TORQUE O MOMENTO DE TORSION

UNIDAD IISEMANA II

Se ha preguntado ¿Qué hace o como hace para aflojar un tornillo muy apretado ? La respuesta a esta inquietud viene a continuación.

Si no puede aflojar un tornillo muy apretado con una llave de cruz , lo que usted hace por intuición es utilizar una llave con mango mas largo o poner un tubo sobre la llave existente para hacerla mas larga , con la finalidad de que sea mucho mas fácil de aflojar, Lo que esta haciendo es aplicar un tema esencial de este Capitulo “TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA”

La fuerza F tiene mayor tendencia a la rotación alrededor de O cuando aumenta F y cuando aumenta el brazo de momento la componente tiende hacer girar la llave alrededor de O

Considere la llave de tuercas que hace pívot en el eje que pasa por O (ver figura). La fuerza aplicada F actúa a un ángulo Φ con respecto a la horizontal. Definimos la magnitud del momento de torsión asociado con la fuerza F por la expresión:

Donde r es la distancia entre el punto del pívot y el punto de aplicación de F y d es la distancia perpendicular desde el punto de pívot a la línea de acción de F

Entonces podemos decir que:

El momento de fuerzas, , es la tendencia de una fuerza a hacer rotar un objeto alrededor de algún eje

• El momento de fuerzas es un vector

Algebraicamente,

Donde: • F es la Fuerza• r es el brazo de aplicación

…………( 1 )

La forma sencilla de calcular esta expresión algebraica es como sigue:

)(ˆ)(ˆ)(ˆ xyxzyz yFxFkzFxFjzFyFi

1.- Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza F = (4î - 5ĵ) N, que se aplica a un objeto en la posición r = (2î + ĵ) m.

Solución: Aplicando la definición de producto vectorial, se obtiene:

2.- Calcular el torque de una fuerza aplicada al cuerpo de la Figura, cuando F es 6 N y hace un ángulo de 30° con el eje X y r mide 45 cm haciendo un ángulo de 50 ° con el eje positivo de las X.

Primer Método :

Aplicando la ecuación

De la figura el ángulo entre r y F es 20°

Este Método solo nos da la magnitud del torque. Para saber el sentido de laRotación debemos aplicar la REGLA DE LA MANO DERECHA.En ese caso el torque es

Segundo Método :

Aplicando la ecuación

)(ˆ)(ˆ)(ˆ xyxzyz yFxFkzFxFjzFyFi

Donde los valores de x e y son

Similarmente descomponiendo la fuerza F en sus componentes rectangulares

Por lo tanto

El signo negativo indica rotación del cuerpo en el sentido horario

Es necesario tener en cuenta los signos para el cálculo del momento de una fuerza, tal como se muestra:

OBSERVACIÓN:

“F” no producirá rotación en la barra respecto al punto “0” ya que su línea de acción pasa por el punto (0).Entonces d = 0 y . 00 FM

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación respecto a un punto, si la suma de momentos respecto a ese punto es cero.El caso más común de Equilibrio de Rotación es cuando un cuerpo no experimenta giros.

Como la barra no gira; se puede aplicar la 2da. condición de equilibrio, tomando como centro de momento el punto 0

00 MO sea que:

TgFR MMMM 0000

Como 00 RM

Entonces:

gFT

gFT

MM

MMM

00

000

0

TgF MM 00

MOMENTO DE FUERZAS NETO

Si dos o mas fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido (ver figura) cada una tiende a producir rotación alrededor del eje en O. En este ejemplo F2 tiende a hacer rotar el cuerpo en el sentido de giro de las manecillas de un reloj, y F1 tiene a hacerlo rotar en sentido contrario Aquí observamos que F1 tiene un brazo de momento d1 , entonces el torque es positivo + F1.d1 ya que F1 hace que tienda a girar en el sentido contrario alas manecillas del reloj, de manera análoga - F2.d2.Por lo tanto el momento de torsión neto alrededor del eje O es:

TEOREMA DE VARIGNON

El momento respecto de un punto dado O de El momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto una de las fuerzas respecto al mismo punto O. O.

Esto es, si las fuerzas, FEsto es, si las fuerzas, F11, F, F22, F, F33 Y F Y F44 ; se ; se aplican en un punto P, como se indica en la aplican en un punto P, como se indica en la figura siguiente, podemos concluir figura siguiente, podemos concluir inmediatamente por la propiedad distributiva inmediatamente por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, del producto vectorial respecto a la suma, que: que:

r x (r x (FF11+F+F22+F+F33 + F + F4 4 + …) = r x F + …) = r x F11 + r x + r x FF22 +….. +…..

X

Y

Z

F1

F2

F3

F4

A

O

r

Es decir, el momento respecto a un punto dado O, Es decir, el momento respecto a un punto dado O, de la resultante de varias fuerzas concurrentes, de la resultante de varias fuerzas concurrentes, es igual a la suma de los momentos de las es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O. distintas fuerzas con respecto al mismo punto O.

