ventana principal de trabajo se mostrar una ventana adicional en donde se podr desarro-llar diferentes operacio-nes. Asimismo, se mues-tra un panel adicional de herramientas especficas para realizar diferentes ta-reas de resolucin.

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Operaciones con clculo simblico

El Clculo Simblico (CAS) de Geogebra es bastante parecido a una calculadora cientfica, ya que permite desarrollar diferentes ti-pos de operaciones, desde aritmticas, algebraicas hasta funcio-nes, adems de permitir interactuar con las vistas Grfica y Alge-braica de la ventana principal de trabajo.

Para desarrollar cualquier tipo de operaciones, la ventana de CAS se encuentra estructurada por filas. De forma independiente, en cada una ingresamos la operacin requerida, y al pulsar enter, esta herramienta calcula el resultado de la misma.

Debajo de cada nmero que identifica la fila del resultado se en-cuentra la opcin de habilitar o no la vista grfica de la operacin desarrollada. Al activar esta opcin, el resultado de la operacin desarrollada se mostrar en la vista grfica del panel de trabajo.

Como en el resto de los comandos de Geogebra, el desarrollo de operaciones implica el uso de operadores y comandos. A continua-cin conocemos algunos operadores y atajos para caracterizar y desarrollar diferentes operaciones.


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OPERADOR NOMBRE ATAJOS NOMBRE

+ - Suma, Resta = Repite la entra-da previa (Vlida nicamente en filas vacas)

* / Multiplicacin, divisin

) Repite la entra-da previa ence-rrada entre pa-rntesis (Vlida nicamente en filas vacas)

^ Potencia espacio Repite la salida previa (Vlida nicamente en filas vacas)

Factoriza() Factoriza un n-mero o expre-sin.

Alt i Unidad imagi-naria

MCD [] Mximo comn divisor

Alt p pi Nmero Pi

MCM [] Mnimo comn mltiplo

Alt e Nmero e

Divisores() Halla los divi-sores de un n-mero

#

#n

Copiar la salida previa

Copiar la salida de la fila n

ComnDenomi-nador[]

Halla el comn de dos o ms fracciones (1/2, 3/6, )

##

##n

Copiar la entra-da previa

Copiar la entra-da de la fila n

Divisin [divi-dendo, divisor]

Desarrolla la di-visin de una expresin, de-volviendo el co-ciente y el resto.

Simplifica[] Simplifica cual-quier expresin

Adems de los varios operadores y comandos que sirven como herramientas para el desarrollo de operaciones, la barra de herra-mientas de CAS ofrece diferentes opciones para el desarrollo de operaciones.

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Cada una de ellas, de forma intuitiva, es un apoyo importante para el desarrollo de operaciones. A continuacin conocemos las fun-ciones de cada una de las herramientas de CAS.

NOMBRE INDICACINCOMANDO

EQUIVALENTE

Evala Clculo exacto del resul-tado.

Valor numrico Aproxima numricamente el valor de la expresin

ValorNumrico [expresin]

Conserva entra-da

Mantiene la expresin in-troducida sin alterarla.

Factoriza Descompone la expresin en factores irreducibles (o primos).

Factoriza [n]

Desarrolla Aplica la propiedad distri-butiva, eliminando los pa-rntesis.

Desarrolla [Ex-presin ]

Sustituye Sustituye el valor de una expresin por otro. (a=5, b=6)

Sustituye [ex-presin, a reem-plazar, reempla-zo]

Resuelve Resuelve una ecuacin o un sistema de ecuaciones.

Resuelve [ecua-cin]

Resolucin numrica

Resuelve una ecuacin o un sistema de ecuaciones dando un valor numrico aproximado.

Derivada Halla la primera deriva-da de la expresin (en x o en la primera variable siguiendo el orden alfa-btico).

Derivada [f(x)]


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Integral Halla la familia de primiti-vas de la funcin (en x).

Integral [f(x)]

Elimina objeto Borra o elimina un objeto

Desarrollo de operaciones con CAS

Para conocer mejor la funcionalidad del Clculo Simblico de Geo-gebra, desarrollamos algunas operaciones.

