Unidad 4 Matematica i 2015

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAMATEMATICA I CICLO I / 2015

UNIDAD IV: APLICACIONES DE LA DERIVADA

4.1 FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L´HOPITAL

Hasta el momento hemos resuelto que por sustitución directa obtenemos formas

indeterminadas ó ; para resolver estos tipos de límites hemos recurrido a rescribir la

función, haciendo uso de factorización, etc.

Existen límites de funciones en los cuales no pueden utilizarse estas técnicas. Por ejemplo,

Para resolver estos tipos de límites planteamos la regla de L’Hopital.

REGLA DE L’ HOPITAL

Supóngase que las funciones y son derivables y que cerca de c (excepto quizás en

c), además supóngase que: y o

que

y

(En otras palabras tenemos una forma indeterminada del tipo ) entonces

Si el límite del segundo miembro existe

Ejemplo 1: Encontrar

APLICACIONES DE LA DERIVADA MATEMATICA I CICLO I /2015

UTILIZANDO LA REGLA DE L’ HOPITAL

Observación: lo que se hace es derivar el numerador y derivar el denominador y no es que se esté aplicando la regla de la derivada de un cociente de funciones.

Ejemplo 2: Calcule

2


FORMA INDETERMINADA (0 .) Ó 0.(- )

Si

Entonces produce la forma indeterminada .

Estos límites que producen estas formas indeterminadas pueden resolverse reescribiendo

como un cociente es decir

Esto convertirá la forma indeterminada en una forma indeterminada de la forma

Ejemplo 3:

3


POTENCIAS INDETERMINADAS

Varias formas indeterminadas surgen del límite

1.) Forma de indeterminada



Cada uno de estos tres casos se puede tratar utilizando el logaritmo natural.

Por ejemplo si entonces

Ejemplo 4: calcular

4.2 VALORES MAXIMOS Y MINIMOS (EXTREMOS DE UNA FUNCION)

4


a) ABSOLUTOS

Si , entonces se llama mínimo absoluto.

Si , entonces se llama máximo absoluto.

Los valores máximo y mínimo de se conocen como valores extremos de .

Ejemplo 5: Determinar los valores máximos y mínimos absolutos para cada una de las gráficas siguientes:

5


Ejemplo 6: máximos y mínimos absolutos para una función con dominio restringido

Consideremos la función definida en el intervalo por:

b) EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES

VALOR MÁXIMO RELATIVO:

Se dice que la función f tiene un valor máximo relativo en si existe algún intervalo en

el dominio de , que contenga a tal que .

El valor máximo relativo de f en es .

6


VALOR MÍNIMO RELATIVO:

Se dice que la función tiene un valor mínimo relativo en si existe algún intervalo en

el dominio de que contenga a , tal que .

Una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c.

NOTA : Determinar los mínimos y máximos relativos del ejemplo 5

DEFINICIÓN DE NÚMEROS CRÍTICOS

Si un número c está en el dominio de una función , c es un número crítico (valor crítico) de si ó ) no existe.

Procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función continua en un

intervalo cerrado :

1. Se obtiene los números críticos de la función en , y se calculan los valores

correspondientes de f para dichos números.

2. Se hallan f (a) y f (b)

3. El mayor de los valores encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el menor es el valor mínimo absoluto.

Una función dada puede tener o no tener un extremo absoluto en un intervalo.

7


Ejemplo 7: Calcular los valores máximos y mínimos absolutos de si:

En

FUNCIONES MONÓTONAS Y EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

DEFINICIÓN FUNCIONES CRECIENTES Y FUNCIONES DECRECIENTES

Teorema: Sea una función continua en y derivable en el intervalo .

Luego,

i) Si para todo x en el intervalo abierto , es creciente en

ii) Si para todo x en el intervalo abierto , es decreciente en .

8


iii) Si para todo x en el intervalo abierto , es constante en

.

En la grafica anterior puede observarse que la función :

1. Es creciente en los intervalos ,

2. Es decreciente en los intervalos ,

Ejemplo 8: Si , determinar donde es creciente y donde es decreciente la

función .

Solución:

9


4.3 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA LOS EXTREMOS RELATIVOS (O EXTREMOS LOCALES):

1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crítico y negativo a la derecha, entonces el punto crítico es un máximo relativo.2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crítico y positivo a la derecha, entonces el punto crítico es un mínimo relativo.3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto crítico no es ni máximo ni mínimo relativo.

Ejemplo 9: Determinar los extremos locales y los intervalos donde crece o decrece:

Solución :

10


4.4 CONCAVIDAD, PUNTOS DE INFLEXION Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

CONCAVIDADLa concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo.

Si es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo , entonces:

i) si para todo x en el intervalo , la gráfica de es cóncava hacia arriba en

.

ii) si para todo x en el intervalo , la gráfica de es cóncava hacia abajo en .