Esta propiedad la descubrió el matemático Esta propiedad la descubrió el matemático francés Varignon (1654-1722), mucho antes de francés Varignon (1654-1722), mucho antes de inventarse el álgebra vectorial, por lo inventarse el álgebra vectorial, por lo que se que se le conoce como en Teorema de Varignon.le conoce como en Teorema de Varignon.

rxR = rx(F1 + F2 + Fi + ... + Fn)rxR = rxF1 + rxF2 + rxFi + ... + rxFn) entoncesM = M1 + M2 + Mi + ... + Mn

El resultado anterior permite sustituir la El resultado anterior permite sustituir la determinación directa del momento de una determinación directa del momento de una fuerza, por la determinación de los momentos de fuerza, por la determinación de los momentos de dos o más fuerzas componentes. Esto es dos o más fuerzas componentes. Esto es particularmente útil en la descomposición de una particularmente útil en la descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares. Sin fuerza en sus componentes rectangulares. Sin embargo, puede resultar más útil en algunos embargo, puede resultar más útil en algunos casos descomponer en componentes que no sean casos descomponer en componentes que no sean

paralelas a los ejes coordenados.paralelas a los ejes coordenados.

3.- Considerar 3 fuerzas aplicadas al punto A de la figura, con r = 1,5m y

kjiF

kjiF

kjiF

ˆ3ˆ0ˆ5

ˆ14ˆ7ˆ6

ˆ0ˆ0ˆ6

3

2

1

Usando O como punto de referencia, encontrar el torque resultante debido a estas fuerzas.

Sabemos que el torque es donde

kjiRkjiR ˆ11ˆ7ˆ17ˆ)3140(ˆ)070(ˆ)566(

jir ˆ06,1ˆ06,1

kjiRr ˆ44,29ˆ66,11ˆ66,11

El valor de r es

Realizando el producto vectorial

Si calculamos los torques producidos por cada una de las fuerzas

mNkjiFr

mNkjiFr

mNkjiFr

ˆ3,5ˆ18,3ˆ18,3

ˆ78,13ˆ84,14ˆ84,14

ˆ36,6ˆ0ˆ0

33

22

11

mNkjiR ˆ44,29ˆ66,11ˆ66,11321

entonces

IMPORTANTE: Un sistema de fuerzas concurrentes puede reemplazarse por una sola fuerza (Resultante) que es equivalente en lo que respecta a efectos de traslación y rotación.

En primer lugar encontramos la resultante

En seguida encontramos el torque de cada fuerza con respecto a O

Luego

El equilibrio es estable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad está debajo del punto de suspensión.

Ejemplo: El péndulo, la plomada,una campana colgada.

El equilibrio es inestable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, se aleja por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad está más arriba del punto o eje de suspensión.

Ejemplo: Un bastón sobre su punta.

El equilibrio es indiferente si el cuerpo siendo movido, queda en equilibrio en cualquier posición. En este caso el centro de gravedad coincide con el punto de suspensión.

Ejemplo: Una rueda en su eje.

COMPOSICION DE FUERZA APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO

En general, un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido no puede reducirse a una sola fuerza o resultante igual a la suma vectorial de lasfuerzas.

CUPLA O PAR DE FUERZAS

Se define como un sistema de dos fuerzas de igual magnitud pero de direcciones opuestas que actúan a lo largo de líneas paralelas.

La resultante o vector suma de las dos fuerzas es

indicando que la cupla no produce efecto de traslación

Por otro lado la suma vectorial de los torque, teniendo en cuenta

donde b es el brazo de palanca de la cupla

es dada por

la cupla produce efecto de rotación

4.- Encontrar la fuerza resultante y el torque resultante del sistema mostrado en la figura donde

y

ux, uy y uz son los vectores unitarios en X, Y, y Z respectivamentey los puntos de aplicación son

A (0,4m; 0,5m; 0) y

B (0,4m; -0,5m; 0,8m)

COMPOSICIÓN DE FUERZAS PARALELAS

Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u.

Luego donde Fi es positivo o negativo dependiendo de si la dirección de Fi es la misma de u u opuesta a la de u. La suma vectorial es

Y por tanto también paralelo a u. La magnitud de la resultante es entonces

La suma vectorial es

La cual es perpendicular a u y por lo tanto también es perpendicular a R.Por este motivo, colocando R en la posición apropiada rc, es posible igualar su torque a ; esto es, . Introduciendo las expresiones de R y podemos escribir

Esta ecuación se satisface si

O sea,

rc se denomina centro de fuerzas paralelas.

La ecuación vectorial se puede separar en sus tres componentes

donde hemos designado por xc, yc, zc las coordenadas del punto definidopor rc.

5.- Hallar la resultante de las fuerzas que actúan en la barra de la Figura.

Considerando la dirección hacia arriba como positiva la resultante es

Para determinar su punto de aplicación utilizamos la ecuación xc . Se requiere solamente de la primera ya que todas las fuerzas son paralelas al eje Y. Tomando A como el origen, obtenemos

El punto considerado como origen puede ser cualquiera. Para mostrar esto tomemos el punto D como origen. Entonces

Este punto es exactamente el mismo, ya que AD = 20 pulgadas.