Problema 1:Proponemos a las y los estudiantes el clculo de operaciones combinadas con nmeros enteros y fracciones a partir de la siguiente expresin -3+4*(2-5*3) para el estudio de la jerarqua.

a. Introducimos la siguiente expresin: -3+4*(2-5*3) y seleccionamos con-

servar entrada . Esta opcin mantiene la entrada.

b. Pinchamos sobre la salida (resulta-do) de la primera fila, para que se copie en la fila 2.

c. Seleccionamos evala , y obte-nemos el resultado de la operacin.

d. Ahora volvemos a introducir la fila anterior, escribiendo = en la fila 3 y empezamos a realizar las operaciones aplicando la jerar-qua; seleccionamos 5*3 y hacemos clic en evala.

e.Copiamos en la fila siguiente y seguimos realizando el proceso hasta que obtenemos un nico nmero, comprobando que ste coincide con el valor que se obtiene en la fila 2.

Problema 2:Con ayuda de un deslizador, determina la lista de divisores de los nmeros menores que 100 para establecer cules son primos y cules no.

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- Primero, con la herramienta deslizador, de la vista grfica, in-sertamos un deslizador en un punto del plano. En las opciones, asignamos el nombre n, indicamos un valor mnimo de 0, valor mximo de 100, e incremento de 1, para el deslizador.

- Posteriormente, en la ventana CAS ingresamos el siguiente co-

mando: Listadivisores[n] Este comando identifica los divisores del valor de n, Divisores[n], que cuenta la cantidad de divisores. Para comprobar, deslizamos el punto de la barra deslizadora insertada en la ventana grfica.


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- A partir de esta accin podemos emplear diferentes comandos para obtener el resultado esperado. En este caso introducimos los siguientes comandos: Esprimo[n], Primoprevio[n], Primo-siguiente[n]. Estos comandos identificarn si el valor de n es o no primo, cul es el nmero primo previo, o el nmero primo siguiente, respectivamente.

- Escribimos n en la siguiente fila y aplicando (factoriza) ob-tenemos la factorizacin del nmero que tengamos asignado al deslizador.

- En las siguientes filas aplicaremos los comandos Factores[n], que devuelve una matriz con los factores en la primera colum-na y su multiplicidad en la segunda. FactoresPrimos[n], que muestra una lista con todos los factores primos de n.

- Si movemos el deslizador tendremos los clculos automtica-mente en la Vista de Clculo Simblico.

Desarrollo de ecuaciones con CAS

Entre las actividades que permite Geogebra se encuentra la resolu-cin de ecuaciones, en su sentido ms amplio, lo que supone que no estarn reducidas a ecuaciones polinmicas.

Por un lado, en la vista algebraica disponemos de los comandos Raz y Raz Compleja para obtener las races de un polinomio, segn el tipo y segn los valores. El resultado aparecer en forma exacta o aproximada.

Al utilizar en la vista CAS los comandos Soluciones o Resuelve,

que corresponde al botn de la barra de herramientas, obten-dremos, siempre que sea posible, las races en forma exacta de

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una ecuacin que puede ser polinmica o no, como ocurre en los ejemplos siguientes.

Para obtener los factores complejos disponemos del comando FactorC como complemento a Factoriza y SolucionesC o Re-solucinC, como complemento a los comandos Soluciones o Re-suelve.

Problema 1:Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3x+2y-3z=1

x+3y-2z= -3

4x-y-5z=4

Para desarrollar este sistema de ecuaciones lineales con tres in-cgnitas ingresamos el comando Soluciones[{primera ecuacin, segunda ecuacin, tercera ecuacin],{variable1, variable2, varia-ble3}]. Las ecuaciones ingresadas son separadas por una coma.

Problema 2:

Comprueba los resultados haciendo la descomposicin en factores del polinomio.

Comprobar que a es una raz del polinomio p(x).Siendo:

a = 2+3+5 p(x)=x^8-40x^6+352x^4-960x^2+576


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Clculo diferencial e integral con CAS

Como en otros clculos expuestos anteriormente, la diferencia en-tre la vista CAS y la algebraica est en la forma de representacin de los resultados, en forma exacta en la primera y aproximada en la segunda, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo:

Problema 1:

Hallar el rea encerrada entre las dos curvas siguientes:

Insertamos los valores de las funciones correspondientes. Poste-riormente aplicamos el comando Solve() para poder resolver las funciones indicadas. Posteriormente aplicamos el comando Inte-gral[] para poder hallar el rea encerrada entre las curvas indicadas.

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Como podr observarse, tanto la vista Algebraica como la vista Grfica permiten interactuar de diferentes modos en la resolucin del ejercicio.