Ejemplo 10: Observar que la función es cóncava hacia arriba y creciente en el

intervalo . Para la segunda derivada es positiva, esto es,

Por tanto, la gráfica de es cóncava hacia arriba en

1) Observar que la función es cóncava hacia abajo y la segunda derivada es

negativa, esto es . Por tanto, la gráfica de es cóncava hacia abajo en

En la siguiente grafica la función es cóncava hacia arriba en el intervalo y cóncava hacia

abajo en el intervalo .

11


PUNTO DE INFLEXIÓN

Definición: El punto de inflexión de una gráfica de es un punto de la gráfica donde la concavidad cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o viceversa).

Nota: Como el punto de inflexión se presenta donde cambia la concavidad de la gráfica, también

es cierto que el signo de la segunda derivada cambia en estos puntos. De manera que, para

localizar los puntos de inflexión, calculamos los valores de x para los que ó para los que no existe.

Ejemplo 11: Determine donde es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y los intervalos de

crecimiento y decrecimiento de:

Solución:

12


CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Suponga que existe en algún intervalo que contiene a c y que , entonces:

i) si , es un mínimo relativo

ii) si , es un máximo relativo

iii) Si , entonces el criterio de la segunda derivada no aplica y no provee información.

De manera que, se usa entonces el criterio de la primera derivada para determinar los máximos y mínimos relativos.

Ejemplo 12: Utilice el criterio de la segunda derivada para calcular los extremos relativos de la

función

Solución :

4.5 ANALISIS DE GRAFICOS

Ya tenemos una serie de conocimientos obtenidos previamente, especialmente en el cálculo diferencial, que nos permite trazar con detalle la gráfica de una gama amplia de funciones.

Consideremos una función . Veamos los pasos necesarios para representarla.

Ejemplo 13: Graficar la siguiente función:

Solución:

13


14


Ejemplo 14: Graficar la siguiente función:

15


4.6PROBLEMAS DE APLICACION DE MAXIMOS Y MINIMOS

En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:

Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra. Hacer un dibujo cuando sea necesario.

Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.

Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar)

Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.

Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.

Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.

Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema

Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.

En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes.

Ejemplo 15: Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

Solución:

16


Ejemplo 16: Se dispone de una cartulina cuadrada de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.

Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas, donde

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Puesto que (función a maximizar) es una función continua en el intervalo

, entonces alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho intervalo.

Al derivar en e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

y son números críticos

Para analizar la naturaleza de los números críticos, se usa el criterio de la segunda derivada.

Así :

, lo cual indica que corresponde a un mínimo relativo.

(Interprete geométricamente el resultado).

, lo cual indica que corresponde a un máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la cartulina

cuadrados de lado y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene dado por:

18


Ejemplo 17: Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible.

Solución:

Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos. Sean estos números: . Luego

Como la suma de esos números es 10, entonces es la ecuación auxiliar, de donde

.

Entonces:

Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función

Derivando:

Valores críticos:

En se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo o un valor máximo.

Como entonces por lo que en se tiene un valor máximo.

Si entonces Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya

suma es 10 son ambos iguales a 5.

Ejemplo 18: Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

Solución:

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4.7 TASAS RELACIONADAS

Se les llama así a los problemas en que intervienen intensidades de cambio, con respecto al tiempo, de variables relacionadas. Por ejemplo, cuando se llena una cisterna cilíndrica con agua su altura h y consecuentemente su volumen V aumenta con el tiempo o sea son funciones del tiempo. Estas variables están relacionadas por la ecuación: donde r es el radio de la cisterna.

La razón de cambio con respecto al tiempo indica cuán rápido varía una magnitud.

Una razón de cambio negativa índica que la variable en consideración está disminuyendo y si es positiva indica que está aumentando.

Pasos para resolver un problema de tasas de cambio.

PASOS:

1. Definir las variables con información conocida y la variable cuya tasa ha de determinarse. Si es posible, haga una figura de la situación que se plantea (si no se da la figura)2. Determinar una ecuación que relacione a las variables conocidas con la variable cuya tasa ha de calcularse.3. Derivar implícitamente, con respecto al tiempo, en la educación del numeral dos.4. Sustituir en la ecuación obtenida en el paso tres todos los valores conocidos y despeje la cantidad a determinar.

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Ejemplo 19: Un auto A viaja hacia el oeste, a 50 mi/h y el auto B hacia el norte a 60 mi/h. Los dos se dirigen al cruce de dos carreteras. ¿A qué velocidad se acercan entre sí, cuando A está a 0.3 millas y B a 0.4 millas del cruce?

Solución:

Ejemplo 20 Una artesa con las medidas mostradas en la figura posee extremos en forma de triángulos isósceles. Si se le echa agua a razón de 2 p3/min. ¿Cómo está subiendo el nivel cuando hay 1 pie de profundidad?

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Ejemplo 21: Una cámara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que se produce de acuerdo ala ecuación de posición , donde y está dado en pies y t en

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segundos. La cámara está a 2000 pies del lugar de despegue. Hallar la razón de cambio del ángulo de elevación de la cámara 10 segundos después del despegue.Solución:

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