Actividad de valoracin

A partir de las herramientas y funcionalidades aprendidas en el pre-sente tema, en grupos de 4 personas elaboramos y desarrollamos 3 consignas, orientadas al aprendizaje de la matemtica a partir de la aplicacin de herramientas y funcionalidades hasta aqu apren-didas.

CONSIGNA PROCEDIMIENTO PARA RESOLUCIN

(Aplicando herramientas de Geogebra)

Resultado.-

Resultado.-

Resultado.-

Actividades de produccin

Del contenido del rea de matemtica que imparte, cul o cules considera que pueden apoyarse en los programas de Math Works-heet Generator y Geogebra, para su mejor comprensin por parte de las y los estudiantes? Explique.

Sugerencias para la maestra y el maestro:

Con el deseo de fortalecer las capacidades profesionales de las maestras y maestros, sugerimos puedan usar estos programas li-bres:

CubeTest, programa para practicar la visin espacial, dirigida a la escuela primaria. El usuario tiene que contestar diez pregun-tas tipo test. En cada una de ellas, CubeTest muestra un cubo y cuatro posibles vistas diferentes del mismo cubo (slo una de ellas es correcta). (http://www.vandenoever.info/software/cubetest/cubetest.exe)


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Kitsune, programa para resolver problemas de aritmtica, es decir, encontrar un nmero determinado a partir de varios nmeros y las cuatro operaciones aritmticas elementales. El programa muestra todas las soluciones (o las mejores apro-ximaciones) y permite configurar el tamao del nmero final y cuntos nmeros se utilizan para calcular el nmero final. (http://kitsune.tuxfamily.org/download.php?url=kitsune3.0/kit-sune-3.0.exe)

Tux of Math Command, juego educativo para practicar las cuatro operaciones bsicas (suma, resta, multiplicacin y di-visin). Las operaciones van cayendo por la pantalla y el juga-dor debe destruirlas antes de que lleguen al suelo escribien-do el resultado. (http://sourceforge.net/projects/tuxmath/files/tuxmath-win32/TuxMath%202.0.2%20-%20Windows/tuxma-th-2.0.2-win32-installer.exe/download)

TuxMathScrabble, es un juego de Scrabble matemtico, con nmeros y las cuatro operaciones elementales. El juego dispo-ne de cuatro modos de juego que se distinguen en el rango de valores y operaciones disponibles.

(http://www.cdlibre.org/descargar/soft/t/TuxMathScrab-ble_0-5-7_090509_WinXP.zip)

Graph, sencillo programa de representacin de funciones matemticas. Las representaciones pueden copiarse y pe-garse en cualquier procesador de textos. (http://sourceforge.net/projects/graph/files/Graph/Graph%204.4.2/SetupGra-ph-4.4.2.exe/download)

GraphCalc, potente calculadora grfica que permite tanto rea-lizar clculos complejos como representar funciones en dos o tres dimensiones.

(h t tp : / /prdownloads.sourceforge .net /gca lc /Graph-Calc4.0.1.exe)

ConvertAll, convertidor de unidades de todo tipo que maneja ms de 400 unidades distintas que pueden combinarse entre s.

(http://sourceforge.net/projects/convertall/files/0.6.0/converta-ll-0.6.0-install-user.exe/download)

Numerical Chamaleon, convertidor de unidades, con ms de 3.200 unidades en 82 categoras. (http://downloads.sourcefor-ge.net/numchameleon/nc-1.6.0-install.zip)

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Bibliografa

CORTE RAMOS, Belarmino, Apuntes sobre GeoGebra... con unos toques de matemticas, Asturias, 2008.

LOSADA LISTE, Rafael, GeoGebra en la enseanza de las matem-ticas. Gobierno de Espaa, Ministerio de Educacin.

CHAVEZ BARBOSA, Eduardo, Alcances y limitaciones del Geoge-bra para la enseanza de conceptos elementales de la geometra analtica (apuntes), Universidad Estatal a Distancia UNED, 2009.

LPEZ AVELLANA, Daniel, GeoGebra - Primeros Pasos, Madrid, 2009.

Educacin Secundaria Comunitaria Productiva (Programa de Estu-dio), Ministerio de Educacin, La Paz, 2012.

Recursos tecnolgicos en la prctica educativa de maestras y maestros

Ministerio de EducacinDireccin General de Formacin de Maestros

Av. Arce No. 2529 - Telfono 2912840

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